A generalized preimage for the digital analytical hyperplane recognition Martine Dexet, Eric Andres To cite this version: Martine Dexet, Eric Andres. A generalized preimage for the digital analytical hyperplane recognition. Discrete Applied Mathematics, Elsevier, 009, 157 (3), pp.476-489. <10.1016/j.dam.008.05.030>. <hal-00354684> HAL Id: hal-00354684 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00354684 Submitted on 1 Jan 009 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ÓÖ Ø Ø Ð Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Åº Ü Ø a, a ÄÁÊÅÅ ¹ ÆÊË ½ ½ ÖÙ ¾ ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö Ü Ö Ò º Ò Ö b b ËÁ غ ËȾÅÁ Ú Å Ö Ø È ÖÖ ÙÖ È ¼½ ¾ ÙØÙÖÓ ÓÔ Ò Ù Ð Ü Ö Ò ØÖ Ø Ò Û Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ÔÖ ÒØ º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÐÓÛ Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ù Æ Ú ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÓÒ º Ì ÔÖ Ò ÔÐ ØÓ ÒÖ Ñ ÒØ ÐÐÝ ÓÑÔÙØ Ò Ù Ð Ô Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó Ø ÐÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø ÓÖ Ò ØÓ Ø Ó Ò Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ðº ÔÓ ÒØ Ò Ø ÔÖ Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø Ø Þ Ø ÓÒ Ó Û ÓÒØ Ò ÐÐ Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð º Ò Ú ÒØ Ó Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ø Ø Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÐÓ Ø ÓÒ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÔÖÓÔÓ Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ØÓ ÓÒÒ Ø ÓÖ ÓÖ Ö Ò ÒÝ Û Ýº Ã Ý ÛÓÖ Ø Ð ÓÑ ØÖÝ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ Ø Ð ÓÑ ØÖÝ Ó Ø Ö Ù Ù ÐÐÝ ÓÒ Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ ÓÖ ÝÔ Ö¹ ÚÓÜ Ð Ô Ü Ð Ò ¾ Ò ÚÓÜ Ð Ò µ Ø º ÁÒ Ø Ø ØÖÙØÙÖ Ð ¹ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÑÓ ØÐÝ Ù ØÓ ØÓÖ Ø Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ö Û Ó Ø Ò Ó Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ó ÒÓØ ÔÖÓÚ ÒÝ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ô ÓÖ ØÓÔÓÐÓ Ý Ó Ø Ð Ó Ø º ÒÓØ Ö Û Ý Ó Ó Ø Ò Ò Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙØ ÓÖº Ñ Ð Ö Å ÖØ Ò º Ü ØÐ ÖÑѺ Ö Åº Ü Øµ Ò Ö ºÙÒ Ú¹ÔÓ Ø Ö º Ö º Ò Ö µº ÈÖ ÔÖ ÒØ Ù Ñ ØØ ØÓ Ð Ú Ö Ë Ò ¼ ÔÖ Ð ¾¼¼
Ø Ð Ó Ø Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÑÔÓ Ø ÓÒº Ì ÔÖÓ ÐÐ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ð ÔÓ ÒØ Ø ÓÖÑ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ñ ÒØ Ø Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÙÒ Ö ÓÒº Ì Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ö Ñ ÒÐÝ Ò ØÙ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ò ½ ÓÖ Ò ÓÚ ÖÚ Û ÓÒ ¾ Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ µ Û Ø Ú Ö ÓÙ ÔÔÖÓ Ù Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ø Ò ÕÙ ¾ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ Ñ Ø ¹ Ó ÓÖ ÔÖ Ñ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ º Î ÖÝ Û Ô Ô Ö Ò Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ñ Ò ÓÒ ½¼ º ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ò ¹ ÒÝ Ô Ø Ó Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÒÚ Ø Ø Ò ½½ º Ì ÔÖ ÒØ Ô Ô Ö Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ò Û Û ÔÖÓÔÓ Ò Ö Ð Þ ÔÔÖÓ ÓÖ Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ù Æ Ú ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ù Ò Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ º ÁÒ ÓÖÑ ÐÐÝ Ø ÔÖ Ñ ½¾ Ó ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø ÓÒ Ø Ó ÐÐ ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø Ø Þ Ø ÓÒ Ó Û ÓÒØ Ò Ø Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ø ÔÖ Ñ Ó ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø ÓÑÔÙØ Ò Ù Ð Ô Û Ö ÔÓ ÒØ Ñ ÔÔ ÓÒØÓ ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÈÖ Ñ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ò Ò ÓÒ Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÐÓ Ø ÓÒ Ú Ò ÔÖÓÔÓ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ò ½ º ÁÒ Ø ÛÓÖ Û Ô Ö ÓÖÑ Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ý ÓÑÔÙØ Ò Ø Ø Ó ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û ÒØ Ö Ø Ø ÐÐ Ø Ó Ø ØÓ Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø ÓÖ Ò ØÓ Ø Ó Ò Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ðº ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ó Ø Ø Û ÒÖ Ñ ÒØ ÐÐÝ ÓÑÔÙØ Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó Ø ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ð º Ì ÔÖ Ñ Ò Ò ÒÝ Ñ Ò ÓÒ Ò Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ò ÐÓ Ø ÓÒº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ø ÓÑÔÙØ ÖÓÑ Ø Ù Ð Ó Ø ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ÝÔ ÖÚÓÜ Ðº ÁÒ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ù Ð Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û ÙØ Ø ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ðº À Ò Ñ ÓÖ Ô ÖØ Ó Ø Ô Ô Ö ÚÓØ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÐÐ Ó Ø ØÓ Ò Ò ÐÝØ Ð Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ðº Ö Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ö Ò º Ì Ò Û ÓÛ Ø Ø Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò ÓÑÔÙØ ÖÓÑ Ø ÜØÖÙ ÓÒ Ó Ø Ù Ð Ó Ø Ú ÖØ º Ò ÐÐÝ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÐÐ Ù Ð ÓÖÑ Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ º Ì Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ ÓÒ Ø Ø Ö ÓÖ ÑÔÐÝ Ò ÓÑÔÙØ Ò Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó ÐÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø º º ÓÑÔÙØ Ò Ø Ù Ð Ó ÐÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Øµº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Û Ø ÖØ Û Ø Ø Ù Ð Ó ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ò Ø Ù Ð Ó Ø ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÓØ Ö ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÐÓÒ Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ÒÓØ ÑÔØݺ ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¾ Û ÒØÖÓ Ù ÓÑ ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ Û ÐÐ Ø Æ Ú ¾
ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö ÔØ ÓÒ º ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û Ø ÖÑ Ò Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò ÒØÖÓ Ù Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó ÔÓÐÝØÓÔ Øº Ì Ò Û ÜÔÐ Ò Ò Ë Ø ÓÒ ÓÛ ÓÙÖ Ø Ð Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÛÓÖ º Ï Ô ÐÐÝ ÓÙ ÓÒ Ø Æ Ú ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÓÒÐÙ ÓÒ Ò ÙØÙÖ ÛÓÖ Ö ÔÖÓÔÓ Ò Ë Ø ÓÒ º ¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö Ø ÔÖÓÔÓ ÓÑ ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ú Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ò Ðк Ì Ò Û ÔÖ ÒØ ÓÙÖ Ø Þ Ø ÓÒ Ò ÐÝØ Ð ÑÓ Ð ÓÒ Ö Ò Ø ÛÓÖ Ø Æ Ú Ò ÐÓ Æ Ú ÑÓ Ð Ø ËØ Ò Ö ÑÓ Ð Ò Ø ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÑÓ Ðº ¾º½ ÆÓØ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ Ä Ø n Z n > 0º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Û ÐÐ ÒÓØ Ý E n Ø Ð Ð n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ Ò Ô Ò Ý 1, k Ø Ù Ø Ó ÒØ Ö Ú ÐÙ {1,..., k} Zº ÅÓÖ ÓÚ Ö ÔÓ ÒØ Û Ø ÒØ Ö¹Ú ÐÙ ÓÓÖ Ò Ø p Z n Û ÐÐ ÐÐ Ø Ð ÔÓ Òغ Ï Ò Ò α¹ ÝÔ ÖÙ α R ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ ½ ÀÝÔ ÖÚÓÜ Ðµ Ì ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÓÖ n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù µ Ò¹ Ø Ö ÓÒ Ø Ø Ð ÔÓ ÒØ (c 1,...,c n ) Z n Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ (x 1,...,x n ) R n Ú Ö Ý Ò i 1, n, c i 1 x i c i + 1 ÀÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ò Ö Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÐÐ Ô Ü Ð Ò ÚÓÜ Ð º Ò Ø ÓÒ ¾ Ðе Ä Ø d Ø Ò Ò R n º Ì Ò Ø ÐÐ B d (c, r) Û Ø ÒØ Ö c R n Ò Ö Ù r R Ò Ý B d (c, r) = {x R n d(c, x) r} ¾º¾ Ö Ø Ò ÐÝØ Ð ÑÓ Ð ÁÒ Ø ÛÓÖ Û ØÙ Ý ÓÙÖ Ø Ð Ò ÐÝØ Ð ÑÓ Ð Ø Æ Ú ÑÓ Ð ½ ½ Ø ÐÓ Æ Ú ÑÓ Ð ½ Ø ËØ Ò Ö ÑÓ Ð ½ Ò Ø ËÙÔ ÖÓÚ Ö
ÑÓ Ð ½ ½ º Ì ÑÓ Ð Ö Ò Ò ÒÝ Ñ Ò ÓÒ Ò ÔÖÓÚ ¹ Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ò Ó Ø º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ò Ò ÐÐ Ó Ø ØÓ ÑÓ Ðº ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ú ÓÖ ÑÓ Ð Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÖ n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÐ Ò µ Ò Ö ÔÖ ÐÝ Ø Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø Ø Ò Ò Ø ÐÐ Ó Ø ØÓ Ø ÑÓ Ðº ¾º¾º½ Ì Æ Ú ÑÓ Ð ½ ½ Æ Ú Ò ÐÓ Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ò Ò ÐÝØ ÐÐÝ ÓÐÐÓÛ ¹ ÙÖ ½µ Ò Ø ÓÒ Æ Ú ÀÝÔ ÖÔÐ Ò ½ µ Ì Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø Ô Ö Ñ¹ Ø Ö (c 0,...,c n ) R n+1 Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ (x 1,...,x n ) Z n Ú Ö Ý Ò max 1 i n c i c 0 + c i x i < max 1 i n c i Û Ö c 1 0 ÓÖ c 1 = 0 Ò c 0 ÓÖ º º º ÓÖ c 1 = c =... = c n 1 = 0 Ò c n 0º Ò Ø ÓÒ ÐÓ Æ Ú ÀÝÔ ÖÔÐ Ò ½ µ Ì ÐÓ Æ Ú ÝÔ Ö¹ ÔÐ Ò Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö (c 0,...,c n ) R n+1 Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ (x 1,...,x n ) Z n Ú Ö Ý Ò max 1 i n c i c 0 + c i x i max 1 i n c i º ½º Ü ÑÔÐ Ó Æ Ú Ò ÐÓ Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Æ Ú Ð Ò ÐÓ Æ Ú Ð Ò º Ê Ñ Ö Ä Ø p = (x 1,...,x n ) R n Ò p = (x 1,...,x n ) Rn º Ì ¹ Ø Ò Ó Ø ØÓ Ø Æ Ú ÑÓ Ð Ø Ø Ò d 1 Ò Ý d 1 (p, p ) = x i x i Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÐ B d1 (c, 1) c Zn º ÓÖ Ò Ø Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ø ÐÐ B d1 (c, 1 ) Ö ÙÐ Ö Ö ÓÑ Ù º
À Ò Ø ÐÓ Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ð Ó ÓÒ Ø Ó Ø ÒØ Ö Ó ÐÐ ÐÐ Û Ö ÒØ Ö Ø Ý Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÙÖ ¾ µ Û Ö Ø Æ Ú ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ø ÒØ Ö Ó ÐÐ ÐÐ ÙØ Ý Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò Ü ÔØ Û Ò ÐÐ Ú ÖØ Ü ÒØ Ö Ø ÙÖ ¾ µº ÁÒ Ø Ú Ö Ð ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÒØ ØÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ó ÒÓØ ÐÓÒ ØÓ Ø Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒº Ì Ù ØÓ Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ð ØÝ Ò Ò Ø ÓÒ ØÖ Øº º ¾º ÁÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÐ Ó Ø ØÓ Ø Æ Ú ÑÓ Ð ÐÐ Ó Ø ØÓ Æ Ú Ð Ò ÐÐ Ó Ø ØÓ ÐÓ Æ Ú Ð Ò º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ä Ø B ÐÐ B d1 (c, 1 ) c Z n Ò Ð Ø H ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ c 0 + n c i x i = 0 Ø Ø Ô Ø ÖÓÙ Ú ÖØ Ü v = (v 1,..., v n ) Ó Bº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ø c i 0 Ú Ö c i > 0º Ä Ø j 1, n Ù Ø Ø c j = max n c i º Ì Ò c j > 0 Ö Ôº c j < 0µ Ø Ø Ð ÔÓ ÒØ (v 1,...,v j 1, v j 1, v j+1,...,v n ) Ö Ôº (v 1,...,v j 1, v j + 1, v j+1,...,v n )µ ÐÓÒ ØÓ Ø Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒ Ó Hº ÈÊÇÇ º Ý Ò Ø ÓÒ Ø Ð ÔÓ ÒØ p = (x 1,...,x n ) ÐÓÒ Ò ØÓ Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Ú Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÕÙ Ð Ø max 1 i n c i c 0 + c i x i < max 1 i n c i Ë Ò c j = max n c i Û Û ÒØ ØÓ Ø ÖÑ Ò k { 1, 1} Ù Ø Ø c j = c 0 +,i j c i v i + c j (v j + 1 k) Ì Ò Ò c 0 + n c i v i = 0 Û Ú À Ò c j > 0 Û Ú c j = 1 kc j, k { 1, 1}
c j = 1 kc j, k { 1, 1} Ò Ó Û Ù Ø Ø k = 1º Ð c j > 0 Û Ú c j = 1 kc j, k { 1, 1} Ò Ø Ò Û Ù Ø Ø k = 1º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ º º º Ø Ð ÔÓ ÒØ ÐÓÒ Ò ØÓ Ø Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ò Ð Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø ÐÓÔ Ó Ø Ð Ò Ò Ö Ö Ýµº ¾º¾º¾ Ì ËØ Ò Ö ½ Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ½ ½ ÑÓ Ð ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ò Ò ÐÝØ ÐÐÝ ÓÐÐÓÛ ÙÖ µ Ò Ø ÓÒ ËØ Ò Ö ÀÝÔ ÖÔÐ Ò ½ µ Ì ËØ Ò Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö (c 0,...,c n ) R n+1 Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ (x 1,..., x n ) Z n Ú Ö Ý Ò n c i c 0 + c i x i < n c i Û Ö c 1 0 ÓÖ c 1 = 0 Ò c 0 ÓÖ º º º ÓÖ c 1 = c =... = c n 1 = 0 Ò c n 0º Ò Ø ÓÒ ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÀÝÔ ÖÔÐ Ò ½ µ Ì ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö (c 0,...,c n ) R n+1 Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ (x 1,...,x n ) Z n
Ú Ö Ý Ò n c i c 0 + c i x i n c i º º Ü ÑÔÐ Ó ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ ËØ Ò¹ Ö Ð Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö Ð Ò º Ê Ñ Ö Ä Ø p = (x 1,...,x n ) R n Ò p = (x 1,...,x n ) Rn º Ì ¹ Ø Ò Ó Ø ØÓ Ø ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÑÓ Ð Ø Ø Ò d Ò Ý d (p, p ) = sup x i x i i 1,n Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÐ B d (c, 1) c Z n º ÓÖ Ò Ø Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ø ÐÐ B d (c, 1) Ô Ü Ðº À Ò Ø ËÙÔ ÖÓÚ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ð Ó ÓÒ Ø Ó Ø ÒØ Ö Ó ÐÐ ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Û Ö ÒØ Ö Ø Ý Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÙÖ µ Û Ö Ø ËØ Ò Ö ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ø ÒØ Ö Ó ÐÐ ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÙØ Ý Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò Ü ÔØ Û Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ú ÖØ Ü ÒØ Ö Ø ÙÖ µº ÁÒ Ø Ú Ö Ð ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÒØ ØÓ Ø Ú ÖØ Ü Ó ÒÓØ ÐÓÒ ØÓ Ø ËØ Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒº Ì Ù ØÓ Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ð ØÝ Ò Ò Ø ÓÒ ØÖ Øº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¼ Ä Ø B ÐÐ B d (c, 1) c Z n Ò Ð Ø H ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ c 0 + n c i x i = 0 Ø Ø Ô Ø ÖÓÙ Ú ÖØ Ü v = (v 1,..., v n ) Ó Bº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ø c i 0 Ú Ö c i > 0º Ì Ò Ø Ð ÔÓ ÒØ (x 1,...,x n ) ÐÓÒ Ò ØÓ Ø Ø Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó H Ú Ö ÓÖ ÐÐ i 1, n x i = v i + 1 c i < 0 x i = v i 1 c i > 0 x i = v i + 1 ÓÖ x i = v i 1 c i = 0º
ÈÊÇÇ º Ý Ò Ø ÓÒ Ø Ð ÔÓ ÒØ p = (x 1,...,x n ) ÐÓÒ Ò ØÓ ËØ Ò¹ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ú Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÕÙ Ð Ø n c i c 0 + c i x i < n c i Ï Û ÒØ ØÓ Ø ÖÑ Ò k i { 1, 1} i 1, n Ù Ø Ø n c i = c 0 + c i (v i + 1 k i) Ø Ø Ò c 0 + n c i v i = 0 n c i = 1 k ic i À Ò Û Ú Ò Ø Ò ( c i k i c i ) = 0 (k i c i k i c i ) = (k i k i)c i = 0 Û Ø k i 1, 1 Ò k i c i 0 ÀÓÛ Ú Ö Ò i 1, n (k i k i )c i 0 Û Ù Ø Ø Ø Ø c i > 0 Ø Ò k i = 1 c i < 0 Ø Ò k i = 1 c i = 0 Ø Ò k i = 1 ÓÖ k i = 1º i 1, n, k i = k i ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¼ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½½º
º º Ø Ð ÔÓ ÒØ ÐÓÒ Ò ØÓ Ø Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ò Ð Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø ÐÓÔ Ó Ø Ð Ò Ò Ö Ö Ýµº Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ò Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Û Ù Ù Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Û ÐÐ ÒÓÛÒ ÀÓÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Û Ò ÒØ ØÓÓÐ Ù Ù ÐÐÝ Ù Ò Ñ ÔÖÓ Ò ØÓ Ö Ó Ò Þ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ò Ò Ñ º Ö Ú Û ÓÒ Ü Ø Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó ÔÖ ÒØ Ò ¾¼ º ÁÒ Ø ØÛÓ ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ Û Ö Ø Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ò Û ÓÙÖ Ù Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ô Ö ÓÖÑ Û ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó ÔÓ Òغ Ì Ò Û Ö Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò Ò Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Û Ø Ó Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖ ÒØ Ò Ë Ø ÓÒ º º½ Ò Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÔ ÖØ ÁÒ Ø ÛÓÖ Û Ù Ø n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ô P n R n Ò Ò Ø ØÛÓ ÙÒØ ÓÒ D E : E n P n Ò D P : P n E n Ý D E (x 1,...,x n ) = D P (y 1,...,y n ) = { (y 1,...,y n ) P n y n = { (x 1,...,x n ) E n x n = n 1 n 1 x i y i + x n } y i x i + y n } ÁÒ ÓÖÑ ÐÐÝ ÔÓ ÒØ Ò E n Ö Ôº P n µ ØÖ Ò ÓÖÑ Ý D E Ö Ôº D P µ ÒØÓ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò P n Ö Ôº E n µº ÁÒ Ø Ö Ø Ó Ø Ô Ô Ö Û Û ÐÐ Ò Ö ÐÐÝ ÛÖ Ø Dual ÓÖ D E ÓÖ D P º Ò Ø ÓÒ ½½ Ù Ð Ó Øµ Ä Ø O Ù Ø Ó R n º Ì Ò ÐÐ Ø Ù Ð Ó Oº Dual(O) = p O Dual(p)
ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¾ Ä Ø O 1 Ò O ØÛÓ Ù Ø Ó R n Ù Ø Ø O 1 O º Ì Ò Dual(O 1 ) Dual(O ) ÈÊÇÇ º Ë Ò O 1 O Û Ù Ø Ø Dual(O ) = p O Dual(p) = [ p O 1 Dual(p) ] [ p O \O 1 Dual(p) ] º Ì Ò Dual(O 1 ) Dual(O )º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ù ÖÓÑ ÓÙÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ð Øݺ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ Ä Ø O 1 Ò O ØÛÓ Ù Ø Ó R n º Ì Ò Dual(O 1 O ) = Dual(O 1 ) Dual(O ) ÈÊÇÇ º Dual(O 1 O ) = p O 1 O Dual(p) = [ p O 1 Dual(p) ] [ p O Dual(p) ] = Dual(O 1 ) Dual(O )º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ Ä Ø O 1 Ò O ØÛÓ Ù Ø Ó R n º Ì Ò Dual(O 1 O ) Dual(O 1 ) Dual(O ) ÈÊÇÇ º Ë Ò O 1 O O 1 Ò O 1 O O Û Ù Ø Ø Dual(O 1 O ) Dual(O 1 ) Ò Dual(O 1 O ) Dual(O )º Ì Ù Dual(O 1 O ) Dual(O 1 ) Dual(O )º Ê Ñ Ö ½ Ä Ø p R n ÔÓ Òغ Ì Ù Ð Ó ÔÓ ÒØ Û Ð Ò Dual(p) ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ô Ø ÖÓÙ pº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò ÓÖ Ö ØÓ Ö Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Û Ò ØÓ Ò Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó ÔÓ ÒØ ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ ½ ÈÓ Ø Ú Ò Æ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ µ Ä Ø p = (x 1,...,x n ) R n ÔÓ Òغ Ì ÔÓ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó p Ò Ý p + = {p = (x 1,...,x n) R n i 1, n 1, x i = x i Ò x n x n} ÁÒ Ø Ñ Û Ý Ø Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó p Ò Ý ½¼
p = {p = (x 1,...,x n ) Rn i 1, n 1, x i = x i Ò x n x n } Ä Ø O 1 Ò O ØÛÓ Ù Ø Ó R n Ù Ø Ø O 1 O º Ì Ò O + 1 O + Ò O 1 O º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ù ÖÓÑ ¹ Ò Ø ÓÒ ½ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ Ä Ø O 1 Ò O ØÛÓ Ù Ø Ó R n º Ì Ò (O 1 O ) + = O + 1 O + ÁÒ Ø Ñ Û Ý (O 1 O ) = O 1 O º ÈÊÇÇ º (O 1 O ) + = p O 1 O p + = [ p O 1 p +] [ p O p +] = O 1 + O + º Ì ÔÖÓÓ Ó (O 1 O ) = O1 O Ó Ø Ò Ò Ø Ñ Û Ýº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ Ä Ø p R n ÔÓ Òغ Ì Ò Dual(p) + = Dual(p + ) ÁÒ Ø Ñ Û Ý Dual(p) = Dual(p )º ÈÊÇÇ º Ä Ø Ù ÓÒ Ö p = (x 1,...,x n ) E n º Ì Ò Dual(p + ) = D E (p + ) = p p + Dual(p ) = p =(x 1,...,x n) p + {(y 1,...,y n ) P n y n = n 1 {(y 1,...,y n ) P n y n x i y i + x n } = p D E (p) n 1 x iy i + x n} = p + = D E (p) + = Dual(p) +. Ì ÔÖÓÓ Ó Dual(p) = Dual(p ) Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ñ Û Ýº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ º º¾ ÈÓÐÝØÓÔ Ù Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÛÓÖ Û Ò ØÓ Ò Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ º Ò n¹ôóðýøóô n Z Ò ÓÐÐÓÛ ½½
p Dual(p) p Dual(p) º º ÈÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó ÔÓ ÒØ p Ð ¹Ð Ò µ Ò Ø Ö Ù Ð Ó Ø Ð ¹ Ô ÈÓ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó p Æ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒº Ò Ø ÓÒ ½ n¹ôóðýøóô µ Ä Ø P ÔÓÐÝØÓÔ Ò Ñ Ò ÓÒ n ÓÖ n¹ ÔÓÐÝØÓÔ º Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ò Ø Ø Ó k Ð ¹ Ô H = {H 1,...,H k } Ù Ø Ø P = k H i Ò Ù Ø Ø H i Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÖÑ Ò Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø Ð ¹ Ô H i ÓÖ ÓÙÒ ÖÝ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ó H i µ Ø Ò i 1, k, H i P º ÆÓØ Ø ÓÒ Ä Ø P Ò n¹ôóðýøóô Ò Ð Ø H Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð ¹ Ô Øº Ï Ò Ø Ö Ù Ø Ó H ÒÓØ H 0 H + Ò H ÓÐÐÓÛ H 0 Ø Ð ¹ Ô Ø Ò H Ò Ý Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ c n + n 1 c i X i 0 ÓÖ Ñ Ð Ö ØÓ c n + n 1 c i X i 0 Û Ø (c 1,...,c n ) E n º H + Ø Ð ¹ Ô Ø Ò H Ò Ý Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ X n c n + n 1 c i X i (c 1,...,c n ) E n º H Ø Ð ¹ Ô Ø Ò H Ò Ý Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ X n c n + n 1 c ix i (c 1,...,c n ) E n º ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÒÓØ H 0 H + Ò H Ø Ø Ö ÓÙÒ ÖÝ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ô Ø Ú ÐÝ ØÓ Ø Ð ¹ Ô Ø H 0 H + Ò H º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾¼ Ä Ø P Ò n¹ôóðýøóô º Ì Ò P = P + P Û Ø Ò P + = H H (H 0 H + ) P = H H (H 0 H ) ½¾
ÈÊÇÇ º Ä Ø Ù ÔÖÓÚ P c + = H (H 0 H + ) Hº Ì ÔÖÓÓ Ó P c = H Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ñ Û Ýº H (H 0 H ) Ä Ø p = (p 1,..., p n ) P + c º Ì Ò Ø Ö Ü Ø p = (p 1,...,p n) P Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ i 1, n 1 c i = c i and c n = c n À Ò ÓÖ ÐÐ H H 0 Ò ÓÖ ÐÐ H H + p Hº Ï Ù Ø Ø p H (H 0 H ) Hº ÆÓÛ Ð Ø p = (p 1,...,p n ) H (H 0 H ) Hº Ä Ø Ù ÔÖÓ Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ò ÙÑ Ø Ø p / P c + º Ì Ò ÓÖ ÐÐ p = (p 1,...,p n) P c Ø Ö Ü Ø i 1, n 1 Ù Ø Ø c i c i or c n c nº Ì Ò Ø Ö Ü Ø H H 0 ÓÖ H H + Ù Ø Ø p / Hº Ï Ù Ø Ø p / H H 0 H Hº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾¼ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ Ò Ø Ó Ñ Ò ÓÒ ¾º 5 5 6 4 P + 4 6 4 1 P 3 1 3 P µ º º ÈÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ ¾¹ÔÓÐݹ ØÓÔ P ÈÓ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó P µ Æ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó P º Ä Ø Ù ÒÓÛ Ö Ø Ù Ð Ó Ò n¹ôóðýøóô P ÖÓÑ Ø Ú ÖØ º Ä Ø V Ø Ø Ó Ú ÖØ Ó P º Ï Ò ØÛÓ Ù Ø Ó V ÒÓØ V + Ò V ÓÐÐÓÛ V + = {v V H H +, v H P } V = {v V H H, v H P } Ï Ò Ò ÙÖ Ø Ø Ø Ú ÖØ ÒÙÑ Ö ½ ¾ Ò ÐÓÒ ØÓ Ø Ú ÖØ Ü Ø V + Ó P º ÁÒ Ø Ñ Û Ý Ú ÖØ ÒÙÑ Ö Ò ÐÓÒ ØÓ Ø Ú ÖØ Ü Ø V º Ì Ù Ð Ó Ò n¹ôóðýøóô Ò Ø Ò Ò Ý ½
Ì ÓÖ Ñ ¾½ Ù Ð Ó ÈÓÐÝØÓÔ µ Ä Ø P Ò n¹ôóðýøóô V + Ò V Ø ØÛÓ Ú ÖØ Ü Ø Ò ÔÖ Ú ÓÙ Ðݺ Ì Ò Dual(P) = Dual(v) + Dual(v) v V + v V ÈÊÇÇ º Ä Ø Ù Ö Ø ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ Ä ÑÑ ¾¾ Ä Ø P Ò n¹ôóðýøóô º Ì Ò Dual(P) = Dual(P) + Dual(P) ÈÊÇÇ º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÙÑ Ø Ø H E n º Ë Ò Dual(P) Dual(P) + Ò Dual(P) Dual(P) Û Ù Ø Ø Dual(P) Dual(P) + Dual(P) º Ï ÒÓÛ ÔÖÓÚ Ø Ø Dual(P) + Dual(P) Dual(P)º ÓÒ Ö ÔÓ ÒØ p = (x 1,...,x n ) Dual(P) + Dual(P) º Ì Ò Ò p = (x 1,...,x n) Dual(P) p p + p = (x 1,..., x n ) Dual(P) p p Ï Ù Ø Ø i 1, n 1 x i = x i = x i Ò x n x n x nº Æ ÜØ Û ÔÖÓÚ Ø Ø Dual(p) H Û ÛÓÙÐ ÑÔÐÝ p Dual(P)º Ë Ò p Dual(P) Ò p Dual(P) Û Ú Dual(p ) P Ò Dual(p ) P º Ä Ø q = (q 1,...,q n ) Dual(p ) P Ò q = (q 1,..., q n ) Dual(p ) P º Ì Ò Û Ú q n = n 1 Ë Ò x n x n x n Û Ù Ø Ø q n n 1 x i q i + x n Ò q n n 1 = n 1 x i q i + x n Ò q n x i q i + x n x i q i + x n Ì Ù Dual(p) [q, q ] º Ò ÐÐÝ Ò P ÓÒÚ Ü Û ÒÓÛ Ø Ø [q, q ] P º Ï Ø Ò Ù Ø Ø Dual(p) P º ½
Ä Ø Ù ÒÓÛ Ò ØÛÓ Ó Ø Ø F + Ò F Ý F + = {H P, H H + } Ò F = {H P, H H } Ä Ø S غ ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Û ÐÐ ÒÓØ Ý S Ø Ö Ò Ð Ó Ø Ø Sº Ô ÐÐÝ Û Ö Ñ Ö Ø Ø F + Ö Ôº F µ ÕÙ Ð ØÓ H + Ö Ôº H µº ÓÖ Ò Ø Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ø Ø F + Ö Ôº F µ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ñ ÒØ Û ÐÓÒ ØÓ Ì Ù ÓÙÒ ÖÝ Ó P Ù Ø Ø Ø Ö ØÛÓ Ò ÔÓ ÒØ Ö Ú ÖØ Ò V + Ö Ôº V µº ÁÒ ÙÖ F + ÓÑÔÓ Ó Ø Ñ ÒØ [1, ] [, 3] Ò [3, 4]º ÁÒ Ø Ñ Û Ý F ÓÑÔÓ Ó Ø Ñ ÒØ [4, 5] Ò [5, 6]º ÁÒ Ñ Ò ÓÒ Ø ØÛÓ Ø Ö ÓÑÔÓ Ó Ó P º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ò Ú Ö Ä ÑÑ ¾ Ä Ø P Ò n¹ôóðýøóô º Ì Ò ÁÒ Ø Ñ Û Ý P = F F F º P + = F F + F + ÈÊÇÇ º Ä Ø Ù ÔÖÓÚ Ø Ø P + = F + = (H i P) + = H i P F F + i 1, F +,H i H + i 1, C +,H i H + + Ö Ø Û Ú À Ò H i P P i 1, C +,H i H + H i P i 1, C +,H i H + + P + Ä Ø ÒÓÛ p P + º Ï ÒÓÛ Ø Ø P + = H H 0 H + H Û ÕÙ Ú¹ Ð ÒØ ØÓ P + = H H 0 H + H + º À Ò Û Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ H i H + i 1, C + Ø Ö Ü Ø p i = (p i1,...,p in ) H i Ù Ø Ø p p + i º Ä Ø p = (p i1,...,p in 1, p n ) Ø ÔÓ ÒØ Û Ú Ö i 1, C +, p n p i n º Ì Ò Ò P ÔÓÐÝØÓÔ Û Ú p P º Ì ÓÒ ÕÙ Ð ØÝ Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ñ Û Ýº ½
Ä ÑÑ ¾ Ä Ø P Ò n¹ôóðýøóô º Ì Ò Dual(P + ) = Dual(v) + v V + ÁÒ Ø Ñ Û Ý Dual(P ) = v V Dual(v) º ÈÊÇÇ º Ä Ø Ù ÔÖÓÚ Ø Ø Dual(P + ) = v V + Dual(v) + º Ý Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÖØ Ü v Ò V + Ø Ö Ü Ø F F + Ù Ø Ø v F º À Ò v V + v F F + F º ÅÓÖ ÓÚ Ö ( v V + v) + ( F F + F) + º Ì Ò v V + v + F F + F + º ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ Ò ØÓ Ä ÑÑ ¾ Û Ú F F + F + = P + º Ï Ù Ø Ø Dual( v V + v + ) Dual(P + ) Ò Ø Ò v V + Dual(v + ) Dual(P + )º Ä Ø Ù ÔÖÓÚ Ø ÓÒ ÒÐÙ ÓÒº Ä Ø p Dual(P + ) = Dual( F F + F + )º Ì Ò Ø Ö Ü Ø F F + Ù Ø Ø Dual(p) F + º Ä Ø Ù ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ú ÖØ Ü v Ò V Ù Ø Ø Dual(p) v + º Ä Ø Ù ÔÖÓ Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ò ÙÑ Ø Ø ÓÖ ÐÐ v F Dual(p) v + = º Ï ÒÓÛ Ø Ø Ø Ö Ü Ø H H + Ù Ø Ø F = H P = H [ ] k H i = k (H H i )º À Ò Û ÓÒ Ö Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò H Ô Û Ù Ø Ø F Ò n 1¹ÔÓÐÝØÓÔ Ò ÓÖ ÐÐ i H i H Ð ¹ Ô Ò H Ò Ø Ò F ÕÙ Ð ØÓ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ú Ö Ð Ð ¹ Ô º Ë Ò F Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ó Ø Ú ÖØ Û Ù Ø Ø v F, Dual(p) v + = Ø Ò p F, Dual(p) p = º ÅÓÖ ÓÚ Ö F + = p F p + = p F,k R + p + k OX n = k R + C+k OX n º À Ò Ò F ÔÓÐÝØÓÔ F+k OX n Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò Ø Ñ Ñ Ø Ó Ò ÔÔÐ ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø p F +k OX n, Dual(p) p = º Ñ Ð Ö ÔÖÓÓ Ò Ù ØÓ ÓÛ Ø Ø Dual(P ) = v V + Dual(v) º Ì ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾½ Ó Ø Ò ÖÓÑ Ä ÑÑ ¾ º Ì ÓÖ Ñ ¾½ ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ö Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ ÖÓÑ Ø Ù Ð Ó Ø Ú ÖØ º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò Ý Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Ó Ø ÓÒ Ò ÙÒ ÓÒ Ó Ú Ö Ð Ð ¹ Ô ÙÖ µº Ð ¹ Ô Ø ÔÓ Ø Ú ÓÖ Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò Ù Ð Ó ÓÒ Ú ÖØ Ü Ó Ø ÔÓÐÝØÓÔ º ÁÒ ÙÖ Û Ò Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ð Ó Ø ÔÓÐÝØÓÔ Ò ÙÖ º ½
4 4 4 3 Dual(P + ) 5 Dual(P ) 3 5 Dual(P ) 1 6 6 1 µ º º Ù Ð Ó ¹ÔÓÐÝØÓÔ P Ù Ð Ó Ø ÔÓ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó P Ù Ð Ó Ø Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó P µ Ù Ð Ó P º º Ì ÒÓØ ÓÒ Ó Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ò Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó Ø Ó ÔÓÐÝØÓÔ º Ì ÔÖ Ñ ÓÑ ØÖ Ð Ó Ø ÓÑÔÙØ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ô ÖÓÑ Ø Ù Ð Ó Ø ÔÓÐÝØÓÔ º ÔÓ ÒØ Ò Ø ÔÖ Ñ Ó Ø ØÓ ÝÔ Ö¹ ÔÐ Ò Û ÙØ ÐÐ ÔÓÐÝØÓÔ º Ì Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ø Ø Ò Ò ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ ¾ Ò Ö Ð Þ ÈÖ Ñ µ Ä Ø P = (P 1,...,P k ) Ø Ó k ÔÓÐÝØÓÔ Ò Ð Ø Dual(P i ) i 1, k Ø Ù Ð Ó P i Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ô º Ì Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ G P Ó P Ò Ý k G P (P) = Dual(P i ) Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ ÓÙÖ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñº ÅÓÖ ¹ ÓÚ Ö Û ÙÑ Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò ÐÝØ ÐÐÝ Ò Û Ø Ø Ò Ò ÐÐ Ù Ø Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò Ò Ë Ø ÓÒ ¾º¾º Ì Ñ Ó ÓÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ø ÖÑ Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø ÐÓÒ ØÓ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Û Û ÒØ ØÓ Ø ÖÑ Ò ÐÐ ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø Ø Þ ¹ Ø ÓÒ Ó Û ÓÒØ Ò Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Øº Ï ÐÐ Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ó Ø Ø Ø ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ø Ó ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø Ü Ø µ Û ÖÓ ÐÐ ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ý ÓÑÔÙØ Ò Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó Ø ÐÐ º Ì Ò ÓÒ Ø Ô ½
ÑÔØÝ ÓÖ ÒÓص Ó Ø ÔÖ Ñ Û Ò Ù Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø ÐÓÒ ÓÖ ÒÓØ ØÓ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ Ò ØÓ Ø Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ð Ù ÓÑ ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ó Ø Ù Ð Ó Ø ÐÐ Ö ÒÓØ Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ù Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÖÓ ÐÐ Ú ÖØ µ Ò Ø Ù ÓÑ ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ó Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ö ÒÓØ Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÁØ ÓÖ Ò Ø Ò Ø ÓÖ Ø ËØ Ò Ö Ò Æ Ú ÑÓ Ð Ò ÓÒ Ò¹ ÕÙ Ð ØÝ Ò Ø Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò µ Ö ØÖ Øº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ö Ø Ø Ð ÓÙÖ Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñº Ì Ò Û ÔÔÐÝ ÓÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ø Æ Ú Ò ËØ Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ð º º½ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ä Ø H = {H 1,...,H k } Ø Ó k ÝÔ ÖÚÓÜ Ð º Ì Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ½µ ÑÔÐÝ Ô Ö ÓÖÑ Ý ÓÑÔÙØ Ò Ø Ò Ö Ð¹ Þ ÔÖ Ñ G P Ó Ø ÐÐ {B 1,...,B k } Ó Ø ØÓ Hº Ö Ø G P (B 1 ) º º Ø Ù Ð Ó B 1 ÓÑÔÙØ ÓÖ Ò ØÓ Ø ÔÓÐÝØÓÔ Ù Ð Ò Ø ÓÒ Ú Ò Ý Ì ÓÖ Ñ ¾½º Ì Ò G P ({B 1, B }) ÓÑÔÙØ ÖÓÑ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó G P (B 1 ) Ò Dual(B )º Ò Ó ÓÒ ÙÒØ Ð G P ({B 1,...,B k }) ÓÑÔÙØ ÓÖ G P ÓÑ ÑÔØݺ ÆÓØ Ø Ø Ø ÐÐ Ò ÓÒ Ö Ò ÒÝ ÓÖ Ö Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ó ÒÓØ Ò ØÓ ÓÒÒ Ø º Ð ÓÖ Ø Ñ ½ ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø H Ó k ÝÔ ÖÚÓÜ Ð H 1 º º º H k Ò Ø Ö Ó Ø ÐÐ B 1 º º º B k º Ò GP Dual(B 1 ) i Û Ð GP Ò i n Ó GP GP Dual(B i ) i i + 1 Ò GP Ø Ò H ÐÓÒ ØÓ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò º Ð H Ó ÒÓØ ÐÓÒ ØÓ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò º ½
º¾ Ü ÑÔÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Æ Ú Ò ËØ Ò Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ú Ò ÐÐ Ó Ø ØÓ Ú Ò Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ð ÓÑ Ô ÖØ Ò Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó ÒÓØ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÁØ Ø Û Ò ÓÒ ÓÖ Ú Ö Ð Ò ÕÙ Ð Ø Ò Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ö ØÖ Ø ÓÖ Ò Ø Ò ÓÖ Ø ËØ Ò Ö Ò Æ Ú ÑÓ Ð º ÁÒ Ø Ó Ø ËÙÔ ÖÓÚ Ö Ò ÐÓ Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ð ÐÐ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ö ÓÐÙØ ÓÒ º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ØÙ Ý Ø Ó Ø Æ Ú Ò ËØ Ò Ö ÑÓ Ð Ò ¹ Ö Û Ô ÖØ Ó Ø Ù Ð Ó Ø ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º º¾º½ Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Ï Û ÒØ ØÓ Ø ÖÑ Ò Û ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø Ù Ð Ó ÐÐ B d1 (c, 1 ) Ö Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º Ï ÒÓÛ Ø Ø ÔÓ ÒØ (c 0,...,c n 1 ) Ó Ø ØÓ ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ c 0 x n + n 1 c ix i = 0º ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÒÓÛ Ø Ø Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÒØ Ò Ú ÖØ Ü Ó Ø Ðк Ï Ù ÖÓÑ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ä Ø B ÐÐ B d1 (c, 1 ) c Z n Ò Ð Ø H ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ c 0 + n c i x i = 0 Ø Ø Ô Ø ÖÓÙ Ú ÖØ Ü v = (v 1,..., v n ) Ó Bº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ø c i 0 Ú Ö c i > 0º À Ò Ø Ö Ü Ø j 1, n Ù Ø Ø v = (c 1,...,c j 1, c j + 1, c j+1,...,c n) Ö Ôº v = (c 1,...,c j 1, c j 1, c j+1,...,c n )µº Ì Ò c j > 0 Ö Ôº c j < 0µ c ÐÓÒ ØÓ Ø Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒ Ó Hº À Ò ÖÓÑ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Û Ò ÐÝ Ø ÖÑ Ò Û ÔÓ ÒØ Ò Ø Ù Ð Ó ÐÐ B d1 (c, 1 ) Ö Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º Ï Ò Ò ÙÖ Ò Ü ÑÔÐ Ó Ù Ð ÐÐ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾º ÙÖ ½¼ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ò Ø Ó Ø Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒº º¾º¾ ËØ Ò Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ï Û ÒØ ØÓ Ø ÖÑ Ò Û ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø Ù Ð Ó ÐÐ B d (c, 1) Ö Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º Ï ÒÓÛ Ø Ø ÔÓ ÒØ (c 0,...,c n 1 ) Ó Ø ØÓ ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ c 0 x n + n 1 c ix i = 0º ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÒÓÛ Ø Ø Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÒØ Ò Ú ÖØ Ü Ó Ø Ðк Ï Ù ÖÓÑ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¼ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ ½
7 8 1 6 8 1 3 6 5 4 3 4 5 7 º º Ù Ð Ó ÐÐ B d1 (c, 1 ) ÈÓ ÒØ ÓÒ Ð Ò Ö ÒÓØ Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÛ Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ù Ðº 1 3 1 3 º ½¼º Ü ÑÔÐ Ó ¾ Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó ¹ Ò Ø ÓÒº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ä Ø B ÐÐ B d (c, 1) c Z n Ò Ð Ø H ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ c 0 + n c i x i = 0 Ø Ø Ô Ø ÖÓÙ Ú ÖØ Ü v = (v 1,..., v n ) Ó Bº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ø c i 0 Ú Ö c i > 0º À Ò v n > c n Ö Ôº v n < c nµ Ò c n > 0 Ö Ôº c n < 0µ Ø Ò c ÐÓÒ ØÓ Ø ËØ Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Hº À Ò ÖÓÑ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Û Ò ÐÝ Ø ÖÑ Ò Û ÔÓ ÒØ Ò Ø Ù Ð Ó ÐÐ B d (c, 1) Ö Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º Ï Ò Ò ÙÖ ½½ Ò Ü ÑÔÐ Ó Ù Ð ÐÐ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾º ¾¼
4 1 1 4 3 3 º ½½º Ù Ð Ó ÐÐ B d (c,1) ÈÓ ÒØ ÓÒ Ð Ò Ö ÒÓØ Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÛ Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ù Ðº ÙÖ ½¾ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ò Ø Ó Ø ËØ Ò Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒº 4 3 1 1 3 4 º ½¾º Ü ÑÔÐ Ó ¾ Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ËØ Ò Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒº ÓÒÐÙ ÓÒ Ò ÙØÙÖ ÛÓÖ ÁÒ Ø ÖØ Ð Ò Û Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ñ Ò ÓÒ Ò ÔÖ ÒØ º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÖÑ Ò Ú Ò ÝÔ Ö¹ ÚÓÜ Ð Ø ÐÓÒ ØÓ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ý ÔÖÓÚ Ò Ø Ø Ó ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û ÙØ ÐÐ ÐÐ Ó Ø ØÓ Ø Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð º Ì Ø Ù ÖÓÑ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ù Ð Ô Ó Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ¹ Ó Ø ÐÐ º Ì ÔÖ Ñ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ð Ó ¾½
Ø ÐÐ º Ì Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ØÓ ÓÒÒ Ø º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÙÖ Ò Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ò ÓÒ Ö Ò ÒÝ ÓÖ Öº Ì Ö ÙÐØ ÔÖÓÔÓ Ò Ø Ô Ô Ö Ö Ú ÖÝ Ò Ö Ðº ÁÒ Ò Ø Ò Ö Ð¹ Þ ÔÖ Ñ Ò ÓÖ ÒÝ ÔÓÐÝØÓÔ Ø Ø Ò ÐÝ Ð ØÓ Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÑÙÐØ ¹ Ð Ö ÓÖ Ø ÖÓ Ò ÓÙ Ö Ù ÓÖ Ò Ø Ò Ö¹ Ö ÙÐ Ö ÓØ Ø Ö ¾½ º Ê Ö Ò ½ ¾ ʺ ÃÐ ØØ º ÊÓ Ò Ð Ø Ð ØÖ ØÒ Ö Ú Û Ö Ø ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ½ ½ µ ¾¼¼ µ ½ ¾ ¼º º Ö ÒÓÒ Âº¹Åº Ë Ö ÑÑ Åº Ì Ò Ê Ó Ò Þ Ò Ö Ø Ñ Ø ØÖ Ø Ð Ò Ò ÔÐ Ò Ò Ö Ø ÓÑ ØÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö ÁÑ ÖÝ ÎÓк ½½ Ó ÄÆ Ë ½ ÔÔº ½ ½ ½ ¼º ĺ ÙÞ Ö Ð Ò Ö ÒÖ Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Æ Ú Ò ËØ Ò Ö Ø Ð Ð Ò Ò ÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ö Ô Ð ÑÓ Ð ½ µ ¾¼¼ µ ½ º º º Ã Ñ Áº ËØÓ Ñ ÒÓÚ ÇÒ Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð ÔÐ Ò Ò Ø Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô È ØØ ÖÒ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ä ØØ Ö ½¾ ½½µ ½ ½µ º Áº Ð ¹Ê ÒÒ ÓÒ Âº Ê Ú ÐÐ Ð Ò Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ð ÙÖÚ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó È ØØ ÖÒ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ò ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò ½ µ ¾º º Ö Ö Áº Ð ¹Ê ÒÒ ÓÒ Èº ÑÑ ÖÑ ÒÒ Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ø Ð ÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Å ÌÀ Ö Ø ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ½ ½º º Î ØØÓÒ Âº¹Åº ÖÝ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð Æ Ú ÔÐ Ò Ò ÔÓÐÝ Ö Þ Ø ÓÒ Ò Ö Ø ÓÑ ØÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö ÁÑ ÖÝ ÎÓк ½ Ó ÄÆ Ë ¾¼¼¼ ÔÔº ¾ ¼ º ź Ü Ø º Ò Ö Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ÓÖ Ø ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ø ÓÑ ØÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö ÁÑ ÖÝ ÎÓк ¾ Ó ÄÆ Ë ËÞ ÀÙÒ ÖÝ ¾¼¼ ÔÔº ¼º κ º Ö Ñ ÓÚ Ëº ˺ ÒØ Ú ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÐÝ ÓÖ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ü Ñ Ò ÓÒ Ò Ö Ø ÓÑ ØÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö ÁÑ ÖÝ ÎÓк ¾ Ó ÄÆ Ë ÈÓ Ø Ö Ö Ò ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¾ º ½¼ Áº ËØÓ Ñ ÒÓÚ Êº ÌÓ Ø Þ Ø ÓÒ Ñ Ò Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð ØÖ Ø Ð Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò Ø Ò Ö ØÖ ÖÝ Ñ Ò ÓÒ Ò Î ÓÒ ÓÑ ØÖÝ ÎÓк ½½ Ó ÓÒØ ÑÔÓÖ ÖÝ Å Ø Ñ Ø Ë Ö Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ËÓ ØÝ ½ ½ ÔÔº ½ ¾½¾º ¾¾
½½ º ÙÖ ÓÐÐÝ Îº Ö Ñ ÓÚ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ô Ø Ó Ø Ð ÔÐ Ò Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÁÑ Ò ÐÝ ÎÓк ¼ ¼ Ó ÄÆ Ë ÖÐ Ò ÖÑ ÒÝ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ½ ¼ º ½¾ ĺ ÓÖ Ø º Ϻ ź ËÑ ÙÐ Ö Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ø Ð Ò Á ÌÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒ È ØØ ÖÒ Ò ÐÝ Ò Å Ò ÁÒØ ÐÐ Ò ½ µ ¼ º ½ º ÙÖ ÓÐÐÝ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ø ÓÑ ØÖ Ö Ø ÔÓÙÖ Ð Ö Ø Ö Ø ÓÒ ÓÙÖ Ø ÙÖ È º º Ø ÍÒ Ú Ö Ø ÄÙÑ Ö ÄÝÓÒ ¾ ÄÝÓÒ Ö Ò ¾¼¼¾µº ½ º¹Èº Ê Ú ÐÐ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ô Ò Ø Ð Ð Ò Ò ÔÐ Ò ËÈÁ Î ÓÒ ÓÑ ØÖÝ ÁÎ ¾ º ½ º Ò Ö Êº ÖÝ º Ë Ø Ö Ø Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ô Ð ÅÓ Ð Ò ÁÑ ÈÖÓ Ò ½ µ ¼¾ ¼ º ½ º Ò Ö ÅÓ Ð Ø ÓÒ Ò ÐÝØ ÕÙ Ö Ø ³Ó Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ Ì ³ Ð Ø Ø ÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÈÓ Ø Ö Ö Ò ¾¼¼¼µº ½ º Ò Ö Ö Ø Ð Ò Ö Ó Ø Ò Ñ Ò ÓÒ n Ø ËØ Ò Ö ÑÓ Ð Ö Ô Ð ÅÓ Ð ¾¼¼ µ ¾ ½½½º ½ º Ó Ò¹ÇÖ º Ã Ù Ñ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÙÖ ÚÓÜ Ð Þ Ø ÓÒ Ö Ô Ð ÅÓ Ð Ò ÁÑ ÈÖÓ Ò ½ µ ½º ½ º Ò Ö Èº Æ Ð Âº Ö ÒÓÒ ÌÙÒÒ Ð¹ Ö ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÔÓÐÝ ÓÒ Ò ÔÓÐÝ Ö ÓÑÔÙØ Ö Ö Ô ÓÖÙÑ ÙÖÓ Ö Ô µ ½ µ ½ µ ½ º ¾¼ Àº Å ØÖ ÍÒ Ô ÒÓÖ Ñ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÀÓÙ Ö Ú Û ÓÒ ÀÓÙ ØÖ Ò ÓÖÑ ÌÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ë Ò Ð ¾ ½ µ ¼ ½ º ¾½ º ÙÖ ÓÐÐÝ Äº Ö Ö ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÑÓ Ð Ø Ð ØÖ Ø Ð Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ò ÙÖÚ Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÒ Ø ÖÖ ÙÐ Ö ÓØ Ø Ö ÓÑÔÙØ Ö Ò Ö Ô ¼ ½µ ¾¼¼ µ º ¾