ÝÓÙ Ö Ý ÆÙÐØÝ ÓÖ ÓÒØÖÓÚ Ö Ý Ò Ò Á ÓÙÒ Ó ÐÖ ÛÓÖØ ØÓÒ Ó Ú Ö Ð Ö ÙÑ Òغ Ò An Algebraic Semantics for Duration Calculus ÐÖ Ë Ñ ÒØ ÓÖ ÙÖ Ø ÓÒ Ò ÐÙÐÙ È Ø Ö ÀĐÓ Ò Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ù ÙÖ Âº ºËº À Ð Ò August 2005 ß ½ ß ESSLLI 2005 Student Session
1 Introduction Ê Ø Ú Ý Ø Ñ ÒØ Ö Ø Û Ø ØÖ ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÓÒ Ò ÓÒ¹ Ó Ò ÔÖ Ò Ô ÐÐÝ Ò Ú Ö¹ Ò Ò º ÔÐ Ð Ó Ö Ø Ú Ý Ø Ñ Ö Ö Ð¹Ø Ñ Ý Ø Ñ «Ø Ú ØÓÓÐ ÓÖ ÑÓ ÐÐ Ò Ò Ò Ò ÐÝ Ó Ø ÒÓÐÓÐ Ý Ø Ñ Ð Ó ÔÔÐ Ø ÓÒ Ö¹µØÖ Æ ÓÒØÖÓл ØÖ Æ Ñ ÒÑ ÒØ Ñ Ð Ò ÓÐÓÐ ÔÖÓ ÙØÓÑ Ø Ñ ÒÙ ØÙÖ Ò Ø Ò Ö Ü ÑÔÐ Ð Ò ÙÖÒ Ö August 2005 ß ¾ ß ESSLLI 2005 Student Session
ÙÖ Ø ÓÒ ÐÙÐÙ ÐÓ ÓÖ ÔÝ Ò ÐÐ Ò Ó Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ö Ø Ú Ò ÔÐÐÝ Ö Ð¹Ø Ñ Ý Ø Ñ ÒÐÙ ÙÒØ ÓÒ Ð Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÒÐÙ Ô Ò Ð ØÝ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Û ÐÐ ÙÔÔÓÖØ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ò Ó Ö Ø Ú Ý Ø Ñ Ú ÐÓÔ Ý ÓÙ ÀÓ Ö Ò Ê ÚÒ Ò ½ ½ Ñ ÒÝ ÜØ Ò ÓÒ º º Ý À Ò Ý ÓÙ Æ ÓÙÖ ÓÓ ÄÓ µ August 2005 ß ß ESSLLI 2005 Student Session
2 Interval-Based Model for Duration Calculus Ü ÑÔÐ ß Ð Ò ÙÖÒ Ö Ø Ò ÓÖ Ð Ò Ù Ù ÐÐÝ ÒÓ ÓÛ Ò Û Ð Ø Ð Ò Ò Ð º º Û Ò Ñ ÐÙÖ ÔÔ Ö µ August 2005 ß ß ESSLLI 2005 Student Session
χ(t) Ö Ø Ö Ø ÙÒØ ÓÒ An Algebraic Semantics for Duration Calculus safety requirement: ÓÖ ÒÝ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÒØ ÖÚ Ð Ø Ø ÓÖØ Ö Ø Ò ¼ ÓÒ Ø ÙÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ð ÑÙ Ø Ð Ø Ò ÓÒ º [a, b] ÁÒØ : b a 30 leak([a, b]) 4, leak ÁÒØ : [a, b] R { } b a χ (t) dt Û Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð [a, b] = {x : x M, a x b} Ó ÁÒØ August 2005 ß ß ESSLLI 2005 Student Session
further operations on ÁÒØ and (ÁÒØ) ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó ÒØ ÖÚ Ð [a, b] ; [c, d] = [a, d] b = c ÙÒ Ò ÓØ ÖÛ. ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ó ÒØ ÖÚ Ð U, V (ÁÒØ) U ; V = {u ; v : u U, v V, u ; v Ò }, Û Ö ½Ð ÁÒØ ÁÆÌ = ( (ÁÒØ),,, ;, ½Ð ÁÒØ ) = {[a, a] : a Ø ÒØ ØÝ Ð Ñ ÒØ ÛºÖºØº M} ; August 2005 ß ß ESSLLI 2005 Student Session
3 Algebraic Structures Definition 3.1 Ñ Ö Ò (K, +,, 0, 1) º º ( (ÁÒØ),,, ;, ½Ð ÁÒØ ) (K, +, 0) ÓÑÑÙØ Ø Ú ÑÓÒÓ ÐÓ Ó Ø Ú 0 Ò ÙØÖ Ð Ð Ñ Òص (K,, 1) ÑÓÒÓ ØÖ ÙØ Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ (a + b) c = a c + b c a (b + c) = a b + a c 0 Ò ÒÒÐ ØÓÖ 0 a = 0 = a 0 August 2005 ß ß ESSLLI 2005 Student Session
Ñ Ö Ò ÐÐ ÑÔÓØ ÒØ «a + a = a ÓÙÒ Ø Ö Ö Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ó Ñ Ö Ò ÑÔÓØ ÒØ ÔÖÓÔ ÖØ a b a + b = b ÓÖ Ö Ò ØÙÖ Ð + Ò Ö ÓØÓÒ 0 Ð Ø Ð Ñ ÒØ ÛºÖºØº Ø Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ö August 2005 ß ß ESSLLI 2005 Student Session
Definition 3.2 ÕÙ ÒØ Ð Ð Ó Ø Ò Ö ÃÐ Ò ÐÖ µ ÑÔÓØ ÒØ Ò ÓÙÒµ Ñ Ö Ò ÓÑÔÐ Ø Ð ØØ ÙÒ Ö Ø Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ö ÙÒ Ú Ö ÐÐÝ ÙÒØ Ú Ò ÓØ Ö ÙÑ ÒØ ÓÓÐ Ò ÕÙ ÒØ Ð «Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ð ØØ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ØÖ ÙØ Ú ÓÓÐ Ò ÐÖ August 2005 ß ß ESSLLI 2005 Student Session
Ò Ø Ø Ö Ø ÓÒ ØÓ Ò ÑÔÓØ ÒØ Ñ Ö Ò Definition 3.3 ÃÐ Ò ÐÖ (S, ) ÑÔÓØ ÒØ Ñ Ö Ò S Ø ÙÒ ÓÐ Ò Ò ÙØ ÓÒ Ü ÓÑ Ñ Ð Ö ØÓ Ö ÙÐ Ö ÐÖ µ Ú ÖÝ ÕÙ ÒØ Ð Ò ÜØ Ò ØÓ ÃÐ Ò ÐÖ August 2005 ß ½¼ ß ESSLLI 2005 Student Session
examples Ê Ä ÐÖ Ó Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ø ÙÒ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ä Æ ÐÖ Ó ÓÖÑ Ð Ð Ò Ù ÙÒ Ö ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ È Ì Ø ÐÖ Ó Ô Ø ¹ Ø Ó Ú Ò Ö Ô ÙÒ Ö Ô Ø Ù ÓÒ ÁÆÌ ÐÖ Ó ÒØ ÖÚ Ð August 2005 ß ½½ ß ESSLLI 2005 Student Session
4 Modal Operators Ñ ÑÔÐ Ý ÐÙÐ Ø ÓÒ ÚÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ð, Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÁÆÌ ÔÓ ÒØÛ i U/V v V : i ; v ÔÖÓÚ U i ; Ò µº v i U V v V : i ; v U August 2005 ß ½¾ ß ESSLLI 2005 Student Session
Definition 4.1 ÖØ Ö Ù Ð a/b Ò Ð Ø Ö Ù Ð a\b x a/b x b a x a\b a x b. Ò ÖØ Ø Ñ ÒØ a b Ò Ð Ø Ø Ñ ÒØ a b a b = a/b a b = a\b. Ò Ò ÓÓÐ Ò ÕÙ ÒØ Ð Ø Ü Ø Ò Ù Ö ÒØ Ö Ð Ø ØÓ Ú ÓÒ Ù Ù Ð ÑÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØ a b Ø ÒÚ Ö Ñ Ó a ÙÒ Ö b ÓÖÛ Ö ÑÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ a b Û Ö ÑÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖº August 2005 ß ½ ß ESSLLI 2005 Student Session
ÑÓ Ð Ý Ë ØØ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ a b = a a b, [a]b = a b = a\b/a Ò a b = a b a, [a] b = a b x ÓÒØ Ò Ò a b «b ÓÐ ÓÖ Ø Ð Ø ÓÒ ÜØ Ò ÓÒ Ó x Ò a µ x ÓÒØ Ò Ò [a]b «b ÓÐ ÓÖ ÐÐ ÜØ Ò ÓÒ Ó x Ò a µ August 2005 ß ½ ß ESSLLI 2005 Student Session
5 Duration Calculus safety requirement: ÓÖ ÒÝ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÒØ ÖÚ Ð Ø Ø ÓÖØ Ö Ø Ò ¼ ÓÒ Ø Ó Ð ÑÙ Ø Ð Ø Ò ÓÒ º ÙÑÙÐ Ø ÓÒ [a, b] ÁÒØ : b a 30 leak([a, b]) 4 Ù Ò Ø ÕÙ ÒØ Ð ÁÆÌ gas req = [ ] s Û Ö s = {[a, b] : b a 30, leak([a, b]) > 4} August 2005 ß ½ ß ESSLLI 2005 Student Session
Ò Ò Ó Ø ÙÖÒ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÚÓÒÃ Ö Ö¼¼ ÔÓ Ð gas design = t, Û Ö t = {[a, b] : b a = 30, leak([a, b]) < 2} gas design Ø Ú ÒØ ÓÚ Ö gas req ØÓ ÒÐÙ ÓÒÐÝ Ø ÒØ ÖÚ Ð Û Ø ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ü ØÐÝ ¼ ÓÒ Ò Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ý ÐÓÓÔ Ò ÔÖÓ Ö Ñ August 2005 ß ½ ß ESSLLI 2005 Student Session
correctness and safety of the chosen design: Lemma 5.1 gas design Ù Ø Ó gas req Ø ÔÖÓÓ Ý Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ó ÚÓÒ Ã Ö Ö³ Ò Ò Ö³ Ò ÙØ ÓÒ August 2005 ß ½ ß ESSLLI 2005 Student Session
6 Conclusion and Outlook ÙÖ Ø ÓÒ ÐÙÐÙ ÐÓ ÓÖ ÔÝ Ò ÐÐ Ò Ó Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ö Ø Ú Ò ÔÐÐÝ Ö Ð¹Ø Ñ Ý Ø Ñ ÐÖ ÔÔÖÓ ß ÑÔÐ ÜÔÖ ÓÒ º º [ ] s ß Ý ØÓ Ò Ð Ò ØÓ ÐÙÐ Ø Û Ø ß ÓÒ Ö ÓÒÐÝ Û Ü ÓÑ Ó ÃÐ Ò ÐÖ ß Ñ Ù Ó ÐÐ Ø ÒÓÛÐ ÓÙØ Ø ÐÖ ØÖÙØÙÖ Ò Ò Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÃÐ Ò ÐÖ Ò ÜØ Ò Ý Ò ω¹óô Ö ØÓÖ ω¹ ÐÖ August 2005 ß ½ ß ESSLLI 2005 Student Session
Ò Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ð Ø Ñ Ö Ò Ð Ø ÕÙ ÒØ Ð Ð Ø ÃÐ Ò ÐÖ Ò Ð Ø ω¹ ÐÖ Ö Ð Ü Ü ÓÑ Ò Ò ÓÒ Öع ØÖ ØÒ a 0 = 0µ ÅĐÓÐÐ Ö¼ ØÖØÓÖݹ ÑÓ Ð ÀĐÓ Ò ÖÅĐÓÐÐ Ö¼ ÁÌĹ ÜØ Ò Ò ÐÓ ß ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÙÐÙ Î Ò Ñ ½ ß Æ ÓÙÖ ÓÓ ÄÓ ÓÙÀ Ò Ò August 2005 ß ½ ß ESSLLI 2005 Student Session