z(t+ ) = y(t) = x 1 (t) x 2 (t)

Ø Ä Ú Ð Ò ÏÓÖ Ä Ú Ð Ò ¼º½ Ë ÕÙ ÒØ Ð ÖÙ Ø Ì ÕÙ ÒØ Ð ÖÙ Ø ÓÒØÖ ÙØ Ð Ý Ò Ø Ò Ð ØÓ Ô Ø ÖÓÙ Ø ÖÙ Ø ÐÐ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ý Û ÒÓØ Ø Ý µº Ì ÙÖ ½ ÓÛ Ò Æ Ø Û Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ýº X 1 X 2 Y delay Z ÙÖ ½ Æ Ø ÓÛÒ Û Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ýº Ì ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ð Ý ÓÙØÔÙØ Ò Ö ÔÖ ÒØ z(t+ ) = y(t) = x 1 (t) x 2 (t) Ì ÝÑ ÓÐ y ÒØ ÖÒ Ð Ø Ø Ú Ö Ð ÒÓØ Ð Ø Ø ÓÙØÔÙØ Ó Ø Ø º Ï ÒÓØ Ø Ø Ø ÓÙ Ø Æ Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ð ÖÙ Ø ÙØ Ù ØÓ Ø Ò Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ý Ø Ú Ð ÕÙ ÒØ Ðº ¼º½º½ Ë¹Ê Ð Ô ÓÔ ÓÒ Ö Ø Ô¹ ÓÔ ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º Ì ÖÙ Ø ÓÛ ØÛÓ ÆÇÊ Ø Ò ØÝÔ Ð ÓÒ Ø ÖÖ Ò Ñ ÒØ ÐÐ Ë¹Ê Ô¹ ÓÔ ÓÖ Ë Ø ¹Ê صº Ì ÛÓÖ Ò Ó Ë¹Ê ÓÐÐÓÛ ÓÖ ÒÔÙØ ËÊ ¼¼ Ø ÓÙØÔÙØ y 1 = 0 y 2 = 1 ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Û ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ Ò Ø Ø Ø y 1 = 0 y 2 = 1º ÐØ ÖÒ Ø Ú ÐÝ Ø ÛÓÙÐ ÒÓÛ ÓÑ y 1 = 1 y 2 = 0 Ø Û ÖÐ Ö Ø y 1 = 1 y 2 = 0º Ì Ö ÓÖ ÓÖ ËÊ ¼¼ ÒÔÙØ Ø ÓÙØÔÙØ y 1 y 2 Ö Ñ Ò ÙÒ Ò º ½ ½µ

S G 1 Y 1 G 2 Y 2 Feedback R Simple SR Flip-flop ÙÖ ¾ Ë¹Ê Ð Ô¹ ÓÔº ÓÖ ËÊ ½¼ Ø Ö y 1 = 0 = ȳ 2 º ÓÖ ËÊ ¼½ Ø Ö y 2 = 0 = ȳ 1 º Ï ÒÓØ Ø Ø Ü ÔØ ÓÖ ËÊ ¼¼ Ø ÓÙØÔÙØ y 1 Ò y 2 Ö Û ÐÐ Ò º ÓÖ ËÊ ¼¼ Ø ÓÙØÔÙØ Ó Ø ÆÇÊ Ø Ö Ò Ý Ø Ö ÔÖ Ú ÓÙ Ø Ø º Ê ÓÒ Ø ÓÒ Ä Ø Ù ÙÑ Ø Ø SR = 11º Ì Ù Ø Ö Ø Ñ º º ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ýµ y 1 = y 2 = 0º Ø Ö Ø ÔÔ Ò Ð Ø Ù ÙÑ Ø Ø Û ÔÔÐÝ Ò ÒÔÙØ ËÊ 00 Ò Ö Ø Ò Ø Ò Ò Ø Ðݺ Ï ÒÓØ Ø Ø Ø Ö Ð Ý Ó Ø ÒÔÙØ ÔÖÓÔ Ø ØÓ ÓÙØÔÙØ Ò y 1,y 2 Ò ÓÑ 11 Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ì ÓÙØÔÙØ Ú Ò ÓÒÒ Ø ØÓ ÒÔÙØ Ó Ø G 1 Ò G 2 º À Ò Ø Ö Ø Ñ Ø ÒÔÙØ ÔÖÓÔ Ø ØÓ ÓÙØÔÙØ Ò y 1,y 2 Ò ÓÑ 00º Ì Ù Û Ð Ø ÒÔÙØ Ø 00 ÓÙØÔÙØ Ç ÐÐ Ø ØÛ Ò 00 Ò 11º ÓÖ Ø ØÓ ÔÔ Ò Ø Ò ÖÝ Ø Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ý Ó Ø ØÛÓ ÆÇÊ Ø º º 1 2 Ö Õ٠к Ì Ö ÓÙ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ËÊ Ô¹ ÓÔ Ò Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ ÒÔÙØ Ò Ø Ö Ø Ò Ø Ð Ø Ø º À Ò Ø Ö ÓÙÐ ÒÓØ Ò ÒÔÙØ Û Ù Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒº À Ò SR = 11 ÒÔÙØ ÐÐ ÓÖ Ò Ø Ø Ó Ø ËÊ Ô¹ ÓÔ Ø ÒÔÙØ ÐÐÓÛ º Ü ÑÔÐ ¼º½º½ ÜÔÐ Ò Ø Ú ÓÖ Ó ËÊ ÓÖ 1 2 À ÒØ ÁØ Û ÐÐ Ò Ö Ø ÕÙ Ö Û Ú ¹ ÓÖÑ Ó ÙÒ ÕÙ Ð Þ ÇÆ Ò Ç Ô Ö Ó º Ê ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ð Ñ Ò Ø Ý Ø Ñ Ò Ò Ð ÐÓ µº Ì ØÖ Ö¹ Ò» Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÖÙ Ø Ö Ð Ò Û Ø Ø ÐÓ ØÖ Ò¹ Ø ÓÒ Ò Ø Ó ÒÓØ Ø ÔÐ Ø ÒÝ ÓØ Ö Ø Ñ ÙÖ Ò Ø ÐÓ º ÌÖ Ö Ò Ø ÔÐ ÓÒ Ö Ò ÓÖ ØÖ Ð Ò Ó ÐÓ ÔÙÐ º ÓÖ Ø Ø Ò Ð Ö ÙÔÔÓ ØÓ Ø Ð Þ º Ï Ò Ë ÕÙ ÒØ Ð ÖÙ Ø Ö ÓÑ Ò Û Ø ÐÓ Ò Ð Ø Ö¹ Ù Ø Ö ÐÐ ËÝÒ ÖÓÒÓÙ ÖÙ Ø º ÖÙ Ø ÒÓØ Ø Ñ Ý ÐÓ Ö ÝÒ ÖÓÒÓÙ ÖÙ Ø Ò ÖÐ Ö Ø Ý Ö ÈÖÓÒ ØÓ Ö ÓÒ Ø ÓÒ º ¾

ÙÖ ÓÛ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ð ÖÙ Ø ÐÓÒ Û Ø ÐÓ Ò Ñ ÑÓÖÝ Ð Ñ Òغ Ì ÔÖ Ú ÓÙ ÓÙØÔÙØ ØÓ Ø ÒÔÙØ ÙØ ÒÓØ ÑÑ Ø ÐÝ Ø Ý ÛÓÙÐ ÓØ ÖÛ Ò Ò Ø ÓÙØÔÙغ Ì Ý Ö ØÓÖ Ú µ Ò Ñ ÑÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø Ø ÒÔÙØ Ò Ø Ò ÜØ ÐÓ ÝÐ º ÙÑ Ò Ø Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ð ÖÙ Ø ÓÑÔÙØ Ò ÙÒØ ÓÒ f 1 Ø Ñ ÑÓÖÝ ÙÒ Ø ÕÙ Ð ØÓ ÙÒØ ÓÒ f 2 Ò ÓÒÐÝ Ô ÖØ Ó Ø ÓÙØÔÙØ z º º z ÒÔÙØ ØÓ Ñ ÑÓÖݺ À Ò Û Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÒØ ÓÒ Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ô z(t+ 1 ) = f 1 (x(t),y(t)) ¾µ Ò y(t+2 ) = f 2 (z (t)) µ À Ö 1 ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ý Ø ÖÓÙ Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ð ÖÙ Ø Ò 2 Ø Ð Ý Ø ÖÓÙ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ð Ñ Òغ Ë Ò Ñ ÑÓÖÝ ÕÙ Ò Ý ÐÓ 2 ½ ÐÓ ÝÐ º x 1 x n combinational circuit z 1 z m y 1 y 1 y l y l flip-flop Memory M sequenced by clock ÙÖ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ð ÖÙ Ø Û Ø Ñ ÑÓÖÝ Ð Ñ Òغ Ì ÐÓ Ò Ð Ö ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ó Ú ÒØ ÓÖ Ü ÑÔÐ ØÖ Ò¹ Ø ÓÒ ØÓ ÓÙÖ Ø ÖÓÙ Ø Ø º Ì ÙÖ ÓÛ ØÝÔ Ð ÐÓ º Logic level 1 0 clock period T Timet Leading edge Trailing edge ÙÖ ØÝÔ Ð ÐÓ Ò Ðº

Ì ÐÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ø Ø Ö ½ ¼º Ì Ý Ð Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÖÓÑ ¼¹ØÓ¹½ ÓÖ ½¹ØÓ¹¼º Ì Ô Ö Ó ÙÖ Ò Ø Ø Ñ ÐÓ Ò Ø Ú ÑÙ Ø Ø Ð Ø ÐÓÒ Ø ÛÓÖ Ø Ò Ð ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ý Ø ÖÓÙ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ð ÖÙ Ø º µ Ò Ø Ú Ô Ö Ó ÑÙ Ø ÐÓÒ ÒÓÙ ØÓ ÐÐÓÛ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ð Ñ ÒØ M ØÓ Ñ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒº Ì Ú ÓÖ Ó ÕÙ ÒØ Ð ÖÙ Ø Ö Ý ËØ Ø Ø Ð ØÓ Ù Ð Ø Öº ÈÓÒ Ö ÓÚ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÙ Ø ÓÒ Ï Ø ÔÔ Ò ÐÓ Ô Ö Ó ÐÓÒ Ò Ò Ð Ô Ø ÖÓÙ ÓÖÛ Ö Ô Ø ØÓ ÒÔÙØ ÙÖ Ò Ø ÙÖÖ ÒØ ÌÖÙ Ô Ö Ó Ó ÐÓ ¼º½º¾ ÍÒÐÓ Ò ÐÓ ËÊ Ô¹ ÓÔ Ì ÙÖ ÓÛ Ø Ë¹Ê Ô¹ ÓÔ Ò Ø ÝÑ Óк S G 1 ȳ S 1 y R G 2 y R 0 ȳ SR Flip-flop Logic diagram SR FF Symbol ÙÖ Ë¹Ê Ð Ô¹ ÐÓÔ Ò Ø ÝÑ Óк ÓÖ ËÊ ¼¼ Ø Ö ÒÓ Ò Ò ÓÙØÔÙØ y,ȳº Ì ÓÑ Ò Ø ÓÒ ËÊ ½½ ÓÖ Òº Ì Ë Øµ ½ Ê Ö Øµ ¼ Ë Ø ØÖÙ ÓÙØÔÙØ y ØÓ ½º Ì ËÊ ¼½ Ê Ø ØÖÙ ÓÙØÔÙØ y ØÓ ¼º Ä Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ý Ó ÆÇÊ Ø Ò τ Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ý Ø ÖÓÙ ØÛÓ ÆÇÊ Ø 2 º Ä Ø Ù ÙÑ Ø Ø S(t) Ú ÐÙ Ó S Ø Ø Ñ t Ò ÓÙØÔÙØ Ó Ø G 1 ÔÔ Ö Ø Ø Ñ t+ Ò Ø Ø Ð Ó Ö Ø Ø ÒÔÙØ Ó Ø G 2 Ò Ø ÒØÐݺ ËÓ Û Ò ØÓ ÓÒ Ö Ø Ú ÐÙ Ó R Ø Ø Ñ t+ º R(t+ ) Ò ÓÙØÔÙØ Ó Ø G 2 Ú Ð Ð Ø Ø Ñ t+2 º ÓÖ Ò ÐÝ Û Ú y Ø t+2 y(t+2 ) = R(t+ )+[S(t)+y(t+ )] = R(t+ )[S(t)+y(t+ )] y(t+τ) R(t)[S(t)+y(t)] µ Ì ÓÚ Ø Ö ÓÒ Ö Ò Ø Ø Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ø Ñ ÑÙ Ñ ÐÐ Ö ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÐÓ Ø Ñ ¹Ô Ö Ó º

P (Preset) SR flip-flop True output y represented by Karnaugh Maps lock S R ȳ y current state y 0 1 Input SR 00 01 10 0 0 1 1 0 1 next state y () lear ÙÖ ÐÓ ËÊ Ð Ô¹ ÓÔ Ò ÌÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ð º ÌÓ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ô¹ ÓÔ ÐÓ ÔÙÐ Ø ØÓ Ô¹ ÓÔ ÐÓÒ Û Ø Ø ÒÔÙØ Ë Ê Ù Ø Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÙÖ Ò ÝÒ ÖÓÒ Þ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÐÓ ÔÙÐ º Ì ÙÖ ÓÛ Ø ÐÓ ËÊ Ð Ô¹ ÓÔ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ¹Ø Ð ÓÖ ÐÓ ËÊ Ô¹ ÓÔº Ì P ÒÔÙØ Ö ÈÖ Ø» Ð Ö ØÓ Ë Ø» Ð Ö Ø ÓÙØÔÙØ Û Ø ÓÙØ Ø ÐÓ º Ä Ø Ø ÙÖÖ ÒØ Ú ÐÙ Ó ÓÙØÔÙØ Ø Ø Ñ t Ö y(t) Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÙØÔÙØ ȳ(t)º Ï Ö ÒØ Ö Ø ØÓ Ò ÓÙØ Ø ÓÙØÔÙØ y(t + 1) Ò y(t+1) ÓØ Ø Ö Ø Ñ t+1 º º Ø Ö ÓÒ ÐÓ Ô Ö Ó º Ì ÓÙØÔÙØ y Ø Ø Ñ t+1 º y(t+1) ÓÑÔÙØ Ù Ò Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ Ù Ò Ã ÖÒ Ù Ñ Ô º ÓÖ Ò ÐÝ Û Ó Ø Ò ÖÓÑ ÙÖ º y(t+1) = R(t)S(t)+ R(t)y(t) µ = R(t)[S(t)+y(t)] À Ö y(t + 1) Ò Û Ø Ø Ò y(t) ÔÖ Ú ÓÙ Ø Ø º Ï ÒÓØ Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ ÐÓ ËÊ Ô¹ ÓÔ Ñ Ø Ø Û Ó Ø Ò Ò ÕÙ Ø ÓÒ º ÆÓØ Ø Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ý µ ÑÙ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø ÐÓ Ô Ö Ó Ò Ø ÒÓÖ º ÙÖØ Ö ÒÓØ Ø Ø Û Ö Ø ÐÐ ÒÓØ ÐÐÓÛ Ò Ø SR ØÓ 11 Ò Ø ËÊ Ô¹ ÓÔº Ì ÓØ Ö ØÝÔ Ó Ö Ö Ú ÖÓÑ ËÊ Ô¹ ÓÔ º ÁÒ Ø ÒÓ Ø Ø Ò ÓÙÖ Û Ø ÓÙØ ÐÓ ÔÙÐ º Ì ÐÓ ÔÙÐ ÓÙÐ Ù ¹ ÒØÐÝ ÐÓÒ ØÓ ÐÐÓÛ Ø ÒÔÙØ ØÓ Ø Ð Þ º ¼º¾ ÂÃ Ò Ð Ô¹ ÓÔ Ì ÙÖ ÓÛ Ø J K Ò D Ô¹ ÓÔ ÐÓÒ Û Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ¹ Ø Ð Ó JK Ô¹ ÓÔº Ì JK Ô¹ ÓÔ Ò Ö Ú ÖÓÑ ËÊ º Í Ò Ã ÖÒ Ù Ñ Ô ÓÒ Ø Ð ¾ Ø Ñ Ò Ñ Þ ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ ØÖÙ ÓÙØÔÙØ y(t+1) = J(t)ȳ(t)+ K(t)y(t)) µ

J LK K S R P 1 0 Y Ȳ P J 1 LK 0 K Y Ȳ prev. y 0 state 1 Karnaugh map for JK Flip-flop J K JK JK J K 00 01 11 10 0 0 1 1 1 0 0 1 P D S 1 Y D 1 Y New y state LK R 0 Ȳ LK 0 Ȳ Logic circuit Symbol Y = True output, = lear signal ÙÖ Â¹Ã Ò ÐÓÔ¹ ÓÔ º ÓÖ JK = 00 Ø Ö ÒÓ Ò Ò ÓÙØÔÙØ 10 Ò 01 Ù Ø Ò Ö Ø Ó Ô¹ ÓÔ Ò JK = 11 ØÓ Ð Ø Ð Ô¹ ÓÔ º º ÒÔÙØ 11 ÒÓØ ÓÖ Ò ÒÓÛµº Ì Ö Ð Ú ÒØ Ó Âà Թ ÓÔ Û Ò ÓÑÔ Ö Û Ø Ø ËÊ Ô¹ ÓÔº Ì D Рݵ Ô¹ ÓÔ Ò Ð ÒÔÙØ Dº Ï Ø D = 1 Ø Ø Ò Û Ø D = 0 Ø Ö Ø Ø Ô¹ ÓÔ º º y(t+1) = D(t)º ¼º¾º½ ¹Ä Ø ÅÓ Ø ÓÑÑÓÒÐÝ Ù Ô¹ ÓÔ Ö Ô¹ ÓÔ º µ Ù Ø Ý Ö Ù ÙÐ ÓÖ Ø ÑÔÓÖ ÖÝ ØÓÖ Ó Ø º Ä Ø Ñ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø Ö Ð Ø Ò Øº Ø Ö Ø Ø ÒÔÙØ Ò Ð Ø Ø ÒÓØ Ø º Ì Ð Ø Ú ÐÙ Ø Ñ ÑÓÖݺ D S Q Truth-table D Q(t+1) 0 X Q(t) 1 0 0 1 1 1 R Symbol D Q D Q t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 ÙÖ Ô¹ ÓÔ Ð Ø º

Ì ËÊ ÒÔÙØ Û ÐÐ ÐÛ Ý ¼½»½¼ ÓÒÐÝ ØÓ Ö Ø ÓÖ Ø Ø Ô¹ ÓÔ Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ï Ö ÓÖ Ø ¹ Ô¹ ÓÔ ÙÖ Ò Ø ÔÓ Ø Ú Ð Ó ÐÓ D ÙÔÔÓ ØÓ Ö Ñ Ò Ø Ð Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÛÓÙÐ ÓÙÖ Ø Ø ÓÙØÔÙØ Qº ¼º¾º¾ ̹ Ð Ô¹ ÓÔ Transition-Table T D Q T 0 1 Q(t+1) Q(t) Q(t) Symbol T Q T Q 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Time ÙÖ Ì¹ Ð Ô¹ ÓÔº ̹ Ò Ø Ø Ø Ú ÖÝ ÐÓ ÝÐ ØÓ Ð µ Ø ÒÔÙØ Ì ÕÙ Ð ØÓ ½º Ì ØÖ Ö Ò Ð Ú Ð Ò Ø Ø ÓÙØÔÙص Ø ÔÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÐÓ º Ì ÙÖ ÓÛ T Ô¹ ÓÔ Ø ØÓ Ð Ò Û ÔÖÓ Ù Ø ÓÙØÔÙØ Û Ú ÓÖÑ Ó Ð Ø Ö ÕÙ ÒÝ Ó Ø ÐÓ Ö ÕÙ ÒÝ Ì ½º Ì ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ð Ó Ø Ì Ð Ó ÓÛÒ ÐÓÒ Û Ø Û Ú ÓÖѺ Ì ØÓ Ð Ò Û ÐÐ ÒÓØ Ø ÔÐ Ì ¼º Ù Ó Ø Ò ØÙÖ Ó Ø Ì Ø Ý Ö Ù ÓÙÒØ Ö º ¼º¾º Ë Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ò ÂÃ Ì ÙÖ ½¼ ÓÛ Ø Ö Ð Ø ÓÒº x 1 x 2...10001...11011 Serial adder z=...101100 lock ÙÖ ½¼ Ë Ö Ð Öº

ÌÛÓ¹ Ø Ø ÓÒ Ø ÔÐ ÓÖ ÐÓ ÔÙÐ º z(t) = x(t)+y(t)º ÁØ Ñ Ý ÔÖÓ Ù ÖÖÝ Ø c(t)º Ì Ù ØÛÓ Ø Ø S 0,S 1 µ Ö ÔÓ Ð ÓÖ c(t 1) = 0 Ò c(t 1) = 1º Ì Ù z(t) = x(t) +y(t)+c(t 1)º Ì Ø Ð ½ ÑÓÒ ØÖ Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ð Öº ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ø ÒÔÙØ x 1 x 2 = 11 Ò ÔÖ Ú ÓÙ Ø Ø s 1 ÖÖݵ Ø ÓÙØÔÙØ Ö s 1,1 º º ÙÑ ½ Ò Ø Ø s 1 Ò Ø ÖÖÝ Ø Ø Ø Ò ÜØ Ø Ø º Ì Ð ½ Ë Ö Ð Ö ÌÖ Ò Ø ÓÒ Ì Ð º ÈÖ Ú ÓÙ ÒÔÙØ x 1 x 2 Ø Ø ¼¼ ¼½ ½¼ ½½ s 0 s 0,0 s 0,1 s 0,1 s 1,0 s 1 s 0,1 s 1,0 s 1,0 s 1,1 ÒØÖÝ ÓÖÑ s(t+1),z(t)º y ³ Ø Ø Ú Ö Ð y = 0 ÓÖ s 0 Ò y = 1 ÓÖ s 1 º Ì ÐÓ ÖÙ Ø ÓÖ Ë Ö Ð Ø ÓÒ ÓÛÒ Ò ÙÖ ½½º Logic circuit for serial adder x 1 x 2 z = x 1x 2 c i +x 1 x 2 c i+ x 1 +x 2c i + x 1 x 2c i arry ckt 1 P J lock M: memory for pre. carry M 0 K Reset lock ÙÖ ½½ Ë Ö Ð Öº

In F 0 F 1 F 2 F 3 D Q 0 D Q 1 D Q 2 D Q 3 Out Initially: Q 0 Q 3 = 0 In Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 Time ÙÖ ½¾ Ë Ø¹Ö Ø Ö Ø Öº ¼º Ê Ø Ö Ò Ë Ø Ê Ø Ö Ê Ø Ö ØÓÖ Ñ Ò ÛÓÖ Ø Ý Ð Ó Ë Ø Ò ÖÓØ Ø Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ñ º ÙÖ ½¾ ÓÛ Ö Ð Ø¹Ö Ø Ö Ø Öº Ì Ø Ö Ø Ö Ò Ù ØÓ Ò Ð ÓÒ ¹ Ø Ø Ø Ñ ÓÖ ÒÔÙØ ÓÙØÔÙØ Ò ÔÖÓ Ò ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ Ø Ø Ò ÖÖÝ Ò Ö Ø ÓÖ Ø Ö Ü Ø Ó ÓÖ Ú Ò Ô Ö ØÝ Øº Ì Ø Ò Ø Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ð Óº Ì ÙÖ ½ ÓÛ Ø ÖÙ Ø Ó È Ö ÐÐ Ð Ë Ø Ê Ø Öº Parallel output In F0 F1 F2 F3 D Q0 D Q1 D Q2 D Q3 Out Serial input Load/ shift Parallel input ÙÖ ½ È Ö ÐÐ Ð Ë Ø Ò ÐÓ Ö Ø Öº Ì Ö Ø Ö Ò Ù ÓÖ Ù Ð Ò ÓÙÒØ Ö º Ø Ø Ñ Ò Ð Ò¹

Ù Ø Ý Ö Ù ÙÐ ØÓ ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐÓ ÔÙÐ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø ÒÔÙØ ÓÖ ÓÙØÔÙØ ÓÖ ÒÙÑ Ö Ó ÝØ ØÓ ØÖ Ò Ö ÖÓÑ ÓÙÖ ØÓ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ñ ÑÓÖÝ ÓÖ ÁÇ Ú º Ì Ý Ò Ð Ó Ù ØÓ ÙÔ¹ÓÙÒØ ÖÓÑ ¼ ØÓ ÓÑ Ö Ú ÐÙ ÓÖ ÓÛÒ ÓÙÒØ ÖÓÑ Ø Ú ÐÙ ØÓ Þ ÖÓº ÓÙÒØ Ö Ð Ó Ò Ö Ø ÓÒØÖÓÐ Ò Ø Ñ Ò Ò Ð Ò ÙÖ ½ º Q 0 Ö ÕÙ ÒÝ clk/2 Q 1 Ö ÕÙ ÒÝ clk/4 ººº ÐÐ Ö ÔÔÐ ÓÙÒØ Öº Á ÐÐ FF Ò Ø Ø ØÓ Ø Ö Ø ÐÐ ÝÒ ÖÓÒÓÙ ÓÙÒØ Öº Ì ÙÖ ½ ÓÛ ¹ Ø ÙÔ¹ÓÙÒØ Öº In F 0 F 1 F 2 F 3 T Q 0 T Q 1 T Q 2 T Q 3 Out 0 1 2 3 Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 Initially: Q 0 Q 3 = 0 Q 0 1 0 1 0 1 0 Q 1 0 1 1 0 0 1 Q 2 0 0 0 1 1 1 Q 3 0 0 0 0 0 0 ount 0 1 2 3 4 5 6 Time ÙÖ ½ ¹ Ø ÝÒ ÖÓÒÓÙ ÙÔ¹ÓÙÒØ Öº ¼º ¼º º½ ÏÓÖ Ä Ú Ð Ò ÏÓÖ Ø Ì Ù Ù Ð Ø Ú ÒÙÑ Ö Ó Ò ÖÝ ÒÔÙØ Ø º Ì ÛÓÖ ¹ Ø Ò ÒÝ Ø Ñ Ó Ø Ø Ù ÖÐ Ö ÙØ Ø Ö ÒÔÙØ Ö ÛÓÖ º ÛÓÖ Ù Ù ÐÐÝ ÖÓÙÔ Ó Ø Ò ÓÖ Ö º º ¹ Ø ¹ Ø ÓÖ ½ ¹ Ø Ö ÓÑÑÓÒº Ì ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ö ÓÖÑ ÓÒ Ø ÛÓÖ ØÓ Ø Ö º º ÓÒ ÛÓÖ Æ Û Ø ÓØ Ö ÓÖ ÇÊ Û Ø ÓØ Öº ÙÖ ½ ÓÛ Æ Æ Ø Û Ô Ö ÓÖÑ Æ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó m¹ Ø Û Ø ÓØ Ö m¹ Ø Ò Ø Ò ÒÚ ÖØ Ø Ö ÙÐغ Ä Ø X Ò Y Ö Ò ÖÝ ÛÓÖ Ó m¹ Ø º X = (x 0,x 1,...,x m 1 ), Y = (y 0,y 1,...,y m 1 ) ½¼

x 0 y x m 1 y m 1 0 x y m m z 0 z m 1 x m m z y m Similarly, thenor gate is also represented. m z ÙÖ ½ m¹ Ø Æ Æ Ò ÆÇÊ ÛÓÖ Ø º ÙÑ Ø Ø ÛÓÖ Z ÙÒØ ÓÒ Ó X,Y º Ì Ù X = f(x,y) z i = f(x i,y i ) ÓÖi = 0,...,m 1º Ì Ö ÓÖ Z = XY = (z 0,z 1,...,z m 1 )º Ì Ø Z = (x 0 y 0,x 1 y 1,...,x m 1 y m 1 )º ¼º º¾ ÅÙÐØ ÔÐ Ü Ö Ã¹ ÒÔÙØ m¹ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ü Ö k ÒÔÙØ Ð Ò m¹ Ø Û º Ì ÒÙÑ Ö Ó Ð Ø Ð Ò p ØÓ Ð Ø ÙÒ ÕÙ ÒÔÙØ Ö Ú Ò Ý ÜÔÖ ÓÒ k = 2 p Û Ö ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó ÒÔÙØ Ö kº ËÓÙÖ Ð Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ý Ò ÒÓ Ô ØØ ÖÒ Ó p¹ Ø º z i = k 1 i=0 x ija i e ÓÖ j = 0,1,...,m 1º ÙÖ ½ ÓÛ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó m¹ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ü Öº x 0 x 1 x k 1 m m m p-bits select Multiplexer enable z m ÙÖ ½ k¹ ÒÔÙØ m¹ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ü Öº ÙÖ ½ ÓÛ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó ¾¹ ÒÔÙØ ¹ Ø ÅÙÐØ ÔÐ Ü Öº ÁØ ØÛÓ ÒÔÙØ ÛÓÖ ¹ Ø ÐÓÒ x 0,x 1,x 2,x 3 Ò y 0,y 1,y 2,y 3 µº Ë Ð Ø Ð Ò Ð Ø Ø Ö x 0 x 1 x 2 x 3 ÓÖ y 0 y 1 y 2 y 3 Ò Ð Ú Ö Ø ÓÙØÔÙØ z 0 z 1 z 2 z 3 º ½½

2-input 4-bit word multiplexer enable select X 0 Y 0 X3 Y 3 Z 0 Z 1 Z 2 Z 3 Z i = X i Y i ¼º º ÙÖ ½ ¾¹½ ÑÙÐØ ÔÐ Ü Öº Ó Ö Ò ÒÓ Ö Ó Ö ½¹ÓÙØ¹Ó ¹2 n ÓÖ 1/2 n Ó Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ð ÖÙ Ø Û Ø n ÒÔÙØ Ð Ò Ò 2 n ÓÙØÔÙØ Ø Ð Ò º ÓÖ ÒÔÙØ x 0 x 1 00,01 10,11 Ø ÓÙØÔÙØ z 0 z 1 z 2 z 3 1000,0100, 0010,0001 Ö Ô Ø Ú Ðݺ À Ò Ø ÐÐ ¾¹ØÓ¹ Ó Ö º ½ µº X 0 X 1 X 0 X 1 Enable E 1/4 decoder Z 0 Z 1 Z 2 Z 3 1/4 decoder ÙÖ ½ ¾¹ Ó Öº Ò ÒÓ Ö Ò Ö Ø Ø Ö º ÁØ ÒÚ Ö ÙÒØ ÓÒ Ó Ó Öº À 2 k ÒÔÙØ Ð Ò Ò k ÓÙØÔÙØ Ð Ò º ÙÖ ½ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø ¹ Ð ¾ ÓÛ ¹ØÓ¹¾ ÒÓ Öº Ë ÑÔÐ ÒÓ Ö Ï Ù Ö ØÖ Ø ÒÓ Öº ÓÖ Ø Ö ÕÙ Ö ÓÙع ÔÙØ Ø ÒÔÙØ ÓÙÐ Ü ØÐÝ ÓÛÒº Á ÒÔÙØ Ú Ø ÖÓÑ Ø Ú Ò Ø ÓÙØÔÙØ ÙÒ Ð º ½¾

A 3 A 2 A 1 A 0 4-to-2 Encoder F 1 F 0 ÙÖ ½ ¹¾ ÒÓ Öº Ì Ð ¾ ÌÖÙØ ¹Ø Ð ÓÖ ¹¾ ÒÓ Öº ÁÒÔÙØ ÇÙØÔÙØ A 3 A 2 A 1 A 0 F 1 F 0 ¼ ¼ ¼ ¼ x x ¼ ¼ ¼ ½ 0 0 ¼ ¼ ½ ¼ 0 1 ¼ ½ ¼ ¼ 1 0 ½ ¼ ¼ ¼ 1 1 ÈÖ ÓÖ ØÝ ÒÓ Ö ÁØ Ò Ö Ø Ø ÓÙØÔÙØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ø Ø Ó ÓÖ ÑÔÐ ÒÓ Öº X Ò Ø Ó ÒÓØ Ö Ø º ÙÖ ¾¼ ÓÛ ÔÖ ÓÖ ØÝ ÒÓ Ö Ò Ø Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÖÙØ ¹Ø Ð º A 3 A 2 A 1 A 0 4-to-2 Priority Encoder F 1 F 0 ÙÖ ¾¼ ÈÖ ÓÖ Øݹ ÒÓ Öº Ü Ö ½º ÓÒ ØÖÙØ ËÊ Ð Ô¹ ÓÔ Ù Ò Æ Æ Ø ÓÒÐݺ ¾º ÓÒ ØÖÙØ Ð Ô¹ ÓÔ Ù Ò ÆÇÊ Ø ÓÒÐݺ º ÓÒ ØÖÙØ ¹ Ø ÓÙÒØ Ö Ù Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ º º Ò Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒf(x 1,x 2,x 3,x 4 ) ½

Ì Ð ÈÖ ÓÖ ØÝ ÒÓ Ö ÁÒÔÙØ ÇÙØÔÙØ A 3 A 2 A 1 A 0 F 1 F 0 ¼ ¼ ¼ ¼ x x ¼ ¼ ¼ ½ 0 0 ¼ ¼ ½ x 0 1 ¼ ½ x x 1 0 ½ x x x 1 1 Û Ö f = 1 Ø Ö ÓÒ ÓÖ ØÛÓ Ó Ø ÒÔÙØ Ú Ö Ð Ú Ø ÐÓ Ú ÐÙ ½º ÇØ ÖÛ f = 0º º ÈÖÓÚ Ø Ø Ó Ø Ú ÖÙÐ Ó ÒÓØ ÔÔÐÝ ØÓ Ø NAND ÓÔ Ö ØÓÖº º ÀÓÛ ÝÓÙ Û ÐÐ ÓÒ ØÖÙØ ÓÛÒ ÓÙÒØ Ö º ÖÓÑ ½½½½ ØÓ ¼¼¼¼ º Ì Ö Ð Ò A 0...A 15 Ù ÒÓ Ö ØÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ¹ Ò Ô Ý Ð Ö Ì» µº º Ï Ø Ø ÓÓÐ Ò ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø ÓÙØÔÙØ f ÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ü Ö ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾½ I0 I1 I2 I3 MUX O A1 A0 ÙÖ ¾½ ¹ÁÒÔÙØ ÑÙÐØ ÔÐ Ü Öº Ò º Ì ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ f ÓÖ Ø ¹ ÒÔÙØ ÑÙÐØ ÔÐ Ü Ö º ¾½µ f = R( P +PQ)+ R( PQ+P ) º ÓÒ Ö Ø ÖÙ Ø ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾¾ ÒÚÓÐÚ Ò ÔÓ Ø Ú ØÖ ¹ Û ÐÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ñ Ò Ö Ñº Ä Ø A i Ö ÔÖ ÒØ Ø ÐÓ Ð Ú Ð ÓÒ Ø Ð Ò A Ò Ø i th ÐÓ Ô Ö Ó º Ä Ø A Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Aº Ì ÓÖÖ Ø ÓÙØÔÙØ ¹ ÕÙ Ò Y ÓÚ Ö Ø ÐÓ Ô Ö Ó ½ Ø ÖÓÙ µ A 0 A 1 A 1 A 3A 4 µ A 1 A 2 A 2 A 3A 4 µ A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 µ A 1 A 2A 3 A 4 A 5 ½

A X D Q Y LK LK X 0 1 2 3 4 5 ÙÖ ¾¾ ¹ ÖÙ Ø Ò º ÓÖÖ Ø Ò Û Ö µº ÒÓØ Ø Ø Ø Ú ÐÙ A i Ø Ú Ò Ø ÐÓ Ô Ö Ó Ø Ø Ñ Ò ¹ ÒÓØ ÓÖ Ø Ø ÖØ Ó Ø ÐÓ Ô Ö Ó µº ½¼º ÓÒ Ö Ø ÖÙ Ø ÓÑÔÓ Ó ÇÊ Ø ÙÖ ¾ µ Ò ÒÓÒ¹ ÒÚ ÖØ Ò Ù Ö º Ì ÒÓÒ¹ ÒÚ ÖØ Ò Ù Ö Ú Ð Ý Ó δ 1 = 2ns Ò δ 2 = 4nsº ÓØ ÇÊ Ò Û Ö Ú Þ ÖÓ Ð Ý º Á Ø ÓÚ Û Ú ÓÖѳ ¹ÝÐ Ö ÔÔÐ Ø ÒÔÙØ A ÓÛ Ñ ÒÝ ØÖ Ò Ø ÓÒ µ Ò Ó Ð Ú Ð µ ÓÙÖ Ø B ÙÖ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð 0 7ns Ò º ÌÓØ Ð Ò Ó Ð Ú Ð A δ 1 = 2 δ 2 = 4 B T= 0 1 2 3 4 5 6 7 (n sec) time Level=1 Level=0 output of first XOR Output of 2nd XOR Total change of levels=6 ÙÖ ¾ ÇÊ ÖÙ Ø Ò Û Ú ÓÖѺ ½½º ÁÒÚ Ø Ø Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó ÓÐÐÓÛ Ò Ö٠غ ÙÑ Ò Ò Ø Ð Ø Ø Ó ¼¼¼¼ ÓÙØÔÙØ Ó ÓÙÖ Ô¹ ÓÔ µº ÌÖ Ø ÓÙØÔÙØ Ø É µ Ø ÐÓ Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÔÙÖÔÓ Ó Ø Ö٠غ Ë º ¾ ½

J K Q Q J K Q Q J K Q Q J Q K Q lock ÙÖ ¾ Âà РԹ ÐÓÔ º ½¾º Ò ÔÖ ÓÖ ØÝ ÒÓ Ö ÓÖ ÒØ ÖÖÙÔØ I 0 I 1 I 2 I 3 Û Ö I i I j Ò Ø Ø Ø I i ÐÓÛ Ö ÔÖ ÓÖ ØÝ Ø Ø I j º Ì Ð Ò O 0 O 1 Ö ØÓ Ø Ô Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ð º ³ ³ Ò Ø ÓÒ³Ø Ö ÒØ ÖÖÙÔØ µº Ø Ð µº Ì Ð ÈÖ ÓÖ ØÝ ÒÓ Öº ÁÒÔÙØ ÇÙØÔÙØ I 3 I 2 I 1 I 0 O 1 O 0 ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ x ¼ ½ ¼ ½ x x ½ ¼ ½ x x x ½ ½ ½ º Ò ¹ØÓ¹½ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ü Ö Ù Ò Ñ Ò ÑÙÑ Ø ÓÙÒغ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ø ÓÒÐݺ Í ½ º ÓÒ ØÖÙØ Ñ Ò Ñ Þ ÓÑÔ Ö ØÓÖ ØÓ ÓÑÔ Ö ¾¹ Ø ÛÓÖ w 1 = a 1 a 2 Ò w 2 = b 1 b 2 ÔÖÓ Ù Ò ½¹ Ø ÓÙØÔÙØ Û ½ Û Ò w 1 > w 2 Ð ¼º Í ÒÝ ØÝÔ Ó Ø º ½ º ÓÑÔÙØ Ø ØÖÙØ Ø Ð µ ÓÖ Ø ÕÙ ÒØ Ð ÖÙ Ø ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾ ½

X J Q K A D Q B ÙÖ ¾ Ë ÕÙ ÒØ Ð Ö٠غ Ì Ð ÌÖÙØ Ø Ð ÓÖ ÕÙ ÒØ Ð ÖÙ Ø A B X Æ ÜØ A Ò ÜØ B ¼ ¼ ¼ º º º º º ½ ½ ½ ½ º ÖÖÝ ÓÙØ Ø Ø ¹Ð Ú Ð Ò Ó ÝÒ ÖÓÒÓÙ ÑÓ ÙÐÓ¹ ÓÛÒ ÓÙÒØ Öº ÁØ ØÓ Ú ÓÙÖ ÒÔÙØ Ð Ò ÓÙÒØ Ò Ð Ð Ò ÇÍÆÌ Ò ÙÔ¹ ÓÛÒ Ð Ø Ð Ò ÇÏÆ ÐÓ Ð Ò ÄÇ Ã Ò Ê ¹ Ë Ì Ð Ò Ä Êº Ì Ö Ö ØÛÓ ÓÙØÔÙØ Ð Ò Z = (z 0,z 1 )º Í ÓÒÐÝ Æ Æ Ø Ò Ô¹ ÓÔ Ò ÝÓÙÖ ÖÙ Ø Ò ØØ ÑÔØ ØÓ Ñ Ò Ñ Þ Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó ÐÓ Ø º ½ º Ò ¹ Ø ÔÖ ÓÖ ØÝ ÒÓ Ö Ù Ò ØÛÓ ÓÔ Ó ¹ Ø ÔÖ ÓÖ ØÝ ÒÓ Öº Ø ÓÒ Ð Ø Ñ Ý Ð Ó Ù Ò º ½ º Ò ÓÑÔ Ö ØÓÖ ÓÖ ØÛÓ ½¼¹ Ø ÒÙÑ Ö Ù Ò ÓÒÐÝ ¹ Ø Óѹ Ô Ö ØÓÖ º ½ º Á Ø ÓÔ Ö Ò Ö Ò ¾³ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Û Ø ÓÔ¹ Ö Ø ÓÒ ÓÙØ Ó ¹ ÒÖ Ñ ÒØ Ý ½µ Ò Ô Ö ÓÖÑ Ù Ò Ø ÄÍ Ö Ñ ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾ ¾¼º Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÐÓ Ö ÕÙ ÒÝ Ø Û Ø ÓÙÒØ Ö ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾ Ò ÓÔ Ö Ø º ½

K B1 B 0 A1 A 0 Full Adder 0 Full Adder in S 1 S 0 ÙÖ ¾ ÄÍ 1 (True) J0 Q0 J1 Q1 J2 Q2 K0 K1 K2 lock ÙÖ ¾ ÓÙÒØ Ö ÙÑ Ø Ø Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ý Ø ÖÓÙ Ô¹ ÓÔ Ò Æ Ø ÓÑ Ò ½¼ Ò º Ð Ó ÙÑ Ø Ø ØÙÔ Ø Ñ Ø Ñ ØÓ Ø Ð Þ Ò Ðµ ÓÖ Ø Âà Թ ÓÔ ÒÔÙØ Ò Ð Ð º ½