abc aabbcdº º (w w ) (w = w )
|
|
- Donald Clark
- 1 years ago
- Views:
Transcription
1 ÂÓÙÖÒ Ð Ó Å Ò Ä ÖÒ Ò Ê Ö ¾½ ¾¼½¾ Ì ½½Ø Á Á Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù Ä ÙÖ ÒØ Å Ð Ø ÁÊÁË ¹ ÝÐ ÆÊË ÁÆË µ ² ÁÆÊÁ ¹Ê ÒÒ Ö Ò º Æ ÐÐÝ Ö ÓØ ÁÊÁË ¹ ÓÖ Ð ÆÊË ÁÆË µ Ä ÒÒ ÓÒ Ö Ò º ÔØ Ø Â Ù Ý Ä ÓÖ ØÓ Ö ÀÙ ÖØ ÙÖ Ò ÆÊ˵ Ñ Ð Ø Ò Øº Ö Ö ÓØ Ò Øº Ö ÔØ Ø º Ù ÝÙÒ Ú¹ ع Ø ÒÒ º Ö ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ Ë ÒØ¹ Ø ÒÒ Ö Ò º ØÓÖ Â Ö Ý À ÒÞ ÓÐ Ò Ð À Ù Ö Ò Ì Ñ Ç Ø ØÖ Ø Ï Ò Ø ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ò ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ò Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ ÓÑÑÓÒ ØÓ Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ º Ï Ð Ó Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ º Ï Ú Ô ÖØ Ð ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ù Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Û ÐÐ ØÛÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ñº Ï ÓÛ Ø Ø Ø ÓÒ ØÖÙØ Ñ ÐÝ Ó Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ø Ð ØØ ØÖÙØÙÖ º Ï Ú ÒØ ØÓ Ù Ø ØÖÙØÙÖ Ñ Ò Ð ÖÒ Ò ÓÖ Ò Ù Ò Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ó ÛÓÖ º à ÝÛÓÖ Ò Ø Ð Ò Ù ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ð ÒÑ ÒØ Ð Ö ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Ø Ó ÛÓÖ Ð ØØ Ñ Ò Ð ÖÒ Ò Ð ÖÒ Ò Ý Ò ÐÓ Ýº ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÅÙ Ò ÓÒ ÓÒ Ò Ò Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ò Ñ Ò Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ ØÓ Ø Ó ÛÓÖ Û Ò Ø ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ð Ò Ø Ó ÛÓÖ º Ï Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø Ô Ô Ö Ò Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ñ ÙØ ÓÖ Ø Ò Ö ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ù ÛÓÖ º Á Ø Ö Ñ ÒÒ Ö ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø Ø Ó Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ò Ø Ø Ó Ñ Ò Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ Ú Ò Ò Ø Ø U Ó ÛÓÖ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÅÓÖ Ø Ò Ø Ø Ø Ö Ò Ð Ö Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ÐÐ Ø Ø Ó Ù ÛÓÖ Ò ÙÔ ÖÛÓÖ Ó U Ò Ò Û Ö ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÛÓÙÐ ÐÐÓÛ ØÓ Ú ÔÖ Ò Ø ÓÒ ØÓ Û Ø Ø ÛÓÖ Ó U Ö Ò ÓÛ Ø ÓÑÑÓÒ ÓÖ ÓÖ Ò º Ì Ö Ø Ô ÖØ Ó Ø Ô Ô Ö Ú Ô ÖØ Ð Ò Û Ö ØÓ Ø ÔÓ ÒØ º Ï Ò Ò Ø ÓÒ ¾ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ð ÒÑ ÒØ Û Û ÐÐ Ù ÙÐ ÓÖ ÓÙÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒº ØÙ ÐÐÝ Ò Ø ÓÒ Û Ò ØÛÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ø Ø Ð ØÓ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ð ØØ º Ï Ö Ð Ó ÒØ Ö Ø Ò ÓÛ Ø ØÖÙØÙÖ ÓÙÐ Ù ÙÐ Ò Ñ Ò Ð ÖÒ Ò º Ë Ò Û Ø ÖØ ÖÓÑ Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ Ø ÓÒÚ Ò ÒØ Ñ Ò Ð ÖÒ Ò Ö Ñ ÛÓÖ Ñ ØÓ Ö ÑÑ Ø Ð Ò Ö Ò ÖÓÑ Ò Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú ÑÔÐ Ò ÓÙÖ µº ÁØ Ñ Ø Ø Ø Ð ØØ ØÖÙØÙÖ Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ ÔØ ØÓ Ð ÖÒ Ò Ý Ò ÐÓ Ý Ò ÓÑ Ò ØÙÖ Ð Ò ÐÓ Ð ¾¼½¾ ĺ Å Ð Ø Æº Ö ÓØ ² º  ٠ݺ
2 Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ó ÖÚ Ò Ù ØÖÙØÙÖ º Ï Ú Ò Ø ÓÒ ÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÔÓ ÒØ º ¾º Å Ü Ñ Ð ËÙ ÛÓÖ Å Ò Ñ Ð ËÙÔ ÖÛÓÖ Ð ÒÑ ÒØ ¾º½º Ä Ø Σ Ò ÐÔ Ø º º Ò Ø Ø Ó Ð ØØ Ö º ÛÓÖ u ÕÙ Ò u 1...u n Ó Ð ØØ Ö Ò Σº Ì Ð Ò Ø Ó u ÒÓØ u nº Ì ÑÔØÝ ÛÓÖ Ó ÒÙÐÐ Ð Ò Ø ǫº Ð Ò Ù Ø Ó ÛÓÖ º Ù ÛÓÖ Ó ÛÓÖ u ÛÓÖ Ó Ø Ò Ý Ð Ø Ò Ð ØØ Ö Ó u Ø ÓÑ ÒÓÒ Ò Ö ÐÝ ÒØµ ÔÓ Ø ÓÒ ½ Ò uº Ï ÒÓØ u v Ø Ù Ó Ø ØÛÓ ÛÓÖ u Ò vº ÁÒ Σ Ø Ø Ó ÐÐ ÛÓÖ ÓÒ Σ Û Ù Ø ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ý (u v u Ù ÛÓÖ Ó v)º Ï Ò u Ù ÛÓÖ Ó v v ÐÐ ÙÔ ÖÛÓÖ ¾ Ó uº ÓÖ Ü ÑÔÐ ac aacdº ÛÓÖ w ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ ØÓ u Ò v Û Ò w u Ò w vº Ì ÛÓÖ w Ñ Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ ØÓ u Ò v Ø Ö Ó ÒÓØ Ü Ø ÒÝ ÓØ Ö ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ x ØÓ u Ò v Ù Ø Ø w xº ÓÖ Ü ÑÔÐ a Ò c Ö Ñ Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ ØÓ u = cada Ò v = faghc Û Ð a ÒÓÒ Ñ Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ º Ò Ò ÓÑÑÓÒ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ØÓ Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÜØ Ò ÓÒº Ñ Ò Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ ØÓ ØÛÓ ÛÓÖ Ò ØÓ ÒÓÒ ÑÔØÝ Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ Ò Ò Ò Ò ÐÓ Û Ýº ÁÒ Ô ÖØ ÐÐÝ ÓÖ Ö Ø S Ò ÒØ Ò Ù Ø Ó S ÓÑÔÓ Ó Ô ÖÛ ÒÓѹ Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ º ÒÝ Ù Ø T Ó S Ò Ö Ù ØÓ Ø Ñ Ü Ñ Ð ÒØ Ò Ý Ö ÑÓÚ Ò ÖÓÑ T Ú ÖÝ Ð Ñ ÒØ Ð Ö Ø Ò ÒÓØ Ö Ð Ñ ÒØµº ¾º¾º Ð ÒÑ ÒØ ¾º¾º½º Ò Ø ÓÒ Ó Ð ÒÑ ÒØ Ò Ø ÓÒ ½ Ò Ð ÒÑ ÒØ Ò Ø Ø Ó Ô Ö (w,l) Û Ö w ÛÓÖ Ò l Ø Ó Ò ØÛ Ò ½ Ò w º Ì Ø l Ò Ù ÛÓÖ Ó w ÒÓØ w[l]º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò Ð ÒÑ ÒØ ÑÙ Ø Ø Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ ÐÐ (w,l) Ò (w,l ) ½º w[l] = w [l ] º (w w ) (w = w ) ¾º (w = w ) (l = l ) Ì Ø Ó ÛÓÖ ÓÒ Û Ø Ð ÒÑ ÒØ Ò ÐÐ Ø ÙÔÔÓÖØ Ò ÒÓØ word( ) = {w l N Û Ø (w,l) }. ÓÖ Ò ØÓ ÓÙÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÙÔÔÓÖØ Ò ÒØ Ò Ó ÛÓÖ ÓÖ º ½º ÇØ Ö Ø ÖÑ ÓÖ Ù ÛÓÖ Ö Ù ÕÙ Ò Ò Ô ÖØ Ð ÛÓÖ º ØÓÖ ÓÖ Ù ØÖ Ò Ù ÛÓÖ Ó u Ù ÐØ Ý ÓÒØ ÙÓÙ Ð ØØ Ö Ó uº ¾º ÙÔ ÖÛÓÖ Ó u Ð Ó ÐÐ ÙÔ Ö ÕÙ Ò ÑÙ Ø ÒÓØ ÓÒ Ù Û Ø ÙÔ Ö ØÖ Ò Ó u Ò Û Ø Ð ØØ Ö Ó u Ö ÓÒØ ÙÓÙ º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ u ØÓÖ Ù ØÖ Ò µ Ó ÒÝ ÙÔ Ö ØÖ Ò Ó uº Ë Ù Ð µ Ô ¼ Ò ¾ º º Ò Ð ÒÑ ÒØ Ö Ö Ð Ó Ø Ø Ö ÔÓ ÒØ Ó ÓÙÖ Ò Ø ÓÒµ ÐÐ ØÖ Ý Ï Ò Ö Ò Ö Ï Ò Ö Ò Ö µ ÓÖ ØÛÓ ÛÓÖ Ò Ø Ö Ò Ñ Ò Å Ö Å Ö µº
3 Å Ð Ø Ö ÓØ Â Ù Ý Ì Ø Ó Ò l Û ÐÐ ÐÐ Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ü Ù ÛÓÖ Ó w[l]º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ð ÒÑ ÒØ Û ÐÐ Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø Ó ÛÓÖ Ò Û ÓÑ Ð ØØ Ö Ö ÓÜ º ÓÖ Ð Ñ ÒØ (w,l) Ó Ø Ð ÒÑ ÒØ Ø ÓÜ Ð ØØ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø Ù ÛÓÖ w[l] Ð Ó ÐÐ Ø ÓÜ Ù ÛÓÖ Ó Ø Ð ÒÑ ÒØµº ÓÖ Ð Ð ØÝ Ø n ÛÓÖ Ò ÔÐ Ý Ò Ù Ñ ÒÒ Ö Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð ØØ Ö Ó w Ò Ø n ÛÓÖ Ö Ò Ø Ñ ÓÐÙÑÒº ËÓÑ Ð Ò Ò Ö ÐÝ ØÓ ÐÔ Ø Ö Ò º ÓÖ Ü ÑÔÐ a c d e g = a c e h g a h c d ÒÓØ Ø Ð ÒÑ ÒØ = {(acdeg,{1,2}),(aceh,{1,2}),(gahcd,{2,4})}º Ð Ó Û Ø ÓÙØ Ñ Ù ØÝ = ( a c deg, a c eh,g a h c d). ¾º¾º¾º ÄÓ ÐÐÝ Å Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ Ò ÄÓ ÐÐÝ Å Ü Ñ Ð ËÙ ÛÓÖ Ï Ò ÛÖ Ø Ò Ö ÐÐÝ ØÛÓ Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ W = {w 1,...,w n } Û Ø Ø Ñ ÓÜ Ù ÛÓÖ r Ò Ö ÒØ Ú Ò Ö ÒØ Ø Ó Ò Ü µº Ï ÓÙÐ Ò Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ Ø Ó Û Ó ÓÜ Ð ØØ Ö Ö Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ó W º ÀÓÛ Ú Ö ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ ÛÓÙÐ ÒÓØ Ñ Ü Ñ Ð Û Ø Ø Ò Ø ÓÒº ÓÒ Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ØÛÓ ÛÓÖ w 1 = acd Ò w 2 = dacaº Ì ÓÑÔÐ Ø Ø Ó ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ {ǫ,a,,c,a,ac,c,ac,d} Ò Ø Ö Ø Ó Ñ Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ {ac,d}º ØÙ ÐÐÝ Ø Ð ÒÑ ÒØ ( cd,dac ) ÓÑ ÓÛ Ñ Ü Ñ Ð Ò Ø ÒÓØ ÓÑÔ Ö Ð ØÓ Ø ÓÒÐÝ Ð ÒÑ ÒØ Û Ø Ø ÓÜ Ù ÛÓÖ ac Ò Ñ ÐÝ ( d,d a)º Ì Ð ØÓ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ ÓÒ Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ Ò Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ º Ò Ø ÓÒ ¾ Ò Ð ÒÑ ÒØ = {(w 1,l 1 ),...,(w n,l n )} ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ø Ö ÒÓ ÓØ Ö Ð ÒÑ ÒØ = {(w 1,l 1 ),...,(w n,l n)} ÓÒ Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ i l i l i º ÆÓØ Ø Ø Ø ÑÔØÝ Ð ÒÑ ÒØ ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ðº Ò Ø ÓÒ Ì Ø Ó ÓÜ Ù ÛÓÖ Ó Ø ØÓ ÐÐ ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ ØÛ Ò Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ W = {w 1,...,w n } ÐÐ Ø Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ØÓ W Ò ÒÓØ (W)º ÓÖ ÓÑ r (W) Ø Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ Ó Ø ØÓ r ÒÓØ A r (W)º Ï Ð Ó ÒÓØ A(W) = A r (W)º r (W) ÓÖ Ü ÑÔÐ Ð Ø Ù ÓÒ Ö W = {aac,cad} Ø Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ Ö Ú Ò Ý A a (W) = {( a ac,c a d),( a a c,c a d),(a a c,c a d)} A c (W) = {(aa c, c ad)}. Ò A(W) = A a (W) A c (W)º Ì Ò Ø Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ó W (W) = {a, c}º
4 Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù ¾º º Ä Ò Ù Ó Ø Û Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ Ò Ø ÓÒ Ä Ø w = w 1 w p ÛÓÖ ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ó ØÛÓ ÛÓÖ u Ò v Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ÔÓ Ø ÓÒ º º A w ({u,v}) = 1µº Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ò ÙÒ ÕÙ Ø Ó ØÓÖ Ó u ÒÓØ (u 1,...,u p+1 µ Ò Ò ÙÒ ÕÙ Ø Ó ØÓÖ Ó v ÒÓØ (v 1,...,v p+1 ) Ù Ø Ø u = u 1 w 1...u p w p u p+1 Ò v = v 1 w 1...v p w p v p+1 º Ï Ò L(A w ({u,v})) Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø Ð Ò Ù L(A w ({u,v})) = (u 1 v 1 )w 1 (u 2 v 2 ),...,(u p v p )w p (u p+1 v p+1 ) Ì ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó L(A w ({u,v})) ÓÛÒ Ò ÙÖ ½ Û Ø ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ö Ô ÓÒ¹ Ú ÒØ ÓÒ º u 1 w u 2 1 w u i+1 i w i w p 1 u p w p u p+1 v 1 v 2 v i+1 v p v p+1 ÙÖ ½ Ì ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó L(A w (u,v)) Û Ò A w ({u},{v}) = 1º Á A w ({u,v}) > 1 L(A w ({u,v}) Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó ÐÐ Ð Ò Ù Ó Ø Û Ø ÐÐ Ö ÒØ ÔÓ Ø ÓÒ Ó w ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ó u Ò vº Ò ÐÐÝ L(A({u,v})) Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø Ð Ò Ù L(A w ({u,v})) ÓÖ ÐÐ w ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ó u Ò vº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ Ä Ø w ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ÓÑÑÓÒ ØÓ ØÛÓ ÛÓÖ u Ò v Ò L(A w ({u,v})) ÓÒ ØÖÙØ ÓÚ º Ï Ú ½º ÐÐ ÛÓÖ Ò L(A w ({u,v})) Ö ÒÓÒ Ò Ö ÐÝ Ñ Ò Ñ Ð µ ÓÑÑÓÒ ÙÔ ÖÛÓÖ Ó u Ò vº ¾º ÓÖ ÒÝ ÛÓÖ W L(A w ({u,v})) Û Ú W + w = u + v º ÈÖÓÓ º Ä Ø Ù ÓÒ Ö W L(A w ({u,v}))º Ý Ò Ø ÓÒ Ó L(A w ({u,v})) Ø Ö Ü Ø (u 1,...,u p+1 ) Ò (v 1,...,v p+1 ) Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø Ó ØÓÖ Ó u Ò v Ù Ø Ø Ø ÛÓÖ W Ò ÛÖ ØØ Ò W = x 1 w 1...x p w p x p+1 Û Ö ÓÖ Ú ÖÝ i {1,...p+1} x i (u i v i )º ½º Ì Ö ÓÖ ÓÖ Ú ÖÝ i {1,...p+1} x i u i Ò x i v i º Ï Ø Ò Ú W u 1 w 1...u p w p u p+1 = u Ò W v 1 w 1...v p w p v p+1 = vº º Ä Ø ØÛÓ ÛÓÖ u = aca Ò v = aac Ø Ó Ø Ð ÒÑ ÒØ ( ca, a c) ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ðº Ì Ð Ò Ù L(A a ({u,v}) ÓÒØ Ò Ø Ð Ò Ù aaca( c) Ò Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÛÓÖ w = acacº Ì ÛÓÖ w = acac ÒÓØ Ö ÙÔ ÖÛÓÖ Ó u Ò v Ò w wº Ì Ù w ÒÓØ Ò ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ Ó u Ò vº º ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø ÖØ ÓÒ Ð Ø LCS(u,v) ÐÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ Ù ÛÓÖ ØÓu Ò v Ò SCS(u,v) ÓÖØ Ø ÓÑÑÓÒ ÙÔ ÖÛÓÖ ØÓ u Ò vº Ì Ò Û Ú LCS(u,v) + SCS(u,v) = u + v º
5 Å Ð Ø Ö ÓØ Â Ù Ý ¾º W = x 1 + w x p + w p + x p+1 p+1 = w + x i = w + i=1 p+1 ( u i + v i ) i=1 = w +( u w])+( v w ) = u + v w. ¾º º ÓÒ ØÖÙØ Ú Ð ÓÖ Ø Ñ Ï Ú Ú Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ù Ò Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ A ({u,v}) Û Ü ØÐÝ Ö Ó ¹ Ò Þ Ø Ð Ò Ù ({u,v}) Ø Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ÓÑÑÓÒ ØÓ ØÛÓ ÛÓÖ u Ò v Ù ØÓ Ð Ó Ô Û Ó ÒÓØ Ö Ø Ö º ÁØ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò ÔÖÓÓ Ó ÓÖÖ ØÒ Ö Ú Ò Ò Å Ð Ø Ø Ðº ¾¼½¾µº ÁØ ÓÒ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ò ¾¹ ÖÖ Ý ÔÐ Ý Ò Û Ð ØØ Ö Ö ÓÑÑÓÒ ØÓ ØÛÓ ÛÓÖ ÒØÓ Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ö Ó Ò Þ Ò (u,v) Ò Ü ÑÔÐ ÓÒ ÙÖ ¾ µµº ËØ ÖØ Ò ÖÓÑ A ({u,v}) Ø Ø Ò ÑÔÐ ØÓ ÔÖÓ Ù Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ø Ø Û ÐÐ A ({u,v}) Û Ü ØÐÝ Ö Ó Ò Þ Ø Ð Ò Ù L(A({u,v})) Ð Ó ÒÓØ ({u,v})µº Ï ÔÐ Ý Ò Ü ÑÔÐ Ø ÙÖ ¾ µº x ǫ x a a ǫ a a y ǫ y z ǫ ǫ z t u a v w µ Ò ÙØÓÑ ØÓÒ Û Ö Ó Ò Þ Ø Ð Ò Ù (r,s)º Ï Ú r = zyax Ò s = tuavw a Ò Ö Ð ØØ Ö Û Ð t u v w x y Ò z Ö ØÓÖ ÓÒ Σ\{a,}º t u a v w µ Ò ÙØÓÑ ØÓÒ Û Ö Ó Ò Þ (r,s) = (z t)(u y)a(vw x) (tuav z)(w yax)º Ö Ø Ò Ð ÓÐ ÓÖ Ø Ù Ó Ø ØÓÖ ÓÒ Ø ÙÖ ¾ ÌÛÓ ÙØÓÑ Ø Ù ÐØ ÓÒ ØÛÓ ÒØ Ò º º ÇÖ Ö Ê Ð Ø ÓÒ Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ð ÒÑ ÒØ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÐÝ Ó Ð ÒÑ ÒØ Ò Û Û ÒØ ØÓ Ö Û Ø Ú Ò ÓÑÑÓÒ Ø Ù ÛÓÖ Ò ÙÔ ÖÛÓÖ Ó Ò Ø Ø U Ó ÒØ Ò º Ï Û ÐÐ ÓÒ Ö Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ U º º Ð ÒÑ ÒØ Û Ø ÙÔÔÓÖØ Û Ù Ø Ó Uº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û Û ÐÐ ÙÑ Ø Ø U Ò ÒØ Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ º
6 Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù º½º ÇÖ Ö Ê Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÇÖ Ö ÓÒ Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Uµ Ú Ò ØÛÓ Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ U = {(w 1,l 1 ),..., (w n,l n )} Ò = {(w 1,l 1 ),...,(w m,l m )} Û ÛÖ Ø ÓÖ ÐÐ i (1,n) Ø Ü Ø j (1,m) Ù Ø Ø ½º w i = w j ¾º l j l i Ì Ö ÓÖ Ø Ò word( ) word( )º ÁØ Ý ØÓ Ø Ø Ô ÖØ Ð ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ò Ø Ø Ø ÑÔØÝ Ð ÒÑ ÒØ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ú ÖÝ ÓØ Ö Ð ÒÑ ÒØº Ò Ø ÓÒ ÀÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ µ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø ÒÓÒ ÑÔØÝ Ò ÐÐ Ø Ð Ñ ÒØ Ú Ø Ñ ÙÔÔÓÖØº Ì Ñ ÐÝ Ó ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ ÒÓØ A H º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ð Ò Ø Ò Ø ÓÒ Û Ø Ò Ø ÓÒ Û Ò ÒÓØ Ø Ø ÓÖ ÒÝ Ù Ø W Ó U A(W) A H º Ò Ø ÓÒ ÇÖ Ö ÓÒ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Uµ Ä Ø A Ò B ØÛÓ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ º Ï Ú A B ÓÖ ÐÐ B Ø Ö A Ù Ø Ø º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ô ÖØ Ð ÓÖ Ö ÓÒ A H Ò Ø Ñ ÐÐ Ø Ð Ñ ÒØ { }º ÈÖÓÓ º Ê Ü Ú ØÝ Ò ØÖ Ò Ø Ú ØÝ Ö ÑÑ Ø º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ø ÒØ ÝÑÑ ØÖÝ Ð Ø Ù ÓÒ Ö ØÛÓ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ ÒÓØ A Ò B Ù Ø Ø A B Ò B Aº Ë Ò A Ò B Ö ÓÑÓ Ò ÓÙ ÐÐ Ð ÒÑ ÒØ Ò A Ú Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ ÒÓØ word(a) Ò Ø Ñ ÓÐ ÓÖ B Û Ø Ø ÙÔÔÓÖØ ÒÓØ word(b)º ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Û ÐÝ Ø Ø word(a) = word(b)º Ä Ø Ù ÓÒ Ö 1 = {(w 1,l 1),...,(w n,l n)} B Ò A B Ò B A Ø Ü Ø A Ò 2 B Ù Ø Ø 1 Ò 2 º Ý ØÖ Ò Ø Ú ØÝ Û Ú 2 1 º Ø Ð Ø 1 Ò 2 Ú Ò Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ Ò Ò ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ø ÑÔÐ Ø Ø 1 = 2 Ò Ø Ò Bº À Ò A Bº Ë Ñ Ð ÖÐÝ Û Ò Ø Ø B Aº º¾º Ò Ø ÓÒ Ò ÈÖÓÔ ÖØ Ó Ò Ø ÓÒ Ä Ø A r ({u 1,,u n }) Ò A s ({v 1,,v m }) Û Ö = {(u 1,l 1 ),..., (u n,l n )} Ò = {(v 1,l 1 ),...,(v m,l m )}º Ö ØÐÝ Û ÓÒ ØÖÙØ + Ø Ò Ø Ø Ó Ð Ò¹ Ñ ÒØ = {(w 1,L 1 ),...,(w p,l p )} Ù Ø Ø ½º {w 1,...,w p } = word( ) word( ) ¾º ÓÖ ÐÐ (i,k) (w k = u i ) Ø Ò (L k l i ) º ÓÖ ÐÐ (j,k) (w k = v j ) Ø Ò (L k l j )
7 Å Ð Ø Ö ÓØ Â Ù Ý Ë ÓÒ ÐÝ Û ÒÓØ Ø Ø Ó Ñ Ò Ñ Ð Ð Ñ ÒØ Ó + ÓÖ Ò ØÓ º ÓÒ ÕÙ Ò ({r,s}) Ø Ò Ø ÓÜ ÛÓÖ Ò + Ù ÛÓÖ Ó r Ò s Ð ÒÓ Ð ØØ Ö ÓÜ Ò º ÁÒ Ø ÓÒ Ø ÙÔÔÓÖØ Ó Ò ÓÒØ Ò Ò ÒØ Ð ÛÓÖ u i = v j Ù Ø Ø l i l j = ÒÓ Ð ØØ Ö Ø Ò ÓÜ Ò º Ì ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÜØ Ò ØÓ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ¹ Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ Ä Ø A Ò B ØÛÓ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ º Ï Ò A B Ø Ø Ó Ø Ñ Ò Ñ Ð Ð Ñ ÒØ Ó A+B ÓÖ Ò ØÓ Û Ö A+B = ( + ) B A ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ì ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÒØ ÖÒ Ð ØÓ A H ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò ÑÔÓØ ÒØº ÈÖÓÓ º Ä Ø Ù ÓÒ Ö A A H Ò B A H º ½º ÐÐ Ø Ð ÒÑ ÒØ Ò A B Ö ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ý Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ Ò Ñ ÐÝ word(a) word(b)º ¾º Ì ÓÑÑÙØ Ø Ú ØÝ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º º Ä Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ó A Ø ÑÑ Ø Ø Ø ( + ) A+Aº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò A A H ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ Ò Ó A Aº ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ A A Aº Ê ÔÖÓ ÐÐÝ Ð Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ó A Aº Ì Ò Ø Ü Ø ÓÙÔÐ (, ) A 2 Ù Ø Ø + º Ë Ò A A H Ò word() = word( ) word( ) Ò Ú Ø Ñ ÙÔÔÓÖØº ÅÓÖ ÓÚ Ö ÖÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ò º Ò Ñ Ò Ñ Ð Ð Ñ ÒØ Ó A + A ÓÖ Ò ØÓ Ò a Ò ÐÓÒ Ò ØÓ A+A Ø ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø = = º Ø Ð Ø Aº À Ò A A Aº Ø Ò ÑÔÓØ ÒØ ÓÒ A H º º º ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ò Ø ÓÒ ½¼ Ä Ø A r ({u 1,,u n }) Ò A s ({v 1,,v m }) Û Ö = {(u 1,l 1 ),..., (u n,l n )} Ò = {(v 1,l 1 ),...,(v m,l m )}º Ï ÓÒ ØÖÙØ Ø Ò Ø Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ = {(w 1,L 1 ),...,(w p,l p )} Ù Ø Ø ½º {w 1,...,w p } = word( ) word( ) ¾º Ø Ö ÓÖ ÐÐ (i,k) Ù Ø Ø w k = u i Û Ú l i L k ÓÖ ÓÖ ÐÐ (j,k) Ù Ø Ø w k = v j Û Ú l j L kº º ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØº Ò Ð ÒÑ ÒØ Ò Ø Ù Ø Ö ÓÒ Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó ØÓ Ø ÙÔÔÓÖØ word( ) word( ) ÓÖ ÓÒ Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó ØÓ Ø Ñ ÙÔÔÓÖØº ÓÖ Ò Ø Ò = {( cd,a c, a)} Ò = {(a d,aa, a)} Ø Ò = {( d, a ),( d,a )}º Ò Ø ÓÒ ½½ A B = ( ) B A ½ ¼
8 Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ì ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÒØ ÖÒ Ð ØÓ A H ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò ÑÔÓØ ÒØº ÈÖÓÓ º Ì ÓÑÑÙØ Ø Ú ØÝ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ò Ø ÓÒ ½¼ ÝÑ ØÖ ÛÖØ Ò µº ÓÖ ÑÔÓØ Ò Û Ù Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ò Ø ÓÒµ Ø Ø Ò Ö ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ Ø Ò = {, }º Ä Ø Ù ÓÒ Ö A A H A Ø Ò ( ) (A A) Ò Ø Ö ÓÖ A A Aº Á A A Ø Ò Ø Ö Ü Ø (, ) A 2 Ù Ø Ø º Ë Ò Ò Ú Ø Ñ ÙÔÔÓÖØ Ø Ö = ÓÖ = Ø Ö ÓÖ A Ò A A Aº º º ËØÖÙØÙÖ Ó ÀÓÑÓ Ò ÓÙ Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ U Ï Ò sup (A,B) Ø Ñ Ò Ñ Ð Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ð Ö Ö Ø Ò A Ò B Ø Ü Ø µ ÓÖ Ò ØÓ º Ë Ñ Ð ÖÐÝ inf (A,B) Ø Ñ Ü Ñ Ð Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò A Ò Bº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ä Ø A Ò B Ò Ø ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ º Ì Ò sup (A,B) Ü Ø Ò ÈÖÓÓ º sup(a,b) = A B Ö Ø Û ÓÛ Ø Ø A B Ö Ø Ö Ø Ò A Ò B ÓÖ º Ä Ø A Bº Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø Ö Ü Ø A Ò B Ù Ø Ø + º Ý Ø Ö Ø Ø Ñ Ó Ò Ø ÓÒ word( ) word() Ò Ý Ø ØÛÓ ÓØ Ö Ø Ñ Û Ò ÓÒÐÙ Ø Ø º Ì Ù ÓÖ Ú ÖÝ C Ø Ö a A Ù Ø Ø º Ì Ù A A B Ò B A Bº Ä Ø C Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ö Ø Ö Ø Ò A Ò B Ò Ð Ø Cº Ì Ö Ö A Ò B Ù Ø Ø Ò º Ï Ò ØÓ Ò A B Ù Ø Ø º Ê ÑÓÚ ÖÓÑ Ø ÙÔÔÓÖØ Ó ÐÐ ÛÓÖ ÒÓØ Ò Ø ÙÔÔÓÖØ Ó ÓÖ º Ì Ó Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ Ñ Ý ÒÓØ ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ó Û ÑÓÖ ÓÜ Ð ØØ Ö ØÓ Ñ Ø ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ðº Ì Ö ÙÐØ Ð ÒÑ ÒØ Ø ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÓÒ Ø Ù A B C Ò Ø Ö ÓÖ sup (A,B) = A Bº Ì Ö ÒÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ò inf ÓÖ ÐÐ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Û ÑÙ Ø Ö ØÖ Ø ØÓ Ø Ó ÐÐ Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ú Ò Ø Ó ÛÓÖ º Ò Ø ÓÒ ½¾ Á U Ò Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó ÛÓÖ Ï Ò Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ð Ò¹ Ñ ÒØ A(U) = {A(V) V U}º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ä Ø A Ò B Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ò A(U)º Ì Ò Ò A(U) inf (A,B) Ü Ø Ò ÈÖÓÓ º inf(a,b) = A B Ö Ø Û ÓÛ Ø Ø A = A(V) Ò B = A(W) Û Ø V U Ò W U Ø Ò A B = A(W V)º Ä Ø A Bº ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Ø ÙÔÔÓÖØ word(a) word(b) = W V Ø Ù A(W V)º Ä Ø A(W V)º Ä Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ W Ù Ø Ø a Ø Ò Ó Ø Ò ÖÓÑ A Ù Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó A B Ò A Bº ½ ½
9 Å Ð Ø Ö ÓØ Â Ù Ý Ä Ø C A(U) Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò A Ò Bº Ï ÓÛ Ø Ø C Ñ ÐÐ Ö Ø Ò A Bº ËÓÑ Ð ÒÑ ÒØ Ó C Ö Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ Ó A Ò ÓØ Ö Ö Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ Ó Bº Ë Ò C ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø ÙÔÔÓÖØ word(c) ÑÙ Ø ÒÐÙ Ò word(a) word(b) Ò Ò C = A(T) ÓÖ ÓÑ T U Ø Ò T V W º Ì Ö ÓÖ A(T) A(V W) Û Ü ØÐÝ C A Bº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ä Ø U = {u 1,u 2,,u n } Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö ÒØ ÖÒ Ð ØÓ Uº ÈÖÓÓ º ÓÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ò Ø ÓÒº ÓÖ Ø ÒÓØ ÙÐØ ØÓ Ø ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ Ó º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ä Ø U = {u 1,u 2,,u n } Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ ÒØ Ò ÓÖ º Ì Ò U = (A(U),, ) Ð ØØ º Ì Ð ØØ ØÓ Ù ÐØ ÓÒ Ø Ò Ø Ð Ò Ù Uº ÈÖÓÓ º Ì Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ø Ö ÔÖ Ú ÓÙ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ º º Ä ØØ Ó Ð ÒÑ ÒØ Ò Ä ÖÒ Ò Ý Ò ÐÓ Ý Ì Ø ÓÒ ÒØ Ò ØÓ Ú ÓÑ ÒØ ÓÒ ÓÛ Ø Ð ØØ ØÖÙØÙÖ Ø Ø Û Ú ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ù U Ò Ù Ò Ñ Ò Ð ÖÒ Ò º ØÙ ÐÐÝ Ø Ð ÒÑ ÒØ Ò Ø Ð ØØ Ö Ø Ò ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ñ ÒÒ Ö Û Ø Ù Ø Ó ÒØ Ò Ö Ò Ø ÖÑ Ó Ù ÕÙ Ò º À Ò Ö Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÙÐ ØÓ Ñ Ò Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ò Ò Ø ÓÖ Ò Ò Ø Ð Ò Ù ÜÔÖ ÒØ Ò ÓÒÒ ÐÐݵ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ÓÖ Ó U Ò Ð ØÓ Ú Ñ ÙÖ Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÓØ Ö ÛÓÖ Ó Σ ØÓ Uº Ö ØÐÝ Û Ú ÓÑ ÕÙ Ò Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÔØ Ó Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ÛÓÖ º Ì Ò Û Û ÐÐ Ú Ò Ø ÓÒ Ò Ö ÙÐØ ÓÒ Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ð ØØ º Ò ÐÐÝ Û Û ÐÐ Ú ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ Ö ÙÐØ Ò ÓÒ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ñ Ò Ð ÖÒ Ò Ý Ò ÐÓ Ý ØÓ Ø ÜØ Ò ÓÒ Ó U ÓÖ Ò ØÓ Ø Ð ØØ Uº º½º Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ½ Ü ÓÑ Ó Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒµ Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÓÒ Ø E Ù Ø Ó E 4 Ò ÕÙ Ø ÖÒ ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒµ Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ ¹ØÙÔÐ A B C Ø D Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÓÖ Ö ÒÓØ :: µ :: :: :: ÓÖ Ú ÖÝ ¾¹ØÙÔÐ ÓÒ Ø ØÖ Ú Ð Ò ÐÓ Ý :: :: º¾º Ò ÐÓ Ð ÈÖÓÔÓÖØ ÓÒ ØÛ Ò ÏÓÖ ÓÖ Ò ØÓ ËØÖÓÔÔ Ò ÚÓÒ ¾¼¼ µ Ò Ö Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÓÒ¹ ÓÖÑ ØÓ Ø Ü ÓÑ Ò Ú Ò Ò Ñ ÒÝ Ö ÒØ Ø Ò ØÓ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ØÓÖ Þ Ø ÓÒº Ï ÓÛ Ö ÓÛ Ø ÔÔÐ Ò Σ Ò Û Û ÐÐ ÓÑ Ð Ø Ö ØÓ Ø Ù Ò Ò Ö Ð Ð ØØ º ½ ¾
10 Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù Ò Ø ÓÒ ½ Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ØÛ Ò ÛÓÖ ºµ (x,y,z,t) Σ Ö Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Û ÒÓØ x : y : z : t Ò ÓÒÐÝ Ø Ö Ü Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö n Ò ØÛÓ Ø Ó ÛÓÖ (α i ) i {1,n} Ò (β i ) i {1,n} Σ Ù Ø Ø x = α 1...α n, t = β 1...β n, y = α 1 β 2 α 3...α n, z = β 1 α 2 β 3...β n x = α 1...α n, t = β 1...β n, y = β 1 α 2 β 3...α n, z = α 1 β 2 α 3...β n Ò i {1,n}, α i β i ǫº Ü ÑÔÐ º Ö ÔØ ÓÒ Ö Ø ÓÒ :: ÔØ Ú Ø Ú Ò Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ØÛ Ò ÛÓÖ Û Ø n = 3 Ò Ø ØÓÖ α 1 = re α 2 = cept α 3 = ion β 1 = de β 2 = fect β 3 = iveº Ì ÙØ ÓÖ Ú ÓÛÒ Ø Ø Ø Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÓÖÑ ØÓ Ø Ü ÓÑ º Ì Ö Ü Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Û Ú Ò Ò Å Ð Ø Ø Ðº ¾¼¼ µ Û Ø Ø Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ú Ö Ø Ü ÓÑ Û Ðк Ò Ø ÓÒ ½ Ä Ø u v w Ò x ÓÙÖ ÛÓÖ Ò Σ º Ï ÙÑ Ø Ø Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò ÓÒ Σº Ï ÜØ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ Σ ǫ = Σ {ǫ} Ò Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ a : ǫ :: a : ǫ ÓÖ ÐÐ a Σº Ì Ò u v w Ò x Ö Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Σ Ø Ö Ü Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ ØÛ Ò Ø ÓÙÖ ÛÓÖ Ù Ø Ø Ú ÖÝ ÓÐÙÑÒ Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Σ ǫ º ÓÖ Ü ÑÔÐ º Ä Ø Σ = {a,,c,a,b,c} Ò ÐÔ Ø Û Ø Ø ÒÓÒ ØÖ Ú Ð Ò ÐÓ Ð ÔÖÓ¹ ÔÓÖØ ÓÒ :: :: Ò :: Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÒÑ ÒØ ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Σ ØÛ Ò Ø ÓÙÖ ÛÓÖ CaCA CaBA ac Ò aº C C C B c A A Ä Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ò Ø ÓÒ º Ì ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ù Ò Ð ÒÑ ÒØ ÓÛÒ ØÓ ÑÔÐÝ Ø Ö Ø ÓÒ ÒÓØ Ø Ö Ú Ö µº ÀÓÛ Ú Ö ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÑÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ø ÓÒ Ð ØÓ ÓÑÔÐ Ø ÕÙ Ú Ð Ò À Ò ¾¼½½µº º º Ò ÐÓ Ð ÈÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ä ØØ Í Ò Ø ØÓÖ Þ Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ Ø ÙØ ÓÖ Ó ËØÖÓÔÔ Ò ÚÓÒ ¾¼¼ µ Ú ÓÙÒ Ø Ø Ò Ö Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ú Ò Ò Ð ØØ º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ø Ò Ø ÓÒ Ø Ý Ú Ú Ò Û ÙÒÓÑÔÐ Ø º Ï Ú Ö Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ º Ò Ø ÓÒ ½ ÓÖ ÓÙÖ Ð Ñ ÒØ (x,y,z,t) (L,, ) 4 Ø Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÒÓØ (x : y :: z : t) ØÖÙ Ò ÓÒÐÝ x = (x y) (x z) Ò y = (x y) (t y) Ò x = (x y) (x z) y = (x y) (t y) z = (t z) (x z) Ò t = (t z) (t y) t = (t z) (t y) Ò z = (t z) (x z) ÑÔÐ Ü ÑÔÐ Ó ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ð ØØ Ú Ò Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ º Àº ÈÖ Ò Äº Å Ð Ø Ô Ö ÓÒÒ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒº ½
11 Å Ð Ø Ö ÓØ Â Ù Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ä Ø y Ò z ØÛÓ Ð Ñ ÒØ Ó Ð ØØ º ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÓÐ (y : y z :: y z : z) Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÐÓ Ð º º Ä ÖÒ Ò ÖÓÑ U Ø Ö Ú Ò Ú Ò Ø Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ Û Ú ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ Ö Ö Ñ Ö Ò ÒØ ÓÒ ÖÒ Ò ÓÑ ÔÓ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø ÛÓÖ ØÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ú Ñ Ò Ð ÖÒ Ò Ò ÓÒÒ Ü ÓÒ Û Ø Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ð ØØ ØÖÙØÙÖ º Ö ØÐÝ Û Ò ÒÚ Ø Ø Ò Ø ÓÒÒ Ü ÓÒ ØÛ Ò ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ò Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ö Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ý ØÓ ÓÛ ÖÓÑ ¹ Ò Ø ÓÒ ½ Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¼ t L(A w ({u,v})), w (u,v) Ù Ø Ø w (u,v), t L(A w ({u,v})), Ù Ø Ø t : u :: v : w t : u :: v : w Ì u = aca Ò v = aac Û Ø Ø Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ y = aº Ì Ð ÒÑ ÒØ ( a ca, a a c) ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ðº Ì Ð Ò Ù L(A a ({u,v}) ÓÒØ Ò Ø ÛÓÖ w = aacacº ÁÒ Ø Ò Ð ÒÑ ÒØ ÓÒ Ò Ó ÖÚ Ø Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Û Ù :: Ú Ý a a c a c a c a a a c a ÀÓÛ Ú Ö Û Ø Û Ö Ö ÐÐÝ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ Ò ÓÛ Ù Ò Ø Ð ØØ U Ò Ø Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØ ØÓ Ò Ö Ð Þ Uº ÓÒ Ö Ñ Ö Û ÒÓØ Ø Ø ÒÝ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ A Ò U Ö ÔÖ ÒØ Ò ÒØ Ò ÓÒ Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ù (A) Ð Ó ÛÖ ØØ Ò L(A(U)) Ò Ø Ø ÓÒ ¾º Ò ¾º º Ï Ò Ð Ó ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø Ò Ø ÓÒ ¾º Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ò ÒØ Ò ÓÒ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ò Ù Û Ø Ø ÝÒØ Ø Ò ÐÝ Ð ØÝº Ì Ö ÓÖ Û Ú ÔÓØ ÒØ ÐÐÝ Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð Ð ØØ Ó Ò Ø ÙØÓÑ Ø Ò ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ð ØØ Ó Ù Ø Ó U ÙØÓÑ ØÓÒ Ö Ó Ò Þ Ò Ø Ð Ò Ù Û Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ø ÙÔÔÓÖØ Ø Ð Ù Ø Ó Uº Ï ÒÓØ Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ Ö Ú ÖÓÑ Ø Ù ÛÓÖ Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ý M N m M, n N Ù Ø Ø m nº ÓÖ Ü ÑÔÐ {a,c} {acd,e}º Ì Ö Ò Ô ÖØ Ð ÒÐÙ ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ð Ò Ù Ö Ó Ò Þ Ý Ø Ð ØØ Ó ÙØÓÑ Ø ÓÑÔ Ø Ð Û Ø Ø Ø Ó Ø Ù Ø Ò Ø Óй ÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ ÓÐ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½½ ÓÖ ÒÝ Ù Ø J Ò K Ó U Ø Ø Ö ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ L(A(J)) L(A(K)) J K Ò (K) (J)º ÆÓØ Ø Ø Ø ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ó Ù Ð ØØ Ó ÙØÓÑ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ü ÑÔÐ Ø Ó Ø ÒØ Ò Ø ÙØÓÑ Ø Ò Ö Ò Ð À Ù Ö ¾¼½¼µº Ì ÓÙÐ ÓÒ ÓÖ Ø Ù Ó ÓÙÖ Ð ØØ Ò Ñ Ò Ð ÖÒ Ò º
12 Ä ØØ Ó Ë Ø Ó Ð ÒÑ ÒØ Ù ÐØ ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ËÙ ÛÓÖ Ò Ò Ø Ä Ò Ù ÒÓØ Ö Ø Ö ØÓ ÓÐÐÓÛ ÓÙÐ Ø Ó Ò ÐÓ Ð ÐÓ ÙÖ Ó Ò Ø Ð Ò Ù Ö Ò Ä Ô ¾¼¼ µ Ò Ø Ø Ó Ò ÐÓ Ð Ò Ö Ø ÓÒ ÝÓÙ Ø Ðº ¾¼¼ µº ÁÒ ÓØ ØÖ ÔÐ Ó ÛÓÖ Ö Ø Ò Ò Ø Ð ÖÒ Ò ÑÔÐ Ò ÓÙØ ÒØ Ò Ò Ö Ø ÙÒ Ö Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø Ø ÓÙÖ ÒØ Ò Ö Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒº ÁØ ÒÓØ Ý Ø Ð Ö ØÓ Ø ÙØ ÓÖ ÓÛ Ø Ø Ò ÕÙ Ò ÓÑ Ò Û Ø Ø Ð ØØ ØÖÙØÙÖ ÙØ Ø ÓÙÐ ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ö Ó Ñ Ò Ð ÖÒ Ò ÓÒ Ø Ó ÓÖÑ Ð ÓÒ ÔØ Ò ÃÙÞÒ Ø ÓÚ ¾¼¼½µº ÁÒ Ø ÓÒ ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ö ÒØ ÓÒ ÔØ Ó ØÖ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ã ÔÖÞ Ò Ã ØÞ Ò ¾¼½¼µ Ú Ò Ù Ø ØÓ Ø ÙØ ÓÖ Ò Ø Ñ Ò ÒØ Ö Ø Ò ØÖ ØÓ ÓÐÐÓÛº º ÓÒÐÙ ÓÒ Ò Ð Ó Ö Ô Ð ÓÑÑ ÒØ Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò ÓÒ ÐÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ Ù ÕÙ Ò Ù ÛÓÖ µ ÓÖ ÓÒ ÓÖØ Ø ÓÑÑÓÒ ÙÔ Ö ÕÙ Ò ÙÔ ÖÛÓÖ µ ØÓ ØÛÓ ÓÖ ÑÓÖ ÛÓÖ Ò Û ÐÐ ÓÚ Ö º º Ù Ð µ ÔÔ ¾ ¹¾ Ò ¼ ÁÖÚ Ò Ò Ö Ö ¾µµº ÀÓÛ Ú Ö ØÓ Ø Ø Ó ÓÙÖ ÒÓÛй Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ò ÒØ ÒØ ÓÒ Ð Ò Ø ÓÒ ØÓ Ø Ø Ó Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ Ò Ñ Ò Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ Ó Ø Ó ÛÓÖ ÒÓØ Ò ÜÔÐÓÖ Ý Øº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú Ö Ø Ö Þ Ú Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ð ØØ Ó Ð ÒÑ ÒØ Ø ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó Ñ Ò Ñ Ð ÙÔ ÖÛÓÖ Ò Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ÖÓÑ Ø Ó ÛÓÖ º Ï Ú ÒÓØ ÛÓÖ Ý Ø Ò Ø Ö ÓÒ Ø Ø ÓÖ Ø Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø Ð ØØ Ó Ð ÒÑ ÒØ ÒÓÖ ÓÒ Ø ÔÖ Ø Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ï Ú Ð Ó Ú Ò ÒØ ÓÒ Ù Ò Ø Ð ØØ ÓÖ Ø Ð ÖÒ Ò Ó ÒØ Ò ÓÒ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ù Ò Ö Ð Þ Ò Ò Ø Ø Ó ÛÓÖ º ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ö ÙÐØ ÓÑ Ø Ñ Ñ ÒØ ÖÔÖ Ø µ Ú Ò Ý Å Ö Å Ö µ Û Ó ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ø Ø Ý»ÒÓ ÐÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ Ù ÕÙ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ý»ÒÓ ÓÖØ Ø ÓÑÑÓÒ ÙÔ Ö ÕÙ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÆÈ¹ÓÑÔÐ Ø ÓÖ ÐÔ Ø Ó Ù ÒØ Þ º ÁØ Ð Ó ØÖÙ Ø Ø Ò Ò Ø Ð Ò Ø Ó ÓÖØ Ø ÐÓÒ Øµ ÙÔ Ö Ù µ ÕÙ Ò ÓÑÑÓÒ ØÓ Ø Ó k ÕÙ Ò Ò O(m 1...m k ) ÓÑÔ Ö ÓÒ Û Ø m i Ø Þ Ó Ø i¹ø Ó Ø k ÕÙ Ò Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò kº Ì ÛÓÖ Ó Ö Ö Ò ÁÖÚ Ò Ö Ö Ø Ðº µ Ú ÔÖÓ Ù Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ò Ø ÐÓÒ Ø Ñ Ò Ñ Ð ÓÑÑÓÒ ÙÔ Ö ÕÙ Ò ÙÔ ÖÛÓÖ µ Ò Ø ÓÖØ Ø Ñ Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÕÙ Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ º ËØÖÓÔÔ Ò ÚÓÒ ¾¼¼ µ Ú Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ØÛ Ò ÛÓÖ Ò Ð Ó Û Ø Ò Ð ØØ Ø Ø Û Ú ÓÑÔÐ Ø Ò Ø Ò Ò Ø ÓÒ ½ º Ö Û ÒÓÛ Ø Ö Ø ÓÒÐÝ ÒÚ Ø Ø ÓÒ ÓÙØ Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ø Ð ØØ º Å Ò Ð ÖÒ Ò Û Ø Ø ÐÔ Ó Ð ØØ ØÖÙØÙÖ Ö ØÐÝ ÒÚ Ø Ø Ò Å Ø ÐÐ µº Ê Ö Ò ÓÒ ÛÓÖ ÓÒ Ð ÖÒ Ò Û Ø ÐÓ Ð ØØ Ò ÓÙÒ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò ÃÙÞÒ Ø ÓÚ ¾¼¼½µº Ì Ó Ò Ø Ú Ô Ø Ó Ö ÓÒ Ò Ò Ð ÖÒ Ò Ý Ò ÐÓ Ý Ò ÓÙÒ Ò ÒØÒ Ö Ø Ðº µº Å Ø Ó ÓÐÓ Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ð ÖÒ Ò Ý Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò ÓÙÒ Ò Å Ð Ø Ø Ðº ¾¼¼ µº Ä ÖÒ Ò ÒØ Ò ÓÒ Ð ÜÔÖ ÓÒ Ó Ð Ò ÖÓÑ ÛÓÖ Ø Ñ ØØ Ö Ó Ö ÑÑ Ø Ð ÁÒ Ö Ò Ð À Ù Ö ¾¼½¼µº Ì ÙØ ÓÖ Û ÒØ ØÓ Ø Ò Ø ÒÓÒÝÑÓÙ Ö Ú Û Ö ÓÖ Ø Ö ÐÔº
13 Å Ð Ø Ö ÓØ Â Ù Ý Ê Ö Ò Ëº ÝÓÙ Àº ÅÓÙ Ö Äº Å Ð Ø Ò º ÒÕÙ Ø Ðº Ä ÖÒ Ò Ð Ö Û Ø Ú ÖÝ Û Ü ÑÔÐ Ò ÐÓ Ý Ò ÒÓÛÐ Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ò Û Ü ÑÔÐ ÓÖ Ö Ø Ö Ö Ó Ò Ø ÓÒº ÁÒ ÙÖÓÔ Ò ÓÒ Ö Ò ÓÒ Å Ò Ä ÖÒ Ò ËÔÖ Ò Ö ÄÆ Á ¼½ ¾¼¼ º º Ð À Ù Ö º Ö ÑÑ Ø Ð ÁÒ Ö Ò º Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼½¼º º Ö Ö Êº ÁÖÚ Ò Ò Åº Å Ò ÓÖ º Å Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÕÙ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ð ÓÑÑÓÒ ÙÔ Ö ÕÙ Ò º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ½¾ ½ º º ÒØÒ Ö Ãº ÀÓÐÝÓ Ò º ÃÓ ÒÓÚ ØÓÖ µº Ì Ò ÐÓ Ð Å Ò È Ö Ô Ø Ú ÖÓÑ Ó Ò Ø Ú Ë Ò º ÅÁÌ ÈÖ º º Ù Ð º Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ËØÖ Ò ÌÖ Ò Ë ÕÙ Ò º Ñ Ö ÍÒ Úº ÈÖ º º Ò À Ò º ÔÔÖ ÒØ Ô Ö Ò ÐÓ ØÖÙØÙÖ ³ Ö Ö º È Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ê ÒÒ ½ ¾¼½½º ʺ ÁÖÚ Ò Ò º Ö Öº ÌÛÓ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÐÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ Ù ÕÙ Ò Ó Ø Ö Ò ÑÓÖ µ ØÖ Ò º ÁÒ ÈÖÓº Ö ËÝÑÔº ÓÒ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð È ØØ ÖÒ Å Ø Ò º ËÔÖ Ò Ö Ä ÆË Ô ¾¾¾ ¾º ʺ ÁÖÚ Ò Ò º Ö Öº Å Ü Ñ Ð ÓÑÑÓÒ Ù ÕÙ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ð ÓÑÑÓÒ ÙÔ Ö ¹ ÕÙ Ò º ÁÒ ÈÖÓº Ö ËÝÑÔº ÓÒ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð È ØØ ÖÒ Å Ø Ò º ËÔÖ Ò Ö Ä ÆË ¼ Ô ½ ½ º º à ÔÖÞ Ò Ìº à ØÞ Ò º ËØÖ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ð ÖÒ Ò Ù Ò Ð ØØ º ÁÒ ÄÆ Ë ¼ ½ ÚÓÐÙÑ ¼ ½ Ô ¼ ½º ËÔÖ Ò Ö ¾¼½¼º Ǻ ÃÙÞÒ Ø ÓÚº Å Ò Ð ÖÒ Ò ÓÒ Ø Ó ÓÖÑ Ð ÓÒ ÔØ Ò ÐÝ º ÙØÓÑ Ø ÓÒ Ò Ê ÑÓØ ÓÒØÖÓÐ ¾ Á Ù ½¼ ¾¼¼½º º Ä Ô º г Ò ÐÓ Ö Ò ÒØ ÓÑÔØ Ð ÓÑÑÙØ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ù Ø ÕÙ º ÍÒ Ú Ö Ø Ö ÒÓ Ð Ö ÒÓ Ð ¾¼¼ º À Ð Ø Ø ÓÒ Ö Ö Ð Ö Ö º º Å Öº Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ù ÕÙ Ò Ò ÙÔ Ö ÕÙ Ò º  Š¾ ¾ º ĺ Å Ð Ø Ëº ÝÓÙ Ò º Рݺ Ò ÐÓ Ð Ñ Ð Ö ØÝ Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ØÛÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Ñ Ò Ð ÖÒ Ò º  ÁÊ ¾ ¾ ¾¼¼ º ĺ Å Ð Ø Æº Ö ÓØ Ò º  ٠ݺ Ì ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ö Ó Ò Þ Ò Ü ØÐÝ Ø ÐÓ ÐÐÝ Ñ Ü Ñ Ð Ù ÛÓÖ ÓÑÑÓÒ ØÓ ØÛÓ Ò ÑÓÖ µ ÛÓÖ º ËÙ Ñ ØØ ¾¼½¾º ̺ Å Ø Ðк Å Ò Ä ÖÒ Ò º Å Ö Û À ÐÐ º ƺ ËØÖÓÔÔ Ò º ÚÓÒº Ò ÐÓ Ð Ð ÖÒ Ò Ò ÓÖÑ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ñ Ø Ó ÓÐÓ Ð Ù º Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ÆË̹¾¼¼ ¹ ¼¼ ÆËÌ ÂÙÒ ¾¼¼ º ʺ Ï Ò Ö Ò Åº Öº Ì ØÖ Ò ¹ØÓ¹ ØÖ Ò ÓÖÖ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø Å ¾½ ½µ ½ º
Ð Ò ØÓ ØØ Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ÙÐØº Ì ÓÙÖ Ô Ö Ñ ØÓÛ Ö Ø Ø Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ÙÐØ Ò Ô Ö Ý Ø Ô Ô Ö Ó È Ô Ñ ØÖ ÓÙ Ò Î ÑÔ Ð ÓÒ ÌÖ Ú Ð Ò Ë Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ µ Ø
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ À Ö Ò ÓÖ ËÑ ÐÐ ÇÙÖÖ Ò ÁÒ Ø Ò Ó ÆÈ¹À Ö ÈÖÓ Ð Ñ Å ÖÓ Ð Ú Ð Ò Â Ò Ð ÓÚ ¾ ¾ ÅÈÁ ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ë Ò ¹¼ ¼ Ä ÔÞ Í ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÙÒ ÈÖ Ø Å Ø Ñ Ø ¹¾ ¼ Ã Ð Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ ¹ к ØÖ غ Ì Ô Ô Ö ÓÒØÖ
½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ê ÒØ Ö ÙÐØ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÐ ÒÒ Ö ½ Ú Ö Ø Ò¹ Ø Ö Ø ÓÖ Ù Ø Ð ÔÔÐ Ð ØÝ Ó Ø ÔÐ ÒÒ Ò ÔÔÖÓ ØÓ Ñ ÒÝ Ö Ð ÛÓÖÐ ÔÖÓ Ð Ñ º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ø ÔÖ
Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ë ÌÈÄ Æ ÓÖ ÔÐ ÒÒ Ò Û Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Å ÖÓ ÓÐ ØØ ËØ ÒÓ Å ÖÙ Ò Ð Ö Ó Å Ð Ò Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ð ËØÙ È ÖÙ Î Î ÒÚ Ø ÐÐ ¼ ½¼¼ È ÖÙ ÁØ ÐÝ ¹Ñ Ð Ñ ÖÓ ÒÓ Ñ Ð Ò ÔÑ ØºÙÒ Ô º Ø Ì Ðº ¹¼ ¹ º
Ó Ú ÐÙ Ö ÒÚÓÐÚ Ò ÖØ Ò Ô ÖØ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñµ Ò ØÓ ÐÔ Ø Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ñ Ø º ÁÒ Ø Ø ÐÐÝ ØÝÔ Ð Ò Ù Ø ØÝÔ Ö ÒÓØ Ò ÓÑ Ø Ò Ø Ø Ø Ô ÖØ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÙØ Ö Ø Ö ÓÑ Ø Ò
ÙÒ Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ô Ò Ò ÓÖ Ö Øµ ÌÝÔ Î ÐÙ Ò ËØ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò À ÐÐ Ì ÓÑ À ÐÐ Ö Ò Ñ Ö ¾ ¾¼¼¼ ØÖ Ø Ì Ô Ô Ö ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÛ À Ðг ØÝÔ Ð Ý Ø Ñ Ò Ù ØÓ ÜÔÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ º Ë Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÝÔ Ð Ú Ð Ö Ô Ö ÓÖÑ Ý Ø ØÝÔ
LCNS, Vol 1767, pp , Springer 2003
Ø Ö Ü Ø ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Å Ü¾Ë Ø Â Ò Ö ÑÑ ÊÓÐ Æ ÖÑ Ö Ï Ð ÐÑ¹Ë Ö ¹ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò Ë Ò ½ ¹ ¾¼ ÌĐÙ Ò Ò º Ê Ôº Ó ÖÑ ÒÝ Ö ÑÑ Ò ÖÑÖ Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ ¹ØÙ Ò Òº ØÖ غ Ú Ò ÓÓÐ Ò ¾ Æ ÓÖÑÙÐ Ø Å Ü¾Ë
Ä ÓÖ ØÓ Ö ÓÖ Ð Ê Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÍÅÊ ¼¼ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø ÓÖ ÙÜ Á ½ ÓÙÖ Ð Ä Ö Ø ÓÒ ¼ Ì Ð Ò Ü Ö Ò Ê Ö Ê ÔÓÖØ Êʹ½ ¼ ¹¼ Ò Æ ÒØ Ò ÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø Û Ò Ð Ó ÓÙÑ ÒØ Ñ Ý Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ý Â ÕÙ ¹ÇÐ Ú
Ï Ó ØÖ Ù ÛÓÖÐ Ý Ù Ð Ø Ö Ø ÓÖ Ð Ö Ð Ø Ú ØÓ Û ÆÈ ËÈ ÊË Ó ÓØ Ú ÓÑÔÐ Ø Ø º Å Ö ÌÓÖ ÅÌ Ú Ö Ð Ø Ú Þ Ð ÔÖÓÓ Ø Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ Ü Ø Ø ÆÈ ËÈ ÊË Ó Ú ÓÑÔÐ Ø
ÇÔØ Ñ Ð ÈÖÓÓ ËÝ Ø Ñ ËÔ Ö Ë Ø À ÖÖÝ Ù ÖÑ ½ ËØ Ú Ö ¾ Ä ÓÖØÓÛ Ø Ö Ú Å Ð Ý ½ ÏÁ ¾ Í Ú Ö ØÝ Ó ËÓ ÖÓÐ Í Ú Ö ØÝ Ó Ó Í Ú Ö ØÝ Ó Ó ÁÅ Ë ØÖ غ Ï Ü Ø Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ Û Ö ÆÈ ËÈ ÊË Ó ÓÑÔÐ Ø Ø º Ì Ú Ø Ö Ø Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ
ÁËÁË Ø Ò Ð Ö ÔÓÖØ Ö ÎÓк ½¼ ¾¼¼¼ ÖÓÙÒ ÜØÖ Ø ÓÒ Ó ÓÐÓÙÖ ÁÑ Ë ÕÙ Ò Ù Ò Ù Ò Ñ ÜØÙÖ ÑÓ Ð ËØ ÒÑ Ò Ò Ê Ò Ú Ò Ò ÓÓÑ Ö ÁÒØ ÐÐ ÒØ Ë Ò ÓÖÝ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò
R E S E A R C H R E P O R T I D I A P
R E S E A R C H R E P O R T I D I A P ËÇŹ ÐÙ Ø Ö Ò ÓÖ ÇÒ¹Ð Ò Ö Ù Ú ÓÖ Ð Ø ÓÒ ËØÙ Ý Î Ò ÒØ Ä Ñ Ö Á Á ÈßÊÊ ¼¾¹ ¼ ÂÙÐÝ ¾¼¼¾ Ö Ð ÖÓØ ØÓ ÔÔ Ö Ò ÙÞÞÝ ËÝ Ø Ñ Ò ÃÒÓÛÐ ÓÚ ÖÝ Ëà µ ¾¼¼¾ Ð Ð Å Ó Ð Ð Á Ò Ø Ø Ù Ø Ó
ÈÓ ÓÚ Ò º Æ ÔÖÚ Ù Ù ÚÓ ÓÚ Þ Ó ØÖÔ Ð Ú ÔÖ Ò Ú Ò Ø ØÓ ÔÖ º Ð Ù ÚÑ ÖÓ óñ Ô Ø ÐóÑ Þ ØÓÐ Ö Ò ØÖÔ Ð ÚÓ Ø Ñ Ô Ò Ø ØÓ ÔÖ º
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ à ÄýàËÃý ÈÊý ÎÓ Ø ÌóÑ Ö ÚÒÓ Ø Ö ó Ò ÔÐÓ Ã Ø Ö ÔÐ ÓÚ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ý Î ÓÙ Ð ÔÖ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ËØÙ Ò Ó ÓÖ Å Öº ÚÓ Ò È º º ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó Ò Ò ÓÖÑ Ø ÈÖ ¾¼½½ ÈÓ ÓÚ Ò º Æ
½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÒÓÑ ÈÓÖØ Ð Û ¹ ÒØ Ö Ø Ú ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÔÐ Ø ÓÖÑ ÓÖ Ø Ò Ð¹ Ý Ò Ñ Ò Ò Ó ÒÓÑ Ø º Ï Ñ ØÓ ÒØ Ö Ø Ø ÔÖ Ñ ÖÝ ÒÓÑ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÒÓÛÐ Ò Ò ÐÝØ Ð ØÓÓÐ Û
ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ ¾ ËØ ÖØ Ý ÓÒ ØÖÙØ Ò Ò Ð Ø ¾ ¾º½ Í Ò ÔÖ Ò Ò Ð Ø µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ë Ö ÓÖ Ò Ó ÒØ Ö Ø Ù Ò ÒØÖ Þ ÝÑ ÓÐ ÓÖ Ö ÔØ ÓÒº ¾º È Ø Ð Ø Ó Ò Ò Ø ÓÜ ÔÖÓÚ º º º º
Ø ÑÔÐÝ Ù Ø Ø Ø Ø ÔÖÓÓ ÒÓÖÑ Ð Þ Ò Ø ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÖÝ ÔÖ ¹ÑÓ Ð Û Ð Ú Ö ÒØ Ó Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÔÖÓÓ º ÁØ ÛÓÖØ ÒÓØ Ò Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð ÒÓ
Ì ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ ÑÓ ÙÐÓ ÐÐ ÓÛ ÁÆÊÁ ¹ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ºÈº ½¼ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò º ÐÐ º ÓÛ ÒÖ º Ö ØØÔ»»ÐÓ Ðº ÒÖ º Ö» ÓÛ ØÖ غ Ì ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó Ò Ú Ø Ø ¹ ÓÖÝ Û Ö Ø ÓÑÔÖ Ò ÓÒ Ñ Ö ØÖ Ø ØÓ ØÖ Ø Ð ÔÖÓÔÓ
ÓÖ Ö ÛÓÖ Ò Ô Ö Ó ØÝ Ò Ø ÛÓÖ ÓÖ Ö Ø ÔÖÓÔ Ö ÔÖ Ü ÕÙ Ð ØÓ ٠ܺ ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ Ö º Á ÛÓÖ ÒÓØ ÓÖ Ö Û Ý Ø ÙÒ ÓÖ Ö ÓÖ ÓÖ Ö¹ Ö º ÓÖ Ü ÑÔÐ ½¼ Ò = ½¼¼ ¼ Ö ÙÒ ÓÖ Ö
Ð Ò ÓÖ Ö ØÓÖ Ò Ô Ö Ó ØÝ Ñ Ð ÖÐ Ö ÂÓ ÒØ ÛÓÖ Û Ø Ì ÖÓ À Ö Ù ËÚ ØÐ Ò ÈÙÞÝÒ Ò Ò ÄÙ Ñ ÓÒ µ Ö Ø Å Ø Ñ Ø Ý ¹ Ä ¹ ¾¼½  ÒÙ ÖÝ Ø ÓÖ Ö ÛÓÖ Ò Ô Ö Ó ØÝ Ò Ø ÛÓÖ ÓÖ Ö Ø ÔÖÓÔ Ö ÔÖ Ü ÕÙ Ð ØÓ ٠ܺ ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ Ö º Á ÛÓÖ
ÁÒ Ø ÖÑ Ó Ð Ò Ù Ø ÓÖÝ ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÖÖ Ò Ò ØÓÖ Ö Ò Ò Ò¹ Ø Ð ÜØ Ò Ò Ü ØÐÝ Ø Ñ Ð Ó Ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù Ò Ö Û Ø Ø Ò Ö Ö ÙÐ Ö ÜÔÖ Û Ø ÓÙØ ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÖÖ Ò Ò ØÓÖ º ÇÒ Ø
Ê ÙÐ Ö ÜÔÖ Û Ø ÆÙÑ Ö Ð ÇÙÖÖ Ò ÁÒ ØÓÖ ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ Ö ÙÐØ È Ã ÐÔ ÐĐ Ò Ò Ò Ê ÙÒÓ ÌÙ Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÃÙÓÔ Ó Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÈºÇº ÓÜ ½ ¾ Áƹ ¼¾½½ ÃÙÓÔ Ó ÒÐ Ò È ºÃ ÐÔ Ð Ò Ò Ê ÙÒÓºÌÙ Ò Ò ºÙ Ùº ØÖ غ Ê ÙÐ
ß ¾ ß ËÌÊ Ì ÌÓ Ò Ò Ø ØÓ Ø Ù Ó Ð Ñ ÒØ ÖÙÔØ ÓÒ Ò Ö ÓÒ Ø ÙÒ Û Ó ÖÚ Ð Ñ ÒØ Ø Ø ÖÙÔØ Ò Ø Ú Ö ÓÒ ÆÇ º Ì Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó À«ÐØ Ö Ö Ñ Ø Ø Ö Û Ú Ð Ò Ø Ð Ò ÒØ Ö
Ê Ô Ò Ò Å Ò Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ç ÖÚ ÓÖ Ð Ñ ÒØ ÖÙÔØ ÓÒ Ò ÁØ Ó Ø Ð Ö ÂÙÒ ¹ÀÓÓÒ Ã Ñ Àº ˺ ÙÒ Ë Ò ÛÓÓ Ä ØÖÓÒÓÑÝ ÈÖÓ Ö Ñ Ë ÓÓÐ Ó ÖØ Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ð Ë Ò Ë ÓÙÐ Æ Ø ÓÒ Ð ÍÒ Ú Ö ØÝ Ë ÓÙÐ ÃÇÊ ½ ½¹ ¾ Ñ ØÖÓº ÒÙº º Ö Ò ÂÓÒ
median slowdown uniform harmonic powers of generated load
Ì ÓÖ ÓØØ Ò ØÓÖ Ø ÓÒ È Ö ÓÖÑ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ô Ò Ò ÓÒ ÏÓÖ ÐÓ ÖÓÖ º Ø Ð ÓÒ Ë ÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò Ò Ò Ö Ò Ì À Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ ½ ¼  ÖÙ Ð Ñ Á Ö Ð Ø º Ù º º Ð ØØÔ»»ÛÛÛº º Ù º º л Ø ØÖ غ Ì Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó ÓÑÔÙØ
3D Interaction in Virtual Environment
3D Interaction in Virtual Environment Â Ò Ð Ö Ö ºÑÙÒ ºÞ ÙÐØÝ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø Å ÖÝ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÖÒÓ» Þ Ê ÔÙ Ð ØÖ Ø ÀÙÑ Ò¹ ÓÑÔÙØ Ö ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ô ÓÙÐ Ò Ð Ù Ö ØÓ ÒØ Ö Ø Ö ÐÝ Û Ø Ú ÖØÙ Ð Ó Ø º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ø Ñ
½µ ÓÖ È µ Ô ÛÒ Ò Ò Ø Ò Ó ÔÖÓ È ÓÖ ÓÙÖÖ Ò Ó ÙÖÖ ÒØÐÝ Ò Ø Ø Ô ¾µ ÒÓØ Ý È µ ÔÖÓ Ù Ð Ø Ò Ö Ø Ø Û ÒÓØ Û Ø ÓÒ È µ Û Û ÐÐ Ô ÛÒ Ò Ò Ø Ò Ó È Ø Ñ Ò Û ÔÖÓ Ù µ ÑÓ
ËØ Ø ¹ Ò Ú ÒØ¹ Ê Ø Ú ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ò Ë Ö Ø Ô Æ Ù ½ ÒØÓÒÝ ÊÓÛ ØÖÓÒ ¾ Ò ÒÐÙ Ú ØØ ÖÓ ½ ½ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ë ÒÞ ÐгÁÒ ÓÖÑ Þ ÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÓÐÓ Ò È ÞÞ ÈÓÖØ ˺ ÓÒ ØÓ Á¹ ¼½¾ ÓÐÓ Ò ÁØ Ðݺ ¹Ñ Ð Ù Þ Ú ØØ Ö ºÙÒ Óº Ø ¾ Å ÖÓ Ó
Ñ Ø Û Ý ÖÓÙÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ì È Ý Ò³ Ê Ö Ò Ø ½ ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ñ Ð Ù Ð Ò ÓÖ Ø ÔÖ Ñ ÖÝ Ö ÖÓÑ Û Ô Ý Ò Ó Ø Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ò Ø ÓÙ ¾ º ÓÖ Ò ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ ØÙ Ý Ò
ÙØÓÑ Ø Ø Ø ÓÒ Ó Ô Ñ ÖÓÑ Ø Í ÄÓ Ó È Ý Ò ³ Ê Ö Ò Ø Â Ò À ÒÓ ½ Ò À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò ¾ ½ Æ Ø ÓÒ Ð ÈÙ Ð À ÐØ ÁÒ Ø ØÙØ À Ð Ò ÒÐ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó À Ð Ò Ò º ÒÓ º Ð Ò º ¾ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò
arxiv:cond-mat/ v2 [cond-mat.stat-mech] 12 Nov 2001
ÈÖ ÙÖ ÓÖ Ó Ø ØÖÓÔ Ò Ø ¹Ì Ò ¹Ï Ò Ð Å ÒÒ Ò arxiv:cond-mat/1736v2 [cond-mat.stat-mech] 12 Nov 21 Ö Ò ÓÑ Ö ÙÒ Ð ÑÓ Ð Ó ÐÙÖ ËÖÙØ Ö ÈÖ Ò (1) Ò Ãº Ö ÖØ (2) Ë ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÆÙÐ Ö È Ý ½» Ò Æ Ö ÃÓÐ Ø ¼¼ ¼ ÁÒ º ØÖ Ø
º Ê Ü Ú ØÝ Ó ¹ Ò Ó¹ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÇÙÖ ÈÖÓÔÓ Ð Ò ÇØ Ö Ä Ò Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÒØ ¹Ö Ü Ú ØÝ Ò Â Ô Ò Å Ã ÄÁÆ Ä Ø ÅÓ ÂÙÒ ¾¼º ¾¼¼ ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ ÖÓÙÒ ¾º½ Ò Ò Ì ÓÖÝ ÓÑ Ý ½ ½ ½ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ê Ü Ú ØÝ Ê Ò ÖØ Ò Ê ÙÐ Ò ½ µ º º º º º º º º º
ËØÖÙØÙÖ ½ Î Ö ÐÙ Ø Ö ¹ Ò ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ Ì Ø Ì ÈÙÞÞÐ Ì Á ÓÒÐÙ ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ Å Ö ¹ÄÙ ÈÓÔÔ ÍÒ Ä ÔÞ µ È Ö Ø È ÖØ ÔÐ ¾¼º¼ º½ ¾» ¾
È Ö Ø È ÖØ ÔÐ Å Ö Ð Ò Ò ² Ö ÀÓ ØÖ Å Ö ¹ÄÙ ÈÓÔÔ ÍÒ Ú Ö ØØ Ä ÔÞ Ñ Ö ÐÙ ÔÓÔÔ ÓØÑ Ðº ¾¼º¼ º½ Å Ö ¹ÄÙ ÈÓÔÔ ÍÒ Ä ÔÞ µ È Ö Ø È ÖØ ÔÐ ¾¼º¼ º½ ½» ¾ ËØÖÙØÙÖ ½ Î Ö ÐÙ Ø Ö ¹ Ò ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ Ì Ø Ì ÈÙÞÞÐ Ì Á ÓÒÐÙ ÓÒ
ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¾ ¾º½ Ö Ø ÇÖ Ö ÅÓ Ð ÄÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÖ Ö Ò ÃÖ Ô ÅÓ Ð º
ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ ÜÔÓ ÒØ Ë Ñ ÒØ Ò Ò ËÄ ¹Ê ÓÐÙØ ÓÒ ÐÙÐÙ ÓÖ ÅÓ Ð ÄÓ ÈÖÓ Ö Ñ Ä Ò Ò Æ ÙÝ Ò Ò ÙÝ ÒÑ ÑÙÛº ÙºÔÐ ÌÊ ¼½¹¼¾ ¾ µ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼½ Ð Ø Ö Ú Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ µ ØÖ Ø Ï ÔÖÓÔÓ ÑÓ Ð ÐÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ
ÓÖ Ø ÁÒØ Ð ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ðݺ Ê Ö Û ÒØ Ò Ò Ö Ð ÖÓÙÒ Ò Ñ Ð Ö ÔÖÓ Ö Ñ¹ Ñ Ò ÓÙÐ ÓÒ ÙÐØ ÔÔÖÓÔÖ Ø Ø ÜØ ÓÓ Ò ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ö Ö Ò Ñ Ò¹ Ù Ð ÔÙ Ð Ý ÁÒØ Ð Ò
ÒÙ Ñ Ð Ö Ì ÒÙ Ñ Ð Ö µ Ò ÓÔ Ò ÓÙÖ ¹ Ñ Ð Öº Ì Ñ Ð Ö ÒÐÙ Ø Ò¹ Ö Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ú Ð Ð ÓÖ ÓÛÒÐÓ ØÓ ÖÙÒ ÙÒ Ö Ï Ò ÓÛ º ÁØ ÔÖÓÚ ÙÔÔÓÖØ ÓÖ Ø Ò ØÖÙØ ÓÒ Ø Ó Ø Ó Ø Èͺ ÖÓ Ñ Ð Ö Ú Ö ÓÒ Ö Ð Ó Ú Ð Ð º Ì Ñ Ð Ö ÒÚÓ Ý Ø
Ï ÓÛ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ó ÐÓ µ ÕÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ð ÙÒ Ö Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ü ÔØ ÓÖ ÓÒ ÙÒ Ø Ð µ Ò ÓÑÔÙØ ¹ Ø ÓÒº ÅÓÖ Ô ÐÐÝ Û ÓÖÑÙÐ Ø ÕÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ ÓÐÚ Ò Ò Ø Ô Ö Ñ
ÉÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ ÍÒ Ö È ÖØÙÖ Ø ÓÒ ËØ Ò Ê Ø Ò ¹Ñ Ð ËØ ÒºÊ Ø ÒÖ ºÙÒ ¹Ð ÒÞº º Ø Ñ Ö ¾ ¾¼¼¼ ØÖ Ø ÉÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ º º Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ÓÚ Ö Ø Ö Ð ÒÙѹ Ö µ Ö Ó Ø Ò ÜÔÓ ØÓ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø ÓÑ ÖÓÑ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ
c ε c b ε b a ε c ε c ε c
Ì Ø ÓÖÝ Ó ØÓØ Ð ÙÒ ÖÝ ÖÔÓ Ð È Ð Ø Æ Ö Ò Ö Ò ½ Ò Å Ð ÊÙ ÒÓÛ Ø ½ ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ò ÄÓ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Æ Û ÓÖ Ø Ð ÒÝ Ð ÒÝ Æ ½ ÍË Ö Ò º Ð Òݺ Ù ÄÇÊÁ ¹ÁÆÊÁ ÄÓÖÖ Ò ½ ÖÙ Ù Ö Ò ÓØ
Z=102 Z= Z=98 Z= Z=94 Z=92
ÎÓк ¼¼ µ Ì ÈÀ ËÁ ÈÇÄÇÆÁ ÆÓ ÇÄÄ ÌÁÎ ÉÍ ÊÍÈÇÄ ÁÌ ÌÁÇÆË Ç ÌÊ ÆË ÌÁÆÁ ÆÍ Ä Á ú ĺ ÈÖ Ò Ãº ÈÓÑÓÖ ÁÒ Ø ØÙØ Ó È Ý Å Ö ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ÍÒ Ú Ö ØÝ Èк ź ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ½ ¼¹¼ ½ ÄÙ Ð Ò ÈÓÐ Ò Ëº º ÊÓ ÓÞ Ò Âº ËÖ ÖÒÝ ÙÐØÝ
ËÙ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ØÝ Ò Å Ø Ó Ü ÑÔÐ È Ö Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ó È Ö Ö ÓÒ Ø ÄÊ( ) Ö ÑÑ Ö ÄÊ(½) È Ö Ö Ò Ö Ø ÓÒ ÓÒ
ÓØØÓѹÍÔ ËÝÒØ Ü ËÝÒØ Ü Ò ÐÝ Ï Ð ÐѻŠÙÖ Ö ÓÑÔ Ð Ö Ò ÔØ Ö Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º Ò ÅÓÓÐÝ Ë Ú Ì Ð Ú Ú ÍÒ Ú Ö ØÝ ÚÑ Ø ºØ Ùº º Ð ËÙ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ØÝ Ò Å Ø Ó Ü ÑÔÐ È Ö Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ó È Ö Ö
¾
Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÈÖÓ Ð Ø Ö Ô Ð ÅÓ Ð Å Ð Áº ÂÓÖ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÓÖÒ Ö Ð Ý ÂÙÒ ¼ ¾¼¼ ¾ ÔØ Ö ¾ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÁÒ Ô Ò Ò Ò ØÓÖ Þ Ø ÓÒ Ö Ô Ð ÑÓ Ð Ò Ø ÓÙ Ø Ó ÔÖÓ Ð Ø Ø Ñ Ò Ø Ø Ò Ò Û Ö ÕÙ Ö Ö Ö Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ó Ö Ò ÓÑ
ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ð ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ ÒÓ Ò ÓÖ ÝÐ Ó ÙØÓÑÓÖÔ Ñ µ ÑÓ ÙÐ ÕÙ ¹ÝÐ µ ØÖÙ¹ ØÙÖ ÖĐÓ Ò Ö ÓÖ ÑÓ ÙÐ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó ÖÓÑ ÓÖ Ö ÓÑ Ò Ò¹ ÐÙ Ò ÓÔÔ Ó µ Ü Ñ
ÖĐÓ Ò Ö ÓÖ ÒÓ Ò Ó ÖØ Ò Ó ÖÓÑ ÇÖ Ö ÓÑ Ò ÂÓ Ò º Ä ØØÐ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÓÐÐ Ó Ø ÀÓÐÝ ÖÓ Ð ØØÐ Ñ Ø º ÓÐÝÖÓ º Ù ÊÁË ÏÓÖ ÓÔ Ä ÒÞ Ù ØÖ Å Ý ½ ¾¼¼ ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ð ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ ÒÓ Ò ÓÖ
ÇÙØÐ Ò È Ý Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÓÙ Æ ÙÐ ÄÓÛ¹ Ò ØÝ Ð Ñ Ø À ¹ Ò ØÝ Ð Ñ Ø Ü ÑÔÐ ÜØ ÒØ ÓÒ ØÓÛ Ö ÐÑ Ö Ö Ñ ÒØ Ò
ÜØ ÒØ ÓÒ Ò Æ ÙÐ Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ò Å ÖÓÕÙ Ö Ë Ø Ò È Ö Þ Åº Ã Ø Ö Ò ÐÙÒ ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÜ ÓÖ ØÖÓÔ Ý ÆÓÚ Ñ Ö ¾ ¾¼¼ ÇÙØÐ Ò È Ý Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÓÙ Æ ÙÐ ÄÓÛ¹ Ò ØÝ Ð Ñ Ø À ¹ Ò ØÝ Ð Ñ Ø Ü ÑÔÐ ÜØ ÒØ ÓÒ ØÓÛ Ö ÐÑ Ö Ö Ñ ÒØ
Scenarios. Individual Strategy Skill
Ä Ý Ö ËÔ Ø ÓÒ Ó ÁÒØ ÐÐ ÒØ ÒØ È ÙÐ Ë ÖÖ ÂÓ Ò Ö Ò Ò Æ ÒÝ Ê Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ë Ò Ä Ò ĐÓÔ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ë ¹ ½ Ä Ò ĐÓÔ Ò ËÛ Ò Ô Ù ºÐ Ùº Ó ÒºÝ Ö ÒÑ Ö ÙѺ Ò ÒÖ ºÐ Ùº ØÖ غ ÁÒØ Ö Ø Ú ÑÙÐ Ø ÓÒ ÒÚ
NS Ilist Clist F. F y<=w
Î Ö Ø ÓÒ Ó Ç Ø¹ÓÖ ÒØ ÈÖÓ Ö Ñ ÖÓÑ Ö Ò Ô ØÓ ÝÒ Ñ Ö Ñ Ú Æ ÙÑ ÒÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ËØ Ú Ò ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý È º º ÐÐ Ë ÓÓÐ ÓÒ ÄÓ Ò Ë Ñ ÒØ Ó ËØ Ø ÁÌ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÓÔ Ò Ò ÇØÓ Ö ¾¼¼ È ÖØ ÐÐÝ ÙÔÔÓÖØ Ý ÍË ÆË
Ø ÓØ Ö Ò Ø ÑÙÐØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÔÔÖÓ Ø Ò ØÓ ÒØÖÓ Ù Ò ÓÚ Ö Ù ØÓ Ø Ò Ó ÒÓ Ò Ú Ö Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ú Ö ÓÙ ÄÇ Û ÐÐ Ø Ô ÖØ Ð ÓÖ Öº Ì ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÑÙÐØ Ö ÓÐÙØ
Ê ÔÖ ÒØ Ò Î ÖØ ܹ Ë ÑÔÐ Ð ÅÙÐØ ¹ ÓÑÔÐ Ü Ñ ÒÙ Ð ÒÓÚ ÖÓ Ä Ð ÐÓÖ Ò È ÓÐ Å ÐÐÓ ÒÖ Ó ÈÙÔÔÓ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ë Ò ÁËÁµ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÒÓÚ Î Ó Ò Ó ½ ½ ÒÓÚ ¹ ÁØ ÐÝ ÒÓÚ ÖÓ ÐÓ Ñ ÐÐÓ ÔÙÔÔÓ ºÙÒ º Ø ØØÔ»»ÛÛÛº
Proceedings of the International Meteor Conference
ISBN 978-2-87355-024-4 Proceedings of the International Meteor Conference La Palma, Canary Islands, Spain 20 23 September, 2012 Published by the International Meteor Organization 2013 Edited by Marc Gyssens
Highest Legal Move Number Average Legal Move Number Lowest Legal Move Number. Legal Move Avg. Move Number
ÈÐ Ù Ð ÅÓÚ Ò Ö Ø ÓÒ Í Ò ÅÓÚ Å Ö Ø Ò ÐÝ Û Ø ÙØ¹Ç«Ì Ö ÓÐ Ò Ë Ó Ê Ö Ö Ñ Ö Ò ÓÑÔÐ Ü Ñ Ä Ð ØÖÓØ Ò Ð Ä ÓÖ ØÓÖÝ ½¹½¹ ÍÑ ÞÓÒÓ Ì Ù Ù ¹ Á Ö ¹ Ò Â Ô Ò ¼ ¹ Ö Ñ Ö ØÐº Óº Ô ØÖ غ ÁÒ Ñ Û Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ð ÑÓÚ ØÓÓ Ø ÒÓØ
¾ Ã Ó À Ð Ò Ó» ÄÓ ÈÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÐÓ Ò Ê Ð ØÝ ½º ÁÒØÖÓ ÓÒ È ØÖ Ò Ø Ö Û ÐÝ Ù ÑÓ Ð ÓÖ Ò ÐÝÞ Ò ÓÒÙÖÖ ÒØ Ò ØÖ Ý Ø Ñ º Ç Ø Ò Ù Ý Ø Ñ ÑÙ Ø Ü Ø Ö Ø Ú ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ø
ÙÒ Ñ ÒØ ÁÒ ÓÖÑ Ø ½ µ ¾ ¾ ¾ ÁÇË ÈÖ Í Ò ÄÓ ÈÖÓ Ö Ñ Û Ø ËØ Ð ÅÓ Ð Ë Ñ ÒØ ØÓ ËÓÐÚ ÐÓ Ò Ê Ð ØÝ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖ ½¹Ë È ØÖ Æ Ø Ã Ó À Ð Ò Ó Ý Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ Ì ÓÖ Ø Ð ÓÑÔ Ö Ë Ò À Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÈºÇº ÓÜ ¼¼ ¼¾¼½
¾ ÊÆ ËÌ Ë ÀÁÅÅ ÊÄÁÆ Æ Å ÊÌÁÆ Å Æ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ð Ö ÔÖ Ò ÔÐ ÔÖÓÚ ØÓ Ù ÙÐ Û Û ÐÐ ÓÒ Ö Ù Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ Ë ÑÑ ÖÐ Ò µº Ú Ò ØÛÓ Ö Ò Ð Ò Û Ý Ø
À Ê Ì ÊÁ ÌÁÇÆ Ç ÁÆ ÇÊ ÅÇ ÄË ÊÆ ËÌ Ë ÀÁÅÅ ÊÄÁÆ Æ Å ÊÌÁÆ Å Æ ØÖ غ Ï ÔÖ ÒØ Ò Ö Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ¹ ÕÙ Ò Ò Â Ò Ò³ Ò ØÖÙØÙÖ Ð ÜØ Ò Ö ÑÓ Ð º Ì ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ý Ð ÐÓ Ð Ò Ø ÓÒ Ó ÒÓÒ Ð ¹ ÕÙ Ò Û ÐÐ Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ó
Î Ö Ð X C = {x 1, x 2,...,x 6 }
º ÓÙ ÖÝ Ë Ù¹Û ¹Ö µ ÖØ À ÐÐ ÊÓÓÑ ¼ Ú ÖÝ º º ÓÙ ÖÝ ½ Å Ö ½ ¾¼½½ Ì ØÐ ÙØ ÓÖ ÈÖÓº È ÐØ Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÒ ØÖ ÒØ Ó Ö Ò Ò ËÈ Ê Ò Âº¹ º ½ Á ¾ Ó ÓÒ ØÖ ÒØ ÈÖÓ Ò ÓÙÒ Ø ÓÒ ËÔÖ Ò ¾¼½½ Ë ¾½» ¾½ ÛÛÛº ºÙÒк Ù» ¾½ ÓÙ
¾ º Ï Åº È ÞÞ Ò Ò º ÐÐ Ù ½ µ Ä Ò Ð Ý Ò Ç Ð ÓÒ ½ µ Å ÞÓ Ù Ø Ðº ½ µ Ê ¹ Ö Ø Ðº ½ µ ËÐ Ñ Ò ½ µ Î ÒÄ Ò ½ ¾µ Ò ÓÙÒ Ò Ç³Ë ½ ½µ ÑÙ Ó Ø Ò Ø Ö Ó ØÙ ÒØ ÑÓ Ð Ò ½
Å Ò Ð ÖÒ Ò ÓÖ Ù Ö ÑÓ Ð Ò Ó«Ö Ý Áº Ï Ë ÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ ÐÓÒ Î ØÓÖ ¾½ Ù ØÖ РŠРº È ÞÞ Ò Ò Ò Ð ÐÐ Ù ÔØº Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÓÖÒ ÁÖÚ Ò ÁÖÚ Ò Ð ÓÖÒ ¾ ÍË ÈÖ ÔÙ Ð Ø
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¹ ÉÙ Ø ÓÒ Ï Ø ÖÓÚ ÑÓÖØ ÙÐØ ÙÖ Ò Ø Ö
ÃÖ Ö Ö ÃÝÐ À Ö Ò Ó Ä Ç Ò Ò È ÙÐ Ï ÐÐ Ò Ê ØÐ ÒØ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å ÒÒ ÓØ Í Ä Ê Ó ØÓÒ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¹ ÉÙ Ø ÓÒ Ï Ø ÖÓÚ ÑÓÖØ ÙÐØ ÙÖ Ò Ø Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¹ ÉÙ Ø ÓÒ Ï Ø ÖÓÚ ÑÓÖØ ÙÐØ ÙÖ Ò Ø Ö ¹ Ü Ø Ò Ð Ø Ö
(P i,1 A i P i,2 ) (P j,1 A j P j,2 ) = P i,1 (A i A j ) P j,2.
ÖÝÔØ Ò ÐÝ Ó Ï Ø ÓÜ Ë ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÄÓÙ ÓÙ Ò Â Ò¹Å Ð Å Ö Ð Ò Å Ð ÉÙ ÕÙ Ø Ö Î Ö ÐÐ ËØ¹ÉÙ ÒØ Ò¹ Ò¹ Ú Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ú ÒÙ Ø Ø ¹ÍÒ ¹ ¼ Î Ö ÐÐ Ü ßÄÓÙ º ÓÙ Ò Â Ò¹Å ÐºÅ Ö Ð Å ÐºÉÙ ÕÙ Ø ÖÐÙÚ Õº Ö ØÖ غ Ç Ù Ø ÓÒ
Ì ÐÓÛ Ò Ö Ý Ð Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ä Ì Ë Û Ú Ý Ó ÖÚ Ò Ò Ö Ý ÓØ Û Ø Û Ö Ø Ð Ò È Ø Ðº ¾¼¼¼ µº Ï Ø Û Ö Û Ø «Ø Ú Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ø Ö Ø Ò ¾¼¼¼¼ Ã Ò Ô ÓØÓ Ô Ö ÓÑÔÓ Ó ÔÙÖ
ÁÒ¹ Ø «Ø Ú Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ö ÐÓÛ Ò Ö Ý ØÖ Ò Ñ ÓÒ Ö Ø Ò Ô ØÖÓÑ Ø Ö ÖÓÒ È ½ Â Ö ÑÝ Âº Ö ½ Î Ò Ý Ã Ý Ô ½ À ÖÑ Ò Äº Å Ö ÐÐ ¾ Ö Äº Ê «Ù ½ È Ø Ö Ïº Ê ØÞÐ «½ Ö ÓÖ Âº Ï Ö Ð Ò ½ ½ ËÑ Ø ÓÒ Ò ØÖÓÔ Ý Ð Ç ÖÚ ØÓÖÝ
ÓÑ Ö ÕÙ ÒØº Ì ÐÐ Ò Ø Ù ØÓ ÓÚ Ö ÐÐ Ö ÕÙ ÒØ Ô ØØ ÖÒ Ò Ø ÙÔ Ø Ø Û Ø Ö Ö Ø Ö ÒÝ Ø Ò Ø Ò Ú Ñ Ø Ó Ó Ñ Ò Ò ÕÙ ÒØ Ð Ô ØØ ÖÒ ÖÓÑ Ö Ø º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÔÖÓÔÓ Ò ÒØ
ÁÒÖ Ñ ÒØ Ð Å Ò Ò Ó Ë ÕÙ ÒØ Ð È ØØ ÖÒ Ò Ä Ö Ø º Å Ð ¾µ ¹ Ⱥ ÈÓÒ Ð Ø ¾µ ¹ ź Ì Ö ¾µ µ Ä ÓÖ ØÓ Ö ÈÊ ËÅ ÍÒ Ú Ö Ø Î Ö ÐÐ Ú ÒÙ Ø Ø ¹ÍÒ ¼ Î Ö ÐÐ Ü Ö Ò ¾µ ÄÁÊÅÅ ÍÅÊ ÆÊË ¼ ÊÙ ¾ ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö Ü Ö Ò ¹Ñ Ð ßÑ Ð ÔÓÒ Ð
Ó Ù ÛÓÖ ØÓ ÔÖÓÚ ÔÖ Ø Ð ÙÔÔÓÖØ ÓÖ Ò Û Ò Ò ÓÛ ØÓ Ö ÑÓÚ ÒÓÒ Ø Ò Ò ØÓ ÔÓ ÐÝ Ö ÓÒ Ò Ø ÔÖ Ò Ó ÒÓÒ Ø Ò º ÐØ ÓÙ Ø Ø Ò ÕÙ Ò ØÓÓÐ Ú ÐÓÔ ÓÖ Ø ÔÔÖÓ Ú Ö¹ Ø Ò ÑÓÙÒØ
À Ò Ð Ò ÁÒÓÒ Ø Ò Ò Ù Ò ÉÙ ¹ Ð Ð ÄÓ Ê ÐÔ Å Ö ÂÓ Ò ÖÖ Ö Ó Ø Ò ÓÑÔÙØ Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ã ÒØ ÒØ Ö ÙÖÝ Ì¾ Æ ÍÃ Ñ Ð Öѽ ½ ¾ Ù º ºÙ ØÖ غ Ì Ñ Ó Ø Ô Ô Ö ØÓ Ù Û Ø ÓÖÑ Ð ÙÔÔÓÖØ Ò Ú Ò ØÓ Ø ÔÖÓ Ó Ð Ú Ò Û Ø ÒÓÒ
ÒÓØ Ý Ø Ö ÓÐÚ º Æ Ú ÖØ Ð Ø ÔÔÖÓ Ý Å Ö ÓÖ Ò Ì Ù Ò ½ Ò Å ÖØ Ò Ò Ã Ò ½ Ò ØÓ Ð Ñ Ø ÜØ ÒØ ÄĐÙØØÖ Ò Ù ¹Ã ÔÔ Ð ½ Ö ÓÒ Ø Ö ÓÚ º ÇÙÖ ÔÔÖÓ ÐÐ ØÛ Ò Ø ØÛÓ ÜØÖ Ñ Ó
ÈÖÓÚ Ò Ì ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó ÁÒÔÙØ¹ ÓÒ ÙÑ Ò ÄÓ ÈÖÓ Ö Ñ Â Òß ÓÖ ËÑ Ù ÁÆÊÁ ¹ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ È ½¼ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ØÖ Ø Ð Ó ÔÖ Ø ÒØ ÓÖ Û Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ð Ø¹ØÓ¹Ö Ø Ü ÙØ ÓÒº Ì ÓÒÐÝ ÙÑÔØ ÓÒ ÓÙØ Ø Ð Ø ÓÒ ÖÙÐ Ø Ø Ö
In Multi-Relational Data Mining Workshop at KDD-2002.
In Multi-Relational Data Mining Workshop at KDD-2002. ÌÓÛ Ö ËØÖÙØÙÖ Ð ÄÓ Ø Ê Ö ÓÒ ÓÑ Ò Ò Ê Ð Ø ÓÒ Ð Ò ËØ Ø Ø Ð Ä ÖÒ Ò Ð Ü Ò Ö Ò ÈÓÔ ÙÐ ½ ÄÝÐ Àº ÍÒ Ö ½ ËØ Ú Ä ÛÖ Ò ¾ Ò Ú Åº È ÒÒÓ ¾ ½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó È ÒÒ ÝÐÚ
¾ Â Å Ë ÍÅÅÁÆ Ë Å ÌÌÀ Ï ÇÊ Å Æ Æ Å Æ À Å Å Á ÇÊ Ø Ü ÓÑ Ó Ó µ Ø Ö Ú Ò ÑÝÖ Ó Ò Ô Ò Ò Ö ÙÐØ Ò Ñ ÒÝ Ö Ó Ñ Ø Ñ Ø º Ì Ö ÙÐØ Ú Ð ØÓ Ø Ý Ø Ñ Ø ØÙ Ý Ó Ú Ö Ð ÓÑ
ËÉÍ Ê Ë Ë Ä Ë Æ ËÌ ÌÁÇÆ Ê Ê Ä ÌÁÇÆ Â Å Ë ÍÅÅÁÆ Ë Å ÌÌÀ Ï ÇÊ Å Æ Æ Å Æ À Å Å Á ÇÊ ØÖ غ Ë Ò Ø ÛÓÖ Ó ĐÓ Ð Ò Ó Ò Û ÓÛ Ø Ø À Ð ÖØ³ Ö Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÓÒØ ÒÙÙÑ ÀÝÔÓØ µ Û Ò¹ Ô Ò ÒØ Ó Ø Ù Ù Ð ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ü ÓÑ
ÅÄ Ó Ø Ø ÓÒØ Ò Ö º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ø Ò Ö ÒØ Ö ÓÑ ÓÑÑÓÒ Ò Ñ ØÖÙØÙÖ Ø ÑÓ Ð Ò ÅÄ Ò Ø Ø ÔÐÓÝÑ ÒØ Ó Ñ Ø Ô ÓÖ Ò Ô Ö Ñ Ð Ø ÓÒ Ø Ø Ú Ò Ù ÜØ Ò¹ Ú ÐÝ Ò ØÝÔ Ð Ø Ñ
Í Ò Æ Ø Ì Ð ÓÖ Ê ÔÖ ÒØ Ò Ò ÉÙ ÖÝ Ò Ë Ñ ØÖÙØÙÖ Ø ÐØ Ö Ò Ëº Ë ÐÚ ½ Ý ÁÖÒ Åº º Ð ½ Ð ÖØÓ Àº º Ä Ò Ö ½ Ú Ïº Ñ Ð Ý ¾ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ö Ð ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ö ½¾ ¼¹¼½¼ ÐÓ ÀÓÖ ÞÓÒØ Å Ö Þ Ð È ÓÒ ½ ¹ ÐØ ÑÖ
ÃÓ Ð Ö ² ÀÓ Ñ ÒÒ Û Û ÐÐ Ö ÓÒ Ð Ò ÓÖ ÓÖ Ö Ò Ò ØÙ Ý Ø Ö ÓÑÔÐ Ü ØÝº ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø ÓØ Ö Ú ÖÝ Ö ØÓ º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Û ÒØÖÓ Ù ØÛÓ Æ ÒØ Ñ Ø Ó Ø Ø Ò ÓØ Ù ØÓ ÔÔÖ
ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò Ê Ö ½¾ ¾¼¼¼µ ß ËÙ Ñ ØØ ½¾» Ô٠л¼¼ ÇÒ Ê ÓÒ Ð Ò ÓÖ Ó Ð ÇÖ Ö Ò Ò Ø Ö Í Ò Ò Ò ¹ Ö Ú Ò ÈÐ ÒÒ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Â Ò ÃÓ Ð Ö Ë Ò Ð Ö Ä Ø ÄØ º Ê ² Ì ÒÓÐÓ Ý Å Ò Ñ ÒØ ¼ ½ ÓÒ ËÛ ØÞ ÖÐ Ò ÂĐÓÖ ÀÓ«Ñ
Communications Network Design: lecture 07 p.1/44
Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÔÐ Ò Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò Ë ÓÓÐ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Æ ØÛÓÖ Ò Ð ØÙÖ ¼ Å ØØ Û ÊÓÙ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÔÖ Ð ½ ¾¼¼ Communications Network Design: lecture 07 p.1/44 ÊÓÙØ Ò ÓÒØ
ÐÐ Ò Û Ø ÄÓÓ ØÓ ÇÔØ Ñ Þ Ø È Ö ÓÖÑ Ò Ó È Ö ÐÐ Ð ÂÓ Ë ÙÐ Ò Ý ËÙÔ ÖÚ Ý ËÙÔ ÖÚ Ý Ë ÑÙ Ð Öº ÖÓÖ º Ø Ð ÓÒ ÈÖÓ º Ð Î Ò Ø Ò Ì ËÙ Ñ ØØ ÁÒ È ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ç Ì
ÐÐ Ò Û Ø ÄÓÓ ØÓ ÇÔØ Ñ Þ Ø È Ö ÓÖÑ Ò Ó È Ö ÐÐ Ð ÂÓ Ë ÙÐ Ò Ë ÑÙ Ð Ì ËÙ Ñ ØØ ÁÒ È ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ç Ì Ê ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ì Å Ø Ö Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó À ÙÐØÝ Ó ËÓ Ð Ë Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ½¼ ¾¼¼ ÐÐ Ò Û Ø ÄÓÓ ØÓ ÇÔØ
A = Y E B = W Y = 1 4
ÏÓÒÖ ÙÐ Ö Ñ Ö Ñ ËØ Ð Þ Ø ÓÒ Ò ÊÙØ ÓÒ ØÓÖØ ÓÒ Ê Ø ÓÒ ÁÒØ ÖÖ Ò Ù» Ø ÁÒ Ø Ð ØÝ ÑÔÐ Ö Ü ÑÔÐ Ó ÒØ ÏÓÒÖ ÙÐ ÈÖÓÔ ÖØ ½» ½¾ Ö Ñ ÊÙØ ÓÒ ØÓÖØ ÓÒ Ê Ø ÓÒ ÁÒØ ÖÖ Ò Ù» Ø ÁÒ Ø Ð ØÝ Ö Ñ ÏÓÒÖ ÙÐ Ö Ñ Ø ÒÓÒ¹ ÒÚ ÖØ Ò ÓÔ ÑÔ
Ï ÓÛ Ø Ø Ò Ø Ó Ë Ø Ó Ð ØÓ ÐÓÓ¹ ØÓ Ø Ø Ò Ö ÕÙ ÒØ ÐÙÐÙ Ø Ø ÓØ Ú ÖÝ Æ ÒØ Ò Ý ØÓ ÑÐ Ñ ÒØº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ò ÓÑ Ò Û Ø ÓØ Ñ Þ Ø ÓÒº Ì Ñ ÐÓ ÖÓÚ Ò Æ ÒØ ÐÓÓ¹ ÓÖ Ø Ö
Æ ÒØ ÐÓÓ¹ ÓÖ Û Ö ÖÓÓ Ö Ò ÓÑ ÒÓҹРРÖÓÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ Ð Ò À Ù Ö Ò ÅÐ Ë Ý Ö À ÒÖ ÑÑ ÖÑ ÒÒ ÁÒØ ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÙÒ Ò Û Ò Ø Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÖÒ ËÛ ØÞ ÖÐ Ò ØÖ غ Ï ÓÒ Ö Ø ÑÓ Ð ÐÓ ÃÌ Ò Ë Ø Ø Ò ÐÓ Ã Ø Ò Ø Ö Ñ
Initialization. Vegetables Born. Spring. Mutation. Summer. Reproduction. Fight. Fall. Move. Winter. Die. False End Condition True.
ÓÑÔÙØ Ò Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÎÓк ¾½ ¾¼¼¾ ½ß½ Î º ½½º ÍÌÇÅ ÌÁ ÁÆ ÁÆ Ç ÇÇ Ä ËËÁ Á ÊË ÇÄÄÇÏÁÆ ÁÇÄÇ Á ÄÄ ÁÆËÈÁÊ Å Ì ÈÀÇÊ ÖÒ Ò Ó ÖÒ Ò Þ È ÖÓ Á ÍÒ Ú Ö ÖÐÓ ÁÁÁ Å Ö Ú Ð ÍÒ Ú Ö ¼ ¾ ½½ Ä Ò Å Ö ËÔ Ò ¹Ñ Ð ÖÒ Ò Ò ºÙ Ѻ ºÙ Ѻ
ÓÖÑÙÐ ØÓ ÔÖÓÚ ÐÓÒ ØÓ Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ð Ð ÓÖ Ò Ø Ò ÈÖ ¹ ÙÖ Ö Ö Ø Ñ Ø µ ÙØ Ø Ö Ö ÐÝ Ø Ù ÓÓÐ Ò ÖÖ Ý ÑÓ Ð Ý ÙÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÔÖ Ø µ Ö Ó Ø Ò Ù Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ø Ö Û Ø
Ð ØÝ Ó ÒÚ Ö ÒØ Ú Ð Ø ÓÒ ÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Ñ È Ð ÓÒØ Ò Ò º È Ð Ö ÓÑÓÒØ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ä Ð Ùѵ Ô ÓÒØ Ò Ö ÓÑÓÒØ ÑÓÒØ ÓÖ ºÙÐ º º ØÖ غ Ì ÓÒØÖÓÐ Ô ÖØ Ó Ñ ÒÝ ÓÒÙÖÖ ÒØ Ò ØÖ ÙØ ÔÖÓ¹ Ö Ñ Ö Ù ØÓ Ø Ô ½ ÔÒ Ó ÝÑÑ ØÖ
Å Ø Ó ØÓ Ú ÐÙ Ø ÝÒÑ Ò ÒØ Ö Ð Ò ÐÝØ Ð ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ò ÐÝØ Ð
ÅÓ ÖÒ Ì Ò ÕÙ ÓÖ ÅÙÐØ ¹ÄÓÓÔ ÐÙÐ Ø ÓÒ ÎÐ Ñ Ö º ËÑ ÖÒÓÚ Ë Ó ÐØ ÝÒ ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÆÙÐ Ö È Ý Ó ÅÓ ÓÛ ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÙÖ Ì ÓÖ Ø Ì Ð ÒÔ Ý Ã ÖÐ ÖÙ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ã ÖÐ ÖÙ ÃÁÌ ÆÓÚ Ñ Ö ¾ ¾¼½ Å Ø Ó ØÓ Ú
ÁØ Ò Ó ÖÚ Ø Ø ÖÖÓÖ Ò ÔÔ Ò ÙÖ Ò Ø ÔÖÓ Ø ÑÓ Ø ÓÑÑÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ö Ô Ø Ò ÖØ ÓÒ Ò Ð Ø ÓÒ Ó º Ì ØÖ Ò Ð ÔÔ ÑÓ Ð Ø Ø Û ÔÖÓÔÓ Ò ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÒÓÑ Ò Ù ¹ Ø Ø Ø Ø
ÙÔÐ Ø ÓÒ Ò Æ Ë ÕÙ Ò ¾ ½ Å Ñ ÁØÓ ½ Ä Ð Ã Ö ¾ ÖÝ Ã Ò ¾ Ò Ë ÒÒÓ Ù Ë ¾ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ÙÐØÝ Ó Ë Ò ÃÝÓØÓ Ë Ò ÝÓ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÃÝÓØÓ Â Ô Ò ¼ ¹ ØÓ ÙÚܼº ÝÓØÓ¹ Ùº º Ô Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ï Ø ÖÒ ÇÒØ
ÇÙØÐ Ò ÇÙØÐ Ò ÈÙÖÔÓ Ó Ø ÈÖÓ Ø È ÖØ Ð ÌÖ Ò ÔÓÖØ È ÖØ Ð ÁÒØ Ö Ø ÓÒ È ÖØ Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ê ÙÐØ ËÙÑÑ ÖÝ ¾ Ôк¹Å Ø º Ò Ö ØÞ Ë Ð ¹ Ò Ì Ö È ÖØÝ ËÓ Ð Ò Ó ÅÓØÓÖ Î Ð
ÆÙÑ Ö Ð Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Û Ø È ÖØ Ð ÌÖ Ò ÔÓÖØ ØÓ ÓÑÔÙØ Ë Ð ¹ Ò Ì Ö È ÖØÝ ËÓ Ð Ò Ó ÅÓØÓÖ Î Ð Ôк¹Å Ø º Ò Ö ØÞ ÐÙ ÝÒ Ñ À Ä Ø Ò Ö ØÖ ¹ Ö Ò º Å Ò Ò ÂÙÒ ¾ Ö ¾¼½¼ ÇÙØÐ Ò ÇÙØÐ Ò ÈÙÖÔÓ Ó Ø ÈÖÓ Ø È ÖØ Ð ÌÖ Ò ÔÓÖØ È ÖØ
Breeze. Stench PIT. Breeze. Breeze PIT. Stench. Gold. Breeze. Stench PIT START
ØÓ ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¹ ËÔÖ Ò ¾¼½ Ë º ÓÙ ÖÝ Ë Ù¹Û ¹Ö µ ÖØ ¼¾µ ¾¹ º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ ½½ ÄÓ Ð ÒØ Ì ØÐ ÔØ Ö Ë Ø ÓÒ º½ º¾ Ò º µ ÁÅ ÍÊÄ ÛÛÛº ºÙÒк Ù» ÓÙ Öݻ˽ ¹ ¹ ÐÓ» ÒØ ÒØ Ð ÐÓ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð
s 1 G 1 X s 2 s 3 G 3
ÒØÖ Ð Þ ÌÖ ¹ ÔÔÖÓ ØÓ Æ ØÛÓÖ Ê Ô Ö Ë ÖÚ ÓÖ ÅÙÐØ Ø ËØÖ Ñ Ò Å Ò ÊÙ Ò Ø Ò Æ ÓÐ º Å Ü Ñ Ù Ò Ú Ë ÙÖ Ì²Ì Ì Ò Ð Å ÑÓÖ Ò ÙÑ ÌÅ À ½ ¾¼¼¼¼¹ ½½¾ ¹¼ ÆÓÚ Ñ Ö ½ ØÖ Ø ÁÈ ÑÙÐØ Ø ÔÖÓÚ Ø¹ «ÓÖØ Ð Ú Öݺ È Ø ÒÓÙÒØ Ö Ú Ö Ð Ð
É ÀÓÛ Ó Ý Ò ² Ö Ò ÁÒ Ö Ò «Ö ÓØ ÑÔ Ù ÔÖÓ Ð ØÝ ØÓ Ö ÙÒ ÖØ ÒØÝ ÙØ Ø Ý ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ «Ö ÒØ Ø Ò º Ü ÑÔÐ ÁÑ Ò Ð Ò Ð ØÖ Ð Û Ø Ò ½ Ñ Ø Ô Ö Ó Ù Ø º ÁÒ Ô Ö ÓÒ Ù Ø
ËØ Ø Ø Ð È Ö Ñ Ý Ò ² Ö ÕÙ ÒØ Ø ÊÓ ÖØ Ä ÏÓÐÔ ÖØ Ù ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ËØ Ø Ø Ð Ë Ò ¾¼½ Ë Ô ½¼ ÈÖÓ Ñ Ò Ö É ÀÓÛ Ó Ý Ò ² Ö Ò ÁÒ Ö Ò «Ö ÓØ ÑÔ Ù ÔÖÓ Ð ØÝ ØÓ Ö ÙÒ ÖØ ÒØÝ ÙØ Ø Ý ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ «Ö ÒØ Ø Ò º Ü ÑÔÐ ÁÑ
½ Ê Ú Û Ó ÓÛ ÖÓÙÔ ¾ ÓÖÑ Ð ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ò¹ Ö Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ø ÓÒ
Å Ö ¾¼¼ ½ Ê Ú Û Ó ÓÛ ÖÓÙÔ ¾ ÓÖÑ Ð ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ò¹ Ö Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ø ÓÒ Ä Ø ÑÓÓØ ÕÙ ÔÖÓ Ø Ú Ú Ö ØÝ Ò ÓÚ Ö Ð º Ï Ú Ø ÓÛ ÖÓÙÔ À Ô ( ) = {Ó Ñº Ô Ð Ö ÝÐ ÑÓ Ö Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ú Ð Ò } Ì Ö Ö ÓØ Ö ÕÙ Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø
IP REDUNDANT TREES FOR PREPLANNED RECOVERY IN CONNECTION- LESS NETWORKS. Master thesis. Ole Kristoffer Apeland
UNIVERSITY OF OSLO Department of Informatics IP REDUNDANT TREES FOR PREPLANNED RECOVERY IN CONNECTION- LESS NETWORKS Master thesis Ole Kristoffer Apeland 1st November 2006 ØÖ Ø ÅÓ Ø Ò ØÛÓÖ Ö Ò Ö ÒØÐÝ ÔÖÓÒ
Ø ÓÒº Ò ÑÔÓÖØ ÒØ «Ö Ò Ø Ø Û Ð Ò Ø ØÝÔ È Ò Ò Ö ØÖ ÖÝ ØÝÔ Ò Ö¹ÓÖ Ö ÐÓ ÙÖ ³ ÑÔÐ Ø ÓÖÝ Ó ØÝÔ µ È ÑÙ Ø ÑÔÐ ØÝÔ º ÐØ ÓÙ ØÝÔ ÒÐÙ Ø ØÝÔ Ó Ø ÑÔÐݹØÝÔ ¹ ÐÙÐÙ Ø
Ì ÐÙÐÙ Ó ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ö Ñ ÛÓÖ ÓÖ ÈÖÓÓ Ë Ö Û Ø Ë Ø Î Ö Ð ÁÒ Ø ÒØ Ø ÓÒ ÑÝ ÐØÝ ÐÐ Ä ÓÖ ØÓÖ ÄÙ ÒØ Ì ÒÓÐÓ ÅÓÙÒØ Ò Ú º ÅÙÖÖ Ý À ÐÐ ÆÂ ÍË ÐØÝÖ Ö º ÐйРºÓÑ ØÖ Ø Ï ÓÛ ÓÛ ÔÖÓ ÙÖ Ú ÐÓÔ Ý Ð Ó ÓÖ ÙØÓÑ Ø ÐÐÝ Ò Ò Ù Ø
ÙÖ ¾ Ë Ð Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ¾ ¾
Å Ë ¹ Í Ö Ù Ú¼º¾ ÔÖ Ð ½¾ ¾¼½¼ ½ ½º½ ÈÖÓ Ø ÉÙÓØ Ì ÕÙÓØ Ð Ø Ò Ö ÐÐÝ ÓÖ Ö Ý Ô Ö Ó Û Ø Ø Ò Û Ø Ø Ø ÓØØÓѺ ÁØ Ñ Ý ÐØ Ö Ý Ð Ø Ò Ò ÔÔÐ Ø ÓÒº ½º½º½ ÉÙÓØ ÉÙÓØ Ò ÔÔÐ ØÓ Ö ÕÙ Ø Ý Ð Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÐÐÓ Ø ¹ÓÐÙÑÒ Û Ý ÙÐØ
n=5 N=10 size=5 rj1 t=25 t=28 rem=3 Time
ÐÐ Ò Û Ø ÄÓÓ ØÓ ÇÔØ Ñ Þ Ø È Ö ÓÖÑ Ò Ó È Ö ÐÐ Ð ÂÓ Ë ÙÐ Ò Ë ÑÙ Ð Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò À ÍÒ Ú Ö ØÝ À Á Ö Ð Á Å À Ê Ö Ä Ðº ѺÓÑ ÖÓÖ º Ø Ð ÓÒ Ë ÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ² Ò Ò Ö Ò À Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ  ÖÙ Ð Ñ Á Ö Ð
arxiv:math/ v1 [math.nt] 20 May 2006
Ê Ñ ÒÒ ÀÝÔÓØ Ì Ê Þ¹À Ö Ý¹Ä ØØÐ ÛÓÓ Û Ú Ò Ø ÐÓÒ Û Ú Ð Ò Ø Ö ÓÒ ËØ ÒÓ ÐØÖ Ñ Ò ÐÐ Ò Ò ÐÓ Å ÖÐ Ò arxiv:math/0605565v [math.nt] 0 May 006 Ê ÁÅ Ê Ö ÒØ Ö ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ò È Ý ÈÇ ÓÜ ½½ ¾ ¼¼ ÄÓ ÖÒÓ ËÛ ØÞ ÖÐ Ò Ò ÁËËÁ
Ì Ð Ó ÓÒØ ÒØ Ì ÚÓÒ ÖØ Ð Ò Ý³ ÖÓÛØ ÑÓ Ð ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ü ÖÓÛØ ÓÖ ØÖÓÔ Ð ØÙÒ Å Ø Ö Ð ² Å Ø Ó Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ö Ñ ÛÓÖ Ø ¹ Ö Ú Ò Ò Ö Ó Ê ÙÐØ ÆÓ ÜÙ Ð ÑÓÖÔ Ñ Ò ÖÓÛØ Ë
ÌÛÓ¹ Ø ÒÞ ÖÓÛØ ÓÖ ØÖÓÔ Ð ØÙÒ ÅÝØ ÓÖ Ö Ð ØÝ ÓØ ½ Ù ÖÓ Ä ½ ÓÙ ÕÙ Ø Æ ¾ ÓÖØ Ð ½ Ò Ë ÓÒ ÓÑÑ Ù ½ ÁÊ ÍÅÊ ¾½¾ Å Ê Æ ¾ ʲ ÅÊÁ ÔØ Ê Æ Á Ö Ñ Ö ÍÅÊ ¾½¾ Å Ê Æ Ì Ð Ó ÓÒØ ÒØ Ì ÚÓÒ ÖØ Ð Ò Ý³ ÖÓÛØ ÑÓ Ð ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ü ÖÓÛØ
ÕÙ Ò ÙÐ Ö Ø Ø Ö Ñ ý ý þ» ý ý ¾¼½ ½º ¹ ý» µº ¾º ÈÖÓ ÓÖ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ò Óѹ ÔÙØ Ö Ë Ò ÆÓÖØ Û Ø ÖÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ú Ò ØÓÒ ÁÄ ÍË º º ý» º ½º ¹ ý» º ¾º ý» º º ÈÖÓ ÓÖ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ò Óѹ
½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ñ ÒØ Ó ÜÔ Ø ÚÓÐ Ø Ð ØÝ Ò Ò Ò Ð Ñ Ö Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÖ ÔÓÖØ ÓÐ Ó ¹ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ñ Ò Ñ ÒØ Ó Ø Û ÐÐ ÓÖ Ø ÔÖ Ò Ó Ø º ÓÖ Ö Ú Û Ó Ø Ö Ò Ó ÔÔÐ Ø ÓÒ
ÎÓÐ Ø Ð ØÝ ÐÙ Ø Ö Ò Ò ÆÓÒØÖ Ò Ý Ò Ò ËØÓ Å Ö Ø Ê ÐÔ Ö Ñ ÒÒ Ï ÐØ Ö º Ë Ò ÓÖ ¹ÃĐÓ Ð Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÒÓÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ë ÖÐ Ò ÁÑ ËØ ØÛ Ð ¹ ½¾ Ë Ö ÖĐÙ Ò ÖÑ ÒÝ ÇØÓ Ö ¾¼¼¼ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ò ÐÝÞ ÚÓÐ Ø Ð ØÝ ÝÒ Ñ Ò
Ù Ý Ñ ÒÝ Ô Ö Ó Ò Ö Ø Ø Ö Ô ÖØÝ Ñ Ý ÓÑ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÓØØÐ Ò º Ô Ò Ò ÓÒ Ø ÓÒØ ÜØ Ò Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÖÓÙ Ø Ø Ö Ô ÖØÝ Ñ Ý Ð Ý Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ ÒÙÖ Ò Ò Ð Ó Ø ÓÖ Ö ÔÖ Ú Ý
ÓÒØÖ Ø Ë Ò Ò ÇÔØ Ñ Ñ Ò Ú ÒØ ÊÓ Ø ÂÓ Ò º Å Ø ÐÐ Ò Ö Ë ÖÓÚ Î Ø ÐÝ Ë Ñ Ø ÓÚ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ËÙ Ü ËØ Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó È ÒÒ ÝÐÚ Ò ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ØÖ Ø ÓÒØÖ Ø Ò Ò ÔÖÓØÓÓÐ Ð Ø ØÛÓ Ô ÖØ Ü Ò Ø Ð Ò ØÙÖ ÓÒ
¾ Ö Ø Ò ÄÙØÞ Ø Ðº ÇÒ Ó Ø ÔÓ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ÒØÖÓ Ù Ñ Ð Ö ØÝ Ñ ÙÖ ØÛ Ò Ø Ó Ø Ó Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ò ÓÙÖ Ø Ö ÓÒ¹ Ò ÔÖÓ ÙÖ Û Ò ÓÒ ÓÑÑÓÒ Ò ÓÖ Ò Ý Ò
Ø Ð Ù Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ö ÓÒ Ò ÓÙØ ÓÒ ÔØ Ò Ñ Ð Ö ØÝ Ö Ø Ò ÄÙØÞ ½ Ö Ò ÏÓÐØ Ö ¾ Ò Å Ð ÖÝ Ú ¾ ½ ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Ì ÓÖ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÌÍ Ö Ò ÙÐØĐ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ¼½¼ ¾ Ö Ò ÖÑ ÒÝ ÐÙØÞØ º Ò ºØÙ¹ Ö Òº Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ
Ò ÓÑÔ Ð Ö ÔÖ ÒØ ÖÙ Ø Ó Ö Ø Ø Ò ¾½ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ô Ö Ð Ò Ö Ý Ø Ñ ÓÖ Ò Ø Ò ÖÓÑ Ò Ø ¹ Ð Ñ ÒØ Ñ º Ì ÓØ Ö Ö ÓÒ Ø Ø Ø Ö Ô ÓÐÓÖ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÛÒ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ
ÌÛÓ ÆÓÚ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ ÖÝ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ô ÓÐÓÖ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Î ÐÑ Ö º Ö Ó ½ ÖÐÓ º º ¾ ÂÓ Ò Çº Ó Æ Ñ ÒØÓ ØÖ Ø Ï ÒØÖÓ Ù ØÛÓ ÒÓÚ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ ÖÝ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÐÓÖ Ò Ø ÒÓ Ó Ö Ô º Ì Ö Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ø
ÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º ÓÙ ÖÝ ¾ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Å Ò Ñ Ü Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÔ Ø ÔÖÙÒ Ò
ØÓ ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÔÖ Ò ¾¼½¾ Ë º ÓÙ ÖÝ Ë ÙÛ Ö µ ÖØ ¼¾µ ¾ º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Ú Ö Ö Ð Ë Ö Ì ØÐ ÔØ Ö Ë Ø ÓÒ º½ º¾ Ò º µ ÁÅ ÍÊÄ ÛÛÛº ºÙÒк Ù» ÓÙ Öݻ˽¾ ÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º ÓÙ ÖÝ ¾ ÁÒ
ÔÔ Ò Ü ÈÖÓ ÙÖ ÓÖ ÑÔÐ ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ º½ Ï ÓÐ ÖÓ ÔÓÛ Ö ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ ¾ º½ Ï ÓÐ ÖÓ ÔÓÛ Ö ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ Ï ÓÐ ÖÓ ÑÔÐ Û Ö ÔÖ Ô Ö Ù Ò Ø Ø Ò Ð Ð Ø ÓÖ Ð Ò Ò ÖÙ Ò Ò ÔÓÛ Ö Ò Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÍØÖ Ø Ò ÎÖ ÍÒ Ú Ö Ø
Ø ÓÖ Ø ØÖ ØÑ ÒØ º Ì Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ö ÙÐÐÝ Ú ÐÓÔ Ý Ô ÖÞ Ò ÈÓ Ð Ò º Ì Ö ÙÐØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÕÙ Ö ÒÚÓÐÚ ÓÒ ÔØ Ð º º ØÖ ÙØÓÑ Ø Ò ÖÓÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÐÝÞ Ö³ Ô Ö Ô Ø Ú
ÓÒ ØÖ ÒØ¹ ÁÒØ Ö¹ÈÖÓ ÙÖ Ð Ò ÐÝ Ó È Ö ÐÐ Ð ÈÖÓ Ö Ñ À ÐÑÙØ Ë Ð Ò ÖÒ Ö ËØ «Ò ¾ ¾ ÁÎ ß ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌÖ Ö ¹ ¾ ÌÖ Ö ÖÑ ÒÝ ÐÙÒ ¹ØÖ Öº Ä Ö ØÙ Ð ĐÙÖ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ý Ø Ñ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÓÖØÑÙÒ ÖÓÔ Ö ËØÖ ¼ ¹ ¾¾ ÓÖØÑÙÒ
Ø Ú ÐÙ º Ø Ú ÐÙ Ø Ù ÙÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÖÖ Ý Ø Ö Ø Ö ÓÖ Ø ÕÙ Ù Û Ð ÓÒØÖÓÐ Ú ÐÙ Ö Ù Ý Ø ÔÖÓ ØÓ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ö Ø Ú Ø º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ñ ¹ Ø ÑÔ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò ÓÒØÖÓÐ Ú Ð
ÓÖÖ ØÒ ÔÖÓÓ ÓÖ ØÛÓ ÔÖÓØÓÓÐ ÍÖ Ö Ñ ÖÙ ÖÝ ½ ØÖ Ø Ñ Ø Ó ÓÐÓ Ý ÓÖ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖÖ ØÒ Ó ÔÖÓØÓÓÐ ÔÖ ÒØ Ø ÖÓÙ ØÛÓ Ü ÑÔÐ º ½µ Ì ÐÓÓÑ ØÛÓ¹ÛÖ Ø Ö Ö Ø Öº ¾µ Ì ÓÒ ÙÑ Ö»ÈÖÓ Ù Ö Ù«Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒº ÔÖÓÓ Ú ÒØÓ ØÛÓ Ð Ú Ð
ÇÙØÐ Ò ½ ¾ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ä Ø Ö ØÙÖ Ø ËÓÙÖ ËÙÑÑ Ö Ê Ö ÓÒ ËÙÑÑ Ö Ê Ö ÓÒ Ï ÒØ Ö
ËÔ Ø Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Ï Ø Ö Ñ Ò Ò Ã ÐÓÛÒ Ö Ø ÓÐÙÑ ½ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÒÓÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ö Ø ÓÐÙÑ ¹ Ç Ò Ò ÑÔÙ Ã ÐÓÛÒ Ö Ø ÓÐÙÑ Ò ÔÖ ÒØ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ù ÉÙ ÅÓÒØÖ Ð ÇÙØÐ Ò ½ ¾ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ä Ø Ö ØÙÖ Ø ËÓÙÖ ËÙÑÑ Ö Ê Ö ÓÒ ËÙÑÑ
arxiv: v25 [math.ca] 21 Nov 2008
ËÓÑ ÓÒ ØÙÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÐ Ü Ö Ðµ ÒÙÑ Ö ÔÓÐÓÒ Ù Þ ÌÝ Þ arxiv:0807.3010v25 [math.ca] 21 Nov 2008 ØÖ غ Ï Ù ÓÒ ØÙÖ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ÓÒ ØÙÖ Áµ µ ÓÖ ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö x 1,...,x n Ø Ö Ü Ø Ö Ø
x = x 1x 2 x (p-1)x x = 3 x = 3 x = 3 x = 3 0 x 1 x 2 x... (p-1)x
ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÈÖÓ Ö Ñ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ º ½º ÈÖÓ Ö Ñ Å ÔÔ Ò ÈÖÓ Ö Ñ È ÖØ Ø ÓÒ Ò º Ô Ò Ò Ò ÐÝ º Ë ÙÐ Ò ÄÓ Ð Ò Ò º Ó ØÖ ÙØ ÓÒº ¾º Ø Å ÔÔ Ò º Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò º ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò ÔÖÓ ÓÖ
38050 Povo (Trento), Italy Tel.: Fax: e mail: url:
CENTRO PER LA RICERCA SCIENTIFICA E TECNOLOGICA 38050 Povo (Trento), Italy Tel.: +39 0461 314312 Fax: +39 0461 302040 e mail: prdoc@itc.it url: http://www.itc.it WEAK, STRONG, AND STRONG CYCLIC PLANNING
ÓÖÓÒ º ÖÖÓÖ Ò Ø Ä Ì Ë Ô Ö ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ó ¼º¼ Ö Ø Ò Ó Ò ÒØ ØÓ Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ø º ÁÒ Ø Ð Ñ Ø Ó Ô Ö Ø Ñ Ò Ö Ø Ö Ø Ø ÙÖ Ý Ó Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÒØÖÓ Ó Ò
Ö Ø Ö Þ Ò ÆÓÒ¹Ð Ò Ö Ø Ò Ø Ò Ö Ä Ì ÀÊ ¹Ë Ô Ö ÓÒ Ê Ð Ø ÓÒ ËÙÒ Å ÙÒ Â Ö ÑÝ Âº Ö Î Ò Ý Äº Ã Ý Ô È Ø Ö Ïº Ê ØÞÐ «Ò Ö ÓÖ Âº Ï Ö Ð Ò Ò Ö ¹Ö Ý ÒØ Ö À ÖÚ Ö ¹ËÑ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ö ÓÖ ØÖÓÔ Ý ¼ Ö Ò ËØ Ñ Ö Å ¼¾½ ËÌÊ Ì Ì Ô
Ì ÛÓÖ ÓÔ È ÊËÈ ÌÁÎ Ë ÇÆ Ä ÇÊÁÌÀÅË Æ ÁËÌÊÁ ÍÌ Ä ÇÊÁÌÀÅË ÒØ Ò ØÓ ÜÔÐÓÖ Ò Û ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÙØÙÖ ØÖ Ò Ò Ð ÓÖ Ø Ñ º Ì ÛÓÖ ÓÔ ÓÖ ¹ Ò Þ ÖÓÙÒ Ø Ð ØÙÖ Ó ½½ Ø Ò Ù Ô
Å ËÁ Ì Æ Û ØÖ ÙØ ÓÑÔÙØ Ò ÓÐÙÑÒ Ë Ö Ó Ê ÙÑ Å Ý ¾¼¼¾ ØÖ Ø Ì ØÖ ÙØ ÓÑÔÙØ Ò ÓÐÙÑÒ ÓÚ Ö Ø Ø ÓÖÝ Ó Ý Ø Ñ Ø Ø Ö ÓÑÔÓ Ó ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ö Ø Ò ÓÑÔÙØ Ò Ð Ñ ÒØ º Ì ÒÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ø¹ ÛÓÖ Ò Ø ØÖ ÙØ Ö Ñ ÑÓÖÝ
ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ «Ù ÓÒ Ò Æ ØÙÖ Ì Ð ÓÖ Ø Ñ º½ Ø ËØÖÙØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ç Ø Î ØÓÖ º º º º º º º º º º º º
ÚÓÐÙØ ÓÒ ÖÝ ÅÙÐØ ¹ ÒØ «Ù ÓÒ ÔÔÖÓ ØÓ ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÃÛÓ Ò Ì Ù Ò Â Ñ Ò Ä Ù Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÀÓÒ ÃÓÒ ÔØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ ÃÓÛÐÓÓÒ ÌÓÒ ÃÓÛÐÓÓÒ ÀÓÒ ÃÓÒ Ñ Ð ØÙ Ñ Ò ÓÑÔº Ùº Ùº Ñ Ö ¾¼¼½ ØÖ Ø Ì ÖØ Ð ÔÖÓÔÓ ÒÓÚ Ð ÑÙÐØ
Ì Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ï Ð Ú Ò Ò Ö Ø Ø ÔÖÓ Ù ÒÓÖÑÓÙ ÑÓÙÒØ Ó Ø º Ë Ò Ð Ñ Ø Ø Ò Û Ò Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ò Ó ÒÓÑ ÒØ Ð Ø Ö ØÙÖ ËÓ ØÝ ÓÚ ÖÒÑ ÒØ ÐØ Ø Ð
Ó Ò ÓÖÑ Ø ÒØ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÓÔ Ò Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼½ Ì Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ï Ð Ú Ò Ò Ö Ø Ø ÔÖÓ Ù ÒÓÖÑÓÙ ÑÓÙÒØ Ó Ø º Ë Ò Ð Ñ Ø Ø Ò Û Ò Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ò Ó ÒÓÑ ÒØ Ð Ø Ö ØÙÖ ËÓ ØÝ ÓÚ ÖÒÑ ÒØ ÐØ Ø Ð Ö Ú
Ó Ü ÑÔÐ Û Ð Ø ÓØ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ý ÓÒÐÝ Ûº ½ Ì Ð Ñ Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÖÙ Ð ÑÔÓÖØ Ò Ò Ø ÒÓÙÒØ Ö Ý Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÓÑ Ò Ó Ö Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ð Ú Ø Ð ÓÖ ÓÑÑ Ö Ð ÑÔÓÖØ Ò Ò Û
Ì Ð ÁÑ Ð Ò ÈÖÓ Ð Ñ ËÝ Ø Ñ Ø ËØÙ Ý Æ Ø Ð Â Ô ÓÛ Þ Ò Ë Ù ËØ Ô Ò Ë ÓÓÐ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý Ò Ò Ò Ö Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇØØ Û ½ ¼ ÄÓÙ È Ø ÙÖ ÈºÇº ÓÜ ¼ ËØÒº ÇØØ Û ÇÒØ Ö Ó Ò À ½Ï ØÖ Ø ÁÒ Ñ Ò Ð ÖÒ Ò ÔÖÓ Ð Ñ «Ö Ò
ËÍÅÅ Ê ½ ÓÑÔ Ø Ö Ô Ð Ú ÓÖ ÓÑ Ò Ò ÙÖÚ Ú Ð Ò Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò ÓÚ Ö Ø Ò ÓÖÑ ¹ Ø ÓÒ ÔÖÓÔÓ º Ì ÔÖÓÔÓ Ö Ô ÓÒØ Ò Ø Ã ÔÐ Ò¹Å Ö Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ Ö Ø¹ Ò ÓÖ Ø Ò ÑÙÐØ Ò ÓÙ Ô
Ú ÒØ ØÓÖÝ Ö Ô ÓÖ Ò ÓÖ ÙÖÚ Ú Ð Ø ÓÖØ Ø ØÐ Ô ÙÐÐ Ø ØÐ ÔÓ Ð ÒÓØ ÔÓ Ð Ù Ú ÒØ ØÓÖÝ Ö Ô µ Ê Ú Î Ö ÓÒ ÂÓ Ð º Ù Ò ½ À Ò ¹ ÓÖ ÅĐÙÐÐ Ö ¾ Ò Â Ò ¹Ä Ò Ï Ò ¾ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ô Ñ ÓÐÓ Ý Ò ÈÙ Ð À ÐØ Ð ÍÒ Ú Ö ØÝ Æ Û À Ú Ò
Ô Ö ÐРе Ö Ù Ð ¹ ÓÜ Û Ð ÒØ Ö Ø Ú ÔÔÐ Ø ÓÒ ÔÓ Ø Ò Ö ¹ ØÖ Ø ÓÒ ØÖ ÒØ ÝÒ ÖÓÒÓÙ ÐÝ Ò Ø ÓÐÚ Ö Ò Ö Ò ÖÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÖÓÑ Ú Ö Ð ÓÑ Ò º ÌÓ ÐÐÓÛ Ù Ö ØÓ Û Ø Ö Û
ÈÓ Ø Ò Ò Ê ØÖ Ø Ò ÓÒ ØÖ ÒØ Ò ÓÓÔ Ö Ø Ò ÝÒ ÖÓÒÓÙ ËÓÐÚ Ö ÓÖ Ê Ò Û Ð Ö ÙÒ Ó Ö ÁÊËÌ Ã ÙÐ ØÖ ½¾ ÖÐ Ò ÖÑ ÒÝ ÓÖ ºÖ Ò Û Ð Ö Øº º ØÖ غ Ï Ò Ò Û ÒÖ Ñ ÒØ Ð Ü ÙØ ÓÒ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø ÓÒ Ò ÓÒÙÖÖ ÒØ ÑÔ Ö Ø Ú ÔÖÓ
Question A n um b er divided b y giv es the remainder. What is the remainder 5 if this n um b er is divided b y? answer 3
Warm-Up 2 ÒÙÑ Ö Ú Ý 10 Ú Ø Ö Ñ Ò Ö 6º Ï Ø Ø Ö Ñ Ò Ö Ø ÒÙÑ Ö Ú Ý 5 Question 0 Ò Û Ö 3 Numbers 4 Question 1 Ï Ø Ø Ð Ø Ø Ó Ø ÙÑ 1+4+4 2 +4 3 + +4 100 Ò Û Ö 5 ÙÑ Ó ÓÙÖ ÒÙÑ Ö Ò Ö Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ö ÓÒ 34 Ò Ø Ø Ö Ì
External Description. Social Reasoning. Revising. environment + other agents
Ô Ò Ò ¹ ÅÓ Ð ÓÖ ËÓ Ð Ê ÓÒ Ò Ò ÅÙÐØ ¹ ÒØ ËÝ Ø Ñ Â Ñ Ë Ñ Ó Ë Ñ Ò ÁÒØ ÐÐ ÒØ Ì Ò ÕÙ Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ô ÖØÑ ÒØ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ë Ó È ÙÐÓ Úº ÈÖÓ º ÄÙ ÒÓ Ù Ð ÖØÓ ØÖ Úº ÒÓº ½ ¼ ¼ ¹ ¼¼ Ë Ó È ÙÐÓ ËÈ Ö Þ Ð Ñ
v n d n θ n p n (x n, y n )
ËÔ Ø ÓÒ Ø Ñ Ø ÓÒ Ò Ú Ð Ø ÓÒ Ó Ô ¹ ØÖ Ò Û Ð Ò Ú ÓÙÖ ÑÓ Ð Ì ÓÑ ÊÓ Ò ÌÖ Ò ÔÓÖØ Ò ÅÓ Ð ØÝ Ä ÓÖ ØÓÖÝ È Ä ÒÐÙ ÒØÓÒ Ò Ù Ò ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ Á Å Ê Ö Ñ À Å Ð ÖÐ Ö ÌÖ Ò ÔÓÖØ Ò ÅÓ Ð ØÝ Ä ÓÖ ØÓÖÝ È Ä Â Ú Ö ÖÙÞ ÌÖ
h = L(s) (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) s = (x m,y m ) L(s) = h H w 1 w 2 w W
ÒÓÛ ÔÐ ÙÔ ÖÚ Ð ÖÒ Ò ÒØÓ ÔÖÓ Ð Ø ØØ Ò Ý Ü¹ Ñ Ò Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ý ³ Ø ÓÖ Ñ ØÓ Ø ÙÔ ÖÚ Ð ÖÒ Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÈÖ ÓÖ Ø Ð Ð ÓÓ Ò Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ÝÔÓØ ¹ º Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÝÔÓØ ¹ Ò ÓÑ Ü ÑÔÐ º
½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Á ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÖ Ò ÖÝ «Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ç µ Ö ØÓ Û ÐÝ Ù Ø Ý ÓÙÐ Ñ Ø Ø ÖÓ Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó ÔÓØ ÒØ Ð Ù Ö º Í Ö Ò Ñ ÒÝ Ö ÒØ Ö Ø Ò Ú Ù Ð Þ Ø
ËÓ ØÛ Ö ÓÖ ÇÖ Ò ÖÝ Ò Ð Ý «Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÙÖ Ø Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ËÓÐÙØ ÓÒ Ö ÒÓØ ÒÓ٠ϺÀº ÒÖ Ø Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÌÓÖÓÒØÓ ÌÓÖÓÒØÓ Ò Å Ë ÒÖ Ø ºÙØÓÖÓÒØÓº ØÖ Ø ÆÙÑ Ö Ð Ñ Ø Ó ÓÖ ÓØ ÓÖ Ò ÖÝ «Ö ÒØ
ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ØÙ Ý Ø ÓÑÔÐ Ü Ò ØÙÖ Ó ØÝÔ Ð Ö ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ò Ú Ð¹ Ù Ø Ú Ö ÓÙ Ö ÔÐ ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÑÙÐ ØÓÖ ÐÐ ÇÔØÓÖË Ñµ Û Ú ÐÓÔ º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Ø Ò ÓÒ ÔØ Ó
Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÝÒ Ñ Ö Ê ÔÐ Ø ÓÒ ËØÖ Ø Ò ÇÔØÓÖË Ñ Ï ÐÐ Ñ Àº ÐÐ ½ Ú º Ñ ÖÓÒ ½ ÄÙ ÔÓÞÞ ¾ º È ÙÐ Å ÐÐ Ö ½ ÃÙÖØ ËØÓ Ò Ö ÐÓÖ ÒÓ Ò ¾ ½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÓÛ Ð ÓÛ ½¾ ÉÉ ËÓØÐ Ò ¾ ÁÌ ¹ Ö Ø Î ËÓÑÑ Ö Ú ½ ¼ ¼ ÈÓÚÓ ÌÖ ÒØÓµ
The global k-means clustering algorithm
The global k-means clustering algorithm Aristidis Likas, Nikos Vlassis, Jakob Verbeek To cite this version: Aristidis Likas, Nikos Vlassis, Jakob Verbeek. The global k-means clustering algorithm. [Technical
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÇÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ù ÌÓÔ ÇÚ ÖÚ Û Ä ØÙÖ Ü Ö ÓÑÔÙØ Ö ÓÓ Ü Ñ Ï Ý Ñ Ø Ñ Ø ÅÓ Ð Ò Ø Ë Ø ÌÛÓ Ü ÑÔÐ
Å Ø Ñ Ø Ð ÌÓÓÐ ÓÖ Ò Ò Ö Ò Ò Å Ò Ñ ÒØ Ä ØÙÖ ½ ½ ÇØ ¾¼½½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÇÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ù ÌÓÔ ÇÚ ÖÚ Û Ä ØÙÖ Ü Ö ÓÑÔÙØ Ö ÓÓ Ü Ñ Ï Ý Ñ Ø Ñ Ø ÅÓ Ð Ò Ø Ë Ø ÌÛÓ Ü ÑÔÐ Ì Ñ Ê ÔÓÒ Ð ÓÖ Ø Å Ø Ñ Ø Ë Ø ÓÒ Ó È Öº Öº ºº ÑÙÐØº
In AAMAS-07 Workshop on Agent Mediated Electronic Commerce (AMEC 07), Honolulu, Hawaii, May 2007.
In AAMAS-07 Workshop on Agent Mediated Electronic Commerce (AMEC 07), Honolulu, Hawaii, May 2007. ÔØ Ò ÈÖ ÈÖ Ø ÓÒ Ò Ì Ë Å Ú È Ö Ó Ò È Ø Ö ËØÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ì ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì Ü Ø Ù Ø Ò Ù Ø Ò Ì ½¾
ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ Ù º Ì Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓÙ Ø Ø Á Û ÐÐ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Û Ø Ô Ö Ó Ü ÑÔÐ º ÓÒ Ö Ø ÛÓÖ Ñ Ø Ò Ð Ö Ð Ñº Ì ÛÓÖ Ñ Ø Ò ÖÚ ÓØ ØÓ Ò Ñ ÓÑ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô Ö ÓÒ Ò ØÓ Ô
È ÐÓ ÓÔ Ý Ò Å Ø Ñ Ø º º Ä Ö ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÀÓÙ ØÓÒ Â ÒÙ ÖÝ ½ ¾¼¼¼ Ì ÛÓÖ ÑÓÖ Ý Ó Ð Ñ Ö ÓÑ Ô ØÖ ÓØ Ö Ð Ø Ù ¹ Ø Ú Ó Ø Ñ Ú Ö Ð «Ö ÒØ Ñ Ò Ò Û ÒÒÓØ Ö ÓÒ Ð Û Ø ÓÒ ÒÓØ Öº ÁÒ Ø Ó ÛÓÖ Ð ÑÓÖ Ý
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì ÈÖÓ Ð Ñ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø ØÖÓÔ Ì Ö ÓÐ ÓÑ Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ø ² ËØÓ Ø ÅÓ Ð Ì ËØÓ Ø ÅÓ Ð È ÎÓÐÙÑ ÈÓÛ Ö Ä Û È ÁÒ Ø Ø ÓÒ Ò Ð È Ì Ñ ËÙÑÑ ÖÝ Ê ÙÐØ ÜØ Ò ÓÒ Á
ÓÑ Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ø ² ËØÓ Ø ÅÓ Ð ÓÖ À Þ Ö Ñ ÒØ ÊÓ ÖØ Ä ÏÓÐÔ ÖØ Ù ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ËØ Ø Ø Ð Ë Ò Û Ø ºÌº ËÔ ÐÐ Ö º º È ØÑ Ò ºÃº È ØÖ ºËº Ð Ö ÂºÇº Ö Ö ÅºÂº Ý ÖÖ º ¾¼½ ÇØ ¼ Æ ËÍ Ê Ð Æ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì ÈÖÓ Ð Ñ
Generating regression tests for software migration
INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Generating regression tests for software migration Franck Fleurey Benoit Baudry Alain Nicolas Erwan Breton Jean-Marc Jézéquel N 6971 June