Ë Ø Ó ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÙÖ Û Û ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÒÙÑ Ö º ÁÒ ÓÑÔÙØ Ö Ò Û Ö ÓÒ ÖÒ Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÛ Ó Û Ú Ù Ø Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð Ì Û Ý ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ
|
|
|
- Annis Lang
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 Ð ØÝ ÄÓ Ò ÆÙÑ Ö Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ñ Ð ÖÐ Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÍÒ Ú Ö Ø Ä ÆÌ ¾¼½ ¹ Å Ö ÐÐ ÆÓÚ Ñ Ö ¾ ¹ Ñ Ö ¾
2 Ë Ø Ó ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÙÖ Û Û ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÒÙÑ Ö º ÁÒ ÓÑÔÙØ Ö Ò Û Ö ÓÒ ÖÒ Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÛ Ó Û Ú Ù Ø Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð Ì Û Ý ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÑ ÒØÓ ÔРݺ Ì ÓÒ Ö Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÒÙÑ Ö Ö ØÖ Ò Ð Ø ÒØÓ ÝÒØ Ø Ð ÓÖ ÓÑ Ò ØÓÖ Ðµ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ º
3 Ë ÑÔÐ Ø Ó ÒÙÑ Ö Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ó Ò ØÙÖ Ð ÑÔÐ ½ = {Ò ¾ : Ò N} ¾ = {Ò N: Ò ÔÖ Ñ } = {Ò N: Ò Ú Ò} = {¾ Ò : Ò N} = {Ò N: Ñ N, Ò ¾ + Ò+½ = Ñ} = {Ò N: Ñ N, Ò ¾ + Ò+½ = Ñ ¾ } ÆÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÒÙÑ Ö Ö Ô Ò ÒØ Ó Ø ÓÖ Ø Ó Ò ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñº
4 ÓÑ Ò ØÓÖ ÓÒ ÛÓÖ ÆÙÑ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ý ÛÓÖ º Í Ù ÐÐÝ ÒØ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ý Ò Ø ÛÓÖ Û Ð Ö Ð ÒÙÑ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ý Ò Ò Ø ÛÓÖ º Ì ÒÓØ ØÖÙ ÒÝÑÓÖ Û Ò Û ÓÒ Ö ÒÓÒ¹ Ø Ò Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ º º º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ò Ò Ø ÛÓÖ Ñ Ý Ð Ó Ö ÔÖ ÒØ Ø Ó ÒÙÑ Ö Ø Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ò Ó N Ò ÖÝ Ò Ò Ø ÛÓÖ º Ì ÒÓØ ÓÒ Ò ÜØ Ò ØÓ Ù Ø Ó N º
5 Ê Ó Ò Þ Ð Ø Ó ÒØ Ö Ù Ø Ó N Ö Ó Ò Þ Ð ÛºÖºØº ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø Ð Ò Ù {Ö Ô(Ò): Ò } ÔØ Ý Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒº ÅÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ø Ó N Ö Ó Ò Þ Ð ÛºÖºØº ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø Ð Ò Ù {(Ö Ô(Ò ½ ),..., Ö Ô(Ò )): (Ò ½,...,Ò ) } # (( {#}) ), Û Ö Ø Ô Ò ÝÑ ÓÐ # ÒÓØ ÓÒØ Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ ÐÔ Ø ÔØ Ý Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒº
6 ÈÖÓ ÙØ Ó Ö ÑÓÒÓ Á ½,..., Ö Ò Ø ÐÔ Ø Ø Ò ÓÖ ÐÐ Ö Ö ÑÓÒÓ º ÓÖ ¾ ½ ÑÓÒÓ ÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØÛ ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒµ Û ÒÓØ Ö ÓÖ = ¾, ÓÒ ( ½, ¾ ) = ( ½,ε)(ε, ¾ ). ( ½ ) Ö ÑÓÒÓ Ð ØØ Ö Ö Ð Ñ ÒØ Ó ½ º ( ½ ) Ù ÑÓÒÓ Ó ½ º
7 N Ö ÑÓÒÓ º N ÑÓÒÓ Û ÒÓØ Ö º ÉÙ Ø ÓÒ ÀÓÛ ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ù Ø Ó N Á N Ø Ò {(Ö Ô(Ò ½ ),..., Ö Ô(Ò )): (Ò ½,...,Ò ) } ÒÓØ Ð Ò Ù º Ü ÑÔÐ µ ½¼½ ½¼¼½ ½ # = # ½ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½ # # # ½ = # ½ # ½ ¼ # ¼ ¼ # Ô Ò Ò ÓÒ Ø ÓÒØ ÜØ Û Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÛÓÖ Ö ÒØÐݺ ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ò Ø ÛÓÖ Ø Ò ÖÝ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ ÔÐ Ø ½µº ÁÒ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø ½µº ½ ½ ½
8 Ö Ò Ó ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÁÒØ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ä Ø ¾ Ò ÒØ Öº Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø Ò Ø ÛÓÖ Ö Ô (Ò) = l ½ ¼ ÓÚ Ö Ø ÐÔ Ø = {¼, ½,..., ½} Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Ò = l. =¼ Ì Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÐÝ ÑÔÓ ØÓ Ú ÒÓÒÞ ÖÓ Ð Ò Ø l Ò Ø Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ L = {½,..., ½}{¼,, ½} {ε}. ÁÒ Ø Û Ø Ð ÓÙØ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó N º
9 ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò Ø ÓÒ Ó ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ì Ö Ü Ø Ú Ö Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ø ÓÒ Ó ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó ÒØ Ö Ù Ò ÐÓ ÙÒ ÓÖÑ ÑÓÖÔ Ñ Ò Ø Ò Ó Ø ¹ ÖÒ Ð Ð Ö ÓÖÑ Ð Ö Ö Ó Ò Þ Ð»Ö Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ Ð Ö Ë Ø ÙÖÚ Ý Ó ÖÙÝ Ö ¹À Ò Ð¹Å ÙܹΠÐÐ Ñ Ö º
10 ÍÒ ÖÝ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ö Ô ½ (Ò) = Ò Û Ö ÒÝ Ð ØØ Öº Ì Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ L ½ = º ÁÒ Ø Û Ø Ð ÓÙØ ½¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó N º ÁÒ Ñ Ò ÓÒ ½ Ø Ý ÓÖÖ ÔÓÒ Ü ØÐÝ ØÓ ÙÐØ Ñ Ø ÐÝ Ô Ö Ó Ø Ý ØÓ µº ÁÒ Ø ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø ØÓ ÔØÙÖ Ø Ò Ó ½¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø º
11 ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ä Ø = ( ) ¼ = (½, ¾,,,,...) Ø ÕÙ Ò Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø ÖÙÐ ¼ = ½, ½ = ¾ Ò +¾ = +½ + ÓÖ ¼. Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø Ò Ø ÛÓÖ Ö Ô (Ò) = l ½ ¼ ÓÚ Ö Ø ÐÔ Ø = {¼, ½} Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ l Ò =. =¼ Ì Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ ÑÔÓ Ò Ø ÓÒ ØÓ Ú Ò ÒÓÒÞ ÖÓ Ð Ò Ø l Ø Ø Ø Ú Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ØÛÓ ÓÒ ÙØ Ú Ø ½º Ì Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ L = ½{¼, ¼½} {ε}.
12 ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ä Ø Í = (Í ) ¼ = (½, ¾,,,,...) ÕÙ Ò Ø Ø Ò ÒÖ Ò ÕÙ Ò Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ø Ý Ò Í +½ Í ¼ = ½ Ò Í = ÙÔ ¼ Í < +. Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø Ò Ø ÛÓÖ Ö Ô Í (Ò) = l ½ ¼ ÓÚ Ö Ø ÐÔ Ø Í = {¼, ½,..., Í ½} Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Ò = l Í. =¼ ÁÒ Ø Û Ø Ð ÓÙØ Í¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó ÒØ Ö º
13 Ì Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÒÓØ Ý L Í = {Ö Ô Í (Ò): Ò N}. Ç ÓÙÖ Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ù L Í ÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø ÕÙ Ò Íº Ú Ò Ù Ý Ø Ñ Í ÓØ Ö Ó Ó Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÙÐ Ñ Ð ÞÝ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ú Ò ÓÒ Ö Ò ÐÐ ÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ú Ò ÒØ Öº
14 È ÖØ ½ Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ Ò Ò ÙØÓÑ Ø
15 ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó ÒØ Ö Ü Ò ÒØ Ö ¾º Ï Ð Ø Ö Ô (Ò ½,..., Ò ) = (Ö Ô (Ò ½ ),..., Ö Ô (Ò )) # º Ø N ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ð Ò Ù Ö ÙÐ Öº Ö Ô ( ) = {Ö Ô (Ò ½,...,Ò ): (Ò ½,..., Ò ) } ÓÖ = ½ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ý Ø Ø Ø Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ò χ {¼, ½} N ¹ ÙØÓÑ Ø Ø Ö Ü Ø Ç Ø Ø ÓÒ ÒÔÙØ Ö Ô (Ò) ÓÙÔÙØ ½ Ò Ò ÓÙØÔÙØ ¼ ÓØ ÖÛ º
16 Ü ÑÔÐ Ì Ç ¼, ½ ¼ ¼ ½ ½ Ò Ö Ø Ø ÕÙ Ò ¼½½¼½¼½½½ Û Ò Ö Ò ¾¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÒØ Ö Û ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ù Ø Ó ÒØ Ö {½, ¾,,,,,...}.
17 Ó Ñ¹Ë Ñ ÒÓÚ Ø ÓÖ Ñ Ë Ñ ¹Ð Ò Ö Ø Ó N Ö Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø Ó Ø ÓÖÑ Û Ö Ô ¼, Ô ½,..., Ô l N º Ô ¼ + Ô ½ N+ +Ô l N Ì ÓÖ Ñ Ó Ñ ½ Ë Ñ ÒÓÚ ½ µ Ä Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ º Á Ù Ø Ó N ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ò Ø Ñ ¹Ð Ò Öº
18 Ì ÓÖ Ñ Ó Ñ ½ Ë Ñ ÒÓÚ ½ µ Ä Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ º Á Ù Ø Ó N ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ò Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Ð Ò Ö Ø Ö ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Û Ó Ø Ò Ø Ø Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Ø Ñ ¹Ð Ò Öº
19 Ì ÓÖ Ñ Ó Ñ ½ Ë Ñ ÒÓÚ ½ µ Ä Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ º Á Ù Ø Ó N ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ò Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Ð Ò Ö Ø Ö ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Û Ó Ø Ò Ø Ø Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Æ Ï Ò³Ø Ö ÔÐ ¾ Ý ½
20 Ì ÓÖ Ñ Ó Ñ ½ Ë Ñ ÒÓÚ ½ µ Ä Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ º Á Ù Ø Ó N ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ò Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Ð Ò Ö Ø Ö ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Û Ó Ø Ò Ø Ø Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Æ Ï Ò³Ø Ö ÔÐ ¾ Ý ½
21 Ì ÓÖ Ñ Ó Ñ ½ Ë Ñ ÒÓÚ ½ µ Ä Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ º Á Ù Ø Ó N ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ò Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Ð Ò Ö Ø Ö ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Û Ó Ø Ò Ø Ø Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Æ Ï Ò³Ø Ö ÔÐ ¾ Ý ½ Ì Ð Ò Ö Ø = {(Ò, ¾Ò): Ò N} = (½, ¾)N ÒÓØ ½¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò Ø Ð Ò Ù Ö Ô ½ ( ) = {(# Ò Ò, ¾Ò ): Ò N} = {(#, ) Ò (, ) Ò : Ò N} ÒÓØ Ö ÙÐ Ö ÔÔÐÝ Ø ÔÙÑÔ Ò Ð ÑÑ µº
22 Ö Ø Ö Þ Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Û Ø ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½ ¼ ÖÙÝ Ö ½ µ Ä Ø ¾ Ò ÒØ Öº Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø ¹ Ò Ð º
23 Ò Ð Ø Ä Ø S ÐÓ Ð ØÖÙØÙÖ Û Ó ÓÑ Ò Ò Ð Ø Ò ½º Ø Ò Ò Ð Ò S Ø Ö Ü Ø Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ϕ(ü ½,...,Ü Ò ) Ó S Ó Ø Ø ÓÖ ÐÐ ( ½,..., Ò ) Ò ϕ( ½,..., Ò ) ØÖÙ ( ½,..., Ò ) = {( ½,..., Ò ) Ò : S ϕ( ½,..., Ò )}. Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ò Ö ÙÖ Ú ÐÝ ÖÓÑ Ú Ö Ð Ü ½, Ü ¾, Ü,... Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ó Ø ÓÑ Ò Ø ÕÙ Ð ØÝ = Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÙÒØ ÓÒ Ú Ò Ò Ø ØÖÙØÙÖ S Ø ÓÒÒ Ø Ú,, =,, Ø ÕÙ ÒØ Ö, ÓÒ Ú Ö Ð º
24 ÈÖ ÙÖ Ö Ö Ø Ñ Ø N,+ Ü Ý Ò Ð Ý ( Þ) (Ü + Þ = Ý)º ÆÓØ ØÖÙ Ò Z,+ º Ü = Ý Ò Ð Ý Ü Ý Ý Üº ÆÓØ ØÖÙ Ò Z,+ º Ü = ¼ Ò Ð Ý Ü + Ü = ܺ ÇÃ Ò Z,+ º Ü = ½ Ò Ð Ý ( Ý) (Ý = ¼ Ü Ý)º ÆÓØ ØÖÙ Ò Z,+ º ÁÒ ÙØ Ú ÐÝ Ü = Ò Ð ÓÖ Ú ÖÝ Nº Ì Ø N+ Ö Ò Ð N+ = {Ü: ( Ý) (Ü = Ý + )} Û Ö Ý Ø Ò ÓÖ Ý + Ý + Ý Ø Ñ µº ÁÒ Ø Ù Ø N Ò Ð Ò N,+ Ø Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ö Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ö ÓÒ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ÙÐØ Ñ Ø ÐÝ Ô Ö Ó º Ù Ø N Ò Ð Ò N,+ Ø Ñ ¹Ð Ò Öº
25 ¹ Ò Ð Ø Ø N ¹ Ò Ð Ø Ò Ð Ò Ø ØÖÙØÙÖ N,+, Î Û Ö +(Ü, Ý, Þ) Ø Ø ÖÒ ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ý Ü + Ý = Þ Î (Ü) Ø ÙÒ ÖÝ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ð Ö Ø ÔÓÛ Ö Ó Ú Ò Ü Ü ½ Ò Î (¼) = ½º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ø = {Ü N: Ü ÔÓÛ Ö Ó } Ò Ð Ý Î (Ü) = ܺ ÁØ Ò ÓÛÒ Ø Ø Ø ØÖÙØÙÖ N,+, Î Ò N,+, È Ö ÒÓØ ÕÙ Ú Ð ÒØ Û Ö È (Ü) ½ Ü ÔÓÛ Ö Ó Ò ¼ ÓØ ÖÛ º
26 ¹ ÖÙÝ Ö ³ Ø ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ ½ ¼ ÖÙÝ Ö ½ µ Ä Ø ¾ Ò ÒØ Öº Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø ¹ Ò Ð º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓØ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ú º Ë Ø Ó Ø ÔÖÓÓ º ÖÓÑ Ò ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò Ö Ô ( ) ÓÒ ØÖÙØ Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ϕ Ó Ø ØÖÙØÙÖ N,+, Î Ò Ò Ø Ø Ù Ø Ø ϕ(ü ½,...,Ü ) ØÖÙ (Ü ½,..., Ü ) º ÓÒÚ Ö ÐÝ Ú Ò Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ϕ Ó Ø ØÖÙØÙÖ N,+, Î Ò Ò Ù Ð Ò ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò Ø Ð Ò Ù Ö Ô ( )º
27 ¹ ÖÙÝ Ö ³ Ø ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ ½ ¼ ÖÙÝ Ö ½ µ Ä Ø ¾ Ò ÒØ Öº Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø ¹ Ò Ð º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓØ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ú º Ë Ø Ó Ø ÔÖÓÓ º ÖÓÑ Ò ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò Ö Ô ( ) ÓÒ ØÖÙØ Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ϕ Ó Ø ØÖÙØÙÖ N,+, Î Ò Ò Ø Ø Ù Ø Ø ϕ(ü ½,...,Ü ) ØÖÙ (Ü ½,..., Ü ) º ÓÒÚ Ö ÐÝ Ú Ò Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ϕ Ó Ø ØÖÙØÙÖ N,+, Î Ò Ò Ù Ð Ò ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò Ø Ð Ò Ù Ö Ô ( )º ÈÖÓÓ Ó Ø ÓÒ Ô ÖØ ÓÒ Ø Ó Ö ººº
28 ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ Ó N,+, Î Ð Ï Ú ØÓ ÓÛ Ø Ø Ú Ò ÒÝ ÐÓ Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ó N,+, Î Û Ò Û Ø Ö Ø ØÖÙ ÓÖ Ð Ò Nº Ë Ò Ø Ö ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø ØÖÙØÙÖ ÐÓ ÓÖÑÙÐ Ó N,+, Î Ò Ö ÐÝ Ó Ø ÓÖÑ Üϕ(Ü) ÓÖ Üϕ(Ü)º Ì Ø ϕ = {Ü N: N,+, Î ϕ(ü)} ¹ Ò Ð Ó Ø ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ý ¹ ÖÙÝ Ö ³ Ø ÓÖ Ñº Ì Ñ Ò Ø Ø Û Ò Ø Ú ÐÝ ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò Ö Ô ( ϕ )º
29 Ì ÐÓ ÓÖÑÙÐ Üϕ(Ü) ØÖÙ Ö Ô ( ϕ ) ÒÓÒ ÑÔØÝ Ò Ð ÓØ ÖÛ º Ø ÑÔØ Ò Ó Ø Ð Ò Ù ÔØ Ý Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ð Û Ò Üϕ(Ü) ØÖÙ º Ì Üϕ(Ü) Ö Ù ØÓ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÒ Ò Üϕ(Ü) ÐÓ ÐÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ü ϕ(ü)º Ï Ò Ò ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò Ø ¹ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ϕ = {Ü N: N,+, Î ϕ(ü)}. Ì Ð Ò Ù Ø ÔØ ÑÔØÝ Ø ÓÖÑÙÐ Üϕ(Ü) ØÖÙ º
30 ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ð ØÝ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ Á Û Ò ÜÔÖ ÔÖÓÔ ÖØÝ È(Ò) Ó Ò ÒØ Ö Ò Ù Ò ÕÙ ÒØ Ö ÐÓ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ð Ñ ÒØ Ó ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ü Ø Ò ÒÈ(Ò), ÒÈ(Ò) Ò ÒÈ(Ò) Ö Ð º Ï Ù Ø Ú ØÓ ÓÒÚ Ò ÓÙÖ ÐÚ Ø Ø Ø Ó ÔÖÓÔ ÖØ È Ò ÐÐ ÜÔÖ Ý Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ó N,+, Î º
31 ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ø ÓÙØ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ü[ ] = Ü[ ] Á Ü ¹ ÙØÓÑ Ø Ø Ò ÓÖ ÐÐ Ð ØØ Ö ÓÙÖÖ Ò Ò Ü Ø Ù Ø Ü ½ ( ) Ó N Ö ¹Ö Ó Ò Þ Ð º À Ò Ø Ý Ö Ò Ð Ý ÓÑ Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ψ Ó N,+, Î Ý ¹ ÖÙÝ Ö Ø ÓÖ Ñµ ψ (Ò) ØÖÙ Ü[Ò] = º Ì Ö ÓÖ Û Ò ÜÔÖ Ü[ ] = Ü[ ] Ý Ø Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ϕ(, ) Ó N,+, Î ϕ(, ) (ψ ( ) ψ ( )).
32 ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ø ÓÙØ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ü[ ] = Ü[ ] ÁÒ ÔÖ Ø Ú Ò Ç Å ÓÑÔÙØ Ò Ü Û Ò Ö ØÐÝ ÓÑÔÙØ Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ö Ó Ò Þ Ò Ø Ô Ö (, ) N ¾ Ù Ø Ø Ü[ ] = Ü[ ]º Ï ÑÔÐÝ Ó Ø ÔÖÓ ÙØ Ó ÙØÓÑ Ø Å Å ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ö Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Û ÔØ Ø ÓÙØÔÙØ Ó Å Ø Ö Ö Ò Ö Ô ( ) Ò Ö Ô ( ) Ö Ø Ñ Ò Ö Ø ÓØ ÖÛ º
33 ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ú Ò Ò ÓÚ ÖÐ Ôº ÕÙ Ò Ü = Ü[¼]Ü[½]... Ò ÓÚ ÖÐ Ô ÒÒ Ò Ø ÔÓ Ø ÓÒ ( l ½) ( l) Ü[ + ] = Ü[ +l+ ]º ÆÓÛ ÙÔÔÓ Ø Ø Ü ¹ ÙØÓÑ Ø º Ú Ò Ç Å ½ Ò Ö Ø Ò Ü Û Ö Ø Ö Ø Ò Æ Å ¾ Ø Ø ÓÒ ÒÔÙØ (,l) ÔØ ( l) Ü[ + ] Ü[ + +l]º ÌÓ Ó Ø Å ¾ Ù Ø ¹ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø¹ ݹ Ø Ú Ö Ø Ø l ÓÑÔÙØ + Ò + +l ÓÒ Ø Ý Ò ÔØ Ü[ + ] Ü[ + +l]º
34 Ï ÒÓÛ ÓÒÚ ÖØ Å ¾ ØÓ Å Ù Ò Ø Ù Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò ÒÚ Ö Ø Ò Ð Ø ØÙ Ó Ø Ø Ó Ø Ò Ò Å Û ÔØ Ø Ó Ô Ö (,l) Ù Ø Ø ( l) Ü[ + ] = Ü[ + +l]º ÆÓÛ Û Ö Ø Ò Æ Å Ø Ø ÓÒ ÒÔÙØ Ù l ½ Ò ÔØ Å ÔØ (,l)º Û Ò Å ÔØ ÒÝØ Ò Û Ú Ó Ø Ò Ø Ø ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÁØ Ð ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ò ÓÚ ÖÐ Ôº
35 Å ÒÝ Ð ØÝ Ö ÙÐØ ÓÖ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò ÁØ Ð Û Ø Ö ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò ¹ÔÓÛ Ö ÓÖ Ü µº ÁØ Ð Û Ø Ö ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò ÙÐØ Ñ Ø ÐÝ Ô Ö Ó º Ú Ò ØÛÓ ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ü Ò Ý Ø Ð Û Ø Ö (Ü) (Ý)º º º º
36 Ï Ø ÓÙØ Ò Û Ø Ö ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò ÌÓ ÔÐ ØÞ Ë ÑÙ Ð È Ø Ø ³ Ð ØÙÖ µ Ì ÔÖ Ø Ò Ô ½ l Ü[Ò] = Ü[Ò +lô] ÒÓØ Ö Ø ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ò N,+, Î º Ï Ý Á Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ ¹ Ò Ð Ï Ø ÓÙØ Ø Û Ö Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ö ØÖ Ø ØÓ ÔÓÛ Ö Ó Ø
37 Ò Ø Ú Ö ÙÐØ Ý Ë Ö Á Ü Ò Ö ØÖ ÖÝ ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ø Ò Ø ÔÖ Ø Ü[, + ¾Ò ½] Ò Ð Ò ÕÙ Ö ÒÓØ ÜÔÖ Ð Ò Ø ÐÓ Ð Ø ÓÖÝ N,+, Î º
38 ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ù Ì Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ö Ø¹ÓÖ Ö ÜÔÖ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ú ÖÝ Ò Ø ÖÑ Ó ÓÑÔÐ Ü Øݺ ÁÒ Ø ÛÓÖ Ø Û Ú ØÓÛ Ö Ó ÜÔÓÒ ÒØ Ð ¾Ò ¾ ¾ Û Ö Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ø Ó Ø Ú Ò Ç Ò Ø Ø Ó Ø ØÓÛ Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐØ ÖÒ Ø Ò ÕÙ ÒØ Ö Ø Ö Ø¹ÓÖ Ö ÔÖ Ø º Ì ÔÖÓ ÙÖ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ó À Ò ÐÐ ÅÓÙ Ú Ò Ë ÐРغ ÁÒ ÔÖ Ø Ø Ý Û Ö Ð ØÓ ÖÙÒ Ø Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ö ÔÖÓÚ µ Ñ ÒÝ Ö ÙÐØ ÓÙØ ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ò ÔÙÖ ÐÝ Ñ Ò Ð Û Ýº
39 È ÖØ ¾ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ ÓÙÒØ Ò Ö Ø¹ÓÖ Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ó ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò ¹Ö ÙÐ Ö ÇÒ Ø Ð Ó Ö ººº
40 È ÖØ ÄÓ Ò ÓØ Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ
41 ÈÓ Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ä Ø Í = (Í ) ¼ = (½, ¾,,,,...) ÕÙ Ò Ø Ø Ò ÒÖ Ò ÕÙ Ò Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ø Ý Ò Í +½ Í ¼ = ½ Ò Í = ÙÔ ¼ Í < +. Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø Ò Ø ÛÓÖ Ö Ô Í (Ò) = l ½ ¼ ÓÚ Ö Ø ÐÔ Ø Í = {¼, ½,..., Í ½} Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Ò = l Í. =¼ Ì Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÒÓØ Ý L Í = {Ö Ô Í (Ò): Ò ¼}º ÁÒ Ø Û Ø Ð ÓÙØ Í¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó ÒØ Ö º
42 ÐÓ Ð Ö Ñ ÛÓÖ ÓÖ ÔÓ Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÌÛÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ Ò Ö Ð N ÒÓØ Í¹Ö Ó Ò Þ Ð º Ì Ø ÓÒ ÒÓØ Ö Ó Ò Þ Ý Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒº
43 È ÓØ Ý Ø Ñ È ÓØ ÒÙÑ Ö Ò Ð Ö ÒØ Ö > ½ Ù Ø Ø ÐÐ Ó Ø ÐÓ ÓÒ Ù Ø Ú ÓÐÙØ Ú ÐÙ < ½º ÏÓÖ Ò ÀÝÔÓØ Í Ø Ð Ò Ö Ö ÙÖÖ Ò Û Ó Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ò Ñ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó È ÓØ ÒÙÑ Öº ÓÖ Ù Ý Ø Ñ ÖÓÙ ÒÝ ÓÛ Ø Ø N Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ö Ó Ò Þ Ð Ý Ò Ø ÙØÓÑ Ø º
44 ÐÓ Ð Ö Ñ ÛÓÖ ÓÖ È ÓØ Ý Ø Ñ Í¹ Ò Ð Ø Ö Ù Ø Ó N Ø Ø Ö Ò Ð Ò Ø ÐÓ Ð ØÖÙØÙÖ N,+, Î Í Û Ö ÓÖ Ò ½ Î Í (Ò) ÒÓØ Ø Ñ ÐÐ Ø Í ÓÙÖÖ Ò Ò Ö Ô Í (Ò) Û Ø ÒÓÒÞ ÖÓ Ó ÒØ Ò Î Í (¼) = ½º Ì ÓÖ Ñ ÖÙÝ Ö ¹À Ò Ð ½ µ ÍÒ Ö ÏÀ Ø Í¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó ÒØ Ö Ó Ò Û Ø Ø Í¹ Ò Ð Ø Ó ÒØ Ö º
45 ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ Ó N,+, Î Í Ð Ì Ö ÙÐØ ÑÔÐ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Í¹ Ò Ð ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ Í¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò º Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ò ÔÖÓÚ Ò Ö ÔÖÓÚ ÓÖ Ú Ö Ýµ Ñ ÒÝ Ö ÙÐØ ÓÙØ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÛÓÖ = ¼½¼¼½¼½¼¼½¼¼½¼½¼¼½¼½¼¼½¼¼½¼½¼¼½¼ Û Ø Ü ÔÓ ÒØ Ó ¼ ¼½, ½ ¼µº ¼ ½ ¼ ¼ ½
46 ÓÒÖ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ÑÓÒ Ñ ÒÝ ÓØ Ö µ ÁÒ ÔÙÖ ÐÝ Ñ Ò Ð Û Ý ÅÓÙ Ú Ë Ö Ò Ë ÐÐ Ø ÓÛ ÒÓØ ÙÐØ Ñ Ø ÐÝ Ô Ö Ó º ÓÒØ Ò ÒÓ ÓÙÖØ ÔÓÛ Ö º Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ö Ù ÒØ ÕÙ Ö Ô Ð Ò ÖÓÑ ÒØ Ô Ð Ò ÖÓÑ Ó º Ñ ÖÖÓÖ¹ ÒÚ Ö Òغ ØÓÖ Ó Ð Ø Ô Ö Ó Ó ØÓÖ ÙÒ ÓÖ Ö ØÓÖ ÄÝÒ ÓÒ ØÓÖ Ô Ð ØÓÖ º º º Ð Ò ÖÐÝ Ö ÙÖÖ Òغ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ò º Ì Ð Ü Ó Ö Ô ÐÐÝ Ð Ø Ð Ñ ÒØ Ò S( ) ¼ º º º º
47 Ê ÔÖ ÒØ Ò Ö Ð ÒÙÑ Ö ÁÒ Ò Ö Ð Ö Ð ÒÙÑ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ý Ò Ò Ø ÛÓÖ º ÁÒ Ø ÓÒØ ÜØ Û ÓÒ Ö ÙØÓÑ Ø º Ò Ò Ò Ø ÛÓÖ ÔØ Û Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ô Ø Ó Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ø Ñ Ø ÖÓÙ Ò ÔØ Ò Ø Ø º Ï Ø Ð ÓÙØ ω¹ð Ò Ù Ò ω¹ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù º
48 Ê ÙÐ Ö Ð Ò Ù Ú ω¹ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù Ê ÙÐ Ö Ò ω¹ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù Ö ÓÑ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÔ ÖØ Ø Ý ÓØ Ö Ø Ð ÙÒ Ö ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÑÓÖÔ Ñ ÒÚ Ö Ñ ÙÒ Ö ÑÓÖÔ Ñº Æ Ú ÖØ Ð Ø Ý Ö Ý ÓÑ ÓØ Ö Ô Ø º ÇÒ Ó Ø Ñ Ø ÖÑ Ò Ñº
49 Ø ÖÑ Ò Ø ÙØÓÑ Ø ÓÖ Û Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÙØÓÑ Ø º ÙØ ÓÒ ØÓ Ö ÙÐ Ø Ñ ÐÝ Ó ω¹ð Ò Ù Ø Ø Ö ÔØ Ý Ø ÖÑ Ò Ø ÙØÓÑ Ø ØÖ ØÐÝ ÒÐÙ Ò Ø Ø Ó ω¹ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù º Ü ÑÔÐ ÆÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ø Ð Ò Ù ÔØ Ý,
50 β¹ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ä Ø β > ½ Ö Ð ÒÙÑ Ö Ò Ð Ø Z Ò ÐÔ Øº ÓÖ Ö Ð ÒÙÑ Ö Ü ÒÝ Ò Ò Ø ÛÓÖ Ù = Ù Ù ½ Ù ¼ Ù ½ Ù ¾ ÓÚ Ö { } Ù Ø Ø β¹ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Üº Ú Ð β (Ù) := ÁÒ Ò Ö Ð Ø ÒÓØ ÙÒ ÕÙ º < Ù β = Ü
51 Ü ÑÔÐ β = ½+ Ø ÓÐ Ò Ö Ø Óµ ¾ ÓÒ Ö Ü = ½ β ¾ º Û Ð Ó Ú Ü = β Ø ÛÓÖ Ù = ¼ ¼¼½½½½ Ò Ú = ¼ ¼½¼½¼½¼ Ö ÓØ β¹ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Üº
52 β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ Ü ¼ ÑÓÒ ÐÐ Ù β¹ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ü Û Ø Ò Ù Ø β¹ ÜÔ Ò ÓÒ β (Ü) = Ü Ü ½ Ü ¼ Ü ½ Ü ¾ Û Ø Ò Ò Ø ÛÓÖ ÓÚ Ö β = {¼,..., β ½} ÓÒØ Ò Ò Ü ØÐÝ ÓÒ ÝÑ ÓÐ Ò Ó Ø Ò Ý Ø Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñº Ê Ð Ò [¼, ½) Ú β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ ¼ Ù Û Ø Ù ω β º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö β (¼) = ¼ ¼ ω º
53 È ÖÖݳ Ö Ø Ö ÓÒ Ì ÓÖ Ñ È ÖÖÝ ½ ¼µ Ò Ò Ò Ø ÛÓÖ Ù Ù Ø Ø ¼ Ù ½ Ù ¾ Ø β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ò [¼, ½) ÓÖ ÐÐ ½ Ù Ù +½ < Ð Ü β (½)º À Ö β (½) ÒÓØ Ø Ð Ü Ó Ö Ô ÐÐÝ Ö Ø Ø Û ω β ÒÓØ Ò Ò Ò ¼ ω Ù Ø Ø Ú Ð β (¼ Û) = ½º
54 Ü ÑÔÐ β = ½+ Ø ÓÐ Ò Ö Ø Óµ ¾ Ï Ú Ò Ø Ø Ø ÛÓÖ Ù = ¼ ¼¼½½½½ Ò Ú = ¼ ¼½¼½¼½¼ Ö ÓØ β¹ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ü = ½ β ¾ º Ï Ú β (½) = (½¼)ω º Ì Ò ØÓ È ÖÖݳ Ø ÓÖ Ñ Ø β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ò [¼, ½) Ö Ó Ø ÓÖÑ ¼ Ù Û Ö Ù {¼, ½} ω Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ½½ ØÓÖº ËÓ Ú Ø β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Üº
55 Ê ÔÖ ÒØ Ò Ò Ø Ú ÒÙÑ Ö ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ð Û Ø Ò Ø Ú ÒÙÑ Ö ÒÓØ Ø ÒØ Ö ÓÖ ÐÐ Zº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÛÖ Ø Ù Ú = Ù Ú, Ù Ú = Ù Ú Ò Ù = Ù. ÓÖ Ü < ¼ Ø β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ü Ò β (Ü) = β ( Ü). Ï Ð Ø β = { ¼, ½,..., β ½} Ò β = β β Û Ø ¼ = ¼µº
56 ÅÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ñ ÛÓÖ Ä Ø β = ½+ ¾ º ÓÒ Ö Ü = (Ü ½, Ü ¾ ) = ( ½+, ¾+ )º Ï Ú β (Ü) = ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ Û Ö Ø Ö Ø β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ô Û Ø ÓÑ Ð Ò Þ ÖÓ º Ï Ø Ý = (Ü ½, Ü ¾ ) = ( ½+, ½ ) Û Ø ¾ β (Ý) = ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼
57 β¹ö Ó Ò Þ Ð Ù Ø Ó R Ø R β¹ö Ó Ò Þ Ð β ( ) ÔØ Ý ÓÑ ÙØÓÑ ØÓÒº Ì ÓÖ Ñ Ä Ø R º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ½º β¹ö Ó Ò Þ Ð º ¾º ¼ β ( ) ω¹ö ÙÐ Öº º ÓÖ ÓÑ Ñ Ô Ñ : Ü N {¼ Ñ(Ü) β (Ü): Ü } ω¹ö ÙÐ Öº
58 È ÖÖÝ ÒÙÑ Ö È ÖÖÝ ÒÙÑ Ö Ö Ð ÒÙÑ Ö β > ½ ÓÖ Û β (½) ÙÐØ Ñ Ø ÐÝ Ô Ö Ó º ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ó È ÖÖݳ Ø ÓÖ Ñµ Á β È ÖÖÝ ÒÙÑ Ö Ø Ò β ([¼, ½) ) ÔØ Ý Ø ÖÑ Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒº Ü ÑÔÐ β = ½+ Ø ÓÐ Ò Ö Ø Óµ ¾ Ì ω¹ð Ò Ù β ([¼, ½)) ÔØ Ý ¼ ½ ¼
59 Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ ÓÖ Ñ Ü Ö Ð Ò β¹ ÒØ Ö Ú Ö Ð Ö Ð ÒÙÑ Ö Ü β¹ ÒØ Ö β (Ü) Ó Ø Ò Ù ¼ ω º Ì Ø Ó β¹ ÒØ Ö ÒÓØ Ý Z β º Ù Ø Ó R β¹ Ò Ð Ø Ò Ð Ý Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ó R,+,,Z β, β, Û Ö β Ø Ò Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ò ÖÝ ÔÖ Ø { β, : β } Ò Ý β, (Ü, Ý) Ý = β ÓÖ ÓÑ Z Ò Ø Ö Ü < Ý Ò = ¼ ÓÖ Ü Ý Ò Ü = º
60 ¼ Ò ½ Ö β¹ Ò Ð Ü = ¼ Ò Ý Ü + Ü = ܺ Þ = ½ Ò Ò Ò R,+,,Z β, β Ý Ø ÓÖÑÙÐ Þ Z β [ ( Ü) (( Ü Z β Ü > ¼ ) = Ü Þ )]
61 Ì ØÖÙØÙÖ R,+,, ½, β Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ò Ò ÒØ Ö ÔÓÛ Ö Ó β Ò Ð Ò R,+,, ½, β Ý Ø ÓÖÑÙÐ Ü ÔÓÛ Ö Ó β ( Ý)( β,½ (Ü, Ý) Ü = Ý). Ï Ò Ð Ó Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ò ÔÓ Ø Ú ÓÖ Ò Ø Ú ÔÓÛ Ö Ó β Ý Ò Ü > ½ ÓÖ Ü < ½ Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ä Ø ÔÓÛ Ö Ó βº ÇÒ Ò Ò Ø Ò ÜØ ÓÖ Ø ÔÖ Ú ÓÙ µ ÔÓÛ Ö Ó β ÓÐÐÓÛ = β ( ÔÓÛ Ö Ó β) ( > ) ( )(( ÔÓÛ Ö Ó β > ) = ). ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ ÒÝ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú ÓÖ Ò Ø Ú µ ÔÓÛ Ö Ó β Ò Ð Ò R,+,, ½, β º
62 Ì ØÛÓ ØÖÙØÙÖ R,+,, ½, β Ò R,+,,Z β, β Ö ÕÙ Ú Ð Òغ Ì Ø Z β Ò Ò Ò R,+,, ½, β Ý Ø ÓÖÑÙÐ Þ Z β ( Ý) [ (Ý Ò Ø Ú ÔÓÛ Ö Ó β) = β,¼ (Þ, Ý) ].
63 ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÓÒµ Ý β β¹ Ò Ð Ý = βü ( ) [ ] ( β, (Ü, ) = β, (Ý,β )). β ÆÓØ Ø Ø β, (Ü, ) ÑÔÐ Ø Ø Ò ÒØ Ö ÔÓÛ Ö Ó βº ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÓÒµ Ý ÓÒ Ø ÒØ ÔÓÛ Ö Ó β β¹ Ò Ð º
64 Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ ÓÖ Ñ Ü Ö Ð Ò ÒØ Ö Ú Ö Ð À Ö Û ÙÔÔÓ Ø Ø β = Nº Ì ÓÖ Ñ Ó ÐÓØ¹Ê ÖعÏÓÐÔ Ö ½ µ Ù Ø Ó R ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø ¹ Ò Ð º Ø ÑÔØ Ò Ó Ò ω¹ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù Ð Û Ó Ø Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ Ó R,+,,Z, Ð º
65 Ò ØÓÔÓÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ù Ø Ó R Ö Ð ÒÓÒ ÑÔØÝ ÒØ Ö ÓÖ ÓÔ Ò ( Ü ) ( ε > ¼) ( Ý) ( Ü Ý < ε = Ý ). ( Ü ) ( ε > ¼) ( Ý) ( Ü Ý < ε = Ý ). ÐÓ ÇÃ R \ ¹Ö Ó Ò Þ Ð º º º º
66 Ó Ñ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ Ö Ð ÒÙÑ Ö Ì ÓÖ Ñ Ó ÐÓع ÖÙ Ø Ò¹ ÖÙÝ Ö ¹ÂÓ Ó Ò ¹Ä ÖÓÙÜ ¾¼¼½ ¾¼¼ ¾¼¼ µ Ä Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ ÒØ Ö º Ù Ø R ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Û ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ò Ð Ò R,+,,Z º ÓÖ = ½ Ø Ö ÙÐØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ì ÓÖ Ñ ÑÞ Û ¹ ÐÐ ¾¼½½µ Ä Ø, ¾ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ ÒØ Ö º ÓÑÔ Ø Ø [¼, ½] ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ò ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ø Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó ÐÓ ÒØ ÖÚ Ð Û Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ò ÔÓ ÒØ º
67 ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö ØÝ Ä Ø ¾ Ò ÒØ Öº ÓÑÔ Ø Ø [¼, ½] ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ø ¹ ÖÒ Ð { ( ) [¼, ½] : ¼, = ( ½,..., ) Z, } ( ) ¼ < Ò Ø º
68 È Ð³ ØÖ Ò Ð ÑÓ ÙÐÓ ¾ ¾¹ Ð ¹ Ñ Ð Öº
69 Å Ò Ö ÔÓÒ ¹ Ð ¹ Ñ Ð Öº
70 Ë Ø Ó ÒØ Ö Ò Ð Ò R,+,,Z Ö Ø ÓÒ Ð ÔÓÐÝ ÖÓÒ Ö ÓÒ Ó R Ð Ñ Ø Ý Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ú ÒØ Ö Ó ÒØ º ÒÝ Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÔÓÐÝ Ö ¹ Ð ¹ Ñ Ð Öº Ø Ñ Ø Ø Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ó ÕÙ ÒØ Ö ÓÙÒ Ù Ø R Ò Ð Ò R,+,,Z Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÔÓÐÝ Ö º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÖ = ½ Ù Ø [¼, ½] Ò Ð Ò R,+,,Z Ø Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó ÐÓ ÒØ ÖÚ Ð Û Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ò ÔÓ ÒØ º
71 Ä Ò Ò ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö ØÝ Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð ØÝ Ì ÓÖ Ñ ¹Ä ÖÓÝ¹Ê Ó ¾¼½ µ Ù Ø Ó [¼, ½] ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ø Û ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Ó Ø Ò Ý Ò¹À Ö ¾¼½ µ Ä Ø, ¾ ØÛÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ ÒØ Ö º ÓÑÔ Ø Ø [¼, ½] ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ò ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ø Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÔÓÐÝ Ö º ÁÒ Ø Û ÔÖÓÚ Ø ÓÚ Ð Ò Ò Ø ÑÓÖ Ò Ö Ð Ó Ö Ð È ÓØ βº
72 Ö Ø Ö Þ Ò β¹ö Ó Ò Þ Ð Ø Ù Ò ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ¹Ä ÖÓÝ¹Ê Ó ¾¼½ µ Á β È ÖÖÝ Ø Ò Ú ÖÝ β¹ö Ó Ò Þ Ð R β¹ Ò Ð º Á β È ÓØ Ø Ò Ú ÖÝ β¹ Ò Ð R β¹ö Ó Ò Þ Ð º Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ø ÓÒ Ø Ñ Ý Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ð Ò Ø Ó Ø ÓÖÑÙÐ Ò º Ì Ò ÙØ ÓÒ Ø Ô ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó ω¹ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù Ø Ý Ö Ø Ð ÙÒ Ö ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ º Ï Ø Û Ú ØÓ Ø Ø Ø ØÓÑ ÓÖÑÙÐ Ö ÐÐ β¹ö Ó Ò Þ Ð º
73 Ä ÑÑ ½ Á β È ÖÖÝ Ø Ò R β¹ö Ó Ò Þ Ð º Ü ÑÔÐ β = ½+ ¾ µ Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ø ω¹ð Ò Ù ¼ β (Ü R: Ü ¼}º ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ½ ÌÓ Ò Ð Ò Ø Ú ÒÙÑ Ö Û Ñ Ø ÙÒ ÓÒ Ó ØÛÓ Ù ÙØÓÑ Ø º
74 Ä ÑÑ ¾ Á β È ÓØ Ø Ò Ø Ø ÓÒ β¹ö Ó Ò Þ Ð º Ä Ø Z Ò Ø º Ì ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ø ÙÒØ ÓÒ ν β, : + ω + ω β β Ø Ø Ñ Ô ÒÝ β¹ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ü ÓÒØÓ β (Ü)º Ì ÓÖ Ñ ÖÓÙ ÒÝ ½ ¾µ Ä Ø β È ÓØ ÒÙÑ Ö Ò Z Ò Ø º Ì ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ö Ð Þ Ð Ý ÒÓÒ¹ Ø ÖÑ Ò Ø µ Ð ØØ Ö¹ØӹРØØ Ö ØÖ Ò Ù Ö T Ù ω ½ Ú β ω (Ù, Ú) Ê T º ÙÖØ Ö β (Ú Ð β (¼ Ù)) = ¼ Úº ÓÖÓÐÐ ÖÝ Á β È ÓØ Ø Ò Ø Ø ÓÒ β¹ö Ó Ò Þ Ð º
75 Ä ÑÑ Á β È ÖÖÝ Ø Ò {(Ü, Ý) R ¾ : Ü < Ý} β¹ö Ó Ò Þ Ð º ÈÖÓÓ º ÁØ Ö Ó Ò Þ Ý Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò β (R ¾ ) Û Ø {(, ): β { }} ( β β ) {(, )} {(, ) β β : < }
76 Ä ÑÑ Á β È ÖÖÝ Ø Ò Z β β¹ö Ó Ò Þ Ð º ÈÖÓÓ º Ì ÙØÓÑ ØÓÒ Ö Ó Ò Þ Ò Z β Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ö Ó Ò Þ Ò R Û Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò + β ¼ ω º
77 Ä ÑÑ Á β È ÖÖÝ Ø Ò β β¹ö Ó Ò Þ Ð º ÈÖÓÓ º ÓÖ β β ( β, ) ÔØ Ý Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò β (R ¾ ) Û Ø {(, ¼): β } {(, ¼): β } (, ½) (, ) (, ½) (, ) {(, ¼): β } {(, ¼): β }
78 Ð ØÝ ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ò Ø Ø Ø Ø ÑÔØ Ò Ó Ò ω¹ð Ò Ù Ð Û Ó Ø Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ Ó R,+,,Z β, β Ð º
Ì Ø Ð ÓÒ Ò Ò ÐÓ Ù Ó Ó Ñ³ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ Ö Ø Ð ÑÞ Û ¹ ÐÐ ¾¼½½ ÇÒ Ø Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ö Ó Ò Þ Ý Ò Ø ÙØÓÑ Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÐÓع ÖÙ Ø Ò¹ ÖÙÝ Ö ¾¼½¼ Ö Ø¹ÓÖ Ö ÐÓ Ò ÆÙÑ
Ò ÐÓ Ù Ó Ó Ñ³ Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ö Ö ÒØ Ö Ó Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ð ÖÐ Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÍÒ Ú Ö Ø Ä Ë Ñ Ò Ö Ö ØÓÐ Ò ³ Ò ÐÝ ÑÙÐØ Ö Ø Ð Ö Ø Ð ¾¼½ Å Ö ¾ Ì Ø Ð ÓÒ Ò Ò ÐÓ Ù Ó Ó Ñ³ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ Ö Ø Ð ÑÞ Û ¹ ÐÐ ¾¼½½ ÇÒ Ø Ø Ó Ö
Ì ÓÑÔÙØ Ð Ñ Ò ÓÒ Ó ÌÖ Ó ÁÒ Ò Ø À Ø ÊÙ ÐÐ Å ÐÐ Ö ÂÙÐÝ ¾ ¾¼¼ Ì Ö Ø ÓÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÖØ Ð ÔÔ Ö ÔØ Ö Ó È º º Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ó ÙÒ Ö Ø ÙÔ ÖÚ ÓÒ Ó ÊÓ ÖØ Áº ËÓ
Ì ÓÑÔÙØ Ð Ñ Ò ÓÒ Ó ÌÖ Ó ÁÒ Ò Ø À Ø ÊÙ ÐÐ Å ÐÐ Ö ÂÙÐÝ ¾ ¾¼¼ Ì Ö Ø ÓÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÖØ Ð ÔÔ Ö ÔØ Ö Ó È º º Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ó ÙÒ Ö Ø ÙÔ ÖÚ ÓÒ Ó ÊÓ ÖØ Áº ËÓ Ö º Ì Ò Ö Ð Ó Ù ØÓ ÝÖ Ã ÓÙ ÒÓÚ Û Ó ÓÖ Ò ÐÐÝ ÔÓ Ø ÕÙ
½º¾ Ò Ø ÓÒ Ì Ò Ó Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ð Þ Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ ½ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ðݵ Ñ ÐÝ ¾ ¼ ½ ¾Æ ÐÐ Ñ ÐÝ Ó Ð µ Ä µµ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ ¾
¾¾º ¼ ¹¼¼ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÖÝÔØÓ Ö Ô Ý ÆÓÚ Ñ Ö Ø ¾¼¼½ Ä ØÙÖ Ä ØÙÖ Ö Ú Ò Ý Ó ËÖ ÒØÓÒ Ó Æ ÓÐÓ Ä Ø Ø Ñ Û Ò Û Ø Û Ñ Ò Ý Ë Ö Ø Ã Ý ÒÖÝÔØ ÓÒ Ñ Ëà µ Ò Û ÒØÖÓ Ù ØÛÓ Ö Ð Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÙÖ Øݺ Ì Ò Û ÓÛ ÓÛ ÈÊ Ñ Ý Ù ØÓ
ÝÓÒ ÀÝÔ ÖØÖ Ï Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ø Ó Ï Ø ÓÙØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÀÙ Ò Ò Î ØÓÖ ÐÑ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ì ÒÓÐÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÑÔ Ù Ö Ö ÐÓÒ ËÔ Ò Ù º Ò Ú ØÓÖº ÐÑ Ù ÙÔ º Ù ØÖ Øº Ì Ò
ÝÓÒ ÀÝÔ ÖØÖ Ï Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ø Ó Ï Ø ÓÙØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÀÙ Ò Ò Î ØÓÖ ÐÑ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ì ÒÓÐÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÑÔ Ù Ö Ö ÐÓÒ ËÔ Ò Ù º Ò Ú ØÓÖº ÐÑ Ù ÙÔ º Ù ØÖ Øº Ì Ò Ö Ð ÒØÖ Ø Ð ØÝ Ó Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ ¹ Ð Ñ ÑÓØ Ú
ËÌ Ä Å Ä Å ÌÁÇÆ ÂÓ Ò Ìº Ð Û Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ËØ Ø Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÁÐÐ ÒÓ Ø Ó Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼¼ Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó ºÁºÅ Ð Úº ÁÒ ½ ÖÞ ÓÖÞÝ Û Ø Ö
ËÌ Ä Å Ä Å ÌÁÇÆ ÂÓ Ò Ìº Ð Û Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ËØ Ø Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÁÐÐ ÒÓ Ø Ó Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼¼ Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó ºÁºÅ Ð Úº ÁÒ ½ ÖÞ ÓÖÞÝ Û Ø Ö Ø Ö Û Ö ÓÒØ ÒÙÙÑ Ñ ÒÝ «Ö ÒØ ¼ ¹ Ø ÓÖ Ð Ø ÓÖ º Ï Ø
Ð Ò ØÓ ØØ Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ÙÐغ Ì ÓÙÖ Ô Ö Ñ ØÓÛ Ö Ø Ø Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ÙÐØ Ò Ô Ö Ý Ø Ô Ô Ö Ó È Ô Ñ ØÖ ÓÙ Ò Î ÑÔ Ð ÓÒ ÌÖ Ú Ð Ò Ë Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ µ Ø
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ À Ö Ò ÓÖ ËÑ ÐÐ ÇÙÖÖ Ò ÁÒ Ø Ò Ó ÆȹÀ Ö ÈÖÓ Ð Ñ Å ÖÓ Ð Ú Ð Ò Â Ò Ð ÓÚ ¾ ¾ ÅÈÁ ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ë Ò ¹¼ ¼ Ä ÔÞ Í ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÙÒ ÈÖ Ø Å Ø Ñ Ø ¹¾ ¼ Ã Ð Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ ¹ к ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÓÒØÖ
LCNS, Vol 1767, pp , Springer 2003
Ø Ö Ü Ø ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Å Ü¾Ë Ø Â Ò Ö ÑÑ ÊÓÐ Æ ÖÑ Ö Ï Ð ÐÑ¹Ë Ö ¹ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò Ë Ò ½ ¹ ¾¼ ÌĐÙ Ò Ò º Ê Ôº Ó ÖÑ ÒÝ Ö ÑÑ Ò ÖÑÖ Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ ¹ØÙ Ò Òº ØÖ Øº Ú Ò ÓÓÐ Ò ¾ Æ ÓÖÑÙÐ Ø Å Ü¾Ë
ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¾ ¾º½ Ö Ø ÇÖ Ö ÅÓ Ð ÄÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÖ Ö Ò ÃÖ Ô ÅÓ Ð º
ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ ÜÔÓ ÒØ Ë Ñ ÒØ Ò Ò ËÄ ¹Ê ÓÐÙØ ÓÒ ÐÙÐÙ ÓÖ ÅÓ Ð ÄÓ ÈÖÓ Ö Ñ Ä Ò Ò Æ ÙÝ Ò Ò ÙÝ ÒÑ ÑÙÛº ÙºÔÐ ÌÊ ¼½¹¼¾ ¾ µ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼½ Ð Ø Ö Ú Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ µ ØÖ Ø Ï ÔÖÓÔÓ ÑÓ Ð ÐÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ
½½ º º À Æ Æ º º Í Æ ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ñ ¹ Ò Ø ÙÒÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖÙ Ø Ö ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ È ½ Û Ø Ò Ð ÐÐ ÓÒ ØÖ ÒØ Û Ó ÓÖÑ Ù Ø ØÓ Ñ Ò ¾Ê Ò µ ½ ¾ Ì Ì Ø Ì Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð
ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ÎÓк½ ÆÓº¾ ¾¼¼½ ½½ ß½¾ º ÇÆ Å ÁÅ Ç Í Ä ÍÆ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ Ì ËÍ ÈÊÇ Ä Å ½µ ÓÒ ¹ Ò Ê Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÒØ Ö Ó È Ö ÐÐ Ð ËÓ ØÛ Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ó ËÓ ØÛ Ö Ò ½¼¼¼ ¼ Ò µ ¹Ü Ò Ù Ò ËØ Ø Ã Ý Ä ÓÖ ØÓÖÝ
Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Á ÓÑÓÖÔ Ñ ÁÒ ÐÐ Ú ÓÑÓÖÔ Ñ Σ ½ ½ ÑÓÖ ÔÖ ÐÝ A B Ö ÓÑÓÖÔ : ( ØÖÙØÙÖ ¹ÔÖ ÖÚ Ò Ø ÓÒ) ÓÙÒØ Ð ØÖÙØÙÖ Ò Ó Ý Ö Ð Ø Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÑ Σ ½ ½ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ
Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Á ÓÑÓÖÔ Ñ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÖÓ ÐÐ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑÓÖÔ Ñº ÐÓ Ò Ø Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÔÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÀÓÛ ÓÑÔÐ Ü Ø ÓÑÓÖÔ Ñ Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ Û Ø ÓØ Ö ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ì Ò Û Ö ØÓ
Ì ÐÑÓ Ø ÓÑÔÐ Ø ÙÔÛ Ö ÓÐÐ Ô Ó ÈÀ ÓÛÒ ØÓ È ÆÈ ½ Ü ÔØ ÓÖ Ø Ô ØÛ Ò È ÆÈ Ò ÈÈ ÆÈ º ÐÓ Ò Ø Ô Ñ Ø ÓÒ Û Ø ÔÖÓÓ Ø Ø È ÆÈ ½ È ÆÈ ¾ ØØ µ ÈÈ ÆÈ È ÆÈ º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ô
ÇÒ Ø Ó Ú À ÖÖÝ Ù ÖÑ Ò ½ Ê Ö Ò ¾ Ò Ä Ò ÓÖØÒÓÛ ½ ÏÁ ² ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñº Ö ÏÁ ÁÆË ÈºÇº ÓÜ ¼ Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò º Ù ÖÑ ÒÛ ºÒк ¾ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å ÖÝÐ Ò ÐØ ÑÓÖ ÓÙÒØÝ
Ô ØÙ Ø Ò Ø ÔÐ Ò º Ì ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ô Ò Ø ÔÖÓ ÙÖ Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø ÐÓÛÒ Ú ØÓÖ ØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Ò ØÓ Ø ÔÐ Ò º Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÔÐ Ý Ò ÑÔÓÖØ ÒØ
ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ô Ø ÓÒ Ó ÔÐ Ò Û Ú Ò ÓØÖÓÔ Ò Ò ÓØÖÓÔ Ú Ó Ð Ø Ñ ÎÐ Ø Ð Ú ÖÚ Ò Ý ½ Ò ÁÚ Ò È Ò ¾ ½ ÖÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÙÐØÝ Ó Å Ø Ñ Ø Ò È Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÔ Ý Ã Ã ÖÐÓÚÙ ½¾½ ½ ÈÖ ¾ Þ Ê ÔÙ Ð º ¹Ñ Ð Ú ÖÚ ÒÝ º ÖÐÓںѫºÙÒ ºÞ
Ì Ö Ö Ü ÑÔÐ Ó ÒØ Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ø Ø ÔÖÓÚ ÓÓ ÙÔ¹ ÔÓÖØ ÓÖ Ô Ý Ò ÒØ Ý Ø Ñ ÒÐÙ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò ÒØ º ÒØ ¾ Ò ÒعÓÖ ÒØ ÜØ Ò ÓÒ ØÓ Ç Ø¹ Û ÒÐÙ ÓÒ ÔØ Ù ÖÓÐ ÒØ
ÅÙÐØ ¹ ÒØ ËÝ Ø Ñ ËÔ Ø ÓÒ Ù Ò Ì Ç Ì Ñ Å ÐÐ Ö Ò È Ø Ö Å ÙÖÒ Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ì ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ä Ú ÖÔÓÓÐ Ä Ú ÖÔÓÓÐ Ä ÍÃ Ø Ñ Ô Ø Ö ºÐ Úº ºÙ ØÖ Øº Ì Ç Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ø Ø ÓÑ Ò Ø ØÖ Ò Ø Ó Ç Ø¹ Ò Ì Ñ ËÈ Û Ø
edges added to S contracted edges
Ì Å Ü ÑÙÑ ÝÐ ËÙ Ö Ô ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö ¹ Ö Ô Ð ÒØ Æ ÛÑ Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÅÁÌ Ñ Ö Å ¼¾½ ¹Ñ Ð Ð ÒØ Ø ÓÖݺРºÑ غ Ù Ï ØÙ Ý Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÝÐ Ù Ö Ô Ó Ú Ò Ö Ø Ö Ô Ò Û Ø Ñ Ü ÑÙÑ ØÓØ Ð Ö Ò ÔÐÙ ÓÙص
Ä ÓÖ ØÓ Ö ÓÖ Ð Ê Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÍÅÊ ¼¼ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø ÓÖ ÙÜ Á ½ ÓÙÖ Ð Ä Ö Ø ÓÒ ¼ Ì Ð Ò Ü Ö Ò Ê Ö Ê ÔÓÖØ Êʹ½ ¼ ¹¼ Ò Æ ÒØ Ò ÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø Û Ò Ð Ó ÓÙÑ ÒØ Ñ Ý Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ý Â ÕÙ ¹ÇÐ Ú
Ë ÓÑ Ò Ò ÝÒ Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Û Ø Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ËÝ Ø Ñ È ÖÖ Ö Ö ½ ¾ Ò ÇÐ Ú Ö Ë Ù ½ ½ ÙÐØ Ú Ø ÓÒ Ì» ÈÊ» Ë ÉÙ Å Ö Ð ÙÐØ ¾ ¾ Ëع ÐÓÙ Ü ¾ Ò Ñ ØÄ ÄÁÈ µ ÖÙ
Ë ÓÑ Ò Ò ÝÒ Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Û Ø Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ËÝ Ø Ñ È ÖÖ Ö Ö ½ ¾ Ò ÇÐ Ú Ö Ë Ù ½ ½ ÙÐØ Ú Ø ÓÒ Ì» ÈÊ» Ë ÉÙ Å Ö Ð ÙÐØ ¾ ¾ Ëع ÐÓÙ Ü ¾ Ò Ñ ØÄ ÄÁÈ µ ÖÙ Ù Ô Ø Ò ËÓØØ ¼½ È ÊÁË Ô ÖÖ º Ö Ö Ð Ô º Ö ÓÐ Ú Öº Ù
ÖÖ Ý ÒÑ ÒØ Ø Ø Ñ ÒØ Ö Ö ÓÖ ÒÝ Ð Ø¹ Ò Ð Ñ ÒØ Ö ØÓÖ º ÖÖ Ý ÓÖ Ù Ø ÓÒ Ó ÖÖ Ý Ò Ô Ý Ù Ò ØÖ ÔÐ Ø Ù Ö ÔØ º ØÖ ÔÐ Ø Ô Ö Ò Ò Ø ÓÖÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ØÖ º Á
ÖÓÑ Ø ÈÖÓ Ò Ó Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò ÓÒ È Ö ÐÐ Ð Ò ØÖ ÙØ ÈÖÓ Ò Ì Ò ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ È ÈÌ ³ µ ËÙÒÒÝÚ Ð Ù Ù Ø ½ Ô Ò Ò Ò ÐÝ Ó ÓÖØÖ Ò ¼ ÖÖ Ý ËÝÒØ Ü Ö Ð ÊÓØ Ã Ò Ã ÒÒ Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ê ÍÒ Ú Ö ØÝ ÀÓÙ ØÓÒ
Ó Ú ÐÙ Ö ÒÚÓÐÚ Ò ÖØ Ò Ô ÖØ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñµ Ò ØÓ ÐÔ Ø Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ñ Ø º ÁÒ Ø Ø ÐÐÝ ØÝÔ Ð Ò Ù Ø ØÝÔ Ö ÒÓØ Ò ÓÑ Ø Ò Ø Ø Ø Ô ÖØ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÙØ Ö Ø Ö ÓÑ Ø Ò
ÙÒ Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ô Ò Ò ÓÖ Ö Øµ ÌÝÔ Î ÐÙ Ò ËØ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò À ÐÐ Ì ÓÑ À ÐÐ Ö Ò Ñ Ö ¾ ¾¼¼¼ ØÖ Ø Ì Ô Ô Ö ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÛ À Ðг ØÝÔ Ð Ý Ø Ñ Ò Ù ØÓ ÜÔÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ º Ë Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÝÔ Ð Ú Ð Ö Ô Ö ÓÖÑ Ý Ø ØÝÔ
ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ø Ò ÐÓ Ò Ù Ø Ð Ò Ö ÓÖ Ò ØÓ ÃÓÖ º Ì ÒØ Ð Ö ÓÒ Û Ý ØÖ Ø ÓÒ Ö Ù ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø Ø Ø ØÓØ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÙÑ Ó Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ò
ØÖ Ø ÓÒ Û Ø Ò È ÖØ Ð ÙØ ÓÒ ÓÖ Ä Ò Ö ÄÓ È Ô ÃĐÙÒ ÆÓÖÛ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ë Ò Ò Ì ÒÓÐÓ Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ë Ò Ô Ô ºÒØÒÙºÒÓ ØÖ Øº ØÖ Ø ÓÒ Ò Ù ÜØ Ò Ú ÐÝ Ò ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ ¹ Ò Áµ ÔÐ ÒÒ Ò ÙÑ Ò ÔÖÓ Ð Ñ
Ø ÑÔÐÝ Ù Ø Ø Ø Ø ÔÖÓÓ ÒÓÖÑ Ð Þ Ò Ø ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÖÝ ÔÖ ¹ÑÓ Ð Û Ð Ú Ö ÒØ Ó Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÔÖÓÓ º ÁØ ÛÓÖØ ÒÓØ Ò Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð ÒÓ
Ì ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ ÑÓ ÙÐÓ ÐÐ ÓÛ ÁÆÊÁ ¹ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ºÈº ½¼ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò º ÐÐ º ÓÛ ÒÖ º Ö ØØÔ»»ÐÓ Ðº ÒÖ º Ö» ÓÛ ØÖ Øº Ì ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó Ò Ú Ø Ø ¹ ÓÖÝ Û Ö Ø ÓÑÔÖ Ò ÓÒ Ñ Ö ØÖ Ø ØÓ ØÖ Ø Ð ÔÖÓÔÓ
Ò Û ÑÓÒ ØÖ Ø ÒÝ ÓØ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ô ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø ÇÙÖ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ø ÒÓÛÒ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ØÓ ÓÐ Ò Ú ÖÝ Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ º Ì Ø Û ÑÓÒ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ð Ö Ð Þ
Ë Ô Ö Ð ØÝ Ò ÇÒ ¹Û Ý ÙÒØ ÓÒ Ä Ò ÓÖØÒÓÛ ÂÓ Ò ÊÓ Ö Ý ÂÙÐÝ ¾½ ¾¼¼¼ ØÖ Ø Ï ØØÐ ÐÐ Ö Ð Ø Ú Þ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ú ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ È ÆÈ È ÍÈ È ÆÈ ÓÆÈ ÐÐ Ó ÒØ Ô Ö Ó ÆÈ Ø Ö È¹ Ô Ö Ð º ÐÐ Ó ÒØ Ô Ö
Chapter 9. Trapezoidal Maps. 9.1 The Trapezoidal Map
Chapter 9 Trapezoidal Maps ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Û ÐÐ ÒÓØ Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ò ÓÑ Þ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò Ø ØÖ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ÛÓÖ º Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø Û ÐÐ Ú Ù Ò Æ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÐÚ Ò Ø Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ
ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ð ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ ÒÓ Ò ÓÖ ÝÐ Ó ÙØÓÑÓÖÔ Ñ µ ÑÓ ÙÐ ÕÙ ¹ÝÐ µ ØÖÙ¹ ØÙÖ ÖĐÓ Ò Ö ÓÖ ÑÓ ÙÐ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó ÖÓÑ ÓÖ Ö ÓÑ Ò Ò¹ ÐÙ Ò ÓÔÔ Ó µ Ü Ñ
ÖĐÓ Ò Ö ÓÖ ÒÓ Ò Ó ÖØ Ò Ó ÖÓÑ ÇÖ Ö ÓÑ Ò ÂÓ Ò º Ä ØØÐ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÓÐÐ Ó Ø ÀÓÐÝ ÖÓ Ð ØØÐ Ñ Ø º ÓÐÝÖÓ º Ù ÊÁË ÏÓÖ ÓÔ Ä ÒÞ Ù ØÖ Å Ý ½ ¾¼¼ ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ð ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ ÒÓ Ò ÓÖ
ÅÓ Ø Ü Ø Ò ÖÓ ¹ÓÚ Ö Ö ÓÙÖ ÔÖÓÚ ÓÒÐÝ ÐÐÓÛ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ñ ÒØ ÇÚ ÖÚ Û ÛÓÖÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÙÖ Û Ø Ö ÝÒØ Ø Ò ¹ Ê Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ º Ñ ÒØ ÅÙ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö
à ÔÔ Ö Ë ÙÐ Ö Ã Ö Ò ÔÔ ÖÐ Òº ºÙÔ ÒÒº Ù Î Ö Æ Ø ÜØ Ò ÓÒ Ò Ñ ÔÔ Ò ØÓ ÓØ Ö Ð Ü Ð Ö ÓÙÖ ÂÙÒ ¾ Ø ¾¼¼ ÅÓ Ø Ü Ø Ò ÖÓ ¹ÓÚ Ö Ö ÓÙÖ ÔÖÓÚ ÓÒÐÝ ÐÐÓÛ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ñ ÒØ ÇÚ ÖÚ Û ÛÓÖÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÙÖ Û Ø Ö ÝÒØ Ø Ò ¹
ÁËÁË Ø Ò Ð Ö ÔÓÖØ Ö ÎÓк ½¼ ¾¼¼¼ ÖÓÙÒ ÜØÖ Ø ÓÒ Ó ÓÐÓÙÖ ÁÑ Ë ÕÙ Ò Ù Ò Ù Ò Ñ ÜØÙÖ ÑÓ Ð ËØ ÒÑ Ò Ò Ê Ò Ú Ò Ò ÓÓÑ Ö ÁÒØ ÐÐ ÒØ Ë Ò ÓÖÝ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò
deactivate keys for withdrawal
Ù Ø Ð ÌÖ Ò Û Ø ÍÒÓÒ Ø ÓÒ Ð ÒÓÒÝÑ ØÝ ÒÒ Ã Ð Ö Ò ÀÓÐ Ö ÎÓ Ø Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÖÑ Ø Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ¹ ¾ ÖÑ Ø Ø ÖÑ ÒÝ ß Ù Ð Ö ÚÓ ØÐ º Ò ÓÖÑ Ø ºØÙ¹ ÖÑ Ø Øº ØÖ Ø Ï ÔÖ ÒØ Ò Û ÒÓÒÝÑÓÙ ÓÒ¹Ð Ò Ô ÝÑ ÒØ
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ñ Ñ Ö Ó Ú Ò Ô ÓÖ Ù Ô µ Ú Ø Ñ Ò Ö Ð ØÙÖ ÓÒ Ø Ö Ó Ø Ô ØØ ÖÒº ÀÓÛ Ú Ö Ò Ú Ù Ð Ò Ñ Ð Ø ÓÛÒ Ø ÒØ Ñ Ö Ò º Ì Ô ØØ ÖÒ Ö ÒÓØ Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÐÐݺ Ì Ý
Ò Ñ Ð Ó Ø È ØØ ÖÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú ÐÝÒ Ë Ò Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ÓÖ Å ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ù Ù Ø ¾¼¼½ ÂÓ ÒØ ÛÓÖ Û Ø Ì ÓÑ Ï ÒÒ Ö ÍÅ µ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ñ Ñ Ö Ó Ú Ò Ô ÓÖ Ù Ô µ Ú Ø Ñ Ò Ö Ð ØÙÖ ÓÒ Ø Ö Ó Ø Ô ØØ ÖÒº ÀÓÛ
ÓÖ Ö ÛÓÖ Ò Ô Ö Ó ØÝ Ò Ø ÛÓÖ ÓÖ Ö Ø ÔÖÓÔ Ö ÔÖ Ü ÕÙ Ð ØÓ Ù Üº ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ Ö º Á ÛÓÖ ÒÓØ ÓÖ Ö Û Ý Ø ÙÒ ÓÖ Ö ÓÖ ÓÖ Ö¹ Ö º ÓÖ Ü ÑÔÐ ½¼ Ò = ½¼¼ ¼ Ö ÙÒ ÓÖ Ö
Ð Ò ÓÖ Ö ØÓÖ Ò Ô Ö Ó ØÝ Ñ Ð ÖÐ Ö ÂÓ ÒØ ÛÓÖ Û Ø Ì ÖÓ À Ö Ù ËÚ ØÐ Ò ÈÙÞÝÒ Ò Ò ÄÙ Ñ ÓÒ µ Ö Ø Å Ø Ñ Ø Ý ¹ Ä ¹ ¾¼½  ÒÙ ÖÝ Ø ÓÖ Ö ÛÓÖ Ò Ô Ö Ó ØÝ Ò Ø ÛÓÖ ÓÖ Ö Ø ÔÖÓÔ Ö ÔÖ Ü ÕÙ Ð ØÓ Ù Üº ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ Ö º Á ÛÓÖ
3D Interaction in Virtual Environment
3D Interaction in Virtual Environment Â Ò Ð Ö Ö ºÑÙÒ ºÞ ÙÐØÝ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø Å ÖÝ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÖÒÓ» Þ Ê ÔÙ Ð ØÖ Ø ÀÙÑ Ò¹ ÓÑÔÙØ Ö ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ô ÓÙÐ Ò Ð Ù Ö ØÓ ÒØ Ö Ø Ö ÐÝ Û Ø Ú ÖØÙ Ð Ó Ø º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ø Ñ
Abiteboul. publication x author. citation title date 2000 Suciu Data on the Web Buneman
ËÔ Ø Ð ÄÓ ÓÖ ÉÙ ÖÝ Ò Ö Ô ÄÙ Ö ÐÐ È Ð ÔÔ Ö Ò Ö Ò ÓÖ Ó ÐÐ ½ ØÖ Øº Ï ØÙ Ý Ô Ø Ð ÐÓ ÓÖ Ö ÓÒ Ò ÓÙØ ÐÐÐ Ö Ø Ö Ô Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÓ ØÓ ÔÖÓÚ ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù ÓÖ Ò ÐÝ Ò Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ø Ò Ù Ö Ô º Ï Ú Ö Ô Ö ÔØ ÓÒ Ù Ò ÓÒ
Ä Ü¹ÇÔØ Ñ Ð ÇÒ¹Ä Ò ÅÙÐØ Ð Ë ÙÐ Ò Û Ø À Ö Ð Ò ÖÙ À Ò È ÖÖ Ë Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÍÒ Úº Ó ÁÐÐ ÒÓ ÍÖ Ò ÁÄ ½ ¼½
Ä Ü¹ÇÔØ Ñ Ð ÇÒ¹Ä Ò ÅÙÐØ Ð Ë ÙÐ Ò Û Ø À Ö Ð Ò ÖÙ À Ò È ÖÖ Ë Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÍÒ Úº Ó ÁÐÐ ÒÓ ÍÖ Ò ÁÄ ½ ¼½ Ñ Ð ¹ Ô¹ Ö Ù Ùº Ù ÂÙÒ ¾¼¼¼ ØÖ Ø ÇÒ¹Ð Ò ÙÐ Ò Ó ÙÒ Ø¹Ð
Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÀÙÑ Ò Ä Ñ ÌÖ ØÓÖ Å Ö ÈÓÑÔÐÙÒ ½ Ò Å Âº Å Ø Ö ¾ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¼¼ à РËØÖ Ø ÌÓÖÓÒØÓ ÇÒØ Ö Ó
Ì ØÐ Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÀÙÑ Ò Ä Ñ ÌÖ ØÓÖ ÙØ ÓÖ Å Ö ÈÓÑÔÐÙÒ Ò Å Âº Å Ø Ö ÊÙÒÒ Ò Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙØ ÓÖ Å Ö ÈÓÑÔÐÙÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¼¼ à РËØÖ Ø ÌÓÖÓÒØÓ
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö ÔØ Ú ËØ Ø Ø ÁÒ Ö ÒØ Ð ËØ Ø Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø Ò ¹ Ô Ú ÐÙ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó ÑÔÐ Þ ËÙÑÑ ÖÝ Ä ÖÒ Ò Ó¹ Ø ÖÑ Æ ÙÝ Ò Ì ÌÙ Î Ò ½ Æ ÙÝ Ò ÉÙ Ò Î Ò ¾ ½ ÍÒ Ú
Æ ÙÝ Ò Ì ÌÙ Î Ò ½ Æ ÙÝ Ò ÉÙ Ò Î Ò ¾ ½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ò È ÖÑ Ý Ó ÀÓ Å Ò ØÝ ¾ Æ ÙÝ Ò ÌÖ È ÙÓÒ ÀÓ Ô Ø Ð ÂÁ ÔÖÓ Ø ¹ Ù Ù Ø ¾¼½ ÇÙØÐ Ò ½ ¾ Ø ÓÖÝ Ñ ÙÖ Ø Ñ Ø ÓÒ ¹ ÓÒ Ò ÁÒØ ÖÚ Ð ÔÓ ÒØ Ø Ñ Ø ¹ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ø Ñ Ø ÁÒØ
½µ ÓÖ È µ Ô ÛÒ Ò Ò Ø Ò Ó ÔÖÓ È ÓÖ ÓÙÖÖ Ò Ó ÙÖÖ ÒØÐÝ Ò Ø Ø Ô ¾µ ÒÓØ Ý È µ ÔÖÓ Ù Ð Ø Ò Ö Ø Ø Û ÒÓØ Û Ø ÓÒ È µ Û Û ÐÐ Ô ÛÒ Ò Ò Ø Ò Ó È Ø Ñ Ò Û ÔÖÓ Ù µ ÑÓ
ËØ Ø ¹ Ò Ú Òع Ê Ø Ú ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ò Ë Ö Ø Ô Æ Ù ½ ÒØÓÒÝ ÊÓÛ ØÖÓÒ ¾ Ò ÒÐÙ Ú ØØ ÖÓ ½ ½ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ë ÒÞ ÐгÁÒ ÓÖÑ Þ ÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÓÐÓ Ò È ÞÞ ÈÓÖØ Ëº ÓÒ ØÓ Á¹ ¼½¾ ÓÐÓ Ò ÁØ Ðݺ ¹Ñ Ð Ù Þ Ú ØØ Ö ºÙÒ Óº Ø ¾ Å ÖÓ Ó
½ Ê Ú Û Ó ÓÛ ÖÓÙÔ ¾ ÓÖÑ Ð ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ò¹ Ö Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ø ÓÒ
Å Ö ¾¼¼ ½ Ê Ú Û Ó ÓÛ ÖÓÙÔ ¾ ÓÖÑ Ð ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ò¹ Ö Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ø ÓÒ Ä Ø ÑÓÓØ ÕÙ ÔÖÓ Ø Ú Ú Ö ØÝ Ò ÓÚ Ö Ð º Ï Ú Ø ÓÛ ÖÓÙÔ À Ô ( ) = {Ó Ñº Ô Ð Ö ÝÐ ÑÓ Ö Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ú Ð Ò } Ì Ö Ö ÓØ Ö ÕÙ Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø
ÇÙØÐ Ò
ÀÓÛ ÑÙ ÒØ Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ö Ò Ó Ø ÍºËº Ó Ð ÙÖ ØÝ Ý Ø Ñ Ö ÐÐÝ ÔÖÓÚ ½ ½ Ê ¹ Á ÈÖ Ù Å Ý ¾¼½½ ÇÙØÐ Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÓÒÓÑ Ó Ø Ö ÒØ Ò Ö Ø ÓÒ Ö ÒØÐÝ Ä Ñ Ø Ð ØÝ ØÓ Ò ÙÖ Ü¹ ÒØ Ú ¹ ¹Ú ÓØ Ö Ò Ö Ø ÓÒ È Ý¹ ¹ÝÓÙ¹ Ó Ô Ò ÓÒ
Æ ÛØÓÒ³ Å Ø Ó ÐÓ Ì ÓÖÝ Ò ËÓÑ Ø Ò ÓÙ ÈÖÓ ÐÝ Ò³Ø ÃÒÓÛ ÓÙØ Ú º ÓÜ Ñ Ö Ø ÓÐÐ
Æ ÛØÓÒ³ Å Ø Ó ÐÓ Ì ÓÖÝ Ò ËÓÑ Ø Ò ÓÙ ÈÖÓ ÐÝ Ò³Ø ÃÒÓÛ ÓÙØ Ú º ÓÜ Ñ Ö Ø ÓÐÐ Ê Ö Ò ÃÐ Ò Ä ØÙÖ ÓÒ Ø ÁÓ ÖÓÒ Ì Ù Ò Ö ½ ËÑ Ð ÇÒ Ø Æ ÒÝ Ó Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÐÝ ÙÐк ÅË ½ ÅÅÙÐÐ Ò Ñ Ð Ó Ö Ø ÓÒ Ð Ñ Ô Ò Ø Ö Ø Ú ÖÓÓع Ò Ò Ð
Ï Ó ØÖ Ù ÛÓÖÐ Ý Ù Ð Ø Ö Ø ÓÖ Ð Ö Ð Ø Ú ØÓ Û ÆÈ ËÈ ÊË Ó ÓØ Ú ÓÑÔÐ Ø Ø º Å Ö ÌÓÖ ÅÌ Ú Ö Ð Ø Ú Þ Ð ÔÖÓÓ Ø Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ Ü Ø Ø ÆÈ ËÈ ÊË Ó Ú ÓÑÔÐ Ø
ÇÔØ Ñ Ð ÈÖÓÓ ËÝ Ø Ñ ËÔ Ö Ë Ø À ÖÖÝ Ù ÖÑ ½ ËØ Ú Ö ¾ Ä ÓÖØÓÛ Ø Ö Ú Å Ð Ý ½ ÏÁ ¾ Í Ú Ö ØÝ Ó ËÓ ÖÓÐ Í Ú Ö ØÝ Ó Ó Í Ú Ö ØÝ Ó Ó ÁÅ Ë ØÖ Øº Ï Ü Ø Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ Û Ö ÆÈ ËÈ ÊË Ó ÓÑÔÐ Ø Ø º Ì Ú Ø Ö Ø Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ
In Proceedings of 10th International Conference on Database and Expert Systems Applications (DEXA 2000), Greenwich, UK, September 4-8, 2000.
In Proceedings of 10th International Conference on Database and Expert Systems Applications (DEXA 2000), Greenwich, UK, September 4-8, 2000. LNCS Vol.????. pp.???-???. ÜØ Ò Ò Ø ÐÓ Û Ø Ð Ö Ø Ú ÍÔ Ø Å Ò
ÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÐÓ ÙÖ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ ÓÒØ Üع Ö Ö ÑÑ Ö Å ÖÙ Î Ò Ù Å Ò Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁÎ Ë Ë ÔØ Ñ Ö ¼ ¾¼½ ÑÚÑÖ ÒºÙ Ô º Ö Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ ÙÒ Ú º Ùº Ö Å ÖÙ Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁ
ÄË ¾¼½ Å ÖÙ Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁÎ Ë µ ÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ë ÔØ Ñ Ö ¼ ¾¼½ ½» ÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÐÓ ÙÖ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ ÓÒØ Üع Ö Ö ÑÑ Ö Å ÖÙ Î Ò Ù Å Ò Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁÎ Ë Ë ÔØ Ñ Ö ¼ ¾¼½ ÑÚÑÖ ÒºÙ Ô º Ö Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ ÙÒ Ú º Ùº Ö Å ÖÙ Ê
ÅÓÖ Ö ÒØÐÝ ÓÑ ÔØ Ú Ð Ò Ô ÓÛÒ Ò Ò ÙØÖ Ð ØÝ Ð Ú Ð Ú Ò ÝÒØ Þ Ò Ø Ð Ó ÐÐÙÐ Ö ÙØÓÑ Ø µ ÕÙ ÒØ Ð ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¾ µ Ò Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ½ µº Å ÒÝ ØÒ Ð Ò Ô ÖÓÑ Ò Ø Ð Ó
ËÝÒØ Ø Æ ÙØÖ Ð ØÝ ÓÖ ÖØ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ È Ð ÔÔ ÓÐÐ Ö Å ÒÙ Ð Ð Ö Ù Ò Å Ð Ó Ò¹ÈÐ Ø Ð Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Ë ÆÊË ¹ ÍÆË ¾¼¼¼ ÖÓÙØ ÐÙ ÓÐ ¼ ½¼ ÓØ Ê Æ ¹Ñ Ð Ô Ð Ö Ù Ñ Ó Ò ºÙÒ º Ö ØÖ Øº Ê ÒØ ÛÓÖ Ò ÓØ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÓÖÝ Ò ÑÓÐ ÙÐ
Ö Ø Ö Þ ÓÖ Ò ÐÝ ÓÑÔÐ Ü Ò ÝÒ Ñ Ñ Ò ÒØÐÝ ØÖ ÙØ Ò ÒØ ÖÓÔÓÑÓÖÔ Ò Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØ º ÐØ ÓÙ Ø Ù Ó ÑÙÐØ ÒØ Ý Ø Ñ Ò ÒÓØ Ò Û Ô ÐÐÝ Ø Ø Ò ÓØ Ø ÓÒ Ð Ú Ð Ø ÔÔÖÓ Ò ÑÔ Ö
ÇÒ Ø ÄÓ Ð Ô Ø Ó Ö ÙÑ Òع Æ ÓØ Ø ÓÒ ÑÓÒ ÒØ ÄÙ Ö ØÓ È ÙÐÓ ÆÓÚ Ò ÂÓ Æ Ú Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ó Å Ò Ó Ö ÈÇÊÌÍ Ä Ð Ö ØÓ Ö Ý º ºÙÑ Ò ÓºÔØ ßÔ ÓÒ Ò Ú Ð ºÙÑ Ò ÓºÔØ ØÖ Ø Ì Ù Ó ÒØ Ò Ð ØÖÓÒ ÓÑÑ Ö µ ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ
Ò Ø ÓÒ ÃÒÓØ ÃÒÓØ Ò Ê Ñ Ø Ö ÑÓÚ Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ë ½ ÒØÓ Ê Ö ÐÐ ÒÓØ º Ì ØÛÓ ÒÓØ Ã ½ Ò Ã ¾ Ö Ö Ö ØÓ Ø Ñ ÓÒ Ò ÑÓÚ ÒØÓ Ø ÓØ Ö º º Ø Ö Ö ÒØ Ð µ Ñ ÐÝ Ó ÒÓØ Ô Ö
ÃÒÓØ ÒÚ Ö ÒØ ÐÓÛ Ñ Ò ÓÒ Ð ØÓÔÓÐÓ Ý Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ö Ê ÒÝ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ù Ô Ø ÂÙÒ ½ ¾¼¼ Ò Ø ÓÒ ÃÒÓØ ÃÒÓØ Ò Ê Ñ Ø Ö ÑÓÚ Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ë ½ ÒØÓ Ê Ö ÐÐ ÒÓØ º Ì ØÛÓ ÒÓØ Ã ½ Ò Ã ¾ Ö Ö Ö ØÓ Ø Ñ ÓÒ Ò ÑÓÚ ÒØÓ
Plot A. Plot B. Plot D. Plot C
Ï Ò Ó Ø ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ò ÙÒ Ø Ð ØÝ Å Ð ÅÓÐÐÓÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÌÓÖÓÒØÓ ÌÓÖÓÒØÓ Ò Å Ö ¼¼ ØÖ Ø Ï ØÙ Ý Ö Ò ÓÑ ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ò Ø Û Ð Ó ÑÓ Ð ÒØÖÓ Ù Ý Ø ÙØ ÓÖ Û ÒÐÙ Ú Ö ÓÙ ÓÖÑ Ó
Ú Ð Ð ÓÒÐ Ò Ø ØØÔ»» Ѻ Ö Ùº º Ö ÁÒغ º ÁÒ Ù ØÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÎÓк ÆÓº ¾¼½½µ ½ ½¹½ ½ Ê Ò Ò ÍÒ Ø Ò Ý Í Ò Ø ÎÓØ Ò ËÝ Ø Ñ Åº à ÒÑÓ ÑÑ Êº ÐÐ Ò µ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å
Ú Ð Ð ÓÒÐ Ò Ø ØØÔ»» Ѻ Ö Ùº º Ö ÁÒغ º ÁÒ Ù ØÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÎÓк ÆÓº ¾¼½½µ ½ ½¹½ ½ Ê Ò Ò ÍÒ Ø Ò Ý Í Ò Ø ÎÓØ Ò ËÝ Ø Ñ Åº à ÒÑÓ ÑÑ Êº ÐÐ Ò µ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ë Ò Ò Ê Ö Ö Ò Á Ð Ñ Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ð Ñ Ö ÁÖ Òº µ
ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖÝ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖÝ Ð Û Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ò Ò Ð Ó ØÖ Ò Ð º ÁØ Û ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ô Ý Ò Ò Ò Ö Ò º Ì ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ö Ö Ø Ò Ù Ò Ö Ø¹ Ò Ð ØÖ Ò Ð º C Ì Ç
ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖÝ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖÝ Ð Û Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ò Ò Ð Ó ØÖ Ò Ð º ÁØ Û ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ô Ý Ò Ò Ò Ö Ò º Ì ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ö Ö Ø Ò Ù Ò Ö Ø¹ Ò Ð ØÖ Ò Ð º C Ì ËÁÆ ÙÒØ ÓÒ A B Ò = Ò = ÓÔÔÓ Ø ÝÔÓØ ÒÙ µ ÆÓÚ Ñ Ö ¾ ¾¼½
x(t + t) = exp( tl)x(t), µ t k exp( tl) = x i i=1 k=0
ÔØ Ú Ä ¹ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ù ØÖ Ò¹ÀÙÒ Ö Ò ÏÓÖ ÓÔ ÓÒ ÌÖÓ Ò Ò Ê Ð Ø ÌÓÔ ½¼ ÔÖ Ð ¾¼½¼ ÇÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ø³ ÓÐÚ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ẋ i = f i (x) ½µ Û Ö x : R R N x = (x 1,..., x N )µº ÆÓØ ÐÐ ÒÓÒ¹ ÙØÓÒÓÑÓÙ
ß ¾ ß ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÖ Ò ÔÖÓØÓ Ø ÐÐ Ö ÓÐÐ Ô Û ÐÝ ÔØ ØÓ Ø ÔÖ Ñ ÖÝ Ñ ¹ Ò Ñ ÓÖ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ò ÖÝ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ö Ý Ø Ñ º º Ä Ö Ò Ö Ø Ðº ¾¼¼ Ò
ÓÐÐ Ô Ò Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÅÓÐ ÙÐ Ö ÐÓÙ ÓÖ º º Å Ò Ø Ö Ò Ó ÈÖÓÐ Ø Ò Ç Ð Ø ÓÖ º Ð Ò Èº Ó Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ì ÖÖ ØÖ Ð Å Ò Ø Ñ ÖÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ó Ï Ò ØÓÒ ¾ ½ ÖÓ Ö Ò ÊÓ ÆÏ Ï Ò ØÓÒ ¾¼¼½ ¹½ ¼ Ó ØѺ Ûº Ù ËÌÊ Ì Ì ÓÐÐ Ô Ò Ö
ÁÒ ÙØ Ú ¹ ÙØ Ú ËÝ Ø Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ð ÐÓ Ò Ø Ø Ø Ð Ð ÖÒ Ò Ô Ö Ô Ø Ú Æ ÓÐ ÓØ Å Ð Ë Ø ÇÐ Ú Ö Ì ÝØ Ù ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ¹ËÙ ÆÊË ÁÆÊÁ ÈÖÓ ¾¼¼
ÁÒ ÙØ Ú ¹ ÙØ Ú ËÝ Ø Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ð ÐÓ Ò Ø Ø Ø Ð Ð ÖÒ Ò Ô Ö Ô Ø Ú Æ ÓÐ ÓØ Å Ð Ë Ø ÇÐ Ú Ö Ì ÝØ Ù ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ¹ËÙ ÆÊË ÁÆÊÁ ÈÖÓ ¾¼¼ Ó ÜÔ ÖØ Ð ÒØ ÒØ Ø Ò Ò Öº º º µ Ý ÖÑ ÐÓ¹ Ö Ò Ð ÓÐ Ó Ø Ø ÓÖ Ñ Ð Ð ÓÐ Ï Ø Ó ÝÓÙ
Ñ Ò Ò Ð Û Ø ÓÑÔÐ Ü ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ø ÓÑ Ò Ö ÒØ Ò Ó ØÖÙØÙÖ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ó Ø Ò Û ÒØ Ñ Ø Ó Ø Ø Ò Ð Ø Ò ÐÝ Ø ØÓ ÕÙ ÒØ ÐÐÝ ÜØÖ Ø ÑÔÐ ØÖÙØÙÖ ÇÒ Ø
Ð Ñ ÒØ Ð Ë Ø Å Ø Ó Ò Ú ÍÒ Ö ØÝ Ù ½ Ñ Ò Ò Ð Û Ø ÓÑÔÐ Ü ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ø ÓÑ Ò Ö ÒØ Ò Ó ØÖÙØÙÖ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ó Ø Ò Û ÒØ Ñ Ø Ó Ø Ø Ò Ð Ø Ò ÐÝ Ø ØÓ ÕÙ ÒØ ÐÐÝ ÜØÖ Ø ÑÔÐ ØÖÙØÙÖ ÇÒ Ø Ø º Ò ½º ÁÒØÖÓ
R E S E A R C H R E P O R T I D I A P
R E S E A R C H R E P O R T I D I A P ËÇŹ ÐÙ Ø Ö Ò ÓÖ ÇÒ¹Ð Ò Ö Ù Ú ÓÖ Ð Ø ÓÒ ËØÙ Ý Î Ò ÒØ Ä Ñ Ö Á Á ÈßÊÊ ¼¾¹ ¼ ÂÙÐÝ ¾¼¼¾ Ö Ð ÖÓØ ØÓ ÔÔ Ö Ò ÙÞÞÝ ËÝ Ø Ñ Ò ÃÒÓÛÐ ÓÚ ÖÝ Ëà µ ¾¼¼¾ Ð Ð Å Ó Ð Ð Á Ò Ø Ø Ù Ø Ó
Ì ÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Ò ÜØÖ Ò Ð Ò Ö ÓÖ Ö Ò ÙÒ Ö Ð Ø ÐÐÓÛ Ø ÜÔÖ ÓÒ Ó ÕÙ Ö Ù Ø Ö Ö ÒÓ ØÓ Ø Ð Ø Ú ÖØ Ü Ò Ø Ö Ô ³ Û ÑÙ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø ÓÖ Ö Ò Ø Ó Ø Ö Ô º ÓÑÔÖÓÑ ÛÓÙÐ
Ü ¹ÈÓ ÒØ ÄÓ Û Ø ËÝÑÑ ØÖ Ó ÒÙ Û Ö Ò Ú Ê Ö Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ö ÓÑÔÙØ Ö Ä ÓÖ ØÓÖÝ Ï ÐÐ Ñ Ø Ù Ð Ò ÂºÂº Ì ÓÑ ÓÒ Ú ÒÙ Ñ Ö ¼ Íà ÒÙ º Û Öк Ѻ ºÙ Ú ºÊ Ö Ýк Ѻ ºÙ ØÖ Øº Ö Ò ÀÓ Ò ÒØÖÓ Ù Ü ¹ÔÓ ÒØ ÐÓ Û Ø ÝÑÑ Ø¹ Ö ³
Ö Ô ÓÒ Ø Ó ØÛÓ Ø Î Ò ÒÓØ Ý Î µº Ë Ø Î Ò Ø ÒÓÒ¹ ÑÔØÝ Ø Ó Ú ÖØ ÓÖ ÒÓ µ Ò Ø Ó Ô Ö Ó Ú ÖØ ÐÐ º Ï Ù Î µ Ò µ ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ø Ó Ú ÖØ Ò Ò Ö Ô Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÅÓÖ Ò
Ö Ô Ð ÓÖ Ø Ñ ÁÒ ½ ÙÐ Ö Ú Ø Ø ÖÒ ÈÖÙ Ò ÃÓ Ò Ö Ò ÓÙÒ Ø Ö Û Ö Ú Ò Ö ÖÓ Ø Ö Ú Ö Ò Ò Ð Ò º À Ñ ÙÔ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ò ÒÝÓÒ Ø ÖØ Ø ÒÝ Ð Ò µ Û Ð Ø ÖÓÙ Ü ØÐÝ ÓÒ ÓÖ Ö Ò Ö ØÙÖÒ ØÓ Ø ÓÖ ¹ Ò Ð Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ Ê Ö ØÓ ÙÖ ½º
Ê Ö Ò Ù Ä ÒÙÜ ÓÖ ØÖÓÒÓÑ Ö º º º ½º¾º Ï Ø Ä ÒÙÜ Ä ÒÙÜ ÍÆÁ ¹Ð ÖÒ Ð Ö Ø Ý Ä ÒÙ ÌÓÖÚ Ð º Ä ÒÙÜ ÖÒ Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ù Û Ø Ø ÆÍ»Ä ÒÙÜ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñº Ä ÒÙÜ Ø ÖÒ Ð
Ä ÒÙÜ ÓÖ ØÖÓÒÓÑ Ö Ô Ý Ø Ò Ò Ò Ö Ê Ö Ò Ù ÓÖ È ØÖÓÚ ÅÓÑ Ð Ú ÁÒ Ø ØÙØ Ó ØÖÓÒÓÑÝ Ò Æ Ç ÙÐ Ö Ò ÑÝ Ó Ë Ò ¹½ ËÓ Ô ØÖÓÚ ØÖÓº º Ñ Ú ØÖÓº º ËÙ Ñ ØØ ½ º½¼º¾¼½ ÔØ ¼¾º½¾º¾¼½ µ ØÖ Øº Ì ÓÒ Ö Ò Ø Ð ½ ÙÑÑ ÖÝ Ó Ö Ö Ò Ù
½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ï Ö Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ÔÓÔÙÐ Ö Ù ØÓ Ø Ö ÒØ Ú ÒØ Ó Ò Û Ø ÒÓÐÓ º ÁØ ÔÖ ÒØ ÒÓØ ÓÒÐÝ Ò Ø Ù ÕÙ ØÓÙ ÓÖ Ð Ò ÐÐÙÐ Ö Ô ÓÒ ÙØ Ð Ó Ò Ô Ö ÓÒ Ð ÓÑÑÙÒ Ø
Ø ÖÑ Ò Ø Ê Ó ÖÓ Ø Ò Ó Ò Ëº Ð Ù Ý Ä Þ Ò Þ ÒÒ ĐÇ ØÐ Ò Ü ÂÓ Ò Å Ð ÊÓ ÓÒ ß Ý ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û Ò ¾ ¼¾¹¼ Ï Ö Þ Û ÈÓÐ Ò º ¹Ñ Ð Ð Ù Ñ ÑÙÛº ÙºÔÐ Þ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ì ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ä Ú
Fibonacci Overview. 1 Motivation. 2 Preliminary Ideas. 2.1 Common Definitions. 2.2 Fibonacci Numbers Defined
Fibonacci Overview ÐÐ ÏÙÖØÞ 1 Motivation ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ËÙÔÔÓ Ò ÛÐݹ ÓÖÒ Ô Ö Ó Ö Ø ÓÒ Ñ Ð ÓÒ Ñ Ð Ö ÔÙØ Ò Ð º Ì Ö Ø Ö Ð ØÓ Ñ Ø Ø Ø Ó ÓÒ ÑÓÒØ Ò Ø Ý Ú ÖØ ØÓ Ñ Ð ¹ Ñ Ð Ô Ö Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÑÓÒØ º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ØÛÓ
½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ê ÒØ Ö ÙÐØ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÐ ÒÒ Ö ½ Ú Ö Ø Ò¹ Ø Ö Ø ÓÖ Ù Ø Ð ÔÔÐ Ð ØÝ Ó Ø ÔÐ ÒÒ Ò ÔÔÖÓ ØÓ Ñ ÒÝ Ö Ð ÛÓÖÐ ÔÖÓ Ð Ñ º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ø ÔÖ
Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ë ÌÈÄ Æ ÓÖ ÔÐ ÒÒ Ò Û Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Å ÖÓ ÓÐ ØØ ËØ ÒÓ Å ÖÙ Ò Ð Ö Ó Å Ð Ò Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ð ËØÙ È ÖÙ Î Î ÒÚ Ø ÐÐ ¼ ½¼¼ È ÖÙ ÁØ ÐÝ ¹Ñ Ð Ñ ÖÓ ÒÓ Ñ Ð Ò ÔÑ ØºÙÒ Ô º Ø Ì Ðº ¹¼ ¹ º
PRINCETON PLASMA PHYSICS LABORATORY
Á Ì Åƺƺ Ù Ø Ò ÓÖ Ð Ò ÓÚÌ Ü Ò ½ Ë ÔØ Ñ Ö ÑÓ Ò ÁÌ Ê ¾¼½½ ÆÓÒÔ ÖØÙÖ Ø Ú ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÓÒ Ò Ò ÑÓ Ø Ð Þ Ø ÓÒ Ò ÁÌ Ê ÈÈÈÄ ÈÖ Ò ØÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ PRINCETON PLASMA PHYSICS LABORATORY ËÌÊ Ì Ï ÑÔÐÓÝ Ø ÐÓ Ð ÆÇÎ ¹ÃÆ Ý
ÓÖ Ø ÁÒØ Ð ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ðݺ Ê Ö Û ÒØ Ò Ò Ö Ð ÖÓÙÒ Ò Ñ Ð Ö ÔÖÓ Ö Ñ¹ Ñ Ò ÓÙÐ ÓÒ ÙÐØ ÔÔÖÓÔÖ Ø Ø ÜØ ÓÓ Ò ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ö Ö Ò Ñ Ò¹ Ù Ð ÔÙ Ð Ý ÁÒØ Ð Ò
ÒÙ Ñ Ð Ö Ì ÒÙ Ñ Ð Ö µ Ò ÓÔ Ò ÓÙÖ ¹ Ñ Ð Öº Ì Ñ Ð Ö ÒÐÙ Ø Ò¹ Ö Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ú Ð Ð ÓÖ ÓÛÒÐÓ ØÓ ÖÙÒ ÙÒ Ö Ï Ò ÓÛ º ÁØ ÔÖÓÚ ÙÔÔÓÖØ ÓÖ Ø Ò ØÖÙØ ÓÒ Ø Ó Ø Ó Ø Èͺ ÖÓ Ñ Ð Ö Ú Ö ÓÒ Ö Ð Ó Ú Ð Ð º Ì Ñ Ð Ö ÒÚÓ Ý Ø
È Ö Ø ² ÑÔ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖ Ñ È Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÐ Ý Ö ÒÓÛ ÓÙØ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÑÓÚ Ó ÓÔÔÓÒ ÒØ º º º Ð ¹ËØ Û ÖØ Ñ º ÁÑÔ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÐ Ý Ö Ó ÒÓØ ÒÓÛ ÓÙØ Û
Ð ¹ËØ Û ÖØ Ñ Ò Ð Û ÐÐ Ñ Ù Á Ñ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÓÖÒ Ö Ð Ýµ ½ Ø Ó Å Ý ¾¼½¾ È Ö Ø ² ÑÔ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖ Ñ È Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÐ Ý Ö ÒÓÛ ÓÙØ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÑÓÚ Ó ÓÔÔÓÒ ÒØ º º º Ð ¹ËØ Û ÖØ Ñ º ÁÑÔ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÐ
ÓÖÑ Ð ÓÒ ÔØ Ò ÐÝ Ò Ö Ö ÓØ ÖÛ ØÓ Ò ØÓ ÔÖÓ Ò Ó Ô Ø Á Ë ÓÒ Ö Ò º Ì Ö Ö Ö Ð Ø ÔÔÖÓ ØÓ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñº ÓÖ Ò Ø Ò Ø ÓÒ ÔØ Ó Ú ÖØÙ Ð ÓÐ Ö Û ÒØÖÓ Ù Ò ÔÖÓ Ö Ñ
Å ß ÓÒ ÔØÙ Ð Ñ Ð Å Ò Ö Ê Ö ÓÐ ½ Ö ËØÙÑÑ ¾ ½ Ë ÓÓÐ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý Ö ÆØ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÓÐ Ó Ø ÑÔÙ ÈÅ ¼ ÓÐ Ó Ø Å Ð ÒØÖ ÉÄ ¾ Ù ØÖ Ð ÖºÓÐ Ùº Ùº Ù ¾ Ì Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÖÑ Ø Ø Ö Å Ø Ñ Ø Ë ÐÓ ÖØ Ò ØÖº ß ¾ ÖÑ Ø
1 The Multinomial logit
Ë ÑÔÐ Ò Ó ÐØ ÖÒ Ø Ú Ù Ò ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÐÝ Åº ÖÐ Ö º ÄÙ ÑÓ Å Ý ¾¾ ¾¼¼ Ê ÔÓÖØ ÌÊ ÆËȹÇÊ ¼ ¼ ¾¾ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Ò ÅÓ Ð ØÝ Ä ÓÖ ØÓÖÝ Ë ÓÓÐ Ó Ö Ø ØÙÖ Ú Ð Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ð Ò Ò Ö Ò ÓÐ ÈÓÐÝØ Ò ÕÙ Ö Ð Ä Ù ÒÒ transp-or.epfl.ch
½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÒÓÑ ÈÓÖØ Ð Û ¹ ÒØ Ö Ø Ú ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÔÐ Ø ÓÖÑ ÓÖ Ø Ò Ð¹ Ý Ò Ñ Ò Ò Ó ÒÓÑ Ø º Ï Ñ ØÓ ÒØ Ö Ø Ø ÔÖ Ñ ÖÝ ÒÓÑ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÒÓÛÐ Ò Ò ÐÝØ Ð ØÓÓÐ Û
ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ ¾ ËØ ÖØ Ý ÓÒ ØÖÙØ Ò Ò Ð Ø ¾ ¾º½ Í Ò ÔÖ Ò Ò Ð Ø µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ë Ö ÓÖ Ò Ó ÒØ Ö Ø Ù Ò ÒØÖ Þ ÝÑ ÓÐ ÓÖ Ö ÔØ ÓÒº ¾º È Ø Ð Ø Ó Ò Ò Ø ÓÜ ÔÖÓÚ º º º º
ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ ÔÓ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ú ÒØ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ö ÔÖ Ú ÓÙ Ðݺ ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó ÓÙÖ Ø ÓÖ Ñ Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ö Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ö Ò Û Ò º
Ò ÕÙ ÒØ Ð ÓÖÖ ØÒ Ò Ö ¹Ñ ÑÓÖÝ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ð ÖØ ÔÐ Ò ¹Ñ Ð ÔÐ Ò ÖÑ º ÒÔº Ö ÊÅÁ Ë Ê Ö Ê ÔÓÖØ ¹½ ½ ÇØÓ Ö ½ ØÖ Ø Ì Ö Ö Ö ÔÓÖØ Ö Ò Û ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ØÓ ÔÖ Ú ÓÙ Ô Ô Ö Û Û ÐÐ Ú ÐÝ Ö Ö ØÓº ÅÓ Ø Ó Ø Ö ÙÐØ Û Ö Ú Ö
ÓÒØ ÒØ ¾
ÉÙ Ø ÓÒ Ì È Ð ÐÔ Ð ÓÙÖØ ÒÒÙ Ð À Ë ÓÓÐ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÓÒØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó È ÒÒ ÝÐÚ Ò Å Ö ¾¼¼½ ÓÒØ ÒØ ¾ È ÖØ Á ÉÙ Ø ÓÒ ½ ¹ Ï Ò Ø ÒÙÑ Ö ¾ ÑÙÐØ ÔÐ Ý Ø ÔÖÓ ÙØ ¾ ¾ º ÆÓØ Ø Ø Ø Ö Ø ÓÙÖ Ø Ö Ø Ñ Ø Ð Ø ÓÙÖ Ø ¾ Ò ¾ µº
The Enigma machine. 1 Expert teams 25 mins. 2 Mixing the teams 30 mins. 3 Coding and decoding messages 1 period
The Enigma machine ¼ The Enigma machine Time frame 2 periods Prerequisites : Å Ò ÖÝÔØÓ Ö Ô Ø Ò ÕÙ Objectives : ÓÚ Ö Ø ÛÓÖ Ò Ó Ø Ò Ñ Ñ Ò º ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ Ð Ø Ó Ö Ý Ø Ñ Ò º Materials : 6 ÓÔ Ó Ø Øº 6 3
½º»¾¼ º»¾¼ ¾º»¾¼ º»¾¼ º»¾¼ º»¾¼ º»¾¼ º»¾¼» ¼» ¼ ÌÓØ Ð»½ ¼
Ò Ð Ü Ñ Ò Ø ÓÒ ËÌ ½½ ÈÖÓ Ð ØÝ ² Å ÙÖ Ì ÓÖÝ ÌÙ Ý ¾¼½ ½¼ ¼¼ Ñ ß ½¾ ¼¼Ò Ì ÐÓ ¹ ÓÓ Ü Ñ Ò Ø ÓÒº ÓÙ Ñ Ý Ù Ø Ó ÔÖ Ô Ö ÒÓØ ÝÓÙ Û ÙØ ÝÓÙ Ñ Ý ÒÓØ Ö Ñ Ø Ö Ð º Á ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ñ ÙÓÙ ÓÖ ÓÒ Ù Ò ÔÐ Ñ ØÓ Ð Ö Ý Øº ÍÒÐ ÔÖÓ
ÇÆÌ ÆÌ ËÙ Ø Ú ÒØÖÓ ÙØÓÖÝ Ö Ñ Ö Å Ø Ô ÓÖ Ò Ø Ú ÔÔÖÓ Ì Ô ÐÓ ÓÔ Ð Ö Ò À ÖÑ Ò ÙØ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÓ Ò Ì ÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ò Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò
ÌÀ Ê ÁÆ Ë À ÊÅ Æ ÍÌÁ ÎÁ È Ø Ö Ö ÒØ Ö ÓÖ ÓÑÔÐ Ü ËÝ Ø Ñ ËØÙ Ã Ð Ñ ÞÓÓ ÓÐÐ Å Ò Ò Ôغ ÓÔ Ý Ã ÃÁ Ê Ö ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ È ÖØ Ð Ò ÆÙÐ Ö È Ý Ó Ø ÀÙÒ Ö Ò ÑÝ Ó Ë Ò Ù Ô Ø ÇÆÌ ÆÌ ËÙ Ø Ú ÒØÖÓ ÙØÓÖÝ Ö Ñ Ö Å Ø Ô ÓÖ Ò Ø Ú ÔÔÖÓ
The distin tive features of interval temp o ral logi s ψ ψ T ruth of fo rmulae is de ned over intervals (not p oints). ψ ψ
Ò ÓÔØ Ñ Ð Ø Ð Ù Ý Ø Ñ ÓÖ Ø ÐÓ Ó Ø ÑÔÓÖ Ð Ò ÓÖ ÓÓ ÓÚ Ö Ø Ö Ð Ò ÐÓ ÅÓÒØ Ò Ö Ò È ØÖÓ Ë Ð + Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Í Ò ÁØ ÐÝ + Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÖÑ ÓÐÓ Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Î ÖÓÒ ÁØ ÐÝ ÌÁÅ ¾¼½¾ Ä Ø
spike splinter spire spindle spear
Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ËØÙ Ý Ó ËÐ Ú Ö ÜÙ Ø ÓÒ À Ö ÖØ Ð ÖÙÒÒ Ö Ý Ò ÑÖÓÒ ÙÓÝ Þ ØÖ Ø Ï ÔÖ ÒØ Ö ÙÐØ ÓÒ ØÛÓ¹ Ø Ô ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ó Ñ ÕÙ Ð ØÝ Ò Ø Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ º Ì Ö Ø Ø Ô Ö Ò Ø ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò
ÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Ä Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÑÓÒ ÖÓÑ ÓÖÑ Ö Ð Ö Ò Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Ê ÄÄ Á Ô ÓÔ
ÈÖÓØÓ¹Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø ¹Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò ØÖ Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÓÓÐ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ü Ò Ö ÓÖÓÚ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ø Ö Ë Ð ¼ Å Ö ¾¼½½ ÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò ØÙ Ý
ÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º ÓÙ ÖÝ ¾ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Å Ò Ñ Ü Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÔ Ø ÔÖÙÒ Ò
ØÓ ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÔÖ Ò ¾¼½¾ Ë º ÓÙ ÖÝ Ë ÙÛ Ö µ ÖØ ¼¾µ ¾ º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Ú Ö Ö Ð Ë Ö Ì ØÐ ÔØ Ö Ë Ø ÓÒ º½ º¾ Ò º µ ÁÅ ÍÊÄ ÛÛÛº ºÙÒк Ù» ÓÙ Öݻ˽¾ ÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º ÓÙ ÖÝ ¾ ÁÒ
ÇÍÌ ÁËÌ Æ Æ ÆÇƹ ÁËÌ Æ Ç Ä ÌÌÁ Ë ÁÆ ËÇÅ ËÇÄÎ Ä ÄÁ ÊÇÍÈË Îº ÓÖ Ø Ú Ì ÖØ Ð ÚÓØ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ü Ø Ò Ò ÒÓÒ Ü Ø Ò Ó Ð ØØ Ò ÓÐÚ Ð Ä ÖÓÙÔ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û ÔÖÓ
ËÁ Ì ÖÛ Ò Ë ÖĐÓ Ò Ö ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ð È Ý ÓÐØÞÑ ÒÒ ¹½¼ ¼ Ï Ò Ù ØÖ ÓÙØ Ü Ø Ò Ò ÆÓÒß Ü Ø Ò Ó Ä ØØ Ò ÓÑ ËÓÐÚ Ð Ä ÖÓÙÔ Îº ÓÖ Ø Ú Î ÒÒ ÈÖ ÔÖ ÒØ ËÁ ½¾ ¾¼¼¾µ  ÒÙ ÖÝ ¾ ¾¼¼ ËÙÔÔÓÖØ Ý Ø Ù ØÖ Ò
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö ÙÑÙÐ ÒØ Ò Ã ÖÓÚ³ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ä Ø Ù ÒÓØ Ý Ë Ò Ø ÝÑÑ ØÖ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö Òº ÁÖÖ Ù Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ λ Òº ÆÓÖÑ Ð Þ Ö Ø Ö Ú ÐÙ χ λ (µ) ÓÖ µ
ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ò ÔÓ Ø Ú ØÝ Ó Ã ÖÓÚ³ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Î Ð ÒØ Ò Ö Ý Ä ÓÖ ØÓ Ö ³ÁÒ ÓÖÑ Ø Õ٠гÁÒ Ø ØÙØ Ô Ö ¹ÅÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ¹ Ø ÓÖÑ Ð ÈÓÛ Ö Ë Ö Ò Ð Ö ÓÑ Ò ØÓÖ ¾¼¼ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì Ð Ð µ ÂÙÒ ¾ Ø Î Ð ÒØ Ò
Ï ÓÛ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ó ÐÓ µ ÕÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ð ÙÒ Ö Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ü ÔØ ÓÖ ÓÒ ÙÒ Ø Ð µ Ò ÓÑÔÙØ ¹ Ø ÓÒº ÅÓÖ Ô ÐÐÝ Û ÓÖÑÙÐ Ø ÕÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ ÓÐÚ Ò Ò Ø Ô Ö Ñ
ÉÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ ÍÒ Ö È ÖØÙÖ Ø ÓÒ ËØ Ò Ê Ø Ò ¹Ñ Ð ËØ ÒºÊ Ø ÒÖ ºÙÒ ¹Ð ÒÞº º Ø Ñ Ö ¾ ¾¼¼¼ ØÖ Ø ÉÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ º º Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ÓÚ Ö Ø Ö Ð ÒÙѹ Ö µ Ö Ó Ø Ò ÜÔÓ ØÓ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø ÓÑ ÖÓÑ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ
ÇÙØÐ Ò ½ ¾ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔغµ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò
Æ ÙÝ Ò Ì ÌÙ Î Ò ½ Æ ÙÝ Ò ÉÙ Ò Î Ò ¾ ½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ò È ÖÑ Ý Ó ÀÓ Å Ò ØÝ ¾ Æ ÙÝ Ò ÌÖ È ÙÓÒ ÀÓ Ô Ø Ð ÂÁ ÔÖÓ Ø ¹ Ù Ù Ø ¾¼½ ÇÙØÐ Ò ½ ¾ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò
ÈÌÁÅ ÉÙ Ö Ê Ú Ø Ð Ò Æ ½ Â «Ê ÑÑ Ð ¾ Ò Î ØÓÖ Î ÒÙ ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ë Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò Ó Ä ÂÓÐÐ ¾¼ ÍË ¾ Å Ø Ñ Ø Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò Ó Ä ÂÓÐÐ ¾¼ ÍË Ë Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò
ÈÌÁÅ ÉÙ Ö Ê Ú Ø Ð Ò Æ ½  «Ê ÑÑ Ð ¾ Ò Î ØÓÖ Î ÒÙ ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ë Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò Ó Ä ÂÓÐÐ ¾¼ ÍË ¾ Å Ø Ñ Ø Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò Ó Ä ÂÓÐÐ ¾¼ ÍË Ë Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò Ó Ä ÂÓÐÐ ¾¼ ÍË ØÖ Øº Ì Ü Ø Ò Ó Ð Ò Ù ÜÔÖ Ò ÔÖ ÐÝ Ø
ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ø Ú Øݹ ØÖ Ú Ð Ñ Ò ÑÓ Ð Ò Ô Ö ÓÒ Ð Þ ÖÚ ÓÒ Ñ ÖØÔ ÓÒ ¾» ¾
ÅÓ Ð Ò Ø ÝÒ Ñ Ó Ðй Ý Ø Ú ØÝ ÔÐ Ò Ï ÐÐ Ñ À ÑÔ ½ ÙÒÒ Ö Ð ØØ Ö Ê Ö Ó ÀÙÖØÙ Ò Å Ð ÖÐ Ö ¾ ÂÙÒ ¾¾ ¾¼½¼ ½ ÃÍ Ä ÙÚ Ò ¾ È Ä Ù ÒÒ ½» ¾ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ø Ú Øݹ ØÖ Ú Ð Ñ Ò ÑÓ Ð Ò Ô Ö ÓÒ Ð Þ ÖÚ ÓÒ Ñ ÖØÔ ÓÒ ¾» ¾ ÇÙØÐ Ò
Kevin Dowd, after his book High Performance Computing, O Reilly & Associates, Inc, 1991
Ò Û Ö ÌÓ ÉÙ Ø ÓÒ ÁÒ Ï ÐÐ ÝÓÒ ÆÙÑÈÝ Ö Ð Ò Ú ÐÓÔ Ö Ò ÈÝÌ Ð Ö ØÓÖ ÂÙÐÝ Ø ¹½½Ø ¾¼½¼º È Ö ¹ Ö Ò ÇÙØÐ Ò Ì Ø Á Ù Ò Û Ö ÌÓ ÉÙ Ø ÓÒ ÁÒ ½ Ì Ø Á Ù ¾ Ò Û Ö ÌÓ ÉÙ Ø ÓÒ ÁÒ ÇÙØÐ Ò Ì Ø Á Ù Ò Û Ö ÌÓ ÉÙ Ø ÓÒ ÁÒ ½ Ì Ø Á
ÒÒ Ú Ö Ö Ø ½ ÁËÅȵ ¼Ø Ó Ø ÑÔÐ Ü Ñ Ø Ó ¼Ø Ó Ã ÒØÓÖÓÚ ³ ½ Ô Ô Ö Å Ø Ñ Ø Ð Å Ø Ó Ò Ø ÇÖ Ò Þ Ø ÓÒ Ò ÈÐ ÒÒ Ò Ó ÈÖÓ ÙØ ÓÒ ¼Ø Ó ¼Ø Å Ø Ñ Ø Ð ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ËÝÑÔÓ
Ì Ñ ÒÝ Ø Ó Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Å Ð Âº ÌÓ Ë ÓÓÐ Ó ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö Ò ÁÒ Ù ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÓÖÒ ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÁØ Æ Ñ ØÓ ºÓÖÒ Ðк Ù ØØÔ»»ÛÛÛºÓÖ ºÓÖÒ Ðк Ù» Ñ ØÓ» ÁËÅÈ ØÐ ÒØ Ù Ù Ø ½¼ ¾¼¼¼ ½ ÒÒ Ú Ö Ö Ø ½ ÁËÅȵ ¼Ø Ó Ø
ÇÒ Ø ÈÓÛ Ö Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ë Ö Ø Ë Ö Ò Îº Î ÒÓ ½ ÖÚ Ò Æ Ö Ý Ò Ò ¾ ú ËÖ Ò Ø Ò ¾ Ò º È Ò Ù Ê Ò Ò ¾ ½ Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Å Ù ØØ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý
ÇÒ Ø ÈÓÛ Ö Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ë Ö Ø Ë Ö Ò Îº Î ÒÓ ½ ÖÚ Ò Æ Ö Ý Ò Ò ¾ ú ËÖ Ò Ø Ò ¾ Ò º È Ò Ù Ê Ò Ò ¾ ½ Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Å Ù ØØ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ñ Ö Å ¼¾½ ÍË º ¾ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò Ò Ò Ö Ò
Ì Ì ÓÖÝ Ó Ì Ñ Á»Ç ÙØÓÑ Ø Ð ÙÒ Ãº à ÝÒ Ö Ò Æ ÒÝ ÄÝÒ ÅÁÌ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÊÓ ÖØÓ Ë Ð Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Î ÖÓÒ Ö Ø Î Ò Ö Ö
Ì Ì ÓÖÝ Ó Ì Ñ Á»Ç ÙØÓÑ Ø Ð ÙÒ Ãº à ÝÒ Ö Ò Æ ÒÝ ÄÝÒ ÅÁÌ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÊÓ ÖØÓ Ë Ð Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Î ÖÓÒ Ö Ø Î Ò Ö Ö Ý Æ Ñ Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ë Ò ÍÒ Ú
Ø ÔÖ ÙÖ ØÝ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó ÙØ ÒØ Ø Ý Ø Ð Ñ Òغ Ë Ú Ö Ð ÓÒÖ Ø ÙÖ ØÝ Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò ØØÖ ÙØ Ú Ò ÒØ Ö Ð º Ì ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÙÖ ØÝ Ó Ð Ó Ý Ø Ð Ñ ÒØ ÔÖÓØÓÓÐ Ö ØÓ ÑÔÐ Ø
ÌÛÓ¹È ÙØ ÒØ Ø Ã Ý Ö Ñ ÒØ ÈÖÓØÓÓÐ Û Ø Ã Ý ÓÒ ÖÑ Ø ÓÒ ÓÝ ÓÒ ËÓÒ ÃÛ Ò Ó Ã Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Á ͵ ¹ ÀÛ Ñ¹ ÓÒ Ù ÓÒ ¹ Ù Ì ÓÒ ¼ ¹ ¾ ˺ ÃÓÖ Ý ÓÒ Ùº º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖÓÔÓ Ø Ö Ý Ö Ñ ÒØ ÔÖÓØÓÓÐ
ÙÖ ¾ Ë Ð Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ¾ ¾
Å Ë ¹ Í Ö Ù Ú¼º¾ ÔÖ Ð ½¾ ¾¼½¼ ½ ½º½ ÈÖÓ Ø ÉÙÓØ Ì ÕÙÓØ Ð Ø Ò Ö ÐÐÝ ÓÖ Ö Ý Ô Ö Ó Û Ø Ø Ò Û Ø Ø Ø ÓØØÓѺ ÁØ Ñ Ý ÐØ Ö Ý Ð Ø Ò Ò ÔÔÐ Ø ÓÒº ½º½º½ ÉÙÓØ ÉÙÓØ Ò ÔÔÐ ØÓ Ö ÕÙ Ø Ý Ð Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÐÐÓ Ø ¹ÓÐÙÑÒ Û Ý ÙÐØ
ÁÒ Ø ÖÑ Ó Ð Ò Ù Ø ÓÖÝ ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÖÖ Ò Ò ØÓÖ Ö Ò Ò Ò¹ Ø Ð ÜØ Ò Ò Ü ØÐÝ Ø Ñ Ð Ó Ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù Ò Ö Û Ø Ø Ò Ö Ö ÙÐ Ö ÜÔÖ Û Ø ÓÙØ ÒÙÑ Ö Ð ÓÙÖÖ Ò Ò ØÓÖ º ÇÒ Ø
Ê ÙÐ Ö ÜÔÖ Û Ø ÆÙÑ Ö Ð ÇÙÖÖ Ò ÁÒ ØÓÖ ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ Ö ÙÐØ È Ã ÐÔ ÐĐ Ò Ò Ò Ê ÙÒÓ ÌÙ Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÃÙÓÔ Ó Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÈºÇº ÓÜ ½ ¾ Áƹ ¼¾½½ ÃÙÓÔ Ó ÒÐ Ò È ºÃ ÐÔ Ð Ò Ò Ê ÙÒÓºÌÙ Ò Ò ºÙ Ùº ØÖ Øº Ê ÙÐ
Ì Æ ÒÝ Ò ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ¹ Ê ÓÒ Ò ÈÖÓ ÙÖ Û Ø ÙÒØ Ú ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ö Ø¹ÇÖ Ö ÃÒÓÛÐ ÔÐÓÑ Ö Ø Ñ ËØÙ Ò Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÚÓÒ ÀÓÖ Ø Ë ÑÙÐÓÛ ØÞ Å ØÖº¹ÆÖº ¾½ ¼ Ä Ö¹ ÙÒ ÓÖ ÙÒ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø Î ÈÖÓ º º Ä Ñ Ý Ö È
ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Å Ò Ì ÓÖ Ñ ÁÒ Ö ÒØ Ó Ø ÔÖÓÓ ÒØ Ö Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ñ Ü Ò ÒÓ ÓÚ ÓÛ Ê Ñ Â ÓÙ Ï Ø ÖÐÓÓ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¾ Å Ö ¾¼½ ÓÒ Ö Ò ÅÓ Ð Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ê Ñ Â
Ï Ø ÖÐÓÓ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¾ Å Ö ¾¼½ ÓÒ Ö Ò ÅÓ Ð Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø Ó ØÓÖÝ Ø Ø Ò Ó Ø Á ÒØÙÖÝ È Ö Ò Î ÓØ Ú ÐÓÔ ÐÓ Ø ÓÖÝ ÓÖ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º Ø Ø Ñ Ô Ö Ó ÈÓ Ò Ö ÔÙ Ð Ø Ø Ö ÚÓÐÙÑ Ó Ä Ñ Ø Ó ÒÓÙÚ ÐÐ Ð
Degradation
Î Ê ÙÐØ Ì ÔØ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ò Û Ø Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÜÔÐ Ò ÙÒØ Ð Ø ÔÓ Òغ ÁÒ ÐÐ Ø Ó ³ Ö Ø Û Ú Ö Û Ð P er Û ÔØ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ó ÓÒØ ÒØ Û Ú ÐÙ Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ö Ø ÓÒ Ý Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ Ò Ñ ½µ Ó Ø Ú ÕÙ
Ø Ð ÙÒØÓÖ Ý Ð ÑÓÒ Á ÓÒ Ä Ö Ù Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ñ Ô Ó Ò Û Ø Ø ÃÐ Ð ÑÓÖÔ Ñ º Ì Ù Ø Ø ÓÖÝ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÑ Ø ÃÐ Ð Ø ÓÖÝ Ä Ö Á Ò Ø Ð ÙÒØÓÖ Ý Ð Ö
ÅÇÆ ÇÊ ÇÅ ÁÆË Æ ÇÌÀ Ê Ì ÇÊÁ Ë Ä Ë ÈÍÄÌÊ Æ ÆÆ ÌÇ Á Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó ÁÚ Ò Ê Ú Ð ØÖ Øº Ñ ÐÐ ÑÓ Ø ÓÒ Ó Î Ö ³ Ò Ø ÓÒ Ó ÓÒØ ÒÙ¹ ÓÙ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÐÐÓÛ ÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖÝ Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ ÈÇ µ
Ö Ò ÁÅ ÔØ Ö Ê ÕÙ Ö ÔØ Ö ½¼ ½ Ò ½ º ÄÏÀ ØÓ ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¹ ËÔÖ Ò ¾¼½ Ë º ÓÙ ÖÝ Ë Ù¹Û ¹Ö µ ÖØ ¼¾µ ¾¹ º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ ÖÙ ÖÝ ½ ¾¼½
Ö Ò ÁÅ ÔØ Ö Ê ÕÙ Ö ÔØ Ö ½¼ ½ Ò ½ º ÄÏÀ ØÓ ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¹ ËÔÖ Ò ¾¼½ Ë º ÓÙ ÖÝ Ë Ù¹Û ¹Ö µ ÖØ ¼¾µ ¾¹ º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ ÄÓ Ð Ë Ö Ì ØÐ ÍÊÄ ÛÛÛº ºÙÒк Ù» ÓÙ Öݻ˽ ¹ ¹ ÁØ Ö Ø Ú ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ
ÇÚ ÖÚ Û ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ Ý ¾¼½¾ Ò Ö Ð Þ Ö ÐØÝ ÅÓ Ð ÓÖ ÓÑ Ø Ý ¾
Ý Ò Ò Ö Ð Þ Ö ÐØÝ ÅÓ Ð ÓÖ ÓÑ Ø Ý Ð ÐÙ À Ø Ö Ø Ò ÁÒØ ÖÙÒ Ú Ö ØÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ó Ø Ø Ø Ò Ø Ø Ø Ð Ó Ò ÓÖÑ Ø Á¹ ÓËØ Øµ ÍÒ Ú Ö Ø Ø À ÐØ Ô Ò Ð ÙÑ ÂÓ ÒØÐÝ Û Ø Ö Ø Ð ÖØ ÅÓÐ Ò Ö ² À Ð Ò Ý Ý ¾¼½¾ Ò Å Ý ½¼ ¾¼½¾ Ý ¾¼½¾
Á Ù Ë Ô Ö Ø ÓÒ ÒØÓ ËØÖ Ø Ý Ô Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ô Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ Ö Ó Ø ØØÖ ÙØ Ò Ø Ò Ö Ø Ý Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ ØÖ Ø Ýº ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ò Ö Ø ÓÒ ÊÙÒØ Ñ
ØØÖ ÙØ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ï Ð ÐѻŠÙÖ Ö ÓÑÔ Ð Ö Ò ÔØ Ö Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º Á Ù Ë Ô Ö Ø ÓÒ ÒØÓ ËØÖ Ø Ý Ô Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ô Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ Ö Ó Ø ØØÖ ÙØ Ò Ø Ò Ö Ø Ý Ø Ú ÐÙ
Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÔÐ Ò Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò Ë ÓÓÐ Ð ØÙÖ ÒØÖÓ Ù Ø ÖÓÙØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö ÓÑÑÓÒ ÔÔÖÓ ØÓ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ì Ð ÓÖ Ø Ñµ ÓÖ ÓÖØ Ø¹Ô Ø ÖÓÙØ Ò º ØÖ ³ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Æ ØÛÓÖ Ò Ð ØÙÖ ¼ ÊÓÙØ Ò Å ØØ Û ÊÓÙ Ò
Sensor0 Motor0. Sensor2. Motor2
ÅÓ ÐÐ Ò Ö Ð¹Ø Ñ Ð Ò Ù Ì ÓÑ ÀÙÒ ÊÁ Ë Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ö Ù ÒÑ Ö Ñ Ð Ö Ö ØÖ Ø Ï ÔÖ ÒØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ó ÓÖ ØÖ Ò Ð Ø Ò Ö Ð¹Ø Ñ ÔÖÓ¹ Ö Ñ ÒØÓ Ò ØÛÓÖ Ó Ø Ñ ÙØÓÑ Ø ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÛÖ ØØ Ò Ò Ò Ñ ÐÝ
Implementation of an Automatic Image Registration Tool
1 Implementation of an Automatic Image Registration Tool Pavel A. Koshevoy, Tolga Tasdizen, and Ross T. Whitaker UUSCI-2006-020 Scientific Computing and Imaging Institute University of Utah Salt Lake City,
Z=102 Z= Z=98 Z= Z=94 Z=92
ÎÓк ¼¼ µ Ì ÈÀ ËÁ ÈÇÄÇÆÁ ÆÓ ÇÄÄ ÌÁÎ ÉÍ ÊÍÈÇÄ ÁÌ ÌÁÇÆË Ç ÌÊ ÆË ÌÁÆÁ ÆÍ Ä Á ú ĺ ÈÖ Ò Ãº ÈÓÑÓÖ ÁÒ Ø ØÙØ Ó È Ý Å Ö ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ÍÒ Ú Ö ØÝ Èк ź ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ½ ¼¹¼ ½ ÄÙ Ð Ò ÈÓÐ Ò Ëº º ÊÓ ÓÞ Ò Âº ËÖ ÖÒÝ ÙÐØÝ
ÃÓ Ð Ö ² ÀÓ Ñ ÒÒ Û Û ÐÐ Ö ÓÒ Ð Ò ÓÖ ÓÖ Ö Ò Ò ØÙ Ý Ø Ö ÓÑÔÐ Ü Øݺ ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø ÓØ Ö Ú ÖÝ Ö ØÓ º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Û ÒØÖÓ Ù ØÛÓ Æ ÒØ Ñ Ø Ó Ø Ø Ò ÓØ Ù ØÓ ÔÔÖ
ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò Ê Ö ½¾ ¾¼¼¼µ ß ËÙ Ñ ØØ ½¾» Ô٠л¼¼ ÇÒ Ê ÓÒ Ð Ò ÓÖ Ó Ð ÇÖ Ö Ò Ò Ø Ö Í Ò Ò Ò ¹ Ö Ú Ò ÈÐ ÒÒ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Â Ò ÃÓ Ð Ö Ë Ò Ð Ö Ä Ø ÄØ º Ê ² Ì ÒÓÐÓ Ý Å Ò Ñ ÒØ ¼ ½ ÓÒ ËÛ ØÞ ÖÐ Ò ÂĐÓÖ ÀÓ«Ñ
ÓÙÖ ÓÒØ ÒØ Ï Ý Ó Û Ù Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ØÝ ÔÖÓÚ Ý Ø Å Ò Ñ ÒØ ËÝ Ø Ñ Ø ÅÓ Ð Ê Ð Ø ÓÒ Ð Æ ØÛÓÖ ÇÇ ÀÓÛ Ó Û Ù ÅË Ê Ð Ø ÓÒ Ð ÑÓ Ð ÓÙÒ Ø ÓÒ Ð ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù ËÉÄ ÔÔÐ Ø
ÇÚ ÖÚ Û Ó Ø Å Ò Ñ ÒØ Ö Ò ÌÓÑÔ Ë ÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ï Ø ÖÐÓÓ Ë ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Å Ò Ñ ÒØ Ï ÒØ Ö ¾¼½¼ Ë ÁÒØÖÓ ØÓ Å Ñص ÇÚ ÖÚ Û Ó Ø Å Ò Ñ ÒØ Ï ÒØ Ö ¾¼½¼ ½» ¾¾ ÓÙÖ ÄÓ Ø Ï Ô Ì ÜØ ÓÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÛÛÛº
ν = fraction of red marbles
Ê Ú Û Ó Ä ØÙÖ ½ Ü ÑÔÐ È Ö ÔØÖÓÒ Ä ÖÒ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ä ÖÒ Ò Ù Û Ò ¹ Ô ØØ ÖÒ Ü Ø + + ¹ Ï ÒÒÓØ Ô Ò Ø ÓÛÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÐÝ ¹ Ï Ú Ø ÓÒ Ø ÓÙ ÓÒ ÙÔ ÖÚ Ð ÖÒ Ò + + + ¹ ÍÒ ÒÓÛÒ Ø Ö Ø ÙÒØ ÓÒ y = f(x) ¹ Ø Ø (x 1,y 1 ),, (x
Employee Name Salary Page Page Smith Stowe. Employee(x,y)? (Smith, 3000), (Stowe, 7000) yemployee(x,y)? Page,Smith,Stowe
ÖØÓ Ä ÓÔÓÐ Ó ÍÒ Ú Ö ØÝ ÖÐ ØÓÒ Ò Ö ÄÓÔ Ø Ò Ó Íº ÓÐÞ ÒÓ¹ ÓÞ Òµ ÉÙ ÖÝ Ò Û Ö Ò Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Å Ò ÑÙÑ Ö Ò Ð ØÝ Ë Ñ ÒØ ÍÒ Ö ÇØØ Û Ò ÂÓ ÒØ ÛÓÖ Û Ø ¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ñ Ý ÓÑ ÒÓÒ Ø ÒØ ÛÖØ Ú Ò Ø Ó ÒØ Ö ØÝ Ø Á µ ÓÒ ØÖ ÒØ