Multi-target PHD filtering: proposition of extensions to the multi-sensor case Emmanuel Delane, Emmanuel Duflos, Dominique Heurguier, Philippe Vanheeghe To cite this version: Emmanuel Delane, Emmanuel Duflos, Dominique Heurguier, Philippe Vanheeghe. Multi-target PHD filtering: proposition of extensions to the multi-sensor case. [Research Report] RR-7337, INRIA. 200, pp.64. <inria-0050502v3> HAL I: inria-0050502 https://hal.inria.fr/inria-0050502v3 Submitte on 5 Jan 20 HAL is a multi-isciplinary open access archive for the eposit an issemination of scientific research ocuments, whether they are publishe or not. The ocuments may come from teaching an research institutions in France or abroa, or from public or private research centers. L archive ouverte pluriisciplinaire HAL, est estinée au épôt et à la iffusion e ocuments scientifiques e niveau recherche, publiés ou non, émanant es établissements enseignement et e recherche français ou étrangers, es laboratoires publics ou privés.
INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multi-target PHD filtering: proposition of extensions to the multi-sensor case Emmanuel DELANDE Emmanuel DUFLOS Dominique HEURGUIER Philippe VANHEEGHE N 7337 July 200 Optimization, Learning an Statistical Methos apport e recherche ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--7337--FR+ENG
ÅÙÐعØÖØ ÈÀ ÐØÖÒ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ Ó ÜØÒ ÓÒ ØÓ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ ÑÑÒÙÐ ÄÆ ÑÑÒÙÐ ÍÄÇË ÓÑÒÕÙ ÀÍÊÍÁÊ ÈÐÔÔ ÎÆÀÀ ÌÑ ÇÔØÑÞØÓÒ ÄÖÒÒ Ò ËØØ ØÐ ÅØÓ ÕÙÔ¹ÈÖÓØ ËÕÙÄ ÊÔÔÓÖØ ÖÖ Ò ÂÙÐÝ ¾¼½¼ Ô ØÖØ ÓÑÑÓÒ ÙÐØ Ò ÑÙÐعØÖØ ØÖÒ Ö ÖÓÑ Ø Ø ØØ Ø Ý ØÑ ØØ Ò Ø ÓÐÐØÓÒ Ó Ñ ÙÖÑÒØ Ö ÙÒÓÖÖ Ò ØÖ Þ ÚÓÐÚ ÖÒÓÑÐÝ ØÖÓÙ ØѺ Ì ÖÒÓÑ ÒØ Ø ØÓÖÝ ÔÖÓÚ ÔÓÛÖÙÐ ÖÑÛÓÖ ØÓ ÓÔ ÛØ Ø Ù º Ì ÓÙÑÒØ ÓÙ ÑÓÖ ÔÖØÙÐÖÐÝ ÓÒ Ø ÈÀ ÈÖÓÐØÝ ÀÝÔÓØ Ò Øݵ ÐØÖ ÔÖÓÔÓ Ý ÅÐÖº Ì Ö Ø ÔÖØ Ó Ø ÖÔÓÖØ ÙÔ ØÓ ØÓÒ µ ÝÒØ Ó ÅÐÖ³ ÛÓÖ Ò Ñ Ø ÔÖÓÚÒ ØÓÖÓÙ ÖÔØÓÒ Ó Ø ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó Ø Òй Ò ÓÖ ÈÀ ÐØÖº ÌÒ ÓÒ Û Ð ÔÖÓÚ Ý ÅÐÖ Ø ÓÒ ÔÖØ ÖÓÑ ØÓÒ µ ÔÖÓÔÓ ÚÖÐ ÜØÒ ÓÒ Ó Ø ÐØÖ ØÓ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ º ÃݹÛÓÖ ÅÙÐعØÖØ»ÅÙÐع Ò ÓÖ ÌÖÒ ÈÀ ÊÒÓÑ ÒØ ËØ ÄÁË Ê ÆÊË ¼ ¹ ÁÆÊÁ ÄÐÐ ÆÓÖ ÙÖÓÔ ÈÁ ËÕÙĵ ÌÐ ÓÑÑÙÒØÓÒ ÖÒ Centre e recherche INRIA Lille Nor Europe Parc Scientifique e la Haute Borne 40, avenue Halley, 59650 Villeneuve Ascq Téléphone : +33 3 59 57 78 00 Télécopie : +33 3 59 57 78 50
ÐØÖ ÈÀ ÑÙÐعРÔÖÓÔÓ ØÓÒ ³ÜØÒ ÓÒ Ù ÑÙÐعÔØÙÖ Ê ÙÑ Ä Ô Ø ÑÙÐعРØÖÓÙÚ ÓÒÖÓÒØ Ù ÓÙÐ ÔÖÓÐÑ ÙÚÒØ Ð³ØØ Ù Ý ØÑ Ø Ð ÓÐÐØÓÒ Ñ ÙÖ Ò ÓÒØ Ô ÓÖÓÒÒ Ø ÐÙÖ ÑÒ ÓÒ ÚÖÒØ ÐØÓÖÑÒØ Ù ÓÙÖ Ù ØÑÔ º Ò ÓÒØÜØ Ð³ÙØÐ ØÓÒ Ò ÑÐ ÐØÓÖ Ò ÔÔÓÖØ ÙÒ Ö Ö ÓÐÙØÓÒ ÔÖØÙÐÖÑÒØ ÔÖØÒÒØ Ø ØÖÚÐ ³ÒØÖ ÔÐÙ ÔÖØÙÐÖÑÒØ Ù ÐØÖ ÈÀ ÈÖÓÐØÝ ÀÝÔÓØ Ò Øݵ ÒØÖÓÙØ ÔÖ ÅÐÖº Ä ÔÖÑÖ ÔÖØ ÖÔÔÓÖØ Ù ÕÙ³ Ð ØÓÒ µ Ø ÙÒ ÝÒØ ØÖÚÙÜ ÅÐÖ Ø ÚÙØ ÔÓÕÙ ÐÐ ÖÔÖÒ Ò ØÐ Ð ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ù ÐØÖ ÈÀ ÑÓÒÓ¹ÔØÙÖº Ò ÒØ ÙÖ Ð ÐÑÒØ ÓÐÙØÓÒ ÔÖÓÔÓ ÔÖ ÅÐÖ Ð ÙÜÑ ÔÖØ ÔÖØÖ Ð ØÓÒ µ ÔÖÓÔÓ ÜØÒ ÓÒ Ù ÐØÖ Ù ÑÙÐعÔØÙÖº ÅÓØ ¹Ð È Ø ÅÙÐعÔØÙÖ»ÅÙÐعРÈÀ Ò ÑÐ ÐØÓÖ Ò
ÓÒØÒØ ½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ¾ ÅÙÐع Ò ÓÖ»ÑÙÐعØÖØ Ý Ò ÐØÖÒ ÒØ Ø ØØ Ø Ò ÒÖÐÞ ÁËËÌ ÑÙÐعØÖØ ÐÙÐÙ º½ ÅÙÐعØÖØ ØØ Ò ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÈÖÓÐØÝ ÒÖØÒ ÙÒØÓÒÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËØ ÖÚØÚ Ò ÙÒØÓÒÐ ÖÚØÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÓÑ ÒØÐ ÔÖÓÔÖØ Ó ÙÒØÓÒÐ ÖÚØÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÙÐØØÖØ ÑÓÑÒØ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ËÒй Ò ÓÖ»ÑÙÐعØÖØ ÈÀ ÐØÖÒ ½¾ º½ ÌÑ ÙÔØ ÕÙØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ ËÒй Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÜØÒ ÓÒ ØÓ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ ½ º½ ÅÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ÖÚØÚ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÅÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ÓÑÒØÓÒÐ ÜÔÖ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ËÑÔÐØÓÒ Ó Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ¾ º½ ËÑÔÐØÓÒ Ý ØÖØ Ô ÔÖØØÓÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ý Ö ØÖØÒ ÝÔÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ý ÕÙÒØÐ ÐØÖÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ ÈÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ ÅÝÓÔ ÕÙÒØÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÆÓÒÑÝÓÔ ÕÙÒØÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÐÑÒØ Ó ÓÑÔÖ ÓÒ ØÛÒ Ø ØÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÑØÓ º º º º º º º º º º ÓÒÐÙ ÓÒ ½ ÅØÑØÐ ÔÖÓÓ ¾ º½ ÈÖÓÔÖØÝ ½ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÖÓÔÖØÝ ½µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÌÓÖÑ º½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓÖÑ º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓÖÑ º½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½¼ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½½ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½¾ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½ ÌÓÖÑ º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÄÑÑ º½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º½ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾¼ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ Ì ÓÙÑÒØ Ð ÛØ Ø ÈÖÓÐØÝ ÀÝÔÓØ Ò ØÝ ÈÀµ ÐØÖ ÓÐÙØÓÒ ÓÖ ÑÙÐعØÖØ Ý Ò ÐØÖÒº Ì Ñ Ó Ø ÓÙÑÒØ ØÓ Ö Ø ØØÒ Ó Ø Òй Ò ÓÖ»ÑÙÐعØÖØ ÈÀ ÐØÖ ÔÖÓÚ Ý ÅÐÖ Ò ØÓ ÔÖÓÔÓ ÚÖÐ ÔØ ÓÖ Ò ÜØÒ ÓÒ ØÓ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ º ÐØÓÙ Ø ÖÔØÓÒ Ó Ø Òй Ò ÓÖ ØÓÒ ¾ Ò µ ÖÐ ÚÐÝ ÓÒ ÅÐÖ³ ÛÓÖ ÓÒ Ø ØÓÔ ½ ¾ µ Ø ÙØÓÖ ÓÙÒ ÒÓÒØÐ ÑÔÓÖØÒØ ØÓ Ö Ø ØÓÖÓÙÐÝ Ò Ø ÔÖÓÚ ÖÓÙÒ ÓÖ Ø Ù ÓÒ ÓÒ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ º ÈÐ Ø ÒÓØ ØØ Ø ÛÓÖ ÑÝ Ò ÙÒÓÑÔÖÒ Ú Ò ÑÝ ÓÒØÒ Ñ Ø Ò Ø ÑÒÐÝ ÖØ Ø ÙØÓÖ³ ÑÓ Ø ÙÒÖ ØÒÒ Ó ÅÐÖ³ ÛÓÖ ÓÒ ÈÀ ÐØÖÒº ËØÓÒ ¾ ÔÖÓÚ Ø ÒÖÐ ÖÑÛÓÖ Ó ÑÙÐØ Ò ÓÖ¹ÑÙÐØØÖØ Ý Ò ÐØÖÒ ØØ Ø Ö Ø ÔÖÓÐÑ ØÓ ÓÐÚº Ì ÒØÓÒ Ó Ø ÈÀ Ò Ö ÖÔØÓÒ Ó Ø ÙÒÑÒØÐ ØÔ Û ÐÐÓÛ Ø ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó Ø ÈÀ¹ÕÙÚÐÒØ ÓÖÑÙÐ ÓÙØ Ó Ø Ý Ò ÕÙØÓÒ Ö ØÒ ÚÒ Ò ÓÖÖ ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ò Ø ÓÒ Ø ÐÓÐ ÓÛ Û Ð Ø ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó Ø Òй Ò ÓÖ»ÑÙÐع ØÖØ ÈÀ ÐØÖº ËØÓÒ Ö ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ ËØ ËØØ Ø ÁËË̵ ÐÙÐÙ Ò Ú ÓÑ ØÓÓÐ Û ÛÐÐ ÖÕÙÖ ØÓ ØÖÒ ÐØ Ø Ý Ò ÓÖÑÙÐ ÒØÓ ØÖ ÈÀ¹ÕÙÚÐÒØ ØÓÒ µº ÆÓØ ØØ ÓÑ ÑÔÓÖØÒØ ÑØÑØÐ ÔÖÓÓ Ö ÚÒ Ò ØÓÒ º ÓØÖ ÑØÖÐ Ò Ø Ö Ø ØÓÒ Ø ØÖÓÒÐÝ ÓÒ ÅÐÖ³ ÛÓÖ ½ ¾ µº ÀÓÛÚÖ Ø ÙØÓÖ ÒÓØ ÙÐÐÝ Ö Ô ÚÖÐ ÔÖÓÓ ÚÒ Ò ½ Ò ÓÙÒ Ø ÒØÖ ØÒ ØÓ ÖÓÖÑÙÐØ ØÑ Ò ÓÖÖ ÑÔÖÓÚ Ø ÙÒÖ ØÒÒ ÓÒ Ø ØÓÔº ÅÓÖÓÚÖ ÒÐÙÒ Ø ÔÖÓÓ ÐÐÓÛ Ø ÓÙÑÒØ ØÓ ÓÑÔÖÒ Ú ÔÓ Ðº ÁÒ ØÓÒ Ø ÜØÒ ÓÒ Ó Ø Òй Ò ÓÖ»ÑÙÐعØÖØ ÈÀ ÕÙØÓÒ ØÓ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ Ö ÔÖ Òغ ÌÒ Û Ð Ö Ù Ò ÓÖÖ ØÓ ÑÔÐÝ Ø Ý ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ò ÑÓÖ ØÖØÐ ÓÖѺ ÆÓØ ØØ Ø ÖÔÓÖØ Ö Ø ÚÖ ÓÒ Ò ÓÙ ÓÒ ØÓÖØÐ Ö ÙÐØ º ÏÓÖ Ö Ò ÔÖÓÖ ØÓ ÚÐØ Ø ÙÑÔØÓÒ ÓÒ Ø ÔÖÓÔÓ ÜØÒ ÓÒ º
¾ ÅÙÐع Ò ÓÖ»ÑÙÐعØÖØ Ý Ò ÐØÖÒ ÁÒ Ø ÒÖÐ ÑÙÐØ Ò ÓÖ¹ÑÙÐØØÖØ Ý Ò ÖÑÛÓÖ Ø ØÑ ÙÔØ Ò Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ø ØÔ k + Ö ÚÒ Ý Ø ÓÐÐÓÛÒ ÓÖÑÙÐ f k+ k X Z k f k+ k X Wf k k W Z k δw ½µ f k+ k+ X Z k+ f k+ Z k+ Xf k+ k X Z k fk+ Z k+ Wf k+ k W Z k δw ¾µ ÛÖ X {x,..., x n } ÑÙÐعØÖØ ØØ ºº ÒØ Ø Ó ÐÑÒØ x i Ò ÓÒ Ø ÒйØÖØ Ô X ½ Z k+ {z,..., z m } Ø ÙÖÖÒØ ÑÙÐع Ò ÓÖ Ó ÖÚØÓÒ ºº ÓÐÐØÓÒ Ó Ñ ÙÖÑÒØ z i ÔÖÓÙ Ø ØÑ k + Ý ÐÐ Ø Ò ÓÖ Z k tk Z t Ø ÓÐÐØÓÒ Ó Ó ÖÚØÓÒ ÙÔ ØÓ ØÑ k f k k W Z k Ø ÙÖÖÒØ ÑÙÐعØÖØ ÔÓ ØÖÓÖ Ò ØÝ Ò ØØ W f k+ k X W Ø ÙÖÖÒØ ÑÙÐعØÖØ ÅÖÓÚ ØÖÒ ØÓÒ Ò ØÝ ÖÓÑ ØØ W ØÓ ØØ X f k+ Z X Ø ÙÖÖÒØ ÑÙÐع Ò ÓÖ»ÑÙÐعØÖØ ÐÐÓÓ ÙÒØÓÒº ÐØÓÙ ÕÙØÓÒ ½µ Ò ¾µ ÑÝ Ñ ÑÐÖ ØÓ Ø Ð Ð Òй Ò ÓÖ» ÒйØÖØ Ý Ò ÕÙØÓÒ ØÝ Ö ÒÖÐÐÝ ÙÒØÖØÐ Ù Ó Ø ÔÖ Ò Ó Ø Ø ÒØÖÐ º ÁÒØÖÐ Ò ½µ Ò ¾µ Ö Ò ÓÑÔÙØ ÓÚÖ ÑÙÐعØÖØ Ø ÖØÖ ØÒ ÒйØÖØ ØØ º Ù ÑÙÐعØÖØ Ø ÐÓÒ ØÓ ÑÙÐعØÖØ Ô X n0 X n ØÓ ÓÑÔÙØ ÚÖÝ ÔÓ Ð Ø ÓÒ ÑÙ Ø ÓÑÔÙØ ÚÖÝ ÔÓ Ð ÑÒ ÓÒ º ÒÙÑÖ Ó ØÖص n Ò ÓÖ n ÓÑÔÙØ ÚÖÝ ÔÓ Ð n¹ ØØ ÓÐÐØÓÒ x,..., x n º ÄÛ Ø ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó Ø ÑÙÐعØÖØ ØÖÒ ØÓÒ ÙÒØÓÒ f k+ k ÓÖ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ»ÑÙÐعØÖØ ÐÐÓÓ ÙÒØÓÒ f k+ ÑÝ ØÓÙ Ò ÑÒÝ ØÖÒ ÔÖÓÐÑ º ÀÒ Ø ÒØÖÓÙØÓÒ Ó Ø ÈÀ ÒØÓÒ ¾º½º ½ Ôº½½µ Ì ÈÖÓÐØÝ ÀÝÔÓØ Ò ØÝ ÈÀµ Ø Ò ØÝ D k k x Z k ¹ Ò ÓÒ ÒйØÖØ ØØ Ô X ÛÓ ÒØÖÐ S D k kx Z k x ÓÒ ÒÝ ÖÓÒ S X Ø ÜÔØ ÒÙÑÖ N k k S X S f k k X Z k δx Ó ØÖØ ÓÒØÒ Ò Ëº ÐØÓÙ Ò ÓÒ Òй ØØ Ô X Ø ÈÀ ÒÔ ÙÐØ ÒÓÖÑØÓÒ ÓÒ ÓØ ØÖØ ÒÙÑÖ Ò ØØ Ò ØÖÓÖ ÔÖÓÚ Ò ÐØÖÒØÚ ØÓ ÙÑÖ ÓÑ ÑÙÐØØÖØ ÔÓ ØÖÓÖ f k k X Z k º ÙÖØÖÑÓÖ ÓÙÐ Ø ÔÓ ØÖÓÖ ÔÔÖÓÜÑØ ÑÙÐØØÖØ ÈÓ ÓÒ ÖÕÙÖ ÐØÖ ØÓÒ º¾µ ÅÐÖ ÔÖÓÚ ½ ØÓÖÑ Ôº½½µ ØØ Ø Ø ÈÓ ÓÒ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ¹ Ò Ò ÒÓÖÑØÓÒ¹ ØÓÖØ Ò ¹ Ò ÒØÒ ØÝ ÕÙÐ ØÓ Ø ÈÀ D k k x Z k º ½ Ì ØØ x i Ó ØÖØ Ù ÙÐÐÝ ÓÑÔÓ Ó Ø ÔÓ ØÓÒ Ø ÚÐÓØÝ Øº
ÙÑÒ ØØ ÔÖÓÔØÒ Ø ÈÀ ÙÒØ ÒÓÙ ÓÖ Ò ÙÖØ ØÑØÓÒ Ó ØÖØ ÒÙÑÖ Ò ØÖØ ØØ Ø ÐÐÒ ØÓ Ò Ø ÈÀ¹ÕÙÚÐÒØ Ó Ý ÓÖÑÙÐ ½µ Ò ¾µ Ò ÓÖÖ ØÓ ÔÖÓÔØ Ò Ø D k+ k x Z k Ò D k+ k+ x Z k+ ÖØÖ ØÒ ÑÙÐعØÖØ Ò Ø º ÒØÐÐÝ Ø ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó Ø ÈÀ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÔÓÒØ ½º Ì ÑÙÐØØÖØ ÔÖÓÖ f k k Ò Ò ÔÖÓÐØÝ ØÖÙØÓÒ f Ξ Ó ÖÒÓÑ ÒØ Ø Ξ ¾º ÌÒ ØÓ ÒØ ËØ ËØØ Ø ÁËË̵ ÐÙÐÙ f Ξ Ò Ø ÑÙÐØÑÓÑÒØ Ò Ø Ò ÓÒ¹ ØÖÙØ Ø ÖÚØÚ Ó Ø ÔÖÓÐØÝ ÒÖØÒ Ò ØÝ ÙÒØÓÒÐ Èе G Ξ [h] º ÍÒÖ ÖØÒ ÙÑÔØÓÒ ¹ ÔÖØÙÐÖÐÝ ÓÒ Ø ØÖØ ÑÓØÓÒ ÑÓÐ ¹ Ø ÈÐ G Ξ [h] Ò ÓÒ ØÖÙØ ÜÔÐØÐÝ º Ì ÈÀ D k k Ø Ö Ø¹ÑÓÑÒØ Ò ØÝ Ó Ø ÑÙÐØØÖØ ÔÖÓÖ f k k º ÌÖÓÖ ÙÒÖ Ø Ñ ÙÑÔØÓÒ Ø ÈÀ D k k Ò ÓÒ ØÖÙØ ÜÔÐØÐݺ ÄÛ Ø ÑÙÐع ØÖØ Ý ÕÙØÓÒ Ò ØÖÒ ÐØ Ò ÜÔÐØ ÈÀ¹ÕÙÚÐÒØ ÓÖÑÙÐ º ÐØÓÙ Ø ÐÓ ¹ÓÖÑ ÈÀ¹ÕÙÚÐÒØ Ó Ø ØÑ ÙÔØ ÕÙØÓÒ ½µ ÖÕÙÖ ÒÓ ØÖÓÒ ÙÑÔØÓÒ ÓÒ Ø ÑÙÐØØÖØ ÔÓ ØÖÓÖ ØÓÒ º½µ Ø ÒÓØ ØÖÙ ÓÖ Ø Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ½µ Û ÖÕÙÖ Ø ÑÙÐØØÖØ ÔÓ ØÖÓÖ ØÓ ÔÔÖÓÜÑØÐÝ ÈÓ ÓÒ ØÓÒ º¾µº ÙØ ÚÒ ÛØ Ø ÙÑÔØÓÒ Ø ÈÀ¹ÕÙÚÐÒØ ÖÑÒ ØÖØÐ Ò Ø Òй Ò ÓÖ ÓÒÐݺ ÌØ ÛÝ Û Ð Ö Ù Ò ØÓÒ Ò ÓÖÖ ØÓ ÑÔÐÝ Ø Ý ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ò Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ º
ÒØ Ø ØØ Ø Ò ÒÖÐÞ ÁËËÌ ÑÙÐعØÖØ ÐÙÐÙ º½ ÅÙÐعØÖØ ØØ Ò ÒØ Ø Ì ÑÙÐØØÖØ ØØ X {x,..., x n } Ò ÓÖÑÙÐØ ÕÙÚÐÒØÐÝ Ý ÔÓÒØ ÔÖÓ Ξ ÓÒ Ô X º Á Û ÙÖØÖ ÙÑ ØØ Ø ÐÑÒØ x i Ö ØÒØ ØÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÑÔÐ ÔÓÒØ ÔÖÓ ÓÖ ÖÒÓÑ ÒØ Ø ¹ Ê˵ Ξ ÕÙÚÐÒØÐÝ Ö Ý Ø ÓÙÒØÒ Ñ ÙÖ N Ξ S Ξ S ÓÖ Ø Ö δ Ξ x w Ξ δ wxº ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Ø ÙÑÔØÓÒ ÛÐÐ ÓÒ Ö ÚÐ Ó ØØ ÑÙÐعØÖØ Ø Ò Ø ÔÓ ØÖÓÖ Ò Ø Ò Ö Ù Ò ÁËËÌ ÐÙÐÙ º ÊË Ξ ÖØÖÞ Ý Ø ÑÐÝ Ó Ø ÂÒÓ Ý Ò Ø j Ξ, x j Ξ,2 x, x 2... ÓÖ ØÓÖÓÙ ÖÔØÓÒµº Ì Ò Ø Ö ÝÑÑØÖ Ò ÐÐ ÖÙÑÒØ Ò ÐÑÒØ Ò Ξ Ö ÙÒÓÖÖµ ÚÒ ÛÒÚÖ ØÛÓ ÐÑÒØ Ö ÕÙÐ Ò Ξ ÑÔе Ò Ö ÓÒØÐÝ ÒÓÖÑÐÞ j Ξ,n x,..., x n x...x n µ n! n0 Ì ÑÙÐØØÖØ ÔÓ ØÖÓÖ f k k X Z k Ò ØÒ Ö Ù Ò Ø ÂÒÓ Ý Ò Ø Ó Ø ÓÖÖ¹ ÔÓÒÒ ÊË Ξ k k f k k {x,..., x n } Z k j Ξk k,nx,..., x n µ Ù ÑÙÐعØÖØ Ò Ø ÑÙ Ø Ö ÑÔÐ ÊË Ò ÓÖÖ ØÓ Ù Ø ÓÒÚÒÒØ ÁËËÌ ÐÙÐÙ ÖÙÐ ÜÔÐÒ ÐØÖ Ò ÑÔÓÖØÒØ ÓÒ ÕÙÒ ØØ f k k {x,..., x n } Z k 0 ÛÒÚÖ ØÛÓ ÐÑÒØ x i, x j Ö ÕÙк ÏØÖ Ø ÑØ Ú ÙÒÛÒØ ÓÒ ÕÙÒ ÓÒ ÈÀ ÐØÖÒ Ò ÖØÒ ºº ÚÖÝ ÐÓ ØÖØ Ò Ô X µ Ò ÒØÖ ØÒ ÕÙ ØÓÒ ØÓ Ò ÛÖº º¾ ÈÖÓÐØÝ ÒÖØÒ ÙÒØÓÒÐ Ì ÔÖÓÐØÝ ÒÖØÒ ÙÒØÓÒÐ ÈÐ µ Ö ÒÖÐÞØÓÒ Ó Ø Ð¹Ñ ÙÒØÓÒ ØØ ÛÐÐ ÔÖÓÚ ØÓ ÓÒÚÒÒØ ØÓÓÐ ØÓ ÓÑÔÙØ ÓØ ÑÙÐعØÖØ ÔÓ ØÖÓÖ Ò ÈÀ º ÒØÓÒ º½º ½ Ôº½½½µ ÄØ Ξ ÊË ÓÒ X ÛØ Ò ØÝ f Ξ Ò h ÖйÚÐÙ ÙÒØÓÒ Ù ØØ x X, 0 hx º Ì ÈÐ G Ξ Ó Ξ Ò G Ξ [h] h X f Ξ XδX ¾ µ ÒÓØ Ò Ø ÒØÓÒ Ó Ø ÖÙÑÒØ ÙÒØÓÒ h Ó ÈÐ G ÑÔÐ Öº Ì ÖÒØ ÖÚØÓÒ Ó ÈÐ Ò Ö ÙÒØÓÒ ÒØÓÒ º¾µ ÖÕÙÖ Ò ÜØÒ ÓÒ Ó h ÙÑ Ó Ö ÙÒØÓÒ Ø ÔÖÓÔÖ ÒØÓÒ ÚÒ Ò ½ º Ï ÛÐÐ ÒÓÖ Ø ØÒÐØÝ Ö Ù Ø ÙÒØÓÒ h Ò g Û ÛÐÐ Ò ØÓ ÖÚ Ø ÈÀ ÕÙÚÐÒØ Ó Ø ØÑ Ò Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ö ÑÔÐ ÖйÚÐÙ ÙÒØÓÒ Ò ÓÚº ÆÓØ ØØ Ø ÈÐ G Ξ Ø ÙÒØÓÒÐ ÒÖÐÞØÓÒ Ó Ø Ð¹Ñ Ø ÙÒØÓÒ β Ξ Ò S X, β Ξ S X S f Ξ XδX G Ξ [ S ] µ ÛÖ S Ø ÒØÓÖ ÙÒØÓÒ ÓÒ Sº ÅÐÖ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÒØÙØÚ ÒØÖÔÖØØÓÒ Ó Ø ÙÒØÓÒк Á hx Ò Ø ØØÓÒ ÔÖÓÐØÝ Ó Ò ÓÖ³ Ð Ó ÚÛ ÓÒ ÒÐ ØÖØ Ô X ¾ h X Q x X hx, h
ØÒ G Ξ [h] Ø ÔÖÓÐØÝ Ó ÓÑ ÊË Ξ ÖÒ ÑÙÐعØÖØ ØØ ÓÖ ÜÑÔе ØÓ ÒÐÙ Ò Ø Ð Ó ÚÛº ÁÒ ØØ Ò Ø ÈÐ Ò Ò ÒÖÐÞØÓÒ Ó Ð¹Ñ ÙÒØÓÒ ÓÒ ÙÞÞÝ Ù Ø ¹ ÛØ h ØÖ ÑÑÖ Ô ÙÒØÓÒ ¹ ÖØÖ ØÒ ÓÒ ÖØÒ ØØ Sº Ò ÑÔÓÖØÒØ ÔÖÓÔÖØÝ ØØ ÛÐÐ Ù ØÓ ÙÐ ÈÐ Ö ÛØ Ø Ð¹ÙÒØÓÒº Á Ξ Ξ... Ξ n Ø Ø ÙÒÓÒ Ó ÒÔÒÒØ ÊË ØÒ ØÖ Ö ÔØÚ ÈÐ G Ξ, G Ξ,...G Ξn Ö ÐÒ Ý Ø ÓÐÐÓÛÒ ÖÐØÓÒ h, G Ξ [h] G Ξi [h] µ i º ËØ ÖÚØÚ Ò ÙÒØÓÒÐ ÖÚØÚ ÁÒ ÑÐÖ ÓÒ ØÒ Ø ÖÒØ ÖÚØÚ Ó ÖÐ ÙÒØÓÒ Gx ÓÒ X Ö Ò Ø ÖÒØ ÖÚØÚ Ó ÈÐ G[h] Ò ÙÒØÓÒ ÖØÓÒ g ÚÒ Ý G g G[h + ǫ.g] G[h] [h] lim ǫ 0 ǫ Ì ÈÐ Ò Ø ÙÒØÓÒÐ ÓÒØÖÔÖØ ÐØÓÙ ÜÔÒµ Ó Ø Ø Ð¹Ñ ÙÒØÓÒ ÅÐÖ ÓÛ Ù Ò Ø ÖÚØÚ ÖÙÐ ØØ ÖÒØ ÖÚØÚ ÓÒ ÈÐ Ö ÕÙÚÐÒØ ØÓ Ø ÖÚ¹ ØÚ ÓÒ Ð¹Ñ ÙÒØÓÒ º ÌØ ÓÖ ÐÐ ÑÙÐعØÖØ Ø X {x,..., x n } ÓÖ ÐÐ Ù Ø S X µ δ n β Ξ S n G Ξ [ S ] δx...δx n δ x... δ xn µ ÌØ Ø Ø ÖÚØÚ Ò Ø ÒÐØÓÒ {x} Ø ÓÒØÖÔÖØ Ó Ø ÖÒØ ÖÚØÚ Ò Ö ÐØ ÙÒØÓÒ δ x Ð Ó ÐÐ ÙÒØÓÒÐ ÖÚØÚ Ò xµº ÀÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÑÔÐ ÒÓØØÓÒ Ó ÖÒØ ÖÚØÚ ÒØÓÒ º¾º ½ Ôº½½¾µ Ì ÙÒØÓÒÐ ÖÚØÚ Ó ÈÐ G[h] Ò ØÒØ ÔÓÒØ x,..., x n Ö δ 0 G [h] G[h] δx ½¼µ 0 δg [h] G [h] δx δ x δ n G n G [h] [h] δx...δx n δ x... δ xn ½½µ ½¾µ º ËÓÑ ÒØÐ ÔÖÓÔÖØ Ó ÙÒØÓÒÐ ÖÚØÚ ÄØ G[h] hx ÓÖ ÓÑ x X ØÒ Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò ØÓÒ º½º δg δx [h] δ xx ½ µ ÄØ G[h] hxfxx ØÒ Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò ØÓÒ º¾º δg [h] fx δx ½µ
½¼ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º½º ÄØ Ξ ÊË ÛØ Ò ØÝ f Ξ Ò ÈÐ G Ξ X {x,..., x n } ÊË Ó ØÒØ ÔÓÒØ Ó X ØÒ f Ξ X δn G Ξ [0] ½µ δx...δx n Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò ØÓÒ º º º ÅÙÐØØÖØ ÑÓÑÒØ Ò Ø ÒØÓÒ º º ½ Ôº½½¾µ ÄØ Ξ ÊË ÓÒ X ÛØ Ò ØÝ f Ξ º ÁØ ÑÓÑÒØ Ò ØÝ D Ξ Ò D Ξ X f Ξ X WδW ½µ Ì ÙÒØÓÒ Ó n ÚÖÐ D Ξ {x,..., x n } Ø ÑÓÑÒØ Ó ÓÖÖ n ÓÖ Ò¹Ø ÑÓÑÒص Ó Ξº Ì ÑÓÑÒØ Ò ØÝ D Ξ X Ó ÚÒ ÑÙÐعØÖØ Ø X {x,..., x n } Ò Ò Ø ÐÐÓÓ ØØ ÖÐ ØÓÒ Ó Ø ÊË Ξ ÓÒØÒ Ø Ð Ø Ø ÔÓÒØ x,..., x n º ÌÖÓÖ Ø ØØ Ô X ÒйØÖØ Ô D Ξ X Ò Ò Ø ÐÐÓÓ ØØ ØÖ Ö Ø Ð Ø n ØÖØ ÛØ ØÒØ ØØ x,..., x n º ÓÖ Ø Ò ØÝ f Ξ Ø ÑÓÑÒØ Ò ØÝ D Ξ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÖÚØÚ Ó Ø Èк ÌÓÖÑ º½º ½ Ôº½½¾µ ÄØ Ξ ÊË ÛØ Ò ØÝ f Ξ ÑÓÑÒØ Ò ØÝ D Ξ Ò ÈÐ G Ξ X {x...x n } ÓÐÐØÓÒ Ó ØÒØ ÔÓÒØ Ó X ØÒ Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò ØÓÒ ºº D Ξ X δn G Ξ δx...δx n [] ½µ Ì ÓÐÐÓÛÒ ÐÙÐÙ ÖÙÐ Ò ÜÑÔÐ Ó Ø Ù Ó Ø Ö Ø ÑÓÑÒØ Ò ÓÖÖ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÒØÖÐ º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º¾º ½ Ôº½½ µ ÄØ Ξ ÊË ÛØ Ò ØÝ f Ξ Ò ÑÓÑÒØ Ò ØÝ D Ξ Ò ÈÐ G Ξ Ò h ÖйÚÐÙ ÙÒØÓÒ ÓÒ X º ÌÒ h Y f Ξ Y δy hyd Ξ {y}y ½µ ÁÒ ÔÖØÙÐÖ ØØÒ h δ x Ú ½ Ôº½½¾µ x X, D Ξ {x} δ Y xf Ξ Y δy ½µ Ì ÔÖÓÓ Ò ÓÙÒ Ò ØÓÒ ºº ÒÓØÖ ÑÔÓÖØÒØ Ö ÙÐØ ÒÚÓÐÚ ÈÐ Ò ÙÒØÓÒÐ ØÖÒÓÖÑØÓÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º º ½ Ôº½½ µ ÄØ h Φ[h] ÙÒØÓÒÐ ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ Ù ØØ Φ[] º ÄØ G Ξ ÈÐ ÛØ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÑÓÑÒØ Ò ØÝ D Ξ Ò G Ø ÙÒØÓÒÐ Ò Ý G[h] G Ξ [Φ[h]] ÓÖ ÐÐ h ÛØ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÑÓÑÒØ Ò ØÝ Dº ÌÒ D{x} D w {x}d Ξ {w}w ¾¼µ ÛÖ D w Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÑÓÑÒØ Ò ØÝ Ó Ø ÈÐ Φ w Ò Ý Φ w [h] Φ[h]wº h X P x X hx, h 0 δ Y x P y Y δyx, δ 0
½½ Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò ØÓÒ ºº Ì ÙÒÑÒØÐ Ö ÙÐØ ÓÖ ÐØÖ ØØ Ø ÈÀ Ø Ö Ø ÑÓÑÒØ Ò ØÝ ÌÓÖÑ º¾º ½ Ôº½½ µ ÄØ Ξ k k ÑÙÐØØÖØ ÊË ÛØ Ò ØÝ f k k X Z k Ò ÑÓÑÒØ Ò ØÝ D k k X Z k º ÌÒ ÓÖ ÒÝ ÖÓÒ S X S D k k {x} Z k x E Ξ k k S ÌØ Ø Ö Ø¹ÑÓÑÒØ Ò ØÝ ÕÙÐ Ø ÈÀ ÐÑÓ Ø ÚÖÝÛÖ ¾½µ D k k {x} Z k D k k x Z k ¾¾µ Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò ØÓÒ ºº ÕÙØÓÒ ¾½µ ÙÒÑÒØÐ Ù Ø ÔÖÓÚ Ø ÈÀ ÛØ ØÖØÓÒÒÐ ØØ ØÐ ÒØÖÔÖØØÓÒº Ò Ø Ö Ø ÑÓÑÒØ Ò ØÝ Ø ÈÀ Ò Ò Ø ÜÔØØÓÒ Ò Ø ÑÙÐØØÖØ Ôº ÁÒ Ø Ø ÒØÖÐ X.f k k X Z k δx Ó ÒÓØ Ü Ø Ò Ø ÙÑ ÓÔÖØÓÖ ÒÓ Ò Ò Ø Ð Ó ÒØ Ø Ò Ø Ò Ó ÓÒÚÒØÓÒÐ ÜÔØØÓÒ ÓÔÖØÓÖº ÆÓØ Ð Ó ØØ Ø ÓÑÒØÓÒ Ó Ö ÙÐØ ½µ Ò ¾¾µ ÐÐÓÛ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÈÀ Ø ÖÚØÚ Ò D Ξ x D Ξ {x} δg Ξ δx [] ËÒ Ø ÈÀ D k k x Z k ÑÖÐÝ Ø Ö Ø¹ÑÓÑÒØ Ó Ø ÑÙÐعØÖØ Ò ØÝ f k k X Z ÔÖÓÔØÒ Ø ÈÀ ÖØÖ ØÒ Ø ÑÙÐعØÖØ Ò ØÝ ÖÙ Ø ÒÓÖÑØÓÒ ÚÐÐ ÓÒ ØÖØ º ÐØÓÙ Ø Ó Ø Ò ÖÝ ØÓ ØÖÒ ÓÖÑ ÒÖÐ Ý ÕÙØÓÒ Ò ØÖ ÑÓÖ ØÖØÐ ÈÀ¹ÕÙÚÐÒØ ÓÒ ÑÙ Ø Ô Ø Ò ÑÒ ÓÖ Ø Ò Ó ÔÖØÐ ÐØÖº ¾ µ
½¾ ËÒй Ò ÓÖ»ÑÙÐعØÖØ ÈÀ ÐØÖÒ º½ ÌÑ ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ì ÐÐÒ ØÓ Ò Ø ÓÒØÖÔÖØ Ó Ø Ø¹ Ý ØÑ ÙÔØ ÕÙØÓÒ ½µ ÖÔØ Ö f k+ k X Z k f k+ k X Wf k k W Z k δw Ö Ø ÓÑ ÙÑÔØÓÒ ÓÒ Ø ØÖØ ÑÓÐ ÑÙ Ø Ñ Ò ÓÖÖ ØÓ Ô Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÈÐ º ÁØ ÙÑ ØØ Ø ØÑ k Ü ØÒ ØÖØ i ÛØ ØØ x i k ÛØ ÔÖÓÐØÝ p sx k i Á Ø ÙÖÚÚ ØÖØ x i k ÚÓÐÚ ØÓÛÖ ØØ xi k+ ÛØ ÔÖÓÐØÝ ØÖÙØÓÒ fe k+ k. xi k ÓÖ Ü ØÒ ØÖØ ÛØ ØØ x i k ÐØÝ ØÖÙØÓÒ fk+ k S. xi k i ÓÐÐØÓÒ Ó ÔÛÒ ØÖØ Yk+ ÖØ ÛÓ ÔÖÓ¹ ÓÐÐØÓÒ Ó ÔÓÒØÒÓÙ ÖØ ØÖØ Y k+ ÖØ ÛÓ ÔÖÓÐØÝ ØÖÙØÓÒ f B k+ k. Ì ÚÓÐÙØÓÒ ÔÛÒÒ Ò ÔÓÒØÒÓÙ ÔÖÓ Ö ØØ ØÐÐÝ ÒÒÒØ ÓÒØÓÒÒÐÝ ÓÒ Ø ÑÙÐØØÖØ ØØ X k Ó Ü ØÒ ØÖØ º ÆÓØ ØØ Ø ØÖÒ ØÓÒ fk+ k E. xi k ØØ ÙÒØÓÒ ÙØ Ø ÔÛÒÒ fs k+ k. xi k Ò Ø ÖØ fk+ k B. ÔÖÓ Ö ØÐÐ Ø ÙÒØÓÒº Ì ÓÚ ÙÑÔØÓÒ ÓÒ Ø ØÖØ ØÖÒ ØÓÒ ÑÓÐ Ö ÙÒÑÒØÐ Ù ØÝ ÐÐÓÛ Ø ÓÙÔÐÒ Ó Ø Ø ØÖÒ ØÓÒ ÙÒØÓÒ f k+ k. W Ò ÑÙ ÑÔÐÖ ØØ ÙÒØÓÒ fk+ k E. xi k º ÌÖÓÖ ÛØ ÒÓ ØÓÒÐ ÙÑÔØÓÒ ÓÒ ÔÛÒÒ ÓÖ ÖØ ÔÖÓ Ø ÓÐ ÔÖØ Ó Ø ÈÐ Ó Ø ÑÙÐعØÖØ ØØ ÊË Ξ k+ k Û ÓÒØÖÙØ ÜÔÐØÐÝ Ø ØÖÒ ØÓÒ ÔÖØ Ò Û Ú ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º½º ½ Ôº½½µ ÓÒØÓÒÒÐÝ ÓÒ ÔÖÚÓÙ ÑÙÐعØÖØ Ø X Ø ÑÙÐعØÖØ ÊË Ξ k+ k ÛØ Ò ØÝ f k+ k Y X ÈÐ G k+ k [h X] ÕÙÐ ØÓ G k+ k [h X] p s + p s.p E h X.p S h X.p B h ¾µ ÛÖ p E h. Ø ÙÒØÓÒ pe h x hyfk+ k E y xy p S h x Ø ÈÐ Ó Ø ÔÛÒÒ ÑÙÐعØÖØ ÊË ΞS k+ k x p B h Ø ÈÐ Ó Ø ÔÓÒØÒÓÙ ÖØ ÑÙÐعØÖØ ÊË ΞB k+ k º Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò ØÓÒ ºº p s. p s,k+. ØÑ Ù ÖÔØ Ö ÓÑØØ ÓÖ ÑÔÐØݳ º
½ ÖÓÑ Ø ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó Ø ÈÐ Ø ØÑ ÙÔØ ÓÖÑÙÐ ÓÐÐÓÛ ÌÓÖÑ º½º ½ Ôº½½µ Ì ØÑ ÙÔØ ÕÙØÓÒ ÚÒ Ý D k+ k x b B k+ k x + p s wfk+ k E x w + bs k+ k x w D k k ww ¾µ ÛÖ D k+ k x D k+ k x Z k Ø ÈÀ Ó Ø ØÑ ÙÔØ ÑÙÐعØÖØ ÊË Ξ k+ k D k k x D k k x Z k Ø ÈÀ Ó Ø ÔÓ ØÖÓÖ ÑÙÐعØÖØ ÊË Ξ k k b S k+ k x w Ø ÈÀ Ó Ø ÔÛÒÒ ÑÙÐعØÖØ ÊË ΞS k+ k w b B k+ k x Ø ÈÀ Ó Ø ÔÓÒØÒÓÙ ÖØ ÑÙÐعØÖØ ÊË ΞB k+ k º Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò ºº ÌÓÖÑ º½ ÐÐÓÛ Ò ØÓÖݵ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ØÑ ÙÔØ ÜÔØ ÒÙÑÖ Ó ØÖØ N k+ k Ò ÓÖÒ ØÓ ÒØÓÒ ¾º½ N k+ k D k+ k xx ] b B k+ k [p xx + s w + b S k+ k x wx D k k w w ¾µ ÀÓÛÚÖ ÔÒÒ ÓÒ Ø Ô Ó Ø ÔÛÒÒ Ò ÔÓÒØÒÓÙ ÖØ ÔÖÓ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó ÒØÖÐ b B k+ k xx Ò b S k+ k x wx ÓÖ ÐÐ w ÑÝ ØÖݺ ÁÒ ÓÖÖ ØÓ ÓÚÖÓÑ Ø ÙÐØÝ Ø Ø ÙÒØÓÒ Ó Ø ÔÛÒÒ Ò ÔÓÒØÒÓÙ ÖØ ÔÖÓ Ò ÓÙÔÐ Ò ØØ ÙÒØÓÒ Ó ØØ ØÖ ÈÐ Ò ÒÓÖØ ØÖ ÈÀ Ò ÓÒ ØÖÙØ ÜÔÐØÐݺ ÓÖ Ø ØÖÒ ØÓÒ ÙÒØÓÒ Ø ÖÕÙÖ ØÓÒÒÐ ÙÑÔØÓÒ º ÁØ ÓÑÑÓÒ ØÓ ÙÑ ØÒ ÔÛÒÒ Ò ÔÓÒØÒÓÙ ÖØ ÔÖÓ Ö ÈÓ ÓÒ ºº fk+ k S Y x exp λs k+ k x λ S k+ k xss k+ k y x y Y fk+ k B Y exp λb k+ k λ B k+ k sb k+ k y y Y ¾µ ¾µ ÛÖ x I S y x λ S k+ k xss k+ k y x ÛØ λs k+ k x 0 Ò s S k+ k y xy Ø ÒØÒ ØÝ Ó Ø ÔÛÒÒ ÔÖÓ Ò y ÓÖÒØÒ ÖÓÑ ØÖØ Ò x I B y λ B k+ k sb k+ k y ÛØ λb k+ k 0 Ò s B k+ k yy Ø ÒØÒ ØÝ Ó Ø ÔÓÒØÒÓÙ ÖØ ÔÖÓ Ò yº D k k x ØØ ÔÓ ØÖÓÖ Ò Ø Ø Ò ØÝ Û Ö ÙÐØ ÖÓÑ Ø Ý ÙÔØ ÓÐÐÓÛÒ Ø ÔÖÚÓÙ Ó ÖÚØÓÒº
½ Ì ÓÐÐÓÛÒ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ Ù ÙÐ ØÓÓÐ ÛÒ ÐÒ ÛØ ÈÓ ÓÒ ÔÖÓ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º¾º ½ Ôº½½µ ÄØ Ξ ÊË ÛÓ Ò ØÝ f Ξ X ÈÓ ÓÒ ÛØ ÒØÒ ØÝ Ix Ò ÔÖÑØÖ λ Ixxº ÌÒ ÁØ ÑÓÑÒØ Ò ØÝ D Ξ D Ξ X x X Ix ÁØ ÈÐ G Ξ G Ξ [h] expi[h] λº ÛÖ I[h] Ø ÙÒØÓÒÐ I[h] hxixxº Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò º½¼º ËÒ Ø ÈÀ Ø Ö Ø¹ÑÓÑÒØ Ò ØÝ ¾¾µµ Ò ØÖÓÖ Ø ÒØÒ ØÝ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ º¾ ÓÚµ ØÒ Ø ÈÓ ÓÒ ÙÑÔØÓÒ ÑÑØÐÝ Ð ØÓ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÑÔÐ ÚÖ ÓÒ Ó ØÓÖÑ º½ Ò ÕÙÐØÝ ¾µ ÓÖÓÐÐÖÝ º½º ½ Ⱥ½½µ Á Ø ÔÛÒÒ Ò ÔÓÒØÒÓÙ ÖØ ÔÖÓ Ö ÈÓ ÓÒ ÛØ Ö ÔØÚ ÒØÒ Ø I S y x λ S k+ k xss k+ k y x Ò IB y λ B k+ k sb k+ k y Ø ØÑ ÙÔØ ÕÙØÓÒ ÚÒ Ý D k+ k x λ B k+ k sb k+ k x + p s wf E k+ k x w + λs k+ k wss k+ k x w D k k ww ¾µ ÙÖØÖÑÓÖ Ø ØÑ ÙÔØ ÜÔØ ÒÙÑÖ Ó ØÖØ N k+ k ÚÒ Ý N k+ k λ B k+ k + p s w + λ S k+ k w D k k ww ¼µ ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Û ÛÐÐ ÙÑ ÔÛÒÒ Ò ÔÓÒØÒÓÙ ÖØ ÔÖÓ ØÓ ÈÓ ÓÒ Ó ØØ Ö ÙÐØ ÖÓÑ ÓÖÓÐÐÖÝ º½ Ö Úк º¾ ËÒй Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ì ÐÐÒ ØÓ Ò Ø ÓÒØÖÔÖØ Ó Ø Ø¹ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ¾µ ÖÔØ Ö f k+ k+ X Z k+ f k+ Z k+ Xf k+ k X Z k fk+ Z k+ Wf k+ k W Z k δw Ö Ø ÓÑ ÙÑÔØÓÒ ÓÒ Ø Ó ÖÚØÓÒ ÑÓÐ ÑÙ Ø Ñ Ò ÓÖÖ ØÓ Ô Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÈÐ º ÁØ ÙÑ ØØ ÓÐÐÓÛÒ ØÖØ ØÖÒ ØÓÒ ØÛÒ ØÑ ØÔ k Ò k + Ü ØÒ ØÖØ i ÛØ ØØ x i k+ ØØ ÛØ ÔÖÓÐØÝ p x i k+ Á ØØ ØÖØ i ÔÖÓÙ ÒÐ Ñ ÙÖÑÒØ z Z ÛØ ÔÖÓÐØÝ ØÖÙØÓÒ f O k+ z xi k+ L z x i k+ L z Ø ÚÖ ÑÐÒ ÙÒØÓÒµ ÓÐÐØÓÒ Ó Ð ÐÖÑ Ö ÖØ ÛÓ ÙÑ ÈÓ ÓÒ ÛØ ÔÖÑØÖ λ Ò ÒØÒ ØÝ λ.c. Ì Ó ÖÚØÓÒ ÔÖÓ ÓÒ ØÖØ Ö ØØ ØÐÐÝ ÒÔÒÒØ ÓÒØÓÒÒÐÝ ÓÒ Ø ÑÙÐع ØÖØ Ø X k+ Ó Ü ØÒ ØÖØ º p. p,k+. ØÑ Ù ÖÔØ Ö ÓÑØØ ÓÖ ÑÔÐØݳ º
½ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º º ½ Ôº½½µ ÓÒØÓÒÒÐÝ ÓÒ ÔÖÚÓÙ ÑÙÐعØÖØ Ø X Ø Òй Ò ÓÖ»ÑÙÐع ØÖØ Ó ÖÚØÓÒ ÊË Σ k+ k ÛØ Ò ØÝ f k+ Z k+ X ÈÐ G k+ [g X] ÕÙÐ ØÓ G k+ [g X] p + p.p O g X.e λ.c[g] λ ½µ ÛÖ p O g. Ø ÙÒØÓÒ p O g x gzf O k+ z xz c[.] Ø Ð ÐÖÑ ÙÒØÓÒÐ c[g] gzczzº Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò º½½º ÁÒ ÓÖÖ ØÓ Ò Ø ÈÀ¹ÕÙÚÐÒØ Ó Ø Ø¹ Ø ÙÔØ Ò ÙÑÔØÓÒ ÓÒ Ø ØÑ ÙÔØ ÈÀ ºº Ø Ò ØÝ D k+ k Ö ÙÐØÒ ÖÓÑ ÓÖÓÐÐÖÝ º½µ Ò ÖÝ ÐÓÛµº ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Ø ÛÐÐ ÙÑ ØØ ØÑ ÙÔØ ØÖÙØÓÒ f k+ k X Z k ÔÔÖÓÜÑØÐÝ ÈÓ ÓÒ ÛØ ÒØÒ ØÝ µs Ò ÔÖÑØÖ µ º Ì ÓÐÐÓÛÒ ÒØÓÒ ÒØÖÓÙ Ø ÖÓ ¹ØÖÑ º ÚÒ ØÓÙ Ø ØÖÑ ÛÖ ÒÓØ ÓÒ Ý ÅÐÖ ØÝ ÛÐÐ ÒØÖÓÙ Ò ØÝ ÛÐÐ ÔÐÝ Ò ÑÔÓÖØÒØ ÖÓÐ Ò Ø ÜØÒ ÓÒ ØÓ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ ØÓÒ µº ÒØÓÒ º½º ÄØ g ÖйÚÐÙ ÙÒØÓÒ Ò ÓÒ Ó ÖÚØÓÒ Ô Z Ù ØØ z Z [j] 0 g [j] z º ÄØ h ÖйÚÐÙ ÙÒØÓÒ Ò ÓÒ ØØ Ô X Ù ØØ x X 0 hx º ÙÑ ØØ Ø ØÑ ÙÔØ ØÖÙØÓÒ f k+ k X Z k ÔÔÖÓÜÑØÐÝ ÈÓ ÓÒ ÛØ ÒØÒ ØÝ µs Ò ÔÖÑØÖ µº ÌÒ Ø ÒÖ Òй Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ Ø ÙÒØÓÒÐ Ò Ý β[g, h] λc[g] λ + µs [ h p + p p O g ] µ ¾µ ÛÖ p O g Ø ÙÒØÓÒ p O g x gzf O k+ z xz c Ø Ð ÐÖÑ ÙÒØÓÒÐ c[g] gzczzº ÓÖ Ø ÈÄ g Ò h Ò Ò ÙÞÞÝ ÑÑÖ Ô ÙÒØÓÒ Ò Ó ÖÚØÓÒ Ô Z Ò ØÖØ ØØ Ô X Ö ÔØÚÐݺ ÏÒ ÖÒØØ Ò ÒÐ ÔÓÒØ Ó ØØ Ô x Ò»ÓÖ Ó ÖÚØÓÒ Ô z Ø ÒÖ ÖÓ ¹ØÖÑ ÓÑ Ø Ò x Ò»ÓÖ z ÒØÓÒ º¾º ÄØ β[g, h] Ø ÒÖ Òй Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖѺ ÄØ x X ÒÝ ÔÓÒØ Ò ØÖØ Ôº Ì Òй Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ Ø Ò ÔÓÒØ x Ò Ý β[g, δ x ] δ β[g, h] δx ÄØ z Z k+ ÓÒ Ó Ø ÙÖÖÒØ Ñ ÙÖÑÒØ ÛÖ Z k+ ÙÑ ÒÓÒ ÑÔØݺ Ì Òй Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ Ø Ò z Ò Ý β[δ z, h] δ β[g, h] δz Ì Òй Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ Ø Ò x Ò z Ò Ý β[δ z, δ x ] δ δz β[g, δ x] δ δx β[δ z, h] µs. µ k+ k s k+ k. ØÑ Ù ÖÔØ Ö ÓÑØØ ÓÖ ÑÔÐØݳ
½ Ì ÓÐÐÓÛÒ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ Ú Ò ÜÔÐØ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø Ø ÖÓ ¹ØÖÑ Ò ÔÖÓÚ ÖÓÙÒ ÓÖ ØÖ ÒØÙØÚ ÒØÖÔÖØØÓÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ºº ÏØ Ø Ñ ÒÓØØÓÒ Ò ÒØÓÒ º¾ Û Ú ÁÒ ÔÖØÙÐÖ ØØÒ g 0, h Ú β[g, δ x ] µ p x + p xp O g xsx β[δ z, h] λcz + µs[hp L z ] β[δ z, δ x ] µp xl z xsx β[0, δ x ] µ p xsx µ β[δ z, ] λcz + µs[p L z ] β[δ z, δ x ] µp xl z xsx Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò º½¾º Ì ÖÓ ¹ØÖÑ Ò ØÖÓÖ Ò Ø ÐÐÓÓ ØØ µ µ β[0, δ x ] ØÖØ Ò ØØ x Ò ÙÒØØ Ý Ø ÙÖÖÒØ Ó ÖÚØÓÒ β[δ z, δ x ] ØÖØ Ò ØØ x ØØ Ò ÔÖÓÙ Ñ ÙÖÑÒØ z β[δ z, ] Ñ ÙÖÑÒØ ÔÖÓÙ Ò ÔÓÒØ zº ËÒ β[δ z, ] Ø ÐÐÓÓ ØØ Ñ ÙÖÑÒØ ÔÖÓÙ Ò ÔÓÒØ z Ø ÓÚÖ ÓØ ÔÓ Ð ÚÒØ ØØ z Ð ÐÖÑ λczµ ÓÖ z ÔÖÓÙ Ý Ò ÙÒÖÐÝÒ ØÖØ µs[p L z ] Û Ò Ò Ò ÜÔØØÓÒ ÓÚÖ ØØ Ôµº ÆÓØ Ð Ó ØØ ÓÖÒ ØÓ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÓÚ δ ÖÓ ¹ØÖÑ Û Ø Ò ÚÖÐ Ó ÖÚØÓÒ ÔÓÒØ ºº 2 δz 2δz β[g, h] δ δz 2 β[δ z, h]µ Ò»ÓÖ Ò ÚÖÐ δ ØØ ÔÓÒØ ºº 2 δx 2δx β[g, h] δ δx 2 β[g, δ x ]µ ÕÙÐ ØÓ ÞÖÓº ÁÒ ÙÒÖ Ø Ó ÖÚØÓÒ ÑÓÐ Ø ÐÐÓÓ ØØ ÚÖÐ ØÖØ ÔÖÓÙ ÒÐ Ñ ÙÖÑÒØ Ò ÐØÖÒØÚÐÝ Ø ÐÐÓÓ ØØ ÚÖÐ Ñ ÙÖÑÒØ Ö ÔÖÓÙ Ý ÒÐ ØÖØ Ö ÒÙÐк ÒÐÐÝ Ø Òй Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÓÖÑÙÐ Ò ÓÒ ØÖÙØ ÛØ ÖÚØÚ Ó Ø ÒÖ Òй Ò ÓÖ ØÖÑ Ò ÓÒ ØÖÙØ ÜÔÐØÐÝ ÓÐÐÓÛ ÌÓÖÑ º¾º ½ Ôº½½µ ÄØ Z k+ {z,..., z m } Ø Ø Ó ÙÖÖÒØ Ñ ÙÖÑÒØ º ÙÑÒ ØØ Ø ØÑ ÙÔØ ØÖÙØÓÒ f k+ k X Z k ÔÔÖÓÜÑØÐÝ ÈÓ ÓÒ ÛØ ÔÖÑØÖ µ Ò ÒØÒ ØÝ µsx Ø Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ÚÒ Ý D k+ k+ x ÛÖ [ δ δx [ δ m δz...δz m e β[g,h] ]g0,h δ m δz...δz m e β[g,h] ]g0,h p x + z Z k+ p xl z x.d λcz + D k+ k [p L z ] k+ k x D k+ k+ x D k+ k+ x Z k+ Ø ÈÀ Ó Ø Ø ÙÔØ ÑÙÐعØÖØ ÊË Ξ k+ k+ D k+ k x D k+ k x Z k Ø ÈÀ Ó Ø ØÑ ÙÔØ ÑÙÐعØÖØ ÊË Ξ k+ k D k+ k [h] Ø ÙÒØÓÒÐ D k+ k [h] hxd k+ k xxº Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò º½ º µ
½ ÜØÒ ÓÒ ØÓ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ Ø Ò Ò Ò ÔÖÓÓ º½ Ø Òй Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ØÖØÐ Ù Ø Ø ÖÚØÚ ÓÒ Ø Òй Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ Ö Ý ØÓ ÓÑÔÙغ ÐØÓÙ Ø ÕÙØ ØÖØÓÖÛÖ ØÓ ÜÔÒ Ø ÖÓ ¹ØÖÑ ØÓ ÑÙÐع Ò ÓÖ ÓÒ Ò ØÓ ÛÖØ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ø ÖÚØÚ Ó Ø ÜÔÒ ÖÓ ¹ØÖÑ ÒÒ ÐÓ ¹ÓÖÑ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø Ø ÙÔØ ÑÙÐع Ò ÓÖ ÈÀ Ò ÕÙÚÐÒØ ØÓ ØÓÖÑ º¾µ ÑÓÖ ÐÐÒÒº ÅÐÖ ÔÖÓÚ ÓÑÒØÓÒÐ ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ ØÛÓ Ò ÓÖ Ò Ø ØÓÒ Û ÛÐÐ ÜØÒ Ø Ö ÙÐØ ØÓ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ ÛØ ÓÙÖ ÓÛÒ ÜÔÖ ÓÒ ÓÒ ÑÙÐع Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ º ÓÖØÙÒØÐÝ ÓÙÖ Ö ÙÐØ ÛÒ Ø Ò ÓÖ ÒÙÑÖ N 2 ÑØ ÅÐÖ³ º ÆÓØ ØØ Ø ØÑ ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ó ÒÓØ ÒÚÓÐÚ Ø Ó ÖÚØÓÒ ÔÖÓ ØÓÖÑ º½µ Ò ØÖÓÖ ÒØÐ Ò Ø Òй Ò ÓÖ Ò ÑÙÐع Ò ÓÖ º º½ ÅÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ÖÚØÚ ÓÖÑ ÙÑ ØØ ÓÐÐÓÛÒ ØÖØ ØÖÒ ØÓÒ ØÛÒ ØÑ ØÔ k Ò k + Ò ÓÖ j [ N] ÔÖÓÙ Ñ ÙÖÑÒØ ÒÔÒÒØÐÝ Ó Ø ÓØÖ ÓÖÒ ØÓ Ø Ó ÖÚØÓÒ ÑÓÐ Ö Ò ØÓÒ º¾ Ü ØÒ ØÖØ i ÛØ ØØ x i k+ ØØ ÛØ ÔÖÓÐØÝ p[j] xi k+ Á ØØ ØÖØ i ÔÖÓÙ ÒÐ Ñ ÙÖÑÒØ z Z [j] ÛØ ÔÖÓÐØÝ ØÖÙØÓÒ f O,[j] k+ z xi k+ L z [j] x i k+ ÓÐÐØÓÒ Ó Ð ÐÖÑ Ö ÖØ Û ÙÑ ÈÓ ÓÒ ÛØ ÔÖÑØÖ λ [j] Ò ÒØÒ ØÝ λ [j] c [j]. Ì Ó ÖÚØÓÒ ÔÖÓ ÓÒ ØÖØ Ö ØØ ØÐÐÝ ÒÔÒÒØ ÓÒØÓÒÒÐÝ ÓÒ Ø ÑÙÐع ØÖØ Ø X k+ Ó Ü ØÒ ØÖØ º ÙÖØÖ ÙÑ ØØ Ø ØÑ ÙÔØ ØÖÙØÓÒ f k+ k X Z k ÔÔÖÓÜÑØÐÝ ÈÓ ÓÒ ÛØ ÔÖѹ ØÖ µ Ò ÒØÒ ØÝ µ.sxº ÌÒ ÜÔÒÒ Ø ÖÓ ¹ØÖÑ Ò Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Òй Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ÔÖÓÓ Ò ØÓÒ º½ µ Ú ÒØÓÒ º½º ÓÖ ÐÐ j [ N] ÐØ g [j] ÖйÚÐÙ ÙÒØÓÒ Ò ÓÒ Ó ÖÚØÓÒ Ô Z [j] Ù ØØ z Z [j] 0 g [j] z º ÄØ h ÖйÚÐÙ ÙÒØÓÒ Ò ÓÒ ØØ Ô X Ù ØØ x X 0 hx º Ì ÒÖ ÑÙÐع Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ β[g [],..., g [N], h] Ø ÙÒØÓÒÐ Ò Ý ÛÖ N N β[g [],..., g [N], h] λ [j] c [j] [g [j] ] λ [j] + µs h j p O,[j] g [j]. Ø ÙÒØÓÒ p O,[j] g [j] x g [j] zf O,[j] k+ z xz c [j] [.] Ø Ð ÐÖÑ ÙÒØÓÒÐ c [j] [g [j] ] g [j] zc [j] zzº j p [j] + p[j] po,[j] g [j] µ µ ÓÖ Ø Òй Ò ÓÖ g [],..., g [N] Ò h Ò Ò ÙÞÞÝ ÑÑÖ Ô ÙÒØÓÒ Ò Ó ÖÚØÓÒ Ô Z [],..., Z [N] Ò ØÖØ ØØ Ô X Ö ÔØÚÐݺ ËÒ ÒÝ ØÖØ ÑÝ ØØ Ý ÙÔ ØÓ N Ò ÓÖ Ò Ò ÑÝ ÔÖÓÙ ÙÔ ØÓ N ÖÒØ Ñ ÙÖÑÒØ ÓÒ Ò Ó ÖÚØÓÒ Ô Z [i] º ÌÖÓÖ Ø ÒÖ ÑÙÐع Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ Ò Ø Ò ÒÐ ØØ x Ò»ÓÖ ÒÝ ÓÑÒØÓÒ Ó Ñ ÙÖÑÒØ Ø ÑÓ Ø ÓÒ ÔÖ Ò ÓÖ p [j]. p[j],k+. ØÑ Ù ÖÔØ Ö ÓÑØØ ÓÖ ÑÔÐØݳ
½ ÒØÓÒ º¾º ÄØ β[g [],..., g [N], h] Ø ÒÖ ÖÓ ¹ØÖѺ ÄØ x X ÒÝ ÐÑÒØ Ò ØÖØ Ôº Ì ÑÙÐع Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ Ø Ò ÔÓÒØ x Ò Ý β[g [],..., g [N], δ x ] δ δx β[g[],..., g [N], h] ÄØ M N Ò t,...t M Ø ÒÖ Ò ÒÜ Ò [ N] Ó ÒÝ M ØÒØ Ò ÓÖ º ÄØ z [tj] Z [tj] k+ ÓÒ Ó Ø ÙÖÖÒØ Ñ ÙÖÑÒØ Ó Ò ÓÖ t j ÛÖ Z [tj] k+ ÙÑ ÒÓÒ ÑÔØݺ Ì ÑÙÐع Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ Ø Ò z [t],..., z [tm] Ò Ý β[g [],..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., g [N], h] δ M δz [t]...δz [tm] β[g[],..., g [N], h] Ì ÑÙÐع Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ Ø Ò Ñ ÙÖÑÒØ z [t],..., z [tm] Ò ØÖØ ØØ x Ò Ý β[g [],..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., g [N] δ M, δ x ] δz [t]...δz [tm] β[g[],..., g [N], δ x ] δ δx β[g[],..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., g [N], h] Ì ÓÐÐÓÛÒ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ Ú Ò ÜÔÐØ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø Ø ÖÓ ¹ØÖÑ Ò ÔÖÓÚ ÖÓÙÒ ÓÖ ØÖ ÒØÙØÚ ÒØÖÔÖØØÓÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º½º ÏØ Ø Ñ ÒÓØØÓÒ Ò ÒØÓÒ º¾ Û Ú N β[g [],..., g [N], δ x ] µ p [j] x + p[j] xpo,[j] x sx g j λ [t] c [t] z [t] + µs h p [t] L[t] z ] β[g [],..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., g [N] j t, h] M µs h p [ti] L[ti] z i ] M β[g [],..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., g [N], δ x ] µ p [ti] xl[ti] x z i ] i ÁÒ ÔÖØÙÐÖ ØØÒ g [] 0,..., g [N] 0, h Ú β[0,..., 0, δ x ] µ N j i λ [t] c [t] z [t] + µs β[0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., 0, ] M µs j / {t,...,t M } j / {t,...,t M } p [j] g [j] p [j] + p[j] po,[j] g [j] p [j] + p[j] po,[j] M M > x + p[j] xpo,[j] x sx g p [j] x sx µ i p [t] L[t] z ] j t p [ti] L[ti] z [t i ] M β[0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., 0, δ x ] µ p [ti] xl[ti] x z i ] i j / {t,...,t M } j / {t,...,t M } p [j] M p [j] M > µ p [j] x sx ¼µ
½ Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò º½º ÇÒ ÑÔÐ Ø ÖÓ ¹ØÖÑ Ú Ò ÒØÙØÚ ÒØÖÔÖØØÓÒ Ò Ò Ò Ø ÐÐÓÓ ØØ β[0,..., 0, δ x ] ØÖØ Ò ØØ x Ò ÙÒØØ Ý Ø ÙÖÖÒØ Ó ÖÚØÓÒ β[0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., 0, ] Ñ ÙÖÑÒØ Ö ÔÖÓÙ Ò ÔÓÒØ z [tj], j [ M] Ý ÒÐ ÓÙÖ β[0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., 0, δ x ] ØÖØ Ò ØØ x ØØ Ý Ò ÓÖ t j, j [ M] ÓÒÐÝ Ò ÔÖÓÙ Ñ ÙÖÑÒØ z [tj], j [ M]º ÆÓØ ØØ Ø Ð ÐÖÑ ØÖÑ λ [i] c [i] z [i] ÚÒ Ò β[0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., 0, ] ÛÒÚÖ M > º ÁÒ ÖÓ ¹ØÖÑ ÕÙÒØÝ Ø ÐÐÓÓ Ó Ø ÐÒ ØÛÒ ÚÖÐ ÔÓÒØ Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ò ØØ Ô Ò ÓÒÐÝ ÓÒ ÙÞÞÝ ÑÑÖ Ô ÙÒØÓÒ ÓÒ X ÒÑÐÝ hµ Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ò Ó Ø Ó ÖÚØÓÒ Ô Ò ÓÒ ÙÞÞÝ ÑÑÖ Ô ÙÒØÓÒ ÔÖ Ó ÖÚØÓÒ Ô Z [i] ÒÑÐÝ g [i] µº ÀÒ ÖÓ ¹ ØÖÑ ÕÙÒØ Ø ÐÐÓÓ ØØ Ø Ñ ÙÖÑÒØ Ö ÔÖÓÙ Ý ÒÐ ÓÙÖº Á ØÖ ÓÒÐÝ ÓÒ Ñ ÙÖÑÒØ ºº M µ Ø Ñ ÙÖÑÒØ Ò ØÖ ÔÖÓÙ Ý Ò ÙÒÖÐÝÒ ØÖØ ÓÖ Ý Ø Ð ÐÖÑ ÔÖÓ ØÖ Ö Ø Ð Ø ØÛÓ Ñ ÙÖÑÒØ ºº M > µ ÐÐ Ø Ñ ÙÖÑÒØ Ö ÔÖÓÙ Ý ÒÐ ØÖغ Ø ÛÐÐ Ò ÐØÖ Ø ÛÖ ÚÖÐ Ñ ÙÖÑÒØ ÖÓÑ ÖÒØ Ò ÓÖ Ö ÔÖÓÙ Ý Ð ÐÖÑ ÔÖÓ ÓÚÖ Ý ÓÑÒØÓÒ Ó ÖÓ ¹ØÖÑ º ÓÖ ÜÑÔÐ Ø ÔÖÓÙØ β[δ z [], 0, ].β[0, δ z [2], ] ØÒ ÓÖ Ø ÐÐÓÓ ØØ Ñ ÙÖÑÒØ z [] Ò z [2] Ö ÔÖÓÙ Ý ÖÒØ ÓÙÖ ÓÒ Ò ÔÖÓÙ Ý Ò ÙÒÖÐÝÒ ØÖØ ÓÖ Ý Ð ÐÖÑ ÔÖÓ ÔÖÓÚ ØØ Ø ÚÒØÙе ÙÒÖÐݹ Ò ØÖØ Ö ÖÒغ ÇÒ Ø ÓØÖ Ò Ø ÖÓ ¹ØÖÑ β[δ z [], δ z [2], ] ØÒ ÓÖ Ø ÐÐÓÓ ØØ Ñ ÙÖÑÒØ z [] Ò z [2] Ö ÔÖÓÙ Ý ÒÐ ÓÙÖ Û Ò ÖÐÝ ÒÐ ÙÒÖÐÝÒ ØÖغ ÓÖ Ø Òй Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ Û Ø Ò ÚÖÐ Ó ÖÚØÓÒ ÔÓÒØ ÖÓÑ Ø Ñ δ Ó ÖÚØÓÒ Ô ºº 2 β[g [], g [2], h] δ β[δ δz [] 2 δz[] δz [] [] z, g [2], h]µ Ò»ÓÖ Ò ÚÖÐ ØØ ÔÓÒØ ºº 2 δ 2 δx 2δx β[g [], g [2], h] δ δx 2 β[g [], g [2], δ x ]µ ÕÙÐ ØÓ ÞÖÓº ÁÒ ÙÒÖ Ø Ó ÖÚØÓÒ ÑÓÐ Ø Ð¹ ÐÓÓ ØØ ÚÖÐ ØÖØ ÔÖÓÙ ÒÐ Ñ ÙÖÑÒØ Ò ÐØÖÒØÚÐÝ Ø ÐÐÓÓ ØØ ÚÖÐ Ñ ÙÖÑÒØ Ö ÔÖÓÙ Ý ÒÐ ØÖØ Ö ÒÙÐк
¾¼ Ì ÑÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ò ØÒ ÓÒ ØÖÙØ Ø ÖØÓ Ó Ø ÖÚØÚ ÖÓÑ Ø ÒÖ ÑÙÐع Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º¾º ÓÖ ÐÐ Ò ÓÖ j [ N] ÐØ Z [j] k+ {z[j],..., z[j] m[j] } Ø Ø Ó ÙÖÖÒØ Ñ ÙÖÑÒØ ÔÖÓÙ Ý Ò ÓÖ jº ÙÑÒ ØØ Ø ØÑ ÙÔØ ØÖÙØÓÒ f k+ k X Z k ÔÔÖÓÜÑØÐÝ ÈÓ ÓÒ ÛØ ÔÖÑØÖ µ Ò ÒØÒ ØÝ µsx Ø Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ÚÒ Ý [ ] ÛÖ D k+ k+ x δ δx [ δ m[]+...+m[n] e β[g[],...,g [N],h] δz []...δz[] m[]...δz[n]...δz [N] m[n] ] g [] 0,...,g [N] 0,h δ m[]+...+m[n] e δz []...δz[] m[]...δz[n]...δz [N] β[g[],...,g [N],h] m[n] g [] 0,...,g [N] 0,h D k+ k+ x D k+ k+ x Z k+ Ø ÈÀ Ó Ø Ø ÙÔØ ÑÙÐعØÖØ ÊË Ξ k+ k+ β Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ ÚÒ Ý ÒØÓÒ º½º Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò º½º ÕÙØÓÒ ½µ Ò ÓÑÔÙØ ØÖÓÙ Ø ÓÐ ÖÓ ¹ØÖÑ Ò ÓÚº ÓÖ ÜÑÔÐ ÙÑÒ ØØ ØÖ Ö ØÖ Ò ÓÖ ØØ Ø Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÙ ÒÐ Ñ ÙÖÑÒØ z [] Ø ÓÒ ÔÖÓÙ ØÛÓ Ñ ÙÖÑÒØ z [2], z[2] 2 Ò Ø ØÖ ÓÒ ÒÓÒº ÌÒ Ø Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ú [ ] D k+ k+ x δ δx ÐÓ Ö ÐÓÓ Ø Ø ÒÓÑÒØÓÖ Ú [ ] e β[0,0,0,] δ 3 β[δ z [] δz [] δz[2] δz[2] 2, 0, 0, ]β[0, δ z [2] [ e β[g[],g [2],g [3],h], 0, ]β[0, δ z [2] 2 δ 3 e β[g[],g [2],g [3],h] δz [] δz[2] δz[2] 2 ] g [] 0,g [2] 0,g [3] 0,h δ 3 e δz [] β[g[],g [2],g [3],h] δz[2] δz[2] 2 g [] 0,g [2] 0,g [3] 0,h g [] 0,g [2] 0,g [3] 0,h, 0, ] + β[δ z [], δ z [2], 0, ]β[0, δ z [2] 2, 0, ] + β[δ z [], δ z [2] 2 ½µ ¾µ, 0, ]β[0, δ [2] z, 0, ] µ ÆÓØ ØØ Ø ÒÓÑÒØÓÖ Ø ÙÑ Ó ØÖ ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ ÓÒ Ø ÔÖÓÙØ Ó ÚÖÓÙ ÒÙÑÖ Ó ÖÓ ¹ØÖÑ Ù ØØ ÑÓÒ ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ Ñ ÙÖÑÒØ ÔÔÖ ÓÒ Ò ÓÒÐÝ ÓÒº ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ ÖÔÖ ÒØ Ø ÐÐÓÓ ØØ ÔÖØÙÐÖ ÓÑÒØÓÒ Ó ÓÙÖ ÔÖÓÙ Ø ÙÖÖÒØ Ñ ÙÖÑÒØ º ÓÖ ÜÑÔÐ β[δ [] z, 0, 0, ]β[0, δ [2] z, 0, ]β[0, δ [2] z, 0, ] Ø ÐÐÓÓ ØØ 2 Ñ ÙÖÑÒØ Û ÔÖÓÙ Ý ÖÒØ ÓÙÖ ØÖ Ò ÙÒÖÐÝÒ ØÖØ ÓÖ Ð ÐÖÑ ÔÖÓ µº Ì ÓÒ ØÖÑ β[δ [] z ÓØ Ñ ÙÖÑÒØ z [], δ [2] z Ò z [2], 0, ].β[0, δ z [2] 2, 0, ] Ø ÐÐÓÓ ØØ ÒÐ ÙÒÖÐÝÒ ØÖØ ÔÖÓÙ ÛÖ Ø ØÖ Ñ ÙÖÑÒØ Û ÔÖÓÙ Ý ÒÓØÖ ÓÙÖ ØÖ ÒÓØÖ ØÖØ ÓÖ Ð ÐÖÑ ÔÖÓ µº
¾½ ÄÛ Ø ÒÙÑÖØÓÖ Ò ÜÔÒ ÓÐÐÓÛ [ ] e β[0,0,0,] δ δ 3 e β[g[],g [2],g [3],h] δx β[δ z [] + β[δ z [] + β[δ z [] δz [] δz[2] δz[2] 2, 0, 0, δ x ]β[0, δ [2] z, 0, 0, ]β[0, δ [2] z, δ z [2], 0, ]β[0, δ z [2] 2, 0, ]β[0, δ [2] z 2, 0, ]β[0, δ [2] z 2, 0, δ x ] + β[δ z [], 0, ] + β[δ [] z, 0, δ x ] + β[δ [] z, δ z [2] 2 g [] 0,g [2] 0,g [3] 0,h, 0, 0, ]β[0, δ [2] z, δ [2] z, 0, δ x ]β[0, δ z [2], 0, δ x ]β[0, δ z [2] 2, 0, δ x ]β[0, δ [2] z, 0, ] 2, 0, ], 0, ] + β[δ z [], δ z [2] 2, 0, ]β[0, δ [2] z, 0, δ x ] µ Ò ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ ÖÔÖ ÒØ Ø ÐÐÓÓ ØØ ÔÖØÙÐÖ ÓÑÒØÓÒ Ó ÓÙÖ ÔÖÓÙ Ø ÙÖÖÒØ Ñ ÙÖÑÒØ Ù ØØ ÓÒ Ó Ø ÓÙÖ ØÖØ ÛØ ØØ xº ÓÖ ÜÑÔÐ Ø ØÖÑ β[δ [] z, 0, 0, δ x ]β[0, δ [2] z, 0, ]β[0, δ [2] z, 0, ] Ø ÐÐÓÓ ØØ ØÖØ Ò ÔÓÒØ x Ò ÔÖÓÙ 2 Ñ ÙÖÑÒØ z [] ÛÖ ÓÒ Ó Ø ÖÑÒÒ Ñ ÙÖÑÒØ Û ÔÖÓÙ Ý ÖÒØ ÓÙÖ ØÖ Ò ÙÒÖÐÝÒ ØÖØ ÓÖ Ð ÐÖÑ ÔÖÓ µº º¾ ÅÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ÓÑÒØÓÒÐ ÜÔÖ ÓÒ ÒØÐÝ ÓÛÒ Ò Ø ÜÑÔÐ ÓÚ Ø Ø ÖÒØØÓÒ Ò ½µ ÔÖÓÙ Ø ÖÓ ¹ØÖÑ ÓÖ¹ Ö ÔÓÒÒ ØÓ ÚÖÝ ÔÓ Ð ÓÑÒØÓÒ ÖÖÒ Ø ÓØÓÒ ØÛÒ ÙÖÖÒØ Ñ ÙÖÑÒØ Ò ÚÒØÙе ØÖØ Ò»ÓÖ Ð ÐÖÑ º ÁÒ Ø ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÒÓÑÒØÓÖ ÓÚ µ ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ Ù β[δ [] z, δ [2] z, 0, ]β[0, δ [2] z, 0, ] Ò ÓØ ØÓ Ø Ó ØÙÔÐ {z [], z[2], z[2] 2 } ÛÖ 2 Ñ ÙÖÑÒØ ÔÔÖ ÜØÐÝ ÓÒ Ò ÛÖ ØÙÔÐ Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ñ ÙÖÑÒØ ÔÖ Ó ÖÚØÓÒ Ô ÐÛ ÖÓ ¹ØÖÑ Ù β[δ [] z, δ [2] z, 0, ] Ò ÓØ ØÓ ØÙÔÐ z [], z[2] º ÁÒ ÓÖÖ ØÓ Ø Ø ÓÑÒØÓÒÐ ÜÔÖ ÓÒ ÖÓÑ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÒÓØØÓÒ ÛÐÐ Òº ÙÑÒ ØØ Ø ÙÖÖÒØ ØÑ Ø Ò ÓÖ ÔÖÓÙ Ñ ÙÖÑÒØ Ø Z [] ººº Z[N] Z M M Z [i] Ø ÙÒÓÒ Ó Ø Ñ ÙÖÑÒØ Ø ÔÖÓÙ Ý Ø M Ö Ø Ò ÓÖ i Žp M I [ M] I p Z [i] Ø Ø Ó ÐÐ ÙÒÓÖÖ p¹øùôð Ò ÓÒ Ø M Ö Ø Ñ ÙÖÑÒØ Ø i I ŽM M p Ž p M Ø Ø Ó ÐÐ ÙÒÓÖÖµ ØÙÔÐ Ò ÓÒ Ø M Ö Ø Ñ ÙÖÑÒØ Ø º
¾¾ ËÒ ÓÛÒ Ò Ø ÜÑÔÐ ÓÖ Ñ ÙÖÑÒØ ÔÔÖ ÓÒ ÓÒÐÝ Ò ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ Ó Ò Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ø Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ð ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ T ŽM ÑÙ Ø Ò { T ŽM T ŽM sup M T } z, µ z Z M ÛÖ sup M T Ø ÙÔÔÓÖØ Ó T ŽM ºº Ø ØÓØÐ ÒÙÑÖ Ó ÓÙÖÒ Ó Ñ ÙÖÑÒØ Ò ÚÖÝ ØÙÔÐ ÐÓÒÒ ØÓ T sup M : PŽM Z M M ZM µ T sup M T Ti z µ z Z M z, ÆÓØ ØØ ÜÔÐÒ ÓÚ ÖÓ ¹ØÖÑ β[0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., h] Ò ÖÔÖ ÒØ Ý Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ØÙÔÐ z [t],..., z [tm] ŽN ½¼ º ÌÖÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ ÛÐÐ ÒÓØ Ý ØÖ ÕÙÚÐÒØ ÜÔÖ ÓÒ T i T T z [t],..., z [tm] ŽN { β[t, h] β[g [],..., δ z [t],..., δ z [tm],..., g [N], h] β[t, h] β[0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., 0, h] µ Ò ÓÒÚÒØÓÒ { β[, h] β[g [],..., g [N], h] β[, h] β[0,..., 0, h] µ Ì ÓÐÐÓÛÒ ÐÑÑ ÛÐÐ Ù ÙÐ Ò Ø ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ù Ø ÓÛ ØØ Ø Ø Ó ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ Ò ÓÒ ØÖÙØ ÖÙÖ ÚÐÝ ÛØ Ø ÒÙÑÖ Ó Ò ÓÖ M ÄÑÑ º½º ÓÖ M < N ÐØ T ŽM Ø Ø Ó ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ ÓÒ ÖÒ Ø M Ö Ø Ò ÓÖ Ò ÐØ Z [M+] {z [M+],..., z [M+] m[m+] } Ø Ñ ÙÖÑÒØ Ø ÖÓÑ Ø ÒÜØ Ò ÓÖº ÌÒ T ŽM+ T T ŽM min T,m[M+] p0 I [ m[m+]] J [ T ] I J p σ BijI,J {T j } j / J {z [M+] i } i/ I {z [M+] i, T σi } i I ¼µ ÛÖ ÓÖ ÒÝ Ñ ÙÖÑÒØ z [M+] Z [M+] Ò ÒÝ ÙÒÓÖÖµ p¹øùôð T z [t],..., z [tp] ŽM z [M+], T Ø ÙÒÓÖÖµ p + ¹ØÙÔÐ z [t],..., z [tp], z [M+] ŽM+º Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò º½º ½¼ ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ ÒÜ t i Ò ØÙÔÐ Ö ÙÑ Ò ÒÖ Ò ÓÖÖ Ý ÙÐØ
¾ ÌÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ ØÓÖÑ Ú Ø ÓÑÒØÓÒÐ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ÚÒ Ò ÔÖÓÔÓ ØÓÒ º¾µ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º º ÙÑÒ ØØ Ø ØÑ ÙÔØ ØÖÙØÓÒ f k+ k X Z k ÔÔÖÓÜÑØÐÝ ÈÓ ÓÒ ÛØ ÔÖÑØÖ µ Ò ÒØÒ ØÝ µsx Ø Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ÚÒ Ý ÛÖ D k+ k+ x β[, δ x ] + T T ŽN T i T β[t i, δ x ] T T ŽN T i T β[t j, ] T j T T j T i β[t i, ] D k+ k+ x D k+ k+ x Z k+ Ø ÈÀ Ó Ø Ø ÙÔØ ÑÙÐعØÖØ ÊË Ξ k+ k+ β Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ ÚÒ Ý ÒØÓÒ º½ T ŽN Ø Ø Ó ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ ÚÒ Ý µº Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò º½º ½µ
¾ ËÑÔÐØÓÒ Ó Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ÐÖÐÝ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ ÓÑ ØÓÙ ÛÒ Ø ÒÙÑÖ Ó Ò ÓÖ Ò»ÓÖ Ñ ÙÖÑÒØ ÔÖ Ò ÓÖ ÐÖ ÒÓÙ Ù Ø ÒÙÑÖ Ó ÖÓ ¹ØÖÑ Ø ÒÙÑÖ Ò Þ Ó ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ ÒÐÖ ØÓÓº Ì ÓÐÐÓÛÒ ØÓÒ Ð ÛØ ÓÑ Ð ØÓ ÖÙ Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ Ó Ø Ó Ø Ø ÙÔØ ØÔº º½ ËÑÔÐØÓÒ Ý ØÖØ Ô ÔÖØØÓÒÒ ÐØÓÙ Ø Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ½µ Ò ½µ ÒÚÓÐÚ ÑÒÝ ÖÓ ¹ØÖÑ Ò Ò ÜÑÔÐ µ Ò µ ÓÑ Ó ØÑ ÑÝ ÕÙÐ ØÓ ÞÖÓº ÒÒ Ù ÖÓ ¹ØÖÑ ÒØÖ ØÒ Ù Ø ÖÙ Ø ÒÙÑÖ Ó ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ ØÓ ÓÒ Ö Ò ÛÒÚÖ ÖÓ ¹ØÖÑ ÚÒ ÚÖÝ ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ Ø ÐÓÒ ØÓ ÚÒ ÛÐе Ò Ò ÑÔÐ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒº ÅÓÖÓÚÖ Ø ÑÔÐ ÜÔÖ ÓÒ ÔÖÓÚ Ø ÜØ Ñ Ö ÙÐØ Ø Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ò ÓÒÐÝ ÚÓ ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ Ö Öº Ì ØÓÒ Ð ÛØ ÓÐÙØÓÒ Û Ö ÚÓ ÖÓ ¹ØÖÑ ÓÒ Ø ÔÖØÙÐÖ ÓÒÙÖØÓÒ Ó Ø Ò ÓÖ Ø Ø ÙÖÖÒØ ØѺ ÁÒ Ø ÓÑÑÓÒ ÛÖ Ò ÓÖ ³ Ð Ó ÚÛ ÇÎ˵ Ö ÓÙÒ Ò ØØ Ô Ò ÑÝ ÒÓØ ÓÑÔÐØÐÝ ÓÚÖÐÔ ÓØÖ ÓÒ Ò Ú Ø ÒØÙØÚ ÐÒ ØØ Ø ÈÀ D k+ k+ Ò ÙÔØ Ò ÒÝ ÙÖÓÒ S X ÛØÓÙØ ØÒ ÒØÓ ÓÙÒØ Ò ÓÖ ÛÓ ÇÎ Ö ÛÝ ÖÓÑ Sº Ì ØÓ Ø ÔÖØØÓÒ Ó ÓØ Ø Ò ÓÖ Ò Ø ØØ Ô Ù ØØ ÐÑÒØ Ò Ø Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ ÐÒ ØÓ Ò ÐÑÒØ Ò Ø ØØ Ô ÔÖØØÓÒº ÌÒ Ø ÈÀ D k+ k+ ÓÑÔÙØ Ò x Ò ÖÙ Ý ÓÒ ÖÒ Ø ÔÓÒØ ÓÖÑ Ø Ñ ÔÖØØÓÒ ÐÑÒØ ØÒ x Ò Ø Ò ÓÖ ÖÓÑ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÐÑÒØ Ò Ø Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒº ÒØÓÒ º½º ÓÖ ÒÝ Ò ÓÖ j [ N] ÐØ F [j] k+ X ÒÓØ Ø Ð Ó ÚÛ Ø ØÑ k + Ò x X, x F [j] k+ p[j],k+ x 0 ¾µ Ò Ø ÕÙÚÐÒ ÖÐØÓÒ ÖÓ µ ØÛÒ Ò ÓÖ i, j [ N], i j F [i] k+ F [j] k+ µ ÄØ {P s p} P p Ø Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ Ó [ N] ÓÖÑ Ý Ø ÕÙÚÐÒ Ð Ó Ø ØÖÒ ØÚ ÐÓ ÙÖ Ó Ø ÖÓ ÖÐØÓÒº ÄØ {P t p} P ½½ p0 Ø Ô ÔÖØØÓÒ Ó Ø ØØ Ô X Ò Ý P t p N j j P sp F [j] k+ p 0 F [j] k+ p 0 ÒÐÐÝ ÓÖ ÒÝ ÐÑÒØ P s p Ó Ø Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ ÐØ N p P s p ÒÓØ Ø ÒÙÑÖ Ó Ò ÓÖ Ò P s p Ò ÐØ p,..., p Np ÒÓØ Ø ÒÖ Ò ÒÜ Ò [ N] Ó Ò ÓÖ ÐÓÒÒ ØÓ P s pº µ ½½ {P sp} P p {P S,k+p} P k+ p Ò {P tp} P p0 {P T,k+p} P k+ p0 ØÑ Ù ÖÔØ Ö ÓÑØØ ÓÖ ÑÔÐØݳ º
¾ ÁÒ Ø ÒØÓÒ ÓÚ Ø ÙÑ ØØ j [ N] F [j] k+ º ËÓÙÐ ÒÝ Ò ÓÖ Ú ÚÓ Ð Ó ÚÛ Ø Ø ÙÖÖÒØ ØÑ Ø ÛÓÙÐ ÒÓÖ ÓÖ Ø Ø ÙÔØ ØÔ Ö ÖÓÑ Ø Ò ÓÖ ÒÜ [ N] Û ÛÓÙÐ ÖÒÜ ÓÖÒÐݺ ÆÓØ Ð Ó ØØ Ø ÓÑÒ ÇÎ Ó ÐÐ Ø Ò ÓÖ Ø ÛÓÐ ØØ Ô P t 0 ÑÔØÝ Ò ÓÙÐ ÒÓØ ÓÒ Ö Ò ÐÑÒØ Ó Ø ØØ Ô ÔÖØØÓÒº Ì ÓÐÐÓÛÒ ÒØÓÒ ÒØÖÓÙ Ø ÓÙÒ ÖÓ ¹ØÖÑ ÛÓ ÓÔ Ö ÐÑØ ØÓ ÓÒ ÐÑÒØ Ó Ø Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ P s p Ò ØÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÐÑÒØ Ò Ø ØØ Ô ÔÖØØÓÒ P t pº ÒØÓÒ º¾º ÓÖ ÒÝ p [ P] Ò Ø ÒÖ ÖÓ ¹ØÖÑ ÓÙÒ ØÓ ÐÑÒØ P s p β p [g [p],..., g [pnp], h] λ [j] c [j] [g [j] ] λ [j] + µs h p [j] j P sp j P sp + p[j] po,[j] g ÛÖ s[h] p Ø Ö ØÖØÓÒ Ó s[h] ØÓ P t p X ºº s[h] p s[ Ptph] P tp hxsxxº ÄØ x X ÒÝ ÐÑÒØ Ò ØÖØ Ôº Ì ÓÙÒ ÖÓ ¹ØÖÑ Ø Ò ØÖØ ØØ x Ò Ý β p [g [p],..., g [pnp], δ x ] δ δx β p[g [p],..., g [pnp], h] ÄØ M N Ò t,...t M Ø ÒÖ Ò ÒÜ Ò [ N] Ó ÒÝ M ØÒØ Ò ÓÖ º ÓÖ ÒÝ Ò ÓÖ t j ÐØ z [tj] Z [tj] k+ ÓÒ Ó Ø ÙÖÖÒØ Ñ ÙÖÑÒØ Ó Ò ÓÖ t j ÛÖ Z [tj] k+ ÙÑ ÒÓÒ ÑÔØݺ Ì ÓÙÒ ÖÓ ¹ØÖÑ Ø Ò z [t],..., z [tm] Ò Ý β p [g [p],..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., g [pnp], h] δ M δz [t]...δz [tm] β p[g [p],..., g [pnp], h] Ì ÓÙÒ ÖÓ ¹ØÖÑ Ø Ò Ñ ÙÖÑÒØ z [t],..., z [tm] Ò ØÖØ ØØ x Ò Ý β p [g [p],..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., g [pnp] δ M, δ x ] δz [t]...δz β p[g [p],..., g [pnp], δ [tm] x ] δ δx β[g[p],..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., g [pnp], h] ÌØ Ø ÒØÓÒ Ó Ø ÓÙÒ ÖÓ ¹ØÖÑ ÒØÐ ØÓ Ø ÒØÓÒ º½ Ò º¾ Ó ÑÙÐع Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ ÜÔØ ØØ ÓÒÐÝ Ø Ò ÓÖ ÐÓÒÒ ØÓ Ò ÐÑÒØ P s p Ö ÓÒ Öº ÄÛ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ º½ ÔÔÐ ØÓ ÓÙÒ ÖÓ ØÖÑ ÛÖ ÐÐ ÙØ Ø Ò ÓÖ Ò P s p Ö ÒÓÖ Ò Ø ÜÔØØÓÒ Ö ØÖØ ØÓ Ø Ù Ø P t p X º p µ
¾ Ì ÓÐÐÓÛÒ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÙÒÑÒØÐ Ù Ø ÔÖÓÚ ØÓÓÐ ÓÖ ÖÙÒ Ø ÒÖÐ ÑÙÐع Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ ØÓ Ø ÓÙÒ ÓÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º½º ÏØ Ø Ñ ÒÓØØÓÒ Ò ÒØÓÒ º¾ Ò º¾ Û Ú β[g [],...,g [N], δ x ] { βp [g [p],..., g [pnp], δ x ] p [ P], x P t p µsx x P t 0 β[g [],...,δ z [t ],..., δ z [t M ],..., g [N], h] { βp [g [p],..., δ z [t],..., δ z [tm],..., g [pnp], h] p [ P], {t,..., t M } P s p 0 otherwise β[g [],...,δ z [t ],..., δ z [t M ],..., g [N], δ x ] { βp [g [p],..., δ z [t],..., δ z [tm],..., g [pnp], δ x ] p [ P], {t,..., t M } P s p, x P t p Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò ØÓÒ º½º 0 otherwise Ì Ö ÙÐØ ÓÚ Ú Ò ÒØÙØÚ ÒØÖÔÖØØÓÒ ÓÒ Ø ÙÞÞÝ ÙÒØÓÒÐ g [j] Ö Ø ØÓ ÞÖÓ Ò Ø ÙÞÞÝ ÙÒØÓÒÐ h Ø ØÓ ÓÒº Ö Ø Ó ÐÐ ÖÐÐ ØØ β[0,..., 0, δ x ] Ò Ò Ø ÐÐÓÓ ØØ ØÖ ØÖØ Ò ÔÓÒØ x Ò ØØ Ø ØÖØ Û ÙÒØØ Ý ÐÐ Ø Ò ÓÖ º Á Ø ØÖØ Û ÓÙØ Ø ÓÑÒ ÇÎ Ó ÐÐ Ø Ò ÓÖ ºº x P t 0µ ØÒ Ø Ø ØØ Ø ØÖØ ÖÑÒ ÙÒØØ ÖÒ ÒÓ ÒÓÖÑØÓÒ Ø ÚÒØ Û ØÓ ÓÙÖ ÛØ ÔÖÓÐØÝ ÓÒº ÌÖÓÖ β[0,..., 0, δ x ] ÜØÐÝ Ø ÒØÒ ØÝ Ó Ø ÈÀ D k+ k ÓÖ Ø Ø ÙÔØ ºº µsxº ÇÒ Ø ÓØÖ Ò ØÖØ x Û Ò Ø ÓÑÒ ÇÎ Ó Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ ºº x P t pµ ØÒ Ø ÐÐÓÓ ØØ Ø ØÖØ ÖÑÒ ÙÒØØ Ý ÐÐ Ø Ò ÓÖ ÜØÐÝ Ø ÐÐÓÓ ØØ Ø ØÖØ ÖÑÒ ÙÒØØ Ý Ø Ò ÓÖ Ó P s p ÓÒÐÝ Ò x Û ØÓ ÙÒØØ Ý Ò ÓÖ Ó ÓØÖ ÔÖØØÓÒ ÐÑÒØ ÛØ ÔÖÓÐØÝ ÓÒº ÌÖÓÖ [β[g [],..., g [N], δ x ] ] ] [β g [] 0,...,g [N] 0 p [g [p],..., g [pnp], δ x ] g [p ] 0,...,g [p Np ] 0 º ÄÛ Ø ÖÓÖÑÙÐØÓÒ Ó β[0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., 0, δ x ] ØÖØÓÖÛÖ ÒØÖÔÖØØÓÒº ÊÐÐ ØØ Ø Ò Ò Ø ÐÐÓÓ ØØ ØÖØ Ò ÔÓÒØ x ØØ Ø Û ØØ Ý Ò ÓÖ t,..., t M ÓÒÐÝ Ò ØØ Ø ÔÖÓÙ Ñ ÙÖÑÒØ z [t],..., z [tm] º ËÒ ØÖØ Ò Ù Ø P t p Ò ØØ Ý ÒÓ Ò ÓÖ ÙØ Ø ÓÒ Ò Ù Ø P s p Ø ÐÖ ØØ β[0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., 0, h] 0 ÛÒÚÖ Ò ÓÖ t,..., t M Ö ÒÓØ ÖÓÑ Ø Ñ Ù Øº Á ØÝ ÐÐ ÐÓÒ ØÓ Ø Ñ Ù Ø P s p ÙØ Ø ØÖØ ÐÓÒ ØÓ Ù Ø P t q ÛÖ q p ØÒ ØÖØ x ÙÒØØ Ý Ø Ò ÓÖ ÛØ ÔÖÓÐØÝ ÓÒ Ò ØÖÓÖ Ø ÐÐÓÓ ÚÒ ÛÐк ÀÓÛÚÖ ÐÐ Ø Ò ÓÖ t,..., t M ÐÓÒ ØÓ Ø Ñ Ù Ø P s p Ò Ø ØÖØ ÐÓÒ ØÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ Ù Ø P t p ØÒ Ø ÐÐÓÓ β[0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., 0, δ x ] ÕÙÐ ØÓ Ø ÐÐÓÓ ÐÑØ ØÓ Ù Ø P s p Ò P s p ºº β p [0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., 0, δ x ]º Ì Ñ ÖÙÑÒØ Ö ÖÐÚÒØ ÓÖ Ø ÖÓÖÑÙÐØÓÒ Ó Ø ÜÔØØÓÒ β[0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., 0, ]º
¾ ÄÛ Ø ØÙÔÐ Ò ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ ÒØÖÓÙ Ò ØÓÒ º¾ Ú ÓÙÒ ÕÙÚÐÒØ º ¹ ÙÑÒ ØØ Ø ÙÖÖÒØ ØÑ Ø Ò ÓÖ ÐÓÒÒ ØÓ ÔÖØØÓÒ ÐÑÒØ P s p ÔÖÓÙ Ñ ÙÖÑÒØ Ø Z [p] ººº Z [pnp] M M Z [pi] Ø ÙÒÓÒ Ó Ø Ñ ÙÖÑÒØ Ø ÔÖÓÙ Ý Ø M Ö Ø Ò ÓÖ Ò P s p Z p i Žp,q M Ø Žp M M I [ M] I q Ž p,q M q Z [pi] Ø Ø Ó ÐÐ ÙÒÓÖÖ q¹øùôð Ò ÓÒ Ø M Ö Ø Ñ ÙÖÑÒØ i I Ø Ø Ó ÐÐ ÙÒÓÖÖµ ØÙÔÐ Ò ÓÒ Ø M Ö Ø Ñ ÙÖÑÒØ Ø º Ò ÕÙØÓÒ µ Ø Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ð ÓÙÒ ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ T Žp N p Ò T Žp N p T Žp N p sup p N p T z Z p Np z, µ ÛÖ sup p N p T Ø ÙÔÔÓÖØ Ó T Žp N p ºº Ø ØÓØÐ ÒÙÑÖ Ó ÓÙÖÒ Ó Ñ ÙÖÑÒØ Ò ÚÖÝ ØÙÔÐ ÐÓÒÒ ØÓ T sup p N p : PŽp N p T Z p N p N Zp Np µ sup p N p z, Ti z T i T µ z Z p Np ÄÛ ÓÙÒ ÖÓ ¹ØÖÑ β p [0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., h] Ò ÖÔÖ ÒØ Ý Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÙÒÓÖÖ ØÙÔÐ z [t],..., z [tm] Žp N p º ÌÖÓÖ ÓÙÒ ÖÓ ¹ØÖÑ ÛÐÐ ÒÓØ Ý ØÖ ÕÙÚÐÒØ ÜÔÖ ÓÒ p [ P], T z [t],..., z [tm] Žp N p { βp [T, h] β p [g [p],..., δ z [t],..., δ z [tm],..., g [pnp], h] β p [T, h] β p [0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., 0, h] µ Ò ÓÒÚÒØÓÒ p [ P] { βp [, h] β p [g [p],..., g [pnp], h] β p [, h] β p [0,..., 0, h] µ ÄÑÑ º½ ØÐÐ ÓÐ ÓÖ ÔÖØØÓÒ ÐÑÒØ P s p ØØ T Žp N p Ò ÓÒ ØÖÙØ ÖÙÖ ÚÐÝ Ý ÓÒ ÖÒ Ø Ñ ÙÖÑÒØ Ø Ó Ø Ò ÓÖ ÐÓÒÒ ØÓ P s p ÓÒÐݺ ÓÒ ÖÒ Ø Ö ÙÐØ Ó ÔÖÓÔÓ ØÓÒ º½ Ø Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ Ò ØÒ ÑÔÐ
¾ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º¾º ÒÓØ Ý {P s p} P p Ø Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ Ò Ý {P t p} P p0 Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÔÖع ØÓÒ Ö Ò ÒØÓÒ º½º ÌÒ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ º ÑÔÐ ÓÐÐÓÛÒ D k+ k x x P t 0 ÛÖ D k+ k+ x β p [, δ x ] + T T Žp Np T i T β p[t i, δ x ] T T Žp Np T i T β p [T j, ] T j T T j T i β p [T i, ] x P t p, p 0 ¼µ D k+ k+ x D k+ k+ x Z k+ Ø ÈÀ Ó Ø Ý ÙÔØ ÑÙÐØØÖØ ÊË Ξ k+ k+ D k+ k x D k+ k x Z k+ Ø ÈÀ Ó Ø ØÑ ÙÔØ ÑÙÐØØÖØ ÊË Ξ k+ k p [0 P] β p Ø ÓÙÒ ÖÓ ¹ØÖÑ ÚÒ Ý ÒØÓÒ º¾ p [ P] T Žp N p Ø Ø Ó ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ ÚÒ Ý µº Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò ØÓÒ º½º ÁÒ Ø Ø ÖÚØÚ ÓÖÑ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ º¾ Ú ÓÖÓÐÐÖÝ º½º ÒÓØ Ý {P s p} P p Ø Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ Ò Ý {P t p} P p0 Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÔÖØØÓÒ Ö Ò ÒØÓÒ º½ Ò Ý Z [j] k+ {z[j],..., z[j] m[j] } Ø Ø Ó ÙÖÖÒØ Ñ ÙÖÑÒØ ÔÖÓÙ Ý Ò ÓÖ jº ÌÒ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ º¾ ÑÔÐ ÓÐÐÓÛÒ D k+ k x x P t 0 D k+ k+ x ÛÖ δ δx δ m[p ]+...+m[p Np ] δz [p ]...δz [p ] m[p ]...δz[p Np ]...δz [p Np ] m[p Np ] e βp[g[p ],...,g [p Np ],h] δ m[p ]+...+m[p Np ] e δz [p ]...δz [p ] m[p ]...δz[p Np ]...δz [p Np ] βp[g[p ],...,g [p Np ],h] m[p Np ] g [p ] 0,...,g [p Np ] 0,h g [p ] 0,...,g [p Np ] 0,h x P t p, p 0 ½µ D k+ k+ x D k+ k+ x Z k+ Ø ÈÀ Ó Ø Ý ÙÔØ ÑÙÐØØÖØ ÊË Ξ k+ k+ D k+ k x D k+ k x Z k+ Ø ÈÀ Ó Ø ØÑ ÙÔØ ÑÙÐØØÖØ ÊË Ξ k+ k β p Ø ÓÙÒ ÖÓ ¹ØÖÑ ÚÒ Ý ÒØÓÒ º¾º Ì ÔÖÓÓ ÓÐÐÓÛ ÑÑØÐÝ ÖÓÑ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ º¾º Ì Ò Ò ÓÑÔÙØØÓÒÐ Ó Ø ÛÒ Ù Ò Ø ÔÖØØÓÒÒ ÑØÓ ½µ ÓÖ ¼µµ ÖØÖ ØÒ Ø ÒÖÐ ÕÙØÓÒ ½µ ÓÖ ½µµ Ñ ÕÙØ ÙÐØ ØÓ ÚÐÙØ Ù Û Ð ÐÖ ÜÔÖ ÓÒ Ó
¾ ÒÙÑÖ Ó ØÖÑ Ò ÖÓ ¹ØÖÑ Û Ò ØÓ ÓÑÔÙغ ÊÐÐ ØØ ÙÔØÒ Ø ÈÀ Ù Ò ½µ ÓÖ ½µ ÖÕÙÖ Ø ÒÖØÓÒ Ó ØÖÑ Û Ö Ø ÔÖÓÙØ Ó ÒÖÐ ÑÙÐع Ò ÓÖ ÖÓ ¹ØÖÑ ÓÖ ½µµ ÓÖ ÓÙÒ ÓÒ ÓÖ ½µµº ÌÓ ÙÖ Ø ÒÙÑÖ Ó ÖÒØ ÖÓ ¹ØÖÑ ÛÐÐ ÖÙ ÛØ Ø ÔÖØØÓÒ ÑØÓ ÙØ Ø ÒÒØ ÓÑÔÙØØÓÒÐ Ò ÐÐÝ ØÓ ØÑ ÖÓÑ Ø ØÓÙ ÒÖØÓÒ Ó Ø ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ ÓÑÔÓ Ò Ø ÒÙÑÖØÓÖ ÜÑÔÐ µµ Ò Ø ÒÓÑÒØÓÖ ÜÑÔÐ µµ Ó Ø Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒº ËØÐÐ ÓÑ ÐÑÒØ Ó ÓÑÔÖ ÓÒ Ò ÚÒ ÓÒ ÖÒ Ì ÒÙÑÖ Ó ÖÒØ ÖÓ ¹ØÖÑ ÓÑÔÙØ Ò Ì ÓÑÔÙØØÓÒÐ Ó Ø Ó Ø ÔÖØØÓÒ ØÔº ÙÑ ØØ Ø ÙÖÖÒØ ØÔ Ò ÓÖ i ÔÖÓÙ Ò ÚÖ Ó M Ñ ÙÖÑÒØ º ÙÑ Ð Ó ØØ Ø ÈÀ ÑÔÐÑÒØ ÛØ ÔÖØÐ ÐØÖ ºº Ø ØÑ ÙÔØ Ò ØÝ D k+ k ÔÔÖÓÜÑØ Ý ÓÐÐØÓÒ Ó ÛØ ÔÖØÐ {w j, x j } Ø ÙÖÖÒØ ÒÙÑÖ Ó ÔÖØÐ Ò Kº ÏØÓÙØ Ø ÔÖØØÓÒ ØÔ Ø ÒÖ ÖÓ ¹ØÖÑ N Ó ÖÚØÓÒ ÙÒØÓÒÐ g [i] Ò ÓÒ ØØ ÙÒ¹ ØÓÒÐ hº ËÒ ÙÒØÓÒÐ g [i] Ò ÖÒØØ Ò ÒÝ ÙÖÖÒØ Ñ ÙÖÑÒØ ÔÖÓÙ Ý Ò ÓÖ i Ø ÒÙÑÖ Ó ÖÓ ¹ØÖÑ Ø Ò ÚÒ ÔÖØÐ x j ÖÓÙÐÝ M N º ËÒ Ø ÖÓ ¹ØÖÑ Û ÒÓØ ÜÔØØÓÒ ÓÚÖ ØØ Ô Ö ÔÔÖÓÜÑØ Ý Ø ÙÑ Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÖÓ ¹ØÖÑ Ø ÓÒ ÔÖØÐ ºº β[δ [] z, δ [2] z, 0, ] K j β[δ, δ z [] [2] z, 0, δ xj ]µ Ø ÖÓ ¹ØÖÑ Ø ÓÒ ÔÖØÐ ÑÙ Ø ÓÑÔÙØ ØÖÓÖ Ø ÒÙÑÖ Ó ÖÓ ¹ØÖÑ N np ÚÒ Ý N true β O K.M N ¾µ ÏØ Ø ÔÖØØÓÒ ÑØÓ Ø Ö ÙÐØ ÑÐÖ ÜÔØ ØØ Ø ÓÚÖÐÐ ÙÔØ ÔÐØØ ÓÒ ÚÖÐ ÑÐÐÖ ÙÔØ º ÙÑ ØØ ÔÖØØÓÒÒ Ò ÙÖÖÒØ ØÔ Ú P ÐÑÒØ Ò ÓÖ ÐÑÒØ N p Ò ÓÖ Ù ØØ P p N p N Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÔÖØÐ ÐÑÒØ K p ÔÖØÐ Ù ØØ P p K p K ÓÑ ÔÖØÐ ÑÝ ÓÙØ Ø ÓÑÒ ÇÎ Ó ÐÐ Ø Ò ÓÖ ºº ÐÓÒ ØÓ P t 0µº Ì ÒÙÑÖ Ó ÓÙÒ ÖÓ ¹ØÖÑ ØÓ ÓÑÔÙØ ØÖÓÖ P O K p.m Np N part β p ÁÒ Ø Ø¹ ÒÖÓ ÛÖ Ø ÇÎ Ö ÓÒØ Û Ú P N Ò ØÖÓÖ N p º Ì ÑÙÐع Ò ÓÖ ÙÔØ ÑÖÐÝ Ø ÙÒÓÒ Ó N ÒÔÒÒØ Òй Ò ÓÖ ÙÔØ Ò N part β O K.Mº ÁÒ Ø ÛÓÖ Ø¹ ÒÖÓ ÐÐ Ø ÇÎ Ö Ò Ø Ñ ÕÙÚÐÒ Ð Ò N part β Nβ true º Ì ÔÖØØÓÒ ØÖÓÖ ÔÖ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó ÒÒØ ÒÙÑÖ Ó ÖÓ ¹ØÖÑ Ò ÒÖк ÃÔ Ò ÑÒ ØÓÙ ØØ Ø ÒÙÑÖ Ó ÖÓ ¹ØÖÑ Ó ÒÓØ ÙÐÐÝ ÖØ Ø ÓÑÔÐÜØÝ Ó Ø Ø ÙÔØ Ø Ñ ÔÔÖÓ ÓÒ Ø ÒÙÑÖ Ó ÓÑÒØÓÒÐ ØÖÑ ÛÓÙÐ ÕÙØ Ù ÙÐ ØÓÓº Ì ÔÖØØÓÒ ÑØÓ ÒÓÒØÐ ÖÕÙÖ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ò ÓÖ Ò Ô ÔÖØØÓÒ Ø ÚÖÝ ØÔ kº Ì ÓÐÐÓÛÒ ÔÖÖÔ ÔÖÓÚ Ø Ô ÙÓ¹Ó ÓÖ Ø ÔÖØØÓÒÒ ÙÑÒ ØØ Ø ÈÀ ÑÔÐÑÒØ ÛØ ÔÖØÐ ÐØÖº ËÒ ØÖ ÑÔÔÒ ÖÓÑ Ø Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ ÐÑÒØ ØÓ Ø ØØ ÔÖØØÓÒ ÐÑÒØ Ò Ò Ø ÒÙÑÖ Ó Ò ÓÖ N ÑÙ ÑÐÐÖ ØÒ Ø ÔÖØÐ ÒÙÑÖ K Ø ÓÑÛØ Ö ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ Ò Ù Ø ÔÖØÐ ÔÖØØÓÒº Ì ÒÔÙØ Æ¹Ý¹Å ÒÖÝ ÑØÖÜ ÐÐ Ø ÓÚÖ ÑØÖÜ C ÛÖ Ci, j 0 p [i] D x j 0 ºº ÔÖØÐ x j Ð ÓÙØ Ø ÇÎ Ó Ò ÓÖ iµ Ò Ci, j ÓØÖÛ º ÆÓØ ØØ Ø ÓÚÖ ÑØÖÜ Ò ÖÝ ÓÖ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÖÓ ¹ØÖÑ ÛØÖ Ø ÔÖØØÓÒ ÑØÓ Ù ÓÖ ÒÓØ ØÙ Ø ÓÙÐ ÒÓØ ÙÔ ØÓ Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ Ó Ø Ó Ø ÔÖØØÓÒÒ ØÔº µ
¼ ½º ÁÒØÐÞ ÒÝ ÑØÖÜ A C.C T 0 ¾º ÁÒØÐÞ ØÑÔ ÑØÖÜ T A 2 0 º ÏÐ T A º½º A T º¾º T A 2 0 º ÁÒØÐÞ ÔÖØØÓÒ ÒÙÑÖ p 0 º ÓÖ i ØÓ Ò ÓÖ ÒÙÑÖ N º½º Á Ai, : 0 º½º½º Á p 0 º½º½º½º ÁÒÖÑÒØ ÔÖØØÓÒ ÒÙÑÖ p º½º½º¾º ÁÒØÐÞ Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ ÑØÖÜ S p, : Ai, : º½º¾º Ð S:, i 0 º½º¾º½º ÁÒÖÑÒØ ÔÖØØÓÒ ÒÙÑÖ p p + º½º¾º¾º ÒÛ ÔÖØØÓÒ S p p, : Ai, : º ÓÑÔÙØ ÔÖØÐ ÔÖØØÓÒ ÑØÖÜ P p S p.c 0 Á A B 0 A Ø ÒÖÝ ÑØÖÜ ÛØ Ø Ñ Þ ØÒ B Ù ØØ Ai, j Bi, j 0 Ai, j 0 ÓØÖÛ º ÏÒ ØÔ ½ Ö Ò Ø Ô ÙÓ¹Ó ÓÚ Ø N¹Ý¹N ÒÝ ÑØÖÜ A ÑØÖÜ ÖÔÖ Ò¹ ØØÓÒ Ó Ø ÖÓ ÖÐØÓÒ Ò Ò µ ºº Ai, j Ò ÓÒÐÝ Ò ÓÖ i Ò j Ò ÓÚÖÐÔÔÒ ÇÎ Ai, j 0 ÓØÖÛ º ÆÓØ ØØ Ò Ø ØØ Ô ÖØ Ý Ø ÓÐÐØÓÒ Ó ÔÖØÐ ØÛÓ ÇÎ ÓÚÖÐÔ Ò ÓÒÐÝ ØÖ Ø Ð Ø ÓÒ ÓÑÑÓÒ ÔÖØÐ x ÐÓÒÒ ØÓ ÓØ ÇÎ º ÏÒ ØÔ Ö A Ø ÑØÖÜ ÖÔÖ ÒØØÓÒ Ó Ø ØÖÒ ØÚ ÐÓ ÙÖ Ó Ø ÖÓ ÖÐØÓÒº ÀÒ Ai, j Ò ÓÒÐÝ Ò ÓÖ i Ò j Ö Ò Ø Ñ ÕÙÚÐÒ Ð Ó Ø ØÖÒ ØÚ ÐÓ ÙÖ º ØÝ Ö Ò Ø Ñ Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ ÐÑÒغ ËØÔ ÑÔÐÝ ÜØÖØ ÐÒ ÖÓÑ ÑØÖÜ A ØÓ ÓÖÑ Ø Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ ÑØÖÜ S p Û P ¹Ý¹N ÒÖÝ ÑØÖÜ ÛÖ P Ø ÒÙÑÖ Ó ÔÖØØÓÒ Ù ØØ S p i, j Ò ÓÒÐÝ Ò ÓÖ j ÐÓÒ ØÓ ÔÖØØÓÒ ÐÑÒØ iº ÒÐÐÝ ØÔ ÓÑÔÙØ Ø ÔÖØÐ ÔÖØØÓÒ ÑØÖÜ P p Û P ¹Ý¹K ÒÖÝ ÑØÖÜ Ù ØØ P p i, j Ò ÓÒÐÝ ÔÖØÐ j Ò Ø ÓÑÒ ÇÎ Ó Ø Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ ÐÑÒØ iº ÆÓØ ØØ ÓÑ ÔÖØÐ x j ÑÝ ÓÙØ Ø ÓÑÒ ÇÎ Ó ÐÐ Ø Ò ÓÖ ºº x j P t 0µ Ò Ù ÓÐÙÑÒ P p :, j ÒÙÐÐ Ò Ø ÔÖØØÓÒ ÑØÖܺ ÐØÓÙ Ø Ö Ð ÐÐÝ Ò ÓÖ ÑÝ Ð ØÓ ÔÔÖ Ò ÒÝ Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ ÐÑÒØ Ø ÇÎ ÓÒØÒ ÒÓ ÔÖØÐ Ø ÐÐ Ù Ò ÓÖ ÛÐÐ ÒØÙÖÐÐÝ Ö Ò Ø Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒº ÆÓØ ØØ Ø ÔÖØØÓÒ ØÔ ÖÐØÚÐÝ ÐÓÛ ÓÑÔÙØØÓÒÐ Ó Ø Ù Ø ÙÐ Ó Ø ÔÖÓ Ò ÒÚÓÐÚ ÕÙÖ ÑØÖ ÛÓ Þ Ó ÒÓØ Ü Ø ÒÙÑÖ Ó Ò ÓÖ Nº ÌÓ ÙÖ Ø ÓÐÐÓÛÒ ØÔ Ø ÈÀ Ø ÙÔØ ÓÖ ÔÖØÐ Û ÖÕÙÖ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó ÖÓ ¹ØÖÑ ÓÙÒ ØÓ Ø ÙÖÖÒØ ÔÖØÐ ÔÖØØÓÒ ÐÑÒØ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ Ò ÓÖ ÔÖØØÓÒ ÐÑÒØ Ø ÖÕÙÖ ÑÒÝ ÑÑÓÖÝ ØÓ Ø Ò ÓÖ Ò ÔÖØÐ ÔÖØØÓÒ ÑØÖ Û ÓÙÐ ÙÔ ØÓ Ø ÓÚÖÐÐ ÓÑÔÙØØÓÒÐ Ó Ø Ó Ø ÔÖØØÓÒ ÑØÓº ØÓÖÓÙ ÓÑÔÖ ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÐÜØÝ Ó Ø ÈÀ Ø ÙÔØ ÛØ Ò ÛØÓÙØ Ø ÔÖØØÓÒ ØÔ ÛÓÙÐ ÖÕÙÖ Ø Ð Ø ÅÓÒØ ÖÐÓ ÖÙÒ Ó ÓØ ÑØÓ ÓÖÑÐ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÐÜØÝ Ó ÓØ ÈÀ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ ÛÓÙÐ ÚÐÙÐ ØÓÓº º¾ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ý Ö ØÖØÒ ÝÔÓØ ÙÑ ØØ ØÖ Ö N 3 Ò ÓÖ ØØ Ø Ö Ø Ò ÓÖ ÔÖÓÙ ÓÒ Ñ ÙÖÑÒØ z [] Ø ÓÒ Ò ÓÖ ÓÒ Ñ ÙÖÑÒØ z [2] Ò Ø Ð Ø Ò ÓÖ ØÛÓ Ñ ÙÖÑÒØ z [3], z[3] 2 º ÌÒ Ò ÜÑÔÐ µ
½ Ø ÒÓÑÒØÓÖ Ó Ø ÈÀ Ø ÙÔØ Ò ÜÔÒ ÓÐÐÓÛ [ ] e β[0,0,0,] δ 4 { st orer term β[δz [] 2 n orer terms 3 r orer terms δz [] δz[2] δz[3] δz[3] 2 + β[δ z [] + β[δ z [] + β[δ z [], 0, 0, ]. β[0, δ z [2] + β[0, δ z [2] + β[δ z [] + β[0, δ z [2] + β[δ z [] { + β[δz [] + β[δ z [] e β[g[],g [2],g [3],h], 0, 0, ]. β[0, δ z [2], 0, δ z [3] 2, δ z [2], δ z [3], 0, δ z [3], δ z [3], 0, δ [3] z, δ [2] z, δ z [2], 0, ]. β[0, 0, δ z [3], δ z [3] 2, ]. β[0, δ z [2], 0, ]. β[0, 0, δ z [3], δ z [3] 2, δ z [3], ]. β[δ z [], ]. β[0, δ z [2], ]. β[δ z [], ]. β[0, δ z [2] g [] 0,g [2] 0,g [3] 0,h, ]. β[0, 0, δ [3] z, ] 2, ]. β[0, 0, δ [3] z, ], ], 0, ]. β[0, 0, δ z [3], ]. β[0, 0, δ z [3] 2, 0, 0, ]. β[0, 0, δ z [3] 2, 0, ]. β[0, 0, δ [3] z 2, ], 0, δ z [3] 2, δ z [3] 2, ]. β[0, 0, δ z [3], ]. β[0, 0, δ z [3] 2, ], ], ], ], ], ] µ ËÒ N 3 Ò Ò ÓÖ ÔÖÓÙ Ø Ð Ø ÓÒ Ñ ÙÖÑÒØ Ø ÒÖ ÖÓ ¹ØÖÑ Ò Ø Ò ÓÒ ØÛÓ ÓÖ ØÖ Ñ ÙÖÑÒØ º ÁÒ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÚ n¹ø ÓÖÖ ÓÑÒÒØÓÒÐ ØÖÑ Ö ÔÖÓÙØ Ó ÖÓ ¹ØÖÑ Ø Ò Ø ÑÓ Ø n Ñ ÙÖÑÒØ Ù ØØ Ø Ð Ø ÓÒ ÖÓ ¹ØÖÑ Ò Ø ÔÖÓÙØ Ø Ò n Ñ ÙÖÑÒØ º Ò ØÖØÓÖÛÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÚ ÛÓÙÐ ØÓ Ô ÓÑ ØÖÑ ØÓ Ñ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÜÔÖ ÓÒ Öº ÊÐÐ ØØ β[0,..., δ z [t ],..., δ z [t M ],..., 0, δ x ] Ò Ò Ø Ð¹ ÐÓÓ ØØ ØÖØ Ò ÔÓÒØ x ØØ Ø Û ØØ Ý Ò ÓÖ t,..., t M ÓÒÐÝ Ò ØØ Ø ÔÖÓÙ Ñ ÙÖÑÒØ z [t],..., z [tm] º ÌÖÓÖ ÝÔÓØ Ö ØÖØÒ Ø ÑÜÑÙÑ ÒÙÑÖ Ó Ò ÓÖ Û Ò ØØ ÒÐ Ò ÓÖ ØÓ ÚÒ ÒÙÑÖ D max N ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÖÓ ¹ØÖÑ Ø Ò ÑÓÖ ØÒ D max Ñ ÙÖÑÒØ ÚÒ Ò ØÖÓÖ ÑÔÐ ØØ ÐÐ n¹ø ÓÖÖ ØÖÑ ÛØ n > D max ÚÒ ÛÐк ÀÓÛÚÖ Ö ØÖØÒ Ø ÒÙÑÖ Ó ØØÓÒ ÔÖ ØÖØ ÓÒØÖØ Ø ÒÔÒÒ Ó Ò ÓÖ ³ Ó ÖÚØÓÒ ÔÖÓ º
¾ ÆÓØ ØØ Ø ÑÓÖ Ö Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Û Ô ÐÐ ØÖÑ ÙØ Ø Ö Ø¹ÓÖÖ ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÐÓ ¹ÓÖÑ ÜÔÖ ÓÒ [ ] e β[g[],...,g [N],h] δ δx + [ [ δ m[]+...+m[n] δz []...δz[] m[]...δz[n]...δz [N] m[n] ] g [] 0,...,g [N] 0,h δ m[]+...+m[n] e δz []...δz[] m[]...δz[n]...δz [N] β[g[],...,g [N],h] m[n] g [] 0,...,g [N] 0,h δ δx e β[g[],...,g [N],h] N m[j] j i β[g [],..., g [j ], δ [j] z i [ e β[g[],...,g [N],h] N m[j] j i β[0,..., 0, δ x ]e β[0,...,0,] N j e β[0,...,0,] N j e β[0,...,0,] N j β[0,..., 0, δ x ] + µ N j m[j] i m[j] i m[j] i β[g [],..., g [j ], δ [j] z i β[0,..., 0, δ z [j] i β[0,..., 0, δ z [j] i β[0,..., 0, δ z [j] i e β[0,...,0,] N j m[j] N j i p [j] x sx + ÌØ N D k+ k+ x j, 0,..., 0, ] m[j] i ], g [j+],..., g [N], h] ], g [j+],..., g [N], h], 0,..., 0, ], 0,..., 0, ]. N j β[0,..., 0, δ z [j] i β[0,..., 0, δ [j] z, 0,..., 0, δ x ] i, 0,..., 0, ] β[0,..., 0, δ z [j] i N j p [j] x + z Z [j] k+ N j µ l j p [l] x λ [j] c [j] z + µs [ l j z Z [j] k+ m[j] i, 0,..., 0, ] p [j] l j p [l] x λ [j] c [j] z + µs [ l j β[0,...,0,δz [j] i β[0,...,0,δ [j] z xl[j] z xsx ] p [l] p [j] L[j] z p [j] g [] 0,...,g [N] 0,h g [] 0,...,g [N] 0,h i,0,...,0,δ x],0,...,0,] xl[j] z x p [l] p [j] L[j] z ] D k+ k x ÆÓØ ØØ Ø ÕÙØÓÒ ÓÑÛØ ÑÐÖ ØÓ Ø Òй Ò ÓÖ ÈÀ Ø ÙÔØ µº ÁÒ Ò ÒÓ ØÖØ ÑÝ ØØ Ý ÑÓÖ ØÒ ÓÒ Ò ÓÖ ØÖØ ÔÖÓÙ Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ñ ÙÖÑÒØ Ò Z k+ Ø ÙÒÓÒ Ó Ø Ñ ÙÖÑÒØ Ø ÖÓÑ Ò ÓÖº ÌÖÓÖ Ø ÓÑÒØÓÒ Ó ÐÐ Ø Ò ÓÖ ÑÝ p [l] Ò Ô ÙÓ¹ Ò ÓÖ ÓÛÚÖ Ø ÕÙÒØØ l j ÒÒÓØ ÒØÖÔÖØ ØØÓÒ ÔÖÓÐØ º ÅÐÖ ÔÖÓÔÓ Ò ¾ ÒÓØÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒ Ô ÙÓ¹ Ò ÓÖ Û ÒÔ ÙÐØ ÐÐ Ø Ò ÓÖ Ò ÒÐ Ó ÖÚØÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ø Ð Ó ÓÒØÖØ Ø ÒÐ Ó ÖÚØÓÒ ÔÖÓ Ò ÒÝ ØÖØ ÔÖÓÙ Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ñ ÙÖÑÒØ ÛÒ Øغ º ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ý ÕÙÒØÐ ÐØÖÒ x.p [j] x Ö ÙÒÓÒ ØÒØ Ù ØÝ ËÒ Ø ÓÑÔÐÜØÝ Ò Ù Ò Ø ÒÖÐ Ø ÙÔØ ÓÖÑÙÐ ½µ Ñ ØÓ Ö ÖÓÑ Ø Ø ØØ Ø ÖÓ ¹ØÖÑ ÒÚÓÐÚ Ø Ñ ÙÖÑÒØ ÖÓÑ ÐÐ Ø Ò ÓÖ Ò ÛÓÐ ÚÖÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ò ÔÖÓÔÓ Ý ÔÖÓ Ò Ø Ò ÓÖ ÕÙÒØÐÐݺ ÁÒ Ø ØÓÒ ØÖ Ù ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ö ÔÖ Òغ º º½ ÈÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ì ÑÔÐ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ø ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ø Ñ ØÓ Ø ÓÐÙØÓÒ ÔÖÓÔÓ Ý ÅÐÖ Ò ½
ÒØÓÒ º º ÙÑÒ ØØ ØÑ ÙÔØ Ò ØÝ ÈÓ ÓÒ ÛØ ÈÀ D k+ k x µsx Ø ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó Ø Ø ÙÔØ ÓÖÑÙÐ ÚÒ Ý N D k+ k+ x C [i] P Z[i] k+ x D k+ k x µ ÛÖ C [i] P Z[i] k+ x p[i] + p [i] xl[i] z x λ [i] c [i] z + µs[p [i] z Z [i] L[i] z ] k+ i Ø ÔÖÓÙØ ÓÖÖØÓÖ Ó Ø ¹Ø Ò ÓÖº ÆÓØ ØØ Ø ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓÙØ ÓÖÖØÓÖ ÑÐÖ ØÓ Ø Òй Ò ÓÖ ÈÀ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ µº ÁÒ C [i] P ÓÑÔÙØ ÒÔÒÒØÐÝ Ó Ø ÓØÖ ÓÖÖØÓÖ ÒÓÖÒ ÐÐ Ø Ñ ÙÖÑÒØ ÙØ ØÓ ÔÖÓÙ Ý Ò ÓÖ i Ò Û Ú [ ] e β[i] P [g[i],h] C [i] P Z[i] k+ xµsx δ δx [ δ m[i] δz [i]...δz[i] m[i] δ m[i] e β[i] δz [i] P [g[i],h]...δz[i] m[i] ] g [i] 0,h g [i] 0,h ÛÖ β [i] P [g[i], h] λ [i] c [i] [g [i] ] λ [i] + µs[h p [i] + p[i].p[i],o g [i] ] µ Ø ÔÖÓÙØ ÖÓ ¹ØÖÑ Ó Ò ÓÖ iº ÓÖ ÓÑÔÖ ÓÒ³ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ Ú Ø ÜÔÒ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜѹ ØÓÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º º Ì ÜÔÒ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÚÒ Ý p [k ] m[k ] xl [k ] x. p [k] z [k ] x j k k N D k+ k+ x k + + p [k] x + k k N N k N m[k ] j j m[k N ] j N ÛÖ Ø ÔÖÓÙØ ÒÓÑÒØÓÖ Ó Ø ¹Ø Ò ÓÖ Den [i] P p [k ] xl [k ] z [k ] Den [k ] P z[k ] j x p [k N ] j xl [kn ] z [kn ] j N ] P z[kn kj N Den [k ] P z[k ] j Den [k ] ÚÒ Ý µ x D k+ kx µ Ì ÔÖÓÓ ÐÝ ÓØÒ ÛÒ ÜÔÒÒ µº Den [i] P z λ[i] c [i] z + µs[p [i] L[i] z ] µ Ø ÓÛÒ ÓÒ ÑÔÐ ÜÑÔÐ ÐØÖ Ò Ø ÓÙÑÒØ Ø ÜÔÒ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ µ ÑÐÖ ØÓ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÜÔÖ ÓÒ ½µº Ì ÒÙÑÖØÓÖ Ò µ ÒÓØ ÐÐ Ø ÓØÓÒ ÓÑÒØÓÒ ØÛÒ Ò ÚÒØÙÐ ØÖØ Ò x Ò Ø Ñ ÙÖÑÒØ Ý ÐÐ Ø Ò ÓÖ ÜÑÔÐ ½µµº Ì ÜØ Ñ ÒÙÑÖØÓÖ Ö ÓÙÒ Ò Ø ÜÔÒ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÜØ ÑÙØй Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÜÑÔÐ ¼µµº ÀÓÛÚÖ Ø Ó Ø Ó Ø ÒÔÒÒØ ÔÖÓ Ò Ó Ø Ò ÓÖ Ò Ø ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÐÖÐÝ Ò Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÒÓÑÒØÓÖ µ Û Ð Ø ØÒ ÒØÓ ÓÙÒØ ÓØÓÒ ÓÑÒØÓÒ Ò ÒÓ ÑÙÐع Ò ÓÖ ÒÓÖÑÐÞØÓÒ ØÖÑ Ù µs[p [] L[] p [2] L[2] p [3] x p[n] x] ÔÔÖº z [] z [2]
º º¾ ÅÝÓÔ ÕÙÒØÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ì ÓÒ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ø ÑÓÖ Ð ÑÝÓÔ ÕÙÒØÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ù ÙÐÐÝ ÒÓÛÒ Ø ØÖعÓÖÖØÓÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ò Ý ÒØÓÒ ºº ÙÑÒ ØØ Ø ØÑ ÙÔØ Ò ØÝ ÈÓ ÓÒ ÛØ ÈÀ D k+ k x µsx Ø ÕÙÒ Ó ÒØÖÑØ ÑÝÓÔ ÈÀ µ [i] s [i] x Ö ÚÒ Ý ÛÖ C [i] M Z[i] k+ x p[i] + Ò ÓÖ i [ N], µ [i] s [i] x C [i] M Z[i] k+ xµ[i ] s [i ] x µ z Z [i] k+ µ [0] s [0] x µsx D k+ k x Ý ÓÒÚÒØÓÒº p [i] xl[i] z x λ [i] c [i] z + µ [i ] s [i ] [p [i] L[i] z ] Ø ÑÝÓÔ ÓÖÖØÓÖ Ó Ø ¹Ø ÌÒ Ø ÑÝÓÔ ÕÙÒØÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÑÔÐÝ ÚÒ Ý Ø Ð Ø ÒØÖÑØ ÑÝÓÔ ÈÀ D k+ k+ x µ [N] s [N] x ¼µ Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÑÝÓÔ ÓÖÖØÓÖ ÑÐÖ ØÓ Ø Òй Ò ÓÖ ÈÀ Ø ÙÔØ ÕÙØÓÒ µ Ò C [i] M ÓÑÔÙØ Ý ÒÓÖÒ ÐÐ Ø Ñ ÙÖÑÒØ ÙØ ØÓ ÔÖÓÙ Ý Ò ÓÖ iº Ì ÑÓÖ ÖÒ ÛØ Ø ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ØØ Ø ÑÝÓÔ ÓÖÖØÓÖ C [i] M Ò ÓÒØÖÙØ ÖÙÖ ÚÐÝ Ò Û Ú [ ] C [i] M Z[i] k+ xµ[i ] s [i ] x δ δx [ δ m[i] e β[i] δz [i] M [g[i],h]...δz[i] m[i] δ m[i] e β[i] δz [i] M [g[i],h]...δz[i] m[i] ] g [i] 0,h g [i] 0,h ÛÖ β [i] M [g[i], h] λ [i] c [i] [g [i] ] λ [i] +µ [i ] s [i ] [h p [i] +p[i].p[i],o g [i] ] µ [i ] Ø ÑÝÓÔ ÖÓ ¹ØÖÑ Ó Ò ÓÖ iº ÍÒÐ Ø ÔÖÓÙØ ÖÓ ¹ØÖÑ µµ Ø ÑÝÓÔ ÖÓ ¹ØÖÑ Ø ÒØÓ ÓÙÒØ Ø ÙÔØ ÒÓÖÑØÓÒ Ö ÙÐØÒ ÖÓÑ Ø ÔÖÓ Ó ÔÖÚÓÙ Ò ÓÖ º ÀÓÛÚÖ ØÝ ÒÓÖ Ø Ø ØØ Ø ÙÖÖÒØ Ñ ÙÖÑÒØ ÖÓÑ Ø ÖÑÒÒ Ò ÓÖ Ö ÝØ ØÓ ÔÖÓ Ò ØÖ ÒѺ ÓÖ ÓÑÔÖ ÓÒ³ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ Ú Ø ÜÔÒ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÑÝÓÔ ÕÙÒØÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ºº Ì ÜÔÒ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÑÝÓÔ ÕÙÒØÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÚÒ Ý p [k ] m[k ] xl [k ] x. p [k] z [k ] x j k k N D k+ k+ x k + + p [k] x + k k N N k N m[k ] j j m[k N ] j N p [k ] xl [k ] z [k ] Den [k ] M z[k ] j s x p [k N ] j xl [kn ] z [kn ] j N Den [k ] M z[k ] j Den [kn ] M z[kn ] j N ½µ x D k+ kx ¾µ
ÛÖ Ø ÑÝÓÔ ÒÓÑÒØÓÖ Ó Ø ¹Ø Ò ÓÖ Den [i] M [ Den [i] M z λ[i] c [i] z + µs k<i p [k] ].p [i] L[i] z + k <i ÚÒ Ý µs m[k ] j k<i,k k p [k].p [k ] Den [k ] M z[k ] j L [k ] p [i] z [k ] L[i] z j + + k k i <i m[k ] j m[k i ] j i µs [ p [k ] L [k ] p [k i ] z [k ] j L [ki ] p [i] z [ki ] L[i] z j i Den [k ] M z[k ] j Den [ki ] M z[ki ] j i ] µ Ì ÔÖÓÓ ÚÒ Ò ØÓÒ º¾¼º ÇÒ Ò Ø ÜÔÒ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÑÝÓÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ¾µ ÑÐÖ ØÓ Ø ÑÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÜÔÖ ÓÒ ½µº Ì ÒÙÑÖØÓÖ Ò Ø ÜÔÒ ÜÔÖ ÓÒ ÜÑÔÐ ¾µµ Ö ÒØÐ ØÓ ØÓ Ò Ø ÜÔÒ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÜØ ÑÙÐع Ò ÓÖ Ø ÙÔØ ÜÑÔÐ ¼µµ ÓÖ ØÓ Ò Ø ÜÔÒ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÜÑÔÐ ½µµº ÍÒÐ Ø ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓܹ ÑØÓÒ Ø ÑÝÓÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ó Ø ÒØÓ ÓÙÒØ Ø ÔÖÓ Ò Ó Ø ÔÖÚÓÙ Ò ÓÖ Ò ÓÑ ÒÓÑÒØÓÖ [ ÑÙÐع Ò ÓÖ ÒÓÖÑÐÞØÓÒ ] ØÖÑ Ù µs p [] p[n ] p [N] L[N] z ÔÔÖº ÀÓÛÚÖ Ø ÖÑÒÒ Ò ÓÖ ºº ØÓ ÛÓ Ñ¹ ÙÖÑÒØ Ú ÒÓØ Ò ÔÖÓ [ Ýص Ö ÒÓÖ Ò Ø ÑÝÓÔº ÌØ ÛÝ ÓÑ ] ÑÙÐع Ò ÓÖ ÒÓÖÑÐÞØÓÒ ØÖÑ Ù µs p [] p[i ] p [i] L[i] z p [i+] p [N] ÛÐÐ ÔÔÖ Ò [ ] Ø ÑÝÓÔ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÒ ØÖÙÒØ ÓÖÑ µs p [] p[i ] p [i] L[i] z º