ÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Ä Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÑÓÒ ÖÓÑ ÓÖÑ Ö Ð Ö Ò Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Ê ÄÄ Á Ô ÓÔ

ÈÖÓØÓ¹Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø ¹Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò ØÖ Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÓÓÐ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ü Ò Ö ÓÖÓÚ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ø Ö Ë Ð ¼ Å Ö ¾¼½½

ÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Ä Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÑÓÒ ÖÓÑ ÓÖÑ Ö Ð Ö Ò Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Ê ÄÄ Á Ô ÓÔÐ

È ÖØ ÐÐÝ ÙÔÔÓÖØ Ý Ö ÒØ ÖÓÑ Ø ÂÓ Ò Ì ÑÔÐ ØÓÒ ÓÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø Ð Ò Ø ØÙØ ÓÒ Û Ö Ø Ð Ô Ð ÒØ ÖÓÔ Ø ÐÝ Ø ÓÖ ÓÚ ÖÝ Ò Ö Ò Ò Ò Ð ³ Ø ÕÙ Ø ÓÒ º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÓÔ Ò ÓÒ ÜÔÖ Ò Ø Ø Ð Ö Ø Ó Ó Ø ÙØ ÓÖ Ò Ó ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ö Ø Ø Ú Û Ó Ø ÂÓ Ò Ì ÑÔÐ ØÓÒ ÓÙÒ Ø ÓÒº

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ð ØØÐ Ò Ð º º º ij Ú Ò Ð Ø Å ØØ Ó Ð³ Ò ÐÓº Ù Ó Ê Ò ½ ¼ ½ ¼º

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º Ò ÔÖÓ ÓÒ Ð ÓÝ ØÙ Ý Ó Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ô ÛÓÖ Ò ÔÖ Ø ÍÃ Ð Ý Ø Ð ½ ½µ Ö Ø Ñ ÒÝ ÑÔÐÓÝ Ú Ø ÖÑÝ Ó Ô ÓÔÐ ³ ÒÓØ ÔÔ Ö ØÓ Ö ÕÙ Ö ÒÝ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÒÓØ Ú Ò ÓÙÒØ Ò ÓÖ Ö ÓÖ Ò ÒÙÑ Ö º

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º Ò ÔÖÓ ÓÒ Ð ÓÝ ØÙ Ý Ó Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ô ÛÓÖ Ò ÔÖ Ø ÍÃ Ð Ý Ø Ð ½ ½µ Ö Ø Ñ ÒÝ ÑÔÐÓÝ Ú Ø ÖÑÝ Ó Ô ÓÔÐ ³ ÒÓØ ÔÔ Ö ØÓ Ö ÕÙ Ö ÒÝ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÒÓØ Ú Ò ÓÙÒØ Ò ÓÖ Ö ÓÖ Ò ÒÙÑ Ö º ÀÓÛ Ú Ö ÐÐ Ø ÓÙÔ Ø ÓÒ ÒÚÓÐÚ Ø ÓÒ Û ÓÙÐ Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø ÖÑ ³

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÓ Û Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø ÒÚÓÐÚ Ø Ó ÒØ Ø º Å ÔÔ Ò ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÓÒ ¹ØÓ¹Ñ ÒÝ Ñ ÒݹØÓ¹ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò º ËÝÑÑ ØÖÝ Ð Ø Ö Ð Ò ÖÓØ Ø ÓÒ Ðº ÊÓØ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø º Ì ÐÐ Ø ÓÒ Ô ØØ ÖÒ º ÄÓ Ð ÕÙ Ò º º º Ø Ò º º º µº

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ò Û Ø Ö Ø Ø ÓÒ ÖØ Ð Ö ÓÖØ ÒØÓ Ô Ö Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ô Ò ÓÖ ÓÒ Ò ÔØ»Ö Ø º ÖØ Ð Ö ÑÓÚ ÒØÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ ÒÚÓÐÚ Ò ÑÓÚ Ò Û Ý ØÙÖÒ Ò ÓÚ Ö ÓÖ ÖÓÙÒ º ÖØ Ð Ù Û Ò Ð Ö ÓÖ ÙÒ ÓÖÑ ØÝ Ó Ô º È ÖØ Ð ÓÖÑ Ö ÙÐ Ö Ô ØØ ÖÒ º º º ËÓ Ø Ô Ò Û Ò Ð Ò Ö Ó Ö Óܺ

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÖÓ ÓØ ÙØ ÝÓÙ Ò ØÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÙÐØ ¹ÔÙÖÔÓ ÖÓ ÓØ Ñ Ò ÔÙÐ ØÓÖ ØÓ Ô Û Ò Ð ÝÓÙ Û ÐÐ Ò ÑÑ Ø ÐÝ Ò ØÓ ÒÓÛ ÐÐ Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò ÑÙ ÑÓÖ º

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÖÓ ÓØ ÙØ ÝÓÙ Ò ØÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÙÐØ ¹ÔÙÖÔÓ ÖÓ ÓØ Ñ Ò ÔÙÐ ØÓÖ ØÓ Ô Û Ò Ð ÝÓÙ Û ÐÐ Ò ÑÑ Ø ÐÝ Ò ØÓ ÒÓÛ ÐÐ Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò ÑÙ ÑÓÖ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÝÓÙ Û ÐÐ Ò ØÓ ÒÓÛ ØÓÔÓÐÓ Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ü Ø ÕÙ Ò 1 Z 2 SU 2 (C) SO 3 (R) 1 Ò Û ÐÐ Ð ÐÝ ØÓ Ù ÕÙ Ø ÖÒ ÓÒ a+bi+cj+dk.

Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Ú Ò À Ö Å Ø Ñ Ø ØÙ Ý Ó Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ Û Ø Ö ÔÖÓ Ù Ð ÔÖÓÔ ÖØ º º º

Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Ú Ò À Ö Å Ø Ñ Ø ØÙ Ý Ó Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ Û Ø Ö ÔÖÓ Ù Ð ÔÖÓÔ ÖØ º º º Ñ Ñ Ò Ù Ð ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ô Ý Ð ÙÒ Ú Ö º

Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Å Ø Ñ Ø ØÙ Ý Ó Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ Û Ø Ö ÔÖÓ Ù Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ì Ò Ø ÓÒ ÐÑÓ Ø ÑÑ Ø ÐÝ ÓÒÚ Ò Ò ÓÖ ÛÓÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó Ú ÓÙ ÐÝ Ð Ò Ñ Ø Ñ Ø Û Ø Ó Ò Ø Ú Ò ÜÔ Ò Ø ÐÓÛ Ö Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø º

Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø ÈÖÓØÓÑ Ø Ñ Ø Ò Ø Ó ÔÖÓØÓÑ Ø Ñ Ø Ù Ó ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò º

Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø ÈÖÓØÓÑ Ø Ñ Ø ÖÓÒ ËÐÓÑ Òµ Å ÒØ Ð ØÖ Ø Ø Ø Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ð ÙØ Ö Ú ÐÓÔ ÓÖ ÓÖ Ù Ù ÐÐÝ Ò Ð ÓÓ µ Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ô Ò Ò ÖÓÑ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ð ÙÐØÙÖ Ð Ý Ø Ñº Ì ÒÓØ Ò Ø ÓÒ Ý Ø Á ÑÔÐÝ ÔÓ ÒØ ØÓ Ò Ü Ø Ò Ô ÒÓÑ ÒÓÒº

Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø ÈÖÓØÓÑ Ø Ñ Ø ÖÓÒ ËÐÓÑ Òµ Å ÒØ Ð ØÖ Ø Ø Ø Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ð ÙØ Ö Ú ÐÓÔ ÓÖ ÓÖ Ù Ù ÐÐÝ Ò Ð ÓÓ µ Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ô Ò Ò ÖÓÑ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ð ÙÐØÙÖ Ð Ý Ø Ñº ÈÐ ÒÓØ ØÛÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó ÔÖÓØÓÑ Ø Ñ Ø ÒØÖ Ò Ò ÙÖÓÔ ÓÐÓ Ð Ú ÐÓÔ µ Ò Ó Ð ÓÖ µ

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÈÖÓØÓÑ Ø Ñ Ø ÓÙÐ Ø Ò Ò ÓÑÔ Ö Ø Ú ÖÓ ÙÐØÙÖ Ð ØÙ

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÈÖÓØÓÑ Ø Ñ Ø ÓÙÐ Ø Ò Ò ÓÑÔ Ö Ø Ú ÖÓ ÙÐØÙÖ Ð ØÙ È Ö Ô ÓÔÐ Ó ËÓÙØ Ñ Ö Ú ÒÓ ÓÒ ÔØ Ó ÒÙÑ Ö Û Ø Ó Ú Ö Ö Ò Ø Ðº ¾¼¼ µº

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÅÓÖ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò Ì Ò Ô Ò ÌÞ ÐØ Ð Ô ÓÔÐ Ó ÒØÖ Ð Ñ Ö Ú ÒÓ ÛÓÖ ÓÖ ÓÒ ÔØ ÓÖ Ø Ð Ø Ò Ø Ö Ø Ø Ý Ð Ú Ò ÕÙ Ö ÓÙ Û Ø ÓÓÖ Ñ Ó ØÛÓ ÕÙ Ð ÐÚ µ ÔÓ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ð Ó Ø ÓÙØ Û ÐÐ ÖÓÛÒ ½ ¾µº

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÅÓÖ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÙÙ Ù Ñ Ø ÖÖ Ô ÓÔÐ Ó Ù ØÖ Ð Ð Ú Ò Ø ÓÐÙØ Ò ÐÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñº Ï Ò Û Ö Ø ØØÐ Ø Ý Ò Û Ö ÓÙÖ Ø Ô ÒÓÖØ Ó Ø Ö ÔÐ À Ú Ð Ò ½ µº

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÅÓÖ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÙÙ Ù Ñ Ø ÖÖ Ô ÓÔÐ Ó Ù ØÖ Ð Ð Ú Ò Ø ÓÐÙØ Ò ÐÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñº Ï Ò Û Ö Ø ØØÐ Ø Ý Ò Û Ö ÓÙÖ Ø Ô ÒÓÖØ Ó Ø Ö ÔÐ À Ú Ð Ò ½ µº Ì Ñ ÔÔÐ ØÓ Ô Ø Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÅÓÖ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÙÙ Ù Ñ Ø ÖÖ Ô ÓÔÐ Ó Ù ØÖ Ð Ð Ú Ò Ø ÓÐÙØ Ò ÐÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ý Ø Ñº Ï Ò Û Ö Ø ØØÐ Ø Ý Ò Û Ö ÓÙÖ Ø Ô ÒÓÖØ Ó Ø Ö ÔÐ À Ú Ð Ò ½ µº Ì Ñ ÔÔÐ ØÓ Ô Ø Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø Ö Ú Ð Ø ÓÒ Ï Ø ÖÒ ÓÑ ØÖÝ ÓÒ Ò ÐÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ø ØØÐ Ù Ø Ò ÝÓÙ º

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò º º º Ò Ú Ò ÑÓÖ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ËÓÑ ØÖ Ó ÕÙ ØÓÖ Ð Ö Ú ÒÓ Û Ö Ò Ó ÓÑ ØÖ Ô Ö Ô Ø Ú Ö ÓÛ ½ µº

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò Ñ Û Ø Ô Ö Ô Ø Ú À Ò ÀÓÐ Ò Ì Ñ ÓÖ ½ º

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò Ì ÙÐÐ Û Ø Ü Ô Ö Ô Ø Ú º

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò Ïº ÀÓ ÖØ ½ ½ µ Ø Ö ÓÒ Ð Ô Ö Ô Ø Ú ½ µº Ï Ó Ú Ö Ñ Ò Û Ø ÓÙØ Ø ÒÓÛÐ Ó È Ö Ô Ø Ú Û ÐÐ Ð Ð ØÓ Ù ÙÖ Ø Ö ÛÒ Ò Ø ÖÓÒØ Ô º

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÍÒ Ö Ø Ò Ò Ô Ö Ô Ø Ú ÓÒ ÓÙ Ñ ÒÙ Ð µ ÓÚ ÖÖ Ò Ó ÙØÓÑ Ø Ñ Ò Ñ Ó Ú Ù Ð ÔÖÓ Ò Ò Ø Ö Òº

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÖÙ Ð ÇÙ ½ ¾ ½ µº Å Ô ÓÒ Ø ÐÐÓÛ ½ µº ź º Ö Û ÒÓØ Ø Ö Ø ÓÒ ØÓ ÒÚ ÒØ ÑÔÓ Ð Ó Ø º

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò Å Ø Ñ Ø ÐÐÝ Ö ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ô Ö Ô Ø Ú ÓÐÚ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ä ÖÓÙÔ PSL 3 (R), Û Ö Ó Ö ÓÑ

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò È Ø Ö ³ Ð Ô ÒØÒÓ Ò Ø ÓÒ ÑÙ Ô Ø Ö µ ØÓÖØ ÓÒ Ó Ø ÛÓÖÐ Ú Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ö Ó Ö ÓѺ

ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÓÒ ÓÖÑ Ð Ñ Ô Ò Ñ Ð Ñ Ò Ø Ò Ö Ñ Ó Ø ÙÖ Ó ÙÑ Ò Ö Ò ÓÒ ÓÑ Ð Ñ Ô ÓÒØÓ Ô Ö º ÓÒ ÓÖÑ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÐÓÛ ÓÖ Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ö Ó Ö ÓÑ º

ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò

ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò Ð Ò Ñ Û ½ ¼ ÔÙ Ò Û Ö ØÓÝ ÙØÓÑÓ Ð º

ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò

ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò Û Ö ØÓÝ ÙØÓÑÓ Ð º

ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Ï Ý Ó Ø Ñ ÖÖÓÖ Ò Ð Ø Ò Ö Ø º º º º º º ÙØ Ó ÒÓØ Ò ÙÔ Ò ÓÛÒ

ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Ï Ý Ó Ø Ñ ÖÖÓÖ Ò Ð Ø Ò Ö Ø º º º º º º ÙØ Ó ÒÓØ Ò ÙÔ Ò ÓÛÒ Ò Û Ö Ø Ó ÒÓغ Ò Ò Ó Ð Ø Ò Ö Ø Ù Ø ÔÓÔÙÐ Ö ÑÝØ º

ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Ï Ý Ó Ø Ñ ÖÖÓÖ Ò Ð Ø Ò Ö Ø º º º º º º ÙØ Ó ÒÓØ Ò ÙÔ Ò ÓÛÒ Ò Û Ö Ø Ó ÒÓغ Ò Ò Ó Ð Ø Ò Ö Ø Ù Ø ÔÓÔÙÐ Ö ÑÝØ º ÉÙ Ø ÓÒ Ï Ý Ó Ø ÑÝØ Ü Ø

ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Ï Ý Ó Ø Ñ ÖÖÓÖ Ò Ð Ø Ò Ö Ø º º º º º º ÙØ Ó ÒÓØ Ò ÙÔ Ò ÓÛÒ Ò Û Ö Ø Ó ÒÓغ Ò Ò Ó Ð Ø Ò Ö Ø Ù Ø ÔÓÔÙÐ Ö ÑÝØ º ÉÙ Ø ÓÒ Ï Ý Ó Ø ÑÝØ Ü Ø Ò Û Ö Ù Û ØØÖ ÙØ ØÓ Ø Ñ ÖÖÓÖ Ø ÒØÖ Ò Ð Ø Ö Ð ÝÑÑ ØÖÝ Ó ÓÙÖ Ñ Ò º

ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Ð È Ð ÇÙÖ ÒÓØ ÓÒ Ó ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ú ÖÓÑ Ø ÙÑ Ò º À Ò Û Ñ Ò ÝÑÑ ØÖÝ ÓÖ ÞÓÒØ ÐÐÝ Ò Ò Ö Ø ÓÒÐÝ ÒÓØ Ú ÖØ ÐÐÝ ÒÓÖ Ò ÔØ º

ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ ÁÑÑ ÒÙ Ð Ã ÒØ ÁÒ Ô Ý Ð Ô ÓÒ ÓÙÒØ Ó Ø Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Û Ò ÓÒ Ú Ø Ö ÔÐ Ò Û ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÓØ Ö Ø Ö Ø Ò Ð º Ë Ò Ø ÖÓÙ Ø Ò Û ÒÓÛ Ø Ø Û ÓÙØ Ù ÓÒÐÝ Ò Ó Ö Ø Ø Ò Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ ÓÙÖ ÐÚ Ø ÒÓØ ÙÖÔÖ Ò Ø Ø Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ó Ø ÒØ Ö Ø Ò ÔÐ Ò ØÓ ÓÙÖ Ó Ý Û Ò Ø Ö Ø ÖÓÙÒ ÖÓÑ Û ØÓ Ö Ú Ø ÓÒ ÔØ Ó Ö ÓÒ Ò Ô º º º ÇÒ Ó Ø Ú ÖØ Ð ÔÐ Ò Ú Ø Ó Ý ÒØÓ ØÛÓ ÓÙØÛ Ö ÐÝ Ñ Ð Ö Ô ÖØ Ò ÙÔÔÐ Ø ÖÓÙÒ ÓÖ Ø Ø ÒØ ÓÒ ØÛ Ò Ö Ø Ò Ð Ø Ø ÓØ Ö Û Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØÓ Ø Ñ Ø ÔÓ Ð ÓÖ Ù ØÓ Ú Ø ÓÒ ÔØ ÓÖ Ò Ò º

ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Å ÖÖÓÖ ÛÖ Ø Ò ½ Ò ¼¼¼ Ô ÓÔÐ Ò ÛÖ Ø Ý ÒÓÒ¹ ÓÑ Ò ÒØ Ò Ò Ñ ÖÖÓÖ Ö Ôغ

ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Å ÖÖÓÖ ÛÖ Ø Ò ½ Ò ¼¼¼ Ô ÓÔÐ Ò ÛÖ Ø Ý ÒÓÒ¹ ÓÑ Ò ÒØ Ò Ò Ñ ÖÖÓÖ Ö Ôغ Ì Ö Ø Ò Ó Û Ö Ú Ö ÓÒ Ó Ñ ÖÖÓÖ ÛÖ Ø Ò

ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Å ÖÖÓÖ ÛÖ Ø Ò ½ Ò ¼¼¼ Ô ÓÔÐ Ò ÛÖ Ø Ý ÒÓÒ¹ ÓÑ Ò ÒØ Ò Ò Ñ ÖÖÓÖ Ö Ôغ Ì Ö Ø Ò Ó Û Ö Ú Ö ÓÒ Ó Ñ ÖÖÓÖ ÛÖ Ø Ò Å ÖÖÓÖ Ö Ø ÓÒ

ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Å ÖÖÓÖ ÛÖ Ø Ò Ä ÓÒ Ö Ó Î Ò Ú ÖÝÓÒ ÒÓÛ ÑÓÙ ØÙ Ý Ó Ø ÝÑÑ ØÖÝ Ó ÙÑ Ò Ó Ý

ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Å ÖÖÓÖ ÛÖ Ø Ò Ä ÓÒ Ö Ó Î Ò ÁØ Ð ÒÓÛÒ Ø Ø Ä ÓÒ Ö Ó³ ÒÓØ Ö Ò Ñ ÖÖÓÖ ÛÖ Ø Ò

Ä Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÑÓÒ ÖÓÑ ÓÖÑ Ö Ð Ö Ò Ì Ø ÑÓÒ ÖÓÑ ÓÖÑ Ö Ð Ö Ò Ì Ñ Ð ÖÑ Ò ÈÖÓ ÓÖ Ó Å Ø Ñ Ø µ Á ØÖÓÙ Ð Ö Ñ Ñ Ö Ò a : b Ñ Ò a Ú Ý b ÓÖ b Ú Ý aº Ì Ö ³ ÒÓ Û Ý ØÓ Ø Ðк ÁØ Ö ØÖ Öݺ Ä Û ÓÑ Ý Ö ÖÐ Ö Ö Ñ Ñ Ö Ò Û Ð Ø Ò Û Ö Øº Á Ð ÖÒ Ö Ð Ð ÑÒ ÑÓÒ ÓÖ Ð Ø Ò Ö Ø Û Ò Ð ÖÒ Ò ØÓ Ö Ú Ø Ø Ó 18 ÓÙصº ÓÖ Ø Ø Ø Û Ù ÛÓÖ º

Ä Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÑÓÒ ÖÓÑ ÓÖÑ Ö Ð Ö Ò ÅÈ Å Ð ËÓØØ ÈÖÓ ÓÖ Ó Å Ø Ñ Ø µ º º º ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ö ÓÒ Ð Ò Ø Ô Ö ÓÒ Ð Ö Ø» Ð Ø Ö Ñ Ó Ö Ö Ò Û Ø Ø Ú Û¹ ÖÓѹ ÓÚ Ö Ñ Û Ò ÖÝ ÓÖ ÒÓÖØ» ÓÙØ º º º Ø Ð ØØ Ö ÛÓÒ Ò Á Ø ÐÐ Ú ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÕÙ ÐÝ Ø ÐÐ Ò Ö Ø ÖÓÑ Ð Øµº Ê Ñ Ñ Ö ÙÙ Ù Ñ Ø ÖÖ

Ä Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÑÓÒ ÖÓÑ ÓÖÑ Ö Ð Ö Ò Ì Ð Ø»Ö Ø ÙÐØÝ Ô Ö Ø ÒØ Û ÔÖ Ò Ò ØÖ Ô ÒØÓ ÙÐØ ÓÓ Å Ð ÊÙ Ò ÔÓ Ø Ó Ø Ñ Ö ÖÓÑ Ø Ø Ñ Á Ð ÖÒ Ñ ØÖ ½ ÓÖ Óµ Á ÒÒÓØ Ö Ñ Ñ Ö Û Ö Ø ÓÐÙÑÒ Ò Û Ö Ø ÖÓÛ º Ú Ò Ø Ø Ø ÖÖ Ò Ñ ÒØ Ó Ó ÒØ Ò Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÛÖ ØØ Ò ÕÙ ÐÐÝ Û ÐÐ Ò Ñ ØÖ Ü Ò ØÛÓ Û Ý Ø ÓÑ Ø Ò Ø Ø ÐÛ Ý Ø Ñ 10 15 ÓÒ ØÓ Ö ÐÐ Ú Ò ÒÓÛº

Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Ê ÄÄ Å Ø Ñ Ø Ò Ö Ö Ð ÔÝÖ Ñ Ó Ð ¹ÓÒØÖÓÐÐ Ò Ð ¹ÓÖÖ Ø Ò Ö ÔÖÓ Ù Ð Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÖÓÙÒ ÓÒ ÔÖÓØÓÑ Ø Ñ Ø Ù ØÖ Ø º

Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Ê ÄÄ Ì Ý Ù Ò Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø Ò Ò Ö Ø ÓÒ ÓÒØÖÓÐ

Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Ê ÄÄ Å Ø Ñ Ø Ø ÖØ Û Ø Ð Ö Ø Ò ÓÒ Û Ø ÔÖÓØÓÑ Ø Ñ Ø Ð ØÖÙØÙÖ Ó Ð ³ Ñ Ò Ø ÐÐ Ø Ð ÓÛ Ø Ö Û Ø Ø Ô Ý Ð ÛÓÖÐ ÖÓÙÒ ÓÛ Ø Ö Û Ø Ø ÙÐØÙÖ Ð ÛÓÖÐ ÖÓÙÒ Ò ÓÛ Ø Ö Û Ø Û Ø ÙÐØ Ø ÐÐ Ø Ð º ÁÒ ÓÖØ Ñ Ø Ñ Ø Ø ÖØ Ñ Ø ¹Ñ Ø Ñ Ø º

Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Ê ÄÄ Ä Ó À ÖÖ Ò ØÓÒ Å Ð Ñ Ö Ò ÈÖÓ ÓÖ Ó Å Ø Ñ Ø Ð ÄÓ µ ÅÝ ØÓÖ ÒÚÓÐÚ ÒÓ Ñ Ø Ñ Ø ÙØ ÓÖ Ñ Ø Ý ÒÚÓÐÚ ÓÑ Ú ÖÝ ÔÖ Ñ Ø Ú Ñ Ø ¹Ñ Ø Ñ Ø Ò Ñ ÐÝ Û Ó Ò ÓÒØÖÓÐ Ó Ø Ñ Ø ¹Ñ Ø Ñ Ø º ÓÑ Ò ÒØ Ø Ñ Ò ÓÞ Ò Ó ØÓÖ Ð ³ Ø ÓÖ ÓÒØÖÓÐ ÓÚ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ð ÓÒ ÔØ Ò ØÖÙØÙÖ ÖÝ Ø ÐÐ Þ Ò Ò» Ö Ñ Ò º

Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Ê ÄÄ ÒÒ ÓÖÓÚ ÑÝ Ö Û µ Û Ù Ò Ø ÊÙ Ò ÛÓÖ ØÓ Ø Ñ ØÓ Ö ÓÑÑÓ Ø ÓÒ Ó Ò Û ÓÒ ÔØ Ø Ø Ð ÖÒØ Ø ÓÓÐ Ø ÓÒ ÔØ ØÓ ÓÑ Ø Ñ Ó ÒØ Ð Û ÐÐ ØÖ Ò Ó º Ì ÛÓÖ Û Ö Ö Ø Ò Ú Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ø ØÓ Ô Ö ÒØ ÓÖ Ø Ö º

Á Ô ÓÔÐ ØÙ Ý ÓÖ Î ÓÒ ØÓ Ø ÓÙØ ÖØ ÓÐÓÑ Û Ý Åº κ Æ Ø ÖÓÚº Ï ÓÙÐ ÒÓØ ÙÒ Ö Ø Ñ Ø Ø ÒØ ÐÐ ØÙ Ð ÓÙÖ Ó Ð Ö Òº

Á Ô ÓÔÐ Á Ô ÓÔÐ Ø Ð Ò ÖÓÑ Ø ÐÑ Ì Ë ÜØ Ë Ò ÓÓÒ Ð Ö Ò Ø ÖØ Ö Ø Ò ÓÒ Ø Ö ÔÖÓØÓÑ Ø Ñ Ø Ò ØØ Ò ÓÒØÖÓÐ Ó Ø Ö Ñ Ø ¹Ñ Ø Ñ Ø Ø Ý Ø ÖØ Ð ÔÖ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø Ð ØÖÙØÙÖ Ò Ó Ø ÒÓØ Ú Ð ØÓ ÙÐØ ÖÓÙÒ Ø Ñº Ì Ö ØÓÖ ØÙÖÒ ÔÓÓ Ýº

Á Ô ÓÔÐ Ë Å Ð Ò Ð Ð ØÙÖ Ö Ó Ñ Ø Ñ Ø Ø ÙÒ Ú Ö Øݵ ÅÝ Ø Ö ØÖ ØÓ Ø ÐÐ Ù Ø Ø Û Ò ÝÓÙ ÖÓ ½¾ Ò ÖÙÐ Ö ÒØÓ ØÛÓ Ô Ø Ø Û Ö Ø Ñ ÛÓÙÐ Ò ÐÓÒ º Á Û ÒØ ØÓ Ö Ù Á ÓÙÐ Ò³Ø ÓÛ ÝÓÙ ÓÙÐ Ö Ø ÖÙÐ Ö ÒØÓ ÕÙ Ð Ô Ù Ó Ø ÔÓ ÒØ Ø Ø ÛÓÙÐ Ò³Ø ÒÓÛ Û Ô ØÓ Ó Òº ÁÒ ÙÐØ ÒÓØ Ø ÓÒ [0, 6] Ò [6, 12] Ö ÒÓØ Ó ÒØ ÙØ [0, 6) [6, 12] Ö ÒÓØ ÓÑ ØÖ º ÆÓ Ñ ØØ Ö ÓÛ Á ØÖ ØÓ ÜÔÐ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò³Ø ÙÒ Ö Ø Ò º ÁØ Û Ú ÐÙ Ð Ð ÓÒ Ù ÖÓÑ Ø Ø ÔÓ ÒØ ÓÒ ÑÝ ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó ÓÓÐØ Ö Û Ö ÑÙ Ö Ù º

Á Ô ÓÔÐ Ð Ü Ò Ö ÇÐ Ò Ý Å Ð ÊÙ Ò ÈÖÓ ÓÖ Ó Å Ø Ñ Ø µ Ö Ð Ý Ö Ó ¼¼ Ñ Ø Ö ¼¼ Ñ Ø Ö ¾¼¼ Ñ Ø Ö ½¼¼ Ñ Ø Ö Û ÕÙ Ø ÔÓÔÙÐ Ö Ø Û ÐÐ ËÛ Ö Ð Ýº Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Á ØÓ ÑÝ Ø Ö Û Ò Ø Ô Ö Ø Ó ÒÓ³ Ô Ö ÓÜ Ø Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ñ Û Ý ¼ Ñ Ø Ö ¾ Ñ Ø Ö º º º Û ÐÐ Ø ØÖÙ Ø Ø Ø ÖÙÒÒ Ö Û ÐÐ Ò Ú Ö Ö Ø Ø Ò Ó Ø ¹Ø ÖÐ ÓÒ ÖÐ ¼¼ Ñ Ø Ö µ

Á Ô ÓÔÐ ½ Ò Ò È Ý ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ ÇÐ Ò Ý ÒÚ ÒØ Ñ Ø Ó Ó Ú ÖØÙ Ð Ò Ò Ø Ñ Ðµ ÔÐ Ñ ÒØ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ð Ø Ø º

Á Ô ÓÔÐ ØØÔ»»ÛÛÛº Ñ ºÓÖ» ÓÓ ØÓÖ ¹ Ø Ø Ñ» Ø Ñ Ñ ¹ ½ ÒÓØ Ö ÓÓ Ë ÓÛ Ó Ø ÌÖÙØ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø ºÑ Ò Ø Öº ºÙ» Ú»Ë̺Ô

Á Ô ÓÔÐ

Á Ô ÓÔÐ 1 1 = 1 11 11 = 121 111 111 = 12321 1111 1111 = 1234321 11111 11111 = 123454321 111111 111111 = 12345654321 1111111 1111111 = 1234567654321 11111111 11111111 = 123456787654321 111111111 111111111 = 12345678987654321 Ì Û Ø Ï Ñ Òغ

Á Ô ÓÔÐ ÙØ Ø Ô ØØ ÖÒ Ö Ø Ø Ò ÜØ Ø Ô Ò ÝÓÙ Ú ÐÖ Ý ÒÓØ Ø Ø 1111111111 1111111111 = 1234567900987654321 Ì Ö ÙÐØ ÒÓ ÐÓÒ Ö ÝÑÑ ØÖ º Ï Ý

Á Ô ÓÔÐ ÅÝ ÛÖ Ø Ò ÓÒ Û Ø Ó Ö ÙÖ Ò ÑÝ Ö Ø Ñ Ø Ò Û Ø Ïº Á Ï Û Ø Ö Ø ÝÑÑ ØÖ Ô ØØ ÖÒ Ó Ö ÙÐØ ÓÒØ ÒÙ Ò Ò Ø Ðݺ

Á Ô ÓÔÐ ÌÓ ÐÐÙ ØÖ Ø ÔÓ ÒØ Ï³ ÛÖÓØ ÓÛÒ ÔÔ Ö ÒØÐÝ ÖÓÑ Ñ ÑÓÖÝ Ø Ö Ø Û Ò Ø Ô ØØ ÖÒ Ö º

Á Ô ÓÔÐ ÓÓ Á ÙØ Ð Ø Ù ØÖÝ ØÓ ÙÖ ÓÙØ Û Ý Ø ÔÔ Ò Ò Ò ÛÖÓØ ÓÒ Ø Ó Ö

Á Ô ÓÔÐ Ï Ø ÓÐÙÑÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ º Ò Û Ø Ö Ø ÙÑ Ó ÓÐÙÑÒ ³ 1 2 3 4 3 2 1 Ø Ø Ï ØÓ Ñ Ò Á Ú ÛÖ ØØ Ò ÓÛÒ Ø Ö ÙÐØ

Á Ô ÓÔÐ Ñ Ï ÐÐ Ø ÝÑÑ ØÖ Ô ØØ ÖÒ ÓÒØ ÒÙ Ò Ò Ø ÐÝ Ï ÆÓ Û Ò Ø Ö Ö 10 1³ Ò ÓÐÙÑÒ 1 ÓÒ Ø Ð Ø Ò Ø Ö ÒÓ ÝÑÑ ØÖݺ Ñ ÖÖ Ö Ø ÝÑÑ ØÖݺ ÙØ Ð Ø Ù ÐÓÓ Ø ÒÓØ Ö Ü ÑÔÐ Ò Á ÛÖÓØ

Á Ô ÓÔÐ Ï Û ÒØÖ Ù Ò Ñ ÓÙÔÐ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ

Á Ô ÓÔÐ ÁØ ÔÔ Ö ÖÓÑ Ú ÓÙÖ Ø Ø Û Ù Ò ÑÓ ØÐÝ Ñ ÒØ Ð Ö Ø Ñ Ø ÛÖ Ø Ò ÓÛÒ Ø Ö ÙÐØ Ø ÖÑ Ý Ø ÖÑ Û Ø Ô Ù Ï Û Ø Ó Ú ÓÙ ÒØ Ù Ñ Ø Ø Ñ Ô ØØ ÖÒ

Á Ô ÓÔÐ ÏÓÒ Ö ÙÐ Ò Û Ö Á Ð Ø Ù Û Ý Ø ÔÔ Ò Ò º Á³ÐÐ Ú ÝÓÙ ÒØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò ÛÖ ØØ Ò ÓÐÙÑÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ø ÖØ ØÓ ÛÖ Ø

Á Ô ÓÔÐ Ï ÒÓØ Ð Ø Ñ Ò Ö Ø Ñ Ö Ö ÖÓÑ ÑÝ Ò Ò Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ø Ñ Ð À ØÓÔÔ Ø Ö Ö ÐÝ Ø ÖØ Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ú ÖÝ ÖÑÐÝ Ø Ð Û Ø ÒÙÑ Ö º

Á Ô ÓÔÐ Ñ Ï ÐÐ ÙØ Û ÐÐ Ø Ô ØØ ÖÒ Ö ÓÛÒ ÓÖ Û ÐÐ ÓÒØ ÒÙ ÓÖ Ú Ö È Ù

Á Ô ÓÔÐ Ñ Ï ÐÐ ÙØ Û ÐÐ Ø Ô ØØ ÖÒ Ö ÓÛÒ ÓÖ Û ÐÐ ÓÒØ ÒÙ ÓÖ Ú Ö È Ù Ï ÆÓ Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ö ÓÛÒ Ñ Ï Ý Ï Ù Û Ò ÝÓÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ó ÒØ Ù Ø ÙÔ Ø Ö Ö ÒÓ ÖÖ º

Á Ô ÓÔÐ Ñ ÓÙ ÒÓÛ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ÓÑ Ø Ñ Ù ØÓ ÜÔÐ Ò Û Ø ÔÔ Ò Ò Û Ø ÒÙÑ Ö º Ï 10 xº

Á Ô ÓÔÐ ÖÖÝ Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ö Ø Ñ Ø Ò Ý Ø ÖÙÐ c(a, b) = { 1 a+b > 9 0 ÓØ ÖÛ.

Á Ô ÓÔÐ ÖÖÝ Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ö Ø Ñ Ø Ò Ý Ø ÖÙÐ c(a, b) = { 1 a+b > 9 0 ÓØ ÖÛ. Ì 2¹ÓÝÐ ÖÓÑ Z/10Z ØÓ Z Ò Ö ÔÓÒ Ð ÓÖ Ø ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ú ÖÓÙÔ 0 10Z Z Z/10Z 0. Ï ÓÚ Ö Ø Ø ÖÖÝ Ó Ò Û Ø ÓÝÐ Ö ÕÙ ÒØÐÝ Ó Ø Ý Ö Ö ÔÓÒ Ð ÓÖ Ö Ò ÝÑÑ ØÖݺ

Á Ô ÓÔÐ