Ñ Ø ÓÖÝ ÓÙ ÙÔÓÒ ØÙ Ø ÓÒ Ò Û ÓÙØÓÑ Ö ÒÓÛÒº Ð Ð ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ö Ø Ñ ÙÒÖ ÓÒ Ð ÙÑÔØ ÓÒ ÓÙØ ÓÑÑÓÒ Ï Ò º À Ö ÒÝ ½» µº Ð Ó Ñ Ø ÓÖÝ Ñ ÙÒÖ ÓÒ Ð ÒÓÛÐ ÓÙØ ÙÑ Ò ÓÒ¹Ñ

Ý Ò ÓÖ Ð Ñ Ú Ò Ù ÍÒ Ö ØÝ ½

Ñ Ø ÓÖÝ ÓÙ ÙÔÓÒ ØÙ Ø ÓÒ Ò Û ÓÙØÓÑ Ö ÒÓÛÒº Ð Ð ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ö Ø Ñ ÙÒÖ ÓÒ Ð ÙÑÔØ ÓÒ ÓÙØ ÓÑÑÓÒ Ï Ò º À Ö ÒÝ ½» µº Ð Ó Ñ Ø ÓÖÝ Ñ ÙÒÖ ÓÒ Ð ÒÓÛÐ ÓÙØ ÙÑ Ò ÓÒ¹Ñ Ò Ñ Ö Ö ¾¼¼ µº ÙÑÔØ ÓÒ Ö Ò ÐÝ ÓÙ ÙÔÓÒ ØÙ Ø ÓÒ Ò Û Ø Þ Ö Ö Ø Ð Ð Ì ÔÔÖÓÔÖ Ø ÓÖ ÒØ Ò Ð Ò ÙÖ Ò ÙØ Ø Ó ÒÓØ ÔÔÐÝ Ö Ò ÓѺ ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ö Ð Ö ÙÐ Ø ÓÒ Ò ÓÙÒØ ÖØ ÖÖÓÖ Ñ ÐÐ ÒØ Ð ÓÖÔÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÙÒ ÖØ Ò ÓÙØÓÑ Ò Ô ÖØ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø Ñ ¹Ø ÓÖ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÔÔÓÒ ÒØ º Ì Ø Ð Ö Ý Ò ÔÔÖÓ ØÓ Ó Ð Ö Ò ÐÝ º ÁØ ÜØ Ò Ø ÓÒ Ò ÐÝ Ó Ã Ò Ò Ä Ö Ý Ú Ö Ö Ð ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Û Ò Þ Ö Ö ÙÐØ ÖÓÑ Ø Ø ÓÒ Ó Ò ÒØ ÐÐ ÒØ Ú Ö Öݺ ½ ¾µ Ò Ê ½ ¾µ Ø ÖÓÙ Ø Ù Ó Ñ ÖÖÓÖ Ò Ö ÙÑ Òغ ¾

Ò Ø Ó ÓÐÐÓÛ Ò ÅÝ Ö ÓÒ Ò ÙÐØ Ò ØÓ Ñ Ø ÓÖÝ Û Ù Ø ÀÓÛ Ú Ö Ñ Ø Ó º ÁØ Ñ Ý Ú Û Ý Ò Ú Ö ÓÒ Ó Ä Ú Ð¹k Ø Ò Ò ËØ Ð Ñ ÖÖÓÖ Ò ÅÝ Ö ÓÒ ½ ½ Ôº ½½ µ ÔÓ ÒØ ÙÔ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÖÐÝ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÙÐØÝ Ñ Ý Ñ Ø ÓÒ¹ Ò ÐÝØ ÔÔÖÓ ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÛ Ú Öº ÌÓ Ù Ø Ú ÑÔÓ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Ø ÓØ Ö ÔÐ Ý Ö ³ ØÖ Ø ÔÐ Ý Ö i ÔÖÓ Ð ØÝ Ð Ø Ø ÓÙÐ ØÖÝ ØÓ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ØÙ Ø ÓÒ º Ñ Ý Ó Ó Ñ Ý Ö Ð Þ Ø Ø Ø ÓØ Ö ÔÐ Ý Ö ÒÒÓØ Ï Ò Ø Ö ÓÔØ Ñ Ð ØÖ Ø ÙÒØ Ð Ø Ý Ú Ø Ö Ø ÖÑ Ò ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÚ Ö i³ ÔÓ Ð ØÖ Ø º Ù Ø Ú ÔÐ Ý Ö i Ñ Ý Ö Ð Þ Ø Ø ÒÒÓØ ÔÖ Ø ÓÔÔÓÒ ÒØ ³ Ì Ù ÙÒØ Ð ÙÒ Ö Ø Ò Û Ø Ò ÒØ ÐÐ ÒØ Ô Ö ÓÒ ÛÓÙÐ Ú ÓÖ ÜÔ Ø Ñ ØÓ Ó Û Ó ÓÙÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÐÐÝ Ø ÖØ Û Ø º Ì ÙÐØÝ ÛÓÙÐ ÓÖ i ØÓ Ò ÓÒ Ø Ò ÐÝØ ÔÔÖÓ Ò Ò Ø ÙÒ ÖØ Ñ ¹Ø ÓÖ Ø ÓÒ Ò Û ØÖ ØÓ ÓÐÚ ÐÐ ÔÐ Ý Ö ³ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔÖÓ ÑÙÐØ Ò ÓÙ Ðݺ Ò Ï Ð ÓÒ ½ µº

Û Ø ÓÓ Û ÐÐ ÒÓØ ÓÐ º ÔÓÐÐÓ Ó ÒÓØ ÒÓÛ v Ò ÜÔÖ ÐÓÛ Ù Ø Ú Ý Ò ØÖ ÙØ ÓÒ F(v)º ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ó a (a a)áè[a > V ]º Ì Ù ÔÓÐÐÓ ÓÙÐ Ñ Ü Ñ Þ ÜÔ Ø ÖÓÑ Ý Ò ÙØ Ð ØÝ ¾º ÙØ ÓÒ ÔÓÐÐÓ Ò ÓÖ Ö Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ì ÓÖÝ Ó Ñ Ò ÓÒÓÑ ËÙÔÔÓ À Ø ÓÒÐÝ Ö ÙØ Ø ÓÛÒ Ö Ø Ö Ø Ö ÖÚ Ø ÓÒ ÔÖ v Ú ÓÖº ÙØ Ð ØÝ Ð Ò Ö Ò ÑÓÒ Ý Ò Ô Ö ÓÒ Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÓ ÔÓÐÐÓ³ ÙÒØ ÓÒ a ÑÓÒ Ý Ò Ò Ø ÐÝ Ú Ð Ó Ø A = + ÁÊ º Ó ÜÔ Ø ÙØ Ð ØÝ Á º a 0 = Ö Ñ Ü a ÁÊ +(a a)f(a). Ì Ø Ø Ò Ö ÔÔÖÓ Ò Ý Ò ÙØ ÓÒ Ø ÓÖÝ º Ê ¾¼¼¾µº

ÙÔÔÓ Ø Ø ÔÓÐÐÓ Ò Ô Ò Ö Ò Ò Ø ÓØ Ö ØÓ ÓÛÒ Ø Ö Ø ÆÓÛ ÔÓÐÐÓ Ò ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ñ ¹Ø ÓÖ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ Ò Ù Ø Ú Ø ÓÒº F ÓÚ Ö Ô Ò ³ D ØÖ ÙØ ÓÒ 0 Ì Ò ÔÓÐÐÓ Ò Ñ Ü Ñ Þ ÜÔ Ø ÙØ Ð ØÝ º Ò a Ý 0 Ö Ñ Ü = +(a a ÁÊ a)f(a)º ÓÖ Ö ØÓ Ò F ÔÓÐÐÓ Ù Ø Ø Ø Ø Ô Ò ÑÙ Ø Ñ Ø ÝÑÑ ØÖ ÁÒ Ì Ø Ñ ÖÖÓÖ Ò Ö ÙÑ Òغ ÐÙÐ Ø ÓÒº ÙÔÔÓ Ô Ò Ú ÐÙ Ø ÓÓ Ø d Ò ØÖ ÙØ ÓÒ G ÓÒ ÔÓÐÐÓ³ ËÔ ÐÐÝ a 0 Ì Ò Ô Ò ÛÓÙÐ ÓÐÚ d º 0 Ö Ñ Ü = +(d d ÁÊ d)g(d) Ò ÝÑÑ ØÖ ÐÐÝ ÔÓÐÐÓ ÒÒÓØ ÙÔÐ Ø Ô Ò ³ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ò Ó ÒÓØ ÒÓÛ Ö Ú ÐÙ ÙØ Ø ÓÓ ÒÓÖ Ø Ú ÐÙ Ø Ò ÔÓÐÐÓ ÔÙØ ÓÒ Ø ÓÓ ÒÓÖ Ø Ú ÐÙ ÓÖ ÔÓÐÐÓ Ð Ú Ö Ú ÐÙ ÓÖ Ø ÓÓ º Ý Ò ÔÓÐÐÓ ÑÙ Ø ÜÔÖ Ø Ò ÙÒ ÖØ ÒØÝ ÓÒ ÐÐ Ø Ö ÕÙ ÒØ Ø Ø ÖÓÙ ØÖ ÙØ ÓÒ º ØÓ Ó Ø Ò G(d) Ô Ò ÛÓÙÐ Ò ØÓ Ñ ÖÖÓÖ ÔÓÐÐÓ³ ÐÙÐ Ø ÓÒº

ÔÖÓ Ð Ø Ö ÐÐ ÐÓÒ ØÓ ÔÓÐÐÓ ÑÔÙØ Ø Ð Ø Ø Ô Ò ÓÐ º Ì Ñ Ø Ò Ñ Ò Ò Ó Ñ Ü Ñ Þ Ò Òº Á ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÑ ÓÑÔÐ Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ý ÐÔ ÙÐ Ì a ÔÓÐÐÓ³ Ú ÐÙ ÓÖ Ø ÓÓ D Ô Ò ³ Ú ÐÙ ÓÖ Ø ÓÓ Ò Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ØÓ ÔÓÐÐÓ Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ H Ø D A Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ø Ø ÔÓÐÐÓ Ø Ò Ô Ò Ù ØÓ Ö ÔÖ ÒØ ÔÓÐÐÓ³ Ú ÐÙ ÓÖ Ø ÓÓ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ H A F ÔÓÐÐÓ³ Ð ÓÙØ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ô Ò ³ º D 0 Ô Ò ³ G ÔÓÐÐÓ³ Ò Ö Ò ÓÙØ Ô Ò ³ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ ÔÓÐÐÓ³ º A 0 ÔÓÐÐÓ³ ÖÓÑ Ô Ò ³ Ô Ö Ô Ø Ú º

Ø ÖÑ Ò a 0 ÔÓÐÐÓ Ò F Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ô Ò ³ º À ÒÓÛ ÌÓ Ô Ò ³ D Ø Ø 0 Ø Ý D ÓÙÐ 0 Ö Ñ Ü = +(D d ÁÊ Û Ö d)g(d) D Ú ÐÙ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ØÓ ÔÓÐÐÓµ ÓÖ Ø ÓÓ Ò G(d) ÔÓÐÐÓ³ Ô Ò ³ Ó Ô Ò ³ ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ó d Ü ÔÓÐÐÓ³ A Ø Ñ Ø 0 º ØÓ Ô Ò A Ò 0 Ö Ñ Ü = +(A d ÁÊ Û Ö a)f(a) A Ô Ò ³ Ð ÓÙØ Ú ÐÙ ÓÖ Ø ÓÓ Ò F(a) ÔÓÐÐÓ³ Ø Ñ Ø Ó Ô Ò ³ ÔÖÓ Ð ØÝ ÔÓÐÐÓ³ Ø Ø Ó a Ü Ö D 0 º Ì Ù D 0 F Ò A 0 Gº ÔÓÐÐÓ ÑÙ Ø Ò Ô Ö ÓÒ Ð Ð ÓÙØ F Ý ÓÐÚ Ò Ö Ñ Ü d ÁÊ +(D d)g(d) Ö Ñ Ü a ÁÊ +(A a)f(a) G. F Ì ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ D Ò A Ö H D Ò H A Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÇÒ ÔÓÐÐÓ F ÓÐÚ a 0 = Ö Ñ Ü a ÁÊ +(a a)f(a) ØÓ Ø ÖÑ Ò º

ÓÐÚ Ø Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ø Ú ÐÝ ÐØ ÖÒ Ø ØÛ Ò Ø ØÛÓ ÕÙ Ø ÓÒ ÌÓ ÓÒÚ Ö Ò ÙÒØ Ð ½º Ë Ð Ø F 0 Ò G 0 Ö ØÖ Ö Ðݺ Ë ÑÙÐ Ø Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÑÔÐ ÖÓÑ H A Ò ÓÐÚ Ø Ö Ñ Ü ÔÖÓ Ð Ñ ¾º G ÙÒ Ö i Ì ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ú F º i+1 º Ë ÑÙÐ Ø Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÑÔÐ ÖÓÑ H D Ò ÓÐÚ Ø Ö Ñ Ü ÔÖÓ Ð Ñ º F ÙÒ Ö i+1 Ì ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ú G º i+1 º ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ø Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÐÛ Ý ÓÒÚ Ö º ÙØ ÓÒ Û ÒØ ÁÒ Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ý Ù ØÓ ÓÛ Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ü ¹ÔÓ ÒØ ÓÖ Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð Ô ÖÓÙ ÐÝ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ò Ô ÒÒ ÓÔ Ö ØÓÖº Ø Ò Ò Ò Ø ÐÝ Ú Ð ÑÓÒ Ýµ Á Ø Ò Ø Ò ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ó Ö Ø Ö Á ÓÑ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÓÐ δ Ø º º F º i F i+1 < Ò δ G i G i+1 δµ Ø Ò ØÓÔº ÇØ ÖÛ Ö ØÙÖÒ ØÓ Ø Ô ¾º < Ù ¹Ë Ð Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ø ÓÒ º

ÓÐÐÓÛ Ò ÙÖ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ü ÔÓ ÒØ ÓÐÙØ ÓÒº ÆÓØ Ø Ø Ø ÔØ ÓÒ Ì Ø ÖÓÐ Ó ÔÓÐÐÓ Ò Ô Ò ºµ Ì Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ ÓÖ H Ö Ú Ö D H Ò A Û Ö Ø ÒØ ØÖ Ò ÙÐ Ö ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ [0, 100]º Ì Ð Ø Ô Ò Ð ÓÛ Ø Ø Ö Ø Ö Ø Ø Ö Ø Ô Ò Ð ÓÛ Ø Ø ÒØ Ø Ö Ø º

Ô Ò Ð ÓÛ Ø Ö ÙÐØ Ó Ð ÓÖ Ø Ñº Ì Ð Ø Ø ÜÔ Ø ÙØ Ð ØÝ Ô Ò Ì ÔÓÐÐÓ Ø Ò Û ÐÐ Ø ÖÓÑ Ú Ò º Ì Ö Ø ÓÛ Ø ÜÔ Ø Ð Ú Ú Ø Á Ñ ÒÓØ ÖØ Ò Ø Ø Ø ÙÖ Ö ÓÖÖ Øº ÙØ Ð ØÝ Ø Ø Ô Ò Û ÐÐ Ö Ú ÖÓÑ Ú Ò º ½¼

ÆÓØ Ì Ö Ñ ÛÓÖ ÐÐÓÛ ÔÓÐÐÓ ØÓ ÒÓÖÔÓÖ Ø Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ü ÑÔÐ ÙÔÔÓ ÔÓÐÐÓ ÐÓÒ ÒÓÛ Ø Ø Ø ÓÓ Û ÓÛÒ Ý Ë Ö ÊÓÒ Ð ÓÖ Û Ø ÒÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ò º ÁÒ Ø Ø Ô Ö ÓÒ Ð Ú ÐÙ a ÙØ Ö Ñ Ø ÒÓÛ Ø Ø Ô Ò ÒÓÛ Ø ÔÖÓÚ Ò Ò Ó Ø ÓÓ ÙØ Ø Ò Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ô Ò Ð Ú Ð Ðݵ Ø Ø ÔÓÐÐÓ Ó ÒÓغ ÁÒ Ø Ø H Ø Ø D Ú Û ÐÐ ÓÒ Ð Ö Ú ÐÙ ÙØ ÔÓÐÐÓ³ Ð ÓÙØ Û Ø Ô Ò Ø Ò Ú ÐÙ ÓÒ ÒØÖ Ø Ø ÓÓ H A Û ÐÐ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ñ ÐÐ Ú ÐÙ º ÓÖ Ø Ò Ø Ø Ô Ò Ø Ò Ø Ø ÔÓÐÐÓ Ø Ò Ø Ø Ô Ò Ø Ò Ø Ø...º ÔÓÐÐÓ ÓÖ ÙÑ Ò Ö ÓÒ Ò Ø ÔÖÓ ÐÝ ÕÙ Ø Ö ÓÒ Ð ØÓ ØÓÔ Ø Ø Ø Ö Ø Ô ÙØ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ H Û Ø A A Ö Ò Ø Ñ ÖÖÓÖ Ò Ò ÐÝ º ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ Ô Ò ³ Ú ÐÙ H D Û ÐÐ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ ÑÙ Ñ ÐÐ Ö Ú ÐÙ º ÁÒ ÔÖ Ò ÔÐ ÓÒ ÓÙÐ Ó ÒØÓ Ò Ò Ò Ø Ö Ö ½½

Ñ Ú Ö Ú ÓÒ Ö Ð ØØ ÒØ ÓÒ Ò Ø Ñ Ø ÓÖÝ Ð Ø Ö ØÙÖ º ÈÓ Ö ÕÙ ÛÓÖ Ý ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ Ò ÅÓÖ Ò Ø ÖÒ ½ µ Ò ÓÖ Ð ½ µ Ú ÐÓÔ ÖÐÝ ÙÒ Ö Ú Ö ÓÙ ÑÔÐ Ý Ò ÙÑÔØ ÓÒ º ÅÓÖ Ö ÒØÐÝ Ö Ù ÓÒ Ò ÓÐÙØ ÓÒ ¾¼¼ µ ÔÖÓÚ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÐÝ Ô ÖØ Ò ÒØ ØÓ ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ü Ñ Ù Ö Ù ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÑ Ø Ø ÖØ Ò Ä ÔÐ Ý Ñ Ò Û ÔÖ Ú Ø ÐÝ Ò ÁÒ Ö Û U[0, 1] Ö Ò ÓÑ ÒÙÑ Öº ÑÙ Ø ÒØ Ò ÑÓÙÒØ a = 1º Ò Ô Ò ÒØÐÝ ÖØ Ü Ñ Ò ÒÙÑ Ö X Ò Û Ø Ö ØÓ Ø b ÓÖ ÓÐ º Ì Ò Ä Ö Ø Ö Y Ò Û Ø Ö ØÓ Ø b ÓÖ ÓÐ º Á ÓØ ÔÐ Ý Ö Ø Ø Ý Ü Ñ Ò Ø Ö Ö Û ØÓ Ø ÖÑ Ò Û Ó Û Ò Ø ÔÓغ ÇØ ÖÛ Ø Ö Ø Ô Ö ÓÒ ØÓ ÓÑÔ Ö ÓÖ Ø ÓÖ Ö ÒØ º ÓÐ º Ä Ê Ð Ò ÈÖ Ñ Ø Ú Î Ö ÓÒ Ó ÈÓ Ö Ì Ü ÓÐ ³ Ѻ ½¾

ÑÙ Ø Ù Ñ ÖÖÓÖ Ò ØÓ Ò Ù Ø Ú ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ø ÖØ Ø Ú Ö Ö Ð Ò ÐÝ ÜÔ Ø Ä ØÓ Ô Ö ÓÖѺ ÓÒ V Ä Ø x Ø ÑÓÙÒØ ÖØ Û Ò º Ì Ø Ð ÓÛ Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð ØÙ Ø ÓÒ V x ÓÒ Ä ³ ÓÒ ÇÙØÓÑ Öس ¹½ ÓÐ ½ Ø ÓÐ ½ Ø Ø X > Y ¹ ½ µ Ø Ø X < Y Ø Ø Ð Ø ÜÔ Ø ÑÓÙÒØ ÛÓÒ Ý ÖØ Ú Ò Ö Û X = x ÖÓÑ Á [V x ] = ÖØ ÓÐ ÁÈ[ ] + ÖØ Ø Ò Ä ÓÐ ÁÈ[ ] +(1 + b)áè[ Ä Ø Ò ÐÓ ] (1 + b)áè[ Ä Ø Ò Û Ò ]. ½

Ø Ø ÖØ Ù ÐÙ Ò ÙÒØ ÓÒ g(x) Ú Ò x Ø Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ÙÑ Ì Ò g(x)º ÖØ ÑÙ Ø Ñ ÖÖÓÖ Ø Ø Ò Ò Ø Ø Ä Û ÐÐ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò Û Ø Ö ØÓ Øº ËÓ ÒÓÛ Ø Ø Ä ³ ÓÔ Ò ÓÒ ÓÙØ X ÙÔ Ø Ý Ø ÒÓÛÐ Ø Ø ÖØ À غ ÙÖØ Ö ÙÔÔÓ ÖØ Ù Ø Ú Ð Ø Ø Ä Ø Ò Ø Ø ÐÙ Ò ØÓ g(x)º ÁÒ Ø Ø Ä ÓÙÐ ÐÙÐ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ò ØÝ Ó X ÙÒØ ÓÒ Á [V x ] = [1 g(x)] + g(x)áè[ Ä ÓÐ ÖØ Ø ] +(1 + b)g(x)xáè[ Ä Ø ÖØ Ø ] (1 + b)g(x)(1 x)áè[ Ä Ø ÖØ Ø ]. ÓÖ ÓÔØ Ñ Ð ÔÐ Ý ÖØ Ò ØÓ Ò ÁÈ[ Ä Ø ÖØ Ø ]º Ú Ò Ø Ø ÖØ ØÓ Ø f(x) = g(x) g(z) dz. ½

ØÖÙÒ Ø ÐÓÛ Ø X Ú ÐÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ x 0 Ø Û Ø Ö ÐÐÓ Ø Ò ØÓ Ú ÐÙ ÓÚ x ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐÝ 0 º Ø Ø Ä Û ÐÐ Ø Ø ÜÔ Ø Ú ÐÙ Ó Ö Ö ØÙÖÒ V Ð Ú y ØØ Ò b ÖÓÑ Ø Ò Ø ÐÓ Ó a Ø Ø Ö ÙÐØ ÖÓÑ ÓÐ Ò º º Ä ÛÓÙÐ Ø Ö Ø Ö Á g Ø Ô ÙÒØ ÓÒ º º Ä Ð Ú Ø Ø ÖØ Ó ÒÓØ Ø x Ð Ø Ò ÆÓØ Ú ÐÙ x 0 ÙØ ÐÛ Ý Ø Ø Ö Ø Öµ Ø Ò Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ X ÓÑ Ø Ò ÐÝ ÖØ Ð Ú Ø Ø Ä ÐÙÐ Ø Ö ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Û ÒÒ Ò ÖÓÑ ÁÈ[X ÖØ Ø y ] = Û Ö Y = y ÙÒ ÒÓÛÒ ØÓ Öغ Ò Ø Ù ÖØ F(y) Á [V y ] = (1 + b) F(y) (1 + b)[1 F(y)] 1. ËÓ ÖØ Ð Ú Ä Û ÐÐ Ø Ò ÓÒÐÝ F(y) b/2(1 + b)º ỹ = inf{y : F(y) b/2(1 + b)}º Ì ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ä Ö ÛÒ Y > ỹ Ë Ø 1 Ò Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø º ËÓ Ø ÜÔ Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ñ ÓÖ ỹ Ú Ò X = x ÖØ V x = [1 g(x)] + g(x)ỹ + (1 + b)g(x)[x ỹ] + (1 + b)g(x)(1 ỹ [x ỹ] + ). ÖØ ÓÙÐ ÓÓ g(x) ØÓ Ñ Ü Ñ Þ V x º ½

Ñ Ü Ñ Þ Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÖØ ÓÙÐ Ñ g(x) Ñ ÐÐ ÔÓ Ð Û Ò c ÌÓ º º g(x) = 0µ ÙØ Ð Ö ÔÓ Ð Û Ò c ÔÓ Ø Ú º º g(x) = 1µº Ò Ø Ú Ø ÓÔØ Ñ Ð g(x) Ø Ô ÙÒØ ÓÒº ÁØ ÑÔÐ Ø Ø ÖØ ÓÙÐ Ò Ú Ö ÐÙ ÒÓ Ì Ù Û Ø Ð Ú ÓÙØ Ø ÔÐ Ý Ò ØÖ Ø Ý Ù Ý Ä º Ñ ØØ Ö x ỹ ÖØ Ø ỹ > b/(b + 2) ÓÐ ỹ < b/(b + 2) Ò Ñ Ý Ó Ï Ò Û Ò ỹ = b/(b+2)º Ï Ò x > ỹ Ø Ò ÖØ Ø x > x = [b(1+ỹ)]/[2(1+b)] ÔÐ Ò ØÝ b = 0 Ø Ò Ä ÓÙÐ ÐÛ Ý Øº À Ö x = 0 ÔÖÓÔ ÖÐÝ ÑÔÐÝ Ò ÖØ Ð Ó ÐÛ Ý Ø º Ø Ø ÜÔ Ø Ú ÐÙ Ø ÓÖÑ 1 + cg(x) Û Ö Öس c = 1 + ỹ + (1 + b)[x ỹ] + (1 + b)(1 ỹ [x ỹ] + ). ÓÐ x < x Ò Ñ Ý Ó ÔÐ Û Ò x = xº Ì ÜÔ Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ñ ØÓ ÖØ V = 1 0 V x dxº ÁØ Ú ÐÙ Ô Ò ÓÒ Ð ÓÙØ Ä ³ ÔРݺ ½

ØÖ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Ñ Ü ÓÐÙØ ÓÒ ỹ = b/(b + 2)º ÁÒ Ø Ø Ø ÒÓÛÒ Ø Ø Ì ÓÙÐ Ø x > ỹ Ò ÓÙÐ Ø Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ 2/(b + 2) Û Ò x ỹº ÖØ Ú ÐÙ Ó Ø Ñ ØÓ Öص V = b 2 /(b + 2) 2 Ú ÒØ Ý Ø Ì Ó ÔРݺ ÕÙ Ò Ö Ò Ö Ù Ä ÒÓÛ Ø Ø Öس ÐÙ Ò ÙÒØ ÓÒ Ó ÒÓØ Ø Ì ÔÖÓ Ð ØÝ 2/(b + 2) Û Ò x b/(b + 2) Ø Ò Ò ÑÔÖÓÚ Ö ÜÔ Ø Û Ø Á ÖØ Ð Ú Ø Ø Ä ÈÐ Ý Å Ò Ñ Üº ÓÒØÖ Ø Ø Ê Ò ÐÝ Ò Ø Ø Û Ò Ä Ù Ø Ñ Ò Ñ Ü Ø Ö ÓÐ ÁÒ ỹ = b/(b 2) Ø Ò ÖØ Ñ Ý Ø ÓÖ ÒÓØ ÔÐ Û Ò + x xº Ì Ð ØÐÝ Ö ÒØ ÖÓÑ Ø Ñ Ò Ñ Ü ÓÐÙØ ÓÒº Ú ÐÙ ÓÖ Ø Ñ Ý Ò Ò Ø Ø Ö ÓÐ Ø Û ÐÐ º Ø Ñ ÐÙ Ô Ò Ä ÓÛÒ ÔÖ Ú ÒØ Ò Ö ÖÓÑ Ù Ò ÑÓÖ ÁÒ Ñ Ò Ñ Ü Öس ( ÓÖ Ø Ö Ñ Ø Ú ÐÙ ÓÖ ÖØ ÙÒ Ò b ÙØ ÖÙÐ º ÔÖÓ Ø Ð b+2) 2º ½

ÁÁ ÖØ Ð Ú Ø Ø Ä Á Ê º Ø Ø Ò ÐÝ Ñ ØÓ Ø Ò Ø Ø Ä Ö Ð ÐÐ Ò Û Ø ËÙÔÔÓ Öس Ð ỹ 2)º Ì Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ê ÓÛ Ø Ø ÐÙ Ò ÙÒØ ÓÒ ÓÙÐ < b/(b + 0 0 x max{ỹ, x} g(x) = 1 max{ỹ, x} < x 1 Û Ö x = [b(1 + ỹ)]/[2(1 + b)]º Ì Ú ÐÙ Ó Ø Ê Ñ ØÓ ÖØ V = x 0 dx + 1 = b x bỹ(1 x) (1 + b) x 2. x 1 + 2x + 2bx bỹ b dx Ì Ú ÐÙ Ó Ø Ê Ñ ØÖ ØÐÝ Ð Ö Ö Ø Ò Ø Ñ Ò Ñ Ü Ú ÐÙ º ½

x > ỹ Öس ÓÔØ Ñ Ð ÔÐ Ý ØÓ Øº ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Û Ò x < ỹ Öس Ï Ò Ô ÝÓ ÁÁÁ ÖØ Ð Ú Ø Ø Ä Á ÓÒ ÖÚ Ø Ú º ÖØ Ø Ø Ö Ú Ö ÐÐ Ò Û Ø ỹ > b/(b + 2)º Ì Ò ËÙÔÔÓ Ð Ú Ä [ V x = 1 + g(x) 1 + ỹ + (1 + b)(1 ỹ) x ỹ ( (1 + b)(1 ỹ) 1 x ỹ )]. 1 ỹ 1 ỹ V x = 1 + g(x) [1 + ỹ (1 + b)(1 ỹ)]. ỹ > b/(b + 2) Ø ÕÙ ÒØ ØÝ Ò Ø ÕÙ Ö Ö Ø ØÖ ØÐÝ ÔÓ Ø Ú º Ì Ù Û Ò ÓÖ x ỹ ÖØ ÓÙРغ < V = ỹ 0 ỹ (1 + b)(1 ỹ) + 1 ỹ ỹ + (1 + b)(x ỹ) (1 + b)(1 x). Ì Ú ÐÙ V Ó Ø Ñ Ø ÒØ Ö Ð ÓÛ V = bỹ + ỹ 2 (1 + b)º Ì Ú ÐÙ ÒÖ Ò Ò ỹ ÓÖ ËÓÐÚ Ò ỹ > b/(2 + Ò Ø ÕÙ Ð ØÓ Ø Ñ Ò Ñ Ü Ú ÐÙ Ø b) ỹ = b/(b 2)º Ì Ù Ø Ú ÐÙ Ó + Ø Ê Ñ Û Ò Ä ÓÒ ÖÚ Ø Ú ØÖ ØÐÝ Ð Ö Ö Ø Ò Ø Ñ Ò Ñ Ü Ú ÐÙ º ½

Ì Ò ÐÝ Ó Ø ÓÖ Ð Ñ ÜØ Ò ÑÑ Ø ÐÝ ØÓ ØÙ Ø ÓÒ Ò Û ÆÓØ ØÛÓ ÔÐ Ý Ö Ö Û Ò Ô Ò ÒØÐÝ ÖÓÑ ÓÒØ ÒÙÓÙ ØÖ ÙØ ÓÒ W Û Ø Ò ØÝ wº Ø ÖØ Ò Ä Ö Û ÖÓÑ Ú Ö Ø ÔÓ ÐÝ Ö Ø ØÖ ÙØ ÓÒ W(x, y) º º Á Ó Ö µ Ø Ò Ø Ò ÐÝ ØÖ Ú Ð Ò º Àº À Ö Ý³ Ò µ Öس ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø Ü ØÐÝ Ø Ø Ø ÛÓÙÐ ÑÓÖ Ö ÓÒ Ð ØÓ Ý Ø Ø Ù Ø Ú Ù ÓÚ Ö Ø Ø G Ó ÐÐ ÔÓ Ð ÐÙ Ò ÙÒØ ÓÒ º ÙØ Û Ò ÖØ ÒØ Ö Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø Ô Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ù Ø Ú ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ò Ó Ø Ò Ø g Ø Ø ÓÚ Ö Ò ÓÖ Ø Ò ÐÝ º f(x) = g(w(x))w(x) g(w(z))w(z) dz ÁÒ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø ÖØ ÑÔÙØ ØÓ Ä Öس ÐÙ Ò ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ø Ô Ø Ò x = 1 [ 1 1 2 1 + b ] 1 + W(ỹ). 1 W(ỹ ÓÖ Y Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð W(y X = x) Ò ÒÓÛ Ø Ø Ä ³ Ò ÐÝ ÝÑÑ ØÖ º ËÓÑ Ñ Ý ÙÒÓÑ ÓÖØ Ð Û Ø Ø Ô ØÝ Ò Ö ÕÙ Ö Ò ÖØ ØÓ ÙÑ ÆÓØ Ä Ø Ò ÐÙ Ò ÙÒØ ÓÒ g(x)º Ì Ý Ñ Ø Ö Ù Ø Ø ÖØ ÓÙÐ ÒÓØ Ø Ø ¾¼

Ä Ð Ú ÖØ Ø Ò ØÓ Ø ÓÖ Ð Ö Ú ÐÙ Ó x Ð Ò Ä ØÓ ÓÐ ÑÓÖ Ø Ø Ò ÒÖ Ò Öس ÜÔ Ø Ô ÝÓ º Ö ÕÙ ÒØÐÝ Ð Ø Ô Ò Ð ÓÛ ÓÖ b = 2 Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ú ÐÙ Ó x Ø Û ÖØ ÓÙÐ Ø Ì Ó pº Ì Ö Ø Ô Ò Ð ÓÛ Ø Ñ Ú ÐÙ ØÓ ÖØ ÙÒØ ÓÒ Ó pº ÙÒØ ÓÒ Ü ÑÔÐ Ì g ÔÓÛ Ö ÙÒØ ÓÒº Ø Ø Ð Ú Ø Ø Ä Ø Ò ÐÙ Ò ÙÒØ ÓÒ Ø ÓÖÑ ËÙÔÔÓ ÖØ g(x) = x p Ü Ú ÐÙ p > 1º Ì Ò 1 ỹ = p+1 b 2 1+b º Ä Ö Ú ÐÙ Ó p ÑÔÐÝ ÓÑ ÓÖ Bart Cut Point 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 1 0 1 2 3 4 5 p Value of hte Game 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 1 0 1 2 3 4 5 p ¾½

ÑÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ð Ñ Ò Û ÖØ ÒÓØ ÓÒ ØÖ Ò ØÓ Ø ÓÒ Ö ÑÓÙÒØ ÓÒ ÓÑ ÒØ ÖÚ Ð (ǫ, K]º ÒÝ [ǫ, K] Öس ØØ Ò ØÖ Ø Ý Ô Û Ö 0 < ǫ K Ù Ù ÐÐÝ ǫ Ú ÖÝ º º ÔÓ Ø Ú ÒÙÑ Öµº Ñ ÐÐ ÁÈ Ä Ø h( x) Ò Á [ ] h( x) ÒÓØ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÓÑÔÙØ Ù Ò [ ] ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ÙÖ Ò Ù Ý Ø Ò ØÝ h( x)º Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ ǫ, K Ø ÐÓÛ Ö Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó Ø Ø ÖØ Ò ÓÓ ØÓ Ø g(x) Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø ÖØ ØÓ Ø Ø Ö Ð ÖÒ Ò X = xº h(b x) ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ ÓÒ [ǫ, K] Ø Ø ÖØ Û ÐÐ Ù ØÓ Ð Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ ØÓ Øº B x Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Û Ø Ú ÐÙ Ò [ǫ, K] Ö ÔÖ ÒØ Ò Öس Ø Ø Ö Ð ÖÒ X = xº ¾¾

f(x b) Öس Ð ÓÙØ Ä ³ ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ò ØÝ ÓÖ X Ø Ö Ó ÖÚ Ø Ø ÖØ ÑÙ Ø Ñ ÖÖÓÖ Ä ³ Ò ÐÝ Ú Ò Ø Ø Ó ÖÚ Öس Ø B x = bº Ò Öس Ð ÓÙØ Ä ³ Ð Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø ØÓ Ø Û Ø g(x) X xº = h(b x) Öس Ð ÓÙØ Ä ³ Ð Ó Ø Ò ØÝ ÓÒ [ǫ, K] Ø Ø ÖØ Ù ØÓ Øº Ø b f(x b) = h(b x) g(x) 1 0 h(b z) g(z) dz. g(x) Ò h( x) Ø Ò V Ú Ò x Á = g(x),h( x) [V B X x] = V x = (1 g(x)) }{{} ÖØ ÓÐ { [ ] +g(x) Á h( x) ÁÈ f( B x ) [ B x] X = x Ø ÖØ ÓÐ Ä [ +Á h( x) ÁÈ f( Bx ) [ B x] (1 + B x ) X = x Ä [ ÐÓ ]} ÖØ Ø Á h( x) ÁÈ f( Bx ) [ B x] (1 + B x ) X = x. Ø ÖØ Û Ò Ä ] ¾

f( b) Ä Û ÐÐ ÓÖÑ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ñ ÒØ ÓÒ X Ó ÓÖ Y = y ÖØ Ð Ú Ä Ø Ò Ö ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Û ÒÒ Ò Ð Ú ÖØ Ö Ø¹ÓÖ Ö Ê ÓÐÙØ ÓÒ Öس {g (x), h ( x)} Ö Ñ Ü g(x),h( x) Á g(x),h( x) [V B X = x]. ÌÓ ÓÐÚ ÓÖ {g (x), h ( x)} ØÙ Ä ³ ØÖ Ø Ý Ò ÖÓÐÐ º ÁÈ f( Bx ) [X Y B x, Y = y] = y 0 f(z B x ) dz. ÖØ Ø Ø Ä Ý ÐÐ Ò ÜÔ Ø Ò Ô ÝÓ Ó ËÓ Ð Ú V y = ÁÈ f( Bx ) [ B x, Y = y, Ä ÐÐ ] (1 + B x ) Û Ò Ä ÁÈ f( Bx ) [ Ä ÐÓ B x, Y = y, Ä ÐÐ ] (1 + B x ) = 2(1 + B x ) y 0 f(z B x ) dz (1 + B x ). ¾

1 2(1 + B x ) y 0 f(z B x ) dz (1 + B x ). ËÓ ÖØ Ð Ú Ä Û ÐÐ ÐÐ Ò ÓÒÐÝ y 0 f(z B x ) dz ỹ 0 Ë Ò f(z B x ) 0 Ø Ò ÓÖ ÐÐ y ỹ (B x ) Û ÑÙ Ø Ú (B x ) f(z B x ) dz B x 2(1 + B x ). Ä ÐÐ Ò ÓÒÐÝ Ì Ò Û ÐÐ { Y ỹ (B x ) inf y [0, 1] : y 0 f(z B x ) dz } B x. 2(1 + B x ) ÖØ Ð Ú Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ä Û ÐÐ ÐÐ Ø Ö Ø Ø ÑÓÙÒØ B À Ò x ÓÙÐ ÁÈ f( Bx ) [ Ä ÐÐ ÖØ Ø B x] = ÁÈ[Y ỹ (B x ) B x ] = 1 ỹ (B x ). ¾

ÖØ Ð ÓÑÔÙØ ÓÐÐÓÛ Ò ÕÙ ÒØ Ø ÆÓÛ ØÓ Ø ÁÈ f( Bx ) [ B x] = ỹ (B x ); Ø ÖØ ÓÐ Ä = [x ỹ (B x )] + ; ÁÈ f( Bx ) [ Ä ÐÓ ÖØ Ø B x] = ÁÈ[ỹ (B x ) Y x B x ] ÁÈ f( Bx ) [ Ä Û Ò ÖØ Ø B x] = ÁÈ f( Bx ) [ Ä ÐÐ ÖØ Ø B x] ÁÈ f( Bx ) [ Ä ÐÓ ÖØ Ø B x] = 1 ỹ (B x ) [x ỹ (B x )] +. Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÛ ÓÑ Ò Ò V x = (1 g(x)) + g(x)á h( x) [ỹ (B x ) + 2[x ỹ (B x )] + (1 + B x ) (1 ỹ (B x ))(1 + B x ) ]. ¾

f( b) Ø Ø ÔÓ Ø Ú Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò b [ǫ, K] ÔÙÖ ÐÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ò ÒÓØ Ò Öݺ ÙØ Ù ÒØ ÓÖ x [0, 1] f( b) Ú Ò ÔÓ Ø Ú Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò b [ǫ, K] Ð Ø Ì ÓÖ Ñ Ò b Ö Ñ Ü (x) ỹ (b) + 2(x ỹ (b)) + (1 + b) (1 ỹ (b))(1 + b), b [ǫ,k] (x) max b [ǫ,k] ỹ (b) + 2(x ỹ (b)) + (1 + b) (1 ỹ (b))(1 + b). Öس Ê Ì Ò Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÐÙØ ÓÒ g 0 (x) < 1 (x) = 1 (x) 1; h (b x) = δ(b b (x)), Û Ö δ( ) Ø Ö ÐØ ÙÒØ ÓÒº ÓØ Ö ÛÓÖ Û Ò Ó ÖÚ X = x ÖØ Û ÐÐ ÓÐ Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ½ ÁÒ (x) < Ò Ø 1 b Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ½ (x) (x) 1º Ç ÓÙÖ Ø Ö ÙÐ Ö ØÝ ¾

ÐÐÙ ØÖ Ø Ù Ó Ø Ø ÓÖ Ñ ØÓ Ò Ø Ê ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÖ Ð Ñ Û Ø ÌÓ f( b) Ø ÙÔÔÓ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ü ÑÔÐ Ä Ø Ô¹ ÙÒØ ÓÒ ÔÓ Ø Ö ÓÖº h(x b) = 1+K 1+b 0 x 1+b 1+K 0 ÓØ ÖÛ. ÁØ Ý ØÓ Ø Ø ỹ (b) = b ỹ (b) + 2(x ỹ (b)) + (1 + b) (1 ỹ (b))(1 + b) b2 + (2x 1)(b + 1) b 2(1 + K)x = 2(1+K) Ò 2(1+K) b 2 2(1+K) K 1+K b 1 b > 2(1 + K)x. ¾

ÙÑ Ø Ø ǫ Ñ ÐÐ ÒÓÙ Ø Ø ǫ2 +2(1+K)ǫ 4(1+K)(1+ǫ) < 1 2 + ǫ º ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò 2(1+K) ½º ÓÖ x < ǫ2 +2(1+K)ǫ 4(1+K)(1+ǫ) Ø Ò b (x) = ǫ Ò (x) = ǫ2 2(1+K) + (2x 1)(ǫ + 1) < 1º Ø Ø ÓÖ Ñ g (x) = 1 º º ÖØ Û ÐÐ ÓÐ ÛºÔº ½º Ì Ö ÒÓ Ò ØÓ Ô Ý Ý h ( x)º ǫ2 +2(1+K)ǫ 4(1+K)(1+ǫ) x < 1 2 + ÓÖ ¾º ǫ b (x) = 2(1+K) ǫ Ò (x) = ǫ2 2(1+K) + (2x 1)(ǫ + 1) Ø Ò g (x) = 1 Ò h (b x) = δ(b 1º Ý Ø Ø ÓÖ Ñ Ø ǫ ÛºÔº ½º Û ÐÐ ÖØ º º ǫ) 2(1+K) x < 1 2 + b (x) = 2(1 + K)x (1 + K) Ò 2(1+K) (x) = 1+K 2 (2x 1)2 + (2x 1) Ø Ò Ý Ø Ø ÓÖ Ñ g (x) = Ò 1 1º h (b x) = δ(b (2(1 + K)x K))) º º ÖØ Û ÐÐ Ø (1 + 2(1 + K)x (1 + K) º ÓÖ 1 2 + ǫ K ½º b ÛºÔº (x) = K Ò (x) = K2 2(1+K) +(2x 1)(K+1) 1º 2(1+K) Ø Ò Ø Ì ÓÖ Ñ g (x) = 1 Ò h (b x) = δ(b K) º º ÖØ Û ÐÐ Ø K Ì Ò Ý ½º ÛºÔº º ÓÖ x 1 2 + K ¾

Ø K ǫ ÓÐ 1 1 x ½ ¼ ǫ 2 +2(1+K)ǫ 4(1+K)(1+ǫ) 2 + ǫ 2(1+K) 2 + K 2(1+K) ¼

Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÖ Ø ÓÖ Ð Ñ Ø ÒÓØ Ð Ø Ø Ñ ÒÝ Ø Ò Ø Ø Ö ÙÐØ ÓÖ ÁÒ ÙÒÖ ÓÐÚ Ö ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ø ÓÙ µº Ì Ñ Ò Ñ Ü ÓÐÙØ ÓÒ Û ÓÙÒ Ý Ø ÐÐ ÐÐÑ Ò ² Ð Û ÐÐ ÜØ Ò Ø ØÓ Ñ Û Ø ØÛÓ Ð Ú Ð Ó Ø ÚÓÒ ÓÖ Ð Ò ÅÓÖ Ò Ø ÖÒº à ÖÐ Ò Ò Ê ØÖ ÔÓ ½ µ Ó Ø Ò ÓÐÙØ ÓÒ Û Ò Æ ÙÑ ÒÒ Ñ Ò ÑÙÑ Ø ÓÒ ÙÒ Ø Ò Ø Ö Ö Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ Ð Ð Ö Ö º Ø Ò Ö Ù ÓÒ ¾¼¼ µ Ö ÔÓÖØ ÙÒÔÙ Ð ÛÓÖ Ý Ïº Àº ÙØÐ Ö Ò ½ Ø Ø Ö Ù ÓÒ Ø Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ò Ø ÓÒØ ÜØ Ó Ø ÔÓ Ö Ò Ñ º Ò Ø Ö Ö ÒÓ ÓÓ Ñ Ò Ñ Ü ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ñ Û Ø Ô Ò ÒØ ÒÓÒ¹ÙÒ ÓÖÑ ØÖ ÙØ ÓÒ º Ö º ÓÒÐÙ ÓÒ Ê ÔÔÖÓ ÒÙÑ Ö Ó ØØÖ Ø Ú ØÙÖ Ì ÁØ ÑÔÐ Ö ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Ò Æ ÕÙ Ð Ö º ËÓÖØ Ó º ÁØ Ò Ø Ú ÒØ Ó Ó Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÁØ ÓÒ Ø Ø Ñ ÐÓ Ö ØÓ Ø Ò Ó ØÖ Ø Þ Ò Ø Ø ÙÑ Ò Ù º ½