a b c d e f g h b a d c f e h g c d a b g h e f d c b a h g f e f e g h a b c d e f h g b a d c h g e f c d a b g h f e d c b a

ÉÙ ÖÓÙÔ Ò Ê Ð Ø ËÝ Ø Ñ ½ ¾¼¼ xx yyµ ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö Á Ò Åº Ï ÒÐ ØÖ Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Ò n n ÖÖ Ý Ó n ÝÑ ÓÐ Ò Û ÝÑ ÓÐ ÓÙÖ Ü ØÐÝ ÓÒ Ò ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒº ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ù ÕÙ Ö Ø Ó n ÒØÖ Ù Ø Ø ÒÓ ØÛÓ ÒØÖ Ö Ø Ñ ÖÓÛ ÓÐÙÑÒ ÓÖ ÝÑ Óк ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ö ÐÓ ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ò ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ Ò ÕÙ µ ÖÓÙÔ Ò Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØÓ Ø ÓÒ ÔØ Ó ÑÙØÙ ÐÐÝ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö º À Ö Û ÔÖÓÚ Ö ÙÖÚ Ý Ó Ø Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÒ ØÖ Ò Ú Ö Ð º Ï ÓÚ Ö ½µ Ü Ø Ò Ò ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ö ÙÐØ ¾µ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÒÐÙ Ò Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÔÐ Ü µ Ø Ô Ð Û Ò Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÖÓÙÔ Ø Ð µ ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø ÓÚ Ö Ò Ö Ó Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ º Ì ÙÖÚ Ý ÒÐÙ ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ ØÙÖ Ò ÓÔ Ò ÔÖÓ Ð Ñ º ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Ò n n ÖÖ Ý Ó n ÝÑ ÓÐ Ò Û ÝÑ ÓÐ ÓÙÖ Ü ØÐÝ ÓÒ Ò ÖÓÛ Ò Ò ÓÐÙÑÒº Ý ÓÒ Ð Ó Ù ÕÙ Ö Û Ñ Ò Ø Ó ÒØÖ Û ÓÒØ Ò Ü ØÐÝ ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú Ó ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒº ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÒ Ð Ò Û ÒÓ ÝÑ ÓÐ Ö Ô Ø º À ØÓÖ ÐÐÝ ÒØ Ö Ø Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð ÖÓ ÖÓÑ Ø ØÙ Ý Ó ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö º Ô Ö Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö A = [a ij ] Ò B = [b ij ] Ó ÓÖ Ö n Ö ØÓ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø Ø n 2 ÓÖ Ö Ô Ö (a ij,b ij ) Ö Ø Òغ ÁØ ÑÔÐ ØÓ Ø Ø Û ÐÓÓ Ø ÐÐ n ÓÙÖÖ Ò Ó Ú Ò ÝÑ ÓÐ Ò B Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ò A ÑÙ Ø ÓÖÑ ØÖ Ò Ú Ö Ðº ÁÒ Ì ÓÖ Ñ ½º Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø Ø ÓÑÔÓ ¹ Ø ÓÒ ÒØÓ Ó ÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð º ¾¼¼¼ Å Ø Ñ Ø ËÙ Ø Ð Ø ÓÒ ¼ ½ ¾¼Æ¼ à ÝÛÓÖ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ä Ø Ò ÕÙ Ö ÔÐ Ü Ò¹ÕÙ Ò ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö ÝÐ Ý Ø Ð ÕÙ ÖÓÙÔ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÚ Ö Ò Ö Ù

¾ Áº ź Ï ÒÐ ÓÖ Ü ÑÔÐ ÐÓÛ Ø Ö Ö ØÛÓ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö º ËÙ Ö ÔØ Ð ØØ Ö Ö Ù ØÓ Ñ Ö Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó ÝÑ ÓÐ Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø Ø Ö Ø Ò ÕÙ Ö µº 1 a 2 b 3 c 4 d 5 e 6 f 7 g 8 h 7 b 8 a 5 d 6 c 2 f 4 e 1 h 3 g 2 c 1 d 6 a 3 b 4 g 5 h 8 e 7 f 8 d 7 c 4 b 5 a 6 h 2 g 3 f 1 e 4 f 3 e 1 g 2 h 7 a 8 b 5 c 6 d 6 e 5 f 7 h 8 g 1 b 3 a 2 d 4 c 3 h 6 g 2 e 1 f 8 c 7 d 4 a 5 b 5 g 4 h 8 f 7 e 3 d 1 c 6 b 2 a a b c d e f g h b a d c f e h g c d a b g h e f d c b a h g f e f e g h a b c d e f h g b a d c h g e f c d a b g h f e d c b a ÅÓÖ Ò Ö ÐÐÝ Ø Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÑÙØÙ ÐÐÝ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÅÇÄ˵ Ø Ø Ø Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò Û Ô Ö ÓÖ¹ Ø Ó ÓÒ Ð Ò Ø ÓÚ Ò º Ì Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÒ ÅÇÄË Ú Ø Ø ÖØ Û Ø ½ ½ µ Ò ÔÖÓÚ ÑÔÐ Ù Ø Ø ÓÒ ÓÖ Ò ÒØ Ö Ø Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð º ËÙ ÕÙ ÒØ ÒÚ Ø Ø ÓÒ Ú Ö Ò Ö ÝÓÒ Ø Ò Ø Ð Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ì ÓÖ Ñ 1 Ò Ú ÔÖÓÚ Ø Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ö ÒØ Ö Ø Ò Ó Ø Ò Ø Ö ÓÛÒ Ö Øº Ô Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÕÙ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ñ Ò ÙÒÖ ÓÐÚ Û ÐÐ ÓÑ Ó Ú ÓÙ Ò Ø Ù ÕÙ ÒØ Ô º ÇÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ü Ø ÓÖ ÐÐ ÓÖ Ö n {2,6}º ÓÖ n = 6 Ø Ö ÒÓ Ô Ö Ó ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÕÙ Ö ÙØ Û Ò Ø ÐÓ º ÒÒ Ý ¾ Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ü ÑÔÐ Û ÓÒØ Ò Ó ÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ø Ý Ø Ù Ö ÔØ a,b,c Ò dº 1 a 2 3 b 4 c 5 6 d 2 c 1 d 6 5 b 4 a 3 3 4 b 1 2 d 6 c 5 a 4 6 a 5 c 1 3 d 2 b 5 d 3 c 2 a 6 1 b 4 6 b 5 4 d 3 a 2 1 c Ì Ð ½ ÓÛ Ø ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÖ 4 n 8 ÓÙÒØ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ö Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö m Ó Ó ÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð º Ì ÒØÖ Ò Ø Ø Ð Ö ÓÙÒØ Ó Ñ Ò Ð Ñ Ò Ð ÓÖ Ô Ò ÕÙ Ú Ð Ò Ð Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Û ÒØ ÐÐÝ Ø Ñ ØÖÙØÙÖ º Ë ½ ÓÖ Ø Ò Ø ÓÒºµ Ú Ò Ù Ø Ø Ò Ì Ð ½ Ð Ú Ò Ê ØÓ ÓÒ ØÙÖ Ø Ø n Ú Ò Ò ÐÝ Ñ ÐÐ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ú ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ½µ

ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö m n = 4 ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¾ ¼ ¼ ¾ ¹ ¼ ¼ ¾ ½ ¹ ½¾ ¹ ½ ¹ ½ ¼ ¹ ¹ ¼ ¹ ¾¼ ¼ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¾¼¾ ÌÓØ Ð ¾ ¾ ½¾ ½ ¾ Ì Ð ½ ÆÙÑ Ö m Ó Ó ÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n 8º Ñ Ø º ÀÓÛ Ú Ö Ø ØÖ Ò Ñ ØÓ ÕÙ Ø Ø Ö Ú Ö µ ÐØ ÓÙ ÒÓ Ö ÓÖÓÙ Û Ý Ó Ø Ð Ò Ø Ý Ø Ò ÓÙÒ º ÔÓ ÒØ Ø Ø Ì Ð ½ Ö Ø Ø ÓÑ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ú ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð Ø Ðк Ï ÒÓÛ ÐÓÓ Ø ÓÑ Ö ÙÐØ Ò Ø Ö Ö º Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö mq ØÓ Ó q¹ Ø Ô ØÝÔ Ø Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ñ ØÖ Ü Ó q q ÐÓ A ij ÓÐÐÓÛ A 11 A 12 A 1m A 21 A 22 A 2m º º º ºº º A m1 A m2 A mm Û Ö ÐÓ A ij Ð Ø Ò Ù ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö q Ò ØÛÓ ÐÓ A ij Ò A i j ÓÒØ Ò Ø Ñ ÝÑ ÓÐ i + j i + j mod mº Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ð Ð Ø ÓÖ Ñ Ù ØÓ Å ÐÐ Ø º Ì ÓÖ Ñ ¾º ËÙÔÔÓ Ø Ø q Ó Ò m Ú Òº ÆÓ q¹ Ø Ô ØÝÔ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö mq ÔÓ ØÖ Ò Ú Ö Ðº Û Û ÐÐ Ò ï Ø ÖÙÐ ÓÙØ Ñ ÒÝ ÖÓÙÔ Ø Ð Ú Ò ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒÓ ÝÐ ÖÓÙÔ Ó Ú Ò ÓÖ Ö ØÖ Ò Ú Ö Ðº Ý ÓÒØÖ Ø Ø Ö ÒÓ ÒÓÛÒ Ü ÑÔÐ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ó ÓÖ Ö Û Ø ÓÙØ ØÖ Ò Ú Ö Ð º ÓÒ ØÙÖ ½º Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ó ÓÖ Ö Ø Ð Ø ÓÒ ØÖ Ò Ú Ö Ðº

Áº ź Ï ÒÐ Ì ÓÒ ØÙÖ ÒÓÛÒ ØÓ ØÖÙ ÓÖ n 9 ï µº ÁØ ØØÖ ÙØ ØÓ ÊÝ Ö Ò Ò ÓÔ Ò ÓÖ ÓÖØÝ Ý Ö º ÁÒ Ø ÊÝ Ö³ ÓÖ Ò Ð ÓÒ ØÙÖ Û ÓÑ Û Ø ØÖÓÒ Ö ÓÖ Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÒ ÖÙ ÒØ ØÓ n mod 2º ÁÒ ¾ Ð Ù Ö Ñ Ò Ò ÔÖÓÚ Ø Ú Ò º Ì ÓÖ Ñ º ÁÒ ÒÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ú Ò ÓÖ Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ú Òº Ô Ø Ø Ø Ò ÒÓØ Ò Ò ÓØ Ö ÔÐ µ Ø Ø Ø Ö Ö Ñ ÒÝ ÓÙÒØ Ö Ü ÑÔÐ Ó Ó ÓÖ Ö ØÓ ÊÝ Ö³ ÓÖ Ò Ð ÓÒ ØÙÖ º À Ò Ø ÓÒ ØÙÖ ÒÓÛ Ò Û Ò ØÓ ÓÒ ØÙÖ 1 Ø Ø º ÇÒ Ó Ø Ð ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÒ ØÙÖ Û Ö ÒØÐÝ Ö Ú Ð Ò º Ì ÓÖ Ñ º ÓÖ Ú ÖÝ n > 3 Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û ÓÒØ Ò Ò ÒØÖÝ Ø Ø ÒÓØ ÒÐÙ Ò ÒÝ ØÖ Ò Ú Ö Ðº Ú Ò Ì ÓÖ Ñ 1 Ø Ð Ø Ø Ø ÓÖ Ñ ÓÛ Ü Ø Ò ÓÖ ÐÐ n > 3 Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û Ø ÓÙØ Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø º Ì Ñ Ö ÙÐØ Û Ó Ø Ò Ò ¾ Û Ø ÓÙØ ÓÛ Ò Ì ÓÖ Ñ 4º ¾º È ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ï Ú Ò Ò ï½ Ø Ø ÒÓØ ÐÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ú ØÖ Ò Ú Ö Ð Û ÔÖÓÑÔØ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÓÛ ÐÓ Û Ò Ø ØÓ Ò Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ù º Ï Ò Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø k ØÓ Ø Ó k Ò¹ ØÖ Ð Ø ÖÓÑ Ö ÒØ ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ù Ø Ø ÒÓ ØÛÓ ÒØÖ ÓÒØ Ò Ø Ñ ÝÑ Óк ÆÓØ Ø Ø Ò ÓÑ Ô Ô Ö º º ¼ µ Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø k Ò Ð ØÐÝ Ö ÒØÐÝ ØÓ ÓÒ Ð ÓÒ Û k Ö ÒØ ÝÑ ÓÐ ÔÔ Öº Ë Ò ÒÓØ ÐÐ ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Ú Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø n º º ØÖ Ò Ú Ö Ðµ Ø Ø Û Ò ÓÔ ÓÖ ØÓ Ò ÓÒ Ó Ð Ò Ø n 1º Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ ØÙÖ Ò ØØÖ ÙØ Ý ÖÙ Ð ½ Ôº½¼ µº ÓÒ ØÙÖ ¾º Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÔÓ Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø n 1º Ð Ñ ÔÖÓÓ Ó Ø ÓÒ ØÙÖ Ý Ö Ò Ó ½ ÓÒØ Ò Ø Ð ÖÖÓÖ º Ê ÒØÐÝ Ô Ô Ö ¾ ÔÔ Ö Ò Ø Ñ Ø Ö Ú Ð Ñ Ò ÔÖÓÓ Ó ÓÒ ØÙÖ 2º ÀÓÛ Ú Ö Ú Ò Ø ØÓÖÝ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ð Ñ ÓÙÐ ØÖ Ø ÙØ ÓÙ ÐÝ Ø Ð Ø ÙÒØ Ð Ø Ô Ô Ö Ò Ö Ö º

ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö Ì Ø Ö Ð Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ö ÑÙ Ø Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø Ø Ð Ø n O(log 2 n)º Ì Û ÓÛÒ Ý Ë ÓÖ ¼ Ò Ø ÑÔÐ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ç³ Û Ú ÖÝ Ñ Ö Ò ÐÐÝ ÑÔÖÓÚ Ý Ù Ø Ðº ¾ º ËÙ ÕÙ ÒØÐÝ À Ø Ñ Ò Ë ÓÖ ¾ ÓÚ Ö Ò ÖÖÓÖ Ò ¼ ÙÔÐ Ø Ò ¾ µ Ò ÓÖÖ Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ ØÓ Ö ÓÒ º ÆÓÒ Ø Ð Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ò Ö Ñ Ò Ø Ø Ø ÓÙÒ n O(log 2 n)º Ì ÑÔÖÓÚ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ó ÖÐ Ö ÓÙÒ ÒÐÙ Ò 2 3 Ö ½ µ Ò n n ÖÓÙÛ Ö Ø Ðº Ò ÏÓÓÐ Ö Ø µº Ö Ò ËÔ Ò Ö ¾½ ÓÛ Ø Ø ÒÝ n n ÖÖ Ý Ò Û ÒÓ ÒØÖÝ ÓÙÖ ÑÓÖ Ø Ò (n 1)/16 Ø Ñ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ø Ò Ó ÓÒ Ð Û Ø n Ö ÒØ ÝÑ ÓÐ ÓÒ Øµº ÁØ Ð Ó Ò ÓÛÒ Ý Ñ ÖÓÒ Ò Ï ÒÐ Ø Ø Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÔÓ ÓÒ Ð Ò Û ÒÓ ÝÑ ÓÐ ÔÔ Ö ÑÓÖ Ø Ò ØÛ º ÓÒ ØÙÖ 2 Ò Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ò ÓÔ Ò ÓÖ º Ñ٠ѹ ÔÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ÓÒ Ö Ø ÓÖØ Ø ÔÓ Ð Ð Ò Ø Ó Ñ Ü Ñ Ð Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ñ Ü Ñ Ð Ò Ø Ò Ø Ø Ø ÓÒØ Ò Ò ÒÓ Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð Ó Ö Ø Ö Ð Ò Ø µº ÁØ Ý ØÓ Ø Ø ÒÓ Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø n+o(1) ÃÓ Ñ µ 3 4 n+o(1) ØÖ ØÐÝ Ð Ø Ò 1 2n Ò Ñ Ü Ñ Ð Ò Ø Ö Ö ÒÓØ ÒÓÙ Ù ³ ÝÑ ÓÐ ØÓ ÐÐ Ø Ù Ñ ØÖ Ü ÓÖÑ Ý Ø ÙÒÙ ³ ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ º ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ ÐÐ n > 4 Ñ Ü Ñ Ð Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø 1 2 n Ò ÐÝ ÓÒ ØÖÙØ Ù Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û ÓÒØ Ò Ù ÕÙ Ö S Ó ÓÖ Ö 1 2 n Ò Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÒØ Ò Ò Ø ÝÑ ÓÐ Ó S ÙØ ÒÓØ Ù Ò ÒÝ Ó Ø Ñ ÖÓÛ ÓÖ ÓÐÙÑÒ Sº º ÆÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÓÛ Ñ ÒÝ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò Ú º Ï Ò t(n) Ò T(n) ØÓ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÑÓÒ Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö nº Ï Ú Ò Ò ï½ Ø Ø ÓÑ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ú ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð ÙØ Ø ÒÓØ ØØÐ ÓÖ Û ÓÖ Ö Ù Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ü Øº Ì Ù ÓÖ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ t(n) Û ÒÒÓØ Ó ÒÝ ØØ Ö Ø Ò ØÓ Ó ÖÚ Ø Ø t(n) 0 Û Ø ÕÙ Ð ØÝ ÓÙÖÖ Ò Ø Ð Ø Û Ò n Ú Òº Ö Ð Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Û ÒÓ ÛÓÖ Ñ ØÓ Ú Ò ÔÙ Ð ØÓ Ò Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÒ t(n) Û Ò n Ó º ÌÙÖÒ Ò ØÓ Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø ÓÙÐ Ð Ö Ø Ø T(n) n! Ò Ø Ö Ö ÓÒÐÝ n! Ö ÒØ ÓÒ Ð º Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ ÓÒ Ø ØÖ Ú Ð ÓÙÒ Û Ó Ø Ò Ý ÅÃ Ý Ø Ðº ¾

Áº ź Ï ÒÐ Ì ÓÖ Ñ º ÓÖ n 5 15 n/5 T(n) c n n n! 3 3 Û Ö c = 6 e 3/6 0.61354º Ì ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ò Ì ÓÖ Ñ 5 Ú ÖÝ ÑÔÐ Ò ÛÓÙÐ ÒÓØ ØÓÓ ¹ ÙÐØ ØÓ ÑÔÖÓÚ º Ì ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ØÓÓ ÓÒ Ö ÐÝ ÑÓÖ ÛÓÖ ÐØ ÓÙ Ø ØÓÓ ÔÖÓ ÐÝ Ö ÖÓÑ Ø ØÖÙØ º ÁÒ Ø Ñ Ô Ô Ö Ø ÙØ ÓÖ Ö ÔÓÖØ Ø Ö ÙÐØ Ó Ò Ü Ù Ø Ú ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö ÙÔ ØÓ Ò ÒÐÙ Ò º Ì Ð ¾ Ð Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÚ Ö ÐÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÖ n 9 Ò Ø Ñ Ò Ò Ø Ò Ö Ú Ø ÓÒ ØÓ ¾ Ñ Ð ÔÐ º n t(n) Å Ò ËØ Ú T(n) ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ º º¾ º ½ ½ ¼ º º½ ¾ ¾¼º ½ º¼¼ ½ ¼ ½º¼ º ¾½ º½½ ½ º ¾¾ ½ Ì Ð ¾ ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n 9º Ì Ð ¾ ÓÒ ÖÑ ÓÒ ØÙÖ 1 ÓÖ n 9º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ñ ÝÑÑ ØÖ ÕÙ Ö ½ ÓÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ñ ÝÑÑ ØÖ µ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú Ó Ø ÙÒ ÕÙ Ñ Ò Ð Û Ø t(n) ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÖ n {5,7,9}º ÁÒ Ø Ð Ö Ø Ù ÕÙ Ö Ö ÓÛÒ Ò ÓÐ º 1 2 3 4 5 2 1 4 5 3 3 5 1 2 4 4 3 5 1 2 5 4 2 3 1 3 2 1 5 4 7 6 2 1 3 6 7 4 5 1 3 2 7 6 5 4 5 6 7 4 1 2 3 4 7 6 1 5 3 2 7 4 5 2 3 6 1 6 5 4 3 2 1 7 2 1 3 6 7 8 9 5 4 1 3 2 5 4 9 6 7 8 3 2 1 4 9 5 7 8 6 9 5 4 3 2 1 8 6 7 8 4 6 2 5 7 1 9 3 4 7 9 8 3 6 5 1 2 5 8 7 9 6 2 3 4 1 6 9 8 7 1 4 2 3 5 7 6 5 1 8 3 4 2 9

ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö n ÄÓÛ Ö ÓÙÒ ÍÔÔ Ö ÓÙÒ ½¼ ¼ ¼¼¼ ½½ ½ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ½ ½¼ ¼ ¾ ¼ ½ ¼ ¼¼¼½ ¼ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾¾½¼ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ¾½ ¾ ½ ½ ¼ ¼¼ ½ ¼¼ ¼¾¾ ¼ ¾ ½ ½½¾¼¼ ½¼¼ ½ ½ ½ ½ ¾ ¼½ ¾¼ ¾ ¾ ¼ ¼¼ ½¾¼ ¼ ¾ ¾½ ½¾½ ½ ½ ¼ ½ Ì Ð ÓÙÒ ÓÒ T(n) ÓÖ 10 n 21º ÁÒ Ì Ð Û Ö ÔÖÓ Ù ÖÓÑ ¾ ÓÙÒ ÓÒ T(n) ÓÖ 10 n 21º Ì ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÑ Û Ø ÖÔ Ö Ø Ò Ø Ø Ú Ò Ý Ì ÓÖ Ñ 5 Ø ÓÙ ÔÖÓÚ Ý Ø Ñ Ñ Ø Ó º Ì ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ò ÓÒ ØÖÙØ Ú Ò Ð ÐÝ ØÓ Ú ÖÝ ÐÓ ØÓ Ø ØÖÙ Ú ÐÙ º Ï Ò n 2 mod 4 Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÑ ÖÓÑ Ø ÖÓÙÔ Û Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ì Ð µº Ï Ò n 2 mod 4 Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÑ ÖÓÑ Ó¹ ÐÐ ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö Ñ ÒÝ Ó Û Û Ö Ò ÐÝ Ò ¾ º ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö Ó Ø Ò Ý Ø ÖØ Ò Û Ø Ø ÝÐ Ý Ø Ð Ó ÖÓÙÔ ØÝÔ ÐÐÝ ÖÓÙÔ Ó Ø ÓÖÑ Z 2 Z m ÓÖ ÓÑ mµ Ò ØÙÖÒ Ò ÓÑ Ó Ø ÒØ Ö Ð Ø Ø Ø Ö ÔÐ Ò Ù ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö ¾ Ý Ø ÓØ Ö ÔÓ Ð Ù ÕÙ Ö ÓÒ Ø Ñ ÝÑ ÓÐ µº ÓÖ Ü ÑÔÐ 5 6 2 3 4 0 1 7 8 9 6 2 3 4 0 1 7 8 9 5 2 3 4 0 1 7 8 9 5 6 3 4 0 1 2 8 9 5 6 7 4 0 1 2 3 9 5 6 7 8 0 1 7 8 9 5 6 2 3 4 1 7 8 9 5 6 2 3 4 0 7 8 9 5 6 2 3 4 0 1 8 9 5 6 7 3 4 0 1 2 9 5 6 7 8 4 0 1 2 3 Ú 5504 ØÖ Ò Ú Ö Ð º Ì ØÙÖÒ ³ ÒØÖ Ú Ò Ñ Ö Ò ÓÐ º ¾µ

Áº ź Ï ÒÐ Ì ØÙ Ý Ó ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö Û Ô ÓÒ Ö Ý È Ö Ö Ò Ø Ö Ö¹ Ò Ø Ö Òµ Ò ÙÒ Ù ÙÐ ÕÙ Ø ÓÖ ØÖ ÔÐ Ó ÅÇÄË Ó ÓÖ Ö ½¼º À ÒÓØ Ø Ø ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö Ó Ø Ò Ú Ñ ÒÝ ÑÓÖ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø Ò ØÝÔ Ð ÓÖ ÕÙ Ö Ó Ø Ö ÓÖ Ö Ò Ù Ø ÙÖ Ø Ò Ø Ö ÓÖ ÅÇÄ˺ ÁØ ÐÓÒ Ò Ù Ô Ø Ø Ø T(10) Ú Ý ¾µº Ì Ù ¹ Ô ÓÒ Û ØÖ Ò Ø Ò Ý ÅÃ Ý Ø Ðº ½ Û Ó Ü Ñ Ò Ú Ö Ð ÐÐ ÓÒ ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö ½¼ ÒÐÙ Ò Ú ÖÝ ÕÙ Ö Û Ø ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÝÑÑ ØÖÝ Ò ÓÙÒ ÒÓÒ ÑÓÖ Ø Ò 5504 ØÖ Ò Ú Ö Ð º È Ö Ö Û Ò Ö Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ö ¾µ Ö Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø Ø ½¾¾ ½ Ó Ø Ñ Û Ò ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ Ö Ø Ö Ø Ò Ø Ñ Ø µº ÀÓÛ Ú Ö Ù Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÙÖ Ø Ò Ö Ò ÓÖ ÅÇÄË ÒÓØ Ð¹ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö ½ Û Ø Ø ÑÓ Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ñ ÐÝ ¼ µ Ó ÒÓØ Ú ÒÝ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø ¾ º Å ÒÛ Ð Ø Ö Ö ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø ÙØ Û ÔÓ ÓÒÐÝ Ø Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ó n ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò ½µ ÓÒ Ù µº Æ Ú ÖØ Ð Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó ÔÖÓÚ Ù ÙÐ ÒÚ Ö ÒØ ÓÖ ÕÙ Ö Ó Ñ ÐÐ ÓÖ Ö Û Ö Ø ÒÙÑ Ö Ò ÓÑÔÙØ Ò Ö ÓÒ¹ Ð Ø Ñ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò µº ÁØ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ØÓ ÛÖ Ø ØÖ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ ÓÙÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ñ ÐÐ ÓÖ Ö Ø ÓÙ Ø Ñ Ø Ó ÙÖÖ ÒØÐÝ ÓÑ ÑÔÖ Ø Ð Ø ÓÖ Ö ÑÙ ÓÚ Ö ¾¼º Ë ¼ ½ ÓÖ ÓÑ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÓÖÝ Ö ÙÐØ ÓÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÙÒØ Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð º ÁØ Ñ Ú ÖÝ ÙÐØ ØÓ Ò Ø ÓÖ Ø Ð Ø Ñ Ø ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÙÒÐ Ó ÓÙÖ Ø Ø ÒÙÑ Ö Þ ÖÓµº Ì ÙÐØÝ Ó ÙØ Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓØ Ú Ò ÓÓ Ø Ñ Ø ÓÖ z n Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð Ó Ø ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö nº Î Ö ¾ Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖ Ø ÓÒ ÓÒ ØÙÖ º Ì Ö Ü Ø Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ 0 < c 1 < c 2 < 1 Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ Ó n 3º c n 1n! z n c n 2n! Î Ö Ñ Ø ÓÒ ØÙÖ Û Ð ÓÒ Ö Ò Ú Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÓÖÓ Ð n¹õù Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ì ØÓÖÓ Ð n¹õù Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ó Ø ÖÑ Ò Ò Ò ÓÛ Ñ ÒÝ Ö ÒØ Û Ý n ÒÓÒ¹ ØØ Ò ÕÙ Ò Ò ÔÐ ÓÒ ØÓÖÓ Ð n n Ó Ö º Î Ö ÓÒ Ö Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ò Ñ ÕÙ Ò Ò ÔÐ Ó ÕÙ Ò Û Ö Ñ ÕÙ Ò Ô Û ÑÓÚ Ð ØÓÖÓ Ð ÕÙ Ò Ü ÔØ Ø Ø Ø ÒÒÓØ ØÖ Ú Ð ÓÒ Ö Ø¹ØÓ¹Ð Ø ÓÒ Ð º Ì ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ

ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö Î Ö ³ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÚ Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ØÓÖÓ Ð n¹õù Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÖ Ò Ð Ø ÒØÓ ÓÒ ÓÒ ÖÒ Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ý ÒÓØ Ò Ø Ø Ú ÖÝ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó n ÒÓÒ¹ ØØ Ò Ñ ÕÙ Ò ÓÒ ØÓÖÓ Ð n n Ó Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÝÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö L Ó ÓÖ Ö n Û Ö L ij i j mod nº ÆÓØ Ø Ø Ø ØÓÖÓ Ð n¹õù Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ÓÙÒØ Ò ÓÒ Ð Û ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Ý Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò L Ò L Û Ö L ij = i + j mod nº ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ó Ì ÓÖ Ñ 5 Û Ò Ò Ö Ø Ø Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ò ÓÒ¹ ØÙÖ 3 ØÖÙ ÝÑÔØÓØ ÐÐݵ Û Ø c 2 = 0.614º Ì Ð Ó Ý Ð Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ØÓÖÓ Ð n¹õù Ò ÔÖÓ ¹ РѺ Ì ÓÖ Ñ 5 Ú Ð ÓÖ ÐÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÙØ ÓÒ ØÙÖ 3 Ð Ó Ò ØØ Ý Ñ Ø Ó Û Ö Ô ØÓ Ø ÝÐ ÕÙ Ö º ÓÓÔ Ö Ò ÃÓÚ Ð Ò Ó ½¾ Ö Ø ÓÛ Ø Ø Î Ö ³ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ØÖÙ Û Ø c 2 = 0.9153 Ò Ø Û Ø Ò ÑÔÖÓÚ ØÓ c = 1/ 2 0.7071 Ò º Ò Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Ø ÓÖÑ Ú Ò Ò ÓÒ ØÙÖ Ø ÐÐ Ò ÓÔ Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÀÓÛ Ú Ö ½¼ Ò Ó Ú ÓÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Û ÔÔÐ ÓÒÐÝ ÓÖ ÓÑ nº ÓÓÔ Ö Ø Ðº ½½ Ø Ñ Ø Ø Ø Ô Ö Ô Ø ÓÖÖ Ø Ö Ø Ó ÖÓÛØ ÓÖ z n ÖÓÙÒ 0.39 n n!º º Ò Ø ÖÓÙÔ Ý Ù Ò Ø ÝÑ ÓÐ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö ØÓ Ò Ü Ø ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÝÐ Ý Ø Ð Ó ÕÙ ÖÓÙÔº ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ð Û Ò Ø Ø ÕÙ ÖÓÙÔ Ó Ø Ú Ò ÓØ Ö ÛÓÖ Ø ÖÓÙÔº ÅÙ Ó Ø ØÙ Ý Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÖÓÙÔ Ò Ô Ö Ò Ø ÖÑ Ó Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÒ ÔØ Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ò ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ º Å ÒÒ ¼ ÒØÖÓ Ù ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò ÓÖ ÖÓÙÔ ÙØ Ø Ö Ò Ø ÓÒ ÛÓÖ Ù Ø Û ÐÐ ÓÖ ÕÙ ÖÓÙÔ º ÁØ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ θ Ó Ø Ð Ñ ÒØ Ó ÕÙ ÖÓÙÔ (Q, ) ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò η : Q Q Ò Ý η(x) = x θ(x) Ð Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒº Ì Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ η ÒÓÛÒ Ò ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ Ó (Q, ) ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ý ÒØÖÓ Ù Ò º ÐÐ Ó Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ô Ô Ö ÓÙÐ Ö Ô Ö Ò Ø ÖÑ Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ò»ÓÖ ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ Ù Ó ÓÙÖ Ò ÜØ Ó ÖÚ Ø ÓÒº Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø (Q, ) ÕÙ ÖÓÙÔ Ò L Q Ø ÝÐ Ý Ø Ð º Ì Ò θ : Q Q ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Û Ò ÐÓ Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó L Q Ý Ð Ø Ò Ò ÖÓÛ x Ø ÒØÖÝ Ò ÓÐÙÑÒ θ(x)º Ë Ñ Ð ÖÐÝ η : Q Q

½¼ Áº ź Ï ÒÐ Ò ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ Û Ò ÐÓ Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó L Q Ý Ð Ø Ò Ò ÖÓÛ x Ø ÒØÖÝ ÓÒØ Ò Ò ÝÑ ÓÐ η(x)º À Ú Ò ÒÓØ Ø Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ò ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ Ö ÒØ ÐÐÝ Ø Ñ Ø Ò Û Û ÐÐ ÓÔØ Ø ÔÖ Ø Ó ÜÔÖ Ò ÓÙÖ Ö ÙÐØ Ò Ø ÖÑ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ú Ò Û Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÙØ ÓÖ Ù ÓÒ Ó Ø ÓØ Ö ÒÓØ ÓÒ º Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÒ ÚÓØ ØÓ Ø Û Ò ÓÙÖ Ð Ø Ò ÕÙ Ö L G Ø ÝÐ Ý Ø Ð Ó Ò Ø ÖÓÙÔ Gº Ì ÜØÖ ØÖÙØÙÖ Ò Ø ÐÐÓÛ ÓÖ ÑÙ ØÖÓÒ Ö Ö ÙÐØ º ÓÖ Ü ÑÔÐ ÙÔÔÓ Û ÒÓÛ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó L G Ø Ø ÓÑÔÖ Ó ÖÓÑ ÖÓÛ i Ó Ò Ð Ñ ÒØ g i º Ä Ø g ÒÝ Ü Ð Ñ ÒØ Ó Gº Ì Ò Û Ð Ø ÖÓÑ ÖÓÛ i Ø Ð Ñ ÒØ g i g Ø Û ÐÐ Ú Ò Û ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò g Ö Ò ÓÚ Ö G Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó ÔÖÓ Ù Û ÐÐ ÑÙØÙ ÐÐÝ Ó Òغ À Ò Ì ÓÖ Ñ º Á L G Ò Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø Ò Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÒØÓ Ó ÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð º Ï Û Ò ï½ Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Û Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ú ØÖ Ò Ú Ö Ð ÒÓØ Ò ØØÐ º Ì Ñ ØÖÙ ÓÖ ÖÓÙÔ Ø Ð ÙØ Û Ö ØØ Ò ÑÙ ÐÓ Ö ØÓ Ò Û Ö Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ð Ò ÓÒ Ø Ô ÓÒ Ö Ò ÛÓÖ Ó À ÐÐ Ò È º ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ú ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ µ L G ØÖ Ò Ú Ö Ðº µ L G Ò ÓÑÔÓ ÒØÓ Ó ÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð º µ Ì Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ L G º Úµ Ì Ö ÓÑ ÓÖ Ö Ò Ó Ø Ð Ñ ÒØ Ó G Ý a 1,a 2,...,a n Ù Ø Ø a 1 a 2 a n = ε Û Ö ε ÒÓØ Ø ÒØ ØÝ Ð Ñ ÒØ Ó Gº Úµ Ì ËÝÐÓÛ ¾¹ Ù ÖÓÙÔ Ó G Ö ØÖ Ú Ð ÓÖ ÒÓÒ¹ÝÐ º Ì Ø Ø Ø µ µ Ò µ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÑ Ö ØÐÝ ÖÓÑ Ì ¹ ÓÖ Ñ 1 Ò Ì ÓÖ Ñ 7º È ÓÛ Ø Ø µ ÑÔÐ Úµº À ÐÐ Ò È ¾ Ø Ò ÓÛ Ø Ø Úµ ÑÔÐ Úµº Ì Ý Ð Ó ÓÛ Ø Ø Úµ ѹ ÔÐ µ G ÓÐÙ Ð ÝÑÑ ØÖ ÓÖ ÐØ ÖÒ Ø Ò ÖÓÙÔº Ì Ý ÓÒ ØÙÖ Ø Ø Úµ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ µ ÓÖ ÐÐ ÖÓÙÔ º

ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö ½½ ÁØ Û Ù ÕÙ ÒØÐÝ ÒÓØ Ò ½ Ø Ø ÓØ Úµ Ò Úµ ÓÐ ÓÖ ÐÐ ÒÓÒ¹ ÓÐÙ Ð ÖÓÙÔ Û ÔÖÓÚ Ø Ø Úµ Ò Úµ Ö ÕÙ Ú Ð Òغ ÑÙ ÑÓÖ Ö Ø Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÔÖÓÓ Ó Ø Ø Û Ú Ò Ò º ÌÓ ÙÑÑ Ö Ì ÓÖ Ñ º µ µ µ Úµ Úµ ÓÒ ØÙÖ º µ µ µ Úµ Úµ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÓÒ ØÙÖ 4 ÒÓÛÒ ØÓ ØÖÙ ÓÖ ÐÐ ÓÐÙ¹ Ð ÝÑÑ ØÖ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ò ÖÓÙÔ º ÁØ Ð Ó Ò ÓÛÒ ÓÖ Ñ ÒÝ ÓØ Ö ÖÓÙÔ ÒÐÙ Ò Ø Ð Ò Ö ÖÓÙÔ GL(2,q) SL(2,q) PGL(2,q) Ò PSL(2,q) ¾ Ò Ø Ö Ö Ò Ø Ö Òµº Ø Ö Ó ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ö ÓÒ ÓÒ ØÙÖ 4 Ø Ö Ö ÒØÐÝ Ò Û Ø ÛÓÙÐ ÔÔ Ö ØÓ Ú ÖÝ Ò ÒØ Ö Ø ÖÓÙ º ÁÒ ÔÖ ÔÖ ÒØ Ï ÐÓÜ Ð Ñ ØÓ Ö Ù Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ÓÛ Ò Ø ÓÖ Ø ÔÓÖ ÑÔÐ ÖÓÙÔ Ó Û Ø Å Ø Ù ÖÓÙÔ Ú ÐÖ Ý Ò Ò Ð Ò ½ µº Ë ½ ¾¾ ÓÖ ÓÖ ÙÖØ Ö Ö Ò Ò Ö Ö Ò ÓÒ Ø À Ðй È ÓÒ ØÙÖ º Ò ÑÑ Ø ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ó Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ 7 Ø Ø ÓÖ ÒÝ G Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø ÖÓÙ Ú Ò ÒØÖÝ Ó L G Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø ÒØÖÝ Ó Òº À Ò Ì ÓÖ Ñ º Ó ½ µ Û Ø Ì ÓÖ Ñ º Ì ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò L G Ú Ð Ý G Ø ÓÖ Ö Ó Gº ÅÃ Ý Ø Ðº ¾ Ð Ó ÓÛ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÑÔÐ Ö ÙÐØ Ò Ø Ô Ö Ø Ó Ì ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ ½¼º Ì ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÒÝ ÝÑÑ ØÖ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÒ ÖÙ ÒØ ØÓ n ÑÓ ÙÐÓ 2º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º Ä Ø G ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö nº Á G Ð Ò ÓÖ n Ú Ò Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò G ÓÒ ÖÙ ÒØ ØÓ n ÑÓ ÙÐÓ 2º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ ÒÒÓØ Ò Ö Ð ØÓ ÒÓÒ¹ Ð Ò ÖÓÙÔ Ó Ó ÓÖ Ö Ú Ò Ø Ø Ø ÒÓÒ¹ Ð Ò ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö ¾½ ¾ ½ ½¾¼¼ ØÖ Ò Ú Ö Ð º Ì ÓÖ Ñ ½½º Á G ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö n 1 mod 3 Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò G Ú Ð Ý 3º

½¾ Áº ź Ï ÒÐ Ï Û ÐÐ ÐÓÛ Ø Ø Ø ÝÐ ÖÓÙÔ Ó Ñ ÐÐ ÓÖ Ö n 1 mod 3 Ú ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Û ÒÓØ ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ø Ö º Ì Ñ ÕÙ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò ï Ð ØÓ Ò ÒÚ Ø Ø ÓÒ Ó z n Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ø ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö nº Ä Ø z n = z n/n ÒÓØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø ÖÓÙ ÒÝ Ú Ò ÒØÖÝ Ó Ø ÝÐ ÕÙ Ö Ó ÓÖ¹ Ö nº Ë Ò z n = z n = 0 ÓÖ ÐÐ Ú Ò n Ý Ì ÓÖ Ñ Û ÐÐ ÙÑ ÓÖ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ù ÓÒ Ø Ø n Ó º Ì Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ó z n Ö ÒÓÛÒ ÖÓÑ Ò º Ì Ý Ö z 1 = z 3 = 1 z 5 = 3 z 7 = 19 z 9 = 225 z 11 = 3441 z 13 = 79259 z 15 = 2424195 z 17 = 94471089 z 19 = 4613520889 z 21 = 275148653115 z 23 = 19686730313955 Ò z 25 = 1664382756757625º ÁÒØ Ö Ø Ò ÐÝ Û Ø Ø ÒÙÑ Ö ÑÓ ¹ ÙÐÓ Û Ò Ø Ø Ø ÕÙ Ò Ò ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½º Ï ÒÓÛ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ½¼ Ø Ø z n ÐÛ Ý Ó ÓÖ Ó n ÙØ Ø Ò ÓÔ Ò ÕÙ ¹ Ø ÓÒ Û Ø Ö Ø Ö ÒÝ Ô Ö Ô ØØ ÖÒ ÑÓ ÙÐÓ ÓÖ º Ï Ð Ó ÒÓÛ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ½½ Ø Ø z n Ú Ð Ý Û Ò n 2 mod 3º Ì Ò Ø Ð Ø ÖÑ Ó {z n mod 3} Ö ½ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¾ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¾º Ò ÒØ Ö Ø Ò Ø ÓÙØ z n Ø Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ ÐÐÝ ÝÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Ò ÓØ Ö ÛÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÕÙ ÖÓÙÔ ÓÒ Ø Ø {1,2,...,n} Û Ú Ø ØÖ Ò Ø Ú ÙØÓÑÓÖÔ Ñ (123 n)µº Ë ÓÖ ÙÖÚ Ý ÓÒ Ù Ó Ø º Ï ÒÓÛ Ù Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ö Ð ÖÓÙÔ Ó Ñ ÐÐ ÓÖ Öº ÓÖ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö n 2 mod 4 Ø Ö Ò ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ý Ì ÓÖ Ñ 8º ÓÖ ÓØ Ö ÓÖ Ö n 23 Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÖÓÙÔ Ú Ò Ò Ì Ð º Ì ÖÓÙÔ Ö ÓÖ Ö ÓÖ Ò ØÓ Ø Ø ÐÓ Ù Ó Ì ÓÑ Ò ÏÓÓ ½ º Ì ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ò ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö Ø ÑÓ Ø 16 Ò ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö Ø ÑÓ Ø 21 Û Ö Ó Ø Ò Ý Ë Ø Ð º Ì Ö Ñ Ò Ò Ú ÐÙ Ò Ì Ð Û Ö ÓÑÔÙØ Ý Ë º ÅÃ Ý Ø Ðº ¾ Ø Ò Ò Ô Ò ÒØÐÝ ÓÒ ÖÑ ÐÐ ÓÙÒØ Ü ÔØ Ø Ó ÓÖ ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö 21 ÓÖÖ Ø Ò ÓÒ Ñ ÔÖ ÒØ Ò Ë º ÓÖ Ò Ï Ø Ö Ó Ö Ò ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ ÓÖ Û Ý ÐÐ Ø ÒÓÒ¹ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö Ú ØÖ Ò Ú Ö Ð º Ì ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö Ò ½ Û Ø Ø ÑÓ Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ö Ø Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ð Ò ÖÓÙÔ Ó Ø Ó ÓÖ Ö º Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ ÓÖ Ö ½¾ ¾¼ Ò ¾½ Ø ÖÓÙÔ Û Ø Ø ÑÓ Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø Ö Ø ÙÑ Ó ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÔÖ Ñ ÓÖ Öº ÁØ Ò ÓÔ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö Ù Ø Ø Ñ ÒØ Ò Ö Ð ØÓ ÐÐ nº Ý ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ Û ÒÓÛ Ø Ø Ò ÓÚ Ö Ý Ì Ð Ü ÔØ Ø ÒÓÒ¹ Ð Ò ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö ¾½µ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÑÙ Ø Ú

ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö ½ n ÆÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö n ¼ ½ ½ ¼ ¾¼¾ ¾¾ ½ ½½ ½ ½¾ ¼ ½ ½ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ½ ½¼ ¼ ½ ¾ ¾ ½ ¼ ¾ ¼ ¾ ¼½¼ ¾ ½ ¼ ¾ ¾ ½ ¾ ½¾ ½¾½½ ¾ ½¾ ½ ¾¼ ½¾ ¼ ½¾¾½ ½ ¾ ½¾½ ½¾¼ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ¼ ½ ½ ¼ ¼¼ ½ ½ ½ ¾¼ ¼ ¾ ¾ ¼ ¼¼ ½ ¼ ¼¼¼¼ ¼ ¼ ¾½ ½¾½ ½ ½ ¾ ½ ½¾¼¼ ¾ ¾ ¾¾¼ Ì Ð ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö n 23º Ø Ñ Ô Ö ØÝ Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÕÙ Ö º ÁØ Ö Ñ Ö Ð Ø ÓÙ Ø Ø Ø ÖÓÙÔ Ó Ú Ò ÓÖ Ö Ú ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Û Ú Ð Ý ÔÓÛ Ö Ó ¾º ÁÒ ÒÝ ¾¹ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö n 16 ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Û Ú Ð Ý 2 n 1 º ÁØ ÛÓÙÐ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ ÒÓÛ Ø ØÖÙ ÓÖ Ò Ö Ð nº º Ò Ö Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ì Ö Ö Ú Ö Ð Û Ý ØÓ Ò Ö Ð Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ðº Ï Ú ÐÖ Ý Ò ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ñ ÐÝ Ø Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ï¾º ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÐÐ Ø Ö ÙÐØ ÓÒ ÒÓØ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÝ ÔÐ Ü º k¹ôð Ü Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Ø Ó kn ÒØÖ Û ÒÐÙ k Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÖÓÑ ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ Ò Ó ÝÑ Óк ØÖ Ò Ú Ö Ð 1¹ÔРܺ Ì Ñ Ö ÒØÖ ÓÖÑ 3¹ÔÐ Ü Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò

½ Áº ź Ï ÒÐ ÕÙ Ö 1 2 3 4 5 6 2 1 4 3 6 5 3 5 1 6 2 4 4 6 2 5 3 1 5 4 6 2 1 3 6 3 5 1 4 2 Ì Ò Ñ k¹ôð Ü Û Ó Ò Ò ÓÒÐÝ Ö ÒØÐݺ ÁØ Ò ØÙÖ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ò Ñ ÙÔÐ Ü ØÖ ÔÐ Ü Ò ÕÙ ÖÙÔÐ Ü Û Ú Ò Ò Ù ÓÖ Ñ ÒÝ Ý Ö ÔÖ Ò Ô ÐÐÝ Ò Ø Ø Ø Ø Ð Ð Ø Ö ØÙÖ Ù ¾ µ ÓÖ ¾ Ò ¹ÔÐ Ü º Ì ÒØÖ ÒÓØ ÒÐÙ Ò k¹ôð Ü Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö L Ó ÓÖ Ö n ÓÖÑ Ò (n k)¹ôð Ü Ó Lº ÌÓ Ø Ö Ø k¹ôð Ü Ò Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÝ (n k)¹ ÔÐ Ü Ö Ò Ü ÑÔÐ Ó Û Ø ÐÐ Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Lº ÓÖ Ù ÓÒ Ó ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ð ØØ Ò ÐÐ Ð Ò ¾ Ò Ð Ý ½ º ÓÖ ÓÙÖ ÔÙÖÔÓ L ÓÑÔÓ ÒØÓ Ó ÒØ Ô ÖØ K 1 K 2,...,K d Û Ö K i k i ¹ÔÐ Ü Ø Ò Û ÐÐ Ø (k 1,k 2,...,k d )¹Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Lº Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒØ Ö Ø Û Ò ÐÐ Ô ÖØ Ö Ø Ñ Þ kº Ï ÐÐ Ù Ô ÖØ Ø ÓÒ k¹ô ÖØ Ø ÓÒº ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ñ Ö 3¹ÔÐ Ü Ò Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÖÑ 3¹Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ö Ò µº Ý Ì ÓÖ Ñ 1 Ò Ò ½¹Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ò Ò Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø º ËÓÑ Ö ÙÐØ ÓÙØ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ð Ö ØÐÝ ØÓ ÓØ Ö ÔÐ Ü Û Ð ÓØ Ö Ñ ØÓ Ú ÒÓ Ò ÐÓ Ù º Ì ÓÖ Ñ 3 Ò Ì ÓÖ Ñ 7 Ñ ØÓ Ò Ø Ð ØØ Ö Ð Ó ÖÚ Ò ¾ Ò Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÀÓÛ Ú Ö Ì ÓÖ Ñ ¾ Ò ÓÛ Ø Ø ÒÓØ Ú ÖÝ ÕÙ Ö ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ü ØÐÝ Ø Ñ Ö ÙÑ ÒØ ÛÓÖ ÓÖ ÒÝ k¹ôð Ü Û Ö k Ó º Ì ÓÖ Ñ ½¾º ËÙÔÔÓ Ø Ø q Ò k Ö Ó ÒØ Ö Ò m Ú Òº ÆÓ q¹ Ø Ô ØÝÔ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö mq ÔÓ k¹ôð ܺ Ì ÓÖ Ñ ½ º Ä Ø G ÖÓÙÔ Ó Ò Ø ÓÖ Ö n Û Ø ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÝÐ ËÝÐÓÛ 2¹ Ù ÖÓÙÔº Ì ÝÐ Ý Ø Ð Ó G ÓÒØ Ò ÒÓ k¹ôð Ü ÓÖ ÒÝ Ó k ÙØ 2¹Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ò ÓÒØ Ò k¹ôð Ü ÓÖ Ú ÖÝ Ú Ò k Ò Ø Ö Ò 0 k nº Ì ØÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ú Ò k ÕÙ Ø Ö ÒØ ØÓ Ø Ó º ÊÓ Ò Ý Ôº½¼ ÓÒ ØÙÖ Ø Ø Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÙÔРܺ Ì ÓÒ ØÙÖ Û ØÖ Ò Ø Ò Ò ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò µ

ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö ½ ÓÒ ØÙÖ º Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÔÓ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ó ÒØ ÙÔÐ Ü º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ú Ò ÓÖ Ö 2¹ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ó ÓÖ Ö (2,2,2,...,2,1)¹Ô ÖØ Ø ÓÒº ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÒ ØÙÖ Ð Ó ØÖ Ò Ø Ò ÓÒ ØÙÖ 1º ÁØ Ð Ó ÑÔÐ Ø Ø Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö k¹ôð Ü ÓÖ Ú ÖÝ Ú Ò Ú ÐÙ Ó k ÙÔ ØÓ Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÕÙ Ö º ÓÒ ØÙÖ 5 ØÖÙ ÓÖ ÐÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö 8 Ò ÓÖ ÐÐ ÓÐÙ Ð ÖÓÙÔ µº Ô Ò Ò ÓÒ Û Ø Ö ÓÐÙ Ð ÖÓÙÔ ÒÓÒ¹ ØÖ Ú Ð ÝÐ ËÝÐÓÛ 2¹ Ù ÖÓÙÔ Ø Ø Ö k¹ôð Ü ÓÖ ÐÐ ÔÓ Ð k ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÐÐ ÔÓ Ð Ú Ò k ÙØ ÒÓ Ó kº Á Ø À ÐÐ¹È ÓÒ ØÙÖ ÓÙÐ ÔÖÓÚ Ø ÛÓÙÐ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ö ÓÐÚ Ø Ü Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÔÐ Ü Ò ÖÓÙÔ Ò Ø ÛÓÙÐ Ö Ñ Ò Ø ÓÒÐÝ ØÛÓ ÔÓ Ð Ø º ÁØ ÛÓÖØ ÒÓØ Ò Ø Ø ÓØ Ö Ò Ö Ó ÓÙÖ ÓÖ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û Ö ÒÓØ ÓÒ ÖÓÙÔ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÕÙ Ö Ò µ ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð ÙØ Ð ÖÐÝ Ó Ú 3¹ÔРܺ ÁØ ÓÒ ØÙÖ Ò Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ö ØÖ Ö ÐÝ Ð Ö Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ø ØÝÔ º ÓÒ ØÙÖ º ÓÖ ÐÐ Ú Ò n > 4 Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð ÙØ Ó ÓÒØ Ò 3¹ÔРܺ ÒÓØ Ö ÔÓ Ð ØÝ Û ÓÛÒ Ý Ñ ÐÝ Ó ÕÙ Ö ÓÒ ØÖÙØ Ò ¾¼ º Ì ÓÖ Ñ ½ º ÓÖ ÐÐ Ú Ò n Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û k¹ôð Ü ÓÖ Ú ÖÝ Ó Ú ÐÙ Ó k ØÛ Ò 1 4 n 1 2 Ò 3 4 n + 1 2 ÙØ ÒÓØ ÓÖ ÒÝ Ó Ú ÐÙ Ó k ÓÙØ Ø Ö Ò º ÁÒØ Ö Ø Ò ÐÝ Ø Ö ÒÓ ÒÓÛÒ Ü ÑÔÐ Ó Ó ÒØ Ö a < b < c Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û Ò a¹ôð Ü Ò c¹ôð Ü ÙØ ÒÓ b¹ôð ܺ Ì ÙÒ ÓÒ Ó Ò a¹ôð Ü Ò Ó ÒØ b¹ôð Ü Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö L Ò (a + b)¹ôð Ü Ó Lº ÀÓÛ Ú Ö Ø ÒÓØ ÐÛ Ý ÔÓ Ð ØÓ ÔÐ Ø Ò (a + b)¹ôð Ü ÒØÓ Ò a¹ôð Ü Ò Ó ÒØ b¹ôð ܺ ÓÒ Ö ÙÔÐ Ü Û ÓÒ Ø Ó 1 2n Ó ÒØ ÒØ Ö Ð Ø Ð Ø Ò Ù ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö ¾µº ËÙ ÙÔÐ Ü Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø ÑÓÖ Ø Ò 1 2n Ó Ø ÐÓÒ Û Ý ÖÓÑ ÓÒØ Ò Ò ½¹ÔРܺ Ï Ý Ø Ø k¹ôð Ü Ò Ú Ð Ø ÓÒØ Ò ÒÓ c¹ôð Ü ÓÖ 0 < c < kº Ì ÙÔÐ Ü Ù Ø Ö Ò Ú Ð º ÁÒ ÓÖ Ú ÖÝ k Ø Ö Ò Ú Ð k¹ôð Ü Ò ÓÑ Ù ÒØÐÝ Ð Ö Ð Ø Ò ÕÙ Ö º Ì Û Ö Ø ÓÛÒ Ò ÙØ Ù ÒØÐÝ Ð Ö Ò Ø Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ö Ø Ò kº Ì Û ÑÔÖÓÚ ØÓ Ð Ò Ö Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐغ

½ Áº ź Ï ÒÐ Ì ÓÖ Ñ ½ º ÓÖ Ú ÖÝ k 2 Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö 2k Û ÓÒØ Ò ØÛÓ Ó ÒØ Ò Ú Ð k¹ôð Ü º Ì ÓÖ Ñ 15 Ñ Ò Ø Ø ÓÑ ÕÙ Ö Ò ÔÐ Ø Ò Ð Ò Û Ý Ø Ø Ñ ÒÓ ÙÖØ Ö Ú ÓÒ ÔÓ Ð º ÜÔ Ö Ò Û Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ù Ø Ø Ø Ø Ý Ò Ö ÐÐÝ Ú Ú Ø ÑÙÐØ ØÙ Ó Ô ÖØ Ø ÓÒ ÒØÓ Ú Ö ÓÙ ÔÐ Ü Û Ò ÓÒ Ò Ñ Ò Ø Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ø Ò ØÓ ÐÓÒ Û Ý ÖÓÑ Ò Ò Ú Ð º Ì Ñ Ì ÓÖ Ñ 15 Ð ØÐÝ ÙÖÔÖ Ò º ÁØ Û ÓÔ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Û Ø Ú ÐÙ Ó k Ò n Ø Ö Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÒØ Ò Ò Ò Ò Ú Ð k¹ôð ܺ ÀÓÛ Ú Ö ÖÝ ÒØ Ø Ðº ÓÙÒ Ø Ò Û Ö Û Ò k Ñ ÐÐ Ö Ð Ø Ú ØÓ nº Ì ÓÖ Ñ ½ º Ä Ø n Ò k ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ø Ý Ò 5k nº Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÒØ Ò Ò Ò Ò Ú Ð k¹ôð ܺ ËÓ Ö Û Ú ÒØ ÐÐÝ ÐÓÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ö Û Ø ÖØ Û Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò Û Ø ÓÖØ Ó ÔÐ Ü Ø Ñ Ø Ú º ÌÓ ÓÑÔÐ Ø Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö Ø Ö Ú Ö ÕÙ Ø ÓÒº Ï Û ÒØ ØÓ Ø ÖØ Û Ø ÔÐ Ü Ò Û Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ø Ñ Ø ÓÒØ Ò Òº ËØÖ ØÐÝ Ô Ò Ø ÐÐÝ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Û Ò ÔÐ Ü Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ó Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û Ø Ö ÓÖ Ø ÓÒÐÝ ÔÓ Ð Ò Û Öº ÀÓÛ Ú Ö ÙÔÔÓ Û Ò k¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ØÓ Ò n n ÖÖ Ý Ò Û ÐÐ Ø Ö Ð Ò ÓÖ ÐÐ Ø Ð ØØ Ö Ñ Ò Ò Ø Ø Ø ÓÒØ Ò ÓÒ Ó {1,2,...,n}µ Ò Û Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ø Ø µ ÒÓ ÝÑ ÓÐ ÓÙÖ ØÛ Û Ø Ò ÒÝ ÖÓÛ ÓÖ ÓÐÙÑÒ µ ÝÑ ÓÐ ÓÙÖ k Ø Ñ Ò Ø ÖÖ Ý µ ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ ÓÒØ Ò Ü ØÐÝ k ÐÐ ÐÐ º Ì Ø Ò Ö Ò Ø ÓÒ Ó ÓÑÓ Ò ÓÙ Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ð ØÐÝ ÑÓÖ Ò Ö Ðº ÀÓÛ Ú Ö ÓÒ ÑÔØÝ ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ Ú Ò Ð Ø Ø Ö Û Ø ÓÙÖ ºµ Ï Ò Ø Ò Ò ÐÝ Û Ø Ö Ø k¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö k¹ôð ܺ Á Ø Ø Ò Û Ý Ø Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÓÑÔÐ Ø Ð Ù Ø Ð Ò ÒØÖ Ò ÐÐ Ò ØÓ ÔÖÓ Ù Ð Ø Ò ÕÙ Ö º Ì ÓÖ Ñ ½ º Á 1 < k < n Ò k > 1 4n Ø Ò Ø Ö Ü Ø k¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û ÒÓØ ÓÑÔÐ Ø Ð º ÙÖØÓÒ Ò Ý Ò Ò À Ú Ø ½ Ò Ô Ò ÒØÐÝ ÓÒ ØÙÖ Ø Ø k 1 4n Ø Ò Ú ÖÝ k¹ôð Ü ÓÑÔÐ Ø Ð º ÁØ Ñ ÖØ Ò Ø Ø ÓÖ k Ù ÒØÐÝ Ñ ÐÐ Ö Ð Ø Ú ØÓ n Ú ÖÝ k¹ôð Ü ÓÑÔÐ Ø Ð º Ì ÐÖ Ý Ò ÔÖÓÚ Û Ò n 0 mod 16 Ò ½ º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ô ÖØ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ö ÙÐØ Ù ØÓ ÙÖØÓÒ Ð Ó Ñ Ö Ð Ú Òغ

ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö ½ Ì ÓÖ Ñ ½ º ÓÖ k 1 4n Ú ÖÝ k¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÒØ Ò Ò (k + 1)¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö nº º ÓÚ Ö Ò Ö ÓÖ Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÒÓÚ Ð ÔÔÖÓ ØÓ ÓÒ ØÙÖ 1 Ò ÓÒ ØÙÖ 2 Ö ÒØÐÝ Ò ÓÔ Ò ÙÔ Ý Ò Ö Ã Þ Ý Ò ÀÙÒØ Ö ËÒ Ú Ðݺ ÌÓ ÜÔÐ Ò Ø ÒØ Ö Ø Ò Ò Û ÔÔÖÓ Û Ò ØÓ ÒØÖÓ Ù ÓÑ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ýº ÓÒ Ö Ø ÝÑÑ ØÖ ÖÓÙÔ S n Ñ ØÖ Ô ÕÙ ÔÔ Û Ø À ѹ Ñ Ò Ø Ò º Ì Ø Ø Ø Ò ØÛ Ò ØÛÓ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ g,h S n Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ Ø Û Ø Ý Ö n Ñ ÒÙ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ü ÔÓ ÒØ Ó gh 1 µº Ä Ø P Ù Ø Ó S n º Ì ÓÚ Ö Ò Ö Ù cr(p) Ó P Ø Ñ ÐÐ Ø r Ù Ø Ø Ø ÐÐ Ó Ö Ù r Û Ø ÒØÖ Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ó P ÓÚ Ö Ø Û ÓÐ Ó S n º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ú ÖÝ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ø Ò r Ó ÓÑ Ñ Ñ Ö Ó P Ò r Ó Ò ØÓ Ñ Ò Ñ Ð Û Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØݺ Ì ÓÖ Ñ ½ º Ä Ø P S n Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ º Á P n/2 Ø Ò cr(p) = nº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ö Ü Ø P Û Ø P = n/2 + 1 Ò cr(p) < nº Ì Ö ÙÐØ Ö Ò Ó Ú ÓÙ ÕÙ Ø ÓÒº Ú Ò n Ò s Û Ø Ø Ñ ÐÐ Ø m Ù Ø Ø Ø Ö Ø S Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Û Ø S = m Ò cr(s) n s Ï Ð Ø f(n,s) ÒÓØ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ú ÐÙ mº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Ó ÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ö Ô ¹Ø ÓÖ Ø Ð Ò Ù º Ò Ø Ö Ô G n,s ÓÒ Ø Ú ÖØ Ü Ø S n Û Ø ØÛÓ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ø Ý Ö Ò Ø Ð Ø s ÔÐ º ÆÓÛ Ø Þ Ó Ø Ñ ÐÐ Ø ÓÑ Ò Ø Ò Ø Ò G n,s f(n,s)º Ì ÓÖ Ñ ½ ÓÛ Ø Ø f(n,1) = n/2 + 1º Ë Ò ÒÝ ØÛÓ Ø ÒØ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ú Ø Ò Ø Ð Ø 2 Û Ø Ø f(n,n 1) = n! ÓÖ n 2º ÅÓÖ ÓÚ Ö f(n,s) ÑÓÒÓØÓÒ ÒÖ Ò ÙÒØ ÓÒ Ó s Ý Ò Ø ÓÒµº Ì Ò ÜØ ØÓ ÓÒ Ö f(n,2)º Ã Þ Ý Ò ËÒ Ú ÐÝ Ñ Ø Óй ÐÓÛ Ò ÓÒ ØÙÖ Ò ÙÒÔÙ Ð ÒÓØ º ÓÒ ØÙÖ º Á n Ú Ò Ø Ò f(n,2) = n n Ó Ø Ò f(n,2) > nº Ì Ã Þ Ý ËÒ Ú ÐÝ ÓÒ ØÙÖ Ú Ö Ð ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð º Ì ÖÓÛ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÖÑ ÖÔÐÝ ØÖ Ò Ø Ú Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ø Ø Ü ØÐÝ ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÖÖ i ØÓ j ÓÖ ÒÝ i Ò jµ Ò Ú ÖÝ ÖÔÐÝ ØÖ Ò Ø Ú Ø Ø Ø Ó ÖÓÛ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö º

½ Áº ź Ï ÒÐ Ì ÓÖ Ñ ¾¼º Ä Ø S ÖÔÐÝ ØÖ Ò Ø Ú Ù Ø Ó S n º Ì Ò S ÓÚ Ö Ò Ö Ù Ø ÑÓ Ø n 1 Û Ø ÕÙ Ð ØÝ Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö ØÖ Ò Ú Ö Ðº ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º Á Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û Ø ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø Ò f(n,2) nº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÓÐ ÓÖ n Ú Òº À Ò ÓÒ ØÙÖ 7 ÑÔÐ ÓÒ ØÙÖ 1 Ã Þ Ý Ò ËÒ Ú ÐÝ Ó ¹ ÖÚ º ÁÒ Ø ØÖÓÒ Ö Ö ÙÐØ ÓÐ Ì ÓÖ Ñ ¾½º Á S Ø Ø Ó ÖÓÛ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö L Ó ÓÖ Ö n Û Ø ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø Ò S ÓÚ Ö Ò Ö Ù n 2º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ Ù ØÓ Ã Þ Ý Ò ËÒ Ú Ðݺ Ë ÓÖ ÔÖÓÓ º Ì ÓÖ Ñ ¾¾º ÓÒ ØÙÖ 7 ÑÔÐ ÓÒ ØÙÖ 2º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ØÓ ÓÐÚ Ø ÐÓÒ Ø Ò Ò ÊÝ Ö Ò ÖÙ Ð ÓÒ ØÙÖ Ø Ñ Ý Ù ØÓ Ò Û Ö Ø ÀÓÛ Ñ ÐÐ Ò Û Ñ Ù Ø S S n Û Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø Ú ÖÝ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò S n Ö Û Ø ÓÑ Ñ Ñ Ö Ó S Ò Ø Ð Ø ØÛÓ ÔÐ ÁÒ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾ Û Ù Ð Ø Ò ÕÙ Ö ØÓ Ò Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ f(n,2) Û Ò n Ú Òº ÓÖ Ó n Û Ò Ð Ó Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ð Ø Ò ÕÙ Ö º Ì ØÓ ÓÓ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û Ø Û ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÖ Û Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ú Ô ÖØ ÙÐ Ö ØÖÙØÙÖ Ò Ñ ÐÐ Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ñ Ø Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð ØÛ º ÓÖ n = 5,7,9 Û ÒÓÛ Ú Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÓÖ Û Ò Ð ÜØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ù ÓÛ Ò Ø Ø f(n,2) n + 1 Ò Ø º 1 2 3 4 5 2 1 4 5 3 3 5 1 2 4 4 3 5 1 2 5 4 2 3 1 1 3 4 2 5 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 4 7 6 3 1 2 6 7 4 5 4 5 6 7 1 2 3 5 4 7 1 6 3 2 6 7 4 2 3 5 1 7 6 5 3 2 1 4 3 2 1 7 6 5 4 ÁÒ Ò Ö Ð Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ º f(n,2) 4 3n + O(1) ÓÖ ÐÐ nº 1 3 2 4 6 5 7 9 8 2 1 3 5 4 6 8 7 9 3 2 1 7 9 8 4 6 5 4 6 5 9 8 7 1 3 2 5 4 6 8 7 9 3 2 1 6 5 4 2 1 3 9 8 7 7 9 8 1 3 2 5 4 6 8 7 9 3 2 1 6 5 4 9 8 7 6 5 4 2 1 3 5 4 6 1 3 2 9 8 7 Ì Ö Ö ÒÓÙÖ ØÓ ÓÙØ Ò Ø ÙÖÚ Ý Ý ÉÙ ØÓÖ ÓÖ ÑÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÚ Ö Ò Ö ÓÖ Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ º

ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö ½ º ÓÒÐÙ Ò Ê Ñ Ö Ï Ú ÓÒÐÝ Ò Ð ØÓ Ú Ø Ö Ø Ó ÓÚ ÖÚ Û Ó Ø Ò Ø Ò Ù Ø Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ø ÙÖÚ Ýº ËÔ ÓÒ ØÖ ÒØ Ú ÓÖ Ø ÓÑ ÓÒ Ó ÑÙ ÛÓÖØ Ý Ñ Ø Ö Ð ÒÐÙ Ò ÔÖÓÓ Ó Ø Ø ÓÖ Ñ ÕÙÓØ º ÀÓÛ Ú Ö Ú Ò Ø Ö Ñ ÖÓ Ø ÙÖ ÓÛÒ Ø Ø Ñ ÒÝ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò ÙÒ Ò Û Ö Ò ÑÙ ÛÓÖ Ö Ñ Ò ØÓ ÓÒ º Ê Ö Ò ½ ʺ º Ð Ý ÇÖØ Ó ÓÒ Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÖÖ Ø Ö ÔÖ Òص º Ó ÖÝÔØÓ Öº ½ µ º ¾ ú Ð Ù Ö Ñ Ò Ò ÇÒ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔк ½ ½ ½ ¼µ ½¾ ½¾ º º ÓÖ Ò Êº ź Ï Ø Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ø ÝÐ Ý Ø Ð Ó Ø ÒÓÒ¹ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö 8 Ö Ø Å Ø º ½»½ ½ µ ½º º º ÖÓÙÛ Ö º º ÎÖ Ò Êº ź º Ï Ö Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø Ð Ò Ø Ó Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Æ ÙÛ Ö º Ï º µ ¾ ½ µ ¼ ¾º º Ϻ ÖÓÛÒ Ò º ̺ È Ö Ö ÅÓÖ ÓÒ ÓÖ Ö 10 ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö Ö ÓÑ Òº ½ µ ½¾ ½¾ º º ÖÝ ÒØ Âº Ò º ź Å Ò ÙØ Ò Áº ź Ï ÒÐ ÁÒ Ú Ð ÔÐ Ü Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÔÖ ÔÖ Òغ º ÙÖØÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÓÒÓÙÖ Ø ÍÒ Ú Ö¹ ØÝ Ó ÉÙ Ò Ð Ò ½ º Ⱥ º Ñ ÖÓÒ Ò Áº ź Ï ÒÐ ÓÚ Ö Ò Ö Ù ÓÖ Ø Ó Ô ÖÑÙØ ¹ Ø ÓÒ Ö Ø Å Ø º ¾ ¾¼¼ µ ½ ½¼ º º º ÓÐ ÓÙÖÒ Ò Âº Àº Ò ØÞ µ Ì Ê Ò ÓÓ Ó ÓÑ Ò ¹ ØÓÖ Ð Ò Ê ÈÖ Ó Ê ØÓÒ Ä ½ º ½¼ º ÓÓÔ Ö ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÓ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ø Ê ÓÖ Ò ËØÓÖ Ò ÈÖÓ Ò Æ Øº º Ë º Í Ö Ò µ ¾º ¾¼¼¼µ ½ ¾ º ½½ º ÓÓÔ Ö Êº Ð Ö Ø Áº ÃÓÚ Ð Ò Ó º ÆÓÚ ÓÚ Ö Ú Ò Ø ÒÙѹ Ö Ó ÓÓ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Û Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ÖÝÔØÓ Ö Ô Ý Ý ÖÒ Øº ËÝ Ø Ñ Ò Ðº ¾¼¼¼µ ½¼ ½ º

¾¼ Áº ź Ï ÒÐ ½¾ º ÓÓÔ Ö Ò Áº ź ÃÓÚ Ð Ò Ó Ì ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ì ÓÖÝ ÈÖÓ º Å Ø º ËØ Ø Øº ½ µ º ½ º ÐÐ ÎÓÐØ Ò Æº Ú ÓÐ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ò ÓÑ Ð Ò Ö Ò ÔÖÓ Ø Ú ÖÓÙÔ Ö º Å Ø º е ½ ½ µ ½½½ ½½ º ½ º º Ý Ò Ò Êº À Ú Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ô Ö Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ö Ô Ø ÓÖÝ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ ½¾ ½ ¾ Ñ ÈÖ ÄÓÒ ÓÒ ½ º ½ º Ò Ò º º Ã Û ÐÐ Ä Ø Ò ÕÙ Ö Ò Ø Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ñ Ã Ù Ô Ø ½ º ½ º Ò Ò º º Ã Û ÐÐ Ä Ø Ò ÕÙ Ö Æ Û Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ò Ø Ø ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ÒÒº Ö Ø Å Ø º ÆÓÖØ ¹ÀÓÐÐ Ò Ñ¹ Ø Ö Ñ ½ ½º ½ º Ò Ò º º Ã Û ÐÐ Ò Û ÓÒ ØÙÖ ÓÒ ÖÒ Ò Ñ Ð ØÝ Ó ÖÓÙÔ ÙÖÓÔ Ò Âº ÓÑ Òº ½¼ ½ µ ½ ½ ½ º ½ Áº Áº Ö Ò Ó ÇÒ ÓÒ ØÙÖ Ó ÖÙ Ð Ò ÊÙ Òµ Šغ Á Ð º ÆÓº ½¼¾ Á Ð º ÇÔ Öº ÃÚ Þ ÖÙÔÔ ½ µ ½½ º ½ º º Ö Å Ü Ñ Ð Ø Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Âº ËØ Ø Øº ÈÐ ÒÒº ÁÒ Ö Ò ½ ½ µ ½ ½ º ¾¼ º Ò Ò Áº ź Ï ÒÐ Ä Ø Ò ÕÙ Ö Û Ø ÒÓ Ñ ÐÐ Ó ÔÐ Ü ÔÖ ÔÖ Òغ ¾½ Ⱥ Ö Âº ËÔ Ò Ö ÄÓÔ ÄÓÚ Þ ÐÓ Ð Ð ÑÑ Ò Ð Ø Ò ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð Ö Ø ÔÔк Å Ø º ¼ ½ ½µ ½ ½ ½ º ¾¾ º º Ú Ò Ì Ü Ø Ò Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ó Ò Ø ÖÓÙÔ ÓÒ Öº ÆÙÑ Öº ¼ ½ ¾µ º ¾ º º Ú Ò Ì Ü Ø Ò Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ó SL(2,q) q 3 ÑÓ ÙÐÓ Ò Ø Ð ÔÔк ½½ ¾¼¼ µ ½ ½ ½ º ¾ º º Ú Ò Ä Ø Ò ÕÙ Ö Û Ø ÓÙØ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø º Ó ÖÝÔ¹ ØÓ º ¼ ¾¼¼ µ ½¾½ ½ ¼º ¾ º º ÒÒ Ý ËÓÑ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø 4 4 Ò 6 6 Ð Ø Ò ÕÙ Ö º ÒÒº Ù Ò ½¾ ½ µ ¾½ ¾½ º ¾ Àº Ù Ò Ëº Ä Ò Ì Ð Ò Ø Ó Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Âº ÓÑ Òº Å Ø º ÓÑ Òº ÓÑÔÙغ ¾¼¼¾µ º ¾ º º ÐÐ Ð Ò ÒÓØ ÓÒ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò ÓÑ Û Ðй ÒÓÛÒ ØÖÙØÙÖ Ò Ò Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÒÒº ËØ Ø Øº ½ µ ¼º ¾ ź À ÐÐ Ò Äº º È ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ó Ò Ø ÖÓÙÔ È Âº Å Ø º ½ µ ½ º

ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö ¾½ ¾ Ⱥ À Ø Ñ Ò Èº Ϻ Ë ÓÖ ÖÖ ØÙÑ ØÓ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø Ð Ò Ø Ó Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Âº ÓÑ Òº Ì ÓÖÝ Ë Öº ØÓ ÔÔ Öº ¼ º À Ò º º À Ù Ò º Ⱥ Ë ÇÒ Ø Ö Ò Ó ÓÙÒØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò º Å Ø º ¾ ¾¼¼ µ ½¼¼º ½ º À Ò º Ë Ò º Ò Ì ÝÐ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò ÓÙÒع Ò ÔÖÓ Ð Ñ È ÈË ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÖ ÌÈ ÛÓÖ ÓÔ Ò ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Û Ø ¹½ Ò ÄÓ ¾¼¼¾ ÓÔ Ò Ò ¾¼¼¾µº ¾ ĺ ÀÙ Ò º Ä ÓÐÓÖ Ö ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ö Ø ÖÓ ÖÓÑ Ø Ñ Ø Ò Ò ¹ÓÐÓÖ Ô ÖØ Ø Ö Ô ØØÔ»» ÖÜ ÚºÓÖ»»Ñ Ø º Ç»¼ ¼ º º ź ÂÓ Ò ÓÒ º ĺ ÙÐÑ Ò Æº ˺ Å Ò Ð Ó Ò ÇÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ Ó ÖÓÙÔ Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Á Ò º º Å Ø º ½ ½ ½µ ¾º ʺ à ÐÐ ÖÓÚ º ÊÓ ÖØ Êº ËØ ÖÒ Ð Êº Ì Ñ Þ Êº Ö Ý Ò º Ã Ð Ä Ø Ò ÕÙ Ö Ò ÓØ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ Öº ÆÙÑ Öº ½½ ½ µ ½ ½ ½ º ú ú ÃÓ Ñ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÓÖ Ö Ó Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Âº ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ì ÓÖÝ ½ µ º Áº ƺ ÃÓÚ Ð Ò Ó ÍÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ Ô Ý¹ ÖÒ Øº ËÝ Ø Ñ Ò Ðº ¾ ½ µ º º Ä ÝÛ Ò Ò º ĺ ÅÙÐÐ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ù Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ï Ð Ý Æ Û ÓÖ ½ º º ź Å Ò ÙØ Ò Áº ź Ï ÒÐ ØÓÑ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö Ð Ú Ò Âº ÓÑ Òº º ½¾ ¾¼¼ µ ½¾ º º Å ÐÐ Ø ËÙÖ Ð ÖÖ Ð Ø Ò ³ ÙÐ Ö Óº Ö Òº Òº ¾ ½ µ ¾ ¾ ¾º ¼ Àº º Å ÒÒ Ì ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÒÒº Å Ø º ËØ Ø Ø ½ ½ ¾µ ½ ¾ º ½ º º ÅÃ Ý º Å ÝÒ ÖØ Ò Ïº ÅÝÖÚÓÐ ËÑ ÐÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÕÙ ¹ ÖÓÙÔ Ò ÐÓÓÔ Âº ÓÑ Òº º ½ ¾¼¼ µ ½½ º ¾ º º ÅÃ Ý Âº º ÅÄ Ó Ò Áº ź Ï ÒÐ Ì ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö º Ó ÖÝÔØÓ Öº ¼ ¾¼¼ µ ¾ ¾ º ĺ º È ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ó Ò Ø ÖÓÙÔ È Âº Å Ø º ½ ½ ½µ ½½½ ½½ º

¾¾ Áº ź Ï ÒРº ÉÙ ØÓÖ ÙÖÚ Ý ÓÒ Ô Ò Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø À ѹ Ñ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ËÔ Ð ØÖÓÒº º ÓÑ Òº ½ ¾¼¼ µ ½º Áº Ê Ú Ò Áº Î Ö Ò Èº ÑÑ ÖÑ Ò Ì n¹éù Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Öº Å Ø º ÅÓÒØ ÐÝ ½¼½ ½ µ ¾ º Àº º ÊÝ Ö Æ Ù Ö ÈÖÓ Ð Ñ Ö ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÎÓÖØÖ Ö ÃÓѹ Ò ØÓÖ Ç ÖÛÓÐ ¾ ¾ ÂÙÐ ½ µ ½º º Ⱥ Ë È ÖØ Ø ÓÒ ØÖ Ø ÓÖ #ȹÓÑÔÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ ØÓ ÒÙÑ Ö Ø Ú ÓÑ Ò ØÓÖ È Ø Æ Ø ÓÒ Ð Ì Û Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ ¾¼¼½º º Ⱥ Ë ÔÖ Ú Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ¾¼¼ µº º Ⱥ Ë Âº À Ò Ò º º À Ù ÇÒ Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó Ð Ò k¹óñôð Ø Ñ ÔÔ Ò ÓÒ Öº ÆÙÑ Öº ½ ¾¼¼¼µ º ¼ Ⱥ Ϻ Ë ÓÖ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø Ð Ò Ø Ó Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Âº ÓÑ Òº Ì ÓÖÝ Ë Öº ½ ¾µ ½ º ½ º º Ì ÓÑ Ò º κ ÏÓÓ ÖÓÙÔ Ø Ð Ë Ú Å Ø Ñ Ø Ë Ö ¾ Ë Ú ÈÙ Ð Ò Æ ÒØÛ ½ ¼º ¾ Áº Î Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ê Ö Ø ÓÒ Ò Å Ø Ñ Ø ÓÒ¹Ï Ð Ý Ê ÛÓÓ ØÝ ½ ½º ź Î Ù Ò¹Ä Ò Áº ź Ï ÒÐ Ä Ø Ò ÕÙ Ö Ò Ø À ÐÐ¹È ÓÒ ØÙÖ ÙÐк ÄÓÒ ÓÒ Å Ø º ËÓº ¾¼¼ µ ½ º º Àº º Ú Ò Ê ËÙ ÕÙ Ö Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ö ÓÑ Òº ¾ ½ ¼µ ½ ¾¼ º Áº ź Ï ÒÐ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÖ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ð ¹ ØÖÓÒº º ÓÑ Òº ½µ ¾¼¼¾µ ʽ¾º Áº ź Ï ÒÐ ÓÒ ÐÐÝ ÝÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÙÖÓÔ Ò Âº ÓÑ Òº ¾ ¾¼¼ µ ½ º Áº ź Ï ÒÐ Ò º ˺ Ï Ì Ü Ø Ò Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û Ø ÓÙØ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø º Ó ÖÝÔØÓ º ¼ ¾¼¼ µ ½ ½ ½ º ˺ Ï ÐÓÜ Ê ÙØ ÓÒ Ó Ø À ÐÐ¹È ÓÒ ØÙÖ ØÓ ÔÓÖ ÑÔÐ ÖÓÙÔ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º ÖÚ Ö º Ù» Ø Û ÖØÛ» ÐÐÔ ¾ºÔ º º ÏÓÓÐ Ö Ø Ò n n Ð Ø Ò ÕÙ Ö ØÖ Ò Ú Ö Ð Û Ø Ø Ð Ø n n Ø ÒØ ÝÑ ÓРº ÓÑ Òº Ì ÓÖÝ Ë Öº ¾ ½ µ ¾ ¾ º Ë ÓÓÐ Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ÅÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Î ¼¼ Ù ØÖ Ð ¹Ñ Ð ÒºÛ ÒÐ ºÑÓÒ º Ùº Ù