ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÖÓÑ ØÓ ÒÓØ Ö Ð Ø ÓÒ ÖÓÑ ØÓ Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ Ü ¾ Ø Ö ÓÑ Ý ¾ Ù Ø Ø Ü Ýµ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ü Ýµ Ò Ü Þµ Ö Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ò Ý Þº ÆÓØ Ø ÓÒ Á

Size: px

Start display at page:

Download "ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÖÓÑ ØÓ ÒÓØ Ö Ð Ø ÓÒ ÖÓÑ ØÓ Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ Ü ¾ Ø Ö ÓÑ Ý ¾ Ù Ø Ø Ü Ýµ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ü Ýµ Ò Ü Þµ Ö Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ò Ý Þº ÆÓØ Ø ÓÒ Á"

Alexander Henderson
5 years ago
Views:

1 ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÖÓÑ ØÓ ÒÓØ Ö Ð Ø ÓÒ ÖÓÑ ØÓ Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ Ü ¾ Ø Ö ÓÑ Ý ¾ Ù Ø Ø Ü Ýµ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ü Ýµ Ò Ü Þµ Ö Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ò Ý Þº ÆÓØ Ø ÓÒ Á Ü Ýµ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Û ÛÖ Ø Üµ Ýº Ì Ø Ø ÓÑ Ò Ó Ø ÙÒØ ÓÒ º Ì Ø Ø Ó ÓÑ Ò Ó ÙÒØ ÓÒ º ÆÓØ Á ÙÒØ ÓÒ Ø Ò Ñ Ô Ú ÖÝ Ð Ñ ÒØ Ó ØÓ Ü ØÐÝ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ó º Ü ÑÔÐ Ä Ø ½ ¾ Ò ½ ¾ º ¹ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ý Üµ Ü ¾ º Ö Û Ö Ñ Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÙÒØ ÓÒº ½

2 ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ä Ø ÙÒØ ÓÒº Á Üµ Ý Ø Ø Ü Ýµ ¾ µ Û ÐÐ Ý Ø Ñ Ó Ü ÙÒ Ö Ò Û ÐÐ Ü ÔÖ Ñ Ó Ý ÙÒ Ö º ÓÖ ÒÝ Ø Ë Û Ò Ø Ñ Ó Ø Ë Ý Ëµ Üµ Ü ¾ Ë º Ò Ø ÓÒ Ä Ø ÙÒØ ÓÒº Ì Ñ Ó ÓÑ Ò ÙÒ Ö µ Üµ Ü ¾ Ø Ö Ò Ó º Ü ÑÔÐ Ä Ø Æ Æ Ò Ý Üµ Ü ¾º Ï Ø Ø ÓÑ Ò Ó Ì Ó ÓÑ Ò Ì Ö Ò Ó Ï Ø Ø Ñ Ó ¾ ÙÒ Ö Ï Ø Ø Ñ Ó Ø Ø ½ ¾ ÙÒ Ö ¾

3 ÙÒØ ÓÒ Ü ÑÔÐ Ü ÑÔÐ Ï Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÒØ ÓÒ ½º Ì Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Ø Ó ÐÐ Ù Ø Ò Ø ØÓ Ø Ø Ó ÐÐ Ö Ù Ø Ø Ü Ýµ ¾ Ü ÓÛÒ Ýº ¾º Ì Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Ø Ó ÐÐ ½ ØÙ ÒØ ØÓ Ù Ø Ø Ü Ýµ ¾ ØÙ ÒØ Ü Ñ Ö Ý Ò ½ º º Û Ö ½ ¾ Ò ½ ½µ ¾ ½µ ¾µ ¾ µ º

4 ÇÒ ØÓ ÇÒ Ò ÇÒØÓ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÓÖ ½¹½µ Ü Ý Üµ Ýµ Ü Ý º ½¹½ ÙÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ø ÓÒº ÆÓØ ÙÒØ ÓÒ ½¹½ Ú ÖÝ Ð Ñ ÒØ Ó Ø Ö Ò Ü ØÐÝ ÓÒ ÔÖ Ñ º Ü ÑÔÐ Á Ê Ê Û Ö Üµ Ü ÓÒ ØÓ ÓÒ ÈÖÓÚ ÝÓÙÖ Ò Û Öº Ü ÑÔÐ Á Æ Æ Û Ö Üµ Ü ½¹½ ÈÖÓÚ ÝÓÙÖ Ò Û Öº

5 ËÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÒØÓ Ý ¾ Ü ¾ Üµ Ý º Ì Ø ÓÒØÓ µ º Ò ÓÒØÓ ÙÒØ ÓÒ ÐÐ ÙÖ Ø ÓÒº Ü ÑÔÐ Á Æ Æ Û Ö Üµ ¾Ü ÓÒØÓ Æ ÈÖÓÚ ÝÓÙÖ Ò Û Öº Ü ÑÔÐ Ä Ø Ê Ê Ò Ý Üµ Ü Ê ÈÖÓÚ ÝÓÙÖ Ò Û Öº º Á ÓÒØÓ

6 Proof Templates How to prove that a function f : A B is 1 to 1 (injective): 1. Let x, y A (arbitrary) 2. Assume f(x) = f(y) N. x = y {Justification} N+1. x, y A[f(x) = f(y) x = y] {Universal Generalization} N+2. f is 1 to 1 {Definition of 1 to 1} How to prove that a function f : A B is onto (surjective): 1. Let b B (arbitrary) 2. Define a =? (You have to figure out how to define a in terms of b) N. a A {Justification} N+1. f(a) =? (depends on definition of f for this problem) N+2. = N+M. = b {Justification} N+M+1. a A[f(a) = b] { Generalization: N, N+1 N+M} N+M+2. b B a A[f(a) = b] { Generalization: 1, N+M+1} N+M+3. f is onto {Definition of onto} Note: If f is a bijective function (more on this on the next slide), then in step 2 you will want to define a as a = f 1 (b), where f 1 is the inverse of f (also on an upcoming slide). 1

7 Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ø ½¹½ Ò ÓÒØÓº Ü ÑÔÐ Ä Ø Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ú Ò ÒØ Ö º Ì Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Æ Ú Ò Ý Üµ ¾Ü ½¹½ Ò ÓÒØÓ ÔÖÓÚ µº ËÓ Ø ÓÒº Ü ÑÔÐ Ö Ñ Ó ½¹½ ÙÒØ ÓÒ ÓÒØÓ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ º Ò Ð µ

8 Ø ÓÒ Ò ÁÒÚ Ö Ò Ø ÓÒ Ä Ø Ø ÓÒº Ì ÒÚ Ö ÙÒ¹ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ½ Ò ÓÐÐÓÛ ÓÖ Ú ÖÝ Ý ¾ ½ Ýµ Ü Û Ö Ý Üµº Ì Ø Ü Ýµ ¾ Ý Üµ ¾ ½ º Ü ÑÔÐ Ä Ø Æ Û Ö Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ú Ò ÒØ ¹ Ö Ò Üµ ¾Ü ÓÖ ÐÐ Ü ¾ Æ º ËÓ Ø ÓÒº Ì ÙÒØ ÓÒ ½ Æ Ò Ý ½ Üµ Ü ¾ º ÌÓ ÓÑÔÙØ Ø ÒÚ Ö Ó ÙÔÔÓ Ø Ø ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ Ý ¾ Ý Üµ ¾Üº Ü Ý ¾Ü Ü Ý ¾ º ËÓ ½ Ýµ Ý ¾ º ÆÓÛ ÓÐÚ ÓÖ ÆÓØ Ø Ø ÓÖ ÒÝ Ü ¾ ½ Üµµ Ü ¾ µ ¾ Ü µ Üº Ä Û ¾ ÓÖ ÒÝ Ü ¾ Æ ½ Üµµ ½ ¾Üµ ¾Ü ¾ Üº ÆÓØ ÙÒØ ÓÒ ÓÒÐÝ Ò ÒÚ Ö Ø Ø ÓÒº ÁØ ÒÚ Ö ÙÒØ ÓÒ Ð Ó Ø ÓÒº Á ÙÒØ ÓÒ Ò ÒÚ Ö Û Ý Ø ÙÒØ ÓÒ ÒÚ ÖØ Ð º

9 Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ Ü ÑÔÐ Á Ø ÙÒØ ÓÒ Ê Ê Ò Ý Üµ Ü ½ ÒÚ ÖØ Ð Á ÒÓØ ÔÖÓÚ Ø ÙÒØ ÓÒ ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ø Ò Ø ÒÚ Ö º Ü ÑÔÐ Ä Ø Ê ¼ Ê ¼ Ò Ý Üµ Ü ¾ º Á ÒÚ ÖØ Ð Á Ø Ò Ø ÒÚ Ö º Á ÒÓØ ÓÛ Ø Ø ÒÓØ Ø ÓÒº

10 ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ä Ø Ò ÙÒØ ÓÒ º Ì ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó ÙÒØ ÓÒ Ò ÒÓØ Æ Ø ÙÒØ ÓÒ Æ Ò Ý Æ Üµ Üµµ ÓÖ ÐÐ Ü ¾ º Ü ÑÔÐ Ä Ø Ê Ê Ú Ò Ý Üµ Ü Ò Ð Ø Ê Ê Ú Ò Ý Üµ Ü ¾ º Ì Ò Æ Ê Ê Ò Ý Üµµ Ü µ Ü µ ¾ º Ï Ø Æ Ü ÑÔÐ Ä Ø Ò Ý Üµ Ü ¾ ½ Ò Ð Ø Ú Ò Ý Üµ Ü ½º Ï Ø Æ

11 Function Growth The rate at which the exponential function exp(x) = e x increases is HUGE! In general, all exponents (2 x, 10 x,...) increase quickly. Logarithms increase very slowly log x log 10x x x 2 exp(x) exp(10x)

12 Function Growth (Continued) log x log 10x x x 2 exp(x) exp(10x) Note: You will be learning a lot more about function growth in CS311. 2

ÈÖÓÚ Ò Ò ÁÑÔÐ Ø ÓÒ È É Ï Ö Ø ÐÓÓ Ø Û Ý ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Á È Ø Ò É ÓÖ È É Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÓ ØÝÔ Ò Ð Ó Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Ü È Üµ É Üµµ Ý ÔÔ

ÈÖÓÚ Ò Ò ÁÑÔÐ Ø ÓÒ È É Ï Ö Ø ÐÓÓ Ø Û Ý ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Á È Ø Ò É ÓÖ È É Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÓ ØÝÔ Ò Ð Ó Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Ü È Üµ É Üµµ Ý ÔÔ Å Ø Ó Ó ÈÖÓÓ ÊÙÐ Ó ÁÒ Ö Ò ¹ Ø ØÖÙØÙÖ Ó ÔÖÓÓ ÆÓÛ ËØÖ Ø ÓÖ ÓÒ ØÖÙØ Ò ÔÖÓÓ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÑÑÓÒ ÔÖÓÓ Ø Ò ÕÙ Ê ÐÐ Ø Ø Ñ ÒØ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ö ØÖÙ ÓÖ Ð º Ò Ø ÓÒ ÔÖÓÓ ÓÒÚ Ò Ò Ö ÙÑ ÒØ Ø Ø Ø Ø Ñ ÒØ ØÖÙ º ÆÓØ Ï ÒÒÓØ