Domain, Range, Inverse

Size: px

Start display at page:

Download "Domain, Range, Inverse"

Anabel Heath
5 years ago
Views:

1 Ê Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ù Ø Ó Ü º Ì Ø ÒÝ Ê Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒº Ù Ø Ó ¾ Ü Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ º ÆÓØ Ø ÓÒ Á µ ¾ Ê Û Ó Ø Ò ÛÖ Ø Ê º Ü ÑÔÐ Ò Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ È ÓÒ ÓÖ ÐÐ Ñ Òµ ¾ ÑÈÒ Ñ Ò Ú Òº ËÓ È¾ È ¹ µ È½º Ï Ò Ð Ó ÛÖ Ø ¾µ µ ½µ ¾ È º Ú ÒØ Ö ÓØ Ö Ø Ò µ Ø Ø Ö Ö Ð Ø ØÓ ¾ Ý È ÈÖÓÚ Ø Ø ÓÖ ÒÝ Ú Ò ÒØ Ö Ò ÒÈ¾º Ð Ó ÔÖÓÚ ÓÖ ÒÝ Ó ÒØ Ö Ò Ò È ¾º ÅÓÖ Ü ÑÔÐ Ò Ð µ ½

2 Domain, Range, Inverse Definition: The domain of a relation R from A to B is defined as Dom(R) = {a A b B[(a, b) R]} Definition: The range of a relation R from A to B is defined as Ran(R) = {b B a A[(a, b) R]} Example: Let A = {1, 2, 3, 4} and B = {a, b,c, d}. Then define R = {(1, a), (1, b), (4, a), (4, c)}. Therefore, Dom(R) = {1, 4} and Ran(R) = {a, b,c}. Exercise: Define R as a relation from the set [0, 1] to N such that xry (y 1 < 10x < y). What are Dom(R) and Ran(R)? Definition: The inverse of a relation R from A to B is a relation from B to A denoted as R 1 and defined as R 1 = {(b, a) B A (a, b) R} Example: Let A = {1, 2, 3, 4} and B = {a, b,c, d}. Then define R = {(1, a), (1, b), (4, a), (4, c)}. Then R 1 = {(a, 1), (b, 1), (a, 4), (c, 4)}. 1

3 Ò¹ ÖÝ Ê Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò¹ ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ø Ó ½ ¾ Ò ÓÖ Ø ½ ¾ Ò º Ü ÑÔÐ Ä Ø ½ ¾ º Ò ¹ ÖÝ ÓÖ Ø ÖÒ ÖÝµ Ö Ð Ø ÓÒ Ê ÓÒ ÓÐÐÓÛ ÓÖ ÐÐ Ü Ý Þ Ò Ü Ý Þµ ¾ Ê Ü Ý Þº ÅÓÖ Ü ÑÔÐ Ò Ð µ ¾

4 Í Ò Ö Ø Ö Ô ØÓ Ê ÔÖ ÒØ Ê Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ö Ø Ö Ô ÓÖ Ö Ô Ò ÓÖ Ö Ô Ö Î µ Û Ö Î Ø Ó Ú ÖØ Ò Î Î Ø Ó º Ï Ò Ö ÔÖ ÒØ Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ò Ø Ø Û Ø Ö Ô µ Û Ö ÓÖ Ú ÖÝ Ü Ý ¾ Ø Ö Ò ÖÖÓÛ ÓÖ Ö Ø ÖÓÑ Ü ØÓ Ý Ò ÓÒÐÝ Ü Ý º º Ü Ýµ ¾ µº Ü ÑÔÐ Ö Ô ÓÖ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ ½ ¾ º Ü ÑÔÐ Ö Ô ÓÖ Ø Ö Ð Ø ÓÒ µ µ µ ÓÒ º

5 ÈÖÓÔ ÖØ Ó Ò ÖÝ Ê Ð Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ò Ø ÓÒ ÐÓÛ Û Ö ÐÛ Ý ÓÒ Ö Ò Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ê ÓÒ ÓÑ Ø º º Ê º Ò Ø ÓÒ Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ê ÓÒ Ø Ö Ü Ú µ ¾ Ê Ð Ó ÛÖ ØØ Ò Ê µ ÓÖ ÐÐ ¾ º Ü ÑÔÐ Ì Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ñ Ö Ü Ú Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ó ÐÐ Ô ÓÔÐ º ÆÓØ Ï Ø Ò ÝÓÙ Ý ÓÙØ Ø Ö Ô Ó Ö Ü Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ê ÓÒ Ø ÖÖ Ü Ú Ê ÓÖ ÐÐ ¾ º ÆÓØ Ï Ø Ò ÝÓÙ Ý ÓÙØ Ø Ö Ô Ó Ò ÖÖ Ü Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ Ì Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ ÒÝ Ø Ó ÒÙÑ Ö ÖÖ Ü Ú Ò ÒÓ ÒÙÑ Ö Ö Ø Ö Ø Ò Ø Ð º Ü ÑÔÐ Ì Ö Ð Ø ÓÒ Ê µ µ ÓÒ ÒÓØ Ö Ü¹ Ú ÒÓÖ Ø ÖÖ Ü Ú º

6 ÈÖÓÔ ÖØ Ó Ê Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ê ÓÒ Ø ÝÑÑ ØÖ ¾ ¾ Ê Ê º Ü ÑÔÐ Ì ÐÓÓ Ö Ð Ø Ú Ó Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ó ÐÐ Ô ÓÔÐ ÝÑÑ ØÖ º ÆÓØ Ï Ø Ò ÝÓÙ Ý ÓÙØ Ø Ö Ô Ó ÝÑÑ ØÖ Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ê ÓÒ ØÖ Ò Ø Ú ÓÖ ÐÐ Ü Ý ¾ ÜÊÝ Ò ÝÊÞ Ø Ò ÜÊÞº Ü ÑÔÐ Ì ÓÒØ Ò Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ó Ð Ñ ÒØ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ ¾ ½ ¾ ØÖ Ò Ø Ú º Ü ÑÔÐ Ä Ø Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ê µ µ µ µ µ µ µ µ Ë µ µ µ µ Ì µ µ Á Ê Ö Ü Ú ÖÖ Ü Ú ÝÑÑ ØÖ ØÖ Ò Ø Ú Á Ë Ö Ü Ú ÖÖ Ü Ú ÝÑÑ ØÖ ØÖ Ò Ø Ú Á Ì Ö Ü Ú ÖÖ Ü Ú ÝÑÑ ØÖ ØÖ Ò Ø Ú

7 ÇÒ ÅÓÖ ÈÖÓÔ ÖØÝººº Ò Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ê ÓÒ Ø ÒØ ¹ ÝÑÑ ØÖ Û Ò Ú Ö µ ¾ Ê Ò µ ¾ Ê Ø Ò º Ü ÑÔÐ Ì Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ ÒØ ¹ ÝÑÑ ØÖ º ÉÙ Ø ÓÒ Ï Ø Ò ÝÓÙ Ý ÓÙØ Ø Ö Ô Ó Ò ÒØ ¹ ÝÑÑ ØÖ Ö Ð Ø ÓÒ

8 Proof Templates When proving that any given relation has a specific property, the proof will nearly always start and end in the same way. The following proof templates explain how to prove a relation has a given property. Each template is simply based on the definition of the specific property. Prove relation R on set A is reflexive. 1. Let x A (arbitrary) N. (x, x) R (or xrx) {Justification} N+1. x A[(x, x) R] {Universal Generalization} N+2. R is reflexive {Definition of Reflexive} Prove relation R on set A is irreflexive. 1. Let x A (arbitrary) N. (x, x) / R (or x Rx) {Justification} N+1. x A[(x, x) / R] {Universal Generalization} N+2. R is irreflexive {Definition of Irreflexive} Prove relation R on set A is symmetric. 1. Let x, y A (both arbitrary) 2. Assume (x, y) R (or xry) N. (y, x) R (or yrx) {Justification} N+1. x, y A[(x, y) R (y, x) R] {Universal Generalization} N+2. R is symmetric {Definition of Symmetric} 1

9 Proof Templates (continued) Prove relation R on set A is anti-symmetric. 1. Let x, y A (both arbitrary) 2. Assume (x, y) R (y, x) R) (or xry yrx) N. x = y {Justification} N+1. x, y A[(x, y) R (y, x) R x = y] {Universal Generalization} N+2. R is anti-symmetric {Definition of Anti-Symmetric} Prove relation R on set A is transitive. 1. Let x, y,z A (all arbitrary) 2. Assume (x, y) R (y, z) R) (or xry yrz) N. (x, z) R (or xrz) {Justification} N+1. x, y,z A[(x, y) R (y, z) R (x, z) R] { Generalization} N+2. R is transitive {Definition of Transitive} Note: There is nothing special about the letters R and A. These are just place-holders. Plug in whatever set and relation corresponds to the fact you are trying to prove. 2

10 Proving a Relation has a Property Exercise: Prove or disprove: The divides relation on Z + is 1. reflexive 2. irreflexive 3. symmetric 4. anti-symmetric 5. transitive 3

11 Ë Ø ÇÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ê Ð Ø ÓÒ ÆÓØ Ê Ð Ø ÓÒ Ö Ø Ó ÐÐ Ø Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÔÔÐ ØÓ Ö Ð Ø ÓÒ º Ü ÑÔÐ Ä Ø ½ ¾ Ò Ò ØÛÓ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ò Ä Ø Ê ½µ ½µ ¾µ Ò È ½µ ¾µ ½µ º Ê È ½µ ½µ ½µ ¾µ ¾µ Ê È ½µ Ê È ½µ ¾µ È Ê ¾µ ½µ Ê ¾µ ¾µ ½µ Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ò Ö Ð Ø Ú ØÓ Ø ÙÒ Ú Ö Ð Ø µ ÅÓÖ Ü ÑÔÐ Ò Ð

12 Composition of Relations Definition: Let R be a relation from A to B, and S be a relation from B to C. The composite relation from A to C, denoted S R, is defined as: S R = {(a, c) A C b B[(a, b) R (b, c) S]} Example: Let A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, C = {, #}. Let R = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, a)} and S = {(a, )}. Then S R = {(a, )} {(1, a), (1, b), (2, b), (3, a)} = {(1, ), (3, )}. Example: Let P be the set of all people, and let R be the relation is the sister of and S be the relation is the mother of. Then S R is the relation is the maternal aunt of. Example: Let P be the set of all people. Let relation R be the relation is the mother of. Then R R is the relation is the maternal grandmother of. 1

13 Results About Composite Relations Theorem: Let R be a relation from A to B, and S and T be relations from B to C. Then (S T) R = S R T R. Proof: Let (a, c) (S T) R b B[(a, b) R (b, c) (S T)] {Definition of relation composition} b B[(a, b) R ((b, c) S (b, c) T)] {Definition of union} b B[((a, b) R (b, c) S) ((a, b) R (b, c) T)] { dist. over } b B((a, b) R (b, c) S) b B((a, b) R (b, c) T) { distributes over } (a, c) S R (a, c) T R {Definition of relation composition (twice)} (a, c) S R T R {Definition of union} Therefore a A c C[(a, c) (S T) R (a, c) S R T R] {Universal Generalization (twice)} In conclusion: (S T) R = S R T R {Definition of set equality} Theorem: Let R be a relation from A to B, and S and T be relations from B to C. Then (S T) R S R T R. Note: (S T) R = S R T R is NOT true. Why? Theorem: Let R be a relation from A to B, and S is a relation from B to C, and T is a relation from C to D. Then (T S) R = T (S R) Hint: A pure equivalence proof will not work here. Two subset proofs are needed. 2

ÈÖÓÚ Ò Ò ÁÑÔÐ Ø ÓÒ È É Ï Ö Ø ÐÓÓ Ø Û Ý ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Á È Ø Ò É ÓÖ È É Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÓ ØÝÔ Ò Ð Ó Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Ü È Üµ É Üµµ Ý ÔÔ

ÈÖÓÚ Ò Ò ÁÑÔÐ Ø ÓÒ È É Ï Ö Ø ÐÓÓ Ø Û Ý ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Á È Ø Ò É ÓÖ È É Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÓ ØÝÔ Ò Ð Ó Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Ü È Üµ É Üµµ Ý ÔÔ Å Ø Ó Ó ÈÖÓÓ ÊÙÐ Ó ÁÒ Ö Ò ¹ Ø ØÖÙØÙÖ Ó ÔÖÓÓ ÆÓÛ ËØÖ Ø ÓÖ ÓÒ ØÖÙØ Ò ÔÖÓÓ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÑÑÓÒ ÔÖÓÓ Ø Ò ÕÙ Ê ÐÐ Ø Ø Ñ ÒØ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ö ØÖÙ ÓÖ Ð º Ò Ø ÓÒ ÔÖÓÓ ÓÒÚ Ò Ò Ö ÙÑ ÒØ Ø Ø Ø Ø Ñ ÒØ ØÖÙ º ÆÓØ Ï ÒÒÓØ