¾º (F (G H)) ((F G) (F H)) º ( F G) (( F G) F) p,p q q

ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÈÖÓÓ ËÝ Ø Ñ Ôº ¾ ¹¾ µ Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ Ì ÓÖ Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÌÃÃ ½

º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ê Ð Ø ÓÒ ØÓ ÓÓÐ Ò ÖÙ Ø Ò ÓÔ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÓÖÝ º º Ó¹ÆÈ Æȵº Ò Ø ÓÒ Ì ÙØÓÐÓ Ý ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ Û ØÖÙ Ò Ú ÖÝ ØÖÙØ ÒÑ Òغ Á = T Ø Ò T Ø ÙØÓÐÓ Ýº Ì ÙØÓÐÓ Ò ÔÖÓÚ Û Ø Ö ÒØ ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ º Ì Ð Ò Ø ÓÖ ÓÑÔÐ Ü Øݵ Ó Ø ÔÖÓÓ Ô Ò ÓÒ Ü ÓÑ Ò ÖÙÐ Ó ÒØ Ö Ö Ò Ó Ø Ý Ø Ñº ¾

Ì Ö Ö Ñ ÒÝ Ö ÒØ ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ ÒÐÙ Ò ÒØÞ Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÕÙ ÒØ ÐÙÐÙ Äõ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Êµ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ØÞ Ý Ø Ñ Æ˵ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÐÙÐÙ È µ ÙØØ Ò ÔÐ Ò Èµ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ØÖ ÓÐ ÐÙÐÙ ÈÌõ Ö Ý Ø Ñ µ ÜØ Ò Ö Ý Ø Ñ µ

Ü ÑÔÐ Ö Ý Ø Ñ Ù Ò ÓÒÐÝ ÓÒÒ Ø Ú Ò º Ü ÓÑ ½º F (G F) ¾º (F (G H)) ((F G) (F H)) º ( F G) (( F G) F) Ì ÓÒÐÝ ÖÙÐ Ó Ò Ö Ò modus ponens p,p q q ÇÒ Ò ÔÖÓÚ Ú ÖÝ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÙØÓÐÓ Ý Ù Ò Ø Ü ÓÑ Ò ÑÓ Ù ÔÓÒ Ò º

ËÓÑ ÒÓØ Ø ÓÒ Á ÓÖÑÙÐ F Ò Ö Ú ÖÓÑ T Ø Ó ÓÖÑÙÐ µ Û ÒÓØ T F º Ì Ñ Ò Ø Ö ÕÙ Ò P = (F 1,...,F n ) Ù Ø Ø F n = F Ò ÓÖ 1 i n F i Ø Ö ÐÓÒ ØÓ Ø T ÓÖ Ö Ú ÖÓÑ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÖÑÙÐ F j Û Ö i > jº Á F ÓÖ F µ Ø Ò F Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ú Ø ÓÒ P Ø ÔÖÓÓ Ó F º ÈÖÓÓ Ý Ø Ñ P Û Û Ù Ò Ø Ý ÒÓØ Ø ÓÒ T P F

ÅÓÖ Ò Ø ÓÒ ÈÖÓÓ Ý Ø Ñ P ÓÙÒ Ú ÖÝ Ø ÓÖ Ñ F Ó P Ú Ð = F µº ÅÓÖ ÓÚ Ö P ÑÔÐ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÓÑÔÐ Ø ÓÖ ÒÝ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ F 1,...,F k,g Ø Ø Ø Ø F 1,...,F k = G ÑÔÐ F 1,...,F k P Gº Ä Ò Ø Ó ÔÖÓÓ P = (F 1,...,F n ) n Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò Ö Ò ÓÖ Ø Ô µº Ì Þ Ó ÔÖÓÓ P n i=1 F i Û Ö F i Ø ÒÙÑ Ö Ó ÝÑ ÓÐ Ò F i º

º¾ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÈÖÓÓ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ Ä Ø Σ 1 Ò Σ 2 Ò Ø ÐÔ Ø Ù Ø Ø Ø Ö Ö Ò Ð ØÝ ØÛÓ ÓÖ Ö Ø Ö Ò Ð Ø L Σ 2 º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ ÓÖ L ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ð ÙÖ Ø ÓÒ f : Σ 1 Lº ÆÓØ Ø Ø ØÝÔ ÐÐÝ L ÓÐÐ Ø ÓÒ TAUT Ò ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò Ø ÅÓÖ Ò Σ 1 = {0,1,,,x, (, ) }º Ö ÒØ Ú Ö Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ ØÖ Ò xb Û Ö b Ò ÖÝ ÒÙÑ Öº ÈÖÓÓ Ý Ø Ñ f : Σ L ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ Ø Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p Ù Ø Ø ( x L)( y Σ )(f(y) = x y p( x )) ½µ

Ì ÓÖ Ñ º¾º½ ÆÈ Ó¹ÆÈ Ì Ö ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ ÓÖ TAUT º Proofº x TAUT x UNSAT º Ì Ù x / TAUT x / UNSAT x SAT º Ù SAT ÆȹÓÑÔÐ Ø TAUT ÑÙ Ø Ó¹ÆȹÓÑÔÐ Ø º : Ä Ø Σ = {0,1,,,x, (, ) }º TAUT Ó¹ÆÈ Ó TAUT ÆȺ À Ò Ø Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ð Ö Ð Ø ÓÒ R Ù Ø Ø x : x TAUT ( y Σ )(R(x,y) y p( x ))º Ì Ñ Ò Ù ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÌÙÖ Ò Ñ Ò ÓÒ ÒÔÙØ x Ò Ù y Ò Ú Ö Ý Ø Ø y ÓÖÖ Ø Ý R(x,y)º Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ f : (Σ { <,, > }) TAUT Ý f(w) = x y : R(x,y) w =< x,y > Ò f(w) = p p ÓØ ÖÛ º ÆÓÛ f ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ º

: Ä Ø f : Γ TAUT ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ ÓÖ TAUT º Ä Ø p Ø Ý Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ x : x TAUT ( y Γ )(f(y) = x y p( x ))º ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ Û Ó Ø Ò Ø Ø TAUT ÆȺ ÙÑ R Ó¹ÆȺ Ù TAUT Ó¹ÆȹÓÑÔÐ Ø R ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ Ö Ù Ð ØÓ TAUT º Ù TAUT ÆÈ Ó Rº Ì Ù Ó¹ÆÈ ÆȺ ÆÓØ Ø Ø Ì ÓÖ Ñ º¾º½ ÓÐ ÓÖ ÒÝ Ò Ø ÕÙ Ø Ø Ó ÓÒÒ Ø Ú º

Ò Ø ÓÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ T ÙØÓÑ Ø Þ Ð Ø Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ A T Û Ú Ò ÒÝ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ A Ý Ð ÔÖÓÓ Ò T Ó A Ò Ø Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Þ Ó A ÔÖÓÚ Ø Ø Ù Ü Ø º ½¼

Æ Û Ò Ø ÓÒ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÒÒ Ø Ú ÙÒØ ÓÒ ÝÑ ÓÐ Ó Ú Ò Ö ØÝ ÓÖÑÙÐ Ò Ø Ø κ Ó ÓÒÒ Ø Ú Ò Ø ÖÓÓØ ÓÖ Ö Ð Ð ØÖ Û Ø Ö Ò Ð ÒÓ Ð Ð Ý Ú Ö Ð ÓÖ Û Ó ÖÓÓØ Ð Ð Ý ÓÒÒ Ø Ú Ó Ö ØÝ n ÖÓÑ κ Ò Û Ó Ð Ö Ò F 1,...,F n Ö ÓÖÑÙÐ Ì Þ Ó ÓÖÑÙÐ F ÒÓØ Ý F Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó ÝÑ ÓÐ Ò F Ì ÓÖÑÙÐ Þ f(f)µ Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó ÓÒÒ Ø Ú Ò F Ì ÖÙ Ø Þ c(f)µ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø ÒØ Ù ÓÖÑÙÐ Ò F Ì Ð Þ F µ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÙÖÖ Ò Ó Ú Ö Ð Ò F Ì ÖÓÓØ ÐÐ ÔÖ Ò Ô Ð ÓÒÒ Ø Ú ½½

Ü ÑÔÐ Ö Ý Ø Ñ Σ = {x,0,1,, }º x i = 1 + i F = 1 + F F G = 1 + F + G x i = 1 F = F F G = F + G f(f) = ÒÙÑ Ö Ó Ø Ò Ø ÓÖÑÙÐ ØÖ c(f) = Ñ Ò ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó Ø Ò ÖÙ Ø Û Ö ÔÖ ÒØ F ÙÑ Ø Ø ÐÐ ÓÒÒ Ø Ú Ó ÓÖÑÙÐ F Ú Ö ØÝ Ø ÑÓ Ø k Ò Ø Ö Ö Ò Ú Ö ØÛÓ Ù Ú ÓÙÖ Ò Ó ÙÒ ÖÝ ÓÒÒ Ø Ú Ò Ú Ö Ð ÔÔ Ö Ò Ò F Ö x 1,...,x m Û Ö m = F º Ì Ò f(f) + F Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÓ Ò Ø ÓÖÑÙÐ ØÖ º Ð ÖÐÝ F F = O( F log 2 F )º ½¾

Ò Ø ÓÒ ÓÖ ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ F Ò Ø ÙØÓÐÓ Ý T size F (T) Ø Ñ Ò ÑÙÑ Þ Ó ÔÖÓÓ P Ó T Ò Ý Ø Ñ F º Ê Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ö ÒØ ØÝÔ Ó Þ Ò ÐÝ ÓÙÒ º º c(f) f(f)µº ÌÓØ Ð ØÖÙØ ÒÑ ÒØ Ñ ÔÔ Ò σ : {x 1,...,x n } {0,1}º ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ f B n Ö ÔÖ ÒØ Ý ÓÖÑÙÐ F f(σ) = F σ ÓÖ ÐÐ ØÓØ Ð ØÖÙØ ÒÑ ÒØ Ò {0,1} n º Ø κ Ó ÓÒÒ Ø Ú ÕÙ Ø Ú ÖÝ ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý ÓÖÑÙÐ Ò κº Ø ÙØÓÐÓ Ý T TAUT κ Ø ÙØÓÐÓ Ý Ò Ø ÓÒÒ Ø Ú Ø κº Ë Ñ Ð ÖÐÝ Form κ Ø Ø Ó ÓÖÑÙÐ Ò ÓÒÒ Ø Ú Ø κº Ä Ø Form ÒÓØ Ø Ø Ó ÓÖÑÙÐ ÓÚ Ö Ø ÅÓÖ Ò Ø {0,1,,, } Ó ÓÒÒ Ø Ú º ½

Ì ÓÖ Ñ º¾º¾ Ì Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ð ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ tr : Form κ Form Ø Ý Ò tr(f) F ÓÖ ÐÐ F Form κ Ò Û ÙÖ Ø Ú Ò Ø Ò Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ G Form Ø Ö Ü Ø F Form κ Ù Ø Ø tr(f) Gº Proof. Ä Ø ÓÖ Ò ÓÔØ ÓÒ Ð ÓÑ Ü Ö º ÆÓØ Ø Ø ÒÓÛ Ì ÓÖ Ñ º¾º½ ÓÐ ÓÖ TAUT κ Ò ÔÐ Ó TAUT º Ì ÓÖ Ñ º¾º½ Ð Ó ÑÔÐ Ø Ø ÒÓ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ ÓÖ TAUT Ø Ò P NP º ½

È ÓÒ ÓÐ ÔÖ Ò ÔÐ Á n + 1 Ô ÓÒ ÓÙÔÝ n Ô ÓÒ ÓÐ Ø Ð Ø ÓÒ ÓÐ ÑÙ Ø ÓÙÔ Ý Ø Ð Ø ØÛÓ Ô ÓÒ º Ì Ü ÑÔÐ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÛ Ø Ò ÛÖ ØØ Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ ÓÖÑÙÐ º Ä Ø m Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô ÓÒ Ò m > n Ò Ð Ø p i,j ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð Û Ó ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ô ÓÒ i Ø Ò ÓÐ jº m i=1 j=1 n p i,j 1 i<i m j=1 n (p i,j p i,j) ¾µ Ì ÓÖÑÙÐ Ò ØÙÖ ÐÐÝ Ø ÙØÓÐÓ Ý Û Ø O(m 2 n) ÝÑ ÓÐ º Ì ÓÖÑÙÐ ÜÔÖ Ø Ø Ø Ö ÒÓ Ò Ø Ú Ö Ð Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Ó Þ m ÒØÓ Ø Ó Þ nº ½

Ä Ø Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ò ÜØ ÔØ Ö Ä Ø f,g ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ Ù Ø Ø f : Σ 1 TAUT Ò g : Σ 2 TAUT º Ì Ò g Ô¹ ÑÙÐ Ø f Ø Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ð ÙÒØ ÓÒ h : Σ 1 Σ 2 Ù Ø Ø g(h(x)) = f(x) ÓÖ ÐÐ x Σ 1 º ÐØ ÖÒ Ø Ú ÐÝ h ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ ÙØ ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ð Ð Ø P 1 Ò P 2 Ö Ø ÖÝ ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ º ËÝ Ø Ñ P 1 ÑÙÐ Ø P 2 Ò ÓÒÐÝ Ø Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p(x) Ù Ø Ø ÓÖ ÒÝ ÔÖÓÓ Q Ó ÓÖÑÙÐ A Ò P 2 Ø Ö ÔÖÓÓ P Ó A Ò P 1 Ò size(p) p(size(q))º Á P 1 Ò P 2 Ú Ø Ñ Ð Ò Ù Ø Ò Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÖÓÒ º ½

º ÒØÞ Ò Ë ÕÙ ÒØ ÐÙÐÙ ÓÒÒ Ø Ú,, ÒØ Ò Ø Ø Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ ØÝÔ ÐÐÝ ÒÓØ Û Ø Ð Ö Ö Ð ØØ Ö Γ ÕÙ ÒØ Γ Ò Ö ÒØ º Γ ÒØ Ò ÒØ Ò Ù ÒØ Γ, Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ó Γ ÆÓØ Ñ Ð Ö ØÝ ØÛ Ò Ò º Á ÓÒ Û ÒØ ØÓ Ø Ò Ò Ù Û Ý Ø Ñ Ò Ò Ó Γ Γ º ½

ÊÙÐ Ó Ò Ö Ò left : left : Φ,Γ Γ Φ, Φ,Γ right : Ψ,Γ Φ Ψ,Γ Γ Φ, right : Γ Φ Ψ, right : left : right : Γ Φ, Φ,Γ Φ Ψ,Γ left : Γ Ψ, Γ Φ Ψ, Φ,Γ Φ,Γ Γ Φ, Γ Φ, Γ Ψ Φ, Φ,Γ Ψ Φ,Γ cut : Γ Φ, Γ Γ structural : Γ Γ Γ, µ Ì ÓÒÐÝ Ü ÓÑ Ö Ó Ø ÓÖÑ p p Û Ö p ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð º ½

ÔÖÓÓ Ó Γ ÕÙ Ò P Ó ÕÙ ÒØ S 1,...,S n Ù Ø Ø S n Ø Ò ÕÙ ÒØ Ó Γ º ÔÖÓÓ ØÖ ¹Ð ÕÙ ÒØ Ù Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ø ÝÔÓØ Ó ÖÙÐ º ØÖ ¹Ð ÔÖÓÓ Γ Ø Ù ØÖ Ø Ý Ò Γ Ø ÖÓÓØ Ä Ú Ö Ü ÓÑ Ú ÖÝ ÒÓ ÓØ Ö Ø Ò Ø ÖÓÓØ Ò ÙÔÔ Ö ÕÙ ÒØ Ó ÖÙÐ Ú ÖÝ ÒÓ ÓØ Ö Ø Ò Ð ÐÓÛ Ö ÕÙ ÒØ Ó ÖÙÐ ÔÖÓÓ Û Ø ÓÙØ Ø ÙØ ÖÙÐ ÐÐ Ùع Ö º Ì Þ S(Π) Ó Ö Ú Ø ÓÒ Π = (Φ 1,...,Φ n ) Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó ÝÑ ÓÐ Ò Πº Ì Ð Ò Ø L(Π) nº Á Φ Ø ÙØÓÐÓ Ý Ø Ò S(Φ) (S T (Φ)) S(Π) Û Ö Π Ø Ñ ÐÐ Ø ÔÖÓÓ ØÖ ¹Ð ÔÖÓÓ µ Ó Φº Ë Ñ Ð Ö Ø Ø Ñ ÒØ ÓÐ ÓÖ Ð Ò Ø Lº ½

Ü ÑÔÐ Ö Ú Ø ÓÒ Problem. Ö Ú T = A A Ù Ò Äú Ð ÖÐÝ T Ø ÙØÓÐÓ Ýº A A ( R) A A A,A ( R) A,A A A,A A A,A A,A A ( R) A,A A A A,A, A (cut) A A,A, A A A ¾¼

ËÙÑÑ ÖÝ Ü ÑÔÐ Ó Ö Ý Ø Ñ ÈÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÙÒ Ò ÓÖ ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ Ò Ö ÔÖ ÒØ ØÖ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ø Ø Ñ ÒØ Ò ÓÖÑ Ð Þ ÒØÓ ÐÓ Ð ÓÖÑ Ó ÒØÞ Ò Ë ÕÙ ÒØ ÐÙÐÙ Æ Ú Ö ÓÑ ØÓ Ì Ø Ø ÛÖÓÒ Ø Ñ µ ¾½