d-dim extended directions λ (d+1),..., 6 =r (6-d)-dim shrunken directions

ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÙÔÖ Ò¹ÅÐÐ ÑÓÐ ÅÖº ¾Ø ¼ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÙÔÖ Ò¹ÅÐÐ ÑÓÐ ÌÖÓ ÞÙÑ ÁÒ ØØÙØ ÓÖ ÙÒÑÒØÐ ËÒ ËØ ÙÒÒ ÍÒÚÖ ØÝ ÂÈË ÑØÒ Ø ÃÛÒ ÙÒ ÍÒÚÖ ØÝ ÅÖº ¾Ø ¾¼¾ ¼ ÛØ Ãºº ÒÒÓ ØÓÔÓÙÐÓ Ò Âº ÑÙÖ ÓÒØÒØ ÁÒØÖÓÙØÓÒ Ò Ø ÑÓÐ ¾ ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÑÙÐØÓÒ ÓÒÐÙ ÓÒ

ßÞ Ð Ë ËÇ µ ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ Ò ËÍ µ Ù ÝÑÑØÖݺ ÈÖ Ò Ó ¾ ÙÔÖ ÝÑÑØÖݺ Ë Ê Ë ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÙÔÖ Ò¹ÅÐÐ ÑÓÐ ÅÖº ¾Ø ¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ Ò Ø ÑÓÐ ÅØÖÜ ÑÓÐ ÓÒ ØÖÙØÚ ÒØÓÒ Ó ÙÔÖ ØÖÒ ØÓÖÝ ÁÃÃÌ ÑÓÐ ÁÁ ÑØÖÜ ÑÓе ÈÖÓÑ Ò ÒØ ÓÖ Ø ÓÒ ØÖÙØÚ ÒØÓÒ Ó ÙÔÖ ØÖÒ ØÓÖݺ µ Á Àº ÃÛ º ÃØÞÛ Ò º Ì ÙÝ Ô¹Ø»¾ º Ë ØÖ ¾ ßÞ Ð ¾ ØÖ «µ «Ë Ì ÓÖÒÐ ÁÃÃÌ ÑÓÐ ØÒ¹ÑÒ ÓÒÐ ¾ ¼µº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ Û ØÙÝ Ø ÑÔРܹÑÒ ÓÒÐ ÑÓÐ ¾ µº µ Ë Ë ¼ º ŵ ßÞ Ð Ø ¼ Ë Ø Å Ë ¼ Ô ¹ÕÙÒ ÑÓÐ ÓÑÔÐÜ Ô Ø Å ÓÑÔÐÜ ÓÑÔÐÜ Ô ÑÔÓÖØÒØ Ò ËÇ µ ÖÓÛÒº

̺ ÓÝÑ Âº ÑÙÖ Ò Ìº ÇÙÓ ÖÚ¼¼º¼ º ÑÙÖ Ìº ÇÙÓ Ò º ËÙÒÓ ÖÚ¼º¾ ÓÒ ØÒØ ÚÓÐÙÑ ÔÖÓÔÖØÝ Ì ÚÓÐÙÑ ÒÔÒÒØ Ó Î Ê Ö Ð ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÙÔÖ Ò¹ÅÐÐ ÑÓÐ ÅÖº ¾Ø ¼ Ê ÙÐØ Ó Ù Ò ÜÔÒ ÓÒ ÅØÓ Åµ Ç ÖÚÐ ÓÖ ÔÖÓÒ ÑÒ ÓÒÐØÝ Ì ØÖ µº Ò Ò µ ÒÚÐÙ Ó Ì ¾ µ ÜØÒ Ñ Ê ¾ µ Ò ÖÙÒÒ µ Ñ Ö ¾ µ ÍÒÚÖ Ð ÓÑÔØ ØÓÒ Ð Ö ¾ ³ ¼¾¾ ÒÔÒÒØ Ó º Ì ÜØÒØ Ó Ô ¹ÕÙÒ ÑÓÐ ¼ Ð ¾ ³ ¼¾º Ì Ö ÒÖÝ Ø Ø ÑÒÑÙÑ Ø ËÔÓÒØÒÓÙ ËÝÑÑØÖÝ ÖÓÛÒ Ë˵ Ó ËÇ µ ØÓ ËÇ µº λ 1,2,...,d =R d-dim etended directions λ (d+1),..., 6 =r (6-d)-dim shrunken directions

ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÙÔÖ Ò¹ÅÐÐ ÑÓÐ ÅÖº ¾Ø ¼ ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÑÙÐØÓÒ <λ n > 0 5 4 3 2 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 ËÑÙÐØÓÒ Ó Ø Ô ¹ÕÙÒ ÑÓÐ 1 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 1/N ÄÖ¹ ÐÑØ ¼ ¾ ¼ ¼ ³ ¼º ¼ κºÎº Ó Ø Ô ¹ÕÙÒ ÑÓÐ ¼ µº Ó ËÇ µ ÖÓÛÒ Ò Ø Ô ¹ÕÙÒ ÑÓк ÓÒ ØÒØ ÛØ Ø Å Ö ÙÐØ ¼ Ð ¾ ³ ¼¾º

ÔÔÖÓ ØÓ ÓÚÖÓÑ Ø ÓÚÖÐÔ ÔÖÓÐÑ Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ ÑÙÐØÓÒº Ò º ÒÒÓ ØÓÔÓÙÐÓ Ò Âº ÑÙÖ Ô¹Ø»¼¼¼ ú ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÙÔÖ Ò¹ÅÐÐ ÑÓÐ ÅÖº ¾Ø ¼ ØÓÖÞØÓÒ ÑØÓ Âº ÑÓÖÒ Ãº º ÒÒÓ ØÓÔÓÙÐÓ Âº ÑÙÖ Ò Âº º ź ÎÖÖ ÓØ Ô¹ÐØ»¼¾¼¼¾º ú º ÒÒÓ ØÓÔÓÙÐÓ Ìº ÞÙÑ Ò Âº ÑÙÖ ÖÚ¼¼º¼ ¼º º ÇÚÖÐÔ ÔÖÓÐÑ ÖÔÒÝ Ó ØÖÙØÓÒ ÙÒØÓÒ ØÛÒ Ø Ô ¹ÕÙÒ ÑÓÐ ¼ Ò Ø ÙÐÐ ÑÓÐ º important for ρ () phase-quenched (0) () important for ρ full model

Ü Ò Üµ ¼ ßÞ Ð Ò µ ÖÛØÒ ¼µ ¼µ Ò µ ¼ ¼ Ü Ò µ ¼ µ ¼ Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÙÔÖ Ò¹ÅÐÐ ÑÓÐ ÅÖº ¾Ø ¼ ÔÖÓÔÖØÝ Ø ØÖÙØÓÒ ÙÒØÓÒ ØÓÖÞØÓÒ Ó Ò Ò Ò ¼ ÚØÓÒ ÖÓÑ µ «Ø Ó Ø Ô µ Ü Ò µ ¼ Ü ¼µ Ò ÜµÛ Ò Üµ ßÞ Ð Ü Ò Üµ ßÞ Ð Ò Üµ Û ÛÖ ¼ Ó ¼ Ò Üµ Ü Ò µ ¼ Û Ò Üµ ÒÜ Ó ÒÜ ÒÜ ÎººÎº ÓÖ Ø ÔÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ ÒÜ Ë ¼ Ü Ò µ ËÑÙÐØÓÒ Ó ÔÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ ÒÜ µ Ü ØÖÔÔ Ø Ò º Ì Ý ØÑ Ú Ø Ø ÓÒ ÙÖØÓÒ ÑÔÓÖØÒØ ÓÖ ÙÐÐ ÔÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ º Ê ÓÐÙØÓÒ Ó ÓÚÖÐÔ ÔÖÓÐѺ

¼µ Ò Üµ ¾ ¾ ÐÓ Û Ò Üµ ÓÑ ÐÑÓ Ø ÓÒ ØÒØ Ø ÐÖ Üº ¾ ÐÓ Ò Üµ ÛÖ ¼µ ¾ ÐÓ Û Ò Üµ Ç ¼ µ ܵ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÙÔÖ Ò¹ÅÐÐ ÑÓÐ ÅÖº ¾Ø ¼ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÚÐÙØÓÒ Ó Ò Û Ò Üµ ¼ µ Ò Ø ÑÒÑÙÑ Ó Ø Ö ÒÖÝ Ò Üµ ¾ ÐÓ Û Ò Üµ Ò ÓÐÚ ¼ Ò Üµ ¼ ÒÑÐÝ Ï ¾ ¼µ Ò Üµ ¼µ Ò Üµº ÐÓ Ü Ü ËÐÒ ÔÖÓÔÖØ Ò Ø ÐÖ¹ ÐÑØ Ç ¼ µ Ü Ü Ç ¾ ¼µ Ò Üµ Ø ÐÖ º Ü ØÒ Ó Ø Ö¹ÓÖ ÔÓØÒØÐ Ò (0) n f ()/N 2 ρ (0) n () O log w n() /N 2 constant at large O 1 eistence of hard-core potential

¼µ ¾ ¼µ Ò Üµ ܵ Ü» ¾ ¼µ Ò Üµ Ò º ¾Ü ¾ ÐÓ Û Ò Üµ» ¾ ³ ¼¾¾ ¼¾ ¼ º Ð ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÙÔÖ Ò¹ÅÐÐ ÑÓÐ ÅÖº ¾Ø ¼ Ê ÙÐØ ÖÓÙÒ Ü ³ ܵ Ð Ø ÐÖ Ò ÖÓÙÒ Ü ³ Ü Ò ØÞ ¼µ Ò Üµ ³ ܵ Ò Ü µ ¾Ò Ü µ ¾ Ò Ü µ º Ø ÑÐÐ Ü f n=4 (0) ()/N 2 - g()/(n) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 ÐÑ Ò 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 N=24 N=32 -Φ () log w 4 ()/N 2 Ò Ü µ Ü Ü µ º ÓÒ Øº 0-0.002-0.004-0.006-0.008-0.01-0.012-0.014 0 2 4 6 8 10 N=12 N=24 Û Ò Üµ Ú Ò Üµ Ê ÙÐØ ÓÖ Ò ¾ ÐÓ Û Ò Üµ Ü Ì ÓÐÙØÓÒ Ó Ü ¼ µº Å ÓÖ ÖØÓÒ Ò Ò Ö¾ ººµ Ö ÙÐØ ÖÙÒÒ ¼ Ò

ÐÓ Ü µ ÐÓ Ü µ ¾ ÐÓ Û Ü µ ÐÓ Û Ü µ ¾ ¾ ÐÓ Û Ò Üµ ÓÖ Ò ¾ ¾ ÐÓ Û Ò Ü µ Ø Ø Ø Ü ³ ¼ º ËÇ µ ¼µ ÐÓ Ü ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÙÔÖ Ò¹ÅÐÐ ÑÓÐ ÅÖº ¾Ø ¼ ÓÑÔÖ ÓÒ Ó Ø Ö ÒÖÝ ÚÐÙØ Ü µ Ü µº ¼ µ Ò ÖØÓÒ Ó ÒÓØ ÖÒ ËÇ µ ÔØÑ ÔÖÖÖ ØÓ ËÇ ¾µº ËÇ ¾µ ßÞ Ð µ ¼ log w n ()/N 2 0-0.002-0.004-0.006-0.008-0.01 n=3 n=4 n=5 n=6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 ÎÖÝ ÙØÐ ÙØ

¼ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÙÔÖ Ò¹ÅÐÐ ÑÓÐ ÅÖº ¾Ø ¼ ÓÒ ØÒØ ÚÓÐÙÑ ÔÖÓÔÖØÝ ÓÑØÖ ÑÒ Ä ¾ ÒÜ ÓÖ Ò 1.4 1.2 1 L 2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 n=3 n=4 n=5 n=6 Ä ¾ ³ ¼¾ Ø Ü Û ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ØØÒ Ò Ø Ø ÚÐÙ Ò ¼ µº ÓÒ ØÒØ ÛØ Ø Å Ö ÙÐØ Î Ê Ö ³ Ð ÛÖ Ð ¾ ³ ¼¾º

ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÙÔÖ Ò¹ÅÐÐ ÑÓÐ ÅÖº ¾Ø ¼ ÓÒÐÙ ÓÒ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÑÙÐØÓÒ Ó ÁÃÃÌ ÑÓÐ µ ÔÓÒØÒÓÙ ÖÓÛÒ Ó ËÇ µ ÝÑÑØÖݺ ÙÑÖÐ ÚÒ ÓÖ ÝÑÑØÖÝ ÖÓÛÒ ËÇ µ ËÇ µº ÓÒ ØÒØ ÚÓÐÙÑ ÔÖÓÔÖØݺ ÙØÙÖ ÛÓÖ ËÑÙÐØÓÒ Ó ÐÖÖ µ ØÙÝ Ø Òع «Øº ÍÐØÑØÐÝ Û ÛÓÙÐ Ð ØÓ ØÙÝ Ø ¼ ÁÃÃÌ ÑÓк