Red box rules are for proof stage only. Delete before final printing. PARDOUX Algorithms, Networks, Genome and Finance Etienne Pardoux LATP, Université de Provence, Marseille, France. This well-written book provides a clear and accessible treatment of the theory of discrete and continuous-time Markov chains, with an emphasis towards applications. The mathematical treatment is precise and rigorous without superfluous details, and the results are immediately illustrated in illuminating examples. This book will be extremely useful to anybody teaching a course on Markov processes. Jean-François Le Gall, Professor at Université de Paris-Orsay, France. Markov processes are the class of stochastic processes in which past and future are conditionally independent, given their present state. They constitute important models in many applied fields. After an introduction to the Monte Carlo method, this book describes discrete time Markov chains, the Poisson process and continuous time Markov chains. It also presents numerous applications including Markov Chain Monte Carlo, Simulated Annealing, Hidden Markov Models, Annotation and Alignment of Genomic sequences, Control and Filtering, Phylogenetic tree reconstruction and Queuing networks. The last chapter is an introduction to stochastic calculus and mathematical finance. Features include: The Monte Carlo method, discrete time Markov chains, the Poisson process and continuous time jump Markov processes. An introduction to diffusion processes, mathematical finance and stochastic calculus. Applications of Markov processes to various fields, ranging from mathematical biology, to financial engineering and computer science. Numerous exercises and problems with solutions to most of them. Markov Processes and Applications Markov Processes and Applications Extreme Values Statistical Analysis Using R Lee Fawcett David Walshaw WILEY SERIES IN PROBABILITY AND STATISTICS
º Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ Ø r Ð Ö Ø ÓÖ Ö Ø Ø Ø Ú Ò ÕÙ Ò Ó ÁÁ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð X 1,X 2,... Û Ú ÓÛÒ ÓÛ Ø Ò Ö Ð ÜØÖ Ñ Ú ÐÙ ØÖ ÙØ ÓÒ ÜÔÖ ÓÒ µ Ò Ù ØÓ ÑÓ Ð Ø Ø Ó ÒÓÖÑ Ð ÒÒÙ Ð Ñ Ü Ñ º Ì ÔÔÖÓ ÐÝ Ò ÒØ Ò ÐÐ ÙØ Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ò Ý Ö ÓÖ ÐÓ µ Ö Ö ÓØ Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ Û ÓÙÐ ÓÒ Ö ÜØÖ Ñ Ö ÑÔÐÝ Ø ÖÓÛÒ Û Ý Ù Ø Ý Ö ÒÓØ ÜØÖ Ñ Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ú ÐÙ Ò Ø Ø Ý Öº Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ö ÙÐØ Ò ÜÔÖ ÓÒ µ ØØ ÑÔØ ØÓ ÓÚ ÖÓÑ Ø Ý ÒÓÖÔÓÖ Ø Ò Ø Ð Ö Ø r ÓÖ Ö Ø Ø Ø ÖÓÑ Ý Ö Û Ö r ÒÝ ÔÓ Ø Ú ÒØ Öº Á Û ÒÓØ Ø r Ð Ö Ø ÓÖ Ö Ø Ø Ø Ò Ò ÁÁ ÑÔÐ Ý M 1) M 2)... M r) ÓÖ r 1 Ø Ò Ø Ø Ò ÕÙ Ö ØÓ Ó Ø Ò Ø Ð Ñ Ø Ò Ó ÒØ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó M 1) n b n, M2) n b n a n a n,..., Mr) n b n a n ÁØ Ò ÓÛÒ Ø Ø Ø ÓÑÔÐ Ø Ð Ó Ð Ñ Ø Ò ÒÓÒ Ò Ö Ø Ó ÒØ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ý Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ ÙÒØ ÓÒ { [ )] x fx 1,x 2,...,x r ;µ,,ξ) = r r) 1/ξ µ ÜÔ 1ξ 1 1 ) r [ )] } x j) µ ÐÓ 1ξ ½ µ ξ j=1 ÓÖ j = 1,...,rº ÓÖ Ø ξ = 0 Ø Ò Ø Ð Ñ Ø ξ 0 Ò ½ µ ØÓ Ú { [ )] x fx 1,x 2,...,x r ;µ,,ξ) = r r) µ ÜÔ ÜÔ r ) } x j) µ. Ç Ú ÓÙ ÐÝ Ø Û Ö r = 1 ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø ÒÒÙ Ð Ñ Ü Ñ ÔÔÖÓ ÓÖ Û Ø Î ÓÐ Ø Ð Ñ Ø Ò ØÖ ÙØ ÓÒº Ì ÒÖ ÔÖ ÓÒ ÓÚ Ö Ø ØÖ Ø ÓÒ Ð ÒÒÙ Ð Ñ Ü Ñ ÔÔÖÓ Ù ØÓ ÑÓÖ ÜØÖ Ñ Ò ÒÓÖÔÓÖ Ø ÒØÓ Ø Ò ÐÝ µ Ó Ú ÓÙ ÔÔ Ð ÓÛ Ú Ö ËÑ Ø ½ µ ÓÛ Ø Ø r ÒÖ Ø Ö Ø Ó ÓÒÚ Ö Ò ØÓ Ø Ð Ñ Ø Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Ö Ö Ô ÐÝ Ò Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÖ Ö Ø Ø Ø ØÓ ÒÐÙ ÑÙ Ø ÓÒ Ö Ö ÙÐÐݺ ËÙ Ñ Ø Ó ÑÙ Ø Ð Ó Ø ÓÙÒØ Ó Ö Ð ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÚÙÐÒ Ö Ð ØÓ Ø Ø Ó ÓÒ Ð Ú Ö Ø ÓÒº È Ô Ö Ò Ø ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÀÝ ÖÓÐÓ Ý Ý ËÑ Ø ½ µ Ò Ì ÛÒ ½ µ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ù Ó r Ð Ö Ø Ñ Ø Ó Ò Ë Ø ÓÒ º º Û ÔÔÐÝ Ø Ø Ò ÕÙ ØÓ Ø ½¼ Ð Ö Ø Ð Ú Ð Ó ÖÚ Ý Ö Ò Î Ò º j=1 ). ¼
Ì ÑÓ Ð ÓÖ Ø Ö ÓÐ Ü Ò Ø Ò Ö Ð È Ö ØÓ ØÖ ÙØ ÓÒ º½ À ØÓÖÝ Ò Ø ÓÖ Ø Ð ÑÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ð ÒÒÙ Ð Ñ Ü Ñ ÔÔÖÓ ÓÖ ÑÓ ÐÐ Ò ÜØÖ Ñ Ú ÐÙ ØÓ Ø r Ð Ö Ø ÓÖ Ö Ø Ø Ø Ñ Ø Ó Û Ù Ò Ë Ø ÓÒ º Ø Ñ Ò Ú ÒØ ¹ Ò Ø ÒÐÙ ÓÒ Ó ÑÓÖ ÜØÖ Ñ Ø Ò Ø Ò ÐÝ Ð Ò ØÓ ÑÓÖ ÔÖ Ò Ö Ò ÓÒ Ø ÜØÖ Ñ Ð Ú ÓÙÖ Ó Ø ÔÖÓ ÙÒ Ö Ø٠ݺ ÀÓÛ Ú Ö ÓÒÐÝ Ø r Ð Ö Ø Ú ÐÙ Û Ø Ò Ý Ö ÓÖ ÐÓ µ Ö Ù Ò ÒÝ ÓØ Ö ÜØÖ Ñ Ö º ÁÒ Ø ÔÖ ÒØ ÔØ Ö Û Ù Ò ÔÔÖÓ Û Ñ ØÓ ÒÐÙ ÐÐ ÜØÖ Ñ Ú ÐÙ Ò Ø Ò ÐÝ ÜØÖ Ñ Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ý Ü ÓÑ ÔÖ Ø ÖÑ Ò Ð Ú Ð ÓÖ Ø Ö ÓÐ º Ì Ö ÓÐ Ñ Ø Ó Ú ÐÓÔ Ö Ô ÐÝ ÙÖ Ò Ø ½ ¼ ÙÐÑ Ò Ø Ò Ò Ø Ú ÓÒ Ò ËÑ Ø ½ ¼µ Ô Ô Ö Û ÔÔÐ Ø Ø Ò ÕÙ ØÓ Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ð Ø Ø Ø Ø ÔÐ Ý ÓÖØ Ø ÖÑ Ö Ð Ô Ò Ò Ò ÓÒ Ð Ú Ö Ø ÓÒ ÔØ Ö ÓÖ ÑÓÖ Ø Ð ÓÒ Ù ÑÓ ÐÐ Ò Ù µº Ë Ò Ø Ò Ø Ö ÓÐ Ñ Ø Ó Ú ÓÑ Ø Ø Ò Ö ØÓÓÐ ÓÖ Ñ ÒÝ ÔÖ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÚÓÐÚ Ò ÑÓ ÐÐ Ò ÜØÖ Ñ Ú ÐÙ º Ê Ð Ø Ú ØÓ Ø ØÖ ¹ Ø ÓÒ Ð ÒÒÙ Ð Ñ Ü Ñ Ò r Ð Ö Ø ÔÔÖÓ Ø Ö ÓÐ Ñ Ø Ó ØØ ÑÔØ ØÓ Ñ Ü Ñ ÒÝ Ý Ù Ò ÐÐ ÜØÖ Ñ Ú ÐÙ Ò Ø Ö Ò ÐÝ ÓÛ Ú Ö Û ÐÐ Ù Ò ÔØ Ö Ò Ë Ø ÓÒ º½º¾ ÐÓÛµ Ø Ø Ø Ø Û Ù ÐÐ ÜØÖ Ñ Ò Ø Ð Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÙ Ú ÓÒ Ò ËÑ Ø ½ ¼µ ÐÐÙ ØÖ Ø ÔÖ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÙÒ µº º½º½ Ì Ò Ö Ð È Ö ØÓ ØÖ ÙØ ÓÒ Á ÒÓÖ Ò ÓÖ ÒÓÛ Ø ÔÖ Ø Ð ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ù Ò ÐÐ ÓÙÖ ÜØÖ Ñ Ø Ò ÓÒ Ö ÕÙ Ò Ó ÁÁ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð X 1,X 2,...,X n Û Ø ÓÑÑÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ F º Ì Ò ÓÖ Ù ÒØÐÝ Ð Ö Ø Ö ÓÐ u Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó X u) ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ X > u ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Gy;,ξ) = 1 1 ξȳ ) 1/ξ, ½ µ Û Ö > 0µ Ò ξ < ξ < µ Ö Ð Ò Ô Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ì Ô Ô Ö Ñ Ø Ö ξ Ò Ø È Ø Ü ØÐÝ Ø Ñ Ú ÐÙ Ø Ø ÓÖ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Î ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ÕÙ Ð ØÓ ξu µ) Û Ö Ò µ Ö Ø Ð Ò ÐÓ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ô Ø Ú Ðݵ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Î ØÖ ÙØ ÓÒ ÜÔÖ ÓÒ µº ËÔ ÐÐÝ G Ò ÓÒ 0 < y < ξ > 0 Ò 0 < y < /ξ ξ 0º Ì ξ = 0 ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ð Ñ Ø ξ 0 Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ö Ø 1/ º Ì ÒÓÛÒ Ø Ò Ö Ð È Ö ØÓ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ È º Ì È Ð Ñ Ø Ò ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ Ü ÓÚ Ö Ø Ö ÓÐ Ò ÓÒÐÝ Ø Ô Ö ÒØ ØÖ ÙØ ÓÒ Ð Ò Ø ÓÑ Ò Ó ØØÖ Ø ÓÒ Ó ÓÒ Ó Ø Ø Ö ÜØÖ Ñ Ú ÐÙ ØÖ ÙØ ÓÒ Ì ÓÖ Ñ º½µº ÀÓÛ Ú Ö Ò Ø Ð Ñ Ø Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÑÔÐ Ñ Ü Ñ ÓÐÐÓÛ ÓÒ Ó Ø ØÖ ¹ ÙØ ÓÒ Ú Ò Ò Ì ÓÖ Ñ º½ ÒÓ Ñ ØØ Ö Û Ø Ø Ô Ö ÒØ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø È Ø ÓÒÐÝ ÒÓÒ Ò Ö Ø Ð Ñ Ø Ò ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ Ü ÓÚ Ö Ø Ö ÓÐ Ó ÁÁ ÕÙ Ò º ÍÒØ Ð Ø ÔÓ ÒØ Û Ú Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ØÓ ÒÓØ Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖ Ø È Ó ØÓ Ø Ò Ù Ø ÖÓÑ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø Î ØÖ ÙØ ÓÒº ÓÖ ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ½
ÓÒÚ Ò Ò Û ÒÓÛ ÖÓÔ Ø Ø ÒØ ÓÒ Ù Ò ØÓ ÒÓØ Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ø Ò Ø Ö Ñ Ðݺ Ì È Ý Ð Ú Ö Ð ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÔ ÖØ º ÇÒ Ö Ø Ó Ø ÒÓÛÒ Ø Ø Ö ÓÐ Ø Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØݳ Ø Ø X u 0 ) ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ð È Ö ØÓ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ ¹ Ø ÓÒ Ð ÓÒ X > u 0 µ Ø Ò X u) Ð Ó ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ð È Ö ØÓ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ ÒÝ u > u 0 º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ÓÒ Ù Ø ÐÝ ÒÓÙ Ø Ö ÓÐ Ò ÓÙÒ Ù Ø Ø Ø È Ñ Ý ÙÑ Ú Ð ÑÓ Ð ÓÖ Ü ÓÚ Ö Ø Ø Ø Ö ÓÐ Ø Ò Ø È ÓÐ ÓÖ Ü ÓÚ Ö ÒÝ Ö Ø Ö ÓÐ ØÓÓº ÒÓØ Ö ÔÖÓÔ ÖØÝ ÙÒ ÕÙ ØÓ Ø È Ø Ø N ÈÓ ÓÒ Ò X 1,...,X N Ö ÁÁ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ÓÐÐÓÛ Ò È Ø Ò Ñ Ü{X 1,...,X N } Ø Î ØÖ ÙØ ÓÒº Û ÐÐ ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ø Ö ÓÐ Ø Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ò ÜÔÐÓ Ø Ò Ö Ô Ð ÔÖÓ ÙÖ ÓÖ Ø Ö ÓÐ Ð Ø ÓÒ Ò Ò Ø Ø Ó Ø È º Ì ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ù Ø Ø Ø Ø Ü Ò Ó u ÓÙÖ ÈÓ ÓÒ ÔÖÓ Û Ø Ø Ö ÓÐ Ü Û Ö ÁÁ Ò Ò Ö Ð È Ö ØÓ ØÖ ÙØ Ø Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ú ÐÙ ÓÚ Ö ÒÝ ÐÓ Þ Ò Ö Ð ÜØÖ Ñ Ú ÐÙ ØÖ ÙØ ÓÒº Ì Ù Û ÙÑ ÜØÖ Ñ Ú ÒØ ÓÙÖ ÓÚ Ö Ø Ñ ÈÓ ÓÒ ÔÖÓ ÑÓ Ð Û Ø Ø Î ØÓ Ø Ó ÐÓ Ñ Ü Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ Û Ø ÑÓ Ð Û Ø Ø È ØÓ Ø Ó Ø Ö ÓÐ Ü º Û Ø ØØ Ò Ø Î ÑÓ Ø ÔÖ Ø Ø ÓÒ Ö Ù ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ø Ñ ¹ Ø ÓÒ ØÓ Ø ½ µ ØÓ Ø Ó Ø Ö ÓÐ Ü º ÓÖ 1 < ξ 0.5 Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ø Ñ ØÓÖ Ü Ø Ò Ð Ö ÒÓÙ ÑÔÐ µ Ø ÓÙ Ò Ò Ö Ð ÓÖ µ Ó ÒÓØ ÔÓ ÐÐ Ó Ø Ø Ò Ö ÝÑÔØÓØ ÔÖÓÔ ÖØ Û Ò ξ 1 Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ø Ñ ØÓÖ Ó ÒÓØ Ò Ò Ö Ð Ü Øº ÓÖ ξ > 0.5 Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ø Ñ ØÓÖ Ö ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ Ð Ò ÒØ ËÑ Ø ½ µº ÄÙ ÐÝ Ò ÑÓ Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ó ξ 0.5 Ö Ö Ö ÙØ Ó ÓÙÖ ÖÓÑ Ø Ñ ØÓ Ø Ñ º Ò Ø Ý Ò Ñ Ø Ó ÓÐÓ Ý ÔÖÓÚ Ö Ñ ÛÓÖ Û Ø Ò Û Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÚÓ º ÀÓÛ Ú Ö Ò Ý Ò ØØ Ò Ù Ó Ø È ξµ ÑÓ Ð Ñ Ý Ö ØÖ Ø Ú Ò Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ò ÒØ ÓÒ Ø Ó Ó Ø Ö ÓÐ Ð Ú Ð u Ò ÙÒ Ò ÓÖÑ Ø Ú ÔÖ ÓÖ ÓÖ Ø Ò ÓÑ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ø Ö Ø Ö ÓÐ º ÌÓ ÓÚ ÖÓÑ Ø Ø È Ò Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ø Ð Ò Ô Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ξ Ö Ô Ø Ú ÐÝ ξ Ö Ñ Ò Ò ÙÒ Ò µ Û Ö = ξuº ÍÒ Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ø ÓÒ ÓØ Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ø Ö ÓÐ Ò Ô Ò Òغ ÑÓÒ ØÖ Ø Ò ÔØ Ö ÓÖ Ø Î Ø Ñ Ø Ó ÜØÖ Ñ ÕÙ ÒØ Ð Ò Ó Ø Ò Ø ÖÓÙ ÒÚ Ö ÓÒ Ó ½ µº º½º¾ Ï Ò ÓÙÐ Û ÑÓ Ð Ø Ö ÓÐ Ü Ò Ë Ò ÜØÖ Ñ Ö Ý Ø Ö Ú ÖÝ Ò ØÙÖ Ö ÒÝ ÑÓ ÐÐ Ò ÔÔÖÓ Ø Ø ÒÖ ÔÖ ÓÒ Ó Ú ÓÙ ÔÔ Ðº Ì r Ð Ö Ø ÔÔÖÓ ØØ ÑÔØ ØÓ ÒÖ ÔÖ ÓÒ Ø ÖÓÙ Ø ÒÐÙ ÓÒ Ó ÑÓÖ Ø ÙØ ÓÙÐ Ø ÐÐ ÓÒ Ö Ö Ø Ö Û Ø Ùк Ì Ñ Ó Ø Ö ÓÐ Ñ Ø Ó ØÓ Ñ Ü Ñ ÔÖ ÓÒ Ý Ò ÐÝ Ò ÐÐ ÜØÖ Ñ º ÀÓÛ Ú Ö Û Ñ Ø ÒÓØ Ú ØÓ Ø ÒØ Ö Ø Ø Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Û ÓÒÐÝ Ú Ø Ø Ó Ö Ú ÐÓ Ñ Ü Ñ Ò Û Ø ÑÓ Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø Ñ Ø Ó Ó Ò ÐÝ ÛÓÙÐ ØÓ Ø Ø Î ØÓ ÓÙÖ Ø Ö ØÐݺ Û ÐÐ Ù Ò Ë Ø ÓÒ º Ó Ø ÔØ Ö Ò ÔØ Ö Ø Ö Ñ Ø Ð Ó Ú Ö ÓÙ ÑÓ ÐÐ Ò Ù ØÓ Ö Ö Ò Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ù Ò Ø Ö ÓÐ Ü Ò ÒÓØ Ð Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÖØ Ø ÖÑ Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò º Ë ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾
È ÖØ Ð ¼º¼¼ ¼º½¼ ¼º¾¼ ¼º¼ ¼º¾ ¼º ¼º ¼º ½º¼ Ø ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Ô ÖØ Ð ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ø ÒØ Ö Ö Ó ÐÝ Ö Ò ÐÐ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ù Ò ÔØ Ö Ö ÐÐ Ø Ø Û Ò ÐÝ Ø Ø Ó Ö Ò ÐÐ ÒÒÙ Ð Ñ Ü Ñ Ò ÔØ Ö µº Ì ÔÐÓØ Û Ö ÔÖÓ Ù Ù Ò Ø ÓÑÑ Ò Ö Òµ Ô Ö Òµ Û Ö Ò ÔØ Ö Ø Ö Ó ÐÝ Ö Ò ÐÐ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ö ØÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Ö Òº ¼ ½¼ ¾¼ Ä ¼ ¼ ¼ ½¼ ¾¼ Ä ¼ ¼ ÙÖ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Ô ÖØ Ð ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ø Ö Ò ÐÐ Ø ÓØ ÔÐÓØ Ò ÙÖ Ò Ø Ø ÔÖ Ò Ó ÓÖØ Ø ÖÑ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ Ø ÔÐÓØ Ó Ô ÖØ Ð ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Û Ð Ñ Ò Ø Ø Ø Ó ÒØ ÖÑ ¹ Ø ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º ÓÖ Ü ÑÔÐ ÔÖÓ Ø Ø ØÖÙÐÝ Ö Ø ÓÖ Ö Å Ö ÓÚ Ñ Ø Ú Ò ÒØ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ð ¾ Ò ÝÓÒ ÓÛ Ò Û ÓÐÐÝ ØÓ Ø Ø ÑÔÓÖ Ð ¹ Ø Ò Ù Ý Ø ØÖ Ò Ø Ó Ô Ò Ò ØÛ Ò Ù Ú Ó ÖÚ Ø ÓÒ º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ô ÖØ Ð ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÛÓÙÐ ÔÖÓÚ ØØ Ö Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ö Ó ¹ Ô Ò Ò ÓÛ Ò ÓÒÐÝ Ø Ö Ø Ô ÖØ Ð ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Òغ ÓÖ Ø Ö Ò ÐÐ Ø Û Ò Ò Ò Ø Ô ÖØ Ð ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÙÔ ØÓ Ð Ù Ø Ò ÒÙ Ò ÓÖØ Ø ÖÑ Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò º Ì È Ò Ø ÓÖÑ Ø Ú Ò Ò ÕÙ Ø ÓÒ ½ µ ÙÑ ÓÙÖ Ö ÁÁ Û Ð ÖÐÝ ÒÓØ Ø Ö º Ì ÓÙ Û ÐÐ Ò ÔØ Ö µ Ú Ö ÓÙ Ø Ò ÕÙ Ú Ò Ú ÐÓÔ ØÓ ÖÙÑÚ ÒØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò Ø ÒÓØ ÐÛ Ý Ó Ú ÓÙ ÓÛ ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ¹ Ø Ñ Ø Ò Ò Ø Ú ØÓ Ø Ø Ò ÕÙ Ó Òº Ï Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò Ò ÓØ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ù Ñ Ø Ö Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ù Ò ÐÐ Ø Ö ÓÐ Ü Ò Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ÔÖ Ö Ð ØÓ ÛÓÖ Û Ø Ø Ó ÐÓ Ñ Ü Ñ ÓÖ Ô Ö Ô Ø Ó ÐÙ Ø Ö Ñ Ü Ñ Ë Ø ÓÒ º º µº º½º ÀÓÛ Ø È Ù ÇÒ Û Ú ÒØ ÓÙÖ Ø Ó Ø Ö ÓÐ Ü Ò ØÝÔ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ ÛÓÙÐ Ø Ø ÑÓ Ð Ò ½ µ Ú Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ô Ö Ô µ ØÓ Ó Ø Ò Ø Ñ Ø Ó Ø Ð
Ò Ô Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ξ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø Û Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ ÓÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ú ÐÙ Ó ξ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ö Ù Ò Ë Ø ÓÒ º½º Ò Ð Ó ÔÔÐÝ Ö µº Ï Ò Ø Ò Ù ÓÙÖ Ø Ñ Ø Ó Ò ξ ØÓ Ó Ø Ò Ø Ñ Ø Ó Ö ØÙÖÒ Ð Ú Ð Ý ÒÚ Ö ÓÒ Ó ½ µº ÓÖ Ü ÑÔÐ ÙÔÔÓ Ø Ø È Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ξ Ù Ø Ð ÑÓ Ð ÓÖ Ü Ò Ó Ø Ö ÓÐ u Ý Ú Ö Ð X º º ÓÖ x > u Ì Ò ÈÖX > x X > u) = [ 1ξ x u x u ÈÖX > x) = λ u [1ξ )] 1/ξ )] 1/ξ Û Ö λ u = ÈÖX > u)º À Ò Ø Ð Ú Ð x t Ø Ø Ü ÓÒ Ú Ö ÓÒ Ú ÖÝ t Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó,. xt u λ u [1ξ )] 1/ξ = 1 t. Ê ÖÖ Ò Ò Û Ø x t = u ξ [tλ u) ξ 1], ÔÖÓÚ t Ù ÒØÐÝ Ð Ö ØÓ Ò ÙÖ Ø Ø x t > u Ò ξ 0º Á ξ = 0 Û Ú Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ó x t = uðó tλ u ), Ò ÔÖÓÚ t Ù ÒØÐÝ Ð Ö º Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ x t Ø t Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ØÙÖÒ Ð Ú Ð ÓÛ Ú Ö Ø Ó Ø Ò ÑÓÖ ÓÒÚ Ò ÒØ ØÓ Ú Ö ØÙÖÒ Ð Ú Ð ÓÒ Ò ÒÒÙ Ð Ð Ó Ø Ø Ø r Ý Ö Ö ØÙÖÒ Ð Ú Ð Ø Ð Ú Ð ÜÔ Ø ØÓ Ü ÓÒ Ú ÖÝ r Ý Ö º Á Ø Ö Ö n y Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ô Ö Ý Ö Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø t Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ØÙÖÒ Ð Ú Ð Û Ø t = r n y º À Ò Ø r Ý Ö Ö ØÙÖÒ Ð Ú Ð q r Ò Ý q r = u ξ [ rny λ u ) ξ 1 ], ½ µ ÙÒÐ ξ = 0 Ò Û q r = uðó rn y λ u ). ½ µ Ï Ò Ø Ò Ø Ñ Ø Ø r Ý Ö Ö ØÙÖÒ Ð Ú Ð q r Ý Ù Ø ØÙØ Ò ÓÙÖ Ø Ñ Ø Ó Ò ξ Ý ˆ Ò ˆξµ ÒØÓ ÕÙ Ø ÓÒ ½ ÓÖ ÕÙ Ø ÓÒ ½ Û Ò ξ = 0µ λ u Ò Ø Ñ Ø ÑÔ Ö ÐÐÝ Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ó Ø Ö ÓÐ Ü Ò Ò u Ø Ø Ö ÓÐ Ó Ò ØÓ ÒØ Ý ÜØÖ Ñ Ë Ø ÓÒ º¾º½µº Ì Ù Ù Ð ÔÔÖÓ ÓÖ Ø Ñ Ø Ò Ø Ò Ö ÖÖÓÖ ÓÖ Ø È Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ù º º ÒÚ Ö ÓÒ Ó Ø ÜÔ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Üµ Ò Ò ÔØ Ö Ø ÐØ Ñ Ø Ó Ò Ù ØÓ Ó Ø Ò Ø Ñ Ø Ø Ò Ö ÖÖÓÖ ÓÖ Ö ØÙÖÒ Ð Ú Ð º Ï Ò Ð Ó Ù ÔÖÓ Ð Ð Ð ÓÓ ØÓ Ø Ñ Ø ÑÓÖ ÔÔÖÓÔÖ Ø ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ö ØÙÖÒ Ð Ú Ð º
º¾ Ë ÑÔÐ ØÙ Ý ÁÒ Ø Ë Ø ÓÒ Û ÑÓÒ ØÖ Ø ÑÔÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø È ØÓ Ø Ó Ø Ö ÓÐ Ü Ò º Ï ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ý Ù Ò Ø Ó Ø Ö ÓÐ Ü Ò ÖÓÑ Ø ÙÐÐ Ö Ò ÐÐ Ö Ù Ò ÔØ Ö º Ê ÐÐ Ø Ø Ø Ò ÐÓ ÒØÓ Ê Ý Ö Ø Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ñ Ú Ô Ð Ö ÖÝ Ñ Úµ Ò Ø Ò ØÝÔ Ò Ø Ö Òµ ÌÝÔ Ò ÐÔ Ö Òµ Ú Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ö Ò ÐÐ Ö º ÁÒ Ø Ë Ø ÓÒ Û Û ÐÐ º¾º½ ÜÔÐÓ Ø Ø Ø Ö ÓÐ Ø Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø È ØÓ ÔÖÓ Ù Ö Ô Ð ØÓÓÐ ÓÖ ÒØ Ý Ò Ù Ø Ð Ø Ö ÓÐ u Ñ Ü Ñ Ø ÐÓ Ð Ð ÓÓ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ø È Ò Ê Ù Ê ØÓ Ó Ø Ò Ø ÜÔ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ò Ø Ò ÒÚ ÖØ Ø ØÓ Ó Ø Ò Ø Ø Ñ Ø Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ü ÓÖ ˆλ u,ˆ, ˆξ) T Ù Ø ØØ Ú ÐÙ Ó Ø È Ô Ö Ñ Ø Ö ØÓ Ø Ñ Ø ÓÑ Ö ØÙÖÒ Ð Ú Ð q r ÐÓÒ Û Ø Ø Ò Ö ÖÖÓÖ ÓÖ Ø Ù Ê ØÓ ÔÐÓØ Ø ÔÖÓ Ð ÐÓ Ð Ð ÓÓ ÓÖ ÓÑ Ö ØÙÖÒ Ð Ú Ð Ò Ó Ø Ò ÔÖÓ Ð Ð Ð ÓÓ ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ù Ê ØÓ Ø ÓÓ Ò Ó Ø Ó Ø È ØÓ ÓÙÖ Ö Ó Ø Ö ÓÐ Ü Ò Á ÒØ Ý Ò Ù Ø Ð Ø Ö ÓÐ Ø Ñ Ò Ö Ù Ð Ð ÔÐÓØ ÁÒ Ñ Ò Ö Ù Ð Ð ÅÊĵ ÔÐÓØ Û Ñ Ù Ó Ø Ø Ø Ø Ø È Ø ÓÖÖ Ø ÑÓ Ð ÓÖ ÐÐ Ü Ò x i ÓÚ ÓÑ Ø Ö ÓÐ u 0 Ø Ò Ø Ñ Ò Ü º º Ø Ñ Ò Ú ÐÙ Ó x i u) ÔÐÓØØ Ò Ø u > u 0 ÓÙÐ Ú Ð Ò Ö ÔÐÓغ Ì Ù E[X i u 0 ] Ð Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ó u : u > u 0 º Ý ÔÖÓ Ù Ò Ù ÔÐÓØ ÓÖ Ú ÐÙ Ó u Ø ÖØ Ò Ø Þ ÖÓ Û Ò Ð Ø Ö ÓÒ Ð Ò Ø Ú ÐÙ ÓÖ u 0 º ÁÒ Ê Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ó Ø ÙÔ Ú ØÓÖ Ó ÔÓ Ð Ø Ö ÓÐ Ø ÖØ Ò Ø Þ ÖÓ Ò Ó Ò ÙÔ ØÓ Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ú ÐÙ Ò ÓÙÖ Ø Ø Ò Ø Ô Ó ¼º½ Ù ¹ Õ ¼ Ñ Ü Ö Òµ ¼º½µ Ì Ú ØÓÖ Ü Û ÐÐ ÒÓÛ Ø ÙÔ ØÓ Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÐÙ ÓÖ Ø Ñ Ò Ü ÓÚ Ö Ú ÐÙ Ò Ù Ü ¹Ú ØÓÖ ÒÙÑ Ö ³ Ð Ò Ø Ùµµ Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ó ÓÑÔÙØ Ø Ñ Ò Ü ÓÖ Ú ÐÙ Ò Ù Ò ØÓÖ Ø Ò Ü
¼ Å Ò Ü ½¼ ½ ÓÖ Ò ½ Ð Ò Ø Üµµ ß Ø Ö ÓÐ º Ü Ò ¹Ö Ò Ö Ò Ù Ü ¹Ñ Ò Ø Ö ÓÐ º Ü Ò ¹Ù µ Ð Ì ÅÊÄ ÔÐÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ù Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ó Ú Ò Ø ÔÐÓØ Ò ÙÖ ½¼ ÔÐÓØ Ü Ù ØÝÔ Ð³ Ñ Ò ÅÊÄ ÔÐÓس ÝÐ Ñ Ò Ü ³µ ÅÊÄ ÈÐÓØ ¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ u ÙÖ ½¼ Å Ò Ö Ù Ð Ð ÔÐÓØ ÓÖ Ø Ö Ò ÐÐ Ø Ì ÓÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÔÐÓØ Ò Ù Ø Ú Ð Ò Ö ØÝ Ò ÙÖ ½¼ Ñ Ø Ù Ø Ø ÓÙØ u 0 = 30ÑÑ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ö Ø Ò Ó Ø ÔÐÓØ ÙÒÖ Ð Ð Ö Ú Ö Ð ØÝ Ù ØÓ Ø Ð Ñ Ø ÑÓÙÒØ Ó Ø ÓÚ Ù Ø Ö ÓÐ µº Í Ò u 0 = 30 ÓÙÖ Ø Ö ÓÐ ÓÖ ÒØ Ý Ò ÜØÖ Ñ Û Ò Ø Ò Ó Ø Ò ÓÙÖ Ø Ó Ø Ö ÓÐ Ü Ò ÓÖ ÑÓ ÐÐ Ò Û Ø Ø Ò Ö Ð È Ö ØÓ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÚ ºØ Ö ÓÐ ¹Ö Ò Ö Ò ¼ Ø Ö ÓÐ º Ü Ò ¹ ÓÚ ºØ Ö ÓÐ ¹ ¼ Ï Ò ÐÓÓ Ø ÓÙÖ Ø Ó Ø Ö ÓÐ Ü Ò Ý ØÝÔ Ò Ø Ö ÓÐ º Ü Ò ½ ½º ¾º ½º ½ º ¼º ½ º¾ º º½ ¾º¼ ½º º¼ º½ ¼º ½º ¾º ½ º¼ ¼º ¾º ½ º º ½¼º ¼º º ¾º ¼º ½ º ½º º º ½º ½ º º º º ¾º º¼ º º ¼º ½ º º º ½ º ½ º º ½ º ¼º ½ º ¾ º º½ ¾ º º ¼º ¼º¾ ½¼º ½¾º º ¾ º ¾ º¾ ½º
½ º ¾º º¼ º ½º¾ ¼º¾ º½ º º ½º¼ º ½ º¼ ¾º¼ º¼ º½ ¼º ¾º º º½ º¼ ½¼º º ½ º¼ º ¼º ¼º ¾ º ½º ¾½º º ½ ½½º ¼º º¼ º ¾ º ½ º¾ º½ º ½º ¾º¼ ½º º ½ º¾ ¼º º ½¼ ¼º¾ ½ º ½º º ¾½º º ¾ º º º ¼º º ½ º ½¾º º ¾ º ½¾½ º ½¾º º¼ º¼ ½¼º½ º º½ º º¼ º º º ½º¼ º º ½ º º½ ½ º¼ ½º¼ ¼º ½º¾ º ½ º ½½º ½º ½º¾ ¾½º º º º ½ ½ º ½ º Ì Ù Û Ú ÒØ ½ ¾ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò ÜØÖ Ñ º º¾º¾ ØØ Ò Ø È Ì È ÐÓ Ð Ð ÓÓ ÙÒØ ÓÒ Ò Ö Ú Ò Ø Ñ Û Ý Ø Ø Ø ÐÓ Ð Ð ÓÓ ÓÖ Ø Î Û Ö Ú Ò Ë Ø ÓÒ º¾º½ Ø Ð Ø Ò Ü Ö ÓÖ Ø Ö Ö ÙØ Ò ÓÛÒ ØÓ 152 l,ξ;y) = 152ÐÓ 11/ξ) ÐÓ e 1 ξy ) i, ½ µ Û Ö y = y 1,...,y 152 ) Ö Ø Ø Ó Ü Ò ÓÚ Ø Ö ÓÐ u 0 = 30º ÓÖ Ø ξ = 0 ÒØ ÖÔÖ Ø ξ 0 Û Ú Ø ÐÓ Ð Ð ÓÓ ÓÖ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ö Ø 1/º Ï Ø Ù Ò Ø È ÐÓ Ð Ð ÓÓ Ò Ê Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý i=1