Lazy Semiring Neighbours - PDF Free Download

Ä ÞÝ Ë Ñ Ö Ò Æ ÓÙÖ Ò ÓÑ ÔÔÐ Ø ÓÒ È Ø Ö ÀĐÓ Ò Ö ÖÒ Ö ÅĐÓÐÐ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ë Æ Ð ÍÃ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ù ÙÖ ÖÑ ÒÝ ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ½ ß RelMiCS/AKA 06

Motivation ÒØ ÖÚ Ð ÐÓ Ö Ù ÓÖ Ô Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ó ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ö Ø Ú Ý Ø Ñ Ø Ý ÒÒÓØ ÜÔÖ ÔÖÓÔ ÖØ Ð ÙÒ ÓÙÒ µ Ð Ú Ò Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ø Ö Û ÐÐ Ò ÒØ ÖÚ Ð Û Ö φ ÓÐ Ø Ö ÓÖ Æ ÓÙÖ ÓÓ ÄÓ NLµ ÓÙÀ Ò Ò ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ¾ ß RelMiCS/AKA 06

Deficiencies of Neighbourhood Logic ÓÑÔÐ Ü ÜÔÖ ÓÒ Ö ÓÒ Ò ÆÙÐØ ØÓÓ Ñ ÒÝ ÕÙ ÒØ Ö µ Ö Ö ØÓ Ò Ð ÒØ ÖÚ Ð ÒÒÓØ Ò Ð ÒØ ÖÚ Ð Ó Ò Ò Ø Ð Ò Ø Ò ÖÝ ÓÖ Ö Ø Ú Ò Ý Ö Ý Ø Ñ µ ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ß RelMiCS/AKA 06

Previous Work Ø Ó ÒØ ÖÚ Ð ÓÖÑ ÃÐ Ò Ð Ö ÀĐÓ Ò Ö¼ NL Ñ ÒØÓ ÃÐ Ò Ð Ö Û Ø ÓÑ Ò ÀĐÓ Ò Ö¼ ÕÙ ÒØ Ö Ð Ñ Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó ÒØ ÖÚ Ð ÔÓ Ð Ò ÓÙÖ Ú ÓÑ Ò»Ó ÓÑ Ò ÓÑ NL¹ Ü ÓÑ Ò ÖÓÔÔ Ø Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÛ ØÓ Ò Ð Ò Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ß RelMiCS/AKA 06

Results NL ÔØ ØÓ Û Ò Ð ÞÝ ÃÐ Ò Ð Ö ÚÓÒÏÖ Ø¼¼ ÅĐÓÐÐ Ö¼ NL ÜÔ Ò Ò Ð Ò Ó Ò Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð ÑÓ Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ø ÐÐ ÓÐ ØÓ CTL ÓÒÒ Ø ÓÒ ÔØ Ø ÓÒ ØÓ Ö Ø Ú Ò Ý Ö Ý Ø Ñ ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ß RelMiCS/AKA 06

Outline ÖÓÑ Æ ÓÙÖ ÓÓ ÄÓ ØÓ Ë Ñ Ö Ò Æ ÓÙÖ ÓÓ ÄÓ Ñ Ò ÒØÓ ÃÐ Ò Ð Ö Ù ÓÒ Ò Ò Ò ØÝ ØÓ NL NL CTL Ò Ý Ö Ý Ø Ñ ÇÙØÐÓÓ ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ß RelMiCS/AKA 06

From Neighbourhood Logic to Semirings ÓÙØ NL ÔÙÖÔÓ Ö ÓÒ Ò ÓÙØ Ò Ð Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð ÓÔ¹ ÒØ ÖÚ Ð Ø ÑÔÓÖ Ð ÐÓ Ð ITL Ò IL ÒÒÓØ ÜÔÖ ÐÐ Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ñ Ò ÓÙÀ Ò Ò ÜØ Ò Û Ø left Ò right neighbourhoods ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ß RelMiCS/AKA 06

Lazy Semiring Neighbours Neighbourhoods lφ Ð Ø Ò ÓÙÖ ÓÓ φ {}}{{}} lφ { a b e lφ ÓÐ ÓÒ [b, e] «φ ÓÐ ÓÒ ÓÑ [a, b] Ö Ø Ò ÓÙÖ ÓÓ rφ rφ φ {}}{{}}{ b e c rφ ÓÐ ÓÒ [b, e] «φ ÓÐ ÓÒ ÓÑ [e, c] ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ß RelMiCS/AKA 06

Ò ÓÙÖ ÓÒÐÝ Ô Ò ÓÒ ÓÒØ Ø ÔÓ ÒØ Lazy Semiring Neighbours Properties ÜÔ Ò Ò ÑÓ Ð Ø φ {}}{{}} lφ { a b e Ñ Ð Ö ØÓ ÕÙ ÒØ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ß RelMiCS/AKA 06

Lazy Semiring Neighbours φ {}}{{}} lφ { a b e Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ Ó b e] [b, [b, b] = dom [b, e] Ò Ò ÔÓ ÒØ Ó b b] [a, [b, b] = ran [a, b] Ù ÃÐ Ò Ð Ö Û Ø ÓÑ Ò ÖÒ ÅĐÓÐÐ ÖËØÖÙØ ¼ Definition x n l y ran x dom y Û Ø Ø Ó ÒØ ÖÚ Ð Ð Ñ ÒØ Ò ÓÙÖ Ð Ø Ò ÓÙÖ Ö Ø x n r y dom x ran y ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ½¼ ß RelMiCS/AKA 06

Theorem Ä Ø [φ] Ø Ø Ó ÐÐ ÒØ ÖÚ Ð Û Ö φ ÓÐ º Ì Ò rφ ÓÐ ÓÒ x x lφ ÓÐ ÓÒ x x n l [φ] n r [φ] ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ½½ ß RelMiCS/AKA 06

Lazy Semiring Neighbours More Neighbours (briefly) r lφ φ r lφ lφ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÓÑÑÓÒ Ò ÔÓ ÒØ Ý Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ Ò ÓÙÖ Ö Ø ÓÙÒ ÖÝ x b r y ÓÜ ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ó ÔÓ Ð l φ ÓÐ ÓÒ [b, e] «φ ÓÐ ÓÒ all [a, b] ÒÓÚ Ð ÓÜ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÓÑ Ò Ø ÓÒ ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ½¾ ß RelMiCS/AKA 06

Results ÙÒ ÖÐÝ Ò ØÖÙØÙÖ Ý Ð ÅÓÖ Ò Ù Ð Ø ÐÓ ÓÒÒ Ø ÓÒ Ð n l x y x n ry n r x y x n ly Ö ÐÙÐÙ ÓÖ Ö NL ÑÔÐ Ý Ò Ò ÓÑ NL¹ Ü ÓÑ Ò ÖÓÔÔ Ø ÓÒ Ð ÓÜ ÓÔ Ö ØÓÖ ÒØÖÓ Ù Ñ ÒÝ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ÐÓ ÓÒÒ Ø ÓÒ ÜÔÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ò ÓÙÖ º º n l y = dom y ÐÑÓ Ø ÐÐ Ö ÙÐØ Ó NL Ò Ð Ø ØÓ Ñ Ö Ò ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ½ ß RelMiCS/AKA 06

Adding infinity to NL NL ÒÒÓØ Ò Ð ÒØ ÖÚ Ð Ð [a, ) Ø ØÓ ÃÐ Ò Ð Ö Û Ø ÓÙØ Ö Ø¹ ØÖ ØÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Ò Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð ÓÑ [a, ) ; [b, c] = [a, ) Ð ÞÝ ÃÐ Ò Ð Ö ÒÓ Ö Ø¹ ØÖ ÙØ Ú ØÝ Ò Ö Ø¹ ØÖ ØÒ Ó ÓÑ Ò ÒÓØ Ù Ð ØÓ ÓÑ Ò ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ½ ß RelMiCS/AKA 06

Lazy Semiring Neighbours Properties Ò ÓÙÖ Ò ÓÖ Ø Ò Ù Ò Ø Ò Ò Ò Ø Ô ÖØ Ó Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ð Ñ ÒØ ÓÖÑ ÃÐ Ò Ð Ö ÐÐ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÐ Ò Ò Ø Ð Ñ ÒØ ÐÓÓ ÔÖÓÔ ÖØ º º Ö Ø Ò ÓÙÖ Ó Ò ÙÒ ÓÙÒ ÒØ ÖÚ Ð b? ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ø Ò ÓÙÖ Ó Ò Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ò ran [a, ) = 1 Ò Ú Ú Ö ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ½ ß RelMiCS/AKA 06

Results Ø ÓÖÝ ÔØ ØÓ Û Ò Ð ÞÝ ÃÐ Ò Ð Ö ÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ö ÐÓ Ø º º Ù ØÓ Ó ÓÑ Òµ ÓÒÐÝ ÓÒ Ò Ó ÐÓ ÓÒÒ Ø ÓÒ NL ÜÔ Ò Ý ÒØ ÖÚ Ð Û Ø Ò Ò Ø Ð Ò Ø NL Ò ÒÓÛ Ò Ð Ò Ò Ø ØÖ NL Ò Ù ÓÖ Ö Ø Ú Ò Ý Ö Ý Ø Ñ ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ½ ß RelMiCS/AKA 06

Not Only For Neighbourhood Logic Ð Ó ÓÙÖ Ò Ò ÓÙÖ CTL Ö Ò Ò Ø Ñ ÐÓ Ñ Ö ÓÒ ½ Ð Ö Ú Ö ÓÒ ÅĐÓÐÐ ÖÀĐÓ Ò ÖËØÖÙØ ¼ [Eϕ] = dom [ϕ] = b l [ϕ] [Aϕ] = dom ([ϕ]) = b l [ϕ] Ý Ö Ý Ø Ñ ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ½ ß RelMiCS/AKA 06

Conclusion and Outlook ÜÔ Ò NL Ý Ò Ò ØÝ ØÓ Ö Ø Ú Ò Ý Ö Ý Ø Ñ ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÓ CTL ÓÒÒ Ø ÓÒ ÒÓÛÐ ØÖ Ò Ö ØÛ Ò «Ö ÒØ Ö Ñ ÛÓÖ ÔÔÐÝ NL ØÓ Ø Ð Ö Ó Ý Ö Ý Ø Ñ ÀĐÓ Ò ÖÅĐÓÐÐ Ö¼ Ô ÐÐÝ ØÙ ¾¼¼ Èº ÀĐÓ Ò Ö ß ½ ß RelMiCS/AKA 06