Analysis of TTL-based Cache Networks Nicaise Choungmo Fofack, Philippe Nain, Giovanni Neglia, Don Towsley To cite this version: Nicaise Choungmo Fofack, Philippe Nain, Giovanni Neglia, Don Towsley. Analysis of TTLbased Cache Networks. [Research Report] RR-7883, 212. <hal-676735> HAL Id: hal-676735 https://hal.inria.fr/hal-676735 Submitted on 6 Mar 212 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Analysis of TTL-based Cache Networks Nicaise Choungmo Fofack, Philippe Nain, Giovanni Neglia, Don Towsley RESEARCH REPORT N 7883 March 212 Project-Team MAESTRO ISSN 249-6399 ISRN INRIA/RR--7883--FR+ENG
Ò ÐÝ Ó ÌÌĹ Æ ØÛÓÖ Æ ÓÙÒ ÑÓ Ó È Ð ÔÔ Æ Ò ÓÚ ÒÒ Æ Ð ÓÒ ÌÓÛ Ð Ý ÈÖÓ Ø¹Ì Ñ Å ËÌÊÇ Ê Ö Ê ÔÓÖØ Ò Å Ö ¾¼½¾ ¾ Ô ØÖ Ø Ì Ô Ô Ö ÔÖÓÚ Ù Ð Ò ÐÓ ÓÖ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó ÓÒØ ÒØ ÒØÖ ¹ Ð Æ ØÛÓÖ Æ µº ÁÒ Æ Ö Ú Ö ÕÙ Ø ÓÖ ÓÒØ ÒØ Ø Ó ÒÓØ ØÓÖ Ñ µ Ø ÓÖÛ Ö Ø Ö ÕÙ Ø ØÓ Ö¹Ð Ú Ð ÒÝ ÓÖ ØÓ Ø ÖÚ Öº Ï Ò ÐÓ Ø Ø ÓÙÑ ÒØ ÖÓÙØ ÓÒ Ø Ö Ú Ö ¹Ô Ø Ò ÓÔÝ ÔÐ Ò ÐÓÒ Ø Ô Ø º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÓÒ Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÔÓÐ Ý ÓÒ Ì Ñ ¹ØÓ¹Ä Ú ÌÌÄ µ Ð Ò ÆË Ò ØÛÓÖ º ÐÓ Ð ÌÌÄ Ø Û Ò Ø ÓÒØ ÒØ Ö Ø ØÓÖ Ø Ø Ò Ö Ò Û Ú ÖÝ Ø Ñ Ø Ò Ø Ý Ö ÕÙ Ø ÓÖ Ø ÓÒØ ÒØ Ø Øµº Ì ÓÒØ ÒØ Ö ÑÓÚ Û Ò Ø ÌÌÄ ÜÔ Ö º ÍÒ Ö Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ö ÕÙ Ø ÓÐÐÓÛ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Ò Ø ÌÌÄ Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Û Ø ÖÑ Ò Ü Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ñ ØÖ Ó ÒØ Ö Ø Ú Ö ÓÙÔ ÒÝ Ø Ò Ñ ÔÖÓ Ð Ø»Ö Ø µ ÓÖ ÓÑ Ô Ö Ø ØÙÖ Ð Ò Ö Ò ØÛÓÖ Ò ØÖ Ò ØÛÓÖ Û Ø ÓÒ ÖÓÓØ ÒÓ Ò N Ð ÒÓ µº ÓÖ ÑÓÖ Ò Ö Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ò Ö Ð ÌÌÄ ØÖ ÙØ ÓÒ Û ÔÖÓÔÓ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒº ÆÙÑ Ö Ð Ö ÙÐØ ÓÛ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ ÙÖ Ø Û Ø Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò 1 3 Ò 1 2 Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÓÖ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÌÌÄ º à ݹÛÓÖ Ö Ø ØÙÖ ÓÒØ Òع ÒØÖ Ò ØÛÓÖ Ø Ñ Ö Å Ö ÓÚ ÑÓ Ð Ö Ò Û Ð Ø ÓÖݺ Ñ Ð ßÒ º ÓÙÒ ÑÓ Ó Ô Ð ÔÔ ºÒ Ò ÓÚ ÒÒ ºÒ Ð Ð ÒÖ º Öº ÈÓ Ø Ð Ö ÁÆÊÁ ºÈº ¼ ¼¾ ËÓÔ ÒØ ÔÓÐ Ü Ö Ò º Ì ÙØ ÓÖ Û ÙÔÔÓÖØ Ò Ô ÖØ Ý ÇÖ Ò Ä ÙÒ Ö Ö ÒØ Ê Æ ÒÙÑ Ö º Ñ Ð ØÓÛ Ð Ý ºÙÑ º Ùº ÈÓ Ø Ð Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å ¹ Ù ØØ Ñ Ö Ø Å ¼½¼¼¾ ÍË º Ì ÙØ ÓÖ Û ÙÔÔÓÖØ Ò Ô ÖØ Ý ÁÒÖ Ò Ý ÆË ÙÒ Ö Ö ÒØ Æ˹½¼ ¼ ½º RESEARCH CENTRE SOPHIA ANTIPOLIS MÉDITERRANÉE 24 route des Lucioles - BP 93 692 Sophia Antipolis Cedex
Ò ÐÝ Ö ÙÜ ÌÌÄ Ê ÙÑ Ø ÖØ Ð Ú ÐÓÔÔ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ Ð³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö ÙÜ ÓÖ ÒØ ÓÒØ ÒÙ º Ò Ö ÙÜ ÐÓÖ ÕÙ³ÙÒ Ò Ù ÓÙ Ö Ó Ø ÙÒ Ö ÕÙ Ø ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÒØ ÒÙ ÕÙ³ Ð Ò ÔÓ Ô Ð Ð ØÖ Ò Ñ Ø ÙÒ ÓÙ ÔÐÙ ÙÖ Ò Ú Ù ÙÔ Ö ÙÖº ÍÒ Ó Ð ÓÒØ ÒÙ ÐÓ Ð Ð Ø ÒÚÓÝ Ø ØÓ ØÓÙ Ð ÕÙ ÓÒØ Ö Ù Ð Ö ÕÙ Ø Ò ÕÙ³ гÙØ Ð Ø ÙÖº Ò Ø ÖØ Ð ÒÓÙ ÒÓÙ ÒØ Ö ÓÒ ÙÒ ÔÓÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ ÙØ Ð Ø ÑÔÓÖ Ø ÙÖ ÌÌÄ ÔÓÙÖ Ì Ñ ¹ØÓ¹Ä Ú µº ÕÙ ÖÖ Ú ³ÙÒ ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÒ ÙÒ Ø ÑÔÓÖ Ø ÙÖ Ø Ð Ò º ÕÙ ÒÓÙÚ ÐÐ Ö ÕÙ Ø ÔÓÙÖ ÓÒØ ÒÙ Ö Ò Ö Ð Ø ÑÔÓÖ Ø ÙÖº ÕÙ³ÙÒ Ø ÑÔÓÖ Ø ÙÖ ÜÔ Ö Ð ÓÒØ ÒÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ø Ù º ÆÓÙ ÐÙÐÓÒ Ñ Ò Ö Ü Ø Ö ÒØ Ñ ÙÖ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÓÙÔ Ø ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ ÔÖÓ Ð Ø Ø Ø ÙÜ Ù µ ÔÓÙÖ Ö Ø ØÙÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ö Ù Ð Ò Ö Ö Ù Ö ÓÖ ÒØ ÓÑÔÓ ³ÙÒ Ö Ò Ø N Ù ÐÐ µ Ò Ð Ó Ð Ö ÕÙ Ø Ù Ú ÙÜ Ù ÐÐ ÓÖÑ ÒØ ÔÖÓ Ù Ö ÒÓÙÚ ÐÐ Ñ ÒØ Ø Ó Ð Ø ÑÔÓÖ Ø ÙÖ ÓÒØ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ØÖ Ù º ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÖ ÔÖ ÖÖ ÙÖ Ö Ð Ø Ú Ð³ÓÖ Ö 1 2 µ ÓÒØ ÔÖÓÔÓ ÔÓÙÖ Ö Ø ØÙÖ ÔÐÙ Ò Ö Ð Ø»ÓÙ ØÖ ÙØ ÓÒ Ö ØÖ Ö ÌÌĺ ÅÓØ ¹Ð Ö Ø ØÙÖ Ö Ù ÓÖ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ø ÑÔÓÖ Ø ÙÖ ÑÓ Ð Å Ö ÓÚ Ø ÓÖ Ù Ö ÒÓÙÚ ÐÐ Ñ Òغ
Ò ÐÝ ÌÌĹ Æ ØÛÓÖ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö Û ÐÝ Ù Ò Ò ØÛÓÖ Ò ØÖ ÙØ Ý Ø Ñ ÓÖ ÑÔÖÓÚ Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò º Ì Ý Ö ÒØ Ö Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ï ÆË ½ Ò ÓÒØ ÒØ ØÖ ÙØ ÓÒ Æ ØÛÓÖ Æ µ ¾ º ÅÓÖ Ö ÒØÐÝ Ø Ö Ò ÖÓÛ Ò ÑÔ ÓÒ ÓÒØ ÒØ Ò ØÛÓÖ Û Ö ÓÒØ ÒØ Ö Ð Ò Ó Ø¹ØÓ¹ÓÒØ ÒØ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÑÑÓÒ ¾¾ º Å ÒÝ Ó Ø Ý Ø Ñ Ú Ö ØÓ Ö Ö Ð ØÖ µ ØÓÔÓÐÓ Ò ØÓ Ú Ò ÑÓÖ Ò Ö Ð ÖÖ ÙÐ Ö ØÓÔÓÐÓ º Ì Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ý Ø Ñ ÔÓ Ò ÒØ ÐÐ Ò º Ò ÙÒ ÒØ Ð Ø Ö ØÙÖ Ü Ø ÓÒ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò º º Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ö Ó Øµ Ó Ò¹ Ð ÖÙÒÒ Ò Ø Ä Ø Ê ÒØÐÝ Í ÄÊ͵ Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÔÓÐ Ý ½ ÓÖ Ø ÓÑÔ Ò ÓÒ Ø ÅÓÚ ¹ØÓ¹ ÖÓÒØ ÅÌ µ ÔÓÐ Ý ¾¼ ½ ¾ ½ ½¼ ½½ ÓÖ Ö ÕÙ Ø Ò ½ ½¾ ÓÖ ÓÖÖ Ð Ø Ö ÕÙ Ø µº Ï Ø Û Ü ÔØ ÓÒ Ü Ø ÑÓ Ð Ó Ú Ò Ò Ð Ö ÓÑÔÙØ ¹ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÒØÖ Ø Ð Ö ÙÐØ Ò Ò Ø Ö Ð Ò ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ½½ º Æ ØÛÓÖ Ó Ö Ò ÒØÐÝ ÑÓÖ ÙÐØ ØÓ Ò ÐÝÞ Ò ÒÓ Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ó Ø Ò Ó Ö ÓÖ Ú Ò Ø ÑÔÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó ØÛÓ ÄÊÍ Ò Ö º Û ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ú Ò ÔÖÓÔÓ Ò Ø ÓÖ ÑÔÐ ØÛÓ¹Ð Ú Ð ÄÊÍ Ò ØÛÓÖ Ò Ò Ö Ð ÄÊÍ Ò ØÛÓÖ ¾½ ÓÛ Ú Ö Ø Ö ÙÖ Ò ÔÓÓÖ Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ ÙÔ ØÓ 16% Ö ÔÓÖØ Ò ¾½ µº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÓÙ ÓÒ Ð Ó Ö ÖÖ ØÓ Ì Ñ ¹ÌÓ¹Ä Ú ÌÌĵ º Ï Ò Ò ÙÒ Ø ÖÓÙ Ø ÒØÓ Ø Ù ØÓ Ñ ÌÌÄ Øº ÐÐ Ö ÕÙ Ø ØÓ Ø Ø Ø ÓÖ Ø ÜÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÌÌÄ Ö Ù ÙРص Ø Ö Ø Ö ÕÙ Ø ÓÖ Ø Ø Ø ØÓ ÖÖ Ú Ø Ö Ø ÌÌÄ ÜÔ Ö Ø ÓÒ Û ÐÐ Ý Ð Ñ º ÌÌĹ Ö ÒÓÛÒ ØÓ Ü Ø Ø Ö Ø Ò ÓÓ Ð Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ö Ù Ò ÆË ÓÖ Ø Ø Ö ÓÒº Ï Ú ÐÓÔ Ø Ó Ù Ð Ò ÐÓ ÓÖ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó Ö Ö Ð ÌÌÄ Ò ØÛÓÖ Û Ö ÌÌÄ Ö Ø Û Ø Ú ÖÝ Ö Õ٠غ Ì Ù Ð Ò ÐÓ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÑÓ Ð ÜÓ ÒÓÙ Ö ÕÙ Ø ØÓ Ö ÒØ ÒÓ Ò Ô Ò ÒØ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Ò ØÓ ÐÐÓÛ ÓÖ ÌÌÄ ÙÖ Ø ÓÒ ØÓ Ö Ý Ò Ö ØÖ ÖÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÐÓÒ Ø Ý Ö Ò Ô Ò ÒØ Ó ÓØ Öº Ì Ù Ð Ò ÐÓ ÓÒ Ø Ó Ö Ò Û Ð Ø ÓÖ Ø ÑÓ Ð Ó Ò Ð ÓÒØ ÒØ ÌÌÄ Û Ò Ý Ö Ò Û Ð Ö ÕÙ Ø ØÖ Ñ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ó Ò Ô Ò ÒØ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ º Ì Ö Ø ÐÓ ÓÖÑ Ø ÓÖ ÐÙÐ Ø Ò Ñ ØÖ Ù Ñ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ø Ò Ö Ø Û Ð Ø ÓÒ ÐÓ Ù ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ó ÜÓ ÒÓÙ Ö ÕÙ Ø Ò Ø Ó Ö ÙÐØ Ò ÖÓÑ Ñ Ø Ò ÙÔ ØÖ Ñ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ º Ï ÔÔÐÝ Ø ÐÓ ÔÖ Ñ Ö ÐÝ ØÓ Ø Ø Ø ÌÌÄ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ Ü¹ ÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ º ÙÖØ ÖÑÓÖ Û ÓÙ ÔÖ Ñ Ö ÐÝ ÓÒ Ð Ò Ö ÌÌÄ Ò ÛÓÖ ØÛÓ Ð Ú Ð ÌÌÄ ØÖ Ò ØÛÓÖ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓº ÁÒ ÓÑ ÓÙÖ Ö ÙÐØ Ö Ü Ø ÙØ Û Ò Ø Ý Ö ÒÓØ Ø Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ Ö ÜØÖ Ñ ÐÝ Ñ ÐÐ < 1 3 Ò Ø Ó ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ ÌÌÄ Ò < 1 2 Ò Ø Ó ÓÒ Ø ÒØ ÌÌÄ µº Ì Ù ÓÙÖ ÔÔÖÓ ÜØÖ Ñ ÐÝ ÔÖÓÑ Ò Ò Û Ð Ú Ô Ð Ó ÙÖ Ø ÐÝ ÑÓ Ð Ò Ö Ö Ð Ó Ò ØÛÓÖ ØÓÔÓÐÓ º Ä Ø ÐØ ÓÙ Ø ÔÔÖÓ ÔÔÐ ØÓ Ò Ð ÓÒØ ÒØ Û ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÛ Ø Ò Ù ØÓ ÓÔØ Ñ Þ ÑÙÐØ ¹ÓÒØ ÒØ Ò ØÛÓÖ º ÁÒ Ø Ð Ø Ö ØÙÖ Ø Ô Ô Ö ÐÓ Ö ØÓ ÓÙÖ ÔÔÖÓ ½ Û Ö Ø ÙØ ÓÖ ÓÒ Ö Ò Ð ÌÌĹ Ý Ö ÕÙ Ø ØÓ Ò Ð Ø º Ì Ý Ó Ø Ò Ø Ø Ö Ø ÓÖ ÓÒ Ø ÒØ ÌÌÄ ½ Ì Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÔÓÐ Ý Ø ÖÙÐ Ù ØÓ Ð Ø Ø Ø ØÓ Ø ÖÓÑ Ø º ÇØ Ö ÔÓÔÙÐ Ö ÔÓÐ Ö Ø ÅÓ Ø¹Ê ÒØÐÝ¹Í ÅÊ͵ Ò Ê Ò ÓÑ Ê ÑÔÐ Ñ ÒØ Êʵ ÅÊÍ ÑÓÖ Ø Ú Ø Ò ÄÊÍ ÓÖ ÝÐ Ô ØØ ÖÒ Ò ÊÊ Ù Ò ÊÁË Ö Ø ØÙÖ Ù ØÓ Ø ÑÔÐ Øݺ ÊÊ Ò
Æ ÓÙÒ ÑÓ Ó È Ð ÔÔ Æ Ò ÓÚ ÒÒ Æ Ð ÓÒ ÌÓÛ Ð Ý Ú Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ö Ò Û Ð¹Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ô Ø Ø ÒÖ Ò ÒØ Ö Ø Ò Æ ÔÖ Ú ÓÙ ÛÓÖ Ñ ÒÐÝ ÓÙ ÓÒ ÐÓ Ð Ö Ø ØÙÖ Òº ÔÖÓ ÐÝ Ø Ö Ø ØØ ÑÔØ ØÓ ÑÓ Ð Ø ØÖ Ò Ö Ò Æ º Ì ÙØ ÓÖ Ú ÐÓÔ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ø ÖÓÙ ÔÙØ Ò Ò ØÛÓÖ Ó ÄÊÍ Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ø ÒØ ÖÔÐ Ý ØÛ Ò Ö Ú Ö Ö Ú Ò ØÖ Ò ÔÓÖØ Ò Ô Ö¹ ÙÒ Ò º Ì Ô Ô Ö ÓÖ Ò Þ ÓÐÐÓÛ º Ï ÒØÖÓ Ù ÒÓØ Ø ÓÒ Ø ÑÓ Ð ÙÑÔØ ÓÒ Ò Ý Ö ÙÐØ ÖÓÑ ½ Ö Ö Ò ÓÛ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ñ Ö Ò Ð ÒØ Ö ÖÖ Ú Ð ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ó ÖÖ Ú Ð ØÖ Ñ ÑÓ Ð Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Ò Ë Ø ÓÒ ¾º Ë Ø ÓÒ ÓÒØ Ò ÓÙÖ Ö Ò Û Ð Ø ÓÖ Ø ÑÓ Ð ÐÓÒ Û Ø Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ÒÙÑ Ö Ó Ò ØÛÓÖ Û Ö Ø Ð ØÓ Ü Ø Ö ÙÐØ º Ë Ø ÓÒ Ö ÓÙÖ ÔÔÖÓ ØÓ ÑÓ Ð Ò Ø ÓÑ Ò ÜÓ ÒÓÙ»Ñ Ö ÕÙ Ø ØÖ Ñ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Ò Ø Ö ÙÐØ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ö Ö Ð Ó Ð Ò Ö Ò ØÖ Ò ØÛÓÖ º Ë Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÖØ ÓÒ Ø ÙÖ Ý Ó Ø ÑÓ Ð Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ó Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ º Ë Ø ÓÒ Ö ÔÓÖØ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÙÖ ÔÔÖÓ ØÓ ÓÒ ÙÖ Ò ÓÔØ Ñ Þ ÌÌÄ Ò ØÛÓÖ º ÓÒÐÙ ÓÒ Ö ÓÙÒ Ò Ë Ø ÓÒ º ¾ Ò Ø ÓÒ Ò ÙÑÔØ ÓÒ Ì ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ô Ô Ö Û ÓÙ ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ø Ò Ó ÌÌÄ ØÖ Ò ØÛÓÖ Û Ø Ò Ð Ø ÙÒ ÑÔÐÝ ÐÐ Ø Ø µº Ì Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø Û ÐÐ Ö Ý Ù Ò Ë Ø ÓÒ º ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Ø ÛÓÖ ÒÓ Ò Û ÐÐ Ù ÒØ Ö Ò Ðݺ Ð Ó Û ÐÐ ÐÛ Ý ÌÌÄ ÙÒÐ ÓØ ÖÛ Ô º Æ Û Ö ÕÙ Ø ÓÖ Ø Ø Ò Ò Ö Ø Ø ÒÝ ÒÓ Ó Ø Ò ØÛÓÖ ÓÖ Ò ØÓ ÑÙØÙ ÐÐÝ Ò Ô Ò ÒØ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Ø Ö ÕÙ Ø Ö Ö ÖÖ ØÓ ÜÓ ÒÓÙ Ö ÕÙ Ø ÓÖ ÖÖ Ú Ð º Ì Ø Ñ Ò Ø ÒØ Ø Û ÜÓ ÒÓÙ Ö ÕÙ Ø ÖÖ Ú ÐÐ Ø ÜÓ ÒÓÙ Ö ÕÙ Ø ÔÖÓ ÓÖ Ø ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ º Á ÙÔÓÒ Ø ÖÖ Ú Ð Ó Ò Û Ö ÕÙ Ø Ø Ø ÒÓØ ÔÖ ÒØ Ò Ø Ø Ö ÕÙ Ø Ò Ø ÒØ Ò ÓÙ ÐÝ ÓÖÛ Ö ØÓ Ø Ò ÜØ Ð Ú Ð Ó Ø ØÖ Ò Ø ÔÖÓ Ö Ô Ø Ø Ð ÙÒØ Ð Ø Ø ÓÙÒ º ÁÒ Ø Ø ÒÒÓØ ÓÙÒ ÐÓÒ Ø Ô Ø ØÓÛ Ö Ø ÖÓÓØ Ø ÖÓÓØ Ö ØÖ Ú Ø ÖÓÑ ÖÚ Öº ÇÒ Ø Ø ÓÙÒ Ø Ö Ø ÓÖ Ø ÖÚ Ö ÓÔÝ Ó Ø Ò Ø ÒØ Ò ÓÙ ÐÝ ØÖ Ò Ñ ØØ ØÓ ÐÓÒ Ø Ô Ø ØÛ Ò Ø Û Ö Ø Ø Û ÓÙÒ Ò Ø Ø Ø Ù Ø Ö Õ٠غ Ò Û ÌÌÄ Ø ÓÖ Ò Û ÓÔÝ Ó Ø Ø Ò Ò Û ÌÌÄ Ð Ó Ø Ø Ø ÒÝ Û Ö Ø Ø Û ÓÙÒ Ý ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ø ÌÌÄ Ø Ø ÖÚ Ö Ò Ò Ø µº Ì Ò ÓÒØÖ Ø Û Ø Ø ÑÓ Ð Ò ½ Û Ö Ø Ö ÒÓ ÌÌÄ Ö Ø ÙÔÓÒ Ø Ò Û ÌÌÄ Ø ÓÒÐÝ ÙÔÓÒ Ñ µº Ê ØØ Ò Ø ÌÌÄ Ð Ó Ø Ø ÒÖ Ø ÓÙÔ ÒÝ Ò Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ô ÐÐÝ ÓÖ ÔÓÔÙÐ Ö ÓÒØ ÒØ λµº Ì Ó ÑÓØ Ú Ø Ý Ø Æ Ô Ö Ñ Ó ÑÓÚ Ò ÔÓÔÙÐ Ö ÓÙÑ ÒØ ÐÓ ÔÓ Ð ØÓ Ø Ù Ö º Ï ÔÓ ÒØ ÓÙØ Ø Ø Ò Ø Ö ÔØ ÓÒ Ö ÕÙ Ø Ò Ø ÒØ Ò ÓÙ ÐÝ Ø Û Ø Ö Ø Ø ÓÙÒ ÐÓ ÐÐÝ Ø Ö ÑÓØ ÓÖ Ø ÖÚ Öº Ì ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ØÙ Ø ÓÒ Û Ö ØÖ Ò Ñ ÓÒ Ø Ñ Ö Ò Ð Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ö ÕÙ ÒÝ Ø Û Ø Ø Ö ÕÙ Ø º Ï Ó Ó Ò ÓÙÖ ÔÖ Ñ ÖÝ Ó Ø Ú ØÓ ÒÚ Ø Ø Ø ØÖ Ò Ö Ø Ò Ø Ò ØÛÓÖ Ò Ö ÔÓÒ ØÓ Ö ÕÙ Ø ÓÖ Ø Ø º Ï Ò Ø Ñ ÔÖÓ Ø Ø Ù Ú Ø Ñ Ò Ø ÒØ Ø Û Ñ ÓÙÖ Ø Ø Ò Ñ ÐÝ Ø Ø Ñ Ø Û Ø Ø Ö ÕÙ Ø Ò ÒÓØ ÓÙÒ Ò Ø º Ä Ø Ù ÒÓØ Ý C(n) Ø Ø Ó Ð Ö Ò Ó nº Ì ÓÚ Ö Ðе Ö ÕÙ Ø ÔÖÓ Ð Ó ÐÐ Ø ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ Ø n Ø ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÔÖÓ Ó Ò C(n) Ò Ó Ø ÜÓ ÒÓÙ Ö ÕÙ Ø ÔÖÓ Ø n Òݺ Ï ÙÑ Ø Ø Ù Ú ÌÌÄ Ø Ö ÖÚ Ø Ø ÌÌÄ Ø Ö ÒØ Ö ÑÙØÙ ÐÐÝ Ò Ô Ò ÒØ Ò Ø Ø ÐÐ ÌÌÄ Ö Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð º ÁÒÖ
Ò ÐÝ ÌÌĹ Æ ØÛÓÖ λ ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ò Ð µ 1/µ ÜÔ Ø ÌÌÄ Ò Ð µ F(t) ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð Ò Ð µ G(t) ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ Ò Ð µ T(t) ÌÌÄ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð µ λ n ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ø n Λ n ÇÚ Ö ÐÐ ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ø n Λ n,k ÇÚ Ö ÐÐ ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ø n ÓÖ ÓÒØ ÒØ k 1/µ n ÜÔ Ø ÌÌÄ Ø n F n (t) ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð Ø n H n (t) ÓÚ Ö ÐÐ ÖÖ Ú Ð Ø n H n,k (t) Ó ÓÚ Ö ÐÐ ÖÖ Ú Ð Ø n ÓÖ ÓÒØ ÒØ k G n (t) ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ Ø n T n (t) ÌÌÄ ÙÖ Ø ÓÒ Ø n h P,n, m P,n À Ø Ñ ÔÖÓ Ð ØÝ Ö Ôº Ø n h R,n, m R,n À Ø Ñ Ö Ø Ö Ôº Ø n π n ÇÙÔ ÒÝ Ó n Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÖÓ Ð ØÝ ÓÒØ ÒØ Ò nµ π n,k ÇÙÔ ÒÝ Ó n ÓÖ ÓÒØ ÒØ k q n Ú Ö Þ Ó n = π n Ò Ð ÓÒØ ÒØ Ò Ò ØÛÓÖ µ h P, m P À Ø Ñ ÔÖÓ Ð ØÝ Ö Ôº Ò Ð µ h R, m R À Ø Ñ Ö Ø Ö Ôº Ò Ð µ C(n) Ë Ø Ó Ð Ö Ò Ó n χ (s) ÄËÌ Ó χ(t) Ì Ð ½ ÐÓ ÖÝ Ó Ñ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ì ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ô Ô Ö h P,n Ö Ôº m P,n = 1 h P,n µ Ò h R,n Ö Ôº m R,n µ ÒÓØ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ø Ö Ôº Ñ µ ÔÖÓ Ð ØÝ Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ø Ö Ôº Ñ µ Ö Ø Ø n Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ï ÒÓØ Ý π n Ø Ø Ý¹ Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø Ø Ò n Ò Û ÐÐ Ø Ø ÓÙÔ ÒÝ Ó nº Á Λ n Ø ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ó Ö ÕÙ Ø Ø n Ø Ø Ö Ø Ú Ò Ý h R,n = Λ n h P,n Ò Ø Ñ Ö Ø Ý m R,n = Λ n (1 h P,n )º Ö ÙÐØ ÓÒ Û Ú ÐÙÐ Ø h P,n Ò Λ n Ð Ó Ø Ø»Ñ ÔÖÓ Ð ØÝ Ò Ø»Ñ Ö Ø Ø n Ö Ø ÖÑ Ò º ÓÖ ÒÝ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÖÚ X Û Ø ÙÑÙÐ Ø Ú ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ µ χ(t) = P(X < t) t µ χ (s) = E[e sx ] = e st dχ(t) s µ ÒÓØ Ø Ä ÔÐ ¹ËØ ÐØ ÌÖ Ò ÓÖÑ ÄË̵ Ò ˆχ(s) = e st χ(t)dt s > µ ÒÓØ Ø Ä ÔÐ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä̵ Ó χ(t)º Ì ÒØ ØÝ χ (s) = sˆχ(s), s >, ½µ Û ÐÐ ÜØ Ò Ú ÐÝ Ù Ø ÖÓÙ ÓÙغ ÓÖ ÒÝ ÒÙÑ Ö a [, 1] ā := 1 aº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö χ(t) χ(t) = 1 χ(t) Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÝ ÙÑÙÐ Ø Ú ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ µº Ø ÓÒ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ Û ÐÐ Ú Ò Û Ò ØÙ Ý Ò Ô Ò ØÛÓÖ º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ Ø Ò ÖÓÑ ½ ÓÖÑÙÐ º½µ Û ÐÐ Ö Ô Ø ÐÝ Ù Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ô Ô Ö º Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ì ÒÓØ Ý R(t) Ó Ø ÒØ Ö¹ Ú ÒØ Ø Ñ Ó Ø ÔÓ ÒØ ÔÖÓ Ö ÙÐØ Ò ÖÓÑ Ø ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ó K ÑÙØÙ ÐÐÝ Ò Ô Ò ÒØ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Ð Ð 1,...,K Ú Ò ÊÊ Ò
Æ ÓÙÒ ÑÓ Ó È Ð ÔÔ Æ Ò ÓÚ ÒÒ Æ Ð ÓÒ ÌÓÛ Ð Ý Ý R(t) = K k=1 α k K k=1 α k R k (t) K j=1,j k α j t R j (u)du, ¾µ Û Ø R k (t) Ò α k > Ø Ó Ø ÒØ Ö¹ Ú ÒØ Ø Ñ Ò Ø ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ó ÔÖÓ k Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ï Ó ÖÚ Ø Ø Ù ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÒÓØ Ò Ò Ö Ð Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Ø Ð º Ü Ø Ö ÙÐØ º½ Ë Ò Ð Û Ø Ö Ò Û Ð ÖÖ Ú Ð Ò Ò Ö Ð ÌÌÄ Ï ÓÒ Ö Ò Ð ÌÌÄ º Ê ÕÙ Ø ÖÖ Ú Ø Ø ÓÖ Ò ØÓ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ º Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ø Ö ÕÙ Ø ÖÖ Ú Ø Ø Ñ t = Ò Ò Ò ÑÔØÝ º Ï ÒÓØ Ý X Ò Ö ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ Û Ø F(t) = P(X < t) Ò Ò ØÝ f(t) = df/dtº Ï Ð Ó ÒÓØ Ý T Ò Ö ÌÌÄ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ø T(t) = P(T < t)º Ë Ò Ù Ú ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ Ò Ù Ú ÌÌÄ ÓÖÑ ØÛÓ Ò Ô Ò ÒØ Ö Ò Û Ð ÕÙ Ò Ò Ò Ñ ØÖ Ö Ò Û ÌÌÄ Ñ Ø Ñ Ö Ö Ò Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ó Ø Ø Ø Ó Ø º Ì ÑÔÐ Ø Ø Ñ Ø Ñ ÓÖÑ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Û Ø Ò Ö ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ ÒÓØ Ý Y Ò G(t) = P(Y < t)º Ì Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ö Ø Ò Ñ Ö Ø ÒÓØ Ý h P h R Ò m R Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ö Ú Ò Ý h P = P(X T) = F(t)dT(t), µ h R = λh P, m R = λ(1 h P ) µ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Û Ø λ := 1/E[X] Ø ÖÖ Ú Ð Ö Ø º Ì Ñ Ö Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú ÐÝ Ú Ò Ý m R = 1/E[Y ] Ò Ø Ø Ö Ø Ý h R = λ m R º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ Ú Ø ÓÙÔ ÒÝ π º º Ø Ø Ý¹ Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø ÓÒØ ÒØ Ò Ø µ ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ Ò ÌÌÄ ØÖ ÙØ ÓÒ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ ËØ Ø ÓÒ ÖÝ ÓÙÔ Òݵ [ ] X π := λe (1 T(t))dt. µ ÈÖÓÓ º Ä Ø V Ø Ø Ñ ÙÖ Ò Û Ø ÓÙÑ ÒØ Ò Ø ØÛ Ò ØÛÓ ÓÒ ÙØ Ú Ö ÕÙ Ø ÖÖ Ú Ð º Ï Ú π = E[V ]/E[X] = λe[v ] Ý Ö Ò Û Ð Ø ÓÖݺ Ä Ø Ù Ò E[V ]º Ò Ø Ò ÖÝ ÖÚ U(t) ØÓ ÓÒ Ø ÓÙÑ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ñ t Ò Þ ÖÓ ÓØ ÖÛ º Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ ÓÒ Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð [, X] ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ ØÛ Ò Ø Ö Ø Ò Ø ÓÒ Ö Õ٠غ Ï Ú [ ] [ X ] [ X ] X E[V ] = E U(t)dt = E X E[U(t) X]dt = E X (1 T(t))dt Û Ö Ø Ð Ø ÕÙ Ð ØÝ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ E[U(t) X] = E[U(t)] = P(U(t) = 1) = P(T > t)º ÁÒÖ
Ò ÐÝ ÌÌĹ Æ ØÛÓÖ Á ÌÌÄ Ö ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ Û Ø Ö Ø µ π = λ(1 F (µ)) µ µ ÖÓÑ µº Á ÖÖ Ú Ð Ö ÈÓ ÓÒ Û Ø Ö Ø λµ π = 1 T (λ)º Á ÖÖ Ú Ð Ö ÈÓ ÓÒ Ò ÌÌÄ Ö ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ Û Ø Ö Ø µ Ø Ò π = λ/(λ + µ)º ÆÓØ Ø Ø h P = π ÖÖ Ú Ð Ö ÈÓ ÓÒ Ø Ò ØÓ Ø È ËÌ ÔÖÓÔ ÖØݺ Ì ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÐÓÛ ÔÖÓÚ Û Ý ÓÖ ÐÙÐ Ø Ò G(t) Ø Ó Ø ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ ÕÙ ÒØ ØÝ Ø Ø Û Û ÐÐ Ò Ð Ø Ö ÓÒº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ º Ì Ó ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ Ø ÙÒ ÕÙ ÓÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ G(t) = t G(t x)(1 T(x))dF(x) + t T(x)dF(x). ÈÖÓÓ º Ä Ø X 1 Ö Ôº Y 1 T 1 µ ÒÓØ Ø Ö Ø ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ Ö Ôº Ö Ø ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ Ö Ø ÌÌĵ Ø Ö t = º Ë Ò Y 1 X 1 Ø Ú ÒØ {Y 1 < t} Ñ Ý ÓÒÐÝ ÓÙÖ X 1 < tº Ì Ö ÓÖ G(t) = P(Y 1 < t, X 1 < t, X 1 T 1 ) + P(Y 1 < t, T 1 < X 1 < t) = P(Y 1 < t, X 1 < t, X 1 T 1 ) + P(T 1 < X 1 < t) µ = P(Y 1 < t, X 1 < t, X 1 T 1 ) + t T(x)dF(x) Û Ö µ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø Ø Ø Ø Ø Ú ÒØ {Y 1 < t} ØÖÙ Û Ò T 1 < X 1 < tº ÁØ Ö Ñ Ò ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ P(Y 1 < t, X 1 < t, X 1 T 1 ) Ò µº Ý ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÓÒ X 1 Ò T 1 Û Ó Ø Ò P(Y 1 < t, X 1 < t, X 1 T 1 ) = = t x= t τ=x G(t x)df(x)dt(τ) G(t x)(1 T(x))dF(x), Û Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ð ØÝ Ù ØÓ Ø Ø Ø Ø Ø ÌÌÄ Ö Ò Û Ø Ö ÕÙ Ø Ò Ø Ò Y 1 X 1 ÓÒ Ø ÓÒ ØÓ X 1 T 1 Ø Ñ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Y 1 º ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ö Ö ØÛÓ ÓÐÙØ ÓÒ G 1 (t) Ò G 2 (t) Ø Ý Ò µº Ì Ò G 1 (t) G 2 (t) = t (G 1(t) G 2 (t))(1 T(x))dF(x)º Ý Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÓØ Ó Ø ÕÙ Ð ØÝ Ø ÔÔ Ö Ú ÒØ Ø Ø G 1(s) G 2(s) = Ò Ø Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÙÒ ÕÙ º Ò h(t) = f(t)t(t) Û Ö Û Ö ÐÐ Ø Ø f(t) Ø Ò ØÝ Ó F(t)º Ì Ò Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ÓØ Ó µ Ý Ð µ µ ½¼µ ÖÓÑ Û Û Ø Ò ÖÓÑ ½µ Ĝ(s) = (F ĥ(s) (s) ĥ(s))ĝ(s) + s Ĝ(s) = ĥ(s) s(1 F (s) + ĥ(s)) ½½µ G ĥ(s) (s) = ½¾µ 1 F (s) + ĥ(s). ÊÊ Ò
Æ ÓÙÒ ÑÓ Ó È Ð ÔÔ Æ Ò ÓÚ ÒÒ Æ Ð ÓÒ ÌÓÛ Ð Ý Á Ø ÌÌÄ ÓÒ Ø ÒØ ÕÙ Ð ØÓ T µ ÓÑ G(t) = t T G(t x)df(x) + (F(t) F(T))1(t > T) ½ µ Û Ø a b = min(a, b)º ÁÒ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ F(T)º Ï ÓÒÐÙ Ø Ø ÓÒ Ý Ü Ñ Ò Ò ØÛÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ü ÑÔÐ ½ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ ÌÌÄ ÓÖ T(t) = 1 e µt h P = F (µ) ÖÓÑ µ Û Ò ØÙÖÒ ÑÔÐ ÖÓÑ µ Ø Ø h R = λf (µ) Ò m R = λ(1 F (µ))º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ĥ(s) = F (s) F (s + µ) Ó Ø Ø ½¾µ ÓÑ G (s) = F (s) F (s + µ) 1 F. ½ µ (s + µ) Ì Ñ Ö Ø Ò Ð Ó Ó Ø Ò ÖÓÑ ½ µ m R = 1/E[Y ] = 1/dG (s)/ds s= = λ(1 F (µ)) ÓÒ Ö Ò Ø Ø df /ds s= = 1/λ Ò F () = 1º Ü ÑÔÐ ¾ ÈÓ ÓÒ ÖÖ Ú Ð ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ ÌÌÄ Ä Ø T(t) = 1 e µt ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÌÌÄ µ Ò F(t) = 1 e λt ÈÓ ÓÒ Ö ÕÙ Ø Û Ø ÖÖ Ú Ð Ö Ø λµº ÖÓÑ Õ º µ¹ µ Û Ò h P = F (µ) = λ/(λ + µ) h R = λ 2 /(λ + µ) Ò m R = λµ/(λ + µ)º Ì ÄËÌ Ó Y Ú Ò Ý Ù ½ µ Û Ø F (s) = λ/(s + λ)µ G (s) = λ λ + s µ µ + s ½ µ Û ÓÛ Ø Ø Ø ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ Ø ÙÑ Ó ØÛÓ Ò Ô Ò ÒØ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÖÚ Û Ø Ô Ö Ñ¹ Ø Ö λ Ò µ Û Ø { 1 G(t) = µe λt λe µt µ λ λ µ ½ µ 1 (1 + λt)e λt λ = µ. Ì Ö ÙÐØ ÒÓØ ÙÖÔÖ Ò Ò Ò Ø Ó ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÌÌÄ Ø ÕÙÚ Ð ÒØ ØÓ Ö Ò Ö Ø ÓÖ ÒÓØ Ø ÌÌÄ Ø Ø Ò Ø Ò Ø ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ ÕÙ Ð ØÓ Ø ÙÑ Ó ÌÌÄ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÖÚ Û Ø Ö Ø µµ Ò Ó Ø Ø Ñ ÙÒØ Ð Ø Ö Ø Ö ÕÙ Ø ÖÖ Ú Ð Ø Ö Ø ÜÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÌÌÄ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÖÚ Û Ø Ö Ø λµº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö m R = 1 E[Y ] = 1 = λµ dg (s) ds s= λ + µ = 1 E[T] + E[X]. ½ µ º¾ Ä Ò Ó Û Ø ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð Ø Ò Ð Ò ÜÔÓ¹ Ò ÒØ Ð ÌÌÄ ÓÒ Ö Ø Ð Ò Ò ØÛÓÖ Ò º ½ ÓÑÔÓ Ó N ÌÌÄ Ð Ð 1,...,N Û Ø ÒÓ ÜÓ ÒÓÙ Ö ÕÙ Ø Ù Ñ ØØ Ø 2,...,Nº Ê ÕÙ Ø ÖÖ Ú ØÓ 1 ÓÖ Ò ØÓ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Û Ø Ò Ö ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ X Ò ÖÖ Ú Ð Ö Ø λº ÓÖ Ò ØÓ Ø Ö ÔØ ÓÒ Ñ Ø Ø ÒÒ Ò Ó Ë Ø ÓÒ ¾ ÙÔÓÒ Ñ Ø 1 Ø Ö Ø ØÓ ÓÐ Ø ÓÙÑ ÒØ Ý n N Ö ØÙÖÒ ÓÔÝ Ó Ø ÓÙÑ ÒØ ØÓ n 1,...,1 Ò ÐÐ ÌÌÄ Ö Ö Ò Ø Ð Þ º ÌÌÄ Ø ÐÐ Ö ÑÙØÙ ÐÐÝ Ò Ô Ò ÒØ Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ ÖÚ Û Ø Ö Ø µ n Ø nº ÁÒÖ
Ò ÐÝ ÌÌĹ Æ ØÛÓÖ ÙÖ ½ Ä Ò Ó Û Ø ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð ÓÒÐÝ Ø 1 Ë ÖÚ Öµ Ì ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ Ø n Ø Ñ ÔÖÓ Ø n 1 Ò Ø Ö Ö ÒÓ ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð º ÅÓÖ Ú Ö Ø ÐÝ Ò Ø Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø n 1 ÓÖÑ Ö Ò Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ó Ø Ø Ø Ñ ÔÖÓ Ø Ø Ò Ø Ö ÓÖ Ø ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ Ø n Ö Ò Û Ð ÔÖÓ º Ï Ò Ø Ò ÔÔÐÝ Ö ÙÖ Ú ÐÝ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ò ÓÖ Ò Ð º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û ÒÓØ Ý G n(s) Ø ÄËÌ Ó Ø ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ Ø n Û Ñ Ý ÔÔÐÝ ÓÖÑÙÐ ½ µ Û Ö Ø ÄËÌ Ó Ø ÒØ Ö ÖÖ Ú Ð Ø Ñ G n 1º Ï Ó Ø Ò G n(s) = G n 1(s) G n 1(s + µ n ) 1 G n 1 (s + µ n) ½ µ ÓÖ n = 1,...,N Û Ö G (s) = F (s)º Ì Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø n Ú Ò Ý h P,n = G n 1 (µ n) Ò Ø ÓÙÖ Ø n Ø Ø Ñ ÙÖ Ø ÓÒ ØÛ Ò ØÛÓ Ù Ú Ö ÕÙ Ø Ø Ø Û Ø G n 1 (t)µ Ó ÒÓØ Ü Ø ÌÌÄ ÙÖ Ø ÓÒº Á Û ÒÓØ Ý Y (n) Ø Ò Ö ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ Ø n Ø Ñ Ö Ø Ø Ø Ú Ò Ý 1 m R,n = E[Y (n)] = 1 dg n (s)/ds, ½ µ s= Ó Ø Ø Ý Ù Ò ½ µ n 1 m R,n = m R,n 1 (1 G n 1(µ n )) = λ (1 G i (µ i+1 )) ¾¼µ Û Ø m R, := λ Ý ÓÒÚ ÒØ ÓÒº Ì Ø Ö Ø Ø n i= h R,n = m R,n 1 h P,n = λg n 1 (µ n) n 2 (1 G i (µ i+1)) ¾½µ i= Û Ø G (t) = F(t) Ý ÓÒÚ ÒØ ÓÒº Ì ÓÙÔ ÒÝ Ó n º º Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø ÓÒØ ÒØ Ø nµ Ú Ò Ý À ÒØ ÔÔÐÝ µ Û Ø F(t) = G n 1 (t) Ò E[X] = 1/m R,n 1 µ ( 1 G ) π n = m n 1 (µ n ) R,n 1. ¾¾µ µ n Ì ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÒ Ø ÒØ {G n 1(µ n )} N n=2 Ò ¾¼µ¹ ¾¾µ Ò Ö ÙÖ Ú ÐÝ ÓÑÔÙØ ÖÓÑ ½ µº º Ë ÑÔÐ ØÖ Ò ØÛÓÖ Û Ø ÈÓ ÓÒ ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð Ò ÜÔÓÒ Ò¹ Ø Ð ÌÌÄ ÓÒ Ö Ø ØÖ Ò ØÛÓÖ Ò º ¾ Û Ø ÓÒ ÖÓÓØ Ð Ð N +1µ Ò N Ð Ö Ò Ð Ú µ Ð Ð 1,...,Nº ÜÓ ÒÓÙ Ö ÕÙ Ø ÖÖ Ú Ø n = 1,...,N + 1 ÓÖ Ò ØÓ ÈÓ ÓÒ ÔÖÓ Û Ø Ö Ø λ n º 1,...,N Ú ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ ÙØ ÌÌÄ Û Ø Ö Ø µ n Ø nº Ï ÙÑ Ø Ø ÌÌÄ Ø N +1 Ú Ò Ö ØÖ ÖÝ T N+1 (t) Û Ø ÄËÌ TN+1 (s)º ÓÖ n = 1,...,N n Ú ÌÌÄ Ò ÓÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø ÓÙÔ ÒÝ Ø ÊÊ Ò
½¼ Æ ÓÙÒ ÑÓ Ó È Ð ÔÔ Æ Ò ÓÚ ÒÒ Æ Ð ÓÒ ÌÓÛ Ð Ý ÙÖ ¾ Ë ÑÔÐ ØÖ Ò ØÛÓÖ Ø»Ñ ÔÖÓ Ð ØÝ Ò Ø Ø»Ñ Ö Ø Ø Ø Ö Ú Ò Ò Ë Ø ÓÒ º½ Û Ø λ = λ n Ò µ = µ n µº Ì ØÓØ Ð ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ø n Λ n = λ n ÓÖ n = 1,...,N Ò Ø ØÓØ Ð ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ø N + 1 N Λ N+1 = λ N+1 + ¾ µ Û Ø ν i = λ i µ i /(λ i + µ i ) ÖÓÑ ½ µº Ä Ø Ù ÓÙ ÓÒ N + 1º Ì ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ Ø N + 1 Ø ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ó ÈÓ ÓÒ ÔÖÓ Û Ø Ö Ø λ N+1 Ò Ø ÑÙØÙ ÐÐÝ Ò Ô Ò ÒØ Ñ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Ó 1,...,N Û Ø Ø Ó Ø ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ Ø n = 1,...,N Ú Ò Ý Ù ½ µµ G n (t) = { i=1 ν i 1 µne λnt λ ne µnt µ n λ n λ n µ n 1 (1 + λ n t)e λnt λ n = µ n. Ì ÒÓØ Ý H N+1 (t) Ó Ø ÓÚ Ö ÐÐ ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ Ø N + 1 Ó Ø Ò Ý Ù Ò Ì ÓÖ Ñ ¾º½º Ì ÓÙ ÙØ Ýµ Ð Ö Ý Ð H N+1 (t) = 1 e λn+1t Λ N+1 ( N i=1 )( µ 2 i e λit λ 2 i e µit µ 2 i λ N+1 + λ2 i N i=1 ) µ i e λit λ i e µit λ i µ i µ 2 i e λit λ 2. ¾ µ i e µit Ï Ø Ø ÐÔ Ó Ø ÒØ ØÝ N N (µ 2 i e λit λ 2 i e µit ) = ( λ 2 i ) i=1 i=1 i l {,1} l=1,...,n ( N ( 1) i k k=1 ( µk λ k ) 2ik ) ( e N ) k=1 (λi k k +µ1 i k) t k ¾ µ Û Ò ÜÔÖ H N+1 (t) Û Ø ÙÑ Ó Ò Ø Ú ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ø ÖÑ ÓÛÒ Ò Ø ÔÔ Ò Ü µµº Ì Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø N + 1 Ú Ò Ý Ù µµ h P,N+1 = = 1 ( 1)N Λ N+1 H N+1 (t)dt(t) N i=1 T N+1(λ N+1 + λ 2 i µ 2 i λ2 i [ λ N+1 i l {,1} l=1,...,n N (λ i k k + µ 1 i k k )) k=1 N ( 1) i k k=1 ( ) 2ik µk λ k ¾ µ ÁÒÖ
Ò ÐÝ ÌÌĹ Æ ØÛÓÖ ½½ N i=1 ( µ i λ i i l {,1} l=1,...,n,l i N ( 1) i k k=1 k i µ i T N+1 (λ N+1 + λ i + λ i T N+1 (λ N+1 + µ i + ( ) 2ik µk N k=1 k i N k=1 k i λ k (λ i k k + µ 1 i k k )) (λ i k k + µ 1 i k k )) )]. ¾ µ Ì Ø Ö Ø Ö Ôº Ñ Ö Ø µ Ø N +1 Ú Ò Ý h R,N+1 = Λ N+1 h P,N+1 Ö Ôº m R,N+1 = Λ N+1 (1 h P,N+1 )µº Ü ÑÔÐ 1,...,N ÒØ Ð Õº ¾ µ Ö Ù ØÓ ÙÑ Ø Ø λ := λ n Ò µ := µ n ÓÖ n = 1,...,Nº Û Ø H N+1 (t) = 1 N n= N 1 a n e cnt ( b n µe c n+1t λe cnt) n= ( ) N λn+1 µ 2n ( λ 2 ) N n a n := n Λ N+1 ( ) N 1 Nλµ 2n+1 ( λ 2 ) N 1 n b n := n Λ N+1 Ì Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø N + 1 Ù ¾ µµ h P,N+1 = 1 N n= c n := λn + µ(n n) + λ N+1. 1 (µ 2 λ 2 ) N 1 (µ 2 λ 2 ) N N 1 a n TN+1 (c ( n) b n µt N+1 (c n+1 ) λtn+1 (c n) ). n= ¾ µ ¾ µ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ö ÙÐØ Ì Ü Ø Ö ÙÐØ Ò Ë Ø ÓÒ ÒÒÓØ ÐÝ ÜØ Ò ØÓ Ò Ö Ð Ò ØÛÓÖ º Ì Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Û Ò Ø Ö Ø ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ Ø ÒÓØ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Û Ò Ø ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ø Ñ Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò Ñ ØÖ Ø Ø Û Ò ÐÙÐ Ø Ø Ó Ø ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ ÙØ Û ÒÒÓØ ÔÔÐÝ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ Ø Ø ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø Ñ Ö Ø Ò Ø Ò ØÓ ØÙ Ý Ø ÙÔ ØÖ Ñ º ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ú ÐÓÔ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Û ÔÖÓ Ù ÐÝ ÙÖ Ø Ô¹ ÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÙÒ Ö ÑÓÖ Ò Ö Ð ØÓÔÓÐÓ ÓÖ ÐÐ Ñ ØÖ ÓÒ Ö Ò Ë Ø ÓÒ Ø»Ñ ÔÖÓ Ð Ø Ø»Ñ Ö Ø ÓÙÔ Òݵº Ì ÕÙ Ð ØÝ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò Ë Ø ÓÒ º ÇÙÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÑÔØ ÓÒ ÙÑÔØ ÓÒ ½ Ø ÓÚ Ö ÐÐ ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ Ø ÒÓ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ º Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó ÙÑÔØ ÓÒ ½ Ø Ø Û ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ð Ó Ø Ñ ÔÖÓ Ø ÒÓ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ º Ï Ø Ð Ø Ù Ó ÒÓØ Ø ÓÒ Û Û ÐÐ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ó Ë Ø ÓÒ ØÓ ÒÓØ Ø ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú ÐÙ ÐÙÐ Ø ÙÒ Ö ÙÑÔØ ÓÒ ½º ÓÖ Ü ÑÔÐ H n (t) Ù ØÓ ÊÊ Ò
½¾ Æ ÓÙÒ ÑÓ Ó È Ð ÔÔ Æ Ò ÓÚ ÒÒ Æ Ð ÓÒ ÌÓÛ Ð Ý ÒÓØ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ó Ø ÓÚ Ö ÐÐ ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ º Ë Ñ Ð ÖÐÝ G n (t) Λ n m R,n h P,n Ò h R,n Ö Ù ØÓ ÒÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÕÙ ÒØ Ø º Ê Ö Ò Ø ØÓØ Ð Ö Ø Λ n ÒÓØ Ø Ø Λ n = λ n + i C(n) Û Ö C(n) Ø Ø Ó Ð Ö Ò Ó ÒÓ nº Ò Ë Ø ÓÒ ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð Ø ÒÓ ÓÖÑ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Û Ø F n (t) Ø ÒÓ nº ÙÑÔØ ÓÒ ½ ÐÐÓÛ Ù ØÓ ÒÚÓ Ì ÓÖ Ñ ¾º½ ØÓ Ø H n (t) = 1 λ n Λ n Fn (t) i C(n) ν i Ḡ i (u)du t i C(n) m R,i ν i Ḡ i (t)λ n F n (u)du Λ n t j C(n) j i ¼µ ν j Ḡ j (u)du. ½µ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ø ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ Ø n Ó Ø Ò ÖÓÑ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ G n (t) = t G n (t x)(1 T n (x))dh n (x) + t T n (x)df n (x) Û Ö T n (t) Ø Ó Ø ÌÌÄ ÙÖ Ø ÓÒ Ø nº Õ ½µ¹ ¾µ ÔÖÓÚ Ö ÙÖ Ú ÔÖÓ ÙÖ ÓÖ ÐÙÐ Ø Ò Ø Ð Ø ÒÙÑ Ö ÐÐÝ ÔÔÖÓÜ Ñ ¹ Ø ÓÒ ÓÖ Ø G n (t) Ò H n (t) ÓÖ n ÖÓÑ Û Û Ò Ö Ú ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ø»Ñ ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø»Ñ Ö Ø Ò Ø ÓÙÔ ÒÝ Ø º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÖ Ò Ö Ð ØÖ Ò ØÛÓÖ Ø ÔÖÓ ÙÖ Ö ÕÙ Ö ÐÙÐ Ø Ò Ø ÓÖ ÐÐ Ø Ø Ø Ñ ÔØ Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ø Ó ÖØ Ø ÖÓÑ Ø ÖÓÓغ Ì ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ Ø Ú Ò Ð Ò Ö Ú ÖÓÑ Ø ÜÓ ÒÓÙ Ö ÕÙ Ø ÔÖÓ Ø Ø Ø ÖÓÙ Ö Ò Û Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¾µº ÓÖ Ø Ø Ð Ú Ð ÓÚ Ø ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ö ÕÙ Ø Ò Ð¹ ÙÐ Ø Ù Ò Õº ½µ ØÓ ÓÑ Ò Ø Ó Ø ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ Ó Ø ÜÓ ÒÓÙ Ö ÕÙ Ø ÔÖÓ Ò Ø ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ ÓÖ Ø Ð Ö Òº Ï Ò ÔÔÐÝ Ò Ø Ö Ò Û Ð ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø ÓÙØÔÙØ ÔÖÓ Ø Ø Ò Ó ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö Ú Ò ÓÖ Ñ ÐÐ Ò ØÛÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø ÔÖÓ ÙÖ Ò Ú ÖÝ Ø Ö ÕÙ Ö ÓÐÚ Ò ÒØ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ Õº ¾µµ Ò ÐÙÐ Ø Ò ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö Ò Ò Ø Ö Ò Õº ½µµº ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ø ÜÔÐ Ø Ö ÙÐØ Û ÒÓÛ ÓÙ ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ó ØÖ Ò ØÛÓÖ Ð N º ÌÌÄ Ø ÒÓ Ö ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ Û Ø Ö Ø µ n º Ò ØÛÓÖ ÐÓÒ ØÓ Ð N Ò Ø ÓÒ ØÓ ÙÑÔØ ÓÒ ½ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÑÔØ ÓÒ ÓÐ ÙÑÔØ ÓÒ ¾ ÓÖ n ÒÓ n Ý Ø ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Ò Ô Ò ÒØ Ö ÕÙ Ø ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ ÓÒ ØÖ Ñ ½µ Ø Ñ Ö Ø Ó Ð Ó n Ò Ò Ö Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Ò Ø ÓØ Ö ÓÒ ØÖ Ñ ¾µ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Û Ø Ó Ø ÓÖÑ K n (t) = 1 M n m= t ¾µ α n,m e βn,mt µ Û Ö M n < Ò {β n,m } m Ø Ó ÒÓÒÒ Ø Ú ÒÙÑ Ö º ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ Û ÙÑ Û Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Ø Ø ØÖ Ñ ½ ÓÖ Ò Ø ÖÓÑ Ð Ð Ð n 1 Ò Ø Ò Û ÒÓØ Ø Ó Ø ÒØ Ö¹Ñ Ø Ñ Ò ØÖ Ñ 1 G n 1 (t) Ò Ø Ñ Ö Ø ν n 1 º Ë Ò η n := M n m= α n,m β n,m µ ÁÒÖ
Ò ÐÝ ÌÌĹ Æ ØÛÓÖ ½ Ø ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ó ØÖ Ñ ¾ ÖÓÑ µ Ø ØÓØ Ð ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ø ÒÓ n Λ n = ν n 1 + η n. µ ÙÑÔØ ÓÒ ½ Ò ¾ ØÓ Ø Ö Ý Ð Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓ ÙÖ ÓÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò G n(s) Ò H n (s)º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ð N µ ÍÒ Ö ÙÑÔØ ÓÒ ½ Ò ¾ ÓÖ ÒÓ n Ò ÈÖÓÓ º H n (s) = 1 s η n Λ n H n (t) = 1 η nν n 1 Λ n M n m= M n m= α n,m s + β n,m s 2 η nν n 1 Λ n M n m= α n,m (1 G n 1(s + β n,m )) (s + β n,m ) 2 β n,m µ G n (s) = H n(s) Hn(s + µ n ) 1 Hn (s + µ. µ n) α n,m (Ḡ n 1 (t) t e βn,mu du + e βn,mt t ) Ḡ n 1 (u)du ÖÓÑ Û Û Ù µº µ Ó Ø Ò ÖÓÑ ½ µº Ö ÒØ Ø Ò ÓØ Ó µ ÛÖØ ØÓ s Ò Ð ØØ Ò s = Ý Ð ν n = Λ n (1 H n(µ n )) = (ν n 1 + η n )(1 H n(µ n )) Û Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ð ØÝ ÓÑ ÖÓÑ µ À ÒØ Λ n = (dh n (s)/ds s=) 1 µ Ó Ø Ø µ Ò Ò ÐÐÝ Ù Ò µµ ν n = n 1 Λ n = i=1 n n η i (1 Hj (µ j )) µ i=1 η i n 1 j=i (1 Hj (µ j )) + η n. ¼µ j=i Ç ÖÚ Ø Ø Ø Ö Ø ÕÙ Ð ØÝ Ò µ Ò Ó Ø Ò Û Ø ÓÙØ ÒÝ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ò H n(µ n ) Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÒÓ n Ó Ø Ø Λ n (1 H n (µ n)) Ø Ñ Ö Ø Ø ÒÓ nº Ê Ð Ø ÓÒ µ¹ µ Ò µ¹ ¼µ ÔÖÓÚ Ö ÙÖ Ú ÔÖÓ ÙÖ ÓÖ ÐÙÐ Ø Ò Λ n Ò H n (µ n) ÓÖ n ÖÓÑ Û Û Ó Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ö Ø Ñ Ö Ø Ò Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÙÔ ÒÝ Ø ÒÓ n h P,n = Hn (µ n), h R,n = Λ n Hn (µ n), ½µ ( ) 1 H m R,n = Λ n (1 Hn (µ n)), π n = Λ n (µ n ) n. µ n Ì Ð ØØ Ö Ö ÙÐØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ µº ÐÓÛ Û ÔÖ ÒØ ØÛÓ Ò ØÛÓÖ ÐÓÒ Ò ØÓ Ø Ð N º º Û Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ ÌÌÄ Ò Ø Ý Ò ÙÑÔØ ÓÒ ¾º ÊÊ Ò
½ Æ ÓÙÒ ÑÓ Ó È Ð ÔÔ Æ Ò ÓÚ ÒÒ Æ Ð ÓÒ ÌÓÛ Ð Ý ÙÖ Ä Ò Ó Û Ø ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð º½ Ä Ò Ó N ÌÌÄ Û Ø ÈÓ ÓÒ ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð Ò ÜÔÓ¹ Ò ÒØ Ð ÌÌÄ Ì Ø Ñ Ð Ò Ò ØÛÓÖ Ò Ë Ø ÓÒ º¾ Û Ø Ø Ø ÓÒ Ó ÈÓ ÓÒ ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð Ø ÐÐ 1,...,N Û Ø Ö Ø λ n Ø n º º Ì Ò ØÛÓÖ ÐÓÒ ØÓ Ø Ð N Û Ø M n = α n, = 1 β n, = λ n ÓÖ n Ó Ø Ø η n = λ n Ò n 1 n 1 Λ n = λ i (1 Hj (µ j)) + λ n ÖÓÑ µ Ò ¼µº i=1 j=i Ê Ñ Ö º½ Ü Ø Ö ÙÐØ Ø ÒÓ 1 Ò 2µ ÉÙ ÒØ Ø Ò Ø Öº º º Ó ½µ Ú Ø Ü Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ö Ø Ñ Ö Ø Ò ÓÙÔ ÒÝ Ø ÒÓ n = 1, 2 ÓÖ Ø Ð Ò Ò ØÛÓÖ Ò º Ò 1 Ò 2 ÓÖÑ ÑÔÐ ØÖ Ò ØÛÓÖ ÓÖ Û ÓÙÖ Ò ÐÝ Ü Øº º¾ Ä Ò Ó ÑÔÐ ØÖ Ò ØÛÓÖ ÓÒ Ö Ø Ò ØÛÓÖ Ò º ÒÓ n Ý ÒÓ n 1 Ò Ý Ø ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÔÖÓ Ó Ò Ð ÒÓ 1 ÓÒÐÝ Ý Ò Ð Ø Ò ÐÝ ÐÓÛ ÜØ Ò ØÓ Ø Û Ö ÒÓ 1 Ý Ò Ø ÓÒ Ð ÈÓ ÓÒ ØÖ Ñ Ó Ö ÕÙ Ø µº ÓÖ Ø Ó ÑÔÐ ØÝ Ö Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ö R n ÒØ Ð ÌÌÄ Ò ÒÓ n ÙØ Ø Ò ÐÝ Ò ÜØ Ò ØÓ Ø Ø ÖÓ Ò ÓÙ ÐÓÛµº Ó Ø Ò Ð Ý Ò ÜÓ ÒÓÙ ØÖ Ñ Ó ÈÓ ÓÒ Ö ÕÙ Ø Û Ø Ö Ø δ n Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ ÌÌÄ Û Ø Ö Ø γ n º ÆÓ 1,...,N Ú ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÌÌÄ Û Ø Ö Ø µ n Ø ÒÓ nº ÒÓØ Ý S(n) Ø Ø Ó R n Ò Ð ÌÌÄ Ó Ø Û Ø nº Ä Ø Ù ÓÛ Ø Ø Ø Ò ØÛÓÖ ÐÓÒ ØÓ N º ÙÖ Ä Ò Ó ÑÔÐ ØÖ Ò ØÛÓÖ Ï Ò ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø Ó Ø ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ Ó Ö ÕÙ Ø Ó Ò Ò ÒÓ n ÖÓÑ Ò S(n) ÒÓØ Ý K n (t)µ Ø ÓÖÑ µº Ì ÐÖ Ý Ò ÐÙÐ Ø Ò Ë Ø ÓÒ º Ù ÓÖÑÙÐ ¾ µ Û Ø N = R n λ N+1 = λ = δ n µ = γ n Λ N+1 = R n δ n γ n /(δ n + γ n )º ÁØ Ø Ò ÐÝ Ò Ø Ø µ ÓÐ Û Ø M n = R n ÁÒÖ
Ò ÐÝ ÌÌĹ Æ ØÛÓÖ ½ Û Ö β n,m = δ n m + γ n (R n m) α n, = δ n b n, α n,m = γ n b n,m 1 δ n b n,m, m = 1,...,R n 1 α n,rn = b n,rn 1γ n ( ) Rn 1 γ 2m b n,m := n ( δm 2 )Rn 1 m (δ m + γ m ) m (γn 2 δ2 n )Rn ÓÖ m =,...,R n º Ñ Ð Ö Ò ÐÝ Ò ÖÖ ÓÙØ Û Ò ÓÖ Ú ÖÝ n Ø R n Ò ÒÓ n Ö ÒÓØ ÒØ Ðº ÁÒ Ø ÓÖÑÙÐ µ Ò ÔÔ Ò Ü ÓÙÐ Ù Ò Ø Ó ¾ µº Ê Ñ Ö º¾ Ü Ø Ö ÙÐØ Ø ÒÓ 1 & Ð Ú µ ÉÙ ÒØ Ø Ò Ø Öº º º Ó ½µ Ú Ø Ü Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ö Ø Ñ Ö Ø Ò ÓÙÔ ÒÝ Ø ÒÓ 1 Ò Ø ÐÐ Ð ÒÓ Ó Ø Ò ØÛÓÖ Ò º º ÁÒ Ø ÓÙÖ Ò ÐÝ Ü Ø ÓÖ Ò Ð Ò ÓÖ ÑÔÐ ØÖ Ò ØÛÓÖ Ø Ø ÓÖÑ Ý ÒÓ 1 Ò Ø Ð Ö Òµº Î Ð Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÒÚ Ø Ø Ø ÙÖ Ý Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ú ÐÓÔ Ò Ë Ø ÓÒ º Ê ÐÐ Ø Ø Ø Ñ Ø Ó ÓÒ Ø Ò ÙÑ Ò Ø Ø ÐÐ ÒØ ÖÒ Ð ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ Ø ÒÓ º º ÔÖÓ ÓÖÑ Ó Ø Ñ ÔÖÓ Ó Ø ÒÓ ³ Ð Ö Òµ Ö Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Ò ØÓ Ù Õº ½µ ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Ó Ø ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ Ó Ø ÙÔ ÖÔÓ ÔÖÓ º Ì Ñ ÔÖÓ Ø Ø ÒÓ Ò Ø Ò Ö Ø Ö Þ Ý Ù Ò Õº ¾µ Ò Ø ÔÖÓ ÙÖ Ö Ô Ø Ø Ø ÒÓ ³ Ô Ö Òغ Ï ÓÙ ÓÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Û Ò Ø ÌÌÄ Ö ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ ÙØ Û Ð Ó ÔÖÓÚ ÓÑ Ö ÙÐØ ÓÖ ÓÒ Ø ÒØ ÌÌÄ º º½ ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ø Ñ Ö Ï Ø ÖØ Ý Ó ÖÚ Ò Ø Ø Ø ÔÓ Ð ØÓ ÑÓ Ð Ð N Ò ØÛÓÖ Û Ø N Ò ÖÖ Ù Ð Å Ö ÓÚ ÔÖÓ Û Ø Ø Ø x(t) = (x 1 (t),..., x N (t)) E = {, 1} N Û Ö x n (t) = 1 Ö Ôº x n (t) = µ Ø ÓÙÑ ÒØ ÔÖ ÒØ Ö Ôº Ñ Ò µ Ø Ø Ñ t Ø ÒÓ nº ÇÒ Ø Ø Ý¹ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ø p(x)µ Ú Ò ÐÙÐ Ø Ø Ü Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ñ ØÖ Ó ÒØ Ö Ø Ò Ó Ø Ò Ý ÓÒÚ Ò ÒØÐÝ ÓÑ Ò Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÖÓ Ð Ø Ò Ø Ö Ø º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÙÔ ÒÝ Ó i πi M = x E,x i=1 p(x) Ø ÙÔ Ö Ö ÔØ Å Ø Ò ÓÖ Å Ö ÓÚ µ º ÓÖ Ð Ò Ó Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò Ø Ñ Ö Ø Ø 1 Ö Ö Ô Ø Ú ÐÝ h M P,1 (1) = p(1, ) Ò mm R,1 = λ 1p(, ) Û Ð ÓÖ ¾ Ø ÓÐ h M P,2 = λ 1p(, 1, ) + λ 2 (p(, 1, ) + p(1, 1, )) λ 1 (p(,, ) + p(, 1, )) + λ 2 Ò m M R,2 = λ 1p(,, )+λ 2 (p(,, )+p(1,, )) Û Ö p(i, ) = x 2,...,x N {,1} p(i, x 2,...,x N ) Ò p(i, j, ) := x 3,...,x N {,1} p(i, j, x 3,..., x N ) Ö Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÖÓ Ð Ø Ø Ø 1 Ò Ø Ø i {, 1} Ò (1, 2) Ö Ò Ø Ø (i, j) {, 1} 2 Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ù ØÓ Ô ÓÒ ØÖ ÒØ Û ÓÑ Ø Ø Ò Ö Ð ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø ÕÙ ÒØ Ø ÓÖ Ò Ö Ò Ø Ð Ò Ò Ø Ó ÓÖ Ð Ò Ó ÑÔÐ ØÖ Ò ØÛÓÖ Ø Ø Ò Ñ Ð ÖÐÝ ÐÙÐ Ø º ÁÒ Ø Ö Ø Ó Ø Ø ÓÒ Û ÓÑÔ Ö ÓÙÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ö ÙÐØ Ú Ö Ù Ø Ü Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ó Ø Ò ØÙ Ý Ò Ø Å Ö ÓÚ ÔÖÓ º ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ó ÊÊ Ò
½ Æ ÓÙÒ ÑÓ Ó È Ð ÔÔ Æ Ò ÓÚ ÒÒ Æ Ð ÓÒ ÌÓÛ Ð Ý Ø ØÛÓ ÔÔÖÓ Ò Ë Ø ÓÒ º Ï ÓÒ Ö Ö Ø Ø Ð Ò Ò ØÛÓÖ Ò º Ø ÓÙÖ ÒÓ N = 4µ ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ ÌÌÄ Ø ÒÓ n Û Ø Ö Ø λ n Ò µ n Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ï Ú ÐÙÐ Ø Ø ÓÐÙØ Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ Ø n ÓÖ Ø Ø ÙÖ Ä Ò Ó ÓÙÖ ÔÖÓ Ð ØÝ E HP,n µ Ø Ñ Ö Ø E MR,n µ Ò Ø ÓÙÔ ÒÝ ÔÖÓ Ð ØÝ E OP,n µº Ì Ü Ø Ú ÐÙ ÐÙÐ Ø Ø ÖÓÙ Ø Ò ÐÝ Ó Ø Å Ö ÓÚ ÔÖÓ º º E HP,n := h M P,n h P,n /h M P,n º º ÓÛ Ø Ó Ø Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ Ø 4 ÓÖ 11 Ö ÒØ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ ((λ n, µ n ), n = 1,...,4)º Ì Ú ÐÙ Ó Ø ÜÓ Ò ÓÙ ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ö Ôº ÌÌÄ Ö Ø µ Ú Ò Ð Ø Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð [.1, 1] Ö Ôº [.1, 2]µ ÓÖ Ò ØÓ Ø ËÌ ÓÙÖ Ö ÑÔÐ ØÙ Ë Ò Ø Ú ØÝ Ì Øµ Ñ Ø Ó ½ Ë º ÎÁ¹ Ò Ö Ö Ò Ø Ö Òµº Ï Ò Ó ÖÚ Ø Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ú ÖÝ ÙÖ Ø Ò ± Ó Ø Ö ÒØ Ô Ö Ñ Ø Ö ØØ Ò Ø Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò 2 1 5 º 1 1 1 CDF.5 CDF.5 CDF.5 1 2 E HP,4 x 1 4 1 2 E x 1 4 MR,4 1 2 E x 1 4 OP,4 ÙÖ Ó E HP,4, E MR,4, E OP,4 ÓÖ Ò ØÛÓÖ Ò º ÙÖ Ä Ò Ö ØÖ Ò ØÛÓÖ º ÓÛ ÓÛ Ø ÖÖÓÖ Ò ÓÖ Ö ÒØ Ö ÕÙ Ø ÐÓ º ÁÒ Ø Û Ú ÓÒ Ö Ø ÓÑÓ Ò ÓÙ Ò Ö Ó Û Ö ÐÐ Ø Ú Ø Ñ ÌÌÄ Ò Ø Ñ ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð Ö Ø º º µ n = µ Ò λ n = λ ÓÖ nº Ì ÖÖÓÖ ÓÛÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÒÓÖÑ Ð Þ ÐÓ ρ = λ/µº Ï Ò Ó ÖÚ Ø Ø Ø Ð Ö Ø ÖÖÓÖ ÓÙØ 2 1 4 µ Ó Ø Ò Û Ò ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ò Ø Ñ Ö Ö Ø Ú ÓÑÔ Ö Ð Ú ÐÙ ρ 1µº ÁÒ Ø Ø Ö ÒØ Ö ÕÙ Ø ÔÖÓ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÒÓ Ú Ñ Ð Ö Ø Ñ Ð Ò Ø Ò Ø ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ Ó Ø ÓÚ Ö ÐÐ Ö ÕÙ Ø ÔÖÓ Ö ÑÓÖ ÓÖÖ Ð Ø Ð Ó ÓÑÑ ÒØ ÐÓÛµº ÁÒÖ
Ò ÐÝ ÌÌĹ Æ ØÛÓÖ ½ 4 x 1 4 2 x 1 4 2 x 1 4 E HP,4 2 E MR,4 1 E OP,4 1 5 1 ρ 5 1 ρ 5 1 ρ ÙÖ E HP,4, E MR,4, E OP,4 ÓÖ Ò ØÛÓÖ Ò º Û Ø ÓÑÓ Ò ÓÙ ÒÓ λ n = λ = ρµ = ρµ n µ 1 1 1 CDF.5 CDF.5 CDF.5.5 1 E HP,2 x 1 3.5 1 E MR,2 x 1 3.5 1 E x 1 3 OP,2 ÙÖ Ó E HP,2 E MR,2 E OP,2 ÓÖ Ò ØÛÓÖ Ò º Ï Ú Ð Ó ÒÚ Ø Ø Ø ÙÖ Ý Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ð Ò Ó ÑÔÐ ØÖ Ò ØÛÓÖ Ò Ò Ë Ø ÓÒ º¾µ ÓÛÒ Ò º Û Ö ÒÓ 11, 12, 13 Ö Ôº ÒÓ 21, 22, 23µ Ú ÒØ Ð ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ò ÒØ Ð ÌÌÄ Ö Ø º Ë Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ÙÐØ Ö Ü Ø ÓÖ ÐÐ ÒÓ ÙØ ÒÓ 2 Û ÓÒÐÝ Ö ÔÓÖØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ø Ø ÒÓ º Ì ÑÔ Ö Ð Ó E HP,2 E MR,2 Ò E OP,2 Ö ÓÛÒ Ò º º Ä ÓÖ º Ü Ø Ö ÙÐØ Ú Ò Ó Ø Ò Ý ÓÒ Ö Ò Ø Å Ö ÓÚ ÔÖÓ Ó Ø Û Ø Ø Ð Ò Ó ÑÔÐ ØÖ Ò ØÛÓÖ º Ö ÒØ Ö ÕÙ Ø Ò ÌÌÄ Ö Ø Ú Ò Ð Ø ÓÖ Ò ØÓ Ø ËÌ Ñ Ø Ó Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð [.1, 1] Ò [.1, 2]º Ï Ù 4921 ÑÔÐ ÓÖ Ö Ø º Ê ÙÐØ Ö Ò ÐÓ ÓÙ ØÓ Ø Ó ÓÖ Ð Ò Ó º Ì Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ Ò Ð Ö Ö Ò Ø Ò Ö Ó ÙØ Ø Ý Ö ÔÖÓ ÐÝ Ò Ð Ð ÓÖ ÑÓ Ø Ó Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ < 3 1 4 Ò 99± Ó Ø µº Ï Ú Ð Ó ÓÒ Ö Ø ÓÑÓ ÒÓÙ Ò Ö Ó Ð Ó ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ø Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ Ú Ø Ñ ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ < 1 3 µº Ï Ú ÓÛÒ Ø Ø ÙÑÔØ ÓÒ ½ Ð ØÓ Ú ÖÝ ÙÖ Ø Ö ÙÐØ Û Ò ÜÓ ÒÓÙ ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ Ö ÈÓ ÓÒ Ò ÌÌÄ Ö ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ º Ì Ð Ø Ù Ø Ò Ø Ø Ø ÙÔ Ö¹ ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ö ÕÙ Ø ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ Ø Ú ÖÝ Ú ÖÝ ÐÓ ³ ØÓ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ù Ø Ý Ù Ø Ø Ñ ÒØ Û Ú ÐÙÐ Ø Ø Ö Ø ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð r 1 µ ÓÖ Ø ØÙ Ð ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ Ø ÒÓ 2 Ò º Ù Ò Õº º µ Ò ½ º Ì ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ô Ò ÓÒ Ø ÖÖ Ú Ð Ö Ø λ 1 Ò λ 2 Ò Ø Ø Ñ Ö µ 1 º Ï Ú ÓÙÒ Ø Ø ÓÖ ÒÝ ÔÓ Ð Ó Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö > r 1 >.15º Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ö ÙÐØ ÓÛ Ø Ø Ø ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú Ò Ð Ò ÒØ Ø Ð Ö Ö Ð º Ï Ò Ø Ò ÓÒÐÙ Ø Ø Ø ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ Ö Û ÐÝ ÓÙÔÐ º º¾ Ø ÖÑ Ò Ø Ì Ñ Ö Ï Ò Ø Ñ Ö Ö Ø ÖÑ Ò Ø Û Ò ØÓ Ö ÐÝ ÓÒ Ø Ò Ö Ð ÔÖÓ ÙÖ Ö Ò Ë Ø ÓÒ Ò ÓÒ Õ ½µ Ò ¾µº Ì Ö Ö ØÛÓ ÓÙÖ Ó ÖÖÓÖ Ò Ø ÔÖÓ ÙÖ º Ö ØÐÝ Ø Ö Ø Ö ÕÙ Ø ÔÖÓ Ø ÒÓØ Ö Ò Û Ð ÔÖÓ Ò Ø ÒÓØ ÓÖÖ Ø ØÓ ÔÔÐÝ Ø Ö Ò Û Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¾µº Ë ÓÒ ÐÝ ÓØ Ø Ø Ô ½µ Ò ¾µ ÒØÖÓ Ù ÓÑ ÒÙÑ Ö Ð ÊÊ Ò
½ Æ ÓÙÒ ÑÓ Ó È Ð ÔÔ Æ Ò ÓÚ ÒÒ Æ Ð ÓÒ ÌÓÛ Ð Ý ÙÖ ½¼ ÌÖ Ò ØÛÓÖ ÖÖÓÖ º ÌÛÓ Ô Ö Ñ Ø Ö Ø ÖÑ Ò Ø ÒØ ØÝ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ð ÖÖÓÖ ½µ Ø Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð τµ ÖÓÑ Û Ø ÑÔÐ Ö Ø Ò ¾µ Ø Ø Ñ Ø Ò ØÛ Ò ØÛÓ ÓÒ ÙØ Ú ÑÔÐ µº Ð ÖÐÝ Ø Ð Ö Ö τ Ò Ø Ñ ÐÐ Ö Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÒÙÑ Ö Ð ÖÖÓÖ ÙØ Ð Ó Ø Ð Ö Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Øº Ï Ú ÑÔÐ Ñ ÒØ Å ØÐ ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÚ Ö Ø Ø Ø Ö Ø Ú ÐÝ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø Ò ØÛÓÖ Ö ÓÚ Ò Ø Ò Ø Ñ ØÖ Ó ÒØ Ö Ø ÓÖ Ò ØÛÓÖ º Ì ÒØ Ö Ð ÔÔ Ö Ò Ò Õ º ½µ Ò ¾µ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÑÔÐ ÙÑ Ò ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Ø Ñ Ú ÐÙ τ Ò Ú Ò ÓÒ Ö ÓÖ ÐÐ Ø º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ð Ø ÓÐÐÓÛ ÓÙÖ ÓÐÚ Ö Ö Ø Ó Ø Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Û ÓÐ Ò ØÛÓÖ ÙÑ Ò Ø Ø ÐÐ Ø Ö ÕÙ Ø ÔÖÓ Ö ÈÓ ÓÒ Ò Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö τ ØÓ Ø Ñ Ø Ð Ö Ø ÜÔ Ø ÒØ Ö¹ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ Ò Ø Ò ØÛÓÖ º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ø ØÓ ÓÒ Ø ÓÙ Ò Ø Ó Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø ÌÌÄ Ú ÐÙ Ò Ø ÜÔ Ø ÒØ Ö ÖÖ Ú Ð Ø Ñ Ó Ø ÜÓ ÒÓÙ Ö ÕÙ Ø ÔÖÓ º Ï ÔÖ ÒØ ÓÑ ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ Ö ÙÐØ ÓÖ Ø ØÖ Ò ØÛÓÖ Ò º ½¼º Ì ÜÓ ÒÓÙ Ö ÕÙ Ø ÔÖÓ Ö ÈÓ ÓÒ ÔÖÓ Û Ø Ö Ø λ i i = 5, 6, 7, 8, 9µº ÌÌÄ Ú ÐÙ T i i = 1, 2,...9µ Ö ÓÛÒ Ò Ø ÙÖ º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ Ó Ø Ø Ñ Ø Ñ ØÖ Û Ú ÓÒ Ö ÓÖÖ Ø Ú ÐÙ Ø Ó Ó Ø Ò Ø ÖÓÙ ÐÓÒ ÑÙÐ Ø ÓÒº ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÙÖ Ñ Ø Ó ÔÖ Ø Ø Ú ÐÙ h P,n ÓÖ Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ö Ø Ø ÒÓ n Ò Ø ± ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÐÙÐ Ø Ý ÑÙÐ Ø ÓÒ [h S P,n ǫ, hs P,n +ǫ] Ø Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ ÐÙÐ Ø h P,n h S P,n /hs P,n º Ì Ö Ð Ø Ú Ò ÖØ ØÙ Ó Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ ǫ/h S P,n µ Ø ÑÓ Ø.31 4 º ÓÖ ÐÐ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ñ ØÖ Ò ÐÐ Ø Ø Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ Ó ÓÙÖ ÔÔÖÓ Ð Ø Ò 1 2 º ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ô Ö ÓÖÑ ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ Ò ÐÝ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ó ÓÙÖ ÔÔÖÓ º Ï Ö Ø Ö Ø Ó Ð N Ò ØÛÓÖ Ò Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Û ÓÒ Ö Ð Ò Ó ÑÔÐ ØÖ Ò ØÛÓÖ Û Ø N ØÖ Ò M ÒÓ Ò ØÓØ Ð Ò º º Ë Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ÓÖ ÐÐ Ø Ñ ØÖ ÖÓÙ ÐÝ Ø Ñ Û ÓÙ Ö ÓÒ Ø Ø ÔÖÓ Ð Øݺ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÓÒ Ó Ø ÖÓÓØ Ó Ø ÑÔÐ ØÖ Ý Ø n Û Ò ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø ÄËÌ H n (µ n) Õº ½µµº Ì Ö ÕÙ Ö ÒÙÑ Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ö Ò Ó n R n µ Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÄËÌ Ó Ø Ñ Ö Ø ÓÑ Ò ÖÓÑ n 1 Ò µ n º G n 1(µ n ) Õº µµº ÁÒ ØÙÖÒ G n 1(µ n ) Ò ÐÙÐ Ø Ú ÐÙ Ø Ò H n 1(s) Ò ØÛÓ ÔÓ ÒØ µ n Ò µ n + µ n 1 µ Õº µµ Ò Ó ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ðݺ Ì ÑÔÐ Ø Ø Ø Ó Ø ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Ø ÁÒÖ
Ò ÐÝ ÌÌĹ Æ ØÛÓÖ ½ ÔÖÓ Ð ØÝ Ø n O(αR n + 2 n ) ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ αº Ï Ò Ú ÐÙ Ø Ò Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÓØ Ö Ø Ñ ÄËÌ Ò ØÓ Ú ÐÙ Ø ÙØ Ò Ò Ö Ð Ø Ö ÒØ ÔÓ ÒØ Ø Ò Û Ú Ø Ø Ø ØÓØ Ð Ó Ø O( N n=1 αr n +2 n ) = O(αM +2 N )º Ì Ò Ô Ò Ò ÓÒ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ó Ø Ò ØÛÓÖ Ø Ó Ø Ò Ñ ÒÐÝ Ð Ò Ö Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÓ ÓÖ Ò ØÛÓÖ Û Ø Ñ ÐÐ ÔØ º º Û Ò Ø Ö Ö Û ØÖ Û Ø ÐÓØ ÒÓ µ ÓÖ ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÓ ÓÖ Ò ØÛÓÖ Û Ø Ð Ö ÔØ º º ÓÖ Ø Ð Ò Ö Ò ØÛÓÖ Ò º µº ÁØ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ ÓÑÔ Ö Ø Ó Ø Û Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú ÔÔÖÓ º ÓÖ Ø Ð Ò Ó ÑÔÐ ØÖ Ò ØÛÓÖ ÐÐ Ø Ñ ØÖ Ò Ü ØÐÝ ÐÙÐ Ø ÓÐÚ Ò Å Ö ÓÚ ÔÖÓ Û Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ë Ø ÓÒ º Ì Þ Ó Ø Ø Ø Ô 2 M Ø Ò Ø Ó Ø Ó Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ø Ý¹ Ø Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ý ÓÐÚ Ò Ø Ð Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ O(2 3M ) Ò Ø ÑÙ Ð Ö Ö Ø Ò Ø Ó Ø Ó ÓÙÖ Ñ Ø Ó O(αM +2 N )º Ö ÒØ ÔÔÖÓ ØÓ Ó Ø Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø Ý¹ Ø Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Å Ö ÓÚ ÔÖÓ Ù Ò Ò Ø Ö Ø Ú Ñ Ø Ó º Ì ÔÔÖÓ Ø Ú ÒØ Ó Ø Ø Ø Ø ÑÓ Ø Ó Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ø Ú Ú ÐÙ Þ ÖÓº ÁÒ Ø Ø Ø Ò ØÖ Ö Ý Ò ÜÓ ÒÓÙ Ö ÕÙ Ø ÖÖ Ú Ð Ø Ø Ø Ó ÒÓØ Ú Ø Ø ÓÖ Ý Ø Ñ Ö ÜÔ Ö Ø ÓÒ Ø Û Ø Ø Ø º º ÖÓÑ Ú Ò Ø Ø Û Ò ÓÒÐÝ Ö ÓØ Ö M Ø Ø º Ì Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ö Ø ÕÙ Ð ØÓ M2 M Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó Ö ÕÙ Ö O(M2 M ) ÓÔ Ö Ø ÓÒ º Ì ØÓØ Ð Ó Ø Ó Ø Ø Ö Ø Ú Ñ Ø Ó Ø Ò O(KM2 M ) Û Ö K Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ö Ø ÓÒ ÙÒØ Ð Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ô Ò ÓÒ Ø Ô ØÖ Ð Ô Ó Ø Ñ ØÖ Ü Ù Ø Ø Ö Ø ÓÒ Ò ÓÒ Ø Ö ÕÙ Ö ÔÖ ÓÒ ÙØ Ò Ò Ö Ð Û Ò ÜÔ Ø O(KM2 M ) << O(2 3M )º ÙÑ Ò Ø Ø Ø Ø Û Ò Ó ÖÚ Ø Ø ÓÙÖ Ñ Ø Ó Ú Ò Ò Ø ÛÓÖ Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ò ØÛÓÖ Ø ÐÐ ÑÓÖ ÓÒÚ Ò ÒØ Ø Ò ÓÐÚ Ò Ø Å Ö ÓÚ ÔÖÓ Ù O(2 M ) < O(KM2 M )º Time ratio = T A / T M.8.6.4.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Number of Caches (N) ÙÖ ½½ ÊÙÒÒ Ò Ø Ñ ÓÑÔ Ö ÓÒ º ½½ ÓÛ Ø Ö Ø Ó Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ñ ØÓ ÐÙÐ Ø ÓÙÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ T A µ Ò ØÓ ÓÐÚ Ø Å Ö ÓÚ Ò T M µ ÓÖ Ð Ò Ó N Û Ø N = 1, 2,...9µº ÓØ Ø Ñ Ø Ó Ú Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Å ØÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ò ÓÐÚ Ò Ù ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ý¹ Ø Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Å Ö ÓÚ Òº Ä Ø Ù ÒÓÛ ÓÒ Ö Ø Ó Ò Ö Ð ØÖ Ò ØÛÓÖ Û Ø ÓÒ Ø ÒØ ÌÌÄ ÕÙ Ð ØÓ T µº ÁÒ Ø Ø Ö ÒÓ Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÓÑÔ Ö ÓÙÖ ÔÔÖÓ Û Ø Ó Û ÓÒ Ö ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÔÔÖÓ º Ï Ô Ö ÓÖÑ Ò ÝÑÔØÓØ Ò ÐÝ º Ñ Ò Ò ÙÐ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ò ØÓ Ø Ð Ó ÒØÓ ÓÙÒØ Ø Ò ÖØ ØÙ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓØ Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò ÓÙÖ Ñ Ø Ó Ò ÔÖÓ Ù ØØ Ö Ö ÙÐØ ÓÒ Û ÐÐ Ò ØÓ ÓÖ Ö ÒÙÑ Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÑ Ò Ø ØÛÓ Ô Ø Ò ÓÙÖ Ò ÐÝ Û ÓÒ Ö Ñ ØÖ Ø ÔÖÓ ÙØ ÔÖ ÓÒ Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ º ÁÒØÙ Ø Ú ÐÝ Ø Ð Ö Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ø ÑÓÖ ÜÔ Ò Ú ØÓ Ø Ú Ò ÔÖ ÓÒº ÓÖ Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ø Ð Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÒØ Ø Ø Ö Ò Ö Ø Ð Ø Ù ÒÓØ Ø Ý n E º Ì Ò ÖØ ØÙ ÓÒ Ø Ò Ð Ö ÙÐØ Ò Ø Ñ Ø Ý Ø ÑÔÐ ØÙ Ó Ø ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ø Ø ÊÊ Ò
¾¼ Æ ÓÙÒ ÑÓ Ó È Ð ÔÔ Æ Ò ÓÚ ÒÒ Æ Ð ÓÒ ÌÓÛ Ð Ý Ö 1/ n E Ø Ò Ø ÔÖÓ ÙØ ÔÖ ÓÒ Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ ne ÓÖ Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ º ÁÒ Ø Ó ÓÙÖ ÔÔÖÓ Ø Ú Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ö Ò Û Ð ÕÙ Ø ÓÒº Á Û ÓÔØ Ø Ñ τ Ò ÓÖ ÐÐ Ø ÒØ Ö Ð Û Ò ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ó Ø Ñ Ö Ø G(t)µ Ò n P = τ/ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ò Û Ò ØÓ ÐÙÐ Ø n P ÒØ Ö Ð º Ì ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒØ ÖÚ Ð Ø ÑÓ Ø ÕÙ Ð ØÓ Ø ÌÌÄ ÙÖ Ø ÓÒ T Õº ½ µ Ø Ò ÒØ Ö Ð Ö ÕÙ Ö ÒÙÑ Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ n P = T/ º Á Ø Ú ÐÙ Ó τ Ð Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐÝ ØÓ T Ø Ò Ø Ó Ø Ó ÓÙÖ Ñ Ø Ó ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ n 2 P º Ò Ú ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö Ð ÙÑ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ Ð ØÓ Ò ÖÖÓÖ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÑÔÐ ØÙ Ó Ø Ø Ñ Ø Ô Ò Ø Ò ÒÚ Ö ÐÝ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ n P ÓÖ n P º ÁÒ ÓÒÐÙ ÓÒ Ø ÔÖÓ ÙØ ÔÖ ÓÒ Ø Ñ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ n P º Ì Ò ÓÖ Ú Ò ÔÖ ÓÒ ÓÙÖ Ñ Ø Ó ÛÓÙÐ Ö ÕÙ Ö ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ ÑÙ Ð Ö Ö Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÒØ ØÓ ÓÒ Ö Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ð Ø ÝÑÔØÓØ ÐÐݵº Ì ÓÑÔ Ö ÓÒ ÛÓÙÐ Ø Ò Ð ØÓ ÔÖ Ö Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ð Ø Û Ò Ñ ÐÐ Ò ÖØ ØÙ Ö ÕÙ Ö Ø Ò Ð Ö n E Ò n P µº ÁÒ Ö Ð ØÝ ÒØ Ö Ð Ò ÐÙÐ Ø Ò ÑÓÖ ÓÔ Ø Ø Û Ý ÓÖ Ü ÑÔÐ Û ÓÔØ ÊÓÑ Ö ³ Ñ Ø Ó Û Ø Ð ØÐÝ Ð Ö Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Û Ò Ø ÔÖ ÓÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ n 2 P º ÁÒ Ø Ø ÔÖÓ ÙØ ÔÖ ÓÒ Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ ÓÙÖ Ñ Ø Ó Ø Ø ÓÙÐ ÔÖ ÖÖ º ÔÔÐ Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö Ø ÓÛ ÓÛ ÓÙÖ ÑÓ Ð Ò ÔÖ Ø Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó ÓÒØ ÒØ Ò Ò Ö Ð Ò ØÛÓÖ º Ì Ò Û Ù Ø ØÓ ØÙÒ Ø ÌÌÄ Ú ÐÙ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ñ Ò Ñ Þ Ø Þ Ó Ú ÖÝ º Occupancy probability 1.8.6.4.2 root intermediate node leaf 2 4 6 8 1 Request rate at each leaf ÙÖ ½¾ ÇÙÔ ÒÝ Ú Ö Ù Ö ÕÙ Ø Ö Ø Ï Ö Ø ÓÒ Ö Ò ÖÝ ØÖ Û Ø ÓÒ ÖÓÓØ ¾ ÒØ ÖÑ Ø Ò Ð Ú º Ê ÕÙ Ø ÖÖ Ú ÓÒÐÝ Ø Ø Ð Ú ÓÖ Ò ØÓ ÈÓ ÓÒ ÔÖÓ º Ì Ø Ñ Ö Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÕÙ Ð ØÓ ½ Ø ÐÐ Ø º Ì ØÓÔÓÐÓ Ý Ó ÒÓØ ÐÓÒ ØÓ Ð N ÙØ Ø ÐÐ ÕÒ ½µ¹ ¾µ ÔÖÓÚ Ö ÙÖ Ú ÔÖÓ ÙÖ ÓÖ ÐÙÐ Ø Ò ÒÙÑ Ö ÐÐÝ ÐÐ Ø ÕÙ ÒØ Ø Ó ÒØ Ö Øº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö º ½¾ ÓÛ Ø ÓÙÔ ÒÝ Ø Ø Ö ÒØ Ð Ú Ð Ó Ø ØÖ ÓÖ Ö ÒØ Ö ÕÙ Ø ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ø Ø Ð Ú º ÁÒÖ
Ò ÐÝ ÌÌĹ Æ ØÛÓÖ ¾½ Ï Ò Ø Ö ÕÙ Ø Ö Ø Ø Ð Ñ ÐÐ Ö ÕÙ Ø Ö Ú ÖÝ ÙÒÐ ÐÝ ØÓ Ø Ø Ø Ð Ú Ò Ø ÓÒØ ÒØ ÑÓÖ Ð ÐÝ ØÓ ØÓÖ Ø Ö¹Ð Ú Ð Ò Ø Ò ØÛÓÖ ÐÓ Ö ØÓ Ø ÖÚ Öµ Ø Ø Ö Ú Ö Ö Ø Ö ÕÙ Ø Ö Ø º Ø Ö ÕÙ Ø Ö Ø ÒÖ Ø Ø Ö Ø Ø Ø Ð Ú ÒÖ Ò Ø Ñ Ö Ø m R = λ h R µ Ö Ø ÒÖ Ò Ø Ò Ö Ø Ø Ö Ø ÒÖ ÓÑ Ø ÓÑ Ò ÒØ Øº Ø Ö Ø Ó ÓÖÛ Ö Ö ÕÙ Ø Ø ÖØ Ö Ò Ø ÓÙÔ ÒÝ Ø Ö Ð Ú Ð Ö º Ì ÓÒ ÖÑ Ø ÒØÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ò ØÛÓÖ ÔÓÔÙÐ Ö ÓÒØ ÒØ Ö ÐÓ Ø ÐÓ Ö ØÓ Ø Ù Öº Ø Ø Ñ Ø Ñ Ú Ò Ò Ù ÑÔÐ Ò ØÛÓÖ Ø Ö ÒÓ ÑÓÒÓØÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ ÑÓÒ ÓÙÔ Ò Ø Ö ÒØ Ð Ú Ð ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ Ñ ÐÐ Ö ÕÙ Ø Ö Ø Ø ÓÒØ ÒØ ÑÓÖ ÐÓ Ø Ò Ø Ò ØÛÓÖ Ø ÓÙÔ ÒÝ ÒÖ Ò ÑÓÚ Ò ÖÓÑ Ø Ð Ú ØÓ Ø ÖÓÓص ÙØ ÓÖ Ð Ö Ö ÕÙ Ø Ö Ø Ø ÓÒØ ÒØ Ð ÔÖ ÒØ Ø ÒØ ÖÑ Ø Ø Ò Ø Ø ÖÓÓØ ÓÖ Ø Ø Ð Ú º Á ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒØ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø Ò ØÛÓÖ Û ÒÓØ Ø Ø Ý¹ Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø ÓÒØ ÒØ k ÔÖ ÒØ Ø n π n,k º Ì Ú Ö ÒÙÑ Ö Ó ÓÒØ ÒØ Ø n Ò ÐÙÐ Ø ÑÔÐÝ k π n,kº Ï ÐÐ Ø Ø ØÓØ Ð ÓÙÔ ÒÝ Ó n Ò Û ÒÓØ Ø Ý q n º ËÓ Û Ò Ö ÕÙ Ø Ò ÌÌÄ Ö Ø Ö ÒÓÛÒ ÓÙÖ ÑÓ Ð Ò Ù ØÓ ÐÙÐ Ø Ø ØÓØ Ð ÓÙÔ ÒÝ Ò Ø Ò ØÓ Þ Ø Ù Ö Ø ÒÓ º ÓÒÚ Ö ÐÝ Û Ò Ø Ø ÌÌÄ Ú ÐÙ Ø Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÔØ Ñ Þ ÓÑ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ñ ØÖ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÔÖÓÚ Ö Ñ Ý Û ÒØ ØÓ Ø Ø ÌÌÄ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ñ Ò Ñ Þ Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ú Ö ÓÙÔ Òݺ Ï ÓÛ ÓÛ ÓÙÖ Ò ÐÝ Ò Ù ØÓ ÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð N Ò ØÛÓÖ º Ä Ø Ù ÓÒ Ö Ò ØÛÓÖ Û Ø N Ò K ÓÙÑ ÒØ º Ï ÒÓØ Λ n,k Ò Hn,k (s) Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø ØÓØ Ð ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ò Ø ÄËÌ Ó Ø Ó Ø ÓÚ Ö ÐÐ ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ ÓÖ ÓÒØ ÒØ k Ø nº Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ø ØÓØ Ð ÓÙÔ ÒÝ Ø n q n = K K πn,k A = 1 Hn,k Λ (µ n) n,k. µ n k=1 k=1 ÇÙÖ Ó Ð ØÓ ÓÐÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ min max{q n n = 1, 2,...N} ºØº µ 1,µ 2,...,µ N N q n = Q, n=1 ¾µ Û Ö Q ÓÒ ØÖ ÒØ ÓÒ Ø ØÓØ Ð ÜÔ Ø µ ÓÙÔ ÒÝ Ò Ø Ò ØÛÓÖ Ø ØÓØ Ð Ù Ö Ù Ò Ø Ò ØÛÓÖ µº ÁØ Ý ØÓ Ø Ø ÙÒ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ØØ Ò Ø Ñ ØÓØ Ð ÓÙÔ ÒÝ ÕÙ Ð ØÓ Q/Nº Ï Ò Ø Ò ÔÔÐÝ ÓÙÖ Ö ÙÖ Ú ÔÖÓ ÙÖ Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ø ÒÓ ÖØ Ø ÖÓÑ Ø ÖÚ Ö Ò Ø ÖÑ Ò ÓÖ Ó Ø Ñ µ n Ù Ø Ø q n = K k=1 Λ n,k 1 H n,k (µ n) µ n = Q N. Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÐÚ ÒÙÑ Ö ÐÐÝ Ý Ù Ò Ø Æ ÛØÓÒ Ñ Ø Ó º ÒÙÑ Ö Ð Ü ÑÔÐ Û Ú ÓÒ Ö Ø Ð Ò ¹Ó ¹ ÑÔÐ ¹ØÖ Ò ØÛÓÖ Ó º Û Ø K = 1 Ò Ö ÕÙ Ø ÔÖÓ Ø Ø Ð Ú º Ì Ö Ø Ó Ö ÕÙ Ø ÔÖÓ ÓÖ Ú Ò ÓÒØ ÒØ Ò Ö ÛÒ ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ø Ö Ò ÓÑ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð [.1, 1]º º ½ ÓÛ Ø Ð Ø ÌÌÄ Ö Ø ÓÖ Ø ÒÓ 1 Ò 2 Ò ÓÒ Ð ÐÐ Ó Ø Ñ Ú Ø Ñ ÌÌÄ Ö Ø Ù Ø Ö Ö ÕÙ Ø ÖÖ Ú Ð ÔÖÓ Ö ÒØ Ðµ ÓÖ Ö ÒØ Ú ÐÙ Ó Ø ØÓØ Ð ÓÙÔ ÒÝ Ò Ø Ò ØÛÓÖ Q {2, 4, 6, 7.2}º ÊÊ Ò
¾¾ Æ ÓÙÒ ÑÓ Ó È Ð ÔÔ Æ Ò ÓÚ ÒÒ Æ Ð ÓÒ ÌÓÛ Ð Ý 1 5 Q 1 = 2 Q 2 = 4 Q 3 = 6 Q 4 = 7.2 TTL rate (1/s) 1 4 1 3 1 2 leaf 1 2 Cache (n) ÙÖ ½ Æ Ñ Ò ÓÒ Ò ÇÔØ Ñ Ð ÌÌÄ Ö Ø Ø Ö ÒØ ÓÖ Ö ÒØ ØÓØ Ð ÓÙ¹ Ô ÒÝ Ò Ò ØÛÓÖ º ÓÒÐÙ ÓÒ ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú Ú ÐÓÔ Ø Ó Ù Ð Ò ÐÓ ÓÖ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó Ö Ö Ð ÌÌÄ Ò ØÛÓÖ Û Ö ÌÌÄ Ö Ø Û Ø Ú ÖÝ Ö Õ٠غ ÓÖ ÓÑ ØÓÔÓÐÓ ÓÙÖ Ö ÙÐØ Ö Ü Ø ÙØ Û Ò Ø Ý Ö ÒÓØ Ø Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ Ö ÜØÖ Ñ ÐÝ Ñ Ðк Ì Ù ÓÙÖ ÔÔÖÓ ÔÖÓÑ Ò Ò Û Ð Ú Ô Ð Ó ÙÖ Ø ÐÝ ÑÓ Ð Ò Ö Ö Ð Ó Ò ØÛÓÖ ØÓÔÓÐÓ º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÐØ ÓÙ Ø ÔÔÖÓ ÔÔÐ ØÓ Ò Ð ÓÒØ ÒØ Û Ú Ð Ó ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ù ØÓ ÓÔØ Ñ Þ ÑÙÐØ ¹ÓÒØ ÒØ Ò ØÛÓÖ º Í Ò ¾ µ Ò ¾ µ Ú H N+1 (t) = 1 ( 1) N e λn+1t Λ N+1 N i=1 e ( N k=1 (λi k k +µ1 i k))t k N i=1 ( µ i λ i i l {,1} l=1,...,n,l i µ i e (λi+ N λ 2 i µ 2 i λ2 i N ( 1) i k k=1 k i k=1 (λ i k k +µ 1 i k k k i [ λ N+1 ( ) 2ik µk λ k i l {,1} l=1,...,n ))t λi e (µi+ N N ( 1) i k k=1 k=1 (λ i k k +µ 1 i k k k i ( ) 2ik µk λ k )] ))t. µ Ê Ö Ò ½ º ʺ ØÒ Ö À ÙÖ Ø Ø Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÐÐÝ ÓÖ Ò Þ Ø ØÖÙØÙÖ ËÁ Šº ÓÑÔÙØ Ò ÔÔº ¾¹½½¼ ½ º ¾ Ⱥ º ÙÖÚ ÐÐ Ò Âº º º Ã Ò Ñ Ò ÇÒ ÑÓ Ð ÓÖ ØÓÖ Ò Ö ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÔÔÐ ÈÖÓ Ð ØÝ ½¼ ÔÔº ¹ ¼½ ½ º º ÖÓ Ð Ó Åº ÐÐÓ Äº ÅÙ Ö ÐÐÓ Ò º È Ö ÒÓ ÅÓ Ð Ò Ø ØÖ Ò Ö Ò ÓÒØ Òع ÒØÖ Ò ØÛÓÖ Ò ÈÖÓ ÁÌ ¾ Ë Ò Ö Ò Ó ÍË Ë Ôº ¹ ¾¼½½º ÁÒÖ
Ò ÐÝ ÌÌĹ Æ ØÛÓÖ ¾ Àº º ÌÙÒ Ò º Ï Ò À Ö Ö Ð Ï Ò Ý Ø Ñ ÑÓ Ð Ò Ò Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Á º ÓÒ Ë Ð Ø Ö Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÎÓк ¾¼ ÆÓº ÔÔº ½ ¼ ¹½ ½ Ë Ôº ¾¼¼¾º º º Ó Ñ Ò ÂÖº Ò Èº Â Ð Ò ÓÚ È Ö ÓÖÑ Ò Ó Ø ÅÓÚ ¹ØÓ¹ ÖÓÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø Å Ö ÓÚ¹ÑÓ ÙÐ Ø Ö ÕÙ Ø ÕÙ Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö Ä ØØ Ö ¾ ÔÔº ½¼ ¹½½ ½ º º Ò Ò º ÌÓÛ Ð Ý Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÐÝ Ó Ø ÄÊÍ Ò Á Ç Ù Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ñ ÈÖÓº Å Ë Ñ ØÖ ½ ¼ ÓÙÐ Ö Ç ÍË Å Ý ¾¾¹¾ ½ ¼ ÔÔº ½ ¹½ ¾º ʺ Ⱥ Ó ÖÓÛ Ò Âº º ÐÐ Ì ÑÓÚ ¹ØÓ¹ ÖÓÒØ ÖÙÐ ÓÖ Ð ¹ÓÖ Ò Þ Ò Ð Ø Û Ø Å Ö ÓÚ Ô Ò ÒØ Ö ÕÙ Ø Ö Ø ÈÖÓ Ð ØÝ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÁÅ ÎÓÐÙÑ Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ð Ó٠Ⱥ ÓÒ Âº ËÔ Ò Ö Ò Âº ź ËØ Ð µ ¾ ÔÔº ¹ ¼ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ½ º Ⱥ Ð ÓÐ Ø º Ö Ý Ò Äº Ì ÑÓÒ Ö ÖØ Ý Ô Ö ÓÜ ÓÙÔÓÒ ÓÐÐ ØÓÖ Ò Ð¹ ÓÖ Ø Ñ Ò Ð ¹ÓÖ Ò Þ Ò Ö Ö Ø ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÔÔº ¾¼ ¹¾¾ ½ ¾º Ö Ø Ú Ö ÓÒ ÔÔ Ö Ò ÁÆÊÁ Ì º Ê ÔÓÖØ ÆÓº ¾¼ Ù º ½ º Ϻ º À Ò Ö Ì Ø Ø ÓÒ ÖÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ò ÒØ Ö Ø Ò Å Ö ÓÚ Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÔÔÐ ÈÖÓ Ð ØÝ ÔÔº ¾ ½¹¾ ½ ¾º ½¼ º º ÐÐ Ä Ñ Ø Ò Ö Ø Ó ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ö Ó Ø ÙÒ Ö Ø ÑÓÚ ¹ØÓ¹ ÖÓÒØ ÖÙÐ Ì ÓÖ Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ½ ÔÔº ½ ¹¾¼ ½ º ½½ Ⱥ Â Ð Ò ÓÚ ÝÑÔØÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÑÓÚ ¹ØÓ¹ ÖÓÒØ Ö Ó Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ð Ø¹Ö ÒØÐÝ Ù Ò ÙÐØ ÔÖÓ Ð Ø Ì ÒÒ Ð Ó ÈÖÓ Ð ØÝ ÎÓк ÆÓº ¾ ÔÔº ¼¹ ½ º ½¾ Ⱥ Â Ð Ò ÓÚ Ò º Ê ÓÚ ÒÓÚ Ä Ø¹Ö ÒØÐÝ Ù Ò Û Ø Ô Ò ÒØ Ö ÕÙ Ø Ì ÓÖ Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¾ ÔÔº ¾ ¹ ¾ ¾¼¼ º ½ Ⱥ Â Ð Ò ÓÚ Ò º Ê ÓÚ ÒÓÚ Ò Åº ËÕÙ ÐÐ ÒØ Ö Ø Ð Þ Ò Ó ÄÊÍ Û Ø Ô Ò ÒØ Ö ÕÙ Ø ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÔÔÐ ÈÖÓ Ð ØÝ ÎÓк ÆÓº ÔÔº ½¼½ ¹½¼¾ Ñ Ö ¾¼¼ º ½ º ÂÙÒ º Ϻ Ö Ö Ò Àº Ð Ö Ò Ò ÅÓ Ð Ò ÌÌĹ ÁÒØ ÖÒ Ø ÈÖÓº Á ÁÒ ÓÓÑ ¾¼¼ Ë Ò Ö Ò Ó ÍË Å Öº ¼ ¹ ÔÖº ¾¼¼ º ½ º ÂÙÒ º Ë Ø Àº Ð Ö Ò Ò Ò Êº ÅÓÖÖ ÆË Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò Ø Ø Ú Ò Ó Ò ÈÖÓº Å ËÁ ÇÅÅ ÏÓÖ ÓÔ ÓÒ ÁÒØ ÖÒ Ø Å ÙÖ Ñ ÒØ ÁÅÏ ³¼½µ Æ Û ÓÖ Æ ÍË ÆÓÚº ½¹¾ ¾¼¼½º ½ Ϻ º Ã Ò Ò ÐÝ Ó Ñ Ò Ô Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ò ÎÓк ½ ÔÔº ¹ ¼ ½ ¾º ÔÔ Ö Ö Ø ÙÒ Ö Ø Ñ Ø ØÐ Á Å Ê Ö Ê ÔÓÖØ Ê ¾ Å Öº ½ ½ ½º ½ ̺ Ä Ò Àº ÊÓ Ò ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒØ ÔØ Ú ÐÐÓ Ø ÓÒ ÖÙÐ Ú Ò Ò ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÎÓк ÔÔº ¹¾¾ ½ º ½ Áº Ä ÓÙ º ÃÖ º Ö Ø Ò Ãº ÚÖ Ò ÓÚ Æ ØÛÓÖ ¹Û ÑÓÒ ØÓÖ Ò Ø ÖÓÙ Ð ¹ÓÒ ÙÖ Ò Ô Ø Ú Ý Ø Ñ ÈÖÓº Á ÁÒ ÓÓÑ ¾¼½½ Ë Ò Ò ÔÖº ½¼¹½ ¾¼½½º ÊÊ Ò
¾ Æ ÓÙÒ ÑÓ Ó È Ð ÔÔ Æ Ò ÓÚ ÒÒ Æ Ð ÓÒ ÌÓÛ Ð Ý ½ º ̺ Ä ÛÖ Ò Ô Ò ÒÝ Ó ÒØ ÖÚ Ð ØÛ Ò Ú ÒØ Ò ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÂÓÙÖ¹ Ò Ð Ó Ø ÊÓÝ Ð ËØ Ø Ø Ð ËÓ ØÝ Ë Ö Å Ø Ó ÓÐÓ Ðµ ÎÓк ÆÓº ¾ ÔÔº ¼ ¹ ½ ½ º ¾¼ º Å ÇÒ Ö Ð Ð Û Ø Ö ÐÓ Ð Ö ÓÖ ÇÔ Öº Ê º ½ ÔÔº ¼ ¹ ½ ½ º ¾½ º º ÊÓ Ò Û Âº ÃÙÖÓ Ò º ÌÓÛ Ð Ý ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÑÓ Ð ÓÖ Ò Ö Ð Ò Ø¹ ÛÓÖ ÈÖÓº Á ÁÒ ÓÓÑ ¾¼½¼ Ë Ò Ó ÍË Å Öº ½ ¹½ ¾¼½¼º ¾¾ κ Â Ó ÓÒ º ú ËÑ ØØ Ö Âº º Ì ÓÖÒØÓÖÒ Åº ÈРƺ Ö Ò Êº ĺ Ö ÝÒ Ö Æ ØÛÓÖ Ò Ò Ñ ÓÒØ ÒØ ÈÖÓº Å ÓÆ Ì ¾¼¼ ÊÓÑ ÁØ ÐÝ º ½¹ ¾¼¼ º ¾ ˺ Ë ÖÓ Ù Ãº Ⱥ ÙÑÑ Êº º ÙÒÒ Ëº º Ö Ð Ò Åº Ä ÚÝ Ò Ò ÐÝ Ó ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒØ ÒØ Ð Ú ÖÝ Ý Ø Ñ º ËÁ ÇÈË ÇÔ Ö Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ê Ú Û ÎÓк ËÁ ÔÔº ½ ¹ ¾ ¾¼¼¾º ÁÒÖ
RESEARCH CENTRE SOPHIA ANTIPOLIS MÉDITERRANÉE 24 route des Lucioles - BP 93 692 Sophia Antipolis Cedex Publisher Inria Domaine de Voluceau - Rocquencourt BP 15-78153 Le Chesnay Cedex inria.fr ISSN 249-6399