lim lim (tanx) sec(2x) x (π/4) ln(tanx) lim sec(2x) ln(tanx) = lim = = 1º lim (sec(2x)) tan(x)

Size: px

Start display at page:

Download "lim lim (tanx) sec(2x) x (π/4) ln(tanx) lim sec(2x) ln(tanx) = lim = = 1º lim (sec(2x)) tan(x)"

Barnaby Harris
5 years ago
Views:

1 ÐÙÐÙ Á ÀÏ ½ ½º Ú ÐÙ Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð Ñ Ø lim tanx secx x /4 ÆÓØ Ø Ø lim x /4 secx lim x / /cosx Ò cos ÔÓ Ø Ú ÓÒ /,/º Ð Ó ÒÓØ Ø Ø Ý ÓÒØ ÒÙ ØÝ lim x /4 tanx tan/4 º Ì Ö ÓÖ Ø Ð Ñ Ø Ø ÓÖÑ Û Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÓÖÑº ÆÓÛ Û Ú ØÓ Ù Ð Ö ØÓ Ø Ø ÒØÓ ÓÖÑ Ñ Ò Ð ØÓ Ä³ÀÓ Ô Ø Ð³ ÖÙÐ lim tanx secx lim e secx lntanx e limx /4 secx lntanx º x /4 x /4 Ï Û ÐÐ Ú ÐÙ Ø Ø Ø Ð Ø Ð Ñ Ø Ò Ø Ò Ö e ØÓ Ø Ö ÙÐØ Ò ÔÓÛ Öº lntanx lim secx lntanx lim x /4 x /4 cosx Ì Ð Ñ Ø Ø ÓÖÑ ln/cos/ 0/0 Ó Û Ñ Ý ÔÔÐÝ Ä³ÀÓ Ô Ø Ð³ ÖÙÐ º d lntanx lim x /4 cosx lim dx lntanx /tanx d dx lim tanx x /4 d dx cosx x /4 sinx d dx x /tanx sec x lim /tan/4 sec /4 Ý ÓÒØº x /4 sinx sin/4 / / / sin/ Ì Ö ÓÖ Ø ÓÖ Ò Ð Ð Ñ Ø e /e º lim secx tanx x /4 º Ý Ø Ñ Ö Ñ Ö Ø Ø ÒÒ Ò Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ô ÖØ Ø Ð Ñ Ø Ø ÓÖÑ º Ì ÒÓØ Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÓÖÑ Ò Ø Ð Ñ Ø Ù Ø º Á ÝÓÙ Ó Ø Ñ ÓÖØ Ó Ð Ö ÓÖ Ô ÖØ ÝÓÙ Ò ÙÔ Û Ø Ø Ð Ñ Ø Ó ÓÑ Ø Ò Ð lnsecx//tanx Û Ø ÓÖÑ /º ÁÒ ÒÝ Ä³ÀÓ Ô Ø Ð³ ÖÙÐ Ó Ò³Ø ÔÔÐÝºµ ½

2 ¾º ÓÒ Ö f x e 3x º Ò ÐÐ ÒØ Ö Ú Ø Ú Ó fº f x dx dx e 3x dx x 3 e3x +C Ò Ø Ú Ö Ú ÐÙ Ó f ÓÒ Ø ÒØ ÖÚ Ð [,3]º 3 Ú Ö e3x dx x e3x /3 3 3 e 33 /3 e 3 /3 3 3 µ 6 e9 /3 +e 3 /3 e9 +e 3 6 Ò Ø ÙÒØ ÓÒ g Ù Ø Ø g x f x Ò g / 3e 3 º Ë Ò g x f x g ÑÙ Ø Ò ÒØ Ö Ú Ø Ú Ó fº Ì Ö ÓÖ gx x e 3x /3+C ÓÖ ÓÑ Cº Ú ÐÙ Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ú Ø Ú g e3 +C 3e3 3 3e 3 C 3e 3 + e3 3 6e3 +e 6 3e 3 gx x e3x 3 + 6e3 +e 6 3e 3 d fx tant dt dx x t º ¾

3 Ý Ä Ò Þ³ ÖÙÐ ÓÖ Ý Ù Ò ÓÖÑ Ó Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ó ÐÙÐÙ Ò Ø Ò ÖÙÐ µ Û Ú º d fx tant tanf x d dt dx x t f x dx f x tan x d x dx x tan e 3x e 3x tan e 3x e 3x d e 3x tan x dx x x 3e 3x tan 3e 3xtan e 3x e 3x x tan x x d dx x x Ò Ø Ö Ó Ø Ò Ø Ð Ú Ö ÖÓÑ y 0 ØÓ y ln ÓÙÒ Ý Ø ÙÖÚ x y + Ò x e y βy Û Ö β ln /lnº Ë Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ø Ò Ø Ð Ú Ö Ø ÙÖÚ ÓÒ³Ø ÖÓ ÓØ Ö Ò ØÛ Ò Ò Ó Û Ñ Ý Ø ÙÔ Ø ÒØ Ö Ð Ø Ö Û Ý Ò Ø Ò Ø ÓÐÙØ Ú ÐÙ ØÓ Ø Ø Ö ln Ö y + e y βy dy 0 y 3 3 +y e y β y ln 3 +ln e ln β ln 3 ln e 0 β 0 ln 3 ln ln +ln e 0 3 ln ln 3 ln ln +ln + + 3

4 ln 3 +6ln+3ln 3ln ln ln Ì ÓÚ Ø Ö Ø Ò Û Öº ÁÒ ÒØ ÐÐÝ Ò ln /3 Ø ÜÔÖ ÓÒ Ò Ø ÓÐÙØ Ú ÐÙ Ö Ò Ø Ú e y βy > y + ÓÖ y 0,lnºµº º Ò Ø Ò Ø Ö ÓÙÒ Ý Ø ÙÖÚ y 4 y x Ò y /xº À ÒØ ÓÙ³ÐÐ Ú ØÓ Ö Û Ô ØÙÖ ºµ ÌÓ Ø Ò Ó Û Ø³ Ó Ò ÓÒ Ö Û Ò Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÙÖÚ º ÆÓØ Ø Ø y 4 Ò y x ÒØ Ö Ø Ø,4 Ò,4º y 4 Ò y /x ÒØ Ö Ø ÓÒÐÝ Ø /4,4 Ò y /x Ò y x ÒØ Ö Ø ÓÒÐÝ Û Ö x 3,º Ë Ò Û ÒÓÛ Ø ÖÓÙ Ô Ó Ø Ð Ò y 4 Ø Ô Ö ÓÐ y x Ò Ø ÝÔ Ö ÓÐ y /x Û Ò Ù Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ØÓ Ø Ô ØÙÖ º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ø ÓÛ ØÛÓ Ò Ø Ö ÓÒ ÓÙÒ Ý Ø Ø Ö ÙÖÚ º Á ÝÓÙ ÓÙÒ Ø Ö Ó Ø Ö ÓÒ ÝÓÙ ÓØ Ö Ø ÙØ Ù Ù ÐÐÝ Ø ÓÙ ÓÒ Ø Ö Ø ÕÙ Ö ÒØ Û Ò ÔÓ Ð

5 ÖÓÑ x /4 ØÓ x Ø Ð Ò y 4 Ð ÓÚ Ø ÝÔ Ö ÓÐ y /xº Ò ÖÓÑ x ØÓ x Ø Ð Ò y 4 Ð ÓÚ Ø Ô Ö ÓÐ y x º Ì Ö ÓÖ Ø Ö Ø¹ÕÙ Ö ÒØ Ö ÓÒ³ Ö Ú Ò Ý /4 4 dx+ 4 x dx x 4x ln x x3 /4 + 4x 3 4 ln 4 ln ln ln ln º Ú ÐÙ Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒØ Ö Ð /6 0 sinx cos 3 x dx Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓØ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÒØ Ö Ð Ó Û Ñ Ý ØÖÝ Ù Ø ØÙØ ÓÒº u sinx Ò ÔÖÓ ÐÝ ÓØØ Ò ØÓ ÛÓÖ Ú ÓÑ Ú ÖÝ ØÖ Ý Ð Ö ÙØ u cosx Ø Ò ØÙÖ Ð Ó º Á u cosx Ø Ò du sinxdxº Ì ØÙÖÒ Ø ÒØ Ö Ð ÒØÓ x/6 x0 du u 3 x/6 x0 u 3 duº ÌÓ Ñ ÓÙÖ ÛÓÖ Ö Û Ò ÓÒÚ ÖØ Ø ÓÙÒ ØÓ u¹ ÓÙÒ º cos0 Ò cos/6 3/ Ó Ø Ø Ø ÒØ Ö Ð ÓÑ 3/ u 3 du 3/ u 3 duº Ê ÐÐ Ø Ø Û Ø Ò Ø ÓÙÒ Ó Ò ÒØ Ö Ð Ñ Ø ÒØ Ö Ð Ø Ò Ø Ú Ó Û Ø Ø Û º ÁØ³ Ð Ó ÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ø u¹ ÓÙÒ Ø ÖØ ÓÙØ Û Ö > 3/ºµ Ò ÐÐÝ 3/ u 3 du u 3/ 4/

6 x 3ln4x 6 dx Û Ø ØÛÓ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓØ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÒØ Ö Ð Ó Û Ñ Ý ØÖÝ Ù Ø ØÙØ ÓÒº Í Ò u ln4x 6 Ò u 4x 6 ÛÓÙÐ ÓØ ÛÓÖ ÙØ ØÓ ÚÓ Ø Ò ÖÙÐ Á ÔÖ Ö Ø Ð ØØ Öº u 4x 6 Ñ Ò du 4dx Ó Ø Ø dx du/4º Ð Ó Ø Ö Ý ÓÐÚ Ò u 4x 6 ÓÖ x Ò ÔÐÙ Ò Ò ÓÖ Ö Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÒÓØ Ø Ø x 3 u/º Ì Ö ÓÖ Ø ÒØ Ö Ð ÓÑ x 3ln4x 6 dx du u/lnu 4 ulnu duº ÆÓÛ Ø ÒØ Ö Ð Ò ØØ Ö ÓÖÑº ÆÓØ Ø Ø Ø Ö Ú Ø Ú Ó lnu /u Ò Ö Ø Ø Ö Ó Ù Ø ØÙØ Ò v lnu ÓÓ º Ø Ò dv /u du Ò Û Ú ulnu du v dv ln v +C ln lnu +C ln ln4x 6 +C Û Ø ÓÒ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Á Û ³Ö Û ÐÐ Ò ØÓ Ù Ø Ò ÖÙÐ Û Ò Ø Ø Ø Ó ÓØ Ó Ø ÓÚ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Û Ø ÓÒÐÝ u ln4x 6º Ì Ò du dx ln 4x 6 d 4 4x 6 Ý Ø Ò ÖÙÐ dx 4x 6 x 3 º Ì Ù du/ dx/x 3 Ó Ø Ø Û Ú x 3ln4x 6 dx du u u du ln u +C ln ln4x 6 +C º º Ú ÐÙ Ø Ø ÒØ Ö Ð 4 sin xdx Ì ÒÓØ ÑÔÐ ÒØ Ö Ò Ó Û Ñ Ý Û ÒØ ØÓ ØÖÝ Ù Ø ØÙØ ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö u sin x Ò u x ÛÓÙÐ Ñ dx Ø ÓÑÔÐ Ø Ó Û Ñ Ý Û ÒØ ØÓ ÓÒ Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ º Ë Ò Ø Ö ³ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ö Ø ÄÁÈ Ì

7 ÑÒ ÑÓÒ Ø ÐÐ Ù ØÓ ØÖÝ ØØ Ò dv sin xdx ÙØ Ø Ò Ò Ò v ÛÓÙÐ Ø ÓÖ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ï ³Ö ÓÖ ØÓ Ù Ø ØÙØ ÓÒº Ë Ò u x Ø ÑÔÐ Ö Ö Ú Ø Ú Ð Ø³ ØÖÝ Ø Øº Ì Ò Û Ú du / x dx /u dx Ó Ø Ø dx uduº 4 sin xdx x4 x usinudu ÌÓ Ñ Ø Ò Ö ÓÒ ÓÙÖ ÐÚ Û Ñ Ý Û ÐÐ ÓÒÚ ÖØ Ø ÓÙÒ ØÓ u¹ ÓÙÒ º Ò 4 Ó Û ÑÙ Ø Ú ÐÙ Ø usinuduº Ì Ñ Ü ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Û Ø ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø³ ÓÓ Ò Ø ÓÖ Ò¹ Ø Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ö ³ u ÐÖ Ý ÛÖ ØØ Ò Ø Ö Ó ØÓ ÓÚ ÓÒ Ù ÓÒ Ð Ø³ ÛÖ Ø Ø ÓÚ ÒØ Ö Ð tsintdtº ÆÓÛ ÄÁÈ Ì Ý Ñ dv sintdtº Ì Ñ Ò Û Ú u t dv sintdt du dt v cost Ì Ù tsintdt t cost udv uv cost dt tcost vdu cos cos+sin sin sint º Ú ÐÙ Ø Ø ÒØ Ö Ð lnx 3 dx Ì ÒÓÒØÖ Ú Ð ÒØ Ö Ò Ó Û Ò ØÓ ØÖÝ ÓÒ Ó ÓÙÖ ØÓÓÐ º Ì Ù Ø ØÙ¹ Ø ÓÒ u lnx ÛÓÒ³Ø Ñ Ø ÒØ Ö Ð ÒÝ ØØ Ö»ÛÓÖ ÝÓÙ³ Ø u 3 e u duµ

8 Ó Û Ñ Ý Û ÐÐ ÒØ Ö Ø Ý Ô ÖØ ÖÓÑ Ø ÒÒ Ò º Ý ÄÁÈ Ì Ï ÓÙÐ Ñ u Ø ÐÓ Ô ÖØ Ó u lnx 3 ÛÓÙÐ ÓÓ ØÓ ØÖÝº Ï Ú u lnx 3 du 3lnx /x lnx 3 dx uv xlnx 3 3 xlnx dv dx v x vdu xlnx 3 3 lnxdx xlnx 3 3 xlnx xlnx lnx dx Ý Á È Ò dx xlnx 3 3 xlnx xlnx x +C xlnx 3 3 xlnx xlnx+x +C xlnx 3 3xlnx +6xlnx 6x+C Ý Á È Ò º Ú ÐÙ Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒØ Ö Ð sec x+secxtanx secxdx dx secx+tanx ÆÓØ Ø Ø Ò Ø ÓÒ ÒØ Ö Ð Ø ÒÙÑ Ö ØÓÖ Ø Ö Ú Ø Ú Ó Ø ¹ ÒÓÑ Ò ØÓÖ Ø Ö Ú Ø Ú Ó tan sec Ò Ø Ö Ú Ø Ú Ó sec sectanµº Ì Ö ÓÖ Ù Ø ØÙØ Ò u secx+tanx Ý Ð sec x+secxtanx dx secx+tanx du u ln u +C ln secx+tanx +C sec 3 xdx À ÒØ ÓÙ³ÐÐ Ò ØÓ Ù tan x sec x Ø ÓÑ ÔÓ ÒØºµ

9 ÆÓ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó Ú ÓÙ ÐÝ ÐÔ Ö Ó Û Ú ØÓ ØÖÝ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ º ÄÁÈ Ì Ù Ø Ø Ø ØÖ ÙÒØ ÓÒ ÓÙÐ dvº dv sec 3 xdx Ó Ò³Ø ÐÔ Ù Ø Ò Ò Ò v Ø ÓÖ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñº Ø Ö Ó dv secxdx ÓÖ dv sec xdx ÛÓÙÐ ÔÖÓ ÐÝ ÛÓÖ ÙØ Á ÔÖ Ö Ø Ð ØØ Ö Ò Ø ÒØ Ö Ú Ø Ú Ó sec Ö Ó ÑÔÐ º u secx du secxtanxdx dv sec xdx v tanx Ì Ò sec 3 xdx secxtanx udv uv vdu secxtanx secxtan xdx secxtanx tanxsecxtanx dx secx sec x dx Ý ÒØµ secxtanx sec 3 xdx+ secxdx secxtanx+ln secx+tanx sec 3 xdx Ý µ Ì Ö Ø Ô ÖØ Ò Ø Ð Ø Ô ÖØ Ó Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ð sec 3 xdx secxtanx+ln secx+tanx sec 3 xdx sec 3 xdx secxtanx+ln secx+tanx sec 3 xdx secxtanx+ln secx+tanx +C º Ú ÐÙ Ø Ø ÒØ Ö Ð 3x x+9/ x x +4 dx Ë Ò Ø ÒØ Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖ Ö Ö Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö ØÓÖ Û Ò ÔÐ Ø Ø ÙÔ Ú Ô ÖØ Ð Ö Ø ÓÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒº ÆÓØ Ø Ø Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖ ÙÐÐÝ ØÓÖ x ÒÓ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ º Ï Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖØ Ó ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ ÖÝ Ô ÓÙØ ÒØ Ö Ú Ø Ú ÓÖ ÝÓÙÖ Ø ÜØ ÓÖ ÓÑ ÓØ Ö ÓÙÖ ÓÖ Ø Ò Ö Ð ÖÙÐ µ 3x x+9/ x x +4 A x + B x + Cx+D x +4

10 3x x+ 9 Ax x +4 +B x +4 +Cx+Dx ÈÐÙ Ò Ò x / Ñ x 0 Ó Û Ú B B 7 B º 4 ÀÓÛ Ú Ö ÒÓ ÓØ Ö ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ò Ø Ø ÖÑ Ð Ø Ó Û Ò ÓÑÔ Ö Ó ¹ ÒØ Ø Ö ÔÐÙ Ò Ò B º 3x x+ 9 Ax x +4 +B x +4 +Cx+Dx 3x x+ 9 Ax x +4 + x +4 +Cx+Dx Ò B 3x x+ 9 Ax3 Ax +8Ax 4A+x +4+Cx+D 4x 4x+ 3x x+ 9 Ax3 + Ax +8Ax+4 A+4Cx 3 +4Dx 4Cx 4Dx+Cx+D 0x 3 +3x x+ 9 A+4Cx3 +4D+ A 4Cx +8A+C 4Dx+4 A+D 0 A+4C 3 4D+ A 4C A C 8A+C 4D 8A+C 4D 9 4 A+D D 9 4 A Ý Ö ÖÖ Ò Ò Ø Ö Ø ÕÒº Ò Ö Ò Ø ÓÒ A C A C 8A+C 4D 8A+C 4D D 9 4 C D 9 4 8C Ý ÔÐÙ Ò Ø Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÒØÓ Ø Ø Ö Ò Ö ÖÖ Ò Ò A C 8 C+C 4 A C 9 4 8C 5C +3C 8+6 D 9 4 8C D 9 4 8C Ý ÔÐÙ Ò Ø Ö Ø Ò Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÒØÓ Ø ÓÒ Ò Ö ÖÖ Ò Ò ½¼

11 À Ò Û Ú A C A 0 C 0 C 0 D 9 4 8C D Ý ÓÐÚ Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÔÐÙ Ò ÒØÓ Ø Ø Ö 3x x+9/ x x +4 x + / x +4 Ó 3x x+9/ x x +4 dx u du+ x dx+ x +4 dx 4t dx Ý Ù º u x,t x/ + u + 4 tan t+c Û Ö u x,t x/ 4x + 4 tan x +C ÆÓØ Ý Ñ ÑÓÖ Þ Ò Ø ÒØ Ö Ú Ø Ú Ó / x +a ÓÖ a > 0 ÛÖ ØØ Ò Ò Ø Ø Ð Ò Ø ÒØ Ö Ú Ø Ú Ô ÝÓÙ Ò ÚÓ Ø ÙÒ ÒØÙ Ø Ú t Ù Ø ØÙ¹ Ø ÓÒ ÓÚ ºµ ½¼º Ú ÐÙ Ø Ø ÒØ Ö Ð Ò Û Ù Ô ÖØ Ð Ö Ø ÓÒ x 4 x 3 +x x+/ x 4+x x4 x 3 +x x+/ x 4+x dx A x 4 + Bx+C +x + Dx+E +x x 4 x 3 +x x+ A +x +Bx+Cx 4 +x +Dx+Ex 4 ÈÐÙ Ò Ò x Ñ x 4 0 Ò Ý Ð A + 5 5A A Ì Ù Ø ÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÑ ½½

12 x 4 x 3 +x x+ +x +Bx+Cx 4 +x +Dx+Ex 4 Ä Ø Û Ø ÒÓ ÓØ Ö Ö Ø Ó ÓÖ x ÒÓÛ Û Ò ÜÔ Ò Ø Ö Ø Ò Ò ÓÐÐ Ø Ð Ø ÖÑ Ó Û Ò Ø Ó ÒØ ÕÙ Ð +x +Bx+Cx 4 +x +Dx+Ex 4 +x +x 4 + Bx +C 4Bx 4C +x +Dx +E 4Dx 4E x4 +Bx 4 +C 4Bx 3 4Cx +Bx +C 4Bx 4C+D+x +E 4Dx+ 4E B + x 4 +C 4Bx 3 +D+ 4C +Bx +E 4D+C 4Bx+ 4E 4C Ë Ò Ø ÕÙ Ð x 4 x 3 +x x+/ Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÕÙ Ø ÓÒ B + B /4 C 4B C 4B D+ 4C +B D+ 4C +B E 4D+C 4B 4E 4C E C Ý ÓÐÚ Ò Ø Ö Ø Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ø ÓÙÖØ B /4 B /4 C 4/4 C 0 D+ 4C +B D+ 4C +B E C E C Ý ÔÐÙ Ò Ø Ö Ø ÒØÓ Ø ÓÒ Ò ÓÐÚ Ò B /4 B /4 C 0 C 0 D+ 4C +B D++/ E 0 E 0 Ý ÔÐÙ Ò Ø ÓÒ ÒØÓ Ø ÓÙÖØ Ò Ø Ö Ø Ò ÓÒ ÒØÓ Ø Ø Ö B /4 C 0 Ý ÓÐÚ Ò Ø Ø Ö D /4 E 0 ½¾

13 Ì Ö ÓÖ x 4 x 3 +x x+/ x 4+x / x 4 + x/4 +x + x/4 +x À Ò x4 x 3 +x x+/ x 4+x dx 4 x dx+ 4 x +x + +x dx 4 u du+ 4 t + dt t Ú u x,du dx Ò t +x,dt/ xdx 4 ln u + 8 ln t +C Û Ö u x Ò t +x t 4 ln x + 8 ln +x +x +C +x ln x + +x ln +x 8 8+x +C ½

(f g)(x) = f (g(x)) = g(x) 5 =

(f g)(x) = f (g(x)) = g(x) 5 = ÀÏ ÍÔ Ø µ ÂÙÒ ½ ¾¼½¾ ½º ØÖ Ø Ð Ò ÐÓÔ e Ò Ô Ø ÖÓÙ Ø ÔÓ ÒØ (, 3)º ÏÖ Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ð Ò Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÒÚÓÐÚ Ò x Ò y Ù Ø Ø ÔÓ ÒØ (x,y) ÓÒ Ø Ð Ò Ò ÓÒÐÝ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ØÖÙ µº Ì ÔÓ ÒØ¹ ÐÓÔ ÓÖÑ ÓÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ð Ò y