ØÓ ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÔÖ Ò ¾¼½¾ Ë º ÓÙ ÖÝ Ë ÙÛ Ö µ ÖØ ¼¾µ ¾ º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Ú Ö Ö Ð Ë Ö Ì ØÐ ÔØ Ö Ë Ø ÓÒ º½ º¾ Ò º µ ÁÅ ÍÊÄ ÛÛÛº ºÙÒк Ù» ÓÙ Öݻ˽¾
ÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º ÓÙ ÖÝ ¾ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Å Ò Ñ Ü Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÔ Ø ÔÖÙÒ Ò
º º ÓÙ ÖÝ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ ÓÒØ ÜØ ÁÒ Ò Å Ë ÒØ Ø ÓØ Ö³ Û Ð Ö ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ò ÓÓÔ Ö Ø Ú ÓÖ ÓÑÔ Ø Ø Ú ÓÑÔ Ø Ø Ú ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ý Ð Ú Ö Ö Ð Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ñ µ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ñ Ø ÓÖÝ Ò Á Ñ
ÙØ Ð ØÝ Ú ÐÙ Ö ÕÙ Ð Ö Ûµ ÓÖ ÓÔÔÓ Ø ÐØ ÖÒ Ø Û ÒÒ Ö»ÐÓ Öµ ÚÓ ÙÐ ÖÝ Ó Ñ Ø ÓÖÝ Ø ÖÑ Ò Ø ØÙÖÒØ Ò ÁÒ Þ ÖÓ ÙÑ Ñ Ó Ô Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÛÓÔÐ Ý Ö ØÓ Ñ ÐÐ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÒ ÓÙØÓÑ Ò Ý Ö ØÖ Ø ÖÙÐ ÑÔÐ ÖÓÕÙ Ø ÓÖ Ó Ý ÙØ ØÝÔ ÐÐÝ Ó Ö Ñ ÆÓØ ËÓ Ö ÊÓ ÓÙÔ ÛÛÛºÖÓ ÓÙÔºÓÖ»µ Ü ÔØ ÓÒ º º ÓÙ ÖÝ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Ø ÓÖÝ Ú º Á Ñ Á Ñ ÙÐÐÝ Ó ÖÚ Ð Ø ÖÑ Ò Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÔÐ Ý Ö Ñ Ö ØØÖ Ø Ú ØÓ Á Ø Ø ÑÔÐ ØÓ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ
Ñ Ò ÖÐÝ Áµ ÇØ ÐÐÓ Ó ÑÑÓÒ Ó Ö Øº Ý ØÓ Ö ÔÖ ÒØ ÖÐÝ Ñ ÐÐ ÒÙÑ Ö Ó Û ÐÐ Ò Ø ÓÒ ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÖÐÝ Ð ÓÓ ØÖ Ø ÓÒ Ó Ò Ò ÑÝ Û»Ó Ö ÐÐ ÓÖ Û Öµ Ö µ º º ÓÙ ÖÝ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Ó Ö Ñ ÔÐ Ý Ò Ò ÔÔ Ð Ò Ø Ö Ø Ó Á Ö Ö ÙØ Ð Ó Ö Ô Ò ÔÓÒ Øº
Ö Ò ÓÑÒ»ÒÓ Ñ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù Ò ØÖ µ ÒÓ Ø ÑÓÚ Ó Ø ÓÔÔÓÒ ÒØ ÜÔ Ø ÐÝ ÒÓÒ Ò Ò ÙØ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ô ÓÑÔÙØ Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ð º º ÓÙ ÖÝ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Ö Ø Ö Ø ÍÒÔÖ Ø Ð ³ ÓÔÔÓÒ ÒØ ÓÒØ Ò ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ ÖÐ Ú Ö Ò Ü ÙØ ÓÒµ ÆÓØ Ø Ù Ù Ð ØÝÔ Ó ÙÒ ÖØ ÒØݳ ÐÐ Ò Ù Ö Ò Ò ØÓÖ Ø ÓÒ ÑÙ Ø Ñ º ÓÖ Ø ººº
º º ÓÙ ÖÝ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Ù ÓÒ Ï Ø Ö Ø Ø ÓÖ Ø ÐÐÝ Ø ÑÓÚ Ì Ò ÕÙ ÓÖ ÓÓ Ò ÓÓ ÑÓÚ Û Ò Ø Ñ Ø Ø ÒÓÖ ÖÖ Ð Ú ÒØ ÔÓÖØ ÓÒ Ó Ø Ö Ô ÈÖÙÒ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø ØÖÙ ÙØ Ð ØÝ Ó Ø Ø Û Ø ÓÙØ Ó Ò Ö
¾ ÔÐ Ý Ö Å Ò Ò Å Ü Å Ü ÑÓÚ Ö Ø ÈÐ Ý Ö ÐØ ÖÒ Ø ÙÒØ Ð Ò Ó Ñ Ò Û Ö ØÓ ÔÐ Ý Ö»Ô Ò ÐØÝ Ú ØÓ ÐÓ Ö º º ÓÙ ÖÝ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ ÌÛÓÔ Ö ÓÒ Ñ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÁÒ Ø Ð Ø Ø Ó Ö ÔÓ Ø ÓÒ ² Ò Ø ÓÒ Û Ó ØÙÖÒ Ø ËÙ ÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ò Ò Ð Ð ÑÓÚ ÔÐ Ý Ö Ò Ø Ê ØÙÖÒ ß ÑÓÚ Ø Ø µ Ð Ì ÖÑ Ò Ð Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ò Û Ò Ñ ÓÚ Ö Ø Ø Ø Ý Ø Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ð Ø Ø ÍØ Ð ØÝ ÙÒØ ÓÒ º º º Ô ÝÓ ÙÒØ ÓÒµ ÒÙÑ Ö Ð Ú ÐÙ ÓÖ ÓÙØÓÑ º º Û Ò ½ ÐÓ ½ Ö Û ¼
Ò ÕÙ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ý Ð Ò Ø ÖÑ Ò Ð Ó Ð ÓÖ Ò Å Ü ÓÖ Ò ØÓ Ø ÙØ Ð ØÝ ÙÒØ ÓÒ Û ÒÒ Ö º º ÓÙ ÖÝ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Í Ù Ð Ö Ö Ñ Å Ò Ø ÓÒ Ö Ò ÒØ ÑÙ Ø Ò ØÖ Ø Ý ØÓ Û Ò Ö Ö Ð Ó Û Ø Å Ò Ó Å Ü ÓÖÖ Ø Ø ÓÒ ÓÖ Å Ü ÓÖ Ø ÓÒ Ó Å Ò Æ ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÒÓ Ø Ñ ØÓ ÒÚ ÐÐ ÔÓ Ð Ø Ù Ø Ø Ô Ò Ú Ò ÑÓÖ Ù Ö Ô ÙÐØݵ º º 8 < : 10 40 Ö ÒØ Ð Ð ÔÓ Ø ÓÒ È Ö ÓÖÑ Ò Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ñ Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ú Ö Ö Ò Ò ØÓÖ ¼ ÑÓÚ»ÔÐ Ý Ö 35 100
ÐØ ÖÒ Ø Ú ÑÓÚ Å Ü Ø Ø ³ ÙØ Ð ØÝ Å Ü Û Ò ½ Å Ü ÐÓ ½ Ö Û ¼ Ì ÖÑ Ò Ð º º ÓÙ ÖÝ ½¼ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Ü ÑÔÐ Ì Ì ÌÓ M () MIN (O) M () MIN (O) TERMINL Utility O O O O O O O O O O............ O O O O O O 1 0 +1.........
º º ÓÙ ÖÝ ½½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Ü ÑÔÐ ¾ÔÐÝ Ñ ØÖ Ø ÓÒ 1 2 Šܳ 3 Ø ÓÒ 1 2 Å Ò³ 3 M MIN 3 B 2 C 2 D b 1 b 2 b 3 3 a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3 d 1 d 2 d 3 3 12 8 2 4 6 14 5 2 Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÔØ Ñ Ð ØÖ Ø Ý ÓÖ Å Ü Å Ò Ñ Ü Û Ø Ø ÑÓÚ
Ò Ö Ø Ø Û ÓÐ ØÖ ÓÛÒ ØÓ Ø Ð Ú ÓÑÔÙØ ÙØ Ð ØÝ Ó Ø ÖÑ Ò Ð Ø Ø ÁØ Ö Ø Ú ÐÝ ÖÓÑ Ø Ð Ú ÙÔ ØÓ Ø ÖÓÓØ Ù ÙØ Ð ØÝ Ó ÒÓ Ø d ØÓ ÓÑÔÙØ ÙØ Ð ØÝ Ó ÒÓ Ø ÔØ (d 1) ÔØ ÖÓÛ³ Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ð Ö Ò ÅÁÆ ÖÓÛ³ Ñ Ü ÑÙÑ Ó Ð Ö Ò Å º º ÓÙ ÖÝ ½¾ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Å Ò Ñ Ü Ð ÓÖ Ø Ñ nµ Å Ò Ñ ÜÎ ÐÙ 8 >< ÍØ Ð ØÝ(Ò) max s Succ(n) Å Ò Ñ ÜÎ ÐÙ (s) >: min s Succ(n) Å Ò Ñ ÜÎ ÐÙ (s) n Ø ÖÑ Ò Ð ÒÓ n Å Ü ÒÓ n Å Ò ÒÓ
Ø Ø Ø ÓÔÔÓÒ ÒØ Û ÐÐ ÔÐ Ý Ô Ö ØÐÝ ØÓ» Ö ÙÑÔØ ÓÒ Ú ÒØ ÓÛÒ º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ ÓÒ Å Ò Ñ Ü Å ³ ÓÒ Ñ Ò Ñ Ü ÓÒ Ñ Ü Ñ Þ ÙØ Ð ØÝ ÙÒ Ö Ø Å Ò Ñ Ü ÓÒ Ñ Ü Ñ Ø ÛÓÖ Ø ÓÙØÓÑ ÓÖ Å Ü Û ÓØ ÖÛ Ù Ö ÒØ ØÓ Ó ØØ Öµ Á ÓÔÔÓÒ ÒØ Ù ÓÔØ Ñ Ð ÓØ Ö ØÖ Ø Ñ Ý Ö ØØ Ö ÓÙØÓÑ ØØ Ö Ø Ò Ø Ñ Ò Ñ Ü ÓÒ
Ò Ö Ø Ò ÐÐ Ù ÓÖ Ø ÓÒ O(bm) ÓÒ Ö Ò Ù ÓÖ ÓÒ Ø Ø Ñ O(m) º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Å Ò Ñ Ü Ð ÓÖ Ø Ñ ÈÖÓÔ ÖØ Ñ Ü ÑÙÑ ÔØ m Ð Ð ÑÓÚ b Í Ò ÔØ Ö Ø Ö Ô Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ì Ñ ÓÑÔÐ Ü ØÝ O(b m ) Ñ Ø Ñ Ó Ø ØÓØ ÐÐÝ ÙÒ ÔØ Ð Ê Ð
ÒÓ Ø Ú ØÓÖ Ú Ø ÙØ Ð ØÝ Ó Ø Ø Ø ÓÖ ÓÖ ÔÐ Ý Ö º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ ÅÙÐØ ÔÐ ÔÐ Ý Ö Ñ ÍØ Ð ØÝ nµ ÓÑ Ú ØÓÖ Ó Ø Þ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÐ Ý Ö to move B C (1, 2, 6) (1, 2, 6) (1, 5, 2) (1, 2, 6) (6, 1, 2) (1, 5, 2) (5, 4, 5) (1, 2, 6) (4, 2, 3) (6, 1, 2) (7, 4,1) (5,1,1) (1, 5, 2) (7, 7,1) (5, 4, 5)
º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ ÔÐ Ý Ö Ñ ÓÙØ ÐÐ Ò ÀÓÛ Ò Ò Û ÔÓ Ø ÓÒ ÙØ Ò ØÖÓÒ ÔÓ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò ÐÐ Ò ØÓ ØØ Ö Ø Ö Ø Ò ÓØ Ö ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ Ñ Ö ÖÓÑ ÔÙÖ ÐÝ Ð Ú ÓÖ ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ò ÙÒ ÓÒ Ö ÙÐ ÓÖ Ó Ð Ø Ñ µ Ï Ò ØÛÓÔÐ Ý Ö Ñ ÒÓØ Þ ÖÓ ÙÑ ÔÐ Ý Ö Ñ Ý Ò ÙÔ Ñ Ò ÐÐ Ò ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ò Ø Ø ÖÑ Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÐÐÝ Ø Ø Ñ Ü Ñ Þ ÙØ Ð ØÝ Ó ÓØ ÔÐ Ý Ö µ
º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ ÐÔ Ø ÔÖÙÒ Ò Å Ò Ñ Ü Ö ÕÙ Ö ÓÑÔÙØ Ò ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ð ÒÓ ÙÒ ÔØ Ð Ó Û Ö ÐÐÝ Ò ØÓ Ó ÓÑÔÙØ ÙØ Ð ØÝ Ó ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ð ÒÓ ººº ÆÓ Ý ÂÓ Ò Å ÖØ Ý Ò ½ ÁØ ÔÓ Ð ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÖÖ Ø Ñ Ò Ñ Ü ÓÒ Û Ø ÓÙØ ÐÓÓ Ò Ø Ú ÖÝ ÒÓ Ò Ø ØÖ Ò Ý Ø Ø Ø ÓÖÖ Ø ÓÒ Í ÔÖÙÒ Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ù Ð Ö Ò Ò ØÖ µ
º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Ü ÑÔÐ Ó ÐÔ Ø ÔÖÙÒ Ò (a) (c) (e) (b) [, + ] [, 3] B [, 3] B 3 3 12 [3, 3] B (d) [3, + ] 3 12 8 3 12 8 2 [3, 3] [, + ] [3, + ] [3, 14] [, 2] [, 14] B C D (f) [3, 3] 3 12 8 2 14 3 12 8 2 14 5 2 ÌÖÝ ½ ¾ ÐÓÛ [3, 3] [3, 3] B [, 2] C [, 2] [2, 2] B C D
Û Ú ÓÙÒ ÒÓÙ ÓÙØ n º º Ø ÖÓÙ ÓÒ Ó Ø ÇÒ Û Ò ÔÖÙÒ Ø º º Ö ÐÐ Ø Ö Ñ Ò Ò Ò ÒØ µ º º ÓÙ ÖÝ ½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Ò Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ó ÐÔ Ø ÔÖÙÒ Ò 8 < ÈÐ Ý Ö ØØ Ö Ó m Ø Á Û ÐÐ Ò Ú Ö Ö Ò ØÙ Ð ÔÐ Ý n Ò ÒØ µ Player Opponent...... Player Opponent m : Ô Ö ÒØ ÒÓ Ó n ÒÝ Ó ÔÓ ÒØ ÙÖØ Ö ÙÔ n
Ú ÐÙ Ó Ø Ó Ó Ö ÓÖ Å Ñ Ü ÑÙѵ α Ú ÐÙ Ó Ø Ó Ó Ö ÓÖ ÅÁÆ Ñ Ò ÑÙѵ β Ö ÐÔ Ø ÙÔ Ø Ø Ú ÐÙ Ó α β Ø Ó ÐÓÒ º º ÓÙ ÖÝ ¾¼ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Å Ò Ñ Ó ÐÔ Ø ÔÖÙÒ Ò Player Opponent m...... Player Opponent n ÔÖÙÒ Ù ØÖ ÓÓÒ Ø ÛÓÖ Ø Ò ÙÖÖ ÒØ α ÓÖ β
Ó ÔÖÙÒ Ò Ô Ò ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ó Ò Û ÒÓ Ø Ú Ò Ü Ñ Ò º º ÓÙ ÖÝ ¾½ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Ø Ú Ò Ó ÔÖÙÒ Ò (a) [, + ] (b) [, + ] [, 3] B [, 3] B 3 3 12 (c) [3, + ] (d) [3, + ] [3, 3] B [3, 3] B [, 2] 3 12 8 3 12 8 2 (e) [3, 14] (f) [3, 3] [3, 3] [, 2] [, 14] B C D [3, 3] 3 12 8 2 14 3 12 8 2 14 5 2 C [, 2] [2, 2] B C D
º º ÓÙ ÖÝ ¾¾ ÁÒ ØÖÙØÓÖ³ ÒÓØ Ë Ú Ò Ò Ø ÖÑ Ó Ó Ø Á Ð Ü Ñ Ò O(b d/2 ) ÒÓ Ú º Å Ò Ñ Ü O(b d )µ ÐÔ Ø Ø Ú Ö Ò Ò ØÓÖ b Ú º Å Ò Ñ Ü bµ ËÙ ÓÖ ÓÖ Ö Ö Ò ÓÑÐÝ b > 1000 ÝÑÔØÓØ ÓÑÔÐ Ü ØÝ O((b/ log b) d ) b Ö ÓÒ Ð ÝÑÔØÓØ ÓÑÔÐ Ü ØÝ O(b 3d/4 ) ÈÖ Ø ÐÐÝ ÖÐÝ ÑÔÐ ÙÖ Ø ÛÓÖ ÖÐݵ Û ÐÐ