S = {(a, b) : a A, b B ab + 1 = x n, x N},

ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÔ ÒØÙ Ã Ø Ð Ò Ý ÖÑ Ø ØÖ Ø Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÔ ÒØÙ ØÙ ÓÖ Ò Ø Ø A, B Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ò Ü ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p ÓÛ Ñ ÒÝ Ô Ö (a,b) (a A,b B) Ò Ú Ò Ó Ø Ø Ø ÔÖÓ ÙØ ab Ò Ö ØÓ p(x) ÓÖ ÓÑ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö xº ¾¼¼¼ ÅË Å Ø Ñ Ø Ù Ø Ð Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ½½ º Ã Ý ÛÓÖ Ò Ô Ö Ô ÖØ Ø Ö Ô ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ó¹ Ô ÒØÙ º ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ÒØÙ Ó Ð Ü Ò Ö ÒÓØ Ø Ø Ø Ö Ø Ó¹ Ò Ð ÒÙÑ Ö 1 16, 33, 17 16 4, Ò 105 16 Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø ÔÖÓ ÙØ Ó ÒÝ ØÛÓ Ó Ø Ñ ÒÖ Ý ½ ÕÙ Ö Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Öº Ä Ø Ö ÖÑ Ø Ê Ö Ô ÖØ ÐÐÝ ÙÔÔÓÖØ Ý ÀÙÒ Ö Ò Ë ÒØ Ê Ö Ö ÒØ ÇÌà ̼ ½ Ò Ì¼ ¾ º ½

ÓÙÒ Ø Ó ÓÙÖ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Û Ø Ø ÓÚ ÔÖÓÔ ÖØÝ {1, 3, 8, 120} µº Ò Ø Ø A Ó ÒØ Ö ÐÐ ÓÔ ÒØ Ò n¹øùôð A = n Ò aa + 1 Ô Ö Ø ÕÙ Ö ÓÖ ÐÐ Ö ÒØ Ð Ñ ÒØ a Ò a Ó Aº Ì Ö Ø ÓÐÙØ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø Þ Ó ÓÔ ÒØ Ò ØÙÔÐ Û Ú Ò Ý º Ù ÐÐ Ò Ú ÖÝ Ö ÒØÐÝ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö ÒÓ ÓÔ ÒØ Ò ¹ØÙÔÐ Ò Ø Ö Ö ÓÒÐÝ Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÓÔ ÒØ Ò ¹ØÙÔÐ º ÒÒ Ù Ù Ò º Ù ÐÐ ¾ ÜØ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ö ÔÓÛ Öº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û ØÙ ÓÖ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ø A Ø ÑÓ Ø ÓÛ Ñ ÒÝ Ô Ö (a, a ) Ü Ø Û Ø a, a A a a aa + 1 = x n º ÁØ Ð Ö Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ô Ö Ð Ø Ò A 2 A Ø Ò Ø ÑÔÐ Ø Ø A ÒÓØ ÓÔ ÒØ Ò A ¹ØÙÔÐ º ÁÒ Ø Ö Û Û Ö Ð ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ n 2 A, B N A B Ð Ø S = {(a, b) : a A, b B ab + 1 = x n, x N}, Ø Ò a) n = 2 Ò A = B Ø Ò S 0.8 A 2 b) n = 3 Ø Ò S 16.27 A B 2/3 c) n 4 Ø Ò S 11.93 A B 1/2 ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö A = B Ø Ò Û Ó Ø Ò Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô Ö (a, b) Ù Ø Ø ab + 1 k¹ø ÔÓÛ Ö ÓÖ Ü k 4 11.93 A 3/2 º ÁÒ Ø ÔÖ ÒØ Ô Ô Ö Û Û ÐÐ ØÙ Ý Ø Ó Ò Ö Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p(x) Ò Ø ÔÐ Ó x n Ò Ú Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô Ö (a, b) Û Ö ab ÖÓÙÒ p(x) ÓÖ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö xº ÒÓØ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û ØÙ Ý º Ù ÐÐ Ò º ÄÙ µ Ì ÕÙ Ø ÓÒ Û ØÙ Ý Àº ÁÛ Ò Ò º Ë Ö ÞÝ ½ ÖÓÑ Ø ÓÔÔÓ Ø º Ì Ý ¾

ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ c 1 Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c 2 Ô Ò Ò ÓÒ c 1 µ Ù Ø Ø A {N, N + 1,...,2N} B {N, N + 1,...,2N} Û Ø A c 1 N B c 1 N Ø Ò Ø Ö Ü Ø ÒØ Ö a, b, x Û Ø a A b B Ò ab x 2 c 2 (x log x) 1/2 Ó Ø Ø ab Ò Ö ÕÙ Ö º Ï Ò¹ Ù Ò ½ ÜØ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ k ÕÙ Ò Ò k¹ø ÔÓÛ Ö º Ï Ò p(x) = cx k Ø Ö Ü Ø Ø A Ò B º º A = {y k : y N}, B = {cz k : z N}µ Ù Ø Ø ab ÐÛ Ý Ó Ø ÓÖÑ Ó p(x) x Nº Ì Ö ÓÖ Ò Ø Ø ÒÓØ ÔÓ Ð ØÓ Ú ÒÝ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ô Ö º ÀÓÛ Ú Ö ÙÒ Ö ÖØ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ p(x) Û Û ÐÐ Ð ØÓ Ú Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ º Ì ÓÖ Ñ ½ Ä Ø p(x) = r n x n + r m x m + + r 0 R[x] ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Û Ø r n > 0 0 m n 2 r m 0º ËÙÔÔÓ Ø Ø α Q s Z Û Ø s min{m 2, n/2} K R Û Ø K rn /6 s = n/2 A, B {N, N + 1,..., 2N} Ò Ð Ø S = {(a, b) : a A, b B, ab p(x) Kx s ÓÖ Ò x Û Ø x + α N}. Ì Ò S A B 1/2 + B ÐÛ Ý ÓÐ º Ì ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ô Ô Ö Û Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ,, Ò O Ò Ø Ò Ø Ø Ø ÑÔÐ ÓÒ Ø ÒØ ØÓÖ Ñ Ý Ô Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p Ò Ø Ö Ð ÒÙÑ Ö K Ò α Ò Ò Ì ÓÖ Ñ ½ Ò ¾º ÅÓÖ Ü ØÐÝ Û Ý Ø Ø f g ÓÖ f = O(g) Ø Ö Ü Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ c 3 Ù Ø Ø f < c 3 g Ò Û Ý Ø Ø f g Ø Ö Ü Ø ØÛÓ ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ c 4

Ò c 5 Ù Ø Ø c 4 f g c 5 f Û Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ c 3, c 4, c 5 Ô Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p Ò Ø Ö Ð ÒÙÑ Ö K Ò α ÙØ ÒÓØ Ò Ð Ø ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ø A Ò B ÓÖ Ø ÒØ Ö N Ò M Û Ö A {N, N + 1,...,} B {M, M + 1,... }µº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ô Ô Ö c 6, c 7, c 8... Û ÐÐ Ð Ó ÒÓØ ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ Û Ó Ú ÐÙ Ñ Ý Ô Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p Ò Ø Ö Ð ÒÙÑ Ö K Ò α ÙØ ÒÓØ Ò Ð º Ì ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ Ü ÑÔÐ ÓÛ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ s n/2 Ò A, B [N, N + 1,...,2N] Ö Ò Öݺ Ö Ø ÓÒ Ö Ø s > n/2º Ä Ø y, x N y 2 = p(x) Ò A = B = {a : a y cy ǫ, a N}º Ì Ò ÓÖ a A b B Û Ú ab p(x) = ab y 2 c 2 y 2ǫ + 2cy 1+ǫ x s ǫ Ñ ÐÐ ÒÓÙ Ò s > n/2º Ì Ù S = A B. ËÓ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ s n/2 Ò Öݺ ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ÙÑ Ø Ø s n/2 v Ò 0 l v Ö Ü ÒØ Ö p(x) Q[x] c 6, c 7 Ö ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ A = {p(x)/v : x N, c 6 < x < c 7 (v/l) 1/(n s), v p(x)} B = {v, v + 1,...,v + l}º Á Ø ÓÒ Ø ÒØ c 6 Ð Ö ÒÓÙ Ø Ò p(x) x n Ò Ò Ø ÓÖ Ñ ÐÐ ÒÓÙ ÓÒ Ø ÒØ c 7 Û Ø S = A B Ò A [1, 2,...v] B [v, v + 1,...,2v]º Ì Ù Ò Ì ÓÖ Ñ ½ Ø ÓÒ Ø ÓÒ A, B [N, N+1,...,2N] Ð Ó ÑÔÓÖØ Òغ ÁÒ Ø Ü ÑÔÐ Ø Ú ÖÝ ÙÐØ ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ Ú Ø Ñ Ø ÓÖ Ø Þ Ó A ÓÛ Ú Ö Ø ÓÒ ØÙÖ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p ÓÖ Û Ø

Ö Ò Ð ØÝ Ó A Ð Ö º ÓÒ Ö Ò Ø ÔÓ Ð Ú ÐÙ Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p(x) Û Ö ÖÓÙÒ ab Ò ÓÙÖ Ü ÑÔÐ x N Ò Ø Ö Ü Ø a A b B Ù Ø Ø ab p(x) < Kx s Û Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø x³ A º Ì Ù Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p(x) Û Ø ÒØ Ö x ÖÓÙÒ ÔÖÓ ÙØ ab ÑÙ Ð Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐÐ Ô Ö (a, b) Û Ø a A b B Û A B º Ò Ö ÐÐÝ Û Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ Ä Ø p(x) = r n x n + r m x m + + r 0 R[x] ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Û Ø r n > 0 0 m n 2 r m 0º ËÙÔÔÓ Ø Ø α Q s Z Û Ø s min{m 2, n/2} K R Û Ø K rn /6 s = n/2 A, B N Ò Ð Ø S = x : a A, b B, ab p(x) Kx s ÓÖ Ò x Û Ø x + α N}. Á ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ µ A {N, N + 1,..., 2N} B {M, M + 1,..., 2M} µ m n 3 Ò A {N, N + 1,..., N 2 } B {M, M + 1,...,M 2 } µ n 4 m < n/α n Û Ö α n = max{ 3n 2 Ø Ò S A B 1/2 + B., 2(n 1) 2(n 3) n 2 } A B ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Û Ú ÒÓØ Ò Ð ØÓ ÔÖÓÚ Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ú ÖÝ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Û Ø ÓÙØ Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó Ø Þ Ó Ø Ø A Ò Bº ÀÓÛ Ú Ö ÓÒ Ó a) Ò b) ÓÐ ÓÖ Ú ÖÝ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÓÖÑ r n (x + α) n + r n 2 (x + α) n 2 + r n 3 (x + α) n 3 + + r 0 º ÁÒ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ Û ØÙ Ý Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÖÓ ÙØ ab Û Ö Ó Ø ÓÖÑ Ó p(x) Ü ØÐÝ Ò Ø Ö ÙÐØ Û ÐÐ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ò ¾º

ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾ ÓÐ Ò Ð Ø S = {(a, b) : a A, b B, ab = p(x) ÓÖ Ò x Û Ø x + α N}. Ì Ò Û Ú S A B 1/2 + B. Ì ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ô Ô Ö ÓÖ Ö Ô G v(g) ÒÓØ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ú ÖØ e(g) Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ó Gº C k ÒÓØ Ø ÝÐ Ó Ð Ò Ø k K r,t Ø ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô Û Ø r Ò t Ú ÖØ Ò Ø Ð º ¾ Ä ÑÑ Ì ÓÖ Ñ ½ ¾ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ Ö ÓÒ Ö Ô Ø ÓÖݺ ÁÒ Ø Ò ÜØ Ø ÓÒ Û Û ÐÐ Ò Ö Ô Û Ó Ú ÖØ Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ó A B Ò ØÛÓ Ú ÖØ a A b B Ö Ó Ò ab ÖÓÙÒ p(x) ÓÖ Ò x + α Nº Ï Û ÐÐ Ú Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ù Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ö Ô Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò Ð Ö Ô ÖØ Ø ÓÑÔÐ Ø Ù Ö Ô º ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ØÙ Ý Ø Û Ò Ø Ö Ô ÓÒØ Ò ÝÐ Ó Ð Ò Ø º ÅÓÖ Ü ØÐÝ Û ÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÒØ Ö a, b, c, d Ö Ò ÀÝÔÓØ ½º ÀÝÔÓØ ½ Ä Ø p(x) = r n x n + r m x m + r m 1 x m 1 + + r 0 R[x] ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Û Ø r n > 0 0 m n 2 r m 0 Ò Ð Ø α Q s Z Û Ø s min{m 2, n/2} K R Û Ø K rn /6 s = n/2º ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ö

Ü Ø 4 ÒØ Ö a < b c < d Û Ø ac p(x) Kx s, ad p(v) Kv s, bc p(z) Kz s, bd p(y) Ky s, ÓÖ ÓÑ x + α, y + α, z + α, v + α Nº Ì ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ø ÓÒ Û Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ó ÀÝÔÓØ ½º Í Ò Ø Ø x + α, y + α, z + α, v + α Ö ÒØ Ö Û Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ Ð ÑÑ Û Ö Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ Ó Ø Ø ÓÒº Ä ÑÑ ½ Ì Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c 8 > 1, c 9 Ù Ø Ø a, b, c, d Ö Ð Ö ÒÓÙ Ô Ò Ò ÓÒ p(x) K αµ Ò xy vz 0 Ø Ò Û Ú µ c 8 ac < bd m = n 2 µ c 9 (ac) n m 1 < bd m n 3º Ä ÑÑ ¾ Ì Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c 10 Ù Ø Ø a, b, c, d Ö Ð Ö ÒÓÙ xy vz = 0 Ò ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ µ s < 0 µ s < n/2 2b > c Ò 2d > a µ s = n/2 K rn /6 2b > c Ò 2d > a Ø Ò Û Ú c 10 (ac) m s < bd. Ö Ø Û Ò Ø Ñ Ø ÓÖ Ø Ü Ø Ú ÐÙ Ó x, y, z, vº Ä ÑÑ Ä Ø p(x) = r n x n + r m x m + r m 1 x m 1 + + r 0 R[x] ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Û Ø r n > 0 0 m n 2 r m 0 Ò Ð Ø K R s Z Û Ø

s mº Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c 11 Ò a 1, a n m 1, a n m,...,a n s 2 Ù Ø Ø y > c 11 x > 0 Ò y p(x) < Kx s ½µ Ø Ò Û Ú x = a 1 y + a n m 1 y + a n m (n m 1)/n y + + a n s 2 (n m)/n y + O( 1 (n s 2)/n y Û Ø a 1 = 1 rn º ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ º Á y Ð Ö ÒÓÙ Ø Ò ÖÓÑ ½µ Û Ø (n s 1)/n) ¾µ x = O(y ). µ Ì Ò x y = rn x n y r n x n 1 + x n 2 y r n Ý Ø ØÖ Ò Ð ¹ Ò ÕÙ Ð ØÝ Û Ú + + y(n 1)/n r n (n 1)/n r nx n y r n x n 1. µ r n x n y r n x n p(x) + p(x) y = O(x m ) + O(x s ) = O(x m ). ÖÓÑ Ø µ Ò µ Û Ó Ø Ò x y = O( 1 x n m 1) = O( 1 rn y (n m 1)/n). µ ÖÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ¹ ÓÖÑÙÐ Ý Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÒ Ø ÒØ Û m s+1µ Ø Ý ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ a 1, a n m 1,..., a n s 2 Ù Ø Ø x 0 = a 1 y + a n m 1 y (n m 1)/n + a n m y (n m)/n + + a n s 2 y (n s 2)/n µ

Ø Ò p(x 0 ) = y + O(y s/n ). ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ½µ ÓÐ Ø Ò Ý µ Û Ú p(x) = y + O(x s ) = y + O(y s/n ). Í Ò Ø Ä Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Û Ø O(y s/n ) = p(x) p(x 0 ) = p (ξ) x x 0 µ ÓÖ ÓÑ ξ [x, x 0 ]º Ý µ Ò µ Û Ú ξ = y r n + O( Ì Ù p (ξ) y (n 1)/n º ÖÓÑ µ Û Ó Ø Ò 1 y (n m 1)/n). O(y s/n ) y (n 1)/n x x 0. Ì Ò x x 0 = O( 1 y (n s 1)/n) Û ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ º Ý Ä ÑÑ Û Ú Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ a 1, a n m 1,...,a n s 2

Û Ñ Ý Ô Ò ÓÒ Ø Ó ÒØ Ó p(x)) Ù Ø Ø x = a 1 (ac) + + O( 1 (ac) (n s 1)/n), v = a 1 (ad) + + O( 1 (ad) (n s 1)/n), z = a 1 (bc) + + O( 1 (bc) (n s 1)/n), a n m 1 (ac) (n m 1)/n + a n m 1 (ad) (n m 1)/n + a n m 1 (bc) (n m 1)/n + a n m (ac) (n m)/n + + a n m (ad) (n m)/n + + a n m (bc) (n m)/n + + a n s 2 (ac) (n s 2)/n a n s 2 (ad) (n s 2)/n a n s 2 (bc) (n s 2)/n y = a 1 (bd) + + O( 1 (bd) (n s 1)/n). a n m 1 (bd) (n m 1)/n + a n m (bd) (n m)/n + + a n s 2 (bd) (n s 2)/n µ Ì Ù xy vz = Ì Ò Û Ú i<j {,(n m 1)/n, (n m)/n,...,(n s 2)/n} + O( (bd) (ac) (n s 1)/n). a i a j ( b i a j b j a i)( d i c j d j c i) Ä ÑÑ ( xy vz + b a (n m 1)/n a b (n m 1)/n (bd) (ac) (n s 1)/n, ) ( ) d c c (n m 1)/n d (n m 1)/n µ ½¼

Ò Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c 12 Ù Ø Ø ( xy vz b a (n m 1)/n a b (n m 1)/n c 12 (bd) (ac) (n s 1)/n. ) ( ) d c c (n m 1)/n d (n m 1)/n ½¼µ ÓÖ ÔÖÓÚ Ò Ä ÑÑ Û Ö Ñ Ö Ø Ø Ø Ñ Ò ØÓÓÐ Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½ Ò Ä ÑÑ ¾ Ø Ø Ø Ø xy zv Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Öº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ð Ø α = r/q Û Ö r, q Z (r, q) = 1º x, y, z, v N + α Ø Ö ÓÖ q 2 xy vz Ò ÒØ Ö ÓÛ Ú Ö ÓÒ Ö Ò µ Û ÛÓÙÐ Ø Ò Ø Ø a, b, c, d Ö Ð Ö ÒÓÙ Ô Ò Ò ÓÒ p(x), K, αµ Ø Ò q 2 xy vz Ù Ù ÐÐÝ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò ½º ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ º Í Ò Ø Ø a < b Ý ØÙ Ý Ò Ø Ö Ú Ø Ú Û Ó Ø Ò Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ x b x a j b j a x Ò [, j ] Ò Ø ÙÒØ ÓÒ x b i a x b x a i Ò [i+, ] Ö Ö Ò º Ì Ù Ø Ð Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ø {b i a j b j a i : i < j {, (n m 1)/n,..., (n s 2)/n}} b a (n m 1)/n Ú xy vz = a 1 a n m 1 ( a b Ò Ø ÓÒ Ð Ö Ø b (n m 1)/n a (n m)/n ( b + O( a (n m)/n + O( (bd) (ac) (n s 1)/n) b a (n m 1)/n a a b (n m)/n b (n m 1)/n ) ( d c (n m)/n a º ËÓ Û b (n m)/n ) ( d c (n m 1)/n c c d (n m)/n ) ) d (n m 1)/n ½½µ ) Æ ÜØ Û Ð Ñ Ø Ø ( ) ( b a a a b (n m 1)/n b (n m 1)/n 2 a (n m)/n a b (n m)/n ) ½¾µ ½½

Û Ò Ò Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ð Ó ØÖÙ ÓÖ c < d Ò ÔÐ Ó a < b Ä ÑÑ ÓÐÐÓÛ ØÖ Ú ÐÐÝ ÖÓÑ ½½µº Ä Ø Ù Ø ÔÖÓÓ Ó ½¾µº ÁÒ Ý a < b Û Ú a ( a 2/n ( a ) (n m+1)/n 2(b a /2) b) >, b Û ÕÙ Ú Ð ÒØ Û Ø ½¾µº Ì Ù Û Ú ÔÖÓÚ Ä ÑÑ º ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½ Ý Ä ÑÑ Û Ú ( 1 q 2 xy vz Ë Ò Û Ú + b a (n m 1)/n a b (n m 1)/n ) ( ) d c c (n m 1)/n d (n m 1)/n (bd) (ac) (n s 1)/n = (bd) (ac) (n m 1)/n + (ac) (bd) (n m 1)/n (ad) (bc) (n m 1)/n (bc) (ad) (n m 1)/n + (bd) (ac) (n s 1)/n. (ac) (bd) min{ (ad) (bc) (n m 1)/n (bc) (n m 1)/n, }, (ad)(n m 1)/n 1 (abcd) max{ (ad) (bc) (n m 2)/2n (bc) (n m 1)/n, (ad) (n m 1)/n }, ( ) (bd) 1 c 13 (ac) 1 (n m 1)/n (abcd) + (bd). (n m 2)/2n (ac) (n s 1)/n ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ c 13 º Ì Ù ac Ð Ö ÒÓÙ Ø Ò (ac) (n m)/n (ac) (n m 1)/n + c 13 (bd) c 13(bd) + O( (n m 2)/2n (c 13 + 1/2) (bd). (bd) (ac) (m s)/n) ½¾

Ì Ù m = n 2 Û Ø Ò Û Ò m n 3 Û Ø ( ) n c13 + 1 ac bd, c 13 + 1/2 (ac) n m 1 < (c 13 + 1/2) n bd, Û ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½º ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ¾ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÔÖÓÚ Ä ÑÑ ¾ Û Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ º Ä ÑÑ Ì Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c 14 Ù Ø Ø a, b, c, d Ö Ð Ö ÒÓÙ c 14 (ac) m s bd Ò xy vz = 0 Ø Ò {x, y} = {z, v}º ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ Ý Ä ÑÑ Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c 12 Ù Ø Ø ÓÖ a < b c < d Û Ú ( 0 = xy vz Ë Ò b a (n m 1)/n a b (n m 1)/n c 12 (bd) (ac) (n s 1)/n ) ( ) d c c (n m 1)/n d (n m 1)/n 1 (ac) (n m 1)/n(b a )(d c ) c 12 (bd) (ac) (n s 1)/n. x + y v z = (b a )(d c ) + O( Û Ó Ø Ò Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c 15 Ù Ø Ø 0 = xy vz 1 (ac) (n m 1)/n c 12 (bd) (ac) (n s 1)/n. 1 (ac) (n m 1)/n) ( x + y v z c 15 1 (ac) (n m 1)/n ½ )

Ï Ò Ý m n 2 s m 2 Ò bd c 14 (ac) m s Û Ø Ù Ø Ð ÓÒ Ø ÒØ c 14 Û Ó Ø Ò (bd) q x + y v z < O( (ac)(m s)/n) < 1. q x + y v z Ò ÒØ Ö Ó a Ò c Ö Ð Ö ÒÓÙ Û Ú x + y v z = 0. xy = zv x+y = z+v Ø Ù x, y Ò v, z Ö Ø ÖÓÓØ Ó Ø Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ö ¾ Û ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ º ÆÓÛ Û Ö ØÙÖÒ ØÓ Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ¾º ËÙÔÔÓ Ø Ø ÓÒØÖ ÖÝ ØÓ Ø Ø Ø Ñ ÒØ c 14 (ac) m s bdº Ì Ò Ý Ä ÑÑ Û Ú {x, y} = {z, v}º Ý ÝÑÑ ØÖÝ Ö ÓÒ Û Ñ Ý ÙÔÔÓ Ø Ø x = v Ò y = zº Ý µ Û Ú y = z = 1 rn (bc) + O((bc) (n m 1)/n ) Ó ÖÓÑ Ø ØÖ Ò Ð ¹ Ò ÕÙ Ð ØÝ bc p(y) < Ky s < 2K (bc) s/n, r n bd p(y) < Ky s < 2K (bc) s/n, r n b bd bc 4K (bc) s/n r n ½ µ Á s < 0 Ò b, c Ö Ð Ö ÒÓÙ Ø Ò b 1/2 Û ÔÖÓÚ Ô ÖØ a)º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÔÖÓÚ Ô ÖØ b) Ò c) ÖÓÑ ½ µ Û Ó Ø Ò 1 d c 4K ( c ) (n s)/n c (n 2s)/n. ½ µ rn b Á s < n/2 Ò c Ð Ö ÒÓÙ Û Ú 1 1 2 ( c b) (n s)/n ½

Û ÓÒØÖ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ 2b > c Ø Ù Û Ú Ð Ó ÔÖÓÚ Ô ÖØ b)º Ò ÐÐÝ s = n/2 Ò K rn /6 Ø Ò Û Ú 1 4K ( c ) 1/2 2 ( c ) 1/2 rn b 3 b Û ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ¾º ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ø ÓÖ Ñ º ÈÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º Ï ÓÚ Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð [N, N + 1,..., 2N] Ý Ó ÒØ Ù ÒØ ÖÚ Ð Ó Ø ÓÖÑ [z, c 1/2 16 z]º Ì Ò Û Ú Ð Ø Ò 2 log 2/ log c 16 Ù ÒØ ÖÚ Ð º Ò Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô G Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý ÓÒ Ö ØÛÓ Ö ØÖ ÖÝ Ù ÒØ ÖÚ Ð I 1 = [z 1, c 1/2 16 z 1] Ò I 2 = [z 2, c 1/2 16 z 2]º Ö Ô G ØÛÓ Ð ÓÒ ÓÒØ Ò Ú ÖØ Ø Ð Ñ ÒØ Ó A I 1 Û Ð Ø ÓØ Ö ÓÒØ Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ó B I 2 º Ì Ö Ò ØÛ Ò Ø Ú ÖØ a A I 1 Ò c B I 2 Ò ÓÒÐÝ Ø Ö Ü Ø x + α N Ù Ø Ø ac p(x) Kx s. Ý Ä ÑÑ ½ Ò Ä ÑÑ ¾ b) Ò c) Ø Ö Ô ÓÒØ Ò C 4 Û Ó Ú ÖØ Ö a, b, c, d Ø Ò Ò ÓØ xy zv = 0 ÓÖ xy zv 0 Û Ú c 16 ac < bd ÓÖ c 16 = min{c 8, c 9, c 10 }º ÙØ Ø ÓÒØÖ Ø a, b, I 1 c, d I 2 Ò c 16 ac c 16 z 2 bdº Ì Ù Ø Ö Ô Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò C 4 º Ï Û ÐÐ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ º Ä ÑÑ Ì Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c 17 Ù Ø Ø G(X, Y ) Ô ÖØ Ø Ö Ô Û Ø X = m, Y = n Û Ø ÓÙØ C 4 Ø Ò ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø ½

Û Ú e(g) c 17 mn 1/2 + n. ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ º Ë Ò Ò ½¼ º Ì Ù Ý Ä ÑÑ G Ð Ø Ò A B 1/2 + B Û ÔÖÓÚ Ø ÖØ Ø ÓÒ ÓÖ {(a, b) : a A I 1, b B I 2, ab p(x) Kx s ÓÖ Ò x + α N} Ï Ú Ø Ð Ø 2 log 2/ log c 16 Ù ÒØ ÖÚ Ð I j Ò Ø ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ º ÈÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º Á ÓÒ Ø ÓÒ a) ÓÐ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ Û ÓÚ Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð [N, N + 1,..., 2N] [M, M + 1,...,2M] Ý Ó ÒØ Ù ÒØ ÖÚ Ð Ó Ø ÓÖÑ [z, c 1/2 17 z]º Ï Ò ÓÒ Ø ÓÒ b) ÓÐ Û ÓÚ Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð [N, N + 1,...,N 2 ] [M, M + 1,...,M 2 ] Ý Ó ÒØ Ù ÒØ ÖÚ Ð Ó Ø ÓÖÑ [z, z 3/2 ]º ÁÒ c) Û Ú ÓÒÐÝ ØÛÓ Ù ÒØ ÖÚ Ð I 1 = I 2 = Nº ÓÖ Ú Ò Ù ÒØ ÖÚ Ð I 1, I 2 Û Ò Ø Ö Ô G Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º Ï ÓÒ ØÖÙØ Ö Ô G 0 ÖÓÑ G Ý Ö ÑÓÚ Ò ÖØ Ò Ó G Ó Ø Ø ÓÖ x Ù Ø Ø Ø Ö Ö a A b B Û Ø ab p(x) Kx s. ½ µ Ø Ö Û ÐÐ Ü ØÐÝ ÓÒ (a, b) Ð Ø Û Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØݺ ËÙÔÔÓ Ò G 0 ÓÒØ Ò C 4 Û Ó Ú ÖØ Ö a, b, c, dº Ý Ä ÑÑ xy zv = 0 Ø Ò Ò x, y, z, v Ö Ö ÒØ ÒÙÑ Ö Ø Ù Û Ú c 14 (ac) m s < bdº Í Ò Ø Ò Ä ÑÑ ½ Ò a) Ò b) Û Ó Ø Ò Ø Ø G 0 Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò C 4 Ó Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Û Ø Ø Ø Ø Ñ Òغ ½

ÆÓÛ ÓÒ Ö Ø c)º Ï Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ r Ù Ø Ø Ö Ô G 0 Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò K 2,r Û Ó Ð Ö {a, b} Ò {d 1, d 2...,d r } Û Ö a < b < d 1 < < d r º ad i = p(x) + O(x s ), bd i = p(v) + O(v s ). Ì Ò Ý Ø ØÖ Ò Ð Ò ÕÙ Ð ØÝ Û Ú bp(x) ap(y) = O(max{bx s, ay s }), bx n ay n = O(max{bx m, ay m }). Ä ÑÑ Á a, b Ò n Ö ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Û Ø n 3 Ò c ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö Ø Ò Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ax n by n c Ø ÑÓ Ø ÓÒ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ (x, y) Û Ø max{ ax n, by n } > β n c αn, Û Ö α n Ò β n Ö Ø Ú ÐÝ ÓÑÔÙØ Ð ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ Ø Ý Ò { } 3n 2 2(n 1) α 3 = 9, α n = max, ÓÖ n 4 2(n 3) n 2 Ò β 3 = 1152.2, β 4 = 98.53, β n < n 2 ÓÖ n 5. ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ º Ì Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ó ½¾ º Ý Ä ÑÑ Ø Ö Ö ÓÒÐÝ ÓÒ x Ò y Ù Ø Ø max{ bx n, av n } > β n (max{ bx m, av m }) αn. ½

Ï Ò Ø Ó ÒÓØ ÓÐ x n max{x n, v n } < β n b αn x αnm ÓÖ v n max{x n, v n } < β n a αn v αnm, Û Ò Û Ø ÓÖ ÐÐ d i Û Ø ÓÒ Ü ÔØ ÓÒ d i < max{ad i, bd i } max{x n, v n } < (β n b αn ) n/(n αnm). Ä Ø ad i+1 = p(z) + O(z s ) bd i+1 = p(y) + O(y s )º Ì Ò a, b, d i, d i+1 ÓÖÑ C 4 Ò G 0 Ò Ò x, y, z, v Ö Ö ÒØ Ý Ä ÑÑ xy zv = 0 Û Ú c 14 (ad i ) m s < bd i+1 º Í Ò Ä ÑÑ ½ Û Ø c 9 (ad i ) n m 1 < bd i+1 º Ì Ù c 18 (ad i ) min{m s,n m 1} < bd i+1 ÐÛ Ý ÓÐ Ó b < d i Ò a Ö Ð Ö ÒÓÙ Û Ú d min{m s,n m 1} i < d i+1. Ì Ù d (r 1)(min{m s,n m 1}) 1 < d r 1 < (β n b αn ) n/(n αnm) < (β n d 1 ) n/(n αnm) Û ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö Ô G 0 Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò K 2,r Ò Ø c)º Í Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ Û Û ÐÐ Ø Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º Ä ÑÑ ÙÑ Ø Ø G(X, Y ) Ô ÖØ Ø Ö Ô Û Ø X = m Y = n Ò Ø Ú ÖØ Ö Ð Ð Ý ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö º ËÙÔÔÓ Ø Ø G(X, Y ) Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò K r,t Ù Ö Ô G 0 ÓÖ Û a 1 a 2 a r G 0 = b 1 b 2 b t ½

Û Ø a i < b j ÓÖ ÐÐ 1 i r 1 j t Û Ö Ø a³ ÐÓÒ ØÓ V 1 Ò Ø b³ ÐÓÒ ØÓ V 2 ÓÖ Ú Ú Ö µº Ì Ò G Ø ÑÓ Ø e(g) 2(t 1) 1/r nm 1 1/r + 2(r 1)n º ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ º Ë Ò º ÈÖÓÓ Ó ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º ÓÒ Ö Ø Ñ Ö Ô G Ò ÙØ Û Ó ÒÓØ Ö ÑÓÚ Ø µº Í Ò Ä ÑÑ ½ Û Ò ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ø ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ò Ø Ñ Û Ý Ò Ì ÓÖ Ñ ¾º Ê Ö Ò ½ º ÓÐÐÓ º ÜØÖ Ñ Ð Ö Ô Ì ÓÖݺ Ñ ÈÖ ÄÓÒ ÓÒ¹Æ Û ÓÖ ½ º ¾ º Ù Ù º Ù ÐÐ ÇÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÔ ÒØÙ ÓÖ Ö ÔÓÛ Ö Å Ø º ÈÖÓº Ñ Ö È ÐÓ º ËÓº ½ ¾¼¼ µ ½¹½¼º º ٠٠ú Ý ÖÑ Ø ÇÒ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÔ Ò¹ ØÙ Ù Ñ ØØ º º Ù ÐÐ Ò ÓÐÙØ ÓÙÒ ÓÖ Ø Þ Ó ÓÔ ÒØ Ò m¹øùôð º ÆÙÑ Ö Ì ÓÖÝ ¾¼¼½µ ½¾ ¹½ ¼º º Ù ÐÐ ÇÒ ÓÔ ÒØ Ò ÕÙ ÒØÙÔÐ Ø Ö Ø º ½ ½ µ ¹ º º Ù ÐÐ ÇÒ Ø Þ Ó ÓÔ ÒØ Ò m¹øùôð Å Ø º ÈÖÓº Ñ Ö È ÐÓ º ËÓº ½ ¾ ¾¼¼¾µ ¾ ¹ º ½

º Ù ÐÐ Ì Ö Ö ÓÒÐÝ Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÓÔ ÒØ Ò ÕÙ ÒØÙÔРº Ö Ò Ò Ûº Å Ø º ØÓ ÔÔ Öº º Ù ÐÐ Ò º ÄÙ ÇÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÔ ÒØÙ Û Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÊÓ Ý ÅÓÙÒØ Ò Âº Å Ø º ØÓ ÔÔ Öº Ⱥ Ö ÇÒ ÕÙ Ò Ó ÒØ Ö ÒÓ ÓÒ Ó Û Ú Ø ÔÖÓ ÙØ Ó ØÛÓ ÓØ Ö Ò ÓÒ ÓÑ Ö Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÌÓÑ º Ó º ÍÒ Úº Í Ò Ôº ¾ ½ µ ¹ ¾º ½¼ Ⱥ Ö ÇÒ ÓÑ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ô Ø ÓÖÝ ØÓ ÒÙÑ Ö Ø ÓÖ Ø ÔÖÓ ¹ Ð Ñ È٠к Ê Ñ ÒÙ Ò ÁÒ Øº ½ ½ µ ½ ½¹½ º ½½ Ⱥ Ö ÉÙ ÐÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø ÓÖ ÒÓÑ Ö Ò ÅÓÒÓ Ö Ô º Ò Òº Å Ø º Ò Ú ½ ½¹½ º ½¾ ºÀº Ú ÖØ ÍÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÓÔ ÒØ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Å Ì ½ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ñ Ø Ö Ñ ½ º ½ ú Ý ÖÑ Ø ÇÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÔ ÒØÙ Ø Ö Ø º º½ ¾¼¼½µ ¹ º ½ Àº ÁÛ Ò º Ë Ö ÞÝ ÇÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ý Ö ÔÖÓ Ð Ñ Âº ÆÙÑ Ö Ì ÓÖÝ ¾ ÆÓº ½ ½ µ ¹ º ½ ̺ Ã Ú Ö ÎºÌº Ë Èº ÌÙÖ Ò ÇÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ãº Ö Ò Û Þ ÓÐÐÓ¹ ÕÙ ÙÑ Å Ø º ½ µ ¼¹ º ½ º Ê Ú Ø º Ë Ö ÞÝ ºÄº ËØ Û ÖØ ÓÒ ÖÙ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ω¹ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ ÙÑ Ø ÁÐÐ ÒÓ Âº Å Ø º ½ µ ÒÓº ½ ½¹½ º ¾¼

½ Ϻ Ë ÖÔ Ë Ð Ø ÓÒ Ó ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ì ÓÖÝ Ó ÆÙÑ Ö È Ö ¹ ÑÓÒ ÈÖ ½ º ½ Ï Ò¹ Ù Ò ÇÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ý Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ø º ½ ½ µ ¹ º ¾½