ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ Ã ÄýàËÃý ÈÊý ÎÓ Ø ÌóÑ Ö ÚÒÓ Ø Ö ó Ò ÔÐÓ Ã Ø Ö ÔÐ ÓÚ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ý Î ÓÙ Ð ÔÖ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ËØÙ Ò Ó ÓÖ Å Öº ÚÓ Ò È º º ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó Ò Ò ÓÖÑ Ø ÈÖ ¾¼½½
ÈÓ ÓÚ Ò º Æ ÔÖÚ Ù Ù ÚÓ ÓÚ Þ Ó ØÖÔ Ð Ú ÔÖ Ò Ú Ò Ø ØÓ ÔÖ º Ð Ù ÚÑ ÖÓ óñ Ô Ø ÐóÑ Þ ØÓÐ Ö Ò ØÖÔ Ð ÚÓ Ø Ñ Ô Ò Ø ØÓ ÔÖ º
ÈÖÓ Ð Ù ö Ñ ØÙØÓ Ð ÓÙ ÔÖ ÚÝÔÖ ÓÚ Ð µ ÑÓ Ø ØÒ Ú Ö Ò ÔÓÙö Ø Ñ ØÓÚ Ò ÔÖ Ñ Òó Ð Ø Ö ØÙÖÝ Ð Ó ÓÖÒ Þ ÖÓ óº ÖÙ Ò Ú ÓÑ ö Ò ÑÓ ÔÖ ÚÞØ Ù ÔÖ Ú ÔÓÚ ÒÒÓ Ø ÚÝÔÐÚ Þ Þ ÓÒ º ½¾½»¾¼¼¼ Ë º ÙØÓÖ Ó Þ ÓÒ Ú ÔÐ ØÒ Ñ ÞÒ Ò Þ Ñ Ò ÙØ ÒÓ Ø ö ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Ñ ÔÖ ÚÓ Ò ÙÞ Ú Ò Ð Ò Ò ÑÐÓÙÚÝ Ó Ùö Ø Ø ØÓ ÔÖ Ó ÓÐÒ Ó Ð ÔÓ Ð ï ¼ Ó Øº ½ ÙØÓÖ Ó Þ ÓÒ º Î ÈÖ Þ Ò ºººººººººººº ÎÓ Ø ÌóÑ
Æ Þ Ú ÔÖ Ö ÚÒÓ Ø Ö ó Ò ÔÐÓ ÙØÓÖ ÎÓ Ø ÌóÑ Ã Ø Ö Ã Ø Ö ÔÐ ÓÚ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ý Î ÓÙ Ð ÔÖ Å Öº ÚÓ Ò È º º Ã Ø Ö ÔÐ ÓÚ Ò Ñ Ø ¹ Ñ Ø Ý ØÖ Ø Î Ø ØÓ ÔÖ Þ Ú Ñ ÖÓÞ ÓÚ Ò Ñ ¹Ó ÖÚ Ò Ý ÐÙ Ó Þ ÝØ Ù Ö ¹ Ùº Í ö Ñ ö ÔÖÓ ÖÓÚ ÒÒ ¹ Ö ÚÒ Ö Ø ÓÚ ö ÚÒ Ø Ò O Ñ Ú Ð Ó Ø Ò Ó Ú ÒÝ Ó Ø ØÒ Ø ÒÝ Ñ Ú Ð Ó Ø ÓØ Þ ÖÓÞ Ø ÐÒÓ Ø Ô ÖÚ ¹ Ò O Ö Ù Ù Ò ÓØ Þ Ù ÖÓÞ Ø ÐÒÓ Ø Ô ÖÚ Ò Ó Ñ Ð Þ Ð Ò Ö óº Ð ÔÓ Ó ÒÑ ÞÔó Ó Ñ Ð Ù Ñ ØÙ Ý Ú Ö Ù Ø Ò Ú Ð Ó Ø ÖóÞÒ Ó Oº ÃÐ ÓÚ ÐÓÚ Ö ÚÒÓ Ø Ö ÔÐÓ Ì ØÐ ÓÐÓÖ Ò Ö Ô ÓÒ ÙÖ ÙØ ÓÖ ÎÓ Ø ÌóÑ Ô ÖØÑ ÒØ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÔÔÐ Ñ Ø Ñ Ø ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Å Öº ÚÓ Ò È º º Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÔÔÐ Ñ Ø Ñ Ø ØÖ Ø ÁÒ Ø Ø Û Ð Û Ø ÜØ Ò Ò ¹ÓÐÓÖ Ò Ó ÝÐ ÒØÓ Ø Ö Ø Ó Ø Ö Ô º Ï ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ ÔÐ Ò ¹ÓÐÓÖ Ð Ö Ô Ù Ø Ø Ú ÖÝ Ü ÔØ Ø ÓÙØ Ö O ØÖ Ò Ð Ò O Ð Ò Ø ÓÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÜØ Ò Ð ØÝ Ó ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó O Ö Ù ØÓ ÜØ Ò Ð ØÝ ÒØÓ Ñ ÐÐ Ö Ô º Ï Ð Ó Ð Ý Ø ØÙ Ø ÓÒ Û Ò Ø Ö Ò ÒÒ Ö Ó Þ Ò Ø Ö Ô Ò Ñ Ð Ö Ø ÖÑ º Ã ÝÛÓÖ ÓÐÓÖ Ò Ö Ô ÙÖ
ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ ½º½ À ØÓÖÝ Ò ÑÓØ Ú Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÙÜ Ð ÖÝ Ö ÙÐØ Å Ò Ö ÙÐØ º½ ÌÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ö Ô Û Ø ÒÒ Ö Ó Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒÐÙ Ò Ö Ñ Ö ½ Ê Ö Ò ½ ½
½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ Ø ÛÓÖ Û Ö ÓÒ ÖÒ Û Ø Ø ÓÐÓÖ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ò ÔÐ Ò Ö Ô º Ì ØØ Ò ÜØ Ò Ò ¹ÓÐÓÖ Ò Ó Ø Ú ÖØ Ó Ø ÓÙØ Ö ÒØÓ Ø Ö Ø Ó Ø Ö Ô º ÀÓÛ Ú Ö Ò Ò Ö Ð Ø ÛÓÙÐ ØÖ Ò Ø Ò Ò Ó Ø ¹ ÓÐÓÖ Ì ÓÖ Ñ Ò Ø Ù Ú ÖÝ Ö º Ï ÐÐ Ö ØÖ Ø ÓÙÖ ÐÚ ØÓ ÑÓÖ Ô ØØ Ò Ö Ø Ó ÐÐ ÐÐ Ø Ö Ô Û Ð Û Ø Û ÐÐ ¹ÓÐÓÖ Ð Ø Ú Ù ÑÓÖ Ö ÓÑ Ò ÜØ Ò Ò Ó Ø ÓÐÓÖ Ò Ò Ð Ó ÒØ ÓÛ ÓÑ Ô ÖØ Ó Ø Ö Ô Ò ¹ÓÐÓÖ º Ë Ñ Ð Ö Ö Ð Ü Ø ÓÒ Û ÓÐÐÓÛ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò ½¼ Û Ð Û Ø ÜØ Ò Ò Ó ¹ÓÐÓÖ Ò ÒØÓ ÔÐ Ò Ö Ö Ô Û Ö ¹ÓÐÓÖ Ð Ý Ø Ñ ÐÚ º Ë ÓÒ Û ÐÐ Ö ØÖ Ø Ø Þ Ó Ø ÔÖ ÓÐÓÖ ÓÙØ Ö º Ì Ù Ø Ó Ø Ó ÓÙÖ ØÙ Ý Ö ¹ÓÐÓÖ Ð ÔÐ Ò Ö Ô Û Ø Ø ÓÙØ Ö O Ó Þ ÓÖ º Á Ù Ö Ô G ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ü ÔØ ÓÖ Ø ÓÙØ Ö Û ÓÛ Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÜØ Ò Ò ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ò ÑÔÐÝ Ø ÐÐÝ ÕÙ Ð Ø ÕÙ Ø ÓÒ G Ò ÓÒØÖ Ø ØÓ ÓÑ Ó Ø Ö Ô ÓÖ Û ÜØ Ò Ò Ó ÔÖ ÓÐÓÖ Ò ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º Á G ÒÓØ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Û ÓÛ Ø Ø ÒÒ Ö Ó Þ Ó ÒÓØ ÐÐÓÛ ÒÝ ÜØÖ ÜØ Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ò Ò Ö Ðº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ö Ô Ð Ó I Ó Þ Ù Ø Ø I ÒÓØ Ô Ö Ø ÖÓÑ O Ý ÝÐ Ó Ð Ò Ø 4 Ø ØÙ Ø ÓÒ Ö Òغ Ò Û Ú ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÜØ Ò Ð ØÝ Ó ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ò Ø Þ Ó O Ø Ò ÐÛ Ý ÜØ Ò Ò Ø Þ Ó O Ø Ö Ö ØÛÓ Ö Ô B 1 B 2 Ù Ø Ø Ú ÖÝ Ö Ô ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ÓÒ Ó Ø Ò Ø ÖÑ Ó ÜØ Ò Ð ØÝ Ó ÔÖ ÓÐÓÖ Ò º Ú ÖÝ ÓÒ Ó B 1 B 2 ÐÐÓÛ ÓÒÐÝ ÓÒ ÒÓÒ¹ ÜØ Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò ÙÔ ØÓ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó ÓÐÓÖ µº Ì Ö ÙÐØ Ö Ö Ú Ý Ö Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ñ Ò Ñ Ð ÓÙÒØ Ö Ü¹ ÑÔÐ Û Ó Ü Ø Ò Ð Ø Ö ÓÛÒ ØÓ ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ý Ø Ö Ò Ø Ò ÕÙ º Ì ÔÔÖÓ Ò Ù ØÓ Ð Ý ÖÓ Ö Ð Ó Ö Ô º º Û Ø Ö ÒØ ÓÙÒ ÓÒ Ø Þ Ó Ø O Ò Iº ½º½ À ØÓÖÝ Ò ÑÓØ Ú Ø ÓÒ ÓÐÓÖ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ ÔÐ Ý Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÓÐ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÓÐÓÖ Ò Ó Ö Ô ÓÒ ÙÖ ÒÓØ Ð Ü ÑÔÐ Ó Ø Ö Ù Ø ÓÖ Ñ Ó Ö ØÞ Û Ø Ø Ø Ø Ú ÖÝ ØÖ Ò Ð ¹ Ö ÔÐ Ò Ö Ö Ô Ò ¹ÓÐÓÖ º ÓØ Ø ÓÖ Ò Ð ÔÖÓÓ Ò Ò Ò Û Ö ÓÒ Ò ½ ½ ÜØ Ò ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó ÝÐ º Ì Ö ÙÐØ Û Ò Ö Ð Þ ÓÖ Ø ØÓÖÙ Ò Ø ÔÖÓ Ø Ú ÔÐ Ò Ò ½ º ÒÓØ Ö Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ü ÑÔÐ Ò Ñ Ð Ö Ô Ö Ø Ø ¹ ÓÓ Ð ØÝ Ó ÔÐ Ò Ö Ö Ô ÔÖÓÚ Ò Ò ½ º ÜØ Ò Ò ÓÐÓÖ Ò Ó ÝÐ Ñ Ò ØÙÖ Ð Ø Ò ØÓ Ó Ø ÝÐ Ô Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ö Ù Ö Ô Ó Ö Ô Ö ÛÒ ÓÒ ÙÖ ÖÚ Û ÐÐ ÓÖ Ò ÙØ ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ º Ì Ö Ò Ø Ò ÕÙ ÒØÖÓ Ù Ý Ï ÖÒ Ò ½ Ò ÙÖØ Ö Ú Ð¹ ÓÔ Ý À ÔÐ Ý Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÓÐ Ò ÔÖÓÚ Ò Ø ¹ ÓÐÓÖ Ì ÓÖ Ñ Û ÐÐ Ò Ñ ÒÝ Ù ÕÙ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ º ÓÖ Ø Ð ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÖ ÑÓÖ Ö ÒØ ÔÖÓÓ Ó Ø ¹ ÓÐÓÖ Ì ÓÖ Ñ ÓÒ Ø Ñ ÙØ Ò ÒØÐÝ ÓÖØ Ö ½¾ º ÇÙÖ Ñ ÓÖ Ð Ý Ò ¹ÓÐÓÖ Ð Ö Ô ÒÓØ Ò ÒØ Ðº ¹ÓÐÓÖ Ð ÔÐ Ò Ö Ô ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ù Ö Ô Ó ÙÐ Ö Ò ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ú Ò Ö µ Û Ö Ò ÒØ Ò Ú ÐÝ ØÙ º ÓÖ ÓØ Ö ÙÖ Ø Ö Ö ÙÐ ¹ ¾
Ö Ò ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ó Ö ØÖ Ö ÐÝ ÖÓÑ Ø ÒÙÑ Öº ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ Ø Û ÔÖÓÚ Ò Ø Ø ÙÐ Ö Ò ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ö ¹ÓÐÓÖ Ð ÔÖÓÚ Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú Ò ÒÓÙ Ò µº ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ÓÖ ÒÓÒ¹ ÓÖ ÒØ Ð ÙÖ Ø ØÙ Ø ÓÒ Ð ØÐÝ ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ø Ö Ö Ö Ô Û Ø Ö ØÖ Ö ÐÝ ¹Û Ø Û Ö ÒÓØ ¹ÓÐÓÖ Ð ÓÖ Ò Ø Ò Ø Ö Ö ÕÙ Ö Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ó ÔÖÓ Ø Ú ÔÐ Ò Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ ¹ÓÐÓÖ Ò Ø Ö Ù Ø Ø Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ø Ö ÒØ ÓÐÓÖº Ì Ù Ò ÖØ Ò Ú ÖØ Ü Ò¹ Ú ÖÝ Ò Ó Ò Ò Ø Û Ø Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ó Ø Ø Ý Ð ¹ ÖÓÑ Ø ÙÐ Ö Ò ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº ËØ ÐÐ Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ú Ð Ð ÐÓ ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ ÕÙ Ö Ò ÙÐ Ø ÓÒ ½ ½½ º ½º¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö Ì Ö Ö Ö Ö ØÓ ¾ ÓÖ ÓÖ Ø Ó Ö Ô Ø ÓÖÝ Ò ÓÑÔ ÒÝ Ò ÒÓØ Ø ÓÒº Ý G(a) Û ÒÓØ Ø Ð Ó ÐÐ ÔÐ Ò Ö Ô G Ù Ø Ø G ¹ÓÐÓÖ Ð ÐÐ Ü ÔØ ÓÖ Ø ÓÙØ Ö O Ö ØÖ Ò Ð Ò Ø Ð Ò Ø Ó O aº Ý G(a, b) Û ÒÓØ Ø Ð Ó ÐÐ ÔÐ Ò Ö Ô G Ù Ø Ø G ¹ÓÐÓÖ Ð ÐÐ Ü ÔØ ÓÖ Ø ÓÙØ Ö O Ò ÒÓØ Ö I Ö ØÖ Ò Ð Ø Ð Ò Ø Ó O a Ø Ð Ò Ø Ó I b Ò I ÒÓØ Ô Ö Ø ÖÓÑ O Ý ÒÝ ÝÐ Ó Ð Ò Ø b 1 ÓÖ Ð º Ý ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó O Û Ñ Ò ÒÝ ÔÖÓÔ Ö ÓÐÓÖ Ò Ó O Ù Ò Ø ÑÓ Ø ÓÐÓÖ º ÔÖ ÓÐÓÖ Ò c ÜØ Ò Ð Ø Ö Ü Ø ÔÖÓÔ Ö ÓÐÓÖ Ò c Ó G Ù Ò Ø ÑÓ Ø ÓÐÓÖ Ù Ø Ø c(v) = c (v) ÓÖ Ú ÖÝ v V (O)º Ä Ø v Ú ÖØ Ü Ó G Ó Ö 4º Ö Ô H 4¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ó G Ø v Ø Ö Ü Ø ÒÓÒ¹ ÒØ Ò ÓÖ u Ò w Ó v Ò H Ó Ø Ò ÖÓÑ G Ý ÓÒØÖ Ø Ò Ø uv Ò vw Ò ÙÔÔÖ Ò Ø Ö Ò ÓÒ ÙØ ÔÖ ÖÚ Ò Ø ÒÓÒ¹ Ð Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ý Ö Ö Ø µº ÆÓØ Ø Ø ÐÐ Ò ÒØ Û Ø v Ö ØÖ Ò Ð Ò G ¹ÓÐÓÖ Ð Ø Ò H ¹ÓÐÓÖ Ð Û Ðк Ð Ó Ù ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ö Ø ÐÓÓÔ Ø ØÛÓ Ú ÖØ Ø Ø Û Ö ÒØ Ú Ø Ñ ÓÐÓÖ Ò Ú ÖÝ ¹ÓÐÓÖ Ò Ó Ø Ö Ô º ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ó G G(a, b) Ø Ö ÙÐØ Ò Ö Ô H Ð Ó ÐÓÒ ØÓ G(a, b) º º Ø ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÒÓØ Ö Ø ÝÐ Ó Ð Ò Ø Ø ÑÓ Ø b 1 Ô Ö Ø Ò I ÖÓÑ O Ò ÓÖØ Ò Ò Ø Ö I ÒÓÖ Oº Ä Ø v Ú ÖØ Ü Ó G Ó Ö ¾ Û Ø Ò ÓÖ uw Ù Ø Ø v Ô Ö Ø Ý ¾¹ÝÐ uw ÖÓÑ Ø Ö Ø Ó Ø Ö Ô º Ö Ô H 2¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ó G Ø v H Ó Ø Ò Ý Ö ÔÐ Ò Ú ÖØ Ü v Ò Ø Ó Ø ÝÐ uw Ý Ò Ð º ÆÓØ Ò Ø Ø G ¹ÓÐÓÖ Ð Ø Ò H ¹ÓÐÓÖ Ð Û Ðк ¾¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÐÛ Ý º Ï Ý Ø Ø G Ò 2, 4¹ÓÒØÖ Ø ØÓ H Ø Ö Ü Ø ÕÙ Ò Ó Ö Ô G = G 0, G 1,..., G k = H Ò Ú ÖØ v i V (G i ) ÓÖ 0 i < k Ù Ø Ø G i+1 2¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÓÖ 4¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ó G i Ø v i º ÆÓØ Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ ¹ÓÐÓÖ Ò Ó 2, 4¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ó G Ø Ö ¹ÓÐÓÖ Ò Ó Gº Ä Ø b ¹ÓÐÓÖ Ò Ó G G(5)º Ì Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó b ÓÒ V (O) Ù ÐÐ Ø Ö ÓÐÓÖ Ò ÓÒ Ó Ø Ñ ÔÔ Ö ÓÒ Ü ØÐÝ ÓÒ Ú ÖØ Ü Û ÐÐ Ø Ú ÖØ Ü Ø Ô ÚÓØ Ó b ÓÒ Oº
¾º ÙÜ Ð ÖÝ Ö ÙÐØ Ä ÑÑ ¾º½º ÈÐ Ò Ö ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ¹ÓÐÓÖ Ð ÐÐ Ø Ú ÖØ Ú Ú Ò Ö º ÈÖÓÓ º Ë ÓÖ ½ º Ä ÑÑ ¾º½ ÑÔÐ Ø Ø ÔÐ Ò Ö Ô G Ù Ø Ø ÐÐ Ó G Ü ÔØ ÓÖ Ø ÓÙØ Ö O Ö ØÖ Ò Ð ÐÓÒ ØÓ G( O ) Ø Ò ÐÐ Ø Ú ÖØ Ó Ó Ö ÐÓÒ ØÓ Oº Ë Ñ Ð ÖÐÝ G ÐÓÒ ØÓ G(a, b) Ø Ò ÐÐ Ø Ú ÖØ Ó Ó Ö ÐÓÒ Ø Ö ØÓ O ÓÖ Iº Ç ÖÚ Ø ÓÒ ¾º½º ÓÖ ÔÐ Ò Ö Ô G Û Ø Ø Ð Ø Ú ÖØ Û Ú E 3 V 6 Û Ø ÕÙ Ð ØÝ ÓÐ Ò G ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº Ä ÑÑ ¾º¾º ÓÖ G G(4) Ø Ö ÐÐ Ó Ø Ú ÖØ Ó O Ú Ó Ö ÓÖ Ø Ú ÖØ Ó Ó Ò Ú Ò Ö ÐØ ÖÒ Ø ÓÒ Oº ÙÖØ ÖÑÓÖ G Ò ¾ ¹ ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º½ Û Ø Ñ Ø Ò Ô Ö Ø Ó Ø Ú ÖØ Ó Oº µ Ç Ö µ Ç ¹ Ú Ò ÙÖ ¾º½ Ë ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó G(4) ÈÖÓÓ º Ö Ø ÙÑ Ø Ø O Ò Ò Ù ÝÐ º Ì Ò Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ò V (O) Ö Ø Ð Ø º Ï ÔÔÐÝ Ø Ç ÖÚ Ø ÓÒ ¾º½ ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ú ÖØ Ü v G \ V (O) Ó Ö ¾ ÓÖ º ÇØ ÖÛ Û Ú 2 E = deg(v) 6 ( V 4) + 3 4 = 6 V 12, ÙØ G ÒÓØ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ø Ù Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ÑÙ Ø ØÖ Øº Á v Ö ¾ Û Ò ¾¹ÓÒØÖ Ø Øº Ä Ø v Ú Ö º Á ÐÐ Ó Ø Ò ÓÖ ÐÓÒ ØÓ O Ø Ò G Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º½ µº ÇØ ÖÛ Ø Ö Ò ÓÖ Ó v ÒÓØ ÓÒ V (O) Ò Û Ó Ø ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ú ÖØ Ü Ò Ø ÓÔÔÓ Ø Ò ÓÖº Ý Ö Ô Ø Ò Ø ÔÖÓ ÙÖ Û Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ø Ö ¾ ¹ÓÒØÖ Ø G ØÓ Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º½ µ ÓÖ Ö Ø ÓÖ Ó Oº ËÙÔÔÓ ÒÓÛ Ø Ø O ÒÓØ Ò Ò Ù ÝÐ º Ä Ø O = o 1 o 2 o 3 o 4 Ò ÙÑ Ø Ø o 1 o 3 Ò º Á o 1 o 2 o 3 Ò o 1 o 3 o 4 Ö Ø Ò G Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º½ µº ÇØ ÖÛ Û Ò Ò Ò Ú ÖØ Ü Ó Ö ¾ ÓÖ Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó ÓÒ Ó o 1 o 2 o 3 Ò o 1 o 3 o 4 Ò 6 ( V 3) + 3 3 > 6 V 12º Ì Ú ÖØ Ü Ò ÐÛ Ý ¾ ¹ÓÒØÖ Ø º Ä ÑÑ ¾º º ÓÖ G G(5) Ü ØÐÝ ØÛÓ Ó Ø Ú ÖØ Ó O Ú Ó Ö Ò Ø Ú ÖØ Ö Òغ Á O Ò Ò Ù ÝÐ Ø Ò G Ò ¾ ¹ÓÒØÖ Ø ØÓ ÓØ Ö Ô Ò ÙÖ ¾º¾ ÓØ ÖÛ Ø Ò ¾ ¹ÓÒØÖ Ø ØÓ ÓÒ Ó Ø Ñº
µ µ ÙÖ ¾º¾ Ë ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó G(5) ÈÖÓÓ º Ä Ø O = o 1 o 2 o 3 o 4 o 5 Ò Ü ¹ÓÐÓÖ Ò c Ó Gº Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ ÙÑ Ø Ø c(o 1 ) = 1, c(o 2 ) = c(o 4 ) = 2 Ò c(o 3 ) = c(o 5 ) = 3º Ë Ò Ø Ò ÒØ Û Ø o 1 Ø ÒØ ÖÓÑ O Ö ÐÐ ØÖ Ò Ð Ò c(o 2 ) c(o 5 ) Û ÓÒÐÙ Ø Ø o 1 Ú Ò Ö º Ë Ñ Ð ÖÐÝ o 2 Ò o 5 Ú Ú Ò Ö Ò o 3 Ò o 4 Ú Ó Ö º Á O ÒÓØ Ò Ù ÝÐ Ø Ò Û ÔÔÐÝ Ä ÑÑ ¾º¾ ØÓ Ø ¹ÝÐ º ÇØ ÖÛ Ð Ø Ù ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ú ÖØ Ü Ó Ö ¾ ÓÖ Ò V (G) \ V (O)º Ï Ò Ù Ø ÓÙÒØ Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ¾º¾º Ì Ø Ñ Û ÒÓÛ Ø Ø ØÛÓ Ú ÖØ Ó O Ú Ö Ø Ð Ø Ò Ø Ö Ú ÖØ Ø Ð Ø 2 E = deg(v) 6 ( V 5) + 2 3 + 3 4 = 6 V 12, Û Ò ÓÒØÖ Ø ÓÒ G ÒÓØ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº Ï ÐÐ ÒÓØ Ø Ø Û Ò Ú Ö Û ÒØ Ý ØÛÓ Ú ÖØ Ý ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø Ö ÓÐÓÖ ÙÒ Ö c ØÓ Ø Ñ º Ì Ù Ø ÓÒÐÝ Ú ÖØ Ó O Ø Ø ÓÙÐ ÒØ Ö o 2 Û Ø o 4 Ò o 3 Û Ø o 5 º Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÒÓ ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ò Ö Ø o 2 o 4 ÓÖ o 3 o 5 º o 1 o 2 x u v o 5 o 3 o 4 ÙÖ ¾º ÐÑÓ Ø ¹ÓÒØÖ Ø Ö Ô Ä Ø Ù Ö Ø ÓÛ Ø Ø Û Ò ¾ ¹ÓÒØÖ Ø G Ó Ø Ø Ø Ö O Ö Ñ Ò Ò Ù ÓÖ ÓÒ Ó Ø o 1 o 3 o 1 o 4 Ö Ø º Ý Ö Ô Ø Ò Ù ¾ ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º¾ µ Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ö Ø º Ï Ò ØÓ ÜÐÙ Ø ÔÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÒØ o 2 Û Ø o 4 ÓÖ o 3 Û Ø o 5 ÓÖ Ö Ø Ø o 2 o 5 º ÀÓÛ Ú Ö ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø v Ö Ø Ø o 2 o 5 Ø Ò Ø ÓØ Ö ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÒØ Ý ÒÝ Ó Ø Ú ÖØ Ó O Ò Ø Ù Ò ÓÒ º Á ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø v ÒØ o 2 Û Ø o 4 Ø Ò Ø ÓØ Ö ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÒØ Ý o 3 Û Ø o 5 Ò Ø ÑÔÐ ÛÓÙÐ ÑÔÐÝ Ø Ø o 2 vo 5 ØÖ Ò Ð Ò o 2 o 5 Ò Ó Gº ÆÓÛ Û ÓÛ Ø Ø Û Ò ¾ ¹ÓÒØÖ Ø G ØÓ Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º¾ µº Ë Ñ Ð ÖÐÝ ØÓ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒÐÝ Ù Ø ÔÓ Ð ÒØ Ø ÓÒ Ó o 2 Û Ø o 4 ÓÖ o 3 Û Ø o 5 ÓÖ Ø Ö Ø ÓÒ Ó ÓÒ Ó Ø o 1 o 3 o 1 o 4 º Ì Ù Ð Ø v Ú ÖØ Ü Ó Ö Ù Ø Ø ÓØ ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø v Ù ÓÒ Ó Ø ØÙ Ø ÓÒ º ÁØ ÒÓØ ÔÓ Ð Ø Ø ÓØ ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÖ ÓÖ Ø Ø ÓØ ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ù ÒØ Ø ÓÒ º Ý ÝÑÑ ØÖÝ Ø Ù ØÓ ÓÒ Ö Ø ØÙ Ø ÓÒ Ø Ø v Ò ÓÖ o 3, o 4, o 5, u Û Ö u ÒØ ØÓ o 1 º
Ø o 1 o 3 ÒÓØ ÔÖ ÒØ Û Ò ¹ÓÒØÖ Ø G ØÓ Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º ÔÔÐÝ Ä ÑÑ ¾º¾ ÓÒ Ø Ù Ö Ô Ò Ù Ý Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÝÐ o 2 o 3 uo 1 Ò Ð Ø G i Ø Ö Ô Ù Ø Ø ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø x G i Ö Ø Ø o 1 o 3 Ò y Ø ÓÒØÖ Ø Ò ÓÖ Ø ÒØ ÖÓÑ o 1, o 3 º ÁÒ Ø Ó ¹ÓÒØÖ Ø Ò Ø x ÔÔÐÝ Ä ÑÑ ¾º ØÓ ¾ ¹ÓÒØÖ Ø Ø Ö Ô Ò Ù Ý Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÝÐ o 1 xyo 3 u Ò o 1 xyo 3 o 2 ØÓ Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º¾ µº Ì Ú Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º Û Ò ¹ÓÒØÖ Ø Ø x ØÓ Ø Ø Ö Ö Ô º
º Å Ò Ö ÙÐØ º½ ÌÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÐÐ Ö Ú Ø Ö ÙÐØ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ö Ô Ò G(4) Ò G(5) ÓÛ Ò Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÜØ Ò Ð ØÝ Ó ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ö Ù ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ G Ò ¾ ¹ÓÒØÖ Ø ØÓ ÓÑ Ô Ñ ÐÐ Ö Ô º Ì ÓÖ Ñ º½º Á Ø ÓÙØ Ö O Ó G G(4) ÒÓ ÓÖ Ø Ò ÔÖ ÓÐÓÖ Ò c Ó G G(4) Ò ÜØ Ò ÒØÓ G Ò ÓÒÐÝ Ø Ò ÜØ Ò ÒØÓ Ø Ö Ô ÖÓÑ ÙÖ ¾º½ µ ÓÖ ØÓ Ø Ö Ô Ò ÙÖ º½ µ Ô Ò Ò ÓÒ Ô Ö Ø Ó Ö Ó Ú ÖØ Ó Oº Á Ø ÓÙØ Ö O ÓÖ Ø Ò c Ò ÜØ Ò ÒØÓ G Ò ÓÒÐÝ Ø Ò ÜØ Ò ÒØÓ Ø Ö Ô ÖÓÑ ÙÖ ¾º½ µº ÈÖÓÓ º Ö Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ø Ø G G(4) ÒÓ ÓÖ Ò Ô Ö Ø Ó Ö Ó Ú ÖØ Ó O ÐØ ÖÒ Ø Ø Ò ¾ ¹ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø Ö Ô Ò ÙÖ º½ µ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Û ÔÖÓÚ Ò ÙÖ Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ¾º º Ï Û ÐÐ Ö Ö ØÓ Ø Ö Ô ÖÓÑ ÙÖ ¾º½ µ Ò º½ µ Ö Ô º Ä Ø G Ò G(4)º Ð ÖÐÝ G Ò ¾ ¹ÓÒØÖ Ø ØÓ H Ø Ò Ú ÖÝ ¹ÓÐÓÖ Ò Ó H ÜØ Ò ØÓ ¹ÓÐÓÖ Ò Ó Gº ÓÖ Ø ÓØ Ö Ö Ø ÓÒ Û ÒÓØ Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ ¹ÓÐÓÖ Ò Ó G ØÛÓ Ó Ø Ò ÓÖ Ó v Ú Ø Ñ ÓÐÓÖ Ò Ø Ù Ò ÒØ Û Ð Ø ÐÐ ÔÖ ÖÚ Ò Ø ¹ÓÐÓÖ Ò º Ì ÓÒÐÝ Ù Ö Ø Ø Ø ØÛÓ Ú ÖØ ÓÙÐ ÓÒ O Ò Ø ÓØ Ö ØÛÓ ÓÙÐ Ú Ö ÒØ ÓÐÓÖ º Á O ÓÖ Ø Ò ÒÓ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ú ÖØ ÓÒ O Ò ÓÙÖ ÙÖ Ò ¾ ¹ ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø Ù G ÔÖ ÐÝ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ö Ô ÖÓÑ ÙÖ ¾º½ µº Á Ø Ö ÒÓ ÓÖ Û ØÖÝ ØÓ ¾ ¹ÓÒØÖ Ø Ø Ö Ô º Ä Ø o 1 o 2 o 3 o 4 ÒÓØ Ø Ú ÖØ Ó Oº Á Ø Ú ÖØ Ü v G Û Ø Ö ØÛÓ Ò ÓÖ o 1 Ò o 3 Ò Ø Ö ¹ÓÐÓÖ Ò c Ó G Ù Ø Ø c(o 1 ) = c(o 3 ) ÙØ Ø ÓÐÓÖ Ó Ø Ö Ñ Ò Ò ØÛÓ Ò ÓÖ m 1 Ò m 2 Ó v Ö Û ÐÐ ÙÑ Ý Ò ÙØ ÓÒ Ø Ø Ø Ù Ö Ô Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ¹ÝÐ o 1 o 2 o 3 v Ò o 1 o 4 o 3 v ÕÙ Ð ØÓ ÓÒ Ó Ø Ö Ô ÓÖ ÓÑ Ó o 2 v o 4 v Ö Û ÒÓØ Ø Ö Ù Ö Ô Ý G º ÆÓÛ Ø ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ØÓ Ø Ø Ú ÖÝ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ø Ø ÜØ Ò ØÓ G ÜØ Ò Ð Ó ØÓ Ø Ö Ô Û Ø Ñ Ø Ò Ô Ö Ø Ò ÓÖ Ó Ø Ö Ô Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò ÙÔ ØÓ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó ÓÐÓÖ µ Ø Ø Ó ÒÓØ ÜØ Ò ÒØÓ Ø Ò Ø ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ð Ó Ó ÒÓØ ÜØ Ò ÒØÓ G º o 4 o 5 o 3 o 1 o 2 µ µ ÙÖ º½ Ì ÓÖ Ñ º¾º Á Ø ÓÙØ Ö O Ó G G(5) ÒÓ ÓÖ Ø Ò ÔÖ ÓÐÓÖ Ò c Ó G G(5) Ò ÜØ Ò ÒØÓ G Ò ÓÒÐÝ Ø Ò ÜØ Ò ÒØÓ ÓÒ Ó Ø Ö Ô Ò Ä ÑÑ ¾º Û Ø Ñ Ø Ò Ô Ö Ø º Á Ø ÓÙØ Ö O ÓÖ Ø Ò G ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ü ØÐÝ ÓÒ Ó Ø Ö Ô Ò Ä ÑÑ ¾º Ò ÙÖ º½ µº
ÈÖÓÓ º Ï Û ÐÐ ÐÐ Ø Ö Ô ÖÓÑ Ä ÑÑ ¾º Ð Ó Ö Ô º Ï ÐÐ Ò ¾ ¹ÓÒØÖ Ø Gº ÙÑ Ö Ø Ø Ø O ÒÓ ÓÖ º Á Ø Ö Ú ÖØ Ü v Ó Ö Û Ø ØÛÓ Ò ÓÖ o 1, o 3 V (O) Ò ¹ÓÐÓÖ Ò Ó G Ù Ø Ø c(o 1 ) = c(o 3 ) ÒÓØ Ø Ø G ÓÒ Ø Ó ØÛÓ ÝÐ o 1 o 2 o 3 v Ò o 1 o 5 o 4 o 3 v Û ÓÒØ Ò ÓÑ Ù Ö Ô Ò º Ý Ò ÙØ ÓÒ ÙÑ Ø Ø ÓØ Ó Ø Ù Ö Ô ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓÑ Ö Ô º ÆÓØ Ø Ø Ø ÑÔÐ Ø Ø O ÓÖ Ó Û Ò Ù Ò ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ù Ö Ô ÓÙÒ Ý Ø ¹ÝÐ C Û Ø V (C) V (O) Û ÓÒØ Ò Ø ÓÖ º ÆÓÛ Ø Ö G ÓÒ Ó Ø Ö Ô ÖÓÑ Ä ÑÑ ¾º ÓÖ Ø Ø Ö Ô ÖÓÑ ÙÖ º½ µº ÙØ Ò Ø Ø ÓÒÐÝ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò c Û ÒÒÓØ ÜØ Ò ØÓ Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º¾ µ ÙØ Ò ÜØ Ò ØÓ Ø Ö Ô Ò ÙÖ º½ µ º º c(o 1 ) = a, c(o 2 ) = b, c(o 3 ) = c, c(o 4 ) = a, c(o 5 ) = b Ò ÜØ Ò ØÓ Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º¾ µº Á O ØÛÓ ÓÖ Ø Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ¾º¾ µº Á Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ò Û Ù Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÖ Ñ ØÓ Ø ¹ÝÐ ÓÙÒ Ý Ø ÓÖ Û Ú Ø Ö Ö ÙÐغ º¾ Ö Ô Û Ø ÒÒ Ö Ó Þ Ì ÓÖ Ñ º º ÓÖ Ú ÖÝ G G(5, 5) Ø ÑÓ Ø ÓÒ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò c Ó Ø ÓÙØ Ö O ÒÓÒ¹ ÜØ Ò Ð º ÙÖØ ÖÑÓÖ ÓÒ Ö ÔÖÓÔ Ö ¹ÓÐÓÖ Ò b Ó Gº Ì Ò Ø Ö c Ù ÓÒÐÝ ÓÐÓÖ Ò Ø Ô ÚÓØ Ó b Ò c Ö ÒÓØ ÒØ ÓÖ c Ù ÐÐ ÓÐÓÖ Ò Ø Ô ÚÓØ Ó b ÓÒ Ó Ø Ú ÖØ Ø Ø Ú Ø ÓÐÓÖ Ø Ø ÔÔ Ö ØÛ Ò cº ÓØ ÓÙØÓÑ Ó º Ò ÔÔ Ò ÑÓÒ ØÖ Ø Ý Ö Ô B 1 Ò B 2 Ò ÙÖ º¾ Ø Ð ØØ Ö Ò Ø Ø ÒÓÒ¹ ÜØ Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò c Ø ÕÙ Ö Ú ÖØ Ü ÒÓØ Ø Ô ÚÓØ Ó Ø ¹ÓÐÓÖ Ò bµº Ì ÓÖ Ñ º º Ú ÖÝ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó G G(4, 5) ÜØ Ò Ð º c d b a b c a b a b ÙÖ º¾ Ë ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó G(5, 5) Ï Û ÐÐ ÔÖÓÚ ÓØ Ì ÓÖ Ñ º Ò Ì ÓÖ Ñ º Ø ÓÒ º Ï ÓÒ Ö Ñ Ò¹ Ñ Ð ÓÙÒØ Ö Ü ÑÔÐ ØÓ Ø Ö Ó Ø Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ú ÓÑ Ó Ø ÔÖÓÔ ÖØ º ÁÒ Ø ÓÒ Ô ÖØ Û Ù Ö Ò Ö ÙÑ ÒØ ØÓ Ö Ú ÓÒØÖ Ø ÓÒº ÈÖÓÓ º Ä Ø φ 1 (c) Ò φ 2 (c) ÒÓØ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ ÓÒ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ò Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ì ÓÖ Ñ º º º φ 1 (c) ÓÐ c Ù ÓÒÐÝ ÓÐÓÖ Ò Ø Ô ÚÓØ Ó c Ò Ø ¹ÓÐÓÖ Ò b Ó G Ö ÒÓØ ÒØ Ò φ 2 (c) ÓÐ c Ù ÓÐÓÖ Ò Ø Ô ÚÓØ Ó Ø ¹ÓÐÓÖ Ò b Ó G ÓÒ Ó Ø Ú ÖØ Ø Ø Ú Ø ÓÐÓÖ Ø Ø ÔÔ Ö ØÛ Ò cº Ö Ø Û ÓÛ Ø Ø Ú ÖÝ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò c Ù Ø Ø ÒÓÒ Ó φ 1 (c), φ 2 (c) ÓÐ Ò ÜØ Ò Ò Gº Ä Ø b ¹ÓÐÓÖ Ò Ó Gº Á c Ù Ù Ø ÓÐÓÖ Ò Ø Ô ÚÓØ Ó c Ò b Ø Ñ Ú ÖØ Ü Ø Ò b Ø ÜØ Ò ÓÒ Ó cº Á Ø Ô ÚÓØ
O O E O O µ ½ O O µ ¾ E ÙÖ º Û Ò deg(v C e ) = 2 Ö ÒØ Ø Ò Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó G(4, 5) Ò G(5, 5) O Ò Ò Ù ÝÐ Ò Û Ò ØÖ Ò ÙÐ Ø I Ò Û ¾ ¹ÓÒØÖ Ø Ø Ö ÙÐØ Ò Ö Ô ØÓ Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º¾ µº Ë Ò c ÜØ Ò ØÓ ¹ÓÐÓÖ Ò Ó Ø Ö Ô Ø Ð Ó ÜØ Ò ØÓ Gº ÇØ ÖÛ c Ù ¹ÓÐÓÖ Ò Ø Ô ÚÓØ Ó b ÓÐÓÖ Ý ÓÐÓÖ Ø Ø ÔÔ Ö Ù Ø ÓÒ Ò cº Ì Ò Û Ò ¾ ¹ÓÒØÖ Ø G ØÓ Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º¾ µ Ò c ÜØ Ò ØÓ Ø ¹ÓÐÓÖ Ò Ó Ø Ö Ô Ø Ð Ó ÜØ Ò ØÓ Gº Ä Ø G Ñ Ò Ñ Ð ÓÙÒØ Ö Ü ÑÔÐ º º Ø Ö G G(4, 5) Û Ø ÒÓÒ Ü¹ Ø Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò ÓÖ G G(5, 5) Û Ø ØÛÓ ÒÓÒ ÜØ Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ø Ö ÓØ Ó Ø Ñ Ø Ý ÓÒ Ó φ 1, φ 2 ÓÖ ÓÒ Ø φ 1 Ò Ø ÓØ Ö φ 2 º Ö Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ø Ø ÐÐ ØÖ Ò Ð Ö ØÖ Ò Ð T Ô Ö Ø ÒÓÒ ÑÔØÝ Ù Ö Ô H ÖÓÑ Ø Ö Ø Ó Ø Ö Ô Ø Ò Ú ÖÝ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó V (T) ÜØ Ò ØÓ H Ù ØÓ ¹ÓÐÓÖ Ð ØÝ Ó Gº Ì Ñ ÓÐ ÓÖ Ù Ö Ô H Ô Ö Ø ÖÓÑ O Ý Ô Ö ÐÐ Ð Û ÓÙÐ ÔÓ ÐÝ Ö Ò ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒº Á ÝÐ Ó Ð Ò Ø Ô Ö Ø I ÖÓÑ O Ø Ò Ý Ø Ñ Ò Ñ Ð ØÝ Ó G Û Ò ÙÑ Ø Ø Ø ÒØ Ö ÓÖ ÓÑÓÖÔ ØÓ B 1 ÓÖ B 2 º Ä Ø C Ø ÓÙØ ÖÑÓ Ø Ù ÝÐ Ø ÒØ ÖÓÑ O Û Ø C = I ÒÓ Ù ÝÐ Ü Ø º Ä Ø G Ø Ù Ö Ô Ó G ØÛ Ò O Ò Cº ÁÒ Ø Ö Ø Û ÓÒ Ö Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ö Ô G Ò Ð Ø I ÒÓØ Ø Ù Ö Ô Ö ÛÒ Ò Ø ÐÓ ÓÙÒ Ý Cº Ä Ø O e = V (O) \ V (C) Ò Ú ÖØ Ò C e = V (C) \ V (O)º ÆÓ Ú ÖØ Ü v Ò O e ÓÖ C e Ö ¾ Ò Ø ÛÓÙÐ Ö ÙÐØ Ò ØÖ Ò Ð ÓÖ ¹ÝÐ Ô Ö Ø Ò I ÖÓÑ Oº Ì ÓÒÐÝ Ü ÔØ ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ò ¹ÝÐ O º º V (O) V (C) Ò V (O) = 4º ÁÒ Ù Û ÓÐÓÖ Ø Ö Ô Ö ØÐݺ Í Ò Ä ÑÑ ¾º¾ Û Ø Ò Ù ØÛ Ò ØÛÓ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ô Ö Ø Ó Ö Ó Ú ÖØ Ó O ÙÖ º Û Ö Ø ÕÙ Ö Ú ÖØ Ü Ø Ò ÓÖ Ø Ô ÚÓØ Ó ¹ÓÐÓÖ Ò Ó I Ò Ç» Ø Ò ÓÖ Ø Ô Ö Ø Ó Ø Ú ÖØ Ó O I Û ØÖ Ò ÙÐ Ø Ó Ø Ø Û Ò ÔÔÐÝ ¾º¾º Ö Ø Û Ð Û Ø Ø Ò ÙÖ º µº Ï Ò ÙÑ Ø Ø ÐÐ Ú ÖØ Ó O Ú Ø ÒØ ÓÐÓÖ ÓØ ÖÛ Û Ò Ù Ä ÑÑ ¾º¾º Ì Ù Û Ú ØÓ Û Ý Ó ÔÖ ÓÐÓÖ Ò C ÓØ Ó Ø Ñ Ø Ý φ 2 º ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ Ø Ù Ö Ô Ô Ö Ø Ý C Ø Ö Ø ÑÓ Ø ÓÒ ÒÓÒ ÜØ Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò º ÆÓÛ Û Ð Û Ø Ø Ò ÙÖ º µº Á Ø Ú ÖØ Ó O Û Ø Ó Ö Ú Ö ÒØ ÓÐÓÖ Û Ò Ò ØÖ Ò ÙÐ Ø I Ò ¾ ¹ÓÒØÖ Ø Ø Ö Ô ØÓ Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º½ º ÆÓÛ Ø Ú ÖØ Ó O Û Ø Ú Ò Ö Ú Ø Ñ ÓÐÓÖ Ø Ö Ù Ø ÓÒ Û Ý ØÓ ÔÖ ÓÐÓÖ C Ò Ø ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ø Ò Ø Ö φ 1 ÒÓÖ φ 2 º ÙØ Ø Ú ÖØ Ú Ö ÒØ ÓÐÓÖ Ø Ö Ö ØÛÓ Û Ý ØÓ ÔÖ ÓÐÓÖ C ÓÒ Ó ÒÓØ Ø Ý φ 1 Ø ÓØ Ö Ó ÒÓØ Ø Ý φ 2 º Ä Ø v O e Ú Ö º Á O Ð Ò Ø Ø Ò G v ÐÓÒ ØÓ G(4, 5) Ò Ú ÖÝ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó G Ò ÜØ Ò ØÓ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó ÓÙØ Ö Ó G v ÓÒØÖ Ø Ò Ø Ñ Ò Ñ Ð ØÝ Ó G º Á O Ð Ò Ø Ð Ø c ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó G u 1 Ò u 2 Ò ÓÖ Ó v Ø Ø Ö ÓÒ O Ò z Ø Ø Ö Ò ÓÖ Ó vº Á
Ø c(u 1 ) = c(u 2 ) Û Ò Ö ÑÓÚ v Ò ÒØ Ý u 1 Ò u 2 Ø Ý Ð Ó Ú Ø Ñ ÓÐÓÖ ÙÒ Ö Ø ¹ÓÐÓÖ Ò Ó Ø Ö Ô Ù ØÓ Ó Ô Ö ØÝ Ó Ø Ö Ó vº Ì Ö ÙÐØ Ò Ö Ô Ò ÓÐÓÖ Û Ø Ø Ö ÓÐÓÖ Ò Ø ÓÐÓÖ Ò ÒÓØ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø c(v) Û Ò Ò Ø ÓÐÓÖ Ó z ØÓ Ø ÓÙÖØ ÓÐÓÖ Û Ú ÒÓØ Ù Ý Øº Á c(u 1 ) c(u 2 ) Ø Ò Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ ÔÓ Ð ÓÐÓÖ ÓÖ zº Ë Ò G v Ò G(5, 5) Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ ÒÓÒ¹ ÜØ Ò Ð ÓÐÓÖ Ò ÓÖ G v Ø Ù Ð Ó Ø ÑÓ Ø ÓÒ ÒÓÒ¹ ÜØ Ò Ð ÓÐÓÖ Ò ÓÖ G º Ð Ó ÒÓ Ú ÖØ Ü v Ò C e Ö ÓØ ÖÛ Û Ò Ò ÒÓØ Ö ¹ÝÐ C Ô Ö Ø Ò I ÖÓÑ O Ù Ò Ø Ò ÓÖ Ó v ÒÓØ ÓÒ Iº Ý Ø Ñ Ü Ñ Ð ØÝ Ó I Û Ú C = Oº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ò Ú ÖØ Ü Ó O e Ö Û Û ÐÖ Ý ÜÐÙ º Ì Ù Û ÓÒÐÙ Ø Ø Ø Ú ÖØ Ò O e C e Ú Ö Ø Ð Ø º ÌÖ Ú ÐÐÝ ÐÐ Ú ÖØ Ò V (C) V (O) Ú Ö Ø Ð Ø ¾º Ð Ñ º½º ÓÖ Ú ÖÝ v V (G ) \(V (O) V (C)) Û Ú deg(v) 6 ÓÖ Ø Ö Ü ØÐÝ ÓÒ Ú ÖØ Ü Ó Ö Ò G ÓÒØ Ò Ø Ù Ö Ô Ô Ø Ò ÙÖ º µº ËÙ ÔÖÓÓ º Ä Ø v Ú ÖØ Ü Ò V (G ) \ (V (O) V (C))º Á deg(v) = 2 Ø Ò v Ô Ö Ø Ý Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ò ¾¹ÓÒØÖ Ø ÓÒØÖ Ø Ò Ø Ñ Ò Ñ Ð ØÝ Ó Gº Á deg(v) = 4 Ò v Ò ÐÝ ¹ÓÒØÖ Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ G Ø Ò v Ò ÐÝ ¹ÓÒØÖ Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ G Ò Û Ò Ø ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÓÐÓÖ Ò Ó Ø ÓÒØÖ Ø Ö Ô Ò Ò ØÙÖ ÐÐÝ ØÙÖÒ ÒØÓ ÓÐÓÖ Ò Ó G vº Ì Ö ÓÖ ÙÑ Ø Ø ÓØ ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø v Ö ÙÒ º v Ö Ø Ö Ö ØÛÓ ÔÓ Ð Û Ý ÓÛ ØÓ ¹ÓÒØÖ Ø v Ð ØØ Ò u 1 u 2 u 3 u 4 ÒÓØ Ø Ò ÓÖ Ó v Ò ÝÐ ÓÖ Ö Û Ò Ø Ö ÒØ Ý u 1 Û Ø u 3 ÓÖ u 2 Û Ø u 4 º Á ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø v ÒÓØ Ø Ò Ø Ö Ø Ø Ö ØÖ Ò Ð ÓÖ ¹ÝÐ Ô Ö Ø Ò I ÖÓÑ O ÓÖ ÓÖØ Ò C ÓÖ Oº ¾¹ÝÐ Ô Ö Ø Ò I ÖÓÑ O ÒÒÓØ Ö Ò Ø Ò Ø Ö ÛÓÙÐ Ô Ö Ø Ò ¹ÝÐ Ò G º ËÙÔÔÓ Ø Ø ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø v ÓÖØ Ò C ÓÖ Oº ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ý u 1 Ò u 3 ÓØ Ð ÓÒ O ÓÖ Cº Ì Ô Ø u 1 vu 3 ØÓ Ø Ö Û Ø Ù Ô Ø Ó O ÓÖ C ÓÖÑ ( 5)¹ÝÐ C Ô Ö Ø Ò I ÖÓÑ Oº C Ø ÒØ ÖÓÑ C Ò O Ø ÓÒØÖ Ø Ø Ø Ø Ø C Ø ÓÙØ ÖÑÓ Ø ¹ÝÐ Ô Ö Ø Ò I ÖÓÑ Oº Ì Ö ÓÖ Û Ò ÙÑ Ø Ø ÓØ ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø v Ö Ø ØÖ Ò Ð ÓÖ ¹ÝÐ Ô Ö Ø Ò I ÖÓÑ Oº À Ò Ø Ö Ö ØÛÓ Ô Ø P Ò P Û ÓÒÒ Ø Ú ÖØ u 1 Ò u 3 Ò u 2 Ò u 4 Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ù Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ö ÕÙ Ð ØÓ Ø Ð Ò Ø Ó Ø ÝÐ Ö Ø Ý Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ º º Ø Ø Ö ÓÖ º Ï Û ÐÐ ÓÛ Ø Ü Ø Ò Ó ¹ÝÐ Ô Ö Ø Ò I ÖÓÑ Oº ÁØ Ù ØÓ ÓÒ Ö Ø ØÙ Ø ÓÒ Ø Ø ÓØ Ô Ø Ú Ð Ò Ø ÒÝ Ó Ø Ô Ø ÓÖØ Ö Ø Ö ÙÐØ Ò Ô Ö Ø Ò ÝÐ Ð Ò Ø Û ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ï ÒÓØ Ø Ú ÖØ Ó P Ò P Ý p 1, p 2, p 3 Ò p 1, p 2, p 3 Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÆÓØ Ø Ø P Ò P Ö Ø Ð Ø ÓÒ Ú ÖØ Ü rº Ý ÝÑÑ ØÖÝ Û ÙÑ Ø Ø Ø ÝÐ C 1 = u 2 p 1...r...p 3 u 3 Ô Ö Ø I ÖÓÑ Oº Ì Ö ÓÖ Ø ÝÐ C 2 = u 1 p 1...r...p 3u 4 Ð Ó Ô Ö Ø I ÖÓÑ Oº Ý ÝÑÑ ØÖÝ ÙÑ Ø Ø C 2 Ô Ö Ø C 1 ÖÓÑ I º ÆÓØ Ø Ø C 1 + C 2 P + P + 2 10º Ë Ò C 1 5 Û Ú C 2 5 Ò Ø Ù C 2 = Oº Ä Ø Ù Ö Ø Ð Û Ø Ø Ø Ø V (O) = 4º Ä Ø O = u 1 rqu 4 Ò Ý ÝÑÑ ØÖÝ ÙÑ Ø Ø r, q P º Ì ÑÔÐ p 2 = r, p 3 = q ÙÖ º µµº ÁÒ Ø Û Ó ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø v ÒØ Ý Ò u 2 Ò u 4 º Ì Ô Ö Ø I ½¼
q r r p 3 p 1 p 3 I p 1 u 3 u 2 u 4 v u 1 µ length(u 1 p 1... r) = 2 p 2 I p 1 u 4 u 3 v u 2 u 1 p 1 µ V (O) = 4 ÙÖ º Ò ¹ÝÐ S = u 2 p 1rqº Í Ò Ñ Ò Ñ Ð ØÝ Ó G Û ÒÓÛ Ø Ø Ú ÖÝ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó S Ò ÜØ Ò ÒØÓ Ø Ô Ö Ø Ö Ô ÐÓÒ Ø ¾ ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ö Ø ¹ÝÐ Ô Ö Ø Ò S ÖÓÑ I ÓÛ Ú Ö Û ÓÓ P 1 Ù Ø Ø S Ñ Ò Ñ Ð Ø ÒÒÓØ Ö º Ì Ö Ñ Ò Ò Ô ÖØ Ó Ø Ö Ô Ô Ö Ø Ý Ø ÝÐ u 1 rp 1u 2 Ò ¾ ¹ÓÒØÖ Ø ØÓ ÓÒ Ó Ø Ö Ô Ò ÙÖ ¾º½º Ì Ö ÓÖ Ú ÖÝ ÔÖÓÔ Ö ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó O Ò ÜØ Ò ØÓ ÔÖÓÔ Ö ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó S S Ò Ö Ø ÖÓÑ G Ù Ø Ý Ö ÑÓÚ Ò Ú ÖØ Ó Ö º Á V (O) = 5 Ø Ò Ø Ö Ö ÙÔ ØÓ ÝÑÑ ØÖÝ ÓÒÐÝ ØÛÓ ØÓ Ð Û Ø ¹ Ø Ö length(u 1 p 1...r) = 2 ÓÖ length(u 1 p 1...r) = 1º Ì Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ Ý ÙÖ º µº Ï Ò ÙÑ Ø Ø ru 1, ru 2, ru 3, ru 4 / E(G) ÓØ ÖÛ I Ô Ö Ø Ý ¹ÝÐ º Ï Ø Ò Ù ØÛ Ò Ú Ö Ð Ô Ò Ò ÓÒ Û Ú ÖØ Ü Ó O Ø Ô ÚÓØ Ó Ø ¹ÓÐÓÖ Ò b Ó Gº Ý ÝÑÑ ØÖÝ Ø Ö Ö Ù Ø Ø Ö ËÙÔÔÓ Ø Ø p 1 Ø Ô ÚÓØ Ó Ø ¹ÓÐÓÖ Ò b Ó Gº Ì Ò p 3 p 3 Ò u 4 Ó Ö º p 3 Ó Ö Ò u 3 r / E(G) Û Ò ÙÑ Ø Ø Ø Ù Ö Ô Ö ÛÒ Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÝÐ rp 3 u 4u 3 p 3 ÓÒ Ø ÓÒÐÝ Ó u 4 p 3 Ò p 3p 3 Ù ØÓ Ä ÑÑ ¾º º ÙØ Ø Ò p 3 Ú ÖØ Ü Ó O e Û Ø Ö Û Û Ú ÐÖ Ý ÜÐÙ º ËÙÔÔÓ Ø Ø u 1 Ø Ô ÚÓØ Ó Ø ¹ÓÐÓÖ Ò b Ó Gº Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ø Ø p 3 p 3º u 4 Ú Ò Ö Ò p 3 Ó Ö Û Ø Ø u 3 Ø Ô ÚÓØ Ó u 4 u 3 p 3 rp 3º Û ÙÑ Ø Ø G Ñ Ò Ñ Ð ÓÙÒØ Ö Ü ÑÔÐ Ø Ö ÒÓ ¾ ¹ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ó Ú ÖØ Ü Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó u 4 u 3 p 3 rp 3º ÒÓÒ Ó Ø Ö Ô ÖÓÑ Ä ÑÑ ¾º Ö Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ô º º Ó ÒÓØ Ô Ö Ø I ÖÓÑ O Ò ¹ÝÐ Û Ò ÙÑ Ø Ø u 4 u 3 p 3 rp p Û ¾ ÓÒØÖ Ø ØÓ ÓÒ Ó Ø Ñº Ø Ö Ø Ö Ø u 3 p 3 Ò Ø Ö Ø ÝÐ u 3 p 3rp 1u 2 Ô Ö Ø Ò C ÖÓÑ O Û ÓÒØÖ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÙÑÔØ ÓÒ ÓÙØ C ÓÖ p 3 Ö Ò Ò O e Û Û Ú ÐÖ Ý ÜÐÙ º À Ò ÙÑ Ø Ø p 3 = p 3º ÆÓÛ ÙÑ p 1 p 1º Ï Ø Ò Ù ØÛ Ò ØÛÓ ÑÓÖ Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ô ÚÓØ Ó u 1 p 1 rp 1 u 2 Ø Ò Ø Ö p 1 ÓÖ u 1 Ø ØÛÓ Ú Ú Ò Ö Ò Ö Òغ Á p 1 Ø Ô ÚÓØ ÒÓØ Ø Ø u 1 r ÒÓØ Ò Ò Ø Ù Ø Ö Ô Ø ÙÖ º µ Û Ö C Ò O Ö Ô Ö Ø Ý ¹ÝÐ rp 3 u 3 u 2 p 1 º Á u 1 Ø Ô ÚÓØ Ø Ò Ø Ö Ø Ö Ø p 1 u 1 Ò C Ô Ö Ø ÖÓÑ O Ý Ø ÝÐ rp 1 u 1u 4 p 3 ÓÖ Ø Ö Ø u 2 p 1 Ò C Ô Ö Ø ÖÓÑ O Ý Ø ÝÐ rp 1 u 2 u 3 p 3 º ½½
Ì Ö ÓÖ p 1 = p 1 Û Ð ØÓ Ø Ò ÙÖ º µº ÁÒ Ø Û ÜØ Ò Ú ÖÝ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó O Ü ÔØ Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ò Gº Ä Ø Ù Ü ¹ÓÐÓÖ Ò b Ó Gº u 4 Ò u 1 Ú Ú Ò Ö ÓÒ Ó Ø Ñ ØÓ Ø Ô ÚÓØ Ó O Ò b ÙÑ Ø u 4 º Ì Ò u 2 Ø Ô ÚÓØ Ó Cº Ð ÖÐÝ Û ÔÖ ÓÐÓÖ O Ò B 1 Û Ø ÒÓÒ ÜØ Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò º Ì ÓØ Ö ÔÖ ÓÐÓÖ Ò c Ó O Ø Ý Ò φ 1 Ù Ø Ø p 1 Ø Ô ÚÓغ ÙØ Ø Ò Û Ò Ú u 3 Ø ÓÐÓÖ Ó p 1 Ò u 4 Ø ÓÙÖØ ÓÐÓÖº Ì Ò Û Ú ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó O Û Ø Ò Ø Ö φ 1 ÒÓÖ φ 2 º ÆÓÛ Û Ú ØÓ ÜØ Ò Ø ØÛÓ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó O Ø Ý Ò φ 2 º Ì Ö Ø Ó Ø Ñ Ù Ø ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ù Ø Ø u 4 Ø ÓÐÓÖ Ñ ÓÐÓÖ rº Ì Ò Û Ú u 2 Ø ÓÐÓÖ Ó r Ò u 3 Ø Ø Ö Ø ÓÐÓÖ Ó p 1 ÓÖ Ó u 1 Ò Ø Ö Ø Ø ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó O Ó ÒÓØ Ø Ý φ 2 Ò Ø ÓÒ Ø ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó ÒÓØ Ø Ý φ 1 º Ì Ù Ø Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ò ÜØ Ò º ÆÓÛ Ð Ø Ù Ð Û Ø Ø ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó O Ù Ø Ø u 4 Ø Ø Ñ ÓÐÓÖ p 1 º Ì Ò Û Ú u 3 Ø ÓÐÓÖ Ó u 1 Ò u 2 Ø Ø Ö Ø ÓÐÓÖ Ó r ÓÖ Ø ÓÐÓÖ Ó p 3 º Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ò ÜØ Ò º r r r p 1 I p p 1 3 u 3 u 2 p 1 I p p 1 3 u 3 u 2 p 3 u 3 I u 2 p 1 v v v u 4 u 1 µ Ì p 1 Ø Ô ÚÓØ u 4 u 1 µ Ì u 1 Ø Ô ÚÓØ ÙÖ º ÍÒ ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ô ÖØ ½ u 4 u 1 µ Ì p 1 = p 1 ËÙÔÔÓ Ø Ø r Ø Ô ÚÓØ Ó Ø ¹ÓÐÓÖ Ò b Ó G Ø Ö ÒÓ ru i ÓÖ i = 1...4 Ø Ò Ý Ä ÑÑ ¾º Ø Ö Ô ÐÓÓ Ò ÙÖ º µº Ò Û ØÖÝ ØÓ ÜØ Ò ÐÐ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó Oº Ý ÝÑÑ ØÖÝ Ø Ö Ù Ø ÓÒ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò c Ó O Ø Ý Ò φ 1 Û Ø Ý u 4 Ô ÚÓØ Ð Ø c(u 4 ) = d, c(u 1 ) = c(r) = a, c(p 1 ) = c(p 3 ) = bº Ï ÔÖ ÓÐÓÖ O ÓÐÐÓÛ c(p 3 ) = d, c(u 3 ) = a, c(u 2 ) = b, c(p 1) = d ÓÖ eº Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ò ÜØ Ò º Ý ÝÑÑ ØÖÝ Ø Ö Ù Ø ÓÒ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò c Ó O Ø Ý Ò φ 2 Û Ø Ý u 4 Ú Ò Ø Ñ ÓÐÓÖ rº Ä Ø c(p 3 ) = a, c(u 4) = b, c(u 1 ) = d, c(p 1 ) = eº Ï ÔÖ ÓÐÓÖ O ÓÐÐÓÛ c(u 3 ) = a, c(u 2 ) = b, c(p 1) = d, c(p 3 ) = e ÓÖ dº Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ò ÜØ Ò º Ì ÓÒ Û Ò length(u 1 p 1... r) = 1 Ò Ò ÙÖ º µº Ì Ù Ø Ö Ú ÖØ Ü Ó Ö Ø Ò Ø ØÓ Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö ØÓ Ú ÖØ Ü v Ò Ù ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÛÓ Ú ÖØ Ò I e Ø Ò ÓÖ µº Á Ø Ö Ö ØÛÓ Ú ÖØ Ó Ö Ò G Ø Ý Ø Ö Ú Ó ÒØ Ò ÓÖ Ò I e Ò Ø Ò Ø Ö Ô Ø ÓÒ ÖÓÑ º µ Û Ö a Ò b Ö Ø Ú ÖØ Ó Ö µ ÓÖ Ø Ý Ö ÓÒ Ò ÙÖ º µ Ø u 3 º ÙØ Ø Ò u 4 Ó Ö ÙØ ÓØ Ó Ø Ò ÓÖ ÓÒ O Ú Ú Ò Ö ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ì Ö ÓÖ Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ Ú ÖØ Ü Ò Ø ØÙ Ø ÓÒº ½¾
r p 3 p 1 a p 3 I u 3 u 2 p 1 v u 4 u 1 µ r Ô ÚÓØ b u 4 v u 3 u 1 I u 2 p 3 p 2 p 2 r µ length(u 1 p 1...r) = 1 p 3 ÙÖ º ÍÒ ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ô ÖØ ¾ Ï Ú ÓÛÒ Ø Ø Ø Ö Ø Ö ÒÓ Ú ÖØ Ü v G \V (O) V (C) Ó Ö ÓÖ Ø Ö Ü ØÐÝ ÓÒ Ò Ø Ò Ø Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò ÙÖ º µº ÆÓÛ Û Ö Ú ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ý ÑÔÐ Ö Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò ØÓ Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü v Ó G Ö φ(v) = deg(v) 6 Ò ØÓ Ú ÖÝ F Ó G Ö φ(f) = 2 F 6º ÆÓÛ Ù Ò ÙÐ Ö ÓÖÑÙÐ Û Ú (deg(v) 6)+ (2 F 6) = 6 V 6( Ó Ó G )+2 E +4 E = 12. v F Á Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö ÒÓ Ú ÖØ Ü Ó Ö Û ÒÓØ Ò V (C) V (O) ÐÐ Ú ÖØ Ò V (G) \ V (C) V (O) Ú ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Ö º Ð Ó ÐÐ Ü ÔØ ÓÖ C Ò O Ú Ö ¼º Ì Ù Ø Ö ÕÙ Ð Ø Ð Ø φ(v) + φ(f) v F 2 O e 2 C e 4 V (C) V (O) + φ(c) + φ(o) = º½µ 2 O 2 C + φ(c) + φ(o) = = 12. Á V (C) Ò V (O) Ö Ó ÒØ Ø Ò Ø Ö Ú ÖØ Ü Ó Ó Ö Ò O e Ø Ù Ø Ö Ø Ð Ø º Ì ÒÖ Ø Ð Ø Ó ÕÙ Ø ÓÒ º½µ Ý ½ Ò Ø ØÓØ Ð Ö ØÖ ØÐÝ Ö Ø Ö Ø Ò 12 ÓÒØÖ Ø ÓÒº Á V (C) V (O) > 0 Ø Ò Ø Ö Ú ÖØ Ü u Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Û Ø Ö Ö Ø Ö Ø Ð Ø Ø Ö Ø Ö Ö Ú ÖØ o O e Ò c C e Ø Ø Ú ÓÑÑÓÒ Ò ÓÖ u Û ÒÓØ Ö Ò ÓÖº Ò Ð Ø Ó ÕÙ Ø ÓÒ º½µ ÒÖ ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ë ÓÒ Ø Ø V (O) = 5 ÓÛ Ú Ö Ø Ò ÓÖ Ó Ø ÓÒÐÝ Ú ÖØ Ü Ò O e Ö ÓØ Ò V (O) C ÙØ Ú Ö Ò Ø Ý Ð Ó Ú Ò ÓÖ Ò C e º Ò Ð Ø Ó ( ) ÒÖ º ÆÓÛ Ð Ø Ù ÙÑ Ø Ö Ü ØÐÝ ÓÒ Ú ÖØ Ü Ó Ö Ò V (G ) \ (V (O) V (C)) º º Ø Ö Ô Ò ÙÖ º µº Ì Ö Ò ÖÓÑ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø Ø Û Ú ØÓ Ò Ø Ð Ø Ø Ö ÙÒ Ø Ó Ö Ò v Ö º Á V (C) V (O) = 3 Ø Ò p 2 Ò p 3 Ö ÒØ Û Ø ÓÑ Ó Ø Ú ÖØ p 2, p 3, u 3 º Ï Ú Ø Ø u 3 p 2 Ò u 3 p 3 ÓØ ÖÛ ( 4)¹ÝÐ Ô Ö Ø I ÖÓÑ Oº Ì Ù p 2 ÕÙ Ð p 2 Ò p 3 ÕÙ Ð p 3 Ò Ö ÙÐØ Ò Ö Ô Ø ÓÒ ÖÓÑ ÙÖ º µº Á V (C) V (O) = 1 Ø Ò Û ÒÓÛ Ø Ø Ø Ö Ö Ø Ð Ø ØÛÓ Ú ÖØ Ó Ó Ö ÓÒ Ò C e Ò ÓÒ Ò O e µ Ò Ø Ú ÖØ Ü Ò V (C) V (O) Ö Û Ú Ø ÜØÖ Ö º ½
Á V (C) V (O) = {r, p 3 = p 3} Ø Ò p 3 Ó Ö º Ï Ò ¾ ¹ÓÒØÖ Ø Ò Ó rp 2p 3p 2 ÒØÓ Ø Ö p 2 p 2 ÓÖ ÓÒ ÙÒ Ú Ö Ð Ú ÖØ Üº ÁÒ ÓØ p 2 Ö Ò ÐÓÒ ØÓ O e Û Û Ú ÐÖ Ý ÜÐÙ º Ä Ø V (C) V (O) = {r, p 2 = p 2 }º Ï ÙÑ Ø Ø Ø ¹ÝÐ u 4u 3 p 3 p 2 p 3 ÓÒØ Ò ÒÓ Ú ÖØ Ó Ö º Ä Ø Ù ÙÖØ Ö ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ Ø Ðк Ì Ò p 3 ÒÒÓØ ÒØ ØÓ u 3 Ò Ø ÑÔÐ p 3 Ö Ò Ò O e º ÙØ p 3 Ö Ø Ð Ø Ø Ù ÒØ ØÓ p 3 º Ì Ù p 3 ÒØ ØÓ u 5 Ò I Ô Ö Ø ÖÓÑ O Ý ¹ÝÐ p 3 u 4 u 1 rp 2 ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ì Ö ÓÖ Ø Ö Ò ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ Üº Ø Ù Ö Ô Ö ÛÒ Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó p 2 p 3u 3 u 4 p 3 Ò G(5) Û Ò Ù Ø ÓÙÒØ Ò Ö ÙÑ ÒØ ÖÓÑ Ä ÑÑ ¾º ØÓ Ö Ú ÓÒØÖ Ø ÓÒ Û Ø ÒÓÒ Ü Ø Ò Ó Ú ÖØ Ó Ö ¾ ÓÖ º ½
º ÓÒÐÙ Ò Ö Ñ Ö ÐØ ÓÙ ÓÙÖ Ö ÙÐØ Ø Ø ÓÖ Ö Ô Ò G º º ÓÖ ¹ÓÐÓÖ Ð ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒÓØ Ø Ø Ø ÓÐ ÓÖ ÐÐ ÔÐ Ò ¹ÓÐÓÖ Ð Ö Ô Ø Ø Ø Ý Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ O Ò Iº Ù ØÓ Ä ÑÑ ¾º½ ÔÐ Ò Ö Ô ¹ÓÐÓÖ Ð Ø Ù Ö Ô Ó ÔÐ Ò ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Û Ø ÐÐ Ó Ø Ú ÖØ Ú Ò Ú Ò Ö º Ì Ù Û ÐÐ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÐÐ Ü ÔØ O Ò I Ó Ö Ô G Ù Ø Ø I Ó ÒÓØ Ø Ô Ö Ø ÖÓÑ O Ý ÓÖØ ÝÐ º ÙÖØ Ö Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ñ Ø ÓÖ Ñ Ð Ö Ö ÙÐØ ÓÖ G(4, 4)º Ï ÒÒÓØ ÓÔ ÓÖ Ö ÙÐØ Ò Ì ÓÖ Ñ º ÓÖ G(4, 5) Ø Ö Ö Ö Ô Û Ø ÒÓÒ¹ ÜØ Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò ÙÖ º½º d c b e a µ µ ÙÖ º½ ËÓÑ Ö Ô Û Ø ÒÓÒ¹ ÜØ Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò ÀÓÛ Ú Ö Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ö Ô Ø Ø Ú ÒÓÒ¹ ÜØ Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ñ Ö Ø Ö ÙÐØ Ø º Ð ÖÐÝ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ¹ÝÐ bcde Ò ÙÖ º½ µ Ñ Ý Ö ÔÐ Ý ÒÝ Ö Ô ÖÓÑ G(4) Û Ø Ñ Ø Ò Ô Ö Ø º ÙÖØ Ö¹ ÑÓÖ Ø Ò Ö ÔÐ Ý Ø Ö Ô ÖÓÑ ÙÖ º½ µ Ò Ø Ö Ô ÖÓÑ ÙÖ º½ Ö Ò Ø ÖÑ Ó ÔÖ ÓÐÓÖ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø Ö Ô ÖÓÑ ¾º¾º Ì Ù Û Ñ Ý Ò Ö Ø Ö Ô Û Ø ÒÝ ÒÙÑ Ö Ó ÒÒ Ö Ó Þ Û Ö ÒÓØ Ô Ö Ø ÖÓÑ O Ý ¹ÝÐ Ò Ú ÒÓÒ¹ ÜØ Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò º o 1 o 2 o 5 o 3 o 4 µ µ ÙÖ º¾ ÅÓÖ Ö Ô Û Ø ÒÓÒ¹ ÜØ Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò ÇÒ Ñ Ý Ø ÑÔØ ØÓ Ø Ø Ñ Ð Ö Ø Ò ÓÖ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ¹ÝÐ abcde ÙØ Ø ÒÓØ Ü ØÐÝ Ø Ö ÔÐ Ò Ø Û Ø Ø Ö Ô ÖÓÑ ÙÖ º¾ µ ØØ Ò Ú ÖØ a = o 1, b = o 5, c = o 4, d = o 3, e = o 2 Ý Ð Ö Ô Ù Ø Ø ÐÐ ÔÖ ÓÐÓÖ Ò Ó O Ö ÜØ Ò Ð ÙØ ØØ Ò Ú ÖØ a = o 1, b = o 2, c = o 3, d = o 4, e = o 5 Ý Ð Ö Ô Û Ø ÒÓÒ¹ ÜØ Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò º ÁÒ Ø Ð ØØ Ö I Ô Ö Ø ÖÓÑ O Ý ¹ÝÐ ÙØ Ø Ö Ñ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ý Ø Ö Ô ½
ÖÓÑ ÙÖ º¾ µº ÁØ ÒÓØ Ú Ò Ð Ö Ø cd ÑÙ Ø ÔÖ ÒØ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ø Ö Ô Û Ø ÒÓÒ¹ ÜØ Ò Ð ÔÖ ÓÐÓÖ Ò º ½
Ê Ö Ò ½ º Ö ÓÒ Âº ÀÙØ Ò ÓÒ º Æ ÑÓØÓ Ëº Æ Ñ Ãº ÇØ ÖÓÑ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÕÙ Ö Ò ÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ ÐÓ ÙÖ ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ö Ô Ì ÓÖÝ ¾¼¼½µ ¾ º ÓÐÐÓ ÅÓ ÖÒ Ö Ô Ø ÓÖÝ ËÔÖ Ò Ö ½ µ ʺ Ø Ð Ö Ô Ø ÓÖÝ Ö Ø ÓÒ ËÔÖ Ò Ö ¾¼¼ µ ú ĺ ÓÐÐ Ò Âº Ⱥ ÀÙØ Ò ÓÒ ÓÙÖ¹ÓÐÓÖ Ò ¹Ö ÙÐ Ö Ö Ô ÓÒ ØÓÖÙ Ö Ô ÓÐÓÙÖ Ò Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Èº À Ò Ò Ò Çº Å ÖÓØØ ºµ ÊÅ ÈÖÓ Ò Ò Ä ØÙÖ ÆÓØ ÎÓк ¾ ½ µ Àº Ö ØÞ ÙÖ Ì ÓÖ Ö Ö Ø Ò Ð ÎÁÁ Ò Ö Ö Ò ØÞ Ö Ö Ö Ö Æ ØÞ Ù Ö ÃÙ Ð Ï º º Å ÖØ Ò¹ÄÙØ Ö¹Íº À ÐÐ ¹ Ï ØØ Ò Ö Å Ø º¹Æ غ Ê ½ µ ĺ Áº ÓÐÓÚ Ò Áº ź ÐÓÑ ÁÒ ÙØ ÓÒ Ò ÓÑ ØÖÝ º º À Ø ² Óº ½ µ º ÅÓ Ö Èº º ÝÑÓÙÖ ÓÐÓÖ Ò ÐÓ ÐÐÝ Ô ÖØ Ø Ö Ô ÓÒ ÙÖ ÈÖÓ Ò Ó Âº ÓÑ º Ì ÓÖÝ Ë Ö ÎÓÐÙÑ Á Ù ¾ ¾¼¼¾µ º ÀÙØ Ò ÓÒ º Ê Ø Ö Èº Ë ÝÑÓÙÖ ÓÐÓÙÖ Ò ÙÐ Ö Ò ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ì ÓÖÝ Ë Ö ÎÓÐÙÑ ¾¼¼¾µ Ⱥ Ã Ò Ò Ìº Ë ØÝ Å Ö Û¹À ÐÐ ½ µ Ì ÓÙÖ ÓÐÓÖ ÈÖÓ Ð Ñ ÙÐØ Ò ÓÒÕÙ Ø ½¼ º ÃÖ Ð ÜØ Ò Ò Ô ÖØ Ð ¹ÓÐÓÖ Ò Ò ¹ÓÐÓÖ Ò Ò ÔÐ Ò Ö Ö Ô ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ì ÓÖÝ Ë Ö ÎÓÐÙÑ Á Ù ½ ¾¼¼ µ ½½ º Æ ÑÓØÓ ¹ ÖÓÑ Ø Ú Ò ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ ÙÖ Ö Ø Å Ø ¹ Ñ Ø ¼ ¾¼¼ µ ½¾ ƺ ÊÓ ÖØ ÓÒ º Ë Ò Ö Èº Ë ÝÑÓÙÖ Êº Ì ÓÑ Ì ÓÙÖ¹ ÓÐÓÙÖ Ì ¹ ÓÖ Ñ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ì ÓÖÝ Ë Ö ÎÓÐÙÑ ¼ Á Ù ½ ½ µ ½ º Ì ÓÑ Ò ¹Ð عÓÐÓÖ Ò ÔÐ Ò Ö Ö Ô Ó ÖØ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑ Ò ¹ ØÓÖ Ð Ì ÓÖÝ Ë Ö ÎÓÐÙÑ Á ÙÙ ½ ½ µ ½ º Ì ÓÑ Ò ÓÖØ Ð Ø ÓÐÓÖ ÔÖÓÓ Ö ØÞ ³ Ø ÓÖ Ñ ÂÓÙÖÒ Ð Ó Óѹ Ò ØÓÖ Ð Ì ÓÖÝ Ë Ö ÎÓÐÙÑ Á Ù ½ ¾¼¼ µ ½ º Ì ÓÑ Ò Ú ÖÝ ÔÐ Ò Ö Ö Ô ¹ ÓÓ Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ì ÓÖÝ Ë Ö ÎÓÐÙÑ ¾ Á Ù ½ ½ µ ½ º Ì ÓÑ Ò Ö ØÞ ³ ¹ ÓÐÓÖ Ì ÓÖ Ñ Ò ÁØ ÓÙÒØ ÖÔ ÖØ ÓÖ Ø ÌÓÖÙ Ò Ø ÈÖÓ Ø Ú ÈÐ Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ì ÓÖÝ Ë Ö ÎÓÐÙÑ ¾ Á Ù ¾ ½ µ ½ ź¹Ìº Ì º º Ï Ø Ò Û ÔÖÓÓ Ó ¹ÓÐÓÖ Ð ØÝ Ó ÙÐ Ö Ò ØÖ Ò ÙÐ ¹ Ø ÓÒ Ö Å Ø Ñ Ø ÓÒØ ÑÔÓÖ Ò ¾¼½½µº ½
½ Ⱥ Ï ÖÒ Ö Ò ÖØÓ Ö Ô Ò Î Ö Ö Ò ØÞ Å Ø Ñ Ø Ò¹ Ò Ð Ò ½ ¼ µº ½