ÇÙØÐ Ò ½ ¾ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò

Æ ÙÝ Ò Ì ÌÙ Î Ò ½ Æ ÙÝ Ò ÉÙ Ò Î Ò ¾ ½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ò È ÖÑ Ý Ó ÀÓ Å Ò ØÝ ¾ Æ ÙÝ Ò ÌÖ È ÙÓÒ ÀÓ Ô Ø Ð ÂÁ ÔÖÓ Ø ¹ Ù Ù Ø ¾¼½

ÇÙØÐ Ò ½ ¾ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ

ÇÙØÐ Ò ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ½ ¾ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ

( χ ¾) ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÇÒ Ó Ø ÑÓ Ø Û ÐÝ Ù Ö ØÐÝ ÓÖ Ò Ö ØÐÝº Ì Ø Ò ÝÔÓØ Û Ö Ø Ò ÓÖÑ Ó Ø ÓÖÝº ÌÓ Ø Ø Ö Ò ØÛ Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ º

ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ö ÒØ Ö Ó Ö ÓÑ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø

ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø Ì ÔÖ Ò ÔÐ Ó Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ÓÑÔ Ö Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ò Ç Ë ÊÎ ÌÁÇÆµ ØÓ ÜÔ Ø Ö ÕÙ Ò À ÈÇÌÀ ËÁËµ ½µ Ì Ø Ó ÓÓ Ò ¹Ó ¹ Ø ¾µ Ì Ø Ó Ò Ô Ò Ò µ Ì Ø Ó ÓÑÓ Ò ØÝ Ø Ø Ó Ò Ô Ò Ò Û Ø Ü Ñ Ö Ò Ð ØÓØ Ð µ

χ ¾ Ø Ø Ó ÓÓ Ò ¹Ó ¹ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ØÛÓ¹Ø Ð Ø Ø ÓÒ Ô ÓÖ ÒÓÑ Ð ØÙ Ø ÓÒ À Ç : Ô = Ô ¼ À : Ô Ô ¼ ÓÖ ÅÙÐØ ÒÓÑ Ð ØÙ Ø ÓÒ À Ç : Ô ½ = Ô ½ ¼ Ô ¾ = Ô ¾ ¼, ººº Ô = Ô ¼ À : Ø Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÒÓÖÖ Ø

χ ¾ Ø Ø Ó ÓÓ Ò ¹Ó ¹ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø Ì Ø Ø Ø Ø χ ¾ = (Ç )¾ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÖ ¹ ½ Ö Ø À Ç χ ¾ > χ ¾ α,

Ê Ø ÓÒ Ö ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø

χ ¾ Ø Ø Ó ÓÓ Ò ¹Ó ¹ Ø ÓÔØºµ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø Ì Ø Ò À Ç Ô = Ô ¼ Ú º À Ô Ô ¼ Í Ò Þ Ø Ø Þ = ˆÔ Ô ¼ Ô ¼(½ Ô ¼) Ö Ø À Ç Ò Í Ò χ ¾ Ø Ø χ ¾ = (Ç )¾ Ö Ø À Ç Þ >Þ ½ α ¾ = (Ç ½ ½) ¾ ½ χ ¾ > χ ¾ α, =½ + (Ç ¾ ¾) ¾ ¾

χ ¾ Ø Ø Ó ÓÓ Ò ¹Ó ¹ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÀÓÛ Û ÐÐ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÑÔÐ Ø ÓÒ ÓÖÑ ØÓ ÓÑ Ø ÓÖ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ º º Ö ËÑ ÐÐ ÜÔ Ø Ö ÕÙ Ò Ø Ö Ñ ÒØ ÑÓÒ ÛÖ Ø Ö ½¼ ½ Ó Ö Òµº ÓÑ Ò Ò ÒØ Ø ÓÖ ØÓ Ú Ø Ù Ø Ñ Ò ÑÙÑº Ï Ò ÓÑ Ò Ò ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÖ º º

χ ¾ Ø Ø Ó Ò Ô Ò Ò ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÅÓ Ø Ö ÕÙ ÒØ Ù Ó χ ¾ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ð ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Û Ö Ñ Ñ Ö Û Ð ÓÖ Ò ØÓ ¾ Ö Ø Ö ½ Ø Ö Ø Ö : ÖÓÛ ¾ Ò Ö Ø Ö : ÓÐÙÑÒ ÓÒØ Ò ÒÝ Ø Ð Ö ÖÓÛ ÓÐÙÑÒ À Ç : ¾ Ö Ø Ö Ó Ð Ø ÓÒ Ö Ò Ô Ò ÒØ À : ¾ Ö Ø Ö Ó Ð Ø ÓÒ Ö ÒÓØ Ò Ô Ò ÒØ Ö ½ µ ½µ

χ ¾ Ø Ø Ó Ò Ô Ò Ò ËÑ ÐÐ ÜÔ Ø Ö ÕÙ Ò ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ËÑ ÐÐ ÜÔ Ø Ö ÕÙ Ò ¾ ² ÒÓ ÑÓÖ Ø Ò ¾¼± Ó ÜÔ Ø Ö ÕÙ Ò ½ ¼ ¾ Ò ¼ ½ χ ¾ Ø Ø ÓÙÐ ÒÓØ Ù Ò < ¾¼ ÓÖ ¾¼ Ò < ¼ ² ÒÝ <

χ ¾ Ø Ø Ó Ò Ô Ò Ò ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø χ ¾ = (Ç )¾ Ö Ø À Ç = (Ç ½ ½) ¾ ½ + (Ç ¾ ¾) ¾ ¾ χ ¾ > χ ¾ α, =(Ö ½)( ½) +...

χ ¾ Ø Ø Ó Ò Ô Ò Ò ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÓÖ Ø ¾ Ü ¾ ÓÒØ Ò ÒÝ Ø Ð χ ¾ = (Ç )¾ χ ¾ = Ö Ø À Ç = (Ç ½ ½) ¾ ½ Ò( ) ¾ ( + )( +)( + )(+ ) + (Ç ¾ ¾) ¾ ¾ χ ¾ > χ ¾ α, =(Ö ½)( ½)=½

χ ¾ Ø Ø Ó Ò Ô Ò Ò ÓÔØºµ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø Ø ³ ÓÖÖ Ø ÓÒ Ð Ó ÐÐ ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÓÖÖ Ø ÓÒµ ¹ ÈÖÓ Ò ÓÒ χ ¾ ÓÖÖ Ø = ( Ç. )¾ χ ¾ ÓÖÖ Ø = Ö Ø À Ç Ò(. Ò) ¾ ( + )( +)( + )(+ ) = ( Ç ½ ½. ) ¾ ½ χ ¾ ÓÖÖ Ø > χ ¾ α, =(Ö ½)( ½)=½ + ( Ç ¾ ¾. ) ¾ ¾

χ ¾ Ø Ø Ó ÓÑÓ Ò ØÝ χ ¾ Ø Ø Ó Ò Ô Ò Ò Û Ø Ü Å Ö Ò Ð ÌÓØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÌÓ Ø ÖÑ Ò Û Ø Ö Ø Ø ÒØ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ò Ú Û ÐÓÒ Ò ØÓ Ø Ñ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ö Ø Ö µº

ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø χ ¾ Ø Ø Ó ÓÑÓ Ò ØÝ Ú º χ ¾ Ø Ø Ó Ò Ô Ò Ò χ ¾ Ø Ø Ó Ò Ô Ò Ò ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ ØÓØ Ð Ö ÒÓØ ÙÒ Ö Ø ÓÒØÖÓÐ Ó Ø ÒÚ Ø ØÓÖ χ ¾ Ø Ø Ó ÓÑÓ Ò ØÝ Ø Ö ÖÓÛ ÓÖ ÓÐÙÑÒ ØÓØ Ð Ñ Ý ÙÒ Ö Ø ÓÒØÖÓÐ Ó Ø ÒÚ Ø ØÓÖ χ ¾ Ø Ø Ó Ò Ô Ò Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø ¾ Ö Ø Ö µ χ ¾ Ø Ø Ó ÓÑÓ Ò ØÝ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ø ÑÔÐ Ö ÛÒ ÖÓÑ Ø Ñ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ χ ¾ Ø Ø Ó ÓÑÓ Ò ØÝ ² χ ¾ Ø Ø Ó Ò Ô Ò Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÐÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙØ ÓÒ ÔØÙ ÐÐÝ Ö ÒØº

χ ¾ Ø Ø Ó ÓÑÓ Ò ØÝ ÓÔØºµ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø χ ¾ Ø Ø Ó ÀÓÑÓ Ò ØÝ ÓÖ Ø ¾¹ ÑÔÐ ÔÖÓÚ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ Ø Ó ÓÖ Ø Ø Ò Ø À Ç Ø Ø ¾ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ö ÕÙ Ðº Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÑÔ Ö Ò Ó ¾ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ù Ò Þ Ø Ø Ø Û Ø ÔÓÓÐ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ( Ô) Ä Ø ˆÔ ½ = Ü ½ Ò½ ˆÔ ¾ = Ü ¾ Ò¾ Ô = Ü ½+Ü¾ Ò½+Ò¾ Ì Ø Ø Ø Ø Þ = (ˆÔ ½ ˆÔ¾) (Ô½ Ô¾) ¼ Ô(½ Ô) + Ô(½ Ô) Ò ½ ÆÓØ Þ = (ˆÔ ½ ˆÔ¾) (Ô½ Ô¾) ¼ ˆÔ ½(½ ˆÔ ½) Ò ½ + ˆÔ ¾(½ ˆÔ ¾) Ò ¾ Ò ¾ Ù Ø ÓÖ Ù ÓÒ ÔÙÖÔÓ ÓÒÐÝº Ì ÕÙ Ø ÓÒ ÓÙÐ Ò Ú Ö Ù Ø Ø Ø Ø Ø Ø ÓÖ Ø Ö Ò ØÛ Ò ¾ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ º

ÇÙØÐ Ò ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ ½ ¾ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ

³ Ü Ø Ø Ø ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ Ï Ò ÜÔ Ø Ú ÐÙ Ò χ ¾ Ø Ø Ø Ø Ø Ñ ÐÐº Treatment Control Total O+ x K x K O- n x (N-K)-(n-x) N - K Total n N-n N K N N K K C. P( x) = x N K N x n n-x C n x C n

Ü ÑÔÐ ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ We have a result from a trial as follow: Treatment Control Total O+ 6 1 7 O- 2 4 6 Total 8 5 13

ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ Ä Ø Ò ÐÐ ÔÓ Ð Ø Ð Ò Ø ÑÔÐ Ó Þ ½ Û Ú ÔÓ Ø Ú ÓÙØÓÑ ² Ù Ø Ò ØÖ ØÑ ÒØ ÖÓÙÔ Ï Ú Ø Ð ÓÐÐÓÛ

ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ Treatment Control Total O+ 7 0 7 O- 1 5 6 Total 8 5 13 P(x = 7 ) = = C 7. 6 C C 7 13 6 1287 8 1 =. 0047 Treatment Control Total O+ 6 1 7 O- 2 4 6 Total 8 5 13 P(x = 6 ) = C. C C 7 6 6 13 8 =. 0816 2

ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ Treatment Control Total O+ 5 2 7 O- 3 3 6 Total 8 5 13 P(x = 5 ) = C. C C 7 5 6 13 8 =. 3262 3 Treatment Control Total O+ 4 3 7 O- 4 2 6 Total 8 5 13 P(x = 4 ) = C. C C 7 4 6 13 8 =. 4070 4

ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ Treatment Control Total O+ 3 4 7 O- 5 1 6 Total 8 5 13 P(x = 3 ) = C. C C 7 3 6 13 8 =. 1632 5 Treatment Control Total O+ 2 5 7 O- 6 0 6 Total 8 5 13 P(x = 2 ) = C. C C 7 2 6 13 8 =. 0163 6 *A useful check is that all the probabilities should sum to one (within the limits of rounding)

ÈÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ Probability Distribution P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 x 2 3 4 5 6 7

ÀÝÔÓØ ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ À Ç : π Ì = π ÒÓ Ö Ò ØÛ Ò ØÖ ØÑ ÒØ ² ÓÒØÖÓÐ ÖÓÙÔµ À : π Ì > π À : π Ì π ½¹Ø Ð µ ÓÖ ¾¹Ø Ð µ

ÐÙÐ Ø Ô Ú ÐÙ ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ Ì Ó ÖÚ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ¼º¼ ½ Ì Ô Ú ÐÙ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ØØ Ò Ø Ó ÖÚ Ø ÓÖ ÓÒ ÑÓÖ ÜØÖ Ñ º ÇÒ Ø Ð Ô Ú ÐÙ ½µ Ô Ü µ Ô Ü µ Ô Ü µ ¼º¼ ½ ¼º¼¼ ¼º¼ Ø Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð ÔÔÖÓ µº ¾µ ÖÑ Ø ² ÖÖÝ ½ µ ÚÓÖ Ø Ñ Ô Ú ÐÙ ¼º Ü ¼º¼ ½ ¼º¼¼ ¼º¼ ÌÛÓ Ø Ð Ô Ú ÐÙ ½µ Ô Ü ÓÖ Ü ¾µ Ô Ü ¾µ Ô Ü µ Ô Ü µ ¼º¼ ½ ¼º¼¼ ¼º¼½ ¼º½¼¾ ¾µ ÓÙ Ð Ø ÓÒ Ø Ð Ö ÙÐØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒµ Ø Ù Ô ¾ Ü ¼º¼ ¼º½ ¾ ÓÖ Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ðµ ÓÖ Ô ¾ Ü ¼º¼ ¼º¼ ½ ÓÖ Ø Ñ È ÔÔÖÓ µ

Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð ÔÔÖÓ ØÓ ÐÙÐ Ø Ò Ø Ô Ú ÐÙ ÓÖ ³ Ü Ø Ø Ø Ò ÓÛÒ ØÓ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø Ø Ø Ö ÕÙ Ö ÑÓÖ Ú Ò Ø Ò Ò ÖÝ ØÓ Ö Ø Ð À Ç µ Ì Ñ È Ð ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ø Ø ÑÓÖ ÔÓÛ Ö ÙÐµ ² Ð Ó ÓÑ Ø ÓÖ Ø Ð Ú ÒØ

ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ Ï Ý ³ Ø Ø ÐÐ Ò Ü Ø Ø Ø ÓÔØºµ Ù Ó Ø Ö Ø Ò ØÙÖ Ó Ø Ø Ò Ø Ð Ñ Ø ÑÓÙÒØ Ó Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ö ÙÐØ Û Ú Ø Ñ Ñ Ö Ò Ð ØÓØ Ð Ò Ð Ø Ò ÔÖÓ Ð Ø ØØ ØÓ Ø Ñº Ø Ù Ú Ò Ø Ñ Ö Ò Ð ØÓØ Ð Û Ò ÛÓÖ ÓÙØ Ü ØÐÝ Û Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ØØ Ò Ò Ó ÖÚ Ö ÙÐØº

Ì Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÈÊÇ Ä Å σ ÒÓÛÒ ² ÒÓØ ÒÓÛÒ µ µ ÁÒ Ø Ø Ù Ù Ð σ ² µ ÙÒ ÒÓÛÒ Ï ÒÒÓØ Ñ Ù Ø Ø Ø Ø Þ = Ü µ Ù σ σ Ò ÙÒ ÒÓÛÒ Ú Ò Û Ò Ò Ð Ö (Ü Ù = Ü) ¾ ØÓ Ö ÔÐ σ Ò ½

Ì Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ï ÐÐ Ñ Ë ÐÝ Ó Ø ËØÙ ÒØ ½ ¼ µ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø ØÖ ÙØ ÓÒº Ì ÕÙ ÒØ ØÝ Ø = Ü µ ÓÐÐÓÛ Ø ØÖ ÙØ ÓÒº Ò

Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ö Ó Ö ÓÑ

ÆÓØ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ú Ð Ù Ó Ø Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÑÔÐ ÑÙ Ø Ö ÛÒ ÖÓÑ ÒÓÖÑ Ð ØÖ ÙØ ÓÒº Ò ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ø Ð Ø ÑÓÙÒ ¹ Ô ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ò Ð º

Ò ÒØ ÖÚ Ð Ø Ñ Ø ÁÒ Ò Ö Ð Ò ÒØ ÖÚ Ð Ø Ñ Ø Ó Ø Ò Ý Ø ÓÖÑÙÐ Ø Ñ ØÓÖ Ö Ð Ð ØÝ Ó ÒØµ Ü Ø Ò Ö ÖÖÓÖµ Ï Ø Ö ÒØ Ø ÓÙÖ Ó Ø Ö Ð Ð ØÝ Ó ÒØ ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ò ÑÔÐ Ò ÖÓÑ ÒÓÖÑ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø ÒÓÛÒ Ú Ö Ò Ò ÒØ ÖÚ Ð Ø Ñ Ø ÓÖ µ Ñ Ý ÜÔÖ Ü± Þ α σ Ü ¾ Û Ò ÑÔÐ Ò ÖÓÑ ÒÓÖÑ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø ÙÒ ÒÓÛÒ Ú Ö Ò Ø ½¼¼(½ α)% ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ø Ñ Ø ÓÖ Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ò µ Ú Ò Ý Ü± Ø α ¾,Ò ½ Ò

Þ Ø ÓÖ Ø Deciding between z, t, or t Sample Sizes Small (< 30) Large (> 30) Normally Distributed Not Normally Distributed Population Variances known Population Variances not known Population Variances known Population Variances not known Nonparametric Test z-test Variances Equal Variances Unequal z-test Variances Equal Variances Unequal t-test t -test t-test t -test Flowchart for use in deciding whether the reliability factor should be use z, t, or t when making inferences about the difference between two population means (* use a nonparametric procedure)

Ì Å ÒÒ¹Ï ØÒ Ý Ì Ø Ï Ò Ñ ÐÐ ÑÔÐ ÖÓÑ Ù Ô Ø ÒÓÒÒÓÖÑ Ð ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ¹ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó ¾¹ ÑÔÐ Ø Ø Øº ÙÑÔØ ÓÒ ÓÖ Å¹Ï Ø Ø ½º ÁÒ Ô Ò ÒØ Ê Ò ÓÑ ÑÔÐ ¾º Ø Ø Ð Ø ÓÖ Ò Ð º Á Ø ¾ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ö Ø Ý Ö ÓÒÐÝ Ò ÐÓ Ø ÓÒ º º Ø ¾ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ø Ñ Ú Ö Ò Ò Ô µº ÀÝÔÓØ À Ç : ¾ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ú ÒØ Ð Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ú º À : ¾ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò ÐÓ Ø ÓÒ ¾¹Ø Ð µ ÓÖ À : ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ½ Ø ØÓ Ø Ö Ø Ó ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ¾ ½¹Ø Ð µ ÓÖ À : ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ¾ Ø ØÓ Ø Ö Ø Ó ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ½ ½¹Ø Ð µ

ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ² Ê Ö ÓÒ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ Æ ØÙÖ ² ØÖ Ò Ø Ó Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò ¾ Ú Ö Ð È ² ÓÐ Ø ÖÓÐ ² Þ ² Û Ø Ó ØÙ ººº ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ² Ê Ö ÓÒ Ò ÐÝ

ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ² Ê Ö ÓÒ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ½ µ Ø ØÖ Ò Ø Ó Ø Ó Ø Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò ¾ Ú Ö Ð º ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö Ö ØÓ Ø ÒØ Ö Ô Ò Ò ÓÖ Ó¹Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ó Ú Ö Ð º Ê Ö ÓÒ ½ µ Ø Ù Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ú Ö Ð ÔÖ Ø ÓÖ Ø Ñ Ø º Ê Ö ÓÒ Û Ý Ó Ö Ò ÓÛ ÓÒ Ú Ö Ð Ø ÓÙØÓÑ ÒÙÑ Ö ÐÐÝ Ö Ð Ø ØÓ ÔÖ ØÓÖ Ú Ö Ð µº

È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ Ø ØÝÔ ÓÖ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ»Ö Ö ÓÒ Ò ÐÝ Æ ÓÙÖ Ø ØÓ ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú» ÒÙÑ Ö Ð» ÓÒØ ÒÙÓÙ º Á Ø Ò Ñ Ò Ò ÙÐÐÝ ÔÓÖØÖ Ý ÓÒ ØØ Ö ÔÐÓØº

ÇÙØÐ Ò È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ ½ ¾ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔØºµ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ

È Ö ÓÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ÒØ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ È Ö ÓÒ³ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ÒØ Ñ ÙÖ Ó Ø ÐÓ Ò Ð Ò Ö Ó Ø ÓÒ ØÛ Ò Ò º ÒÓØ Ý Ö ÑÔÐ Ø Ø Ø µ Ò Ö ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Öµº

È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ö Ö ÑÙ Ù Ø Ø Ø Ö Ø Ú ÐÙ ØÛ Ò ½ Ò ½ ÒÐÙ Ú ¹½ Ö ½º Ë Ò Ó ÓÖ º Î ÐÙ Ö Ó Ò³Ø Ñ Ò Ø Ø ÔÒ Ó Ø ÐÓÔ º Ì Ð Ö Ö Ø ØÖÓÒ Ö Ø Ð Ò Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ôº Î ÐÙ Ó Ö ÐÓ ØÓ ½ ÓÖ ½ Ò Ø ØÖÓÒ Ò Ø Ú ÓÖ ÔÓ Ø Ú µ Ð Ò Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ôº Ö ÐÓ ØÓ ½ Ø Ò Ø Ó ÆÇÌ Ñ Ò Ø Ø Ø Ö ÓÓ Ù Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ò º ÁØ ÓÛ ÓÒÐÝ Ø Ø Ø ÑÔÐ Ø ÐÓ ØÓ ØÖ Ø Ð Ò º Î ÐÙ Ó Ö ÐÓ ØÓ Þ ÖÓ Ò Ø Ð ØØÐ Ð Ò Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò ¾ Ú Ö Ð º Ú Ò Ö ÐÓ ØÓ Þ ÖÓ Ø Ö Ø ÐÐ Ñ Ý ØÖÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ò Ø ÓÖÑ Ó ÙÖÚ º

È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ö ÓÔØºµ Ö ÑÙ Ù Ø Ø Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ó È Ö ÓÒ³ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ð Ø ÓÒ Ú Ö Ð ÑÙ Ø ÓÐÐÓÛ ÒÓÖÑ Ð ØÖ ÙØ ÓÒº ÓÒ Ò Ð Ñ Ø Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÖ Ö Ù Ò ³ Þ¹ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ö ¾ ÐÓ Ø ØÓ ½ Û Ò Ò ½º ÙØ Ò ÓÙÐ ½µ ÓÖ ÑÓÖ Ö Ð Ð Ö Ö ÓÒ ÑÓ Ðº

È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ Ë Ò Ò Ì Ø ÓÖ È Ö ÓÒ³ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ À Ç : ρ = ¼ Ì Ö ÒÓ Ð Ò Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ôµ À : ρ ¼ Ì Ö Ð Ò Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ôµ Ì À Ç : ρ = ¼ Ú ÐÙ Ø Ù Ò ÑÓ Ø¹Ø Øº ÓÒÐÙ ÓÒ Ò ÒØ Ð Ò Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º º ρ ¼ µ Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼

È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ Ï Ø ÓÙÖ Ø Ö ÓÒÐÝ ÒÓÒ¹Ð Ò ÖÐÝ Ö Ð Ø Ì Ò ÕÙ Ö Ú Ð Ð ÓÖ ÓÑ ÒÓÒ¹Ð Ò Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ô º º ËÔ ÖÑ Ò³ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ÒØ Ò Ø Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô Û Ö Ø Ð Øµ ÑÓÒÓØÓÒ º

Ù Ò Ø È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ Ú Ò Ó ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ÒÓØ Ò Ö ÐÝµ Ñ Ò Ø Ø Ù Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ü Ø º

ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ ÇÒÐÝ Ù Ø ÒØ Ú Ø ÓÖÝ º º Ø Ò µ Ù Ø Ù Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò ¾ Ú Ö Ð Ó Û Ú ÖÓÙÒ ØÓ Ù Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ Ò ÐÝ º ÇØ ÖÛ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÐÝ ÐÐ Û Ò Ù º º º Ï Ö Ö ØÖ Ø ØÓ Ø Ð Ò ÓÙØ Ó Ø Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ô º ÖÓ ¹ Ø ÓÒ Ð ØÙ ÐØ ÓÙ Ñ Ø Ñ Ø ÐÐÝ Ñ Ð Ö Ê Ö ÓÒ Ò ÐÝ Ö ÔÖ ÒØ ÑÙ ÑÓÖ Ö ÓÖÓÙ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ú Ö Ð º ÁØ Ð Ó ÒØÖÓ Ù Ø Ø Ø Ð ÑÓ Ð ÅÓ Ð Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÑÔÐ Ø ÓÒµ Ó Ø Ý Ø Ñ ÙÒ Ö ØÙ Ýº

È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ Ì Í Ó Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ Á Û Ð Ú Ø Ø ¾ Ú Ö Ð Ó Ü Ø Ò ÙÒ ÖÐÝ Ò Ð Ò Ö Ô ØØ ÖÒµ Ø Ö ÔØ ÓÒ Ñ ÒØ ¹ ÉÙ ÒØ Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ú Ö Ð È Ö Ñ Ø Ö Ø Ñ Ø ÓÒ ÈÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ø ÓÒ ¹ Å ÔÖ Ø ÓÒ Ò Ú Ð Ø Ø Ø Ø ÓÒØÖÓÐ Ò Ø Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ú Ö Ð µ ¹ Ù Ø Ò ÓÖ ÓÒ ÓÙÒ Ò Ø

Ï Ø ÓÓ Ú ÐÙ Ó Ê ¾ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ ÁØ Ô Ò ÓÒ Ø Ö Ó ÔÔÐ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÐÓ Ð Ò Ó Ð Ò Ú Ö Ð Ø Ò ØÓ ÑÓÖ Û ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø Ò Ø Ö ÐÓØ Ó ÒÓ º Ê ¾ ÜÔ Ø ÐÓÛ Ò Ø Ö ¹ Ú ÐÙ Ó ¼º Ñ Ø ÓÒ Ö ÓÓ º ÁÒ Ô Ý Ò Ò Ò Ö Ò ÑÓ Ø Ø ÓÑ ÖÓÑ ÐÓ ÐÝ ÓÒØÖÓÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø ÜÔ Ø ØÓ Ø ÑÙ Ö Ê ¾ Ò Ú ÐÙ Ó ¼º ÛÓÙÐ ÓÒ Ö ÐÓÛº ÜÔ Ö Ò Û Ø Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ö Ò ÖÝ ØÓ Ù Ê ¾ º

ÉÙ Þ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú º Ä Ò Ö Ê Ö ÓÒ Ò Û ÖÖ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ ˆ = ¼ + ½ Ý ˆ = ¼ ½ + ˆ ½ Ì Ò Û Ö ÒÓ ÐØ ÓÙ Ø Ó ÒØ Ó ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ò Ø Ö º

Ø Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÓÓ Ò ¹Ó ¹ Ø Ò Ô Ò Ò ÓÑÓ Ò ØÝº ³ Ü Ø Ø Ø Ù Ò Û Ò ÜÔ Ø Ú ÐÙ Ò χ ¾ Ø Ø Ø Ø Ø Ñ ÐÐº Ø Ø Ø Ñ ÐÝ Ó ØÖ ÙØ ÓÒ ÔÔÖÓ Ø ÒÓÖÑ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ò ½ ÔÔÖÓ Ò Ò ØÝº Å ÒÒ¹Ï ØÒ Ý Ø Ø Û Ò Ø ÙÑÔØ ÓÒ ÓÖ Ù Ò Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø Ø Ø Ö Ú ÓÐ Ø º ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ô È Ö ÓÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ò Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ô º ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÖ ÒÓÒ¹Ð Ò Ö ¹ Ø Ð Øµ ÑÓÒÓØÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ô º Ê Ö ÓÒ Ù Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ôº

Ü Ö ½ ¾ Ï Ý ÓÙÐ ÒÓØ Û Ù ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ò ÜÔ Ø Ú ÐÙ Ò χ ¾ Ø Ø Ø Ø Ø Ñ ÐÐ Ï Ø ÔÔ Ò Û Ú ÓÐ Ø ÙÑÔØ ÓÒ µ ÓÖ Ù Ò Ø Ø