Interval temp o ral logi s ψ ψ T ruth of fo rmulae is de ned over intervals (not p oints). ψ ψ

ÇÔØ Ñ Ð Ì Ð Ù ËÝ Ø Ñ ÓÖ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Æ ÓÖ ÓÓ ÄÓ ÓÚ Ö ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ä Ò Ö ÇÖ Ö Ú Ö ÓÐ Ò Ò ÐÓ ÅÓÒØ Ò Ö È ØÖÓ Ë Ð Ò Ù Ó Ë Ú Ó Ô ÖØ Ñ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Í Ò ÁØ ÐÝ Ò ÐÓºÑÓÒØ Ò Ö ÙÒ Ù º Ø Ì Ä Í 2011 ÖÒ ËÛ ØÞ ÖÐ Ò µ

ÇÙØÐ Ò ÁÒØ ÖÚ Ð Ø ÑÔÓÖ Ð ÐÓ Ì ÐÓ AA Ó Ø ÑÔÓÖ Ð Ò ÓÖ ÓÓ Ø Ð Ù¹ ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ ÓÖ AA ÓÚ Ö Ø Ð Ó ÐÐ Ð Ò Ö ÓÖ Ö ÓÒÐÙ ÓÒ Ò ÙÖØ Ö ÛÓÖ

ÁÒØ ÖÚ Ð Ø ÑÔÓÖ Ð ÐÓ ÌÖÙØ Ó ÓÖÑÙÐ Ò ÓÚ Ö ÒØ ÖÚ Ð ÒÓØ ÔÓ ÒØ µº ψ ψ ψ ψ

ÁÒØ ÖÚ Ð Ø ÑÔÓÖ Ð ÐÓ ÌÖÙØ Ó ÓÖÑÙÐ Ò ÓÚ Ö ÒØ ÖÚ Ð ÒÓØ ÔÓ ÒØ µº ψ ψ ψ ψ ÁÒØ ÖÚ Ð Ø ÑÔÓÖ Ð ÐÓ Ö Ú ÖÝ ÜÔÖ Ú ÓÑÔ Ö ØÓ ÔÓ ÒØ¹ Ø ÑÔÓÖ Ð ÐÓ µº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÖÑÙÐ Ó ÒØ ÖÚ Ð ÐÓ ÜÔÖ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ô Ö Ó Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ö Ø Ö Ø Ò Ó Ò Ð Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ò Ö Ú ÐÙ Ø Ø Ó Ù Ô Ö º º Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ º Ì Ù Ò Ò Ö Ð Ø Ö ÒÓ Ö ÙØ ÓÒ Ó Ø Ø Ð ØÝ»Ú Ð ØÝ Ò Ò¹ Ø ÖÚ Ð ÐÓ ØÓ ÑÓÒ ÓÒ ¹ÓÖ Ö ÐÓ Ò Ø Ö ÓÖ Ê Ò³ Ø Ó¹ Ö Ñ ÒÓØ ÔÔÐ Ð Ö º

Ò ÖÝ ÇÖ Ö Ò Ê Ð Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÒØ ÖÚ Ð Ì Ø ÖØ Ò Ò ÖÝ ÓÖ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ØÛÓ ÒØ ÖÚ Ð ÓÒ Ð Ò Ö ÓÖ Ö Ø Ó ÐÓÛ Ò Ø Ö ÒÚ Ö µ ÓÖÑ Ø Ø Ó ÐÐ Ò³ ÒØ ÖÚ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÙÖÖ ÒØ ÒØ ÖÚ Ð ÕÙ Ð Ò ÙÖ Ò Ò ÓÚ ÖÐ Ô Ñ Ø ÓÖ

ÀË Ø ÑÓ Ð ÐÓ Ó ÐÐ Ò³ ÒØ ÖÚ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÐÐ Ò³ ÒØ ÖÚ Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ú Ö ØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÒ ÖÝ ÑÓ Ð Ø ÓÚ Ö Ö Ñ Û Ö ÒØ ÖÚ Ð Ö ÔÖ Ñ Ø Ú ÒØ Ø À ÐÔ ÖÒ Ò Ë Ó Ñ³ ÑÓ Ð ÐÓ Ó Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð ÀË ÄÁ Ë ½ µ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÚ Ö ÒØ ÖÚ Ð ØÖÙØÙÖ

ÀË Ø ÑÓ Ð ÐÓ Ó ÐÐ Ò³ ÒØ ÖÚ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÐÐ Ò³ ÒØ ÖÚ Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ú Ö ØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÒ ÖÝ ÑÓ Ð Ø ÓÚ Ö Ö Ñ Û Ö ÒØ ÖÚ Ð Ö ÔÖ Ñ Ø Ú ÒØ Ø À ÐÔ ÖÒ Ò Ë Ó Ñ³ ÑÓ Ð ÐÓ Ó Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð ÀË ÄÁ Ë ½ µ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÚ Ö ÒØ ÖÚ Ð ØÖÙØÙÖ Ì Ø Ð ØÝ»Ú Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÀË ÐÝ ÙÒ Ð ÓÚ Ö ÐÐ Ø Ò Ö Ð Ó Ð Ò Ö ÓÖ Ö º Ï Ø ÓÙØ Ø Ö Ñ ÒØ ÅÓÖ Ø Ò ÓÙÖ Ø ÓÙ Ò Ö Ñ ÒØ Ó ÀË ÓÚ Ö Ø Ð Ó ÐÐ Ð Ò Ö ÓÖ Ö µ Ò ÒØ Ý ÓÓ Ò Ö ÒØ Ù Ø Ó Ø Ø Ó ÑÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ º ÀÓÛ Ú Ö ½ ÒÙ Ò ÐÝ Ö ÒØ ÓÒ Ü Ø ÓÒÐÝº º ÐÐ ÅÓÒ Îº ÓÖ Ò Ó º ÅÓÒØ Ò Ö Ò º Ë Ú Ó ÜÔÖ Ú Ò Ó Ø ÁÒØ ÖÚ Ð ÄÓ Ó ÐÐ Ò³ Ê Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ð Ó ÐÐ Ä Ò Ö ÇÖ Ö ÓÑÔÐ Ø Ð Ø ÓÒ ÁÂ Á ¾¼½½

Ð ØÝ Ó ÀË Ö Ñ ÒØ Ñ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ð ØÝ Ó ÀË Ö Ñ ÒØ Ô Ò ÓÒ ØÛÓ ØÓÖ Ø Ø Ó ÒØ ÖÚ Ð ÑÓ Ð Ø Ø Ð Ò Ö ÓÖ Ö ÓÚ Ö Û Ø ÐÓ ÒØ ÖÔÖ Ø º

Ö Ð Ö Ø Ö Ø ÐÓ D Ì ÐÓ D Ó Ø Ù ÒØ ÖÚ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÐÐ Ò³ Ö Ð Ø ÓÒ ÙÖ Ò µ ÕÙ Ø ÒØ Ö Ø Ò ÖÓÑ Ø ÔÓ ÒØ Ó Ú Û Ó ÙÒµ Ð ØÝº

Ö Ð Ö Ø Ö Ø ÐÓ D Ì ÐÓ D Ó Ø Ù ÒØ ÖÚ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÐÐ Ò³ Ö Ð Ø ÓÒ ÙÖ Ò µ ÕÙ Ø ÒØ Ö Ø Ò ÖÓÑ Ø ÔÓ ÒØ Ó Ú Û Ó ÙÒµ Ð ØÝº Ì Ø Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ D ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÚ Ö Ø Ð Ó Ò Ð Ò Ö ÓÖ Ö ÈËÈ ¹ÓÑÔÐ Ø º Áº Ë Ô ÖÓÚ Ý ÇÒ ÈËÈ ¹ Ð ØÝ Ò ÌÖ Ò Ø Ú ÅÓ Ð ÄÓ Ú Ò Ò ÅÓ Ð ÄÓ ¾¼¼

Ö Ð Ö Ø Ö Ø ÐÓ D Ì ÐÓ D Ó Ø Ù ÒØ ÖÚ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÐÐ Ò³ Ö Ð Ø ÓÒ ÙÖ Ò µ ÕÙ Ø ÒØ Ö Ø Ò ÖÓÑ Ø ÔÓ ÒØ Ó Ú Û Ó ÙÒµ Ð ØÝº Ì Ø Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ D ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÚ Ö Ø Ð Ó Ò Ð Ò Ö ÓÖ Ö ÈËÈ ¹ÓÑÔÐ Ø º Áº Ë Ô ÖÓÚ Ý ÇÒ ÈËÈ ¹ Ð ØÝ Ò ÌÖ Ò Ø Ú ÅÓ Ð ÄÓ Ú Ò Ò ÅÓ Ð ÄÓ ¾¼¼ ÁØ ÙÒ Ð Û Ò D ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÚ Ö Ø Ð Ó Ò Ø Ò Ö Ø Ð Ò Ö ÓÖ Ö º Âº Å Ö Ò ÓÛ Ò Âº Å Ð ÞÝÒ Ì ÍÐØ Ñ Ø ÍÒ Ð ØÝ Ê ÙÐØ ÓÖ Ø À ÐÔ ÖÒ¹Ë Ó Ñ ÄÓ ÄÁ Ë ¾¼½½

Û ÐÐ¹ Ú Ö Ñ ÒØ Ø ÐÓ AA ÓÖÑÙÐ Ó Ø ÐÓ Ö Ö ÙÖ Ú ÐÝ Ò Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÑÑ Ö ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ A ϕ A ϕ ([A] = A Ù Ù Ð Ñ ÓÖ [A]) A ϕ ϕ

Û ÐÐ¹ Ú Ö Ñ ÒØ Ø ÐÓ AA ÓÖÑÙÐ Ó Ø ÐÓ Ö Ö ÙÖ Ú ÐÝ Ò Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÑÑ Ö ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ A ϕ A ϕ ([A] = A Ù Ù Ð Ñ ÓÖ [A]) ϕ A ϕ

Û ÐÐ¹ Ú Ö Ñ ÒØ Ø ÐÓ AA ÓÖÑÙÐ Ó Ø ÐÓ Ö Ö ÙÖ Ú ÐÝ Ò Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÑÑ Ö ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ A ϕ A ϕ ([A] = A Ù Ù Ð Ñ ÓÖ [A]) ϕ A ϕ Ï ÒÒÓØ ØÖ Ø Û Ý ÖÓÑ ÒÝ Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ Ó ÒØ ÖÚ Ð Ü ÑÔÐ ÓÒØÖ ØÓÖÝ ÓÖÑÙÐ Ò ÓÐ ÓÚ Ö ÒØ ÖÚ Ð Û Ø Ø Ñ Ö Ø Ò ÔÓ ÒØ Ò Ö ÒØ Ð Ø Ò ÔÓ ÒØº A [A]p A [A] p Ø Ð A [A]p...... d0 d1 d2 d3 A [A] p... ÓÖ ÒÝ d > d 3 p ÓÐ ÓÚ Ö [d 2,d] Ò p ÓÐ ÓÚ Ö [d 3,d]º

Ï Ø Ó Û ÐÖ Ý ÒÓÛ ÓÙØ AA Ð ØÝ Ò Ø Æ ÈÌÁÅ ¹ÓÑÔÐ Ø Ò µ Ó Ø ÙØÙÖ Ö Ñ ÒØ Ó AA Ø ÙØÙÖ ÑÓ Ð ØÝ A ÓÒÐÝµ ÓÚ Ö Ø Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö º º Ö ÓÐ Ò Ò º ÅÓÒØ Ò Ö Ì Ð Ù¹ ÓÒ ÈÖÓ ÙÖ ÓÖ Ê Ø ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Æ ÓÖ ÓÓ ÄÓ Ì Ä Í ¾¼¼ ÜØ Ò Ò Ö Ú Ú Ö ÓÒ Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÙØÓÑ Ø Ê ÓÒ Ò ¾¼¼ µ Ä Ø Ö ÜØ Ò ØÓ ÙÐÐ AA ÓÚ Ö Ø ÒØ Ö Ø Ò Ø ÐÓÖ ØÓ Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ò Ø Ð Ò Ö ÓÖ Ö µº º Ö ÓÐ Ò º ÅÓÒØ Ò Ö Ò Èº Ë Ð Ò ÇÔØ Ñ Ð Ì Ð Ù¹ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Æ ÓÖ ÓÓ ÄÓ ËÌ Ë ¾¼¼

ÜÔÖ Ú ÓÑÔÐ Ø Ò Ó AA Û Ø Ö Ô Ø ØÓ FO 2 [<] ÜÔÖ Ú ÓÑÔÐ Ø Ò Ó AA ÔÐÙ Ø ÑÓ Ð ÓÒ Ø ÒØ π ÓÖ ÔÓ ÒØ¹ ÒØ ÖÚ Ð µ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ØÛÓ¹Ú Ö Ð Ö Ñ ÒØ Ó Ö Ø¹ÓÖ Ö ÐÓ ÓÖ Ò ÖÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ð ØÖÙØÙÖ ÓÚ Ö Ú Ö ÓÙ Ð Ò ÖÐÝ¹ÓÖ Ö ÓÑ Ò FO 2 [<] Åº ÇØØÓ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ËÝÑ ÓÐ ÄÓ ¾¼¼½µº Ý¹ÔÖÓ ÙØ Ð ØÝ Ò Ø Æ ÈÌÁÅ ¹ÓÑÔÐ Ø Ò µ Ó AA ÓÚ Ö ÐÐ Ð Ò Ö ÓÖ Ö Ò Ò ÐÐ Û ÐÐ ÓÖ Ö º º Ö ÓÐ Ò Îº ÓÖ Ò Ó º ÅÓÒØ Ò Ö Ò º Ë Ú Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÁÒØ ÖÚ Ð Æ ÓÖ ÓÓ ÄÓ ÜÔÖ Ú Ò Ð ØÝ Ò ÍÒ Ð ÜØ Ò ÓÒ ÒÒ Ð Ó ÈÙÖ Ò ÔÔÐ ÄÓ ¾¼¼

AA ÜÔÖ Ú Ò ¹ Ø ÓÖÑÙÐ ImmediateSucc ÁØ Ò ÓÛÒ Ø Ø AA ÜÔÖ Ú ÒÓÙ ØÓ Ø Ò Ù ØÛ Ò Ø Ð ØÝ ÓÚ Ö Ø Ð Ó ÐÐ Ð Ò Ö ÓÖ Ö Ò Ø Ð Ó Ò Ö Ôº Ö Ø µ ÓÒ º Ä Ø ImmediateSucc Ø AA ÓÖÑÙÐ A A p [A][A][A] p ImmediateSucc Ø Ð ÓÚ Ö Ø Ð Ó ÐÐ Ö Ôº Ö Ø µ Ð Ò Ö ÓÖ Ö ÙØ Ø ÒÓØ Ø Ð ÓÚ Ö Ò Ð Ò Ö ÓÖ Ö º A A p A p p d 0... d 1 d 2... d d 3 [A][A][A] p [A][A] p [A] p p

AA ÜÔÖ Ú Ò ¹ Ø ÓÖÑÙÐ NoImmediateSucc Ä Ø NoImmediateSucc Ø AA ÓÖÑÙÐ A [A](p [A]p [A] p) A A [A]([A]p A A p) NoImmediateSucc Ø Ð ÓÚ Ö Ø Ð Ó ÐÐ Ö Ôº Ò µ Ð Ò Ö ÓÖ Ö ÙØ Ø ÒÓØ Ø Ð ÓÚ Ö Ö Ø Ð Ò Ö ÓÖ Ö º p A p A p A A [A]([A]p A A p) [A]p A [A]([A]p A A p) [A]([A]p A A p) d 2 d 1 d 0 d d 1 d 2...... d...... d 3... p p,[a]p [A] p p, A, [A](p [A]p [A] p) p p

Ð ØÝ Ó AA ÓÚ Ö Ø Ð Ó ÐÐ Ð Ò Ö ÓÖ Ö ÀÓÛ ØÓ Ò AA ÓÖÑÙÐ ϕ ÓÖ Ø Ð ØÝ ÇÙØÐ Ò Ó Ø ÔÖÓÓ ÊÇÅ Ü Ø Ò Ó Ò ÒØ ÖÚ Ð ÑÓ Ð ÓÖ ϕ ÌÇ Ü Ø Ò Ó ÔÓ ÐÝ Ò Ò Ø µ ϕ¹ð Ð ÒØ ÖÚ Ð ØÖÙØÙÖ ËÌ Æ Ê µ ÌÇ Ü Ø Ò Ó Ò Ø Ô Ù Ó¹ÑÓ Ð ÓÖ ϕ Á Á ÍÄÌµ ÌÇ Ü Ø Ò Ó Ø Ð Ù ÓÖ ϕ Û Ø ÐÓ Ö Ò Ë µ

Ñ Ò ÖÝ ÐÓ ÙÖ Ó ϕ Ø Ø CL(ϕ) Ó ÐÐ Ù ÓÖÑÙÐ Ó ϕ Ò Ó Ø Ö Ò Ø ÓÒ Ø ÑÔÓÖ Ð ÓÖÑÙÐ Ó ϕ Ø Ø TF(ϕ) CL(ϕ) Ó Ù ÓÖÑÙÐ Ó Ø ÓÖÑ A ψ,[a]ψ, A ψ, Ò [A]ψ Ñ Ü Ñ Ð Ø Ó Ö ÕÙ Ø ÓÖ ϕ Ù Ø Ó TF(ϕ) Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ A ψ TF(ϕ) A ψ S A ψ S Ø Ñ ÓÖ A ψµ ϕ¹ ØÓÑ Ø A CL(ϕ) Ù Ø Ø µ ÓÖ Ú ÖÝ ψ CL(ϕ) ψ A ψ A Ò µ ÓÖ Ú ÖÝ ψ 1 ψ 2 CL(ϕ) ψ 1 ψ 2 A ψ 1 A ÓÖ ψ 2 Aº Ï ÒÓØ Ý A ϕ Ø Ø Ó ÐÐ ϕ¹ ØÓÑ º

ÁÒØ ÖÚ Ð ÑÓ Ð Ò ϕ¹ð Ð ÒØ ÖÚ Ð ØÖÙØÙÖ Ä Ø D Ø Ó ÔÓ ÒØ D = D,< Ð Ò Ö ÓÖ Ö ÓÒ Ø Ò I(D) Ø Ø Ó ÐÐ ÒØ ÖÚ Ð ÓÚ Ö D ÁÒØ ÖÚ Ð ÑÓ Ð Ô Ö M = D,V Û Ö D = D,< Ò V : I(D) 2 AP ϕ¹ð Ð ÒØ ÖÚ Ð ØÖÙØÙÖ ϕ¹äáëµ Ô Ö L = D,L Û Ö L : I(D) A ϕ Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ Ô Ö [d i,d j ],[d j,d k ] I(D) Ò Ú ÖÝ [A]ψ CL(ϕ) [A]ψ L([d i,d j ]) Ø Ò ψ L([d j,d k ]) Ø Ñ ÓÖ [A]ψµ ϕ¹äáë Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø ÑÓ Ð Ø Ý Ø Ý ÐÓ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ú Ö Ð Ø ÑÔÓÖ Ð ÓÒ Ø ÓÒ µº Ï ÑÙ Ø Ù Ö ÒØ Ø Ø Ü Ø ÒØ Ð Ø ÑÔÓÖ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ø Û ÐÐ ÙÐ ÐÐ Ò ϕ¹äáë Ì ÓÖ Ñº ϕ Ø Ð Ø Ö Ü Ø ÙÐ ÐÐ Ò ϕ¹äáë L = D,L Û Ø ϕ L([d i,d j ]) ÓÖ ÓÑ [d i,d j ] I(D)

ÀÓÛ ØÓ Ñ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÙÐ ÐÐ Ò ϕ¹äáë Ø Ú Ú Ò ϕ¹äáë L Ò d D Û Ò Ø Ø Ó ÙØÙÖ Ò Ô Ø Ö ÕÙ Ø ÓÖ d REQ L f (d) Ò REQL p (d) Ö Ô Ø Ú ÐÝµ ÙØÙÖ Ö ÕÙ Ø ÓÖ d A p [A]q d A p [A]q d È Ø Ö ÕÙ Ø ÓÖ d Ï Ý Ø Ø ÙØÙÖ Ö ÕÙ Ø A ψ ÙÐ ÐÐ ÓÖ d Ò L Ø Ö Ü Ø d D Ù Ø Ø ψ L([d,d]) Ø Ñ ÓÖ Ô Ø Ö ÕÙ Ø µº Ï Ý Ø Ø d ÙÐ ÐÐ Ò L ÐÐ Ø ÙØÙÖ Ò Ô Ø Ö ÕÙ Ø REQ L (d)µ Ö ÙÐ ÐÐ º

Ì Ý ÒÓØ ÓÒ Ó ÒØ ÖÚ Ð ØÙÔÐ Ä Ø ϕ Ò AA ÓÖÑÙÐ A ϕ¹ ØÓÑ Ò S 1,S 2 TF(ϕ) ØÛÓ Ñ Ü Ñ Ð Ø Ó Ö ÕÙ Ø º Ï Ý Ø Ø Ø ØÖ ÔÐ Ø S 1,A,S 2 Ò ÒØ ÖÚ Ð¹ØÙÔÐ µ ÓÖ Ú ÖÝ [A]ψ S 1 ψ A µ ÓÖ Ú ÖÝ A ψ TF(ϕ) A ψ A A ψ S 2 µ ÓÖ Ú ÖÝ ψ A Ù Ø Ø A ψ TF(ϕ) A ψ S 1 º Ì Ñ ÓÖ Ô Ø ÓÔ Ö ØÓÖ º S 1 A S 2 d d Ä Ø L ϕ¹äáë ÓÖ ϕ Ò d,d Dº ÁØ Ò ÐÝ ÓÛÒ Ø Ø REQ L (d),l([d,d ]), REQ L (d ) Ò ÒØ ÖÚ Ð¹ØÙÔÐ

ÖÓÑ ÙÐ ÐÐ Ò ϕ¹äáë ØÓ Ô Ù Ó¹ÑÓ Ð Ä Ø L ϕ¹äáë Ò R,A,R Ò ÒØ ÖÚ Ð¹ØÙÔÐ º Á Ø Ö Ü Ø [d,d ] Ù Ø Ø L([d,d ]) = A REQ L (d) = R Ò REQ L (d ) = R Û Ý Ø Ø R,A,R ÓÙÖ Ò L Ø [d,d ]µº ÅÓÖ ÓÚ Ö R,A,R ÓÙÖ Ò L Ø [d,d ] Ò ÓØ d Ò d Ö ÙÐ ÐÐ Ò L Û Ý Ø Ø R,A,R ÙÐ ÐÐ Ò L Ú [d,d ]µº Ú Ò Ò Ø ϕ¹äáë L ÓÖ ϕ Û Ý Ø Ø L Ô Ù Ó¹ÑÓ Ð ÓÖ ϕ Ú ÖÝ ÒØ ÖÚ Ð¹ØÙÔÐ R,A,R Ø Ø ÓÙÖ Ò L ÙÐ ÐÐ º Ò L Ô Ù Ó¹ÑÓ Ð ÓÖ ϕ Ó ÒÓØ Ù Ö ÒØ L ØÓ ÙÐ ÐÐ Ò Ò L Ò ØÙÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÙÖÖ Ò Ó Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð¹ØÙÔÐ Ó Ø Û Ø Ö ÒØ ÒØ ÖÚ Ð º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÔÓ Ð ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø ÒÝ Ô Ù Ó¹ÑÓ Ð Ò ØÙÖÒ ÒØÓ ÙÐ ÐÐ Ò ÄÁË ÓÖ ϕµº

Ð ØÝ Ä ÑÑ ½º Ú Ò Ô Ù Ó¹ÑÓ Ð L ÓÖ ϕ Ø Ö Ü Ø ÙÐ ÐÐ Ò ÄÁË L Ø Ø Ø ϕº Ä ÑÑ ¾º Ú Ò ÓÖÑÙÐ ϕ Ò ÙÐ ÐÐ Ò ÄÁË L Ø Ø Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ô Ù Ó¹ÑÓ Ð L ÓÖ ϕ Û Ø D 2 ϕ 2 3 ϕ +1 º Ì ÓÖ Ñº Ì Ø Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ AA ÓÚ Ö Ø Ð Ó ÐÐ Ð Ò Ö ÓÖ Ö Ð º Ì Ð ØÝ ÔÖÓÓ ÓÖ AA ÓÚ Ö ÐÐ Ð Ò Ö ÓÖ Ö Ò Ø ÐÓÖ ØÓ Ø Ó Ò Ð Ò Ö ÓÖ Ö Ò Û ÐÝµ Ö Ø Ð Ò Ö ÓÖ Ö º Ò Û ÓÖ ÔÓ ÒØ Ò Ô Ù Ó¹ÑÓ Ð ÓÖ ϕ ØÓ Ø Ý ÓÚ Ö Ò ÓÒ Ø ÓÒ Û Ù Ö ÒØ Ù Ø Ø Û Ò ÐÛ Ý Ò ÖØ ÔÓ ÒØ Ò ØÛ Ò ÒÝ Ô Ö Ó ÓÒ ÙØ Ú ÔÓ ÒØ Ø Ù ÔÖÓ Ù Ò Ò ÑÓ Ð ÓÖ ϕ Ö Ø Û ÓÖ ÔÓ ÒØ Ò Ô Ù Ó¹ÑÓ Ð ÓÖ ϕ ØÓ Ø Ý ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û Ù Ö ÒØ Ù Ø Ø ÐÐ ÔÓ ÒØ ÙÖ Ò Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÐ ÐÐ Ò ÄÁË Ø Ø Ö Ò Ø Ú µ ÑÑ Ø Ù ÓÖ Ò ÑÑ Ø ÔÖ ÓÖ Ò Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ø Ô

ÀÓÛ Ó Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½ ÛÓÖ Û ÓÛ ÓÛ ØÓ Ó Ø Ò ÙÐ ÐÐ Ò ÄÁË L Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ø Ô Ù Ó¹ÑÓ Ð L Ø Ð Ñ Ø Ó ÔÓ ÐÝ Ò Ò Ø ÕÙ Ò Ó Ô Ù Ó¹ÑÓ Ð L 0 (= L),L 1,L 2,... Ý Ü Ò Ø Ó ÔÓ ÒØ Ò Ø ÙÖÖ ÒØ Ô Ù Ó¹ÑÓ Ð Ø Ø Ü Ø ÒØ Ð Ø ÑÔÓÖ Ð ÓÖÑÙÐ Û Ó Ö ÕÙ Ø Ö ÒÓØ ÙÐ ÐÐ µ Ò ÔÖ Ò ÔÐ Û Ýº ÈÓ ÒØ Ø Ø ÑÙ Ø ÓÖ ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ö Ñ Ò Ý ÕÙ Ù Ø Ù Ö ÒØ Ù Ø Ø ÐÐ Ø Ö ÓÓÒ Ö ÓÖ Ð Ø Ö Ü µº ÁÒ Ø ÐÐÝ Ø ÕÙ Ù ÓÒ Ø Ó ÐÐ Ò ÓÒÐÝ Ø ÔÓ ÒØ d D Ù Ø Ø d ÒÓØ ÙÐ ÐÐ Ò Ø Ú Ò Ô Ù Ó¹ÑÓ Ð Lº

Ø Ð Ù Ý Ø Ñ ÓÖ AA ÓÚ Ö ÐÐ Ð Ò Ö ÓÖ Ö ÒÓØ ÓÒ º Ø Ð Ù ÓÖ ϕ Ô Ð ÓÖ Ø ØÖ Tº Ï Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ö ÓÖ Ö D B = D B,< Ò Ö ÕÙ Ø ÙÒØ ÓÒ Req B : D B REQ ϕ Û Ø Ú ÖÝ Ö Ò B Ó Tº Ú ÖÝ ÒÓ n Ò B Ð Ð Û Ø Ô Ö [d i,d j ],A n Ù Ø Ø Ø ØÖ ÔÐ Req B (d i ),A n, Req B (d j ) Ò ÒØ ÖÚ Ð¹ØÙÔÐ º Ì Ò Ø Ð Ø Ð Ù ÓÖ ϕ ÓÒ Ø Ó Ò Ð ÒÓ Ò Ð Ö Ò Bµ Ð Ð Û Ø Ô Ö [d 0,d 1 ],A Û Ö D B = {d 0 < d 1 } Ò ϕ Aº

ÙÐ ÐÐ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ú Ò ÔÓ ÒØ d D B Ò ÓÖÑÙÐ A ψ REQ B (d) Û Ý Ø Ø A ψ ÙÐ ÐÐ Ò B ÓÖ d Ø Ö Ü Ø ÒÓ n B Ù Ø Ø n Ð Ð Û Ø [d,d ],A n Ò ψ A n Ñ ÓÖ Ø Ô Øµº Ú Ò ÔÓ ÒØ d D B Û Ý Ø Ø d ÙÐ ÐÐ Ò B Ú ÖÝ A ψ Ö Ôº A ψµ Ò Req B (d) ÙÐ ÐÐ Ò B ÓÖ dº Ä Ø T Ø Ð Ù Ò B Ö Ò Ó T Û Ø D B = {d 0 <... < d k }º Ï ÒÓØ Ý B n Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ó B Û Ø Ò ÑÑ Ø Ù ÓÖ ÒÓ n Ò Ý B n 1... n h Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ó B Û Ø h ÑÑ Ø Ù ÓÖ ÒÓ n 1,...,n h º

ÜÔ Ò ÓÒ ÖÙÐ ÌÓ ÜÔ Ò B Û ÔÔÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÜÔ Ò ÓÒ ÖÙÐ A ¹ÖÙÐ Ø Ö Ü Ø d j D B Ò A ψ REQ B (d j ) Ù Ø Ø A ψ ÒÓØ ÙÐ ÐÐ Ò B ÓÖ d j º Ì Ö ÒÓØ Ò ÒØ ÖÚ Ð¹ØÙÔÐ Req B (d j ), A,S Û Ø ψ Aº Ï ÐÓ Bº Ä Ø Req B (d j ),A,S Ù Ò ÒØ ÖÚ Ð¹ØÙÔÐ º Ï Ø Ò Û ÔÓ ÒØ d Ò Û ÜÔ Ò B Û Ø h = k j+1 ÑÑ Ø Ù ÓÖ ÒÓ n 1,...,n h Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ 1 l h D B nl = D B {d j+l 1 < d < d j+l } n l = [d j,d],a Û Ø REQ B nl (d) = S Ò REQ B nl (d ) = REQ B (d ) ÓÖ Ú ÖÝ d D B º A ¹ÖÙÐ ÝÑÑ ØÖ ØÓ Ø A ¹ÖÙÐ º ÐÐ¹ Ò ÖÙÐ Ì Ö Ü Ø d i,d j Û Ø d i < d j Ù Ø Ø ÒÓ ÒÓ Ò B ÓÖ Ø Û Ø [d i,d j ] ÙØ Ø Ö Ü Ø Ò ÒØ ÖÚ Ð¹ØÙÔÐ REQ B (d i ),A,REQ B (d j ) º Ï ÜÔ Ò B Û Ø ÒÓ n = [d i,d j ],A º ËÙ Ò ÒØ ÖÚ Ð¹ØÙÔÐ Ó ÒÓØ Ü Øº Ï ÐÓ Bº

Ì ÒÓØ ÓÒ Ó ÐÓ Ö Ò ÒÓ n = [d i,d j ],A Ò Ö Ò B Ø Ú ÓÖ Ú ÖÝ ÔÖ ÓÖ n = [d,d ],A Ó n Ò B Ø ÒØ ÖÚ Ð¹ØÙÔÐ Req B (d i ),A,Req B (d j ) Ò Req B (d),a,req B (d ) Ö Ö ÒØº ÔÓ ÒØ d D B Ø Ú Ø Ö Ü Ø Ò Ø Ú ÒÓ n Ò B Ù Ø Ø n = [d,d ],A ÓÖ n = [d,d],a ÓÖ ÓÑ d D B Ò ÓÑ ØÓÑ Aº Ä Ø B ÒÓÒ¹ÐÓ Ö Ò º B ÓÑÔÐ Ø ÓÖ Ú ÖÝ d i,d j D B Û Ø d i < d j Ø Ö Ü Ø ÒÓ n Ò B Ð Ð Û Ø n = [d i,d j ],A ÓÖ ÓÑ ØÓÑ Aº Á B ÓÑÔÐ Ø Ø Ò Ø Ô Ö D B,L B Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ [d i,d j ] I(D B ) L B ([d i,d j ]) = A Ò ÓÒÐÝ Ø Ö Ü Ø ÒÓ n Ò B Ð Ð Û Ø [d i,d j ],A ÄÁËº Ä Ø B ÒÓÒ¹ÐÓ Ö Ò º B ÐÓ B ÓÑÔÐ Ø Ò ÓÖ Ú ÖÝ Ø Ú ÔÓ ÒØ d B d ÙÐ ÐÐ Ò Bº

ÜÔ Ò ÓÒ ØÖ Ø Ý Ï Ø ÖØ ÖÓÑ Ò Ò Ø Ð Ø Ð Ù ÓÖ ϕ Ò Û ÔÔÐÝ Ø ÜÔ Ò ÓÒ ÖÙÐ ØÓ ÐÐ Ø ÒÓÒ¹ ÐÓ Ò ÒÓÒ¹ÐÓ Ö Ò Bº Ì ÜÔ Ò ÓÒ ØÖ Ø Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ ½º ÔÔÐÝ Ø ÐÐ¹ Ò ÖÙÐ ÙÒØ Ð Ø Ò Ö Ø ÒÓ Ò Û ÒÓ Ò Bº ¾º Á Ø Ö Ü Ø Ò Ø Ú ÔÓ ÒØ d D B Ò ÓÖÑÙÐ A ψ Req B (d) Ù Ø Ø A ψ ÒÓØ ÙÐ ÐÐ Ò B ÓÖ d Ø Ò ÔÔÐÝ Ø A ¹ÖÙÐ ÓÒ dº Ó ØÓ Ø Ô 1º º Á Ø Ö Ü Ø Ò Ø Ú ÔÓ ÒØ d D B Ò ÓÖÑÙÐ A ψ Req B (d) Ù Ø Ø A ψ ÒÓØ ÙÐ ÐÐ Ò B ÓÖ d Ø Ò ÔÔÐÝ Ø A ¹ÖÙÐ ÓÒ dº Ó ØÓ Ø Ô 1º Ø Ð Ù T ÓÖ ϕ Ò Ð Ò ÓÒÐÝ Ú ÖÝ Ö Ò B Ó T ÐÓ ÓÖ ÐÓ º

Ì ÖÑ Ò Ø ÓÒ ÓÙÒ Ò Ò ÓÑÔÐ Ø Ò Ì ÖÑ Ò Ø ÓÒº Ä Ø T Ò Ð Ø Ð Ù ÓÖ ϕ Ò B Ö Ò Ó Tº Ï Ú Ø Ø B (2 ϕ 2 3 ϕ +1 ) (2 ϕ 2 3 ϕ +1 1)/2º ËÓÙÒ Ò º Ä Ø T Ò Ð Ø Ð Ù ÓÖ ϕº Á T ØÙÖ ÓÒ ÐÓ Ö Ò Ø Ò ϕ Ø Ð ÓÚ Ö ÐÐ Ð Ò Ö ÓÖ Ö º ÓÑÔÐ Ø Ò º Ä Ø ϕ Ò AA ÓÖÑÙÐ Û Ø Ð ÓÚ Ö Ø Ð Ó ÐÐ Ð Ò Ö ÓÖ Ö º Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ò Ð Ø Ð Ù ÓÖ Ø Û Ø Ø Ð Ø ÓÒ ÐÓ Ö Ò º Ì Ø Ð Ù Ý Ø Ñ Ò Ø ÐÓÖ ØÓ Ø Ò Ò Ö Ø º

ÓÒÐÙ ÓÒ AA Ò ÖÐÝµ Ñ Ü Ñ Ð ÛºÖºØÓ Ð ØÝ dis, fin all all D O BE ÍÆ Á Ä dis, fin D all O all BE all\finite AABB finite ÆÇÆÈÊÁÅÁÌÁÎ Ê ÍÊËÁÎ ¹ Ö AABB all\finite ÈËÈ ¹ÓÑÔÐ Ø all\finite ABBL Æ ÈÌÁÅ ¹ÓÑÔÐ Ø ÈËÈ ¹ÓÑÔÐ Ø dense BBDDLL AA

ÙØÙÖ ÛÓÖ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ú ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ð Ù Ý Ø Ñ Ý ÙØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÙÒ Ð Ì Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ø Ö Ö AA ÓÖÑÙÐ Û Ö Ø Ð ÓÚ Ö Ò Ð Ò Ö ÓÖ Ö Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö µ ÙØ ÒÓØ ÓÚ Ö Ö Ð ÒÙÑ Ö º ÇÔ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ AA ÓÚ Ö Ø Ö Ð ÒÙÑ Ö Ð

Ì ÓÖÑÙÐ NoReal Ä Ø NoReal Ø AA ÓÖÑÙÐ p A A q [G]((p A p) (q A q) (p [A]([A]p [A][A]p)) (q [A]([A]q [A][A]q)) (p q) ( p q A p A q)), Û Ö [G] Ø ÙÒ Ú Ö Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÓÐÐÓÛ [G]ψ= ψ [A][A][A]ψ [A][A][A]ψ [A][A][A]ψ [A][A][A]ψ NoReal Ø Ð ÓÚ Ö Ø Ð Ó Ò Ð Ò Ö ÓÖ Ö ÙØ Ø ÒÓØ Ø Ð ÓÚ Ö Ø Ö Ð ÒÙÑ Ö p A A q... p, A p p p p 2 q q q...... A p A q, p, q q, A q...