ÈÖÓÑ Ò ÒØ ÓÖ Ø ÓÒ ØÖÙØÚ ÒØÓÒ Ó ÙÔÖ ØÖÒ ØÓÖݺ µ ÃÛ ÃØÞÛ Ò Ì ÙÝ Ô¹Ø»¾º Á ¼ ÚØÓÖµ Ò «¼ ÅÓÖÒ¹ÏÝÐ ÔÒÓÖµ µ Æ Æ ÑØÖ º ÊÒØ Ó ÖÚØÓÒ ÖÓÑ Ù Ò ÜÔÒ ÓÒ ÅØÓ Åµ Æ ÑÙÖ

ÛØ ÃºÆº ÒÒÓ ØÓÔÓÙÐÓ Ò Âº Æ ÑÙÖ ÖÚ¼¼º¼ ¼º ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ ÌÖÓ ÞÙÑ ÔÖØÑÒØ Ó ÅØÑØ Ò ÈÝ ËØ ÙÒÒ ÍÒÚÖ ØÝ ÌØ ÁÒ ØØÙØ Ó ÙÒÑÒØÐ Ê Ö ÌÁʵ Ù Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ÓÒØÒØ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ¾ ¾ Ù Ò ØÓÝ ÑÓÐ ËÒйÚÖÐ ØÓÖÞØÓÒ ÑØÓ ÅÙÐعÚÖÐ ØÓÖÞØÓÒ ÑØÓ ÓÒÐÙ ÓÒ ¼

ÈÖÓÑ Ò ÒØ ÓÖ Ø ÓÒ ØÖÙØÚ ÒØÓÒ Ó ÙÔÖ ØÖÒ ØÓÖݺ µ ÃÛ ÃØÞÛ Ò Ì ÙÝ Ô¹Ø»¾º Á ¼ ÚØÓÖµ Ò «¼ ÅÓÖÒ¹ÏÝÐ ÔÒÓÖµ µ Æ Æ ÑØÖ º ÊÒØ Ó ÖÚØÓÒ ÖÓÑ Ù Ò ÜÔÒ ÓÒ ÅØÓ Åµ Æ ÑÙÖ Ìº ÇÙÓ Ò º ËÙÒÓ ÖÚ¼º¾ º º ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ÅØÖÜ ÑÓÐ ÓÒ ØÖÙØÚ ÒØÓÒ Ó ÙÔÖ ØÖÒ ØÓÖÝ ÁÃÃÌ ÑÓÐ ÁÁ ÑØÖÜ ÑÓе Ë Æ ¾ ¾ ØÖ «µ «ØÖ ÙÐÒ ÑÓÐ ØÖ Ï ÖÓØØÓÒ µ ËÇ ¼µ ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖݺ ÒØÖÐ ÒØ ÛØÓÙØ ÙØÓ«º ÈØ Ïº ÃÖÙØ Àº ÆÓÐ Ò Åº ËØÙÖ Ô¹Ø»¼ Ⱥ Ù ØÒ Ò Âºº ÏØÖ Ô¹Ø»¼¼ º ÊÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ ËÇ ¼µ ËÇ µº

Ë ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ØÖ ÒØÖØÒ ÓÙØ ÖÑÓÒ ÈÅ ÛÖ Ë Æ ¾ ØÖ «µ «Åµ «µ «Æ ¾ µ Æ ¾ µñøöüµº ÓÖ Ø ÙÐÒ ÑÓÐ Ø ÈÆÒ ÓÑÔÐÜ Ò ÒÖк ÖÙÐ ÓÖ ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒº Ò ÎÖÒÞÞ Ô¹Ø»¼¼¼ ¾¾ º Æ ÑÙÖ ÆÙÐØÝ Ó ÅÓÒØ ÖÐÓ ÑÙÐØÓÒº

Ë «µ «Ë µ ÈÍ Ó Ø Ç Æ µ Ò Ø Ó Ç Æ µ Ò Ø ÁÃÃÌ ÑÓе ËÇ µ ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖݺ ÆÓ ÙÔÖ ÝÑÑØÖݺ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ¾ Ù Ò ØÓÝ ÑÓÐ Ï ÛÒØ ØÓ ÙÒÖ ØÒ Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò Ø ÙÐÒ ÁÃÃÌ ÑÓк ÑÓÐ ÛØ ÑÐÖØÝ ØÓ Ø ÙÐÒ ÁÃÃÌ ÑÓк ÌÓÝ Ô¹Ø»¼¼¼¼º Æ ÑÙÖ Æ Ë ØÖ ¾ ßÞ Ð ¾ ßÞ Ð ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ Æ Æ ÖÑØÒ ÑØÖ µ ««Æ¹Ñ ÚØÓÖ «¾ Æ ÒÙÑÖ Ó ÚÓÖ µµ

ÈÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ Ë Ø µ Æ ¼ Ë ¼ ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ Ë ¼ ÛÖ ¾Æ ¾Æ ÑØÖ µ ¾ È ¹ÕÙÒ ÔÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ ¼ Ë Ø Æ Ø ÓÑ ÓÑÔÐÜ ÓÒÙØ ÙÒÖ È Ò Ò Ò ¾ µ È ÁÒ ÒÖÐ Ø ÓÑÔÐÜ ÛÐ Ø ÖÐ ÛÒ ¼º

¼ ¼ Ö ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÑÙÐØÓÒ Ó Ø Ô ¹ÕÙÒ ÑÓÐ ËÑÙÐØÓÒ Ó Ø ÔÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ ¼ ÛØ Ø Ô ÓÑØغ Ç ÖÚÐ ÓÖ ÔÖÓÒ ÑÒ ÓÒÐØÝ Ì Æ ØÖ µº Ò Ò ¾ µ ÒÚÐÙ Ó Ì ¾ µ 3 4.5 2.5 4 3.5 2 3 <λ n > 1.5 <λ n > 2.5 2 1.5 n=1 n=2 n=3 n=4.5.1.15.2.25.3 1/N 1.5 1.5 n=1 n=2 n=3 n=4.5.1.15.2.25.3 1/N Ê ÙÐØ ÓÖ Ö Ðص Ò Ö ¾ Öصº Æ µ ¾ ¼ κºÎº ÓÖ Ø Ô ¹ÕÙÒ ÑÓÐ ¼ µº «Ø Ó Ø Ô ÖÙÐ ÓÖ Ø ÔÓÒØÒÓÙ ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒº Ì

ËÇ ¾µ Ò ØÞ ¾ ¼ ¼º ËÇ µ Ò ØÞ ¾ ¼º Ò Ò ³ ÓÑÔÖ ÓÒ Ó Ö ÒÖÝ ËÇ ¾µ ËÇ µ µ ËÇ ¾µ ÚÙÙÑ ÚÓÖº Æ º ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ÜÔÒ ÓÒ ÒÐÝ ÙÔ ØÓ Ø ÓÖÖ Ù Ò Æ ÑÙÖ Ò ËÙÒÓ Ô¹Ø»¼¾º ÇÙÓ Ò ¼ Ò Ò Ö Ê ÙÐØ ÓÖ Ö Ò µ ¾ ¼ ËÇ ¾µ Ò ØÞµ ÆÓ ÓÒ ØÒØ ÚÓÐÙÑ ÔÖÓÔÖØÝ º ¼ ËÇ µ Ò ØÞµ ËÔÓÒØÒÓÙ ÖÓÛÒ Ó ËÇ µ ØÓ ËÇ ¾µ Ø ÒØ Ö Æ

ËÒ ÔÖÓÐÑ ËØÒÖ ÖÛØÒ ÑØÓ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ËÒйÚÖÐ ØÓÖÞØÓÒ ÑØÓ ÆÙÐØÝ Ò ÑÙÐØÒ ÓÑÔÐܹØÓÒ Ý ØÑ Ò Ò ¼ ¼ ¼ Ò ÛÖ ¼ κºÎº ÓÖ Ø Ô ¹ÕÙÒ ÑÓÐ ¼ µ ¼ ÆÙÑÖ Ó ÓÒ ÙÖØÓÒ ÖÕÙÖµ ³ Ç Æ ¾µ º ÑÓÐ ¼ Ò Ø ÙÐÐ ÑÓÐ º important for ρ () phase-quenched () () important for ρ full model ÇÚÖÐÔ ÔÖÓÐÑ ÖÔÒÝ Ó ØÖÙØÓÒ ÙÒØÓÒ ØÛÒ Ø Ô ¹ÕÙÒ

ØÓÒº ƺ ÒÒÓ ØÓÔÓÙÐÓ Ò Âº Æ ÑÙÖ Ô¹Ø»¼¼¼ ú Æ Ü Ò µ ÖÛØÒ Ò Üµ Æ Ü Ò µ ¼ ¼ ¼ ßÞ Ð ¼µ ¼ Ê Ë ¼ Æ Ü Ò µ Ê Ë ¼ ¼µ Ò ÜµÛ Ò Üµ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ØÓÖÞØÓÒ ÑØÓ Ò ÔÔÖÓ ØÓ ÓÚÖÓÑ Ø ÓÚÖÐÔ ÔÖÓÐÑ Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ ÑÙй º ÑÓÖÒ Ãº ƺ ÒÒÓ ØÓÔÓÙÐÓ Âº Æ ÑÙÖ Ò Âº º ź ÎÖÖ ÓØ Ô¹ÐØ»¼¾¼¼¾º ÔÖÓÔÖØÝ Ø ØÖÙØÓÒ ÙÒØÓÒ ØÓÖÞØÓÒ Ó Ò Ò Ò ¼ ÚØÓÒ ÖÓÑ µ «Ø Ó Ø Ô µ Æ Ü Ò µ ¼ Æ Ü Ò µ ¼ Æ Ü Ò µ ¼ Æ Ü Ò µ ¼ ¼ Ê ¼ Æ Ü Ë µ Ò Ë Ê ¼ Ê Ë ¼Æ Ü Ò µ Ê Ë ¼Æ Ü Ò µ Æ Ü Ò µ ¼ ßÞ Ð ¼µ Ò Üµ ßÞ Ð Ò Üµ Û ÛÖ ¼ Ò Üµ Æ Ü Ò µ ¼ Û Ò Üµ ÒÜ ÒÜ ÎººÎº ÓÖ Ø ÔÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ ÒÜ Ë ¼ Æ Ü Ò µ

ÁÒ Ø Û Ò Üµ ÒÜ Ó ÒÜ ÈÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ ÓÑÔÐÜ ÓÒÙغ ÀÓÛÚÖ Ø ØÓÒ Ë ¼ ÒÚÖÒØ ¼ Ó ¼ Ò ÒÚÐÙ Ó Ì Æ ØÖ µ Ö Ð Ó ÒÚÖÒØ Û Ò Üµ ÒÜ Ó ÒÜ º ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ¼ Ò ÓÙÖ ÑÓк ÍÒÖ ÔÖØÝ ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ È Ò Ò Ò ¾ µ È µ ËÑÙÐØÓÒ Ó ÔÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ ÒÜ µ Ü ØÖÔÔ Ø Ò º Ì Ý ØÑ Ú Ø Ø ÓÒ ÙÖØÓÒ ÑÔÓÖØÒØ ÓÖ ÙÐÐ ÔÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ º Ê ÓÐÙØÓÒ Ó ÓÚÖÐÔ ÔÖÓÐѺ

ÒÎ ÖÐÓ ÚÐÙØÓÒ Ó ¼µ Ò Üµ Ò Û Ò Üµ ÅÓÒØ ¼ ÐÓ ÒΠܵ ¼µ Ü ÒΠܵ Æ Ü Ò µ ÒÎ ØÖÑÒØÓÒ Ó ¼µ ܵ ÎÖÝ Ò ÐÙÐØ ¼µ ¼µ Ò Üµ ÜÔ Î Ò ¼ ܵµ» ܵ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ÁÒ ÔÖØ Û ÔÔÖÓÜÑØ Ø ÔÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ ÒÜ Ý Ë ¼ Î Òµ ÛÖ Î Üµ ¾ Ü µ¾ ÔÖÑØÖ µ Ì ÔÓ ØÓÒ Ó Ø Ô Ü Ô ÓÖ Ø ØÖÙØÓÒ ÙÒØÓÒ ÒΠܵ Ò Ò Üµ Ò ¼ Î ¼ Ò ¼ ܵ ÛÖ ¼µ ¼µ Ò Üµ ÐÓ Ü ØÖÑÒØÓÒ Ó Ü Ô ÒΠܵ ÖÔ Ô ÓÖ ÐÖ Ü Ô ÔÔÖÓÜÑØ Ü Ô ³ Ò ÒÎ º µ Ò Ò Ü Ôµ ÓÖ «ÖÒØ Ü Ô º ÚÐÙØ Ü Üµ ÜÔ Ò ¼µ ÌÒ ¼µ º Þµ ÓÒ Øº Ò Þ ¼

ÅÓÒØ ÖÐÓ ÚÐÙØÓÒ Ó Ò ÓØ Æ ¾ ÐÓ Û Ò Üµ Ò Æ Ò Üµ Ö ÒÖÝ Ò Øݵ Æ ¾ ÐÓ Ò Üµ ¼µ Ò Üµ Ð Ø ÐÖ Æ ¾ ¾ ÐÓ Û Ò Üµ Ò Üµ Æ ¾ ÐÓ Û Ò Üµ º Æ ¾ ¼µ Ò Æ ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ «Å Û Ò Üµ ¼ µ Ò Ø ÑÒÑÙÑ Ó Ò Üµ Ï ÓÐÚ ¼ Ò Üµ ¼ ÒÑÐÝ ¾ ¼µ Ò Üµ Æ Ü Üµ Ò Üµ f () i () () i () 1 w () i O 1 O

ÚÓÖ Ó Ò Üµ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ «Å ÝÑÔØÓØ ÚÓÖ Ó Ò Üµ Æ ¾ ÐÓ Û Ò Üµ Ø Ü Ò Ü º ÏÒ Û Ü Ø Ò¹Ø ÐÖ Ø ÒÚÐÙ Ü Ò ¾ µ Òµ ÖØÓÒ Ö ÖÙÒ Ò µ¹ñò ÓÒÐ ÓÒ ÙÖØÓÒ µ Ü Ò ¾ µ Òµ ÖØÓÒ Ö ÖÙÒ Ò¹ÑÒ ÓÒÐ ÓÒ ÙÖØÓÒ µ ÖÑÓÒ ØÖÑÒÒØ Ø ÓÑÔÐÜ ÓÒÙØ ÙÒÖ È Ò Ò Ò ¾ µ È Å ¹Ñº ÓÒ ÙÖØÓÒ Ù ØØ ¾ ¼ ØÖ ÖØÒ ËÇ µ ÖÓØØÓÒµ ¹ÑÒ ÓÒÐ ÓÒ ÙÖØÓÒ Å µ ÖÑÓÒ ØÖÑÒÒØ Öк º Æ ÑÙÖ Ò º ÎÖÒÞÞ Ô¹Ø»¼¼¼ ¾¾ º

Ò Ò Ò¼ Ü Ò Ü Ò ¾ µ Ò¼ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ¹ÑÒ ÓÒÐ ÓÒ ÙÖØÓÒ Å ÓÖ Ò ¼ ÓÖ Ò ÍÔ ØÓ µ¹óöö ÔÖØÙÖØÓÒ µ ÓÒ ÙÖØÓÒ ¾ Å µ ÜÔØ ÔÓÛÖ ÚÓÖ Ò Üµ» Ü Ò Ü Ò ¾ µ µ Ü Ø ÓÖÖ Ó Ø ÒÚÐÙ Ó Ì Æ ØÖ µº

ÜÐ Ü Ü ¾ ¼µ Ò Üµ Æ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ËÑÙÐØÓÒ ÓÖ Ö Ò Ò ¾ Ò Ò (1/N 2 ) log w n=1 () -.5 -.1 -.15 (1/N 2 ) log w n=2 () -.5 -.15 -.2 -.2 N=4 N=4 N=6 -.25 N=6 -.25 N=8 N=8 Φ () Φ () -.3 -.3 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 -.1 (1/N 2 ) log w n=3 () -.5 -.1 -.15 -.2 N=4 -.25 N=6 N=8 -.3 Φ () 1 2 3 4 5 6 7 8 (1/N 2 ) log w n=4 () -.5 -.1 -.15 -.2 N=4 -.25 N=6 N=8 -.3 Φ ().2.4.6.8 1 1.2 1.4 (1/N 2 ) f () n=1 () 1.5 1.5 -.5-1.5 1 1.5 2 2.5 N=16 N=32 N=64 F() - Φ () (1/N 2 ) f () n=2 () 3 2.5 2 1.5 1.5 -.5-1.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 N=16 N=32 N=64 F() - Φ () (1/N 2 ) f () n=3 () 1.5 -.5-1.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 N=16 N=32 N=64 F() - Φ () (1/N 2 ) f () n=4 () 1.5 1.5 -.5-1.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 N=16 N=32 N=64 - Φ () ÓÙÐ¹Ô ØÖÙØÙÖ Ó Ò Üµ ÓÖ Ò ¾ Ü ÐÓ Ò Üµ ¼ Ü ßÞÐ Ü ÑÒÑÙÑ Ð ßÞÐ Ü µº ÑÜÑÙÑ ÌÖ ÓÐÙØÓÒ Ó ßÞÐ ÑÜÑÙÑ Ï Ô Ö Ò Æ ¾ ÐÓ Ò Ü Ð µ ÐÓ Ò Ü µµ Ò Ü Ð µ Ò Ü µµ

ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ËÙÑÑÖÝ Ó Ø Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò Ü Ü Ð Ò ËÇ ¾µ ŵ ËÇ µ ŵ ¾ µ ¾ ¼ ¾µ µ ßÞ Ð ¼ µ ËÇ ¾µ ¼¾ ¾µ ßÞ Ð ËÇ ¾µ ßÞ Ð ¾µ ËÇ µ ¼º µ ¼ ßÞ Ð ¼ µ ËÇ µ ¼ ¼ ¾ ËÇ µ ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ù ØÓ Ø «Ø Ó Ô ÙØÐ ÛØÖ ÔÓ ØÚ ÓÖ ÒØÚµº Ø ³ ¾ µ Ö ÖÓÑ Å ³ ØÐÐ ÖÑÒÒ ÓÚÖÐÔ ÔÖÓÐѺ ܵ ÓÑ ÖÓÑ Ø ÓÒ ÙÖØÓÒ ¾ Û Û Üµ ÙÒÖ ØÑغ

Ò Ü Ò µ Ü ¼ ßÞ Ð Ç µ ÖÛØÒ Æ Ü ¼ ¼µ Ü Ü Ò µû Ü Ü Ò µ ÛÖ Ë ¼ Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ÅÙÐعÚÖÐ ØÓÖÞØÓÒ ÑØÓ ËØÐÐ ÖÑÒÒ ÓÚÖÐÔ ÔÖÓÐÑ ºº Ò µº Ï ÓÒ ØÖÒ Ø Ó ÖÚÐ Ç ¾ Òº Ç ÖÚÐ Ö ÒÓÖÑÐÞ Ç Ç ¼ Ç ÛÖ ¼ κºÎº ÓÖ Ø Ô ¹ÕÙÒ ÔÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ ¼ µº ÒÖÐÞ ØÖÙØÓÒ ÙÒØÓÒ Ü Ü Ò µ Ò Æ Ü Ç µ ØÓÖÞ É Ò Æ Ü Ç Ò µ ¼ Ò Æ Ü Ç µ ¼ É Ò Æ Ü Ç µ ¼ É Ò Æ Ü Ç µ ¼ ßÞ Ð Ü Ò µ Û Ü ßÞ Ð Ü Ò µ ¼µ Ü ¼µ Ü Ü Ò µ Ò Æ Ü Ç µ ¼ Û Ü Ü Ò µ Ü Ü Ò Ü Ü Ò ÎººÎº ÓÖ ÔÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ Ü Ü Ò Æ Ü Ç µº

ÐÓ ¼µ Ü Ü Ò µ ÐÓ Û Ü Ü Ò µ Ü Ü ËÒйÚÖÐ ØÓÖÞØÓÒ ÑØÓ Ç Ò ÓÖ Ò ¾ ÔÖØÐݺ Ë ¼ Ü Ü ¾ Ü Ü µ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ÚÐÙØÓÒ Ó Ø Ó ÖÚÐ Ç È Ó Ø ØÖÙØÓÒ ÙÒØÓÒ Ü Ü Ò µ ÓÐÙØÓÒ Ó Ø Ð¹ÔÓÒØ ÕÙØÓÒ µ ËØ Ó Ó ÖÚÐ Ò Ù Ò ØÓÝ ÑÓÐ ÅÙÐعÚÖÐ ØÓÖÞØÓÒ ÑØÓ Ç ¾ ÑÙÐØÒÓÙ Ðݺ ÙÒØÓÒ ØÓ ÑÙÐØ ÈÖØØÓÒ Ü Ü ¾ Ü Ü Æ Ü µ ØÖÙØÓÒ ÙÒØÓÒ Æ Ü µ

ËÇ µ Ü Ýµ ¼µ Ü Ü Ü Ýµ ¼µ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ËÇ µ ÚÙÙÑ ËÓÐÙØÓÒ Û Ø Ý Ü Ü ¾ Ü Ü º Ê ÙÐØ Ó Ù Ò ÜÔÒ ÓÒ ÅØÓ ¾ ¼ Ö µº ÅÒÑÙÑ Ó Ø Ö ÒÖÝ Ò ØÝ Üµ ¼µ ËÇ µ Ü Ýµ Û ËÇ µ Ü Ýµ Ü Ýµ ÛÖ Û ËÇ µ Ü Ýµ Û Ü Ü Ü Ýµ

ÐÙÐØÓÒ Ó Ò Ø Ö ËÇ µü Ü Ýµ ¼µ ÛÖ Æ ¾ ¼µ ¼µ ËÇ µ Ü Ýµ Ò ËÇ µ Ü Ýµ ÐÓ ¾ ÐÓ Û ËÇ µ Ü Ýµº Æ ¾¼ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ «Å ÐÙÐØÓÒ Ó Ò ÓÖ Ü Ò ¼º ËÇ µü Ü Ýµ Ü ËÇ µ Ü Ýµ Ü ËÐÒ ÚÓÖ Ó Ø Ô (1/N 2 ) log w SO(3) (,.5) -.5 -.1 -.15 -.2 ËÇ µ Ü Ý ¼µ Ü ¾ Ü 2 4 6 8 1 12 14 16 N=8 N=12 N=16 (1/N 2 ) f () SO(3), (,.5).6.4.2 -.2 -.4 N=16 N=32 N=64 - (d/d) Φ SO(3) (,.5) -.6.5.6.7.8.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 ÆÙÑÖÐ Ê ÙÐØ Ò ¾µ Å Ö ÙÐØ Ò Å µº

ÐÙÐØÓÒ Ó Ò Ø Ö ËÇ µý Ü Ýµ ¼µ ÛÖ Ò ÓØÒ ËÇ µý Ü Ýµ Ý ËÇ µ Ü Ýµ ¾ ¼µ Æ ¼µ ËÇ µ Ü Ýµº ÐÓ ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ «Å ÐÙÐØÓÒ Ó Ò ÓÖ Ü Ò º Ý ËÇ µ Ü Ýµ Ù«Ö ÒØ¹Æ «Ø Ø Ý ¼¼ µ ËÇ µ Ü Ý ¼µ ËÇ µ Ü Ý ¼¼µ Ò ËÇ µ Ü Ý ¼µ Ø Ü ÐÙÐØ ßÞ Ð Ò ÐÙÐØÒ Ò ÓÒ -.12 Ü ËÇ µ Ü Ýµº.6 Φ SO(3) (1.17,y) -.13 -.14 -.15 -.16 -.17 -.18 -.19.4.45.5.55.6 y (1/N 2 ) f () SO(3),y (1.17,y).5.4.3.2 N=16 N=32.1 N=64 - (d/dy) Φ SO(3) (1.17,y).4.45.5.55.6.65.7 y ÆÙÑÖÐ Ê ÙÐØ Ò ¼ ¾µ Å Ö ÙÐØ Ò Å ¼¼µº

ËÇ ¾µ Ü Ý Þµ ¼µ Ü Ü Ý Þµ ¼µ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ¾¾ ËÇ ¾µ ÚÙÙÑ ËÓÐÙØÓÒ Û Ø Ý Ü Ü ¾ Ü Ü º Ê ÙÐØ Ó Ù Ò ÜÔÒ ÓÒ ÅØÓ ¾ ¼ ¼ Ö µº ÅÒÑÙÑ Ó Ø Ö ÒÖÝ Ò ØÝ Üµ ¼µ ËÇ ¾µ Ü Ý Þµ Û ËÇ ¾µ Ü Ý Þµ Ü Ý Þµ ÛÖ Û ËÇ ¾µ Ü Ý Þµ Û Ü Ü Ý Þµ

ÐÙÐØÓÒ Ó Ò¾ Ø Ö Æ ¾ ¼µ Ü ËÇ ¾µ Ü Ý ¼ Þ ¼µ ËÇ ¾µÜ Ü Ý Þµ ÛÖ ÐÓ ¼µ ËÇ ¾µ Ü Ý Þµ Ò ËÇ ¾µ Ü Ý Þµ ¼µ ¾ ÐÓ Û ËÇ ¾µ Ü Ý Þµº Æ Ü ËÇ ¾µ Ü Ý ¼ Þ ¼µ Ü ¾ ¾ Ü ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ¾ «Å ÐÙÐØÓÒ Ó Ò¾ ÓÖ Ü Ò ¼ Ò Ò ¼º ËÇ ¾µÜ Ü Ý ¼ Þ ¼µ ËÐÒ ÚÓÖ Ó Ø Ô (1/N 2 ) log w 2d (,y=.7,z=.5) -.2 -.4 -.6 -.8 -.1 -.12 -.14 2 4 6 8 1 12 14 16 N=8 N=12 (1/N 2 ) f () SO(2), (,.7,.5).4.2 -.2 N=16 -.4 N=16 N=32 N=64 - (d/d)φ SO(2) (,.7,.5).7.8.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 ÆÙÑÖÐ Ê ÙÐØ Ò¾ ¾µ Å Ö ÙÐØ Ò¾ Å µº

ÐÙÐØÓÒ Ó Ò Ø Ö Æ ¾ ¼µ ËÇ ¾µÝ Ü Ý Þµ ÛÖ ¼µ Ý ËÇ ¾µ Ü Ý ¼ Þ ¼µ Ò ÓØÒ Ý ËÇ ¾µ Ü Ý Þ ¼µ ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ «Å ÐÙÐØÓÒ Ó Ò ÓÖ Ü Ò¾ Ò Ò ¼ º ËÇ ¾µÝ Ü Ý Þ ¼µ ¼µ ËÇ ¾µ Ü Ý Þµº ÐÓ ËÇ ¾µ Ü Ý ¼ Þ ¼µ ËÇ ¾µ Ü Ý ¼ Þ ¼µ Ò ÐÙÐØ ßÞ Ð Ò ÐÙÐØÒ Ò¾ ÓÒ Φ SO(2) (1.4,y,.5) -.13 -.14 -.15 -.16 -.17 -.18.6.65.7.75.8 y Ý ËÇ ¾µ Ü Ý Þ ¼µº (1/N 2 ) f () SO(2),y (1.4,y,.5).6.5.4.3.2.1 -.1 -.2 N=16 N=32 N=64 - (d/dy)φ SO(2) (1.4,y,.5) -.3.5.6.7.8.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ÆÙÑÖÐ Ê ÙÐØ Ò ¼ µ Å Ö ÙÐØ Ò Å ¼µº

ÐÙÐØÓÒ Ó Ò Ø Ö ËÇ ¾µÞ Ü Þµ Ý ¼ Þµ Þ ËÇ ¾µ Ü ¼ Ý ¾ ¼µ Æ ¼µ ËÇ ¾µÞ Ü Ý Þµ ÛÖ Þ ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ «Å ÐÙÐØÓÒ Ó Ò ÓÖ Ü Ò¾ Ò Ò ¼ º ¼µ ËÇ ¾µ Ü Ý Þµº ÐÓ ËÇ ¾µ Ü Ý ¼ Þ ¼µ ËÇ ¾µ Ü Ý ¼ Þ ¼¼µ Ò ÐÙÐØ ßÞ Ð Ò ÐÙÐØÒ Ò¾ ÓÒ Φ SO(2) (1.4,.7,z) -.12 ËÇ ¾µ Ü Ý ¼ Þ ¼µ Ò ÓØÒ Þ ËÇ ¾µ Ü Ý ¼ Þµº -.13 -.14 -.15 -.16 -.17 -.18 -.19.4.45.5.55.6 z (1/N 2 ) f () SO(2),z (1.4,.7,z).6.5.4.3.2 N=16 N=32.1 N=64 - (d/dz)φ SO(2) (1.4,.7,z).4.45.5.55.6.65.7 z ÆÙÑÖÐ Ê ÙÐØ Ò ¼ ¾µ Å Ö ÙÐØ Ò Å ¼¼µº

ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ¾ ËÙÑÑÖÝ Ó Ø Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ØÞ ËÇ µ ËÇ ¾µ ÑØÓ ÒÐ¹Ó º ÑÙÐØ¹Ó º Å ÒÐ¹Ó º ÑÙÐØ¹Ó º Å º º ¾ º º µ º ¾µ º º ¾µ º ¾µ º ¼º¾ ¾µ ¼º µ ¼º ¼º µ ¼º ¾µ ¼º ÒÓØ ÚÐÐ ¼º ¾µ ¼º

³ ¼¼ µ ³ ¼ µ ßÞ Ð ¼¼ µ µ ³ ÜËÇ µ Ü ÐÓ ¼µ Ü Ü ¾ Ü Ü µ ßÞ Ð ³¼¼ ßÞ Ð ¼¼ ¼ µ ¼ ¼ ¼ ¼ µ ³ ÖÖÓÖ Ó ËÇ µ ¼ ¼ µ Ò ËÇ ¾µ µ µ ËÝ ØÑØ ÆÙÐØ ØÓ ØÖÑÒ ³ Òº ÁØ ³ ¼¼¼ µ ¼ ÛÖ ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ÓÑÔÖ ÓÒ Ó Ø Ö ÒÖÝ Ï ÚÐÙØ ËÇ µ ËÇ ¾µ Æ ¾ ÐÓ ÜËÇ µ µ Ü ËÇ ¾µ µ º ¼ µ ËÇ ¾µ ÚÙÙÑ ÓÑÒØ º ¼ µ ËÇ µ ÚÙÙÑ ÓÑÒØ º Ü ËÇ µ ¼ ¼ ¼ ¼ µ ¼ ³ ¼ ³ ¼º ËÇ ¾µ µ ³ ³ ¼ ¼º Ü Ì ÖÛÖØØÒ µ ËÇ ¾µ ßÞ Ð Ü ËÇ ¾µ Ü Æ ¾ ËÇ µ ¼ ¼ µ ßÞ Ð ¼ Æ ¾ ¼µ ËÇ ¾µÝ Ý ¼µÝ ¾ ¼µ ËÇ µü Ü ¼µÜ Æ (1/N 2 ) log w SO(3) (,.5) -.5 -.1 -.15 N=8 N=12 N=16 -.2 2 4 6 8 1 12 14 16 (1/N 2 ) log w SO(2) (,.7,.5) -.5 -.1 -.15 N=8 N=12 N=16 -.2 2 4 6 8 1 12 14 16 (1/N 2 ) f () SO(2),y (1.4,y,.5).6.5.4.3.2.1 -.1 -.2 N=16 N=32 N=64 - (d/dy)φ SO(2) (1.4,y,.5) -.3.5.6.7.8.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y (1/N 2 ) f () SO(3), (,.5).6.4.2 -.2 -.4 N=16 N=32 N=64 - (d/d) Φ SO(3) (,.5) -.6.5.6.7.8.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

Á ØÖ ÒÝ ÑÓÖ ÓÚÖÐÔ ÔÖÓÐÑ Æ ¾ ÐÓ ¼µ Ø Ô Ó ¼µ Ç Üµ Ò Ç Üµ ÑØ Ó ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ Ç ÖÚÐ ØÓ ÓÒ ØÖÒ Ç ¾ º Á Ø ÒÓÙ ÈÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ Ç Ë ¼ Æ Ü Çµ Æ Ü Ò Ò µ Ò Ö Û ÓÒ ØÖÒ Ç µº È Ó Ø ØÖÙØÓÒ ÙÒØÓÒ Ü Ü ¾ Ü Ü Üµ Æ Ü Çµ Æ Ü µº Ç Üµ ¼ ¼ ܵ ÛØ Ü Ü Ü Ø Å Ö ÙÐØ µº Ç Üµ Æ ¾ ÐÓ Û Ç Üµ ÛÖ ËйÔÓÒØ ÕÙØÓÒ Ü Ü Ç Üµ Æ Ü Çµ ¼µ ÎÎ Ó ÔÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ Ë ¼ Æ µæ ¾ µæ µæ µºµ Û Ç Üµ Ç ÎÎ Ó ÔÖØØÓÒ ÙÒØÓÒ Ç ÛØ Ü Ü ¾ Ü Ü µº Ï ÓÒ Ö Ç Æ ØÖ ¾ º

µ Û Ú Ø É Æ ¾ ÐÓ Û Ç Üµ Ò¼ Ü ¾ Ò Ü ¾ º Æ Ü ¾ Æ Ü ¾ Æ ¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ËÑÙÐØÓÒ ÛØ Ò Ü Ø Å Ö ÙÐØ Ó ËÇ ¾µ Ò ØÞ ¾ ¼ ¼ Ö µº Û Ç Üµ Ü ¼º ¼ Ü ¼ µ ÓÒÐ ÓÒ ÙÖØÓÒ ÓÑ ÓÑÒÒغ «µ ÓÖ «Æµ È «µ µ¾ ¼ºµ ÝÑÔØÓØ ÚÓÖ È Ó ¼µ Ç Üµ ËÓÐÙØÓÒ Ó ¼µ Ç Üµ ¼ µ Ü ³ ¼¾º ÐÓ È Ó Ç Üµ ËÓÐÙØÓÒ Ó ¼µ ܵ ÐÓ ¾ Ç Æ Ü ÐÓ Û Ç Üµ µ Ü ³ ¼ µº (1/N 2 ) log w O () -.2 -.4 -.6 -.8 -.1 -.12 -.14 N=6 N=8 N=12.1.2.3.4.5.6.7.8.9 (1/N 2 ) (d/d) log ρ () O () ËÝ ØÑØ ÖÖÓÖ ÖÓÙÒ ¼± µ ØÖ ÓÒÐÝ ÑÐÐ ÓÚÖÐÔ ÔÖÓÐÑ Ðغ 3 2.5 2 1.5 1.5 -.5 N=8 N=16 N=32 - (d/d) (1/N 2 ) log w O () -1.4.5.6.7.8.9 1 1.1 1.2

È Ó Ø ÖÑÓÒ ØÖÑÒÒØ µ ÖÙÐ ÓÖ ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒº µ ÓÒ ØÒØ ÛØ Ø Åº ÔÖÓÐÑ ÙØÙÖ ÖÐÓ ËÑÙÐØÓÒ Ó Ø ÁÃÃÌ ÑÓÐ ÒÒÓ ØÓÔÓÙÐÓ Ìº º Ò Æ ÑÙÖ Ò ÔÖÓÖ ÅÓÒØ ÅÓÒØ ÖÐÓ ØÙ Ó Ø ÖÓØØÓÒÐ ÝÑÑØÖÝ ÖÒ Ò ÑÒ ÓÒÐÐÝ ÖÙ ÑØÖÜ ÑÓÐ Ùº Ø ¾¼¾ ¼¼ ¼¼ ¼ ÓÒÐÙ ÓÒ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÑÙÐØÓÒ Ó Ø ØÓÝ ÑÓÐ ÛØ ÑÐÖØÝ ØÓ Ø ÙÐÒ ÁÃÃÌ ÑÓк ØÓÖÞØÓÒ ÑØÓ ØÓ ÓÚÖÓÑ ÓÚÖÐÔ ÔÖÓÐѺ Îγ Ò «Ø Ó ÙÔÖ ÝÑÑØÖÝ ÓÒ ÝÒÑÐ ÒÖØÓÒ Ó ÔØѺ ÔÔÐØÓÒ Ó ØÓÖÞØÓÒ ÑØÓ ØÓ ÛÖ ÖÒ Ó Òº