Workshop on Statistics of Networks, June 2010 p.1/38

ËØ Ø Ø ÐÐÝ ÙÖ Ø Æ ØÛÓÖ Å ÙÖ Ñ ÒØ ÀÙÒ Æ ÙÝ Ò Û Ø Å Ø Ñ Ø ÔÔÐ Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò Ë ÓÓÐ Ó Ð ÍÒ Ú Ö ØÝ Å ØØ Û ÊÓÙ Ò <matthew.roughan@adelaide.edu.au> ÂÙÒ ¾¼½¼ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.1/38

Æ ØÛÓÖ Å ÙÖ Ñ ÒØ Û Ø Ñ ÙÖ Ð Ò Ñ Å ÙÖ Û Ø ÒÓØ Óº Ñ ÙÖ Ð Ð Ð Ó Ð Ð ½ ¹ ½ ¾µ ÌÓ Ñ ÙÖ ØÓ ÒÓÛº ÄÓÖ Ã ÐÚ Ò Ë Ö Ï ÐÐ Ñ Ì ÓÑ ÓÒ ½ ¾ ¹½ ¼ µ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.2/38

Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑÔÙØ Ö Ò Û Ð Û Ø Ø Ð Ø Ø Ö Ø Ò ÒÝ ØÓ Ð Ú Û Ö Ð ØÝ Ö ÄÏ Ë Û Å ÙÖ Ñ ÒØ ÔÖ ÓÒ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ñ Ù ØÝ Ñ Ò Ø ÖØ Ø Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ó Ø Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ø Ñ ÐÚ ÑÔ Ø Û Ø Ó Á Ó ËÓ ÑÓÖ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ñ Ó Ø Ó Ø Ø ººº Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.3/38

ËÓ Ï Ø Ò ÓÐÚ Ò Ø ÓÖØ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ËØ Ø Ø Û Ð º Ï Ý Ò³Ø Ø ÐÐ Ý Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.4/38

ËÓ Ï Ø Ò ÓÐÚ Ò Ø ÓÖØ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ËØ Ø Ø Û Ð º Ï Ý Ò³Ø Ø ÐÐ Ý Á³Ñ Ø ÐÙ Ð Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.4/38

ËÓ Ï Ø Ò ÓÐÚ Ò Ø ÓÖØ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ËØ Ø Ø Û Ð º Ï Ý Ò³Ø Ø ÐÐ Ý Á³Ñ Ø ÐÙ Ð Ö ÓÑ Ö Ø Ì Ö ØÖ ÙØ ÓÒ Ò ÚÝ¹Ø Ð ÒÓÒ¹ Ù Ò ØÖÓÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÐÓÒ ¹Ö Ò Ô Ò Ò µ ØÖÙØÙÖ Ð Ò ÑÔÐ Ò Û ÓÒ³Ø Ø ØÓ Û Ø Û ÛÓÙÐ Ð ØÓ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.4/38

Ü ÑÔÐ ÌÖ Ø Ñ Ø Ò ØÖ Ñ ØÖ ÖÓÑ Ð Ò Ø ½ ¾ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ò Ñ Ò Ø Ò ØÖ Ñ ØÖ 1 ËÆÅÈ Ð Ò Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÖÖÓÖ CCDF 1 2 1 4 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 absolute value of relative error Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.5/38

Ü ÑÔÐ ÊÓÙØ Ò Ò ÌÓÔÓÐÓ Ý ØÖ ÖÓÙØ Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÐÓ ¹ Ð Ò Ò Ò ÑÔÐ Ú ÛÔÓ ÒØ ½¼ ½½ 9 8 7 6 5 4 3 2 estimated links (1 s) trend estimate 1 observed links (1 s) number of monitors (K) Jan4 Jan5 Jan6 Jan7 Jan8 Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.6/38

Ü ÑÔÐ È Ö ÓÖÑ Ò Ø Ú Ô Ö ÓÖÑ Ò Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ë Ò ÔÖÓ Ô Ø ÖÓÑ A B ÖÓ Ø Ò ØÛÓÖ Å ÙÖ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò ÜÔ Ö Ò Ý Ô Ø A The Internet B Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.7/38

Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÀÓÛ ÙÖ Ø Ö Ø ÔÖÓ ÀÓÛ Ñ ÒÝ ÔÖÓ ÓÙÐ Û Ò Ï Ò Ø Ö Ò ØÛÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ A The Internet B Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.8/38

ÙÖ Ý Ï Ø Ó Û Ñ Ò Ý ÙÖ Ý ÔÖÓ Ö ÑÔÐ ÖÓÑ ÓÑ ÙÒ ÖÐÝ Ò ÔÖÓ ÙÑ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÕÙ ÔÑ ÒØ ÒÓ Û ÓÚ Ö Ø Ñ Ò Ú Ö ØÓ Ú Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ø Ñ Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ö Ó ÔÖÓ ÑÔÐ Ø Ø Ñ Ú Ö ÓÒÚ Ö ØÓ Ò Ò Ñ Ð Ú Ö Ò Ø Ñ Ø Ú Ö Ò ÙÒ Ö Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ò Ô Ò ÒØ ØÝÔ ÐÐÝ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÙÖ Ý Ó Ø Ñ Ø ÒÓØ Ò Ú Ù Ð Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.9/38

Ì ÔÐÙÖ Ð Ó ººº ÔÐÙÖ Ð Ó Ò ÓØ ÒÓØ Ú Ò º Ì Äº Ä Ò Ö Ð Ò Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.1/38

Ì ÔÐÙÖ Ð Ó ººº ÔÐÙÖ Ð Ó Ò ÓØ ÒÓØ Ú Ò º Ì Äº Ä Ò Ö Ð Ò ÍÒ ÓÖÒ ÝÓÙ ÓÓ Ð ÍÒ ÓÖÒ ÝÓÙ³ÐÐ Ø Á Ñ ÐÐ ÓÒ Ñ ÑÓ ØÐÝ Ö ¹ ÓÙØ Ø º Ñ Ð Ò Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.1/38

Ì ÔÐÙÖ Ð Ó ººº ÔÐÙÖ Ð Ó Ò ÓØ ÒÓØ Ú Ò º Ì Äº Ä Ò Ö Ð Ò Ê ÒÓ ÍÒ ÓÖÒ Ñ Ö Ò³Ø ØÓÓ ÚÓ Ø Ú Ó Ø Ê ÒÓ ÖÓ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.1/38

Ì ÔÐÙÖ Ð Ó ººº ÔÐÙÖ Ð Ó Ò ÓØ ÒÓØ Ú Ò º Ì Äº Ä Ò Ö Ð Ò Æ ÖÏ Ð Ì ÖÓÛ Ò ÓÑ Ò ÖÛ Ð ÓÖÒ ÓÖ ÓÒ Ù ÓÒ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.1/38

ÓÖÖ Ð Ø Å ÙÖ Ñ ÒØ ÙÒ ÖÐÝ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø ÓÖÖ Ð Ø Ì ÓÒ³Ø Ú ÝÓÙ ÜØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ñ Û Ý Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Óº Ø Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ö Ö ÐÐÝ ÖÓÑ Ø Ñ º º ÍÒ ÓÖÒ ÑÝØ µ Ø Ò Ø Ý Ú ÝÓÙ ÒÓ ÓÙÖ ÜØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Û Ø ÓÙØ Ô Ø ÔÖÓ Ö Ø Ý ÓÖÖ Ð Ø Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.11/38

Ò Û Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÑÙ Ø Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ò Ø ÙÖ Ý ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ººº Ø Ñ Ø Ò Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ø Ö º º ½¾ ½ ½ ½ ÓÖØ¹Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ø ØÖÓÒ Ø Û Ö Ø Ö ÒÓ ÐÓÒ ¹Ö Ò Ô Ò Ò º Ú Ò Ø ØÖÓÒ Ö Ø ÐÓ Ö Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ø Ñ ½ Ö Ò Ø ÑÔÐ Ò Ô Ö Ó Ø Ö ÒÓ ÔÓ ÒØ Û Ø Ò Ö ØÖ Ö ÐÝ ÒÖ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÑÔÐ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÐÓ Ô Ò ÒØ ½ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.12/38

ÓÒ Ö ÐÓ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÓÖ Í Ò Ð Ò ØÛÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÖÑ Ë ÖÚ ¹Ä Ú Ð Ö Ñ ÒØ ËÄ µ ÓÑÔÐ Ò ØÝÔ Ð ÔÔÖÓ ÙÑ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ô Ò Òص ØÖ Ð ÙØ Ø Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ø Ö Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ï Ý Ó Û Ö ÓÙØ ÙÖ Ý Ö Û ÓÑÔÐ ÒØ Û Ø Ò ËÄ ÙÖ Ý Ó Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÛÖÓÒ Û Ñ Ý Ð Ñ ÓÑÔÐ Ò ÓÖ ÓØ ÖÛ Ñ Ø ÒÐÝ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.13/38

ÄÓ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ø Ñ Ø ÓÒ ËØ Ò Ö Ø Ñ ØÓÖ Ó ÐÓ ÔÖÓ Ð ØÝ ˆp = 1 N N I i, () i=1 Û Ö I i = 1 ÔÖÓ iø ÐÓ Ø Ò I i = ÓØ ÖÛ Ò Var[ ˆp] = 1 N 2 N i=1 N R(τ i j ), j=1 R(τ) Ø ÙØÓÓÚ Ö Ò Ó Ø ÐÓ ÔÖÓ º τ i j Ø Ø Ñ ØÛ Ò Ø i Ò jø ÔÖÓ º Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.14/38

ÈÓ Ð ÔÔÖÓ Ò Ô Ò Ò ÙÑ Var[ ˆp] = p(1 p)/n, Ø Ñ Ø R i j ØÖ Ø Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ð Ö Ø ÔÖÓ Ø Ò Û Ö Ð Ñ Ø ØÓ Ø Ó Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÙØ ØÓ Ø Ñ Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò ÔÖÓ ØØ Ö Ø Ñ Ø R( ) Ö ØÐÝ ÖÓÑ Ø Ó R( ) Ú Ú Ö Ò Ø Ñ Ø Ø Ñ ÐÚ Ø Ñ Ø R( ) Û Ø Ø ÐÔ Ó ÑÓ Ð Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.15/38

ÇÙÖ ÔÔÖÓ ÓÙÖ ÒØÙ Ø ÓÒ ÓÙØ ÐÓ ÙÖ Ø Ø ÕÙ Ù Ò ÖÓÑ ÅÓ Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ñ Ø ÓÒ ÑÓ Ð ÑÔÐ ÒÓÙ ØÓ ÛÓÖ Û Ø Ò Ö Ð ÒÓÙ ØÓ Ø Ø ÑÓ Ð ÙÒ ÖÐÝ Ò ÐÓ ÒÓØ Ô Ø ÐÓ ÑÓ Ð Ó Ò³Ø ÛÓÖ ØÓÓ Û ÐÐ Å Ö ÓÚ ØÓÓ Ñ ÒÝ Ø Ø Ò ÐØ ÖÒ Ø Ò Ö Ò Û Ð ÑÓ Ð ØØÖ Ø Ú ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Ñ Ø Ø ÖÓÑ ÖÓÙØ Ò Ú ÒØ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.16/38

ÐØ ÖÒ Ø Ò Ê Ò Û Ð ÅÓ Ð ÇÒ»Ç ÔÖÓ ÇÒ Ò Ç Ø Ñ Ö Ò Ô Ò ÒØ ÇÒ Ø Ñ ÓÖÑ ÁÁ ÕÙ Ò Ç Ø Ñ ÓÖÑ ÁÁ ÕÙ Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÇÒ»Ç Ø Ñ È Ö Ñ Ø Ö Ù ÑÑ ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ø Ò ØÙÖ Ð Ó ÜÔÓÒ ÒØ Ð k 1 e x/θ Prob{X [x,x+dx)} = x Γ(k)θ k dx, ØÛÓ Ô Ö Ñ Ø Ö k k = 1 Ú ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒµ Ô θ Ð Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.17/38

Ë ÁÄ Ë ÑÔÐ ÖÓÑ ÙÒ ÖÐÝ Ò ÐÓ ¹ÔÖÓ ÑÔÐ Ò Ñ ÓÑ ÒØ ÖÚ Ð Ö Ø Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÒØ ÖÚ Ð ÓÚ Ö Ø Ñ Ø Ø Ñ Ù Ò À Ò Ë Ñ ¹Å Ö ÓÚ ÅÓ Ð Ø Ñ Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.18/38

Inferred k 8 6 4 2 Ø Ø Ø Ñ Ø Varying k Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ, λ=.1, k 1 =5, θ =1, θ 1 =1 inferred k real k 25 2 1 2 3 4 5 Real k Varying θ 1, λ=.1, k =1, k 1 =5, θ =1 inferred θ 1 real θ 1 Inferred θ 1 15 1 5 5 1 15 2 Real θ 1 Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.19/38

ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø Ñ Ò ØÛ Ò Ò Ù ØÖ Ð È Ä ÐÓ Ø ÓÒ Å ÙÖ Ñ ÒØ Û Ý ÈÐ Ò ØÐ ÈÐ Ò ØÐ ÇÒ Ï ÖÚ Ö ÔÖÓ ÆË ÖÚ Ö ÔÖÓ ÔÖÓÚ Ý ÉÍ Æµ ÌÖ ËØ Ò Ö ¼ ÝØ Í È ÔÖÓ Ô Ø ½¼ ¼¼¼ ÈÓ ÓÒ ÔÖÓ Ú Ö Ö Ø ½¼ Ô Ø Ë ÒØ ÓÒ Ô Ö ÐØ Ö ÓÖ Ø Ø ÓÒ Ö ØÝ Ò ÒÓÒ¹Ò Ð Ð ÐÓ ½ ½¼¼ ØÖ Ò ÐÝ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.2/38

1 2 Ê ÙÐØ θ Scale Parameter of the ON/OFF Durations 1 1 1 1 1 1 2 θ 1 θ 1 3 1 2 3 4 5 6 7 Trace ID Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.21/38

3 Ê ÙÐØ k 2 Number of Traces 1 4 5 1 15 2 k 3 2 1 1 2 3 4 5 k 1 Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.22/38

Î Ð Ø ÓÒ À Ö ØÓ Ø ÖÓÙÒ ØÖÙØ ØÓ ÓÑÔ Ö Ò Ø Ø Ø Ý Ù ¹ ÑÔÐ Ò Ö Ø Ø ÒØÓ ØÛÓ Ø ÓÒ Ö Ò ÓÑÐÝ Ø ÐÐ ÈÓ ÓÒ ÔÖÓ ÔÖÓ ÓÑÔÙØ Ö ÙÐØ ÓÖ ÓØ ÐÓÓ ÓÖ ÓÒ Ø ÒÝ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.23/38

Empirical Variance of the Cross Validation Trace 12 x 1 4 Î Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒÝ Ú Ö Ò 1 8 6 4 2 2 4.1.2.3 Empirical Variance of the Inference Trace HSMM Variance of the Validation Trace 2 1 x 1 4.1.2.3 HSMM Variance of the Inference Trace Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.24/38

ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð Cross Validation of the SAIL algorithm Î Ð Ø ÓÒ Loss Rate.6.4.2 Empirical Loss Rate Model Loss Rate + 95% CI 1 2 3 4 5 6 7 Trace ID Ô Ö ÒØ Ð ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ñ Ø Ò ¾± Ø ½ ½¼¼ ØÖ Ó Ò Ô Ò ÒØ Á Ú Ò ± ÓÚ Ö Û Ø Ó Á Ä Ê Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.25/38

.14.12.1 Î Ð Ø ÓÒ Ï Ø Empirical HSMM + 95% CI 95%CI assuming IID losses Web server losses Loss rate.8.6.4.2 5 1 Trace ID 15 2 25 Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.26/38

.6 DNS server losses (Queen s data) Î Ð Ø ÓÒ ÆË Ø.5.4 Empirical HSMM + 95% CI 95% CI assuming IID losses Loss rate.3.2.1 2 4 6 8 1 12 Trace ID Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.27/38

ÓÒÐÙ ÓÒ ØÓ Ð Û Ø ÐÐ Ø ÙÐØ Ó ÁÒØ ÖÒ Ø Æ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º º ØÓ Ý Ö ÓÖ ÔÖ Ø ÓÒ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ØÓÑÓÖÖÓÛ Ò Ø Ø Å ÙÖ Ñ ÒØ Ó ÝÓÙ ÒÓÛ Û Ò Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÒÝ ÀÓÛ ÓÓ ÓØ ÖÛ Ï Ø Á Ñ ÙÖ Ú ÖÝ Ô Ø ÄÓ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ú ÛÓÖ Ò Ø Ò ÕÙ ÓÖ ÐÓ Û Ø Ø ÓÔ Û Ø Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ø Ò Ð Ö ÔÓÖØ Ø Ò Ó Ö Ú Ð Ð Ø ÙÐÐ http://www.adelaide.edu.au/directory/hung.nguyenº Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.28/38

ÙÖ Ý Ï Ø Ó Û Ñ Ò Ý ÙÖ Ý ÔÖÓ Ö ÑÔÐ ÖÓÑ ÓÑ ÙÒ ÖÐÝ Ò ÔÖÓ ÙÑ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÕÙ ÔÑ ÒØ ÒÓ Û ÓÚ Ö Ø Ñ Ò Ú Ö ØÓ Ú Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ø Ñ Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ö Ó ÔÖÓ ÑÔÐ Ø Ø Ñ Ú Ö ÓÒÚ Ö ØÓ Ò Ò Ñ Ð Ú Ö Ò Ø Ñ Ø Ý Ø Ú Ö Ò Ä Ñ Ø Ì ÓÖ Ñ ÒØÖ Ð ÙÖ Ý Ó Ø Ñ Ø ÒÓØ Ò Ú Ù Ð Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.29/38

ÒØÖ Ð Ä Ñ Ø Ì ÓÖ Ñ X i Ø ÑÔÐ Ñ Ò ˆX = 1 N N X i, i=1 ÓÖ Ø Ó Ò Ô Ò ÒØ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ ÊÎ ÜÔ Ø Ø ÓÒ E [ ˆX ] = E [X 1 Ò N ] ( N ˆX E [X 1 ] ) N(,σ 2 ) Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ö σ 2 = Var[X 1 ]º Ø Ø ± Á Ó Ø Ñ Ø ˆX Ö ±1.96σ/ Nº ËÓ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.3/38

Ü ÑÔÐ 5 Ï Ø ÒÓ 4 3 2 1 2 4 6 8 1 N Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.31/38

ÄÌ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ñ ˆX = 1 T Z T X(u)du ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ñ ÔÖÓ X(t) Û Ö Ø ÑÔÐ Ñ Ò ØÓ Ø ØÖÙ Ñ Ò ˆX E [X] Ò ÓÒÚ Ö ( T ˆX E [X] ) N(,s 2 ) ØÖ ÙØ ÓÒ T Û Ö Ò Z s 2 = 2σ 2 r(u) du Û Ö σ 2 = Var[X] Ò r(s) Ø ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó X(t)º Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.32/38

Ö Ø ÑÔÐ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÒÓØ ÓÒÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ ÓÖѵ ÒØ ÖÚ Ð δtµ Ö Ø ÑÔÐ ] s 2 = σ [1+2 2 r(k δt) i=1 ÈÓ ÓÒ ÑÔÐ Ö Ø λµ s 2 = σ 2 [ 1 λ + 2 Z ] r(u) du Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.33/38

ÑÔÐ Ü ÑÔÐ Ø Å»Å»½ ÕÙ Ù ÈÓ ÓÒ Ô Ø ÖÖ Ú Ð Ö Ø λµ ÖÚ Ø Ñ Ñ Ò 1/µµ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ý Ø Ñ ÓÖ Q ρ λ/µµ = E [Q] = ρ 1 ρ Var[Q] = ρ (1 ρ) 2 Ò r(t) = λ2 +(µ λ)λµ (µ λ) 2 π Z 2π sin 2 θe t(µ+λ 2 λµ cosθ) (µ+ λ 2 λµ cosθ) 3 dθ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ï ØØ ½ ½ ÅÓÖ ½ ½ µ s 2 4ρ2 (1 ρ) 4 ÝÑÔØÓØ Ú Ö Ò ÓÖ Å»Å»½ Ï ØØ ½ µ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.34/38

ρ =.7 Ê ÙÐØ Å»Å»½ 1 1 experimental CI zero correlation CI theoretical CI 1 δ B 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 N Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.35/38

Ø k (# packets) k (# runs) k (# runs) 2 1 Binary Losses 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 Success Runs 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 Loss Runs 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 Trace Number Î Ð ØÝ Ó Ë Ñ ¹Å Ö ÓÚ ÅÓ Ð Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.36/38

.2 Assume IID Losses Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÑÔ Ö ÓÒ Estimated loss rate.1 Loss rate.2.1.2.1 Simulated loss rate.2.4.6.8 1 Using Empirical Variance.2.4.6.8 1 Using HSMM.2.4.6.8 1 λ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.37/38

º Î Ö Æ ØÛÓÖ ØÓÑÓ Ö Ô Ý ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø Ñ Ö Ò ËØ Ø Ø Ð Ó Ø ÓÒ ½ ½ º Å Ö º Ò Åº ÊÓÙ Ò Æº Ù Ð Ò º Ö Ò Ö Ø ÙÖ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ¾ Ð Ö ¹ Ð ÁÈ ØÖ Ñ ØÖ ÖÓÑ Ð Ò ÐÓ Ò Å ËÁ Å ÌÊÁ Ë Ë Ò Ó º Ò Åº ÊÓÙ Ò º ÄÙÒ Ò º ÓÒÓ Ó Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ¹Ø ÓÖ Ø ÔÔÖÓ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ø Ñ Ø ÓÒ Ò Å ËÁ ÇÅÅ Ã ÖÐ ÖÙ ÖÑ Òݵ ØÓ º Ò Åº ÊÓÙ Ò º ÄÙÒ Ò º ÓÒÓ Ó Ø Ñ Ø Ò ÔÓ ÒعØÓ¹ÔÓ ÒØ Ò ØÖ Ñ ØÖ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ¹Ø ÓÖ Ø ÔÔÖÓ ÔÓ ÒعØÓ¹ÑÙÐØ ÔÓ ÒØ º Ò Åº ÊÓÙ Ò Ïº Ï ÐÐ Ò Ö Ò Äº ÉÙ ËÔ Ø Ó¹Ø ÑÔÓÖ Ð ÓÑÔÖ Ú Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ØÖ Ñ ØÖ Ò Å Ë ÓÑÑ Ö ÐÐÓÒ ËÔ Òµ Ò Ò Åº ÊÓÙ Ò ¹ ØÙ Ý Ó Ø ÙÖ Ý Ó ËÆÅÈ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò ÚÓк ¾¼½¼ ¾¼½¼º ÖØ Ð Á ½¾ Ð ØÖ Ð Ó ½¼º½½»¾¼½¼» ½¾ º http://www.hindawi.com/journals/jece/21/812979.htmlº References Ó Ð ÓÖÒ µ ÔÔº ¾¼ ¾½ ÂÙÒ ¾¼¼ º ÔÔº ¼½ ½¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ º Á» Å ÌÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒ Æ ØÛÓÖ Ò ÚÓк ½ ÔÔº ¼ ÇØÓ Ö ¾¼¼ º ÔÔº ¾ ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ º ĺ Ä º Ð Ö ÓÒ Ïº Ï ÐÐ Ò Ö Ò Âº ÓÝÐ Ö Ø¹ÔÖ Ò ÔÐ ÔÔÖÓ ØÓ Workshop on Statistics of Networks, June 21 p.38/38