Chapter 9. Trapezoidal Maps. 9.1 The Trapezoidal Map

Chapter 9 Trapezoidal Maps ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Û ÐÐ ÒÓØ Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ò ÓÑ Þ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò Ø ØÖ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ÛÓÖ º Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø Û ÐÐ Ú Ù Ò Æ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÐÚ Ò Ø Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ø Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ú Ò Ø Ó Ð Ò Ñ ÒØ º 9.1 The Trapezoidal Map ÌÓ Ø ÖØ Û Ø Ð Ø Ù ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÔØ Ó ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ôº Definition 9.1 Ï Ö Ú Ò Ø S = {s 1,..., s n } Ó Ð Ò Ñ ÒØ Ò Ø ÔÐ Ò ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ó Òصº Ï Ñ Ú Ö Ð Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÙÑÔØ ÓÒ º Ï ÙÑ Ø Ø ÒÓ ØÛÓ Ñ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ú Ø Ñ x¹óóö Ò Ø º Ò Ü ÔØ ÓÒ Û Ó ÐÐÓÛ Ú Ö Ð Ñ ÒØ ØÓ Ö Ò Ò ÔÓ Òغ Ï Ð Ó ÙÑ Ø Ø ÒÓ Ð Ò Ñ ÒØ Ú ÖØ Ð Ø Ø ÒÝ ØÛÓ Ð Ò Ñ ÒØ ÒØ Ö Ø Ò Ø ÑÓ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Û ÓÑÑÓÒ Ò ÔÓ ÒØ ÓÖ ÔÖÓÔ Ö ÖÓ Ò µ Ò Ø Ø ÒÓ Ø Ö Ð Ò Ñ ÒØ Ú ÓÑÑÓÒ ÔÓ Òغ Ò ÐÐÝ Û ÙÑ Ø Ø s i [0, 1] 2 ÓÖ ÐÐ i Û Ò Ú Ý Ð Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ó Ø Ñ ÒØ ÓÖ Ò Ðݵº Ì ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó S Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó [0, 1] 2 ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÐÐ ØÖ Ô ÞÓ µ Ó Ø Ò ÓÐÐÓÛ º Ú ÖÝ Ñ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ Ó Ò¹ Ø Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ñ ÒØ Ø ÓÒÒ Ø Ý ØÛÓ Ú ÖØ Ð ÜØ Ò ÓÒ Û Ø Ø Ò ÜØ ØÙÖ ÐÓÛ Ò ÓÚ Û Ö ØÙÖ Ø Ö ÒÓØ Ö Ð Ò Ñ ÒØ ÓÖ Ò Ó Ø ÓÙÒ Ò ÓÜ [0, 1] 2 º ÙÖ º½ Ú Ò Ü ÑÔÐ º Ì Ò Ö Ð¹ÔÓ Ø ÓÒ ÙÑÔØ ÓÒ Ö Ñ ÓÒÐÝ ÓÖ ÓÒÚ Ò Ò Ò ÑÔÐ ØÝ Ó Ø ÔÖ ÒØ Ø ÓÒº Ì Ú Ö ÓÙ Ò Ö Ò Ò Ð Û Ø ÓÙØ ØÓÓ ÑÙ ØÖÓÙ Ð Ø ÓÙ Û Û ÐÐ ÒÓØ Ø ÒØÓ Ø Ø Ð ºµ Ì ØÖ Ô ÞÓ Ó Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ö ØÖÙ ØÖ Ô ÞÓ ÕÙ Ö Ò Ð Û Ø ØÛÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ú ÖØ Ð µ Ò ØÖ Ò Ð Û Ñ Ý ÓÒ Ö Ò Ö Ø ØÖ Ô ÞÓ µº 67

ÔØ Ö º ÌÖ Ô ÞÓ Ð Å Ô ¾¼½¼ Figure 9.1: Ì ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó Ú Ð Ò Ñ ÒØ Ô Ø Ò ÓÐ µ 9.2 Applications of trapezoidal maps ÁÒ Ø ÔØ Ö Û Û ÐÐ ØÛÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ø Ö Ö ÓØ Ö µ ½º ÈÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ Ú Ò Ø Ó n Ñ ÒØ Ò Ø ÔÐ Ò Û Û ÒØ ØÓ ÔÖ ÔÖÓ Ø Ñ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò Û Ö ÔÓ ÒعÐÓ Ø ÓÒ ÕÙ Ö Ú Ò ÔÓ ÒØ p Ö ØÙÖÒ Ø ÐÐ ÓÒÒ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø Ñ ÒØ µ Ø Ø ÓÒØ Ò p ÙÖ º¾µº Ì ÑÓÖ ÔÓÛ Ö ÙÐ ÐØ ÖÒ Ø Ú ØÓ Ã Ö Ô ØÖ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ò Ð ÓÒÐÝ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ò Û Û Û Ò Ë Ø ÓÒ º º Ì ÔÖ ÔÖÓ Ò ÓÒ ØÖÙØ Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó Ø Ñ ÒØ ÙÖ º µ Ò ÜÔ Ø Ø Ñ O(n ÐÓ n + K) Û Ö K Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÒÔÙØ Ñ ÒØ Ø ÕÙ ÖÝ Ø Ñ Û ÐÐ O(ÐÓ n) Ò ÜÔ Ø Ø ÓÒº ¾º Ä Ò Ñ ÒØ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ú Ò Ø Ó n Ñ ÒØ Û Û ÐÐ Ö ÔÓÖØ ÐÐ Ñ ÒØ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò ÜÔ Ø Ø Ñ O(n ÐÓ n + K)º Ì Ø Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú ØÓ Ø Ð Ò ¹ Û Ô Ð ÓÖ Ø Ñ Û Û Ò Ë Ø ÓÒ º¾ Û Ø Ø Ñ O((n + K) ÐÓ n)º 9.3 Incremental Construction of the Trapezoidal Map Ï Ò ÓÒ ØÖÙØ Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ý Ò ÖØ Ò Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ý ÓÒ Ò Ö Ò ÓÑ ÓÖ Ö ÐÛ Ý Ñ ÒØ Ò Ò Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó Ø Ñ ÒØ Ò ÖØ Ó Öº ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Æ ÒØÐÝ Û Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÙÖÖ ÒØ ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô ÓÙ ÐݹÓÒÒ Ø Ð Ø Ë Ø ÓÒ º µ ÓÖ Ü ÑÔÐ º 68

¾¼½¼ º º ÁÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø ÌÖ Ô ÞÓ Ð Å Ô 2 1 3 4 5 Figure 9.2: Ì Ò Ö Ð ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ý Ø Ó ÔÓ ÐÝ ÒØ Ö Ø¹ Ò µ Ð Ò Ñ ÒØ º ÁÒ Ø Ü ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø ÔÐ Ò ÒØÓ ÐÐ º ËÙÔÔÓ Ø Ø Û Ú ÐÖ Ý Ò ÖØ Ñ ÒØ s 1,..., s r 1 Ò Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ò ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ì r 1 ÐÓÓ Ð Ò ÙÖ º½º ÆÓÛ Û Ò ÖØ Ñ ÒØ s r ÙÖ º µº À Ö Ö Ø ÓÙÖ Ø Ô Ø Ø Û Ò ØÓ Ó Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ì r º ½º Find Ø ØÖ Ô ÞÓ 0 Ó Ì r 1 Ø Ø ÓÒØ Ò Ø Ð Ø Ò ÔÓ ÒØ Ó s r º ¾º Trace s r Ø ÖÓÙ Ì r 1 ÙÒØ Ð Ø ØÖ Ô ÞÓ ÓÒØ Ò Ò Ø Ö Ø Ò ÔÓ ÒØ Ó s r ÓÙÒ º ÌÓ Ø ÖÓÑ Ø ÙÖÖ ÒØ ØÖ Ô ÞÓ ØÓ Ø Ò ÜØ ÓÒ ØÖ Ú Ö Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó ÙÒØ Ð Ø ÓÙÒ Ø ÖÓÙ Û s r Ð Ú º º Split Ø ØÖ Ô ÞÓ ÒØ Ö Ø Ý s r º ØÖ Ô ÞÓ Ñ Ý Ø Ö ÔÐ Ý ØÛÓ Ò Û ØÖ Ô ÞÓ s r ÒØ Ö Ø ØÛÓ Ú ÖØ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó µ Ø Ö Ò Û ØÖ Ô ÞÓ s r ÒØ Ö Ø ÓÒ Ú ÖØ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó µ ÓÙÖ Ò Û ØÖ Ô ÞÓ s r ÒØ Ö Ø ÒÓ Ú ÖØ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó µº º Merge ØÖ Ô ÞÓ Ý Ö ÑÓÚ Ò Ô ÖØ Ó Ú ÖØ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ø Ø Ó ÒÓØ ÐÓÒ ØÓ Ì r ÒÝÑÓÖ º ÙÖ º ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Trace Ò Split Ø Ô º s 6 ÒØ Ö Ø 5 ØÖ Ô ÞÓ Ò Ø Ý Ö Ò ÔÐ Ø ÒØÓ 3, 3, 4, 3 Ò 3 ØÖ Ô ÞÓ Ö Ô Ø Ú Ðݺ 69

ÔØ Ö º ÌÖ Ô ÞÓ Ð Å Ô ¾¼½¼ 2 1 3 4 5 Figure 9.3: Ì ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ö Ò Ñ ÒØ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÐ Ò ÒØÓ ÐÐ º ÓÖ Ü ÑÔÐ ÐÐ ÙÒ ÓÒ Ó Ú ØÖ Ô ÞÓ º Ì Merge Ø Ô ÓÛÒ Ò ÙÖ º º ÁÒ Ø Ü ÑÔÐ Ø Ö Ö ØÛÓ Ú ÖØ Ð Ø Ø Ò ØÓ Ö ÑÓÚ Ò Ø Û Ø ÖÓ µ Ù Ø Ý ÓÑ ÖÓÑ Ú ÖØ Ð ÜØ Ò¹ ÓÒ Ø Ø Ö ÙØ Ó«Ý Ø Ò Û Ñ Òغ ÁÒ ÓØ Ø ØÛÓ ØÖ Ô ÞÓ ØÓ Ø Ð Ø Ò Ö Ø Ó Ø Ö ÑÓÚ Ö Ò Ñ Ö ÒØÓ ÓÒ ØÖ Ô ÞÓ Ö ÛÒ µº 9.4 Using trapezoidal maps for point location Ê ÐÐ Ø Ø Ò Ø ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Û Û ÒØ ØÓ ÔÖ ÔÖÓ Ú Ò Ø S Ó ¹ Ñ ÒØ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò Û Ö Ù ÕÙ ÒØ ÔÓ ÒعÐÓ Ø ÓÒ ÕÙ Ö S Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø ÔÐ Ò ÒØÓ ÓÒÒ Ø ÐÐ Ò Û Û ÒØ ØÓ ÒÓÛ Ú Ò ÕÙ ÖÝ ÔÓ ÒØ q ØÓ Û ÐÐ q ÐÓÒ ÙÖ º¾º ÆÓØ Ø Ø Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó S Ö Ò Ñ ÒØ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÐ Ò ÒØÓ ÐÐ Ò Ø Ò Ø Ø ÐÐ Ñ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÒØÓ Ú Ö Ð ØÖ Ô ÞÓ ÙØ Ú ÖÝ ØÖ Ô ÞÓ ÐÓÒ ØÓ Ò Ð ÐÐ ÙÖ º º Ì Ù ÓÒ Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó S ÓÒ ØÖÙØ Û Ò ÐÝ ÐÙ ØÓ Ø Ö ØÖ Ô ÞÓ Ø Ø ØÓÙ ÐÓÒ Ø Ö Ú ÖØ Ð Ó Ø Ò Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÐÐ º Ì Ò Û Ò Ò Û Ö ÔÓ ÒعÐÓ Ø ÓÒ ÕÙ Ö Ù Ò Ø Ñ ÖÓÙØ Ò Ø Ø Ô Ö ÓÖÑ Ø Find Ø Ô Û Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ö ÐÓÛµº 70

¾¼½¼ º º Ò ÐÝ Ó Ø ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Figure 9.4: Ò Û Ñ ÒØ µ ØÓ Ò ÖØ 9.5 Analysis of the incremental construction ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ò ÐÝÞ Ø ÖÙÒØ Ñ Ó Ø ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Û Ò ÖØ Ø Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ ÓÖ Ö Ò Û ÑÔÐÓÝ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ÛÓÖ º Ï Ð Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Find Ø Ô Ò Ù Û Ý Ø Ø Ø Ò ÐÝ Ó Ð ÓÛÒ ØÓ ÓÒ Ø ÓÙÒØ Ò Ù Ø ÓÖ Ø Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº 9.5.1 Defining The Right Configurations Ê ÐÐ Ø Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô ÕÙ ÖÙÔÐ Ë = (X, Π, D, K) Û Ö X Ø ÖÓÙÒ Ø Π Ø Ø Ó ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ D Ñ ÔÔ Ò Ø Ø Ò ØÓ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ò Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ö ØÓÖ µ Ò K Ñ ÔÔ Ò Ø Ø Ò ØÓ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ö µº ÁØ Ñ Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÓÓ X = S Ø Ø Ó Ñ ÒØ Ò ØÓ Ò Π Ø Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ð ØÖ Ô ÞÓ Ø Ø ÓÙÐ ÔÔ Ö Ò Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó ÓÑ Ù Ø Ó Ñ ÒØ º ÁÒ Ø Ø ÓÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô ÓÖ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò Ö ØÓÖ ÓÒ Ø Òغ Lemma 9.2 ÓÖ Ú ÖÝ ØÖ Ô ÞÓ Ò Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó R S Ø Ö Ü Ø Ø D R Ó Ø ÑÓ Ø ÓÙÖ Ñ ÒØ Ù Ø Ø Ò Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó Dº Proof. Ý ÓÙÖ Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÙÑÔØ ÓÒ ÒÓÒ¹Ú ÖØ Ð Ó Ù Ø Ó ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ò R Ò Ú ÖØ Ð Ó Ò Ù Ý ÙÒ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ö Øµ 71

ÔØ Ö º ÌÖ Ô ÞÓ Ð Å Ô ¾¼½¼ Figure 9.5: Ì Trace Ò Split Ø Ô Ò ÔÓ ÒØ ÓÖ Ý Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ØÛÓ ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ º ÁÒ Ø Ð ØØ Ö ÓÒ Ó Ø Ñ ÒØ Ð Ó ÓÒØÖ ÙØ ÒÓÒ¹Ú ÖØ Ð Ò Ò Ø ÓÖÑ Ö Û ØØÖ ÙØ Ø Ò ÔÓ ÒØ ØÓ Ø ØÓÔÑÓ Ø Ñ ÒØ Û Ø Ø Ø Ð Ø ÓÖ Ö Øµ Ò ÔÓ Òغ ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ø Ö Ø Ó Ø ÑÓ Ø ÓÙÖ Ñ ÒØ Û Ó ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô ÐÖ Ý ÓÒØ Ò º ÙØ Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ º Ê ÐÐ Ø Ø Û Ò ÔÔÐÝ Ø Ò Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ò ÐÝ ÓÒÐÝ µ Ø Ó Ø Ó ÙÔ Ø Ò Ì r 1 ØÓ Ì r ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ØÖÙØÙÖ Ð Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ì r 1 \ Ì r Ò µ Ø ÜÔ Ø Ó Ø Ó ÐÐ Find ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙÖ Ò Ø Ö Ò ÓÑ Þ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ¹ ØÖÙØ ÓÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÜÔ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ Ø º Ì Ø ÓÒ Ø ÓÙÒØ Ò Ô Öغµ À Ö Û Ø Ø ÐÖ Ý µ Ð º ÙÖ Ò Ø Trace Ø Ô Û ØÖ Ú Ö Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó ØÖ Ô ÞÓ ÒØ Ö Ø Ý s r Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò Ø Ò ÜØ ØÖ Ô ÞÓ º Ú Ò s r ÒØ Ö Ø ÓÒÐÝ Ñ ÐÐ ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ô ÞÓ Ó Ø Ø Ø ØÖÙØÙÖ Ð Ò Ñ Ðе Ø ØÖ Ú Ö Ð Ñ Ý Ø Ú ÖÝ ÐÓÒ º Ì Ù ØÓ Ø Ø Ø Ø ØÖ Ô ÞÓ Ò Ò ÒØ ØÓ Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó º ÓÒ Ö Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ð Ò ÙÖ º º ÁØ Ñ ÒÝ Ò ÒØ Ú ÖØ Ð ÜØ Ò ÓÒ ÖÓÑ ÓÚ º ÌÖ Ò Ñ ÒØ Ø ÖÓÙ Ù ØÖ Ô ÞÓ Ø Ø Ñ Ø Ø Û ÒÒÓØ Ö ØÓ Ø ØÖÙØÙÖ Ð Ò º ÌÓ Ð Û Ø Ø Û Ð ØÐÝ ÔØ ÓÙÖ ÒÓØ ÓÒ Ó ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº Definition 9.3 Ä Ø Π Ø Ø Ó ÐÐ ØÖ Ô ÞÓ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ú ÖØ Ð ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð µ Ø Ø ÔÔ Ö Ò Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó ÓÑ 72

¾¼½¼ º º Ò ÐÝ Ó Ø ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Figure 9.6: Ì Merge Ø Ô Figure 9.7: ÌÖ Ô ÞÓ Ñ Ý Ú Ö ØÖ Ö ÐÝ Ð Ö ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ù Ø Ó X = S ÙÖ º º ØÖ Ô ÞÓ Û Ø ÓÙØ ÒÝ Ò ÒØ Ú ÖØ Ð Ð Ó ÓÒ Ö ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ðº Ø ØÙÖÒ ÓÙØ Û Ø ÐÐ Ú ÓÒ Ø ÒØÐÝ Ñ ÒÝ Ò Ö ØÓÖ º Lemma 9.4 ÓÖ Ú ÖÝ ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð Ò Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó R S Ø Ö Ü Ø Ø D R Ó Ø ÑÓ Ø Ü Ñ ÒØ Ù Ø Ø Ò Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó Dº Proof. Ï ÐÖ Ý ÒÓÛ ÖÓÑ Ä ÑÑ º¾ Ø Ø Ø ØÖ Ô ÞÓ Û Ø ÓÙØ Ø Ð Ø ÑÓ Ø 4 Ò Ö ØÓÖ º Ò Ò Ø Ø Ð Ò Ù Ý ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ ÓÖ Ý Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ÙÒ ÕÙ Ô Ö Ó Ñ ÒØ Ø Ð Ñ ÓÐÐÓÛ º À Ö Ø ÓÑÔÐ Ø Ô Ø ÓÒ Ó ÓÙÖ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ë = (X, Π, D, K)º 73

ÔØ Ö º ÌÖ Ô ÞÓ Ð Å Ô ¾¼½¼ Figure 9.8: ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð ØÖ Ô ÞÓ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ú ÖØ Ð ØØ ØÓ Ø ÙÔÔ Ö ÓÖ Ø ÐÓÛ Ö Ñ Òغ Definition 9.5 Ä Ø X = S Ø Ø Ó Ñ ÒØ Ò Π Ø Ø Ó ÐÐ ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ðº ÓÖ ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð D( ) Ø Ø Ó Ø ÑÓ Ø 6 Ò Ö ØÓÖ º K( ) Ø Ø Ó ÐÐ Ñ ÒØ Ø Ø ÒØ Ö Ø Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ØÖ Ô ÞÓ ÓÖ ÙØ Ó«ÓÑ Ô ÖØ Ó Ø Ø Ð ÓÖ Ö ÔÐ Ø ØÓÔÑÓ Ø Ò Ö ØÓÖ Ó Ø Ð Ø ÓÖ Ö Ø ÙÖ º º Ì Ò Ë = (X, Π, D, K) ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ó Ñ Ò ÓÒ Ø ÑÓ Ø 6 Ý Ä ÑÑ º º Ì ÓÒÐÝ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø Û Ò ØÓ Ø Ø D( ) K( ) = ÓÖ ÐÐ ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð ÙØ Ø Ð Ö Ò ÒÓ Ò Ö ØÓÖ Ó ÔÖÓÔ ÖÐÝ ÒØ Ö Ø Ø ØÖ Ô ÞÓ Ó ÓÖ ÙØ Ó«Ô ÖØ Ó Ø Ø Ðº Figure 9.9: ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð Ò ÓÒ Ø Û Ø Ñ ÒØ s µ s ÒØ Ö Ø Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Øµ ÓÖ ÙØ Ó«Ô ÖØ Ó Ø Ø Ð Ñ Ð µ ÓÖ Ò Û ØÓÔÑÓ Ø Ñ ÒØ Ò Ö Ø Ò Ú ÖØ Ð º 9.5.2 Update Cost ÆÓÛ Û Ò Ö Ù Ø Ø Ø ÙÔ Ø Ó Ø Ò ÓÙÒ Ý Ø ØÖÙØÙÖ Ð Ò º Ï ÑÔÐÓÝ Ø Ñ ØÖ ÓÖ Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ º Ï ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÙÔ Ø Ó Ø Ò Ø Ô r 1 r ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ò ØÖÓÝ º ÇÚ Ö Ø Û ÓÐ Ð ÓÖ Ø Ñ Û ÒÒÓØ ØÖÓÝ ÑÓÖ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ò Û Ö Ø Ó Ø ÓÙÒ Ø Ø Û Ø Ð Ó ÓÙÒ Ò Ø ÖÑ Ó Ø ÓÚ Ö ÐÐ ØÖÙØÙÖ Ð Ò º 74

¾¼½¼ º º Ò ÐÝ Ó Ø ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Lemma 9.6 ÁÒ ÙÔ Ø Ò Ì r 1 ØÓ Ì r Ø Ø Ô Trace Split Ò Merge Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò Ø Ñ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð Ò Ì r 1 \ Ì r º Proof. Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÒÙÑ Ö Ó µ Ó ØÖ Ô ÞÓ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð Ø Ø Ö Ø ØÖ Ô ÞÓ º Ì Ñ Ò Ø Ó Ø Ó ØÖ Ú Ö Ò Ø ØÖ Ô ÞÓ Ò Ö ØÓ Ø ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð ÓÒØ Ò Ò Ø Ò ÐÐ Ó Ø Ñ Û ÐÐ ØÖÓÝ Ø ÒÐÙ Ø ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð Ø Ø Ù Ø Ò Ø Ö Ð Ø ÓÖ Ö Ø Ò Ö ØÓÖ Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ø Ð Ó ØÖÙØ ÓÒµº Ì Ø Ö Ó Ø Trace Ø Ôº Ì Split Ò Merge Ø Ô Ò ÓÒ Û Ø Ò Ø Ñ ÝÑÔØÓØ Ø Ñ ÓÙÒ Ò Ø Ý Ò Ô Ö ÓÖÑ Ý ØÖ Ú Ö Ò Ø ÓÙÒ Ö Ó ÐÐ ÒØ Ö Ø ØÖ Ô ÞÓ ÓÒ Ø ÒØ ÒÙÑ Ö Ó Ø Ñ º ÓÖ Æ ÒØÐÝ Ó Ò Ø Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Û Ò ÓÖ Ü ÑÔÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ù Ò ÓÙ ÐݹÓÒÒ Ø Ð Øº Ï Ò ÒÓÛ ÑÔÐÓÝ Ø Ò Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ò ÐÝ ØÓ ÓÙÒ Ø ÜÔ Ø ØÖÙØÙÖ Ð Ò Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ö Ò ÓÑ Þ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ÓÛÒ Ø ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÓÙÒ Ø ÜÔ Ø Ó Ø Ó Ø Trace Split Ò Merge Ø Ô Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ð ÓÖ Ø Ñº Ä Ø Ù Ö ÐÐ Ø Ò Ö Ð ÓÙÒ º Theorem 9.7 Ä Ø Ë = (X, Π, D, K) ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ó Ü Ñ Ò ÓÒ Û Ø X = nº Ì ÜÔ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ö Ø Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÙÒ Ý ¼ O n r=1 t r r ½, Û Ö t r Ø ÜÔ Ø Þ Ó Ì r Ø ÜÔ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ú ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ö r Ò ÖØ ÓÒ Ø Ô º 9.5.3 The History Graph À Ö ÓÛ Û Ö Ð Þ Ø Find Ø Ô Û ÐÐ Ø ÔÓ ÒعÐÓ Ø ÓÒ ÕÙ Ö ÓÖ ÓÙÖ ÔÓ Òع ÐÓ Ø ÓÒ ÔÔÐ Ø ÓÒµº ÁØ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ØÓÖÝ Ö Ô ÔÔÖÓ ÓÖ Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ º Ú ÖÝ ØÖ Ô ÞÓ Ø Ø Û Ú Ö Ö Ø ÒÓ Ò Ø ØÓÖÝ Ö Ô Û Ò Ú Ö ØÖ Ô ÞÓ ØÖÓÝ Û ÓÙØ Ó Ò ØÓ Ø Ø ÑÓ Ø ÓÙÖµ Ù ÓÖ ØÖ Ô ÞÓ º ÆÓØ Ø Ø ØÖ Ô ÞÓ Ö ØÖÓÝ ÙÖ Ò Ø Ø Ô Split Ò Mergeº ÁÒ Ø Ð ØØ Ö Ø Ô Ú ÖÝ ØÖÓÝ ØÖ Ô ÞÓ ÓÒÐÝ ÓÒ Ù ÓÖ ØÖ Ô ÞÓ Ò Ñ ÐÝ Ø ÓÒ Ø Ñ Ö ÒØÓº ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø Û Ò ÔÖÙÒ Ø ÒÓ Ó Ø Ô Ñ Ö Ð ØÖ Ô ÞÓ Ø Ø Ü Ø ÓÒÐÝ ØÛ Ò Ø Split Ò Merge Ø Ô º Ï Ø Û Ø ØÓÖÝ Ö Ô Ó Ö Ø ÑÓ Ø 4 Ù Ø Ø Ú ÖÝ ÒÓҹРÒÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ØÖ Ô ÞÓ Ò Ì r 1 \ Ì r ÓÖ ÓÑ rº 75

ÔØ Ö º ÌÖ Ô ÞÓ Ð Å Ô ¾¼½¼ 9.5.4 Cost of the Find step Ï Ò Ù Ø ØÓÖÝ Ö Ô ÓÖ ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ ÙÖ Ò Ø Find Ø Ôº Ú Ò Ñ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ p Û Ø ÖØ ÖÓÑ Ø ÓÙÒ Ò ÓÜ Ø ÙÒ ÕÙ ØÖ Ô ÞÓ Û Ø ÒÓ Ò Ö ØÓÖ µ Ø Ø ÖØ Ò ØÓ ÓÒØ Ò pº Ë Ò ÓÖ Ú ÖÝ ØÖ Ô ÞÓ Ò Ø ØÓÖÝ Ö Ô Ø Ö ÓÚ Ö Ý Ø Ø ÑÓ Ø ÓÙÖ Ù ÓÖ ØÖ Ô ÞÓ Û Ò ÑÔÐÝ ØÖ Ú Ö Ø ØÓÖÝ Ö Ô ÐÓÒ Ö Ø ÙÒØ Ð Û Ö Ð Ø Ø ÓÒØ Ò pº Ì Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ØÖ Ô ÞÓ Ó Ø ÙÖÖ ÒØ ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô ÓÒØ Ò Ò pº Ý Ø ÓÙØ Ö ¹ ¹ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ó Ø Ó Ø ØÖ Ú Ö Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø Ð Ò Ø Ó Ø Ô Ø Ø Ø Û ØÖ Ú Ö º À Ö Ø ÖÙ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ø ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ö Ù Ø Ò ÐÝ Ó Ø Find Ø Ô ØÓ ÓÒ Ø ÓÙÒØ Ò º ÆÓØ Ø Ø Ø ÔÖ ÐÝ Û Ø Û Ð Ó ÓÖ Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ü ÔØ Ø Ø Ø Ö Û ØÓ Ð ÜÔÐ ØÐÝ Û Ø Ô Ñ Ö Ð ØÖ Ò Ð º Ê ÐÐ Ò Ø ÓÒ º ÓÖ Ò ØÓ Û ÓÒ Ø Ô Ö (, s) Û Ö ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð ÓÒØ Ò Ò ÓÑ ÒØ ÖÑ Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ò s ¾ K( )º Lemma 9.8 ÙÖ Ò ÖÙÒ Ó Ø ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ØÖ Ô ¹ ÞÓ Ð Ñ Ô Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó ØÓÖÝ Ö Ô ÒÓ ØÖ Ú Ö ÙÖ Ò ÐÐ Find Ø Ô ÓÙÒ Ý Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ Ø ÙÖ Ò Ø ÖÙÒº Proof. Ï Ò Ú Ö Û ØÖ Ú Ö ÒÓ ÙÖ Ò Ò ÖØ ÓÒ Ó Ñ ÒØ s r ݵ Ø ÒÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ØÖ Ô ÞÓ Û Û Ð Ó ÓÒ Ö ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ðµ Ò ÓÑ Ø Ì s, s < r Ù Ø Ø p ¾ Û Ö p Ø Ð Ø Ò ÔÓ ÒØ Ó Ø Ñ ÒØ s r º Ï Ò Ø Ö ÓÖ ÙÒ ÕÙ ÐÝ ÒØ Ý Ø Û Ø Ø ÓÒ Ø (, s r )º Ì Ø Ø Ñ ÒØ ÓÐÐÓÛ º ÆÓÛ Û Ò Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ò ÐÝ Ø Ø ÔÖ ÐÝ ÓÙÒ Ø ÜÔ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ Ø Ò Ø Ö ÓÖ Ø ÜÔ Ø Ó Ø Ó Ø Find Ø Ô ÓÚ Ö Ø Û ÓÐ Ð ÓÖ Ø Ñº Ä Ø Ù Ö Ô ØÙÐ Ø Ø ÓÙÒ º Theorem 9.9 Ä Ø Ë = (X, Π, D, K) ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ó Ü Ñ Ò ÓÒ d Û Ø X = nº Ì ÜÔ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ Ø ÙÖ Ò Ö Ò ÓÑ Þ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙ¹ Ø ÓÒ Ó Ì n ÓÙÒ Ý ¼ n ½ O t r n, r 2 r=1 Û Ö t r ÓÖ Ø ÜÔ Ø Þ Ó Ì r º 9.5.5 Applying the General Bounds Ä Ø Ù ÒÓÛ ÔÔÐÝ Ì ÓÖ Ñ º Ò Ì ÓÖ Ñ º ØÓ ÓÙÖ ÓÒÖ Ø ØÙ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô º Ï Ø Û Ó Ú ÓÙ ÐÝ Ò ØÓ Ø ÖÑ Ò ÓÖ Ø Ø Ø ÕÙ ÒØ ØÝ t r Ø ÜÔ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ú ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ö r Ò ÖØ ÓÒ Ø Ô º Ê ÐÐ Ø Ø Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ø ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð Ø Ø Ü Ø Ø Ø ÔÓ Òغ Ì Ö Ø Ø Ô Ýº 76

¾¼½¼ º º Ò ÐÝ Ó Ø ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Observation 9.10 ÁÒ Ú ÖÝ ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð ÔÖÓ¹ ÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ú ÖØ º Proof. Ú ÖÝ ØÖ Ô ÞÓ Û Ø Ø Ð Ø Ø ØÙ ÐÐÝ Ø Ð Ò Ö ØÓ Ø Ú ÖØ Ü Ó Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô ÓÒ Ø ØÖ Ô ÞÓ Ó Ø Ø Ðº ÆÓ Ú ÖØ Ü Ò Ö ØÛ Ò Ø Û Ýº Ì ØÖ Ô ÞÓ Û Ø ÒÓ Ø Ð Ö Ü ØÐÝ Ø Ó Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ò Ò Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô ÔÐ Ò Ö Ö Ô Ø Ö ÒÙÑ Ö Ð Ó ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ú ÖØ º Í Ò Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Û Ú Ø Ö ÓÖ Ö Ù Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÑÔÙØ Ò t r ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ø ÜÔ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØ Ò Ì r º ÌÓ ÓÙÒØ Ø Ð ØØ Ö Û ÒÓØ Ø Ø Ú ÖÝ Ñ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ Ò Ú ÖÝ Ñ ÒØ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ø 3 Ú ÖØ ÓÒ Ø Ø ÔÓ ÒØ Ø Ð Ò ØÛÓ Û Ö Ø Ú ÖØ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ø ÒÓØ Ö ØÙÖ º À Ö Û Ö Û Ô Ò Ø 4 ÓÙÒ Ò ÓÜ Ú ÖØ ÙÒ Ö Ø ÖÙ º Observation 9.11 ÁÒ Ú ÖÝ ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó r Ñ ÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØ 6r + 3k, Û Ö k Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô ÖÛ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø r Ñ ÒØ º ËÓ Ö Û Ú ÒÓØ Ù Ø Ø Ø Ø Û Ú Ö Ò ÓÑ Ò ÖØ ÓÒ ÓÖ Ö ÙØ Ø ÓÑ Ò Üغ Lemma 9.12 Ä Ø K Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ô ÖÛ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ñ ÒØ Ò S Ò Ð Ø k r Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ÓÖ Ø ÜÔ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô ÖÛ Ò¹ Ø Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ö Ø r Ñ ÒØ Ò ÖØ ÙÖ Ò Ö Ò ÓÑ Þ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒº Ì Ò n 2 r 2 r(r 1) k r = K = K n(n 1). n r Proof. Ä Ø Ù ÓÒ Ö Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ó ØÛÓ Ü Ñ ÒØ s Ò s º Ì ¼ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ÔÔ Ö Ò Ì r Ò ÓÒÐÝ ÓØ s Ò s Ö ÑÓÒ Ø Ö Ø r Ñ ÒØ º ¼ n Ì Ö Ö r Û Ý Ó ÓÓ Ò Ø Ø Ó r Ñ ÒØ Ò ÐÐ Ó Ú Ø Ñ ÔÖÓ ¹ n 2 Ð Øݵ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó r¹ Ð Ñ ÒØ Ø ÓÒØ Ò Ò s Ò s r 2 ¼ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ÓÖ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ØÓ ÔÔ Ö n 2 r 2 n r = r(r 1) n(n 1). ËÙÑÑ Ò Ø ÙÔ ÓÚ Ö ÐÐ K ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ò Ù Ò Ð Ò Ö ØÝ Ó ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ñ ÒØ ÓÐÐÓÛ º ÖÓÑ Ç ÖÚ Ø ÓÒ º½¼ Ç ÖÚ Ø ÓÒ º½½ Ò Ä ÑÑ º½¾ Û Ó Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò 77

ÔØ Ö º ÌÖ Ô ÞÓ Ð Å Ô ¾¼½¼ Corollary 9.13 Ì ÜÔ Ø ÒÙÑ Ö t r Ó Ø Ú ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ö r Ò ÖØ ÓÒ Ø Ô r(r 1) t r = O r + K. n 2 ÈÐÙ Ò Ø ÒØÓ Ì ÓÖ Ñ º Ò Ì ÓÖ Ñ º Û Ó Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ð Theorem 9.14 Ä Ø S Ø Ó n Ñ ÒØ Ò Ø ÔÐ Ò Û Ø ØÓØ Ð Ó K Ô ÖÛ ÒØ Ö Ø ÓÒ º Ì Ö Ò ÓÑ Þ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ó S Ò Ø Ñ O(n ÐÓ n + K). Proof. Ï ÐÖ Ý ÒÓÛ Ø Ø Ø ÜÔ Ø ÙÔ Ø Ó Ø Ù ÙÑ Ò Ø Ô Trace Split Ò Mergeµ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÜÔ Ø ÓÚ Ö ÐÐ ØÖÙØÙÖ Ð Ò Û Ý Ì ÓÖ Ñ º ¼ O n r=1 t r r ½ ¼ = O(n) + O K n 2 n r=1 ½ r = O(n + K). Ï ÙÖØ Ö ÒÓÛ Ø Ø Ø ÜÔ Ø ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ù ÙÑ Ò Ø Ô Findµ ÔÖÓ¹ ÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÓÚ Ö ÐÐ ÜÔ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ Ø Û Ý Ì ÓÖ Ñ º ¼ n O n r=1 ½ ¼ t r = O(n ÐÓ n) + O K r 2 n n 1 = O(n ÐÓ n + K). r=1 ½ 9.6 Analysis of the point location Ò ÐÐÝ Û Ö ØÙÖÒ ØÓ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô ÓÖ ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒº Ï Ñ ÔÖ Û Ø Û Ñ Ò Ý Ý Ò Ø Ø ÔÓ ÒعÐÓ Ø ÓÒ ÕÙ Ö Ö Ò Ð Ò O(ÐÓ n) ÜÔ Ø Ø Ñ Ò Û ÔÖÓÚ ÓÙÖ Ð Ñº Lemma 9.15 Ä Ø S = {s 1,..., s n } ÒÝ Ø Ó n Ñ ÒØ º Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÓÒ¹ Ø ÒØ c > 0 Ù Ø Ø Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ Ò Ò Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ò Ò ØÓ 1 n µ Ø ØÓÖÝ Ö Ô ÔÖÓ Ù Ý Ø Ö Ò ÓÑ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò Û Ö Ú ÖÝ ÔÓ Ð ÔÓ ÒعÐÓ Ø ÓÒ ÕÙ ÖÝ Ò Ø Ñ Ø ÑÓ Ø c ÐÓ nº ÆÓØ Ø Ø ÓÙÖ ÓÒÐÝ Ö Ò ÓÑÒ ÙÑÔØ ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ö Ò ÓÑ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó S Ó Ò Ø Ø ÒÒ Ò Ó Ø ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒº Ï Ó ÒÓØ Ñ ÒÝ Ö Ò ÓÑÒ ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ Ø Ú Ò Ø Ó Ñ ÒØ º Ì ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ º½ Ý ØÝÔ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÖÒÓ«³ ÓÙÒ ÓÐÐÓÛ Ý Ø ÙÒ ÓÒ ÓÙÒ º Ê ÐÐ ÓÖ ÔÐ Ñ Øµ ÖÒÓ«³ ÓÙÒ 78

¾¼½¼ º º Ò ÐÝ Ó Ø ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ Lemma 9.16 Ä Ø X 1, X 2,..., X n Ò Ô Ò ÒØ ¼»½ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ò Ð Ø X = X 1 + + X n º Ä Ø p i = ÈÖ[X i = 1] Ò Ð Ø µ = E[X] = p 1 + + p n º Ì Ò e δ µ ÈÖ[X < (1 δ)µ] < ÓÖ Ú ÖÝ 0 < δ < 1; (1 δ) 1 δ ÈÖ[X > (1 + δ)µ] < e δ (1 + δ) 1+δ µ ÓÖ Ú ÖÝ δ > 0. Ì ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ò ØÓ ÒÓØ Ø Ø e δ /(1 δ) 1 δ Û ÐÐ e δ /(1+δ) 1+δ Ö ØÖ ØÐÝ Ð Ø Ò 1 ÓÖ Ú ÖÝ Ü δ > 0 Ò Ö Û Ø ÒÖ Ò δº ÆÓÛ ØÓ Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ º½ Proof. Ö Ø ÒÓØ Ø Ø Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ö Ö Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÔÓ Ð ÕÙ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ø Ö ÓÒÐÝ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÑ Ò ØÓÖ ÐÐÝ Ø ÒØ ÔÓ Ð ÕÙ Ö Á ØÛÓ ÕÙ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ð ØÓ Ø Ö Ò Ú ÖÝ ØÖ Ô ÞÓ Ø Ö ÓØ Ò ÓÖ ÓØ ÓÙØ µ ÑÓÒ ÐÐ ÔÓ Ð ØÖ Ô ÞÓ Ò Ý Ñ ÒØ Ó S Ø Ò Ø Ö ÒÓ «Ö Ò Ò ÕÙ ÖÝ Ò ÓÒ ÔÓ ÒØ Ú Ö Ù ÕÙ ÖÝ Ò Ø ÓØ Ö Ö Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ÖÒ º Ë Ò Ø Ö Ö O(n 4 ) ÔÓ Ð ØÖ Ô ÞÓ Ö ÐÐ Ø Ø ØÖ Ô ÞÓ Ò Ý Ø ÑÓ Ø ÓÙÖ Ñ ÒØ µ Ø Ö Ö ÓÒÐÝ O(n 4 ) ÕÙ Ö Û Ú ØÓ ÓÒ Öº Ü ÕÙ ÖÝ ÔÓ ÒØ qº Ï Û ÐÐ ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ð Ö ÒÓÙ ÓÒ Ø ÒØ c > 0 Ù Ø Ø ÓÒÐÝ Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÑÓ Ø O(n 5 ) Ó Ø ÕÙ ÖÝ ÓÒ q Ø ÑÓÖ Ø Ò c ÐÓ n Ø Ô º Ä Ø s 1, s 2,..., s n Ø Ö Ò ÓÑ ÓÖ Ö Ó Ø Ñ ÒØ Ó Ò Ý Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÖ 1 r n Ð Ø Ì r Ø ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ò Ö Ø Ý Ø Ö Ø r Ñ ÒØ º ÆÓØ Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ r Ø ÔÓ ÒØ q ÐÓÒ ØÓ Ü ØÐÝ ÓÒ ØÖ Ô ÞÓ Ó Ì r º Ì ÕÙ Ø ÓÒ ÓÛ Ñ ÒÝ Ø Ñ Ø ØÖ Ô ÞÓ ÓÒØ Ò Ò q Ò ÙÖ Ò Ø Ò ÖØ ÓÒ Ó Ø Ñ ÒØ Ò Ø Ö Ü ØÐÝ Ø ØÖ Ô ÞÓ Ó Ø ØÓÖÝ Ö Ô Ø Ø Û ÐÐ Ú Ø Û Ò Û Ó ÔÓ ÒعÐÓ Ø ÓÒ ÕÙ ÖÝ ÓÒ qº ÓÖ 1 r n Ð Ø A r Ø Ú ÒØ Ø Ø Ø ØÖ Ô ÞÓ ÓÒØ Ò Ò q Ò ÖÓÑ Ì r 1 ØÓ Ì r º Ï Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó A r Ò Ë Ø ÓÒ º Û ÖÙÒ Ø ÑÓÚ Û Ö ÌÓ Ó Ø Ò Ì r 1 ÖÓÑ Ì r Û Ð Ø Ö Ò ÓÑ Ñ ÒØ ÖÓÑ ÑÓÒ s 1,..., s r Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø ØÖ Ô ÞÓ ÓÒØ Ò Ò q Ò Ì r ØÖÓÝ Ø ÑÓ Ø 4/r Ò Ø ØÖ Ô ÞÓ Ò Ý Ø ÑÓ Ø ÓÙÖ Ñ ÒØ º Ì Ù ÈÖ[A r ] 4/r Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ó Ú ÖÝ ÓØ Ö A s s = rº ÓÖ r Ð Ø X r Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ÕÙ Ð ØÓ ½ A r ÓÙÖ Ò ÕÙ Ð ØÓ ¼ ÓØ ÖÛ º Ï Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø ÕÙ ÒØ ØÝ X = X 1 + + X r º Ì Ò µ = E[X] = n r=1 ÈÖ[A r] = 4 ÐÒn + O(1)º ÔÔÐÝ Ò ÖÒÓ«³ ÓÙÒ Û Ø δ = 2 Ø Ù Ø Ñ ØØ Ö Ó ÓÓ Ò δ Ð Ö ÒÓÙ µ Û Ø ÈÖ[X > (1 + δ)µ] < 0.273 µ = O(0.273 4ÐÒn ) = O(n 5.19 ), Ó Û Ò Ø ÓÙÖ c ØÓ ÒÝØ Ò Ð Ö Ö Ø Ò 4(1 + δ) = 12º Ì Ù ÓÖ Ú ÖÝ Ü ÕÙ ÖÝ q Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ú ÒØ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ø Ø Ö ÙÐØ Ò ÐÓÒ ÕÙ ÖÝ Ø Ñ µ O(n 5 )º Ë Ò Ø Ö Ö ÓÒÐÝ O(n 4 ) ÔÓ Ð Ó ÓÖ 79

ÔØ Ö º ÌÖ Ô ÞÓ Ð Å Ô ¾¼½¼ q Ý Ø ÙÒ ÓÒ ÓÙÒ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ÓÑ q Ú Ò Ú ÒØ O(1/n) Û Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ Û Ø nº Questions º Ï Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ó ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô º ÀÓÛ Ó Ø Ö Ò ÓÑ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô ÔÖÓ Ï Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ô ØÓ Ü ÙØ Ø Ø Ö Ø ÓÒ º ÀÓÛ Ò ØÖ Ô ÞÓ Ð Ñ Ô Ù ÓÖ Ø ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ º Ï Ø Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ÛÓÖ Ê ÐÐ Ë Ø ÓÒ º º ¼º Ï Ø Ò Ú Û Ý Ó Ò Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ó ØÖ Ô ÞÓ Ò Û Ý Ó Ø Ð ½º Ï Ø ÑÓÖ Ù ÙÐ Û Ý Ó Ò Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÛÓÖ Ò Ø Ï Ý Ó Ø Ò ¾º Ï Ø Ø ØÓÖÝ Ö Ô Ò ÓÛ Ø Ù ØÓ Ò Û Ö ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ ÕÙ Ö º Ï Ø Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ø Ö Ò ÓÑ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø ØÖ Ô ¹ ÞÓ Ð Ñ Ô Û Ò Ù ÓÖ Ø ÔÓ ÒعÐÓ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖ º Ï Ø ÔÖÓ Ð Ø Ø Ò ÕÙ Ö Ù Ò ÔÖÓÚ Ò Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò ÓÙÒ 80