A(0,j) = 0 A(i,0) = 0 A(i,j) = A(i 1,j) size(a i ) > j A(i,j) = max{a(i 1,j),profit(a i ) + A(i 1,j size(a i ))} size(a i ) j

ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ôº ¹ µ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÌÃÃ ½

ÇÙØÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ Ò Ø ÓÒ ÃÒ Ô ËØÖÓÒ Æȹ Ö Ò Ò È Ò Å Ò ÑÙÑ Å Ô Ò Ë ÙÐ Ò ¾

Ò Ø ÓÒ Ä Ø Π Ò Æȹ Ö ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒµ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ f Π º Ð ÓÖ Ø Ñ A Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ ÓÖ Π ÓÒ ÒÔÙØ (I,ǫ) Û Ö I Ò Ò Ø Ò Ó Π Ò ǫ > 0 Ò ÖÖÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö Ø ÓÙØÔÙØ ÓÐÙØ ÓÒ s Ù Ø Ø f Π (I,s) (1 + ǫ)optº A ØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ ÈÌ Ëµ ÓÖ Ü ǫ > 0 Ø ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ ÓÙÒ Ý ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ø Þ Ó Ò Ø Ò Iº Á Ø ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ Ó A ÓÙÒ Ý ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ø Þ Ó Ò Ø Ò I Ò 1/ǫ Ø Ò A ØÓ ÙÐÐÝ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ ÈÌ Ëµº

ÃÒ Ô ÈÖÓ Ð Ñ Ú Ò Ø S = {a 1,...,a n } Ó Ó Ø Û Ø Ô Þ Ò ÔÖÓ Ø size(a i ) + Ò profit(a i ) + Ò Ô ØÝ B + Ò Ù Ø Ó Ó Ø Û Ó ØÓØ Ð Þ ÓÙÒ Ý B Ò ØÓØ Ð ÔÖÓ Ø Ñ Ü Ñ Þ º Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ô Ù Ó¹ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ ÓÙÒ Ý ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò I u Û Ö I u Ø ÙÒ ÖÝ Þ Ó Ò Ø Ò Iº ÃÒ Ô ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐÓÛ Ô Ù Ó¹ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñº Ì Ø Ù ØÓ Ö Ø ÈÌ Ë ÓÖ ÃÒ Ô º

ÈÌ Ë ÓÖ ÃÒ Ô Ä Ø A(i,j) Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÔÖÓ Ø Ø Ø Ò ØØ Ò Û Ø Þ Ð Ø Ò ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ j Ù Ò Ø Ñ ÙÔ ØÓ iº A(0,j) = 0 A(i,0) = 0 A(i,j) = A(i 1,j) size(a i ) > j A(i,j) = max{a(i 1,j),profit(a i ) + A(i 1,j size(a i ))} size(a i ) j Í Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÃÒ Ô ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÙÒ Ò Ø Ñ O(nB) ÑÔÐÝ Ý ÐÙÐ Ø Ò A(n,B)º

ÈÌ Ë ÓÖ ÃÒ Ô ÓÒØ ÒÙ µ ÈÖÓ Ð Ñ ÔÖÓ Ø Ó Ó Ø Ö ÒÓØ ÓÙÒ Ý ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò nº ËÓÐÙØ ÓÒ ÒÓÖ ÓÑ ÒÙÑ Ö Ó Ð Ø Ò ÒØ Ø Ó ÔÖÓ Ø Ê ÙÐØ ÈÖÓ Ø Ó Ø Ð Ø (1 ǫ)opt Ò Ø Ñ ÓÙÒ Ý ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò n Ò 1/ǫ Ì ÓÖ Ñ º µº

ÈÌ Ë ÓÖ ÃÒ Ô ÓÒØ ÒÙ µ Ä Ø P Ø ÔÖÓ Ø Ó Ø ÑÓ Ø ÔÖÓ Ø Ð Ø Ñº Ú Ò ǫ > 0 Ð Ø K = ǫp n º ÓÖ Ó Ø a i Ò profit (a i ) = profit(ai) K º Í Ò profit Ø ÔÖÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÑÓ Ø ÔÖÓ Ø Ð Ø Sº ÇÙØÔÙØ Sº

ÈÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø O ÒÓØ Ø ÓÔØ Ñ Ð Øº ÁØ Ý ØÓ Ø Ø K profit (a i ) = profit(a i ) C i Û Ö 0 C i < Kº Ì Ù K profit (O) profit(o) nk profit(o) K profit (O) nkº Ì ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ø Ô Ú Ù Ø ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ù profit(s) K profit (O) profit(o) nk = OPT ǫp OPT ǫopt = (1 ǫ)optº Ì ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø ÓÙØ Ú ÓÒ Ý K O(nB)º ØÖ Ú Ð ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø O(n 2 P)º Ý ÒÓÖ Ò Ø Ð Ø Ò ÒØ Ø Ú ÓÒ Ý Kµ Û Ø ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ O(n 2 P K ) = O(n2 n ǫ ) Û ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò n Ò 1/ǫ ÔÖÓÚ Ò Ø Ø ÓÖ Ñº

ËØÖÓÒ Æȹ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Π ØÖÓÒ ÐÝ Æȹ Ö Ú ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÆÈ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ Ö Ù ØÓ Π Ò Ù Û Ý Ø Ø ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö Ù Ò Ø Ò Ö ÐÛ Ý ÛÖ ØØ Ò Ò ÙÒ Öݺ ÃÒ Ô ÒÓØ ØÖÓÒ ÐÝ Æȹ Ö ÙÒÐ È ÆȺ Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø p ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Π Ò Æȹ Ö Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ø Ø Ø Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ f Π ÒØ Ö Ú ÐÙ Ò ÓÒ ÒÝ Ò Ø Ò I OPT(I) < p( I u )º Á Π Ñ Ø Ò ÈÌ Ë Ø Ò Ø Ð Ó Ñ Ø Ô Ù Ó¹ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñº

ÈÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ º ËÙÔÔÓ Ø Ö Ò ÈÌ Ë ÓÖ Π Û Ó ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ ÓÒ Ò Ø Ò I Ò ÖÖÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö ǫ q( I,1/ǫ) Û Ö q ÔÓÐÝÒÓÑ Ðº Æ ÜØ Ø ǫ = 1/p( I u ) Ò ÖÙÒ Ø ÈÌ Ëº Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÔÖÓ Ù ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ (1 + ǫ)opt(i) < OPT(I) + ǫp( I u ) = OPT(I) + 1 Ì Ù Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ø ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ ÓÙÒ Ý ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò I u º Ì Ö ÓÖ Û Ú Ó Ø Ò Ô Ù Ó¹ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Π Ò Ø ÔÖÓÓ ÓÑÔÐ Ø º ½¼

Ò È Ò Ú Ò n Ø Ñ Û Ø Þ a 1,...,a n (0,1] Ò Ô Ò Ò ÙÒ Ø¹ Þ Ò Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò Ù º Ö Ø¹ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓÖ ¾ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ô Ò º Ì Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ ÔÙØ Ø Ñ ØÓ Ø Ö Ø ÔÓ Ð Ò Ø Ø ÒØÓ Ò Ð ÓÔ Ò Ò Û Òº Á Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ù m Ò Ø Ò Ø Ð Ø m 1 Ò Ö ÑÓÖ Ø Ò Ð ÙÐк Ì Ö ÓÖ OPT Σ n i=1a i > m 1 2 m 1 < 2OPT m 2OPT ½½

Ì ÓÖ Ñ º¾ ÓÖ ÒÝ ǫ > 0 Ø Ö ÒÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ò Ù Ö ÒØ Ó 3/2 ǫ ÓÖ Ø Ò Ô Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÙÑ Ò È ÆȺ Á Û Û Ö Ð ØÓ Ò Ù Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ô Ò Ø Ò Û ÛÓÙÐ Ð ØÓ ÓÐÚ Ø Æȹ Ö ÒÙÑ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý Ä Ø Ø Ò Þ 1 2 Σ ia i º Á n Ø Ñ Ò Ô ÒØÓ ¾ Ò Ó Ø Ø Þ Ø Ò Û Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ù Û 3/2 ǫ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÛÓÙÐ Ò Ø ÓÔØ Ñ Ð Ô Ò º ½¾

Ì ÓÖ Ñ º ÓÖ ÒÝ ǫ 0 < ǫ 1/2 Ø Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ A ǫ Ø Ø ÖÙÒ Ò Ø Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò n Ò Ò Ô Ò Ù Ò Ø ÑÓ Ø (1 + 2ǫ)OPT + 1 Ò º Proof. Ä Ø I ÒÓØ Ø Ú Ò Ò Ø Ò Ò I ÒÓØ Ø Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ý Ö Ò Ø Ñ Ó Þ < ǫ ÖÓÑ Iº Ý Ä ÑÑ º Ø ÔÓ Ð ØÓ Ò Ô Ò ÓÖ I Ù Ò Ø ÑÓ Ø (1 + ǫ)opt(i ) Ò º Æ ÜØ Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ñ (< ǫ Þ ) Ö Ô Ò Ö Ø¹ Ø Ñ ÒÒ Ö ÒØÓ Ø Ò º Á ÒÓ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ø Ò Ô Ò Ò (1 + ǫ)opt(i ) (1 + ǫ)opt(i) Ò Ò Ó Ø Ò º Ð Ð Ø M Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ò Ù º ÐÐ ÙØ Ø Ð Ø Ò ÑÙ Ø ÙÐÐ ØÓ Ø ÜØ ÒØ Ó Ø Ð Ø 1 ǫº Ì Ö ÓÖ Ø ÙÑ Ó Ø Ø Ñ Þ Ò I Ø Ð Ø (M 1)(1 ǫ) OPTº À Ò M OPT 1 ǫ + 1 (1 + 2ǫ)OPT + 1 Ù ǫ 1/2º ½

Ä ÑÑ º Ä Ø ǫ > 0 Ü Ò Ð Ø K Ü ÒÓÒÒ Ø Ú ÒØ Öº ÓÒ Ö Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ô Ò ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ò Ø Ò Ò Û Ø Ñ Ó Þ Ø Ð Ø ǫ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø ÒØ Ø Ñ Þ Kº Ì Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø ÓÔØ Ñ ÐÐÝ ÓÐÚ Ø Ö ØÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñº Proof. Ì ÒÙÑ Ö Ó Ø Ñ Ò Ò ÓÙÒ Ý 1/ǫ = Mº Ì Ö ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö ÒØ Ò ØÝÔ ÓÙÒ Ý R = ( ) M+K M º Ì ÒÙÑ Ö Ó Ò Ù Ø ÑÓ Ø n Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ Ð Ô Ò ÓÙÒ Ý P = ( n+r R ) Û ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò n ØÙ ÐÐÝ O(n R )µº ÇÒ Ò ÒÙÑ Ö Ø Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ò Ô Ø ÓÔØ ÑÙѺ ½

Ä ÑÑ º Ä Ø ǫ > 0 Ü º ÓÒ Ö Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ô Ò ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ò Ø Ò Ò Û Ø Ñ Ó Þ Ø Ð Ø ǫº Ì Ö ÈÌ Ë Ø Ø ÓÐÚ Ø Ö ØÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ò ØÓÖ Ó (1 + ǫ)º Proof. ÁÒ Ø ÓÓ º ½

Ò È Ò ÈÌ Ë Ð ÓÖ Ø Ñ Ê ÑÓÚ Ø Ñ Ó Þ < ǫº ÊÓÙÒ ØÓ Ó Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ ÒÙÑ Ö Ó Ø Ñ Þ º Ò ÓÔØ Ñ Ð Ô Ò º Í Ø Ô Ò ÓÖ Ø ÓÖ Ò Ð Ø Ñ Þ º È Ø Ñ Ó Þ < ǫ Ù Ò Ö Ø¹ غ ÆÓØ Ø Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÓØ ÒÝ Ò Ó ÔÖ Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ò Ô Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÙØ Ò Ø ÓÖÝ Ø³ Ò Ù Ø ÛÓÖ Ò ÔÓÐÝÓÑ Ð Ø Ñ º ½

Å Ò ÑÙÑ Å Ô Ò Ë ÙÐ Ò Ú Ò ÔÖÓ Ò Ø Ñ ÓÖ n Ó p 1,...,p n Ò Ò ÒØ Ö m Ò Ò ÒÑ ÒØ Ó Ø Ó ØÓ m ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ø Ø Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ø Ñ Ð Ó ÐÐ Ø Ñ Ô Ò Ñ Ò Ñ Þ º ÁØ Ý ØÓ Ò ØÓÖ ¾ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ì ØÓ ÙÐ Ø Ó ÓÒ Ý ÓÒ Ò ÒÝ ÓÖ Ö Ò Ò Ó ØÓ Ø Ñ Ò Û Ø Ð Ø ÑÓÙÒØ Ó ÛÓÖ Ó Öº Ä Ø start j Ø Ø Ñ Û Ò Ø Ð Ø Ó jµ Ø ÖØ º Ð ÖÐÝ start j 1 m Σ ip i OPT Ò p j OPT Ø Ù start j + p j 2OPTº ½

ÈÌ Ë ÓÖ Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ô Ò Å Ò ÑÙÑ Ñ Ô Ò ÔÖÓ Ð Ñ ØÖÓÒ ÐÝ Æȹ Ö º Ì Ù Ø Ó ÒÓØ Ñ Ø Ò ÈÌ Ë È ÆȺ Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ù ØÓ Ò Ô Ò º Ì Ö Ü Ø ÙÐ Û Ø Ñ Ô Ò t Ò ÓÒÐÝ n Ó Ø Ó Þ I = {p 1,...,p n } Ò Ô ÒØÓ m Ò Ó Ô ØÝ t º Ä Ø bins(i,t) Ö ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó Ò Ó Þ t Ö ÕÙ Ö ØÓ Ô Ó Ø Ò Ø Iº Ì Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ô Ò Ú Ò Ý min{t bins(i,t) M}º ½

ÈÌ Ë ÓÖ Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ô Ò ÓÒØ ÒÙ µ Ì Ø ÓÐÐÓÛ Ò LB = max{ 1 m Σ ip i,max i {p i }}º È Ö ÓÖÑ Ò ÖÝ Ö ØÛ Ò ÙÔÔ Ö Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ô Ò LB OPT 2LBµº Ì Ö ÓÙÐ Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÓÑ ÔÓ ÒØ ØÓ Ù Ö ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ º Ì Ö Ü Ø ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø ÓÐÚ Ø Ö ØÖ Ø Ò Ô Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò O(n 2k ) Ø Ñ Û Ö k Ø ÒÙÑ Ö Ó Ó Ø Þ º ÊÓÙÒ Ø Ó Ø Þ ØÓ Ò ÓÙÒ ÒÙÑ Ö Ó Ö ÒØ Þ ÐÐÓÛ Ò Ø Ù Ó Ø Ò Ô Ò Ð ÓÖ Ø Ñº Ì Ö ÙÐØ Ó Ø ÔÔÖÓ Ú Ð ÙÐ Ú Ò Ñ Ô Ò Ø ÑÓ Ø (1 + 3ǫ)OPT Ò Ø Ñ O(n 2k log 2 1 ǫ ) Û Ö k = log 1+ǫ 1 ǫ º ½

ËÙÑÑ ÖÝ Ì Û ØÓ Ó Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Æȹ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ø Ø Û Ò Ø ÖÖÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ò Ô ÓÖ Ò ÙÖ Ýº ÈÌ Ë ÓÖ Ò Ô Ï ÓÛ Ø Ø ØÖÓÒ ÐÝ Æȹ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÒÓØ ÐÐÓÛ Ò ÈÌ Ë ÈÌ Ë ÓÖ Ò Ô Ò Ì Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ô Ò ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ò Ô Ò ¾¼