¾»¾ ÍÒ Ö Ø Ö Ô Ð ÑÓ Ð Ï ÓÒ Ö = ( ½,..., Ô+½ ) N Ô+½ (¼,Ω ½ ) Ω ÒÓÒ Ò ÙÐ Öº Γ := {½,...,Ô + ½} = (Γ, ) Ò Ø ÙÒ Ö Ø Ö Ô º Ò ( ) : Ò ÓÖ Ó Ò º

½»¾ Ø Ñ Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÓÖ Ù Ò Ö Ô Ð ÑÓ Ð Æ ÓÐ Î ÖÞ Ð Ò ÏÓÖ ÓÔ ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ö Ô

¾»¾ ÍÒ Ö Ø Ö Ô Ð ÑÓ Ð Ï ÓÒ Ö = ( ½,..., Ô+½ ) N Ô+½ (¼,Ω ½ ) Ω ÒÓÒ Ò ÙÐ Öº Γ := {½,...,Ô + ½} = (Γ, ) Ò Ø ÙÒ Ö Ø Ö Ô º Ò ( ) : Ò ÓÖ Ó Ò º 1 2 3 5 4

¾»¾ ÍÒ Ö Ø Ö Ô Ð ÑÓ Ð Ï ÓÒ Ö = ( ½,..., Ô+½ ) N Ô+½ (¼,Ω ½ ) Ω ÒÓÒ Ò ÙÐ Öº Γ := {½,...,Ô + ½} = (Γ, ) Ò Ø ÙÒ Ö Ø Ö Ô º Ò ( ) : Ò ÓÖ Ó Ò º 1 2 Ø Ø Å Ö ÓÚ ÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ 3 ( {,Ò ( )}) Ò ( ) 5 4

¾»¾ ÍÒ Ö Ø Ö Ô Ð ÑÓ Ð Ï ÓÒ Ö = ( ½,..., Ô+½ ) N Ô+½ (¼,Ω ½ ) Ω ÒÓÒ Ò ÙÐ Öº Γ := {½,...,Ô + ½} = (Γ, ) Ò Ø ÙÒ Ö Ø Ö Ô º Ò ( ) : Ò ÓÖ Ó Ò º 1 2 Ø Ø Å Ö ÓÚ ÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ 3 ( {,Ò ( )}) Ò ( ) 5 4 Ù Ò Ö Ô Ð ÑÓ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ø ÐÓ Ð Å Ö ÓÚ ÔÖÓÔ ÖØÝ ÓÖ ÒÝ Γº

»¾ Üº ½ Ò Ø Ò ØÛÓÖ Ó º ÓÐ ÆÓ Ò Î ÖØ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò ØÛÓ Ò Ò Ø Ö ÔÖÓ ÙØ Ø Ø

»¾ ÌÖ Ò Ö ÔØÓÑ Ø Ò ÐÝ ÌÖ Ò Ö ÔØÓÑ Ø Ñ ÙÖ Ó Ø Ò ÜÔÖ ÓÒ Ð Ú Ð ÊÆ Ñµ

»¾ ÌÖ Ò Ö ÔØÓÑ Ø Ò ÐÝ ÌÖ Ò Ö ÔØÓÑ Ø Ñ ÙÖ Ó Ø Ò ÜÔÖ ÓÒ Ð Ú Ð ÊÆ Ñµ Ò ÐÝ Ó Ø Ô Ò Ò ØÖÙØÙÖ Ø º Ò Ø Ó Ð ÁÒ ÖÖ Ò Ô ÖØ Ó Ø Ò Ò ØÛÓÖ Ù Ò ØÖ Ò Ö ÔØÓÑ Ø º

»¾ ÈÖÓÔ ÖØÝ Ω, = ¼ ( ) {, } º 1 2 3 1 2 1 2 3 4 5 * * 0 0 * * * * * 0 5 4 3 4 5 0 0 * * * * 0 * * * * 0 0 * *

»¾ ÈÖÓÔ ÖØÝ Ω, = ¼ ( ) {, } º 1 2 3 1 2 1 2 3 4 5 * * 0 0 * * * * * 0 5 4 3 4 5 0 0 * * * * 0 * * * * 0 0 * * ÌÛÓ Ò Ø ÒØ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ô º Ñ Ò ÓÒ Ö ÙØ ÓÒ Ò Ø Ø Ø Ð Ò ÐÝ º

»¾ Üº ¾ ÁÑ Ò ÐÝ ÊÙ Ò Ì ÐÑ Ð Ò ¾¼¼¾µ

»¾ ËØ Ø Ø Ø N Ô+½ (¼,Ω ½ )º Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ó = ( ½,..., Ô+½ )

»¾ ËØ Ø Ø Ø N Ô+½ (¼,Ω ½ )º Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ó = ( ½,..., Ô+½ ) ÉÍ ËÌÁÇÆË ½ Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø Ó Ø ØÖÙØÙÖ º ¾ Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ ÙØ ÓÒ

»¾ ËØ Ø Ø Ø N Ô+½ (¼,Ω ½ )º Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ó = ( ½,..., Ô+½ ) ÉÍ ËÌÁÇÆË ½ Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø Ó Ø ØÖÙØÙÖ º ¾ Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ë ÌÌÁÆ À Ñ Ò ÓÒ Ô Ò º º Ñ ÖÓ ÖÖ Ýµ ÇÔØ Ñ Ð ØÝ Ò ÔØ Ø ÓÒ Ð Ü Ð ØÝ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ Ø

»¾ ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ø Ð Ö Ô Ø Ñ Ø ÓÒ ÔØ Ú Ø Ø Å Ò Ñ Ü ÓÙÒ

»¾ Ö Ô Ø Ñ Ø ÓÒ ÈÖ ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ø Ñ Ø ÓÒ Ω, = ¼ ( ) {, } º 1 2 3 1 2 1 2 3 4 5 * * 0 0 * * * * * 0 5 4 3 4 5 0 0 * * * * 0 * * * * 0 0 * * Ö Ô Ø Ñ Ø ÓÒ Ë Ð Ø Ò Ø ¼ Ó Ø ÔÖ ÓÒ Ñ ØÖ Üº Ð ÔÖ ÓÒº Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖ ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ý Ô Ò Ð Þ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ

½¼»¾ È Ò Ð Þ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ü½ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ô Ò Ð Þ Ø ÓÒº Á ÓÖ ÒÝ Ö Ô A = {Ω : Ω Ω = Ö = ¼ ÓÖ }º Ñ Ü Ω A L Ò(Ω ) Ê Ñ Ö Ï Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò ÒÖ Ø Ò Ø Ð Ð ÓÓ L Ò( Ω ) ÐÛ Ý ÒÖ º Ø Ó Ω Ö º Ø Ú Ö Ò Ó Ω ÒÖ º

½¼»¾ È Ò Ð Þ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ü½ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ô Ò Ð Þ Ø ÓÒº Á ÓÖ ÒÝ Ö Ô A = {Ω : Ω Ω = Ö = ¼ ÓÖ }º Ñ Ü Ω A L Ò(Ω ) Ê Ñ Ö Ï Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò ÒÖ Ø Ò Ø Ð Ð ÓÓ L Ò( Ω ) ÐÛ Ý ÒÖ º Ø Ó Ω Ö º Ø Ú Ö Ò Ó Ω ÒÖ º Ì Ö Ü Ø Ø Ð Øµ ÓÒ Ö Ô Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÃÙÐÐ Ö [ ] E K( Ω ;Ω) + Ú Ö Ò.

È Ò Ð Þ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ü½ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ô Ò Ð Þ Ø ÓÒº Á ÓÖ ÒÝ Ö Ô A = {Ω : Ω Ω = Ö = ¼ ÓÖ }º Ñ Ü Ω A L Ò(Ω ) Ê Ñ Ö Ï Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò ÒÖ Ø Ò Ø Ð Ð ÓÓ L Ò( Ω ) ÐÛ Ý ÒÖ º Ø Ó Ω Ö º Ø Ú Ö Ò Ó Ω ÒÖ º Ì Ö Ü Ø Ø Ð Øµ ÓÒ Ö Ô Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÃÙÐÐ Ö [ ] E K( Ω ;Ω) + Ú Ö Ò. Ï Ó ÒÓØ ÒÓÛ Á Ò Ð Ö ÒÓÙ Ø Ò = º Á Ò ØÓÓ Ñ ÐÐ Ð Ø Ò º ÀÓÔ Ð ØÓ Ø Ñ Ø º Ö ÓÒÒ Ð Ó Ð ØÓÓ Ñ ÓÖ º ½¼»¾ Ó Ð È Ò Ö Ô Ø Ø Ô Ö ÓÖÑ ÐÑÓ Ø Û ÐÐ º

½»¾ À ÙÖ Ø Ø ¹ Ö Ú Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÃÙÐÐ Ö [ [ ] Ô ] E K( Ω ;Ω) L Ò( Ω )+ ( ). Ò =½ Ø ¹ Ö Ú Ò Ö Ø Ö ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ã > ¼º [ Ô ] = Ö Ñ Ò L Ò( Ω )+Ã ÐÓ (Ô) ( ), Ò =½ Ò ÐÝ Ë ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÓÒØÖÓÐ Ó Ø Ú Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ñ ØÓÖ Ω ÓÑÔÙØ Ò Ø Ñ ØÖ ÒØÖÓÔÝ Ó Ø ØÓ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ò A º ÍÒ Ö ÓÑ ÓÒ Ø ÓÒ ºººº [ ] [ ] E K( Ω ;Ω) ÐÓ (Ô)E K( Ω ;Ω) ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ ¾ Ô(Ô ½)/¾ Ø Ñ ØÓÖ ØÓ ÓÑÔÙØ º

¾»¾ ÓÒÚ Ü Ý Ò Ø Ö Ø Ö ÓÒ Ü¾ Ð ½ Ô Ò Ð Þ Ø ÓÒ Ð Óµ Ò Ö Ø Ðº ¼ µ ÊÓØ Ñ Ò Ø Ðº ¼ µ Ê Ú ÙÑ Ö Ø Ðº ¼ µ Ω = Ö Ñ Ò Ω L Ò(Ω )+λ Ω ½. Ì Ø Ñ ØÓÖ Ω Ù Ù ÐÐÝ Ô Ö º Ð ½ Ô Ò Ð Þ Ø ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ó ÒØ ØÓ Þ ÖÓº

¾»¾ ÓÒÚ Ü Ý Ò Ø Ö Ø Ö ÓÒ Ü¾ Ð ½ Ô Ò Ð Þ Ø ÓÒ Ð Óµ Ò Ö Ø Ðº ¼ µ ÊÓØ Ñ Ò Ø Ðº ¼ µ Ê Ú ÙÑ Ö Ø Ðº ¼ µ Ω = Ö Ñ Ò Ω L Ò(Ω )+λ Ω ½. Ì Ø Ñ ØÓÖ Ω Ù Ù ÐÐÝ Ô Ö º Ð ½ Ô Ò Ð Þ Ø ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ó ÒØ ØÓ Þ ÖÓº Ò ÐÝ Ø ÃÙÐÐ ÐÓ K( Ω;Ω) Ñ ÐÐ ººº ÙÒ Ö ÓÑ ÓÒ Ø ÓÒ [ [ ] Ô ] E K( Ω;Ω) ÐÓ (Ô) ( ) Ò =½ ØÓÓÐ Ú ÓÙÖ Ó Ø Ô ØÖÙÑ Ó Ï ÖØ Ñ ØÖ Ü Ú ÓÒ Ò ËÞ Ö ¼½µ Ú Ø ÓÒ Ó Ø ÒØÖ Ó Ø Ò Ö Ï ÖØ Ñ ØÖ Üº

½¾»¾ ÓÒÚ Ü Ý Ò Ø Ö Ø Ö ÓÒ Ü¾ Ð ½ Ô Ò Ð Þ Ø ÓÒ Ð Óµ Ò Ö Ø Ðº ¼ µ ÊÓØ Ñ Ò Ø Ðº ¼ µ Ê Ú ÙÑ Ö Ø Ðº ¼ µ Ω = Ö Ñ Ò Ω L Ò(Ω )+λ Ω ½. Ì Ø Ñ ØÓÖ Ω Ù Ù ÐÐÝ Ô Ö º Ð ½ Ô Ò Ð Þ Ø ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ó ÒØ ØÓ Þ ÖÓº Ò ÐÝ Ø ÃÙÐÐ ÐÓ K( Ω;Ω) Ñ ÐÐ ººº ÙÒ Ö ÓÑ ÓÒ Ø ÓÒ [ [ ] Ô ] E K( Ω;Ω) ÐÓ (Ô) ( ) Ò =½ ØÓÓÐ Ú ÓÙÖ Ó Ø Ô ØÖÙÑ Ó Ï ÖØ Ñ ØÖ Ü Ú ÓÒ Ò ËÞ Ö ¼½µ Ú Ø ÓÒ Ó Ø ÒØÖ Ó Ø Ò Ö Ï ÖØ Ñ ØÖ Üº Ï Ò Ò Ñ ÐÐ Ø Ö Ô Ó Ø ØÓ Ω ÑÔ Ö ÐÐÝµ Ô Ö ÓÖÑ Ú ÖÝ º

»¾ Ö Ô Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ö Ö ÓÒ = θ, +ǫ, Û Ø ǫ ( ) Ò Ø Ñ ØÖ Ü θ Ò Ý θ, = Ω, /Ω,. Ö Ô Ø Ñ Ø ÓÒ Ë Ð Ø ÓÒ Ó Ø ¼ Ó θº Ø Ñ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ Ð Û Ø Ù Ò Ò

½»¾ Ö Ô Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ö Ö ÓÒ = θ, +ǫ, Û Ø ǫ ( ) Ò Ø Ñ ØÖ Ü θ Ò Ý θ, = Ω, /Ω,. Ö Ô Ø Ñ Ø ÓÒ Ë Ð Ø ÓÒ Ó Ø ¼ Ó θº Ø Ñ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ Ð Û Ø Ù Ò Ò Ü½ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ô Ò Ð Þ Ø ÓÒ θ,. = Ö Ñ Ò ( θ θ,., ¾ ½+Ã ÐÓ (Ô) Ò ) θ,. ¼ ].

Ö Ô Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ö Ö ÓÒ = θ, +ǫ, Û Ø ǫ ( ) Ò Ø Ñ ØÖ Ü θ Ò Ý θ, = Ω, /Ω,. Ö Ô Ø Ñ Ø ÓÒ Ë Ð Ø ÓÒ Ó Ø ¼ Ó θº Ø Ñ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÑÓ Ð Û Ø Ù Ò Ò Ü½ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ô Ò Ð Þ Ø ÓÒ θ,. = Ö Ñ Ò ( θ θ,., ¾ ½+Ã ÐÓ (Ô) Ò ) θ,. ¼ ]. Ü¾ Ð ½ È Ò Ð Þ Ø ÓÒ Ä Óµ θ,. = Ö Ñ Ò θ,. θ, ¾ +λ θ,. ½. ½»¾ Ò ÐÝ Ù Òµ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ø Ó µ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ ÓÖ Ï ÖØ Ñ ØÖ º Ö Ù ¼ µ ÊÓØ Ñ Ò Ø Ðº ¼ µ

½»¾ Ö Ô Ø Ñ Ø ÓÒ Ý Ò ÔÔÖÓ ½ ¾ Ò ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ó Ö Ô º º Ö ¹Ê ÒÝ ÑÓ Ðµ ÓÖ ÒÝ Ö Ô Ò ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ó ÔÖ ÓÒ Ñ ØÖ Û Ø ÔÖ Ö Þ ÖÓ ØÝÔ ÐÐÝ ÀÝÔ ÖÏ ÖØ ØÖ ÙØ ÓÒµº ÓÑÔÙØ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó L(,Ω ½,..., Ò)º

»¾ Ö Ô Ø Ñ Ø ÓÒ Ý Ò ÔÔÖÓ ½ ¾ Ò ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ó Ö Ô º º Ö ¹Ê ÒÝ ÑÓ Ðµ ÓÖ ÒÝ Ö Ô Ò ÔÖ ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ó ÔÖ ÓÒ Ñ ØÖ Û Ø ÔÖ Ö Þ ÖÓ ØÝÔ ÐÐÝ ÀÝÔ ÖÏ ÖØ ØÖ ÙØ ÓÒµº ÓÑÔÙØ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó L(,Ω ½,..., Ò)º ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÙÐØ Á Ø Ö Ô ÓÖ Ð Ø Ò Ø ÀÝÔ ÖÏ ÖØ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ Ù Ø Ý ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó L(Ω, ½,..., Ò) Á ÒÓØ ÓÖ Ð ÓÒ ØÓ Ù Å Å ¹Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÒØ Ò Ú º ÐÐ ÔÓÖØ Ø Ðº ¼ µ ËÓØØ Ò ÖÚ Ð Ó ¼ µ

½»¾ Ø Ú Ö Ö ØÓÔ Ø Ø ÑÙÐØ ÔÐ È Ù Ó¹ÚÖ Ñ Ð Ò ÎÖ Ñ Ð Ò ¹ Ë Ö»ËØÖ ÑÑ Ö ¼ µ ¹ Å Ò Ù Ò» ÐÑ ÒÒ ¼ µ ¹ Ù Ò»Ä Ò ¼ µ ¹ Ï ÐÐ» ÐÑ ÒÒ ¼ µ ¹ Ö Ù»ÀÙ Ø»Îº ¼ µ ¹ Ò Ö Ø Ðº ¼ µ ¹ ÐÑ ÒÒ»Ã Ð ¼ µ ººº ¹ Ö Ñ Ò Ø Ðº ¼ µ ººº ººº

½»¾ Ø Ú Ö Ö ØÓÔ Ø Ø ÑÙÐØ ÔÐ È Ù Ó¹ÚÖ Ñ Ð Ò ÎÖ Ñ Ð Ò ¹ Ë Ö»ËØÖ ÑÑ Ö ¼ µ ¹ Å Ò Ù Ò» ÐÑ ÒÒ ¼ µ ¹ Ù Ò»Ä Ò ¼ µ ¹ Ï ÐÐ» ÐÑ ÒÒ ¼ µ ¹ Ö Ù»ÀÙ Ø»Îº ¼ µ ¹ Ò Ö Ø Ðº ¼ µ ¹ ÐÑ ÒÒ»Ã Ð ¼ µ ººº ¹ Ö Ñ Ò Ø Ðº ¼ µ ººº ººº ÓÑÑÓÒ ØÙÖ Ó Ø Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÔÖÓ º Û Ø ÓÖ Ø Ð Ö ÙÐØ ½ Ò Ô ÝÔÓØ ÓÒ Ø ÓÚ Ö Ò Ω ½ º ÈÖ Ø Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö ÓÑ Ø Ñ µ ÔÓ ÒØ Ò Ò Ø Ö ÙÐØ Ö ÒÓØ ÓÖÖÓ ÓÖ Ø Ò º Î ÐÐ Ö Ø Ðº ¼ µ

½»¾ Î Ð Ø ÓÒ Ó Ö Ô ÜÔÖ ÓÒ Ø Ô + ½ Ò Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ó ( ½,..., Ô+½ ) Ç Ä Ø Ø Ò Ø Ø ÒÓ Ö ÙÐ Ø ÓÒ ØÛ Ò Ò Ò ÓÖ ÓØØ Òº

½»¾ Î Ð Ø ÓÒ Ó Ö Ô Ö Ô = (Γ, ) Û Ø Γ = {½,...,Ô + ½} Ì Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ó = ( ½,..., Ô+½ ) N(¼,Ω ½ ) Ç Ä Ø Ø Ò À ¼ Ù Ò Ö Ô Ð ÑÓ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ º Å Ò Ì Ø Ò ÓÖ ÒÝ Ú ÖØ Ü À ¼, Ø Ø ÐÓ Ð Å Ö ÓÚ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ {,Ò ( )} Ò ( )

½»¾ ÔÔÖÓ Ê Ö ÓÒ Ó Û Ø Ö Ô ØÓ = Γ\{ } θ +ǫ Æ ÓÖ ÓÓ Ø Ø ÓÖ Ø Ú Ø Ü Ø Ø Ò À ¼, {,Ò ( )} Ò ( ) ǫ À ¼, θ Ò ( ) = ¼

½»¾ ÔÔÖÓ Ê Ö ÓÒ Ó Û Ø Ö Ô ØÓ = Γ\{ } θ +ǫ Æ ÓÖ ÓÓ Ø Ø ÓÖ Ø Ú Ø Ü Ø Ø Ò À ¼, {,Ò ( )} Ò ( ) ǫ À ¼, θ Ò ( ) = ¼ Ô = θ +ǫ =½ Û Ø θ R Ô ÙÒ ÒÓÛÒ ǫ N(¼,σ ¾ ) Ò σ ¾ = Ú Ö( ) ÙÒ ÒÓÛÒ ( ) ½ Ô N(¼,Σ) Û Ø Σ ÙÒ ÒÓÛÒ ÙØ ÒÓÒ Ò ÙÐ Öº ǫ Ò Ô Ò ÒØ Ó

ÔÔÖÓ Ê Ö ÓÒ Ó Û Ø Ö Ô ØÓ = Γ\{ } θ +ǫ Æ ÓÖ ÓÓ Ø Ø ÓÖ Ø Ú Ø Ü Ø Ø Ò À ¼, {,Ò ( )} Ò ( ) ǫ À ¼, θ Ò ( ) = ¼ Ô = θ +ǫ =½ Û Ø θ R Ô ÙÒ ÒÓÛÒ ǫ N(¼,σ ¾ ) Ò σ ¾ = Ú Ö( ) ÙÒ ÒÓÛÒ ( ) ½ Ô N(¼,Σ) Û Ø Σ ÙÒ ÒÓÛÒ ÙØ ÒÓÒ Ò ÙÐ Öº ǫ Ò Ô Ò ÒØ Ó Î {½,...,Ô} Ì Ø Ò Ø ÙÔÔÓÖØ Ó θ Ø Ò Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ó (, )º ½»¾ À ¼ θ Î = ¼

½»¾ Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ ÙÖ ÓÖ Ø Ó ÑÔÐ ØÝ Î = º ÓÒ Ö Ñ {½,...,Ô} Ø Ø Ò À ¼ : θ = ¼. Ò Ø Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú À ½,Ñ : θ {Ñ} = ¼

½»¾ Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ ÙÖ ÓÖ Ø Ó ÑÔÐ ØÝ Î = º ÓÒ Ö Ñ {½,...,Ô} Ø Ø Ò À ¼ : θ = ¼. Ò Ø Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú À ½,Ñ : θ {Ñ} = ¼ Ï ÒÓØ Π Ñ Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÒØÓ Ø Ô Ò Ö Ø Ý, Ñ. Ò ÙÐ Ò ÒÓÖÑ ÓÒ R Ò º Ö Ø Ø Ï Ö Ø À ¼ φ Ñ(, ) > Ø Ö ÓÐ φ Ñ(, ) = (Ò Ñ ) ΠÑ ΠÑ ¾ Ò Ñ Π Ñ ¾ Ò ÍÒ Ö À ¼ φ Ñ(, ) Ö( Ñ, Ò Ñ )

¾¼»¾ Ö ÔØ ÓÒ µ M(, Ô) ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ù Ø Ó {½,...,Ô} Ó Þ º ( Ò ½) Ò Ø ÓÒ Ä Ø Ù Ö Ø Ø Ø Ø Ì α Ñ M(, Ô) : φ Ñ(, ) > ½ Ñ,Æ Ñ (α/ M ) Ñ,ÆÑ (Ù) Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ö ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ñ Ø Æ Ñ Ö Ó Ö ÓÑ Ð Ö Ö Ø Ò Ùº

¾½»¾ Pθ(Tα > 0) 1 δ H0 Θ[, Ô] Î ØÓÖ θ R Ô Û Ø Ø ÑÓ Ø ÒÓÒ Þ ÖÓ ÓÓÖ Ò Ø º À ¼ : θ = ¼ Ò Ø À ½ : θ Θ[, Ô]\{¼} Pθ(Tα > 0) 1 δ Σθ ¾ Ô := Ú Ö[ Ô =½ θ ]

¾½»¾ Pθ(Tα > 0) 1 δ H0 Θ[, Ô] Î ØÓÖ θ R Ô Û Ø Ø ÑÓ Ø ÒÓÒ Þ ÖÓ ÓÓÖ Ò Ø º À ¼ : θ = ¼ Ò Ø À ½ : θ Θ[, Ô]\{¼} Pθ(Tα > 0) 1 δ Σθ ¾ Ô := Ú Ö[ Ô =½ θ ] Ì ÓÖ Ñ ÙÑ Ø Ø ( Ô ) Ò [α,δ] ÐÓ, Ø Ò P θ (Ì α > ¼) ½ δ Ø Ò ÓÖ ÐÐ Σ Ò ÓÖ ÐÐ θ Θ[, Ô] Ù Ø Ø Σθ ¾ Ô σ ¾ [α,δ] Ò [ ( Ô ÐÓ )] º

¾¾»¾ ËÙÑÑ ÖÝ Ì Ø Ø Ì α ÔÓÛ Ö ÙÐ Ò Ø ¹ Ô Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú Û Ò Σθ ¾ Ô σ ¾ Ò ÐÓ ( Ô ). Á Ø ÓÔØ Ñ Ð

¾¾»¾ ËÙÑÑ ÖÝ Ì Ø Ø Ì α ÔÓÛ Ö ÙÐ Ò Ø ¹ Ô Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú Û Ò Σθ ¾ Ô σ ¾ Ò ÐÓ ( Ô ). Á Ø ÓÔØ Ñ Ð ººº ÙÒ Ö Ø ÝÔÓØ Ø Ø ÐÓ (Ô/ ) Ñ ÐÐ ÓÑÔ Ö ØÓ Òº Ï Ý Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ò Á Ø Ñ Ò Ñ Ð

¾¾»¾ ËÙÑÑ ÖÝ Ì Ø Ø Ì α ÔÓÛ Ö ÙÐ Ò Ø ¹ Ô Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú Û Ò Σθ ¾ Ô σ ¾ Ò ÐÓ ( Ô ). Á Ø ÓÔØ Ñ Ð ººº ÙÒ Ö Ø ÝÔÓØ Ø Ø ÐÓ (Ô/ ) Ñ ÐÐ ÓÑÔ Ö ØÓ Òº Ï Ý Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ò Á Ø Ñ Ò Ñ Ð ÁØ ÔÓ Ð ØÓ Ú Ø Ö Ø Ó Ø Ø Ò ÐÓ ( Ô ) Ò Ø Θ[, Ô] ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ÓÚ Ö ÐÐ {½,...,Ò/¾ ÐÓ (Ô)}º Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ì α Ø ÖÖ Ð º ÈÖÓÔÓÖØ ÓÒÒ Ð ØÓ ( Ô) º ÀÓÛ Ò Û ÓÔ Û Ø Ø Ò ÔÖ Ø º Ø ¹ Ö Ú Ò ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó ÑÓ Ð Ú Ò Ý Ø ÔÖÓ ÙÖ º º Ä Óµº

¾»¾ Å Ò Ñ Ü Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ò À ¼ θ = ¼ Ò Ø À ½ θ Θ[, Ô]\{¼}. Ü δ > ¼º ψ α Ø Ø Ó Ä Ú Ð αº Ë Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ò Ó ψ α ρ[ψ α,,σ] := Ò { ρ > ¼, Ò θ Θ[,Ô], P θ,σ [ψ α = ½] ½ δ Σθ Ô ρσ }. Pθ(ψα > 0) 1 δ H0 Pθ(ψα > 0) 1 δ

¾»¾ Å Ò Ñ Ü Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ò À ¼ θ = ¼ Ò Ø À ½ θ Θ[, Ô]\{¼}. Ü δ > ¼º ψ α Ø Ø Ó Ä Ú Ð αº Ë Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ò Ó ψ α ρ[ψ α,,σ] := Ò { ρ > ¼, Ò θ Θ[,Ô], P θ,σ [ψ α = ½] ½ δ Σθ Ô ρσ }. Pθ(ψα > 0) 1 δ Å Ò Ñ Ü Ø Ò Ó Ô Ö Ø ÓÒ H0 ρ [,Σ] := Ò ψ α ρ[ψ α,,σ]. Pθ(ψα > 0) 1 δ ρ [ ] := ÙÔ ρ [,Σ]

¾»¾ ÃÒÓÛÒ Ú Ö Ò σ ¾ Á Ø ÙÔÔÓÖØ Ó θ ÒÓÛÒ ÕÙ Ö Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ò /Òº

»¾ 0 10 0 10 ÃÒÓÛÒ Ú Ö Ò σ ¾ Á Ø ÙÔÔÓÖØ Ó θ ÒÓÛÒ ÕÙ Ö Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ò /Òº Ì ÓÖ Ñ ÐÓÒ Ô Ò (α,δ) Ò Ô ½/ Û Ú [ (ρ [ ]) ¾ ( Ô ) [α,δ] ÐÓ ½ ]. Ò Ò Minimax separation k or log(p) ÓÑÑ ÒØ Á ÐÓ ( Ô/ ) Ñ ÐÐ ÓÖ Ò Ò ÐÓ ÓÙ ØÓ Ñ Ò Ñ Ü Ö ÓÖ ÔÖ Ø ÓÒº Ò ÐÓ ÓÙ ØÓ Ù Ò ÕÙ Ò ÑÓ Ð ÁÒ Ø Ö ¼¾µ Ö Ù ¼¾µµº Ä Ö (, Ô) Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ò ÓÚ Ö R Ò º ÔØ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ô Ö ØÝ ÔÓ Ð º ÓÒ ÖÖÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ø Ò ÔÖÓ ÙÖ µº

¾»¾ ÍÒ ÒÓÛÒ Ú Ö Ò σ ¾ ψ α ÙÔ σ>¼ P ¼,σ [ψ α = ½] αº Ë Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ò Û Ò Ø Ú Ö Ò ÙÒ ÒÓÛÒº

¾»¾ ÍÒ ÒÓÛÒ Ú Ö Ò σ ¾ ψ α ÙÔ σ>¼ P ¼,σ [ψ α = ½] αº Ë Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ò Û Ò Ø Ú Ö Ò ÙÒ ÒÓÛÒº { } ρ Í [ψ α,,σ] := Ò ρ > ¼, Ò σ>¼, θ Θ[,Ô], Σθ Ò ρσ P θ,σ [ψ α = ½] ½ δ. Pθ(ψα > 0) 1 δ H0 ρ Í [,Σ] := Ò ρ Í [ψ α,,σ]. ψ α Pθ(ψα > 0) 1 δ ρ Í [ ] := ÙÔ ρ Í [,Σ]

0 0 10 ÍÒ ÒÓÛÒ Ú Ö Ò σ ¾ ψ α ÙÔ σ>¼ P ¼,σ [ψ α = ½] αº Ë Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ò Û Ò Ø Ú Ö Ò ÙÒ ÒÓÛÒº { } ρ Í [ψ α,,σ] := Ò ρ > ¼, Ò σ>¼, θ Θ[,Ô], Σθ Ò ρσ P θ,σ [ψ α = ½] ½ δ. Pθ(ψα > 0) 1 δ H0 ρ Í [,Σ] := Ò ρ Í [ψ α,,σ]. ψ α Pθ(ψα > 0) 1 δ ρ Í [ ] := ÙÔ ρ Í [,Σ] Ì ÓÖ Ñ Á Ô Ò (α,δ) Ò Ô ½/ Û Ú (ρ Í [ ])¾ [α,δ] ( Ô ) [ ÐÓ ÜÔ [α,δ] ÐÓ ( Ô/ ) ] Ò Ò. Minimax separation»¾ k or log(p) ÓÑÑ ÒØ Á ÐÓ ( Ô/ ) Ò Ñ Ñ Ò Ñ Ü Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ò ÓÖ ÒÓÛÒ Ú Ö Ò º ÐÓÛ ÙÔ Ò ÙÐØÖ ¹ Ñ Ò ÓÒº

»¾ ËØ Ø Ø Ð Ö ÙÑ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ö ÙÐØ Ò Ñ ØÖ Ü Ó Þ Ò Ôº ËÔ Ö ÒÚ ÐÙ Φ,+ ( ) = ÙÔ θ ¾ Ò θ, θ ¼ θ ¾ Ô Φ, ( ) = Ò θ, θ ¼ θ ¾ Ò θ ¾ Ô ËØ Ø Ø Ð ÑÓ Ð = θ +ǫ Û Ø ǫ N(¼ Ò,σ ¾ Á Ò)º θ Ô Ö Ò ÓÑ Û Ýº

¾»¾ ËØ Ø Ø Ð Ö ÙÑ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ö ÙÐØ Ò Ñ ØÖ Ü Ó Þ Ò Ôº ËÔ Ö ÒÚ ÐÙ Φ,+ ( ) = ÙÔ θ ¾ Ò θ, θ ¼ θ ¾ Ô Φ, ( ) = Ò θ, θ ¼ θ ¾ Ò θ ¾ Ô ËØ Ø Ø Ð ÑÓ Ð = θ +ǫ Û Ø ǫ N(¼ Ò,σ ¾ Á Ò)º θ Ô Ö Ò ÓÑ Û Ýº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÓÖ ÒÝ Ò Òσ ¾ Ò θ ÈÖÓÓ ÒÓ³ Ð ÑÑ ÙÔ θ: θ ¼ = E [ ( θ θ) ¾] Φ ( ¾, ( ) Ô ) Φ ¾,+ ( ) ÐÓ σ ¾

¾»¾ ÓÑ ØÖ Ð Ö ÙÑ ÒØ Ø Ø Ø Ð Ö ÙÐØ Ò,Ô Ò Ñ ØÖ Û Ó ÓÐÙÑÒ Ú Ò ÒÓÖÑ Ð Þ ØÓ ½ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÓÖ ÒÝ Ò D Ò,Ô [ Φ ¾, ( ) ¾ ÜÔ ¾ ( Ô ÐÓ Ò ) ] ½.

¾»¾ ÓÑ ØÖ Ð Ö ÙÑ ÒØ Ø Ø Ø Ð Ö ÙÐØ Ò,Ô Ò Ñ ØÖ Û Ó ÓÐÙÑÒ Ú Ò ÒÓÖÑ Ð Þ ØÓ ½ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÓÖ ÒÝ Ò D Ò,Ô [ Φ ¾, ( ) ¾ ÜÔ ¾ ( Ô ÐÓ Ò ) ] ½. ÓÖÓÐÐ ÖÝ Å Ò Ñ Ü ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø Ñ Ø ÓÒµ Á ÐÓ (Ô/ ) Ò ÐÓ (Ò)º ÓÖ ÒÝ Ò D Ò,Ô Ò θ ÙÔ θ: θ ¼ = [ E θ θ ¾] ÜÔ [ Ò ÐÓ ( Ô ] ) σ ¾

¾»¾ Ê Ö Ò Ö Ô Ð ÑÓ Ð Ä ÙÖ ØÞ Òº Ö Ô Ð ÑÓ Ð º ÇÜ ÓÖ ÙÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ º Ö Ô Ø Ñ Ø ÓÒ Å Ò Ù Ò Ò ÐÑ ÒÒ ¾¼¼ µº À ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ô Ò Î Ö Ð Ë Ð Ø ÓÒ Û Ø Ø Ä Óº ÒÒ Ð Ó ËØ Ø Ø º ÊÓØ Ñ Ò Ä Ú Ò Ø Ðº ¾¼¼ µº ËÔ Ö Ô ÖÑÙØ ÒØ ÒÚ Ö ÒØ ÓÚ Ö Ò Ø Ñ Ø ÓÒº Ð ØÖÓÒ Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó ËØ Ø Ø º Ñ ÖÓ ÕÙ Ø Ò Å Ø ¾¼¼ µº ÁÒ ÖÖ Ò ËÔ Ö Ù Ò Ö Ô Ð ÑÓ Ð Û Ø Ð Ø ÒØ ØÖÙØÙÖ º Ð ØÖÓÒ Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó ËØ Ø Ø º Ö Ù ÀÙ Ø Îº ¾¼¼ µº Ö Ô Ð Ø ÓÒ Û Ø ÅË Ð Øº ÏÓÒ ÖØ Ö Ò ÃÓ Ò ¾¼¼ µ ÒØ Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÓÚ Ö Ò Ð Ø ÓÒ ÑÓ Ð º ÓÑ ØÖ Ì Ø Ò Å Ò Ñ Ü Ö Ø Îº Ò Î ÐÐ Ö ¾¼½¼µº ÓÓ Ò ¹Ó ¹ Ø Ì Ø ÓÖ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ò Ð Ò Ö ÑÓ Ð º ÒÒ Ð Ó ËØ Ø Ø º Îº ¾¼½¼µº Å Ò Ñ Ü Ö ÓÖ Ô Ö Ö Ö ÓÒ ÍÐØÖ ¹ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô ÒÓÑ ÒÓÒ º ØØÔ»» ÖÜ ÚºÓÖ»»½¼¼ º¼ ¾ Ú¾