(f g)(x) = f (g(x)) = g(x) 5 =

ÀÏ ÍÔ Ø µ ÂÙÒ ½ ¾¼½¾ ½º ØÖ Ø Ð Ò ÐÓÔ e Ò Ô Ø ÖÓÙ Ø ÔÓ ÒØ (, 3)º ÏÖ Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ð Ò Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÒÚÓÐÚ Ò x Ò y Ù Ø Ø ÔÓ ÒØ (x,y) ÓÒ Ø Ð Ò Ò ÓÒÐÝ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ØÖÙ µº Ì ÔÓ Òع ÐÓÔ ÓÖÑ ÓÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ð Ò y y 0 = m(x x 0 ) Û Ö (x 0,y 0 ) ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø Ð Ò Ò m Ø ÐÓÔ ÈÐÙ Ò Ò x 0 =,y 0 = 3,m = e Û Ú Ø Ð Ò y ( 3) = e(x ( )) y +3 = e(x+) ¾º Ò f (x) = x 5 Ò g(x) = (x+5) Û Ø Ø Ö Ø ÔÓ Ð ÓÑ Ò º Ï Ø (f g)(x) Ò Û Ø Ø ÓÑ Ò Ó f g (f g)(x) = f (g(x)) = g(x) 5 = (x+5) 5 ÓÖ x+5 5 ÌÓ Ò Ø ÓÑ Ò Ó f g ÒÓØ Ø Ø ÓÖ (f g)(x) = f (g(x)) ØÓ Ñ Ò g(x) ÑÙ Ø Ñ Ò Ò Ø Ö Ø ÔÐ x ÑÙ Ø Ò Ø ÓÑ Ò Ó gµ Ò g(x) ÑÙ Ø Ò Ø ÓÑ Ò Ó f ÓÖ f (g(x)) ØÓ Ñ Ò g ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÑ Ò Rº ÀÓÛ Ú Ö f³ ÓÑ Ò [0, ) Ò Û ÒÒÓØ Ø Ø ÕÙ Ö ÖÓÓØ Ó Ò Ø Ú ÒÙÑ Öº Ì Ö ÓÖ Û Ò ØÓ ÛÓÖÖÝ ÓÙØ g(x) Ò ÒÓÒÒ Ø Ú ÄÙ ÐÝ ÕÙ Ö Ö ÐÛ Ý ÒÓÒÒ Ø Ú Ó Ø ÔÓ ÒÓ Ö ØÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÑ Ò Ø ÓÑ Ò Ó f g Rº ½

Ï Ø (g f)(x) Ò Û Ø Ø ÓÑ Ò Ó g f (g f)(x) = g(f (x)) = (f (x)+5) = (( x 5 ) +5 ) = ( x ) = x ÌÓ Ò Ø ÓÑ Ò Ó g f ÒÓØ Ø Ø ÓÖ (g f)(x) = g(f (x)) ØÓ Ñ Ò f (x) ÑÙ Ø Ñ Ò Ò Ø Ö Ø ÔÐ x ÑÙ Ø Ò Ø ÓÑ Ò Ó fµ Ò f (x) ÑÙ Ø Ò Ø ÓÑ Ò Ó g ÓÖ g(f (x)) ØÓ Ñ Ò f³ ÓÑ Ò [0, ) Ó g f³ ÓÑ Ò ÑÙ Ø ÒÓ Ö Ø Ò Ø Øº Ë Ò g³ ÓÑ Ò R ÒÝ ÓÙØÔÙØ Ó f Ò Ø Ó Ø ÔÓ ÒÓ ÙÖØ Ö Ö ØÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÑ Ò Ø ÓÑ Ò Ó g f [0, )º º Ï Ø (f f)(x) Ò Û Ø Ø ÓÑ Ò Ó f f (f f)(x) = f (f (x)) = f (x) 5 = x 5 5 ÌÓ Ò Ø ÓÑ Ò Ó f f ÒÓØ Ø Ø ÓÖ (f f)(x) = f (f (x)) ØÓ Ñ Ò f (x) ÑÙ Ø Ñ Ò Ò Ø Ö Ø ÔÐ x ÑÙ Ø Ò Ø ÓÑ Ò Ó fµ Ò f (x) ÑÙ Ø Ò Ø ÓÑ Ò Ó f ÓÖ f (f (x)) ØÓ Ñ Ò f³ ÓÑ Ò [0, ) Óf f³ ÓÑ Ò ÑÙ Ø ÒÓ Ö Ø Ò Ø Øº ÀÓÛ Ú Ö Û ÑÙ Ø ÛÓÖÖÝ ÓÙØ Û Ò f (x) ÒÓÒ¹Ò Ø Ú x 5 0 Û Ò x 5º Ë Ò x ÒÓÒÒ Ø Ú Û Ò ÕÙ Ö ÓØ ØÓ Ø x 5º Ì ØÖ Ø Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑ Ò Ó f f [5, )º Ï Ø (g g)(x) Ò Û Ø Ø ÓÑ Ò Ó g g (g g)(x) = g(g(x)) = (g(x)+5) = ( ) (x+5) +5 ÌÓ Ò Ø ÓÑ Ò Ó g g ÒÓØ Ø Ø g³ ÓÑ Ò R Ó Ò Ø Ö g(x) Ò Ò ÒÓÖg(g(x)) Ò Ò ÔÓ Ö ØÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÑ Òº Ì ÓÑ Ò Ó g g Rº º Ò ÙÒØ ÓÒ f Ò g Ù Ø Ø (f g)(x) = 4 5x º Æ Ø Ö f (x) ÒÓÖ g(x) Ñ Ý xº ¾

Ì Ö Ö Ñ ÒÝ Ú Ð Ò Û Ö f (x) = 4 x g(x) = 5x f (x) = 4 x g(x) = 5x f (x) = 4 5x g(x) = x Ö Ø Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Ö ÖÐÝ Ò ØÙÖ Ðº ÇÒ Û Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÛÓÙÐ f (x) = 4 7+x g(x) = 5x 5º ÕÙ Ò Ú Ò Ý Ø Ö ÙÖÖ Ò N t+1 = 5N t ÓÖ t = 0,1,... Ò N 0 = 7º ÏÖ Ø Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ ÓÖ N t º Ì ÓÖØ Ó Ö ÙÖÖ Ò Ù Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÖÓÛØ Ï Ò ÜÔ Ø Ø Ø N t = ka t Ø Ö Ö Ñ ÒÝ ÓØ Ö ÓÖÑ Ø Ò ÛÖ ØØ Ò Ò ÝÓÙÖ Ø ÜØ ÓÓ µ ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ k Ò aº Ï Ú N 0 = ka 0 = k Ò N 0 = 7 Ó k = 7º Ð Ó N 1 = 5N 0 = 5 7 Ò N 1 = ka 1 = ka = 7a Ó a = 5º N t = 7 5 t ÓÖ t = 0,1,... Ö Ó Ø Ú Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ö Ó ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ýº ÁÒ Ø ÐÐÝ Ø Ö Ö 50 Ö Ñ Ó Ø Ù Ø Ò ÙØ Ø Ö 3 Ý ÓÒÐÝ 1 Ö Ñ Ó Ö Ó Ø Ú Ñ Ø Ö Ð Ö Ñ Ò º Ò Ø Ü Ø Ð ¹Ð Ó Ø Ù Ø Ò ÆÓÛ ÛÓÙÐ ÓÓ Ø Ñ ØÓ Ö ÐÐ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÐÓ Ö Ø Ñ ÖÙÐ ÓÙÒ Ø ØØÔ»»Ñ Ø Ùº Ù» Ô Ò Ð Ö» ÜÔÐÓÔ º Å Ò Ñ Ð Ñ ÑÓÖ Þ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ì Ö Ö Û ÓÖÑÙÐ ÖÓÑ Ø Ø ÜØ Ö Ð Ø ØÓ Ð ¹Ð Ø Ø ÓÙÐ Ñ Ñ¹ ÓÖ Þ»Ð Ú Ö ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñº ÀÓÛ Ú Ö ÐÐ Û Ò ØÓ ÒÓÛ Û Ø Ð ¹Ð Ò Ø Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ý ÙÒØ ÓÒ Ò ÐÓÓ Ð f (t) = ka t ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ k Ò aº ËÙÔÔÓ Ø Ø f (t) = ka t Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö Ñ Ð Ø Ø Ö t Ý º Ë Ò Ø Ö Ö 50 Ö Ñ Ò Ø ÐÐÝ f (0) = 50 Ó 50 = ka 0 = kº Ø Ö 3 Ý Ø Ö ÓÒÐÝ 1 Ö Ñ Ð Ø Ó 1 = f (3) = 50a 3 Ò 1/50 = a 3 Ó a = 3 1/50 = 50 1/3 º ÆÓÛ t ÀÄ Ø Ð ¹Ð Û Ú f (t HL ) = f (0)/ = 50/ = 5 Ò Ø Ö ÛÓÙÐ Ð Ó Ø Ñ Ø Ö Ð Ð Ø Ø Òº À Ò ( thl 50 50 3) 1 = 5 ( ) thl 1 50 1 3 =

t HL = log 50 1/3 ( ) 1 days Ì Ò Û Ö Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ñ ÒÝ Ö ÒØ Û Ý º ÓÖ Ò Ø Ò Ø ÕÙ Ð ØÓ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ý Ú Ö ÓÙ ÐÓ ÖÙÐ µ ln log 50 1/3 () = ln ( 50 1/3) = ln ( 1/3)ln50 = 3ln ln50 = 3log 50 = log 50 8 Å ÑÓÖ Þ ÓÖÑÙÐ Ñ Ø Ó ÇÒ Ô 7 Ó Ø Ø ÜØ Û Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ý ÓÖÑÙÐ W (t) = W 0 e λt ÓÖ t 0 Ò T h = ln λ Û Ö T h Ø Ð ¹Ð Ï Û ÐÐ ÙÑ Ø Ø W (t) Ú Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö Ñ Ó Ø Ù Ø Ò Ð Ø Ø Ö t Ý º Ì Ò Ø Ð ÑÓÙÒØ W 0 50º Ì Ò W (3) = 1 Ó Û Ú 1 = 50e λ 3 1 ( ) 1 50 = e λ 3 ln = 3λ 1 ( ) 1 50 3 ln = λ ln50 = λ 50 3 Ì Ò ( ln50 3 T h = ln ) = 3ln ln50 days Ò Ø ÒÚ Ö Ó f (x) = 3 x +7º ÌÓ Ñ Ø Ð Ö Ö ØÓ ÛÖ Ø ÓÙØ Û Û ÐÐ Ù y ØÓ Ö ÔÖ ÒØ f (x)º y = 3 x +7 y 7 ( ) y 7 = 3 x log 3 = x Ø Ø ÔÓ ÒØ ÓÑ ÓÓ Û ÐÐ Ø ÐÐ ÝÓÙ ÓÑ Ø Ò Ð Û Ø x Ò y Ò Ø Ò Ø Ò Û y f 1 (x)º Ì ÛÓÖ ÙØ Ø Ó ÙÖ Û Ø³ Ó Ò ÓÒº Ë Ò y Ö ÔÖ ÒØ f (x) Û Ú log 3 ( f (x) 7 ) = x ÓÖ ÐÐ x Ó Û Ñ Ý ÔÐÙ Ò f 1 (t) ÓÖ x Ò Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ ( ( f f 1 (t) ) ) 7 log 3 = f 1 (t)

Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÒÚ Ö f ( f 1 (t) ) = t Ó Û Ú f 1 (t) = log 3 t 7 Ï ÓÙÐ ÛÖ Ø Ø Û Ø x Ò Ø Ó t ÓÖ Ù ÐÓ ÖÙÐ ØÓ ÛÖ Ø Ø Ò Û Ö Ò Ú Ö ØÝ Ó Ö ÒØ Û Ý ÐÐ Ó Ø Ó Ú Ö Ø ÓÒ ÛÓÙÐ Òµ ËÓÐÚ ln(x )+ln(x+3) = ln6 ÓÖ xº Å ÙÖ ØÓ ÝÓÙÖ Ò Û Ö µ Ý ÔÐÙ Ò ÒØÓ Ø ÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒº ln(x )+ln(x+3) = ln6 ln((x )(x+3)) = ln6 Ý ÐÓ ÖÙÐ (x )(x+3) = 6 Ý Ö Ò e ØÓ ÓØ x +x 6 = 6 x +x 1 = 0 (x+4)(x 3) = 0 x = 4 ÓÖ 3 ÀÓÛ Ú Ö Ø ÓÑ Ò Ó ln (0, ) Ó Ø Ñ Ý Ø Ø ÓÒ ÓÖ ÓØ Ó Ø ÖÓÓØ ÛÓÙÐ Ò³Ø Ñ Ò Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒº ln(3 ) Ò ln(3+3) Ö Ò Ó x = 3 ÒÙ Ò ÓÐÙØ ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö ln( 4 ) ÙÒ Ò Ì ÓÒÐÝ ÓÐÙØ ÓÒ x = 3 º ËÓÐÚ 4 3x = 8 ÓÖ xº Å ÙÖ ØÓ ÝÓÙÖ Ò Û Ö µ Ý ÔÐÙ Ò ÒØÓ Ø ÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ø Ó Ó ÐÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÆÓØ Ø Ø 4 Ò 8 Ö ÓØ ÔÓÛ Ö Ó Ó log Û ÐÐ Ò Ý ÙÒØ ÓÒ ØÓ Ù log 4 ÛÓÙÐ Ð Ó ÖÐÝ Ò ÙØ ÝÓÙ Ú ØÓ Ø Ò» Ó Ñ ÐÐ Ø Ó ÛÓÖ ØÓ Ò Ø Ø log 4 8 = 3/ºµ 4 3x = 8 log ( 4 3x ) = log (8) Ý Ø Ò log Ó ÓØ

(3x )log (4) = log (8) Ý ÐÓ ÖÙÐ (3x ) = 3 Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÐÓ ÌÓ Ø Ò Û Ö ÒÓØ Ø Ø 6x 4 = 3 6x = 7 x = 7 6 4 3(7/6) = 4 (7/) = 4 3/ = 3 = 8 Ê Ü Ú ÐÝ Ù Ò ln ÓÐÙØ ÓÒ 4 3x = 8 ln ( 4 3x ) = ln(8) Ý Ø Ò ln Ó ÓØ (3x )ln4 = ln8 Ý ÐÓ ÖÙÐ 3x = ln8 ln4 = log 48 Ý ÐÓ ÖÙÐ 3x = log 4 ( 4 ) 3 = log4 ( 4 3/) = 3 3x = 3 + x = 1 + 3 = 3 6 + 4 6 = 7 6 Ò ÕÙ Ò Ý a n = cos(nπ/)º Ò Ø Ö Ø Ú Ø ÖÑ Ó {a n } Ò Ø Ò Ò n a n º a 0 = cos(0π/) = cos0 = 1 a 1 = cos(1π/) = cos(π/) = 0 a = cos(π/) = cos(π) = 1 a 3 = cos(3π/) = 0 a 4 = cos(4π/) = cos(π) = cos0 = 1

Ù Ó Ò Ô Ö Ó Ø Ö Ô Ø Ú ÖÝπµ Ø ÕÙ Ò Û ÐÐ Ö Ô Ø Ø Ô ØØ ÖÒ Ú ÖÝ (π)/(π/) = 4º n a n Ú Ö Ù ØÓ Ó ÐÐ Ø ÓÒº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ø ÓÒÐÝ Ø Ò Ø Ð Ñ Ø ÓÙÐ Ö 1,0,1 Ò Ø ÕÙ Ò Û Ý ÖÓÑ Ó Ø Ó Ò Ò Ø ÐÝ Ó Ø Ò Ó Ø Ò³Ø ÓÒÚ Ö ØÓ ÒÝ Ó Ø Ñºµ ½¼º Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð Ñ Ø Ï Ø Ò ÝÓÙ Ý ÓÙØ x3 8+5º x + x3 8+5 x x + x3 8+5 = x3 8+ x + x +5 Ø Ü Ø ( ) = x3 8 +5 Ø Ð Ñ Ø Ó ÓÒ Ø ÒØ Ø ÓÒ Ø Òص x + = x +(x3 8)+5 Ø Ð Ñ Ø Ò Ø ÓÑ Ò Ó Ò ÔÓÛ Ö ÙÒØ ÓÒ Ò Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Û Ö Ò = 3 8+5 Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ = 8 8+5 = 0+5 = 0+5 = 5 x3 8+5 Ó Ò³Ø Ñ Ò x Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ ÙÒ Ò ÓÖ x < º ( ÁÒ Ð Ø Û ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐÝ Ò x x3 8+5 ) ( = x + x3 8+5 ) ºµ ½½º Ú ÐÙ Ø y y 6 y y +

ÈÐÙ Ò Ò Ý Ð 0 0 Û Ú Ù ÒÓ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ì Ö ÓÖ Û Ò ØÓ Ù ÓÑ Ð Ö y y 6 (y +)(y 3) = y y + y y + = (y 3) Ò Ø Ð Ñ Ø Ó Ò³Ø Ô Ò ÓÒ Û Ø ÔÔ Ò Ø y = y = 3 = 5 Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ö Ú Û Ó ØÓÖ Ò Ò ÓÙÒ Ø ÈÙÖÔÐ Ñ Ø º ½¾º Ú ÐÙ Ø 7 49+x x 0 3x ÈÐÙ Ò Ò x = 0 Ý Ð 0 0 Ó Û Ò ØÓ Ù ÓÑ Ð Ö Ë Ò Ø Ö ³ ÕÙ Ö ÖÓÓØ Ø Ø³ Ñ Ò Ø ÒÙÑ Ö ØÓÖ Þ ÖÓ Û ÓÙÐ Ö ÔÐ Ø Û Ø ÕÙ Ö ÖÓÓØ Ø Ø Ó ÒÓØ Ñ Ø ÒÙÑ Ö ØÓÖ Þ ÖÓ Ý ÜÔÐÓ Ø Ò Ö Ò Ó ÕÙ Ö a b = (a b)(a+b)º = ½ º 7 49+x x 0 3x = x 0 ( 7 49+x = x 0 3x 1 ( 7 49+x = x 0 3x 7+ ) 49+x 7+ 49+x ( 49 ) 49+x 3x ( 7+ Ý Ö Ò Ó ÕÙ Ö 49+x) x = x 0 3x ( 7+ 1 = 49+x) x 0 3 ( 7+ 49+x ) Ò Ø Ð Ñ Ø Ó Ò³Ø Ô Ò ÓÒ Û Ø ÔÔ Ò Ø x = 0 1 3 ( 7+ 49+0 ) = 1 3(7+7) = 1 4 ) Ò Ø³ ÓÒØ ÒÙÓÙ Û Ö Ò Ò { ln(5 x) x < 4 f (x) = x 4 x 7 x 4 º Ø Û Ö Ð ÒÙÑ Ö c f ÓÒØ ÒÙÓÙ Ï Ö f ÓÒØ ÒÙÓÙ ÂÙ Ø Ý ÝÓÙÖ Ò Û Ö º

Ö ØÐÝ ÒÓØ Ø Ø x < 4 Ø Ò x > 4 Ò 5 x > 1 Ó Ø Ø ln(5 x) Ò ÓÖ Ú ÖÝ x < 4 Ò Ø ÓÖ Ú ÖÝ x < 5µº Ë Ò g(x) = ln(5 x) ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó ln Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø³ ÓÒØ ÒÙÓÙ Û Ö Ø³ Ò Ó f ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ú ÖÝ c < 4 Ù f (x) = ln(5 x) Ò Ø Ø Ö ÓÒµº Ë ÓÒ ÐÝ ÒÓØ Ø Ø (x 4)/(x 7) Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø³ ÓÒØ ÒÙÓÙ Û Ö Ø³ Ò Û Ú ÖÝÛ Ö Ü ÔØ 7º Ì Ö ÓÖ f ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ú ÖÝ c Ò {x : x > 4 Ò x 7}º Ï ÒÒÓØ ÙØÓÑ Ø ÐÐÝ ÔÙØ x = 4 ÒØÓ Ø Ø Ø Ò x 4 f (x) Ô Ò ÓÒ Ø ÐÓ Ö Ø Ñ Ô ÖØ Ó Ø Ò Ø ÓÒ Ó fº Ê Ñ Ñ Ö Ø Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ø 4 Ö ÕÙ Ö ÓØ ÓÒ ¹ Ð Ñ Ø ØÓ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÙÒØ ÓÒºµ Ò ÐÐÝ Û ÒÚ Ø Ø Ø Ú ÓÖ Ó f Ø c = 4º f (4) = (4 4)/(4 7) = 0º Ë Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Û Ö Ò ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò x 4 x 4 f (x) = = 0 ØÓÓº x 4 + x 4 + x 7 f (x) = ln(5 x) = ln(5 4) = ln(1) = 0º x 4 Ò g(x) = ln(5 x) ÓÒØ ÒÙÓÙ µº Ë Ò ÓØ ÓÒ ¹ Ð Ñ Ø Ü Ø Ò ÕÙ Ð 0 x 4 f (x) = 0º Ë Ò Ø Ø³ Ø Ñ f (4) f Ö ÐÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø c = 4º ÁÒ ÙÑÑ ÖÝ Ò f ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø c < 4 Ø c = 4 Ò Ø c > 4 Ü ÔØ ÓÖ 7 f ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ú ÖÝ c Ò {x : x 7}º ÌÓ Ø Ô ØÓÖ ÐÐÝ Ö Ö Ô Ó Ø ÙÒØ ÓÒ ÒÓØ Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ð¹ Ø ÓÙ Ð Ó Ö ÒØ Ð Øݵ Ø 4º ½ Ò f (x) = { x+3 x a x x > º Á Ø Ö Ú ÐÙ Ó a Ø Ø ÛÓÙÐ Ñ f ÓÒØ ÒÙÓÙ Ú ÖÝÛ Ö Ø Ú ÖÝ Ö Ð ÒÙÑ Ö µ Ò Ó Û Ø Ú ÐÙ Á ÒÓØ Û Ý ÒÓØ ÂÙ Ø Ý ÝÓÙÖ Ò Û Öº

Ë Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò x Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ ÒÝ Ù f ÙØÓÑ Ø ÐÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ú ÖÝÛ Ö Ü ÔØ Ø º ÌÓ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Û ÑÙ Ø Ú ÆÓØ Ø Ø f ( ) = x f (x) = +f (x). x f ( ) = ( )+3 = 4+3 = 7 x f (x) = x (x)+3 = 7 x + f (x) = x + a x = a = a ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÓÖ f Ø Ò Ò Ú ÖÝÛ Ö µ Ò a = 7 Ó a = 7/ º ÌÓ Ø Ú Ù Ð Ò ÓÖ Û Ø Ó Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ô Ó Ø ÓÒ¹ Ø ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Û Ø a = 1 Ò Ö Ø Ö Ô Ó Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Û Ø a = 7/ ½¼

½ Ò x 1 x < 1 f (x) = a ( ) x = 1 º cos x > 1 π x 1 Á Ø Ö Ú ÐÙ Ó a Ø Ø ÛÓÙÐ Ñ f ÓÒØ ÒÙÓÙ Ú ÖÝÛ Ö Ø Ú ÖÝ Ö Ð ÒÙÑ Ö µ Ò Ó Û Ø Ú ÐÙ Á ÒÓØ Û Ý ÒÓØ ÂÙ Ø Ý ÝÓÙÖ Ò Û Öº Ë Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ò Ò ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Û Ö Ò f ÙØÓÑ Ø ÐÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ú ÖÝÛ Ö ÙØ Ô Ö Ô Ø 1º ÆÓØ Ø Ø ( ) π x 1 +f (x) = x 1 +cos x 1 Ó ÒÓØ Ü Ø Ù ØÓ Ó ÐÐ Ø ÓÒº Áس Ò ÐÓ ÓÙ ØÓ cos(πz) Ò z 1 x 1 + x 1 = ºµ Ì Ö ÓÖ x 1 f (x) ÒÒÓØ Ü Ø Ó Ø ÖØ ÒÐÝ Ò³Ø ÕÙ Ð ØÓ f (1) Ó ÒÓ Ó Ó a ÛÓÙÐ Ñ f ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø 1º ÌÓ Ø Ú Ù Ð Ò Ó Û Ø Ó Ò ÓÒ Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ö Ô ÓÖ a = 0 ½ Ú ÐÙ Ø x tan 1 (x) Ê ÐÐ Ø Ø tan 1 Ò ØÓ Ø ÒÚ Ö Ó Ø Ô Ó tan Û Ø ÓÑ Ò ( π/,π/)º ÆÓØ Ø Ø Ò Ò Ð Ò Ö π/ ÙØ Ù Ø ÓÚ Ø Ú Ú ÖÝ Ñ ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ó Ò Ú ÐÙ Ò Ò Ú ÐÙ Ò Ö 1 Û Ú x π/ +tanx = ½½

Ë Ò Ø ÒÚ Ö ÙÒØ ÓÒ Û Ø ÒÔÙØ Ò ÓÙØÔÙØ Û Ú x tan 1 (x) = π ½ Ú ÐÙ Ø x 3 4x 7 x 3x 3 +1 Ë Ò Ø Ö Ó Ø ÒÙÑ Ö ØÓÖ Ò Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖ Ö Ø Ñ Ø Ò Û Ö Ø Ö Ø Ó Ó Ø Ð Ò Ó ÒØ /3 º ÒÓØ Ö Û Ý ØÓ Ý Ø Ø Ø x ÔÔÖÓ ÐÐ Ø Ø Ñ ØØ Ö Ö Ø Ð Ò Ø ÖÑ x 3 4x 7 x 3 x 3x 3 = +1 x 3x 3 = x 3 = 3 ½ Ú ÐÙ Ø 6x 3 x +9 x x 5 Ë Ò Ø Ö Ó Ø ÒÙÑ Ö ØÓÖ Ö Ø Ö Ø Ò Ø Ö Ó Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖ Ø Ð Ñ Ø Ø ÑÙ Ø Ø Ö ÓÖ Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ò Ó Ø Ð Ò Ó ÒØ Ò Ø Ó Ò» Ú ÒÒ Ó Ø Ö Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð º Ï Ò x Ú ÖÝ Ò Ø Ú 6x 3 ÜØÖ Ñ ÐÝ Ò Ø Ú Ò x ÔÓ Ø Ú Ó Ø Ð Ñ Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ º ÒÓØ Ö Û Ý ØÓ ÐÓÓ Ø Ø Ø Ø x ÔÔÖÓ ÓÒÐÝ Ø Ð Ò Ø ÖÑ Ñ ØØ Ö 6x 3 x +9 6x 3 x x = 5 x x = 3x = x ½ Ú ÐÙ Ø 3 x +4 x x 3 x+5x ½¾

Ë Ò Ø ÒÓØ Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ò³Ø ÑÔÐÝ Ø Ø ÓÖ Ñ ØÓ Ò Ð Ø Ð Ñ Øº Ì Ø ÓÖÑ / Û Ø ÐÐ Ù ÒÓØ Ò Ó Û Ò ØÓ Ó ÓÑ Ð Ö 3 x +4 x x 3 x+5x = x x /3 +4 x x 1/3 +5x = x x /3 +4 x 4/3 +5x 1 ( x /3 ) +4 = x x 4/3 +5x x 4/3 x /3 +4x 4/3 = x 4/3 x 1+5x 1/3 = x x /3 +4 x x 4/3 1+5 x x 1/3 Ø Ð Ñ Ø Ü Ø Ò Ø ÒÓѺ Ò³Ø ¼ = 0+4 0 1+5 0 = 0 1 = 0 ¾¼ ÐÙÐ Ø Ø Ö Ø ÓÙÖ Ø ÖÑ Ó Ø ÕÙ Ò a n = sinπn Ò Ø Ò Ò n a n º a 0 = sin(π 0) = sin0 = 0 a 1 = sin(π 1) = sinπ = 0 a = sin(π ) = sin(π) = 0 a 3 = sin(π 3) = sin(3π) = 0 ÆÓØ Ø Ø Ò Ò Û Ú Ö Ô Ø Ú ÖÝ π Ø ÕÙ Ò Ø Ø Ú ÖÝ Ð Ø Ö Ô Ø Ú ÖÝ π/π = º Ì Ö ÓÖ Ø ÓÒ Ø ÒØÐÝ 0 Ò n a n = 0 º ¾¼ Ú Ò Ø ÙÒØ ÓÒ f (x) = sinπx Ò x f (x)º Ì Ö Ô Ó y = sinx Û Ú Ø Ø Ö Ô Ø Ú ÖÝ π Ó Ø Ö Ô Ó sin(πx) Û Ú Ø Ø Ö Ô Ø Ú ÖÝ ÙØ Ø ÐÐ Û Ú Ø Ø ÓÙÒ ØÛ Ò 1 Ò 1 ÓÖ Ú Öº Ù x f (x) Ú Ö Ù ØÓ Ó ÐÐ Ø ÓÒ º ÆÓØ Ø Ø n sin(πn) x sin(πx) Û Ö Ø ÓÖÑ Ö Û ¹ ÕÙ Ò Ð Ñ Ø Ò Ø Ð ØØ Ö Û Ö ÙÐ Ö ÙÒØ ÓÒ Ð Ñ Øº ½