Control and Cybernetics. vol. 37 (2008) No. 2

Control and Cybernetics vol. 37 (2008) No. 2 ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ð Ö¹ ÒÔÙØ ÔÐ Ò Ö Ý Ø Ñ Ý Å ØØ Ã Û Ò È ÖÒ ÐÐ Ì Å ÜÛ ÐÐ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ËØ Ø Ø Ö ÞÓÒ ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ì ÑÔ ¾ ÍË ØÖ Ø Ì ÈÓÒØÖÝ Ò Å Ü ÑÙÑ ÈÖ Ò ÔÐ Ò ¹ÓÖ Ö ÓÔ Ò¹Ñ ÔÔ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ð Þ Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ö Ø¹ Ö Ú Ø Ú Ø Ø ØÓ ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓк Ì Ý ÔÖÓÚ Ò ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ØÖ ØÓÖݹÓÒØÖÓÐ¹Ô Ö ØÓ ÓÔØ Ñ Ð ÓÖ Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÐÓ Ð ÓÒØÖÓÐÐ Ð Øݺ ËÙ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÔØ Ñ Ð ØÝ Ò Ò ¹ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÒØÖÓÐÐ Ð Øݵ Ö Ö Ö ØÓ Ó Ø Òº Ä Ø Ä Ò Ö ¹ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ý Ò Ö ÐÐÝ Ø Ø ÓÖÑ Ó Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ò Ó ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú º Ê ÒØÐÝ Ö Ú ÒØÖÓ Ù Ò ØØÖ Ø Ú ÐØ ÖÒ Ø Ú Ý Ú Ð¹ ÓÔ Ò ÒÓØ ÓÒ Ó ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ Ø Ø Ò Ö Ð Þ Ð ¹ Ð Ù Ò Ê µ ÙÖÚ ØÙÖ º Ì Ø ÓÖÝ Ò ØÙÖ ÐÐÝ ÔÔÐ ØÓ Ý Ø Ñ Û Ó ÓÒØÖÓÐ Ø Ú ÐÙ ÓÒ ÖÐ ÓÖ Ô Ö º ÁÒ Ø ÖØ ¹ Ð Û ÔÖ ÒØ Ò Ø Ð ØÙ Ó ÓÛ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÙÖÚ ØÙÖ ÔÖÓÚ Ò Ø ÒØÓ Ø Ð Ñ Ø Ò Û Ò Ø ÖÐ ÓÑ Ò Ö Ø Ð¹ Ð Ô Ò Ø ÓÖÑ Ó ÐÓ ÒØ ÖÚ Ð º Ç Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒØ Ö Ø Ö Û ÐÐ ØÙ Ð ÙØ ÙÒÓÒØÖÓÐÐ Ð ÒÓÒÐ Ò Ö Ý Ø Ñ Ò Ý ¹ Ø Ñ Ø Ø Ü Ø ÓÒ Ù Ø ÔÓ ÒØ Ò Û Ø ÓÒØÖÓÐ Ø Ú ÐÙ Ò ÐÓ ÒØ ÖÚ Ð u = (u 1, u 2 ) [ 1, 1] {0} R 2 º Ï ÓÙ ÓÒ Ý Ø Ñ Ø Ø Ö Û Ðй ÒÓÛÒ ÑÓ Ð ÓÖ Ø Ò ÐÝ Ó Ñ ÐÐ¹Ø Ñ ÐÓ Ð ÓÒØÖÓÐÐ Ð ØÝ Ò Ø Ñ ¹ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓк à ÝÛÓÖ ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ ÙÖÚ ØÙÖ º ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Û Ø Ö ØÖ ØÓÖÝ Ô Ö (u, x ): [0, T] U M n Ó Ò Ö ÐÐÝ ÒÓÒÐ Ò Ö Ý Ø Ñ ẋ = F(x, u) x M n u U R m Ø Ñ ¹ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒÒ Ø Ò Ú Ò Ò ÔÓ ÒØ x(0) = x 0 Ò x(t) = x T ÐÝ Ò Ò Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÓÓØ Ñ Ò ÓÐ M n ÓÖ Û Ø Ö Ø Ý Ø Ñ ÐÓ ÐÐÝ ËÙ Ñ ØØ ÖÙ ÖÝ ¾¼¼ ÔØ Ù Ù Ø ¾¼¼ º Ì ÛÓÖ Û Ô ÖØ ÐÐÝ ÙÔÔÓÖØ Ý Ø Æ Ø ÓÒ Ð Ë Ò ÓÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ Ø Ö ÒØ ÅË ¼ ¹¼ ¼ ¼º

ź à ÏËÃÁ Ⱥ Å Ï ÄÄ ÓÒØÖÓÐÐ Ð ÓÙØ Ø ØÖ ØÓÖݺ Ì ÔÔÖÓ ØÓ Ò ÐÝÞ Û Ø Ö Ø Ò ÔÓ ÒØ Ñ Ô u x(t; u) ÓÖ Ü T Ò x 0 µ ÖÓÑ Ø Ó Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ U ØÓ R n ÐÓ ÐÐÝ Ò ÓÔ Ò Ñ Ô Ø Ø Ö Ö Ò ÓÒØÖÓÐ u Uº ØÝÔ Ð Ó U = L 1 ([0, T], U) Û Ø U R m ÓÒÚ Ü Ò ÓÑÔ Øº Ì ÔÖ Ñ ÖÝ ØÓÓÐ Ö Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ñ Ô Ø Ø Ö ÓÒ ÓÒØÖÓÐ Ú Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ú Ö ÓÒÚ Ü ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ ØÓ Ø Ö Û Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ¹ Ò ÓÔ Ò Ñ ÔÔ Ò Ø ÓÖ Ñ ÓÑÔ Ö º º Ò Ò Ò Ã Û ¾¼¼ µ Ò ËÙ Ñ ÒÒ ¾¼¼¾ ¾¼¼ µ ÓÖ Ð Ø Ö ÒØ ÒÒÓÚ Ø ÓÒ º ÓÒ Ø ÓÒ Ù Ø ÈÓÒØÖÝ Ò Å Ü ÑÙÑ ÈÖ Ò ÔÐ Ò Ø ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ö ÐÐÝ ÓÔ Ø Ø Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ö Ø¹ Ö Ú Ø Ú Ø Ø ÓÖ Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ º Ù Ø Ý Ò Ö ÐÐÝ ÔÖÓÚ Ò ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ò ÓÒØÖÓÐ u ØÓ Ò ÜØÖ Ñ Ð º º Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ Ñ Ôµº Ì ÓÒØÖ ÔÓ Ø Ú Ó Ù Ø Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÒÓÒÐ Ò Ö ÐÓ Ð ÓÒØÖÓÐÐ Ð ØÝ ÓÙØ Ø Ö Ö Ò ØÖ ØÓÖÝ (x, u ) Ø Ö Ú Ø Ú ÙÐÐ Ö Ò Ø Ò Ø Ò ¹ ÔÓ ÒØ Ñ Ô ÐÓ ÐÐÝ ÓÔ Ò Ø Ø Ö Ö Ò ØÖ ØÓÖÝ Ò Ø Ý Ø Ñ ÐÓ ÐÐÝ ÓÒØÖÓÐÐ Ð ÓÙØ Ø ØÖ ØÓÖݺ ËÙ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÔØ Ñ Ð ØÝ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÝ Ò ÖÝ ÓÒ ¹ Ø ÓÒ ÓÖ ÒÓÒÐ Ò Ö ÓÒØÖÓÐÐ Ð Øݵ Ö ÓÒ Ö ÐÝ Ö Ö ØÓ Ó Ø Òº Ä Ø Ð Ð Ä Ò Ö ¹ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø ØÝÔ ÐÐÝ Ò Ö Ð Þ Ø Ø ÓÖ Ò Ø ¹ Ò Ó ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú º ÇØ Ö ÑÓÖ ÓÑ ØÖ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ø ÜØ Ò Ø Ð Ð ÐÙÐÙ Ó Ú Ö Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ Ó ÒÚ ÐÓÔ ØÓ ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ ØØ Ò Ñ Ý ÓÙÒ Ò ËÙ Ñ ÒÒ ½ ½ µ Ò Ø Ö Ö Ò Ø Ö Òº Ê ÒØÐÝ Ö Ú ÒØÖÓ Ù Ò ØØÖ Ø Ú ÐØ ÖÒ Ø Ú Ý Ú ÐÓÔ Ò ÒÓ¹ Ø ÓÒ Ó ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ Ø Ø Ò Ö Ð Þ Ð Ð Ù Ò Ê ÙÖÚ ØÙÖ Ö Ú Ò Ë ÓÚ ¾¼¼ Ò Ö Ú Ø Ö ÓÚ Ò Ð Ò Ó ¾¼¼ µº Ì ÒÓØ ÓÒ ÔÖ ÖÚ Ð Ð Ø ÓÖ Ñ Ó Ö ÒØ Ð ÓÑ ØÖÝ Û ÖØ Ø Ø Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ø Ú ÐÓÒ Ò ÜØÖ Ñ Ð Ø Ò Ø ÜØÖ Ñ Ð ÐÓ ÐÐÝ ÓÔØ Ñ Ðº Ì ÔØÙÖ Ø Ô ØÓÖ Ð ÒÓØ ÓÒ Ø Ø Ò Ô Ó Ò Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÑÓÚ Û Ý ÖÓÑ ÓØ Öº ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ø ÒØ Ó Ñ Ò Ø Ò ÖÓÑ ÓÒ ÔÓ ÒØ Ò ÒØ Ö Ø Ò ÓÒÐÝ Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ù ÒØÐÝ ÔÓ Ø Ú ÐÓÒ Ø ÙÖÚ Ñ Òغ Ì Ù Ò ÔÖ Ò ÔÐ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÒÐÙ ÐÓ Ð ÓÔØ Ñ Ð ØÝ ÓÒ ÓÒÐÝ Ò ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÙÖÚ ØÙÖ ÐÓÒ Ò ÜØÖ Ñ Ð Ò Ú Ö Ý Ø Ø Ø ÒÓÒÒ Ø Ú ÓÖ ÒÓØ ØÓÓ ÔÓ Ø Ú µº ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ø ÔÔÖÓ Ý Ð Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÐÓ Ðµ ÓÔØ Ñ Ð Øݺ Ï Ð Ú Ö Ð Ò Ö Ð Ø ÓÖ Ø Ð Ö ÙÐØ ÙØ Ð Þ Ò Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ú Ò ÓÖØ ÓÑ Ò Ö Ú Ø Ö ÓÚ Ò Ð Ò Ó ¾¼¼ Ö Ú Ò Ë Ö ÓÚ ¾¼¼ Ò Ë ÖÖ ¾¼¼ µ Ø Þ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ò ÐÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ú Ó Ö Ú Ö ÐÝ Ð Ñ Ø ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ø ÓÖ Ô Ð Ó Ý Ø Ñ º Ò ÒØ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ù ÐÙÐ Ø ÓÒ Ù ØÓ Ø Ò ØÙÖ Ó Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ð Öµ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ø ÖÐ ¹ Ù ÙÒ Ð ÓÖ Ô Ö ¹ Ù ÙÒ Ð µ Ó Ø ÓØ Ò ÒØ ÙÒ Ð Ó Ø Ø Ø ¹ Ô º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ÙÒÐ Ù Ò ÙÖÚ ØÙÖ Û Ò Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ö ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ø ¹ Ô Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ Ñ Ý Ø Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ Ú Ö ÒØ Ú ÐÙ Ò Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ º

ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ð Ö¹ ÒÔÙØ ÔÐ Ò Ö Ý Ø Ñ Ì Ö Ø ÒÓØ Ð ÜÔÐ Ø Ò Ò ÓÖ Ô Ð Ó Ý Ø Ñ Û Ö Ó Ø Ò Ý Ë ÖÖ ¾¼¼ µ Û Ó ØÙ ÖÑ ÐÓ³ Ò Ú Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ ÔÖ Ø Ð Ø ÖÑ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ø Ñ ¹ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ ÓÖ Ó Ø Û Ø Ø Ö Ò ÓÒØÖÓÐ Ò Û Ø Ò Ò Ò ÔÖÓÚ Ò Ö Ð Ø Ú ÙÒ Ø Ô ÙØ Û Ù Ø ØÓ Ö Ø Ù ØÓ ÙÖÖ ÒØ ÓÖ Û Ò º ÓÖÑ ÐÐÝ ÓÒ Ö Ý Ø Ñ Ò Ø ÔÐ Ò Ó Ø ÓÖÑ { ẋ1 = f 1 (x 1, x 2 ) + u 1 Ù Ø ØÓ ẋ 2 = f 2 (x 1, x 2 ) + u 2 u 2 1 + u2 2 = 1. ½µ ÇÒ ÙØ ÙÐ Ö ÙÐØ Ó Ë ÖÖ ¾¼¼ µ Ø Ø Ø Ñ ØÖ Ü (a ij ) R 2 2 Ð ¹ Ó ÒØ Ø Ò ÜØÖ Ñ Ð Ó Ø Ý Ø Ñ Û Ø Ð Ò Ö Ö Ø f i (x) = a i1 x 1 +a i2 x 2 Ö ÐÓ ÐÐÝ ÓÔØ Ñ Ðº ÓÖ Ø ÔÙÖÔÓ Ó Ú Ù Ð Þ Ò Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ú ÐÓÔ ÒØ Ö Ø Ú ØÓÓÐ Ø Ø Ö ÕÙ Ö Þ Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ö Ð Ö Ý Ø Ñ Å ÈÄ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ð Ò Ò Ó Å ÌÄ ØÓ Ó Ø Ò ÒØÖ Ù Ò Ñ Ø Ø ÓÚ ÖÐ Ñ Ð Ó Ó Ó Ô Ö Ò ÓÐÓÖ¹Ó Ú Û Ó Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ð Ø Ø Ø Ñ Ö ÔÓ Ø ÓÒ¹Ð Ò Ö Ò Ã Û ¾¼¼ µº Ì ØÓÓÐ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ú Ö ÓÙ Ý Ø Ñ Ò Ò ÐÝ ÑÓÒ ØÖ Ø Ø ÒØÖ Ý Ó Ø Ô Ò Ò Ó Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ø ÒÝ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ô ÓÒ Ø Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ø ÖÓÐ Ò ÓÙ Ò Ó º ÁÒ ÓÒ ÓÑÑÓÒÐÝ Ó ÖÚ ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ò Ò Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ø Ó¹ Ø Ø ÖÓØ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø Þ ÖÓ¹ Ø ÓÒº ÐÓ ÐÝ Ö Ð Ø ÛÓÖ Ý ØÓÙÖ Ò Ë ÐÓØØ ¾¼¼ µ Ò Ë ÐÓØØ Ò ¹ ØÓÙÖ ¾¼¼ µ Ø Ø Ò ÓÑ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÝ ØÙ Ø Ù Ò ³ Ö ÓÒ ÙÖÚ ÙÖ º Ì Ý Ø Ñ Ú ÖÝ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ó Ø ÙØ Ò Ø Ó Ò Ü¹ Ø ÖÒ Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ð Û Ò ÓÖ ÙÖÖ Òص Ò Ú ÐÓ ØÝ ÓÒØÖÓÐ Ø Ö Ò Ò Ð µ Ø ÓÒØÖÓÐ Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ö Ò Ò Ð º Ì Ö Ø Ø ÖÑ Ù ØÓ Ø Ø ÓÒ Ð ÒØ Ö Ø ÓÒº ÁÒ Ø Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ø Ø Ø Ô Ø Ú Ò Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ Ò Ø ÙØ ÓÖ ÒÚ Ø Ø Ø ØÖÙØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ØÖ ØÓÖ º Ø Ö Ø Ò Ö Ð ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ø Ù ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ú Û Ý Ò ¹ Ø ÓÒ Ò Ô Ø Ó Ö Ú³ ÙÖÚ ØÙÖ Ò ÔÖ ÒØ Ò ÓÚ ÖÚ Û Ó Ø Ò ØÙÖ Ó Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Û Ò Ø ÓÒØÖÓÐ Ø ÓÖÑ ÖÓÑ ÖÐ ØÓ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ú Ñ ÐÝ Ó ÐÐ Ô º ¾º Ð Ñ ÒØ Ó Ö Ú³ Ø ÓÖÝ Ó ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ Ì Ø ÓÒ Ö Ú Û ÓÑ Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ò Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ Ò Ö ÙÐØ Ó Ö Ú³ Ø ÓÖݺ Ï ÓÐÐÓÛ ÐÓ ÐÝ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ù Ó Ö Ú Ò Ë ÓÚ ¾¼¼ µº Ï Ð ÑÓÖ Ö ÒØ ÛÓÖ Ý Ö Ú Ø Ö ÓÚ Ò Ð Ò Ó ¾¼¼ µ ÜØ Ò Ø Ø ÓÖÝ ØÓ Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ØØ Ò Û Ö

ź à ÏËÃÁ Ⱥ Å Ï ÄÄ Ö ØÖ Ø ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ Ô Ð Ó Ý Ø Ñ Ó Ø ÓÖÑ ½µ ÓÒ ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ø Ô º ÍÒ Ö Ñ Ð Ö ÙÐ Ö ØÝ Ò ÓÒÚ Ü ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ñ Ý ÙÑ Ø Ø ÐÓ¹ ÐÐÝ Ò xµ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ H x Ó Ø Ð Ú Ð Ø H = H 1 (1) Ó Ø Ñ Ü Ñ Þ À Ñ ÐØÓÒ Ò H Û Ø Ö T xr 2 ÑÔÐ ÐÓ ÓÒÚ Ü ÙÖÚ Ø Ø Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò Ø ÓÖ Òº Ý Ø Ô ØÓ ÓÑÔÙØ Ú ÖØ Ð Ú ØÓÖ Ð v ÓÒ T R 2 Ø Ø Ø Ø ÒØ ØÝ L 2 v s = s + bl vs Û Ö s = p 1 dx 1 + p 2 dx 2 Ø Ø ÙØÓÐÓ Ð ÓÒ ¹ ÓÖÑ ÓÒ T R 2 Ö ØÖ Ø ØÓ H Ò L v ÒÓØ Ø Ä Ö Ú Ø Ú Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ú ØÓÖ Ð vº Ì Ý Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ø Ò Ø Ú µ ÙÒ Ø Ó ÒØ Ó Ø Ö Ø Ø ÖÑ ÓÒ Ø Ö Ø Ò Ó ¾µº Ì ÒØ ØÝ ÙÒ ÕÙ ÐÝ Ø ÖÑ Ò Ú ØÓÖ Ð v ÙÔ ØÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ý 1º Ì Ú ØÓÖ Ð v Ñ Ý ÓÑÔÙØ ÜÔÐ ØÐÝ ÓÐÐÓÛ º ËØ ÖØ Ý ÒØÖÓ Ù¹ Ò ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø (p 1, p 2 ) = (r cosϕ, r sin ϕ) ÓÒ Ø Ö Ó T R 2 º Ï Ø Ø Ø Ð Ú Ð Ø H x Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Ò Ð ϕ Ù Ò Ø Ø H x Ó ÒÓØ Ô Ø ÖÓÙ Ø ÓÖ Ò Ò Ø Ø Ø ÓÒÚ Üµ Ò Û ÛÖ Ø p = p(ϕ)º Ö ÒØ Ø Ò ØÛ Ò Ù Ò Ø Ð Ò Ö Ò Ô Ò Ò Ó p Ò p ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ú Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ϕ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ p (ϕ) = a 1 (ϕ)p(ϕ) + a 2 (ϕ)p (ϕ). µ Æ ÜØ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ô Ö Ñ Ø Ö θ = θ(ϕ) Ó Ø Ø ( 2 dθ a 1 (ϕ) dϕ) = 1. µ ÍÔ ØÓ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ò ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÙÒ ÕÙ ÐÝ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Û Ô Ö Ñ Ø Ö θ Û Ù Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ù Ø Ø p (θ) = p(θ) + a 2 (θ)p (θ). ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Û Ø Ø Ö Ó Ó Ò v = θ = ±1 a1 ϕ ¾µ µ Ø Ö Ú ÖØ Ð Ð º Æ ÜØ ÓÑ Ò Ø Ð Û Ø Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ð h Ò Ø Ö Ä Ö Ø ØÓ Ó Ø Ò ÑÓÚ Ò Ö Ñ V 1 = v, V 2 = [v, h], V 3 = h ÓÒ Ø Ð Ú Ð ÙÖ H 1 (1) T R 2 º ÁØ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ØÓ Ú Ö Ý Ø Ö Ò ¹ Ô Ò Ò Ø ÐÐ ÔÓ ÒØ ÓÒ Hº ÇÒ Ð Ó Ö ÐÝ Ú Ö Ø Ø Ø Ä Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ð Ò Ø Ö Ñ Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ú ØÓÖ Ð h Ø Ý [ h, V 1 ] = V 2, [ h, V 2 ] = κv 1, [ h, V 3 ] = 0 µ Û Ö κ Ð Ö ÙÒØ ÓÒ ÓÒ H Ò ÐÐ Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ø ÓÒØÖÓÐ Ý Ø Ñ ½µº Ì Ö Ñ Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ ÓÒÚ Ò ÒØ ÓÖ ÛÖ Ø Ò Ø Â Ó ÕÙ Ø ÓÒ ÐÓÒ Ò ÜØÖ Ñ Ð (x t, p t ) ÓÒ Hº ÅÓÖ Ô ÐÐÝ Ò Ø ÑÓÚ Ò Ö Ñ Ø Ñ ØÖ Ü µ

ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ð Ö¹ ÒÔÙØ ÔÐ Ò Ö Ý Ø Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Γ(t) Ó Ø ÓÔ Ö ØÓÖ e tad h Ø Ø Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Γ(t) = Γ(t) A(t) µ Û Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Γ(0) = I 3 3 Û Ö Ø Ó ÒØ Ñ ØÖ Ü Ú Ò Ý A(t) = 0 κ(x t, p t ) 0 1 0 0. 0 0 0 Ø Ñ t c > 0 Ý Ò Ø ÓÒ ÓÒ Ù Ø Ø Ñ ÓÖ Ò ÜØÖ Ñ Ð (x t, p t ) Ø Ò¹ Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ú ÖØ Ð Ù Ô Π 0 = T p0 (T x 0 R 2 ) Û Ø Ø Ñ B tc Π 0 ÙÒ Ö Ø ÓÛ B t Ò Ý Ø Â Ó ÕÙ Ø ÓÒ ØÖ ØÐÝ Ð Ö Ö Ø Ò Ø Ù Ô Ó ÓÒ Ø ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Â Ó ÕÙ Ø ÓÒº ËÙ Ò Ò Ø ÒØ t c ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÒÓÒØÖ Ú Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ð Ö ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÿ + κ t y = 0, y(0) = y(t c ) = 0. µ ½¼µ ÁØ Ð Ö ÖÓÑ Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø ÒÓÒØÖ Ú Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÒÓØ Ü Ø Û Ò κ 0 ÓÖ ÐÐ Ø Ñ ÐÓÒ Ò ÜØÖ Ñ Ð (x t, p t )º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò Ø Ó ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ò Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ø Ò Ö ÒØ Ö Ð Ø Ñ Ø Ý Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø Ö Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ù Ø Ø Ñ t c º ËÙÑÑ Ö Þ Ò Ò ÓÖ Ö ØÓ ÔÔÐÝ Ø Ù ÒÝ Ö Ø Ö ÓÒ ÓÖ ÐÓ Ð ÓÔØ Ñ Ð ØÝ º º ÓÖ Ø Ò Ó ÓÒ Ù Ø ÔÓ ÒØ Ø Ñ Ò Ø Ô Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ò Ó Ô Ö Ñ Ø Ö θ = θ(ϕ) Ó Ø Ø µ ÓÐ ÐÙÐ Ø Ø ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ [ h, [ h, v]] = κv, Ò Ú Ö Ý Ø Ø κ 0 ÐÓÒ Ò ÜØÖ Ñ Ð ÓÖ Ò ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒØ Ö Ð Ó κ ÐÓÒ Ø ÜØÖ Ñ Ð κ 0 ÓÖ ÓÑ tº ÑÔÐ Ø ÓÖ Ó Ò ÐÙÐ Ø ÓÒ ÔÔ Ö Ø Ý ÕÙ ÐÝ Ð ØÓ Ð Ö ÓÖÑÙÐ Ú Ò ÓÖ Ú ÖÝ ÑÔÐ Ý Ø Ñ Ø f 1 Ò f 2 º Ì Ó Ð Ò Ö Ð f 1 x 1 + f 2 x 2 = (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) x 1 + (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) x 2 Û Ø ÓÒ Ø ÒØ a ij R Û Ò ÐÝÞ Ò Ø Ð Ý Ë ÖÖ ¾¼¼ µ Û Ð ÓÙÖ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ú Ù¹ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÖØ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ö Ø Ò ÐÓ ÐÐÝ ÓÙÒ Ð Ù º º (f 1, f 2 ) = (0, sechx) Ö Ò Ã Û ¾¼¼ µº ÖÓÑ Ø ÜÔ Ø ÔÔ Ö Ò Ó Ú Ö ÓÙ ÔÖÓ ÙØ Ó Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö Ø (f 1, f 2 ) ÑÔÖ Ú Ø ÓÑÔÐ Ø Ò ØÙÖ Ó Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ö ÖÑÓÒ cosjθ Ò sin jθ ÓÖ j = 1, 2, 3, 4 Ò Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÙÖÚ ØÙÖ κ Û ÖÓÙØ Ò ÐÝ ÐÐÓÛ Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ò Ø ØÓ Ò Ò Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó Ø Ñ Ø Ö Ø ÓÒ Ú Ö º º ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒØÖÓÐ Ø Ì Ñ Ò ÓÙ Ó Ø ÖØ Ð Ø ÒÚ Ø Ø ÓÒ Ó ÓÛ ÙÖÚ ØÙÖ Ò ÓÒ Ù¹ Ø ÔÓ ÒØ Ò Û Ò Ø Ø Ó ÓÒØÖÓÐÐ Ú ÐÓ Ø {(u 1, εu 2 ): u 2 1 +u2 2 = 1} ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ ÓÖÑ ÒØÓ Ø ÒØ ÖÚ Ð I = [ 1, 1]º ÓÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÒÚ ¹ Ò Ò Û ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ý Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ε ÒØÓ Ø ÓÒØÖÓÐÐ Ú ØÓÖ

ź à ÏËÃÁ Ⱥ Å Ï ÄÄ Ð ÓÐÐÓÛ Ð Ú Ò Ø Ø Ó ÓÒØÖÓÐ Ú ÐÙ U = S 1 Ø Ñ Ò ÓÒ Ö Ý Ø Ñ Ó Ø ÓÖÑ { ẋ1 = f 1 (x 1, x 2 ) + u 1 Ù Ø ØÓ ẋ 2 = f 2 (x 1, x 2 ) + εu 2 u 2 1 + u2 2 = 1. ½½µ Ç Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒØ Ö Ø Ö ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø Ý Ø Ñ { ẋ1 = u 1 ẋ 2 = x m 1 + εu 2 ½¾µ Ò { ẋ1 = x 2 + u 1 ẋ 2 = x 1 + εu 2 ½ µ Û Ö Û ÐÐ ÙÒ Ö ØÓÓ Ò Ø Ð Ñ Ø Ò Ò Ð ¹ ÒÔÙØ Ó ε = 0º Ï Ö ÒØ Ö Ø Ò ÓÛ Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ð Ñ Ø Ó ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ¹ Ö ÔÓÒ Ò Ý Ø Ñ Ó Ø ÓÖÑ ½½µº Ì Ö Ø Ñ ÐÝ Ó Ý Ø Ñ Ñ ÐÐ¹Ø Ñ ÐÓ ÐÐÝ ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ò ÓÒÐÝ m Ó º Á m Ú Ò Ø Ö Ð Ø Ü Ø Û Ðй ÒÓÛÒ ÓÐ ¹ÓÚ Ö À ÖÑ ½ µ Û Ø ÓÒ ÕÙ ÒØ ÔÔ Ö Ò Ó ÓÒ¹ Ù Ø ÔÓ ÒØ ÓÑÔ Ö ËÙ Ñ ÒÒ ½ µº Ì ÓÒ Ý Ø Ñ Ø ÓÒØÖÓÐÐ ÖÑÓÒ Ó ÐÐ ØÓÖ Û Ó Û Ø Ò ÙÖÚ ÓÒ Ø Ò Ó ØÛÓ Ò Ò Ø Ñ Ð Ó Ñ ÖÐ Ö Ø Ò Ö Ü ÑÔÐ Ò Ø ÜØ ÓÓ ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓк Ù ØÓ Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó Ø Ñ Ô ÖÓÑ ÓÒØÖÓÐ u( ) U L 1 ([0, T], S 1 ) ØÓ ØÖ ØÓÖ x( ; u) C([0, T], R 2 ) Ø Ð Ö Ø Ø ε Ú Ö ÖÓÑ 1 ØÓ 0 Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÖ ØÓÖ Ú ÖÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ðݺ Ú Ò Ø Ò Ó ÒÓÒØÖ ¹ Ú Ð Ò ÙÐ Ö ÜØÖ Ñ Ð Ò Ø Ý Ø Ñ ½¾µ Ò ½ µ Ø Ò ¹ Ò ÜØÖ Ñ Ð Ó Ø Ý Ø Ñ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ý ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ Ò Ø Ñ µ Ú ÖÝ Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ º ÇÒ ÜÔ Ø Ò Ø ÓÒ ÖÑ Ò ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ Ò ÖÓÑ ÓÑÔ Ö Ø Ú ÐÝ ÐÓÛÐÝ Ú ÖÝ Ò ØÓ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ε Ö ÖÓÑ ÓÒ ØÓ Ò Ö Þ ÖÓº º ½ ÓÛ Ø ØÝÔ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ó¹ Ø Ø Ò ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø º ÁÒ Ø ÙÖ Ø Ò Ð ϕ ÒÓØ Ý Ø Ø ÓÑ ØÖ Ó Ø θ ÒØ Ò Ø ÙÖÚ ØÙÖ ÓÖÑÙÐ Ý Ø Ø ÙÖÚ Ø ÐÐ Ò ÐÝ Ü Ø Ø ÕÙ Ð Ø Ø Ú ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ó¹ Ø Ø º Ì ÛÓÖ Û ÑÓØ Ú Ø Ý Ø ÔÓ Ð ØÝ Ó Ù Ò Ø Û Ðй Ò ÙÖÚ ¹ ØÙÖ ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ò ÓÒ Ù Ø ÔÓ ÒØ Ò ÓÔØ Ñ Ð ÜØÖ Ñ Ð ÓÖ Ý Ø Ñ Û Ø Ñ ÐÐ¹Ú ÐÙ Ó ε > 0 Ò Ý Ô Ò ØÓ Ø Ð Ñ Ø ØÓ ÓÒÐÙ Ö Ô Ø Ú ÔÖÓÔ¹ ÖØ Ó Ø Ð Ñ Ø Ò Ý Ø Ñ Û Ó ÓÒØÖÓÐ Ø Ö ÓÑÔ Ø ÒØ ÖÚ Ð º Ê ÐÝ Ò ÓÒ Ù Ø Ð ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ò ØÖÙØÙÖ Ð Ø Ð ØÝ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ò Ù Ø Ö ÓÖÓÙ ÐÝ ÙÒ Ö Ù Ø Ð ÝÔÓØ º º ÓÐ Ø Û Ø Ò Ø Ñ µº ÓÖ ¹ Ø Ð Ù ÓÒ Ó ÓÒ Ù Ø ÔÓ ÒØ ÓÖ Ò ¹ Ò ÜØÖ Ñ Ð ÓÖ Ý Ø Ñ Û Ó ÓÒØÖÓÐ Ø Ð Ò ¹ Ñ ÒØ ÓÖ ÑÓÖ Ò Ö ÐÐÝ Ù Ë ØØÐ Ö ½ ¼ Ò ËÙ Ñ ÒÒ ½ µº Ú ÒØÐÝ Û Ø ÓÙØ ÙÖØ Ö Ø Ò Ð ÝÔÓØ ÓÒ ÒÒÓØ ÓÒÐÙ Ø Ø Ø Ü Ø Ò ÓÖ ÒÓÒ¹ Ü Ø Ò Ó ÓÒ Ù Ø ÔÓ ÒØ ÔÖ ÖÚ Ý

ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ð Ö¹ ÒÔÙØ ÔÐ Ò Ö Ý Ø Ñ ÙÖ ½º Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ò Ð ϕ ÓÖ ½¾µ Û Ø m = 2 ε = 0.2 T = 3.5º Ø Ð Ñ Ø ε 0º ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ Ô Ý Ø Ñ Ó ÒØ Ö Ø Ù ÓÒÐÙ ÓÒ Ñ Ý Û ÖÖ ÒØ º ÁÒ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö ÛÓÖ Ø Ñ Ò Ø ÖÙ Ø ÒÓØ Ø Ò Ö Ð ØÖ Ø Ø ÓÖ Ñ ÙØ ØÓ ØÙ ÐÐÝ Ø Ø Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ð ØÝ Ó Ø Ô¹ ÔÖÓ Ý Ò ÐÝÞ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ô Ý Ø Ñ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø Û ÐйÙÒ Ö ØÓÓ ÓÒ Ð Ø ÓÚ Ò ÜÔÐÓÖ Û Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÜØÖ Ø ÖÓÑ Ø º ÁÒ ÓÑ Ò Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ Ò Ø Ú ÓÒ Ø Þ Ó Ø Ò Ù Ò ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ø ÓÖÑ Ý Ø Ñ Ö Ü ÐÐ ÜÔ Ø Ø ÓÒ º Ì Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ØÓ ÓÒÐÙ Ø Ø ÓÖ ØÝÔ Ð Ý Ø Ñ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ó Ó ÓÖÑ ½¾µ ÓÖ ½ µ Û Ø ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ò µ Ø ÔÔÖÓ Ú ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ Ø ÒÓØ ÔÖ Ø Ð ÓÑÔ Ö ØÓ Ö Ø Ò ÐÝ Ó Ø Ð Ñ Ø Ò Ý Ø Ñº Ì Ó ÓÙÖ Ó ÒÓØ ÖÙÐ ÓÙØ ÓÒÐÙ ÓÒ ÓÙØ Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ð Ñ Ø Ò Ý Ø Ñ Ó Ø Ò ÖÓÑ Ò Ö Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÓÖÑ Ý Ø Ñ º ÆÓÒ Ø Ð Ø ÙÖÚ ØÙÖ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ö Ð Û Ø Ø Ù Ó Óѹ ÔÙØ Ö Ð Ö Ý Ø Ñ Ò ÖÓÑ Ù Ò Ø ØÓ Ú Ù Ð Þ Ø ÒØ ÖÔÐ Ý Ó ÙÖÚ ØÙÖ ÜØÖ Ñ Ð ØÖ ØÓÖ Ò Ó Ô Ö Ö Ò Ã Û ¾¼¼ µ Ø Ð Ó Û Ö Ø ÓÖ ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÖÓØ Ø ÓÒ Ó Ø Ú ÖØ Ð Ð ÐÓÒ ÜØÖ Ñ Ð ØÖ ØÓÖ ÓÑÔ Ö º ¾º Ù ØÓ Ò Ö ÒØ Ð Ñ Ø ¹ Ø ÓÒ Ó Ø Ö ¹ÓÔÝ Ô Ð Ù ÖØ Ð Û Û ÐÐ Ò Ø ÕÙ Ð ÓÒÐÝ ÙÑÑ Ö Þ Ø Ò Ø Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ Û Ù Ø Ø Ö ÙÐØ Ò Þ Ó Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÙÖÚ ØÙÖ ÙØ Ð Ó Ø Ö ÜÔ Ø Ñ Ò Ð ØÝ Ù Ò ÓÑÔÙØ Ö Ð Ö µ Ò ÔÖÓÚ Ø Ðй Ñ Ø Ò ÖÓÑ Ø ÓÑÔÙØ Ò Ñ Ø ÓÒ º Ë ÑÔÐ Ó ÓØ Ø

¼ ź à ÏËÃÁ Ⱥ Å Ï ÄÄ 5 5 10 5 5 10 ÙÖ ¾º Ì ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ø ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ ÐÓÒ ÜØÖ Ñ Ð Ó Ý Ø Ñ ½¾µ Û Ø m = 2 ε = 1 p(0) = (0.94, 0.34) ÙÐÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ð Ú Ò Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖÙØÙÖ Ó ÜØÖ Ñ Ð ØÖ ØÓÖ Û ÐÐ Ñ Ú Ð Ð ÓÒÐ Ò Ø Ø Ö Ø ÙØ ÓÖ³ ÏÏϹ Ø º Ï Ò ÓÙÖ ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ò Ö Ð Ý Ø Ñ ½½µ Ò Ô Ð Þ Ð Ø Ö ØÓ Ø ÓÖÑ ÔÓÛ Ö ÒØ Ö ØÓÖ ½¾µ Ò Ø ÓÖÑ ÓÒØÖÓÐÐ ÖÑÓÒ Ó ÐÐ ØÓÖ ½ µº ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ò Ö Ð ÔÔÖÓ ÓÙØÐ Ò Ò Ë Ø ÓÒ ¾ Û ÓÖÑ Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ò ÓÑÔÙØ Ø Ñ Ü Ñ Þ Ò ÓÒØÖÓÐ º Ï ÙÔÔÖ Ô Ò Ò Ù f 1 (x 1, x 2 ) Ò ÑÔÐÝ ÛÖ Ø f 1 غ Û Ò Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ù ÓÒ Ù ÓÒº Ì ÓÒØÖÓÐ Ô Ò ÒØ À Ñ ÐØÓÒ Ò H u H u (x, p) = p 1 (u 1 + f 1 ) + p 2 (εu 2 + f 2 ). ½ µ ËÙ Ø ØÓ Ø ÓÒ ØÖ ÒØ u 2 1 +u2 2 = 1 Ø ÔÓ ÒØ (x, p) T R 2 Û Ø p 0 Ø ÓÒØÖÓÐ Ô Ò ÒØ À Ñ ÐØÓÒ Ò H u Ñ Ü Ñ Þ Ý Ø ÙÒ ÕÙ ÐÝ Ø ÖÑ Ò ÓÒØÖÓÐ Ú ÐÙ u 1 = p 1 p 2 1 + ε 2 p 2 2 Ò u 2 = εp 2. ½ µ p 2 1 + ε 2 p 2 2 ÍÔÓÒ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ó ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø (p 1, p 2 ) = (r cosϕ, r sin ϕ) Ò Ø Ö Ø Ñ Ü Ñ Þ À Ñ ÐØÓÒ Ò ÓÑ H (x, r cosϕ, r sin ϕ) = f 1 r cosϕ + f 2 r sin ϕ + r cos 2 ϕ + ε 2 sin 2 ϕ. ½ µ

ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ð Ö¹ ÒÔÙØ ÔÐ Ò Ö Ý Ø Ñ ½ ÆÓØ Ø Ø Ò Ø Ô Ð Ó ε = 1 ÒÓ ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÙ Ò Ø Ð Ò º º Ë ÖÖ ¾¼¼ µ Ø Ð Ø Ø ÖÑ ÓÒ Ø ÒØ ÕÙ Ð ØÓ ÓÒ Û ÑÙ ÑÔÐ ÐÐ Ù ÕÙ ÒØ ÐÙÐ Ø ÓÒ º ÁÒ Ø Ò Ö Ð Ó ε [0, 1] Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ú ØÓÖ Ð Ò ÔÓÐ Ö ÓÓÖ ¹ Ò Ø ) cosϕ h = (f 1 + cos2 ϕ + ε 2 sin 2 ϕ x 1 ( ) ε 2 sin ϕ + f 2 + cos2 ϕ + ε 2 sin 2 ϕ x 2 ( cos 2 ϕ f 1 + sin 2 ϕ f ( 2 f2 + cosϕsin ϕ + f )) 1 r x 1 x 2 x 1 x 2 r ( + sin 2 ϕ f 2 cos 2 ϕ f ( 1 f1 + cosϕsin ϕ f )) 2 x 1 x 2 x 1 x 2 ϕ. ÆÓØ Ø Ø Ø Ö ÓÑ Ö ÙÒ ÒÝ Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ú ØÓÖ Ð Ø Ò ÒØ ØÓ Ø Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ú Ð ÙÖ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ò ÓÒ ÓÙÐ ÜÔÖ Ø Ö Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ò Ð ϕº ÀÓÛ Ú Ö Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ø Ø Ö Ø Ö Ø ÓÒ ÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ø ÖÑ Ó ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Ö Ö T x R 2 º Ì ÓÖÑ Ø ÓÒÚ Ò ÒØ ÓÖ Ù ÕÙ ÒØ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÙ Ð Ä Ö Ø ÓÖ Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ù Ò ÓÑÔÙØ Ö Ð Ö Ý Ø Ñº ÆÓØ ØÓ ÓÒ Ù Û Ø Ø ÓÚ Ð Ó Ù Ø Ò Ð ϕ ØÓ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ú Ð Ø H 1 (1) Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Û Ø Ø Ö º Ç ÓÙÖ ØÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ö ÒØ Ñ Ò Ò Ó Ø ÝÑ ÓÐ ºµ ÌÓ ÚÓ ÔÓ Ð Ñ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÛÖ Ø Ø ÙÖÚ p(ϕ) = ( (ϕ) cosϕ, (ϕ) sin ϕ)º ÖÓÑ Ø ÕÙ Ø ÓÒ H(x, (ϕ) cosϕ, (ϕ) sin ϕ) 1 ÓÒ Ó Ø Ò Ø ÜÔÐ Ø ÓÖÑÙÐ (ϕ) = ϕ 1 f 1 cosϕ + f 2 sin ϕ + cos 2 ϕ + ε 2 sin 2 ϕ. ϕ ½ µ ÌÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ØÓ Ø Ø Ò Ù Ò ÙÐ Ö Ú Ö Ð θ ( ) 2 ÐÙÐ Ø Ø Ó ÒØ a 1 = dϕ dθ Ò Ø Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ú p (ϕ) = a 1 p(ϕ) + a 2 p (ϕ)º ÑÔÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ý Ð ) ( 2 a 1 = 2 1. ½ µ ÁÒ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ØÙ ÙÒ ÓÖÑ ε = 1 Ø ÕÙ Ö ÖÓÓØ Ú ÐÙ Ø ØÓ ÓÒ ÑÙ ÑÔÐ Ý Ò ÐÐ Ù ÕÙ ÒØ ÛÓÖ Ò ÖÓÑ = 2(f 1 sin ϕ f 2 cosϕ) ½ µ = 2 (f 1 sin ϕ f 2 cosϕ) + 2(f 1 cosϕ + f 2 sin ϕ) ¾¼µ

¾ ź à ÏËÃÁ Ⱥ Å Ï ÄÄ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÑÔÐ Ø ÓÒ Ý Ð a 1 = º À Ò Ò Ø ÙÒ ÓÖÑ ε = 1 ÖÓÑ Ø ÓÒ Ø ÓÒ a 1 ( dθ dϕ) 2 = 1 Ø Ö Ú ÖØ Ð Ú ØÓÖ Ð v = θ = 1 1 + f1 cosϕ + f 2 sin ϕ ϕ. ¾½µ ÁÒ Ø Ò Ö Ð Û Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ 0 < ε < 1 Ò ÐÓ ÓÙ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ö Ö ÐÝ Ô Ö ÓÖÑ Ù Ò ÓÑÔÙØ Ö Ð Ö Ý Ø Ñ Ò Ø Ø Ð Ó Ø ÒØ ÖÑ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ó Ð ØØÐ ÒØ Ö Ø Ý Ø Ñ ÐÚ º Ø Ö ÑÔÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ó Ø Ò θ = ε 3 ( + f 1 cosϕ + f 2 sin ϕ) ϕ ¾¾µ Û Ö = cos 2 ϕ + ε 2 sin 2 ϕº Ì Ò ÜØ Ø Ô Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÙÖÚ ØÙÖ κ ÖÓÑ ÓÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø ÓÙ Ð Ö Ø ÒØ ØÝ [ h, [ h, v]] = κv. ¾ µ ÁÒ Ø ÙÒ ÓÖÑ ε = 1 Ø ÙÑ Ö ÓÑ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ý Ò ÙØ ÕÙ Ø ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ù Ò Ö ÒØ Ú Ö ÓÒ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ð Ö Ý Ø Ñº Ï ÒÓØ Ø Ø Ù Ø Û Ý Ö Ó Å ÈÄ Ö Ð ÓÙÐ ÒÓØ ÑÔÐ Ý Ø Ö ÙÐØ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÜÔÖ ÓÒ Ò Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ f 1 f 2 Ø Ö Ö Ø ØÛÓ Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø ÖÑ ÒÚÓÐÚ Ò cosjϕ Ò sinjϕ Û Ø j Ø Ò Ú ÐÙ ÖÓÑ 0 ØÓ 4º Æ Û Ö Ö Ð Ö ÐÝ Ò Ô ÐÐÝ ÓÒ ÑÔÖÓÚ Ö Ò Ö ØÓÓÐ Ö Ù Ø ÕÙÓØ ÒØ Ó ÓÖ Ò ÐÐÝ ¾ Ø ÖÑ Ò ¾ Ø ÖÑ Ò ÒÙÑ Ö ØÓÖ Ò ÒÓÑ Ò ØÓÖ Ö Ô Ø Ú ÐÝ ØÓ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÜÔÖ ÓÒ Ø Ø Û Ú Ò Ý Ë ÖÖ ¾¼¼ µº ÓÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ý Ø Ñ Ù Ø ÙÒ ÓÖÑ Ý Ø Ñ ½¾µ Ò ½ µ Ò Ø Ó ε = 1 Ø Ö Ù ÑÙ ÙÖØ Ö ØÓ ÜÔÖ ÓÒ Ø Ø Ö Ñ Ò Ð ØÓ Ø Ð Ò ÐÝ º ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ Ø Ò Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö¹ Ô Ò ÒØ Ó 0 < ε < 1 Ú Ò Ø Ò Û Ø Ö Ð ½¾ Ó Å ÈÄ Ó ÒÓØ Ý Ð ÑÔÐ Ø ÓÒ Ø Ø ÔÖÓÚ ÑÙ ØÖÙØÙÖ Ð Ò Ø ÒÓÖ Ö Ù Ø Ð ÓÖ Ö ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ö º ÆÓÒ Ø Ð Ø Ü¹ ÔÖ ÓÒ Ö Ø ÐÐ Ù ÙÐ ÓÖ ÕÙ Ð Ø Ø Ú ØÙ Ò ÓÖ ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó º º Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ ÖÓØ Ø ÓÒµ Ó Ø ¹ Ö Ñ ÓÒ Ø ÙÖ H 1 (1) º º Ò Ø Ø Ñ ¹ Ú ÖÝ Ò ÓÒ ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ½¼µº ÓÑÔ Ö º ½ ÓÖ ÐÓ ÐÝ Ö Ð Ø ÔÐÓØ Ó Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò Ð Ó Ø Ó¹ Ø Ø ÓÖ Ý Ø Ñ ½¾µ Û Ø m = 2 Ù ØÓ Ø ÙÖÚ ØÙÖ º Ì ÔÐÓØ Ó Ø Ô Ð Ú Ö Ð θ ÐÓÒ ÜØÖ Ñ Ð Ö ÕÙ Ð Ø Ø Ú ÐÝ Ñ Ð Ö ÓÑÔ Ö º ¾º Ï ÒÓÛ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ô Ý Ø Ñ Ò ÔÖ ÒØ Ð Ø ÓÖÑÙÐ Ò Ö Ô Ð Ö ÙÐØ Ó ÓÑ ÑÙÐ Ø ÓÒ º Ö Ø ÓÒ Ö ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒÓÒ¹ ØÖÓÐÐ Ð ÕÙ Ö Ø ÔÐ Ò Ö Ý Ø Ñ Σ ε : { ẋ1 = u 1 ẋ 2 = x 2 1 + εu 2. ¾ µ

ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ð Ö¹ ÒÔÙØ ÔÐ Ò Ö Ý Ø Ñ ØÓ ÁÒ Ø Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ò Ø Ò Ù Ú ÖØ Ð Ú ØÓÖ Ð Ö Ù h = cosϕ cosϕ2 + ε 2 sin 2 ϕ + ( x 2 1 + ε x 1 ε sinϕ cosϕ2 + ε 2 sin 2 ϕ ) x 2 ¾ µ Ò θ = x 1 r sin 2ϕ r x 1 (1 cos2ϕ) ϕ ε 3 ( + x 2 sinϕ) ϕ Û Ö = cos 2 ϕ + ε 2 sin 2 ϕ. ¾ µ ÓÖ Ø Ø Ö Ø Ä Ö Ø Ò ÓÖ Ø ÙÖÚ ØÙÖ κ Û Ú ÒÓØ Ò Ð ØÓ Ú Ò ÒØ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ñ Ò ÐÐÝ ÓÒÐÝ Ñ Ò Ð ØÓ ÒÙÑ Ö Ð ØÙ Ú ÖÝ ÙÒÐ Ø Ó ε = 1 Û ÐÐÓÛ Ò ÐÝØ ÔÔÖÓ ÖÙÐ Ò ÓÙØ Ø Ü Ø Ò Ó ÓÒ Ù Ø ÔÓ ÒØ ÓÖ Ò Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø Ø Ñ Ó Ø Ö Ø ÓÒ Ù Ø ÔÓ Òغ ÁÒ Ø Ø Ô Ð Ó ÒÓ ÓÖÑ Ø ÓÒ ε = 1 Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ú Ò Ý Ø ÑÔÐ ÓÖÑÙÐ κ = 9 4 sin(ϕ) 1 4 sin(3ϕ) x2 1( 21 8 3 cos(2ϕ)+ 3 8 cos(4ϕ)). ¾ µ º ¾ ÔÖÓÚ ØÝÔ Ð Ô ØÙÖ ÓÖ Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ø ÒØ Ö Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ ÐÓÒ Ò ÜØÖ Ñ Ð ÓÛ Ò Ø Ø Ñ Û Ò Ø Ñ B tc Π 0 Ó Ø Ø Ò Ù Ú ÖØ Ð Ù Ô Π 0 = T p0 (Tx 0 R 2 ) ÖÓØ Ø Ý π Ý Ð Ò ÒÓÒØÖ Ú Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ù ÓÒ Ù Ø ÔÓ Òغ ÆÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ø ε 0 ÜÔ Ø Ø Ô Ó κ(t) ÓÑ Ò ÖÖÓÛ Ö Ò ÖÔ Ö Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÝ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú ÓÒÚ Ö Ò ÔÓ ÒØÛ ØÓ Ô Û ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ ÓÑÔ Ö Ö Ú Ò Ë ÓÚ ¾¼¼ µº Ì ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÝÔ Ð ÔÓÖØÖ Ø Ó Ñ Ð Ó ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó ÜØÖ Ñ Ð ÒØÓ Ø Ø Ø ¹ Ô Ò Ø Ó Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ò º Ò º ÓÖ Ñ ÐÐ Ò Ð Ø Ñ T Ò ε 1 Ø Ö Ð Ø Ö ÐÑÓ Ø Ô Ö Ø Ô Ö º Ø Ñ T ÒÖ ÓÖ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö ε Ö Ø Ö Ð Ø Ò ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÜØÖ Ñ Ð ÔÔÖÓ Ø Ñ Ð Ö Ñ Ó Ø Ö Ð Ø Ó Ý Ø Ñ ¾ µ Ø Ø Ö Ø Ö Þ Ý ÕÙ Ò Ó ÓÐ ¹ÓÚ Ö Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ Ö Ò Ó ÓÒ Ù Ø ÔÓ ÒØ ÝÓÒ Û Ø ÜØÖ Ñ Ð Ö ÒÓ ÐÓÒ Ö ÓÔØ Ñ Ð ÓÑÔ Ö À ÖÑ ½ µº º ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ø Ó Ø Ö Ø ÓÖ Ð Ö Ö Ø Ñ Û Ö Ø Ýѹ Ñ ØÖÝ Ó Ø Ô Ö Ø Ô Ö Ó Ø Ö ØÐ º º ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ñ Ö Ò Ó Ø Ö Ø ÓÐ ¹ÓÚ Ö º ÆÓØ Ø Ø Ý Ø Ñ Ó ÓÖÑ ½¾µ ÔÓ ÝÑÑ ØÖ Ò Ø ÓÖÑ Ó ÓÑÓ Ò ¹ ØÝ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ñ Ð Ó Ð Ø ÓÒ º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ø Ö Ð Ø Ö Ø Ø ÝÑÑ ØÖÝ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º ÅÓÖ Ô ÐÐÝ ÓÒ Ñ Ý Ü Ø Ñ T Ò Ú ÖÝ ÓÒÐÝ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö ε ÓÖ Ú Ú Ö º Ü ÔØ ÓÖ Ø Ð Ñ Ø Ò Ó ε = 0 Ò Ö Ð Ò Ó Ø Ø Ø ¹ Ô Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ð Ø Ò Ñ Ð Ó ÜØÖ Ñ Ð Û ÐÐ Ü Ø Ø Ñ

ź à ÏËÃÁ Ⱥ Å Ï ÄÄ 2 2 2 2 ÙÖ º Ê Ð Ø Ø T = 2 Ó Ý Ø Ñ ½¾µ Û Ø m = 2 ε = 1 ÙÖ º Ê Ð Ø Ø T = 2 Ó Ý Ø Ñ ½¾µ Û Ø m = 2 ε = 0.2 ÕÙ Ð Ø Ø Ú ÔÖÓÔ ÖØ º Ì Ó Ó Ô Ö (T, ε) Ù Ò º ½ Ø Ù Ñ ÒÐÝ Ù Ý Ø Ø Ö ÓÒ Û Ø Ñ Ò ÓÙ ÓÒ Ò Ô Ø Ö Ø Ó Ø Ø Ù Ø Ð ÓÖ Ó ÖÚ Ò Ø ØÖÙØÙÖ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ù ÓÐ Ò ÓÒ Ù Ø ÔÓ ÒØ º

ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ð Ö¹ ÒÔÙØ ÔÐ Ò Ö Ý Ø Ñ ËÔ ÐÐÝ Ò Ø Ó ÜÔÓÒ ÒØ m = 2 Ò Ý Ø Ñ ½¾µ Ò Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ð Ó Ð Ø ÓÒ δ (x 1, x 2 ) = (δx 1, δ 2 x 2 ), Ò ¾ µ (u 1, u 2 ) δ,ε (t) = (δu 1 (δt), εδu 2 (δt)). ¾ µ ÇÒ ÐÝ Ú Ö Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÖ ØÓÖ x ε ( ; u) Ó Ý Ø Ñ Σ ε Ò ¾ µ Ø Ý x 1 (δt; u δ,ε ) = δ (x ε (T; u)). ¼µ ÙÖ º Ê Ð Ø Ø T = 5 2π Ó Ý Ø Ñ ½ µ Û Ø ε = 0.5 ÓÖ Ø ÓÖÑ ÓÒØÖÓÐÐ ÖÑÓÒ Ó ÐÐ ØÓÖ ½ µ Ø Ö Ö ÒÓ ÓÒ Ù Ø ÔÓ ÒØ ÓÖ ÒÝ Ú ÐÙ Ó ε (0, 1]º ÓÖ ε = 1 ÐÐ ÜØÖ Ñ Ð Ö Ñ Ò ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ô Û Ø Ó¹ Ø Ø ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÖÓØ Ø Ò ÖÓÙÒ Ø ÖÐ º ÓÖ ε = 0 ÓÒ Ø Ñ Ð Ö Ô ØÙÖ Ó Û Ø Ò ÙÖ Ñ ÙÔ Ó Ñ Ð Ó Ñ ¹ ÖÐ º ÓÖ Ú ÐÙ Ó 0 < ε < 1 ÓÒ Ò Ò ÐÝ Ó ÖÚ Ø Ñ Ö Ò Ó ÞÓÒ Ó ÑÓÖ Ò ÐÝ Ô ÜØÖ Ñ Ð Û ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Û Ðй ÒÓÛÒ Û Ø Ò ÙÖÚ ε 0 ÓÑÔ Ö º º º ËÙÑÑ ÖÝ Ò ÓÒÐÙ ÓÒ Ï Ò Ø Ø Ø ØÙ Ý Ó ÓÛ Ø Ø ÓÖÝ Ó ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ Û Û ÓÖ Ò ÐÐÝ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÖ ÓÒØÖÓÐ Ø Ø Ø Ö Ô Ö Ñ Ý Ù ØÓ Ò Ò Ø ÒØÓ Ø ØÖÙØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ Ò Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò

ź à ÏËÃÁ Ⱥ Å Ï ÄÄ ÓÖ ÔÖ Ò Ó ÓÒ Ù Ø ÔÓ ÒØ ÓÖ Ý Ø Ñ Û Ó ÓÒØÖÓÐ Ø Ú ÐÙ Ò Ò ÒØ ÖÚ Ðº Ì ÔÔÖÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ Ø Ó Ó ØØ Ò Ò Ø Ð Ò Ñ ÒØ Ó Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ ÓÖÑ Ò Ø ÒØÓ Ñ ÐÝ Ó ÐÐ Ô º Ï Ð Ø Þ Ó Ø ÓÖÑÙÐ Ó Ø Ò Û ÝÓÒ ÒÝ ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ò Ó Ö ÔÖ ÐÙ Ò ÐÝØ ÒÚ Ø Ø ÓÒ Ò Ø Ò Ö Ð Ø ÓÖÑÙÐ ÒÓÒ Ø Ð Ö Ù Ø Ð ÓÖ ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ð Ø Ø Ú ØÙ Ø Ø ÓÒ ÖÑ ÜÔ Ø Ø ÓÒ º ÒÓÛÐ Ñ ÒØ Ì ÙØ ÓÖ ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ø Ò Ø ÒÓÒÝÑÓÙ Ö Ö ÓÖ Ø Ö Ñ Ø ÙÐÓÙ Ö Ò Ó ÐÐ Ø Ð Ò Ø Ö Ú ÐÙ Ð Ù Ø ÓÒ ØÓ ÑÔÖÓÚ Ø ÖØ Ð º Ì Ý Ø Ò Ø Æ Ø ÓÒ Ð Ë Ò ÓÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ô ÖØ ÐÐÝ ÙÔÔÓÖØ Ò Ø ÛÓÖ Ø ÖÓÙ Ø Ö ÒØ ÅË ¼ ¹¼ ¼ ¼º Ê Ö Ò Ö Ú º Ø Ö ÓÚ Æº Ò Ð Ò Ó Áº ¾¼¼ µ ÇÒ ÙÖÚ ØÙ¹ Ö Ò Ó Ð ÔÓ ÒØ Ó ÝÒ Ñ Ð Ä Ö Ò Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø Ö Ö Ù¹ Ø ÓÒ Ý Ö Ø ÒØ Ö Ð º º ÝÒ Ñ Ð Ò ÓÒØÖÓÐ ËÝ Ø Ñ ½½ ¾ ¾ º Ö Ú º Ò Ë ÓÚ Ùº ¾¼¼ µ ÓÒØÖÓÐ Ì ÓÖÝ ÖÓÑ Ø ÓÑ Ø¹ Ö Î ÛÔÓ Òغ ËÔÖ Ò Ö ÖÐ Òº Ö Ú º Ò Ë Ö ÓÚ Æº ¾¼¼ µ ÀÝÔ Ö ÓÐ ØÝ Ó À Ñ ÐØÓÒ Ò Ý Ø Ñ Ó Ò Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ º Ó Ðº º Æ Ù ¼¼ ¾ ¾ º Ò Ò Êº Ò Ã Û Åº ¾¼¼ µ Æ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ø Ø ÒÒÓØ Ùѹ Ñ º ËÁ Šº ÓÒØÖÓÐ ÇÔØ Ñº ¾ ¾½ ¾ º ØÓÙÖ º Ò Ë ÐÓØØ Åº ¾¼¼ µ ÇÒ Ø ÓÒØÖÓÐÐ Ð ØÝ Ó Ø Ù Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÙÖ º º ÓѺ Ò Ðº ½ ¹ º Ö º Ò Ã Û Åº ¾¼¼ µ Î Ù Ð Þ Ò Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒ¹ ØÖÓк ØØÔ»» Ñ Ø º Ùº Ù» Û» Å ÌÄ» ÓÒØÖÓл ÙÖÚ ØÙÖ º ØÑÐ º À ÖÑ Àº ½ µ ØØ Ò Ð Ø Ò Ò Ö Ð Þ º Ó Ô Ö º º º Õ º ¾ ¾ ¼º Ë ØØÐ Ö Àº ½ ¼µ Ê ÙÐ Ö ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÓÔØ Ñ Ð ØÖ ØÓÖ Ê ÒØÐÝ Ú ÐÓÔ Ø Ò ÕÙ º ÅÓÒÓ Öº Ì ÜØ ÓÓ ÈÙÖ ÔÔк Å Ø º ½ ½ ½ Ë ÖÖ Íº ¾¼¼ µ Ì ÙÖÚ ØÙÖ Ó ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ Ý Ø Ñ Ò ÖÑ ÐÓ³ Ò Ú Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº º Å Ø º Ë Ò ½ ¾¾ ¾ º Ë ÐÓØØ Åº Ò ØÓÙÖ º ¾¼¼ µ Ù Ò ³ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÙÖ º ÁÁº ÆÓÒÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ º ËÁ Šº ÓÒØÖÓÐ ÇÔØ Ñº ¹ ¾º ËÙ Ñ ÒÒ Àº ½ µ ÒÚ ÐÓÔ ÓÒ Ù Ø ÔÓ ÒØ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò ¹ Ò Ü¹ ØÖ Ñ Ð º Å Ø º ÔÔк ¾ ¾ º ËÙ Ñ ÒÒ Àº ½ µ ÒÚ ÐÓÔ ¹ÓÖ Ö ÓÔØ Ñ Ð ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ä Ö Ø º ÈÖÓº 28 th Á ÓÒ º ÓÒ ÓÒØÖÓÐ ½½¼ ½½½¾º

ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ð Ö¹ ÒÔÙØ ÔÐ Ò Ö Ý Ø Ñ ËÙ Ñ ÒÒ Àº ¾¼¼¾µ À ¹ÓÖ Ö ÓÔ Ò Ñ ÔÔ Ò Ø ÓÖ Ñ º Ä Øº ÆÓØ ÓÒ¹ ØÖÓÐ ÁÒ ÓÖѺ Ë º ¾ ¾ ½ º ËÙ Ñ ÒÒ Àº ¾¼¼ µ Ò Ö Ð Þ Ö ÒØ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ö ØÓÖ Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÔÖ Ò ÔÐ Û Ø Ø Ø ÓÒ ØÖ ÒØ º Ä Øº ÆÓØ Å Ø º ½ ¾ ¾¾½ ¾ º