u = l + 1 O(log log u0 b val(x, y ) opt B (x ) º

Transcription

1 ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ ÓÖ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Ò Ö Ô Ö Ð Ø ØÓ ØÖ ØÖÙØÙÖ Ö Ø Ò Þ Ò 1 ËÓÒ ÌÓÙ Ð Ò 1 Ò ÓÐØ ÌÙÞ 2 1 ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ¹ ÙÔ Ò Ä ÅË Ö Ò ß Þ Ò ØÓÙ Ð Ò ÐÐ Ñ º ÙÔ Ò º Ö 2 ÓÑÔÙØ Ö Ò ÙØÓÑ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÀÙÒ Ö Ò ÑÝ Ó Ë Ò Ù Ô Ø Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò ËÝ Ø Ñ Ì ÒÓÐÓ Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Î ÞÔÖ Ñ ÀÙÒ ÖÝ ØÙÞ ÞØ º Ù ØÖ Øº Ú Ò Ò ÙÒ Ö Ø Ö Ô Û Ø Û Ø ÓÒ Ø Ú ÖØ Ø k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ Ò Ô Ò ÒØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ø Ó Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ó k Ú ÖØ Û Ó Ö ÑÓÚ Ð Ö ÙÐØ Ò Ø Ö Ø Ø Ö Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ Û Ø Ó Ò Ô Ò ÒØ Ø º Ï Ð Ó ÓÒ Ö Ø ÓÑÔÐ Ñ Ò¹ Ø ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò ÑÙÑ ÒÓ ÐÓ Ö Ò Ô Ò ÒØ Ø Ø Ø ÓÒ Ø Ó Ö ÑÓÚ Ò Ù Ø Ó Ú ÖØ Ó Ñ Ò ÑÙÑ Þ Ù Ø Ø Ø Ñ Ü ÑÙÑ Û Ø Ó Ò Ô Ò ÒØ Ø Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ö Ô Ø ÑÓ Ø Ô Ú ÐÙ º Ï ÓÛ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Æȹ Ö ÓÒ Ô ÖØ Ø Ö Ô ÙØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¹Ø Ñ ÓÐÚ Ð ÓÒ ÙÒÛ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô º ÙÖØ ÖÑÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð Ó ÓÒ Ö Ô Ó ÓÙÒ ØÖ Û Ø Ò Ó Ö Ô º Ö ÙÐØ ÓÒ Ø ÒÓÒ¹ Ü Ø Ò Ó ÔØ ÔÖ ÒØ ØÓÓº à ÝÛÓÖ ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ Ò Ô Ò ÒØ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Æȹ Ö ÔØ ¹ Ô ÖØ Ø Ö Ô ÓÙÒ ØÖ Û Ø Ó Ö Ô Å Ø Ñ Ø ËÙ Ø Ð Ø ÓÒ ¼ ¼ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ Ñ ÒÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÒÚÓÐÚ Ò Ø Ù Ó ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ ØÖ Ò ÔÓÖØ Ø ÓÒ Ò Ø¹ ÛÓÖ Û Ó Ø Ò Ò ØÓ ÒØ Ý ÚÙÐÒ Ö Ð ÓÖ Ö Ø Ð Ò Ö ØÖÙØÙÖ º Ý Ö Ø Ð Ò Ö ØÖÙØÙÖ Û Ñ Ò Ø Ó ÒÓ»Ð Ò Û Ó Ñ Ù Ø Ð Ö Ø ÒÖ Ò Ø Ó Ø Û Ø Ò Ø Ò ØÛÓÖ º ÅÓ Ð Ò Ø Ò ØÛÓÖ Ý Û Ø Ö Ô ÒØ Ý Ò ÚÙÐÒ Ö Ð Ò Ö ØÖÙØÙÖ ÑÓÙÒØ ØÓ Ò Ò Ù Ø Ó Ú ÖØ» Ó Ú Ò Þ Û Ó Ö ÑÓÚ Ð ÖÓÑ Ø Ö Ô Ù Ø Ð Ö Ø ÒÓÒÚ Ò Ò ØÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø Ö Ô Ò ÕÙ Ø ÓÒº ÁÒ Ø Ð Ø Ö ØÙÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÖÖ ØÓ Ø k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ» ÔÖÓ Ð Ñº Óѹ ÔÐ Ñ ÒØ ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ø Ó Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ó Ú ÖØ» Ó Ñ Ò ÑÙÑ Þ Û Ó Ö ÑÓÚ Ð ÒÚÓÐÚ Ø Ø Ø Ó Ø Û Ø Ò Ø Ò ØÛÓÖ Ø ÑÓ Ø Ú Ò Ê Ö ÙÔÔÓÖØ Ò Ô ÖØ Ý Ø ÀÙÒ Ö Ò Ë ÒØ Ê Ö ÙÒ ÇÌÃ Ö ÒØ ½

2 ¾ Ö Ø Ò Þ Ò ËÓÒ ÌÓÙ Ð Ò Ò ÓÐØ ÌÙÞ Ú ÐÙ º ÁÒ Ø Ð Ø Ö ØÙÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÖÖ ØÓ Ø Ñ Ò ÒÓ» ÐÓ Ö ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ó k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ» Ò Ñ Ò ÒÓ» ÐÓ Ö Ú Ò ØÙ ÓÖ Ú Ö ÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÐÙ Ò ÓÖØ Ø Ô Ø Ô ÒÒ Ò ØÖ Ñ Ü¹ ÑÙÑ ÓÛ ÒÑ ÒØ Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ñ Ø Ò º Ì k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÔÖÓ ¹ Ð Ñ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ÓÖØ Ø Ô Ø Û ÔÖÓÚ Æȹ Ö ½ º Ä Ø Ö k ÑÓ Ø Ú ¹ Ø Ð»ÒÓ ÓÖØ Ø Ô Ø Ò Ñ Ò ÒÓ» ÐÓ Ö ÓÖØ Ø Ô Ø µ Û Ö ÔÖÓÚ ÒÓØ ¾¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ÒÓØ ½º ¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ö Ô Ø Ú Ðݵ È ÆÈ º ÓÖ Ô ÒÒ Ò ØÖ k ÑÓ Ø Ú Ø Ð Æȹ Ö Ò O(log k)¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ò Ö Ò ÓÑ Þ ¾¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ½ º ÁÒ ½ Ø ÔÖÓÚ Ø Ø k ÑÓ Ø Ú Ø Ð Ñ Ü ÑÙÑ ÓÛ Æȹ Ö º Ð Ó k ÑÓ Ø Ú Ø Ð Ò Ñ Ò ÐÓ Ö ÒÑ ÒØ Ö ÔÖÓÚ Æȹ Ö Ò ÒÓØ ¾¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ÒÓØ ½º ¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ö Ô Ø Ú Ðݵ È ÆÈ ¾ º ÓÖ Ñ Ü ÑÙÑ Ñ Ø Ò Ñ Ò ÐÓ Ö Æȹ Ö Ú Ò ÓÖ Ô ÖØ Ø Ö Ô ½ ÙØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÖ Ö Ò ØÖ ½ º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ò Ù Ø Ó k Ú ÖØ Ó Ø Ö Ô Û Ó Ð Ø ÓÒ Ù Ø Ð Ö Ø Ö Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ Û Ø Ó Ò Ò Ô Ò ÒØ Øº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÖÖ ØÓ k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Øº Ï Ð Ó ÓÒ Ö Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÝ Ú Ö ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ö Ú Ò Ø Ö ÓÐ Û Ú ØÓ Ø ÖÑ Ò Ù Ø Ó Ú ÖØ Ó Ñ Ò ÑÙÑ Ö Ò Ð ØÝ Ø Ø ØÓ Ö ÑÓÚ Ù Ø Ø Ò Ø Ö ÙÐØ Ò Ö Ô Ø Ñ Ü ÑÙÑ Û Ø Ó Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø Ø ÑÓ Ø Ø Ø Ö ÓÐ º Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÖÖ ØÓ Å Ò ÆÓ ÐÓ Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Øº ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö Ô ÖØ Ø Ö Ô º ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ù Ø ÒØ Ð ÙÑÔ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÙÖ ØÛ Ò ÙÒÛ Ø Ò Û Ø Ö Ô ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Û ÓÛ Ø Ø Ø ÙÒÛ Ø Ú Ö ÓÒ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Û Ð Ø Û Ø Ú Ö ÓÒ Ö Æȹ Ö Ò Ø ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ò ÒÓ ÔØ ÙÒÐ È ÆȺ ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û Ð Û Ø Ö Ô Û Ø Û Ø ÓÒ Ø Ö Ú ÖØ Û Ú Ø Ö ØÖ ¹Ð ØÖÙØÙÖ ÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ¹ Ø Û Ø ØÖ º Ì ÒÐÙ ØÖ Ø Ñ ÐÚ ÝÐ ÑÓÖ Ò Ö ÐÐÝ Ö Ô Ó ÓÙÒ ØÖ Û Ø Ò Ó Ö Ô Ö Ô ÓÒØ Ò Ò ÒÓ Ò Ù P 4 µº ÓÖ Ø Ð Û Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¹Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÚ º ÁÒ Ø ØÖ Ò ÝÐ Ú ØÖ Û Ø ½ Ò ¾ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø Ö ÓÖ ÓÙÖ Ò Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÙÒ ØÖ Û Ø ÛÓÖ ÓÖ Ø ÓÖÑ Ö Ð ØÓÓº Æ Ú¹ ÖØ Ð Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ØÖ Ò ÝÐ Ö ÑÔÐ Ö Ò Ø Û Ý Û ÒÐÙ Ø Ñ Ö º ÁØ ÓÙÐ ÒÓØ ÙÖØ Ö Ø Ø ÓÖ k Ü Ø Ö Ö ÓÒÐÝ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ Ñ ÒÝ Ù Ø Ó k Ö ÑÓÚ Ð Ú ÖØ Ø Ö ÓÖ k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÓÐÚ Ð ÒØÐÝ ÓÒ Ú ÖÝ Ö Ô Ð Û Ö Ø Ð Ö Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø ØÖ Ø Ð º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò k Ø Ò ÓÖÑÙÐ ÜÔÖ Ò Ø ÔÖ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÒ ¹ÓÖ Ö ÑÓÒ ÐÓ ÛÓÙÐ Ú ÙÒ¹ ÓÙÒ Ð Ò Ø º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ø Ò Ö Ð ÔÔÖÓ ØÓ Ð Ò Ö¹Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Ú ÅËÇÄ ÒÓØ ÔÔÐ Ð Ö º Ì Ø Ö Ð Ú ÒØ ÓÖ ÓØ ØÖ Û Ø Ò Ð ÕÙ Û Ø º

3 ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ ÓÖ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö Ä Ø G = (V, E) Ò ÙÒ Ö Ø Ö Ô Û Ø V = {v 1,...,v n } Û Ö Ú ÖØ Ü v i Û Ø w i º ÓÖ Ò v i v j E Û ÓÙÐ ÛÖ Ø v i, v j e Ò v i, v j V Ø Ò Û ÓÒ Ö Ø Ø e V º Ï Ò Ö ÑÓÚ Ò Ø V Ó Ú ÖØ ÖÓÑ G Ð Ø Ù ÒÓØ Ø Ö Ñ Ò Ò Ö Ô Ý G V º Á H Ù Ö Ô Ó G Ø Ò V (H) ÒÓØ Ø Ú ÖØ Ü Ø Ó Hº ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓÖ Ù Ø V Ó Ú ÖØ ÖÓÑ G Ø Ù Ö Ô Ò Ù Ý V ÒÓØ Ý G[V ]º Ñ Ü ÑÙÑ¹Û Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø Ó G Ù Ø Ó Ú ÖØ Ó Ñ Ü ÑÙÑ ØÓØ Ð Û Ø Û Ö ÒÝ ØÛÓ Ú ÖØ Ö ÒÓÒ Òغ Ñ Ò ÑÙÑ¹Û Ø Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö Ó G Ù Ø Ó Ú ÖØ Ó Ñ Ò ÑÙÑ ØÓØ Ð Û Ø Û Ö Ú ÖÝ Ó G Ø Ð Ø ÓÒ Ú ÖØ Ü Ò Ø Øº Ï ÒÓØ Ý α(g) Ø Ñ Ü ÑÙÑ Û Ø Ó Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø Ò Ý τ(g) Ø Ñ Ò ÑÙÑ Û Ø Ó Ú ÖØ Ü ÓÚ Öº ÅÓÖ ÓÚ Ö α(k) Ö ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó α(g V ) Ø Ö Ö ÑÓÚ Ò ÒÝ Ø Ó Ú ÖØ V Ó Þ kº Ñ Ø Ò Ø Ó ÑÙØÙ ÐÐÝ Ú ÖØ Ü¹ Ó ÒØ º Ì Ð Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò Ñ Ø Ò ÒÓØ Ý ν(g)º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓ Ð Ñ º k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÁÒÔÙØ Ò ÙÒ Ö Ø Ö Ô G = (V, E) Û Ö Ú ÖØ Ü v i Û Ø w i Ò Ò ÒØ Ö kº ÇÙØÔÙØ Ù Ø V V Ó Þ k Ù Ø Ø Ø Ñ Ü ÑÙÑ Û Ø α(g V ) Ó Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø Ò G V Ñ Ò ÑÙѺ Å Ò ÆÓ ÐÓ Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÁÒÔÙØ Ò ÙÒ Ö Ø Ö Ô G = (V, E) Û Ö Ú ÖØ Ü v i Û Ø w i Ò Ò ÒØ Ö Uº ÇÙØÔÙØ Ù Ø V V Ó Ñ Ò ÑÙÑ Ö Ò Ð ØÝ Ù Ø Ø Ø Ñ Ü ÑÙÑ Û Ø α(g V ) Ó Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø Ò G V Ø ÑÓ Ø Uº Ê Ñ Ö ½º Ì Ü Ø Ú Ö ÓÒ Ó k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Ò Å Ò ÆÓ ÐÓ Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¹Ø Ñ ÕÙ Ú Ð Òغ ÁÒ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ A k ÓÐÚ k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÓÖ ÐÐ 1 k n Ø Ò Û Ò ÖÙÒ A k ÓÖ k = 1,...,n Ò ÓÓ Ø Ñ ÐÐ Ø k Ý Ð Ò ÓÔØ ÑÙÑ Ø ÑÓ Ø Uº ÓÒÚ Ö ÐÝ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ B U ÓÐÚ Å Ò ÆÓ ÐÓ Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Û Ø ÒÝ ÓÙÒ U Û Ò ÔÔÐÝ Ò ÖÝ Ö ØÓ ÐÓ Ø Ø Ñ ÐÐ Ø U Ø Ø Ö ÕÙ Ö Ø Ö ÑÓÚ Ð Ó Ø ÑÓ Ø k Ú ÖØ º Ì ÓÖ Ñ ½º Á Ø Ö Ü Ø Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø ÓÐÚ Ø k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ Ú Ö¹ ÓÒ Ó Ò ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ P ÓÒ Ö Ô Û Ø n Ú ÖØ Ò O(t) Ø Ñ Ø Ò Ø Ñ Ò ÒÓ ÐÓ Ö Ú Ö ÓÒ Ó P Ò ÓÐÚ Ò O(t log log n) Ø Ñ º ÈÖÓÓ º Á Ø Ú ÐÙ Ó Ò ÓÔØ ÑÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÑÓ Ø U Ø Ò Ø ÓÔØ ÑÙÑ Þ ¼º ÇØ ÖÛ Û ÓÑ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ Ú Ö ÓÒ Û Ø Ò Ð Ö Ø Ú Ö ÓÒ Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÖÝ Ö º ÇÒ Ø Þ k Ó Ñ Ò ÒÓ ÐÓ Ö Û Ñ ÒØ Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ l Ò Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ u Ò Ø Ð Þ ØÓ

4 Ö Ø Ò Þ Ò ËÓÒ ÌÓÙ Ð Ò Ò ÓÐØ ÌÙÞ l 0 = 1 Ò u 0 = nº ÁÒ Ø Ó Ù Ò Ø Ò Ö Ò ÖÝ Ö Û Ø v = l+u 2 Û Ø Ö Ø Ú ÐÝ Ø v = lu Ù Ø Ò º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ ÐØ ÓÙ ÓÑÔÙØ Ò Ø Ü Ø Ú ÐÙ lu Ò Ø Ñ ÓÒ ÙÑ Ò Ø ÓÛÒ Ò Ø Ø Ò ÔÔÖÓÜ ¹ Ñ Ø Ú ÐÙ Ó lu Ò ÓÑÔÙØ Û Ø ÓÙØ Ø Ò Ø Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü Øݺ Ì ÒÙÑ Ö Ó Ø Ø ÓÖ Ó Ø Ò Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ l Ò Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ u Ù Ø Ø u = l + 1 O(log log u0 l 0 ) ÓÖ ÑÓÖ Ø Ð µ Û Ñ Ò O(log log n) Ø Ö Ø ÓÒ Ò ÓÙÖ º Ë Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÓÒ Ø O(t) Ò Ò Ø Ñ ÐÐ Ø k ÓÖ Û Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÑÓ Ø U Ø ØÓØ Ð ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ O(t log log n)º ÓÖ Ø ÔÖÓÓ ÓÒ ÖÒ Ò Ø ÒÓÒ¹ Ü Ø Ò Ó ÔØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¹Ø Ñ Ô¹ ÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ µ Û ÐÐ Ù Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ¹ÔÖ ÖÚ Ò Ö ÙØ ÓÒ ÐÐ L¹Ö ÙØ ÓÒ Û Û ÒØÖÓ Ù Ý È Ô Ñ ØÖ ÓÙ Ò ÒÒ Ò ½¾ º Ä Ø A Ò B ØÛÓ ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ º Ì Ò A ØÓ L¹Ö Ù Ð ØÓ B Ø Ö Ö ØÛÓ ÓÒ Ø ÒØ a, b > 0 Ù Ø Ø ½º Ø Ö Ü Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÑÔÙØ Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Û ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ø Ò x Ó A ÒØÓ Ò Ò Ø Ò x Ó B Ù Ø Ø opt B (x ) a opt A (x) ¾º Ø Ö Ü Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÑÔÙØ Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Û ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÐÙØ ÓÒ y Ó x ÒØÓ ÓÐÙØ ÓÒ y Ó x Ù Ø Ø val(x, y) opt A (x) b val(x, y ) opt B (x ) º ÓÖ Ù Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø Ö ÙØ ÓÒ Ø Ø A L¹Ö Ù Ð ØÓ B Ò A ÒÓ ÔØ Ø Ò B ÒÓ ÔØ º ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÒ Ô ÖØ Ø Ö Ô Å Ü ÑÙÑ¹Û Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¹Ø Ñ ÓÐÚ Ð ÓÒ Ô ÖØ Ø Ö Ô º Ï ÓÛ Ò Ø Ø ÓÒ Ø Ø Ø k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ ÓÖ Ñ Ò ÒÓ ÐÓ Ö Ú Ö ÓÒ ÓÑ Æȹ Ö ÓÒ Ô ÖØ Ø Ö Ô Ò ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ ÒÓ ÔØ º Æ Ú Ö¹ Ø Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ñ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¹Ø Ñ ÓÐÚ Ð Ò Ø ÙÒÛ Ø º Ï Ö Ø ÔÖÓÚ Ø Ð ØØ Ö Øº Ì ÓÖ Ñ ¾º k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Ò Ð Ó Ø ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ Å Ò ÆÓ ÐÓ Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÖ ÙÒÛ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ð Ö Ø Ñ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ Ø Ú Ö¹ Ø Ü ÓÚ Ö Ö Ú Ò Û Ø Ø ÒÔÙØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÐÚ Ð Ò Ð Ò Ö Ø Ñ º ÈÖÓÓ º Ä Ø G = (V, E) Ô ÖØ Ø ÒÔÙØ Ö Ô ÓÒ n Ú ÖØ º ÖÓÑ Ã Ò ³ Ø ÓÖ Ñ ½¼ Û ÒÓÛ Ø Ø τ(g) = ν(g) ÓÐ Ð Ø Ù ÒÓØ Ö Ø Ö ÓÑÑÓÒ Ú ÐÙ Ý tº Ì Ð Ð ÔÖÓÓ Ó Ø ÕÙ Ð ØÝ τ = ν Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ð Ó Ý Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ñ Ø Ò M = {e 1,..., e t } Ò Ñ Ò ÑÙÑ Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö X = {v 1,..., v t } Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Û Ú α(g) = n t ÒÓÛÒ ÐÐ ¹ØÝÔ ÒØ Øݵ Ò V \ X Ð Ö Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø Ò Gº Ä Ø Ù ÒØÖÓ Ù Ø ÙÖØ Ö ÒÓØ Ø ÓÒ R = V \ V (M) Ò r = R = n 2t º º Ø ÒÙÑ Ö Ò Ø Ø Ó Ú ÖØ ÒÓØ ÓÒØ Ò Ò ÒÝ Ó Ø Ñ Ø Ò Ò Mº Ï Ò ÓÛ ÒÓÛ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÐÚ Ð Ò Ð Ò Ö Ø Ñ ÓÐÐÓÛ º

5 ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ ÓÖ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Á k R Û Ö ÑÓÚ ÒÝ k Ú ÖØ ÖÓÑ Rº Ë Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ö Ô Ó ÓÖ Ö n kµ Ø ÐÐ ÓÒØ Ò Ø Ñ Ø Ò M Ó Þ t Ø Ò Ô Ò Ò ÒÙÑ Ö ÒÒÓØ Ð Ö Ö Ø Ò n k tº ÁØ Ð Ó Ð Ö Ø Ø α ÒÒÓØ Ö Ý ÑÓÖ Ø Ò k Û Ö ÑÓÚ Ù Ø k Ú ÖØ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò ÓÔØ Ñ Ðº Á k > R Û Ö ÑÓÚ Ø ÒØ Ö R Ò Ø Ú ÖØ Ó (k r)/2 ÖÓÑ M Ò ÓÒ ÙÖØ Ö Ú ÖØ Ü k r Ó º Ì Ö Ø Þ Ó M Ý (k r)/2 Ò Ø Ò Ô Ò Ò ÒÙÑ Ö Ý (k + r)/2 Ò Ò Ø Ò Û Ú ÐÙ (n k)/2 ÓÖ Ò ÐÐÝ Û α(g) = (n + r)/2µº Ì Ö ÓÔØ Ñ Ð Ù Ø Ö Ø Ö ÑÓÚ Ð Ó k Ú ÖØ Ø Ð Ø Ð Ó Ø Ö Ñ Ò Ò n k ÐÓÒ ØÓ Ø Ñ Ú ÖØ Ü Ð º Å Ò ÆÓ ÐÓ Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Á U n t ÒÓ Ú ÖØ Ò ØÓ Ö ÑÓÚ º Á t U < n t Û Ö ÑÓÚ n t U Ú ÖØ Ó Rº Á U = t l Û Ö 1 l t Û Ö ÑÓÚ Ø ÒØ Ö R Ò Ø 2l Ú ÖØ Ó l Ö ØÖ Ö ÐÝ Ó Ò ÖÓÑ Mº ÐÐ Ø Ó Ö ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÔÖÓÓ ÓÒ ÖÒ Ò ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ º Ï ÓÛ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Æȹ Ö Ò Ø Û Ø º Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ ÓÒ Û ÐÐ Ó Ò º Ò Ø ÓÒ ½º Ä Ø G = (V, E) Ò ÙÒ Ö Ø Ö Ô º Ì Ô ÖØ Ø Ò Ò Ö Ô Ó G Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô H Û Ó Ú ÖØ Ü Ø V E Ò Ø Ö Ò Ò H ØÛ Ò v V Ò e E Ò ÓÒÐÝ e Ò ÒØ ØÓ v Ò Gº Ì ÓÖ Ñ º k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Ò Å Ò ÆÓ ÐÓ Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Ö ØÖÓÒ ÐÝ Æȹ Ö Ú Ò ÓÖ Ô ÖØ Ø Ö Ô º ÈÖÓÓ º Ï Ö Ø ÔÖÓÚ Ö Ò ÓÖ k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Øº Ä Ø G = (V, E) Ò Ò Ø Ò Ó Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø ØÓ ÁÒ Ô Ò¹ ÒØ Ë Ø Û Ø n Ú ÖØ Ò m Ò Ò ÒØ Ö l Ò Ð Ø H ÒÓØ Ø Ô ÖØ Ø Ò Ò Ö Ô Ó Gº Ì ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó H ÖÓÑ G Ö ÕÙ Ö Ð Ò Ö Ø Ñ ÓÒÐݺ Ú ÖØ Ü Ó E Ò H Û Ø ½ Ò Ú ÖØ Ü Ó V Ò H Û Ø n 2 º Ù ØÓ Ø Ö Ø Ö ÙÒ Ð Ò Û Ø Ò Ø ÙÒ ÕÙ Ñ Ü ÑÙÑ¹Û Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø Ò H V º º α(h) = n 3 º Ï ÓÛ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ø Ö Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø Ó Þ Ø Ð Ø l Ò G Ø Ò H ÓÒØ Ò Ø S Ó l Ú ÖØ Ù Ø Ø α(h S) = (n l)n 2 Ò ÓØ ÖÛ Ö ÑÓÚ Ò ÒÝ Ù Ø S Ó l Ú ÖØ ÖÓÑ H Û Ú α(h S) (n l)n 2 +1º Ë Ò Ú ÖØ ÖÓÑ V Ú Û Ø n 2 Ò Ø Ó ÖÓÑ E Ú Û Ø ½ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ú Ñ Ü ÑÙÑ¹Û Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø Ñ ÐÐ ÔÓ Ð Ø Ö Ö ÑÓÚ Ò Ø S Ó Þ l S ØÓ ÒÐÙ Ò V º Á G ÓÒØ Ò Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø S Ó Þ l Ø Ò Ö ÑÓÚ Ò S ÖÓÑ Ø Ú ÖØ Ü Ø Ó H Û Ó Ø Ò Ö Ô Û Ó Ñ Ü ÑÙÑ¹Û Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø V \ Sº Ì Ø Û Ø (n l)n 2 º Á G ÓÒØ Ò ÒÓ Ò Ô Ò ÒØ Ø Ó Þ l Ø Ò ÒÝ S V Ó Þ l ÓÒØ Ò Ø Ð Ø Ò e E Ò G Ò Ø e Ò H ÒÓÒ ÒØ ØÓ Ø ÒØ Ö V \ Sº Ì Ù Û Ò Û Ö ÑÓÚ ÒÝ Ø S Ó l Ú ÖØ ÖÓÑ H α(h S) (n l)n 2 +1º

6 Ö Ø Ò Þ Ò ËÓÒ ÌÓÙ Ð Ò Ò ÓÐØ ÌÙÞ Ù ØÓ Ê Ñ Ö ½ Å Ò ÆÓ ÐÓ Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Ð Ó ØÖÓÒ ÐÝ Æȹ Ö º Ï Ö Ó Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ò Ö ÙÐØ ØÓÓº ÁÒ Ø Ö Ù¹ Ø ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û ÐÐ Ù º Å Ü k Î ÖØ Ü ÓÚ Ö ÁÒÔÙØ Ö Ô G = (V, E) Û Ø k V º ÇÙØÔÙØ Ì Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó Ò G Ø Ø Ò ÓÚ Ö Ý Ù Ø V V Ó Ö Ò Ð ØÝ kº Å Ü k Î ÖØ Ü ÓÚ Ö¹ Ø Ú Ö ÓÒ Ó Å Ü k Î ÖØ Ü ÓÚ Ö Û Ö Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ö Ó Ø Ö Ô Ø ÑÓ Ø Bº Ï ÐÐ ÔÔÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ú Ö ÓÒ Ó ÓÑ ÒÓÛÒ Ö ÙÐØ º Ä ÑÑ ½º ÓÖ ÔÔÖÓÔÖ Ø ÐÝ Ó Ò B Å Ü n/2 Î ÖØ Ü ÓÚ Ö¹ ÒÓ ÔØ ÓÒ Ö Ô G = (V, E) Û Ø m = Θ(n) Ò α(g) = τ(g) = n/2 Û Ö n = V Ò m = E ÙÒÐ È ÆȺ ÈÖÓÓ º Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Î ÖØ Ü ÓÚ Ö ÓÒ Ö Ô Û Ø τ(g) V (G) /2 Ð Ó Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø Ø Ñ Ö Ø Ó ÓÖ Ò Ö Ð Ò Ø Ò Ó Î ÖØ Ü ÓÚ Ö ½½ º Í Ò Ø È ¹ Ö Ò Ó Î ÖØ Ü ÓÚ Ö¹ ½¾ Ò Ø Ô Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Î ÖØ Ü ÓÚ Ö¹ ØÓ Å Ü k Î ÖØ Ü ÓÚ Ö¹ ½ ÓÖ k n/2 Û ÓÒÐÙ Ø Ø Å Ü k Î ÖØ Ü ÓÚ Ö¹ ÒÓ ÔØ ÓÒ Ö Ô Û Ø n Ú ÖØ Û Ò k τ(g) n/2º Ï Ò Ö Ù Ø Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ò Ø Ò Û Ø k τ = n/2 Ý Ò ÖØ Ò 2τ n ÓÐ Ø Ú ÖØ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ð Ø Ò Ø Ò Ö Ö Ù Ð ØÓ Ò Ø Ò Û Ö k = 2τ = n/2 Ý Ò ÖØ Ò k τ ÓÐ Ø º Ï ÜØÖ Ø Ø Ý ÔÓ ÒØ Ó Ø Ö ÙØ ÓÒ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ ÓÒ Ò ¹ Ô Ò ÒØ Ø º Ä ÑÑ ¾º Ä Ø G = (V, E) Ö Ô Û Ø n Ú ÖØ Ò m Ò Ð Ø H Ø Ô ÖØ Ø Ò Ò Ö Ô Ó Gº Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ú Ð º (a) ËÙÔÔÓ Ø Ø G Ñ Ü ÑÙÑ Ö Ø ÑÓ Ø B Ò Ø Û Ø Ò H Ö w v = B + 1 ÓÖ ÐÐ v V Ò w e = 1 ÓÖ ÐÐ e Eº Ì Ò ÓÖ ÒÝ V V Ò ÒÝ Ò Ô Ò ÒØ Ø S Ó ÒØ ÖÓÑ V Ò H Ø Ö Ü Ø Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø S Ó H Ù Ø Ø w(s ) w(s) Ò S V = V \ V º Ì Ù S Ñ Ü Ñ Ð Ø Ò S = (V \ V ) {e E e V } Ò Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö α(h V ) (B + 1) (n V )º (b) ÍÒ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó (a) ÓÖ ÒÝ V V E Û Ø V < V Ø Ö Ü Ø V V Ù Ø Ø V = V Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ Û Ø Ó Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø Ò H V ÒÓØ Ð Ö Ö Ø Ò Ø Ø Ò H V º ÓÒ ÕÙ Ò α(h V ) α(h V ) = (B + 1) (n V ) + {e E e V }.

7 ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ ÓÖ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ø V Ò ÓÙÒ ÒØÐݺ ÈÖÓÓ º (a) Á S ÓÒØ Ò ÐÐ Ú ÖØ Ó V \ V Ø Ò Û Ú ÒÓØ Ò ØÓ ÔÖÓÚ º ÇØ ÖÛ Û ÑÓ Ý S Ø Ô Ý Ø Ô Ô Ò Ø Ò Ô Ò ÒØ Ò ÒÓØ Ö Ò Ø Ú ÐÙ ÙÒØ Ð Ø ÓÒØ Ò Ø ÒØ Ö V \V º À Ò ÙÑ Ø Ø v V Ú ÖØ Ü Ù Ø Ø v / V Sº Á v ÒÓ Ò ÓÖ Ò S E Ø Ò S {v} ÔÖÓÔ Ö ÜØ Ò ÓÒº ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø ÒÓØ Ø º º Ø Ö Ò e E S Ù Ø Ø v eº Ï ÒÓÛ ÑÓ Ý S ØÓ (S \N H (v)) {v} Û Ö N H (v) ÒÓØ Ø Ø Ó Ú ÖØ ÒØ ØÓ v Ò H Ø Ø Ø Ø Ó Ò ÒØ ØÓ v Ò Gº ÁÒ Ø Û Ý Û Ú Ö ÑÓÚ Ø ÑÓ Ø B Ò ÓÖ Ó v ÖÓÑ S Ó Û Ø ½ Ò Ò ÖØ v Ó Û Ø B + 1 Ò Ø ØÓØ Ð Û Ø Ó Ø ÑÓ Ø Ø Ð Ø w(s)º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ø Ö Ñ Ò Ò Ô Ò ÒØ Ù ÐÐ Ò ÓÖ Ó v Ú Ò Ö ÑÓÚ º Ì Ù Ø Ö (V \ V ) \ S Ø Ô Ø Ö ÕÙ Ö Ø S Ó Ø Ò º (b) Á V V Ø Ò V = V ÔÖÓÔ Ö Ó º À Ò ÙÔÔÓ V E º Ä Ø Ù ÒØÖÓ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ n = V V m = E(G[V V ])\(V E) º Ý (a) Û Ø Ø α(h V ) = (B +1) (n n )+m ÓÐ º ÓÓ e V E Ò v V \V Ò ÑÓ Ý V ØÓ Ø Ø (V \ {e}) {v}º Ì Ô Ö Ò Ð ØÝ ÙÒ Ò Û Ð Ø Ö Ø Ø ÖÑ (B + 1) (n n ) Ö Ý ÔÖ ÐÝ B + 1º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò G Ñ Ü ÑÙÑ Ö Ø ÑÓ Ø B Ø ÓÒ Ø ÖÑ m Ò ÒÖ Ý Ø ÑÓ Ø B Û Ò Û Ò ÖØ v ÒØÓ Ø Ø Ò Ò ÙÖØ Ö ÒÖ Ý Ø ÑÓ Ø ½ Û Ò Û ÓÑ Ø eº Ì Ù ÙÑ Ó ÒÓØ ÒÖ º Ê Ô Ø ÐÝ Ð Ñ Ò Ø Ò ÐÐ e E ÖÓÑ V Ø Ö ÕÙ Ö V Ó Ø Ò º Ì Ò (a) ÑÔÐ Ø Ø Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø Ó Ñ Ü ÑÙÑ Û Ø Ò H V ÓÒ Ø Ó ÐÐ v / V Ò ÐÐ e V º Ì ÓÖ Ñ º k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÒÓ ÔØ Ú Ò ÓÖ Ô ÖØ Ø Ö Ô P NP º ÈÖÓÓ º Ï ÔÖÓÚ Ø ÒÓÒ¹ Ü Ø Ò Ó ÔØ ÓÖ k = n/2 ÓÒ ØÖÙØ Ò Ò L¹ Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Å Ü n/2 Î ÖØ Ü ÓÚ Ö¹ ØÓ n/2 ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ¹ Ô Ò ÒØ Ë Ø Û Ö Ò Ø Ò Ó Ø ÓÖÑ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö ØÖ Ø ØÓ Ö Ô G Ó Ñ Ü ÑÙÑ Ö Ø ÑÓ Ø B Ò Ð Ó Ø Ý Ò α(g) = τ(g) = n/2º ÁÒ Ø Ð Ø H ÒÓØ Ø Ô ÖØ Ø Ò Ò Ö Ô Ó Ø ÒÔÙØ Ö Ô G = (V, E) Ø Ð ØØ Ö Ú Ò n Ú ÖØ Ò m º Ì Ú ÖØ Ó H Ú Û Ø w v = B + 1 ÓÖ ÐÐ v V Ò w e = 1 ÓÖ ÐÐ e Eº ÓÒ Ö Ö Ø Ò ÓÔØ ÑÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ V Ò Gº τ(g) = n/2 Ò ¹ ÙÑ opt 1 = m ÓÐ Ò V ÓÚ Ö ÐÐ Ó Gº Ì Ò Ö ÑÓÚ Ò V \ V ÖÓÑ Ø Ú ÖØ Ü Ø Ó H Û Ó Ø Ò Ö Ô Ò Û Ø Ñ Ü ÑÙÑ Û Ø Ó Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø ((B +1)/2) n ÑÔÐ Ý Ô ÖØ (a) Ó Ä ÑÑ ¾º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ô ÖØ (a) Ò (b) ØÓ Ø Ö Ý Ð Ø Ø Ø Ö Ø Ö ÑÓÚ Ð Ó ÒÝ n/2 Ú ÖØ ÖÓÑ H Ø Ö ÐÛ Ý Ö Ñ Ò Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø Ó Ø Ð Ø Ø Ø Ð Ö Û Ø Ø Ù opt 2 = B + 1 n (B + 1) opt 1, 2 Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ò Ú Ð Ò opt 1 n/2 ÙÖ ÐÝ ÓÐ Ý Ø ÙÑÔØ ÓÒ τ(g) = n/2º

8 Ö Ø Ò Þ Ò ËÓÒ ÌÓÙ Ð Ò Ò ÓÐØ ÌÙÞ ÓÒ Ö ÒÓÛ ÒÝ Ù Ø V Ó n/2 Ú ÖØ Ò H Ò ÒÓØ val 2 = α(h V )º ÆÓÛ Û ÔÔÐÝ Ô ÖØ (b) Ó Ä ÑÑ ¾ ØÓ Ó Ø Ò Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø Ø V Ó n/2 Ú ÖØ Û Ù Ø Ó V º Ï Ú Û V \ V ÓÐÙØ ÓÒ Ò G Ò ÒÓØ Ø Ú ÐÙ Ý val 1 º ÁÒ Ø Û Ý Û Ó Ø Ò val 2 opt 2 α(h V ) opt 2 = ((B + 1) (n V ) + E(G[V ]) ) B + 1 n 2 = E(G[V ]) = opt 1 val 1, Ø Ð Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ú Ð Ù opt 1 = m Ò E(G[V ]) ÔÖ ÐÝ Ø Ø Ó ÒÓØ ÓÚ Ö Ý Ø Ú ÖØ Ó V \ V º Ì ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ø ÓÖ Ñº Ö Ô Ð Ö Ð Ø ØÓ ØÖ ØÖÙØÙÖ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö Ö Ô Ð Ö ÔÖ ÒØ Ð ÓÚ Ö ØÖ ØÖÙØÙÖ Ò ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ý Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÐÚ Ò Ø ÓÒ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º ÒØ ÓÐÚ Ð ØÝ ÓÖ Ø Ö Ô Ð Ò Ø Ö Ø ØÛÓ Ù Ø ÓÒ Ö ÑÔÐ Ý Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ø Ö Ù Ø ÓÒ ØÓÓ ÙØ Ø Ñ Ø Ó ÓÖ Ø ÓÖÑ Ö Ö ÑÔÐ Öº º½ ÌÖ Ì ÓÖ Ñ º k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ ØÖ º ÇÒ ØÖ Ó ÓÖ Ö n Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÙÒ Ò O(nk 2 ) Ø Ñ ÓÖ ÒÝ k 1º ÈÖÓÓ º ÇÙÖ Ò Ö Ð ÔÔÖÓ ØÓ Ò ÒÓØ ÓÒÐÝ Ø Ó k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ ÙØ ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Ð Ó Ø Ú ÐÙ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð Ö Ø Ò Ô Ò ÒØ Øº ÓÖ Ø ÔÙÖÔÓ Û Ú Û Ø ÒÔÙØ ÖÓÓØ ØÖ Û Ø Ò Ö ØÖ Ö ÐÝ Ó Ò ÖÓÓØ Ò ÓÖ Ò Þ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÖ Ò ØÓ ÔÓ ØÓÖ Ö ØÖ Ú Ö Ðº ÓÒ Ö ÒÝ ØÖ T Û Ø Ú ÖØ v 1,..., v n º Ú ÖØ Ü v i Ò Ú Ø Ö ÔÓ Ø ÓÒ Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ý Ñ Ö +,, 0 ÓÐÐÓÛ +³ Ñ Ò Ø Ø v i Ð Ø ÒØÓ Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø ³ Ñ Ò Ø Ø v i Ð Ø ÓÖ Ð Ø ÓÒ 0³ Ñ Ò Ø Ø v i ÒÓÒ Ó Ø ÓÚ ØÛÓ ØÝÔ º ÁÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ü ØÐÝ k Ñ Ö ³ Ú ØÓ ÓÙÖº Ì Ù ØÖ ÖÓÓØ Ò v i ÒÓØ Ý T i º ÓÖ i = 1,...,n {+,, 0} Ò j = 0, 1,...,k Ú ÐÙ z i (j, ) Û ÐÐ ÓÑÔÙØ º Ì z i (j, ) Ö ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ð Û Ø Ó Ð Ö Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø ÓÒ T i ÙÒ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ü ØÐÝ j Ú ÖØ Ö Ö ÑÓÚ ÖÓÑ T i Ò v i Ñ Ö º ÓÖ Ø Ö ÙÖ Ú ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ð Ö Ò Ó v i Û Ø Ö d Û ÐÐ ÒÓØ Ý v i1,...,v id º Ï ØÖ Ú Ö T Ò ÔÓ ØÓÖ Ö Ò ÔÔÐÝ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò º Ê ÙÖ ÓÒº Á v i Ñ Ö +³ Ø Ò ÐÐ Ø Ð Ö Ò ÑÙ Ø Ú ³ ÓÖ 0³ Ò ÓØ ÖÛ ØÛÓ Ú ÖØ Ð Ø ÓÖ Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø ÛÓÙÐ Òغ ÅÓÖ ¹ ÓÚ Ö z i (j, ) Ö ÕÙ Ö Ø Ø Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØ Ñ Ö ³ ÓÙÐ

9 ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ ÓÖ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Ü ØÐÝ j Ò T i º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Û Ú ÓÒ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Û Ý ØÓ Ñ Ø Ò Ð Ö ÙÐØ Ñ ÐÐ ÔÓ Ð Û Ó Ø Ú ÖØ ÓÙÐ Ñ Ö Û Ø ³º ÇÒ Ø Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó +³ Ò 0³ ÔÓ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ü Ñ Þ Ò Ø ØÓØ Ð Û Ø Ó +³º Ì Ð ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ö Ð Ö ÙÖ ÓÒ z i (j, ) = z i (j, 0) = z i (j, +) = w i + min j 1,...,j d 0 j j d =j 1 min j 1,...,j d 0 j j d =j min j 1,...,j d 0 j j d =j d min (z il (j l, ), z il (j l, 0)), l=1 d min (z il (j l, ), max (z il (j l, +), z il (j l, 0))), l=1 d min (z il (j l, ), max (z il (j l, +), z il (j l, 0))), l=1 ÓÖ Ð v i Û Ð ÖÐÝ Ú z i (0, +) = w i Ò z i (1, ) = z i (0, 0) = 0º ÙÖØ Ö ØÓ Ò Ø Ø Ø ÐÐ ÓØ Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó j {0, 1,..., k} Ò {+,, 0} Ö Ò Ð Û Ø ÙÑÑÝ ÝÑ ÓÐ z i (j, ) = ÆÁÄ ÓÖ Ø Ñº ÁÒ Ø Ö ÙÖ Ú Ø Ô Ø ÖÑ Û Ø Ú ÐÙ ÆÁÄ ÓÒ Ø Ö Ø¹ Ò Ö Ò Ð Ø Ü ÔØ Û Ò ÐÐ Ø ÖÑ Ö Ø Ñ Ò Ò Ø Û Ò z i (j, ) = ÆÁÄ ØÓÓº Ò Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒº ÙÑ Ò Ø Ø T ÖÓÓØ v i0 Ø Ö Ø Ö ÑÓÚ Ð Ó k ÔÖÓÔ ÖÐÝ Ó Ò Ú ÖØ Ø Ñ ÐÐ Ø ÔÓ Ð Ú ÐÙ Ó α min (z i0 (k, ), max (z i0 (k, +), z i0 (k, 0))). ÁÒ Ø Ò ÖØ Ò Ò Û Ú ÖØ Ü v 0 Û Ø Û Ø w 0 = 0 Ò Û ÖÓÓØ Ò Ô Ö ÒØ ÓÖ v i0 Ó ÒÓØ Ò Ø ÓÔØ ÑÙÑ Ò Ø Ò Û ÛÓÙÐ Ú z 0 (k, +) opt = z 0 (k, 0) z 0 (k, )º Ø Ó k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ Ò Ð Ó Ø ÖÑ Ò Ò O(n) Ø ÓÒ Ð Ø Ô Û Ñ Ð ØØÐ ÑÓÖ Ñ Ò ØÖ Ø ÓÒº Ø Ø Ö ÙÖ Ú Ø Ô ÓÖ z i (j, ) Û Ö Ø Ö ÓÖ v i v il Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÐÙ Ó j l Ò Ø ÓÔØ Ñ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ (j 1,..., j d ) ÓÖ j Ò Ð Ó Ø Ñ Ö {+,, 0} Ó i l Û Ú Ø ÓÔØ ÑÙÑ ÓÖ v i º ÇÒ Ø Ø Ö Ú Ð Ð ÓÖ ÐÐ v i Ò ÐÐ Ô Ö (j, ) Û Ò ØÖ Ú Ö T Ò ÔÖ ÓÖ Ö Ò Ð Ø Ø Ú ÖØ Ú Ò ³ Ñ Ö ÓÖ Ø ÑÓ Ø Ú Ø Ð Øº ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒº Ì Ý ÔÓ ÒØ ØÓ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ (j 1,..., j d ) ÓÖ Ø Ñ Ü³ Ò Ñ Ò³ ÙÒØ ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ø ÙÑ º Ì Ò ÓÒ Ô Ø Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ Ð Ø Ò Ú Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð d ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ nº Á d = 2 Ø Ò Û Ú Ø ÑÓ Ø j + 1 ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ð Ô Ö j 1, j 2 º À Ò ÓÔØ Ñ Ð Ó Ò Ñ Ò O(k) Ø Ô ÓÖ ÒÝ ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö j Ò Ò O(k 2 ) Ø Ô ÓÖ ÐÐ 0 j kº Á d Ð Ö Ö Û Ò ÔÐ Ø Ø Ð Ö Ò Ó v i ÒØÓ ØÛÓ Ø Ó Ò ÖÐݵ ÕÙ Ð Þ {v l 1 l d/2 } Ò {v l d/2 +1 l d} Ñ ÐÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ô Ö Ø ÐÝ Ò Ø Ò ÓÑ Ò Ø Ö ÙÐØ ÓÖ v i º ËÔÐ ØØ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ò ÖØ Ò ÙÔ ÖÒÓ ³ ÓÚ Ó Ø ØÛÓ Ø

10 ½¼ Ö Ø Ò Þ Ò ËÓÒ ÌÓÙ Ð Ò Ò ÓÐØ ÌÙÞ Û Û Ø Þ ÖÓ Ò ÓÑ Ú ÖØÙ Ð Ð Ó v i ºµ Ì Ö ÕÙ Ö d 1 ÖÓÙÒ ÓÖ v i º Ë Ò T ØÖ Ø Ó d 1 ÙÑ ÙÔ ØÓ n 2 Ø Ù Ø ÓÚ Ö ÐÐ ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ O((k 2 + 1)n) Ò Ò Ú Ö Ü O(n 3 )º À Ö +1³ Ò ÓÖ k = 0ºµ ÆÓØ Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ Ò Ð Ö ÓÒ Ø ÒØ ³ Ò Ø O³ ÒÓØ Ø ÓÒº Ì ÓÖ Ñ º Å Ò ÆÓ ÐÓ Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ ØÖ º ÇÒ ØÖ Û Ø n Ú ÖØ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÙÒ Ò O(n 3 log log n) Ø Ñ º ÈÖÓÓ º Ì ÓÚ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÓÒ ÓÖ ÒÝ 1 v n ÖÙÒ Ò O(v 2 n) = O(n 3 ) Ø Ñ º À Ò Ù Ò Ì ÓÖ Ñ ½ Ò Ò Ø Ñ ÐÐ Ø k ÓÖ Û Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÑÓ Ø U Ø ØÓØ Ð ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ O(n 3 log log n)º Ê Ñ Ö ¾º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓÔÓ Ò Ì ÓÖ Ñ ÓÐÚ Ø k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ô Ø Ò O(kn) Ø Ñ º ÁÒ Ø Ò Ø Ò Ö Ð Ø Ñ ÓÙÒ O(nk 2 ) ÓÖ ØÖ Ø ØÓÖ k 2 ÓÙÖ Ù ØÓ Ø ÔÖ Ò Ó Ú ÖØ Û Ø ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ Ð º Ì Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÑÔÐ ÙÖØ Ö Ø Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓÔÓ Ò Ì ÓÖ Ñ ÓÐÚ Å Ò ÆÓ ÐÓ Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÓÒ Ô Ø Ò O(n 2 log log n) Ø Ñ º º¾ ÝÐ Ì ÓÖ Ñ º k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ Ý¹ Ð º ÇÒ ÝÐ Ó ÓÖ Ö n Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÙÒ Ò O(kn 2 ) Ø Ñ ÓÖ ÒÝ k 1º ÈÖÓÓ º Ä Ø S = {v 1,..., v r } V Ñ Ü ÑÙÑ¹Û Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø Ó Ú Ò ÝÐ C = (V, E)º Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ V V Ó k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÑÙ Ø ÓÒØ Ò Ø Ð Ø ÓÒ ÒÓ Ó S Ò ÓØ ÖÛ α(c V ) ÒÓØ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò α(c)º Ì Ù ÓÖ v j S j = 1,...,r Û Ø ÖÑ Ò Ø k 1 ÙÖØ Ö ÒÓ ØÓ Ö ÑÓÚ Ò Ø Ö ÙÐØ Ò Ô Ø ÓÐÐÓÛ º Ï Ð Ø v j ÖÓÑ C Ò Ø ÖÑ Ò Ñ Ü ÑÙÑ¹Û Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø Ò Ø Ö ÙÐØ Ò Ô Ø C v j Ý ÔÔÐÝ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ò Ò Ì ÓÖ Ñ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Rj V \ {v j} Ó k 1 ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÓÒ Ø Ô Ø C v j º Ì Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÓÒ C Rl {v l} Ù Ø Ø α(c v l Rl ) = min 1 j r α(c v j Rj )º Á Ø ÖÓÓØ Ó Ò ØÓ Ò Ò ÔÓ ÒØ Ó Ø Ô Ø Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ò Ò Ì ÓÖ Ñ ÓÖ Ô Ø C v j O(kn)º Ë Ò S n Ò Ø Û Ý k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÓÐÚ Ò O(kn 2 )º Ì ÓÖ Ñ º Å Ò ÆÓ ÐÓ Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ ÝÐ º ÇÒ ÝÐ Ó ÓÖ Ö n Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÙÒ Ò O(n 3 log log n) Ø Ñ º ÈÖÓÓ º Ì Ø ÓÖ Ñ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ Ò Ì ÓÖ Ñ ½º º Ö Ô Ó ÓÙÒ ØÖ Û Ø ØÖ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Ö Ô G = (V, E) Û Ø ÓÙØ ÓÐ Ø Ú ÖØ Ô Ö (T, X) Û Ö

11 ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ ÓÖ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ½½ T = (X, F) ØÖ Ö Ô Û Ø Ø X = {x 1,..., x m } Ó ÒÓ Ò Ø F Ó Ð Ò X = {X 1,..., X m } Ø Ý Ø Ñ ÓÚ Ö V º º ÓÚ Ö Ø Ú ÖØ Ü Ø Ó Gµ Û Ö X q Ó Ø Û Ø ÒÓ x q Ó T v i v j E Ó G ÓÒØ Ò Ò Ø Ð Ø ÓÒ X q ÓÖ ÓÑ 1 q m ÓÖ ÒÝ v i V v i X q Ò v i X q Ø Ò v i X q ÓÖ ÐÐ q Ù Ø Ø x q Ð ÓÒ Ø x q x q Ô Ø Ò T º Ì Û Ø Ó (T, X) max 1 q m X q 1 Ò Ø ØÖ Û Ø Ó G ÒÓØ Ý tw(g) Ø Ñ ÐÐ Ø ÒØ Ö t ÓÖ Û G Ñ Ø ØÖ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Û Ø tº ÓÖ ÙÒ Ò Ø Ð ÓÒ ØÖ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Û Ö Ö ØÓ º Ì ÓÖ Ñ º k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ ÓÙÒ ØÖ Û Ø Ö Ô º ÇÒ Ö Ô Ó ÓÖ Ö n Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÙÒ Ò O(nk 2 ) Ø Ñ ÓÖ ÒÝ k 1º Ù ØÓ Ô Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ö ÙÐØ ÓÑ ØØ Ò Û ÐÐ ÔÔ Ö Ò Ø ÜØ Ò Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ô Ô Öº Ì ÓÖ Ñ ½¼º Å Ò ÆÓ ÐÓ Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ ÓÙÒ ØÖ Û Ø Ö Ô º ÇÒ Ö Ô Ó ÓÖ Ö n Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÙÒ Ò O(n 3 log log n) Ø Ñ º ÈÖÓÓ º Ì Ö ÙÐØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ Ò Ì ÓÖ Ñ ½º º Ó Ö Ô ÌÓ Ó Ö Ô G Û Ø n Ú ÖØ Û Ò Ó Ø ÖÓÓØ ØÖ T ÐÐ Ø ÓØÖ Ó Gº Ä Ú Ó T ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ú ÖØ Ó Ø Ö Ô G Ò ÒØ ÖÒ Ð ÒÓ Ó T Ö Ð Ð Û Ø Ø Ö ³ ÙÒ ÓÒ¹ÒÓ µ ÓÖ ³ Ó Ò¹ÒÓ µº Ù ØÖ ÖÓÓØ Ø ÒÓ ³ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø Ù Ö Ô Ò Ý Ø Ð Ö Ò Ó Ø Ø ÒÓ Ò Ù ØÖ ÖÓÓØ Ø ÒÓ ³ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ó Ò Ó Ø Ù Ö Ô Ò Ý Ø Ð Ö Ò Ó Ø Ø ÒÓ Ø Ø Û Ò ØÛ Ò Ú ÖÝ ØÛÓ Ú ÖØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ð Ú Ò Ö ÒØ Ù ØÖ º Ó Ö Ô Ò Ö Ó Ò Þ Ò Ð Ò Ö Ø Ñ Ò Ø ÓØÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ó Ø Ò ÒØÐÝ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÓØÖ Ò ÐÝ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð Ò Ö Ø Ñ ØÓ Ò ÖÝ ÓØÖ Û Ø O(n) ÒÓ º Ì ÓÖ Ñ ½½º k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ Ó Ö Ô º ÇÒ Ó Ö Ô Ó ÓÖ Ö n Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÙÒ Ò O(nk 2 ) Ø Ñ ÓÖ ÒÝ k 1º ÈÖÓÓ º ÓÒ Ö Ó Ö Ô G Û Ø n Ú ÖØ v 1,..., v n º Ú Ò Ò ÖÝ ÓØÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ T Ó G Û ÓÛ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÛ ØÓ ÓÐÚ Ø k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Ù Ò ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò º Ä Ø x 1,...,x t Ø ÒÓ Ó T Û Ö x r Ø ÖÓÓØ Ò t Ò O(n)º ÓÖ i = 1,...,t ÒÓØ Ý T i Ø Ù ØÖ ÖÓÓØ Ø x i G i Ø Ù Ö Ô Ò Ù Ý Ø Ú ÖØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ð Ú Ó T i Ò V i Ø Ú ÖØ º

12 ½¾ Ö Ø Ò Þ Ò ËÓÒ ÌÓÙ Ð Ò Ò ÓÐØ ÌÙÞ Ê ÙÖ ÓÒº Ï Ó Ø (k + 1)¹Ú ØÓÖ ØÓ ÒÓ x i Ó T i = 1,...,tº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò (k + 1)¹Ú ØÓÖ ÑÔÐÝ ÐÐ Ú ØÓÖº ÓÖ i Ò j = 0, 1,..., k Û ÓÑÔÙØ z i (j) Ø Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Û Ø Ó Ñ Ü ÑÙÑ Ò Ô Ò ÒØ Ø ÓÒ G i Û Ö Ü ØÐÝ j Ú ÖØ Ö Ö ÑÓÚ ÖÓÑ G i º Ì Ú ØÓÖ Ö ÓÑÔÙØ ÓØØÓѹÙÔ Ò Ø ÓØÖ º ËÓ Û Ø ÖØ Ý ÓÑÔÙØ Ò Ú ØÓÖ Ó Ð Ú Ò Ø Ö Ø Ø Ø Ú ØÓÖ Ó Ò ÒØ ÖÒ Ð ÒÓ Ø Ú ØÓÖ Ó Ø ØÛÓ Ð Ö Ò Ö ÐÖ Ý ÓÑÔÙØ º Ú Ò ÒÓ x i Ó Ø ÓØÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ØÓÖ Ó Ø Ò ÓÐÐÓÛ Á x i ÙÒ ÓÒ¹ÒÓ Û Ø ØÛÓ Ð Ö Ò x l Ò x r Û Ú ÒÓ ¹ ØÛ Ò G l Ò G r º Ì Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ò Ô Ò ÒØ Ø Ò G i Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø Ó Ò G l Ò G r º Ì Ù Ò Û Û ÒØ ØÓ Ò Ñ Ü ÑÙÑ¹Û Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø Ñ ÐÐ ÔÓ Ð Ø Ø Ó Ú Ò Ý z i (j) = min j1+j 2=j (z l (j 1 ) + z r (j 2 ))º Á x i Ó Ò¹ÒÓ Û Ø ØÛÓ Ð Ö Ò x l Ò x r Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ò V l ÒØ ØÓ Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ò V r º Ì Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø Ò G i ÒØ Ö ÐÝ ÓÒØ Ò Ø Ö Ò G l ÓÖ Ò G r º ËÓ z i (j) = min j1+j 2=j (max(z l (j 1 ), z r (j 2 )))º Á x i Ð Ø Ò z i (0) = w i z i (1) = 0 Ò z i (j) = ÆÁÄ ÓÖ j = 2,...,k Û Ñ Ò Ø Ø Ø Ð ØØ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ò Ð º ÁÒ Ø Ö ÙÖ Ú Ø Ô Ø ÖÑ Û Ø Ú ÐÙ ÆÁÄ ÓÒ Ø Ö Ø¹ Ò Ö Ò Ð Ø Ü ÔØ Û Ò ÐÐ Ø ÖÑ Ö Ø Ñ Ò Ò Ø Û Ò z i (j) = ÆÁÄ ØÓÓº Ò Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒº Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ø ÖÓÓØ x r Ó T Ò Ø Û Ø ÕÙ Ð ØÓ z r (k)º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò ÓÔØ Ñ Ð Ø Ó k Ö ÑÓÚ Ú ÖØ Ò ÓÑÔÙØ Ø Ô Ý Ø Ô Ò Ø Ö ÙÖ ÓÒº ÁÒ Ð Ø S i (j) Ø Ù Ø Ó j Ö ÑÓÚ Ú ÖØ Ò G i º ÓÖ Ð x i Û Ú S i (0) = S i (1) = {v i} Ò Si (j) = ÓÖ j = 2,...,kº ÓÖ ÙÒ ÓÒ¹ÒÓ ÓÖ Ó Ò¹ÒÓ x i Û Ø ØÛÓ Ð Ö Ò x l Ò x r Ö ÙÖ ÓÒ Ý Ð S i (j) = S l (j 1) Sr (j2) Û Ö j1 Ò j2 Ö Ø Ò Ø Ø Ö Ð Þ Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÓÖ z i (j)º Ì Ñ Ò ÐÝ º ÓÖ k ÅÓ Ø Î Ø Ð ÆÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø Ú ØÓÖ Ö ÓÑÔÙØ Ò O(k) ÓÖ Ð Ò Ò O(k 2 ) ÓÖ ÙÒ ÓÒ¹ÒÓ Ò Ó Ò¹ ÒÓ º Ë Ò t = O(n) Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÙÒ Ò O(nk 2 )º Ì ÓÖ Ñ ½¾º Å Ò ÆÓ ÐÓ Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ Ó Ö Ô º ÇÒ Ó Ö Ô Ó ÓÖ Ö n Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÙÒ Ò O(n 3 log log n) Ø Ñ º ÈÖÓÓ º Ì Ø ÓÖ Ñ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ½½ Ò Ì ÓÖ Ñ ½º ÓÒÐÙ ÓÒ ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ØÙ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ Ò Ñ Ò ÒÓ ÐÓ Ö Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ñ Ü ÑÙÑ¹Û Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ï Ð Ñ Ü ÑÙÑ¹Û Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ Ô ÖØ Ø Ö Ô Ø k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ Ò Ñ Ò ÒÓ ÐÓ Ö Ú Ö ÓÒ ÓÑ Æȹ Ö º Æ Ú ÖØ Ð Ø ÙÒ¹ Û Ø Ú Ö ÓÒ Ö Ñ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ Ô ÖØ Ø Ö Ô º ÁÒ Ö Ô Ñ Ü ÑÙѹ Û Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÝ Ø Ó Ñ Ò ÑÙÑ¹Û Ø Ú ÖØ Ü

13 ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ ÓÖ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ½ ÓÚ Öº ÁÒ ÖÔ ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø ÓÛ Ú Ö ÓÒ ÖÒ Ò Ø k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ ÓÖ Ñ Ò ÒÓ ÐÓ Ö Ú Ö ÓÒ Ò ÓÔØ ÑÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ñ Ü ÑÙÑ¹Û Ø Ò Ô Ò¹ ÒØ Ø Ñ Ý Ù Ø ÒØ ÐÐÝ Ö ÒØ ÖÓÑ Ò ÓÔØ ÑÙÑ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ñ Ò ÑÙѹ Û Ø Ú ÖØ Ü ÓÚ Öº ÇÙÖ Ö ÙÐØ ÓÒ Ø Ð ØØ Ö Û ÐÐ ÒÐÙ Ò Ò ÜØ Ò Ô Ô Öº Ï ÓÛ Ò Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ø k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ Ú Ö ÓÒ ÒÓ ÔØ º Ò ÒØ Ö Ø Ò ÓÔ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÛÓÙÐ ØÓ Ø Ð ÓØ Ö ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ö ÙÐØ ÓÒ ÖÒ Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ó Ø Ú Ö ÓÒ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ö Ñ Ò ÓÔ Ò ØÓ Û Ø Ö Ñ Ò ÒÓ ÐÓ Ö ÓÒ Ô ÖØ Ø Ö Ô ÔØ º ÒÓØ Ö ÒØ Ö Ø Ò Ô Ö Ô Ø Ú ØÓ ØÙ Ý Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø k ÑÓ Ø Ú Ø Ð ÒÓ Ò Ñ Ò ÒÓ ÐÓ Ö Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ñ Ü ÑÙÑ¹Û Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ö Ô Ó ÓÙÒ Ð ÕÙ Û Ø Ò Ö Ô Ó ÓÙÒ ÆÄ ¹ Û Ø Ø Ø Ò Ö Ð Þ Ó Ö Ô º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ØÙ Ý Ó Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ö ÓÒ ÓÖ ÙÖØ Ö Ð Ó Ö Ô ÓÖ Û Ñ Ü ÑÙѹ Û Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø Ò Ñ Ò ÑÙÑ¹Û Ø Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð Ó Ó ÒØ Ö Øº Ê Ö Ò ½º º Ö¹ÆÓÝ Ëº à ÙÐÐ Ö Ò º Ë Ö Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ò Ò ÑÓ Ø Ú Ø Ð Ö Ò ÒÓ Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ Ë¹Ìʹ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å ÖÝÐ Ò ½ º ¾º º Þ Ò Ëº ÌÓÙ Ð Ò º Î Ò ÖÔÓÓØ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ð ÔÐÙ Ú Ø ÙÜ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ³ Ø Ø ÓÒ Ø Ð ½¼ Ñ ÓÒ Ö Ò Ð ËÓ Ø Ö Ò Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø ³ Ð ÓÒ ÊÇ ¾¼½¼µ ¾¼½¼º º Àº ĺ Ó Ð Ò Ö Ð Ò Ö Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ò ØÖ ¹ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Ñ ÐÐ ØÖ Û Ø ËÁ Å ÂÓÙÖÒ Ð ÓÒ ÓÑÔÙØ Ò ¾ ½ ¼ ½ ½ ½ º º º º ÓÖÒ Ð º È ÖÐ Ò ÄºÃº ËØ Û ÖØ Ð Ò Ö Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ó Ö Ô ËÁ Å ÂÓÙÖÒ Ð ÓÒ ÓÑÔÙØ Ò ½ µ ¾ ½ º º º ƺ Ö Ö ÓÒ Ò Êº ËÓÐ ¹Ç ÁÒÖ Ò Ø Û Ø Ó Ñ Ò ÑÙÑ Ô Ò¹ Ò Ò ØÖ ÈÖÓ Ò Ó Ø Ø ÒÒ٠РŹËÁ Å ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ Ö Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ËÇ ½ µ ½ º º ź À Ò º È ÙÐ ÑÔÐ Ð Ò Ö Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ó Ö Ô Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ö Ø ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ½ ¾µ ½ ½ ¾¼¼ º º ʺ À Òº ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ ÓÖ Ø Ö ØÖ Ø ÓÖØ Ø Ô Ø º Å Ø Ñ Ø Ó ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ½ ½µ ¾ ½ ¾º º ĺ Ã Ý Ò º ÓÖÓ Ãº ÓÖÝ Ãº Ð ÓÒ Îº ÙÖÚ º ÊÙ ÓÐ Ò Âº Ó ÇÒ ÓÖØ Ô Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓØ Ð Ò ÒÓ ¹Û Ð Ñ Ø ÒØ Ö ¹ Ø ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò ËÝ Ø Ñ ¾µ ¾¼ ¾ ¾¼¼ º º ̺ ÃÐÓ ÌÖ Û Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ä ØÙÖ ÆÓØ Ò Óѹ ÔÙØ Ö Ë Ò ¾ ½ º ½¼º º Ã Ò Ö Ô Ò Ñ ØÖ Å Ø º Þº Ä ÔÓ ½½ ½½ ½ ½ Ò ÀÙÒ Ö¹ Òµº ½½º º ĺ Æ Ñ Ù Ö Ò Äº º ÌÖÓØØ Ö Î ÖØ Ü Ô Ò ØÖÙØÙÖ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Å Ø Ñ Ø Ð ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ¾ ¾ ¾ ½ º ½¾º º È Ô Ñ ØÖ ÓÙ Ò Åº ÒÒ ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔРܹ ØÝ Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ËÝ Ø Ñ Ë Ò µ ¾ ¼ ½ ½º

14 ½ Ö Ø Ò Þ Ò ËÓÒ ÌÓÙ Ð Ò Ò ÓÐØ ÌÙÞ ½ º º È ØÖ Ò Ì Ö Ò Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ô ÐÓ Ø ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Óѹ ÔÐ Ü ØÝ ½ ½ ½ º ½ º º Ê º ÒØÞ º È ÓÙÐ Ù º Ï ÖÖ Åº Ó Ø Ò Êº Ò ÐÙ Ò ÐÓ Ö Ò ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÓÑ Ù Ð Ó Ô ÖØ Ø Ö Ô Ï Ò Ø ÖÔ ÐÐ Ö Ö Ò Ò ÓÒ Ö Ö Ø Å Ø Ñ Ø ½¼ ½µ ½ ¾ ½ ¾¼½¼º ½ º Àº Ë Ò Ò Ò Ø k ÑÓ Ø Ú Ø Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ñ Ò ÑÙÑ Ô ÒÒ Ò ØÖ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ¼ ¾ ½ º ½ º ʺ Ò ÐÙ Ò º Ê º È ÓÙÐ Ù º Ï ÖÖ Åº Ó Ø Ò º ÒØÞ ÐÓ Ö Ò ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ö Ø Å Ø Ñ Ø ¼ ½ µ ¼ ½ ¾¼¼ º ½ º ʺ ú ÏÓÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ò ØÛÓÖ ÒØ Ö Ø ÓÒ Å Ø Ñ Ø Ð Ò ÓÑÔÙØ Ö ÅÓ Ð Ò ½ ¾µ ½ ½ ½ º