abc aabbcdº º (w w ) (w = w )

Size: px

Start display at page:

Download "abc aabbcdº º (w w ) (w = w )"

Donald Clark
6 years ago
Views:

1 ÂÓÙÖÒ Ð Ó Å Ò Ä ÖÒ Ò Ê Ö ¾½ ¾¼½¾ Ì ½½Ø Á Á Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù Ä ÙÖ ÒØ Å Ð Ø ÁÊÁË ¹ ÝÐ ÆÊË ÁÆË µ ² ÁÆÊÁ ¹Ê ÒÒ Ö Ò º Æ ÐÐÝ Ö ÓØ ÁÊÁË ¹ ÓÖ Ð ÆÊË ÁÆË µ Ä ÒÒ ÓÒ Ö Ò º ÔØ Ø Â Ù Ý Ä ÓÖ ØÓ Ö ÀÙ ÖØ ÙÖ Ò ÆÊËµ Ñ Ð Ø Ò Øº Ö Ö ÓØ Ò Øº Ö ÔØ Ø º Ù ÝÙÒ Ú¹ Ø¹ Ø ÒÒ º Ö ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ Ë ÒØ¹ Ø ÒÒ Ö Ò º ØÓÖ Â Ö Ý À ÒÞ ÓÐ Ò Ð À Ù Ö Ò Ì Ñ Ç Ø ØÖ Ø Ï Ò Ø ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ò ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ò Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ ÓÑÑÓÒ ØÓ Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ º Ï Ð Ó Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ º Ï Ú Ô ÖØ Ð ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ù Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Û ÐÐ ØÛÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ñº Ï ÓÛ Ø Ø Ø ÓÒ ØÖÙØ Ñ ÐÝ Ó Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ø Ð ØØ ØÖÙØÙÖ º Ï Ú ÒØ ØÓ Ù Ø ØÖÙØÙÖ Ñ Ò Ð ÖÒ Ò ÓÖ Ò Ù Ò Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ó ÛÓÖ º Ã ÝÛÓÖ Ò Ø Ð Ò Ù ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ð ÒÑ ÒØ Ð Ö ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Ø Ó ÛÓÖ Ð ØØ Ñ Ò Ð ÖÒ Ò Ð ÖÒ Ò Ý Ò ÐÓ Ýº ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÅÙ Ò ÓÒ ÓÒ Ò Ò Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ò Ñ Ò Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ ØÓ Ø Ó ÛÓÖ Û Ò Ø ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ð Ò Ø Ó ÛÓÖ º Ï Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø Ô Ô Ö Ò Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ñ ÙØ ÓÖ Ø Ò Ö ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ù ÛÓÖ º Á Ø Ö Ñ ÒÒ Ö ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø Ø Ó Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ò Ø Ø Ó Ñ Ò Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ Ú Ò Ò Ø Ø U Ó ÛÓÖ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÅÓÖ Ø Ò Ø Ø Ø Ö Ò Ð Ö Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ÐÐ Ø Ø Ó Ù ÛÓÖ Ò ÙÔ ÖÛÓÖ Ó U Ò Ò Û Ö ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÛÓÙÐ ÐÐÓÛ ØÓ Ú ÔÖ Ò Ø ÓÒ ØÓ Û Ø Ø ÛÓÖ Ó U Ö Ò ÓÛ Ø ÓÑÑÓÒ ÓÖ ÓÖ Ò º Ì Ö Ø Ô ÖØ Ó Ø Ô Ô Ö Ú Ô ÖØ Ð Ò Û Ö ØÓ Ø ÔÓ ÒØ º Ï Ò Ò Ø ÓÒ ¾ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ð ÒÑ ÒØ Û Û ÐÐ Ù ÙÐ ÓÖ ÓÙÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒº ØÙ ÐÐÝ Ò Ø ÓÒ Û Ò ØÛÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ø Ø Ð ØÓ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ð ØØ º Ï Ö Ð Ó ÒØ Ö Ø Ò ÓÛ Ø ØÖÙØÙÖ ÓÙÐ Ù ÙÐ Ò Ñ Ò Ð ÖÒ Ò º Ë Ò Û Ø ÖØ ÖÓÑ Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ Ø ÓÒÚ Ò ÒØ Ñ Ò Ð ÖÒ Ò Ö Ñ ÛÓÖ Ñ ØÓ Ö ÑÑ Ø Ð Ò Ö Ò ÖÓÑ Ò Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú ÑÔÐ Ò ÓÙÖ µº ÁØ Ñ Ø Ø Ø Ð ØØ ØÖÙØÙÖ Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ ÔØ ØÓ Ð ÖÒ Ò Ý Ò ÐÓ Ý Ò ÓÑ Ò ØÙÖ Ð Ò ÐÓ Ð ¾¼½¾ Äº Å Ð Ø Æº Ö ÓØ ² º Â Ù Ýº

2 Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ó ÖÚ Ò Ù ØÖÙØÙÖ º Ï Ú Ò Ø ÓÒ ÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÔÓ ÒØ º ¾º Å Ü Ñ Ð ËÙ ÛÓÖ Å Ò Ñ Ð ËÙÔ ÖÛÓÖ Ð ÒÑ ÒØ ¾º½º Ä Ø Σ Ò ÐÔ Ø º º Ò Ø Ø Ó Ð ØØ Ö º ÛÓÖ u ÕÙ Ò u 1...u n Ó Ð ØØ Ö Ò Σº Ì Ð Ò Ø Ó u ÒÓØ u nº Ì ÑÔØÝ ÛÓÖ Ó ÒÙÐÐ Ð Ò Ø ǫº Ð Ò Ù Ø Ó ÛÓÖ º Ù ÛÓÖ Ó ÛÓÖ u ÛÓÖ Ó Ø Ò Ý Ð Ø Ò Ð ØØ Ö Ó u Ø ÓÑ ÒÓÒ Ò Ö ÐÝ ÒØµ ÔÓ Ø ÓÒ ½ Ò uº Ï ÒÓØ u v Ø Ù Ó Ø ØÛÓ ÛÓÖ u Ò vº ÁÒ Σ Ø Ø Ó ÐÐ ÛÓÖ ÓÒ Σ Û Ù Ø ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ý (u v u Ù ÛÓÖ Ó v)º Ï Ò u Ù ÛÓÖ Ó v v ÐÐ ÙÔ ÖÛÓÖ ¾ Ó uº ÓÖ Ü ÑÔÐ ac aacdº ÛÓÖ w ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ ØÓ u Ò v Û Ò w u Ò w vº Ì ÛÓÖ w Ñ Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ ØÓ u Ò v Ø Ö Ó ÒÓØ Ü Ø ÒÝ ÓØ Ö ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ x ØÓ u Ò v Ù Ø Ø w xº ÓÖ Ü ÑÔÐ a Ò c Ö Ñ Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ ØÓ u = cada Ò v = faghc Û Ð a ÒÓÒ Ñ Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ º Ò Ò ÓÑÑÓÒ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ØÓ Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÜØ Ò ÓÒº Ñ Ò Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ ØÓ ØÛÓ ÛÓÖ Ò ØÓ ÒÓÒ ÑÔØÝ Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ Ò Ò Ò Ò ÐÓ Û Ýº ÁÒ Ô ÖØ ÐÐÝ ÓÖ Ö Ø S Ò ÒØ Ò Ù Ø Ó S ÓÑÔÓ Ó Ô ÖÛ ÒÓÑ¹ Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ º ÒÝ Ù Ø T Ó S Ò Ö Ù ØÓ Ø Ñ Ü Ñ Ð ÒØ Ò Ý Ö ÑÓÚ Ò ÖÓÑ T Ú ÖÝ Ð Ñ ÒØ Ð Ö Ø Ò ÒÓØ Ö Ð Ñ ÒØµº ¾º¾º Ð ÒÑ ÒØ ¾º¾º½º Ò Ø ÓÒ Ó Ð ÒÑ ÒØ Ò Ø ÓÒ ½ Ò Ð ÒÑ ÒØ Ò Ø Ø Ó Ô Ö (w,l) Û Ö w ÛÓÖ Ò l Ø Ó Ò ØÛ Ò ½ Ò w º Ì Ø l Ò Ù ÛÓÖ Ó w ÒÓØ w[l]º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò Ð ÒÑ ÒØ ÑÙ Ø Ø Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ ÐÐ (w,l) Ò (w,l ) ½º w[l] = w [l ] º (w w ) (w = w ) ¾º (w = w ) (l = l ) Ì Ø Ó ÛÓÖ ÓÒ Û Ø Ð ÒÑ ÒØ Ò ÐÐ Ø ÙÔÔÓÖØ Ò ÒÓØ word( ) = {w l N Û Ø (w,l) }. ÓÖ Ò ØÓ ÓÙÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÙÔÔÓÖØ Ò ÒØ Ò Ó ÛÓÖ ÓÖ º ½º ÇØ Ö Ø ÖÑ ÓÖ Ù ÛÓÖ Ö Ù ÕÙ Ò Ò Ô ÖØ Ð ÛÓÖ º ØÓÖ ÓÖ Ù ØÖ Ò Ù ÛÓÖ Ó u Ù ÐØ Ý ÓÒØ ÙÓÙ Ð ØØ Ö Ó uº ¾º ÙÔ ÖÛÓÖ Ó u Ð Ó ÐÐ ÙÔ Ö ÕÙ Ò ÑÙ Ø ÒÓØ ÓÒ Ù Û Ø ÙÔ Ö ØÖ Ò Ó u Ò Û Ø Ð ØØ Ö Ó u Ö ÓÒØ ÙÓÙ º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ u ØÓÖ Ù ØÖ Ò µ Ó ÒÝ ÙÔ Ö ØÖ Ò Ó uº Ë Ù Ð µ Ô ¼ Ò ¾ º º Ò Ð ÒÑ ÒØ Ö Ö Ð Ó Ø Ø Ö ÔÓ ÒØ Ó ÓÙÖ Ò Ø ÓÒµ ÐÐ ØÖ Ý Ï Ò Ö Ò Ö Ï Ò Ö Ò Ö µ ÓÖ ØÛÓ ÛÓÖ Ò Ø Ö Ò Ñ Ò Å Ö Å Ö µº

3 Å Ð Ø Ö ÓØ Â Ù Ý Ì Ø Ó Ò l Û ÐÐ ÐÐ Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ü Ù ÛÓÖ Ó w[l]º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ð ÒÑ ÒØ Û ÐÐ Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø Ó ÛÓÖ Ò Û ÓÑ Ð ØØ Ö Ö ÓÜ º ÓÖ Ð Ñ ÒØ (w,l) Ó Ø Ð ÒÑ ÒØ Ø ÓÜ Ð ØØ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø Ù ÛÓÖ w[l] Ð Ó ÐÐ Ø ÓÜ Ù ÛÓÖ Ó Ø Ð ÒÑ ÒØµº ÓÖ Ð Ð ØÝ Ø n ÛÓÖ Ò ÔÐ Ý Ò Ù Ñ ÒÒ Ö Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð ØØ Ö Ó w Ò Ø n ÛÓÖ Ö Ò Ø Ñ ÓÐÙÑÒº ËÓÑ Ð Ò Ò Ö ÐÝ ØÓ ÐÔ Ø Ö Ò º ÓÖ Ü ÑÔÐ a c d e g = a c e h g a h c d ÒÓØ Ø Ð ÒÑ ÒØ = {(acdeg,{1,2}),(aceh,{1,2}),(gahcd,{2,4})}º Ð Ó Û Ø ÓÙØ Ñ Ù ØÝ = ( a c deg, a c eh,g a h c d). ¾º¾º¾º ÄÓ ÐÐÝ Å Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ Ò ÄÓ ÐÐÝ Å Ü Ñ Ð ËÙ ÛÓÖ Ï Ò ÛÖ Ø Ò Ö ÐÐÝ ØÛÓ Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ W = {w 1,...,w n } Û Ø Ø Ñ ÓÜ Ù ÛÓÖ r Ò Ö ÒØ Ú Ò Ö ÒØ Ø Ó Ò Ü µº Ï ÓÙÐ Ò Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ Ø Ó Û Ó ÓÜ Ð ØØ Ö Ö Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ó W º ÀÓÛ Ú Ö ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ ÛÓÙÐ ÒÓØ Ñ Ü Ñ Ð Û Ø Ø Ò Ø ÓÒº ÓÒ Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ØÛÓ ÛÓÖ w 1 = acd Ò w 2 = dacaº Ì ÓÑÔÐ Ø Ø Ó ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ {ǫ,a,,c,a,ac,c,ac,d} Ò Ø Ö Ø Ó Ñ Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ {ac,d}º ØÙ ÐÐÝ Ø Ð ÒÑ ÒØ ( cd,dac ) ÓÑ ÓÛ Ñ Ü Ñ Ð Ò Ø ÒÓØ ÓÑÔ Ö Ð ØÓ Ø ÓÒÐÝ Ð ÒÑ ÒØ Û Ø Ø ÓÜ Ù ÛÓÖ ac Ò Ñ ÐÝ ( d,d a)º Ì Ð ØÓ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ ÓÒ Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ Ò Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ º Ò Ø ÓÒ ¾ Ò Ð ÒÑ ÒØ = {(w 1,l 1 ),...,(w n,l n )} ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ø Ö ÒÓ ÓØ Ö Ð ÒÑ ÒØ = {(w 1,l 1 ),...,(w n,l n)} ÓÒ Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ i l i l i º ÆÓØ Ø Ø Ø ÑÔØÝ Ð ÒÑ ÒØ ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ðº Ò Ø ÓÒ Ì Ø Ó ÓÜ Ù ÛÓÖ Ó Ø ØÓ ÐÐ ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ ØÛ Ò Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ W = {w 1,...,w n } ÐÐ Ø Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ØÓ W Ò ÒÓØ (W)º ÓÖ ÓÑ r (W) Ø Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ Ó Ø ØÓ r ÒÓØ A r (W)º Ï Ð Ó ÒÓØ A(W) = A r (W)º r (W) ÓÖ Ü ÑÔÐ Ð Ø Ù ÓÒ Ö W = {aac,cad} Ø Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ Ö Ú Ò Ý A a (W) = {( a ac,c a d),( a a c,c a d),(a a c,c a d)} A c (W) = {(aa c, c ad)}. Ò A(W) = A a (W) A c (W)º Ì Ò Ø Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ó W (W) = {a, c}º

4 Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù ¾º º Ä Ò Ù Ó Ø Û Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ Ò Ø ÓÒ Ä Ø w = w 1 w p ÛÓÖ ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ó ØÛÓ ÛÓÖ u Ò v Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ÔÓ Ø ÓÒ º º A w ({u,v}) = 1µº Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ò ÙÒ ÕÙ Ø Ó ØÓÖ Ó u ÒÓØ (u 1,...,u p+1 µ Ò Ò ÙÒ ÕÙ Ø Ó ØÓÖ Ó v ÒÓØ (v 1,...,v p+1 ) Ù Ø Ø u = u 1 w 1...u p w p u p+1 Ò v = v 1 w 1...v p w p v p+1 º Ï Ò L(A w ({u,v})) Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø Ð Ò Ù L(A w ({u,v})) = (u 1 v 1 )w 1 (u 2 v 2 ),...,(u p v p )w p (u p+1 v p+1 ) Ì ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó L(A w ({u,v})) ÓÛÒ Ò ÙÖ ½ Û Ø ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ö Ô ÓÒ¹ Ú ÒØ ÓÒ º u 1 w u 2 1 w u i+1 i w i w p 1 u p w p u p+1 v 1 v 2 v i+1 v p v p+1 ÙÖ ½ Ì ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó L(A w (u,v)) Û Ò A w ({u},{v}) = 1º Á A w ({u,v}) > 1 L(A w ({u,v}) Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó ÐÐ Ð Ò Ù Ó Ø Û Ø ÐÐ Ö ÒØ ÔÓ Ø ÓÒ Ó w ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ó u Ò vº Ò ÐÐÝ L(A({u,v})) Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø Ð Ò Ù L(A w ({u,v})) ÓÖ ÐÐ w ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ó u Ò vº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ Ä Ø w ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ÓÑÑÓÒ ØÓ ØÛÓ ÛÓÖ u Ò v Ò L(A w ({u,v})) ÓÒ ØÖÙØ ÓÚ º Ï Ú ½º ÐÐ ÛÓÖ Ò L(A w ({u,v})) Ö ÒÓÒ Ò Ö ÐÝ Ñ Ò Ñ Ð µ ÓÑÑÓÒ ÙÔ ÖÛÓÖ Ó u Ò vº ¾º ÓÖ ÒÝ ÛÓÖ W L(A w ({u,v})) Û Ú W + w = u + v º ÈÖÓÓ º Ä Ø Ù ÓÒ Ö W L(A w ({u,v}))º Ý Ò Ø ÓÒ Ó L(A w ({u,v})) Ø Ö Ü Ø (u 1,...,u p+1 ) Ò (v 1,...,v p+1 ) Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø Ó ØÓÖ Ó u Ò v Ù Ø Ø Ø ÛÓÖ W Ò ÛÖ ØØ Ò W = x 1 w 1...x p w p x p+1 Û Ö ÓÖ Ú ÖÝ i {1,...p+1} x i (u i v i )º ½º Ì Ö ÓÖ ÓÖ Ú ÖÝ i {1,...p+1} x i u i Ò x i v i º Ï Ø Ò Ú W u 1 w 1...u p w p u p+1 = u Ò W v 1 w 1...v p w p v p+1 = vº º Ä Ø ØÛÓ ÛÓÖ u = aca Ò v = aac Ø Ó Ø Ð ÒÑ ÒØ ( ca, a c) ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ðº Ì Ð Ò Ù L(A a ({u,v}) ÓÒØ Ò Ø Ð Ò Ù aaca( c) Ò Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÛÓÖ w = acacº Ì ÛÓÖ w = acac ÒÓØ Ö ÙÔ ÖÛÓÖ Ó u Ò v Ò w wº Ì Ù w ÒÓØ Ò ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ Ó u Ò vº º ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø ÖØ ÓÒ Ð Ø LCS(u,v) ÐÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ ØÓu Ò v Ò SCS(u,v) ÓÖØ Ø ÓÑÑÓÒ ÙÔ ÖÛÓÖ ØÓ u Ò vº Ì Ò Û Ú LCS(u,v) + SCS(u,v) = u + v º

5 Å Ð Ø Ö ÓØ Â Ù Ý ¾º W = x 1 + w x p + w p + x p+1 p+1 = w + x i = w + i=1 p+1 ( u i + v i ) i=1 = w +( u w])+( v w ) = u + v w. ¾º º ÓÒ ØÖÙØ Ú Ð ÓÖ Ø Ñ Ï Ú Ú Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ù Ò Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ A ({u,v}) Û Ü ØÐÝ Ö Ó ¹ Ò Þ Ø Ð Ò Ù ({u,v}) Ø Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ÓÑÑÓÒ ØÓ ØÛÓ ÛÓÖ u Ò v Ù ØÓ Ð Ó Ô Û Ó ÒÓØ Ö Ø Ö º ÁØ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò ÔÖÓÓ Ó ÓÖÖ ØÒ Ö Ú Ò Ò Å Ð Ø Ø Ðº ¾¼½¾µº ÁØ ÓÒ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ò ¾¹ ÖÖ Ý ÔÐ Ý Ò Û Ð ØØ Ö Ö ÓÑÑÓÒ ØÓ ØÛÓ ÛÓÖ ÒØÓ Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ö Ó Ò Þ Ò (u,v) Ò Ü ÑÔÐ ÓÒ ÙÖ ¾ µµº ËØ ÖØ Ò ÖÓÑ A ({u,v}) Ø Ø Ò ÑÔÐ ØÓ ÔÖÓ Ù Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ø Ø Û ÐÐ A ({u,v}) Û Ü ØÐÝ Ö Ó Ò Þ Ø Ð Ò Ù L(A({u,v})) Ð Ó ÒÓØ ({u,v})µº Ï ÔÐ Ý Ò Ü ÑÔÐ Ø ÙÖ ¾ µº x ǫ x a a ǫ a a y ǫ y z ǫ ǫ z t u a v w µ Ò ÙØÓÑ ØÓÒ Û Ö Ó Ò Þ Ø Ð Ò Ù (r,s)º Ï Ú r = zyax Ò s = tuavw a Ò Ö Ð ØØ Ö Û Ð t u v w x y Ò z Ö ØÓÖ ÓÒ Σ\{a,}º t u a v w µ Ò ÙØÓÑ ØÓÒ Û Ö Ó Ò Þ (r,s) = (z t)(u y)a(vw x) (tuav z)(w yax)º Ö Ø Ò Ð ÓÐ ÓÖ Ø Ù Ó Ø ØÓÖ ÓÒ Ø ÙÖ ¾ ÌÛÓ ÙØÓÑ Ø Ù ÐØ ÓÒ ØÛÓ ÒØ Ò º º ÇÖ Ö Ê Ð Ø ÓÒ Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ð ÒÑ ÒØ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÐÝ Ó Ð ÒÑ ÒØ Ò Û Û ÒØ ØÓ Ö Û Ø Ú Ò ÓÑÑÓÒ Ø Ù ÛÓÖ Ò ÙÔ ÖÛÓÖ Ó Ò Ø Ø U Ó ÒØ Ò º Ï Û ÐÐ ÓÒ Ö Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ U º º Ð ÒÑ ÒØ Û Ø ÙÔÔÓÖØ Û Ù Ø Ó Uº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û Û ÐÐ ÙÑ Ø Ø U Ò ÒØ Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ º

6 Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù º½º ÇÖ Ö Ê Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÇÖ Ö ÓÒ Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Uµ Ú Ò ØÛÓ Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ U = {(w 1,l 1 ),..., (w n,l n )} Ò = {(w 1,l 1 ),...,(w m,l m )} Û ÛÖ Ø ÓÖ ÐÐ i (1,n) Ø Ü Ø j (1,m) Ù Ø Ø ½º w i = w j ¾º l j l i Ì Ö ÓÖ Ø Ò word( ) word( )º ÁØ Ý ØÓ Ø Ø Ô ÖØ Ð ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ò Ø Ø Ø ÑÔØÝ Ð ÒÑ ÒØ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ú ÖÝ ÓØ Ö Ð ÒÑ ÒØº Ò Ø ÓÒ ÀÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ µ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø ÒÓÒ ÑÔØÝ Ò ÐÐ Ø Ð Ñ ÒØ Ú Ø Ñ ÙÔÔÓÖØº Ì Ñ ÐÝ Ó ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ ÒÓØ A H º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ð Ò Ø Ò Ø ÓÒ Û Ø Ò Ø ÓÒ Û Ò ÒÓØ Ø Ø ÓÖ ÒÝ Ù Ø W Ó U A(W) A H º Ò Ø ÓÒ ÇÖ Ö ÓÒ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Uµ Ä Ø A Ò B ØÛÓ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ º Ï Ú A B ÓÖ ÐÐ B Ø Ö A Ù Ø Ø º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ô ÖØ Ð ÓÖ Ö ÓÒ A H Ò Ø Ñ ÐÐ Ø Ð Ñ ÒØ { }º ÈÖÓÓ º Ê Ü Ú ØÝ Ò ØÖ Ò Ø Ú ØÝ Ö ÑÑ Ø º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ø ÒØ ÝÑÑ ØÖÝ Ð Ø Ù ÓÒ Ö ØÛÓ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ ÒÓØ A Ò B Ù Ø Ø A B Ò B Aº Ë Ò A Ò B Ö ÓÑÓ Ò ÓÙ ÐÐ Ð ÒÑ ÒØ Ò A Ú Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ ÒÓØ word(a) Ò Ø Ñ ÓÐ ÓÖ B Û Ø Ø ÙÔÔÓÖØ ÒÓØ word(b)º ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Û ÐÝ Ø Ø word(a) = word(b)º Ä Ø Ù ÓÒ Ö 1 = {(w 1,l 1),...,(w n,l n)} B Ò A B Ò B A Ø Ü Ø A Ò 2 B Ù Ø Ø 1 Ò 2 º Ý ØÖ Ò Ø Ú ØÝ Û Ú 2 1 º Ø Ð Ø 1 Ò 2 Ú Ò Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ Ò Ò ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ø ÑÔÐ Ø Ø 1 = 2 Ò Ø Ò Bº À Ò A Bº Ë Ñ Ð ÖÐÝ Û Ò Ø Ø B Aº º¾º Ò Ø ÓÒ Ò ÈÖÓÔ ÖØ Ó Ò Ø ÓÒ Ä Ø A r ({u 1,,u n }) Ò A s ({v 1,,v m }) Û Ö = {(u 1,l 1 ),..., (u n,l n )} Ò = {(v 1,l 1 ),...,(v m,l m )}º Ö ØÐÝ Û ÓÒ ØÖÙØ + Ø Ò Ø Ø Ó Ð Ò¹ Ñ ÒØ = {(w 1,L 1 ),...,(w p,l p )} Ù Ø Ø ½º {w 1,...,w p } = word( ) word( ) ¾º ÓÖ ÐÐ (i,k) (w k = u i ) Ø Ò (L k l i ) º ÓÖ ÐÐ (j,k) (w k = v j ) Ø Ò (L k l j )

7 Å Ð Ø Ö ÓØ Â Ù Ý Ë ÓÒ ÐÝ Û ÒÓØ Ø Ø Ó Ñ Ò Ñ Ð Ð Ñ ÒØ Ó + ÓÖ Ò ØÓ º ÓÒ ÕÙ Ò ({r,s}) Ø Ò Ø ÓÜ ÛÓÖ Ò + Ù ÛÓÖ Ó r Ò s Ð ÒÓ Ð ØØ Ö ÓÜ Ò º ÁÒ Ø ÓÒ Ø ÙÔÔÓÖØ Ó Ò ÓÒØ Ò Ò ÒØ Ð ÛÓÖ u i = v j Ù Ø Ø l i l j = ÒÓ Ð ØØ Ö Ø Ò ÓÜ Ò º Ì ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÜØ Ò ØÓ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ¹ Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ Ä Ø A Ò B ØÛÓ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ º Ï Ò A B Ø Ø Ó Ø Ñ Ò Ñ Ð Ð Ñ ÒØ Ó A+B ÓÖ Ò ØÓ Û Ö A+B = ( + ) B A ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ì ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÒØ ÖÒ Ð ØÓ A H ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò ÑÔÓØ ÒØº ÈÖÓÓ º Ä Ø Ù ÓÒ Ö A A H Ò B A H º ½º ÐÐ Ø Ð ÒÑ ÒØ Ò A B Ö ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ý Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ Ò Ñ ÐÝ word(a) word(b)º ¾º Ì ÓÑÑÙØ Ø Ú ØÝ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º º Ä Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ó A Ø ÑÑ Ø Ø Ø ( + ) A+Aº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò A A H ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ Ò Ó A Aº ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ A A Aº Ê ÔÖÓ ÐÐÝ Ð Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ó A Aº Ì Ò Ø Ü Ø ÓÙÔÐ (, ) A 2 Ù Ø Ø + º Ë Ò A A H Ò word() = word( ) word( ) Ò Ú Ø Ñ ÙÔÔÓÖØº ÅÓÖ ÓÚ Ö ÖÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ò º Ò Ñ Ò Ñ Ð Ð Ñ ÒØ Ó A + A ÓÖ Ò ØÓ Ò a Ò ÐÓÒ Ò ØÓ A+A Ø ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø = = º Ø Ð Ø Aº À Ò A A Aº Ø Ò ÑÔÓØ ÒØ ÓÒ A H º º º ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ò Ø ÓÒ ½¼ Ä Ø A r ({u 1,,u n }) Ò A s ({v 1,,v m }) Û Ö = {(u 1,l 1 ),..., (u n,l n )} Ò = {(v 1,l 1 ),...,(v m,l m )}º Ï ÓÒ ØÖÙØ Ø Ò Ø Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ = {(w 1,L 1 ),...,(w p,l p )} Ù Ø Ø ½º {w 1,...,w p } = word( ) word( ) ¾º Ø Ö ÓÖ ÐÐ (i,k) Ù Ø Ø w k = u i Û Ú l i L k ÓÖ ÓÖ ÐÐ (j,k) Ù Ø Ø w k = v j Û Ú l j L kº º ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØº Ò Ð ÒÑ ÒØ Ò Ø Ù Ø Ö ÓÒ Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó ØÓ Ø ÙÔÔÓÖØ word( ) word( ) ÓÖ ÓÒ Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó ØÓ Ø Ñ ÙÔÔÓÖØº ÓÖ Ò Ø Ò = {( cd,a c, a)} Ò = {(a d,aa, a)} Ø Ò = {( d, a ),( d,a )}º Ò Ø ÓÒ ½½ A B = ( ) B A ½ ¼

8 Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ì ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÒØ ÖÒ Ð ØÓ A H ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò ÑÔÓØ ÒØº ÈÖÓÓ º Ì ÓÑÑÙØ Ø Ú ØÝ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ò Ø ÓÒ ½¼ ÝÑ ØÖ ÛÖØ Ò µº ÓÖ ÑÔÓØ Ò Û Ù Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ò Ø ÓÒµ Ø Ø Ò Ö ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ Ø Ò = {, }º Ä Ø Ù ÓÒ Ö A A H A Ø Ò ( ) (A A) Ò Ø Ö ÓÖ A A Aº Á A A Ø Ò Ø Ö Ü Ø (, ) A 2 Ù Ø Ø º Ë Ò Ò Ú Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ Ø Ö = ÓÖ = Ø Ö ÓÖ A Ò A A Aº º º ËØÖÙØÙÖ Ó ÀÓÑÓ Ò ÓÙ Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ U Ï Ò sup (A,B) Ø Ñ Ò Ñ Ð Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ð Ö Ö Ø Ò A Ò B Ø Ü Ø µ ÓÖ Ò ØÓ º Ë Ñ Ð ÖÐÝ inf (A,B) Ø Ñ Ü Ñ Ð Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò A Ò Bº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ä Ø A Ò B Ò Ø ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ º Ì Ò sup (A,B) Ü Ø Ò ÈÖÓÓ º sup(a,b) = A B Ö Ø Û ÓÛ Ø Ø A B Ö Ø Ö Ø Ò A Ò B ÓÖ º Ä Ø A Bº Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø Ö Ü Ø A Ò B Ù Ø Ø + º Ý Ø Ö Ø Ø Ñ Ó Ò Ø ÓÒ word( ) word() Ò Ý Ø ØÛÓ ÓØ Ö Ø Ñ Û Ò ÓÒÐÙ Ø Ø º Ì Ù ÓÖ Ú ÖÝ C Ø Ö a A Ù Ø Ø º Ì Ù A A B Ò B A Bº Ä Ø C Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ö Ø Ö Ø Ò A Ò B Ò Ð Ø Cº Ì Ö Ö A Ò B Ù Ø Ø Ò º Ï Ò ØÓ Ò A B Ù Ø Ø º Ê ÑÓÚ ÖÓÑ Ø ÙÔÔÓÖØ Ó ÐÐ ÛÓÖ ÒÓØ Ò Ø ÙÔÔÓÖØ Ó ÓÖ º Ì Ó Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ Ñ Ý ÒÓØ ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ó Û ÑÓÖ ÓÜ Ð ØØ Ö ØÓ Ñ Ø ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ðº Ì Ö ÙÐØ Ð ÒÑ ÒØ Ø ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÓÒ Ø Ù A B C Ò Ø Ö ÓÖ sup (A,B) = A Bº Ì Ö ÒÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ò inf ÓÖ ÐÐ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Û ÑÙ Ø Ö ØÖ Ø ØÓ Ø Ó ÐÐ Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ú Ò Ø Ó ÛÓÖ º Ò Ø ÓÒ ½¾ Á U Ò Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó ÛÓÖ Ï Ò Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ð Ò¹ Ñ ÒØ A(U) = {A(V) V U}º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ä Ø A Ò B Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ò A(U)º Ì Ò Ò A(U) inf (A,B) Ü Ø Ò ÈÖÓÓ º inf(a,b) = A B Ö Ø Û ÓÛ Ø Ø A = A(V) Ò B = A(W) Û Ø V U Ò W U Ø Ò A B = A(W V)º Ä Ø A Bº ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Ø ÙÔÔÓÖØ word(a) word(b) = W V Ø Ù A(W V)º Ä Ø A(W V)º Ä Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ W Ù Ø Ø a Ø Ò Ó Ø Ò ÖÓÑ A Ù Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó A B Ò A Bº ½ ½

9 Å Ð Ø Ö ÓØ Â Ù Ý Ä Ø C A(U) Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò A Ò Bº Ï ÓÛ Ø Ø C Ñ ÐÐ Ö Ø Ò A Bº ËÓÑ Ð ÒÑ ÒØ Ó C Ö Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ Ó A Ò ÓØ Ö Ö Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ Ó Bº Ë Ò C ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø ÙÔÔÓÖØ word(c) ÑÙ Ø ÒÐÙ Ò word(a) word(b) Ò Ò C = A(T) ÓÖ ÓÑ T U Ø Ò T V W º Ì Ö ÓÖ A(T) A(V W) Û Ü ØÐÝ C A Bº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ä Ø U = {u 1,u 2,,u n } Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö ÒØ ÖÒ Ð ØÓ Uº ÈÖÓÓ º ÓÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ò Ø ÓÒº ÓÖ Ø ÒÓØ ÙÐØ ØÓ Ø ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ Ó º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ä Ø U = {u 1,u 2,,u n } Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ ÒØ Ò ÓÖ º Ì Ò U = (A(U),, ) Ð ØØ º Ì Ð ØØ ØÓ Ù ÐØ ÓÒ Ø Ò Ø Ð Ò Ù Uº ÈÖÓÓ º Ì Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ø Ö ÔÖ Ú ÓÙ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ º º Ä ØØ Ó Ð ÒÑ ÒØ Ò Ä ÖÒ Ò Ý Ò ÐÓ Ý Ì Ø ÓÒ ÒØ Ò ØÓ Ú ÓÑ ÒØ ÓÒ ÓÛ Ø Ð ØØ ØÖÙØÙÖ Ø Ø Û Ú ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ù U Ò Ù Ò Ñ Ò Ð ÖÒ Ò º ØÙ ÐÐÝ Ø Ð ÒÑ ÒØ Ò Ø Ð ØØ Ö Ø Ò ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ñ ÒÒ Ö Û Ø Ù Ø Ó ÒØ Ò Ö Ò Ø ÖÑ Ó Ù ÕÙ Ò º À Ò Ö Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÙÐ ØÓ Ñ Ò Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ò Ò Ø ÓÖ Ò Ò Ø Ð Ò Ù ÜÔÖ ÒØ Ò ÓÒÒ ÐÐÝµ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ÓÖ Ó U Ò Ð ØÓ Ú Ñ ÙÖ Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÓØ Ö ÛÓÖ Ó Σ ØÓ Uº Ö ØÐÝ Û Ú ÓÑ ÕÙ Ò Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÔØ Ó Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ÛÓÖ º Ì Ò Û Û ÐÐ Ú Ò Ø ÓÒ Ò Ö ÙÐØ ÓÒ Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ð ØØ º Ò ÐÐÝ Û Û ÐÐ Ú ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ Ö ÙÐØ Ò ÓÒ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ñ Ò Ð ÖÒ Ò Ý Ò ÐÓ Ý ØÓ Ø ÜØ Ò ÓÒ Ó U ÓÖ Ò ØÓ Ø Ð ØØ Uº º½º Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ½ Ü ÓÑ Ó Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒµ Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÓÒ Ø E Ù Ø Ó E 4 Ò ÕÙ Ø ÖÒ ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒµ Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ ¹ØÙÔÐ A B C Ø D Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÓÖ Ö ÒÓØ :: µ :: :: :: ÓÖ Ú ÖÝ ¾¹ØÙÔÐ ÓÒ Ø ØÖ Ú Ð Ò ÐÓ Ý :: :: º¾º Ò ÐÓ Ð ÈÖÓÔÓÖØ ÓÒ ØÛ Ò ÏÓÖ ÓÖ Ò ØÓ ËØÖÓÔÔ Ò ÚÓÒ ¾¼¼ µ Ò Ö Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÓÒ¹ ÓÖÑ ØÓ Ø Ü ÓÑ Ò Ú Ò Ò Ñ ÒÝ Ö ÒØ Ø Ò ØÓ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ØÓÖ Þ Ø ÓÒº Ï ÓÛ Ö ÓÛ Ø ÔÔÐ Ò Σ Ò Û Û ÐÐ ÓÑ Ð Ø Ö ØÓ Ø Ù Ò Ò Ö Ð Ð ØØ º ½ ¾

10 Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù Ò Ø ÓÒ ½ Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ØÛ Ò ÛÓÖ ºµ (x,y,z,t) Σ Ö Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Û ÒÓØ x : y : z : t Ò ÓÒÐÝ Ø Ö Ü Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö n Ò ØÛÓ Ø Ó ÛÓÖ (α i ) i {1,n} Ò (β i ) i {1,n} Σ Ù Ø Ø x = α 1...α n, t = β 1...β n, y = α 1 β 2 α 3...α n, z = β 1 α 2 β 3...β n x = α 1...α n, t = β 1...β n, y = β 1 α 2 β 3...α n, z = α 1 β 2 α 3...β n Ò i {1,n}, α i β i ǫº Ü ÑÔÐ º Ö ÔØ ÓÒ Ö Ø ÓÒ :: ÔØ Ú Ø Ú Ò Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ØÛ Ò ÛÓÖ Û Ø n = 3 Ò Ø ØÓÖ α 1 = re α 2 = cept α 3 = ion β 1 = de β 2 = fect β 3 = iveº Ì ÙØ ÓÖ Ú ÓÛÒ Ø Ø Ø Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÓÖÑ ØÓ Ø Ü ÓÑ º Ì Ö Ü Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Û Ú Ò Ò Å Ð Ø Ø Ðº ¾¼¼ µ Û Ø Ø Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ú Ö Ø Ü ÓÑ Û ÐÐº Ò Ø ÓÒ ½ Ä Ø u v w Ò x ÓÙÖ ÛÓÖ Ò Σ º Ï ÙÑ Ø Ø Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò ÓÒ Σº Ï ÜØ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ Σ ǫ = Σ {ǫ} Ò Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ a : ǫ :: a : ǫ ÓÖ ÐÐ a Σº Ì Ò u v w Ò x Ö Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Σ Ø Ö Ü Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ ØÛ Ò Ø ÓÙÖ ÛÓÖ Ù Ø Ø Ú ÖÝ ÓÐÙÑÒ Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Σ ǫ º ÓÖ Ü ÑÔÐ º Ä Ø Σ = {a,,c,a,b,c} Ò ÐÔ Ø Û Ø Ø ÒÓÒ ØÖ Ú Ð Ò ÐÓ Ð ÔÖÓ¹ ÔÓÖØ ÓÒ :: :: Ò :: Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÒÑ ÒØ ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Σ ØÛ Ò Ø ÓÙÖ ÛÓÖ CaCA CaBA ac Ò aº C C C B c A A Ä Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ò Ø ÓÒ º Ì ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ù Ò Ð ÒÑ ÒØ ÓÛÒ ØÓ ÑÔÐÝ Ø Ö Ø ÓÒ ÒÓØ Ø Ö Ú Ö µº ÀÓÛ Ú Ö ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÑÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ø ÓÒ Ð ØÓ ÓÑÔÐ Ø ÕÙ Ú Ð Ò À Ò ¾¼½½µº º º Ò ÐÓ Ð ÈÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ä ØØ Í Ò Ø ØÓÖ Þ Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ Ø ÙØ ÓÖ Ó ËØÖÓÔÔ Ò ÚÓÒ ¾¼¼ µ Ú ÓÙÒ Ø Ø Ò Ö Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ú Ò Ò Ð ØØ º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ø Ò Ø ÓÒ Ø Ý Ú Ú Ò Û ÙÒÓÑÔÐ Ø º Ï Ú Ö Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ º Ò Ø ÓÒ ½ ÓÖ ÓÙÖ Ð Ñ ÒØ (x,y,z,t) (L,, ) 4 Ø Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÒÓØ (x : y :: z : t) ØÖÙ Ò ÓÒÐÝ x = (x y) (x z) Ò y = (x y) (t y) Ò x = (x y) (x z) y = (x y) (t y) z = (t z) (x z) Ò t = (t z) (t y) t = (t z) (t y) Ò z = (t z) (x z) ÑÔÐ Ü ÑÔÐ Ó ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ð ØØ Ú Ò Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ º Àº ÈÖ Ò Äº Å Ð Ø Ô Ö ÓÒÒ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒº ½

11 Å Ð Ø Ö ÓØ Â Ù Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ä Ø y Ò z ØÛÓ Ð Ñ ÒØ Ó Ð ØØ º ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÓÐ (y : y z :: y z : z) Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÐÓ Ð º º Ä ÖÒ Ò ÖÓÑ U Ø Ö Ú Ò Ú Ò Ø Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Û Ú ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ Ö Ö Ñ Ö Ò ÒØ ÓÒ ÖÒ Ò ÓÑ ÔÓ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø ÛÓÖ ØÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ú Ñ Ò Ð ÖÒ Ò Ò ÓÒÒ Ü ÓÒ Û Ø Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ð ØØ ØÖÙØÙÖ º Ö ØÐÝ Û Ò ÒÚ Ø Ø Ò Ø ÓÒÒ Ü ÓÒ ØÛ Ò ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ò Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ö Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ý ØÓ ÓÛ ÖÓÑ ¹ Ò Ø ÓÒ ½ Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¼ t L(A w ({u,v})), w (u,v) Ù Ø Ø w (u,v), t L(A w ({u,v})), Ù Ø Ø t : u :: v : w t : u :: v : w Ì u = aca Ò v = aac Û Ø Ø Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ y = aº Ì Ð ÒÑ ÒØ ( a ca, a a c) ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ðº Ì Ð Ò Ù L(A a ({u,v}) ÓÒØ Ò Ø ÛÓÖ w = aacacº ÁÒ Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Ò Ó ÖÚ Ø Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Û Ù :: Ú Ý a a c a c a c a a a c a ÀÓÛ Ú Ö Û Ø Û Ö Ö ÐÐÝ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ Ò ÓÛ Ù Ò Ø Ð ØØ U Ò Ø Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØ ØÓ Ò Ö Ð Þ Uº ÓÒ Ö Ñ Ö Û ÒÓØ Ø Ø ÒÝ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ A Ò U Ö ÔÖ ÒØ Ò ÒØ Ò ÓÒ Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ù (A) Ð Ó ÛÖ ØØ Ò L(A(U)) Ò Ø Ø ÓÒ ¾º Ò ¾º º Ï Ò Ð Ó ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø Ò Ø ÓÒ ¾º Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ò ÒØ Ò ÓÒ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ò Ù Û Ø Ø ÝÒØ Ø Ò ÐÝ Ð ØÝº Ì Ö ÓÖ Û Ú ÔÓØ ÒØ ÐÐÝ Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð Ð ØØ Ó Ò Ø ÙØÓÑ Ø Ò ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ð ØØ Ó Ù Ø Ó U ÙØÓÑ ØÓÒ Ö Ó Ò Þ Ò Ø Ð Ò Ù Û Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ø ÙÔÔÓÖØ Ø Ð Ù Ø Ó Uº Ï ÒÓØ Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ Ö Ú ÖÓÑ Ø Ù ÛÓÖ Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ý M N m M, n N Ù Ø Ø m nº ÓÖ Ü ÑÔÐ {a,c} {acd,e}º Ì Ö Ò Ô ÖØ Ð ÒÐÙ ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ð Ò Ù Ö Ó Ò Þ Ý Ø Ð ØØ Ó ÙØÓÑ Ø ÓÑÔ Ø Ð Û Ø Ø Ø Ó Ø Ù Ø Ò Ø ÓÐ¹ ÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ ÓÐ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½ ÓÖ ÒÝ Ù Ø J Ò K Ó U Ø Ø Ö ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ L(A(J)) L(A(K)) J K Ò (K) (J)º ÆÓØ Ø Ø Ø ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ó Ù Ð ØØ Ó ÙØÓÑ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ü ÑÔÐ Ø Ó Ø ÒØ Ò Ø ÙØÓÑ Ø Ò Ö Ò Ð À Ù Ö ¾¼½¼µº Ì ÓÙÐ ÓÒ ÓÖ Ø Ù Ó ÓÙÖ Ð ØØ Ò Ñ Ò Ð ÖÒ Ò º

12 Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù ÒÓØ Ö Ø Ö ØÓ ÓÐÐÓÛ ÓÙÐ Ø Ó Ò ÐÓ Ð ÐÓ ÙÖ Ó Ò Ø Ð Ò Ù Ö Ò Ä Ô ¾¼¼ µ Ò Ø Ø Ó Ò ÐÓ Ð Ò Ö Ø ÓÒ ÝÓÙ Ø Ðº ¾¼¼ µº ÁÒ ÓØ ØÖ ÔÐ Ó ÛÓÖ Ö Ø Ò Ò Ø Ð ÖÒ Ò ÑÔÐ Ò ÓÙØ ÒØ Ò Ò Ö Ø ÙÒ Ö Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø Ø ÓÙÖ ÒØ Ò Ö Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒº ÁØ ÒÓØ Ý Ø Ð Ö ØÓ Ø ÙØ ÓÖ ÓÛ Ø Ø Ò ÕÙ Ò ÓÑ Ò Û Ø Ø Ð ØØ ØÖÙØÙÖ ÙØ Ø ÓÙÐ ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ö Ó Ñ Ò Ð ÖÒ Ò ÓÒ Ø Ó ÓÖÑ Ð ÓÒ ÔØ Ò ÃÙÞÒ Ø ÓÚ ¾¼¼½µº ÁÒ Ø ÓÒ ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ö ÒØ ÓÒ ÔØ Ó ØÖ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ã ÔÖÞ Ò Ã ØÞ Ò ¾¼½¼µ Ú Ò Ù Ø ØÓ Ø ÙØ ÓÖ Ò Ø Ñ Ò ÒØ Ö Ø Ò ØÖ ØÓ ÓÐÐÓÛº º ÓÒÐÙ ÓÒ Ò Ð Ó Ö Ô Ð ÓÑÑ ÒØ Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò ÓÒ ÐÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ Ù ÕÙ Ò Ù ÛÓÖ µ ÓÖ ÓÒ ÓÖØ Ø ÓÑÑÓÒ ÙÔ Ö ÕÙ Ò ÙÔ ÖÛÓÖ µ ØÓ ØÛÓ ÓÖ ÑÓÖ ÛÓÖ Ò Û ÐÐ ÓÚ Ö º º Ù Ð µ ÔÔ ¾ ¹¾ Ò ¼ ÁÖÚ Ò Ò Ö Ö ¾µµº ÀÓÛ Ú Ö ØÓ Ø Ø Ó ÓÙÖ ÒÓÛÐ¹ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ò ÒØ ÒØ ÓÒ Ð Ò Ø ÓÒ ØÓ Ø Ø Ó Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ò Ñ Ò Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ Ó Ø Ó ÛÓÖ ÒÓØ Ò ÜÔÐÓÖ Ý Øº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú Ö Ø Ö Þ Ú Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ð ØØ Ó Ð ÒÑ ÒØ Ø ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó Ñ Ò Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ Ò Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ÖÓÑ Ø Ó ÛÓÖ º Ï Ú ÒÓØ ÛÓÖ Ý Ø Ò Ø Ö ÓÒ Ø Ø ÓÖ Ø Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø Ð ØØ Ó Ð ÒÑ ÒØ ÒÓÖ ÓÒ Ø ÔÖ Ø Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ï Ú Ð Ó Ú Ò ÒØ ÓÒ Ù Ò Ø Ð ØØ ÓÖ Ø Ð ÖÒ Ò Ó ÒØ Ò ÓÒ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ù Ò Ö Ð Þ Ò Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ º ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ö ÙÐØ ÓÑ Ø Ñ Ñ ÒØ ÖÔÖ Ø µ Ú Ò Ý Å Ö Å Ö µ Û Ó ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ø Ø Ý»ÒÓ ÐÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ Ù ÕÙ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ý»ÒÓ ÓÖØ Ø ÓÑÑÓÒ ÙÔ Ö ÕÙ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÆÈ¹ÓÑÔÐ Ø ÓÖ ÐÔ Ø Ó Ù ÒØ Þ º ÁØ Ð Ó ØÖÙ Ø Ø Ò Ò Ø Ð Ò Ø Ó ÓÖØ Ø ÐÓÒ Øµ ÙÔ Ö Ù µ ÕÙ Ò ÓÑÑÓÒ ØÓ Ø Ó k ÕÙ Ò Ò O(m 1...m k ) ÓÑÔ Ö ÓÒ Û Ø m i Ø Þ Ó Ø i¹ø Ó Ø k ÕÙ Ò Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò kº Ì ÛÓÖ Ó Ö Ö Ò ÁÖÚ Ò Ö Ö Ø Ðº µ Ú ÔÖÓ Ù Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ò Ø ÐÓÒ Ø Ñ Ò Ñ Ð ÓÑÑÓÒ ÙÔ Ö ÕÙ Ò ÙÔ ÖÛÓÖ µ Ò Ø ÓÖØ Ø Ñ Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÕÙ Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ º ËØÖÓÔÔ Ò ÚÓÒ ¾¼¼ µ Ú Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ØÛ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ó Û Ø Ò Ð ØØ Ø Ø Û Ú ÓÑÔÐ Ø Ò Ø Ò Ò Ø ÓÒ ½ º Ö Û ÒÓÛ Ø Ö Ø ÓÒÐÝ ÒÚ Ø Ø ÓÒ ÓÙØ Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ø Ð ØØ º Å Ò Ð ÖÒ Ò Û Ø Ø ÐÔ Ó Ð ØØ ØÖÙØÙÖ Ö ØÐÝ ÒÚ Ø Ø Ò Å Ø ÐÐ µº Ê Ö Ò ÓÒ ÛÓÖ ÓÒ Ð ÖÒ Ò Û Ø ÐÓ Ð ØØ Ò ÓÙÒ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò ÃÙÞÒ Ø ÓÚ ¾¼¼½µº Ì Ó Ò Ø Ú Ô Ø Ó Ö ÓÒ Ò Ò Ð ÖÒ Ò Ý Ò ÐÓ Ý Ò ÓÙÒ Ò ÒØÒ Ö Ø Ðº µº Å Ø Ó ÓÐÓ Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ð ÖÒ Ò Ý Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò ÓÙÒ Ò Å Ð Ø Ø Ðº ¾¼¼ µº Ä ÖÒ Ò ÒØ Ò ÓÒ Ð ÜÔÖ ÓÒ Ó Ð Ò ÖÓÑ ÛÓÖ Ø Ñ ØØ Ö Ó Ö ÑÑ Ø Ð ÁÒ Ö Ò Ð À Ù Ö ¾¼½¼µº Ì ÙØ ÓÖ Û ÒØ ØÓ Ø Ò Ø ÒÓÒÝÑÓÙ Ö Ú Û Ö ÓÖ Ø Ö ÐÔº

13 Å Ð Ø Ö ÓØ Â Ù Ý Ê Ö Ò Ëº ÝÓÙ Àº ÅÓÙ Ö Äº Å Ð Ø Ò º ÒÕÙ Ø Ðº Ä ÖÒ Ò Ð Ö Û Ø Ú ÖÝ Û Ü ÑÔÐ Ò ÐÓ Ý Ò ÒÓÛÐ Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ò Û Ü ÑÔÐ ÓÖ Ö Ø Ö Ö Ó Ò Ø ÓÒº ÁÒ ÙÖÓÔ Ò ÓÒ Ö Ò ÓÒ Å Ò Ä ÖÒ Ò ËÔÖ Ò Ö ÄÆ Á ¼½ ¾¼¼ º º Ð À Ù Ö º Ö ÑÑ Ø Ð ÁÒ Ö Ò º Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼½¼º º Ö Ö Êº ÁÖÚ Ò Ò Åº Å Ò ÓÖ º Å Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÕÙ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ð ÓÑÑÓÒ ÙÔ Ö ÕÙ Ò º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ½¾ ½ º º ÒØÒ Ö Ãº ÀÓÐÝÓ Ò º ÃÓ ÒÓÚ ØÓÖ µº Ì Ò ÐÓ Ð Å Ò È Ö Ô Ø Ú ÖÓÑ Ó Ò Ø Ú Ë Ò º ÅÁÌ ÈÖ º º Ù Ð º Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ËØÖ Ò ÌÖ Ò Ë ÕÙ Ò º Ñ Ö ÍÒ Úº ÈÖ º º Ò À Ò º ÔÔÖ ÒØ Ô Ö Ò ÐÓ ØÖÙØÙÖ ³ Ö Ö º È Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ê ÒÒ ½ ¾¼½½º Êº ÁÖÚ Ò Ò º Ö Öº ÌÛÓ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÐÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ Ù ÕÙ Ò Ó Ø Ö Ò ÑÓÖ µ ØÖ Ò º ÁÒ ÈÖÓº Ö ËÝÑÔº ÓÒ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð È ØØ ÖÒ Å Ø Ò º ËÔÖ Ò Ö Ä ÆË Ô ¾¾¾ ¾º Êº ÁÖÚ Ò Ò º Ö Öº Å Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÕÙ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ð ÓÑÑÓÒ ÙÔ Ö ¹ ÕÙ Ò º ÁÒ ÈÖÓº Ö ËÝÑÔº ÓÒ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð È ØØ ÖÒ Å Ø Ò º ËÔÖ Ò Ö Ä ÆË ¼ Ô ½ ½ º º Ã ÔÖÞ Ò Ìº Ã ØÞ Ò º ËØÖ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ð ÖÒ Ò Ù Ò Ð ØØ º ÁÒ ÄÆ Ë ¼ ½ ÚÓÐÙÑ ¼ ½ Ô ¼ ½º ËÔÖ Ò Ö ¾¼½¼º Çº ÃÙÞÒ Ø ÓÚº Å Ò Ð ÖÒ Ò ÓÒ Ø Ó ÓÖÑ Ð ÓÒ ÔØ Ò ÐÝ º ÙØÓÑ Ø ÓÒ Ò Ê ÑÓØ ÓÒØÖÓÐ ¾ Á Ù ½¼ ¾¼¼½º º Ä Ô º Ð³ Ò ÐÓ Ö Ò ÒØ ÓÑÔØ Ð ÓÑÑÙØ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ù Ø ÕÙ º ÍÒ Ú Ö Ø Ö ÒÓ Ð Ö ÒÓ Ð ¾¼¼ º À Ð Ø Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ö Ö º º Å Öº Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ù ÕÙ Ò Ò ÙÔ Ö ÕÙ Ò º Â Å ¾ ¾ º Äº Å Ð Ø Ëº ÝÓÙ Ò º Ð Ýº Ò ÐÓ Ð Ñ Ð Ö ØÝ Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ØÛÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ñ Ò Ð ÖÒ Ò º Â ÁÊ ¾ ¾ ¾¼¼ º Äº Å Ð Ø Æº Ö ÓØ Ò º Â Ù Ýº Ì ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ö Ó Ò Þ Ò Ü ØÐÝ Ø ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ÓÑÑÓÒ ØÓ ØÛÓ Ò ÑÓÖ µ ÛÓÖ º ËÙ Ñ ØØ ¾¼½¾º Ìº Å Ø ÐÐº Å Ò Ä ÖÒ Ò º Å Ö Û À ÐÐ º Æº ËØÖÓÔÔ Ò º ÚÓÒº Ò ÐÓ Ð Ð ÖÒ Ò Ò ÓÖÑ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ñ Ø Ó ÓÐÓ Ð Ù º Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ÆËÌ¹¾¼¼ ¹ ¼¼ ÆËÌ ÂÙÒ ¾¼¼ º Êº Ï Ò Ö Ò Åº Öº Ì ØÖ Ò ¹ØÓ¹ ØÖ Ò ÓÖÖ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø Å ¾½ ½µ ½ º

ÝÓÒ ÀÝÔ ÖØÖ Ï Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ø Ó Ï Ø ÓÙØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÀÙ Ò Ò Î ØÓÖ ÐÑ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ì ÒÓÐÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÑÔ Ù Ö Ö ÐÓÒ ËÔ Ò Ù º Ò Ú ØÓÖº ÐÑ Ù ÙÔ º Ù ØÖ Øº Ì Ò

ÝÓÒ ÀÝÔ ÖØÖ Ï Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ø Ó Ï Ø ÓÙØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÀÙ Ò Ò Î ØÓÖ ÐÑ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ì ÒÓÐÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÑÔ Ù Ö Ö ÐÓÒ ËÔ Ò Ù º Ò Ú ØÓÖº ÐÑ Ù ÙÔ º Ù ØÖ Øº Ì Ò Ö Ð ÒØÖ Ø Ð ØÝ Ó Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ ¹ Ð Ñ ÑÓØ Ú