Contact 3-Manifolds, Holomorphic Curves and Intersection Theory
|
|
|
- Allan Page
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 Contact 3-Manifolds, Holomorphic Curves and Intersection Theory (Durham University, August 2013) Chris Wendl University College London These slides plus detailed lecture notes (in progress) available at:
2 Background material for Lecture 1 (M 2n,ω) is a symplectic manifold: ω Ω 2 (M), dω = 0 and ω n > 0. ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ÐÓ ÐÐÝ Ø Ø ÓÖÑ Ò ½ Ô Õ ËÓÑ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÙØ ÝÑÔÐ Ø Ñ Ò ÓÐ ½º À Ñ ÐØÓÒ Ò ÝÒ Ñ À Å Ê À Ò À À Ô Õ Õ Ô ½ ¾º Ö Ø Ö ÝÑÔÐ Ø Ñ Ò Å µ Å ¼ ¼ µ º Á Ø Ö ÝÑÔÐ ØÓÑÓÖÔ Ñ Å µ Å ¼ ¼ µ 1
3 Background material for Lecture 1 (M 2n,ω) is a symplectic manifold: ω Ω 2 (M), dω = 0 and ω n > 0. Equivalently, ω locally takes the form ω = n j=1 dp j dq j. ËÓÑ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÙØ ÝÑÔÐ Ø Ñ Ò ÓÐ ½º À Ñ ÐØÓÒ Ò ÝÒ Ñ À Å Ê À Ò À À Ô Õ Õ Ô ½ ¾º Ö Ø Ö ÝÑÔÐ Ø Ñ Ò Å µ Å ¼ ¼ µ º Á Ø Ö ÝÑÔÐ ØÓÑÓÖÔ Ñ Å µ Å ¼ ¼ µ 1
4 Background material for Lecture 1 (M 2n,ω) is a symplectic manifold: ω Ω 2 (M), dω = 0 and ω n > 0. Equivalently, ω locally takes the form ω = n j=1 dp j dq j. Some questions about symplectic manifolds: ½º À Ñ ÐØÓÒ Ò ÝÒ Ñ À Å Ê À Ò À À Ô Õ Õ Ô ½ ¾º Ö Ø Ö ÝÑÔÐ Ø Ñ Ò Å µ Å ¼ ¼ µ º Á Ø Ö ÝÑÔÐ ØÓÑÓÖÔ Ñ Å µ Å ¼ ¼ µ 1
5 Background material for Lecture 1 (M 2n,ω) is a symplectic manifold: ω Ω 2 (M), dω = 0 and ω n > 0. Equivalently, ω locally takes the form ω = n j=1 dp j dq j. Some questions about symplectic manifolds: 1. Hamiltonian dynamics: H : M R ( n H X H := H ) p j q j q j p j j=1 ¾º Ö Ø Ö ÝÑÔÐ Ø Ñ Ò Å µ Å ¼ ¼ µ º Á Ø Ö ÝÑÔÐ ØÓÑÓÖÔ Ñ Å µ Å ¼ ¼ µ 1
6 Background material for Lecture 1 (M 2n,ω) is a symplectic manifold: ω Ω 2 (M), dω = 0 and ω n > 0. Equivalently, ω locally takes the form ω = n j=1 dp j dq j. Some questions about symplectic manifolds: 1. Hamiltonian dynamics: H : M R ( n H X H := H ) p j q j q j p j j=1 2. Are there symplectic embeddings (M,ω) (M,ω )? º Á Ø Ö ÝÑÔÐ ØÓÑÓÖÔ Ñ Å µ Å ¼ ¼ µ 1
7 Background material for Lecture 1 (M 2n,ω) is a symplectic manifold: ω Ω 2 (M), dω = 0 and ω n > 0. Equivalently, ω locally takes the form ω = n j=1 dp j dq j. Some questions about symplectic manifolds: 1. Hamiltonian dynamics: H : M R ( n H X H := H ) p j q j q j p j j=1 2. Are there symplectic embeddings (M,ω) (M,ω )? 3. Is there a symplectomorphism (M,ω) = (M,ω )? 1
8 A somewhat general example F 2 M 4 π Σ 2 fibration; closed, oriented Ì ÓÖ Ñ Ì ÙÖ ØÓÒµ Á Ö ¼ ¾ À ¾ Šɵ Ø Ò Å Ñ Ø ÝÑÔÐ Ø ÓÖÑ Ù Ø Ø Ö ¼ Ò Ø Ô Ó Ù ÝÑÔÐ Ø ÓÖÑ ÓÒÒ Ø º Å µ Ø Ò ÝÑÔÐ Ø Ö Ø ÓÒº Á Ë ¾ Å µ ÐÐ ÝÑÔÐ Ø ÖÙÐ ÙÖ º 2
9 A somewhat general example F 2 M 4 π Σ 2 fibration; closed, oriented Theorem (Thurston) If [fiber] 0 H 2 (M;Q), then M admits a symplectic form ω such that ω fibres > 0, and the space of such symplectic forms is connected. Å µ Ø Ò ÝÑÔÐ Ø Ö Ø ÓÒº Á Ë ¾ Å µ ÐÐ ÝÑÔÐ Ø ÖÙÐ ÙÖ º 2
10 A somewhat general example F 2 M 4 π Σ 2 fibration; closed, oriented Theorem (Thurston) If [fiber] 0 H 2 (M;Q), then M admits a symplectic form ω such that ω fibres > 0, and the space of such symplectic forms is connected. (M,ω) π Σ is then a symplectic fibration. If F = S 2, (M,ω) is called a symplectic ruled surface. 2
11 A more general example M π Σ is a Lefschetz fibration if it has finitely many critical points M crit M of the form π(z 1,z 2 ) = z 2 1 +z2 2 in local complex coordinates. Ì ÓÖ Ñ ÓÑÔ µ Ì ÙÖ ØÓÒ³ Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ð ØÓ Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ º Ï ÐÐ Å µ ÝÑÔÐ Ø Ä ØÞ Ö Ø ÓÒº 3
12 A more general example M π Σ is a Lefschetz fibration if it has finitely many critical points M crit M of the form π(z 1,z 2 ) = z 2 1 +z2 2 in local complex coordinates. Ì ÓÖ Ñ ÓÑÔ µ Ì ÙÖ ØÓÒ³ Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ð ØÓ Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ º Ï ÐÐ Å µ ÝÑÔÐ Ø Ä ØÞ Ö Ø ÓÒº 3
13 A more general example M π Σ is a Lefschetz fibration if it has finitely many critical points M crit M of the form π(z 1,z 2 ) = z 2 1 +z2 2 in local complex coordinates. Ì ÓÖ Ñ ÓÑÔ µ Ì ÙÖ ØÓÒ³ Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ð ØÓ Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ º Ï ÐÐ Å µ ÝÑÔÐ Ø Ä ØÞ Ö Ø ÓÒº 3
14 A more general example M π Σ is a Lefschetz fibration if it has finitely many critical points M crit M of the form π(z 1,z 2 ) = z 2 1 +z2 2 in local complex coordinates. Ì ÓÖ Ñ ÓÑÔ µ Ì ÙÖ ØÓÒ³ Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ð ØÓ Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ º Ï ÐÐ Å µ ÝÑÔÐ Ø Ä ØÞ Ö Ø ÓÒº 3
15 A more general example M π Σ is a Lefschetz fibration if it has finitely many critical points M crit M of the form π(z 1,z 2 ) = z 2 1 +z2 2 in local complex coordinates. Ì ÓÖ Ñ ÓÑÔ µ Ì ÙÖ ØÓÒ³ Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ð ØÓ Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ º Ï ÐÐ Å µ ÝÑÔÐ Ø Ä ØÞ Ö Ø ÓÒº 3
16 A more general example M π Σ is a Lefschetz fibration if it has finitely many critical points M crit M of the form π(z 1,z 2 ) = z 2 1 +z2 2 in local complex coordinates. Ì ÓÖ Ñ ÓÑÔ µ Ì ÙÖ ØÓÒ³ Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ð ØÓ Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ º Ï ÐÐ Å µ ÝÑÔÐ Ø Ä ØÞ Ö Ø ÓÒº 3
17 A more general example M π Σ is a Lefschetz fibration if it has finitely many critical points M crit M of the form π(z 1,z 2 ) = z 2 1 +z2 2 in local complex coordinates. Ì ÓÖ Ñ ÓÑÔ µ Ì ÙÖ ØÓÒ³ Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ð ØÓ Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ º Ï ÐÐ Å µ ÝÑÔÐ Ø Ä ØÞ Ö Ø ÓÒº 3
18 A more general example M π Σ is a Lefschetz fibration if it has finitely many critical points M crit M of the form π(z 1,z 2 ) = z 2 1 +z2 2 in local complex coordinates. Ì ÓÖ Ñ ÓÑÔ µ Ì ÙÖ ØÓÒ³ Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ð ØÓ Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ º Ï ÐÐ Å µ ÝÑÔÐ Ø Ä ØÞ Ö Ø ÓÒº 3
19 A more general example M π Σ is a Lefschetz fibration if it has finitely many critical points M crit M of the form π(z 1,z 2 ) = z 2 1 +z2 2 in local complex coordinates. Ì ÓÖ Ñ ÓÑÔ µ Ì ÙÖ ØÓÒ³ Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ð ØÓ Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ º Ï ÐÐ Å µ ÝÑÔÐ Ø Ä ØÞ Ö Ø ÓÒº 3
20 A more general example M π Σ is a Lefschetz fibration if it has finitely many critical points M crit M of the form π(z 1,z 2 ) = z 2 1 +z2 2 in local complex coordinates. Theorem (Gompf) Thurston s theorem generalises to Lefschetz fibrations. We call (M,ω) π Σ a symplectic Lefschetz fibration. 3
21 Blowing up L CP 1 tautological line bundle: L [z1 :z 2 ] := C ( z1 z2 ) C 2 Observation: C 2 \{0} = L\CP 1 ÓÖ Ô ¾ Å Û Ø Ò ÓÙÖ ÓÓ Æ Ôµ Å Å Å Ò Æ Ôµµ Æ È ½ µ Å È ¾ Ì Ö ÔÐ Ô Û Ø Ò Ü ÔØ ÓÒ Ð Ô Ö Ë ¾ Å ½ Ø º º Å Ù«¹Ë Ð ÑÓÒµ Á Å µ ÝÑÔÐ Ø Ø Ò Ø ÝÑÔÐ Ø ÐÓÛÙÔ Å µ ÒÓÒ Ð ÙÔ ØÓ ÝÑÔÐ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ø Ü ÔØ ÓÒ Ð Ô Ö Å µ ÝÑÔÐ Ø Ù Ñ Ò ÓÐ º Ò Ø ÓÒ Å µ Ñ Ò Ñ Ð Ø ÓÒØ Ò ÒÓ ÝÑÔÐ Ø Ü ÔØ ÓÒ Ð Ô Ö Ø ÒÓØ ÝÑÔÐ Ø ÐÓÛÙÔµº 4
22 Blowing up L CP 1 tautological line bundle: L [z1 :z 2 ] := C ( z1 z2 ) C 2 Observation: C 2 \{0} = L\CP 1 For p M 4 with neighbourhood N(p) M, M := (M \N(p)) N(CP 1 ) = M#CP 2 This replaces p with an exceptional sphere S 2 = E M, [E] [E] = 1. Ø º º Å Ù«¹Ë Ð ÑÓÒµ Á Å µ ÝÑÔÐ Ø Ø Ò Ø ÝÑÔÐ Ø ÐÓÛÙÔ Å µ ÒÓÒ Ð ÙÔ ØÓ ÝÑÔÐ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ø Ü ÔØ ÓÒ Ð Ô Ö Å µ ÝÑÔÐ Ø Ù Ñ Ò ÓÐ º Ò Ø ÓÒ Å µ Ñ Ò Ñ Ð Ø ÓÒØ Ò ÒÓ ÝÑÔÐ Ø Ü ÔØ ÓÒ Ð Ô Ö Ø ÒÓØ ÝÑÔÐ Ø ÐÓÛÙÔµº 4
23 Blowing up L CP 1 tautological line bundle: L [z1 :z 2 ] := C ( z1 z2 ) C 2 Observation: C 2 \{0} = L\CP 1 For p M 4 with neighbourhood N(p) M, M := (M \N(p)) N(CP 1 ) = M#CP 2 This replaces p with an exceptional sphere S 2 = E M, [E] [E] = 1. Fact (see e.g. McDuff-Salamon): If (M, ω) is symplectic, then the symplectic blowup ( M,ˆω) is canonical up to symplectic deformation, and the exceptional sphere E ( M,ˆω) is a symplectic submanifold. Ò Ø ÓÒ Å µ Ñ Ò Ñ Ð Ø ÓÒØ Ò ÒÓ ÝÑÔÐ Ø Ü ÔØ ÓÒ Ð Ô Ö Ø ÒÓØ ÝÑÔÐ Ø ÐÓÛÙÔµº 4
24 Blowing up L CP 1 tautological line bundle: L [z1 :z 2 ] := C ( z1 z2 ) C 2 Observation: C 2 \{0} = L\CP 1 For p M 4 with neighbourhood N(p) M, M := (M \N(p)) N(CP 1 ) = M#CP 2 This replaces p with an exceptional sphere S 2 = E M, [E] [E] = 1. Fact (see e.g. McDuff-Salamon): If (M, ω) is symplectic, then the symplectic blowup ( M,ˆω) is canonical up to symplectic deformation, and the exceptional sphere E ( M,ˆω) is a symplectic submanifold. Definition (M,ω) is minimal if it contains no symplectic exceptional spheres ( it is not a symplectic blowup). 4
25 (slightly off topic but nice to know) Theorem (McDuff) Any closed symplectic 4-manifold (M, ω) with a maximal collection of pairwise disjoint exceptional spheres E 1,...,E N (M,ω) becomes minimal after blowing down along E 1,...,E N. Ì ÓÖ Ñ ÓÒ Ð ÓÒµ ÒÝ ÐÓ ÝÑÔÐ Ø Ñ Ò ÓÐ Ø Ö ÐÓÛ¹ Ò ÙÔ Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ø Ñ Ñ Ø ÝÑÔÐ ¹ Ø Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ë ¾ º Ì Ñ Ò Ù Ø ÓÖ ØÓ Ý Ì ÓÖ Ñ Å Ù«µ ÙÑ Å µ ÐÓ ÓÒÒ Ø Û Ø ÝÑÔÐ Ø Ñ Ò Ë ¾ Ë Å µ Ù Ø Ø Ë Ë ¼ Ì Ò Ë Ö Ó ÝÑÔÐ Ø Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ Å Û ÑÓÓØ ÝÑÔÐ ¹ Ø Ö Ø ÓÒ Å Ò Ë µ Ñ Ò Ñ Ðº ÓÖÓÐÐ ÖÝ Å µ ÝÑÔÐ ØÓÑÓÖÔ ØÓ ÐÓÛÙÔ Ó µ ÖÙÐ ÙÖ º 5
26 (slightly off topic but nice to know) Theorem (McDuff) Any closed symplectic 4-manifold (M, ω) with a maximal collection of pairwise disjoint exceptional spheres E 1,...,E N (M,ω) becomes minimal after blowing down along E 1,...,E N. Theorem (Donaldson) Any closed symplectic manifold, after blowing up finitely many times, admits a symplectic Lefschetz fibration over S 2. Ì Ñ Ò Ù Ø ÓÖ ØÓ Ý Ì ÓÖ Ñ Å Ù«µ ÙÑ Å µ ÐÓ ÓÒÒ Ø Û Ø ÝÑÔÐ Ø Ñ Ò Ë ¾ Ë Å µ Ù Ø Ø Ë Ë ¼ Ì Ò Ë Ö Ó ÝÑÔÐ Ø Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ Å Û ÑÓÓØ ÝÑÔÐ ¹ Ø Ö Ø ÓÒ Å Ò Ë µ Ñ Ò Ñ Ðº ÓÖÓÐÐ ÖÝ Å µ ÝÑÔÐ ØÓÑÓÖÔ ØÓ ÐÓÛÙÔ Ó µ ÖÙÐ ÙÖ º 5
27 (slightly off topic but nice to know) Theorem (McDuff) Any closed symplectic 4-manifold (M, ω) with a maximal collection of pairwise disjoint exceptional spheres E 1,...,E N (M,ω) becomes minimal after blowing down along E 1,...,E N. Theorem (Donaldson) Any closed symplectic manifold, after blowing up finitely many times, admits a symplectic Lefschetz fibration over S 2. The main subject for today Theorem (McDuff) Assume (M 4,ω) closed, connected, with a symplectic embedding S 2 = S (M,ω) such that [S] [S] = 0. Ì Ò Ë Ö Ó ÝÑÔÐ Ø Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ Å Û ÑÓÓØ ÝÑÔÐ ¹ Ø Ö Ø ÓÒ Å Ò Ë µ Ñ Ò Ñ Ðº ÓÖÓÐÐ ÖÝ Å µ ÝÑÔÐ ØÓÑÓÖÔ ØÓ ÐÓÛÙÔ Ó µ ÖÙÐ ÙÖ º 5
28 (slightly off topic but nice to know) Theorem (McDuff) Any closed symplectic 4-manifold (M, ω) with a maximal collection of pairwise disjoint exceptional spheres E 1,...,E N (M,ω) becomes minimal after blowing down along E 1,...,E N. Theorem (Donaldson) Any closed symplectic manifold, after blowing up finitely many times, admits a symplectic Lefschetz fibration over S 2. The main subject for today Theorem (McDuff) Assume (M 4,ω) closed, connected, with a symplectic embedding S 2 = S (M,ω) such that [S] [S] = 0. Then S is a fibre of a symplectic Lefschetz fibration M π Σ, which is a smooth symplectic fibration if (M \S,ω) is minimal. ÓÖÓÐÐ ÖÝ Å µ ÝÑÔÐ ØÓÑÓÖÔ ØÓ ÐÓÛÙÔ Ó µ ÖÙÐ ÙÖ º 5
29 (slightly off topic but nice to know) Theorem (McDuff) Any closed symplectic 4-manifold (M, ω) with a maximal collection of pairwise disjoint exceptional spheres E 1,...,E N (M,ω) becomes minimal after blowing down along E 1,...,E N. Theorem (Donaldson) Any closed symplectic manifold, after blowing up finitely many times, admits a symplectic Lefschetz fibration over S 2. The main subject for today Theorem (McDuff) Assume (M 4,ω) closed, connected, with a symplectic embedding S 2 = S (M,ω) such that [S] [S] = 0. Then S is a fibre of a symplectic Lefschetz fibration M π Σ, which is a smooth symplectic fibration if (M \S,ω) is minimal. Corollary (M, ω) is symplectomorphic to (a blowup of) a ruled surface. 5
30 The tools we will need An almost complex structure J : TM TM (J 2 = 1) is compatible with ω if X,Y := ω(x,jy) defines a Riemannian metric. ÖÓÑÓÚ Â ÓÑÔ Ø Ð Û Ø ÐÛ Ý ÒÓÒ ÑÔØÝ Ò ÓÒØÖ Ø Ð º Ñ Ô Ù ¾ µ Å ¾Ò µ ¹ ÓÐÓÑÓÖÔ ÙÖÚ Ì Ù Æ Â Æ Ì Ù ÁÒ ÐÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÒ µ Û Ø Ù Â Ùµ Ø Ù ¼ ÓÖ ¾ À ¾ ŵ Ò ¼ Ò Ø ÑÓ ÙÐ Ô Å Å Âµ Ùµ º Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ Û Ö µ Ê Ñ ÒÒ ÙÖ Ó ÒÙ Ù µ Šµ ¹ ÓÐÓÑÓÖÔ Ò Ù Ù 6
31 The tools we will need An almost complex structure J : TM TM (J 2 = 1) is compatible with ω if X,Y := ω(x,jy) defines a Riemannian metric. Gromov: {J compatible with ω} is always nonempty and contractible. Ñ Ô Ù ¾ µ Å ¾Ò µ ¹ ÓÐÓÑÓÖÔ ÙÖÚ Ì Ù Æ Â Æ Ì Ù ÁÒ ÐÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÒ µ Û Ø Ù Â Ùµ Ø Ù ¼ ÓÖ ¾ À ¾ ŵ Ò ¼ Ò Ø ÑÓ ÙÐ Ô Å Å Âµ Ùµ º Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ Û Ö µ Ê Ñ ÒÒ ÙÖ Ó ÒÙ Ù µ Šµ ¹ ÓÐÓÑÓÖÔ Ò Ù Ù 6
32 The tools we will need An almost complex structure J : TM TM (J 2 = 1) is compatible with ω if X,Y := ω(x,jy) defines a Riemannian metric. Gromov: {J compatible with ω} is always nonempty and contractible. A map u : (Σ 2,j) (M 2n,J) is a J-holomorphic curve if Tu j = J Tu ÁÒ ÐÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÒ µ Û Ø Ù Â Ùµ Ø Ù ¼ ÓÖ ¾ À ¾ ŵ Ò ¼ Ò Ø ÑÓ ÙÐ Ô Å Å Âµ Ùµ º Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ Û Ö µ Ê Ñ ÒÒ ÙÖ Ó ÒÙ Ù µ Šµ ¹ ÓÐÓÑÓÖÔ Ò Ù Ù 6
33 The tools we will need An almost complex structure J : TM TM (J 2 = 1) is compatible with ω if X,Y := ω(x,jy) defines a Riemannian metric. Gromov: {J compatible with ω} is always nonempty and contractible. A map u : (Σ 2,j) (M 2n,J) is a J-holomorphic curve if Tu j = J Tu In local coordinates s+it on (Σ,j) with j = i: s u+j(u) t u = 0 ÓÖ ¾ À ¾ ŵ Ò ¼ Ò Ø ÑÓ ÙÐ Ô Å Å Âµ Ùµ º Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ Û Ö µ Ê Ñ ÒÒ ÙÖ Ó ÒÙ Ù µ Šµ ¹ ÓÐÓÑÓÖÔ Ò Ù Ù 6
34 The tools we will need An almost complex structure J : TM TM (J 2 = 1) is compatible with ω if X,Y := ω(x,jy) defines a Riemannian metric. Gromov: {J compatible with ω} is always nonempty and contractible. A map u : (Σ 2,j) (M 2n,J) is a J-holomorphic curve if Tu j = J Tu In local coordinates s+it on (Σ,j) with j = i: s u+j(u) t u = 0 For A H 2 (M) and g 0, define the moduli space M A g (M,J) := {(Σ,j,u)}/ parametrization, where (Σ,j) is a Riemann surface of genus g, u : (Σ,j) (M,J) is J-holomorphic, and [u] := u [Σ] = A. 6
35 Properties of J-curves in dimension 2n (1) Every u M A g (M,J) is either simple or multiply covered u = v ϕ, ϕ : Σ Σ, v : Σ M where deg(ϕ) > 1. Á Ù ÑÔÐ Ø Ò Ø Ø ÑÓ Ø Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÓÙ Ð ÔÓ ÒØ Ù Þµ Ù µ Þ Ò Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ù Þµ ¼º ¾µ ÓÖ Ò Ö Â Ø ÓÔ Ò Ù Ø Ò Ù ¾ ŠŠµ Ù ÑÔÐ Ó Ñ Ò ÓÐ Û Ø Ñ Ò ÓÒ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ú ÖØÙ Ð Ñ Ò ÓÒ Ú Ö¹ Ñ Å Å Âµ Ò µ ¾ ¾ µ ¾ ½ µ Ð Ó ÐÐ Ø Ò Ü Ó Ù ¾ ŠŠµ Ò Ùµ Ú Ö¹ Ñ Å Å Âµ ÓÖÓÐÐ ÖÝ Â Ò Ö Ù ÑÔÐ µ Ò Ùµ ¼º 7
36 Properties of J-curves in dimension 2n (1) Every u M A g (M,J) is either simple or multiply covered u = v ϕ, ϕ : Σ Σ, v : Σ M where deg(ϕ) > 1. If u is simple, then it has at most finitely many double points u(z) = u(ζ), z ζ, and critical points, du(z) = 0. ¾µ ÓÖ Ò Ö Â Ø ÓÔ Ò Ù Ø Ò Ù ¾ ŠŠµ Ù ÑÔÐ Ó Ñ Ò ÓÐ Û Ø Ñ Ò ÓÒ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ú ÖØÙ Ð Ñ Ò ÓÒ Ú Ö¹ Ñ Å Å Âµ Ò µ ¾ ¾ µ ¾ ½ µ Ð Ó ÐÐ Ø Ò Ü Ó Ù ¾ ŠŠµ Ò Ùµ Ú Ö¹ Ñ Å Å Âµ ÓÖÓÐÐ ÖÝ Â Ò Ö Ù ÑÔÐ µ Ò Ùµ ¼º 7
37 Properties of J-curves in dimension 2n (1) Every u M A g (M,J) is either simple or multiply covered u = v ϕ, ϕ : Σ Σ, v : Σ M where deg(ϕ) > 1. If u is simple, then it has at most finitely many double points u(z) = u(ζ), z ζ, and critical points, du(z) = 0. (2) For generic J, the open subset { u M A g (M,J) u is simple } is a manifold with dimension equal to its virtual dimension vir-dimm A g (M,J) := (n 3)(2 2g)+2c 1 (A), also called the index of u M A g (M,J): ind(u) := vir-dimm A g (M,J) ÓÖÓÐÐ ÖÝ Â Ò Ö Ù ÑÔÐ µ Ò Ùµ ¼º 7
38 Properties of J-curves in dimension 2n (1) Every u M A g (M,J) is either simple or multiply covered u = v ϕ, ϕ : Σ Σ, v : Σ M where deg(ϕ) > 1. If u is simple, then it has at most finitely many double points u(z) = u(ζ), z ζ, and critical points, du(z) = 0. (2) For generic J, the open subset { u M A g (M,J) u is simple } is a manifold with dimension equal to its virtual dimension vir-dimm A g (M,J) := (n 3)(2 2g)+2c 1 (A), also called the index of u M A g (M,J): ind(u) := vir-dimm A g (M,J) Corollary: J generic, u simple ind(u) 0. 7
39 (3) M A g (M,J) is not compact, but it has a natural compactification M A g (M,J) := { nodal curves of arithmetic genus g, homologous to A } 8
40 (3) M A g (M,J) is not compact, but it has a natural compactification M A g (M,J) := { nodal curves of arithmetic genus g, homologous to A } 8
41 (3) M A g (M,J) is not compact, but it has a natural compactification M A g (M,J) := { nodal curves of arithmetic genus g, homologous to A } 8
42 (3) M A g (M,J) is not compact, but it has a natural compactification M A g (M,J) := { nodal curves of arithmetic genus g, homologous to A } 8
43 (3) M A g (M,J) is not compact, but it has a natural compactification M A g (M,J) := { nodal curves of arithmetic genus g, homologous to A } 8
44 (3) M A g (M,J) is not compact, but it has a natural compactification M A g (M,J) := { nodal curves of arithmetic genus g, homologous to A } 8
45 (3) M A g (M,J) is not compact, but it has a natural compactification M A g (M,J) := { nodal curves of arithmetic genus g, homologous to A } 8
46 Proof of McDuff s theorem (sketch) Inclusion u S : S (M 4,ω) is symplectic µ Ù Ë Ë µ Šµ ¹ ÓÐÓÑÓÖÔ ÓÖ Ù Ø Ð ¹ÓÑÔ Ø Ð µ Ø Ø Ù Ù Ë ¾ Å Ë ¼ Šµº Ë Ò Ë Ë ¼ Ë ØÖ Ú Ð ÒÓÖÑ Ð ÙÒ Ð Ó Ù Ë Ì Å Ì Ë ¾ Æ Ë ÑÔÐ ½ Ë µ ½ Ù Ë Ì Åµ ½ Ì Ë ¾ µ ½ Æ Ë µ Ë ¾ µ ¼ ¾ Ì Ù Ú Ö¹ Ñ Å Ë ¼ Šµ ¾ ¾ ½ Ë µ ¾ µ Ø ÑÔÐ ÙÖÚ Ò Å Ë ÑÓÓØ ¾¹Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Ðݺ ¼ Šµ ÓÖÑ 9
47 Proof of McDuff s theorem (sketch) Inclusion u S : S (M 4,ω) is symplectic u S : (S,j) (M,J) is J-holomorphic for suitable (ω-compatible!) data, thus u S M [S] 0 (M,J). Ë Ò Ë Ë ¼ Ë ØÖ Ú Ð ÒÓÖÑ Ð ÙÒ Ð Ó Ù Ë Ì Å Ì Ë ¾ Æ Ë ÑÔÐ ½ Ë µ ½ Ù Ë Ì Åµ ½ Ì Ë ¾ µ ½ Æ Ë µ Ë ¾ µ ¼ ¾ Ì Ù Ú Ö¹ Ñ Å Ë ¼ Šµ ¾ ¾ ½ Ë µ ¾ µ Ø ÑÔÐ ÙÖÚ Ò Å Ë ÑÓÓØ ¾¹Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Ðݺ ¼ Šµ ÓÖÑ 9
48 Proof of McDuff s theorem (sketch) Inclusion u S : S (M 4,ω) is symplectic u S : (S,j) (M,J) is J-holomorphic for suitable (ω-compatible!) data, thus u S M [S] 0 (M,J). Since [S] [S] = 0, S has trivial normal bundle, so u S TM = TS 2 N S implies c 1 ([S]) = c 1 (u S TM) = c 1(TS 2 )+c 1 (N S ) Ì Ù = χ(s 2 )+0 = 2. Ú Ö¹ Ñ Å Ë ¼ Šµ ¾ ¾ ½ Ë µ ¾ µ Ø ÑÔÐ ÙÖÚ Ò Å Ë ÑÓÓØ ¾¹Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Ðݺ ¼ Šµ ÓÖÑ 9
49 Proof of McDuff s theorem (sketch) Inclusion u S : S (M 4,ω) is symplectic u S : (S,j) (M,J) is J-holomorphic for suitable (ω-compatible!) data, thus u S M [S] 0 (M,J). Since [S] [S] = 0, S has trivial normal bundle, so u S TM = TS 2 N S implies c 1 ([S]) = c 1 (u S TM) = c 1(TS 2 )+c 1 (N S ) Thus = χ(s 2 )+0 = 2. vir-dimm [S] 0 (M,J) = 2+2c 1([S]) = 2, the simple curves in M [S] 0 (M,J) form a smooth 2-parameter family. 9
50 Lemma 1 (standard 2n-dimensional stuff) There exists a finite set B of simple curves v M 0 (M,J) with c 1 ([v]) > 0 such that any noncompact sequence u k M [S] 0 (M,J) has a subsequence convergent to a nodal curve with exactly two components v +,v B. Ä ÑÑ ¾ ÙÒ ÕÙ ØÓ Ñ Ò ÓÒ ÓÙÖ µ ÓÖ Ø ÒÓ Ð ÙÖÚ Ú Ú Ò Ä ÑÑ ½ Ú Ò Ú Ö Ñ Ø Ý Ú Ú ½ Ò ÒØ Ö Ø ÓØ Ö Ü ØÐÝ ÓÒ ØÖ Ò ¹ Ú Ö Ðݺ ÅÓÖ ÓÚ Ö ÐÐ ÙÖÚ Ò Å Ë ¼ Šµ Ö Ñ¹ Ò Ó ÒØ ÖÓÑ Ø ÒÓ Ð ÙÖÚ Ò Ø Ý ÓÐ Ø Ò ÓÔ Ò Ù Ø Ó Åº 10
51 Lemma 1 (standard 2n-dimensional stuff) There exists a finite set B of simple curves v M 0 (M,J) with c 1 ([v]) > 0 such that any noncompact sequence u k M [S] 0 (M,J) has a subsequence convergent to a nodal curve with exactly two components v +,v B. Ä ÑÑ ¾ ÙÒ ÕÙ ØÓ Ñ Ò ÓÒ ÓÙÖ µ ÓÖ Ø ÒÓ Ð ÙÖÚ Ú Ú Ò Ä ÑÑ ½ Ú Ò Ú Ö Ñ Ø Ý Ú Ú ½ Ò ÒØ Ö Ø ÓØ Ö Ü ØÐÝ ÓÒ ØÖ Ò ¹ Ú Ö Ðݺ ÅÓÖ ÓÚ Ö ÐÐ ÙÖÚ Ò Å Ë ¼ Šµ Ö Ñ¹ Ò Ó ÒØ ÖÓÑ Ø ÒÓ Ð ÙÖÚ Ò Ø Ý ÓÐ Ø Ò ÓÔ Ò Ù Ø Ó Åº 10
52 Lemma 1 (standard 2n-dimensional stuff) There exists a finite set B of simple curves v M 0 (M,J) with c 1 ([v]) > 0 such that any noncompact sequence u k M [S] 0 (M,J) has a subsequence convergent to a nodal curve with exactly two components v +,v B. Ä ÑÑ ¾ ÙÒ ÕÙ ØÓ Ñ Ò ÓÒ ÓÙÖ µ ÓÖ Ø ÒÓ Ð ÙÖÚ Ú Ú Ò Ä ÑÑ ½ Ú Ò Ú Ö Ñ Ø Ý Ú Ú ½ Ò ÒØ Ö Ø ÓØ Ö Ü ØÐÝ ÓÒ ØÖ Ò ¹ Ú Ö Ðݺ ÅÓÖ ÓÚ Ö ÐÐ ÙÖÚ Ò Å Ë ¼ Šµ Ö Ñ¹ Ò Ó ÒØ ÖÓÑ Ø ÒÓ Ð ÙÖÚ Ò Ø Ý ÓÐ Ø Ò ÓÔ Ò Ù Ø Ó Åº 10
53 Lemma 1 (standard 2n-dimensional stuff) There exists a finite set B of simple curves v M 0 (M,J) with c 1 ([v]) > 0 such that any noncompact sequence u k M [S] 0 (M,J) has a subsequence convergent to a nodal curve with exactly two components v +,v B. Ä ÑÑ ¾ ÙÒ ÕÙ ØÓ Ñ Ò ÓÒ ÓÙÖ µ ÓÖ Ø ÒÓ Ð ÙÖÚ Ú Ú Ò Ä ÑÑ ½ Ú Ò Ú Ö Ñ Ø Ý Ú Ú ½ Ò ÒØ Ö Ø ÓØ Ö Ü ØÐÝ ÓÒ ØÖ Ò ¹ Ú Ö Ðݺ ÅÓÖ ÓÚ Ö ÐÐ ÙÖÚ Ò Å Ë ¼ Šµ Ö Ñ¹ Ò Ó ÒØ ÖÓÑ Ø ÒÓ Ð ÙÖÚ Ò Ø Ý ÓÐ Ø Ò ÓÔ Ò Ù Ø Ó Åº 10
54 Lemma 1 (standard 2n-dimensional stuff) There exists a finite set B of simple curves v M 0 (M,J) with c 1 ([v]) > 0 such that any noncompact sequence u k M [S] 0 (M,J) has a subsequence convergent to a nodal curve with exactly two components v +,v B. Lemma 2 (unique to dimension four!) For the nodal curves {v +,v } in Lemma 1, v + and v are each embedded, satisfy [v ± ] [v ± ] = 1, and intersect each other exactly once, transversely. Moreover, all curves in M [S] 0 (M,J) are embedded and disjoint from the nodal curves, and they foliate an open subset of M. 10
55 Conclusion of the proof Lemmas 1 and 2 imply that the set { p M p im(u) for some u M [S] 0 (M,J) }, is both open and closed. µ Ú ÖÝ Ô ¾ Å Ò Ø Ñ Ó ÙÒ ÕÙ µ ÙÖÚ Ù Ô ¾ Å Ë ¼ Šµº µ Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ Å Å Ë ¼ Šµ Ô Ù Ô Ë Ò ÙÐ Ö Ö ÒÓ Ð ÙÖÚ ØÛÓ ØÖ Ò Ú Ö ÐÝ ÒØ Ö Ø Ò Ü ÔØ ÓÒ Ð Ô Ö Ó ÒØ ÖÓÑ Ë µ ÐÐ Ö Ö Ö ÙÐ Ö Å ÒË µ Ñ Ò Ñ Ðº 11
56 Conclusion of the proof Lemmas 1 and 2 imply that the set { p M p im(u) for some u M [S] 0 (M,J) }, is both open and closed. every p M is in the image of a (unique!) curve u p M [S] 0 (M,J). µ Ä ØÞ Ö Ø ÓÒ Å Å Ë ¼ Šµ Ô Ù Ô Ë Ò ÙÐ Ö Ö ÒÓ Ð ÙÖÚ ØÛÓ ØÖ Ò Ú Ö ÐÝ ÒØ Ö Ø Ò Ü ÔØ ÓÒ Ð Ô Ö Ó ÒØ ÖÓÑ Ë µ ÐÐ Ö Ö Ö ÙÐ Ö Å ÒË µ Ñ Ò Ñ Ðº 11
57 Conclusion of the proof Lemmas 1 and 2 imply that the set { p M p im(u) for some u M [S] 0 (M,J) }, is both open and closed. every p M is in the image of a (unique!) curve u p M [S] 0 (M,J). Lefschetz fibration π : M M [S] 0 (M,J) : p u p. Ë Ò ÙÐ Ö Ö ÒÓ Ð ÙÖÚ ØÛÓ ØÖ Ò Ú Ö ÐÝ ÒØ Ö Ø Ò Ü ÔØ ÓÒ Ð Ô Ö Ó ÒØ ÖÓÑ Ë µ ÐÐ Ö Ö Ö ÙÐ Ö Å ÒË µ Ñ Ò Ñ Ðº 11
58 Conclusion of the proof Lemmas 1 and 2 imply that the set { p M p im(u) for some u M [S] 0 (M,J) }, is both open and closed. every p M is in the image of a (unique!) curve u p M [S] 0 (M,J). Lefschetz fibration π : M M [S] 0 (M,J) : p u p. Singular fibres = nodal curves = two transversely intersecting exceptional spheres disjoint from S all fibres are regular if (M\S,ω) is minimal. 11
Ò Ø ÓÒ ÃÒÓØ ÃÒÓØ Ò Ê Ñ Ø Ö ÑÓÚ Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ë ½ ÒØÓ Ê Ö ÐÐ ÒÓØ º Ì ØÛÓ ÒÓØ Ã ½ Ò Ã ¾ Ö Ö Ö ØÓ Ø Ñ ÓÒ Ò ÑÓÚ ÒØÓ Ø ÓØ Ö º º Ø Ö Ö ÒØ Ð µ Ñ ÐÝ Ó ÒÓØ Ô Ö
ÃÒÓØ ÒÚ Ö ÒØ ÐÓÛ Ñ Ò ÓÒ Ð ØÓÔÓÐÓ Ý Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ö Ê ÒÝ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ù Ô Ø ÂÙÒ ½ ¾¼¼ Ò Ø ÓÒ ÃÒÓØ ÃÒÓØ Ò Ê Ñ Ø Ö ÑÓÚ Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ë ½ ÒØÓ Ê Ö ÐÐ ÒÓØ º Ì ØÛÓ ÒÓØ Ã ½ Ò Ã ¾ Ö Ö Ö ØÓ Ø Ñ ÓÒ Ò ÑÓÚ ÒØÓ
Æ ÛØÓÒ³ Å Ø Ó ÐÓ Ì ÓÖÝ Ò ËÓÑ Ø Ò ÓÙ ÈÖÓ ÐÝ Ò³Ø ÃÒÓÛ ÓÙØ Ú º ÓÜ Ñ Ö Ø ÓÐÐ
Æ ÛØÓÒ³ Å Ø Ó ÐÓ Ì ÓÖÝ Ò ËÓÑ Ø Ò ÓÙ ÈÖÓ ÐÝ Ò³Ø ÃÒÓÛ ÓÙØ Ú º ÓÜ Ñ Ö Ø ÓÐÐ Ê Ö Ò ÃÐ Ò Ä ØÙÖ ÓÒ Ø ÁÓ ÖÓÒ Ì Ù Ò Ö ½ ËÑ Ð ÇÒ Ø Æ ÒÝ Ó Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÐÝ ÙÐк ÅË ½ ÅÅÙÐÐ Ò Ñ Ð Ó Ö Ø ÓÒ Ð Ñ Ô Ò Ø Ö Ø Ú ÖÓÓع Ò Ò Ð
Ì Ø Ð ÓÒ Ò Ò ÐÓ Ù Ó Ó Ñ³ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ Ö Ø Ð ÑÞ Û ¹ ÐÐ ¾¼½½ ÇÒ Ø Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ö Ó Ò Þ Ý Ò Ø ÙØÓÑ Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÐÓع ÖÙ Ø Ò¹ ÖÙÝ Ö ¾¼½¼ Ö Ø¹ÓÖ Ö ÐÓ Ò ÆÙÑ
Ò ÐÓ Ù Ó Ó Ñ³ Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ö Ö ÒØ Ö Ó Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ð ÖÐ Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÍÒ Ú Ö Ø Ä Ë Ñ Ò Ö Ö ØÓÐ Ò ³ Ò ÐÝ ÑÙÐØ Ö Ø Ð Ö Ø Ð ¾¼½ Å Ö ¾ Ì Ø Ð ÓÒ Ò Ò ÐÓ Ù Ó Ó Ñ³ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ Ö Ø Ð ÑÞ Û ¹ ÐÐ ¾¼½½ ÇÒ Ø Ø Ó Ö
Ö Ô ÓÒ Ø Ó ØÛÓ Ø Î Ò ÒÓØ Ý Î µº Ë Ø Î Ò Ø ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ Ø Ó Ú ÖØ ÓÖ ÒÓ µ Ò Ø Ó Ô Ö Ó Ú ÖØ ÐÐ º Ï Ù Î µ Ò µ ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ø Ó Ú ÖØ Ò Ò Ö Ô Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÅÓÖ Ò
Ö Ô Ð ÓÖ Ø Ñ ÁÒ ½ ÙÐ Ö Ú Ø Ø ÖÒ ÈÖÙ Ò ÃÓ Ò Ö Ò ÓÙÒ Ø Ö Û Ö Ú Ò Ö ÖÓ Ø Ö Ú Ö Ò Ò Ð Ò º À Ñ ÙÔ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ò ÒÝÓÒ Ø ÖØ Ø ÒÝ Ð Ò µ Û Ð Ø ÖÓÙ Ü ØÐÝ ÓÒ ÓÖ Ö Ò Ö ØÙÖÒ ØÓ Ø ÓÖ ¹ Ò Ð Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ Ê Ö ØÓ ÙÖ ½º
½º»¾¼ º»¾¼ ¾º»¾¼ º»¾¼ º»¾¼ º»¾¼ º»¾¼ º»¾¼» ¼» ¼ ÌÓØ Ð»½ ¼
Ò Ð Ü Ñ Ò Ø ÓÒ ËÌ ½½ ÈÖÓ Ð ØÝ ² Å ÙÖ Ì ÓÖÝ ÌÙ Ý ¾¼½ ½¼ ¼¼ Ñ ß ½¾ ¼¼Ò Ì ÐÓ ¹ ÓÓ Ü Ñ Ò Ø ÓÒº ÓÙ Ñ Ý Ù Ø Ó ÔÖ Ô Ö ÒÓØ ÝÓÙ Û ÙØ ÝÓÙ Ñ Ý ÒÓØ Ö Ñ Ø Ö Ð º Á ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ñ ÙÓÙ ÓÖ ÓÒ Ù Ò ÔÐ Ñ ØÓ Ð Ö Ý Øº ÍÒÐ ÔÖÓ
ÓÖ Ö ÛÓÖ Ò Ô Ö Ó ØÝ Ò Ø ÛÓÖ ÓÖ Ö Ø ÔÖÓÔ Ö ÔÖ Ü ÕÙ Ð ØÓ Ù Üº ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ Ö º Á ÛÓÖ ÒÓØ ÓÖ Ö Û Ý Ø ÙÒ ÓÖ Ö ÓÖ ÓÖ Ö¹ Ö º ÓÖ Ü ÑÔÐ ½¼ Ò = ½¼¼ ¼ Ö ÙÒ ÓÖ Ö
Ð Ò ÓÖ Ö ØÓÖ Ò Ô Ö Ó ØÝ Ñ Ð ÖÐ Ö ÂÓ ÒØ ÛÓÖ Û Ø Ì ÖÓ À Ö Ù ËÚ ØÐ Ò ÈÙÞÝÒ Ò Ò ÄÙ Ñ ÓÒ µ Ö Ø Å Ø Ñ Ø Ý ¹ Ä ¹ ¾¼½  ÒÙ ÖÝ Ø ÓÖ Ö ÛÓÖ Ò Ô Ö Ó ØÝ Ò Ø ÛÓÖ ÓÖ Ö Ø ÔÖÓÔ Ö ÔÖ Ü ÕÙ Ð ØÓ Ù Üº ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ Ö º Á ÛÓÖ
ÁÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ó ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ø Ñ Ø Ý ØÛÓ Ü ÑÔÐ ½º ÐÙÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Q.½ Î ¾º ÒÐÙ Ú Ø Ö Ø Ó dσ dp T ½. Ì Îµ/ dp dσ T ½. ¼ Ì Îµ Ì ØÛÓ Ü ÑÔÐ Ö ÐÓ ÐÝ ÓÒÒ Ø
Ì É º½ È Ò ÐÝ Âº ÈÙÑÔÐ Ò º ËØÙÑÔ ÏºÃº ÌÙÒ Âº ÀÙ ØÓÒ ÅË͵ ˺ ÃÙ ÐÑ ÒÒ Âº ÇÛ Ò Àº Ä Èº Æ ÓÐ Ý ÏÓÖ Ò ÈÖÓ Ö ½º Ì Ò Ð ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ ØÓ Ø Ì É Ò ÐÝ Ö ÐÙÐ Ø Ã¹ ØÓÖ ÐÓÒ ÒÚ ØÓÖ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ Ô Ò Ò ØÙ Ý ¾¼
Ë Ø Ó ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÙÖ Û Û ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÒÙÑ Ö º ÁÒ ÓÑÔÙØ Ö Ò Û Ö ÓÒ ÖÒ Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÛ Ó Û Ú Ù Ø Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð Ì Û Ý ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ
Ð ØÝ ÄÓ Ò ÆÙÑ Ö Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ñ Ð ÖÐ Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÍÒ Ú Ö Ø Ä ÆÌ ¾¼½ ¹ Å Ö ÐÐ ÆÓÚ Ñ Ö ¾ ¹ Ñ Ö ¾ Ë Ø Ó ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÙÖ Û Û ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÒÙÑ Ö º ÁÒ ÓÑÔÙØ Ö Ò Û Ö ÓÒ ÖÒ Ý Ø ÕÙ
ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Å Ò Ì ÓÖ Ñ ÁÒ Ö ÒØ Ó Ø ÔÖÓÓ ÒØ Ö Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ñ Ü Ò ÒÓ ÓÚ ÓÛ Ê Ñ Â ÓÙ Ï Ø ÖÐÓÓ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¾ Å Ö ¾¼½ ÓÒ Ö Ò ÅÓ Ð Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ê Ñ Â
Ï Ø ÖÐÓÓ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¾ Å Ö ¾¼½ ÓÒ Ö Ò ÅÓ Ð Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø Ó ØÓÖÝ Ø Ø Ò Ó Ø Á ÒØÙÖÝ È Ö Ò Î ÓØ Ú ÐÓÔ ÐÓ Ø ÓÖÝ ÓÖ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º Ø Ø Ñ Ô Ö Ó ÈÓ Ò Ö ÔÙ Ð Ø Ø Ö ÚÓÐÙÑ Ó Ä Ñ Ø Ó ÒÓÙÚ ÐÐ Ð
½½ º º À Æ Æ º º Í Æ ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ñ ¹ Ò Ø ÙÒÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖÙ Ø Ö ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ È ½ Û Ø Ò Ð ÐÐ ÓÒ ØÖ ÒØ Û Ó ÓÖÑ Ù Ø ØÓ Ñ Ò ¾Ê Ò µ ½ ¾ Ì Ì Ø Ì Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð
ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ÎÓк½ ÆÓº¾ ¾¼¼½ ½½ ß½¾ º ÇÆ Å ÁÅ Ç Í Ä ÍÆ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ Ì ËÍ ÈÊÇ Ä Å ½µ ÓÒ ¹ Ò Ê Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÒØ Ö Ó È Ö ÐÐ Ð ËÓ ØÛ Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ó ËÓ ØÛ Ö Ò ½¼¼¼ ¼ Ò µ ¹Ü Ò Ù Ò ËØ Ø Ã Ý Ä ÓÖ ØÓÖÝ
ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ð ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ ÒÓ Ò ÓÖ ÝÐ Ó ÙØÓÑÓÖÔ Ñ µ ÑÓ ÙÐ ÕÙ ¹ÝÐ µ ØÖÙ¹ ØÙÖ ÖĐÓ Ò Ö ÓÖ ÑÓ ÙÐ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó ÖÓÑ ÓÖ Ö ÓÑ Ò Ò¹ ÐÙ Ò ÓÔÔ Ó µ Ü Ñ
ÖĐÓ Ò Ö ÓÖ ÒÓ Ò Ó ÖØ Ò Ó ÖÓÑ ÇÖ Ö ÓÑ Ò ÂÓ Ò º Ä ØØÐ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÓÐÐ Ó Ø ÀÓÐÝ ÖÓ Ð ØØÐ Ñ Ø º ÓÐÝÖÓ º Ù ÊÁË ÏÓÖ ÓÔ Ä ÒÞ Ù ØÖ Å Ý ½ ¾¼¼ ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ð ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ ÒÓ Ò ÓÖ
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ñ Ñ Ö Ó Ú Ò Ô ÓÖ Ù Ô µ Ú Ø Ñ Ò Ö Ð ØÙÖ ÓÒ Ø Ö Ó Ø Ô ØØ ÖÒº ÀÓÛ Ú Ö Ò Ú Ù Ð Ò Ñ Ð Ø ÓÛÒ Ø ÒØ Ñ Ö Ò º Ì Ô ØØ ÖÒ Ö ÒÓØ Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÐÐݺ Ì Ý
Ò Ñ Ð Ó Ø È ØØ ÖÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú ÐÝÒ Ë Ò Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ÓÖ Å ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ù Ù Ø ¾¼¼½ ÂÓ ÒØ ÛÓÖ Û Ø Ì ÓÑ Ï ÒÒ Ö ÍÅ µ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ñ Ñ Ö Ó Ú Ò Ô ÓÖ Ù Ô µ Ú Ø Ñ Ò Ö Ð ØÙÖ ÓÒ Ø Ö Ó Ø Ô ØØ ÖÒº ÀÓÛ
Ë ÁÌÇ ÌÓ Ó ÍÒ Ú Ö Øݵ Ç ¼ Ô Û Ö ÙÒÓ Ø Ò Ð Ä Ò ÙÖ ÖÝ ÓÒ ÒÓØ Ý ÛÓÖ Û Ø Ã ÞÙ ÖÓ Á Ö Ó ÒØ Ë Ò ÝÓ ÍÒ Ú Ö Øݵ Ç
Ë ÁÌÇ ÌÓ Ó ÍÒ Ú Ö Øݵ Ç ¼ Ô Û Ö ÙÒÓ Ø Ò Ð Ä Ò ÙÖ ÖÝ ÓÒ ÒÓØ Ý ÛÓÖ Û Ø Ã ÞÙ ÖÓ Á Ö Ó ÒØ Ë Ò ÝÓ ÍÒ Ú Ö Øݵ Ç ½ Ä Ò Ô Ô Ä Ô Õµ Ø ¹Ñ Ò ÓÐ Ó Ø Ò Ý Ä Ò ÓÒ Ø ØÖ Ú Ð ÒÓØ Ò Ë º Ô Õ¹ ÙÖ ÖÝ Ô Õµ¹ÙÖÚ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ð
Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Á ÓÑÓÖÔ Ñ ÁÒ ÐÐ Ú ÓÑÓÖÔ Ñ Σ ½ ½ ÑÓÖ ÔÖ ÐÝ A B Ö ÓÑÓÖÔ : ( ØÖÙØÙÖ ¹ÔÖ ÖÚ Ò Ø ÓÒ) ÓÙÒØ Ð ØÖÙØÙÖ Ò Ó Ý Ö Ð Ø Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÑ Σ ½ ½ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ
Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Á ÓÑÓÖÔ Ñ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÖÓ ÐÐ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑÓÖÔ Ñº ÐÓ Ò Ø Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÔÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÀÓÛ ÓÑÔÐ Ü Ø ÓÑÓÖÔ Ñ Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ Û Ø ÓØ Ö ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ì Ò Û Ö ØÓ
ÇÙØÐ Ò È Ý Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÓÙ Æ ÙÐ ÄÓÛ¹ Ò ØÝ Ð Ñ Ø À ¹ Ò ØÝ Ð Ñ Ø Ü ÑÔÐ ÜØ ÒØ ÓÒ ØÓÛ Ö ÐÑ Ö Ö Ñ ÒØ Ò
ÜØ ÒØ ÓÒ Ò Æ ÙÐ Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ò Å ÖÓÕÙ Ö Ë Ø Ò È Ö Þ Åº Ã Ø Ö Ò ÐÙÒ ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÜ ÓÖ ØÖÓÔ Ý ÆÓÚ Ñ Ö ¾ ¾¼¼ ÇÙØÐ Ò È Ý Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÓÙ Æ ÙÐ ÄÓÛ¹ Ò ØÝ Ð Ñ Ø À ¹ Ò ØÝ Ð Ñ Ø Ü ÑÔÐ ÜØ ÒØ ÓÒ ØÓÛ Ö ÐÑ Ö Ö Ñ ÒØ
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö ÔØ Ú ËØ Ø Ø ÁÒ Ö ÒØ Ð ËØ Ø Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø Ò ¹ Ô Ú ÐÙ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó ÑÔÐ Þ ËÙÑÑ ÖÝ Ä ÖÒ Ò Ó¹ Ø ÖÑ Æ ÙÝ Ò Ì ÌÙ Î Ò ½ Æ ÙÝ Ò ÉÙ Ò Î Ò ¾ ½ ÍÒ Ú
Æ ÙÝ Ò Ì ÌÙ Î Ò ½ Æ ÙÝ Ò ÉÙ Ò Î Ò ¾ ½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ò È ÖÑ Ý Ó ÀÓ Å Ò ØÝ ¾ Æ ÙÝ Ò ÌÖ È ÙÓÒ ÀÓ Ô Ø Ð ÂÁ ÔÖÓ Ø ¹ Ù Ù Ø ¾¼½ ÇÙØÐ Ò ½ ¾ Ø ÓÖÝ Ñ ÙÖ Ø Ñ Ø ÓÒ ¹ ÓÒ Ò ÁÒØ ÖÚ Ð ÔÓ ÒØ Ø Ñ Ø ¹ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ø Ñ Ø ÁÒØ
È Ö Ø ² ÑÔ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖ Ñ È Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÐ Ý Ö ÒÓÛ ÓÙØ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÑÓÚ Ó ÓÔÔÓÒ ÒØ º º º Ð ¹ËØ Û ÖØ Ñ º ÁÑÔ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÐ Ý Ö Ó ÒÓØ ÒÓÛ ÓÙØ Û
Ð ¹ËØ Û ÖØ Ñ Ò Ð Û ÐÐ Ñ Ù Á Ñ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÓÖÒ Ö Ð Ýµ ½ Ø Ó Å Ý ¾¼½¾ È Ö Ø ² ÑÔ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖ Ñ È Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÐ Ý Ö ÒÓÛ ÓÙØ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÑÓÚ Ó ÓÔÔÓÒ ÒØ º º º Ð ¹ËØ Û ÖØ Ñ º ÁÑÔ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÐ
Chapter 9. Trapezoidal Maps. 9.1 The Trapezoidal Map
Chapter 9 Trapezoidal Maps ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Û ÐÐ ÒÓØ Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ò ÓÑ Þ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò Ø ØÖ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ÛÓÖ º Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø Û ÐÐ Ú Ù Ò Æ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÐÚ Ò Ø Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö ÙÑÙÐ ÒØ Ò Ã ÖÓÚ³ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ä Ø Ù ÒÓØ Ý Ë Ò Ø ÝÑÑ ØÖ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö Òº ÁÖÖ Ù Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ λ Òº ÆÓÖÑ Ð Þ Ö Ø Ö Ú ÐÙ χ λ (µ) ÓÖ µ
ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ò ÔÓ Ø Ú ØÝ Ó Ã ÖÓÚ³ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Î Ð ÒØ Ò Ö Ý Ä ÓÖ ØÓ Ö ³ÁÒ ÓÖÑ Ø Õ٠гÁÒ Ø ØÙØ Ô Ö ¹ÅÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ¹ Ø ÓÖÑ Ð ÈÓÛ Ö Ë Ö Ò Ð Ö ÓÑ Ò ØÓÖ ¾¼¼ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì Ð Ð µ ÂÙÒ ¾ Ø Î Ð ÒØ Ò
½º¾ Ò Ø ÓÒ Ì Ò Ó Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ð Þ Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ ½ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ðݵ Ñ ÐÝ ¾ ¼ ½ ¾Æ ÐÐ Ñ ÐÝ Ó Ð µ Ä µµ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ ¾
¾¾º ¼ ¹¼¼ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÖÝÔØÓ Ö Ô Ý ÆÓÚ Ñ Ö Ø ¾¼¼½ Ä ØÙÖ Ä ØÙÖ Ö Ú Ò Ý Ó ËÖ ÒØÓÒ Ó Æ ÓÐÓ Ä Ø Ø Ñ Û Ò Û Ø Û Ñ Ò Ý Ë Ö Ø Ã Ý ÒÖÝÔØ ÓÒ Ñ Ëà µ Ò Û ÒØÖÓ Ù ØÛÓ Ö Ð Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÙÖ Øݺ Ì Ò Û ÓÛ ÓÛ ÈÊ Ñ Ý Ù ØÓ
Degradation
Î Ê ÙÐØ Ì ÔØ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ò Û Ø Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÜÔÐ Ò ÙÒØ Ð Ø ÔÓ Òغ ÁÒ ÐÐ Ø Ó ³ Ö Ø Û Ú Ö Û Ð P er Û ÔØ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ó ÓÒØ ÒØ Û Ú ÐÙ Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ö Ø ÓÒ Ý Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ Ò Ñ ½µ Ó Ø Ú ÕÙ
ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ø Ú Øݹ ØÖ Ú Ð Ñ Ò ÑÓ Ð Ò Ô Ö ÓÒ Ð Þ ÖÚ ÓÒ Ñ ÖØÔ ÓÒ ¾» ¾
ÅÓ Ð Ò Ø ÝÒ Ñ Ó Ðй Ý Ø Ú ØÝ ÔÐ Ò Ï ÐÐ Ñ À ÑÔ ½ ÙÒÒ Ö Ð ØØ Ö Ê Ö Ó ÀÙÖØÙ Ò Å Ð ÖÐ Ö ¾ ÂÙÒ ¾¾ ¾¼½¼ ½ ÃÍ Ä ÙÚ Ò ¾ È Ä Ù ÒÒ ½» ¾ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ø Ú Øݹ ØÖ Ú Ð Ñ Ò ÑÓ Ð Ò Ô Ö ÓÒ Ð Þ ÖÚ ÓÒ Ñ ÖØÔ ÓÒ ¾» ¾ ÇÙØÐ Ò
( d2 σ. de i dω i. ( d 2 A. dedω lab i τ out ) ( d 2 σ (in med) = δ(τ. targ+1 (τout)
ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó Ø ÖÑ Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÑÓ Ð Û Ø Ò ÁÆ ÑÓ Ð ÈÖÓ ÙØ ÓÒ Ó Ô ÖØ Ð ÖÓÑ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ð Ø Ø Ö Ø ÒÙÐ Àº Ù ÖØ Å Á ½»¼»¾¼½ ÌÓÔ ËÓÑ ËÔ Ø Ó Ø ÁÒØÖ ÆÙÐ Ö ÑÓ Ð Ø ÖÑ Ò Ø ÔÔÖÓ ÓÖ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó ÓÙ Ð Ö ÒØ Ð ÖÓ Ø ÓÒ Ê ÙÐØ Ò
Ø Ñ Ò Ò ÙØÙÑÒ ¾¼¼¾ Ò Ò Ö ÕÙ ÒØ ÐÓ µ Ø Û Ø ØÖ ØÖÙØÙÖ ½ ȹØÖ È¹ ÖÓÛØ ÄÇË Ì È¹ØÖ Ø ØÖÙØÙÖ È¹ ÖÓÛØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ò ÐÐ Ö ÕÙ ÒØ Ø ÄÇË Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ò Ö ÕÙ
Ø Ñ Ò Ò ÙØÙÑÒ ¾¼¼¾ Ò Ò Ö ÕÙ ÒØ ÐÓ µ Ø Û Ø ØÖ ØÖÙØÙÖ ½ Ö ÕÙ ÒØ ÐÓ µ Ø Û Ø Ò Ò ØÖÙØÙÖ ØÖ Ø Ñ Ò Ò ÙØÙÑÒ ¾¼¼¾ Ò Ò Ö ÕÙ ÒØ ÐÓ µ Ø Û Ø ØÖ ØÖÙØÙÖ ½ ȹØÖ È¹ ÖÓÛØ ÄÇË Ì È¹ØÖ Ø ØÖÙØÙÖ È¹ ÖÓÛØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ò ÐÐ
Ø ÔÖ ÙÖ ØÝ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó ÙØ ÒØ Ø Ý Ø Ð Ñ Òغ Ë Ú Ö Ð ÓÒÖ Ø ÙÖ ØÝ Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò ØØÖ ÙØ Ú Ò ÒØ Ö Ð º Ì ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÙÖ ØÝ Ó Ð Ó Ý Ø Ð Ñ ÒØ ÔÖÓØÓÓÐ Ö ØÓ ÑÔÐ Ø
ÌÛÓ¹È ÙØ ÒØ Ø Ã Ý Ö Ñ ÒØ ÈÖÓØÓÓÐ Û Ø Ã Ý ÓÒ ÖÑ Ø ÓÒ ÓÝ ÓÒ ËÓÒ ÃÛ Ò Ó Ã Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Á ͵ ¹ ÀÛ Ñ¹ ÓÒ Ù ÓÒ ¹ Ù Ì ÓÒ ¼ ¹ ¾ ˺ ÃÓÖ Ý ÓÒ Ùº º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖÓÔÓ Ø Ö Ý Ö Ñ ÒØ ÔÖÓØÓÓÐ
ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ø Ð ÅÓØ Ú Ø ÓÒ = ¾ ÙÔ Ö ÝÑÑ ØÖ Ò ¹Å ÐÐ ÕÙ ÒØÙÑ Ñ Ò ÆÙÑ Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÒÙÑ Ö Ð Ö ÙÐØ Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÙÖØ Ö Ô Ö Ô Ø Ú
Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò = ¾ ÙÔ Ö ÝÑÑ ØÖ Ò ¹Å ÐÐ ÕÙ ÒØÙÑ Ñ Ò Û Ø ËÍ( ) Ù ÖÓÙÔ Ò Ö Åº ËÑÓÐÙ ÓÛ ÁÒ Ø ØÙØ Ó È Ý Â ÐÐÓÒ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ ÄÁ Ö ÓÛ Ë ÓÓÐ Ó Ì ÓÖ Ø Ð È Ý ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ø Ð ÅÓØ Ú Ø ÓÒ = ¾ ÙÔ Ö ÝÑÑ ØÖ Ò ¹Å ÐÐ ÕÙ ÒØÙÑ
1 The Multinomial logit
Ë ÑÔÐ Ò Ó ÐØ ÖÒ Ø Ú Ù Ò ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÐÝ Åº ÖÐ Ö º ÄÙ ÑÓ Å Ý ¾¾ ¾¼¼ Ê ÔÓÖØ ÌÊ ÆËȹÇÊ ¼ ¼ ¾¾ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Ò ÅÓ Ð ØÝ Ä ÓÖ ØÓÖÝ Ë ÓÓÐ Ó Ö Ø ØÙÖ Ú Ð Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ð Ò Ò Ö Ò ÓÐ ÈÓÐÝØ Ò ÕÙ Ö Ð Ä Ù ÒÒ transp-or.epfl.ch
Ì ÓÑÔÙØ Ð Ñ Ò ÓÒ Ó ÌÖ Ó ÁÒ Ò Ø À Ø ÊÙ ÐÐ Å ÐÐ Ö ÂÙÐÝ ¾ ¾¼¼ Ì Ö Ø ÓÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÖØ Ð ÔÔ Ö ÔØ Ö Ó È º º Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ó ÙÒ Ö Ø ÙÔ ÖÚ ÓÒ Ó ÊÓ ÖØ Áº ËÓ
Ì ÓÑÔÙØ Ð Ñ Ò ÓÒ Ó ÌÖ Ó ÁÒ Ò Ø À Ø ÊÙ ÐÐ Å ÐÐ Ö ÂÙÐÝ ¾ ¾¼¼ Ì Ö Ø ÓÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÖØ Ð ÔÔ Ö ÔØ Ö Ó È º º Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ó ÙÒ Ö Ø ÙÔ ÖÚ ÓÒ Ó ÊÓ ÖØ Áº ËÓ Ö º Ì Ò Ö Ð Ó Ù ØÓ ÝÖ Ã ÓÙ ÒÓÚ Û Ó ÓÖ Ò ÐÐÝ ÔÓ Ø ÕÙ
Ä ÓÖ ØÓ Ö ÓÖ Ð Ê Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÍÅÊ ¼¼ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø ÓÖ ÙÜ Á ½ ÓÙÖ Ð Ä Ö Ø ÓÒ ¼ Ì Ð Ò Ü Ö Ò Ê Ö Ê ÔÓÖØ Êʹ½ ¼ ¹¼ Ò Æ ÒØ Ò ÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø Û Ò Ð Ó ÓÙÑ ÒØ Ñ Ý Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ý Â ÕÙ ¹ÇÐ Ú
ÁÒ ÙØ Ú ¹ ÙØ Ú ËÝ Ø Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ð ÐÓ Ò Ø Ø Ø Ð Ð ÖÒ Ò Ô Ö Ô Ø Ú Æ ÓÐ ÓØ Å Ð Ë Ø ÇÐ Ú Ö Ì ÝØ Ù ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ¹ËÙ ÆÊË ÁÆÊÁ ÈÖÓ ¾¼¼
ÁÒ ÙØ Ú ¹ ÙØ Ú ËÝ Ø Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ð ÐÓ Ò Ø Ø Ø Ð Ð ÖÒ Ò Ô Ö Ô Ø Ú Æ ÓÐ ÓØ Å Ð Ë Ø ÇÐ Ú Ö Ì ÝØ Ù ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ¹ËÙ ÆÊË ÁÆÊÁ ÈÖÓ ¾¼¼ Ó ÜÔ ÖØ Ð ÒØ ÒØ Ø Ò Ò Öº º º µ Ý ÖÑ ÐÓ¹ Ö Ò Ð ÓÐ Ó Ø Ø ÓÖ Ñ Ð Ð ÓÐ Ï Ø Ó ÝÓÙ
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Î Ø Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÒ ÑÔ Ø Ó Ù ØÑ ÒØ Ò Ø Ð Ø ÓÒ ÔÓÐ ÓÒ ÔÓÚ ÖØÝ ÙØ Ù Ø Û ÓÒ Ø ÑÔ Ø Ó Ô Ñ ÖÓ ÓÒÓÑ ÔÓÐ º ØØ Ö ÒÓÛÐ ÓÙØ ÔÖÓ¹ÔÓÓÖ Ñ ÖÓ ÔÓÐ Ò Ø Ñ ÒØ
Ò ÐÝ Ò Å ÖÓ¹ÈÓÚ ÖØÝ Ä Ò Ò ÇÚ ÖÚ Û ÖÒ Ö º ÙÒØ Ö Å Ö Âº Ó Ò Ò À Ò ÄÓ Ö Ò Ý ÖÙ ÖÝ ¾ ¾¼½½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Î Ø Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÒ ÑÔ Ø Ó Ù ØÑ ÒØ Ò Ø Ð Ø ÓÒ ÔÓÐ ÓÒ ÔÓÚ ÖØÝ ÙØ Ù Ø Û ÓÒ Ø ÑÔ Ø Ó Ô Ñ ÖÓ ÓÒÓÑ ÔÓÐ º ØØ Ö ÒÓÛÐ
É ÀÓÛ Ó Ý Ò ² Ö Ò ÁÒ Ö Ò «Ö ÓØ ÑÔ Ù ÔÖÓ Ð ØÝ ØÓ Ö ÙÒ ÖØ ÒØÝ ÙØ Ø Ý ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ «Ö ÒØ Ø Ò º Ü ÑÔÐ ÁÑ Ò Ð Ò Ð ØÖ Ð Û Ø Ò ½ Ñ Ø Ô Ö Ó Ù Ø º ÁÒ Ô Ö ÓÒ Ù Ø
ËØ Ø Ø Ð È Ö Ñ Ý Ò ² Ö ÕÙ ÒØ Ø ÊÓ ÖØ Ä ÏÓÐÔ ÖØ Ù ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ËØ Ø Ø Ð Ë Ò ¾¼½ Ë Ô ½¼ ÈÖÓ Ñ Ò Ö É ÀÓÛ Ó Ý Ò ² Ö Ò ÁÒ Ö Ò «Ö ÓØ ÑÔ Ù ÔÖÓ Ð ØÝ ØÓ Ö ÙÒ ÖØ ÒØÝ ÙØ Ø Ý ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ «Ö ÒØ Ø Ò º Ü ÑÔÐ ÁÑ
ÈÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö ÙÑÙÐ ÒØ Ò Ã ÖÓÚ³ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ö Ø Ö
ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÔÔÖÓ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÝÑÑ ØÖ ÖÓÙÔ ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ã ÖÓÚ³ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÈÀ ØÙ ÒØ Ó È Ð ÔÔ Ò Ä ÓÖ ØÓ Ö ³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ô Ö ÅÓÒ È Ö Ø Å ÖÒ ¹Ä ¹Î ÐÐ Ë ÔØ Ñ Ö ½ Ø ¾¼¼ Ð ÁÒ Ø ØÙØ ÌÓÖÓÒØÓ ÈÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ÁÒØÖÓ
½ ÕÙ Ø ÓÒ ¾ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ËØÖÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ù Æ ØÓ Ù ËØÖÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ó Æ ØÓ ËØÖÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ù Æ ØÓ Ù Ï ÓÒÚ Ö Ò Ó Ù Æ ØÓ Ù Ê ÙÐØ Ë Ø Ó Ø ÔÖÓÓ Ü ÑÔÐ Ì ½ ÜÔ
ËØÖÓÒ Ò Û ÖÖÓÖ Ø Ñ Ø ÓÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÐÐ ÔØ Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö Ò ÓÑ Ó ÒØ ÆË Ò Ö Ø Ò» ÁÆÊÁ Ê ÒÒ ½ ÕÙ Ø ÓÒ ¾ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ËØÖÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ù Æ ØÓ Ù ËØÖÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ó Æ ØÓ ËØÖÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ù Æ ØÓ Ù Ï
The Enigma machine. 1 Expert teams 25 mins. 2 Mixing the teams 30 mins. 3 Coding and decoding messages 1 period
The Enigma machine ¼ The Enigma machine Time frame 2 periods Prerequisites : Å Ò ÖÝÔØÓ Ö Ô Ø Ò ÕÙ Objectives : ÓÚ Ö Ø ÛÓÖ Ò Ó Ø Ò Ñ Ñ Ò º ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ Ð Ø Ó Ö Ý Ø Ñ Ò º Materials : 6 ÓÔ Ó Ø Øº 6 3
ËÌ Ä Å Ä Å ÌÁÇÆ ÂÓ Ò Ìº Ð Û Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ËØ Ø Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÁÐÐ ÒÓ Ø Ó Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼¼ Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó ºÁºÅ Ð Úº ÁÒ ½ ÖÞ ÓÖÞÝ Û Ø Ö
ËÌ Ä Å Ä Å ÌÁÇÆ ÂÓ Ò Ìº Ð Û Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ËØ Ø Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÁÐÐ ÒÓ Ø Ó Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼¼ Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó ºÁºÅ Ð Úº ÁÒ ½ ÖÞ ÓÖÞÝ Û Ø Ö Ø Ö Û Ö ÓÒØ ÒÙÙÑ Ñ ÒÝ «Ö ÒØ ¼ ¹ Ø ÓÖ Ð Ø ÓÖ º Ï Ø
ØÑ Ì¹ ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ º ź ÁÐ Ò Ö ØÞ ÂÓ ÒØ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÆÙÐ Ö Ê Ö Ù Ò µ ź Ã Ö Ò Ö Åº Å ÐÐ Ö¹ÈÖ Ù Ö ÀÍ ÖÐ Òµ ź Ⱥ ÄÓÑ Ö Ó ÁÆ Æ Ö Ø µ º ÍÖ ÍÒ ÓÒÒµ Ǻ È Ð Ô
È Ù ÓÖ Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÖÓÑ Æ = ¾ ØÛ Ø Ñ Ð ØØ É ÐÓÖ Ò ÙÖ Ö ÀÙÑ ÓРعÍÒ Ú Ö ØØ ÞÙ ÖÐ Ò Ëغ Ó Ö Å Ö ¾¼½ ØÑ Ì¹ ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ º ź ÁÐ Ò Ö ØÞ ÂÓ ÒØ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÆÙÐ Ö Ê Ö Ù Ò µ ź Ã Ö Ò Ö Åº Å ÐÐ
Ø ÑÔÐÝ Ù Ø Ø Ø Ø ÔÖÓÓ ÒÓÖÑ Ð Þ Ò Ø ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÖÝ ÔÖ ¹ÑÓ Ð Û Ð Ú Ö ÒØ Ó Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÔÖÓÓ º ÁØ ÛÓÖØ ÒÓØ Ò Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð ÒÓ
Ì ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ ÑÓ ÙÐÓ ÐÐ ÓÛ ÁÆÊÁ ¹ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ºÈº ½¼ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò º ÐÐ º ÓÛ ÒÖ º Ö ØØÔ»»ÐÓ Ðº ÒÖ º Ö» ÓÛ ØÖ Øº Ì ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó Ò Ú Ø Ø ¹ ÓÖÝ Û Ö Ø ÓÑÔÖ Ò ÓÒ Ñ Ö ØÖ Ø ØÓ ØÖ Ø Ð ÔÖÓÔÓ
ÓÖ Ø ÁÒØ Ð ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ðݺ Ê Ö Û ÒØ Ò Ò Ö Ð ÖÓÙÒ Ò Ñ Ð Ö ÔÖÓ Ö Ñ¹ Ñ Ò ÓÙÐ ÓÒ ÙÐØ ÔÔÖÓÔÖ Ø Ø ÜØ ÓÓ Ò ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ö Ö Ò Ñ Ò¹ Ù Ð ÔÙ Ð Ý ÁÒØ Ð Ò
ÒÙ Ñ Ð Ö Ì ÒÙ Ñ Ð Ö µ Ò ÓÔ Ò ÓÙÖ ¹ Ñ Ð Öº Ì Ñ Ð Ö ÒÐÙ Ø Ò¹ Ö Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ú Ð Ð ÓÖ ÓÛÒÐÓ ØÓ ÖÙÒ ÙÒ Ö Ï Ò ÓÛ º ÁØ ÔÖÓÚ ÙÔÔÓÖØ ÓÖ Ø Ò ØÖÙØ ÓÒ Ø Ó Ø Ó Ø Èͺ ÖÓ Ñ Ð Ö Ú Ö ÓÒ Ö Ð Ó Ú Ð Ð º Ì Ñ Ð Ö ÒÚÓ Ý Ø
Kevin Dowd, after his book High Performance Computing, O Reilly & Associates, Inc, 1991
Ò Û Ö ÌÓ ÉÙ Ø ÓÒ ÁÒ Ï ÐÐ ÝÓÒ ÆÙÑÈÝ Ö Ð Ò Ú ÐÓÔ Ö Ò ÈÝÌ Ð Ö ØÓÖ ÂÙÐÝ Ø ¹½½Ø ¾¼½¼º È Ö ¹ Ö Ò ÇÙØÐ Ò Ì Ø Á Ù Ò Û Ö ÌÓ ÉÙ Ø ÓÒ ÁÒ ½ Ì Ø Á Ù ¾ Ò Û Ö ÌÓ ÉÙ Ø ÓÒ ÁÒ ÇÙØÐ Ò Ì Ø Á Ù Ò Û Ö ÌÓ ÉÙ Ø ÓÒ ÁÒ ½ Ì Ø Á
Ð Ò ØÓ ØØ Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ÙÐغ Ì ÓÙÖ Ô Ö Ñ ØÓÛ Ö Ø Ø Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ÙÐØ Ò Ô Ö Ý Ø Ô Ô Ö Ó È Ô Ñ ØÖ ÓÙ Ò Î ÑÔ Ð ÓÒ ÌÖ Ú Ð Ò Ë Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ µ Ø
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ À Ö Ò ÓÖ ËÑ ÐÐ ÇÙÖÖ Ò ÁÒ Ø Ò Ó ÆȹÀ Ö ÈÖÓ Ð Ñ Å ÖÓ Ð Ú Ð Ò Â Ò Ð ÓÚ ¾ ¾ ÅÈÁ ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ë Ò ¹¼ ¼ Ä ÔÞ Í ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÙÒ ÈÖ Ø Å Ø Ñ Ø ¹¾ ¼ Ã Ð Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ ¹ к ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÓÒØÖ
ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¾ ¾º½ Ö Ø ÇÖ Ö ÅÓ Ð ÄÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÖ Ö Ò ÃÖ Ô ÅÓ Ð º
ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ ÜÔÓ ÒØ Ë Ñ ÒØ Ò Ò ËÄ ¹Ê ÓÐÙØ ÓÒ ÐÙÐÙ ÓÖ ÅÓ Ð ÄÓ ÈÖÓ Ö Ñ Ä Ò Ò Æ ÙÝ Ò Ò ÙÝ ÒÑ ÑÙÛº ÙºÔÐ ÌÊ ¼½¹¼¾ ¾ µ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼½ Ð Ø Ö Ú Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ µ ØÖ Ø Ï ÔÖÓÔÓ ÑÓ Ð ÐÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ
Ø Ð ÙÒØÓÖ Ý Ð ÑÓÒ Á ÓÒ Ä Ö Ù Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ñ Ô Ó Ò Û Ø Ø ÃÐ Ð ÑÓÖÔ Ñ º Ì Ù Ø Ø ÓÖÝ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÑ Ø ÃÐ Ð Ø ÓÖÝ Ä Ö Á Ò Ø Ð ÙÒØÓÖ Ý Ð Ö
ÅÇÆ ÇÊ ÇÅ ÁÆË Æ ÇÌÀ Ê Ì ÇÊÁ Ë Ä Ë ÈÍÄÌÊ Æ ÆÆ ÌÇ Á Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó ÁÚ Ò Ê Ú Ð ØÖ Øº Ñ ÐÐ ÑÓ Ø ÓÒ Ó Î Ö ³ Ò Ø ÓÒ Ó ÓÒØ ÒÙ¹ ÓÙ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÐÐÓÛ ÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖÝ Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ ÈÇ µ
R E S E A R C H R E P O R T I D I A P
R E S E A R C H R E P O R T I D I A P ËÇŹ ÐÙ Ø Ö Ò ÓÖ ÇÒ¹Ð Ò Ö Ù Ú ÓÖ Ð Ø ÓÒ ËØÙ Ý Î Ò ÒØ Ä Ñ Ö Á Á ÈßÊÊ ¼¾¹ ¼ ÂÙÐÝ ¾¼¼¾ Ö Ð ÖÓØ ØÓ ÔÔ Ö Ò ÙÞÞÝ ËÝ Ø Ñ Ò ÃÒÓÛÐ ÓÚ ÖÝ Ëà µ ¾¼¼¾ Ð Ð Å Ó Ð Ð Á Ò Ø Ø Ù Ø Ó
Ã Ô ÐÐ Ø ÙÒ Ð ÕÙ Ô Ò ÙÖ ÓÑ Ú ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ä ÙÖ Å ËËÁÇ ÄÈÌÅ ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ÎÁ ¾½ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼½
Ã Ô ÐÐ Ø ÙÒ Ð ÕÙ Ô Ò ÙÖ ÓÑ Ú ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ä ÙÖ Å ËËÁÇ ÄÈÌÅ ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ÎÁ ¾½ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼½ À Ò Ö Ô Ò ÑÓ Ð Insulator Conductor Ò Ø ÓÖÝ Ø ÅÓØØ Ò ÙÐ ØÓÖ Ö ÓÒ ÙØ Ò ººº Ì ÀÙ Ö ÑÓ Ð ÒØ Ö Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ
ÇÙØÐ Ò ½º Ê Ú Û Ó ËÔ Ò¹ Ü Ò ÇÔØ Ð ÈÙÑÔ Ò ¾º Ê Ú Û Ó Ô Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ º Ì Æ Û Ö Ø ÓÒ Ô ÖØ ÓÑ Ò Ö ² ÀÓÑÓ Ò Þ Ö ÀÝ Ö Ð Ð Ë ÇÈ ÒÓ Ø ØÓÓÐ ÂÙÒ ¾¼¼ º Ë Ò È ¾
Æ Û Ö Ø ÓÒ Ò ËÔ Ò¹ Ü Ò ÇÔØ Ð ÈÙÑÔ Ò ÈÓÐ Ö Þ À Ì Ö Ø Â Ô Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Î Ö Ò ÖÐÓØØ Ú ÐÐ Î Ö Ò Ì Ö ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ Ø Ö ÑÓÚ¹ Ö ÐйÀ ÖÒ ËÙÑ ÊÙÐ Ò Ø ÜØ Ò ÓÒ ÂÙÒ ¾¼¼ ÇÐ ÓÑ Ò ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÆÓÖ ÓÐ Î
Ö Ò ÁÅ ÔØ Ö Ê ÕÙ Ö ÔØ Ö ½¼ ½ Ò ½ º ÄÏÀ ØÓ ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¹ ËÔÖ Ò ¾¼½ Ë º ÓÙ ÖÝ Ë Ù¹Û ¹Ö µ ÖØ ¼¾µ ¾¹ º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ ÖÙ ÖÝ ½ ¾¼½
Ö Ò ÁÅ ÔØ Ö Ê ÕÙ Ö ÔØ Ö ½¼ ½ Ò ½ º ÄÏÀ ØÓ ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¹ ËÔÖ Ò ¾¼½ Ë º ÓÙ ÖÝ Ë Ù¹Û ¹Ö µ ÖØ ¼¾µ ¾¹ º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ ÄÓ Ð Ë Ö Ì ØÐ ÍÊÄ ÛÛÛº ºÙÒк Ù» ÓÙ Öݻ˽ ¹ ¹ ÁØ Ö Ø Ú ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ
Ø Ø Ò Ö ÓÖ Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ÀÓÛ ØÓ Ø Ø Î¹ ØÖÙØÙÖ Û Ø Ô ÖÛ Û ÓÖ ÒÓÒ Ü Ø Òص Ô Ò Ò X Y Z º Ë ÒÓÚ ËÅÄ Í Äµ Ì Ö ¹Ú Ö Ð Ø Ø ÆÁÈË ¼ ¾¼½ ¾» ½
à ÖÒ Ð Ì Ø ÓÖ Ì Ö Î Ö Ð ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÓ Ë ÒÓÚ ½ ÖØ ÙÖ Ö ØØÓÒ ½ Ï Ö Ö Ñ ¾ ½ Ø Ý ÍÒ Ø ËÅÄ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÓÐÐ ÄÓÒ ÓÒ ¾ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ËØ Ø Ø ÄÓÒ ÓÒ Ë ÓÓÐ Ó ÓÒÓÑ ÆÁÈË ¼ ¾¼½ º Ë ÒÓÚ ËÅÄ Í Äµ Ì Ö ¹Ú Ö Ð Ø Ø ÆÁÈË ¼ ¾¼½
edges added to S contracted edges
Ì Å Ü ÑÙÑ ÝÐ ËÙ Ö Ô ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö ¹ Ö Ô Ð ÒØ Æ ÛÑ Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÅÁÌ Ñ Ö Å ¼¾½ ¹Ñ Ð Ð ÒØ Ø ÓÖݺРºÑ غ Ù Ï ØÙ Ý Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÝÐ Ù Ö Ô Ó Ú Ò Ö Ø Ö Ô Ò Û Ø Ñ Ü ÑÙÑ ØÓØ Ð Ö Ò ÔÐÙ ÓÙص
Ó Ú ÐÙ Ö ÒÚÓÐÚ Ò ÖØ Ò Ô ÖØ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñµ Ò ØÓ ÐÔ Ø Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ñ Ø º ÁÒ Ø Ø ÐÐÝ ØÝÔ Ð Ò Ù Ø ØÝÔ Ö ÒÓØ Ò ÓÑ Ø Ò Ø Ø Ø Ô ÖØ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÙØ Ö Ø Ö ÓÑ Ø Ò
ÙÒ Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ô Ò Ò ÓÖ Ö Øµ ÌÝÔ Î ÐÙ Ò ËØ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò À ÐÐ Ì ÓÑ À ÐÐ Ö Ò Ñ Ö ¾ ¾¼¼¼ ØÖ Ø Ì Ô Ô Ö ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÛ À Ðг ØÝÔ Ð Ý Ø Ñ Ò Ù ØÓ ÜÔÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ º Ë Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÝÔ Ð Ú Ð Ö Ô Ö ÓÖÑ Ý Ø ØÝÔ
ÇÍÌ ÁËÌ Æ Æ ÆÇƹ ÁËÌ Æ Ç Ä ÌÌÁ Ë ÁÆ ËÇÅ ËÇÄÎ Ä ÄÁ ÊÇÍÈË Îº ÓÖ Ø Ú Ì ÖØ Ð ÚÓØ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ü Ø Ò Ò ÒÓÒ Ü Ø Ò Ó Ð ØØ Ò ÓÐÚ Ð Ä ÖÓÙÔ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û ÔÖÓ
ËÁ Ì ÖÛ Ò Ë ÖĐÓ Ò Ö ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ð È Ý ÓÐØÞÑ ÒÒ ¹½¼ ¼ Ï Ò Ù ØÖ ÓÙØ Ü Ø Ò Ò ÆÓÒß Ü Ø Ò Ó Ä ØØ Ò ÓÑ ËÓÐÚ Ð Ä ÖÓÙÔ Îº ÓÖ Ø Ú Î ÒÒ ÈÖ ÔÖ ÒØ ËÁ ½¾ ¾¼¼¾µ  ÒÙ ÖÝ ¾ ¾¼¼ ËÙÔÔÓÖØ Ý Ø Ù ØÖ Ò
¾»¾ ÍÒ Ö Ø Ö Ô Ð ÑÓ Ð Ï ÓÒ Ö = ( ½,..., Ô+½ ) N Ô+½ (¼,Ω ½ ) Ω ÒÓÒ Ò ÙÐ Öº Γ := {½,...,Ô + ½} = (Γ, ) Ò Ø ÙÒ Ö Ø Ö Ô º Ò ( ) : Ò ÓÖ Ó Ò º
½»¾ Ø Ñ Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÓÖ Ù Ò Ö Ô Ð ÑÓ Ð Æ ÓÐ Î ÖÞ Ð Ò ÏÓÖ ÓÔ ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ö Ô ¾»¾ ÍÒ Ö Ø Ö Ô Ð ÑÓ Ð Ï ÓÒ Ö = ( ½,..., Ô+½ ) N Ô+½ (¼,Ω ½ ) Ω ÒÓÒ Ò ÙÐ Öº Γ := {½,...,Ô + ½} = (Γ, ) Ò Ø ÙÒ Ö Ø Ö Ô º Ò ( ) : Ò
ÈÖÓÚ Ò Ò ÁÑÔÐ Ø ÓÒ È É Ï Ö Ø ÐÓÓ Ø Û Ý ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Á È Ø Ò É ÓÖ È É Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÓ ØÝÔ Ò Ð Ó Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Ü È Üµ É Üµµ Ý ÔÔ
Å Ø Ó Ó ÈÖÓÓ ÊÙÐ Ó ÁÒ Ö Ò ¹ Ø ØÖÙØÙÖ Ó ÔÖÓÓ ÆÓÛ ËØÖ Ø ÓÖ ÓÒ ØÖÙØ Ò ÔÖÓÓ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÑÑÓÒ ÔÖÓÓ Ø Ò ÕÙ Ê ÐÐ Ø Ø Ñ ÒØ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ö ØÖÙ ÓÖ Ð º Ò Ø ÓÒ ÔÖÓÓ ÓÒÚ Ò Ò Ö ÙÑ ÒØ Ø Ø Ø Ø Ñ ÒØ ØÖÙ º ÆÓØ Ï ÒÒÓØ
ÝÓÒ ÀÝÔ ÖØÖ Ï Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ø Ó Ï Ø ÓÙØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÀÙ Ò Ò Î ØÓÖ ÐÑ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ì ÒÓÐÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÑÔ Ù Ö Ö ÐÓÒ ËÔ Ò Ù º Ò Ú ØÓÖº ÐÑ Ù ÙÔ º Ù ØÖ Øº Ì Ò
ÝÓÒ ÀÝÔ ÖØÖ Ï Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ø Ó Ï Ø ÓÙØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÀÙ Ò Ò Î ØÓÖ ÐÑ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ì ÒÓÐÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÑÔ Ù Ö Ö ÐÓÒ ËÔ Ò Ù º Ò Ú ØÓÖº ÐÑ Ù ÙÔ º Ù ØÖ Øº Ì Ò Ö Ð ÒØÖ Ø Ð ØÝ Ó Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ ¹ Ð Ñ ÑÓØ Ú
ß ¾ ß ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÖ Ò ÔÖÓØÓ Ø ÐÐ Ö ÓÐÐ Ô Û ÐÝ ÔØ ØÓ Ø ÔÖ Ñ ÖÝ Ñ ¹ Ò Ñ ÓÖ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ò ÖÝ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ö Ý Ø Ñ º º Ä Ö Ò Ö Ø Ðº ¾¼¼ Ò
ÓÐÐ Ô Ò Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÅÓÐ ÙÐ Ö ÐÓÙ ÓÖ º º Å Ò Ø Ö Ò Ó ÈÖÓÐ Ø Ò Ç Ð Ø ÓÖ º Ð Ò Èº Ó Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ì ÖÖ ØÖ Ð Å Ò Ø Ñ ÖÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ó Ï Ò ØÓÒ ¾ ½ ÖÓ Ö Ò ÊÓ ÆÏ Ï Ò ØÓÒ ¾¼¼½ ¹½ ¼ Ó ØѺ Ûº Ù ËÌÊ Ì Ì ÓÐÐ Ô Ò Ö
λ = λ = 1.0 w Ø w = C (w) + λ N wì w
Ê Ú Û Ó Ä ØÙÖ ½¾ Ê ÙÐ Ö Þ Ø ÓÒ ÓÒ ØÖ Ò ÙÒÓÒ ØÖ Ò E Ò = ÓÒ Øº ÓÓ Ò Ö ÙÐ Ö Þ Ö E Ù (h) = E Ò (h) + λ N Ω(h) Ω(h) ÙÖ Ø ÑÓÓØ ÑÔÐ h ÑÓ Ø Ù Û Ø Ý w Ð Ò w ÒÓÖÑ Ð λ ÔÖ Ò ÔÐ Ú Ð Ø ÓÒ λ = 0.0001 λ = 1.0 E Ò w Ø
ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ØÓ Ø ÕÙ Ù Ò ÑÓ Ð Ó ØÖ ÓÛ ÑÓ Ð Ò Ó Ö ¹ Ú Ö ØÖ Ú Ð Ú ÓÖ Ò ÐÝ Ó Ò ØÛÓÖ Ö ÓÛÒ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó ÜÔ Ø Ú ÐÙ ººº Ô Ø ÖÓÙ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Þ Ø ÓÒ Ó
ÝÒ Ñ Ò ØÛÓÖ ÐÓ Ò ØÓ Ø Ö ÒØ Ð ÑÓ Ð Ø Ø Ö Ú Ð Ò Ø Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÐ Ò Ç ÓÖ Ó ÅÁ̵ ÙÒÒ Ö Ð ØØ Ö ÃÌÀµ Å Ð ÖÐ Ö È Äµ ÂÙÐÝ ½ ¾¼½½ ½» ¾ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ØÓ Ø ÕÙ Ù Ò ÑÓ Ð Ó ØÖ ÓÛ ÑÓ Ð Ò Ó Ö ¹ Ú Ö ØÖ Ú Ð Ú ÓÖ Ò ÐÝ Ó Ò ØÛÓÖ
spike splinter spire spindle spear
Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ËØÙ Ý Ó ËÐ Ú Ö ÜÙ Ø ÓÒ À Ö ÖØ Ð ÖÙÒÒ Ö Ý Ò ÑÖÓÒ ÙÓÝ Þ ØÖ Ø Ï ÔÖ ÒØ Ö ÙÐØ ÓÒ ØÛÓ¹ Ø Ô ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ó Ñ ÕÙ Ð ØÝ Ò Ø Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ º Ì Ö Ø Ø Ô Ö Ò Ø ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò
½ Ê Ú Û Ó ÓÛ ÖÓÙÔ ¾ ÓÖÑ Ð ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ò¹ Ö Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ø ÓÒ
Å Ö ¾¼¼ ½ Ê Ú Û Ó ÓÛ ÖÓÙÔ ¾ ÓÖÑ Ð ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ò¹ Ö Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ø ÓÒ Ä Ø ÑÓÓØ ÕÙ ÔÖÓ Ø Ú Ú Ö ØÝ Ò ÓÚ Ö Ð º Ï Ú Ø ÓÛ ÖÓÙÔ À Ô ( ) = {Ó Ñº Ô Ð Ö ÝÐ ÑÓ Ö Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ú Ð Ò } Ì Ö Ö ÓØ Ö ÕÙ Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø
arxiv: v1 [q-fin.pr] 27 Oct 2009
![arxiv: v1 [q-fin.pr] 27 Oct 2009](/thumbs/84/91052375.jpg "arxiv: v1 [q-fin.pr] 27 Oct 2009")
arxiv:0910.5101v1 [q-fin.pr] 27 Oct 2009 ÇÔØ Ñ Ð Ô ÖØ Ð Ò Ò Ö Ø ¹Ø Ñ Ñ Ö Ø Ò Ô ÔÖÓ Ð Ñ È Ø Ö Ä Ò Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ó Ñ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÒÖ Ø Ò ¾¼ ¼¼ Ó ÒÐ Ò Ñ Ð ÔÐ Ò Ö Óº ØÖ Ø Ï ÔÖ ÒØ Ò Û ÔÔÖÓ ÓÖ ØÙ Ý Ò Ø ÔÖÓ
ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖÝ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖÝ Ð Û Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ò Ò Ð Ó ØÖ Ò Ð º ÁØ Û ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ô Ý Ò Ò Ò Ö Ò º Ì ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ö Ö Ø Ò Ù Ò Ö Ø¹ Ò Ð ØÖ Ò Ð º C Ì Ç
ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖÝ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖÝ Ð Û Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ò Ò Ð Ó ØÖ Ò Ð º ÁØ Û ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ô Ý Ò Ò Ò Ö Ò º Ì ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ö Ö Ø Ò Ù Ò Ö Ø¹ Ò Ð ØÖ Ò Ð º C Ì ËÁÆ ÙÒØ ÓÒ A B Ò = Ò = ÓÔÔÓ Ø ÝÔÓØ ÒÙ µ ÆÓÚ Ñ Ö ¾ ¾¼½
3D Interaction in Virtual Environment
3D Interaction in Virtual Environment Â Ò Ð Ö Ö ºÑÙÒ ºÞ ÙÐØÝ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø Å ÖÝ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÖÒÓ» Þ Ê ÔÙ Ð ØÖ Ø ÀÙÑ Ò¹ ÓÑÔÙØ Ö ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ô ÓÙÐ Ò Ð Ù Ö ØÓ ÒØ Ö Ø Ö ÐÝ Û Ø Ú ÖØÙ Ð Ó Ø º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ø Ñ
x(t + t) = exp( tl)x(t), µ t k exp( tl) = x i i=1 k=0
ÔØ Ú Ä ¹ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ù ØÖ Ò¹ÀÙÒ Ö Ò ÏÓÖ ÓÔ ÓÒ ÌÖÓ Ò Ò Ê Ð Ø ÌÓÔ ½¼ ÔÖ Ð ¾¼½¼ ÇÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ø³ ÓÐÚ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ẋ i = f i (x) ½µ Û Ö x : R R N x = (x 1,..., x N )µº ÆÓØ ÐÐ ÒÓÒ¹ ÙØÓÒÓÑÓÙ
ÇÙØÐ Ò ½ ¾ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔغµ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò
Æ ÙÝ Ò Ì ÌÙ Î Ò ½ Æ ÙÝ Ò ÉÙ Ò Î Ò ¾ ½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ò È ÖÑ Ý Ó ÀÓ Å Ò ØÝ ¾ Æ ÙÝ Ò ÌÖ È ÙÓÒ ÀÓ Ô Ø Ð ÂÁ ÔÖÓ Ø ¹ Ù Ù Ø ¾¼½ ÇÙØÐ Ò ½ ¾ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò
ÇÙØÐ Ò
ÀÓÛ ÑÙ ÒØ Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ö Ò Ó Ø ÍºËº Ó Ð ÙÖ ØÝ Ý Ø Ñ Ö ÐÐÝ ÔÖÓÚ ½ ½ Ê ¹ Á ÈÖ Ù Å Ý ¾¼½½ ÇÙØÐ Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÓÒÓÑ Ó Ø Ö ÒØ Ò Ö Ø ÓÒ Ö ÒØÐÝ Ä Ñ Ø Ð ØÝ ØÓ Ò ÙÖ Ü¹ ÒØ Ú ¹ ¹Ú ÓØ Ö Ò Ö Ø ÓÒ È Ý¹ ¹ÝÓÙ¹ Ó Ô Ò ÓÒ
PRINCETON PLASMA PHYSICS LABORATORY
Á Ì Åƺƺ Ù Ø Ò ÓÖ Ð Ò ÓÚÌ Ü Ò ½ Ë ÔØ Ñ Ö ÑÓ Ò ÁÌ Ê ¾¼½½ ÆÓÒÔ ÖØÙÖ Ø Ú ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÓÒ Ò Ò ÑÓ Ø Ð Þ Ø ÓÒ Ò ÁÌ Ê ÈÈÈÄ ÈÖ Ò ØÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ PRINCETON PLASMA PHYSICS LABORATORY ËÌÊ Ì Ï ÑÔÐÓÝ Ø ÐÓ Ð ÆÇÎ ¹ÃÆ Ý
Z=102 Z= Z=98 Z= Z=94 Z=92
ÎÓк ¼¼ µ Ì ÈÀ ËÁ ÈÇÄÇÆÁ ÆÓ ÇÄÄ ÌÁÎ ÉÍ ÊÍÈÇÄ ÁÌ ÌÁÇÆË Ç ÌÊ ÆË ÌÁÆÁ ÆÍ Ä Á ú ĺ ÈÖ Ò Ãº ÈÓÑÓÖ ÁÒ Ø ØÙØ Ó È Ý Å Ö ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ÍÒ Ú Ö ØÝ Èк ź ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ½ ¼¹¼ ½ ÄÙ Ð Ò ÈÓÐ Ò Ëº º ÊÓ ÓÞ Ò Âº ËÖ ÖÒÝ ÙÐØÝ
An Algebraic Semantics for Duration Calculus. August 2005 ß ½ ß ESSLLI 2005 Student Session
ÝÓÙ Ö Ý ÆÙÐØÝ ÓÖ ÓÒØÖÓÚ Ö Ý Ò Ò Á ÓÙÒ Ó ÐÖ ÛÓÖØ ØÓÒ Ó Ú Ö Ð Ö ÙÑ Òغ Ò An Algebraic Semantics for Duration Calculus ÐÖ Ë Ñ ÒØ ÓÖ ÙÖ Ø ÓÒ Ò ÐÙÐÙ È Ø Ö ÀĐÓ Ò Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ù ÙÖ Âº
ÖÙÔØ Ú ÝÓÙÒ Ø Ö ÓÖ ÍÓÖ ÄÓÛ Ñ ÔÖ ¹Ñ Ò ÕÙ Ò Ó Ø ËØ Ö Ð Ö ÑÓÙÒØ Ó ÖÙÑ Ø ÐÐ Ö Ñ Ø Ö Ð ÍÓÖ ÇÙØ ÙÖ Ø Ó Ñ ÓÖ ÑÓÖ Ò ÓÔØ Ð Ð Ø Ä Ø Ò ÓÖ Ú Ö Ð Ê Ô Ø Ø Ú ÓÖ ÍÓÖ
Æ ÓÐ ØØ Ë ÔÓ ÃÓÒ ÓÐÝ Ç ÖÚ ØÓÖÝ Ù Ô Øµ Ⱥ ý Ö Ñ Âº Ó Ø ¹ÈÙÐ Ó º ÂÙ Þ ýº Ã Ô Ð Åº ÃÙÒ º ÅÓ Ö Âº Ë Ø Û Ò ¾¼¼ Å Ö ½ Ä Ò Ê ÏÓÖ ÓÔ ½» ½ ÖÙÔØ Ú ÝÓÙÒ Ø Ö ÓÖ ÍÓÖ ÄÓÛ Ñ ÔÖ ¹Ñ Ò ÕÙ Ò Ó Ø ËØ Ö Ð Ö ÑÓÙÒØ Ó ÖÙÑ Ø ÐÐ
arxiv: v25 [math.ca] 21 Nov 2008
![arxiv: v25 [math.ca] 21 Nov 2008](/thumbs/75/71471955.jpg "arxiv: v25 [math.ca] 21 Nov 2008")
ËÓÑ ÓÒ ØÙÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÐ Ü Ö Ðµ ÒÙÑ Ö ÔÓÐÓÒ Ù Þ ÌÝ Þ arxiv:0807.3010v25 [math.ca] 21 Nov 2008 ØÖ Øº Ï Ù ÓÒ ØÙÖ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ÓÒ ØÙÖ Áµ µ ÓÖ ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö x 1,...,x n Ø Ö Ü Ø Ö Ø
x = x 1x 2 x (p-1)x x = 3 x = 3 x = 3 x = 3 0 x 1 x 2 x... (p-1)x
ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÈÖÓ Ö Ñ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ º ½º ÈÖÓ Ö Ñ Å ÔÔ Ò ÈÖÓ Ö Ñ È ÖØ Ø ÓÒ Ò º Ô Ò Ò Ò ÐÝ º Ë ÙÐ Ò ÄÓ Ð Ò Ò º Ó ØÖ ÙØ ÓÒº ¾º Ø Å ÔÔ Ò º Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò º ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò ÔÖÓ ÓÖ
ÇÙØÐ Ò ÇÙØÐ Ò ÈÙÖÔÓ Ó Ø ÈÖÓ Ø È ÖØ Ð ÌÖ Ò ÔÓÖØ È ÖØ Ð ÁÒØ Ö Ø ÓÒ È ÖØ Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ê ÙÐØ ËÙÑÑ ÖÝ ¾ Ôк¹Å Ø º Ò Ö ØÞ Ë Ð ¹ Ò Ì Ö È ÖØÝ ËÓ Ð Ò Ó ÅÓØÓÖ Î Ð
ÆÙÑ Ö Ð Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Û Ø È ÖØ Ð ÌÖ Ò ÔÓÖØ ØÓ ÓÑÔÙØ Ë Ð ¹ Ò Ì Ö È ÖØÝ ËÓ Ð Ò Ó ÅÓØÓÖ Î Ð Ôк¹Å Ø º Ò Ö ØÞ ÐÙ ÝÒ Ñ À Ä Ø Ò Ö ØÖ ¹ Ö Ò º Å Ò Ò ÂÙÒ ¾ Ö ¾¼½¼ ÇÙØÐ Ò ÇÙØÐ Ò ÈÙÖÔÓ Ó Ø ÈÖÓ Ø È ÖØ Ð ÌÖ Ò ÔÓÖØ È ÖØ
A B. Ø ÓÒ Left Right Suck NoOp
º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ ÁÒØ ÐÐ ÒØ ÒØ Ì ØÐ ÔØ Ö ¾ ÁÅ ØÓ ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¹ ËÔÖ Ò ¾¼½ Ë ÛÛÛº ºÙÒк Ù» ÓÙ Öݻ˽ ¹ ¹ ÍÊÄ º ÓÙ ÖÝ Ë Ù¹Û ¹Ö µ ÖØ ¼¾µ ¾¹ º º ÓÙ ÖÝ ¾ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ ÁÒØ ÐÐ ÒØ ÒØ ÒØ
Proceedings of the International Meteor Conference
ISBN 978-2-87355-024-4 Proceedings of the International Meteor Conference La Palma, Canary Islands, Spain 20 23 September, 2012 Published by the International Meteor Organization 2013 Edited by Marc Gyssens
x x f (x) f(x) f (x) Ò
ÓÑÔÙØ Ò ÁÒØ ÖÚ Ð ÈÓÛ Ö ÙÒØ ÓÒ Çº À ÑРź Æ Ñ Ö Âº ÏÓÐ Úº Ù Ò Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØØ Ï ÖÞ ÙÖ ½ º Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼½¾ Ǻ À ÑРź Æ Ñ Ö Âº ÏÓÐ Úº Ù Ò Ö ÓÑÔÙØ Ò ÁÒØ ÖÚ Ð ÈÓÛ Ö ÙÒØ ÓÒ ½»¾ ÁÒØ ÖÚ Ð ÙÒØ ÓÒ
Ê ÐÐ ÓÙÖ Ò Ö ÝÒÑ Ò ÒØ Ö Ð ( Æ Á = Γ(ν Ä /¾) =½ ¼ Ü Ü ν ½ ) ( δ ½ Γ(ν ) ÇÙÖ Ó Ð ËÙ Ú ÐÝ ÒØ Ö Ø ÓÙØ ÐÐ ÝÒÑ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö º Æ Ü )U ν (Ä+½) /¾ F ν+ä /¾. =½
Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÐÝÐÓ Ö Ø Ñ Ö Ø Ò Ó Ò Ö ÀÙÑ ÓРعÍÒ Ú Ö ØØ ÞÙ ÖÐ Òµ Ó ÒØ ÛÓÖ Û Ø Ö Ò ÖÓÛÒ ÇÜ ÓÖ µ ¼¾º¼ º¾¼½ ÓÙÖØ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÏÓÖ ÓÔ ÓÒ Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ð Ö Ò ÓÑ ØÖÝ Ð Ð Ê ÐÐ ÓÙÖ Ò Ö ÝÒÑ Ò ÒØ Ö Ð ( Æ Á
ÓÙÖ ÓÒØ ÒØ Ï Ý Ó Û Ù Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ØÝ ÔÖÓÚ Ý Ø Å Ò Ñ ÒØ ËÝ Ø Ñ Ø ÅÓ Ð Ê Ð Ø ÓÒ Ð Æ ØÛÓÖ ÇÇ ÀÓÛ Ó Û Ù ÅË Ê Ð Ø ÓÒ Ð ÑÓ Ð ÓÙÒ Ø ÓÒ Ð ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù ËÉÄ ÔÔÐ Ø
ÇÚ ÖÚ Û Ó Ø Å Ò Ñ ÒØ Ö Ò ÌÓÑÔ Ë ÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ï Ø ÖÐÓÓ Ë ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Å Ò Ñ ÒØ Ï ÒØ Ö ¾¼½¼ Ë ÁÒØÖÓ ØÓ Å Ñص ÇÚ ÖÚ Û Ó Ø Å Ò Ñ ÒØ Ï ÒØ Ö ¾¼½¼ ½» ¾¾ ÓÙÖ ÄÓ Ø Ï Ô Ì ÜØ ÓÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÛÛÛº
ÓÙÖ ËØ ÁÒ ØÖÙØÓÖ ÓÒØ Ø ËÐ Ñ Ø ÙÐÐ Ö ÐÓÙ Ð Ø ÓÒ ÓÙÖ Û Ø ÇÒ ÍÏ¹Ä ÖÒ Ò ÓÒ ÓÙÖ Û Ø Î ÖÝ Ø Ö ÓÑ ØÓ Ð Ø ÒÓØ Ë ÁÒØÖÓ ØÓ Å Ñص ÇÚ ÖÚ Û Ó Ë ÄÄ ¾¼½ ¾» ¾
ÇÚ ÖÚ Û Ó Ë Ú Êº Ö ØÓÒ Ë ÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ï Ø ÖÐÓÓ Ë ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Å Ò Ñ ÒØ ÐÐ ¾¼½ Ë ÁÒØÖÓ ØÓ Å Ñص ÇÚ ÖÚ Û Ó Ë ÄÄ ¾¼½ ½» ¾ ÓÙÖ ËØ ÁÒ ØÖÙØÓÖ ÓÒØ Ø ËÐ Ñ Ø ÙÐÐ Ö ÐÓÙ Ð Ø ÓÒ ÓÙÖ Û Ø ÇÒ ÍϹÄ
Ì ÄÈ Ë ÈÖÓ Ð Ñ Ì ÄÈ Ë ÐÓÒ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ÓÑÑÓÒ Ù ÕÙ Ò µ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ä Ë ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒØ Ò Ò Ô¹ÓÒ ØÖ ÒØ º Ò Ø ÓÒ ÁÒ ÄÈ Ë(,, Ã ½, Ã ¾, )
Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø ÄÓÒ Ø È Ö Ñ Ø Ö Þ ÓÑÑÓÒ ËÙ ÕÙ Ò Ó Ø Ëº ÁÐ ÓÔÓÙÐÓ ½ Å Ö Ò ÃÙ ¾ ź ËÓ Ð Ê Ñ Ò ½ Ò ÌÓÑ Þ Ï Ð ¾ ½ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÖÓÙÔ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ã Ò ÓÐÐ ÄÓÒ ÓÒ ¾ ÙÐØÝ Ó Å Ø Ñ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø Ò ÔÔÐ
ÙÖ ¾ Ë Ð Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ¾ ¾
Å Ë ¹ Í Ö Ù Ú¼º¾ ÔÖ Ð ½¾ ¾¼½¼ ½ ½º½ ÈÖÓ Ø ÉÙÓØ Ì ÕÙÓØ Ð Ø Ò Ö ÐÐÝ ÓÖ Ö Ý Ô Ö Ó Û Ø Ø Ò Û Ø Ø Ø ÓØØÓѺ ÁØ Ñ Ý ÐØ Ö Ý Ð Ø Ò Ò ÔÔÐ Ø ÓÒº ½º½º½ ÉÙÓØ ÉÙÓØ Ò ÔÔÐ ØÓ Ö ÕÙ Ø Ý Ð Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÐÐÓ Ø ¹ÓÐÙÑÒ Û Ý ÙÐØ
ÅÓ Ø Ü Ø Ò ÖÓ ¹ÓÚ Ö Ö ÓÙÖ ÔÖÓÚ ÓÒÐÝ ÐÐÓÛ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ñ ÒØ ÇÚ ÖÚ Û ÛÓÖÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÙÖ Û Ø Ö ÝÒØ Ø Ò ¹ Ê Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ º Ñ ÒØ ÅÙ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö
à ÔÔ Ö Ë ÙÐ Ö Ã Ö Ò ÔÔ ÖÐ Òº ºÙÔ ÒÒº Ù Î Ö Æ Ø ÜØ Ò ÓÒ Ò Ñ ÔÔ Ò ØÓ ÓØ Ö Ð Ü Ð Ö ÓÙÖ ÂÙÒ ¾ Ø ¾¼¼ ÅÓ Ø Ü Ø Ò ÖÓ ¹ÓÚ Ö Ö ÓÙÖ ÔÖÓÚ ÓÒÐÝ ÐÐÓÛ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ñ ÒØ ÇÚ ÖÚ Û ÛÓÖÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÙÖ Û Ø Ö ÝÒØ Ø Ò ¹
ÈÖÓ Ð Ø Î Ö Ð Ò Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÐÙ Ø Ö Ò ÐÝ ÙÒØ Ö Ê ØØ Ö ÙÐØÝ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø Ò Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó È Ù» ÖÑ ÒÝ Ö ØØ Ö ÑºÙÒ ¹Ô Ùº ¹ Æà ÏÁ Ë ¾¼½ ¾» ½ ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¹ Æà ÏÁ Ë ¾¼½» ½ Ä Ø Ö ØÙÖ Ê ÒØ ÔÔÖÓ ØÓ Ú Ö Ð Ð
Î Ö Ð X C = {x 1, x 2,...,x 6 }
º ÓÙ ÖÝ Ë Ù¹Û ¹Ö µ ÖØ À ÐÐ ÊÓÓÑ ¼ Ú ÖÝ º º ÓÙ ÖÝ ½ Å Ö ½ ¾¼½½ Ì ØÐ ÙØ ÓÖ ÈÖÓº È ÐØ Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÒ ØÖ ÒØ Ó Ö Ò Ò ËÈ Ê Ò Âº¹ º ½ Á ¾ Ó ÓÒ ØÖ ÒØ ÈÖÓ Ò ÓÙÒ Ø ÓÒ ËÔÖ Ò ¾¼½½ Ë ¾½» ¾½ ÛÛÛº ºÙÒк Ù» ¾½ ÓÙ
ν = fraction of red marbles
Ê Ú Û Ó Ä ØÙÖ ½ Ü ÑÔÐ È Ö ÔØÖÓÒ Ä ÖÒ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ä ÖÒ Ò Ù Û Ò ¹ Ô ØØ ÖÒ Ü Ø + + ¹ Ï ÒÒÓØ Ô Ò Ø ÓÛÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÐÝ ¹ Ï Ú Ø ÓÒ Ø ÓÙ ÓÒ ÙÔ ÖÚ Ð ÖÒ Ò + + + ¹ ÍÒ ÒÓÛÒ Ø Ö Ø ÙÒØ ÓÒ y = f(x) ¹ Ø Ø (x 1,y 1 ),, (x
ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Å ÕÙ Ð ØÝ Ó Ø Ó ØÖ Ò Ô Ö ÒØ ÁÒ Ø ÓÒ Ú ÐÓÔÑ ÒØ ØÖ Ò ÖÖ Û ÓÖ Ò Ð ÙØ ÓÖ Ö Ñ Ò ÐÓÒ Ú ÐÓÔÑ ÒØ ØÓÖÝ Å ÒÝ Ù ØÓÑ Ö»Ù ØÓÑ Ö Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ñ ÒÝ ÔÖÓ Ø
Ê Ý Ð Ò ÔÔÖÓ ØÓ ÓÙ ÉÙ Ð ØÝ ÁÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ ÓÖØ Ù Ö ÅÓ Ù Ê Ò Ý À ÖØ ÂÓ Ò È Ð Ö Ñ Ò Ú Ý Ä Ê Ö ¾½½ ÅØ ÖÝ Ê Ò Ê ÆÂ ¼ ¾¼ Ù Ö Ú Ý ºÓÑ Ù ¾½ ¾¼½ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Å ÕÙ Ð ØÝ Ó Ø Ó ØÖ Ò Ô Ö ÒØ ÁÒ Ø ÓÒ Ú ÐÓÔÑ ÒØ ØÖ Ò ÖÖ Û ÓÖ
A = A (0) + (4πF π) 2A(1) + (4πF π) 2 A (3) +... L N+π. ÈÌ = L(0) (F π,m π,g A )+L (1) (c 1,..,c 4 )+L (2) (l 1,..,l 10,d 1,..,d 23 )+...
Ä Ò Ö Ð ÐÓ Ö Ø Ñ ÓÖ Ø ÒÙÐ ÓÒ Ñ ÂÓ Ò Ò Ò Ð Ü Ý º ÎÐ Ñ ÖÓÚ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ØÖÓÒÓÑÝ Ò Ì ÓÖ Ø Ð È Ý ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ½» ½½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ È̵ ÐÓÛ¹ Ò Ö Ý Ø Ú Ð Ø ÓÖݺ A = A 0 + q 2 q 2 2 q 4πF π
THE LJUBLJANA GRAPH. Preprint series, Vol. 40 (2002), 845. Marston Conder Aleksander Malnič. November 19, 2002
University of Ljubljana Institute of Mathematics, Physics and Mechanics Department of Mathematics Jadranska 19, 1000 Ljubljana, Slovenia Preprint series, Vol. 40 (00), 845 THE LJUBLJANA GRAPH Marston Conder
Ï Ó ØÖ Ù ÛÓÖÐ Ý Ù Ð Ø Ö Ø ÓÖ Ð Ö Ð Ø Ú ØÓ Û ÆÈ ËÈ ÊË Ó ÓØ Ú ÓÑÔÐ Ø Ø º Å Ö ÌÓÖ ÅÌ Ú Ö Ð Ø Ú Þ Ð ÔÖÓÓ Ø Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ Ü Ø Ø ÆÈ ËÈ ÊË Ó Ú ÓÑÔÐ Ø
ÇÔØ Ñ Ð ÈÖÓÓ ËÝ Ø Ñ ËÔ Ö Ë Ø À ÖÖÝ Ù ÖÑ ½ ËØ Ú Ö ¾ Ä ÓÖØÓÛ Ø Ö Ú Å Ð Ý ½ ÏÁ ¾ Í Ú Ö ØÝ Ó ËÓ ÖÓÐ Í Ú Ö ØÝ Ó Ó Í Ú Ö ØÝ Ó Ó ÁÅ Ë ØÖ Øº Ï Ü Ø Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ Û Ö ÆÈ ËÈ ÊË Ó ÓÑÔÐ Ø Ø º Ì Ú Ø Ö Ø Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ
ÇÙØÐÓÓ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÀÓÑÓØÓÔÝ ÒÚ Ö Ò Ò Ò³ Ø ÓÖ Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø Ð Ñ Ó ÙÒ Ú Ö Ð ÔÓÐÝÐÓ Ö Ø Ñ Ó Ú Ö Ð Ú Ö Ð ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÝÒÑ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ý Ù Ó Ñ
ÍÒ Ú Ö Ð ÔÓÐÝÐÓ Ö Ø Ñ Ò ÝÒÑ Ò ÒØ Ö Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ö Ø Ò Ó Ò Ö ÀÍ ÖÐ Òµ Ó ÒØ ÛÓÖ Û Ø Ö Ò ÖÓÛÒ È Ö ÂÙ Ù Ò ÀÍ ÖÐ Òµ ÙÔÔÓÖØ Ý Ö ÃÖ Ñ Ö³ ÖÓÙÔ Ø ÀÍ ÖÐ Ò Ð Ð ½¼º¼ º¾¼½¾ ÇÙØÐÓÓ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÀÓÑÓØÓÔÝ ÒÚ Ö Ò Ò Ò³ Ø
arxiv:astro-ph/ v1 11 Feb 2003
ÓÚ ÖÝ Ó Æ Û Æ Ö Ý ËØ Ö º º Ì Ö Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ À Ò Ö Ý ØÖÓÔ Ý Æ Ë» Ó Ö ËÔ Ð Ø ÒØ Ö Ö Ò ÐØ Å ¾¼ ½ ÍË arxiv:astro-ph/0302206v1 11 Feb 2003 ÓÒÒ Ö Ð Ñ Ðº ºÒ º ÓÚ Ëº Àº ÈÖ Ú Ó Åº À ˺ º Ë Ð Ò Â Ø ÈÖÓÔÙÐ ÓÒ
Fibonacci Overview. 1 Motivation. 2 Preliminary Ideas. 2.1 Common Definitions. 2.2 Fibonacci Numbers Defined
Fibonacci Overview ÐÐ ÏÙÖØÞ 1 Motivation ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ËÙÔÔÓ Ò ÛÐݹ ÓÖÒ Ô Ö Ó Ö Ø ÓÒ Ñ Ð ÓÒ Ñ Ð Ö ÔÙØ Ò Ð º Ì Ö Ø Ö Ð ØÓ Ñ Ø Ø Ø Ó ÓÒ ÑÓÒØ Ò Ø Ý Ú ÖØ ØÓ Ñ Ð ¹ Ñ Ð Ô Ö Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÑÓÒØ º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ØÛÓ
Implementation of an Automatic Image Registration Tool
1 Implementation of an Automatic Image Registration Tool Pavel A. Koshevoy, Tolga Tasdizen, and Ross T. Whitaker UUSCI-2006-020 Scientific Computing and Imaging Institute University of Utah Salt Lake City,
In Proceedings of 10th International Conference on Database and Expert Systems Applications (DEXA 2000), Greenwich, UK, September 4-8, 2000.
In Proceedings of 10th International Conference on Database and Expert Systems Applications (DEXA 2000), Greenwich, UK, September 4-8, 2000. LNCS Vol.????. pp.???-???. ÜØ Ò Ò Ø ÐÓ Û Ø Ð Ö Ø Ú ÍÔ Ø Å Ò
Ò Û ÑÓÒ ØÖ Ø ÒÝ ÓØ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ô ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø ÇÙÖ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ø ÒÓÛÒ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ØÓ ÓÐ Ò Ú ÖÝ Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ º Ì Ø Û ÑÓÒ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ð Ö Ð Þ
Ë Ô Ö Ð ØÝ Ò ÇÒ ¹Û Ý ÙÒØ ÓÒ Ä Ò ÓÖØÒÓÛ ÂÓ Ò ÊÓ Ö Ý ÂÙÐÝ ¾½ ¾¼¼¼ ØÖ Ø Ï ØØÐ ÐÐ Ö Ð Ø Ú Þ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ú ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ È ÆÈ È ÍÈ È ÆÈ ÓÆÈ ÐÐ Ó ÒØ Ô Ö Ó ÆÈ Ø Ö È¹ Ô Ö Ð º ÐÐ Ó ÒØ Ô Ö
COMPARATIVE EVALUATION OF WEATHER FORECASTS FROM THE COSMO, ALARO AND ECMWF NUMERICAL MODELS FOR ROMANIAN TERRITORY
COMPARATIVE EVALUATION OF WEATHER FORECASTS FROM THE COSMO, ALARO AND ECMWF NUMERICAL MODELS FOR ROMANIAN TERRITORY ÊÓ Ð Ù ÍÅÁÌÊ À ½ Ë ÑÓÒ Ì ã ͽ Ñ Ð ÁÊÁ ½ Å Ö Ð ÈÁ ÌÊÁãÁ½ ¾ Å Ð Ç Æ½ Ð Ü Ò Ö Ê ÁÍƽ Ó Ò
ÁËÁË Ø Ò Ð Ö ÔÓÖØ Ö ÎÓк ½¼ ¾¼¼¼ ÖÓÙÒ ÜØÖ Ø ÓÒ Ó ÓÐÓÙÖ ÁÑ Ë ÕÙ Ò Ù Ò Ù Ò Ñ ÜØÙÖ ÑÓ Ð ËØ ÒÑ Ò Ò Ê Ò Ú Ò Ò ÓÓÑ Ö ÁÒØ ÐÐ ÒØ Ë Ò ÓÖÝ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò
Ì Ð Ó ÓÒØ ÒØ Ì ÚÓÒ ÖØ Ð Ò Ý³ ÖÓÛØ ÑÓ Ð ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ü ÖÓÛØ ÓÖ ØÖÓÔ Ð ØÙÒ Å Ø Ö Ð ² Å Ø Ó Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ö Ñ ÛÓÖ Ø ¹ Ö Ú Ò Ò Ö Ó Ê ÙÐØ ÆÓ ÜÙ Ð ÑÓÖÔ Ñ Ò ÖÓÛØ Ë
ÌÛÓ¹ Ø ÒÞ ÖÓÛØ ÓÖ ØÖÓÔ Ð ØÙÒ ÅÝØ ÓÖ Ö Ð ØÝ ÓØ ½ Ù ÖÓ Ä ½ ÓÙ ÕÙ Ø Æ ¾ ÓÖØ Ð ½ Ò Ë ÓÒ ÓÑÑ Ù ½ ÁÊ ÍÅÊ ¾½¾ Å Ê Æ ¾ ʲ ÅÊÁ ÔØ Ê Æ Á Ö Ñ Ö ÍÅÊ ¾½¾ Å Ê Æ Ì Ð Ó ÓÒØ ÒØ Ì ÚÓÒ ÖØ Ð Ò Ý³ ÖÓÛØ ÑÓ Ð ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ü ÖÓÛØ
ÝØ Ð Ö Ø ÓÒ Ó ÝÒ Ñ ØÖ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ñ Ò Ð Ö Ø ÓÒ ÖÓÑ ØÖ ÓÙÒØ Ð Ð Ô Ö Ô Ø Ú Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ô Ø ÓÛ Ø ÛÓÖ Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ñ ÖÓ¹ ÑÙÐ Ø Ú ÓÖ ¾» ¾¾
ÝØ Ö Ð Ö Ø ÓÒ ØÓÓÐ ÓÖ ÝÒ Ñ ØÖ ÑÙÐ Ø ÓÒ ÙÒÒ Ö Ð ØØ Ö ½ Ë ÔØ Ñ Ö ½¼ ¾¼¼ ½ Ñ ÒÝ Ø Ò ØÓ Ù Ò ÓÖ ÐÔ Ò Û Ø Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ ½» ¾¾ ÝØ Ð Ö Ø ÓÒ Ó ÝÒ Ñ ØÖ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ñ Ò Ð Ö Ø ÓÒ ÖÓÑ ØÖ ÓÙÒØ Ð Ð Ô Ö Ô Ø Ú Ø Ñ Ø ÓÒ
½ Ê Ú Û Ó ÆÒ ÕÙÓØ ÒØ ¾ ÇÖØ Ó ÓÒ Ð ÒÚ Ö ÒØ ÓÙ Ð Ö Ø ÓÒ Ý ÕÙÓØ ÒØ Ñ Ô ÇÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ü ÑÔÐ Ó ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ü ÑÔÐ Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ü ÑÔÐ ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ñ Ô ÇÔ Ò
ÆÒ ÕÙÓØ ÒØ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ó ÓÖ Ø ÃÝÓ Æ Ý Ñ Ö Ù Ø Ë ÓÓÐ Ó Ë Ò ÃÝÓØÓ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò ÓÒ Ê ÒØ Ú Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ë ÔØ Ñ Ö ¾ ß ¼ ¾¼¼ µ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ÃÍ ÈÓ Ø Ö Ù Ø ÒØ Ö Ð ÙÑ Ã ÖÒ
LCNS, Vol 1767, pp , Springer 2003
Ø Ö Ü Ø ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Å Ü¾Ë Ø Â Ò Ö ÑÑ ÊÓÐ Æ ÖÑ Ö Ï Ð ÐÑ¹Ë Ö ¹ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò Ë Ò ½ ¹ ¾¼ ÌĐÙ Ò Ò º Ê Ôº Ó ÖÑ ÒÝ Ö ÑÑ Ò ÖÑÖ Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ ¹ØÙ Ò Òº ØÖ Øº Ú Ò ÓÓÐ Ò ¾ Æ ÓÖÑÙÐ Ø Å Ü¾Ë