Fibonacci Overview ÐÐ ÏÙÖØÞ 1 Motivation ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ËÙÔÔÓ Ò ÛÐݹ ÓÖÒ Ô Ö Ó Ö Ø ÓÒ Ñ Ð ÓÒ Ñ Ð Ö ÔÙØ Ò Ð º Ì Ö Ø Ö Ð ØÓ Ñ Ø Ø Ø Ó ÓÒ ÑÓÒØ Ò Ø Ý Ú ÖØ ØÓ Ñ Ð ¹ Ñ Ð Ô Ö Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÑÓÒØ º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ØÛÓ ÑÓÒØ Ø Ö Ô Ö Ó Ö Ø ÓÖÒ ÒÓØ Ö Ô Ö ÔÖÓ Ù º ÙÑ Ò ÒÓ Ö Ø ÓÛ Ñ ÒÝ Ô Ö Û ÐÐ Ø Ö Ò ÓÒ Ý Ö Ì ÔÖÓ Ð Ñ Û Ö Ø ÔÓ Ý Ä ÓÒ Ö Ó Ó È Ò ÛÓÖ Ä Ö Ì ÓÓ Ó Ø Ù µ Û Û ÔÙ Ð Ò ½¾¼¾º Ä ÓÒ Ö Ó È ÒÓ ØØ Ö ÒÓÛÒ ÓÒ ÙØ Ø Ò Ò Ñ Ò³Ø ÔÔ Ö ÙÒØ Ð Ø ½ Ø ÒØÙÖݺ Ì Ò Ñ ÓÒ ÓÖØ Ò Ò Ó Ð Ù ÓÒ Û Ñ Ò ÓÒ Ó ÓÒ Ó Ð Ø ÓÑÑÓÒ Ò Ð ÙÖÒ Ñ ÂÓ Ò¹ ÓÒµº Ì ÓÙ Ò Ú Ö Ö ÖÖ ØÓ Ñ Ð ÓÒ Ø Ø Ò Ñ Ø Ø ØØ ØÓ Ø ÑÓÙ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò Ø Ø Ò Û Ö Ø Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÃÒÓ¼ º ÓÒ ÒÙÑ Ö Ö Û ÐÝ Ù Ò Ñ ÒÝ «Ö ÒØ Ð Ó Ñ Ø Ñ Ø º ÓÙÒØÐ ÓÓ Û Ø Ò Ú Ò ÓÙÖÒ Ð ÓÒ ÉÙ ÖØ ÖÐÝ Ö ÚÓØ ÒØ Ö ÐÝ ØÓ Ø ØÙ Ý Ó ÓÒ ÒÙÑ Ö ÍÒ ¼ º ÆÓØ ÙÖÔÖ Ò ÐÝ Ø ÑÓÙ ÕÙ Ò Ó ÒÙÑ Ö Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ø º Ï Ð Ø ÒØ Ø Ö Ó Ø Ò ÔÖÓÚ Ù Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ú Ò Ð ÒØ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ø Ø ÐÐÓÛ ÓÖ ÓÙÒØ Ò ÔÖÓÓ º 2 Preliminary Ideas 2.1 Common Definitions ÓÖ Ó Ø ÓÒ ÒØ Ø Ø ÙÑ Ø Ø ÝÓÙ Ö Ñ Ð Ö Û Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÑÑÓÒ Ò Ø ÓÒ Ð º ÅÙÐØ ÔÐ ÒØ Ø ÑÔÐ ØÐÝ Ù Ø ÊÙÐ Ó ËÙÑ Ò ÊÙÐ Ó ÈÖÓ ÙØ ÓÙÒØ Ò ÔÖ Ò ¹ ÔÐ Û ÐÐ Ø Ø ÖÑ ÑÙØÙ ÐÐÝ ÜÐÙ Ú Ò Ò Ô Ò Òغ ËÙÑÑ Ø ÓÒ ÒÓØ Ø ÓÒ Ù Ò ÓÒ Á ÒØ Ø ½ ¾ Ò º Ñ Ð Ö ØÝ Û Ø ÒÓÑ Ð Ó Æ ÒØ Ò Ø ÓÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ð Ó Ò ÖÝ ÓÖ ÓÒ Á ÒØ ØÝ ½º 2.2 Fibonacci Numbers Defined Definition 1 ÓÒ ÆÙÑ Ö Ì ÓÒ ÒÙÑ Ö Ö Ò Ö ÙÖ Ú ÐÝ Ý f 0 = 1,f 1 = 1, Ò ÓÖ n 2, f n = f n 1 + f n 2. Ì Ò Ø Ð ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ö 1,1,2,3,5,8,13,21,... Ì ÓÒ ÕÙ Ò ÓÒ ÑÓÙ Ü ÑÔÐ Ó Ö ÙÖÖ Ò Ö Ð Ø ÓÒº ÁÒ Ò Ö Ð Ö ÙÖÖ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ø Ø ÜÔÖ ÕÙ Ò Ó ÒÙÑ Ö Û Ö ÒÙÑ Ö Ò Ø ÕÙ Ò Ò Ò Ø ÖÑ Ó ÓÒ ÓÖ ÑÓÖ ÔÖ Ú ÓÙ ÒÙÑ Ö Ò Ø ÕÙ Ò º ÁÒ Ø Ó Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ò Ò Ø Ø ÖÑ f n Ô Ò ÒØ ÓÒ ÒÓÛ Ò ÓØ f n 1 Ò f n 2 º ÝÓÙ Ñ Ý Ú ÐÖ Ý ÒÓØ Ø Ò ÖÝ ØÓ Ú Ø ÖØ Ò ÔÓ Òغ Ê ÙÖÖ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ò Û Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÙÒ ÕÙ ÐÝ Ô Ý Ø ÕÙ Ò º ÁÒ Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ø Ö f 0 = 1 Ò f 1 = 1. ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ø Ö Ð Ø ÓÒ f n = f n 1 + f n 2 Û Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ú Ò Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÒØ Ò ÙÒ ÕÙ ÐÝ Ò f n ÓÖ n 2º Ê ØÙÖÒ ÓÖ ÑÓÑ ÒØ ØÓ Ø Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÒÚ Ø Ø Ò ÑÔÐ Ý ÓÑÔÐ Ü ÕÙ Ò º Ì Ð ½ Ô Ø Ø Ö Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÑÓÒØ ÓÖ Ý Ö Ó ¼ Ôº º ½
Month ¼ ½ ¾ ½¼ ½½ ½¾ Baby Pairs ½ ¼ ½ ½ ¾ ½ ¾½ Mature Pairs ¼ ½ ½ ¾ ½ ¾½ ½ Total Pairs ½ ½ ¾ ½ ¾½ ½ ¾ Ì Ð ½ ÓÒ ³ Ê Ø ÈÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ì ÓÙ Ø Ø Ð Ó ÒÓØ ÐÓÓ ÓÑÔÐ Ø Ø Ò Ð ØÓ ÓÒ Ö Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ÔÖ Òغ ÆÓØ Ø Ø Ø Ö Ø Ö Ø ÑÓÒØ Ú ÖÝ Ñ ØÙÖ Ô Ö Ö Ø Ò Ý Ô Ö Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó Ñ ØÙÖ Ô Ö Ò ÓÒ ÑÓÒØ ÓÑ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ý Ô Ö Ò Ø Ò Üغ Ð Ó ÒÓØ Ø Ø Ø Ö Ñ Ð Ö ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÛ Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ö ÖÓÛ º Ø Ö Ø Ö Ø ÑÓÒØ Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ô Ö Ò ÑÓÒØ ÓÑ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ñ ØÙÖ Ô Ö Ò Ø Ò ÜØ ÑÓÒØ º Ï ÓÒÐÙ ÓÒ Ø Ø Ø Ö ÓÒ Ý Ö Ø Ð ÓÒØ Ò f 12 = 233 Ö Ø º 2.3 A Visual Representation ÓÖ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÔÙÖÔÓ ÑÓÖ Ú Ù Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó f n Ò º Ì ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ò Ø Ò ÖÓÑ ÈÖÓÓ Ø Ø Ê ÐÐÝ ÓÙÒØ Ý Öº ÖØ ÙÖ Ìº Ò Ñ Ò Ò Öº  ÒÒ Ö Âº ÉÙ ÒÒ É¼ º È ØÙÖ Ö Ó Ö Ó Ñ Ò ÓÒ 1 n. Ì Ó Ö ÓÑÔÓ Ó ÙÒ Ø ÐÐ ÒÙÑ Ö ½ Ø ÖÓÙ n Ò ØÓ Ú Ð Ò Ø nº Ó Ö Ó Ð Ò Ø n Ð Ó Ö ÖÖ ØÓ Ò n¹ Ó Ö º Ï Û ÐÐ Ù ÕÙ Ö ÓÚ Ö Ò ½ Ðе Ò ÓÑ ÒÓ ÓÚ Ö Ò ¾ ÐÐ µ ØÓ Ø Ð Ø Ó Ö º Theorem 1 t n Ê ÙÖÖ Ò Ê Ð Ø ÓÒ 1 2 3 4 5 6 ÙÖ ½ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ø Ð Ò Ó ¹ Ó Ö º Ä Ø t n ÒÓØ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø ÒØ Ø Ð Ò Ó Ó Ö Ó Ð Ò Ø n Ù Ò ÕÙ Ö Ò ÓÑ ÒÓ º Ì Ò t n Ö ÙÖÖ Ò Ö Ð Ø ÓÒº Proof: ÓÒ Ö Ö Ø Ó Ö Ó Ð Ò Ø ¼º ÇÙØ Ó ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Û Ý Ø Ø Ø Ö ÓÒ Û Ý ØÓ Ø Ð Ó Ö Û Ø ÒÓ ÐÐ Ø ØÓ Ó ÒÓØ Ò º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ t 0 = 1º ÆÓÛ ÓÒ Ö ½¹ Ó Ö º Ð ÖÐÝ Ø ÓÒÐÝ Û Ý ØÓ Ø Ð Ø Ó Ö Û Ø ÓÒ ÕÙ Ö º ËÓ t 1 = 1º Ï ÑÓÚ ÓÒ ØÓ ¾¹ Ó Ö º Ì Ó Ö Ò Ø Ð Û Ø ¾ ÕÙ Ö ÓÖ ½ ÓÑ ÒÓ Ú Ò ØÓØ Ð Ó ¾ Ø Ð Ò º Ì t 1 = 1 Ò t 2 = 2 ËÙÔÔÓ Û Ú Ó Ö Ó Ð Ò Ø n ÓÖ n > 2º ÆÓØ Ø Ø ÒÝ Ø Ð Ò Ó Ó Ö Ó Ð Ò Ø n ÑÙ Ø Ò Û Ø Ø Ö ÕÙ Ö ÓÖ ÓÑ ÒÓº Á Ø Ò Û Ø ÕÙ Ö Û Ö Ð Ø Û Ø Ó Ö Ó Ð Ò Ø n 1 Û Ò Ø Ð Ò t n 1 Û Ý Ý Ò Ø ÓÒº Á Ø n¹ Ó Ö Ò Û Ø ÓÑ ÒÓ Ø Ö Ø Ó Ø Ó Ö Ò Ø Ð Ò t n 2 Û Ý º Ë Ò Ø Ó Ö Ò Û Ø Ø Ö ÕÙ Ö ÓÖ ÓÑ ÒÓ Ø ØÛÓ ÓÔØ ÓÒ Ö ÑÙØÙ ÐÐÝ ÜÐÙ Ú º Ì Ù t n = t n 1 + t n 2 º ¾
Corollary 1 t n ÒØ Ð ØÓ f n Ì ÒÙÑ Ö Ó Û Ý ØÓ Ø Ð Ó Ö Ó Ð Ò Ø n Û Ø ÕÙ Ö Ò ÓÑ ÒÓ f n º Proof: Ò Ò Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ø ÓÖ t n Ö t 0 = 1 Ò t 1 = 1º ÁØ Û Ð Ó ÜÔÐ ØÐÝ ÓÛÒ Ø Ø t 2 = 2 Ø ÓÙ ÓÒÐÝ ØÛÓ Ö Ö ÐÐÝ Ò Öݺµ Ì Ö ÙÖÖ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Û Ú Ò t n = t n 1 + t n 2 º ÇÒ Ò Ö ÐÝ Ø Ø Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ñ Ø Ø Ó Ø ÓÒ ÕÙ Ò º Ë Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ò ØÓ Ú Ø Ñ Ò Ø Ñ Ö ÙÖÖ Ò Ö Ð Ø ÓÒ t n Û Ò ÓÒÐÙ Ø Ø Ø ÕÙ Ò Ú Ò Ý t n ÒØ Ð ØÓ Ø ÕÙ Ò Ú Ò Ý f n º ÓÒ Ø ÓÚ ÓÖÓÐÐ ÖÝ Û Ò Ö ÔÐ Ø t n ÒÓØ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ò Ö ÓÒ ÒÓØ Ø ÓÒº ÐÐ Ó Ø ÓÒ ÒØ Ø ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÖÑ Ó f n Û ÐÐ ÔÖÓÚ ÓÑ Ò ØÓÖ ÐÐÝ Ù Ò Ø Ú Ù Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒº Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ü ÑÔÐ ÙÖØ Ö ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ó ÓÙÖ Ú Ù Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒº Example 1 ÓÒ Ö Ó Ö Ó Ð Ò Ø º Ì Ö Ö f 4 = 5 Û Ý ØÓ Ø Ð Ø Ó Ö º Ì Ý Ö 1 2 3 4 ÙÖ ¾ Ì Ú Ø Ð Ò Ó ¹ Ó Ö Ù Ò ÕÙ Ö Ò ÓÑ ÒÓ º Ü ÓÖ Ù Ò Ø ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ø Ò ÖÝ ØÓ ÒØÖÓ Ù Û ÑÓÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ð Ø ØÓ Ø Ð Ò Ó Ö º Definition 2 Ö Ð Ø Ð Ò Ó Ò n¹ Ó Ö Ö Ð Ø ÐÐ k Ø Ø Ð Ò Ò ÓÑÔÓ ÒØÓ ØÛÓ Ø Ð Ò ÓÒ ÓÚ Ö Ò ÐÐ ½ Ø ÖÓÙ k Ò Ø ÓØ Ö ÓÚ Ö Ò ÐÐ k + 1 Ø ÖÓÙ nº Ì Ò Ø ÓÒ Ò Ð ÖÐÝ Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÖ º 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ÙÖ ½¼¹ Ó Ö Ø Ð Ò Ù Ò ÓÑ ÒÓ Ò ÕÙ Ö º Ì Ó Ö Ó Ð Ò Ø ½¼ Ö Ð Ø ¾ Ò ½¼º ÆÓØ Ø Ø Ø Ð Ò ÓÚ Ö Ó Ö Ó Ð Ò Ø n ÐÛ Ý Ö Ð Ø nº Ì Ò Ø ÓÒ Ó ÙÒ Ö Ð ÜÔ Ø º Definition 3 ÍÒ Ö Ð Ø Ð Ò ÙÒ Ö Ð Ø ÐÐ k ÓÑ ÒÓ ÓÙÔ ÐÐ k Ò k + 1º Ì Ø Ð Ò Ò ÙÖ ÙÒ Ö Ð Ø ÐÐ ½ Ò º
2.4 Pairs of Tilings Definition 4 ÙÐØ Ú Ò Ó Ö Ó Ð Ò Ø n ÔÐ ÓÚ Ó Ö Ó Ð Ò Ø m Û Ý Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ø ÐÐ i Û Ö 1 i n Ò 1 i m ÓØ Ø Ð Ò Ö Ö Ð Ò Ø Ø ÔÐ º ÁÒ Ø Ø Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ó Ø Ø Ð Ò Ö Ð Ò Ø Ö ÙÐØ Ø ÐÐ ¼º ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÐ Ñ ÒØ Ó ½¼¹ Ó Ö Ø Ð Ò Ò Ò ¹ Ó Ö Ø Ð Ò 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 ÙÖ Ì Ô Ö Ó Ø Ð Ò ÙÐØ º Ì Ô Ö Ó Ø Ð Ò Ò Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÙÐØ Û Ö ÒÓØ Ý Ø Ø Ò Ð Ò º Ë Ò ÓØ Ó Ö Ò Ø Ø Ñ ÔÐ Ø Ö ÙÐØ Ø ÐÐ ¼ Ý Ò Ø ÓÒº Ì Ö Ö Ð Ó ÙÐØ Ø ÐÐ Ò º ÁØ ÛÓÖØ Ö Ñ Ñ Ö Ò Ø Ø ÙÐØ Ò Ü Ø Ø ÓØ Ø ÒÒ Ò Ò Ø Ò Ó Ó Ö Ò Ø Ó Ø ¹ Ó Ö µº 3 The Problem Presented ÒØ ØÝ ÓÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ò ÐÓÒ Û Ø The Solution by Counting Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Visual Example Ò Ô Ö Ø Ð Ð ÐÐ ÓÒ Á ÒØ ØÝ ( )º Ì ÓÙ Ø ÒØ Ø Ò Ú Û Ò ÒÝ ÓÖ Ö Ø Ý Ö ÒÙÑ Ö ÓÖ Ò ØÓ ÑÝ Ô Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ö ÆÙÐØÝ Ð Ú Ðº References ɼ ÖØ ÙÖ Ìº Ò Ñ Ò Ò Â ÒÒ Ö Âº ÉÙ ÒÒº ÈÖÓÓ Ø Ø Ê ÐÐÝ ÓÙÒØ Ì ÖØ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÈÖÓÓ º ÆÙÑ Ö ¾ Ò Ì ÓÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÜÔÓ Ø ÓÒ º Ì Å Ø Ñ Ø Ð Ó Ø ÓÒ Ó Ñ Ö ¾¼¼ º Ó ¼ Ö Ó Øغ Ö Ø Å Ø Ï Ø ÈÖÓÓ º ÈÖ ÒØ À ÐÐ ¾¼¼ º ÃÒÓ¼ ÊÓÒ ÃÒÓØغ ÓÒ ÆÙÑ Ö Ò Ø ÓÐ Ò Ë Ø ÓÒº ËÙÖÖ Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ º ÙÖÖ Ýº ºÙ»È Ö ÓÒ Ð»ÊºÃÒÓØØ» ÓÒ» Å Ý ¾¼¼ º ÍÒ ¼ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ëغ Ò Ö Û ØØÔ»»ÛÛÛ¹ ÖÓÙÔ º º ع Ò º ºÙ» ØÓÖÝ»º Ì Å ÌÙØÓÖ À ØÓÖÝ Ó Å Ø Ñ Ø Ö Ú Å Ý ¾¼¼ º
Fibonacci Identity 1 ÐÐ ÏÙÖØÞ Ì Motivation ÓÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ò ÐÓÒ Û Ø Ø Preliminary Ideas Ò ÓÙÒ Ò Ø ÓÒ ÇÚ ÖÚ Û Ð º Ì Ø ÓÙÑ ÒØ Ð Ó ÓÒØ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö Ø Ø ÝÓÙ Ö Ú ØÓ Ö ÓÖ ÓÒØ ÒÙ Ò º 1 The Problem Presented Theorem 1 n 2 ( ) n i = f n i i=0 Á Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ð Ø¹ Ò Ó Ø ÒØ ØÝ ÙÒ Ñ Ð Ö ØÓ ÝÓÙ ÔÐ ÓÒ ÙÐØ Ø ÓÑÑÓÒ Ò Ø ÓÒ Ð º 2 The Solution by Counting ÖÓÑ Ø Ö Ø¹ Ò Û ÐÖ Ý ÒÓÛ Ø Ø Û Ö ÓÙÒØ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ð Ò Ó Ò n¹ Ó Ö º Ý ÓÙÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö Ø ÒÙÑ Ö f n º ÆÓÛ Û Ö Ð Ø ØÓ ÓÛ Ø Ø n 2 ( n i ) i=0 i Ð Ó ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Öº ÆÓØ Ø Ø Û Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ð Ò Ó Ó Ö Ó Ð Ò Ø n Ý Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÑ ÒÓ Ø Ø Ø Ø Ð Ò ÓÒØ Ò º ËÙÔÔÓ Ø Ð Ò ÓÒØ Ò i ÓÑ ÒÓ º Ù ÓÑ ÒÓ Ø ÙÔ ØÛÓ ÐÐ 0 i n 2 º Ð Ó Ò Ø Ö Ö i ÓÑ ÒÓ ÓÖ n ÐÐ Ø Ø Ð Ò ÑÙ Ø ÓÒØ Ò n 2i ÕÙ Ö º Ì Ù Ø Ø Ð Ò ØÓØ Ð Ó i + (n 2i) = n i Ø Ð º ÀÓÛ Ñ ÒÝ Û Ý Ö Ø Ö ØÓ ÓÓ Û Ö Ø i ÓÑ ÒÓ Ó Û Ø Ò Ø n i Ø Ð Ì Ö Ö ( ) n i i Û Ý º Ë Ò ÓÒ Ø Ð Ò Ó Ò n¹ Ó Ö ÒÒÓØ Ú ØÛÓ «Ö ÒØ ÒÙÑ Ö Ó ÓÑ ÒÓ Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÑÙØÙ ÐÐÝ ÜÐÙ Ú º Ì Ù Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ð Ò ÓÒ Ò n¹ Ó Ö n 2 ( n i ) i=0 i. ÕÙ Ø Ò Ø ØÛÓ Û Ý Û ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ º 3 Visual Example ÓÒ Ö Ó Ö Ó Ð Ò Ø º Ê ÐÐ Ø Ø Ø Ö Ö f 5 = 8 Û Ý ØÓ Ø Ð Ø Ó Ö º Ì Ú Ù Ð Þ Ø ÓÒ Ð Ø Ó Ø Û Ý ÓÒ Ø Ö Ø Ò Ø Ò Ð Ø Ø Ñ ÓÖ Ò ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÑ ÒÓ Ø Ø Ø Ð Ò ÓÒØ Ò º Ò Ü ÑÔÐ ÒÓØ Ø Ø Ø Ö Ö ( ) 5 2 2 = 3 Û Ý ØÓ Ø Ð 5¹ Ó Ö Û Ø ¾ ÓÑ ÒÓ º 4 Fibonacci Numbers in Pascal s Triangle Ù Ø ÓÒ ÒØ ØÝ ÓÒØ Ò ÒÓÑ Ð Ó Æ ÒØ Ø Ñ ÒØÙ Ø Ú Ø Ø Ø ÓÙÐ Ò Ò È Ð³ ØÖ Ò Ð º ½ Ì Ñ ÒÙØ ØÓ ØÙ Ý Ø ØÖ Ò Ð Û Ø Ø ÒØ ØÝ Ò Ñ Ò º ËÖÓÐÐ ÓÛÒ ÐÓÛÐÝ Ò ÐÓÓ ÓÒÐÝ Ø Ø Ö Ø ØÖ Ò Ð º Ò ÝÓÙ Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ò ½ ÓÖ Ò ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ö Ø Ñ Ø ØÖ Ò Ð È Ð³ ØÖ Ò Ð µ Ø ÜÔÓ Ø ÓÒ ÒØ ØÐ È Ð³ Á ÒØ Øݺ ½
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ÙÖ ½ È Ð³ ÌÖ Ò Ð Ý ÙÑÑ Ò Ø ÐÐÓÛ ÓÒ Ð Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ö Ú Ð Ï ¼ º 1 1 1 1 1 2 3 5 1 2 1 1 3 3 1 8 13 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ÙÖ ¾ Ì ÓÒ Ë ÕÙ Ò Û Ø Ò È Ð³ ÌÖ Ò Ð º ÌÓ ÓÛ Ø Ø Ö Ð Ø ØÓ Ø ÓÚ ÓÒ ÒØ ØÝ Ö ÓÒ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö f 5 = 8º Ý Ì ÓÖ Ñ ½ Û ÒÓÛ Ø Ø f 5 = 5 2 ) ( i=0 = 5 0 ) ( 0 + 5 1 ) ( 1 + 5 2 ) 2 º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ 8 = 1 + 4 + 3 Û ( 5 i i Û Ø Û ÒÓØ Ò Ø ØÖ Ò Ð º Ù ÓØ Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ò È Ð³ ØÖ Ò Ð Ö Ù ÙÒ ÕÙ ØÖÙØÙÖ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ö Ø Ö ÙÖÔÖ Ò º References ɼ ÖØ ÙÖ Ìº Ò Ñ Ò Ò Â ÒÒ Ö Âº ÉÙ ÒÒº ÈÖÓÓ Ø Ø Ê ÐÐÝ ÓÙÒØ Ì ÖØ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÈÖÓÓ º ÆÙÑ Ö ¾ Ò Ì ÓÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÜÔÓ Ø ÓÒ º Ì Å Ø Ñ Ø Ð Ó Ø ÓÒ Ó Ñ Ö ¾¼¼ º Ï ¼ Ö Ï Ø Òº Å Ø ÛÓÖÐ º ÏÓÐ Ö Ñ Ê Ö ØØÔ»»Ñ Ø ÛÓÖÐ ºÛÓÖÐ Ö ÑºÓÑ» ¾¼¼ º ¾
Fibonacci Identity 2 ÐÐ ÏÙÖØÞ Ì Motivation ÓÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ò ÐÓÒ Û Ø Ø Preliminary Ideas Ò ÓÙÒ Ò Ø ÓÒ ÇÚ ÖÚ Û Ð º Ì Ø ÓÙÑ ÒØ Ð Ó ÓÒØ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö Ø Ø ÝÓÙ Ö Ú ØÓ Ö ÓÖ ÓÒØ ÒÙ Ò º 1 The Problem Presented Theorem 1 ÓÖ n 0, n f k = f n+2 1. k=0 2 The Solution by Counting ÓÒ Ö Ø Ð Ò Ò (n + 2)¹ Ó Ö Û Ø ÕÙ Ö Ò ÓÑ ÒÓ º Ï Ö ÓÒ ÖÒ Û Ø ÓÛ Ñ ÒÝ Ó Ø Ø Ð Ò Ù Ø Ð Ø ÓÒ ÓÑ ÒÓº Ý ÓÙÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó ÓÒ ÒÙÑ Ö Ø Ö Ö f n+2 Û Ý ØÓ Ø Ð Ó Ö Ó Ð Ò Ø (n + 2)º ÜÐÙ Ò Ø ÐÐ ÕÙ Ö Ø Ð Ò Ú f n+2 1 Ø Ð Ò Ø Ø ÒÐÙ Ø Ð Ø ÓÒ ÓÑ ÒÓº Ë Ò Û ÒÓÛ Ø Ö ÑÙ Ø Ø Ð Ø ÓÒ ÓÑ ÒÓ Û Ò ÓÒ Ö Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ø ÓÑ ÒÓº Ä Ø Ø Ð Ø ÓÑ ÒÓ ÓÚ Ö ÐÐ k + 1 Ò k + 2º ÆÓØ Ø Ø Ø Ó Ö Ò Û Ø Ø ÓÒÐÝ ÓÑ ÒÓ Ø Ò k = 0ºµ Ì ÑÔÐ Ø Ø ÐÐ k + 3 Ø ÖÓÙ n + 2 ÑÙ Ø ÓÚ Ö Ý ÕÙ Ö º Ì Ö ÓÖ Ø ÓÒÐÝ ÐÐ Û Ö ÙÒ ÙÖ ÓÙØ ÓÖ k > 0 Ö ÐÐ ½ Ø ÖÓÙ kº ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ø Ö Ö f k Û Ý ØÓ Ø Ð Ø ÐÐ º Ë Ò Ø Ð Ø ÓÑ ÒÓ ÒÒÓØ Ò ØÛÓ ÔÐ Ø ÓÒ Ø ÊÙÐ Ó ËÙÑ ÔÔÐ º Ì Ö Ö Ø Ù f 0 + f 1 + f 2 + + f n = n k=0 f k Û Ý ØÓ Ø Ð Ó Ö Û Ø Ø Ð Ø ÓÒ ÓÑ ÒÓº ÕÙ Ø Ò Ø ØÛÓ Û Ý Û ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ º 3 Visual Example ÓÒ Ö Ó Ö Ó Ð Ò Ø ¾ º Ì Ú Ù Ð Þ Ø ÓÒ Ö Ø Ð Ø Ú ÖÝ Û Ý ØÓ Ø Ð Ø Ó Ö º ÆÓØ Ø Ø Ø Ö Ö f 6 = 13 Û Ý ØÓ Ó Ø º Ï Ø ÓÙØ Ø Ðй ÕÙ Ö Ø Ð Ò Ø Ö Ö f 4+2 1 = 12 Ø Ð Ò º ÆÓÛ ÓÖ Ø Ð Ø¹ Ò ÓÒ Ö Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ø ÓÑ ÒÓº ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ð Ø Ò ÓÒÐݵ ÓÑ ÒÓ Ø Ö Ø Ô ÓÒ Ø Ó Ö Ø ÓÚ Ö ÐÐ ½ Ò ¾º Ì ÑÔÐ Ø Ø Ø Ö Ø Ó Ø Ô Ö ÕÙ Ö Ò Ø Ù Ø Ö ÓÒÐÝ f 0 = 1 Û Ý Ø Ø Ø ÖÖ Ò Ñ ÒØ Ò Ø Ð º Ì Ú Ù Ð Þ Ø ÓÒ Ö ÓÛÒ Ø Ö Ñ Ò Ò ÙÑÑ Ò ÖÓÑ Ø Ð Ø¹ Ò Ò ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ø Ø Ý ØÓ ½¾º References ɼ ÖØ ÙÖ Ìº Ò Ñ Ò Ò Â ÒÒ Ö Âº ÉÙ ÒÒº ÈÖÓÓ Ø Ø Ê ÐÐÝ ÓÙÒØ Ì ÖØ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÈÖÓÓ º ÆÙÑ Ö ¾ Ò Ì ÓÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÜÔÓ Ø ÓÒ º Ì Å Ø Ñ Ø Ð Ó Ø ÓÒ Ó Ñ Ö ¾¼¼ º ½
Fibonacci Identity 3 Ì Motivation ÓÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ò ÐÓÒ Û Ø Ø Preliminary Ideas Ò ÓÙÒ Ò Ø ÓÒ ÇÚ ÖÚ Û Ð º Ì Ø ÓÙÑ ÒØ Ð Ó ÓÒØ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö Ø Ø ÝÓÙ Ö Ú ØÓ Ö ÓÖ ÓÒØ ÒÙ Ò º 1 The Problem Presented Theorem 1 ÓÖ m,n 1 f m+n = f m f n + f m 1 f n 1. 2 The Solution by Counting ÓÒ Ö Ø Ð Ò Ó Ö Ó Ð Ò Ø m + n Û Ø ÕÙ Ö Ò ÓÑ ÒÓ º Ý ÓÙÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö Ø Ö Ö Ð ÖÐÝ f m+n Û Ý ØÓ Ø Ð Ò (m + n)¹ Ó Ö º ÆÓÛ ÓÒ Ö ÐÐ mº Ï Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø Ö Ð ØÝ Ó ÐÐ mº Á ÐÐ m Ö Ð Ø Ò Ý Ò Ø ÓÒ Ø Ø Ð Ò Ò ÓÑÔÓ ÒØÓ Ò m¹ø Ð Ò ÓÐÐÓÛ Ý Ò n¹ø Ð Ò º Ë Ò Ø Ö Ö f m Û Ý ØÓ Ø Ð Ò m¹ Ó Ö Ò f n Û Ý ØÓ Ø Ð Ò n¹ Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ò Ô Ò ÒØ Ó ÓØ Ö Ø Ö Ö f m f n Û Ý ØÓ Ø Ð Ò (m + n)¹ Ó Ö Ö Ð Ø ÐÐ m. ËÙÔÔÓ ÒÓÛ Ø Ø Ø Ó Ö ÒÓØ Ö Ð Ø ÐÐ mº Ì ÑÔÐ Ø Ø ÐÐ m Ò m + 1 Ö ÓÚ Ö Ý ÓÑ ÒÓº Ì Ö ÓÖ Ø Ø Ð Ò ÑÙ Ø Ö Ð Ø ÐÐ m 1 Ò Ø Ö Ö f m 1 Û Ý ØÓ Ø Ð ÐÐ ½ Ø ÖÓÙ m 1º ÆÓØ Ø Ø Ø Ó Ö Ð Ó Ö Ð Ø ÐÐ m+1 Ò Ø Ö Ö (m+n) (m+2)+1 = n 1 ÐÐ ÖÓÑ m + 2 Ø ÖÓÙ m + nº Ì Ó n 1 ÐÐ Ò Ø Ð Ò f n 1 Û Ý º Ì Ù Ø Ö Ö f m 1 f n 1 Û Ý ØÓ Ø Ð Ó Ö Ø Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÐÐ mº Ì Ò Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ô ØÙÖ º m + n tilings breakable at m:...... 1 2 m-1 m m+1 m+2 m+n f m f n m + n tilings unbreakable at m:...... 1 2 m-1 m m+1 m+2 m+n f m-1 f n-1 ÙÖ ½ ÓÙÒØ Ò Ø Ð Ò Ó Ò (m + n)¹ Ó Ö ÓÒ Ø Ö Ð ØÝ Ø mº Ë Ò Ø Ó Ö Ø Ö Ö Ð ÓÖ ÙÒ Ö Ð Ø ÐÐ m Ø Ö Ö ØÓØ Ð Ó f m f n + f m 1 f n 1 Û Ý ØÓ Ø Ð Ó Ö Ó Ð Ò Ø m + nº ÕÙ Ø Ò Ø ØÛÓ Û Ý Û ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ º ½
3 Visual Example ÓÒ Ö Ó Ö Ó Ð Ò Ø Û Ø m = 4 Ò n = 2º Ê ÐÐ Ø Ø Ø Ö Ö f 6 = 13 Û Ý ØÓ Ø Ð Ø Ó Ö º Ì Ú Ù Ð Þ Ø ÓÒ Ð Ø Ø ÓÒ Ø Ð Ø Ó Ø Ö Òº ÆÓÛ ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ö Ð ØÝ Ø ÐÐ º Ì Ú Ù Ð Þ Ø ÓÒ ÓÖØ Ø Ø Ð Ò ÒØÓ Ø ØÛÓ Ó Ø Ö Ø¹ Ò º Á Ø Ö Ð Ø ÐÐ Ø Ö Ö f 4 f 2 = 5 2 Ø Ð Ò º Á Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÐÐ Ø Ö Ö f 3 f 1 = 3 1 Ø Ð Ò º References ɼ ÖØ ÙÖ Ìº Ò Ñ Ò Ò Â ÒÒ Ö Âº ÉÙ ÒÒº ÈÖÓÓ Ø Ø Ê ÐÐÝ ÓÙÒØ Ì ÖØ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÈÖÓÓ º ÆÙÑ Ö ¾ Ò Ì ÓÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÜÔÓ Ø ÓÒ º Ì Å Ø Ñ Ø Ð Ó Ø ÓÒ Ó Ñ Ö ¾¼¼ º ¾
Fibonacci Identity 4 ÐÐ ÏÙÖØÞ Ì Motivation ÓÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ò ÐÓÒ Û Ø Ø Preliminary Ideas Ò ÓÙÒ Ò Ø ÓÒ ÇÚ ÖÚ Û Ð º Ì Ø ÓÙÑ ÒØ Ð Ó ÓÒØ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö Ø Ø ÝÓÙ Ö Ú ØÓ Ö ÓÖ ÓÒØ ÒÙ Ò º 1 The Problem Presented Theorem 1 ÓÖ n 0 n f 2 k = f n f n+1. k=0 2 The Solution by Counting È ØÙÖ ØÛÓ ÓÑ ÒÓ Ó Ö ÓÒ Ó Ð Ò Ø n Ò Ø ÓØ Ö Ó Ð Ò Ø n + 1º Ï Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Û Ý Ø ØÛÓ Ó Ö Ò Ø Ð º Ý ÓÙÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó ÓÒ ÒÙÑ Ö Ø Ö Ö f n Û Ý ØÓ Ø Ð Ò n¹ Ó Ö Ò f n+1 Û Ý ØÓ Ø Ð Ò (n + 1)¹ Ó Ö º Ë Ò Ø Ð Ò ÓÒ Ó Ö Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ð Ò Ø ÓØ Ö Ø Ö Ö f n f n+1 Û Ý ØÓ Ø Ð ÓØ Ó Ö º ÆÓÛ ÔÐ Ø (n + 1)¹ Ó Ö Ö ØÐÝ ÓÚ Ø n¹ Ó Ö Ó Ø Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÖ º... 1 2 n n+1... 1 2 n ÙÖ ½ Ì Ö Ö f n f n 1 Û Ý ØÓ Ø Ð Ø Ó Ö º Ï Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ø ÙÐغ ËÙÔÔÓ Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ø ÙÐØ Ø ÐÐ k Ò ÒÓØ Ø Ø 0 k nº ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ø Ð Ø Ò ÓÒÐÝ ÙÐØ Ñ Ý Ø ÐÐ ¼ ÓÖ Ø Ð Ø ÙÐØ ÓÙÐ ÒÝÛ Ö ÙÔ ØÓ Ø Ò Ó Ø ÓÖØ Ö Ó Ö º ÓÒ Ö Ø Ð Ò Ø Ó Ö Ý Ö Ø Ø Ð Ò ØÓ Ø Ð Ø Ó Ø ÙÐØ Ø µ Ò Ø Ò Ø Ð Ò ØÓ Ø Ö Ø Ó Ø ÙÐØ Ø Ø Ðµº Ù Ø Ð Ø ÙÐØ Ø ÐÐ k Ø Ó Ó Ö Ð Ò Ø kº Ê ÐÐ Ø Ø Ø Ö ½ Û Ý ØÓ Ø Ð Ó Ö Ó Ð Ò Ø ¼ºµ Ì Ö Ö Ø Ö ÓÖ f k Û Ý ØÓ Ø Ð Ø Ó Ø (n + 1)¹ Ó Ö Ò Ð Ó f k Û Ý ØÓ Ø Ð Ø Ó Ø n¹ Ó Ö º Ì Ù Ø Ö Ö f k 2 Û Ý ØÓ Ø Ð ÓØ Ó Ö Ø ÖÓÙ ÐÐ kº ÆÓÛ ÓÒ Ö Ø Ð Ò Ø Ø Ð Ó ÓØ Ó Ö º Ì Ø Ð Ó Ø (n + 1)¹ Ó Ö ÓÒ Ø Ó ÐÐ k + 1 Ø ÖÓÙ n + 1º Ì Ø Ð Ó Ø n¹ Ó Ö ÓÑÔÓ Ó ÐÐ k + 1 Ø ÖÓÙ n ÓÖ k < nº Á k = n Ò Ø Ø Ð Ó Ø n¹ Ó Ö Ð Ò Ø ¼ºµ Ì Ö ÓÖ ÓÒ Ó Ø Ø Ð Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö Ó ÐÐ Ò Ø ÓØ Ö ÑÙ Ø Ú Ò Ó ÒÙÑ Ö Ó ÐÐ º Ù Ø Ö Ò ÒÓ ÙÐØ Ò Ø Ø Ð Ø Ö ÓÒÐÝ Û Ý ØÓ Ø Ð Ø Ñº Ì Ú Ò¹Ð Ò Ø Ø Ð ÑÙ Ø Ø Ð Û Ø ÐÐ ÓÑ ÒÓ Ò Ø Ó ¹Ð Ò Ø Ø Ð ÑÙ Ø Ò Û Ø ÕÙ Ö Ò Ø Ò Ø Ð Û Ø ÐÐ ÓÑ ÒÓ º ÓÒÚ Ò ÝÓÙÖ Ð Ø Ø Ø Ø ÓÒÐÝ ÔÓ Ð Øݺ ½
... 1 2 n n+1... 1 2 n f k k ÙÖ ¾ Ì Ö Ö f k 2 Û Ý ØÓ Ø Ð Ø ØÛÓ Ó Ö Û Ø ÙÐØ Ø ÐÐ kº Ë Ò Ø Ð Ò ÐÐ ½ Ø ÖÓÙ k Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ð Ò Ø Ö ÐÐ k Ø ÒÙÑ Ö Ó Û Ý ØÓ ÓÑÔÐ ÓØ Ó Ø Ø ÓÙÒ Ý ÑÙÐØ ÔÐÝ Ò º Ì Ö Ö f 2 k Û Ý ØÓ Ø Ð Ø Ó Ø ØÛÓ Ó Ö Ò ÓÒÐÝ ½ Û Ý ØÓ Ø Ð Ø Ø Ð Ó Ø Ö Ö f k2 1 Ø Ð Ò Ó ÓØ Ó Ö Û Ø ÙÐØ Ø ÐÐ kº Ì Ñ Ò Ø Ø ÒÝ Ø Ð Ò Ó Ù Ô Ö Ó Ó Ö ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ø ÖÑ Ò Ý Ø Ø Ð Ò Ó Ø Ö º Ï Ú ÓÒ ÐÓØ Ó ÓÙÒØ Ò ÙØ Û Ö ÒÓØ ÕÙ Ø ÓÒ º Ê ÐÐ Ø Ø 0 k nº Ë Ò Ø Ö ÒÒÓØ ØÛÓ Ð Ø ÙÐØ ÓÖ Ø Ó Ö ÓÒ ÔÓ Ø ÓÒ Ó k ÑÙØÙ ÐÐÝ ÜÐÙ Ø Ö Øº Ì Ö ÓÖ Ø Ö ØÓØ Ð Ó n k=0 f k 2 Û Ý ØÓ Ø Ð ÓÒ Ó Ö Ó Ð Ò Ø n Ò ÒÓØ Ö Ó Ö Ó Ð Ò Ø n + 1º ÕÙ Ø Ò Ø ØÛÓ Û Ý Û ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ º 3 Visual Example ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ô Ø Ü ÑÔÐ Ñ ÐÐ Ø Ú Ù Ð Þ Ø ÓÒ Ù Ó Ö Ó Ð Ò Ø ÓÚ Ó Ö Ó Ð Ò Ø ¾º ÆÓØ Ø Ø Ø Ö Ö f 3 f 2 = 3 2 = 6 Û Ý ØÓ Ø Ð Ø ØÛÓ Ó Ö º ÐÐ Ó Ø Û Ý Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ó Ø Ö Òº Ì Ò Ô Ö Ó Ø Ð Ò Ð Ø ÓÖ Ò ØÓ Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ø ÙÐغ Ò Ü ÑÔÐ ÓÒ Ö Ô Ö Ø Ø ÙÐØ Ø ÐÐ ¾º Ì Ó Ø Ó Ö Ú Ð Ò Ø ¾ Ò Ø Ö Ö ÓÒÐÝ ¾ Û Ý ØÓ Ø Ð ¾¹ Ó Ö º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ f 2 = 2º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ø Ö Ö f 2 2 = 2 2 = 4 Ø Ð Ò ÓÖ Ô Ö Ó Ó Ö Û Ø ÙÐØ Ø ÐÐ ¾º References ɼ ÖØ ÙÖ Ìº Ò Ñ Ò Ò Â ÒÒ Ö Âº ÉÙ ÒÒº ÈÖÓÓ Ø Ø Ê ÐÐÝ ÓÙÒØ Ì ÖØ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÈÖÓÓ º ÆÙÑ Ö ¾ Ò Ì ÓÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÜÔÓ Ø ÓÒ º Ì Å Ø Ñ Ø Ð Ó Ø ÓÒ Ó Ñ Ö ¾¼¼ º ¾