Ë Ø Ó ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÙÖ Û Û ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÒÙÑ Ö º ÁÒ ÓÑÔÙØ Ö Ò Û Ö ÓÒ ÖÒ Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÛ Ó Û Ú Ù Ø Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð Ì Û Ý ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ

Ð ØÝ ÄÓ Ò ÆÙÑ Ö Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ñ Ð ÖÐ Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÍÒ Ú Ö Ø Ä ÆÌ ¾¼½ ¹ Å Ö ÐÐ ÆÓÚ Ñ Ö ¾ ¹ Ñ Ö ¾

Ë Ø Ó ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÙÖ Û Û ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÒÙÑ Ö º ÁÒ ÓÑÔÙØ Ö Ò Û Ö ÓÒ ÖÒ Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÛ Ó Û Ú Ù Ø Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð Ì Û Ý ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÑ ÒØÓ ÔРݺ Ì ÓÒ Ö Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÒÙÑ Ö Ö ØÖ Ò Ð Ø ÒØÓ ÝÒØ Ø Ð ÓÖ ÓÑ Ò ØÓÖ Ðµ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ º

Ë ÑÔÐ Ø Ó ÒÙÑ Ö Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ó Ò ØÙÖ Ð ÑÔÐ ½ = {Ò ¾ : Ò N} ¾ = {Ò N: Ò ÔÖ Ñ } = {Ò N: Ò Ú Ò} = {¾ Ò : Ò N} = {Ò N: Ñ N, Ò ¾ + Ò+½ = Ñ} = {Ò N: Ñ N, Ò ¾ + Ò+½ = Ñ ¾ } ÆÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÒÙÑ Ö Ö Ô Ò ÒØ Ó Ø ÓÖ Ø Ó Ò ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñº

ÓÑ Ò ØÓÖ ÓÒ ÛÓÖ ÆÙÑ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ý ÛÓÖ º Í Ù ÐÐÝ ÒØ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ý Ò Ø ÛÓÖ Û Ð Ö Ð ÒÙÑ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ý Ò Ò Ø ÛÓÖ º Ì ÒÓØ ØÖÙ ÒÝÑÓÖ Û Ò Û ÓÒ Ö ÒÓÒ¹ Ø Ò Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ º º º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ò Ò Ø ÛÓÖ Ñ Ý Ð Ó Ö ÔÖ ÒØ Ø Ó ÒÙÑ Ö Ø Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ò Ó N Ò ÖÝ Ò Ò Ø ÛÓÖ º Ì ÒÓØ ÓÒ Ò ÜØ Ò ØÓ Ù Ø Ó N º

Ê Ó Ò Þ Ð Ø Ó ÒØ Ö Ù Ø Ó N Ö Ó Ò Þ Ð ÛºÖºØº ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø Ð Ò Ù {Ö Ô(Ò): Ò } ÔØ Ý Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒº ÅÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ø Ó N Ö Ó Ò Þ Ð ÛºÖºØº ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø Ð Ò Ù {(Ö Ô(Ò ½ ),..., Ö Ô(Ò )): (Ò ½,...,Ò ) } # (( {#}) ), Û Ö Ø Ô Ò ÝÑ ÓÐ # ÒÓØ ÓÒØ Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ ÐÔ Ø ÔØ Ý Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒº

ÈÖÓ ÙØ Ó Ö ÑÓÒÓ Á ½,..., Ö Ò Ø ÐÔ Ø Ø Ò ÓÖ ÐÐ Ö Ö ÑÓÒÓ º ÓÖ ¾ ½ ÑÓÒÓ ÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØÛ ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒµ Û ÒÓØ Ö ÓÖ = ¾, ÓÒ ( ½, ¾ ) = ( ½,ε)(ε, ¾ ). ( ½ ) Ö ÑÓÒÓ Ð ØØ Ö Ö Ð Ñ ÒØ Ó ½ º ( ½ ) Ù ÑÓÒÓ Ó ½ º

N Ö ÑÓÒÓ º N ÑÓÒÓ Û ÒÓØ Ö º ÉÙ Ø ÓÒ ÀÓÛ ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ù Ø Ó N Á N Ø Ò {(Ö Ô(Ò ½ ),..., Ö Ô(Ò )): (Ò ½,...,Ò ) } ÒÓØ Ð Ò Ù º Ü ÑÔÐ µ ½¼½ ½¼¼½ ½ # = # ½ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½ # # # ½ = # ½ # ½ ¼ # ¼ ¼ # Ô Ò Ò ÓÒ Ø ÓÒØ ÜØ Û Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÛÓÖ Ö ÒØÐݺ ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ò Ø ÛÓÖ Ø Ò ÖÝ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ ÔÐ Ø ½µº ÁÒ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø ½µº ½ ½ ½

Ö Ò Ó ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÁÒØ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ä Ø ¾ Ò ÒØ Öº Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø Ò Ø ÛÓÖ Ö Ô (Ò) = l ½ ¼ ÓÚ Ö Ø ÐÔ Ø = {¼, ½,..., ½} Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Ò = l. =¼ Ì Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÐÝ ÑÔÓ ØÓ Ú ÒÓÒÞ ÖÓ Ð Ò Ø l Ò Ø Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ L = {½,..., ½}{¼,, ½} {ε}. ÁÒ Ø Û Ø Ð ÓÙØ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó N º

ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò Ø ÓÒ Ó ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ì Ö Ü Ø Ú Ö Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ø ÓÒ Ó ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó ÒØ Ö Ù Ò ÐÓ ÙÒ ÓÖÑ ÑÓÖÔ Ñ Ò Ø Ò Ó Ø ¹ ÖÒ Ð Ð Ö ÓÖÑ Ð Ö Ö Ó Ò Þ Ð»Ö Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ Ð Ö Ë Ø ÙÖÚ Ý Ó ÖÙÝ Ö ¹À Ò Ð¹Å ÙܹΠÐÐ Ñ Ö º

ÍÒ ÖÝ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ö Ô ½ (Ò) = Ò Û Ö ÒÝ Ð ØØ Öº Ì Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ L ½ = º ÁÒ Ø Û Ø Ð ÓÙØ ½¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó N º ÁÒ Ñ Ò ÓÒ ½ Ø Ý ÓÖÖ ÔÓÒ Ü ØÐÝ ØÓ ÙÐØ Ñ Ø ÐÝ Ô Ö Ó Ø Ý ØÓ µº ÁÒ Ø ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø ØÓ ÔØÙÖ Ø Ò Ó ½¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø º

ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ä Ø = ( ) ¼ = (½, ¾,,,,...) Ø ÕÙ Ò Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø ÖÙÐ ¼ = ½, ½ = ¾ Ò +¾ = +½ + ÓÖ ¼. Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø Ò Ø ÛÓÖ Ö Ô (Ò) = l ½ ¼ ÓÚ Ö Ø ÐÔ Ø = {¼, ½} Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ l Ò =. =¼ Ì Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ ÑÔÓ Ò Ø ÓÒ ØÓ Ú Ò ÒÓÒÞ ÖÓ Ð Ò Ø l Ø Ø Ø Ú Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ØÛÓ ÓÒ ÙØ Ú Ø ½º Ì Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ L = ½{¼, ¼½} {ε}.

ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ä Ø Í = (Í ) ¼ = (½, ¾,,,,...) ÕÙ Ò Ø Ø Ò ÒÖ Ò ÕÙ Ò Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ø Ý Ò Í +½ Í ¼ = ½ Ò Í = ÙÔ ¼ Í < +. Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø Ò Ø ÛÓÖ Ö Ô Í (Ò) = l ½ ¼ ÓÚ Ö Ø ÐÔ Ø Í = {¼, ½,..., Í ½} Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Ò = l Í. =¼ ÁÒ Ø Û Ø Ð ÓÙØ Í¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó ÒØ Ö º

Ì Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÒÓØ Ý L Í = {Ö Ô Í (Ò): Ò N}. Ç ÓÙÖ Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ù L Í ÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø ÕÙ Ò Íº Ú Ò Ù Ý Ø Ñ Í ÓØ Ö Ó Ó Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÙÐ Ñ Ð ÞÝ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ú Ò ÓÒ Ö Ò ÐÐ ÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ú Ò ÒØ Öº

È ÖØ ½ Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ Ò Ò ÙØÓÑ Ø

¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó ÒØ Ö Ü Ò ÒØ Ö ¾º Ï Ð Ø Ö Ô (Ò ½,..., Ò ) = (Ö Ô (Ò ½ ),..., Ö Ô (Ò )) # º Ø N ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ð Ò Ù Ö ÙÐ Öº Ö Ô ( ) = {Ö Ô (Ò ½,...,Ò ): (Ò ½,..., Ò ) } ÓÖ = ½ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ý Ø Ø Ø Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ò χ {¼, ½} N ¹ ÙØÓÑ Ø Ø Ö Ü Ø Ç Ø Ø ÓÒ ÒÔÙØ Ö Ô (Ò) ÓÙÔÙØ ½ Ò Ò ÓÙØÔÙØ ¼ ÓØ ÖÛ º

Ü ÑÔÐ Ì Ç ¼, ½ ¼ ¼ ½ ½ Ò Ö Ø Ø ÕÙ Ò ¼½½¼½¼½½½ Û Ò Ö Ò ¾¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÒØ Ö Û ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ù Ø Ó ÒØ Ö {½, ¾,,,,,...}.

Ó Ñ¹Ë Ñ ÒÓÚ Ø ÓÖ Ñ Ë Ñ ¹Ð Ò Ö Ø Ó N Ö Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø Ó Ø ÓÖÑ Û Ö Ô ¼, Ô ½,..., Ô l N º Ô ¼ + Ô ½ N+ +Ô l N Ì ÓÖ Ñ Ó Ñ ½ Ë Ñ ÒÓÚ ½ µ Ä Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ º Á Ù Ø Ó N ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ò Ø Ñ ¹Ð Ò Öº

Ì ÓÖ Ñ Ó Ñ ½ Ë Ñ ÒÓÚ ½ µ Ä Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ º Á Ù Ø Ó N ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ò Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Ð Ò Ö Ø Ö ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Û Ó Ø Ò Ø Ø Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Ø Ñ ¹Ð Ò Öº

Ì ÓÖ Ñ Ó Ñ ½ Ë Ñ ÒÓÚ ½ µ Ä Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ º Á Ù Ø Ó N ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ò Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Ð Ò Ö Ø Ö ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Û Ó Ø Ò Ø Ø Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Æ Ï Ò³Ø Ö ÔÐ ¾ Ý ½

Ì ÓÖ Ñ Ó Ñ ½ Ë Ñ ÒÓÚ ½ µ Ä Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ º Á Ù Ø Ó N ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ò Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Ð Ò Ö Ø Ö ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Û Ó Ø Ò Ø Ø Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Æ Ï Ò³Ø Ö ÔÐ ¾ Ý ½

Ì ÓÖ Ñ Ó Ñ ½ Ë Ñ ÒÓÚ ½ µ Ä Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ º Á Ù Ø Ó N ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ò Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Ð Ò Ö Ø Ö ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Û Ó Ø Ò Ø Ø Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð ÓÖ ÐÐ ¾ Ø Ñ ¹Ð Ò Öº Æ Ï Ò³Ø Ö ÔÐ ¾ Ý ½ Ì Ð Ò Ö Ø = {(Ò, ¾Ò): Ò N} = (½, ¾)N ÒÓØ ½¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò Ø Ð Ò Ù Ö Ô ½ ( ) = {(# Ò Ò, ¾Ò ): Ò N} = {(#, ) Ò (, ) Ò : Ò N} ÒÓØ Ö ÙÐ Ö ÔÔÐÝ Ø ÔÙÑÔ Ò Ð ÑÑ µº

Ö Ø Ö Þ Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Û Ø ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½ ¼ ÖÙÝ Ö ½ µ Ä Ø ¾ Ò ÒØ Öº Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø ¹ Ò Ð º

Ò Ð Ø Ä Ø S ÐÓ Ð ØÖÙØÙÖ Û Ó ÓÑ Ò Ò Ð Ø Ò ½º Ø Ò Ò Ð Ò S Ø Ö Ü Ø Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ϕ(ü ½,...,Ü Ò ) Ó S Ó Ø Ø ÓÖ ÐÐ ( ½,..., Ò ) Ò ϕ( ½,..., Ò ) ØÖÙ ( ½,..., Ò ) = {( ½,..., Ò ) Ò : S ϕ( ½,..., Ò )}. Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ò Ö ÙÖ Ú ÐÝ ÖÓÑ Ú Ö Ð Ü ½, Ü ¾, Ü,... Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ó Ø ÓÑ Ò Ø ÕÙ Ð ØÝ = Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÙÒØ ÓÒ Ú Ò Ò Ø ØÖÙØÙÖ S Ø ÓÒÒ Ø Ú,, =,, Ø ÕÙ ÒØ Ö, ÓÒ Ú Ö Ð º

ÈÖ ÙÖ Ö Ö Ø Ñ Ø N,+ Ü Ý Ò Ð Ý ( Þ) (Ü + Þ = Ý)º ÆÓØ ØÖÙ Ò Z,+ º Ü = Ý Ò Ð Ý Ü Ý Ý Üº ÆÓØ ØÖÙ Ò Z,+ º Ü = ¼ Ò Ð Ý Ü + Ü = ܺ ÇÃ Ò Z,+ º Ü = ½ Ò Ð Ý ( Ý) (Ý = ¼ Ü Ý)º ÆÓØ ØÖÙ Ò Z,+ º ÁÒ ÙØ Ú ÐÝ Ü = Ò Ð ÓÖ Ú ÖÝ Nº Ì Ø N+ Ö Ò Ð N+ = {Ü: ( Ý) (Ü = Ý + )} Û Ö Ý Ø Ò ÓÖ Ý + Ý + Ý Ø Ñ µº ÁÒ Ø Ù Ø N Ò Ð Ò N,+ Ø Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ö Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ö ÓÒ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ÙÐØ Ñ Ø ÐÝ Ô Ö Ó º Ù Ø N Ò Ð Ò N,+ Ø Ñ ¹Ð Ò Öº

¹ Ò Ð Ø Ø N ¹ Ò Ð Ø Ò Ð Ò Ø ØÖÙØÙÖ N,+, Î Û Ö +(Ü, Ý, Þ) Ø Ø ÖÒ ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ý Ü + Ý = Þ Î (Ü) Ø ÙÒ ÖÝ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ð Ö Ø ÔÓÛ Ö Ó Ú Ò Ü Ü ½ Ò Î (¼) = ½º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ø = {Ü N: Ü ÔÓÛ Ö Ó } Ò Ð Ý Î (Ü) = ܺ ÁØ Ò ÓÛÒ Ø Ø Ø ØÖÙØÙÖ N,+, Î Ò N,+, È Ö ÒÓØ ÕÙ Ú Ð ÒØ Û Ö È (Ü) ½ Ü ÔÓÛ Ö Ó Ò ¼ ÓØ ÖÛ º

¹ ÖÙÝ Ö ³ Ø ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ ½ ¼ ÖÙÝ Ö ½ µ Ä Ø ¾ Ò ÒØ Öº Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø ¹ Ò Ð º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓØ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ú º Ë Ø Ó Ø ÔÖÓÓ º ÖÓÑ Ò ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò Ö Ô ( ) ÓÒ ØÖÙØ Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ϕ Ó Ø ØÖÙØÙÖ N,+, Î Ò Ò Ø Ø Ù Ø Ø ϕ(ü ½,...,Ü ) ØÖÙ (Ü ½,..., Ü ) º ÓÒÚ Ö ÐÝ Ú Ò Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ϕ Ó Ø ØÖÙØÙÖ N,+, Î Ò Ò Ù Ð Ò ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò Ø Ð Ò Ù Ö Ô ( )º

¹ ÖÙÝ Ö ³ Ø ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ ½ ¼ ÖÙÝ Ö ½ µ Ä Ø ¾ Ò ÒØ Öº Ù Ø Ó N ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø ¹ Ò Ð º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓØ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ú º Ë Ø Ó Ø ÔÖÓÓ º ÖÓÑ Ò ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò Ö Ô ( ) ÓÒ ØÖÙØ Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ϕ Ó Ø ØÖÙØÙÖ N,+, Î Ò Ò Ø Ø Ù Ø Ø ϕ(ü ½,...,Ü ) ØÖÙ (Ü ½,..., Ü ) º ÓÒÚ Ö ÐÝ Ú Ò Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ϕ Ó Ø ØÖÙØÙÖ N,+, Î Ò Ò Ù Ð Ò ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò Ø Ð Ò Ù Ö Ô ( )º ÈÖÓÓ Ó Ø ÓÒ Ô ÖØ ÓÒ Ø Ó Ö ººº

ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ Ó N,+, Î Ð Ï Ú ØÓ ÓÛ Ø Ø Ú Ò ÒÝ ÐÓ Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ó N,+, Î Û Ò Û Ø Ö Ø ØÖÙ ÓÖ Ð Ò Nº Ë Ò Ø Ö ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø ØÖÙØÙÖ ÐÓ ÓÖÑÙÐ Ó N,+, Î Ò Ö ÐÝ Ó Ø ÓÖÑ Üϕ(Ü) ÓÖ Üϕ(Ü)º Ì Ø ϕ = {Ü N: N,+, Î ϕ(ü)} ¹ Ò Ð Ó Ø ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ý ¹ ÖÙÝ Ö ³ Ø ÓÖ Ñº Ì Ñ Ò Ø Ø Û Ò Ø Ú ÐÝ ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò Ö Ô ( ϕ )º

Ì ÐÓ ÓÖÑÙÐ Üϕ(Ü) ØÖÙ Ö Ô ( ϕ ) ÒÓÒ ÑÔØÝ Ò Ð ÓØ ÖÛ º Ø ÑÔØ Ò Ó Ø Ð Ò Ù ÔØ Ý Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ð Û Ò Üϕ(Ü) ØÖÙ º Ì Üϕ(Ü) Ö Ù ØÓ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÒ Ò Üϕ(Ü) ÐÓ ÐÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ü ϕ(ü)º Ï Ò Ò ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò Ø ¹ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ϕ = {Ü N: N,+, Î ϕ(ü)}. Ì Ð Ò Ù Ø ÔØ ÑÔØÝ Ø ÓÖÑÙÐ Üϕ(Ü) ØÖÙ º

ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ð ØÝ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ Á Û Ò ÜÔÖ ÔÖÓÔ ÖØÝ È(Ò) Ó Ò ÒØ Ö Ò Ù Ò ÕÙ ÒØ Ö ÐÓ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ð Ñ ÒØ Ó ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ü Ø Ò ÒÈ(Ò), ÒÈ(Ò) Ò ÒÈ(Ò) Ö Ð º Ï Ù Ø Ú ØÓ ÓÒÚ Ò ÓÙÖ ÐÚ Ø Ø Ø Ó ÔÖÓÔ ÖØ È Ò ÐÐ ÜÔÖ Ý Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ó N,+, Î º

ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ø ÓÙØ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ü[ ] = Ü[ ] Á Ü ¹ ÙØÓÑ Ø Ø Ò ÓÖ ÐÐ Ð ØØ Ö ÓÙÖÖ Ò Ò Ü Ø Ù Ø Ü ½ ( ) Ó N Ö ¹Ö Ó Ò Þ Ð º À Ò Ø Ý Ö Ò Ð Ý ÓÑ Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ψ Ó N,+, Î Ý ¹ ÖÙÝ Ö Ø ÓÖ Ñµ ψ (Ò) ØÖÙ Ü[Ò] = º Ì Ö ÓÖ Û Ò ÜÔÖ Ü[ ] = Ü[ ] Ý Ø Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ϕ(, ) Ó N,+, Î ϕ(, ) (ψ ( ) ψ ( )).

ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ø ÓÙØ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ü[ ] = Ü[ ] ÁÒ ÔÖ Ø Ú Ò Ç Å ÓÑÔÙØ Ò Ü Û Ò Ö ØÐÝ ÓÑÔÙØ Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ö Ó Ò Þ Ò Ø Ô Ö (, ) N ¾ Ù Ø Ø Ü[ ] = Ü[ ]º Ï ÑÔÐÝ Ó Ø ÔÖÓ ÙØ Ó ÙØÓÑ Ø Å Å ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ö Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Û ÔØ Ø ÓÙØÔÙØ Ó Å Ø Ö Ö Ò Ö Ô ( ) Ò Ö Ô ( ) Ö Ø Ñ Ò Ö Ø ÓØ ÖÛ º

ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ú Ò Ò ÓÚ ÖÐ Ôº ÕÙ Ò Ü = Ü[¼]Ü[½]... Ò ÓÚ ÖÐ Ô ÒÒ Ò Ø ÔÓ Ø ÓÒ ( l ½) ( l) Ü[ + ] = Ü[ +l+ ]º ÆÓÛ ÙÔÔÓ Ø Ø Ü ¹ ÙØÓÑ Ø º Ú Ò Ç Å ½ Ò Ö Ø Ò Ü Û Ö Ø Ö Ø Ò Æ Å ¾ Ø Ø ÓÒ ÒÔÙØ (,l) ÔØ ( l) Ü[ + ] Ü[ + +l]º ÌÓ Ó Ø Å ¾ Ù Ø ¹ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø¹ ݹ Ø Ú Ö Ø Ø l ÓÑÔÙØ + Ò + +l ÓÒ Ø Ý Ò ÔØ Ü[ + ] Ü[ + +l]º

Ï ÒÓÛ ÓÒÚ ÖØ Å ¾ ØÓ Å Ù Ò Ø Ù Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò ÒÚ Ö Ø Ò Ð Ø ØÙ Ó Ø Ø Ó Ø Ò Ò Å Û ÔØ Ø Ó Ô Ö (,l) Ù Ø Ø ( l) Ü[ + ] = Ü[ + +l]º ÆÓÛ Û Ö Ø Ò Æ Å Ø Ø ÓÒ ÒÔÙØ Ù l ½ Ò ÔØ Å ÔØ (,l)º Û Ò Å ÔØ ÒÝØ Ò Û Ú Ó Ø Ò Ø Ø ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÁØ Ð ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ò ÓÚ ÖÐ Ôº

Å ÒÝ Ð ØÝ Ö ÙÐØ ÓÖ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò ÁØ Ð Û Ø Ö ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò ¹ÔÓÛ Ö ÓÖ Ü µº ÁØ Ð Û Ø Ö ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò ÙÐØ Ñ Ø ÐÝ Ô Ö Ó º Ú Ò ØÛÓ ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ü Ò Ý Ø Ð Û Ø Ö (Ü) (Ý)º º º º

Ï Ø ÓÙØ Ò Û Ø Ö ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò ÌÓ ÔÐ ØÞ Ë ÑÙ Ð È Ø Ø ³ Ð ØÙÖ µ Ì ÔÖ Ø Ò Ô ½ l Ü[Ò] = Ü[Ò +lô] ÒÓØ Ö Ø ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ò N,+, Î º Ï Ý Á Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ ¹ Ò Ð Ï Ø ÓÙØ Ø Û Ö Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ö ØÖ Ø ØÓ ÔÓÛ Ö Ó Ø

Ò Ø Ú Ö ÙÐØ Ý Ë Ö Á Ü Ò Ö ØÖ ÖÝ ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ø Ò Ø ÔÖ Ø Ü[, + ¾Ò ½] Ò Ð Ò ÕÙ Ö ÒÓØ ÜÔÖ Ð Ò Ø ÐÓ Ð Ø ÓÖÝ N,+, Î º

ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ù Ì Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ö Ø¹ÓÖ Ö ÜÔÖ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ú ÖÝ Ò Ø ÖÑ Ó ÓÑÔÐ Ü Øݺ ÁÒ Ø ÛÓÖ Ø Û Ú ØÓÛ Ö Ó ÜÔÓÒ ÒØ Ð ¾Ò ¾ ¾ Û Ö Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ø Ó Ø Ú Ò Ç Ò Ø Ø Ó Ø ØÓÛ Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐØ ÖÒ Ø Ò ÕÙ ÒØ Ö Ø Ö Ø¹ÓÖ Ö ÔÖ Ø º Ì ÔÖÓ ÙÖ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ó À Ò ÐÐ ÅÓÙ Ú Ò Ë ÐРغ ÁÒ ÔÖ Ø Ø Ý Û Ö Ð ØÓ ÖÙÒ Ø Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ö ÔÖÓÚ µ Ñ ÒÝ Ö ÙÐØ ÓÙØ ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò Ò ÔÙÖ ÐÝ Ñ Ò Ð Û Ýº

È ÖØ ¾ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ ÓÙÒØ Ò Ö Ø¹ÓÖ Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ó ¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò ¹Ö ÙÐ Ö ÇÒ Ø Ð Ó Ö ººº

È ÖØ ÄÓ Ò ÓØ Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ

ÈÓ Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ä Ø Í = (Í ) ¼ = (½, ¾,,,,...) ÕÙ Ò Ø Ø Ò ÒÖ Ò ÕÙ Ò Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ø Ý Ò Í +½ Í ¼ = ½ Ò Í = ÙÔ ¼ Í < +. Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø Ò Ø ÛÓÖ Ö Ô Í (Ò) = l ½ ¼ ÓÚ Ö Ø ÐÔ Ø Í = {¼, ½,..., Í ½} Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Ò = l Í. =¼ Ì Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÒÓØ Ý L Í = {Ö Ô Í (Ò): Ò ¼}º ÁÒ Ø Û Ø Ð ÓÙØ Í¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó ÒØ Ö º

ÐÓ Ð Ö Ñ ÛÓÖ ÓÖ ÔÓ Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÌÛÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ Ò Ö Ð N ÒÓØ Í¹Ö Ó Ò Þ Ð º Ì Ø ÓÒ ÒÓØ Ö Ó Ò Þ Ý Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒº

È ÓØ Ý Ø Ñ È ÓØ ÒÙÑ Ö Ò Ð Ö ÒØ Ö > ½ Ù Ø Ø ÐÐ Ó Ø ÐÓ ÓÒ Ù Ø Ú ÓÐÙØ Ú ÐÙ < ½º ÏÓÖ Ò ÀÝÔÓØ Í Ø Ð Ò Ö Ö ÙÖÖ Ò Û Ó Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ò Ñ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó È ÓØ ÒÙÑ Öº ÓÖ Ù Ý Ø Ñ ÖÓÙ ÒÝ ÓÛ Ø Ø N Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ö Ó Ò Þ Ð Ý Ò Ø ÙØÓÑ Ø º

ÐÓ Ð Ö Ñ ÛÓÖ ÓÖ È ÓØ Ý Ø Ñ Í¹ Ò Ð Ø Ö Ù Ø Ó N Ø Ø Ö Ò Ð Ò Ø ÐÓ Ð ØÖÙØÙÖ N,+, Î Í Û Ö ÓÖ Ò ½ Î Í (Ò) ÒÓØ Ø Ñ ÐÐ Ø Í ÓÙÖÖ Ò Ò Ö Ô Í (Ò) Û Ø ÒÓÒÞ ÖÓ Ó ÒØ Ò Î Í (¼) = ½º Ì ÓÖ Ñ ÖÙÝ Ö ¹À Ò Ð ½ µ ÍÒ Ö ÏÀ Ø Í¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ó ÒØ Ö Ó Ò Û Ø Ø Í¹ Ò Ð Ø Ó ÒØ Ö º

ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ Ó N,+, Î Í Ð Ì Ö ÙÐØ ÑÔÐ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Í¹ Ò Ð ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ Í¹ ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ò º Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ò ÔÖÓÚ Ò Ö ÔÖÓÚ ÓÖ Ú Ö Ýµ Ñ ÒÝ Ö ÙÐØ ÓÙØ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÛÓÖ = ¼½¼¼½¼½¼¼½¼¼½¼½¼¼½¼½¼¼½¼¼½¼½¼¼½¼ Û Ø Ü ÔÓ ÒØ Ó ¼ ¼½, ½ ¼µº ¼ ½ ¼ ¼ ½

ÓÒÖ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ÑÓÒ Ñ ÒÝ ÓØ Ö µ ÁÒ ÔÙÖ ÐÝ Ñ Ò Ð Û Ý ÅÓÙ Ú Ë Ö Ò Ë ÐÐ Ø ÓÛ ÒÓØ ÙÐØ Ñ Ø ÐÝ Ô Ö Ó º ÓÒØ Ò ÒÓ ÓÙÖØ ÔÓÛ Ö º Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ö Ù ÒØ ÕÙ Ö Ô Ð Ò ÖÓÑ ÒØ Ô Ð Ò ÖÓÑ Ó º Ñ ÖÖÓÖ¹ ÒÚ Ö Òغ ØÓÖ Ó Ð Ø Ô Ö Ó Ó ØÓÖ ÙÒ ÓÖ Ö ØÓÖ ÄÝÒ ÓÒ ØÓÖ Ô Ð ØÓÖ º º º Ð Ò ÖÐÝ Ö ÙÖÖ Òغ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ò º Ì Ð Ü Ó Ö Ô ÐÐÝ Ð Ø Ð Ñ ÒØ Ò S( ) ¼ º º º º

Ê ÔÖ ÒØ Ò Ö Ð ÒÙÑ Ö ÁÒ Ò Ö Ð Ö Ð ÒÙÑ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ý Ò Ò Ø ÛÓÖ º ÁÒ Ø ÓÒØ ÜØ Û ÓÒ Ö ÙØÓÑ Ø º Ò Ò Ò Ø ÛÓÖ ÔØ Û Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ô Ø Ó Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ø Ñ Ø ÖÓÙ Ò ÔØ Ò Ø Ø º Ï Ø Ð ÓÙØ ω¹ð Ò Ù Ò ω¹ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù º

Ê ÙÐ Ö Ð Ò Ù Ú ω¹ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù Ê ÙÐ Ö Ò ω¹ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù Ö ÓÑ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÔ ÖØ Ø Ý ÓØ Ö Ø Ð ÙÒ Ö ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÑÓÖÔ Ñ ÒÚ Ö Ñ ÙÒ Ö ÑÓÖÔ Ñº Æ Ú ÖØ Ð Ø Ý Ö Ý ÓÑ ÓØ Ö Ô Ø º ÇÒ Ó Ø Ñ Ø ÖÑ Ò Ñº

Ø ÖÑ Ò Ø ÙØÓÑ Ø ÓÖ Û Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÙØÓÑ Ø º ÙØ ÓÒ ØÓ Ö ÙÐ Ø Ñ ÐÝ Ó ω¹ð Ò Ù Ø Ø Ö ÔØ Ý Ø ÖÑ Ò Ø ÙØÓÑ Ø ØÖ ØÐÝ ÒÐÙ Ò Ø Ø Ó ω¹ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù º Ü ÑÔÐ ÆÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ø Ð Ò Ù ÔØ Ý,

β¹ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ä Ø β > ½ Ö Ð ÒÙÑ Ö Ò Ð Ø Z Ò ÐÔ Øº ÓÖ Ö Ð ÒÙÑ Ö Ü ÒÝ Ò Ò Ø ÛÓÖ Ù = Ù Ù ½ Ù ¼ Ù ½ Ù ¾ ÓÚ Ö { } Ù Ø Ø β¹ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Üº Ú Ð β (Ù) := ÁÒ Ò Ö Ð Ø ÒÓØ ÙÒ ÕÙ º < Ù β = Ü

Ü ÑÔÐ β = ½+ Ø ÓÐ Ò Ö Ø Óµ ¾ ÓÒ Ö Ü = ½ β ¾ º Û Ð Ó Ú Ü = β Ø ÛÓÖ Ù = ¼ ¼¼½½½½ Ò Ú = ¼ ¼½¼½¼½¼ Ö ÓØ β¹ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Üº

β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ Ü ¼ ÑÓÒ ÐÐ Ù β¹ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ü Û Ø Ò Ù Ø β¹ ÜÔ Ò ÓÒ β (Ü) = Ü Ü ½ Ü ¼ Ü ½ Ü ¾ Û Ø Ò Ò Ø ÛÓÖ ÓÚ Ö β = {¼,..., β ½} ÓÒØ Ò Ò Ü ØÐÝ ÓÒ ÝÑ ÓÐ Ò Ó Ø Ò Ý Ø Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñº Ê Ð Ò [¼, ½) Ú β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ ¼ Ù Û Ø Ù ω β º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö β (¼) = ¼ ¼ ω º

È ÖÖݳ Ö Ø Ö ÓÒ Ì ÓÖ Ñ È ÖÖÝ ½ ¼µ Ò Ò Ò Ø ÛÓÖ Ù Ù Ø Ø ¼ Ù ½ Ù ¾ Ø β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ò [¼, ½) ÓÖ ÐÐ ½ Ù Ù +½ < Ð Ü β (½)º À Ö β (½) ÒÓØ Ø Ð Ü Ó Ö Ô ÐÐÝ Ö Ø Ø Û ω β ÒÓØ Ò Ò Ò ¼ ω Ù Ø Ø Ú Ð β (¼ Û) = ½º

Ü ÑÔÐ β = ½+ Ø ÓÐ Ò Ö Ø Óµ ¾ Ï Ú Ò Ø Ø Ø ÛÓÖ Ù = ¼ ¼¼½½½½ Ò Ú = ¼ ¼½¼½¼½¼ Ö ÓØ β¹ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ü = ½ β ¾ º Ï Ú β (½) = (½¼)ω º Ì Ò ØÓ È ÖÖݳ Ø ÓÖ Ñ Ø β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ò [¼, ½) Ö Ó Ø ÓÖÑ ¼ Ù Û Ö Ù {¼, ½} ω Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ½½ ØÓÖº ËÓ Ú Ø β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Üº

Ê ÔÖ ÒØ Ò Ò Ø Ú ÒÙÑ Ö ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ð Û Ø Ò Ø Ú ÒÙÑ Ö ÒÓØ Ø ÒØ Ö ÓÖ ÐÐ Zº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÛÖ Ø Ù Ú = Ù Ú, Ù Ú = Ù Ú Ò Ù = Ù. ÓÖ Ü < ¼ Ø β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ü Ò β (Ü) = β ( Ü). Ï Ð Ø β = { ¼, ½,..., β ½} Ò β = β β Û Ø ¼ = ¼µº

ÅÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ñ ÛÓÖ Ä Ø β = ½+ ¾ º ÓÒ Ö Ü = (Ü ½, Ü ¾ ) = ( ½+, ¾+ )º Ï Ú β (Ü) = ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ Û Ö Ø Ö Ø β¹ ÜÔ Ò ÓÒ Ô Û Ø ÓÑ Ð Ò Þ ÖÓ º Ï Ø Ý = (Ü ½, Ü ¾ ) = ( ½+, ½ ) Û Ø ¾ β (Ý) = ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼

β¹ö Ó Ò Þ Ð Ù Ø Ó R Ø R β¹ö Ó Ò Þ Ð β ( ) ÔØ Ý ÓÑ ÙØÓÑ ØÓÒº Ì ÓÖ Ñ Ä Ø R º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ½º β¹ö Ó Ò Þ Ð º ¾º ¼ β ( ) ω¹ö ÙÐ Öº º ÓÖ ÓÑ Ñ Ô Ñ : Ü N {¼ Ñ(Ü) β (Ü): Ü } ω¹ö ÙÐ Öº

È ÖÖÝ ÒÙÑ Ö È ÖÖÝ ÒÙÑ Ö Ö Ð ÒÙÑ Ö β > ½ ÓÖ Û β (½) ÙÐØ Ñ Ø ÐÝ Ô Ö Ó º ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ó È ÖÖݳ Ø ÓÖ Ñµ Á β È ÖÖÝ ÒÙÑ Ö Ø Ò β ([¼, ½) ) ÔØ Ý Ø ÖÑ Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒº Ü ÑÔÐ β = ½+ Ø ÓÐ Ò Ö Ø Óµ ¾ Ì ω¹ð Ò Ù β ([¼, ½)) ÔØ Ý ¼ ½ ¼

Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ ÓÖ Ñ Ü Ö Ð Ò β¹ ÒØ Ö Ú Ö Ð Ö Ð ÒÙÑ Ö Ü β¹ ÒØ Ö β (Ü) Ó Ø Ò Ù ¼ ω º Ì Ø Ó β¹ ÒØ Ö ÒÓØ Ý Z β º Ù Ø Ó R β¹ Ò Ð Ø Ò Ð Ý Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ó R,+,,Z β, β, Û Ö β Ø Ò Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ò ÖÝ ÔÖ Ø { β, : β } Ò Ý β, (Ü, Ý) Ý = β ÓÖ ÓÑ Z Ò Ø Ö Ü < Ý Ò = ¼ ÓÖ Ü Ý Ò Ü = º

¼ Ò ½ Ö β¹ Ò Ð Ü = ¼ Ò Ý Ü + Ü = ܺ Þ = ½ Ò Ò Ò R,+,,Z β, β Ý Ø ÓÖÑÙÐ Þ Z β [ ( Ü) (( Ü Z β Ü > ¼ ) = Ü Þ )]

Ì ØÖÙØÙÖ R,+,, ½, β Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ò Ò ÒØ Ö ÔÓÛ Ö Ó β Ò Ð Ò R,+,, ½, β Ý Ø ÓÖÑÙÐ Ü ÔÓÛ Ö Ó β ( Ý)( β,½ (Ü, Ý) Ü = Ý). Ï Ò Ð Ó Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ò ÔÓ Ø Ú ÓÖ Ò Ø Ú ÔÓÛ Ö Ó β Ý Ò Ü > ½ ÓÖ Ü < ½ Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ä Ø ÔÓÛ Ö Ó βº ÇÒ Ò Ò Ø Ò ÜØ ÓÖ Ø ÔÖ Ú ÓÙ µ ÔÓÛ Ö Ó β ÓÐÐÓÛ = β ( ÔÓÛ Ö Ó β) ( > ) ( )(( ÔÓÛ Ö Ó β > ) = ). ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ ÒÝ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú ÓÖ Ò Ø Ú µ ÔÓÛ Ö Ó β Ò Ð Ò R,+,, ½, β º

Ì ØÛÓ ØÖÙØÙÖ R,+,, ½, β Ò R,+,,Z β, β Ö ÕÙ Ú Ð Òغ Ì Ø Z β Ò Ò Ò R,+,, ½, β Ý Ø ÓÖÑÙÐ Þ Z β ( Ý) [ (Ý Ò Ø Ú ÔÓÛ Ö Ó β) = β,¼ (Þ, Ý) ].

ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÓÒµ Ý β β¹ Ò Ð Ý = βü ( ) [ ] ( β, (Ü, ) = β, (Ý,β )). β ÆÓØ Ø Ø β, (Ü, ) ÑÔÐ Ø Ø Ò ÒØ Ö ÔÓÛ Ö Ó βº ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÓÒµ Ý ÓÒ Ø ÒØ ÔÓÛ Ö Ó β β¹ Ò Ð º

Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ ÓÖ Ñ Ü Ö Ð Ò ÒØ Ö Ú Ö Ð À Ö Û ÙÔÔÓ Ø Ø β = Nº Ì ÓÖ Ñ Ó ÐÓØ¹Ê ÖعÏÓÐÔ Ö ½ µ Ù Ø Ó R ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø ¹ Ò Ð º Ø ÑÔØ Ò Ó Ò ω¹ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù Ð Û Ó Ø Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ Ó R,+,,Z, Ð º

Ò ØÓÔÓÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ù Ø Ó R Ö Ð ÒÓÒ ÑÔØÝ ÒØ Ö ÓÖ ÓÔ Ò ( Ü ) ( ε > ¼) ( Ý) ( Ü Ý < ε = Ý ). ( Ü ) ( ε > ¼) ( Ý) ( Ü Ý < ε = Ý ). ÐÓ ÇÃ R \ ¹Ö Ó Ò Þ Ð º º º º

Ó Ñ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ Ö Ð ÒÙÑ Ö Ì ÓÖ Ñ Ó ÐÓع ÖÙ Ø Ò¹ ÖÙÝ Ö ¹ÂÓ Ó Ò ¹Ä ÖÓÙÜ ¾¼¼½ ¾¼¼ ¾¼¼ µ Ä Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ ÒØ Ö º Ù Ø R ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Û ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð Ø Ò Ð Ò R,+,,Z º ÓÖ = ½ Ø Ö ÙÐØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ì ÓÖ Ñ ÑÞ Û ¹ ÐÐ ¾¼½½µ Ä Ø, ¾ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ ÒØ Ö º ÓÑÔ Ø Ø [¼, ½] ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ò ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ø Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó ÐÓ ÒØ ÖÚ Ð Û Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ò ÔÓ ÒØ º

¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö ØÝ Ä Ø ¾ Ò ÒØ Öº ÓÑÔ Ø Ø [¼, ½] ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ø ¹ ÖÒ Ð { ( ) [¼, ½] : ¼, = ( ½,..., ) Z, } ( ) ¼ < Ò Ø º

È Ð³ ØÖ Ò Ð ÑÓ ÙÐÓ ¾ ¾¹ Ð ¹ Ñ Ð Öº

Å Ò Ö ÔÓÒ ¹ Ð ¹ Ñ Ð Öº

Ë Ø Ó ÒØ Ö Ò Ð Ò R,+,,Z Ö Ø ÓÒ Ð ÔÓÐÝ ÖÓÒ Ö ÓÒ Ó R Ð Ñ Ø Ý Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ú ÒØ Ö Ó ÒØ º ÒÝ Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÔÓÐÝ Ö ¹ Ð ¹ Ñ Ð Öº Ø Ñ Ø Ø Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ó ÕÙ ÒØ Ö ÓÙÒ Ù Ø R Ò Ð Ò R,+,,Z Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÔÓÐÝ Ö º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÖ = ½ Ù Ø [¼, ½] Ò Ð Ò R,+,,Z Ø Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó ÐÓ ÒØ ÖÚ Ð Û Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ò ÔÓ ÒØ º

Ä Ò Ò ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö ØÝ Ò ¹Ö Ó Ò Þ Ð ØÝ Ì ÓÖ Ñ ¹Ä ÖÓÝ¹Ê Ó ¾¼½ µ Ù Ø Ó [¼, ½] ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ø Û ÐÝ ¹Ö Ó Ò Þ Ð º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Ó Ø Ò Ý Ò¹À Ö ¾¼½ µ Ä Ø, ¾ ØÛÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ ÒØ Ö º ÓÑÔ Ø Ø [¼, ½] ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ò ¹ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ø Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÔÓÐÝ Ö º ÁÒ Ø Û ÔÖÓÚ Ø ÓÚ Ð Ò Ò Ø ÑÓÖ Ò Ö Ð Ó Ö Ð È ÓØ βº

Ö Ø Ö Þ Ò β¹ö Ó Ò Þ Ð Ø Ù Ò ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ¹Ä ÖÓÝ¹Ê Ó ¾¼½ µ Á β È ÖÖÝ Ø Ò Ú ÖÝ β¹ö Ó Ò Þ Ð R β¹ Ò Ð º Á β È ÓØ Ø Ò Ú ÖÝ β¹ Ò Ð R β¹ö Ó Ò Þ Ð º Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ø ÓÒ Ø Ñ Ý Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ð Ò Ø Ó Ø ÓÖÑÙÐ Ò º Ì Ò ÙØ ÓÒ Ø Ô ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó ω¹ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù Ø Ý Ö Ø Ð ÙÒ Ö ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ º Ï Ø Û Ú ØÓ Ø Ø Ø ØÓÑ ÓÖÑÙÐ Ö ÐÐ β¹ö Ó Ò Þ Ð º

Ä ÑÑ ½ Á β È ÖÖÝ Ø Ò R β¹ö Ó Ò Þ Ð º Ü ÑÔÐ β = ½+ ¾ µ Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ø ω¹ð Ò Ù ¼ β (Ü R: Ü ¼}º ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ½ ÌÓ Ò Ð Ò Ø Ú ÒÙÑ Ö Û Ñ Ø ÙÒ ÓÒ Ó ØÛÓ Ù ÙØÓÑ Ø º

Ä ÑÑ ¾ Á β È ÓØ Ø Ò Ø Ø ÓÒ β¹ö Ó Ò Þ Ð º Ä Ø Z Ò Ø º Ì ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ø ÙÒØ ÓÒ ν β, : + ω + ω β β Ø Ø Ñ Ô ÒÝ β¹ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ü ÓÒØÓ β (Ü)º Ì ÓÖ Ñ ÖÓÙ ÒÝ ½ ¾µ Ä Ø β È ÓØ ÒÙÑ Ö Ò Z Ò Ø º Ì ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ö Ð Þ Ð Ý ÒÓÒ¹ Ø ÖÑ Ò Ø µ Ð ØØ Ö¹ØӹРØØ Ö ØÖ Ò Ù Ö T Ù ω ½ Ú β ω (Ù, Ú) Ê T º ÙÖØ Ö β (Ú Ð β (¼ Ù)) = ¼ Úº ÓÖÓÐÐ ÖÝ Á β È ÓØ Ø Ò Ø Ø ÓÒ β¹ö Ó Ò Þ Ð º

Ä ÑÑ Á β È ÖÖÝ Ø Ò {(Ü, Ý) R ¾ : Ü < Ý} β¹ö Ó Ò Þ Ð º ÈÖÓÓ º ÁØ Ö Ó Ò Þ Ý Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò β (R ¾ ) Û Ø {(, ): β { }} ( β β ) {(, )} {(, ) β β : < }

Ä ÑÑ Á β È ÖÖÝ Ø Ò Z β β¹ö Ó Ò Þ Ð º ÈÖÓÓ º Ì ÙØÓÑ ØÓÒ Ö Ó Ò Þ Ò Z β Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ö Ó Ò Þ Ò R Û Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò + β ¼ ω º

Ä ÑÑ Á β È ÖÖÝ Ø Ò β β¹ö Ó Ò Þ Ð º ÈÖÓÓ º ÓÖ β β ( β, ) ÔØ Ý Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÙØÓÑ ØÓÒ ÔØ Ò β (R ¾ ) Û Ø {(, ¼): β } {(, ¼): β } (, ½) (, ) (, ½) (, ) {(, ¼): β } {(, ¼): β }

Ð ØÝ ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ò Ø Ø Ø Ø ÑÔØ Ò Ó Ò ω¹ð Ò Ù Ð Û Ó Ø Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ì Ö Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ Ó R,+,,Z β, β Ð º