1 m k < 1 m. 1 ( 1 1 m. Ä Ø m = { a,..., z } = 26

Transcription

1 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½ ÓÙÖ ÙÖ ÙÖ Ý ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ö ÒØØ Î ÐÑ Ö ÒØ ÖÓ Ã Ò Ì ÑÔ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÒ Ø ØÙØ Ó ËÓ ØÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÈºÇº ÓÜ Áƹ ½¼½ Ì ÑÔ Ö Ì ØÓØ ÐÓ ÖÓÓÑ ¾½½ Ô ÓÒ ½½ ¼ Ñ Ð ÒØ ÖÓºÃ Ò ØÙغ Û ØØÔ»»ÛÛÛº ºØÙغ» ÒØ ÖÓ» Ñ Ö ¾ ¾¼½¼ Æ Û ÖÓÙÔ ØÙغÓØºÓ ØÓ Ï ØØÔ»»ÛÛÛº ºØÙغ» ÙÖ Ø»ÇÀ¹¾ ¼ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ü Ö Ò ÓÖÑ Ð Ö Ò Ý Ø Ñ Ä Ø Ö ØÙÖ Ð ØÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ò Ü Ö ÒÓ ÓÓ ÓÚ Ö Ø Û ÓÐ ØÓÔ Ð ØÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ð ÙÒ Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ú Ð Ð ÓÒ Ø Û Ô ÓÖÑ Ö Ð ØÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ò ÒÒ ÓÐ Ò ¹ Ö ÓÖÑ 4 1 Ý Ì Ì ÔÓ Ð Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ö Ð Ð Ú Ö Ý Û Ù Ø Ð Ø ÓÒ Ð Ö Ò Êº º ÓÙ ÈÖÓ Ö Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò Î Ö Ø ÓÒ ÈÖ ÒØ ¹À ÐÐ ½ º Ö Ì Ë Ò Ó ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ½ ½ º Ö º º Ë Ò Ö ÄÓ Ð Ô¹ ÔÖÓ ØÓ Ö Ø Å Ø ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ½ µµ ƺ Ö Ò Þ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ ÓÒ¹ Ï Ð Ý ½ ¾ µµ ¼¹¼ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹¾ ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¼¹ ½º½ Ï Ý ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ò º ¼¹ ½º¾ Ü ØÒ Ò ÓÖÑ Ð ØÝ º º º º º º º º ¼¹½ ½º Ì Ó Ð Ò ÓÒØ ÒØ Ó Ø ÓÙÖ ¼¹ ½ ¾ ËÔ Ø ÓÒ Ó ÈÖÓ Ö Ñ ¼¹ ¾º½ ËØ Ø Ó ÈÖÓ Ö Ñ º º º º º º º º º º º ¼¹ ¾º¾ ÏÖ Ø Ò ËØ Ø ÈÖ Ø º º º º º º º ¼¹ ¾º ËÔ Ø ÓÒ Ó ÈÖÓ Ö Ñ º º º º º º º ¼¹ ÈÖÓÚ Ò ÓÖÖ ØÒ Ó ÈÖÓ Ö Ñ ¼¹ º½ Ò Ö Ð ÈÖ Ò ÔÐ º º º º º º º º º º º º ¼¹ º¾ Ë Ñ ÒØ Ó ËØ Ø Ñ ÒØ º º º º º º º º ¼¹ º ÈÖÓÚ Ò ÄÓÓÔ ËØ Ø Ñ ÒØ º º º º º º º ¼¹½½ º ÈÖÓÓ Ü ÑÔÐ º º º º º º º º º º º º º ¼¹½ ¾ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÖ ÈÖÓÚ Ò ¼¹½ ½ º½ ÈÖÓÚ Ò ÓÖÖ ØÒ Å Ò ÓÖ Ê ¹ Ú Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼¹½ ¾ º¾ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ñ Ò Ø ÈÖÓÓ ÌÓ¹ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼¹½ ÈÖÓÚ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ¼¹¾ ½ º½ Í Ò Ò ØÖ Ø Ø ËØÖÙØÙÖ º º ¼¹¾ º¾ Ü ÑÔÐ Ó À Ö ÈÖÓÓ Ó Ò Ð ÓÖ Ø Ñ¼¹¾ ËÙÑÑ ÖÝ ¼¹¾ ½ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ Ø ÓÙÖ Û Ù ÓÙØ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ö ÓÙÖ Ò Ô Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ º ÔÖÓÓ ÓÖ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ØÓ Ö ¹ ÓÖÓÙ Ø Ú Ð ØÝ Ó Ø Ô Ò Ø ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ø Ô ÜÔÐ ØÐÝ Ñ Ð Ö Ò Ù Û Ý Ø Ø Ø Ö ÙÐØ ÓÐÐÓÛ Û Ø ÖØ ÒØݺ Ê ÓÖÓÙ ÔÖÓÓ Ó Ø Ò Ö ÐÝ ÓÒ Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ò Ö ÙÐØ Ó ÓÖÑ Ð Ý Ø Ñ Ø Ø Ö Ø Ñ ÐÚ ÓÒ ¹ Ö Ö ÓÖÓÙ ÙÒ Ö Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ º Ì Ñ Ò ÒØ Ö Ø Ò Ø ÓÙÖ ÓÒ Ñ ÒØ Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø ÐÐÝ Ö ÓÖÓÙ ØÖ ØÑ ÒØ Ó Ñ Ò Ò º ÝÒØ Ü Ø Ø ÖÙÐ ÓÖ Ô ÐÐ Ò Ù ÓÒ ÓØ Ö ÓÙÖ Ö Ì Ñ Ø Ó ÓÖ Ó ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò Û Ö ÓØ ÝÒ¹ Ø Ü Ò Ñ ÒØ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ð Ö ÓÙÖ ÐÐ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ò Ø ÓÙÖ Û ØÙ ÐÐÝ Ó ÒÓØ Ù ÓÙØ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó

2 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø Ö Ø ÓÙÖ Ø Ý ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò Ò ØÓ ÔÔÐÝ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ú Ò Ú ÐÓÔ ÓÖ Ñ ÒÝ Ø Ø Ø Ò Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ô Ø ÓÒ Ò Ú ÐÓÔÑ Ú Ö Ø ÓÒ Ø Ø Ò Øº Û Ø ÝÓÙ Û ÐÐ Ð ÖÒ Ò Ò Ø ÓÙÖ ÐÔ ÑÓ ØÐÝ ÓÖ Ø ÙÒ ÖÐ Ò Ø ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö ÓÒ Ø ÑÔÓÖØ Ò Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ö Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓ ØÓ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ò Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ø Ø Ø Ø Ó Ð Ó Ø ÓÙÖ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ½º½ Ü ÑÔÐ Ï Ý ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ò ØÙ ÒØ Ó ÔÖÓ ÓÖ Êº ÓÙ Ö ØÙÖÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò È Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø Û ØÓ ÓÑÔ Ö Ø ÕÙ Ð ØÝ Ó ØÖ Ò Ñ := ( ØÖ Ò ½.Ð Ò Ø = ØÖ Ò ¾.Ð Ò Ø ); Ñ Ø Ò ÓÖ := 1 ØÓ ØÖ Ò ½.Ð Ò Ø Ó Ñ := ØÖ Ò ½. Ö[i] = ØÖ Ò ¾. Ö[i]; ÛÖ Ø Ñ µ Ä Ø Ù Ó ÓÑ Ø Ø º º º ÙÒ Ú Ö ØÝ ÙÒ Ú Ö ØÝ ÌÖÙ / ÓÙÖ ÓÙÖ ÌÖÙ / ÌÖÙ / ÙÒ Ú Ö ØÝ ÓÙÖ Ð / Ð ØÙÖ ÓÙÖ Ð / ÔÖ ÓÒ Ü ØÒ Ð / Ñ ÛÓÖ Ò ÓÒ ÑÓÖ Ø Ø ØÖÙ ÔÙÖ ÌÖÙ Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÛÖ Ø ÌÖÙ Ø ØÖ Ò Ú Ñ Ð Ò Ø Ò Ñ Ð Ø Ö Ø Ö ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø ØÙ ÒØ Ò Û Ö ÙØ Ø ÛÓÖ Ð Ø ÌÙ Ý À Ø ØÙ ÒØ Ò Ö Ð Û Ð Ø Ø Ò Ø ÔÖÓ¹ Ö Ñ À ÖÙÒ Ø Ö Ö Ó Ø Ø µ ØÖ Ò Û Ø Ö ÒØ Ð Ò Ø µ ØÖ Ò Û Ø ÕÙ Ð Ð Ò Ø ÙØ Ö ÒØ ØÖ Ò µ ÕÙ Ð ØÖ Ò Ò Ø Ö ÙÐØ Û Ö ÐÛ Ý ÓÖÖ Ø ÓÙ ÒÒÓØ Ö Ù Ø Ø Ø Ø Ø Ò Ò Ö ¹ Ð ÀÓÛ ÑÙ Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÓÙÐ Ú Ò Ø Ø Ø Ø Ø ÖÖÓÖ ÔÖÓ ÐÝ Ò Ö Ú Ð Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ Ø Ø Ø Ö ÒÒÓØ Ù Ô Ø ÒÝ Ô ØÖ Ò Ò Ú Ò ÓÙÐ Ø ÖÖÓÖ ÓÙÐ Ö Ú Ð Ñ¹ Ñ Ø ÐÝ Ý Ö ÓÒ Ò Ø ÖÖÓÖ ÔÔ Ö ÓÒÐÝ Ò Ø µ Û ÐÙÐ Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ÓÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÖÖÓÖ ÓÖ Ö Ò ÓÑ µ µ Ø Ø Ñ Ø Ö Ð ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö ÒØ Ö Ø Ö m Ò Ø Ð Ò Ø Ó Ø ØÖ Ò k Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø ÖÖÓÖ Û ÐÐ Ø Ø Ò ÓÒ Ø Ø 1 m Ò Ò n Ø Ø Ø ÐÓÛ 1 m k < 1 m 1 ( 1 1 m Ä Ø m = { a,..., z } = 26 Ê Ñ Ö ÓÖ Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð ØÝ 0.5 Ø Ò 18 Ø Ø ÓÖ Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð ØÝ 0.9 Ø Ò 59 Ø Ø Ö ÐÝ ÒÓ ÓÒ Ú ÒÓÙ ØÖ Ò Ø ØÓ Ø Ø Ù Ð ØØÐ ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ò ½ Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ Ù Ø ÔÖ ØØÝ ÙÖ Ø Ø Ø Û ÐÐ Ö Ò Ø Ð Ø Ø Ñ ÓÖ Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÓ Ø Ø Ò ÖÖÓÖ Ò Ø Ø Ò Ò Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø Ô¹ Ô Ö Ò ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ÖÙÒ Ö Ù Ù ÐÐÝ Ñ ÐÐ Ö ) n

3 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø Ö Ø Ó Ó Ø Ø Ò Ø Ñ Ò ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ø Ñ Ù Ù ÐÐÝ Ú ÖÝ Ñ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø ÖÖÓÖ ÔÔ Ö Ò ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ÖÙÒ ÑÙ Ö Ø Ò Ò Ø Ø¹ Ò Ø Ú ÓÙÖ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Ý Ò Û Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ ØÖ Ò ÖÖ ÖÓÑ Ø Ø Ò ÒÚ ÖÓÒ¹ Ñ ÒØ ØÓ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ö ÒØ ÓÑÔÙØ Ö Ò ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ö ÒØ ÐÓ Ø Ú ÓÙÖ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÒÒÓØ ÜØÖ ÔÓ¹ Ð Ø Ö Ð Ð º Ö Ò Ø Ò ½¼ ØÓÒ Ø Ø Ò ÐÐ Ð Ö ÐÓ Ò Ö Ò ÝÓÙ Ò Ù ØÝ ØÓÖ Ù Ø Ù Ø Ö Ö Ö Û Ø ÛÓÙÐ Ø ØÝ ØÓÖ ÓÖ ÐÓ ¹ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ Ý ¾¼ ± ÐÓÒ Ö Ô ÓÒ ÒÙÑ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÙÖ ÓÒÐÝ Ý Ö Ò ÓÑ Ø Ø Ø Ò Ø ÐÑÓ Ø ÙÖ Ø Ø Ò ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ÖÙÒ Ø Ö Û ÐÐ ÔÔ Ö ÐÙÖ Ò ÜÔ Ö Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ø ÓÚ ÖÖÓÖ Ö Ø Ý Ö Ò Ó Û Ø ÓÙØ Ø Ø ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ö ÓÒ Ò Ó Ø Ò ÑÙ ÒØ Ø Ò Ø Ø Ò ÓÒÐÙ ÓÒ ÓÙÒØ Ö Ö ÙÑ ÒØ Ð Ò Ø Ø Ò ÐÓÒ ÒÓØ Ù ÒØ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ØÝ ÑÙ Ø ÒÚ Ø Ø Ð Ó Ý Ö ÓÒ Ò Ö ÙÐ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø Ö Ó ÒÓØ Ù ÔÙÖ Ö Ò ÓÑ Ñ Ø Ö Ð ÙØ ØÖ ØÓ Ò ÙÖ Ø Ø Ú ÖÝ Ö Ò Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ Û ÐÐ Ø Ø Ø Ó Ø Ò ÙÐØ ÓÖ Ð ÓÖ ÓÙ ØÓ ÓÖ Ø ÔÖÓ¹ Ö Ñ ØÓ Ü ÙØ Ø Ú ÖÝ Ö Ò ÓÖ Ò Ø Ò Ø Ó Ø Ø ÔÖÓ ÙÐØ ÓÑ Ô ÖØ Ó Ø Ó Ö ÐÝ Ð Ø Û Ø ¹ ÓÙØ Ø Ø Ò Û Ø Ò Ó Ö ÙÐØ ÝÓÙ Ú ÓØ ÖÓÑ ÓÚ¹ Ö Ò ÐÝ Ø ØÙ ÒØ Ó ÓÙ Ü ÙØ Ú ÖÝ Ö Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ µ ¹ µ ¹ µ Ø Ø Ø Ñ Ø Ö Ð Ü ÙØ Ú ÖÝ Ö Ò Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½¼ Ü ÙØ ÓÒ Ó Ú ÖÝ Ö Ò Ó ÒÓØ Ù Ö ÒØ ØÓØ Ð ÓÚ Ö ØÓ ÓÑ Ò ÓÑ ÜØ ÒØ ÙÖ Ó Ø ÓÚ Ö Ó Ø Ø Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ØÝ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÑÙ Ø Ð Ó Ö ÓÒ ÓÙÒØ Ö Ö ÙÑ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ö ÓÙÖ ØÓÓ ÙÐØ Ò ÜÔ Ò Ú ÑÓ Ø Ó Ø ØÖÙ Ø Ô Ý Ó ØÓ Ù Ø ØÖ ØÐÝ ÓÒÐÝ Û Ò Õ٠й ØÝ Ò Ö Ð Ð ØÝ Ö Ô ÐÐÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÑÓ ØÐÝ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ò Ò ÓÒ Ø Ø Ò ÕÙ Ó Ø ÓÙÖ Ò Ò Ö ÛÓÖØ ØÓ ÔÔÐ Ò Ö ÒØ Ð Ú Ð Ó ÔÖ Ò ¹ ÓÖ Ò Ø ØÙ Ø ÓÒ Ú ÖÝ ÔÖ Ò Ø Ö Ø Ð Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½½ ØÓ ÒÓÛ ÓÛ ØÓ ÔÔÐÝ Ù Ø ÐÝ Ò Ü Ø ÓÒ ÑÙ Ø ÒÓÛ ÓÛ ØÓ ÔÔÐÝ Ú ÖÝ Ü¹ Ø ÁÒ ÒÝ Û Ð ÝÓÙ Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÝÓÙ Ö Ö ¹ ÓÒ Ò Ø Ð Ø Ð ØØÐ Ú Ò Ö Ú Û Ò ÓÒ Ö ÓÒ Ò Ò Ø Ô Ö Ú ØÓ Ú ÖÝ ÒØ ÒÓÛ ÝÓÙ Ò Ð ÖÒ ÓÛ ØÓ Ö ÓÒ ÑÓÖ ÑÓÖ Ö ÓÖÓÙ ÐÝ Ò ÑÓÖ Ý Ø Ñ Ø ÐÐÝ ÐÐ Ò ÓÖ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ò ÝÓÙ Ñ Ø ÛÓÖ Ö Ð Ð Ò Ø Û Ø ÓÙØ Ø Ñ Ò Ó Ø ÓÙÖ Ò Ò Ø Ð Ö Ø ¼¹ ÕÙ Ö Ò Ñ ØÖ Ü Û Ó Ð Ñ ÒØ Ö Ø Ö ¼ ÓÖ ½ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ Ò ÓÖÑ ÐÐÝ Ò ÒÓÖÑ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ò Ø Ñ Û Ý Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó Ò Ð Ó¹ Ö Ø Ñ Ò Ö ÑÓÚ Ò Ð Ñ ÒØ Ó Ø Ø Ø Ö Ñ Ò Ò Ð ¹ Ñ ÒØ ÓÖÑ ÔÖÓÔ Ö ÒÖ Ò ÕÙ Ò Ø Ø ÐÓÒ ÔÓ Ð

4 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½¾ [ ½ ½ ½ ¾ ¼] [ ½ ] Ñ Ò ÐÙÐ ØÓÖ ÓÖ Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö [2/5] ([2/3] + 4[1/3]) 2[2/5] Ò Ò Ø Ø Ø ØÖ Ò ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ò Ô Ö¹ ØÙÖ Ø Ñ Ò ÒÝØ Ò Û Ø Ò ÓÒ Ô ÖØÙÖ Ò ÖÖ Ú Ð Ø Ø ÓÒ ÒÓØ ÓÙÒØ Ò ÙØ Û Ø Ò ÓÒ Ò Ø ¹ Ø ÓÒ ÓÙÒØ Ò Ö Ò Ö ÓÙÖ º º ÔÖ ÒØ Öµ ØÛ Ò Ú¹ Ö Ð Ð ÒØ Ó Ø Ø Ò ÒÝ Ø Ñ Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ð ÒØ Ø Ö ÓÙÖ Ò Ú ÖÝ Ð ÒØ Ø Ø Ö ØÙÖÒ Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ø Ø Å Ø Ñ Ø Ð Ö ÓÙÖ Ó ÒÓØ Ò ÖÝ Ñ Ò Ö ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò Ó Ö ÓÒ Ø Ó 8 8 = 64 ÕÙ Ö º Ï Ú ÓÑ ÒÓ Ô Ø Ø ÓÚ Ö Ü ØÐÝ ØÛÓ ÕÙ Ö º Í Ò Ø Ô Ø Ó Ö Ò ÐÝ ÓÚ Ö Ó Ø Ø ÒÓ Ô ÖØ Ó ÒÝ Ô ÓÚ Ö Ø Ó Ö Ò Ø Ô Ó ÒÓØ ÓÚ ÖÐ Ôº Æ ÜØ Û Ö ÑÓÚ Ø ØÛÓ ÓÔÔÓ Ø ÓÖÒ Ö ÕÙ Ö º Á Ø Ø ÐÐ ÔÓ Ð ØÓ ÓÚ Ö Ø Ó Ö Ù Ò Ø Ñ Ò Ó Ô Ê ÓÒ ÝÓÙÖ Ò Û Öº ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½ ÅÝ ÓÒ Ù ØÓ ÔÐ Ý Ø Ñ Û Ò Û Ø Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÓÓк Ì ÒÒ Ö Ý ÒÝ ÒÙѹ Ö ØÛ Ò ½ º º º º Ø Ö Ø Ø Ú ÖÝ ÔÐ Ý Ö ÓÒ ØÙÖÒ ½ ÓÖ ¾º Ì Û ÒÒ Ö Ø ÔÐ Ý Ö Û Ó Ö ¾½º Á Ø Ö Û ÒÒ Ò ØÖ Ø Ý Ê ÓÒ ÝÓÙÖ Ò Û Öº ÌÛÓ ÓÒØ Ò Ö A Ò B ÓØ Ú Ü ØÐÝ Ø Ñ ÑÓÙÒØ Ó Ð ÕÙ A Û Ø Ö Ò B ½¼¼± ÐÓ ÓÐ Û ÙÑ Ø Ø Ø ÔÓ Ð ØÓ ÔÖÓ Ù ½¼¼ ± ÐÓ ÓÐ Ò Ø Ó ÒÓØ ÓÖ Û Ø Ö ÖÓÑ Ö ØÙ ÐÐÝ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒÐÝ Ø Ø Ø Ý Ö Ö ÒØ Ð ÕÙ µº Ï Ü ÙØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓ ÙÖ Ü ØÐÝ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖ Ö Ï Ø ÖÓÑ ÓÒØ Ò Ö A ÓÑ ÑÓÙÒØ Ó Ð ÕÙ Ò ÔÓÙÖ Ø ØÓ B Ø ÓÒØ Ò Ö Ú ÖÓÓÑ ÒÓÙ µº Ì Ò Û Ø Ü ØÐÝ Ø Ñ ÑÓÙÒØ Ó Ð ÕÙ ÖÓÑ B Ò ÔÓÙÖ Ø ØÓ Aº Ý ÔÙÖ ØÝ Û Ñ Ò ÓÛ ÑÙ ÓÖ Ò Ð Ð ÕÙ ÓÒØ Ò Ö º Ì ÕÙ Ø ÓÒ Û ÓÒØ Ò Ö ÔÙÖ Ö Ø Ö Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÔÖÓ º Ê ÓÒ ÝÓÙÖ Ò Û Öº ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½ ½º¾ Ü ØÒ Ò ÓÖÑ Ð ØÝ Ï Ø Ó Ø Ø ÖÑ ÓÖÑ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ ÖÝ ÓÖÑ Ð ÑÓÒ ÓØ Ö Ø Ò µ Ö ¹ Ð Ø Ò ØÓ Ø ÓÖÑ ÓÖ ØÖÙØÙÖ Ó ÓÑ Ø Ò Ö¹ ÑÓÒ Ð Ó Ð ÓÖ Ò Þ Û Ðй ØÖÙØÙÖ Ò ÔÐ ÒÒ Øº Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ñ Ò Ò ÓÖÑ Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÒÐÝ ÔÔÐÝ Ò ÖÙÐ ØÓ ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ñ Ó Ñ Ö Û Ó ÒÓØ Ø Ò ÓÙØ Ø ÓÒØ ÒØ Ó ÓÖ¹ ÑÙÐ Ø ÐÐÓÛ ØÓ ÐÙÐ Ø Ý Ø ÖÙÐ Ú Ò Ø ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ò Ó Ú ÓÙ ÐÝ ÒÓÖ¹ Ö Ø Ö ÙÐØ Ú Ò Ð ÖÐÝ ÓÖÖ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÖ¹ Ò ÙÒÐ Ø Ö ÖÙÐ Ø Ø ÐÐÓÛ Ø ØÓ ÚÓ ØÙÔ Ø Ø Ù ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó ÖÙÐ ÑÙ Ø Ö ÙÐÐÝ ÔÐ ÒÒ Ò Ù Ø ÖÙÐ ÑÙ Ø Ú ÖÝ Ü Ø Ø Ý ÑÙ Ø Ó Ý Ú ÖÝ Ü ØÐÝ Ø ÖÙÐ ÑÙ Ø Ú Ò Ó Ò Ú ÖÝ Ö ¹ ÙÐÐÝ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½ ÓÖ Ó ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÐÐÝ Ü Ø ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ñ Ø Ó Ù Ò Ó Ø¹ Û Ö Ò Ò Ö Ò Û Ö Ø Ø Ö Ø Ü¹ ÔÖ Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ö Ñ¹ ÔÐ Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÐÐÝ Ü Øº ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ú Ò Ú ÐÓÔ ÓÖ Ó ØÛ Ö Ò¹ Ò Ö Ò ÓÖ ÓÐÐÓÛ Ò ÔÙÖÔÓ Ô Ø ÓÒ Ó Ý Ø Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø ØÖÙØÙÖ ÓÛ ØÓ ÜÔÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓØÓÓРغ ÓÛ ØÓ Ö Ú Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ º º Ó ÔÖÓ¹ Ö Ñµ ÖÓÑ Ø Ô Ø ÓÒ ÑÓ Ý Ò ÔÖÓ Ö Ñ º º ØÓ ÑÓÖ Òص Û Ø ÓÙØ Ò Ò Ø Ñ Ò Ò Ò ÐÝ Ò Ø ÐÓ Ðµ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖÖ ØÒ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ø Ò Ø Ø Ñ Ø Ö Ð ÙØÓÑ Ø Ò Ø Ø Ò ÁÒ Ø ÓÙÖ Û ÓÚ Ö Ô Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖÖ ØÒ Ó Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ

5 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½ Ù Ø ÖÙÐ Ó ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó ÔÔÐ Û Ø ¹ ÓÙØ Ø Ò Ò Ø Ö Ñ Ò Ò ÔÔÐÝ Ò Ò Ð ÖÙÐ Ñ Ò Ð º Ñ Ò ÑÓÚ Ò Ö ÕÙ Ö Ö Ø Ü ØÒ ÔÓÓÖ ÓÖ ÙÑ Ò Ò Ý ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó ÓÖÑ Ð ÖÙÐ Ó ÒÓØ Ò Û Ø ÖÙÐ Ò ÓÖ Û Ø ÔÙÖÔÓ ÓÙÐ ÔÔÐ Ò ÜØ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ø ØÓ Ø Ø Ö Ø º ÓÓ Ò ÑÓÚ Ò º Ö ÙØ ÓÒ Ò Ñ Ø Ñ Ø a(b+c) = ab+cd ÓÓ Ò Ø ÖÙÐ Ð Ú Ô ÓÖ Ö Ø Ú ØÝ Ø Ö ÙÐØÝ ÓÖ ÙØÓÑ Ø Ò ÓÖÑ Ð Ñ Ø ¹ Ó Ó Ó ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò ÐØÓ Ø Ö ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ö Ö ÓÖ ÓØ Ù¹ Ñ Ò Ò Ò ÓÑÔÙØ Ö Ì Ó ÐÐ Ø ÓØ Ö ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ô Ø ÓÒ ØÛÓ Ô ÖØ Ø ÝÒØ Ü Û Ø ÜØ ÓÖÑÙРغ Ó Ñ Ò ÒÝØ Ò Ø ÐÐ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½ Ø Ñ ÒØ Û Ø Ø ÝÒØ Ø ÐÐÝ ÓÖ¹ Ö Ø Ø ÜØ Øº Ó Ñ Ò Ø Ö Ò ÓÖÑ Ð ÓÖ Ò ÓÖÑ Ð º º Ø ÝÒØ Ü Ó ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù Ù Ù ÐÐÝ Ô ÓÖÑ ÐÐÝ Ò Ø Ñ Ò¹ Ø Ò ÓÖÑ ÐÐÝ º º ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ø ØÙ ¹ Ø ÓÒ Ù Ù ÐÐÝ ÓÒØÖ Û Ù Ó ÓÑÔÙØ Ö Ö ÕÙ Ö Ø Ø Ø Ð Ø Ø ÝÒ¹ Ø Ü ÓÖÑ ÐÐÝ Ô Ø Ð Ø ÐÑÓÙ Ø º º º µ ÓÓ Ñ Ò ÓÖ ÓÖÑ Ð Ô Ø ÓÒ Ó ÝÒØ Ü Û Ö ÒÚ ÒØ ÐÖ Ý Ò ½ ¼ ÓÓÒ Ð Ó ÓÓ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ñ ÒÝ Ø Ð¹ Ò Û Ø ÝÒØ Ü Û Ö ÓÙÒ Ô ÐÐÝ ÓÖ Ô Ö Ò ÔÙÖ ÓÖÑ Ð ÔÖÓ Ò Ó ÝÒØ Ü ÒÓØ ÒÝÑÓÖ ÐÐ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ø Ö ÓÖ Ø Ø ÖÑ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ö ÕÙ Ö Ø Ø ÓØ Ø ÝÒØ Ü Ò Ø Ñ ÒØ Ö ÓÖÑ ÐÐÝ Ô Ø ÒÓØ Ö ØÓÖÝ Û Ø Ø Ð Ñ Ò Ö Ø ÐÐ Ò ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½ Ø ÓÖÑ Ð Ñ Ó ÝÒØ Ü Ö Ù ÓÒ Ø ÓÙÖ ÇÀ¹¾½¼¼ Ç ÐÑ ØÓØ Ø Ò Ô ÖÙ ØÝ ÐÙ ¹ ÌÓÓÐ ÓÖ ËÓ ØÛ Ö Ë Ò µ ÓÖÑ Ð ÔÖÓ Ò Ó Ñ ÒØ Ö Ò ÙÒ Ö ¹ Ö Ö Ö Ø Ø Ö Ø Ó Ø ÓÙÖ ÓÒ Ø Ð Ú Ð Ó Ó Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ô Ø ÓÒ Ñ ÒØ Ó Ô Ö ÐÐ Ð Ò ÓÒÙÖÖ ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ Ù º º ÓÒ ÓÙÖ ÇÀ¹¾ ¼ ËØ Ø Å ¹ Ò Ô Ø ÓÒ Ð Ú Ð Ù º º ÓÒ Ñ Ò Ö Ó Î Å Ò Ô Ø Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÓÙÖ ÓÖÑ Ð Ø ÒÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ø ÓÒ Øº Ö ÒÓØ ÔÖ ÒØ Ù Ò ÓÖÑ Ð ÝÒØ Ü Ø ÒÓØ ÓÙÖ Ó ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Û Ô Ø Ö ÓÑ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÖ Ñ ÒØ Û Ó Ú ÐÓØ Ó ÓÑÑÓÒ Û Ø ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ì Ø ÖÑ Ñ ÓÖÑ Ð Ñ Ò Ñ Ò ÓÖÑ Ð ÓÑÔ Ö ØÓ Ð ¹ØÖÙØ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½ Ø Ó ÒÓØ ÓÐ ÓÖÑ Ð ÓÑÔÙØ Ö Ö Ð ÑÔÐ Ü ÑÔÐ Ó ÓÖÑ Ð ÑÓ Ø ÓÒ Ó ÔÖÓ¹ Ö Ñ ÖÖ Ý A[1,...,n] Ô A[ i 2 ] A[i] Û Ò 2 i n i 2 i 2 ÖÓÙÒ ÓÛÒ ØÓ Ø Ò Ö Ø ÒØ ¹ Ö ½ ¾ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ A ØÓ Ô ÓÖ i := n 2 ÓÛÒØÓ 1 Ó j := i; x := A[i]; Ö Ô Ø ÓÐ := j; j := 2 j; j < n Ò A[j + 1] > A[j] Ø Ò j := j + 1 Ò j n Ò A[j] > x Ø Ò A[ÓÐ ] := A[j] Ò ÙÒØ Ð j > n ÓÖ A[j] x; A[ÓÐ ] := x Ò ÓÖ

6 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹¾¼ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ô Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÑÙ Ø ÑÓ Ó Ø Ø Ø Ø Ð Ò Ü 0,...,n 1 Ù Ø Ð Ò ÐÐ Û Ö Ø ØÖÝ ØÓ ÑÓ Ý Ø ÔÖÓ Ö Ñ Û Ø ÓÙØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ú ½º ÑÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ô ÔÔ Ò 1 ØÓ Ú ÖÝ Ò Ü Ò Û Ø ÓÙØ Ò Ò ÒÝØ Ò Ð Ø Ò Ü Ò Ö Ò Ø Û Û ÒØ A[ i 2 1 ] A[i 1] Û Ò 2 i n Ù Ø ØÙØ Ú ÖÝ i Ý (i + 1) Ò Ú ÖÝÛ Ö Ö ÙØ ÓÒ ÓÑ ÔÓ Ð A[ (i+1) 2 1 ] A[(i + 1) 1] Û Ò 2 (i + 1) n ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹¾½ ¾º ÑÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÔ Ò 1 ØÓ Ú ÖÝ Ò Ü Ò Û Ø ÓÙØ Ò Ò ÒÝØ Ò Ð ÓÖ i := n 2 ÓÛÒØÓ 1 Ó j := i; x := A[i 1]; Ö Ô Ø ÓÐ := j; j := 2 j; j < n Ò A[j + 1 1] > A[j 1] Ø Ò j := j + 1 Ò j n Ò A[j 1] > x Ø Ò A[ÓÐ 1] := A[j 1] Ò ÙÒØ Ð j > n ÓÖ A[j 1] x; A[ÓÐ 1] := x Ò ÓÖ Ö Ù A[ i 1 2 ] A[i] Û Ò 1 i n 1 ¼ ½ ¾ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹¾¾ Ù Ø ØÙØ i j Ò ÓÐ Ú ÖÝÛ Ö Ý i+1 غ Û Ø Ö Ó Ñ ÒÝ 1 Ø Ö ÓÑ ÓÑ ÙÒÓ ÙØ Û Ö Ó Ò ØÓ Ø Ö Ó Ø ÓÖ i + 1 := n 2 ÓÛÒØÓ 1 Ó j + 1 := i + 1;x := A[i + 1 1]; Ö Ô Ø ÓÐ + 1 := j + 1;j + 1 := 2 (j + 1); j + 1 < n Ò A[j ] > A[j + 1 1] Ø Ò j + 1 := j Ò j + 1 n Ò A[j + 1 1] > x Ø Ò A[ÓÐ + 1 1] := A[j + 1 1] Ò ÙÒØ Ð j + 1 > n ÓÖ A[j + 1 1] x; A[ÓÐ + 1 1] := x Ò ÓÖ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹¾ Ö Ù ÒÑ ÒØ Ö ØÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ j + 1 := 2 (j + 1) j := 2 (j + 1) 1 = 2 j + 1 j + 1 n j < n ÓÖ i := n 2 1 ÓÛÒØÓ 0 Ó j := i;x := A[i]; Ö Ô Ø ÓÐ := j;j := 2 j + 1; j < n 1 Ò A[j + 1] > A[j] Ø Ò j := j + 1 Ò j < n Ò A[j] > x Ø Ò A[ÓÐ ] := A[j] Ò ÙÒØ Ð j n ÓÖ A[j] x; A[ÓÐ ] := x Ò ÓÖ ÓÑÔ Ö Ø Ö ÙÐØ ØÓ Ø ÓÖ Ò Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ø Ó Ü Ø Ò ØÓØ ÐÐÝ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó ÕÙ Ð ØÝ Ó Ô Ø ÓÒ Ò ÓØ Ö ÓÙÑ ÒØ ÑÔÖÓÚ ÙÒ ÕÙ Ò Ü ØÒ ÙÒ Ö Ø Ò Ð ØÝ Ø Ð Ø ÓÑ Ø Ñ

7 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹¾ Ø Ô Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ô Ò ÒØ ÖÓÑ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ØÓ Û Ø Ð Ú Ð Ò Ø ÓÛ Ð Ú Ð Ð Ó Ø ÝÒØ Ü ÓÖÑ Ð Ø Ò ÓÙÑ ÒØ Ò ÔÖÓ Ý ÓÑÔÙØ Ö Ò Ó Ø ÒØ ÖÒ Ð ÓÒ Ø ÒÝ ÑÙÐ Ø ÓÒ» Ò Ñ Ø ÓÒ Ö ÒØ Ò Ó ÓÖ Ò ÖÝ Ò ÒØ ÐÐ ÒØ Ø Ø ÔÖÓÚ Ò ÓÖÖ ØÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖÑ ÐÐÝ Ö Ú ÓÖ Ø ÓÖÖ ØÒ ÔÖÓÚ Ø Ò Ø Ò Ø ÐÝ ÐÐ Ø Ô Ø ÓÒ Ø Ò ÓÙØ ÓÛ Ò Ø ÐÝ ÓÖÑ Ð ÑÓ Ø ÓÒ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÐÐÓÛ º º Ò¹ Ö Ò Ø Ô Û Ø ÓÙØ ÒØ ÐÐÝ Ö Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ØÝ Ø Ø Ò ÒØ Ò Ò Ú Ö ÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ò ÔÖÓ ÓÑ Ö ÓÖ ÒÓص Ñ ÒØ Ò Ð ØÝ ÑÔÖÓÚ Ð ÖÖÓÖ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹¾ Ø Ò ÒÓØ Ø Ø Ú Ò ÔÖ Ô ¹ Ø ÓÒ ÐÓÒ Ö Ù Ò ÒØÐÝ Ø ÑÓÙÒØ Ó ÖÖÓÖ ÒÓÛ Ò Ø Ó ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ñ¹ ÔÖÓÚ Ò ÒØÐÝ Ð Ó Ø ÕÙ Ð ØÝ Ó Ò ÓÖÑ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ö Û Ð ÓÖ ÓÙ ÓÖ Ø Ø Û Ø Ø Ù Ö Ð Ò Ø Ò¹ Ò Ò ÜØÖ ÛÓÖ Ô Ý Ø Ð Ø Ö ÓÖ ÒÓØ Ø Ý Ö ÕÙ Ö Ò Û Ò Ó Ø Ò Ò Ò Ò Û ÐÐ Ö ØÓ Ð ÖÒ Ô ÐÐÝ ÓÖ Ø Ó Û Ó Ð¹ Ö Ý Ö Ù ØÓ ÓØ Ö Ñ Ø Ó µ Û ØÖ Ò Ô ÓÔÐ Ö Ú Ð Ð Ø Ñ Ø Ó Ö ÒÓØ Ý Øµ Ñ ØÙÖ Ò Ø Ð ÒÓØ Ú ÖÝ ÑÙ ØÓÓÐ ÓÖ ÙÔÔÓÖØ Ú Ð Ð ÓÑ Ó Ø Ñ Ø Ó Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ Ö ÒØÖ Ø Ð µ ÖÖ ÓÙØ Ý ÓÑÔÙØ Ö Ø Ñ Ø Ó Ò ÐÓØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ô ØÝ Ù ÒØÐÝ ÒØ ØÓÓÐ Ö ÒÓØ Ú Ð¹ Ð ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹¾ ÖÖ ÓÙØ Ý ÙÑ Ò Ò Ø Ý Ö ÕÙ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ð Ö Ø Ú ØÝ ÒÓØ Ó Ð Ý ÓÑÑÓÒ Ò Ò Ö ÅÓ Ø ÔÖÓÑ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ÙÖ ØÝ Ö Ø Ð Ý Ø Ñ ÒÙÐ Ö ÔÐ ÒØ ÔÖÓ ÓÒØÖÓÐ Ø Ö Ò Ò ÖÓÔÐ Ò Ó Ô Ø Ð Ú º º º Ý Ø Ñ Ø Ø Ö ÙÐØ ÓÖ Ð ÓÖ ÓÙ ØÓ Ö Ô Ö Ô ÔÖÓ Ð ÓÒ Ô Ø Ð ÓÑÑÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÔÖÓØÓÓÐ º º º Ø Ó Ø Ó Ö Ô Ö ÓÑ Ø ÖÖ Ð ÜÔ Ò¹ Ú Ö Ø Ú Ý Ø Ñ º º ÓÒØÖÓÐ Ý Ø Ñ Ó Ñ ØÖÓÒ ÑÙÐØ ¹ Ù Ö Ý Ø Ñ Ø Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ò ÓÒÙÖÖ ÒÝ ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ ÜØÖ Ñ ÐÝ ÙÐØ ÓÖ ÙÑ Ò Ò µ Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ Ð Ö Ö Ü ÙØ Ò Ú Ö ÓÙ ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø Ø Ò ÙÐØ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹¾ ÌÓØ ÐÐÝ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ú ÓÑ ÓÑÑÓÒ Ú ÖÝ ÐÓÛÐÝ Ø Ö Ö ÓÑÔ Ò Û Ó Ð Ò Ó Ù Ò Ðй Ò ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó ÙÔÔÓÖØ Ò ØÓÓÐ Ò» ÓÖ Ö¹ Ú ÈÖ Ü ÍÃ Å Ø ËÓ ØÛ Ö ÍË ÓÖÑ Ð ËÝ Ø Ñ ÍÃ Ì Ð ÐÓ ËÛ Ò º º º Ø Ö Ü Ø ÒÓØ Ð Ù Ö ÁÒÑÓ Ù Ø Ð Ø ÖÓÑ ½ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ò Ò Ò Ð ÓÒ Ô ÄÙ ÒØ ÐÐ Ä ØÖÓÒ ÖÓÙÔ Ø Ø ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÖ ÙØÓÑ Ø Ò ÐÝ Ó ÔÖÓ¹ ØÓÓÐ ÁÒØ Ð Û Ø Ö È ÒØ ÙÑ Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ ÖÖÓÖ Ò ÒÓÛ Ù Ö ÆÓ Ò ÒØ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ð Ñ Ø ¹ Ó ÓÖ ÓÒÙÖÖ ÒØ Ý Ø Ñ º º º Ø Ò ØÖÙØ ÓÒ Ó ÙØ ÓÖ Ø Ñ Ý ÒÓÛ ÓÖ Ò Ø ÙØÙÖ Ö Ø ÓÖ Ò Ö Ø ØÖ Ø ÔÖÓ ÙØ Ð Ð¹ Øݵ ÓÖ ØÓ Ù Ó ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ø Ø Ò Ö ¼¼¹ ½ ½µ Ó Ø Ñ Ò ØÖÝ Ó Ò Ò ÍÃ Ö ÕÙ Ö Ù Ó ÓÖÑ Ð Ñ Ø ¹ Ó

8 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹¾ ÑÔÓ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ú Ò Ö ÔÓÖØ È Ö Å ØÖÓ Ä Ò ½ ËÓÑ ØÙÖ Ó Ä Ò ½ ³ ØÖ Ò ÓÒØÖÓÐ Ý Ø Ñ Ö ÖÙÒ ÙÒ Ö Ø ÇÔ ÒÎÅË ÇÔ Ö Ø Ò ËÝ Ø Ñº ÁØ ÓÒØÖÓÐ Ý Ø Ñ ÒÓØ Ò Ø Ð Ó Ó ØÛ Ö Ò¹ Ò Ö Ò Ó Ö Ø Ð Ý Ø Ñ Ù ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÒ ÓÑ ØÝ¹Ö Ø Ð Ô ÖØ Ó Ø Ý Ø Ñ Û Ö ÔÖÓÚ Ù Ò Ø ¹Å Ø Ó ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó º Ò Ô Ø Ó ÐÐ Ø Ö Ù Ø ÐÐ ÕÙ Ø Ñ ÐÐ Ø ØÓÔ Ð Ö ÓÒÒ Ø Ò ÑÑ ØÙÖ Ê ÓÒ ÓÖ ÙÒ Ù Ó ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó ÓÖÑ Ð Ò Ú Ò Ø Ñ ÐÐ Ø Ø Ð Ò ÖÝ ÓÖÑ Ð Ò Ø Ñ ÐÐ Ø Ø Ð Ú ÖÝ Ð ÓÖ ÓÙ ÙØ Ú Ú ÖÝ Ð ØØÐ Ò ÔÖ Ò ÔÐ Ø Ø Û Ý ØÓ Ú Ö Ø Ð ÙØÓ¹ Ñ Ø ÔÖÓ Ò Ò ÔÖ Ø ÓÒÐÝ Ø ÙØÓÑ Ø Ø Ø Ó ÓÒÐÝ ÑÔÐ Ø Ò Ö ÛÓÖ Ò Ø ÓØ Ö Ö ÒÓØ ÒØ ÒÓÙ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÖÖÓÖ Ö Ù Ù ÐÐÝ ÕÙ Ø ØÓÐ Ö Ø ÒÓ ÓÒ ÒÓØ Ú ÖÝ ½¼ ¼¼¼º ÑÓ Ð Ô ÓÒ ÐÐ ÒÓØ Ö ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹¾ Ø Ù ØÓÑ Ö Ö Ù ØÓ ÕÙ Ø ÔÔ Ö ÒØ ÖÖÓÖ Ø Ö ÒÓ Ö ÓÒ ØÓ Ô Ý ÓÖ Ö ÑÓÚ Ò Ö¹ ÖÓÖ Å Ø Ñ Ø Ð Ö ÓÙÖ Û Ø ÓÙØ ÓÖÑ Ð Ò Ø ÝÒØ Ü ÓÓ ÓÑÔÖÓÑ Ú Ð Ó Ø ÕÙ Ð ØÝ ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ ÔÖÓÑ Ý ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó ÙÒ ÒØ Ð Ø Ð Ò ÒÓØ ØÓ ÓÖÑ Ð Ø Ù ÓÖÑ Ð Ñ Ò Ó Ò Ò Ü Ð Ñ ÒÒ Ö ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÓ ÓØ Ö Ð ÅÓ Ø Ð Ó Ø ÒÓÐÓ Ý ÙØ Ð ÒØÐÝ Ñ Ø ¹ Ñ Ø ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø ÓÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò Ò Ö Ò ØÖ Ò Ø Ó Ñ ¹ Ø Ö Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ñ Ø Ö Ð º º º Ð ØÖÓÒ Ø ÓÖÝ Ó Ð ØÖ ØÝ ÓÒÚ Ø ÓÒ Ø ØÖ Ò Öµ º º º º º º Ð Ó Ø ÒÓÐÓ Ý Ú Ù Ù ÐÐÝ Ø ÖØ Ò ¹ Ö Ø Ò ØÖ Ø ÓÒ Ð ØØÐ Ý Ð ØØÐ Ø Ö Ò Ú ÐÓÔ Ø ÓÖ ÓÖ ÙÒ Ö Ø Ò Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ô ÒÓÑ ÒÓÒ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¼ º º Å ÜÛ Ðг ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ñ Ø Ö Ú Ò Ú ÐÓÔ Ö ÒØ Ò Ó Ð¹ ÙÐ Ø ÓÒ Ò ÓØ Ö Ñ Ø Ó ØÓ Ñ Ò Ò Ö º º Ø Ä ÔÐ Ò ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÓÛ Ý Ø Ñ Ø Ó Ú Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ú Ò Ó Ø Ø Ø Ù Ö Ò ÒÓØ ØÓ ÒÓÛ Ú ÖÝ ÔÐÝ ÓÛ Ø Ñ Ø Ó ÛÓÖ º º ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÚ Ò Ó Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º º ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ØÛ Ö ÓÖ Ð ÖÓÒ Ö¹ Ù Ø º º Ø Ø Ø Ð Ó ØÛ Ö Ò Ö Ø Ò ÙØÓÑ Ø ÓÒ Î ÐÑ Ö Ó ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò Ö Ý ØÓ ÑÓÚ ÖÓÑ Ò Ö Ø ØÓ Ò ÙØ ÒÓØ Ý Ø Ö Ý ØÓ ÙØÓÑ Ø Ó ØÛ Ö Ñ Ø Ñ Ø ÛÓÖ ÙØ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ó ÒÓØ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ½ ½º Ì Ó Ð Ò ÓÒØ ÒØ Ó Ø ÓÙÖ ÓÖ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ Ñ ÒØ ÓÒ Ö ÓÒ Ø Ó ÒÓØ Ô Ý Ó ØÓ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ ÒÝ Ô ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ø ÔÖÓ Ø Ð ØÓ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ø Ø Ö ÓÑÑÓÒ Ò Ñ ÒÝ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ô Ø ÓÒ Ý ÐÓ Ò Ø Ø ÓÖÝ Ø Ô Ý Ó ØÓ Ô Ø Ü Ð ØÝ Ó Ñ Ø Ñ Ø ÈÖÓ Ö Ñ Ú Ö Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ô Ø ÓÒ Ù Ò ÐÓ Ö ÕÙ Ö ÙØ ÓÒ ÔÖ Ø ÑÓ Ø Ó Ø ÐÐ Ó ÓÖÑ Ð Ñ Ø ¹ Ó ÕÙ Ø Ø Ð Ó Ø ÓÖÝ Ø ÓÒØ ÒØ Ö ÐÝ ÓÑ ÓÙØ Ø Ø ÓÙÖ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ø Ì ÓÑÑÓÒ ÒÓÛ¹ ÓÛ Ó Ó ØÛ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò ÒÐ Ò Û º ÓØ Ö ÓÙÒØÖ

9 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¾ ÓÒØ ÒØ Ø Ø Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÓÛ ØÓ Ù ÓÙØ Ø Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ó ÐÓ Ò Ø Ø ÓÖÝ Ù ÓÒ Ó ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ý ÐÓ Ò Ø Ø ÓÖÝ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖÖ ØÒ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÔÖÓÚ Ò ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖÖ ØÒ Ó Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¾ ËÔ Ø ÓÒ Ó ÈÖÓ Ö Ñ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ð ÖÒ ÓÛ ØÓ Ù ÓÙØ Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ø Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ù Ò Ø Ø ÔÖ Ø Û ÓÑ Ò Ø Ô Ø ÓÒ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÖÓÑ Ø Ø ÔÖ Ø Û Ù ÓÛ Ø Ø ÔÖ Ø Ò Ô ¹ Ø ÓÒ Ò Ñ ØÓ ÜÔÖ Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø Ø Ò Ú Ò Ø Ù Ø Ø Ø Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ñ ÒÝ Ó Ø ÔÖ ÒØ Ù ÓÐ Ð Ó Û ÖÐÝ Ä Ø Ö ØÙÖ Ø ÓÒØ ÒØ Ó Ø Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÝ Ô ÓÓ ÙØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ Ý Ù ¹ ÙРʺ º ÓÙ ÈÖÓ Ö Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò Î Ö Ø ÓÒ ÈÖ ÒØ ¹À ÐÐ ½ º Ö Ì Ë Ò Ó ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ½ ½ Ò Ø Ò ÜØ ÓÓ Ñ Ø Ñ Ø Ø Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÑÓÖ Ù Ø Ð ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö ÒØ Ø Û Ý ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ º Ö º º Ë Ò Ö ÄÓ Ð ÔÔÖÓ ØÓ Ö Ø Å Ø ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ½ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¾º½ ËØ Ø Ó ÈÖÓ Ö Ñ ÁÒ Ø Ù Ø ÓÒ Û ÒÚ Ø Ø Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ø Ø Ó ÔÖÓ Ö Ñ Û Ö ÓÒ Û Ý Ø Ö ÓÒ Ð ØÓ Ù ÓÙØ Ø Ù Ò ÐÓ Ò Ø Ø ÓÖÝ Ò Ø ÓÒ Ì Ø Ø Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ú ÐÙ Ó Ú Ö ¹ Ð Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ü ÙØ ÓÒ Á Ø ÒÓØ ÓØ ÖÛ Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ø ÓÙÖ Ø ØÝÔ Ó Ú Ö Ð Ò Ø Ø Ó Ù ÒÙÑ Ö Ø Ø Ó ÒØ Ö º ÆÓØ º º Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ Ø Ó ¾¹ Ø ÒØ Ö º Ü ÑÔÐ Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ø ÐÐ Ø Ø Ò Ø ÐÐÝ x = y = 0 ½ x := 1 ¾ y := 2 Ü ÙØ ÓÒ x y ½ ¼ ¼ ¾ ½ ¼ ½ ¾

10 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ò Ø ÐÐÝ x = 10 ½ Û Ð x > 1 Ó ¾ x := x Ú 2 Ò Û Ð Ü º ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ½ x ½¼ ½¼ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ Ò Ø ÐÐÝ i = 5 Ò A[1] = A[2] = A[3] = 0 ½ ÓÖ i := 1 ØÓ 3 Ó ¾ A[i] := 2 i Ò ÓÖ Ü º ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ½ i ¹ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ A[1] ¼ ¼ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ A[2] ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ A[3] ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ËØ Ø ÔÖ Ø Ð Ø Ò Ú ÐÙ Ó ÐÐ Ú Ö Ð Ó Ø Ò Ð ÓÖ ÓÙ Ò ÙÒÒ ÖÝ Û Û ÒØ ØÓ Ù Ó ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ø Û Ø ÓÙØ Ô Ý Ò Ú ÐÙ Ó ÐÐ Ú Ö Ð ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Û ÒØÖÓ Ù Ø ÒÓØ ÓÒ Ø Ø ÔÖ Ø Û Ý Ø Ø Ò ÜÔ ÓÒ ÐÓ Ð ÜÔÖ ÓÒ Ø Ñ ÒØ ØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ð Ñ Ø Ø Ø Ö ÓÐ ÓÖ ÒÓØ Ò Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ Ì Ø Ø ÔÖ Ø ÐÓ Ð ÜÔÖ ¹ ÓÒ Ø Ø Ô Ò ÓÒ Ø Ú ÐÙ Ó Ú Ö ¹ Ð x > 0 y = 2 x + 1 i ; 1 i n : A[i] = 1 A[i] x ËØ Ø ÔÖ Ø Ò ØÖÙØ Ú ÐÙ ÑÓ Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù Ú ÓÑ Û Ý ØÓ ÜÔÖ Ý Ò ÒÓ Ø Ò ÑÓÒ ÓØ Ö Ò Ø ÓÒ ¹ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ñ ÒØ Ü ÑÔÐ È Ð ØÝÔ ÓÓÐ Ò Ð ÒÓ ØÖÙ Ý ÒØ ¼ ÒÓ ÓØ Ö ÒØ Ý ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ä Ô Æ Ð ÒÓ ÓØ Ö Ú ÐÙ Ý Ò ÜÔÖ ÓÒ Ó ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù ÐÐ ØÖÙØ Ú ÐÙ Ø Ö ÙÐØ Ø Ö Ý ÓÖ ÒÓ Ö ÙÐØ Ý ½ Ä Ô Ö ÙÐØ Ý Ì ØÖÙØ Ú ÐÙ ÜÔÖ ÓÒ Ó ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò¹ Ù ÒÓØ Ø Ø ÔÖ Ø ØÖÙØ Ú ÐÙ ÜÔÖ ÓÒ Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø ÔÖ Ø Ø ÐÐ Ò ÓÙØ Ø ÔÖÓ¹ Ö Ñ ÙØ Ø Ò ÓÙØ Ø Ø Ý Ð Ú Ò Ö ÒØ ÛÓÖÐ Ü ÑÔÐ ½ ÓÙÒ := Ð ; i := 1; ¾ Û Ð i n ÓÙÒ Ó A[i] = Ý Ø Ò ÓÙÒ := ÌÖÙ Ð i := i + 1 Ò Ò Û Ð ÓÒ Ø Ð Ò ¾ i n ÓÙÒ ØÖÙØ Ú ÐÙ ÜÔÖ ÓÒ i n ( ÓÙÒ = Ð ) Ø Ø ÔÖ Ø Ò Ø ÓÐ Ò Ø ÒÒ Ò Ó Ð Ò ÙØ ÒÓØ Ò Ø ÒÒ Ò Ó Ð Ò ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Û Ò Û ÒØ ØÖÙØ Ú ÐÙ ÜÔÖ ÓÒ Ý Ò Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ø ÔÖ Ø Ò ÜÔÖ ÓÒ e ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ø ÔÖ ¹ Ø Ñ Ò Ø Ñ Ø Ø Ø ÔÖ Ø e = Ý Ý ÓÐ Ò ÒÓ ÓÐ ÒÓØ Ò Ü ÑÔÐ Ø Ø Ø ÔÖ Ø i n ( ÓÙÒ = Ð ) Ò ÒÓÛ ÓÖØ Ò ØÓ i n ÓÙÒ ØÛ Ò ØÖÙØ Ú ÐÙ ÜÔÖ ÓÒ Ò Ø Ø ÔÖ Ø Ø Ö Ö Ò Ó ÔÖ Ò ÔÐ Ù Ù ÐÐÝ Ø Ö ÒÓ Ò ØÓ Ö Ó Ø Ö¹ Ò Ò ØÖÙØ Ú ÐÙ ÜÔÖ ÓÒ Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ô Ð Ó Ø Ø ÔÖ ¹ Ø ËØ Ø ÔÖ Ø Ò Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ü ÙØ ÓÒ Ù Ù ÐÐÝ Ø Ø ÔÖ Ø Ó ÒÓØ Ô Ó Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ü ÙØ ÓÒ Ó Ø Ø ÔÖ Ø ÓÐ ÓÖ ÒÓØ Ô Ò Ò Û ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ü Ñ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ Ó ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ

11 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¼ Ò Ø ÒÒ Ò Ù Ø ÓÖ Ø Ü Ù¹ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÖØ Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ü ÙØ ÓÒ ÒÒ ÒÓÖÑ ÐÐÝ ÒÓØ º º Ø Ö Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ö µ ÓÒ Ð Ò n Ú ÖÝ Ø Ñ Û Ò Ø ÔÖÓ¹ Ö Ñ Ö Ý ØÓ Ü ÙØ Ð Ò n Ø Ø ÔÖ Ø Ø Ø Ñ ÒØ ØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ø Ò Ô ÓÑ Ø Ò ÓÙØ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö ÙÐØ Ö Ñ Ò Ò Ø Ú Ö Ð Ø Ø ÔÖ Ø Ø Ø Ñ ÒØ ØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ø ÒÒ Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÒØÐÝ Ø Ò Ø Ø Ø ÔÖ Ø Ò ÓØ Ö ÐÓ Ø ÓÒ Ø ÜÔÖ Ø ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÐÙ Ó Ú Ö Ð Ø Ú Ö Ð ÓÒØ Ò Ø ÒÔÙØ Ó Ø Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ó Ø Ò Ò Ý ØÓ ÛÖ Ø Ø Ø Ø ÔÖ Ø Ò ØÓ Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ Û Ö Ø Û ÒØ ØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ò ÙÖÐÝ Ö Ø { Ò } Ð Ø Ö Ð Ó Ò ØÓ Ò Ð Ö Ø Ò µ Ø Ò Ø Ð Ò ÒÙÑ Ö ÓÑ ÙÒÒ ÖÝ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ½ Ò Ü ÑÔÐ x < 0 Ø Ò ß x < 0 Ð x := x ß x > 0 Ð Ò ß x 0 Ð Ø Ø Ò Ö Ò ÒÓØ Ü ÙØ Ø Ò Ò Ø Ò x 0 Ø Ü ÙØ Ø Ò Ò Ø Ò x > 0 Ò Ú ÖÝ Ò Ø Ò x 0 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¾ Ò Ü ÑÔÐ ÐÐ Ú Ö Ð Ö ÒØ Ö µ ½ ß n 1 Ð ¾ a := 1;y := n; ß a = 1 y = n 1 Ð ÓÖÓÐÐ ÖÝ a y µ Û Ð a < y Ó ß a < y Ð v := (a + y) Ú 2; ß a v < y Ð A[v] < Ý Ø Ò ß v < y Ð ½¼ a := v + 1 ½½ ß a y Ð ½¾ Ð ½ ß a v Ð ½ y := v ½ ß a y Ð ½ Ò ½ ß a y Ð ½ Ò Û Ð ½ ß a = y Ð Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ ÒÔÙØ n 1 Ð Ò Ò Ù ÖÓÑ Ð Ò Ý Ù Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ñ Ò Ò ØÖÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ò ½ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ð Ò Ð Ò ½ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ð Ò ½½ Ò ½ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ÖØ ÓÒ ÓÒ Ø Ð Ò ½ a y Ù Ó Ø ÓÒ ¹ Ø ÓÒ ÓÒ Ð Ò Ð Ó a y Ù Ó Ð Ò Ò ½ ÖÓÑ Ø Ø ÓÐÐÓÛ a = y Ò ÖØ ÓÒ Ø Ø Ñ ÒØ ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÔÖÓ¹ Ö Ñ Ø Ø ÐØ Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ú Ò ÓÒ ¹ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÓÐ ÖØ ÓÒ Ö Ú ÖÝ Ù ÙÐ Ô ÐÐÝ Û Ð ØÖ ¹ Ò ÖÖÓÖ Ó ÓÑÔÐ Ø Ø ØÖÙØÙÖ Ò Ð¹ ÓÖ Ø Ñ Î ÒÐÙ ÖØ ººº ÖØ ¼ ²² ½ Ò µ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ú ÐÙ Ø Ò ÒÝ Ø ÒÓØ Ø ÑÓ Ø ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ùغ º º ÑÔÐ Ò Ò ÓÖÑ Ø Ú Ó Ñ ÐÐ ÐÓ Ó ÒÝ ÒÓØ ÛÓÖØ Û Ð ÙÒØ Ð Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÐÐ Ö Ö ÐÐÝ ÓÓ

12 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ÒÐ Ò ÚÓ ÓÓÐ ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ú¼ ÒØ ½ ¼ ÓÒ Ø Ö Ú½ ¼ ÒØ ¾ ¼ ÓÒ Ø Ö Ú¾ ¼ µß ÓÒ µß Ø ÓÙغ ÐÙ µ»» Ý ÓÙØ Ø ÖÖ ÁÒغ ÖÖÓÖ \ Ò Ú¼ Ú½ µß Ø ÖÖ ½ Ú½ Ð Ú¾ µß Ø ÖÖ ¾ Ú¾ Ð Ø ÖÖ Ø Ò Ð Ü Ø ½ µ Ð Ð Ü ÑÔÐ Ó ÓÛ ØÓ Ù ½ (n 1 ØÓÓ Ñ ÐÐ Ò ); ¾ a := 1;y := n; Û Ð a < y Ó v := (a + y) Ú 2; A[v] < Ý Ø Ò ½¼ a := v + 1 ½¾ Ð ½ y := v ½ Ò ½ (a y ØÓÓ a y µ ½ Ò Û Ð ½ (a = y a y a y µ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø ØÖÙØ Ú ÐÙ Ó Ø Ø ÔÖ Ø Ý ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ò ÝÓÙ Ò ÐÝ Ø Ò ÖØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ò Ó ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÔÖ Ø Ò ÓÒ Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø ÐÐ ÓÒÐÝ ÓÑ ¹ Ø Ñ º º Ú ÖÝ ½¼¼º ÖÓÙÒ Ó Ñ Ò ÐÓÓÔ ÓÖ Ù Ò Ø ÐÐ Ö ÕÙÙ ÒÝ Ò Ò¹ Ö Ø Ò Ð Ø ÓÙØ Ò Ø Ò Ð ÔÖÓ Ö Ñ º º Ý ÓÑÑ ÒØ Ò Ø ÓÙØ ÓÖ Ý Ü ÑÔÐ Ô i ; 2 i n : A[ i 2 ] A[i] Ü ÑÔÐ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ð Ò Ð Ø x. Ò ÜØ. ÔÖ Ú = x x. ÔÖ Ú. Ò ÜØ = x Ý Ù Ò Ø Ø ÔÖ Ø ÝÓÙ Ò Ø Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ä Ø Ö Û ÐÐ ÐÙÐ Ø ÐÓØ Ó Û Ø Ø Ø ÔÖ Ø Ø ÛÓÖØ ØÓ Ö Ô Ø ÖÙÐ ÓÖ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ó ÐÓ Ò º º Ø Ð ØÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ó ÓÙÖ ÇÀ¹¾½¼¼ ÓÖ Ô Ø ÓÒ Ó Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Û Ò ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÖÑ Ó ÓÒØ ÜØ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ º º ÓÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ < Ø Ø ÓÖÝ ØÓ Ù ÓÙØ Ø ØÖÙØÙÖ ÐÓ ÓÖ ÓÒÒ Ø Ò Ô ÖØ Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ ÐÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÖÙÐ ÔÖ Ø ÐÓ Ú Ö Ð Ó Ø ÓÒØ ÜØ ÕÙ ÒØ Ö ÓÖ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖÖ ØÒ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Û Ò ÖÙÐ ÓÖ ÐÙÐÙ Ó ÓÒØ ÜØ º º a < b Ò b < c Ø Ò a < c Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖÝ Ó ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù º º x < 0 Ø Ò x := x Ò ß x 0 Ð ÐÓ ÓÖ ÙØ ÓÒ Ë Ñ ÒØ Ó ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù Ù ÓÒ Ë Ø ÓÒ º¾ Ò º ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¾º¾ ÏÖ Ø Ò ËØ Ø ÈÖ Ø Ò Ü ÑÔÐ ÖÖ Ý A[1...n] Ò ÓÖ Ö Û Ý Ø Ó ÒÓØ ÛÓÖ ÓÖ Ö (A[1...n]: i ; 1 i n : A[i] A[i + 1] Ü Ú Ö ÓÒ ÓÖ Ö (A[1...n]: i ; 1 i n 1 : A[i] A[i + 1] Û Ø ÜØÖ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø ÓÖ Ö ¾(A[1...n]: i ; 1 i n 1 : A[i] < A[i + 1] Ò Ø ÓÒ ÒÓØ Ø ÓÒ : Ò := Ø Ý Ñ Ò Ò ØÓ Ñ Ò : ÓÖ ÔÖ Ø := ÓÖ ÓØ Ö Ø Ö Ò Ø ÓÒ ÝÑ ÓÐ := ÜÔÖ ÓÒ Ø ÓÐ Ø Ø ÝÑ ÓÐ = ÜÔÖ ÓÒ Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ : Ò Ø ÓÒ Ñ Ð Ó ÑÓÖ Ø Ò Ø Ø Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ

13 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø ÒØÖÓ Ù Ò Û ÝÑ ÓÐ Ø ÓÓ ØÓ Ú Ò ÓÛÒ ÝÑÑ ØÖ ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ð Ø Ö ØÙÖ ÝÓÙ Ò Ð Ó = غ : Ò := Ñ Ø Ø ÒÑ ÒØ Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù Ü ÑÔÐ Ð Ø ÓÒ Ó ÔÓ Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ö ÖÖ Ý Û ÙÑ ÓÖ Ö (A[1...n]) Ò n 1 Û Û ÒØ ØÓ Ò ÔÖ Ø ÐÓ Ø ÓÒ(A[1...n], Ý,x) Ó Ø Ø Ý Ò Ø ÖÖ Ý Ø Ò x ÔÓ ÒØ Ò ØÓ Ø ÐÓ Ø ÓÒ ÓØ ÖÛ x ÔÓ ÒØ ØÓ Û Ö Ð Ñ ÒØ Ý ÓÙÐ x ÔÓ ÒØ Ò ØÓ ÖÖ Ý Ö ÓÒ Ð Ú ÐÙ ÓÖ x Ö ØÛ Ò 1 x n Ø Ó ÒÓØ Ñ ØØ Ö Ú Ò Ø ÔÖ Ø ÙÒ¹ Ò Ð Û Ö Û Ø ÓÙÐ Ñ Ò º º key = 7 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ½¼ x x Ð Ø Ù Ð Ø ÓÙÐ Ø Ò Ö Ø Ø Ø Ö Ø Ö Ø Ò ½º ØÖÝ ÐÓ Ø ÓÒ(A[1...n], Ý,n): A[x] = Ý (A[x 1] < Ý A[x] > Ý) ÙÒ Ò Û Ò x = 1 Ò A[1] > Ý ÐÓ Ø ÓÒ¾(A[1...n], Ý,x) : A[x] = Ý (A[x] > Ý (x = 1 A[x 1] < Ý)) Û Ø Ý = 24 Ú ÐÙ x = n + 1 Ñ ØÓ Ò Ø Ò Ó Ú ÐÙ x = n + 1 Ù Ý Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÓÖ ÓÙÖ ØÖ Ð Ù Ø ÔÓÓÖ Ø Ø n = 1 Ø Ò Û Ò ¾ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò Û Ö Ö Ò Ø Ö Ô Ò Ò A[1] Ý ÓÖ ÒÓØ Ø Ö Ò 1 x n = 1 ÐÐÓÛ ÓÒÐÝ ÓÒ Ò Û Ö Ø ÒÓØ Ò Ö Ð ØÓ Ú ÖÝ Þ Ó Ø ÖÖ Ý ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¼ Ø Ø Ø Ð Ö ÕÙ Ö Ø Ø Ø Ö Ò n + 1 Ú ÐÙ Û ÓÓ Ö Ò 1 x n + 1 ÐÓ Ø ÓÒ (A[1...n], Ý,x) : A[x] = Ý (A[x] > Ý (x = 1 A[x 1] < Ý)) (x = n + 1 A[n] < Ý) Ø Ö Ü Ø Ú Ö Ð i Ù Ø Ø A[i] = Ý Ø Ò Ø Ó ÒÓØ Ô Ý Û i Ó Ò Ø Ñ ÐÐ Ø ÓÙÐ Ó Ò ÐÓ Ø ÓÒ (A[1...n], Ý,x) : (A[x] = Ý (x = 1 A[x 1] < key)) (A[x] > Ý (x = 1 A[x 1] < Ý)) (x = n + 1 A[n] < Ý) (A[x] Ý (x = 1 A[x 1] < Ý)) (x = n + 1 A[n] < Ý) Ò n 1 Ø Ò ÐÓ Ø ÓÒ : (A[x] Ý (x = 1 A[x 1] < Ý)) (x = n + 1 A[x 1] < Ý) (x = n + 1 A[x] Ý) (x = 1 A[x 1] < Ý) : ÐÓ Ø ÓÒ (A[1...n], Ý,x) ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ½ Ø ÐÖ Ý ÕÙ Ø Ð Ö Ò Ó Ò Ñ Û Ò ÖÝ Ò Ø Ö ¹ ÙØ ÓÒ Û ÓÒ ÙÑÔØ ÓÒ n 1 Ø Ô ÖØ Ú Ð Ö Ñ Ò Ò x = n + 1 A[x] Ý x ÒÓÙ x = 1 A[x 1] < Ý x ÒÓØ ØÓÓ Û ÓÓ ÐÓ Ø ÓÒ(A[1...n], Ý,x) : ÐÓ Ø ÓÒ (A[1...n], Ý,x) (x = n+1 A[x] Ý) (x = 1 A[x 1] < Ý) ÆÓØ ÔÖ Ø ÒÓØ ÐÛ Ý Ò ÒØ ØÓ Ù Û Ø ÐÐ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÔÓ Ð Ú ÐÙ Ó Ø Ö ÙÑ ÒØ Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ø ÓØ Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ñ ÔÖ Ø Ó Ø Ò ÙÒÒ ÖÝ Óѹ ÔÐ Ø Ø ÛÓÖØ ØÓ ÓÖ Û Ö Ò Ø Ñ ÒØ Ò ÓÖ Ø Ø Ø ÓØ Ö Ú ÐÙ Ò Ø Ü ÑÔÐ n > 0 Ò 1 x n + 1 Ù ÓÑ Ò K Ø Ò ÔÖ Ø P 1 Ò P 2 Ö ÕÙ Ð K P 1 P 2

14 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¾ ÝÓÙ Ó Û ÒØ ÔÖ Ø Ø Ø Ô Ò Ú ÖÝÛ Ö Ø Ò Ø Ú ÐÙ ÓÙØ Ø Ù Ó¹ Ñ Ò Ò Ø Ò Ø ÖÛ Ö º º Ð Ý ÛÖ Ø Ò 1 x n + 1 > 1 P(x) ÝÓÙ Û ÒØ ÝÓÙ Ò Ö Ù Ø Ö ØÖÙØ ÓÒ Ò P(x) Ò Ø Ò Ó P(x) ÝÓÙ Ò ÒÓØ ØÓ ÛÓÖÖÝ ÓÙØ Ø Ú ÐÙ ÓÙØ Ø Ù ÓÑ Ò Ö Ñ Ñ Ö ØÓ Ø ÐÐ Ø Ù ÓÑ Ò Ø ÌÖÙ ØØ ÑÔØ ÓÒ ØÓ ÛÖ Ø Ø Ø ÔÖ Ø Ó Ø Ò ÖÓÙ ÕÙ Ø ÓÒ Û Ú ÒÓØ Ò ÒÓØ ÓÖ º º Û Ø ÓÙÐ Ü ØÐÝ Ñ Ò º º Û x Ó Ò Ø Ö Ö Ú Ö Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú ÔÖÓ Ò ÓÒ Ó Ü ØÒ Ö ÑÓÚ Ò Ø ØÙ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø Ù ÓÑ Ò Ó Ø ÔÖ Ø Ñ Ý Ò ÓÖØ Ò ÙØ ÓÒ ÓÖÑ Ð Ò Ñ Ý Ö Ú Ð ÒÓÖÖ Ø ÔÖ ÙÑÔØ ÓÒ º º ÓÑ Ò 1 x n Ù ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø Ò Ó ÙÑÔØ ÓÒ Ö ØÖÓÙ Ð ¹ ÓÑ ÓÙÖ Ó ÖÖÓÖ ÓÖÑ Ð Ø ÓÒ Ñ Ý Ö Ú Ð Ñ Ù Ø Ñ Ù ØÝ ÒÓØ ÐÛ Ý ÙØ Ø ÓÓ ØÓ ÒÓÛ Ø Ö Ü Ø Ñ ¹ Ù ØÝ Ø ÓÚ ÜÔÐ Ò Ø ØÓ ÒÓØ Ø Ø ÓÖ¹ Ñ Ð Ô Ø ÓÒ ÒÖ Ò ÐÐÝ Ø Õ٠й ØÝ Ó Ø Ò ÔÖÓ ÙØ Ò Ö Ù Ø Ø Ñ ÓÖ Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÐØ ÓÙ Ø Ó Ø Ø ÛÓÖØ ØÓ ØÖÝ ØÓ Ö Ù Ø Ö ÙÐØ ÓÖ ØÓ ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ø ØÓ Ö ÒØ ÓÖÑ ÑÔÐ ÔÖ Ø Ù Ù ÐÐÝ ØØ Ö ÔÖ ¹ Ø Ø Ö Ù ÓÖÑ Ò ÙÔÔÓÖØ ÒØÙ Ø ÓÒ Ø¹ Ø Ö Ø Ò Ø ÓÖ Ò Ð Ø Ö Ù ÓÖÑ Ñ Ý ÒØ ÖÔÖ Ø Ý Ö ÒØ ÒØÙ Ø ÓÒ Ø Ð Ø Ø Ø ÔÖ Ø ÓÖÖ Ø ØÖ Ò Ø Ò Ø Ö Ð Ð ØÝ Ó Ö ÙØ ÓÒ Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ò¹ ØÙ Ø ÓÒ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø ÖÙÐ Ò Ò ÛÓÖØ ØÓµ ÔÔÐÝ ØÓØ ÐÐÝ Ñ Ò ÐÐÝ Ø ÒØ Ð ÓÖ Ø Ø Ø ÒØÙ Ø ÓÒ Ó Ö ¹ ÙÐØ Ö ÐÐÝ ÛÓÙÐ ÒÖ Ø Ð Ø Ø Ø ÔÖ Ø ÓÖÖ Ø Û ÐÐ Ò ÔÖ Ø ÓÑ Ø Ñ Ú Ð Ð Ó ÓÙØ Ø ÓÖ Ò Ð ÓÑ Ò º º ÐÓ Ø ÓÒ ÛÓÖ Ð Ó Û Ò n = 0 ÏÖ Ø Ò ÔÖ Ø Ö Ñ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ò Ñ ÒÝ Û Ý Ó Ò Ò ÒØÙ Ø Ú ØÓ ÐÙÑ Ý Ð Ò Ù ÓÑ Ø Ñ Ø ÑÙ Ø ÔÖ ÒØ Ú ÖÝ Ò Ö ØÐÝ Ù Ù ÐÐÝ Ó ÒÓØ Ù Ò Ø Ö Ø ØÖ Ð Ô Ð ÑÙ Ø Ø ÓÙ Ø Ñ ÒØ Ð Ö ØÖ Ø ÓÒ Ð Ú ÓÒ Ý Þ ÖÓ ÒÓØ ÐÐÓÛ ÑÙ Ø Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ø Ô ÖÑ ØØ Ö Ò ÓÖ ÒÔÙØ ÑÙ Ø Ø ÛÓÖØ ØÓ ØÖÝ Ö Ò Ó Ò Ö ÙÐØ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ì Ö Ü Ø Ð Ó Ö Ò ÝÓÙ Ò ÐÙÐ Ø Û Ø ÔÖ Ø Û Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÒÓÖÑ ÐÐÝ ÒÓØ ÐÓØ Ó ÑÓÖ ÔÓ Ð Ø ÓÖ Ö ÙØ ÓÒ ÒÝ Ô Ø Ò ÒÓØ ØÓ ÛÓÖÖÝ ÓÙØ ØØ Ö ÔÓ Ð Ø ØÓ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ð Ö ÙÐØ Ø Ö ÒÓ Ò ØÓ Ö Ò ÓÖ ÙÒ Ö Ø Ò ¹ Ð ØÝ Ù Ó ÓØ Ö Ø Ò Ó ÓÙÖ Ø ÒÓØ ÐÐÓÛ ØÓ Ò Ø Ñ Ò Ò Ó Ø Ð Ñ Ù Ó ÙÒ Ö Ø ¹ Ð ØÝ Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ñ Ò Ö ÒØ º º Ø ÓÖ Ö Ó ÐÙÐ Ø ÓÒ ÒÒÓØ Ò º º Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ø Ö ÒÓ ÔÓÛ Ö¹ ÙÐÐ ÓÔ Ö ØÓÖ ÝÓÙ ÒÒÓØ Ø Ø¹ Ö Ú ÔÖ Ø Ø Ö Ü Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÖ Ø Ð ÓÖÑÙÐ ϕ(x) Ù Ø Ø Ø Ö ÒÒÓØ Ü Ø Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ø x Ø ÒÔÙØ Ò Ú ÐÛ Ý Ò Ò Û Ö Ò Ú Ò ÓÖÖ ØÐÝ Ó ϕ(x) ÓÐ ÓÖ ÒÓص ÕÙ Ø ÓÒ

15 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ÀÓÛ Ò ÝÓÙ ÙÖ Ø Ø Ø Ø ÔÖ Ø ÓÖÖ Ø Ø Ò Ð Ò Û Ö ÝÓÙ ÒÒÓØ ÙÖ Ò ÒÝ Û Ý Ø ÔÓ Ð ØÓ Ø Ø ÓÑ ÓÖÑ Ð ÙÒ Ú Ö Ð Ö ¹ Ø Ö ÓÒ ÓÖ ÓÖÖ ØÒ Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ø ÔÖ Ø ÐÐ ÒÓØ ¹ Ô Ò ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÙÒ Ò µ Ø Ö ÙÑ ÒØ Ö ÓÒ Ø Ú Ð Ö Ò Ø Ù Ô ÓÙ Ø Ø Ø ÔÖ Ø ÔÖÓ¹ Ù ÐÛ Ý Ø Ö Ð ÓÖ ÌÖÙ Ø Ö¹ ÙÑ ÒØ Ö Ð Ð º º ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ò Ó Ö Ø Ö ÓÒ Ó ÒÓØ Ø ÐÐ Ø Ñ Ò Ò Ö ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÖÖ ØÒ Ó Ø Ñ Ò Ò Ó Ø Ø ÔÖ Ø ÓÙÐ Ö ÕÙ Ö Ø Ø Û ÓÖÑ Ð ÒÓÛÐ Û Ø Ø ÓÖÖ Ø Ñ Ò Ò Û ÓÙÐ Ò ÒÓØ Ö ÓÖÑ Ð ÓÖÑÙÐ ÓÛ ÓÙÐ Û ÒÓÛ Ø Ø Ø ÓÖÖ Ø Ø ÒÓØ ÔÓ Ð ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ð Ø ÓÖÑ Ð ÓÖÑÙÐ ϕ Ó Ø Ò Ò Ø Ñ ÙÖ Ó Ø ÓÖÖ Ø¹ Ò ÒÓØ Ò ÓÖÑ Ð ÓÖÑ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø ÛÓÙÐ Ø Ò ϕ ÛÓÙÐ ÒÓØ Ø Ð Ø Ó Ø Ò Ø Ð Ó Ø ÓÖÖ ØÒ Ó Ø Ð Ø ÓÖÑÙÐ Ó Ø Ò Ò ÓÒÐÝ Ò ÒØÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ó Ø Ø ÔÖ Ø Ò Ø Ô Ø ÓÒ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ØÓ Ô ÖØ Ó Ø Ñ ÙÖ Ó ÓÖ¹ Ö ØÒ Ò ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖÖ ØÒ Ó Ø ÔÖÓ¹ Ö Ñ Ø Ù Ù ÐÐÝ Ñ ÒØ ØÓ Ø Ð Ø ÓÖÑÙÐ Ó Ø Ò Ø ÓÖÖ ØÒ ÒÒÓØ ÔÖÓÚ ÓÖÓÐÐ Ö Ò ÓØ Ö ÛÓÖ Ø ÒÓØ ÔÓ Ð ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ñ Ò Ò Ö Ø ØÓØ ÐÐÝ ÒÓØ Ö ØÓÖÝ Ø Ø Ø ÔÓ ¹ Ð ØÓ ÔÖÓÚ Û Ø Ö Ø ÓÐ Ò ÓÑ Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Á Ø ÒÓØ ÔÓ Ð ØÓ ÙÖ Ø Ø Ø Ø Ø ÔÖ Ø Ù Ò Ø ÔÖÓÓ Ó ÓÖÖ Ø¹ Ò ÓÖÖ Ø Ø Ò ÓÛ Ø ÔÓ Ð ØÓ ÙÖ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖÖ Ø Ø Ò Û Ö ÒÓØ Ò ÒÝ Û Ý Ø ÒÓØ ÔÓ Ð ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÛÓÖ Ö ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø ÔÓ Ð ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÛÓÖ º º ÓÖ Ò ØÓ ÓÖÑ Ð Ö ÕÙ Ö ¹ Ñ ÒØ Ô Ø ÓÒ ÓÑÔÓ Ó Ø Ø ÔÖ ¹ Ø Ø Ñ ØØ Ö Ó Ð Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ô Ø ÓÒ ÓÖÖ Ø ÓÖ ÒÓØ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ÕÙ Ø ÓÒ Ï Ø Ò Ø Û Ø Ò Ò Ø Ý ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖÖ ØÒ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ò Û Ö Ý Ø Ø ÔÓ Ð ØÓ Ö Ù Ø Ø Ô Ø Ø Ù Ø ØÓ Ð Ú º Ö ÙÒØ ÓÒ Ð ØÝ Ö ØÓ Ð Ú ÓÖÑ Ð ÔÖÓÓ Ö ØÓ Ð Ú ÔÖÓ Ö Ñ Ö ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò µ ÓÖÑ Ð ÓÙÑ ÒØ Ó Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ö ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò µ

16 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¼ ÓÖÓÐÐ Ö Ø Ø Ø ÔÖ Ø ÓÙÐ Ý ØÓ ÙÒ¹ Ö Ø Ò ÔÓ Ð Ó ÓÙÖ Û Ø Ø Ö ¹ ØÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÑÙ Ø Ø ÐÐ Ø ÐÐ Ø ÓÖÖ Ø Ø Ø Ô Ý Ó ØÓ Ø Ø Ø Ø ÔÖ Ø Ï Ý ØÓ ÒÖ Ø Ð Ø Ø Ø Ø ÔÖ Ø ÓÖÖ Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ü ÑÔÐ Û Ù Ø ÔÖ Ø ÐÓ Ø ÓÒ(A[1...n],x, Ý) (x = n+1 A[x] Ý) (x = 1 A[x 1] < Ý) Ø Ø Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÔÖ Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÙÒ¹ Ò Ø Ö ÙÑ ÒØ Ö ÓÒ Ø Ð Ð Ö Ò º º Ø ÓÒÐÝ Ò ÖÓÙ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÖ ÐÓ Ø ÓÒ Ö A[x] Û Ò x = n+1 Ò A[x 1] Û Ò x = 1 Ø Ò Ø ÒÚ ÖÓÒÑÒ Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ö ÙÐØ Û Ø ÓÙØ n = 0µ Ø Ø Ý Ú Ò Ú ÐÙ ÓÖ Ö ÙÑ ÒØ Ý Ö Ù Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ò Ý Ò ÙÖ Ò Ø Ø Ø Ö ÙÐØ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÒØÙ Ø ÓÒ Ô ÐÐÝ Ø ÛÓÖØ ØÓ Ø Ø ÓÖ ÖÐ Ò ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ½ º º Û Ò n = 0 Ø Ò ÐÓ Ø ÓÒ (x = 1) / º º Û Ò n = 1 Ø Ò 1 x 2 Ó ÐÓ Ø ÓÒ (x = 2 A[x] Ý) (x = 1 A[x 1] < Ý) (x = 2 A[1] Ý) (x = 1 A[1] < Ý (A[1] < Ý x = 2) (A[1] Ý x = 1) Û ÓÐ Ò Ø Ð Ø ÓÖÖ Ø Ò Û Ö ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ø Ø A[1] < Ý ÝÓÙ Ò Ð Ó Ø Ø Ý Ú Ò Ú ÐÙ ÓÖ ÐÐ Ö Ù¹ Ñ ÒØ Ò Ý Ò Ø Ö ÙÐØ Ø ÛÓÖØ ØÓ Ø Ø Û Ø ÓØ Ø Ð Ò ÌÖÙ Ó Ø Ò Ø Ú ÖÝ Ð ÓÖ ÓÙ Ò Ø Ö ÓÖ Ò ÙÒ ÒØ Û Ý Ó Ø Ø Ò Ù Ù ÐÐÝ Ö Ù Ò ØØ Ö Û Ý ØÓ Ø Ø Ö Ù Ø ÓÖÑÙÐ Ò ÒÓØ Ö ÓÖÑ Ò Ø Ø Ø Ö ÙÐØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ø ÒØÙ Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ ÐÓ Ø ÓÒ(A[1...n],x, Ý) x = 1 x = n + 1 (x = n + 1 A[n] < Ý) (x = 1 A[1] Ý) (A[x] Ý A[x 1] < Ý) ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¾ x = 1 = n + 1 ÔÖÓ ÓÖÖ ØÐÝ Ø n = 0 x = n+1 A[n] < Ý Ø ÓÖÖ Ø Û Ý ØÓ ÔÖÓ Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÖÖ Ý Û Ò n > 0 x = 1 A[1] Ý Ø ÓÖÖ Ø Û Ý ØÓ ÔÖÓ Ø Ð Ø ÓÖ Ö Û Ò n > 0 A[x] Ý A[x 1] < Ý ÓÖÖ Ø Ò Ø Ñ Ð Ó Ø ÖÖ Ý Ø ÙÒ Ò Ò Ø ÓÖ Ö ÙØ Ø Ò Ø Ö Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÔÖÓ Ù ÌÖÙ µ ÁØ Ô Ý Ó ØÓ Ù Ø Ø Ø Ø ÝÓÙ Ò ÐÙÐ Ø Û Ø Ø Ø ÔÖ Ø º Ü ÑÔÐ ÒÓÒ Ø Ð Ñ ÒØ Ó ÖÖ Ý A[1...n] Ö ÕÙ Ð ½º ØÖÝ ÒÓÒ ÕÙ Ð ½(A[1...n) : i, j {1,...,n} : A[i] A[j] Ð Ø Ù Ø Ø Ø Ý Ø ÓÖ ÖÐ Ò n = 1 Ø Ò ÒÓÒ ÕÙ Ð ½ A[1] A[1] ÓÓÔ ÒÓÒ ÕÙ Ð ¾(A[1...n] : i, j {1,...n} : (i j A[i] A[j]) ÛÓÖ Û Ø Ø ÓÖ ÖÐ Ò n = 0 Ò n = 1 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ó ÒÓØ Ò Ü A ÐÐ ÐÐÝ ÓÖ Ò ØÓ ÒØÙ Ø ÓÒ Ø ÓÙÐ ÓÐ Ø Ø ÓÖ Ö ¾(A[1...n]) ÓÖ Ö (A[1...n]) ÒÓÒ ÕÙ Ð (A[1...n]) Ð Ø Ù Ý ÓÖ Ö ¾(A[1...n]) ÓÖ Ö (A[1...n]) Ö ØÐÝ ÓÖ Ö ¾(A[1...n]) ÒÓÒ ÕÙ Ð ¾(A[1...n]) Û Ò i < j Ø Ò 1 i < n Ø Ù A[i] < A[i + 1] < < A[j] Ò Ø Ö ÓÖ A[i] A[j] Ñ Ð ÖÐÝ Û Ò j < i Ø i = j Ö ØÐÝ Û Ð Ú Ø Ø ÒÓÒ ÕÙ Ð ¾ ÓÖÖ Ø ÒÓÒ ÕÙ Ð [A[1...n]): ÒÓÒ ÕÙ Ð ¾(A[1...n]) Ò Ü ÑÔÐ Ó ÓÛ ØÓ ÛÖ Ø Ø Ø ÔÖ Ø Û Ø Ø Ñ Ð Ñ ÒØ Ñ ¹ Ð Ñ (A[1...n],B[1...n]) ÖÖ Ý A Ò B Ú Ø Ñ Ð Ñ ÒØ ½º ØÖÝ Ñ ¹ Ð Ñ ½(A[1...n],B[1...n]) : i ; 1 i n : j ; 1 j n : A[i] = B[j] ÐÐÓÛ A = [1,1],B = [1,2]

17 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ñ ¹ Ð Ñ ¾(A, B) : Ñ ¹ Ð Ñ ½(A, B) Ñ ¹ Ð Ñ ½(B,A) ÐÐÓÛ A = [1,1,2],B = [1,2,2] Ø Ñ Ò ÖÝ ØÓ ÓÙÒØ ÓÛ Ñ ÒÝ Ð ¹ Ñ ÒØ Ø Ö Û ÒØÖÓ Ù Ò ÙÜ Ð ÖÝ ÒÓØ Ø ÓÒ ÑÓÙÒØ(x, A[1...n]) := { i 1 i n A[i] = x } := Ñ Ò Ö Ò ØÓ Ñ Ò µ Ñ ¹ Ð Ñ (A, B) : i ; 1 i n : ÑÓÙÒØ(A[i],A) = ÑÓÙÒØ(A[i],B) Ñ ¹ Ð Ñ (A, B) ÝÑÑ ØÖ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ A Ò B Ò Ø ÓÖÖ Ø Ø ÒØ Ø Ø ÝÑÑ ØÖ ÓÖÑÙÐ Ó ÒÓØ ÓÐ k ; 1 k n : ÑÓÙÒØ(B[k],A] ÑÓÙÒØ(B[k],B) ÑÓÙÒØ(B[k],A) > 0 Ø Ò i ; 1 i n : B[k] = A[i] Ø Ù Ñ ¹ Ð Ñ ÑÓÙÒØ(B[k],A) = ÑÓÙÒØ(B[k],B) ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ÑÓÙÒØ(B[k],A) = 0 ÑÓÙÒØ(B[k],B) > 0 B ÑÓÖ Ð Ñ ÒØ Ø Ò A ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ÒÓÖÖ Ø Ø ÝÑÑ ØÖÝ ÓÒÐÝ Ú ÖØÙ Ð Û ÔØ Ø Ø Ñ ¹ Ð Ñ (A, B) : Ñ ¹ Ð Ñ (A, B) ÓÖÑ ØØ Ò Ø Ø ÔÖ Ø ÓÑ Ø Ñ ÙÐØ Ø Ð Ò Ù Ó ÐÓ Ö Ò Ý Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø ÒÓØ Ò ÓÖ ÜÔÖ Ò Ð Ö Ð Ñ Ø ÒÓØ Ò ØÓ Ö Ý ÓÑÔÙØ Ö ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò ÐÓ ÐÐÓÛ Ò ÓÛÒ ÒÓØ ¹ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ù Ò Ø ÓÙÖ ÓÛÒ ÒÓØ Ø ÓÒ Ò ÒØÖÓ¹ Ù ÙØ Ø Ý ÑÙ Ø Ò Ü ÔØ Ø Ñ Ò Ò Ó Ú ÓÙ µ º º Ò ÓÖ Ö Ò Ò Ø Ò Ù Ô ÖØ Ó ÓØ Ö ÔÖ Ø ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Û Ò Ù Ò Ò Û Ø ØÖ Ø ÓÒ Ø Ó Ø Ò Ò ¹ ÖÝ ØÓ ÒØÖÓ Ù Ò Û ÒÓØ Ø ÓÒ ØÓ Ù Û Ø Ø ØÖ Ø ÓÒ º º ÕÙ Ù Ø Ö Ô Ø Ö ÓÒ ÓÖ ÙÐØ ØÓ ÛÖ Ø Ø Ø ÔÖ ¹ Ø Ó Ø Ò Ø Ø Ø Ü Ø ÓÒØ ÒØ Ó Ø Ð Ñ ÓÖ ÐÐ ØÙ Ø ÓÒ ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ÒÓØ Ò Ø ÓÙ Ø Ó ÓÖ Ø Ö ÓÒ Ó Ø ÙÐØÝ Ó Ø Ø ÔÖ Ø Ó Ø Ò Ø Ø Ø Ñ ØØ Ö Ø Ð ÙÐØ Û Ø ÓÙØ ÓÖÑ Ð Ò Ø Ð Ñ Ø Ô Ù Ù¹ ÐÐÝ Ö Ñ Ò ÙÒÒÓØ ØÖÓÙ Ð ÓÑ ÖÖÓÖ Ø Ö Ø Ò Ó Ø Ò Ø Ø Ò Ø Ø Ø ÓÖÑ Ð Ñ ÓÖ ØÓ Ø Ò Ø Ñ ØØ Ö Ü ØÐÝ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¾º ËÔ Ø ÓÒ Ó ÈÖÓ Ö Ñ ÓÖÖ ØÒ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ù ÙÐ ØÓ Ú Ø Ö ¹ ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó ÓÖÖ ØÒ ÒØÓ ØÛÓ Ô ÖØ Ô ÖØ Ð ÓÖÖ ØÒ Ó ØØ Ò Ò Ó ÐÐ ÙÙ µ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ ÔÝ ØÝÚÝÝ µ Ô ÖØ Ð ÓÖÖ ØÒ Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÒÓØ ÐÐÓÛ ØÓ Ó ÒÝØ Ò ÛÖÓÒ Ø ÐÐ Ò Ú Ö Ú Ò ÒÓÖÖ Ø Ò Û Ö Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ò Ø ÐÐ ÒÓØ Ø Ý Ò Ò ÒÓÖÖ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ò Ø Ò Ð Ø Ø ÓÖÖ Ø Ø Ö Ø Ö ÙÐØ Ò Óѹ ÔÙØ Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ð ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ò Ø Ñ Ý Ò Ú Ö ÔÖÓ Ù Ø ÓÖÖ Ø Ò¹ Û Öµ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÑÙ Ø Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ¹ ØÖÓÐÐ Ñ ÒÒ Ö Ö Ò Ù Ó ÙÐØ Ú ÓÒ Ý Þ ÖÓ Ò Ü Ò Ô Ø ÓÖ Ö Ó Ò ÖÖ Ý Øºµ ÒÓØ ÓÒØÖÓÐÐ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ

18 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ú ÓÒ Ý Þ ÖÓ Øº Ø Ò ÜØ ÔÖÓ Ö Ñ Ô ÖØ ÐÐÝ ÓÖÖ Ø ÓÖ ÒÝ Ô Ø ÓÒ Û Ð ØÖÙ Ó ÓÒ³Ø Ó ÒÝØ Ò µ Ò Û Ð ØÓØ Ð ÓÖÖ ØÒ ØÝ Ó ÐÐ ÙÙ µ Ô ÖØ Ð ÓÖÖ ØÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ñ ÓÖ ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ô ÖØ Ð ÓÖÖ ØÒ Ô Ò ÓÒ Ø º º Ò Ø Ò Ó ÓÖØ Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÖÖ Ý ÓÒØ Ò ÐÐ Ø ÓÖ Ò Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ò Ò ÓÖ Ö º º Ò Ø Ò Ó Ö Ò ÔÖÓ Ö Ñ i ÔÓ ÒØ ØÓ Ø Ö Ö ÓÖ Û Ò Û Ý ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ô ÖØ Ð ÓÖÖ Ø¹ Ò Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ËÔ Ø ÓÒ Ó Ô ÖØ Ð ÓÖÖ ØÒ Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ô ÖØ Ð ÓÖÖ ØÒ Ó ÔÖÓ¹ Ö Ñ Ò ÜÔÖ Ò ÓÖÑ { ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ } ÔÖÓ Ö Ñ { ÔÓ ØÓÒ Ø ÓÒ } Û Ö ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ù ØÓµ Ò ÔÓ ØÓÒ Ø ÓÒ ÐÓÔÔÙ ØÓµ Ö Ø Ø ÔÖ Ø Ü ÑÔÐ Ö Ò ØÓ ÔÓÛ Ö ß n 0 Ð x := 1; ÓÖ i := 1 ØÓ n Ó x := x a Ò ÓÖ ß x = a n Ð Ü ÑÔÐ Ò Ø Ð Ø ÓÒ ß ÌÖÙ Ð ÓÖ i := 1 ØÓ n Ó A[i] := 0 Ò ÓÖ ß i ; 1 i n : A[i] = 0 Ð ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¼ Û Ò Ú Ö Ò ÖÝ Û ÒØÖÓ Ù ÙÜ Ð ÖÝ Ýѹ ÓÐ ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ú ÐÙ Ø Ø Ó ÒÓØ Ò ÙÖ¹ Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ý Ó ÒÓØ Ö ÔÖ ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ö Ð ÙØ Ø Ö Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ø Ò Ý Ù Ò Ü ¼ º º x 0,A 0 [i] Ó¹ ÐÐ Ó Ø Ú Ö Ð ÑÙÑÙÙØØ٠ص º º Û ÔÔ Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ú Ö Ð ß x = x 0 y = y 0 Ð t := x; x := y; y := t ß x = y 0 y = x 0 Ð Ó Ò Ø ÓÙÖ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ { ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ } ÔÖÓ Ö Ñ { ÔÓ ØÓÒ Ø ÓÒ } Ñ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÖØ Ø ÔÖ ¹ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ Ø Ò Ø Ö Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÔÓ ØÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ º Û ÖÒ Ò Ø Ñ Ò Ò ÐØ ÖÒ Ø Ð ØÐÝ Û Ø Ö ÒØ ÛÖ Ø Ö ÓÙÖ Ó Ñ ÓÙ ³ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ½ º º Ö ÜÔÖ Ø Ñ Ò ÓÖÑ ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ { ÔÖÓ Ö Ñ } ÔÓ ØÓÒ Ø ÓÒ Î ÐÙ Ó Û Ú Ö Ð Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ð ÖÐÝ ÐÐ Ø ÓÖÑ Ð Ô ¹ Ø ÓÒ ß n 0 Ð x := 1; a := 1; n := 1 ß x = a n Ð Ò Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ú Ö Ð Ò Ò Ý Ö ÕÙ Ö Ò Ø Ø Ø Ö Ú ÐÙ Ò Ø Ò Ö Ñ Ò Ø ÒÒ Ò ß n = n 0 0 a = a 0 Ð º º º ß x = a n n = n 0 a = a 0 Ð Ð ÓÖ ÓÙ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÓÑÑÓÒÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ð Ø Ù Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø Ú Ö Ð Ò ØÛÓ ÖÓÙÔ ÓÖ Ò ØÓ Û Ø Ö Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÐÐÓÛ ØÓ Ò Ø Ö Ú ÐÙ ÓÖ ÒÓØ Ü Ú Ö Ð ÓÖ Ò ÖÝ Ú Ö Ð

19 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¾ ÓÛ ØÓ ÓÒ ÖÒ ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ß n 0 Ð ØÑÔ := n; n := 0 º º º Ö ØÑÔ ÒÓØ ØÓÙ µ n := ØÑÔ ß x = a n Ð Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ö ÓÑ Ø Ñ ÑÔÓ Ð µ ØÓ Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÐÐÝ Ò Ø Ú ÐÙ Ó ÓÑ Ú Ö Ð Ø Ý ØÓ Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ü Ø ÒÝ ÒÑ ÒØ Ø Ø Ñ ÒØ Ö Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ú Ò ØÖÝ Ò ØÓ Ñ Ò Ò¹ Ñ ÒØ ØÓ Ü Ú Ö Ð Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ú Ö Ð Ô Ø µ Ü Ú Ö Ð Ö Ö ÒØ Ø Ò Ø Ò Ó Ø Ú Ö Ð Ó Ø Ú Ö Ð Ó ÒÓØ Ü Ø Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒÐÝ Ò Ø Ø ÔÖ Ø ÒÔÙØ ÙÜ Ð ÖÝ Ò ÓÙØÔÙØ Ú Ö Ð Ø ÒÔÙØ Ö Ú Ò Ò Ø ÒÔÙØ Ú Ö Ð ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø Ö ÙÐØ Ö Ö ØÙÖÒ Ò Ø ÓÙØÔÙØ Ú Ö ¹ Ð Ø ÙÜ Ð ÖÝ Ú Ö Ð Ö ÓÖ Ù Ö ÙÐØ Ô ÖØ Ø ÓÒ ØÓ Ü Ò ÓÖ Ò ÖÝ Ú Ö Ð ¹ Ö ÒØ Ø Ò Ø Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ØÓ ÒÔÙØ ÙÜ Ð¹ ÖÝ Ò ÓÙØÔÙØ Ú Ö Ð Ü Ú Ö Ð Ö Ù Ù ÐÐÝ ÒÔÙØ Ú Ö Ð ÐÐ ÒÔÙØ Ú Ö Ð Ö ÒÓØ Ü º º ÓÖØ Ò Ò ÖÖ Ý Ò ÔÐ Ù Ù ÐÐÝ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ØÓ ÓÖ Ò ÖÝ Ò Ü Ú Ö ¹ Ð ÙÑ ØÓ ÒÓÛÒ Ò Ð Ø Û Ø ÓÙØ Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÖÓÙÔ Ó ÒÓØ Ú Ò Ú Ø Ð Ò Ñ È ÖØ Ð ÓÖÖ ØÒ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ø Ò ÜØ ÔÖÓ Ö Ñ Ô ÖØ ÐÐÝ ÓÖÖ Ø Û Ö P Ò Q Û Ø Ú Ö ß P Ð Û Ð ÌÖÙ Ó Ò Û Ð ß Q Ð Ô Ø ÓÒ ÒÓØ ÓÑÔÐ Ø ÙÒÐ Ø ÖÑ Ò ¹ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÕÙ Ö ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ù Ù ÐÐÝ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ü ÔØ ÓÒ Ö Ø Ú ÔÖÓ Ö Ñ ÒÓØ Ù ÓÒ Ø ÓÙÖ µ ÔÖÓÚ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ó Ø Ò Ö Ñ Ö Ð Ø ÓÒ Ð ÓÖØ º º x := 1; y := 1; z := 1; n := 3; Û Ð x n + y n z n Ó y > 1 Ø Ò x := x + 1; y := y 1 Ð z > 1 Ø Ò z := z 1; y := x + 1; x := 1 Ð n > 3 Ø Ò n := n 1; z := x + 1; x := 1 Ð n := x + 3; x := 1 Ò Û Ð ß x 1 y 1 z 1 n 3 x n + y n = z n Ð Ô ÖØ Ð ÓÖÖ ØÒ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ù Ù ÐÐÝ ÔÖÓÚ Ô Ö Ø ÐÝ Û Ö Ó Ò ØÓ Ð Û Ø ÐÓØ Ó ÒØ ÖÔ Û Ö Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ò Ø ÓÙÖ ÝÓÙ ÑÙ Ø Ö ÙÐÐ ÓÙØ Û Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ò Û Ò ÒÓØ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ËÔ Ø ÓÒ Ó Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ò Ø ÓÙÖ µ Ý ÔÙØØ Ò Ø Ø ÔÖ Ø Ò Ò Ð Ö Ø x = x 0 y = y 0 t := x; x := y; y := t x = y 0 y = x 0 Ó Ò Ø ÓÙÖ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÔÓ ØÓÒ Ø ÓÒ Ñ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÖØ Ø ÔÖ ¹ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ Ø Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø ÔÓ ØÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ º Û ÖÒ Ò Ú Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ÒÓØ Ò ¹ Ø Ð ÓÖ ÓÑ ÛÖ Ø Ö ß P Ð ÔÖÓ Ö Ñ ß Q Ð Ò¹ ÐÙ Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ö µ ÓÙÖ Û Ý Æº Ö Ò Þ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ

20 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó ÒÓØ Ò ÙØ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ò ÜÔÖ ÓÐÐÓÛ ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÌÖÙ Ò Ö Ð ÙÑÔØ ÓÒ ÓÖ Ø Ø Ø ÓÙÐ ÒÓØ Ò ÖÝ ØÓ Ð Ø Ø Ó Ò Ö Ð Ò Ø ÓÒ Ò Ü ÑÔÐ Ü Ñ Øº Û ÙÑ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÒÐ ÓÑ Ø Ò Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ú Ö Ð Ø Ø Ö Ú ÐÙ ÖÓÑ Ø Ø Z Ø ÒÓØ Ø ÓÒ A[a...y] Ñ Ò Ò ÖÖ Ý Û Ò¹ Ü Ö Ò a, a + 1,...,y a Ò y Ö Ü y a 1 ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÖ Ý A[1...n,1...m] Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ó Ò ÖÖ Ý Ú Ò Ú Ò Ø Ñ Ò Ñ Ó Ø ÖÖ Ý Ò Ù Û Ø ÓÙØ ÓÖ Ö Ø ØÝÔ Þ Øº Ó Ó Ø Ú Ö Ð Ö Ø Ö¹ Ñ Ò Ý Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ¹ Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ö Ð ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ º º A[1...n] Ø Ò A = A 0 Ñ Ò Ø Ø Ø Ò Ü Ö Ò Ó A 0 1,...,n Ò i ; 1 i n : A 0 [i] = A[i] ËÔ Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ ÓÖØ Ò ÖÖ Ý A[1...n] ½º ØÖÝ ÌÖÙ ÓÖØ ÓÖ Ö (A) ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐÓÛ ÌÖÙ ÓÖ i := 1 ØÓ n Ó A[i] := 0 Ò ÓÖ ÓÖ Ö (A) Ø ÓÐÙØ ÓÒ A = A 0 ÓÖØ ÓÖ Ö (A) Ñ ¹ Ð Ñ (A, A 0 ) ÀÓÛ Ö ÓÙ Ø Ð Ò Ø ÓÖ Ò Ð Ô Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ø ÓÒÐÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ø ÖÖ Ý Ò ÓÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û ÔÔ Ò ØÛÓ Ð Ñ ÒØ Ø Ý ØÓ Û Ø Ö Ñ ¹ Ð Ñ (A, A 0 ) ÓÐ ÓÖ ÒÓØ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø Ñ Ò ÒØ Ö Ø Ó Ø ÔÖÓÓ ÓÒ ÒØÖ Ø ÔÖÓÚ¹ Ò Ø Ð Ñ ÓÖ Ö (A) ÓÛ Ú Ö ÓÑ Ø Ñ Ñ ¹ Ð Ñ (A, A 0 ) ÒÓØ Ó ¹ Ú ÓÙ ÑÓÚ Ò ÓÐ Ò Ò ÖÖ Ý Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ü ÑÔÐ ÁÒ ÖØ ÓÒ¹ËÓÖØ A[1...n]µ ÓÖ j := 2 ØÓ n Ó Ý := A[j]; A[j] ØÓ ÓÖ Ö ÕÙ Ò A[1...j 1] µ i := j 1; Û Ð i > 0 Ò A[i] > Ý Ó A[i + 1] := A[i]; i := i 1 Ò Û Ð A[i + 1] := Ý Ò ÓÖ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ñ ¹ Ð Ñ (B,A 0 ) Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ü Ñ¹ ÔÐ ÓÙÒØ Ò ¹ËÓÖØ A[1...n],B[1...m],Mµ i ; 1 i n : 0 A[i] M ÓÖ k := 0 ØÓ M Ó C[k] := 0 Ò ÓÖ ÓÖ i := 1 ØÓ n Ó C[A[i]. Ý] := C[A[i]. Ý] + 1 Ò ÓÖ ÒÓÛ C[k] ÒÓÛ ÓÛ Ñ ÒÝ Ð Ñ ÒØ Ý = k µ ÓÖ k := 1 ØÓ M Ó C[k] := C[k] + C[k 1] Ò ÓÖ ÒÓÛ C[k] ÒÓÛ ÓÛ Ñ ÒÝ Ð Ñ ÒØ Ý k µ ÓÖ i := n ÓÛÒØÓ 1 Ó B[C[A[i]. Ý]] := A[i]; C[A[i]. Ý] := C[A[i]. Ý] 1 Ò ÓÖ ÓÛ Ö ÓÙ Ò ÖÖÓÖ Ô Ò ÓÒ Ù Ó Ø Ô Ø ÓÒ Ø Ú Ò ØÓ Ñ Ð ÓÙ ÓÖ Ó Ø Ð Ö Ö Ñ Ö Ò Ð Ý Öµ Ø ÑÙ Ø ÓÖÖ Ø Û Ò Ø Ù Ò ØÙ Ø ÓÒ Û Ö Ø Ñ Ò Ô ÖØ Ð ÖÐÝ Ó Ú ÓÙ ØÓ Ú ÖÝÓÒ Ø Ò Ø ÖÖÓÖ ÒÓØ Ö ÓÙ º º Ô Ø ÓÒ ÝÓÙ Ø ÖØ Ø Ö Ø ÔÐ Ø ÑÔØÝ

21 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¼ Ø ØØ Ö ØÓ ÜÔÖ Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ñ ¹ Ð Ñ (A, A Ú Ò Ò ÓÖÑ ÐÐÝ Ø Ò Ð Ú Ø ÓÙØ Ü ÑÔÐ Ò ÖÝ Ö Ò Ø Ô Ø ÓÒ A[1...n] Ò Ý Ö Ü i ; 1 i n 1 : A[i] A[i + 1] a := 1 y := n + 1; Û Ð a < y Ó v := (a + y) Ú 2; A[v] < Ý Ø Ò a := v + 1 Ð y := v Ò Ò Û Ð (a = n + 1 A[a] Ý) (a = 1 A[a 1] < Ý) Ü ÑÔÐ Ò ÖÝ ÔÓÛ Ö Ò Ø Ô Ø ÓÒ a Ò n Ö Ü x a Ò b Ö Ó ÓÑ ÒÙÑ Ö ØÝÔ º º R n 0 i := n; b := a; x := 1; Û Ð i > 0 Ó i mod 2 = 1 Ø Ò x := b x Ò ; i := i Ú 2; b := b b; Ò Û Ð x = a n ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ½ Ü ÑÔÐ Ò Ò Ø Ð Ö Ø ¼¹ ÕÙ Ö Ò Ñ ØÖ Ü Û Ó Ð Ñ ÒØ Ö Ø Ö ¼ ÓÖ ½ Ò ÙÜ Ð ÖÝ Ø Ø ÔÖ Ø Þ ÖÓ ÕÙ Ö (i, j,k,a[1...n,1...m]) : i + k 1 n j + k 1 m h ; i h i + k 1 : l ; j l j + k 1 : A[h, l] = 0 ÓÑ Ò 1 i n, 1 j m, k 0 Û Ý ÓÒ Ø ÓÒ i+k 1 n j +k 1 m Ò A Ü Ò m Ò n Ö Ü Û Ø ÓÙØ ÒÝ ÒÓØ Ø ÓÒ Ù Ó Ø Ò Ö Ð ÙÑÔØ ÓÒ ÓÖ Ø Ò Û Ö Ø ÓÖÒ Ö Ó Ø Û Ø Ñ ÐÐ Ø Ó¹ ÓÖ Ò Ø Ò ÐÓ Ø ÓÒ (i, j) Ø Þ k i ; 1 i n : j ; 1 j m : A[i, j] {0,1} Ò Ø Ð Ö Ø Þ ÖÓ ÕÙ Ö 1 i n 1 j m k 0 Þ ÖÓ ÕÙ Ö (i, j,k,a[1...n,1...m]) i ; 1 i n : j ; 1 j m : h ; h > k : Þ ÖÓ ÕÙ Ö (i, j,h, A[1...n,1...m])) ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¾ Ü ÑÔÐ Ó Ò ØÖÓÙ Ø Ö Ø Ò Ò Ö Ø ÔÖ Ö Õ¹ Ù Ø Ó ÓÙÖ Ø Ø Ó ÐÐ ÓÙÖ ÓÙÖ Ø Ö Ø ÔÖ Ö ÕÙ Ø Ó ÓÙÖ k Ø Ö¹ÔÖ Ö Õ(k) Û ÒØÖÓ Ù ÒÓØ Ø ÓÒ k,g ÓÙÖ µ k g : g Ö¹ÔÖ Ö Õ(k) k + g : n N : n > 0 k 0,k 1,...,k n : k = k 0 k n = g i ; 1 i n : k i 1 k i Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ô Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÔÖ Ö Õ Ò k 0 Ö Ü Ø ØÝÔ Ó Ú Ö Ð k g Ò k 0 ÓÙÖ ÙÒ Ò ÓÙÒ Ò Ö¹ÔÖ Ö Õ Ö Ó ØÝÔ 2 ÓÙÖ Ø Ø Ø Ó ÓÙÖ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ÙÒ Ò := {k 0 }; ÓÙÒ := Û Ð ÙÒ Ò Ó ÓÓ ¹ ÓÑ k ÙÒ Ò ÓÖ ÐÐ g Ö¹ÔÖ Ö Õ(k) Ó g / ÓÙÒ Ø Ò ÓÙÒ := ÓÙÒ {g} g k 0 Ø Ò ÙÒ Ò := ÙÒ Ò {g} Ò Ò Ò ÓÖ ÙÒ Ò := ÙÒ Ò {k} Ò Û Ð ÓÙÒ = { k ÓÙÖ k0 + k } ) ÓÒÐÙ ÓÒ Û Ò Ù Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÖ ØÖ Ø ØÖÙØÙÖ Ø Ó Ø Ò Ò Ý ØÓ ÒØÖÓ Ù Ó¹ Ñ Ò Ô ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÝ Ò ÔÖÓÓ Û Ñ Ý Ú ØÓ Ù ÓÑ Ò Ô Ö ÙÐØ µ

22 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ÈÖÓÚ Ò ÓÖÖ ØÒ Ó ÈÖÓ¹ Ö Ñ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ü Ñ Ò Ñ Ò ÓÖ ÔÖÓÚ Ò Ø Ø Ñ ÐÐ Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÙÐ ÐÐ Ø Ô Ø ÓÒ Û Ú ØÓ Ù ÓÙØ Ø Ñ ÒØ Ó Ø Ø ¹ Ñ ÒØ Ó ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù Ì Ñ Ò Ö Ù ÙÐ Ô ÐÐÝ ÓÖ Ò Ò Ò Ú Ö Ý Ò Ñ ÐÐ Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Û Ó ÓÔ Ö Ø Ò ÔÖ Ò ÔÐ ÙÐØ Ö Ò Ò ÖÓÛ Ò Ø ÓÖØ Ò Ó ÓÒÚ Ö ÓÒ Ö Ø Ñ Ø Ø ÔÖÓ Ò ÙÐØ Ø ØÖÙØÙÖ ÔÖÓ Ò ØÖ Ò º º º ÇÒ Ñ Ò Ó Ð Ó ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖ¹ Ö ØÒ Ó Ö ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒÙÖÖ ÒØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ØÖ Ø Ô Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ º½ Ò Ö Ð ÈÖ Ò ÔÐ Ù Ø ÓÒ ÓÖ ÔÖÓÓ Ñ Ø Ó ÝÑ ÓÐ Ü ÙØ ÓÒ Ø ÔÖÓ Ö Ñ Û ÒØ Ø ÖÓÙ Ý ÓÒ Ø Ø Ñ ÒØ Ø Ø Ñ ÜÔÖ Ø Ø Ø Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ú ÖÝ ÔÐ Ý Ø Ø ÔÖ Ø Ü ÑÔÐ Û ÔÔ Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ú Ö Ð Ø ÑÙ Ø ÔÖÓÚ Ò Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Û Ô Ø Ú ÐÙ Ó Ú Ö Ð x Ò y t := x; x := y; y := t ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ü ÙØ Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÝÑ ÓÐ ÐÐÝ Ý Ô¹ Ò ÓÓ Ó Ø Ú ÐÙ Ó Ú Ö Ð x = x 0 y = y 0 t := x; x = x 0 y = y 0 t = x 0 x := y; x = y 0 y = y 0 t = x 0 y := t x = y 0 y = x 0 t = x 0 Ò Ò Ø Ò x = y 0 Ò y = x 0 Ø ÔÖÓ Ö Ñ Û Ô Ø Ú ÐÙ Ó x Ò y ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÓÙÐ ÔÖÓÚ Ò ØÓ ÓÖÖ Ø Ý ÝÑ ÓÐ Ü ÙØ ÓÒ Ö Ö Ü ÑÔÐ Ö Ò ÖÓÑ Ò ÖÖ Ý Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø ÖÖ Ý A[1...n] n 1µ Ò Ð Ñ ÒØ x Ú Ò Ø Ø ØÓ Ò Ø Ñ ÐÐ Ø i Ù Ø Ø A[i] = x Ù i Ó ÒÓØ Ü Ø Ø Ò i = 0 ÑÙ Ø Ö ØÙÖÒ A Ò x Ö Ü Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó ØÓØ Ðµ ÓÖÖ ØÒ n 1 Ö (1 i n A[i] = x j ; 1 j i 1 : A[j] x) i = 0 j ; 1 j n : A[j] x Ø ÔÖÓ Ö Ñ ØÓ ÔÖÓÚ Ò ÓÖÖ Ø Ö µ i := 1; Û Ð i < n A[i] x Ó i := i + 1 Ò Û Ð A[i] x Ø Ò i := 0 Ò ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Рس ØÖÝ ØÓ Ü ÙØ Ö ÝÑ ÓÐ ÐÐÝ n 1 A = A 0 x = x 0 i := 1; n 1 A = A 0 x = x 0 i = 1 Û Ð i < n A[i] x Ó n 1 A = A 0 x = x 0 i =?? A[??] x o º º º Ó ÒÓØ ÛÓÖ ÝÑ ÓÐ Ü ÙØ ÓÒ Ó ÒÓØ Ù Ù ÐÐÝ ÛÓÖ Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓÓÔ Û Ò ÓÑ ÓØ Ö Û Ý ØÓ Ö ÓÒ ÓÙØ Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ ØØ Ö ÔÖÓÓ Ñ Ø Ó ÛÖ Ø Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ô ÖØ Ð ÓÖÖ ØÒ Ò Ø ÓÖÑ ß ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ß ÔÓ ØÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ø ÔÖÓ Ö Ñ Û Ø Ù Ø ÐÝ Ó Ò Ø Ø ÔÖ Ø Ó Ø Ø Ò Ø ÒÒ Ò Ø Ö { ÔÖ ¹ ÓÒ Ø ÓÒ } Ò Ò Ø Ò { ÔÓ ØÓÒ Ø ÓÒ } ÓÛ Ø Ø ÔÖ Ø ÓÐ Ù Ò Ø ÔÖ ¹ Ú ÓÙ ÔÖ Ø Ò Ø Ü ÙØ Ð Ø Ø Ñ ÒØ ØÛ Ò Ø Ñ

23 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ÐÓÓÔ Ú Ô Ð ÖÙÐ Û ³ÐÐ ÓÑ ØÓ Ø Ñ Ò Ø Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ø ÓÖÖ Ø Ö ÙÐØ Ø Ø Ø Ö Ý Ù Ò ÔÖ Ø ÓÛ Ø Ø ÒÝØ Ò ÐÐ Ð Ò Ú Ö ÓÒ Ú ÓÒ Ý Þ ÖÓ ÓÚ Ö ÓÛ Ó Ò Ò Ü Ó Ò ÖÖ Ý º º º Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÒÓØ ÐØ ÓÖ Ò ÓÛ Ø Ø Ú ÖÝ ÐÓÓÔ Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ü Ø Û ÐÐ ÓÑ ØÓ Ñ Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÖÙÒ ØÓ Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ö Ò Ú Ø ÓÖÖ Ø Ö ÙÐØ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ü ÑÔÐ Ö ÓÖ Ø Ý Ø Ø ÔÖ Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø ÔÖ Ø Ö Ó Ò Ý Ù ¹ Ò Ø ÒÓÛÐ Ó ÓÛ Ö ÛÓÖ Ò ÕÙ Ð ÓÑ Ó Ø Ñ Ö Ö Ú ÖÓÑ Ø ÓØ Ö Ò ÕÙ Ð ÐÓÓÔ Ò Ð Ò Ö ÒØ Û Ý ß n 1 Ð i := 1; ß n 1 i = 1 Ð Û Ð i < n A[i] x Ó ß 1 i < n j ; 1 j i : A[j] x Ð i := i + 1 ß 1 < i n j ; 1 j i 1 : A[j] x Ð Ò Û Ð { (1 i n j ; 1 j i 1 : A[j] x) (i n A[i] = x) } A[i] x Ø Ò ß n 1 i = n j ; 1 j i : A[j] x Ð i := 0 ß n 1 i = 0 j ; 1 j n : A[j] x Ð Ð { 1 i n A[i] = x j ; 1 j i 1 : A[j] x µ Ò { (1 i n A[i] = x j ; 1 j i 1 : A[j] x) n 1 i = 0 j ; 1 j n : A[j] x } ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¼ ÓÓ Ò Ø Ø ÔÖ Ø Ø Ø ÔÖ Ø Ò ÒÓØ Ò ÖÝ Ò Ø Ø Ø ØÓØ ÐÐÝ Ø Ý ÑÙ Ø ØÖÓÒ ÒÓÙ Ó Ø Ø Ý Ù Ò Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÔÖÓÚ Ò ØÓ ÓÖÖ Ø Ø Ý ÐÐ ÒÓØ ØÓÓ ØÖÓÒ Ø Ý ÐÐ ÒÓØ ÖØ Ð Ø Ò ÔÖÓÚ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø ÓÖÖ Ø ÙØ Ö ØÓ ÔÖÓÚ Ò ÙÒÒ ÖÝ ÓÖ Ø ØÓØ Ð ÔÖÓÓ Ù Ð ØÓÓ ÑÙ ØÖ Ò Ø Ò ÔÖ Ú ÒØ Ö ÙØ ÓÒ Ó Ø Ø ÔÖ Ø ØÓ Ò Ý ÓÖÑ Ö ÕÙ Ö Ú ÓÒ ÓÛ Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÛÓÖ Û Ø ØÖÙ Ò Û Ö Û Ø ØÖÙØ Ö ÒØ Ð Û ÐÐ ÓÓÒ Ð ÖÒ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ Ý Û ÑÓ Ø Ó Ø Ø ÔÖ Ø Ò Ö Ú ÖÓÑ ÓØ Ö Ø ÐÐ ØÛÓ Ø Ò Ö Ñ Ò ÙÒ Ö ÔÖÓÓ Ñ Ö³ Ö ¹ Ø Ú ØÝ Ù Ø Ð Û Ò Ò Ó Ø Ø ÔÖ Ø Û Ò Ò ÓÓ Ò Ø Ø ÔÖ Ø ÓÖ Ò Ð Ò ÐÓÓÔ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ½ ÀÓÛ ÐÐ Ø Ø ÔÖ Ø ÔÙØ ÒØÓ Ò Ð Ö Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ø Ñ Ð Ó ÔÖÓ Ö Ñ x 0 a := 1; x 0 a = 1 x < 0 Ø Ò x < 0 a = 1 x := x x > 0 a = 1 Ò x > 0 a = 1 Ø Ð Ò Ó ÔÖÓ Ö ÓÒ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ Ø ÓÒ l Ø ÒÒ Ò Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ l ÒÓØ Ò¹ ÒÝ ØÖÙØÙÖ Ð Ø Ø Ñ ÒØ ÓØ ÖÛ Ø Ø ÒÒ Ò Ó Ø Ö Ò Ó Ø Ò Ö Ø ÙÖÖÓÙÒ Ò ØÖÙØÙÖ Ð Ø Ø ¹ Ñ ÒØ Û Ö l º º P 0 Ò Ø Ð Ò Ó ÔÖÓ Ö Ó Ú ÖÝ P i Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÝ Q R Ò S P 0 a := 1; P 1 y := n + 1; P 2 Û Ð a < y Ó Q 0 v := (a + y) Ú 2; Q 1 A[v] < Ý Ø Ò R 0 a := v + 1 R 1 Ð S 0 y := v S 1 Ò Q 2 Ò Û Ð P 3

24 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ¾ Ò Ø ÓÙÖ Û Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒØ ÖÔÖ Ø ¹ Ø ÓÒ ÒÓØ Ø ÓÒ P Ò ÐÓ Ø ÓÒ l Ð Ñ Ø Ø Ø ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Û Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ Û Ø ÖØ Ø Ò P ÓÐ Ú ÖÝ Ø Ñ Ø Ü ÙØ ÓÒ Ò ÐÓ¹ Ø ÓÒ l Ø Ü ÙØ ÓÒ ÒÓÛ Ò Ø Ð Ò Ó ÔÖÓ Ö Ó l Ø Ò Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ø Û ÐÐ ÓÒ ÐÓ Ø ÓÒ l ËÙÑÑ ÖÝ Ó ÓÛ Ø Ø ÔÖ Ø Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ö ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ß P Ð ÓÖ P Ò Ø ÒÒ Ò Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ø Ø Ø ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ P Ø ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÒÓØ Ò Ø Ò Ø ÌÖÙ ÒÓØ Ø ÓÒ ß P Ð Ò ÐÓ Ø ÓÒ l Ð Ñ Ø Ø P ÓÐ Ú ÖÝ Ø Ñ Ø Ü ÙØ ÓÒ Ò ÐÓ Ø ÓÒ l Ö ÕÙ Ö¹ Ò Ø Ø Ø ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Û Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ Û Ø ÖØ ÒÓØ Ø ÓÒ ß ÌÖÙ Ð Ò ÐÓ Ø ÓÒ l Ð Ñ Ø Ø Ø Ü ÙØ ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ó ÔÖÓ Ö Ó l Ø Ò Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ø Û ÐÐ ÓÒ ÐÓ Ø ÓÒ l Ö ÕÙ Ö Ò ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø Ø Ø ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Û Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ Û Ø ÖØ ÒÓØ Ø ÓÒ P Ñ Ò Ø Ñ ÒÓØ Ø ÓÒ ß P Ð Ò ÌÖÙ ØÓ Ø Ö Ò Ö Ð ÖÙÐ ÓÖ ÓÖ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ø S ÕÙ Ò Ó Þ ÖÓ ÓÖ ÑÓÖ ÓÒ ÕÙØ Ú Ø Ø Ñ ÒØ P Ò Q Ø Ø ÔÖ Ø P S Q Ø Ò ß P Ð S ß Q Ð ß P Ð S ß Q Ð P s P Ò Q Q w Ø Ò ß P s Ð S ß Q w Ð ÖÙÐ Ó Ø ÙÑ s ØÖÓÒ Ö w Û Ö Ö ÓÒ Ò Ø Ø Ø ÓÖ Ü ÙØ ÓÒ Ó S ÙÐ ÐÐ P s Ø Ò Ø ÙÐ ÐÐ Ð Ó P P S Q P s P Ò Q Q w Ø Ò P s S Q w Ö ÓÒ Ò ÔÖ Ú ÓÙ ß P Ð S ß Q 1 Ð Ò ß P Ð S ß Q 2 Ð Ø Ò ß P Ð S ß Q 1 Q 2 Ð ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ö ÓÒ Ò Ø Ø Ø Ø Ö Ü ÙØ ÓÒ Ó S ÙÐ ÐÐ Q 1 Ò Q 2 Ø Ò Ø ÙÐ ÐÐ (Q 1 Q 2 ) P S Q 1 Ò P S Q 2 Ø Ò P S Q 1 Q 2 Ú Ò P S Q 1 Ò ß P Ð S ß Q 2 Ð Ø Ò P S Q 1 Q 2 Ø Ù Ø Ø Ö Ò Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ù Ö ÒØ ÓÒ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ º¾ Ë Ñ ÒØ Ó ËØ Ø Ñ ÒØ ÀÓÛ Ò Û ÓÛ Ø Ø ÔÖ Ø ÓÐ Ò ÓÑ ÐÓ¹ Ø ÓÒ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ò ØÖÙØ ÓÒ Û Ù Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÔÖ ¹ Ø Ò Ø Ø Ø Ñ ÒØ ØÛ Ò Ø Ñ ÓÛ Ø Ø Ø Ñ ÒØ ØÛ Ò ÔÖ Ø Ò Ù Û Ò ÖÙÐ ÓÖ Ö ÓÒ Ò Ò Ø ÓÖÑ ß P Ð Ø Ø Ñ ÒØ ß Q Ð Ò» ÓÖ P Ø Ø Ñ ÒØ Q ÓÖ Ú ÖÝ ØÝÔ Ó Ø Ø Ñ ÒØ Ø Ò Ó ÖÙÐ ÓÖ Ö ÓÒ Ò ÑÙ Ø ÓÑ ÓÛ Ð Ò ÓÒ Ø Ñ Ò Ò Ó Ø Ø Ñ ÒØ ÁØ Ó Ø Ò Ø ÓÙ Ø Ø Ø Ø Ñ Ò Ò Ø Ø Ø ¹ Ñ ÒØ Ó Ø Ø Ñ ÒØ Ø Û Ý ÓÛ Ø Ò Ø Ø Ø Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ü ÙØ ÓÒ Ð Ø Ó Ú ÐÙ Ó Ú Ö Ð

25 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ º º Ò Ø ÒÒ Ò A = 3,1,6,2,1,1,1 Ø Ù n = 7µ x = 2 Ò i = 95 Ø Ò Ø Ø Ø Ó Ø Ö Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö Ö ÒØ ÒÙÑ Ö Ó Ø Ô ¼ ÐÓ ½ A = 3,1,6,2,1,1,1 n = 7,x = 2,i = 95 ½ ÐÓ ¾ A = 3,1,6,2,1,1,1 n = 7,x = 2,i = 1 ¾ ÐÓ A = 3,1,6,2,1,1,1 n = 7,x = 2,i = 1 ÐÓ ¾ A = 3,1,6,2,1,1,1 n = 7,x = 2,i = 2 º º º ÐÓ ¾ A = 3,1,6,2,1,1,1 n = 7,x = 2,i = 4 ÐÓ A = 3,1,6,2,1,1,1 n = 7,x = 2,i = 4 ½ i := 1 ¾ Û Ð i < n A[i] x Ó i := i + 1 Ò Û Ð º º º Ì Ò Ó Û Ý ØÓ ÜÔÖ Ø Ñ Ò Ò Ó Ø Ø Ñ ÒØ Ø ÔÓÓÖÐÝ Ò ØÓ Ø Ö ÓÒ Ò Ò ÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ö¹ Ø ÓÒ ÐÐ Ú Ö Ð Ú Ò Ú Ò ÓÒÖ Ø Ú ÐÙ Ø Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ò Ò Ð Ø Ø Ñ Ø Ú ÐÙ Ó Ú Ö Ð Ö ÜÔÖ ÝÑ ÓÐ ¹ ÐÐÝ Ø Ò Ø ÝÑ ÓÐ Ü ÙØ ÓÒ Ó ÒÓØ ÛÓÖ ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ ÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ö Ø ÓÒ Ø Ö Ò Ú ÐÓÔ Ò¹ ÓØ Ö Û Ý ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ò Ò Ó Ø Ø Ñ ÒØ Û Ø ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ò ØÓµ Ð Ø S Ø Ø Ñ ÒØ ÓÖ Ô ÖØ Ó ÔÖÓ Ö Ñµ Ò Q ÔÖ Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ø wp( S,Q ) Ø Û Ø ÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ó Q Û Ø Ö Ô Ø ØÓ S Q Ò Ó Ò ØÓ S Ò Ù Ø Òµ Ø Û Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ø Ø Ø Ù ØÓ Ù Ö ÒØ Ø Ø Ò Ü ÙØ ÓÒ Ø Ø Ø ÖØ Ò Ø Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ø Ò Ø Ø Q ÓÐ Ò ÒÓØ Ö ÛÓÖ P wp( S,Q ) Ò ÓÒÐÝ P S Q wp( S,Q ) Ø Ö ÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ò ÔÖ Ø Ø Ø Ö Ø Ò ÜØ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ù ÔÖ Ø Ø Ø ¹ Ö Ø Ø Ø Ø Ø ÔÖ Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ø Ó ÐÐ ÔÖ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ÔÖ ØØ ÑÙÙÒÒ Òµ Ü ÑÔÐ x R,n Zµ wp( x := x 2, x > 0 ) x > 2 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ wp( x < 0 Ø Ò x := x Ò, x > 0 ) x 0 wp( Û Ð n > 0 Ó n := n 1 Ò Û Ð, n = 0 ) n 0 wp( x := 0, x = 0 ) ÌÖÙ wp( x := 1, x = 0 ) Ð wp( Û Ð n 0 Ó n := n + 1 Ò Û Ð, ÌÖÙ ) n 0 ËÓÓÒ Û Ú Ø ÛÔ¹Ñ Ò Ò ÓÖ Ø Ó ÑÓ Ø ÓÑÑÓÒ Ø Ø Ñ ÒØ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ö Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù Ú Ó Ø Ò ÓÑÔÐ Ø Ø º º Ü º º È Ð ÙÒØ ÓÒ ÔÐÙ ÔÐÙ Ú Ö Ý ÒØ Öµ ÒØ Ò ÔÐÙ ÔÐÙ Ý Ý Ý ½ Ò ººº Ü ÔÐÙ ÔÐÙ µ Ú Ö Ø ÓÒ Ø ÓÖ ÓÖ ØÖÙ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò¹ Ù ÓÑ ÙÒÐ Ö Û Ö ØÖ Ø ØÓ ÑÔÐ Ø Ø Ñ ÒØ Û Ó ÒÓØ Ú Ø ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹ Ø ÔÔÐ Ö Ó Ø Ø ÓÖÝ ÑÙ Ø Ð ØÓ Ö Ó ¹ Ò Ø Øº Ü ÔØ ÓÒ Ù Ò Ø ¹ ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖÝ Ò ÑÙ Ø Ø Ø Ñ Ò ÓÙÒØ Ì ÛÔ¹ Ñ ÒØ ÓÖ Ø ÑÔÐ ÒÑ ÒØ Ø Ø Ñ ÒØ Ð Ø Ø Ö Ú Ò ÔÖ Ø Q Ò Ò Ò¹ Ñ ÒØ Ø Ø Ñ ÒØ S Ó Ø ÓÖÑ Û Ö x := ÜÔÖ ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó ÜÔÖ ÓÒ Ó ÒÓØ Ù Ø x Ò Ð Ú Ö Ð ÒÓØ º º ÒÓØ Ò Ð ¹ Ñ ÒØ Ó Ò ÖÖ Ýµ Ð Ø ÜÔÖ ÓÒ ÔÖ Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ø Ó Ø Ø Ø ÓÐ Ü ØÐÝ Û Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó ÜÔÖ ÓÒ Ò Ø ÐÝ ÔÓ Ð Ò ÓØ Ö ÛÓÖ Ø Ö ÒÓ Ú ÓÒ Ý Þ ÖÓ ÓÖ Ø Ð P x := ÜÔÖ ÓÒ ÌÖÙ Ò ÓÒÐÝ P ÜÔÖ ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ö Ü ÙØ ÓÒ Ó S ÓØ ÖÛ Ø Ñ ÓÖ ÙØ Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÐÙ Ó x Ú Ò Ò

26 ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½¼¼ Ò Ø Ø Ø Ø Ö Ø Ö ÓÐ ÔÖ Ø Q Ø Ò Ò Ø Ø Ø ÓÖ Ø Ö Ð Q ÙØ ÑÓ Ó Ø Ø Ú ÖÝ ÓÙÖÖ Ò Ó x Ò Ù Ø ØÙØ Ý ÜÔÖ ÓÒº Ò Ø ÓÙÖ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Q[x ÜÔÖ ÓÒ] ÒÓØ ÔÖ Ø Ø Ø Ñ Ý Ù Ø ØÙØ Ò Ú ÖÝ Ö ÓÙÖÖ Ò Ó x Ò Q Ý ÜÔÖ ÓÒº Ø Ó ÐÐ Ø ÜØÙ Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ø Ø ÓÖÚ Ù µ ÓØ Ö ÛÖ Ø Ö Ù Ù ÐÐÝ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Q x ÜÔÖ ÓÒ ¹Ë Ð Ó Q[x := ÜÔÖ ÓÒ] Ò ÓÙ Q(x) Ú º Q( ÜÔÖ ÓÒ) µº Ø Ù P x := ÜÔÖ ÓÒ Q Ø Ò P ÜÔÖ ÓÒ Ò P Q[x ÜÔÖ ÓÒ] ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò ß Q[x ÜÔÖ ÓÒ] Ð x := ÜÔÖ ÓÒ ß Q Ð Ø Ö ÓÖ P x := ÜÔÖ ÓÒ Q Ò ÓÒÐÝ P ÜÔÖ ÓÒ Ò P Q[x ÜÔÖ ÓÒ] Ò ÓØ Ö ÛÓÖ P ÜÔÖ ÓÒ Q[x ÜÔÖ ÓÒ] ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½¼½ Ø Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ wp( x := ÜÔÖ ÓÒ, Q ) ÜÔÖ ÓÒ Q[x ÜÔÖ ÓÒ] wp( x := x 2, x > 0 ) ÌÖÙ (x > 0)[x x 2] x 2 > 0 x > 2 wp( y := x y, x = x 0 ) ÌÖÙ (x = x 0 )[y x y] x = x 0 wp( y := x y, y = x 0 ) ÌÖÙ (y = x 0 )[y x y] x y = x 0 wp( y := 8/x, y > 4 ) x 0 (y > 4)[y 8/x] x 0 8/x > 4 x 0 (0 x < 2 0 x > 2) 0 < x < 2 wp( x := 0, x = 0 ) ÌÖÙ (x = 0)[x 0] 0 = 0 ÌÖÙ wp( x := 1, x = 0 ) ÌÖÙ (x = 0)[x 1] 1 = 0 Ð ÓÖ Ò ØÓ Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÛÔ Û Ø ØÛÓ ÙØ ÓÒ ÖÙÐ ÓÖ Ø ÑÔÐ ÒÑ ÒØ Ø Ø Ñ ÒØ ß Q[x ÜÔÖ ÓÒ] Ð x := ÜÔÖ ÓÒ ß Q Ð ÜÔÖ ÓÒ Q[x ÜÔÖ ÓÒ] x := ÜÔÖ ÓÒ Q ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½¼¾ Ì ÔÖ Ú ÓÙ Ü ÑÔÐ Ò ÙØ ÓÒ ÓÖÑ x > 2 x := x 2 x > 0 x = x 0 y := x y x = x 0 x y = x 0 y := x y y = x 0 0 < x < 2 y := 8/x y > 4 ÌÖÙ x := 0 x = 0 Ð x := 1 x = 0 Ï ÖÒ Ò Ì ÔÖ Ú ÓÙ ÓÐ ÓÒÐÝ Ø Ø Ö Ø Ó ÒÑ ÒØ Ò Ð Ú Ö Ð º º Ø ÓÖÑÙÐ ÛÓÙÐ Ú wp( A[i] := 5, A[i] = 5 A[j] = 0 i = j ) 5 = 5 A[j] = 0 i = j A[j] = 0 i = j Ó Û ÛÓÙÐ ÖÖÓÒÓÙ ÐÝ Ø A[j] = 0 i = j A[i] := 5 A[i] = 5 A[j] = 0 i = j ÇÀ¹¾ ¼ ÈÖÓ Ö Ñ Î Ö Ø ÓÒ Ñ Ö ¾ ¾¼½¼¼¹½¼ Ò Ô Ó ÒÓØ Ò Ø Ø Ø Ø Ù wp( Ô, Q ) Q P Ô P Ì ÛÔ¹ Ñ ÒØ ÓÖ ÓÒ ÙØ Ú ÐÝ ÓÙÔÐ Ø Ø Ñ ÒØ P S 1 ;S 2 Q Ø Ò P S 1 wp( S 2, Q ) Ø Ù P wp( S 1, wp( S 2, Q ) ) P wp( S 1, wp( S 2, Q ) ) Ø Ò P S 1 wp( S 2, Q ) S 2 Q Ø Ù P S 1 ;S 2 Q Ø Ö ÓÖ wp(s 1 ;S 2, Q) wp(s 1, wp(s 2, Q) ) Ì ÛÔ¹ Ñ ÒØ Ò ÙØ ÓÒ ÖÙÐ ÓÖ Ô¹ Ø Ø Ñ ÒØ ÓÑ Ø Ñ Ø Ò Ý ØÓ Ù Ø Ø Ñ ÒØ Ø Ø Ó ÒÓØ Ò Ô¹ Ø Ø Ñ ÒØ