Revista Integración ISSN: X Universidad Industrial de Santander Colombia

Size: px

Start display at page:

Download "Revista Integración ISSN: X Universidad Industrial de Santander Colombia"

Charity O’Neal’
5 years ago
Views:

1 Revista Integración ISSN: -49X Universidad Industrial de Santander Colombia Valero, Elvis Ronald; Mallea-Zepeda, Exequiel; Lenes, Eber A recursive condition for the inverse problem of eigenvalue for nonnegative symmetric matrices Revista Integración, vol., núm., enero-junio,, pp. - Universidad Industrial de Santander Bucaramanga, Colombia Available in: How to cite Complete issue More information about this article Journal's homepage in redalyc.org Scientific Information System Network of Scientific Journals from Latin America, the Caribbean, Spain and Portugal Non-profit academic project, developed under the open access initiative

2 Revista Integración Ù Ð Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö ÁÒ Ù ØÖ Ð Ë ÒØ Ò Ö ÎÓÐº ÆÓº ½ ¾¼½ Ô º ¼ Ö ÙÖ Ú ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÚ ÊÓÒ Ð Î Ð ÖÓ a Ü ÕÙ Ð Å ÐÐ ¹ Ô a Ö Ä Ò b a ÍÒ Ú Ö Ì Ö Ô Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Ö Ð º b ÍÒ Ú Ö Ð Ë Ò º Ð Ö ÒÙÑ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÖØ Ò ÓÐÓÑ º ØÖ Øº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÔÖ ÒØ Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ËÝÑÑ ØÖ ÆÓÒÒ Ø Ú ÁÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÈÖÓ Ð Ñº Ì ÓÒ¹ Ø ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ü Ø Ò Ö Ð Þ Ð ØÝ Ö Ø Ö º Ì Ö Ø Ö ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ø Ø Ø Ø ÖÑ Ò Û Ø Ö Ð Ø Λ = {λ,...,λ n,λ n+ } Ö Ð ¹ Þ Ð Ý ÒÓÒÒ Ø Ú ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ø µ = {µ,...,µ n } Ó¹ Ø ØÓ Λ Ö Ð Þ Ð º Ì Ö ÙÐØ Ý ØÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÑÔÖÓÚ ÓÑ Ü Ø Ò Ö Ø Ö º Ã ÝÛÓÖ ÁÒÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÒÚ ÐÙ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Üº ÅË ¾¼½¼ ½ ¾ ½ ½ ½ ½¼ ½ º ÍÒ ÓÒ Ò Ö ÙÖ Ú Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒÚ Ö Ó Ð ÙØÓÚ ÐÓÖ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ØÖ ÒÓ Ò Ø Ú ØÖ Øº Ò Ø ÖØ ÙÐÓ ÔÖ ÒØ ÑÓ ÙÒ ÓÒ Ò Ù ÒØ Ý ÙÒ ÓÒ ¹ Ò Ò Ö Ô Ö Ð ÈÖÓ Ð Ñ ÁÒÚ Ö Ó ÙØÓÚ ÐÓÖ Ô Ö Å ØÖ Ë Ñ ØÖ ¹ ÒÓ Æ Ø Ú º Ø ÓÒ Ò Ò Ô Ò ÒØ ÐÓ Ö Ø Ö Ó Ö Ð Þ ¹ Ð Ü Ø ÒØ º Ø Ö Ø Ö Ó Ö ÙÖ ÚÓ Ö Ø ÖÑ Ò ÙÒ Ð Ø Λ = {λ,...,λ n,λ n+ } Ö Ð Þ Ð ÔÓÖ ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ñ ØÖ ÒÓ Ò Ø Ú Ð Ð Ø µ = {µ,...,µ n } Ó Λ Ö Ð Þ Ð º Ø Ö ÙÐØ Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ý Ñ ÓÖ Ð ÙÒÓ Ö Ø Ö Ó Ü Ø ÒØ º È Ð Ö Ð Ú ÈÖÓ Ð Ñ ÒÚ Ö Ó ÙØÓÚ ÐÓÖ Ñ ØÖ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ñ ØÖ º ¼ ¹Ñ Ð Ú Ð ÖÓÙØ ºÐ Ê Ú Å Ö ¾¼½ ÔØ ¾ Å Ý ¾¼½ º ÌÓ Ø Ø ÖØ Ð ºÊº Î Ð ÖÓ º Å ÐÐ ¹ Ô º Ä Ò Ö ÙÖ Ú ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ê Úº ÁÒØ Öº Ì Ñ Å Øº ¾¼½ µ ÆÓº ½ ¼º

3 ºÊº Î Ð ÖÓ º Å ÐÐ ¹ Ô ² º Ä Ò ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÆÁ Èµ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ø Λ = {λ,λ,...,λ n } Ó ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö ØÓ Ø Ô ØÖÙÑ Ó n n ÒÓÒÒ Ø Ú Ñ ØÖ Üº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö ØÓ Ô ØÖÙÑ Ó ÒÓÒÒ Ø Ú Ñ ØÖ Ü ÐÐ Ø Ö Ð ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÊÆÁ Èµº È ÖØ ÙÐ ÖÐÝ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Λ ØÓ Ø Ô ØÖÙÑ Ó ÒÓÒÒ Ø Ú ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü ÐÐ ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ËÆÁ Èµº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ñ Ò ÙÒ ÓÐÚ º Ì NIEP RNIEP Ò SNIEP Ö ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÓÐÚ ÓÖ n 4º Ì NIEP Ò ÓÐÚ ÓÖ n = Ò ½ Ý ÄÓ ÛÝ Ò ÄÓÒ ÓÒ ÓÖ n = 4 Û ÓÐÚ Ý Å Ò Ò ½ Ò Ù ÕÙ ÒØÐÝ Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ò Ö ÒØ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ý ÌÓÖÖ ¹Å ÝÓ Ò ÓØ Ö ½ Ò ¾¼¼ º Ì SNIEP Ò ÓÐÚ Û Ò n = Ý Ð Ö ¾ Ò ½ Ò ÓÖ n = 4 Ò ÓÐÚ Ý ÙÓ Ò ½ º Ì RNIEP Ò SNIEP Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖ n 4 ÙØ Ö Ö ÒØ ÓØ ÖÛ º ÁÒ ¾¼½½ ËÔ ØÓÖ Ú ÓÑÔÐ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ SNIEP Û Ò n = Ò Ø ØÖ Ó ÒÓÒÒ Ø Ú Ñ ØÖ Ü Þ ÖÓ ½ º È ÖØ Ð Ö ÙÐØ ÓÖ Ø SNIEP Ú Ò Ó Ø Ò Ò ½ ¾ ½¼ ½½ ½¾ ½ ½ º Ì Ô Ô Ö ÓÖ Ò Þ ÓÐÐÓÛ ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¾ Û Ø Ð Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ö ÙÐØ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ SNIEP º ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒº ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÓÛ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ º Ì Ö Ð Þ Ð ØÝ Ö Ø Ö ÓÛÒ Ò Ë Ø ÓÒ Ö Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ Ò ½ ½ Ò Ø Ý ÑÔÖÓÚ Ø Ó Ö Ø Ö º ¾º ÆÓØ Ø ÓÒ Ò Ö ÙÐØ Ì ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ô Ô Ö Û Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ä Ø R m n Ø Ñ ØÖ Ü Ø Ó ÓÖ Ö m n Û Ø ÒØÖ Ö Ð ÒÙÑ Ö Ò Ô ÖØ ÙÐ ÖR n n ÕÙ Ö Ñ ØÖ Ó ÓÖ Önº Ï ÒÓØ ρ(a) Ø Ô ØÖ Ð Ö Ù Ó A R n n º Ï Ý Ø Ø A = [a ij ] R n n ÒÓÒÒ Ø Ú a ij ÓÖ ÐÐ i,j {,,...,n}º Ï ÐÐ Ý Ø Ø Λ = {λ,λ,...,λ n } Ö Ð Þ Ð Ø Ö Ü Ø Ò ÒÓÒÒ Ø Ú Ñ ØÖ Ü A R n n Û Ø Ô ØÖÙÑ Λ Ò ρ(a) = λ º Á Λ Ö Ð Þ Ð ÓÖ A Ø Ò Ø Ø Ø A Ö Ð Þ Λº Á Λ = {λ,λ,...,λ n+ } Ò µ = {µ,µ,...,µ n } Ù Ø Ø λ µ λ... µ n λ n µ n λ n+, n+ n Û Ò Ø ÙÒØ ÓÒ f(t) = (t λ k ) g(t) = (t µ k )º k= k= Ë ÓÛ Ø Ø Ø Ú ØÓÖ Ý = [ y y y n ] T Û Ø Revista Integración

4 Ö ÙÖ Ú ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ n+ (µ i λ k ) yi = f(µ i) g (µ i ) = k=, ( ) i n (µ i µ k ) (µ i µ k ) Û ÐÐ Ò µº k= k=i+ Ò ÐÐÝ Û ÔÖ ÒØ Ø Ö Ö ÙÐØ Ø Ö Ø ØÛÓ Ö ÙÐØ Ö Ù ØÓ ÀÓÖÒ Ò ÂÓ Ò ÓÒ Ò Ø Ø Ö Ö ÙÐØ Û ÔÖ ÒØ Ý ÙÓ º Ì Û ÐÐ Ð Ø Ö Ù ÓÖ Ø Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ò Û Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ËÆÁ Èº Ì ÓÖ Ñ ¾º½º Ä Ø Ā R n n Ú Ò ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Û Ø ÒÚ ÐÙ µ,...,µ n Ð Ø z R n Ú Ò Ú ØÓÖ ÓÐÙÑÒ Ñ ØÖ Üµ Ò Ð Ø α Ú Ò Ö Ð ÒÙÑ Öº Ä Ø A R n+ n+ [Ā ] Ø ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ó Ø Ò Ý ÓÖ Ö Ò Ā Û Ø z Ò α z ÓÐÐÓÛ A = z T, Û Ø ÒÚ ÐÙ λ α,λ,...,λ n+ º Á λ λ... λ n+ Ò µ µ... µ n º Ì Ò λ µ λ... λ n µ n λ n+. Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Ä Ø n Ú Ò ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ò Ð Ø µ = {µ,...,µ n } Ò Λ = {λ,λ,...,λ n+ } ØÛÓ Ð Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö ÖÖ Ò Ò Ò Ò ÓÖ Ö Ù Ø Ø λ µ λ... λ n µ n λ n+. Ä Ø D = diag(µ,...,µ n )º Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ö Ð ÒÙÑ Ö α Ò Ö Ð Ú ØÓÖ y R n Ù Ø Ø Λ = {λ,λ,...,λ n+ } Ø Ø Ó ÒÚ ÐÙ Ó Ø Ö Ð ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü [ ] D y A = y T. a Ì ÓÖ Ñ ¾º º Ì Ð Ø λ = {λ,λ,λ,λ 4 } Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ö Ð Þ Ð ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ò ÓÒÐÝ λ +λ +λ +λ 4 Ò λ λ i ÓÖ i =,,4º [ ] Ç ÖÚ Ø ÓÒ Ì Ñ ØÖ Ü A Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º¾ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ñ ØÖ Ü Ã = a z T z D Û Ô ØÖÙÑ Λ Ò Ñ Ò Ù Ñ ØÖ Ü Û Ø Ô ØÖÙÑ µº ÁÒ ÓÒ ÕÙ Ò Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ Ò Ö ÓÖÑÙÐ Ø Ò Ù Û Ý Ø Ø Ø Ñ ØÖ Ü Ø Ø Ö Ð Þ Λ Ø ÓÖÑ Ó Ãº º ËÙ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ï ÓÒ Ö Ð Ø Λ = {λ,λ,...,λ n } Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ù Ø Ø λ λ... λ n º Ì Ò ÜØ Ö ÙÐØ Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø SNIEP ½ º Ì ÓÖ Ñ º½º Ä Ø Λ = {λ,λ,...,λ n+ } µ = {µ,µ,...,µ n } Ð Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö n+ n Ù Ø Ø λ µ λ µ... µ n λ n+ Û Ø λ k µ k º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ð Ø k= k= ÎÓÐº ÆÓº ½ ¾¼½

5 ¼ ºÊº Î Ð ÖÓ º Å ÐÐ ¹ Ô ² º Ä Ò P Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü D = diag{µ,...,µ n } Ù Ø Ø PDP T Ò y R n+ Ú Ò µ Ù Ø Ø Py º Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÒÓÒÒ Ø Ú ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Û Ø Ô ØÖÙÑ Λº ÈÖÓÓ º Ï Ò Ý = [ y... y n ] Û Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ yi Ú Ò µ Ø Ø yi = i (µ i µ k ) k= D Ý Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ø Ñ ØÖ Ü Ā = n+ (µ i λ k ) k= Ý T n+ Ý λ k k= n k=i+ n k= (µ i µ k ) µ k. Ô ØÖÙÑ Λ. [ ] P ¼ Ï Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü ¼ T Û Ø ¼ R n º Ë Ò PDP T P Ý Ø Ò Ø ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü [ ] D Ý [ ] P ¼ n+ A = ¼ T n P T ¼ Ý T λ k µ k ¼ T k= k= PDP T P Ý n+ = n (P Ý) T λ k ÒÓÒÒ Ø Ú Ò Û Ø Ô ØÖÙÑ Λº k= k= µ k Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ü ÑÔÐ ÓÛ Ø Ø Ì ÓÖ Ñ º½ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ö Ð Þ Ð ØÝ Ö Ø Ö Ø Ð Ò ½ Ä ÑÑ º Ü ÑÔÐ º¾º Ä Ø Λ = {6,,, 4, 4}. ÓÖ Ø Ð Ø ÓÒ Ö µ = {4,,, 4}, a =. Ì Ñ ØÖ Ü B = Pdiag{4,,,4}P T, Û Ö P = , Ú Ô ØÖÙÑ µº Revista Integración

6 Ö ÙÖ Ú ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ½ 48 Ï Ò y = (,, 4,)T ; Ø Ò Ù Ó Ì ÓÖ Ñ º½ Ø Ñ ØÖ Ü A = = [ ][ ][ P diag(4,,,4) y P T y T ] ÒÓÒÒ Ø Ú Û Ø Ô ØÖÙÑ Λº Ì Ò ÜØ Ü ÑÔÐ ÓÛ Ø Ø Ø Ì ÓÖ Ñ º½ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ö Ð Þ Ð ØÝ Ö Ø Ö ÓÛÒ Ò Ø ½ Ì ÓÖ Ñ º Ò ½ Ì ÓÖ Ñ º Ü ÑÔÐ º º Ï ÓÒ Ö Ø Ð Ø Λ = { +,,,, 4, 4}º ÓÖ Ø Ð Ø Ø Ö Ü Ø Ð Ø µ = {6,,, 4, 4} Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü P = , Ù Ø Ø ÓÖ Ý = [ ] Ò µ Û Ú P Ý = [ ] T. Ì Ù Ý Ì ÓÖ Ñ º½ Û Ø D = diag{6,,, 4, 4} Ø Ñ ØÖ Ü ÎÓÐº ÆÓº ½ ¾¼½

7 ¾ ºÊº Î Ð ÖÓ º Å ÐÐ ¹ Ô ² º Ä Ò A = = PDP T P Ý (P Ý) T 6 λ i Ö ÒÚ ÐÙ º i= i= µ i 4 4 4, Ì Ü ÑÔÐ ÓÛ Ø Ø Ì ÓÖ Ñ º½ ÑÔÖÓÚ Ø Ö Ð Þ Ð ØÝ Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ Ò ½ Ì ÓÖ Ñ º Ò ½ Ä ÑÑ Ò Ì ÓÖ Ñ Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ð Ø {6,,, 4, 4}, {+,,,, 4, 4} Ö ÒÓØ Ö Ð Þ Ð Ý Ø Ó Ö Ø Ö º Ì Ò ÜØ Ö ÙÐØ ÓÛ Ò ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø SNIEP º Ì ÓÖ Ñ º º Ä Ø Λ = {λ,λ,...,λ n+ } Ö Ð Þ Ð ÓÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Aº Ì Ò Ø Ö Ü Ø ½º Ð Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö µ = {µ,...,µ n } Ù Ø Ø λ µ λ µ... µ n λ n+ º ¾º ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Q Ò b R n Ù Ø Ø Qb Ò QDQ T Û Ö D = diag{µ,...,µ n }º n+ Ð Ó Ø ÓÐ λ k k= n µ k º k= ÈÖÓÓ º Ä Ø A ÒÓÒÒ Ø Ú ÝÑÑ ØÖ [ Ñ ØÖ Ü ] Û Ø ÒÚ ÐÙ Λº Ï Ø ÓÙØ ÐÓ B Þ Ó Ò Ö Ð ØÝ Û Ò ÙÑ Ø Ø A = Þ T Û Ø B R α n n Þ R n º Ä Ø µ = σ(b) = {µ,...,µ n }º Ý Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Û Ø Ø Ø λ µ λ µ... µ n λ n+. Ë Ò B ÒÓÒÒ Ø Ú ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ø Ö Ü Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Q Ù Ø Ø B = QDQ T º Ä Ø = Q T Þº Ë Ò Þ Ø Ò Û Ú Ø Ø Q = Q(Q T Þ) = Þ º Revista Integración

8 Ö ÙÖ Ú ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ì Ñ ØÖ Ü [ ] D Q Â = T Þ (Q T Þ) T α Ñ Ð Ö ØÓ A Ø Ò σ(â) = {λ,...,λ n+ }º Ë Ò Â ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ø Ò Ò¹ Ú ÐÙ Ò Ø ÓÒ Ð ÒØÖ Ø Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ð Ø ÓÒ n+ n λ k = µ k +α; Ó n+ Ø Ö ÓÖ λ k k= k= k= k= n+ n λ k µ k = α, k= k= n µ k º ÆÓØ Ø Ø P Ý = Þ Û Ø P Ú Ò Ò Ì ÓÖ Ñ º½ Ý Ò ( ) Ò Þ Ú Ò Ò Ì ÓÖ Ñ º Ø Ò Ì ÓÖ Ñ º½ Ò Ì ÓÖ Ñ º Ø Ð Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ SNIEP º Ä Ø Λ = {λ,...,λ n } Ð Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö º Á n =, Ø Ý ØÓ Ø Ø P Ý = Þº ÓÖ n = 4 Û Ø ÓÑ ÔÖ ÒØ Ò Û ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ½º Á λ λ λ λ 4 > Ø Ò Ø ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü A = diag{λ,λ,λ,λ 4 } ÒÚ ÐÙ Λº ÁÒ Ø Û Ú µ = {λ,λ,λ } P Ý = Þ Û Ø P = I R Ò Ý = Þ = [ ] T º ¾º Á λ λ λ > λ 4 Ø Ò Ø ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Û Ø B = [ λ+λ 4 λ λ 4 λ λ 4 λ +λ 4 A = [ ] B O, O B ] [ ] λ,b = Ò O = λ [ ], Ô ØÖÙÑ Λº ÁÒ Ø Û Ú µ = {λ,λ,λ 4 } P Ý = Þ Û Ø P = Ò Ý = Þ =. ÎÓÐº ÆÓº ½ ¾¼½

9 ºÊº Î Ð ÖÓ º Å ÐÐ ¹ Ô ² º Ä Ò º Á λ λ > λ λ 4 Ò λ λ Ø Ñ ØÖ Ü A = λ +λ λ λ Ô ØÖÙÑ Λº ÁÒ Ø Û Ú Ò Ó P Ý = Þº λ λ λ +λ λ +λ 4 µ = {λ,λ, λ +λ 4 }, P = Ý = λ λ 4 λ λ 4 Ò Þ = λ λ 4 λ +λ 4 λ λ 4 Ì λ λ > λ λ 4 Ò λ < λ Ò ÐÓ ÓÙ ØÓ Ø ÔÖ Ú ÓÙ º [ ] A Þ º Á λ > λ λ λ 4 Ø Ñ ØÖ Ü Þ T ÒÚ ÐÙ Λ Û Ø Þ = A = [ λλ (λ +λ ) (λ +λ λ ) λ +λ +λ +λ 4 λ +λ +λ λ 4 λ (λ +λ ) λλ (λ +λ ) (λ +λ λ ) λ +λ +λ λ 4 λ +λ +λ +λ 4 λ (λ +λ ) ÁÒ Ø Û Ú µ = {λ +λ,λ,λ 4 } P = λ+λ (λ +λ λ ) λ+λ (λ +λ λ ) λ λ +λ λ Ò Ø ÓÐ Ø Ø P Ý = Þº, λ λ λ λ +λ λ ] T, λ (λ +λ ) λ (λ +λ ) λ (λ +λ λ ) λ (λ +λ λ ) λ +λ λ +λ λ., λ λ, Ý =, Ï ÓÒ ØÙÖ Ø Ø Ø Ì ÓÖ Ñ º Ò Ì ÓÖ Ñ º½ Ø Ð Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ SNIEP Û Ò n Ø Ø Ø ÓÐ P Ý = Þ Û Ø P Ú Ò Ò Ì ÓÖ Ñ º½ Ý Ú Ò ( ) Ò Þ Ú Ò Ò Ø Ì ÓÖ Ñ º º Ì SNIEP ÓÖ Ð Ø Λ = {λ,λ,...,λ n } ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ò Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð n Ñ Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü P Ù Ø Ø PD Λ P T, Û Ö D Λ = diag{λ,λ,...,λ n }. Ï ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ Revista Integración

10 Ö ÙÖ Ú ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ½º P =,P =. ¾º ÓÖ Ø Ð Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö µ = {µ,µ,µ,µ 4 } Ù Ø Ø µ λ i ÓÖ i =,,4 µ < Ò µ < µ, Û Ò P = µ+µ µ µ µ+µ µ µ (µ+µ ) µ µ (µ+µ ) µ µ (µ+µ ) µ µ µ+µ µ µ (µ+µ ) µ µ µ+µ µ µ º ÓÖ Ø Ð Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö µ = {µ,µ,µ,µ 4 } Ù Ø Ø µ λ i ÓÖ i =,,4 Ò µ <, Û Ò. P 4 = µ µ+µ µ+µ µ µ µ µ µ+µ µ+µ µ µ µ µ µ+µ µ µ µ+µ µ+µ µ µ µ µ µ+µ µ+µ µ µ µ µ µ+µ µ µ µ µ+µ µ µ µ µ µ µ+µ µ µ µ µ+µ µ+µ µ µ µ µ µ µ µ. Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ Ú Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ð Þ Ð ØÝ Ó Ð Ø Λ Û Ò n =, Ý Ñ Ò Ó ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ º ÓÖÓÐÐ ÖÝ º º Ä Ø Λ = {λ,λ,λ,λ 4,λ },µ = {µ,µ,µ,µ 4 } Ð Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ù 4 Ø Ø λ µ λ µ λ µ λ 4 µ 4 λ λ i µ i µ λ i ÓÖ i =,,4 Ò y R 4 Ò µº ½º P y µ > µ 4, ¾º P y µ > µ µ µ, º P y µ > µ µ < µ, i= i= Á ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ØÖÙ ÎÓÐº ÆÓº ½ ¾¼½

11 ºÊº Î Ð ÖÓ º Å ÐÐ ¹ Ô ² º Ä Ò º P 4 y µ > µ, Ø Ò Λ Ø Ô ØÖÙÑ Ó ÒÓÒÒ Ø Ú ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Üº ÈÖÓÓ º Ï Ö ÐÐ Ø Ø Ý R 4 Ò Ý (µ i λ k ) k= y i = i (µ i µ k ) k= k=i+. 4 (µ i µ k ) Ï ØÙ Ý Ø () Á P Ý µ > µ 4. Ï Ò Ø ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü A = µ y µ y µ y µ 4 y 4 y y y y 4 a, Ø Ø A = µ + µ 4 µ µ 4 µ µ 4 y y4 µ + µ 4 y + y4 µ y µ y y y4 y + y4 y y a, Û Ø a = λ i i= 4 µ i º i= Ë Ò Ý ÝÔÓØ µ µ i,i =,,4, Û Ú µ ± µ 4. ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò µ, Ø Ò µ. Ì Ö ÓÖ Ø Ñ ØÖ Ü A ÒÓÒÒ Ø Ú º Ð Ó P Ý = [ ] y y4 y + T y4 y y 4 ; Ý Ì ÓÖ Ñ º½ Ø ÒÓÒÒ Ø Ú ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü A Ô ØÖÙÑ Λº ÇØ ÖÛ Ø Ñ Ð ÖÐÝ Ö Ú º Revista Integración

12 Ö ÙÖ Ú ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ü ÑÔÐ º º ÓÒ Ö Ø Ð Ø Λ = {6,,,, }º Á Ø Ð Ø Λ Ö Ð Þ Ð Ø Ò Ø Ö Ü Ø Ö Ð Þ Ð Ð Ø µ = {µ,µ,µ,µ 4 }º Ý Ø ÓÖ Ñ ¾º½ ¾º¾ ¾º Û Ú 6 µ µ = µ 4 µ 4 = Ò 4 µ +µ º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ÓÖ Λ Ò µ Ò Ý = [y y y y 4 ] T Û Ø y i i =,,,4 µº Ì Ö ÒÓØ P i Ó Ø ÓÖÓÐÐ ÖÝ º Ù Ø Ø P i Ý Ø Ù Ý Ì ÓÖ Ñ º½ º Ø Ð Ø Λ = {6,,,, } ÒÓØ Ö Ð Þ Ð º Ç ÖÚ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÛÒ Ø Ø Ø Ð Ø Ò ÒÓØ Ô Ö ÓÖÑ Ý ÒÝ Ö Ø Ö ÓÒº º Ð ÓÖ Ø Ñ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Û ÐÐ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Û Ø Ö Ð Ø Λ = {λ,λ,...,λ n } Ø Ô ØÖÙÑ Ó ÒÓÒÒ Ø Ú ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ý Ù Ò Ø Ö ÙÐØ ÔÖ ÒØ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒº Ï ÒØÖÓ Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ O n = {P R n n : PP T = P T P = I}, S n = {Λ = {λ,...,λ n } : A = A T,σ(A) = Λ}, D Λ = diag{λ,...,λ n }, S n (Λ) = {A : A = A T,σ(A) = Λ}, O n (Λ) = {P O n : PD Λ P T }. ÆÓØ Ø Ø S n (Λ) ÓÒÐÝ O n (Λ) Ò λ n Ø Ò O n (Λ) º Ð Ó Λ S n Ò ÓÒÐÝ S n (Λ) ÓÖ O n (Λ) º Ð ÓÖ Ø Ñ ½º Ä Ø Λ = {λ,λ,...,λ n+ } ¾º Ä Ø µ = {µ,...,µ n } Ù Ø Ø λ µ λ... λ n µ n λ n+ n+ n n λ i µ i Ò µ i º i= i= i= º Á µ S n Ò Ý = [ ] T y... y n µº Á Ð Ö ØÙÖÒ Ø Ô ¾º º Ä Ø P O n (µ)º º Á P Ý Ò PD µ P T P Ý n+ A = n (P Ý) T λ i i= i= µ i S n (Λ); Ð Ö ØÙÖÒ ØÓ Ø Ô º ÎÓÐº ÆÓº ½ ¾¼½

13 ºÊº Î Ð ÖÓ º Å ÐÐ ¹ Ô ² º Ä Ò Æ ØÙÖ ÐÐÝ Ø Ö Ü Ø Ú Ö Ð Û Ý ØÓ Ð Ø Ø µ i Û ÐÐ Ú Ö Ð Û Ý ØÓ Ø ÖÑ Ò µ S n º ÓÖ Ø n = Ø Ð Ø ÓÒ Ó µ Ð Ñ Ø Ò ÓÖ n = 4 Ø Ö Ö Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÖÑ Ò µ S n º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ü ÑÔÐ ÓÛ Ø Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖ ÒØ Ö ÙÖ Ú º Ü ÑÔÐ º½º Ï ÓÒ Ö Ø Ð Ø Λ = {9,,,, 6}. Ï Ð Ø µ = {6,,, }. ÌÓ ÓÛ Ø Ø µ Ö Ð Þ Ð Ð Ø Ø Ð Ø ν = {,, }. ÓÖ Ø Ð Ø ν, Û Ò x T = [ ], Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ì Ù Ø Ñ ØÖ Ü A = = = [ P P = ][ diag{,, } x x T. ][ P T ] Ø ÒÓÒÒ Ø Ú ÝÑÑ ØÖ Ð Û Ø Ô ØÖÙÑ µ. ÓÖ Ø Ð Ø µ, Û Ò y = [ 4 ] T Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü 9 9 P =. 6 Ì Ù Ø Ñ ØÖ Ü Revista Integración

14 Ö ÙÖ Ú ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ A = = = [ P ][ diag{6,,, } y y T ][ P T ] Ø ÒÓÒÒ Ø Ú ÝÑÑ ØÖ Ð Û Ø Ô ØÖÙÑ Λ = {9,,,, 6}. ÒÓÛÐ Ñ ÒØ Ì ÛÓÖ Û ÙÔÔÓÖØ Ý ÈÖÓÝ ØÓ ÍÌ ¹Å ÝÓÖ ¹½ Ó Ø ÍÒ Ú Ö Ì Ö ¹ Ô Ö ¹ Ð º Ê Ö Ò ½ ÐÐ Ö Êº Ò ËÑ Ó Àº ÓÒÒ Ø Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ËÝÑÑ ØÖ ÆÓÒÒ Ø Ú ÁÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÈÖÓ Ð Ñ Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔÐº ¾¼½ µ ¾½ ¾º ¾ Ð Ö Åº ÒÚ ÐÙ Ó ÆÓÒÒ Ø Ú ËÝÑÑ ØÖ Å ØÖ Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔÐº ½ µ ½½ ½ ¾º ÙÓ Ïº Ò ÁÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÆÓÒÒ Ø Ú Å ØÖ Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔÐº ¾ ½ µ ÆÓº ½¹ º ÀÓÖÒ º Ò ÂÓ Ò ÓÒ ºÊº Å ØÖ Ü Ò ÐÝ Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Ñ Ö ½ ¼º ÓÖÖ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ó Ø ½ ÓÖ Ò Ðº ÂÓ Ò ÓÒ ºÊº Ä Ý ÌºÂº Ò ÄÓ ÛÝ Êº Ì Ö Ð Ò Ø ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö ÒØ ÈÖÓº Ñ Öº Å Ø º ËÓº ½¾ ½ µ ÆÓº ½¾ ½º ÂÓ Ò ÓÒ ºÊº Å Ö Ù Ò º Ò È ÓÒ ÖÓ Åº ÊÙÐ Ò ÓÙØ ÖØ Ò ¹ Ô ØÖ ÓÖ Ø ÝÑ¹ Ñ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔÐº ½¾ ¾¼½ µ ½¾ ½ º ÄÓ ÛÝ Êº Ò ÄÓÒ ÓÒ º ÒÓØ ÓÒ Ò ÒÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÒÓÒÒ Ø Ú Ñ ØÖ Ä Ò Ö ÅÙÐØ Ð Ò Ö Ð Ö ½ µ ÆÓº ½ ¼º ÎÓÐº ÆÓº ½ ¾¼½

15 ¼ ºÊº Î Ð ÖÓ º Å ÐÐ ¹ Ô ² º Ä Ò ÄÓ ÛÝ Êº Ò Å ÓÒ Ð ÂºÂº Ì ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ñ ØÖ Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔÐº ¾¼¼ µ ¾ ¾ º Å Ò Åº º ËÓÑ Ö ÙÐØ ÓÒ Ø Ñ ØÖ Ü Ô ØÖ Ì È º ºµ Æ Ø ÓÒ Ð ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÁÖ Ð Ò Ù Ð Ò ½ º ½¼ Å ÓÒ Ð ÂºÂº Ò Æ ÙÑ ÒÒ Åº Ì ËÓÙÐ ÔÔÖÓ ØÓ Ø ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ó ÓÖ Ö n Ò ÓÒØ ÑÔº Å Ø º ¾ Ñ Öº Å Ø º ËÓº ¾¼¼¼µ ¼ º ½½ Ê Û Ò Æº Ò ÁÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ ØÖ Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔÐº ¾ ½ µ ½¼½ ½¼ º ½¾ ËÓØÓ ÊºÄº Ñ ÐÝ Ó Ö Ð Þ Ð ØÝ Ö Ø Ö ÓÖ Ø Ö Ð Ò ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÆÙÑ Öº Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔÐº ¾¼ ¾¼½ µ ÆÓº ¾ º ½ ËÓØÓ ÊºÄº Ê Ð Þ Ð ØÝ Ö Ø Ö ÓÒ ÓÖ Ø ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ ¹ Ð Ñ Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔÐº ½ ¾¼¼ µ ÆÓº ¾¹ º ½ ËÓØÓ ÊºÄº Ò Î Ð ÖÓ º ÇÒ ËÝÑÑ ØÖ ÆÓÒÒ Ø Ú Ñ ØÖ Û Ø ÈÖ Ö ËÔ ØÖÙÑ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø Ð ÓÖÙÑ ¾¼½ µ ÆÓº ¾ ½½ ½ ½½ º ½ ËÓÙÐ º ÓÒ ØÖÙØ Ò ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú Ñ ØÖ Ä Ò Ö ÅÙÐØ Ð Ò Ö Ð Ö ½ ½ µ ÆÓº ¾ ½ ¾ ½º ½ ËÔ ØÓÖ Çº Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó ØÖ Þ ÖÓ ÝÑÑ ØÖ ÒÓÒÒ Ø Ú Ñ ØÖ Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔÐº ¾¼½½µ ÆÓº ½¼¼¼ ½¼½ º ½ ÌÓÖÖ ¹Å ÝÓ Âº Ö Ð¹Ê ÝÑÙÒ Ó ÅºÊº Ð Ö ¹ Ø Ú Þ º Å Ö Ù Ò º Ò È ÓÒ ÖÓ Åº Ì ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÚ Ö ÒÚ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÖÓÑ Ø Ó ÒØ Ó Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ðº Ä Ö Ô Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔÐº ¾ ¾¼¼ µ ÆÓº ¾¹ ¾ º Revista Integración

½½ º º À Æ Æ º º Í Æ ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ñ ¹ Ò Ø ÙÒÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖÙ Ø Ö ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ È ½ Û Ø Ò Ð ÐÐ ÓÒ ØÖ ÒØ Û Ó ÓÖÑ Ù Ø ØÓ Ñ Ò ¾Ê Ò µ ½ ¾ Ì Ì Ø Ì Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð

½½ º º À Æ Æ º º Í Æ ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ñ ¹ Ò Ø ÙÒÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖÙ Ø Ö ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ È ½ Û Ø Ò Ð ÐÐ ÓÒ ØÖ ÒØ Û Ó ÓÖÑ Ù Ø ØÓ Ñ Ò ¾Ê Ò µ ½ ¾ Ì Ì Ø Ì Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ÎÓÐº½ ÆÓº¾ ¾¼¼½ ½½ ß½¾ º ÇÆ Å ÁÅ Ç Í Ä ÍÆ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ Ì ËÍ ÈÊÇ Ä Å ½µ ÓÒ ¹ Ò Ê Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÒØ Ö Ó È Ö ÐÐ Ð ËÓ ØÛ Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ó ËÓ ØÛ Ö Ò ½¼¼¼ ¼ Ò µ ¹Ü Ò Ù Ò ËØ Ø Ã Ý Ä ÓÖ ØÓÖÝ