The global k-means clustering algorithm Aristidis Likas, Nikos Vlassis, Jakob Verbeek To cite this version: Aristidis Likas, Nikos Vlassis, Jakob Verbeek. The global k-means clustering algorithm. [Technical Report] IAS-UVA-01-02, 2001, pp.12. <inria-00321515> HAL Id: inria-00321515 https://hal.inria.fr/inria-00321515 Submitted on 16 Feb 2011 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Á Ë Ø Ò Ð Ö ÔÓÖØ Ö ÒÖº Á ˹ÍÎ ¹¼½¹¼¾ Ì ÐÓ Ð ¹Ñ Ò ÐÙ Ø Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ø Ä Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÁÓ ÒÒ Ò Ö Æ Ó ÎÐ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÙÐØÝ Ó Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò Â Ó Âº Î Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÙÐØÝ Ó Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò Intelligent Autonomous Systems Ï ÔÖ ÒØ Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ò ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÔÔÖÓ ØÓ ÐÙ Ø Ö Ò Ø Ø ÝÒ Ñ ÐÐÝ ÓÒ ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ø Ø Ñ Ø ÖÓÙ Ø ÖÑ Ò¹ Ø ÐÓ Ð Ö ÔÖÓ ÙÖ ÓÒ Ø Ò Ó Æ Û Ø Æ Ò Ø Þ Ó Ø Ø Øµ Ü ÙØ ÓÒ Ó Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÓÑ Ù Ø Ð Ò Ø Ð ÔÓ Ø ÓÒ º Ï Ð Ó ÔÖÓÔÓ ÑÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó ØÓ Ö Ù Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÐÓ Û Ø ÓÙØ ¹ Ò ÒØÐÝ «Ø Ò ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ð Øݺ Ì ÔÖÓÔÓ ÐÙ Ø Ö Ò Ñ Ø Ó Ö Ø Ø ÓÒ Û Ðй ÒÓÛÒ Ø Ø Ò Ø Ý ÓÑÔ Ö ÚÓÖ ÐÝ ØÓ Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø Ö Ò ÓÑ Ö Ø ÖØ º à ÝÛÓÖ ÐÙ Ø Ö Ò Ã¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÓ Ð ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ¹ ØÖ Ø Ñ Ò Ò º ËÙ Ñ ØØ ØÓ È ØØ ÖÒ Ê Ó Ò Ø ÓÒ
Ì ÐÓ Ð ¹Ñ Ò ÐÙ Ø Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÇÆÌ ÆÌË ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ¾ Ì ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ½ ËÔ Ò ¹ÙÔ Ü ÙØ ÓÒ º½ Ì Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÁÒ Ø Ð Þ Ø ÓÒ Û Ø ¹ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ù ÓÒ Ò ÓÒÐÙ ÓÒ ÁÒØ ÐÐ ÒØ ÙØÓÒÓÑÓÙ ËÝ Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÙÐØÝ Ó Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñ ÃÖÙ Ð Ò ¼ ½¼ ËÂ Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙØ ÓÖ Ö Ø Ä ÖÐÝ ºÙÓ º Ö Ø Ð ½ ¾¼ ¾ ½ Ü ½ ¾¼ ¾ ¼ ØØÔ»»ÛÛÛº Ò ºÙÚ ºÒÐ»Ö Ö»»
Ë Ø ÓÒ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ö ÕÙ ÒØÐÝ Ö Ò Ö Ø Ú Ö ØÝ Ó Ð Ù Ô ØØ ÖÒ Ö Ó ¹ Ò Ø ÓÒ Ñ ÔÖÓ Ò Ñ Ò Ð ÖÒ Ò Ò Ø Ø Ø Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ½ º ÁÒ Ø ÓÖÑ Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò ÖÓÙÔ Ó Ø ÔÓ ÒØ Ò Ú Ò Ø Øº Ó Ø ÖÓÙÔ ÐÐ ÐÙ Ø Ö Ò Ò Ò Ö ÓÒ Ò Û Ø Ò ØÝ Ó Ó Ø ÐÓ ÐÐÝ Ö Ø Ò Ò ÓØ Ö Ö ÓÒ º Ì ÑÔÐ Ø ÓÖÑ Ó ÐÙ Ø Ö Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ø Ö Ò Û Ñ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ú Ò Ø Ø ÒØÓ Ó ÒØ Ù Ø ÐÙ Ø Ö µ Ó Ø Ø Ô ÐÙ Ø Ö Ò Ö Ø Ö Ö ÓÔØ Ñ Þ º Ì ÑÓ Ø Û ÐÝ Ù Ö Ø Ö ÓÒ Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ Ö Ø Ö ÓÒ Û ÓÖ ÔÓ ÒØ ÓÑÔÙØ Ø ÕÙ Ö Ø Ò ÖÓÑ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ò Ø Ò Ø Ø ÙÑ Ó Ø Ø Ò ÓÖ ÐÐ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ø Øº ÔÓÔÙÐ Ö ÐÙ Ø Ö Ò Ñ Ø Ó Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñº ÀÓÛ Ú Ö Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÓ Ð Ö ÔÖÓ ÙÖ Ò Ø Û Ðй ÒÓÛÒ Ø Ø Ø Ù«Ö ÖÓÑ Ø Ö ÓÙ Ö Û Ø Ø Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ú ÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø Ò Ø Ð Ø ÖØ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ¾ º ÌÓ ØÖ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ö Ð ÓØ Ö Ø Ò ÕÙ Ú Ò Ú ÐÓÔ Ø Ø Ö ÓÒ ØÓ Ø ÐÓ Ð ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó º ÑÙÐ Ø ÒÒ Ð Ò Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ µº ÀÓÛ Ú Ö Ø ÑÙ Ø ÒÓØ Ø Ø Ø Ø Ò ÕÙ Ú ÒÓØ Ò Û ÔØ Ò Ò Ò Ñ ÒÝ ÔÖ Ø Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø ÐÙ Ø Ö Ò Ñ Ø Ó Ø Ø Ù Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ø ÖØ ½ º ÁÒ Ø ÛÓÖ Û ÔÖÓÔÓ Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò ÐÙ Ø Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û ÓÒ Ø ØÙØ Ø Ö¹ Ñ Ò Ø «Ø Ú ÐÓ Ð ÐÙ Ø Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ Ø Ø ÑÔÐÓÝ Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÓ Ð Ö ÔÖÓ ÙÖ º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ò Ò Ò¹ Ö Ñ ÒØ Ð Û Ý ØÓ ÓÐÚ ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Å ÐÙ Ø Ö ÐÐ ÒØ ÖÑ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ½ ¾ Å ½ ÐÙ Ø Ö Ö ÕÙ ÒØ ÐÐÝ ÓÐÚ º Ì ÙÒ ÖÐÝ Ò Ø ÔÖÓÔÓ Ñ Ø Ó Ø Ø Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Å ÐÙ Ø Ö Ò Ó Ø Ò Ù Ò Ö Ó ÐÓ Ð Ö Ù Ò Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñµº Ø ÐÓ Ð Ö Ø Å ½ ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ö ÐÛ Ý Ò Ø ÐÐÝ ÔÐ Ø Ø Ö ÓÔØ Ñ Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Å ½ ÐÙ Ø Ö º Ì Ö Ñ Ò Ò Å¹Ø ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ò Ø ÐÐÝ ÔÐ Ø Ú Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ø Ø Ô º Ë Ò ÓÖ Å ½ Ø ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÒÓÛÒ Û Ò Ø Ö Ø Ú ÐÝ ÔÔÐÝ Ø ÓÚ ÔÖÓ ÙÖ ØÓ Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÐÐ ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ½ ź ÁÒ Ø ÓÒ ØÓ «Ø Ú Ò Ø Ñ Ø Ó Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ ÒÝ Ò Ø Ð ÓÒ ¹ Ø ÓÒ ÓÖ ÑÔ Ö ÐÐÝ Ù Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö º Ì Ö Ò ÒØ Ú ÒØ ÓÚ Ö ÐÐ ÐÙ Ø Ö Ò ÔÔÖÓ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÚ º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ Ø ÖØ Û Ø ÓÖÑ Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ Ò Ö Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ò Ö Ø ÔÖÓÔÓ ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñº Ë Ø ÓÒ Ö ÑÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó Ø Ø Ö ÕÙ Ö Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ø ÜÔ Ò Ó Ò Ð ØÐÝ Ð «Ø Ú º Ë Ø ÓÒ ÔÖÓÚ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ Û Ø Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ø ÖØ º Ò ÐÐÝ Ë Ø ÓÒ ÔÖÓÚ ÓÒÐÙ ÓÒ Ò Ö Ö Ø ÓÒ ÓÖ ÙØÙÖ Ö Ö º ¾ Ì ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ËÙÔÔÓ Û Ö Ú Ò Ø Ø Ü½ Ü Æ Ü Ò ¾ Ê º Ì Å¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ø ÒØÓ Å Ó ÒØ Ù Ø ÐÙ Ø Ö µ ½ Å Ù Ø Ø ÐÙ Ø Ö Ò Ö Ø Ö ÓÒ ÓÔØ Ñ Þ º Ì ÑÓ Ø Û ÐÝ Ù ÐÙ Ø Ö Ò Ö Ø Ö ÓÒ Ø ÙÑ Ó Ø ÕÙ Ö ÙÐ Ò Ø Ò ØÛ Ò Ø ÔÓ ÒØ Ü Ò Ø ÒØÖÓ Ñ ÐÙ Ø Ö ÒØ Öµ Ó Ø Ù Ø Û ÓÒØ Ò Ü º Ì Ö Ø Ö ÓÒ ÐÐ ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ Ò Ô Ò ÓÒ Ø ÐÙ Ø Ö
¾ º Ä ÒØ Ö Ñ½ Ñ Å Æ Å Ñ½ Ñ Å µ Á Ü ¾ µ Ü Ñ ¾ ½µ ½ ½ Û Ö Á µ ½ ØÖÙ Ò ¼ ÓØ ÖÛ º Ì ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÐÓ ÐÐÝ ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖº ÁØ Ø Ø Ö Ø Ú Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ò Ù Ò Ñ ÒÝ ÐÙ Ø Ö Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ º ÁØ ÔÓ Òع ÐÙ Ø Ö Ò Ñ Ø Ó Ø Ø Ø ÖØ Û Ø Ø ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ò Ø ÐÐÝ ÔÐ Ø Ö ØÖ ÖÝ ÔÓ Ø ÓÒ Ò ÔÖÓ Ý ÑÓÚ Ò Ø Ø Ô Ø ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ò ÓÖ Ö ØÓ Ñ Ò Ñ Þ Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖº Ì Ñ Ò Ú ÒØ Ó Ø Ñ Ø Ó Ð Ò Ø Ò Ø Ú ØÝ ØÓ Ò Ø Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö º Ì Ö ÓÖ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ó Ø Ò Ò Ö ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ò Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ö Ð ÖÙÒ ÑÙ Ø ÙÐ «Ö Ò Ò Ø Ò Ø Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò ÐÙ Ø Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓÔÓ Û ÓÒ Ø ØÙØ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÓ Ð ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ø Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ ÒÝ Ò Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ Ò ÑÔÐÓÝ Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÓ Ð Ö ÔÖÓ ÙÖ º ÁÒ Ø Ó Ö Ò ÓÑÐÝ Ð Ø Ò Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÓÖ ÐÐ ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ø Û Ø ÑÓ Ø ÐÓ Ð ÐÙ Ø Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÔÖÓÔÓ Ø Ò ÕÙ ÔÖÓ Ò Ò ÒÖ Ñ ÒØ Ð Û Ý ØØ ÑÔØ Ò ØÓ ÓÔØ Ñ ÐÐÝ ÓÒ Ò Û ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ø Ø º ÅÓÖ Ô ÐÐÝ ØÓ ÓÐÚ ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Å ÐÙ Ø Ö Ø Ñ Ø Ó ÔÖÓ ÓÐÐÓÛ º Ï Ø ÖØ Û Ø ÓÒ ÐÙ Ø Ö ½µ Ò Ò Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÓ Ø ÓÒ Û ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÒØÖÓ Ó Ø Ø Ø º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ØÛÓ ÐÙ Ø Ö ¾µ Û Ô Ö ÓÖÑ Æ Ü ÙØ ÓÒ Ó Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÓÑ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ø Ö Ø ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö ÐÛ Ý ÔÐ Ø Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ½ Û Ð Ø ÓÒ ÒØ Ö Ø Ü ÙØ ÓÒ Ò ÔÐ Ø Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÔÓ ÒØ Ü Ò Ò ½ Ƶº Ì Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ö Ø Æ Ü ÙØ ÓÒ Ó Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ¾º ÁÒ Ò Ö Ð Ð Ø Ñ ½ µ Ñ µµ ÒÓØ Ø Ò Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÇÒ Û Ú ÓÙÒ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ½µ¹ ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û ØÖÝ ØÓ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÐÓÛ Û Ô Ö ÓÖÑ Æ ÖÙÒ Ó Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø ÐÙ Ø Ö Û Ö ÖÙÒ Ò Ø ÖØ ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð Ø Ø Ñ ½ ½µ Ñ ½µ ½µ Ü Òµº Ì Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Æ ÖÙÒ ÓÒ Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ñ ½ µ Ñ µµ Ó Ø ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ý ÔÖÓ Ò Ò Ø ÓÚ ÓÒ Û Ò ÐÐÝ Ó Ø Ò ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Å ÐÙ Ø Ö Ú Ò Ð Ó ÓÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÐÐ ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Åº Ì Ð ØØ Ö Ö Ø Ö Ø Ò Ú ÒØ ÓÙ Ò Ñ ÒÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ Û Ö Ø Ñ Ð Ó ØÓ ÓÚ Ö Ø ÓÖÖ Ø³ ÒÙÑ Ö Ó ÐÙ Ø Ö º ÌÓ Ú Ø ÓÒ ØÓ ÓÐÚ Ø ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ú Ö ÓÙ ÒÙÑ Ö Ó ÐÙ Ø Ö Ò Ø Ò ÑÔÐÓÝ ÔÔÖÓÔÖ Ø Ö Ø Ö ÓÖ Ð Ø Ò Ø ÑÓ Ø Ù Ø Ð Ú ÐÙ Ó º ÁÒ Ø Ø ÔÖÓÔÓ Ñ Ø Ó Ö ØÐÝ ÔÖÓÚ ÐÙ Ø Ö Ò ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÐÐ ÒØ ÖÑ Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ù Ö ÕÙ Ö Ò ÒÓ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð «ÓÖغ ÁÒ Û Ø ÓÒ ÖÒ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø Ñ Ø Ó Ö ÕÙ Ö Æ Ü ÙØ ÓÒ Ó Ø ¹ Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ú ÐÙ Ó ½ ŵº Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ú Ð Ð Ö ÓÙÖ Ò Ø Ú ÐÙ Ó Æ Ò Å Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ñ Ý Ò ØØÖ Ø Ú ÔÔÖÓ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ò Ø Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ø Ñ Ø Ó Ü ÐÐ Òغ ÅÓÖ ÓÚ Ö Û Û ÐÐ ÓÛ Ð Ø Ö Ø Ö Ö Ú Ö Ð ÑÓ Ø ÓÒ Ø Ø Ò ÔÔÐ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ö Ù Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÐÓ º Ì Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ø ÔÖÓÔÓ Ñ Ø Ó ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÑÔØ ÓÒ Ò ÓÔØ Ñ Ð ÐÙ Ø Ö Ò ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø ÐÙ Ø Ö Ò Ó Ø Ò Ø ÖÓÙ ÐÓ Ð Ö Ù Ò ¹Ñ Ò µ Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ò Ò Ø Ð Ø Ø Û Ø Ø ½ ÒØ Ö ÔÐ Ø Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ½µ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ö Ñ Ò Ò ¹Ø ÒØ Ö ÔÐ Ø Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ ÓÚ Ö º
Ë Ø ÓÒ ËÔ Ò ¹ÙÔ Ü ÙØ ÓÒ Ì ÙÑÔØ ÓÒ Ñ Ú ÖÝ Ò ØÙÖ Ð Û ÜÔ Ø Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ö Ð Ø ÖÓÙ ÐÓ Ð Ö µ ÖÓÑ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ½µ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ð ÒØ Ö ÔÐ Ø Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø ÔÓ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ø Ø Øº ÁØ Ð Ó Ö ÓÒ Ð ØÓ Ö ØÖ Ø Ø Ø Ó ÔÓ Ð Ò Ø Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø ¹Ø ÒØ Ö ØÓ Ø Ø Ó Ú Ð Ð Ø ÔÓ ÒØ º ÁØ ÑÙ Ø ÒÓØ Ø Ø Ø Ö Ø Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÚÝ ÙÑÔØ ÓÒ Ò Ú Ö Ð ÓØ Ö ÓÔØ ÓÒ Ü Ñ Ò Ò Û Ö Ò Ø Ð ÔÓ Ø ÓÒ µ Ñ Ý Ð Ó ÓÒ Ö º Ì ÓÚ ÙÑÔØ ÓÒ Ö Ð Ó Ú Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ Ò Ò ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò ÓÖ ÐÐ Ú ÐÙ Ó µ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò Ý Ø ÔÖÓÔÓ Ñ Ø Ó Û Ø Ð Ø ÓÓ Ø Ø Ó Ø Ò Ù Ò ÒÙÑ ÖÓÙ Ö Ò ÓÑ Ö Ø ÖØ Ó Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñº ÁÒ Ø Ô Ö Ø Û Ò ÙØ ÓÙ ÐÝ Ø Ø Ø Ø Ø ÔÖÓÔÓ Ñ Ø Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ ÓÔØ Ñ Ð ÐØ ÓÙ Ø ÆÙÐØ ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÖ Ø ÐÐݵº ËÔ Ò ¹ÙÔ Ü ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ö Ð Ó Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ö Ð ÙÖ Ø Ò Ú ØÓ Ö Ù Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÐÓ Û Ø ÓÙØ Ò ÒØÐÝ «Ø Ò Ø ÕÙ Ð ØÝ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ù Ø ÓÒ ØÛÓ ÑÓ Ø ÓÒ Ö ÔÖÓÔÓ ÓÒ Ö ÖÖ Ò ØÓ «Ö ÒØ Ô Ø Ó Ø Ñ Ø Ó º º½ Ì Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ì Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ Ø ØÙØ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ñ Ø Ó ØÓ Ð Ö Ø Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñº Ì «Ö Ò Ð Ò Ø Û Ý ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø Ò Ú Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ½µ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÓÖ Ó Ø Æ Ò Ø Ð Ø Ø Ñ ½ ½µ Ñ ½µ ½µ Ü Òµ Û Ó ÒÓØ Ü ÙØ Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÒØ Ð ÓÒÚ Ö Ò ØÓ Ó Ø Ò Ø Ò Ð ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ Ò º ÁÒ Ø Û ÓÑÔÙØ Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ò Ò ÓÒ Ø Ö ÙÐØ Ò ÖÖÓÖ Ò ÓÖ ÐÐ ÔÓ Ð ÐÐÓ Ø ÓÒ ÔÓ Ø ÓÒ Ü Ò Û Ö Ø ÖÖÓÖ Ò Ø ½µ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ï Ø Ò Ò Ø Ð Þ Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Û ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ø Ø ÔÓ ÒØ Ü Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Ò ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ Ø Ø Ñ Ü Ñ Þ Ò Ò Ü ÙØ Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ó Ø Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø ÐÙ Ø Ö º ÓÖÑ ÐÐÝ Û Ú Ò Æ Ñ Ü ½ ½ Ü Ò Ü ¾ ¼µ ¾µ Ö Ñ Ü Ò Ò µ Û Ö ½ Ø ÕÙ Ö Ø Ò ØÛ Ò Ü Ò Ø ÐÓ Ø ÒØ Ö ÑÓÒ Ø ½ ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ó Ø Ò Ó Ö º ÒØ Ö Ó Ø ÐÙ Ø Ö Û Ö Ü ÐÓÒ µº Ì ÕÙ ÒØ ØÝ Ò Ñ ÙÖ Ø Ù Ö ÒØ Ö ÙØ ÓÒ Ò Ø ÖÖÓÖ Ñ ÙÖ Ó Ø Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Û ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ü Ò º ËÙÔÔÓ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ½µ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ½ ½µ Ñ ½µ ½µµ Ò Ò Û ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ü Ò º Ì Ò Ø Ò Û ÒØ Ö Û ÐÐ ÐÐÓ Ø ÐÐ ÔÓ ÒØ Ü Û Ó ÕÙ Ö Ø Ò ÖÓÑ Ü Ò Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ø Ò ½ ÖÓÑ Ø Ö ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ÐÓ Ø ÒØ Öº Ì Ö ÓÖ ÓÖ Ù Ø ÔÓ ÒØ Ü Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ Û ÐÐ Ö Ý ½ Ü Ò Ü ¾ º Ì ÙÑÑ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÐÐ Ù Ø ÔÓ ÒØ Ü ÔÖÓÚ Ø ÕÙ ÒØ ØÝ Ò ÓÖ Ô Ò ÖØ ÓÒ ÐÓ Ø ÓÒ Ü Ò º Ë Ò Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ö ÒØ ØÓ Ö Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ Ø Ø Ô Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ø ÖÖÓÖ Ñ ÙÖ Ø Ø Û ÐÐ Ó Ø Ò Û ÖÙÒ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÒØ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö Ò ÖØ Ò Ø Ò Û ÒØ Ö Ø Ü Ò Ø Ø ÖÖÓÖ Ñ ÙÖ Ù Ò Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñµº ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ò ÜØ Ø ÓÒµ Ù Ø Ø Ø Ù Ò Ø Ø ÔÓ ÒØ Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÙÒ Ð ØÓ Ö ÙÐØ ÐÑÓ Ø ÓÓ Ø Ó ÔÖÓÚ Ý Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñº
º Ä 500 450 400 350 clustering error 300 250 200 150 100 50 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 number of buckets ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÖØ ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Ò Æ ÒØÐÝ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý ØÓÖ Ò Ò Ñ ØÖ Ü ÐÐ Ô ÖÛ ÕÙ Ö Ø Ò ØÛ Ò ÔÓ ÒØ Û Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÖØ Ò Ù Ò Ø Ñ ØÖ Ü ÓÖ Ö ØÐÝ ÓÑÔÙØ Ò Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÚ º Ñ Ð Ö ØÖ ³ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ö Ý Ñ ÜØÙÖ Ò ØÝ Ø Ñ Ø ÓÒ Ù Ò Ø Å Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÙÖÚ ØØ Ò º Ò ÐÐÝ Û Ñ Ý Ø ÐÐ ÔÔÐÝ Ø Ñ Ø Ó Û ÐÐ Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ò Û Ó ÒÓØ ÓÒ Ö Ú ÖÝ Ø ÔÓ ÒØ Ü Ò Ò ½ Ƶ ÔÓ Ð Ò ÖØ ÓÒ ÔÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ò Û ÒØ Ö ÙØ Ù ÓÒÐÝ Ñ ÐÐ Ö Ø Ó ÔÔÖÓÔÖ Ø ÐÝ Ð Ø Ò ÖØ ÓÒ ÔÓ Ø ÓÒ º Ø Ò Ò Ð Ó ÓÖ Ð Ø Ò Ù Ø Ó ÔÓ Ø ÓÒ ÓÒ ¹ ØÖ Ù Ò Üغ º¾ ÁÒ Ø Ð Þ Ø ÓÒ Û Ø ¹ ØÖ ¹ ØÖ ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ö ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÖÝ Ö ØÖ Ø Ø Ð Ø Ø ØÓÖ Ò Ö ÓÚ Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ø º ¹ ØÖ Ò Ö ÙÖ Ú Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ó Ø Ø Ô ÒØÓ Ó ÒØ Ù Ô º ÒÓ Ó Ø ØÖ Ò Ù Ô Ó Ø ÓÖ Ò Ð Ø Ô Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ù Ø ÓÒØ Ò Ò Ø Ø ÔÓ ÒØ Ö Ò Ò Ø Ù Ô º ÒÓÒØ ÖÑ Ò Ð ÒÓ ØÛÓ Ù ÓÖ Ó Ø Ñ Ó Ø Û Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ù Ô Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ó Ø Ô Ö ÒØ Ô Ù Ò ÙØØ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò º Ì ¹ ØÖ ØÖÙØÙÖ Û ÓÖ Ò ÐÐÝ Ù ÓÖ Ô Ò ÙÔ Ø Ò ¹ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ò ÓÖ ÕÙ Ö Ö Ò ÕÙ Ö Øº ÁÒ ÓÙÖ Û Ù Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ò Ð ¹ ØÖ ÔÖÓÔÓ Ò º Ì Ö Ø ÙØØ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò Ø ÔÐ Ò Ø Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØÓ Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖ Ò Ô Ð Óѹ ÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ø ÔÓ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ÒÓ Ø Ö ÓÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ö Ö Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ø Ö ÙÖ Ú µ ÔÖ Ò Ô Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÐÝ Ó Ø Ø Øº Ì Ö ÙÖ ÓÒ Ù Ù ÐÐÝ Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÖÑ Ò Ð ÒÓ ÐР٠ص Ö Ø ÓÒØ Ò Ò Ð Ø Ò ÔÖ Ô ¹ ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ ÐÐ Ù Ø Þ µ ÓÖ ÔÖ Ô ÒÙÑ Ö Ó Ù Ø Ú Ò Ö Ø º ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ú Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÓØ Ù ÓÖ Ò Ö Ø Ò ÓÖ ÕÙ Ö Ñ Ö ÐÝ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø ØÖ ÔÖÓÚ Ú ÖÝ ÓÓ ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ ÐÙ Ø Ö Ò Ó Ø Ø Øº Ì ØÓ Ù Ø Ù Ø ÒØ Ö Û Ö Û Ö Ø Ò Ø Ø ÔÓ ÒØ µ ÔÓ Ð Ò ÖØ ÓÒ ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖ ÒØ ÔÖ Ú ÓÙ Ðݺ ÁÒ ÙÖ ½ Ú Ö Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö ÙÐØ Ö ÓÛÒ ÓÒ ½¼ Ø Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ó ¼¼ Ø ÔÓ ÒØ Ö ÛÒ ÖÓÑ Ø Ñ Ñ ÜØÙÖ Ó ½ Ù Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ º Ì ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø
Ë Ø ÓÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ù Ò Ñ ÜØÙÖ Ö Û ÐÐ Ô Ö Ø Ò Ü Ø Ð Ñ Ø ÒØÖ Øݺ Ï ÓÑÔ Ö Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ö Ñ Ø Ó ØÓ Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ½ ÒØ Ö µ Ì Ð Ò Ô Ø Ø Ö ÙÐØ Û Ò Ù Ò Ø Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø ÐÐ Ø ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ØÙØ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÖØ ÓÒ ÐÓ Ø ÓÒ º Ì Ú Ö ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ ÓÚ Ö Ø ½¼ Ø Ø ½ Û Ø Ø Ò Ö Ú Ø ÓÒ ½ ¾º µ Ì ÓÐ Ð Ò Ô Ø Ö ÙÐØ Û Ò Ø Ø Ò Ö ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ù ÓÒ ÖÙÒ ÓÖ Ø Ø Û ÓÒ ÙØ º Ø ÖÙÒ Ø ½ ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö Û Ö Ò Ø ÐÐÝ ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÒØÖÓ Ó Ø Ù Ø Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ¹ ØÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÒØ Ð ½ Ù Ø Û Ö Ö Ø º Ì Ú Ö ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ ÓÚ Ö Ø ½¼ Ø Ø ¾ Û Ø Ø Ò Ö Ú Ø ÓÒ º µ Ì ÓÐ Ð Ò Û Ø ÖÖÓÖ Ö µ ÓÛ Ø Ö ÙÐØ Û Ò Ù Ò Ø Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÖØ ÓÒ ÐÓ Ø ÓÒ ÓÒ ØÖ Ò Ý Ø ÒØÖÓ Ó Ø Ù Ø Ó ¹ ØÖ º ÇÒ Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ü Û Ú ÖÝ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ù Ø ÓÖ Ø ¹ ØÖ Ó Ø Ð Ø Ñ Ø Ó º Ï Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø Ø ÓÖ Ø Ð³ ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ ÓÖ Ø Ø º Ø ÖÖÓÖ ÓÑÔÙØ Ý Ù Ò Ø ØÖÙ ÐÙ Ø Ö ÒØ Ö º Ì Ú Ö ÖÖÓÖ Ú ÐÙ ÓÚ Ö Ø ½¼ Ø Ø Û ½ Û Ø Ø Ò Ö Ú Ø ÓÒ ½ º Ì Ö ÙÐØ Û Ö ØÓÓ ÐÓ ØÓ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ø Ò Ö Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò ØÓ ÒÐÙ Ø Ñ Ò Ø ÙÖ º Ï Ò ÓÒÐÙ ÖÓÑ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ø µ Ø Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò ÔÔÖÓ Ú Ö ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò ÒØÐÝ ØØ Ö Ø Ò Û Ò Ø ÖØ Ò Û Ø ÐÐ ÒØ Ö Ø Ø Ñ Ø Ñ Ò Ø Ð Þ Ù Ò Ø ¹ ØÖ Ñ Ø Ó Ò µ Ö ØÖ Ø Ò Ø Ò ÖØ ÓÒ ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò ØÓ Ø Ó Ú Ò Ý Ø ¹ ØÖ Ò Ø Ó Ù Ò ÐÐ Ø ÔÓ ÒØ µ Ó ÒÓØ Ò ÒØÐÝ Ö Ô Ö ÓÖÑ Ò Û ÓÒ Ö ÙÆ ÒØÐÝ Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó Ù Ø Ò Ø ¹ ØÖ Ò Ò Ö Ð Ð Ö Ö Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö ÐÙ Ø Ö µº Ç Ú ÓÙ ÐÝ Ø Ð Ó ÔÓ Ð ØÓ ÑÔÐÓÝ Ø ÓÚ ÔÖ ÒØ ¹ ØÖ ÔÔÖÓ Û Ø Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñº ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ï Ú Ø Ø Ø ÔÖÓÔÓ ÐÙ Ø Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ Ú Ö Ð Û Ðй ÒÓÛÒ Ø Ø Ò Ñ ÐÝ Ø Ö Ø Ø Ø ÝÒØ Ø Ø Ø Ò Ø Ñ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ø º ÁÒ ÐÐ Ø Ø Û ÓÒ ÙØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø Ò Ý ÓÒ Ö Ò ÓÒÐÝ ØÙÖ Ú ØÓÖ Ò ÒÓÖ Ò Ð Ð Ð º Ì Ö Ø Ø ÓÒØ Ò ½ ¼ ÓÙÖ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÔÓ ÒØ Ø ÝÒØ Ø Ø Ø ¾ ¼ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÔÓ ÒØ Ò Ø ÓÖ Ø Ñ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ø Û ÓÒ Ö ¾½¼ ܹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÔÓ ÒØ Ó Ø Ò Ø ÖÓÙ È ÓÒ Ø ÓÖ Ò Ð ½ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÔÓ ÒØ º Ì ÕÙ Ð ØÝ Ó Ø Ó Ø Ò ÓÐÙØ ÓÒ Û Ú ÐÙ Ø Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ò Ð ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖº ÓÖ Ø Ø Û ÓÒ ÙØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÒ ÖÙÒ Ó Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Å ½ º ÓÒ ÖÙÒ Ó Ø Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Å ½ º Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ½ ½ º ÓÖ Ú ÐÙ Ó Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ü ÙØ Æ Ø Ñ Û Ö Æ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø ÔÓ ÒØ µ Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ö Ò ÓÑ Ò Ø Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÒØ Ö Ò Û ÓÑÔÙØ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ú Ö ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ Û ÐÐ Ø Ø Ò Ö Ú Ø ÓÒº ÓÖ Ó Ø Ø Ö Ø Ø Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ö ÔÐ Ý Ò ÙÖ ¾ Ò Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÙÖ ÔÐÓØ ÔÐ Ý Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐÙ Ø Ö º ÁØ Ð Ö Ø Ø Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ú ÖÝ «Ø Ú ÔÖÓÚ Ò Ò ÐÐ ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÕÙ Ð ÓÖ ØØ Ö ÕÙ Ð ØÝ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñº ÁÒ Û Ø ÓÒ ÖÒ Ø Ø Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ú ÖÝ ÒÓÙÖ Ò Ø Ø ÐØ ÓÙ Ü ÙØ Ò Ò ÒØÐÝ
º Ä 180 160 140 global k means fast global k means k means min k means 120 clustering error 100 80 60 40 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 number of clusters k 22 20 clustering error 18 16 14 12 10 global k means fast global k means k means min k means 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 number of clusters k
Ë Ø ÓÒ Ù ÓÒ Ò ÓÒÐÙ ÓÒ 400 350 300 global k means fast global k means k means min k means 250 clustering error 200 150 100 50 0 2 4 6 8 10 12 14 16 number of clusters k Ø Ö Ø ÔÖÓÚ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ü ÐÐ ÒØ ÕÙ Ð ØÝ ÓÑÔ Ö Ð ØÓ Ø Ó Ó Ø Ò Ý Ø ÓÖ Ò Ð Ñ Ø Ó º Ì Ö ÓÖ Ø ÓÒ Ø ØÙØ Ú ÖÝ Æ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓØ Ò Ø ÖÑ Ó ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ð ØÝ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò Ò ÖÙÒ Ú Ò Ø Ö ¹ ØÖ Ö ÑÔÐÓÝ ÜÔÐ Ò Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒº Å ØÐ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ò Ø ¹ ØÖ Ù Ð Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÛÒÐÓ ÖÓÑ ØØÔ»»ÛÛÛº Ò ºÙÚ ºÒÐ»Ö Ö» º Ù ÓÒ Ò ÓÒÐÙ ÓÒ Ï Ú ÔÖ ÒØ Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò ÐÙ Ø Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û ÓÒ Ø ØÙØ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÙ Ø Ö Ò Ñ Ø Ó ÔÖÓÚ Ò Ü ÐÐ ÒØ Ö ÙÐØ Ò Ø ÖÑ Ó Ø ÐÙ Ø Ö Ò ÖÖÓÖ Ö Ø Ö ÓÒº Ì Ñ Ø Ó Ò Ô Ò ÒØ Ó ÒÝ Ø ÖØ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔ Ö ÚÓÖ ÐÝ ØÓ Ø ¹Ñ Ò Ð Ó¹ Ö Ø Ñ Û Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ò ÓÑ Ö Ø ÖØ º Ì Ø ÖÑ Ò Ø Ò ØÙÖ Ó Ø Ñ Ø Ó Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Û Ö Ø ÐÙ Ø Ö Ò Ñ Ø Ó Ù Ø Ö ØÓ Ô Ý Ò Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Ð¹ Ù ÓÖ ÓØ Ö Ñ Ø Ó ÓÖ Ü ÑÔÐ Ê ØÖ Ò Ò µ ÓÖ ÓÒ Ø ØÙØ ÑÓ ÙÐ Ò ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ü Ý Ø Ñº ÁÒ Ù Û Ò ÐÑÓ Ø ÖØ Ò Ø Ø Ø ÑÔÐÓÝÑ ÒØ Ó Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò ÓÖ ÒÝ Ó Ø Ø Ú Ö ÒØ µ Û ÐÐ ÐÛ Ý ÔÖÓÚ Ò Ð ÐÙ Ø Ö Ò ÓÐÙØ ÓÒ º Ì Ö ÓÖ ÓÒ Ò Ú ÐÙ Ø Ø ÓÑÔÐ Ü Ý Ø Ñ Ò Ù Ø Ö Ø Ð Ý Ø Ñ Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ø ÓÙØ Ú Ò ØÓ ÛÓÖÖÝ ÓÖ Ô Ò Ò Ó Ý Ø Ñ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÓÒ Ø ÐÙ Ø Ö Ò Ñ Ø Ó ÑÔÐÓÝ º ÒÓØ Ö Ú ÒØ Ó Ø ÔÖÓÔÓ Ø Ò ÕÙ Ø Ø Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÐÚ Ø Å¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ÒØ ÖÑ Ø ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ó ÓÐÚ ÓÖ ½ ź Ì Ñ Ý ÔÖÓÚ Ù ÙÐ Ò Ñ ÒÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ Û Ö Û ÓÖ Ø ØÙ Ð ÒÙÑ Ö Ó ÐÙ Ø Ö Ò Ø ¹ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ ÓÖ Ú Ö Ð Ú ÐÙ Ó º Ï Ú Ð Ó Ú ÐÓÔ Ø Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ò ÒØÐÝ Ö Ù Ø Ö ÕÙ Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð «ÓÖØ Û Ð Ø Ø Ñ Ø Ñ ÔÖÓÚ Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÐÑÓ Ø Ø Ñ ÕÙ Ð Øݺ Ï Ú Ð Ó ÔÖÓÔÓ ØÛÓ ÑÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó Ø Ø Ö Ù Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÐÓ Û Ø ÓÙØ Ò ÒØÐÝ «Ø Ò ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ð Øݺ Ì Ñ Ø Ó Ò ÑÔÐÓÝ ØÓ Ò ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÐÙ Ø Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ø ÓÙ Ò Ó ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÓ ÒØ Ò ÓÒ Ó ÓÙÖ ÔÖ Ñ ÖÝ Ñ ØÓ Ø Ø Ø Ø Ò ÕÙ ÓÒ Ð Ö Ð Ø Ñ Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ º ÒÓØ Ö Ö Ø ÓÒ Ó ÙØÙÖ ÛÓÖ Ö Ð Ø Û Ø Ø Ù Ó Ô Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ò ÓÖ Ð Ö Ø Ò Ø ÔÖÓÔÓ Ñ Ø Ó Ò ÓÖ Ú ÖÝ Ø Æ Ü ÙØ ÓÒ Ó Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ò ¹
Ê Ê Æ Ë Ô Ò ÒØ Ò Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò Ô Ö ÐРк ÒÓØ Ö Ö Ö Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÖÒ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓÔÓ Ñ Ø Ó ØÓ ÓØ Ö ØÝÔ Ó ÐÙ Ø Ö Ò ÓÖ Ü ÑÔÐ ÙÞÞÝ ÐÙ Ø Ö Ò µ Û ÐÐ ØÓ ØÓÔÓ Ö Ô Ñ Ø Ó Ð ËÇź ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ù Ø Ø ÖÚ ÙÖØ Ö ØÙ Ý Ö Ð Ø Û Ø Ø ÔÓ Ð Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ø ÓÖ Ø Ð ÓÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ò Ø Ñ Ø Ó º Ò ÐÐÝ Ø Ð Ó ÔÓ Ð ØÓ ÑÔÐÓÝ Ø ÐÓ Ð ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ñ Ø Ó ÓÖ ÔÖÓÚ Ò «Ø Ú Ò Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ ÓÖ Ê Ò ØÛÓÖ Ò Ø ÑÓ Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ò Ù Ò Ñ ÜØÙÖ ÑÓ Ð Ò ÓÑÔ Ö Ø «Ø Ú Ò Ó Ø Ó Ø Ò ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø ÓØ Ö ØÖ Ò Ò Ø Ò ÕÙ ÓÖ Ù Ò Ñ ÜØÙÖ ÑÓ Ð ½¼ ½½ º ÒÓÛÐ Ñ ÒØ Æº ÎÐ Ò Âº º Î Ö Ö ÙÔÔÓÖØ Ý Ø ÙØ Ì ÒÓÐÓ Ý ÓÙÒ Ø ÓÒ ËÌÏ ÔÖÓ Ø Á º Ê Ö Ò ½ ¾ ź ƺ ÅÙÖØÝ º ú Â Ò Ò Èº º ÐÝÒÒ Ø ÐÙ Ø Ö Ò Ö Ú Û Å ÓÑÔÙØ Ò ËÙÖÚ Ý ÚÓк ½ ÒÓº ÔÔº ¾ ß ¾ ½ º º º ÄÓÞ ÒÓ Âº ź È Ò Ò Èº Ä ÖÖ Ò Ò ÑÔ Ö Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÓÙÖ Ò Ø Ð Þ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ÓÖ Ø ¹Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ È ØØ ÖÒ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ä ØØ Ö ÚÓк ¾¼ ÔÔº ½¼¾ ß½¼ ¼ ½ º º Ϻ Å ÐÐ Ò Ò Åº º ÓÓÔ Ö Ò Ü Ñ Ò Ø ÓÒ Ó ÔÖÓ ÙÖ ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐÙ Ø Ö Ò Ø Ø È Ý ÓÑ ØÖ ÚÓк ¼ ÔÔº ½ ß½ ½ º ƺ ÎÐ Ò º Ä Ö Ý Å Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ù Ò Ñ ÜØÙÖ Ð ÖÒ Ò Ì º Ê Ôº ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò Ë Ôغ ¾¼¼¼ Á ˹ÍÎ ¹¼¼¹¼ º ºº Î Ö Æº ÎÐ Ò º ÃÖĐÓ ¹ Ñ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÙÖÚ Ì º Ê Ôº ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò ÆÓÚº ¾¼¼¼ Á ˹ÍÎ ¹¼¼¹½½º º ĺ ÒØÐ Ý ÅÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÖÝ Ö ØÖ Ù ÓÖ Ó Ø Ú Ö Ò Óѹ ÑÙÒº Å ÚÓк ½ ÒÓº ÔÔº ¼ ß ½ ½ º ʺ º ËÔÖÓÙÐÐ Ê Ò Ñ ÒØ ØÓ Ò Ö Ø¹Ò ÓÖ Ö Ò Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ØÖ Ð Ó¹ Ö Ø Ñ ÚÓк ÔÔº ß ½ ½º º ĺ Ð Ò º º Å ÖÞ Í Á Ö ÔÓ ØÓÖÝ Ó Ñ Ò Ð ÖÒ Ò Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÓÖÒ ÁÖÚ Ò Ôغ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ½ º º º Ê ÔÐ Ý È ØØ ÖÒ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ò Æ ÙÖ Ð Æ ØÛÓÖ Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Ñ Ö ÍºÃº ½ º ½¼ º º ÅÄ Ð Ò Ò º È Ð Ò Ø Å ÜØÙÖ ÅÓ Ð Ï Ð Ý Æ Û ÓÖ ¾¼¼¼º ½½ ƺ ÎÐ Ò º Ä ÙÖØÓ ¹ ÝÒ Ñ ÔÔÖÓ ØÓ Ù Ò Ñ ÜØÙÖ ÑÓ ¹ Ð Ò Á ÌÖ Ò º ËÝ Ø Ñ Å Ò Ò Ý ÖÒ Ø È ÖØ ÚÓк ¾ ÒÓº ÔÔº ß ÂÙÐÝ ½ º
ÓÔÝÖ Ø Á Ë ¾¼¼¼ Intelligent Autonomous Systems
Á Ë Ö ÔÓÖØ Ì Ö ÔÓÖØ Ò Ø Ö Ó Á Ë Ø Ò Ð Ö ÔÓÖØ º Ì Ö ØÓÖ ËØ Ô Ò Ø Ò À Ò Ø Ô Ò Ò ºÙÚ ºÒеº Ï Ø Ò Ø Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ØÐ ÔÔ Ö Ë ØØÔ»»ÛÛÛº Ò ºÙÚ ºÒÐ»Ö Ö»»ØÖ» ÓÙ Ñ Ý ÓÖ Ö ÓÔ Ó Ø Á Ë Ø Ò Ð Ö ÔÓÖØ ÖÓÑ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙØ ÓÖ ÓÖ Ø Ö ØÓÖº ÅÓ Ø Ó Ø Ö ÔÓÖØ Ò Ð Ó ÓÙÒ ÓÒ Ø Û Ô Ó Ø Á Ë ÖÓÙÔ Ø Ò ÖÓÒØ Ô µº Intelligent Autonomous Systems