ÇÒ Ð Ö ÙØÓÑÓÖÔ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÓÒ ÙØÓÖ ½ Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö Ñ Ö Ø ¾¼½

ÇÒ Ð Ö ÙØÓÑÓÖÔ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÓÒ ÙØÓÖ ½ Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö Ñ Ö Ø ¾¼½

ÈÐ Ò ½ Ä n ¾ Ò Ö Ð G

ÙØÓÑÓÖÔ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ù Ô Ð ÙØÓÑÓÖÔ Ö Ô³ º π Ó Ä n (A) Ù Ø Ø µ π p ÙÒÖ Ñ ÓÖ ÔÖ Ñ pº µ π Ð Ö º º Ò π Å n (C) ÒØ Ö ÒÚ ÐÙ k ½ k ¾ k n, ÐÐ Ø Û Ø Ó πº Ë Ø Ð Ó Û(π) = k ½ k n ÑÓØ Ú Û Ø Ó Ø Ú ØÛ Ø Ó µ πº Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Û Ð Ý Ø Ó π Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½ ½» ½

ÑÓØ Ú Ø ÓÒ ÐÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ü ÔÖ Ñ l Ò Ò Ñ Ò ι : Q Q l º ÓÒ Ö ÖÖ º ÓÒغ Ö Ô³ ρ : Ð(Q/Q) Ä n (Q l ) Ù Ø Ø µ ρ ÙÒÖ Ñ ÓÙØ l µ ρ ÖÝ Ø ÐÐ Ò Ø lº ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ð Ò ¹ ÓÒØ Ò ¹Å ÞÙÖµ Ì Ö Ü Ø ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ π ρ π Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ ÔÖ Ñ p l Ø(T ρ π ( ÖÓ p )) = ι Ø(T (π p )). ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Û Ø Ó π Ö Ø ÀÓ ¹Ì Ø Û Ø Ó ρ π Ø lº Ê ÙÐ Ö π ρ Ò Ò Ò ÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ ÔÖÓÚ º Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½ ¾» ½

ÓÙÒØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Æ(k ½,,k n ) = ÒÙÑ Ö Ó π Ó Û Ø k ½ k n º Ò Ø Ý Ò Ö Ð Ö ÙÐØ Ó À Ö ¹ Ò Ö º º º Æ(k) = ½ Æ(k, ¼) = Ñ Ë k+½ (ËÄ ¾ (Z)) ººº ÒÓ Ö ÙÐØ ÓÖ ÒÝ n > ¾ Ú Ð ÓÖ ÐÐ Û Ø º ÈÖÓ Ð Ñ ÒÓ Ö Ø Ö ÓÖ ËÄ n (R) ÓÖ n > ¾ ÙÐØ ØÓ ÓÑÔÙØ ÓÑ ØÖ Ó ØÖ ÓÖÑÙÐ º Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½» ½

ÒØ ÐÐݹ Ð ¹ Ù Ð Ö ÙÐ Ö Æ (k ½,,k n ) = Ù ÒÙÑ Ö Ó π Ó Ù Ø Ø π π k ½ k n º Ì ÓÖ Ñ º¹Ê Ò Ö Ì µ ÜÔÐ Ø Ú Ò ÓÖÑÙÐ ÓÖ Æ (k ½,,k n ) Ú Ð ÓÖ ÐÐ n Ò ÐÐ k ½ > > k n ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÑÔÙØ Ö ÓÖ n ½ Ó Öµº ÓÒ Ø ÓÒ Ð ØÛÓ k i ³ Ö ÓÒ ÙØ Ú º Ó ÔÖÓÓ º ÁÒ ÙØ ÓÒ ÓÒ nº ËÙ π Ò ØÓ ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ùغ Ö Ôº Ó Ð Ð ÖÓÙÔ ÓÚ Ö Z Ù Ø Ø π Ö Ø Ö ÖØ ÙÖµº ÓÑÔÙØ ÓÖ Ù ÒÓÛÒµ Ѻ Ó ÖØ Ò Ô Ó Ùغ Ö Ôº Ó Ð Ð ÖÓÙÔ Ò Ù ØÖ Ø Ò Ó ÓÔ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÖØ ÙÖ³ ÅÙÐØ ÔÐ ØÝ ÓÖÑÙÐ µº ÓÒ Ø ÓÒ ÙÒÖ Ñ Ú ÖÝÛ Ö ÑÔÓÖØ ÒØ Ò ºÅº º Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½» ½

Ѻ ÓÖÑÙÐ ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ÒÓÛÒ ÓÖ ËÔ ¾g Û Ø g ¾ Á Ù Ì Ù Ñ µ Ø ÔÐ Ø ËÇ m Û Ø m Ý Üº Ó Ò º º¹Ê Ò Ö ÔÖÓÓ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ n ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐÝ n = Ò Ù R¹ Ò ÓØÖÓÔ ÒÒ Ö ÓÖÑ ØÓ ÓÑÔÙØ Ñºµº Ì Ò Ö Ð º À ÓÙÒ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÙÐ Ö Ö Ø Ö Ø Ó Ö Ø Ô ØÖÙÑ Ó ÔÐ Ø Ð Ð ÖÓÙÔ ÓÖ ÒÝ Ó ÓÑÓÐÓ Ð Û Ø Ø ÖØ Ò ÓÖÑ ÖØ ÙÖ³ ÓÖÑÙÐ Ò Ô Ô Ö Ä ¾ ¹Ä ØÞºº Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ù Ñ Ò ÓÒ Ô Ó Ú ØÓÖ Ú ÐÙ Ë Ð Ù Ô ÓÖÑ ÓÖ ËÔ ¾g (Z) ÓÖ g º Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½» ½

Ò ÙÒ ÜÔ Ø µ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÔÔÐ ÓÒ ØÙÖ ÐÐÝ ØÓ ζ(s,m g,n )º Ì Ò ØÓ ÛÓÖ Ó Ö ØÖ Ñ Ö Ú Ò Ö Ö ² Å Ö Ò Ø Ð ØÓ ÓÒ ØÙÖ Ð ÔÙÖ ÐÝ ÙØÓÑÓÖÔ ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø ζ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ (g,n) = (, ½ ). ÌÛÓ ÒØ Ö Ø Ò π³ Ó Ñ Ò ÓÒ Ò Û Ø ¾ = ÑM,½ ÓÙÖ Ø Ö Ö Ù º Ð º Ù Ð Ö º π sµº Ö Ø Û Ö ζ(s,m g,n ) ÒÓØ ÒØ Ö ÐÝ ÜÔÐ Ò Ý Ë Ð ÑÓ ÙÐ Ö ÓÖÑ Ó ÒÙ gº Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½» ½

Ö ÒØ Ñ Ø Ó»Ö ÙÐØ Ì ÓÖ Ñ π Ù Ôº Ùغ Ö Ôº Ó Ä n (A) Ø Ý Ò µ Ò µº ÙÑ Û(π) ¾¼ºÌ Ò µ Ø Ö n ¾ µ ÓÖ π ØÛ Ø Ó Ø ÙÒ ÕÙ Ö Ôº Ó Ä (A) غ µ Ò µ Ò Û Ø Û Ø ½ ½ ¼º ÃÒÓÛÒ ØÓ Ë ÖÖ Ò Å ØÖ Ø Ø ÓÖ Û(π) < ½½ Ø Ò n = ½º Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½» ½

Ë Ø Ó ÔÖÓÓ Á Ò Ø ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒ Ó Ó ËØ Ö Ç ÐÝÞ Ó Ë ÖÖ Å ØÖ Å ÐÐ Ö ÓÒØÖ Ø Ü Ø Ò Ó π Ù Ò Ò ÐÝØ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Λ(s,π π ) Ù Ò Ê Ñ ÒÒ¹Ï Ð ÜÔÐ Ø ÓÖÑÙÐ º Ä Ø W = Ï R /R >¼ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Z/¾Z Ý Ë ½ µº K = ÖÓØ Ò Ö Ò Ó C¹Ö Ôº Ó W Z Zε w>¼ Z Á w º Á π Ø ÙÒ Ø ÖÝ ØÛ Ø Ó Π Ø Ý Ò (i) Ò (ii) Ø Ò Ä(π ) K ÐÓÞ Ð ÔÙÖ ØÝ Ð ÑÑ µº Ó Ó Ø Ø ÙÒØ ÓÒ F : R R Ú Ò C ¾ ÓÑÔ Ø ÙÔÔÓÖغ Ò Ò Φ(s) = R F(t)e(s ½/¾)t dt s Cº Ä Ò Ö Ñ Ô Â F : à R W ½ Γ ¾πi Ê (s)=½/¾ Γ (W,s)Φ(s)dsº Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½» ½

Ì ÜÔÐ Ø ÓÖÑÙÐ ÓÐÐÓÛ Ò Å ØÖ µ Ü Π,Π Øº µ Ò µ Ð Ø π Ò π Ø Ö ÙÒ Ø ÖÝ ØÛ Ø º Ê ÙÐØ Ó ÓÒØÓÙÖ ÒØ Ö Ø ÓÒ ½ Λ ¾πi Λ (s,π π )Φ(s)dsº Ë Ø V = Ä(π ) Ò V = Ä(π )º C Φ(µ) ¾δ π,π Φ(¼) µ = ¾  F (V V ) ¾ Ê p k ØÖ ((π p ) k (π p) k )F(kÐÓ (p)) ÐÓ (p) p k/¾. Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½» ½

Ì Ò ÕÙ Ð ØÝ ÙÑ F ¼ Ê Φ(s) ¼ ¼ Ê s ½ Ò π = π = πº º º F = f(x/λ)/ (x/¾) Û Ö f Ç ÐÝÞ Ó ÙÒØ ÓÒ Ò λ > ¼ºµ Ì Ò Â F (V ¾ ) Φ(¼)º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÓÖ F Û ÐÐ Ó Ò Ø ÕÙ Ö Ø ÓÖÑ W  F (W ¾ ) à R ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÓÒ Ã ¾¼ º ÈÖÓÓ Ö Ñ Ñ ØÖ Ü ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ù Ò Ç ÐÝÞ Ó ÙÒØ ÓÒ λ = ÐÓ µ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ÇÒÐÝ Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÔÓ Ð π Ò π Ä Ø ÐÐ ÔÓ Ð V Û Ø Ø ÓÑÔÙØ Öº Ø Ì Ñº Û Ò Û(π) ½ º Û ÔÓ Ð V Ò Ò Ö Ð Ö ÙÐ Ö Ò Û Ø ÑV Ò ÐÐ º ÓÒÐÙ π Р٠к Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½ ½¼» ½

Ò Ó ÔÖÓÓ Ë ÓÛ Ø Ø Û Ò π Ü Ø Ø Ò Ø Ö ÙÒ ÕÙ ÓÒ º Ç ÖÚ Ø ÓÒ Ó Ì Ð Ø π ½,...,π k k Ö ÒØ Ùغ Ö Ôº Ó Ä n (A) Ù Ø Ø Ä(π ) V º Ì Ò Â F (V ¾ ) ½ k Φ(¼) ÈÖÓÓ Ñ ÓÖ ÔÔÐ ØÓ Λ(s,( i π i ) ( i π i ))º Ø Ø ÓÖ ÐÐ ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ÓÙÒ V Ø Ò k ½º Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½ ½½» ½

ÖØ ÙÖ¹Ä Ò Ð Ò ÓÒ ØÙÖ G Ö ÙØ Ú Ôº Ñ ÓÚ Ö Z Ĝ Ö º ÖÓÙÔ ÓÚ Ö C Ù Ð ØÓ G(C) Ä Ò Ð Ò Ù Ð Ó G Q ÖÓ µ π Ö Ø Ùغ Ö Ôº Ó G(A) ºØº π G(Zp) p ¼ ÓÖ ÐÐ pº ρ : Ĝ Ä n(c)º ÓÒ ØÙÖ k ½ Ò ÓÖ i = ½,...,k ÒØ Ö d i n i ½ Ò Ù Ôº Ùغ Ö Ôº π i Ó Ä ni (A) Ù Ø Ø µ n = k i=½ d in i µ Ä(s,π,ρ) = i di ½ j=¼ Ä(s +j d i ½,π ¾ i) µ ρ( Ò π ) = i Ò π i ( d i ½,..., ½ d i ). ¾ ¾ Á ÓÒ ØÙÖ ÓÐ ÓÖ (π,ρ) ÛÖ Ø ψ(π,ρ) = i π i [d i ]º Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½ ½¾» ½

ÌÛÓ Ö Ñ Ö µ Á Ò π,α Z ÓÖ ÖÓÓØ α Ó Ĝ Ø Ò π i Ð Ö ÙÔ ØÓ ØÛ Ø ÓÖ iº µ Á ρ ρ Ø Ò π i Ð Ù Ð ÓÖ iº ÖØ ÙÖ³ Ø ÓÖ Ñ ÓÒ ØÙÖ ÓÐ ÓÖ (π, ËØ) G = ËÔ ¾g ÓÖ ÔÐ Ø ËÇ m ÓÚ Ö Zº ÓÒÚ Ö Ö ÙÐØ ÖØ ÙÖ³ ÑÙÐØ ÔÐ ØÝ ÓÖÑÙÐ µº Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½ ½» ½

Ü ÑÔÐ G = È ËÔ = ËÇ Ĝ = ËÔ (C) Ü w > v > ¼ Ó ÒØ Ö º Ì ÒÙÑ Ö Ó Ù Ô Ð π Ó G Ù Ø Ø π Óк Ö Ø Ö Ó Ò º Öº ( w, v ) Û Ø ÑÙÐغµ ¾ ¾ Ñ Ò ÓÒ Ó ÖØ Ò Ô Ó Ú ØÓÖ Ú ÐÙ Ë Ð ÑÓ ÙÐ Ö ÓÖÑ º ÃÒÓÛÒ ÓÖÑÙÐ Ì Ù Ñ µº ÓÖ w ¾½ Ñ ¼ ÓÖ ½ ÒÓÒ Þ ÖÓ (w,v) = (½, ½) (½, ) (¾½, ½) (¾½, ) (¾½, ) (¾½, ½ ). Ï Ò v ½ ψ(π, ËØ) Ù Ô Ð Ë v+½ (ËÄ ¾ (Z)) = ¼º Ï Ò v = ½ Ñ Ø w [¾] ºººº Ò Ø Ë ØÓ¹ÃÙÖÓ Û ÓÖѵº Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½ ½» ½

Ü ÑÔÐ G = Ò Ø ËÇ n ÓÖ n ¾ n ¼ ÑÓ L n Ø Ó Ú Ò ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ö Ð ØØ Ò R n º ÓÓ L R n º G = ËÇ L Ñ ÑÔÐ ÓÚ Ö Z G(R) = ËÇ(R n ) Ĝ = ËÇ n (C)º G(Q)\G(A)/G(Ẑ) = L n ÆÙÑ Ö Ó π Ó G Ù Ø Ø π = ½ Û Ø ÑÙÐغµ ËÇ(R n )\L n º ½, ¾, ¾ n =, ½, ¾ ÅÓÖ ÐÐ Ï ØØ Æ Ñ Öµº ÉÙ Ø ÓÒ Ï Ø Ö Ø ψ(π, ËØ) Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½ ½» ½

Ì ÓÖ Ñ º¹Ä ÒÒ µ Ì Ý Ö µ [½ ] [½] Ò ½½ [ ] [ ] [½] n = ½ º µ Ø ÓÐÐÓÛ Ò n = ¾ [¾ ] [½] ËÝÑ ¾ ½½ ½ [ ] ½½ [¾] [ ] ËÝÑ ¾ ½½ [¾½] ËÝÑ ¾ ½½ ½ [ ] [ ] ¾½ [¾] [½] [½ ] ½ [ ] [½] [ ] ËÝÑ ¾ ½½ ½ [¾] [½ ] ¾½ [¾] ½ [¾] ½½ [ ] [½] [ ] ¾½ [¾] ½ [¾] [½] [½ ] ½ [ ] ½½ [ ] [½] [ ] ½ [ ] [½] [½ ] ¾½, [¾] ½ [ ] [½] [ ] ËÝÑ ¾ ½½ ½ [¾] ½ [¾] [½ ] ËÝÑ ¾ ½½ ½ [¾] ½½ [ ] [ ] ËÝÑ ¾ ½½ ½ [ ] [½ ] ËÝÑ ¾ ½½ ½, [¾] ½ [¾] ½½ [¾] [ ] ½ [ ] [½] [½½] ¾½ [¾] ½½ [ ] [½] [ ] ¾½ [¾] ½ [ ] [½] [½½] ¾½, [¾] ½ [¾] ½½ [ ] [½] [ ] ¾½,½ [¾] ½ [¾] [½] [½½] ËÝÑ ¾ ½½ ½½ [½¼] [½] ËÝÑ ¾ ½½ ½ [¾] ½ [¾] ½½ [¾] [ ] ½½ [½¾] Á ÓÙÒ ¾¼ Ó Ø ¾ Ô Ö Ñ Ø Ö Ø ÓÒ Û Ø ÓÙØ Ø w,v µ Ù Ð Ò ÓÒ ÛÓÖ Ó Æ ¹Î Ò ÓÚ Ö Ø ¹ ÓÖ Ö ¹Ï Ù Öº ÍÒÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÓ º Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½ ½» ½

n = ½ º Ö Ø Ø Ø π ϑ¹óöö ÔÓÒ ÒØ ÓÒ ËÔ ¾g Û Ø g < º ØÙ ÐÐÝ g = ϑ g ( ) ϑ g ( ½ ) g > µº ÁØ ÓÛ ψ(π, ËØ) Ü Ø ÖØ ÙÖ Ê ÐÐ µ Ý ψ(π, ËØ) = i π i [d i ]º ÁÒ º Ö Ø Ö ±,±,,±½, ¼, ¼º ÁÒ Ô Öغ Û(π i )+d i ½ ½ ÓÖ i Ó π i = ½ ÓÖ ½½ Ì ÓÖ Ñµº ÇÒÐÝ ØÛÓ ÔÓ Ð Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½ ½» ½

À ÔÔÝ ÖØ Ý Å Ð Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ú ÖÑ Ø ºÒÖ º Ö µ À ÖÖ ÓÒ Ö Ò Ñ Ö Ø ¾¼½ ½» ½