x 2 x 1 f 1 Objective space Decision space

Size: px

Start display at page:

Download "x 2 x 1 f 1 Objective space Decision space"

Darleen Lewis
5 years ago
Views:

1 Ò ÐÝÞ Ò Ø Ø Ó Ç Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ë Ø Ó ÅÆÃ¹Ä Ò Ô Ë Ø Ò Î Ö Ð ÖÒ Ù Ä ÓÓ Ä Ø Ø ÂÓÙÖ Ò Ð Ö Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Æ ËÓÔ ÒØ ÔÓÐ ÆÊË Ö Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ä ÐÐ ½ ÄÁ Ä ÆÊË Ö Ò ÁÆÊÁ Ä ÐÐ ¹ÆÓÖ ÙÖÓÔ Ö Ò Ø ÒºÚ Ö Ð ÒÖ º Ö ÊÓÑ Â ÒÙ ÖÝ ½ ¾¼½½ ½»¾¾

2 ÅÙÐØ Ó Ø Ú ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÅÙÐØ Ó Ø Ú ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÅÓ Çµ ÔÖÓ Ð Ñ X ÒÙÑ Ö Ð Ø Ó Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ô Å ¾ Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ ( ½, ¾,..., Å ) Z = (X) ÁÊ Å Ø Ó Ð ÓÙØÓÑ Ú ØÓÖ Ò Ø Ó Ø Ú Ô x f Decision space x 1 Objective space f 1 ¾»¾¾

3 ÅÙÐØ Ó Ø Ú ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ È Ö ØÓ ÓÑ Ò Ò ØÛ Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒµ ÓÐÙØ ÓÒ Ü X ÓÑ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ü X {½, ¾,..., Å} (Ü ) (Ü) {½, ¾,..., Å} Ù Ø Ø (Ü ) < (Ü) x f dominated nondominated vector nondominated solution vector Decision space x 1 Objective space f 1»¾¾

4 ÒØ Ø ÓÖ ÒÓÒ¹ ÓÑ Ò Ø Ø ÓÖ È Ö ØÓ ÓÔØ Ñ Ð Øµ x f Pareto front efficient solution Efficient set Decision space x 1 Objective space f 1»¾¾

5 Å Ò ÙÐØ Ò ÅÓ Ç Ï Ý ÒØ Ý Ò Ø ÒØ Ø ÙÐØ Ö ÓØØ ¾¼¼ ÁÒØÖ Ø Ð ØÝ ÒÙÑ Ö Ó ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ÒÓÒ¹ ÓÑ Ò Ø Ú ØÓÖ µ ØÝÔ ÐÐÝ ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Þ ÆÈ¹ÓÑÔÐ Ø Ò ÓÐÙØ ÓÒ ÒØ ÆÈ¹ÓÑÔÐ Ø ÓÖ ÑÓ Ø ÅÓ Ç ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ò ÒÓ Ò Ð ¹Ó Ø Ú ÓÙÒØ ÖÔ ÖØ ÆÈ¹ Ö µ Á ÒØ Ý ÓÓ ÒØ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ù Ø Ø µ ÐÓ ØÓ È Ö ØÓ ÖÓÒØ µ Û ÐÐ¹ ÔÖ ÐÓÒ Ø È Ö ØÓ ÖÓÒØ»¾¾

6 ÄÓ Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÛÓ Ñ Ò Ð Ë Ð Ö ÔÔÖÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ð Ö Þ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ ÓÒÐÝ Ð ØÓ Ò Ù Ø Ó ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ÙÔÔÓÖØ ÓÐÙØ ÓÒ µ È Ö ØÓ¹ ÔÔÖÓ Ö ØÐÝ ÓÖ Ò Ö ØÐÝ ÓÙ Ø Ö ÓÒ Ø È Ö ØÓ ÓÑ Ò Ò Ö Ð Ø ÓÒ f supported solution f No accept Accept Objective space f 1 Objective space f 1»¾¾

7 Ü ÑÔÐ Ó È Ö ØÓ¹ ÔÔÖÓ È Ö ØÓ ÄÓ Ð Ë Ö È ÕÙ Ø Ø Ðº ¾¼¼ Ö Ú Ó ÑÙØÙ ÐÐÝ ÒÓÒ¹ ÓÑ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÁØ Ö Ø Ú ÐÝ ÑÔÖÓÚ Ø Ö Ú Ý ÜÔÐÓÖ Ò Ø Ò ÓÖ ÓÓ f f Accept neighbor No Accept current archive current archive Objective space f f 1 f Objective space f 1 Accept current archive current archive Objective space f 1 Objective space f 1»¾¾

8 Ì Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÒØ Ø µ Ï Ø Ø Ö Ò Ð ØÝ Ó Ø ÒØ Ø Ò Û ÔÖ Ø Ò ØÓ ÒØ Ý ÓÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø Û ÓÐ Ø Ó ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÓÙÐ Û ÓÒ Ö Ñ Ò Ñ ØÓ ÓÙÒ Ø Þ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ø µ ÀÓÛ Ñ ÒÝ ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÙÔÔÓÖØ Á Ð Ö ÔÔÖÓ Ð ØÓ ÒØ Ý ÓÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÒÓÙ ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ µ Ö ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒÒ Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ò ÓÖ ÓÓ ØÖÙØÙÖ Á Ø ÔÓ Ð ØÓ ÒØ Ý ÓÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø ÓÒ Ð ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ý Ñ Ò Ó ÑÔÐ ÐÓ Ð Ö Ò Ø Ð Þ Û Ø Ù Ô ÖØ Ó Ø ÒØ Ø»¾¾

9 ÆÃ ØÒ Ð Ò Ô Ã Ù Ñ Ò (Ü) = ½ Æ Æ (Ü, Ü ½,..., Ü Ã ) =½ Æ Ð Ò Ø Ó Ø Ø ØÖ Ò ÔÖÓØ Ò Ð Ò Ø µ Ã Æ ½ ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ Ô Ø ÒÓÒ¹Ð Ò Ö ØÝµ Ü {¼, ½} { ½,..., Ã } {½,..., ½, + ½,..., Æ} : {¼, ½} Ã+½ [¼, ½] Ó Ò Ø Ö Ò ÓÑ Ü ½ Ü ¾ Ü ½ ¼¼½ ¼º ¼½¼ ¼º½ ¼½½ ¼º¾ Ü ½Ü ¾Ü ¾ ¼¼½ ¼º ¼½¼ ¼º ¼½½ ¼º¾ Ü ¾Ü Ü ¼¼¼ ¼º¾ ½¼½ ¼º ½½¼ ¼º½ ½½½ ¼º Ü ½Ü ¾Ü ¼¼¼ ¼º½ ¼¼½ ¼º¾ ¼½¼ ¼º ¼½½ ¼º¼»¾¾

10 ÅÙÐØ Ó Ø Ú ÆÃ ¹Ð Ò Ô Ù ÖÖ Ò Ì Ò ¾¼¼ Ñ [½, Å], ÆÃÑ (Ü) = ½ Æ Æ Ñ, (Ü, Ü Ñ,½,...,Ü Ñ,ÃÑ ) =½ Å Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ñ, Ó Ò Ø Ö Ò ÓÑ Ò Ô Ò ÐÝ Ü ½ Ü ¾ Ü ½,½ ¼¼½ ¼º ¼½¼ ¼º½ ¼½½ ¼º¾ Ü ½Ü ¾Ü ½,¾ ¼¼½ ¼º ¼½¼ ¼º ¼½½ ¼º¾ Ü ¾Ü Ü ½, ¼¼¼ ¼º¾ ½¼½ ¼º ½½¼ ¼º½ ½½½ ¼º Ü ½Ü ¾Ü ½, ¼¼¼ ¼º½ ¼¼½ ¼º¾ ¼½¼ ¼º ¼½½ ¼º¼ Ü ½ Ü ¾ Ü ¾,½ ¼¼¼ ¼º½ ¼¼½ ¼º¾ ¼½¼ ¼º ¼½½ ¼º Ü ½Ü ¾Ü ¾,¾ ¼¼¼ ¼º¾ ¼¼½ ¼º ¼½¼ ¼º ¼½½ ¼º¾ Ü ¾Ü Ü ¾, ½¼½ ¼º½ ½½¼ ¼º ½½½ ¼º Ü ½Ü ¾Ü ¾, ¼¼½ ¼º¾ ¼½¼ ¼º ¼½½ ¼º½ ½¼»¾¾

11 ÅÆÃ ¹Ð Ò Ô Û Ø ÓÖÖ Ð Ø Ó Ø Ú ρåæã µ Ñ [½, Å], ÆÃ (Ü) = ½ Æ Æ Ñ, (Ü, Ü ½,...,Ü Ã ) =½ ( ½, (Ü),..., Å, (Ü)) ÓÐÐÓÛ ÑÙÐØ Ú Ö Ø ÙÒ ÓÖÑ Ð Û Ó ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ρ Ü ½ Ü ¾ Ü ½,½ ¼¼½ ¼º ¼½¼ ¼º½ ¼½½ ¼º¾ Ü ½Ü ¾Ü ½,¾ ¼¼½ ¼º ¼½¼ ¼º ¼½½ ¼º¾ Ü ¾Ü Ü ½, ¼¼¼ ¼º¾ ½¼½ ¼º ½½¼ ¼º½ ½½½ ¼º Ü ½Ü ¾Ü ½, ¼¼¼ ¼º½ ¼¼½ ¼º¾ ¼½¼ ¼º ¼½½ ¼º¼ Ü ½ Ü ¾ Ü ¾,½ ¼¼½ ¼º ¼½¼ ¼º¾ ¼½½ ¼º Ü ½Ü ¾Ü ¾,¾ ¼¼½ ¼º ¼½¼ ¼º½ ¼½½ ¼º¾ Ü ¾Ü Ü ¾, ½¼½ ¼º ½½¼ ¼º¾ ½½½ ¼º Ü ½Ü ¾Ü ¾, ¼¼½ ¼º ¼½¼ ¼º ¼½½ ¼º½ ½½»¾¾

12 ρåæã ¹Ð Ò Ô Ò Ñ Ö ÓÙÖ Ô Ö Ñ Ø Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Å Ø Ø¹ ØÖ Ò Ð Ò Ø Æ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô Ø Ø Ð Ò Ã ÒÓÒ¹Ð Ò Ö ØÝµ Ø Ó Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ÒØ ρ Ù Ø Ø ρ ½ Å ½ Avg objective correlation K= K=4 K=6 K=8 K=10 Avg objective correlation K= K=4 K=6 K=8 K= ρ ρ Å = ¾ Å = Ò ÐÝØ Ð Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÓ ρ ØÙÒ Ü ØÐÝ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ÐÐ Ô Ö Ó Ó Ø Ú ½¾»¾¾

13 Ì Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÒØ Ø µ Ï Ø Ø Ö Ò Ð ØÝ Ó Ø ÒØ Ø µ ÀÓÛ Ñ ÒÝ ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÙÔÔÓÖØ µ Ö ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒÒ Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ò ÓÖ ÓÓ ØÖÙØÙÖ ÓÖ Ò ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Å Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô Ø Ø Ð Ò Ã ÒÓÒ¹Ð Ò Ö ØÝµ Ø Ó Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ÒØ ρ Ù Ø Ø ρ Æ = ½ ØÓ ÒÙÑ Ö Ø Ø Û ÓÐ Ö Ô ½ Å ½ ½»¾¾

14 Ö Ò Ð ØÝ Ó Ø ÒØ Ø Å = ¾ X E / X ρ = ¼.¾ X E / X e-05 K= K=4 K=6 K=8 K=10 1e ρ e-05 M= M=3 M= K Ç º ÓÖÖº ρ Ö Û Ò Ó º ÓÑ ÓÖÖ Ð Ø ÆÓÒ¹Ð Ò Ö ØÝ Ã Ñ ÐÐ Ò Ù Ò Æ Ó Ó º Å ÒÖ Û Ò ÒÙÑ Ö ÒÖ ½»¾¾

15 ÈÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ó ÙÔÔÓÖØ ÓÐÙØ ÓÒ ÑÓÒ Ø ÒØ Ø 1 Å = ¾ X SE / X E ρ = ¼.¾ X SE / X E K= K=4 K=6 K=8 K= ρ Ç º ÓÖÖº ρ ÒÖ Û Ò Ó º ÓÑ ÓÖÖ Ð Ø ÆÓÒ¹Ð Ò Ö ØÝ Ã Ñ ÐÐ Ò Ù Ò Æ Ó Ó º Å Ö Û Ò ÒÙÑ Ö ÒÖ 0.01 M= M=3 M= K ½»¾¾

16 ρmnk -lands apes Multiobje tive Comb. Opt. E ient Set Con lusion Objective 0.8 Objective Objective Short summary on the impa t of obje tive orrelation Objective Objective Objective Con i ting obje tives ρ = 0.9 Independent obje tives ρ = 0.0 Correlated obje tives ρ = 0.9 Large e ient set Few supported sol. [Aguirre and Tanaka, 007 Small e ient set All supported sol. 16/

17 ÓÒÒ Ø Ò ÒØ Ö Ô Ö ÓØØ Ò ÃÐ ÑÖÓØ ½ = (Î, ) Û Ö Î ÓÒ Ø Ó ÐÐ ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÒÒ Ø ØÛÓ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ý Ö Ò ÓÖ ÒØ Ø ÓÒÒ Ø ÓÒÒ Ø x f a eto f ont Efficient graph efficient set Decision space x 1 Objective space f 1 ½»¾¾

18 ÓÒÒ Ø Ò ÒØ Ö Ô Ö ÓØØ Ò ÃÐ ÑÖÓØ ½ = (Î, ) Û Ö Î ÓÒ Ø Ó ÐÐ ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÒÒ Ø ØÛÓ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ý Ö Ò ÓÖ ÒØ Ø ÓÒÒ Ø ÓÒÒ Ø x f a eto f ont Efficient graph efficient set Decision space x 1 Objective space f 1 ½»¾¾

19 Å = ¾ Ú Ö Ö Ø Ó Ó Ø Ð Ö Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ ρ = ¼.¾ Average ratio of larger component size Average ratio of larger component size K= K=4 K=6 K=8 K= ρ M= M=3 M= K Ç º ÓÖÖº ρ ÒÖ Û Ò Ó º ÓÑ ÓÖÖ Ð Ø ÆÓÒ¹Ð Ò Ö ØÝ Ã Ö Û Ø ÒÓÒ¹Ð Ò Ö ØÝ Æ Ó Ó º Å Ö Û Ò ρ < ¼ ÒÖ Û Ò ρ ¼ ½»¾¾

20 Å = ¾ À ÑÑ Ò Ø Ò ØÓ ÓÒÒ Ø ÐÐ Ø ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ρ = ¼.¾ Average minimal k for k-connectedness Average minimal k for k-connectedness K= K=4 K=6 K=8 K= ρ 8 M= M=3 7 M= K Ç º ÓÖÖº ρ ÒÖ Ø Ò Ö ÆÓÒ¹Ð Ò Ö ØÝ Ã ÒÖ Û Ø ÒÓÒ¹Ð Ò Ö ØÝ Æ Ó Ó º Å ÒÖ Û Ò ρ < ¼ Ö Û Ò ρ ¼ ½»¾¾

21 ËÙÑÑ ÖÝ Ó Ö ÙÐØ Ò Ù Ð Ò ÓÖ ÐÓ Ð Ö Ò Ä Ò Ô ØÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÔ ÖØ ËÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Æ Ã Å ρ Ò Ó ÐÓ Ð Ö Ö Ò Ð ØÝ Ó Ø È Ö ØÓ ÓÔØ Ñ Ð Ø ÈÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ó ÙÔÔÓÖØ ÓÐÙØ ÓÒ + Ð Ñ Ø ¹ Þ Ö Ú ÙÒ ÓÙÒ Ö Ú + Ð Ö ÔÔÖÓ È Ö ØÓ ÔÔÖÓ ÓÒÒ Ø Ò Ó Ø È Ö ØÓ ÓÔØ Ñ Ð Ø ρ ¼ ρ < ¼ + ØÛÓ¹Ô ÔÔÖÓ ÙÒ ¾¼»¾¾

22 ÓÒÐÙ ÓÒ Ò ÙØÙÖ ÛÓÖ ÓÒÐÙ ÓÒ Ò Ö Ð Ñ Ø Ó ØÓ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ø Ú ρåæã ¹Ð Ò Ô µ ËØÙ Ý Ó Ø Ó¹ Ò Ù Ò Ó Ó Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ô Ñ Ò ÓÒ Ò ÒÓÒ¹Ð Ò Ö ØÝ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ö Ò Ð ØÝ ÒÙÑ Ö Ó ÙÔÔÓÖØ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒÒ Ø Ò µ Ù Ð Ò ÓÖ Ø Ò Ó ÐÓ Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÙØÙÖ ÛÓÖ ÁÑÔ Ø Ó È Ö ØÓ ÐÓ Ð ÓÔØ Ñ ÓÒ Ñ Ø ÙÖ Ø ËØÙ Ý Ð Ö Þ Ò Ø Ò ÚÓÓÔµ ËØÙ Ý Ø Ó Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÓØ Ö Ò Ñ Ö Ë Ø¹ ÑÙÐØ Ó Ø Ú ØÒ Ð Ò Ô ¾½»¾¾

23 Ð Ó Ö Ô Ý Ù ÖÖ Àº º Ò Ì Ò Ãº ¾¼¼ µº ÏÓÖ Ò ÔÖ Ò ÔÐ Ú ÓÖ Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó ÅÇ ÓÒ ÅÆÃ¹Ð Ò Ô º ÙÖÓÔ Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ê Ö ½ ½ µ ½ ¼ ½ ¼º Ö ÓØØ Åº ¾¼¼ µº ÅÙÐØ Ö Ø Ö ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒº ËÔÖ Ò Ö ÓÒ Ø ÓÒº Ö ÓØØ Åº Ò ÃÐ ÑÖÓØ Ãº ½ µº ÓÒÒ Ø Ò Ó ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ø Ö ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒº ÙÖÓÔ Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ê Ö ½µ ½ ½ º È ÕÙ Ø Äº Ö Ò Ò Åº Ò ËØ ØÞÐ Ìº ¾¼¼ µº È Ö ØÓ ÐÓ Ð ÓÔØ ÑÙÑ Ø Ò Ø Ó Ø Ú ØÖ Ú Ð Ò Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ØÙ Ýº ÁÒ Å Ø ÙÖ Ø ÓÖ ÅÙÐØ Ó Ø Ú ÇÔØ Ñ Ø ÓÒ ÚÓÐÙÑ Ó Ä ØÙÖ ÆÓØ Ò ÓÒÓÑ Ò Å Ø Ñ Ø Ð ËÝ Ø Ñ ÔØ Ö Ô ½ ½ º ËÔÖ Ò Öº ¾¾»¾¾

edges added to S contracted edges

edges added to S contracted edges Ì Å Ü ÑÙÑ ÝÐ ËÙ Ö Ô ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö ¹ Ö Ô Ð ÒØ Æ ÛÑ Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÅÁÌ Ñ Ö Å ¼¾½ ¹Ñ Ð Ð ÒØ Ø ÓÖÝºÐ ºÑ Øº Ù Ï ØÙ Ý Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÝÐ Ù Ö Ô Ó Ú Ò Ö Ø Ö Ô Ò Û Ø Ñ Ü ÑÙÑ ØÓØ Ð Ö Ò ÔÐÙ ÓÙØµ