Å Ø Ó Ó ÈÖÓÓ ÊÙÐ Ó ÁÒ Ö Ò ¹ Ø ØÖÙØÙÖ Ó ÔÖÓÓ ÆÓÛ ËØÖ Ø ÓÖ ÓÒ ØÖÙØ Ò ÔÖÓÓ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÑÑÓÒ ÔÖÓÓ Ø Ò ÕÙ Ê ÐÐ Ø Ø Ñ ÒØ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ö ØÖÙ ÓÖ Ð º Ò Ø ÓÒ ÔÖÓÓ ÓÒÚ Ò Ò Ö ÙÑ ÒØ Ø Ø Ø Ø Ñ ÒØ ØÖÙ º ÆÓØ Ï ÒÒÓØ Ú ÕÙ Ú Ð Ò ¹ ØÝÐ ÔÖÓÓ Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ¹ Ñ ÒØ ÓÙÖ ÔÖÓÓ ÛÓÙÐ Ö ÙÐÓÙ ÐÝ ÐÓÒ º ÙØ Û Ø ÐÐ Ù ÖÙÐ Ó Ò Ö Ò Ò ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ÔÖÓÚ Ö ÙÐØ Û Ò Û ÓÒ ØÖÙØ ÔÖÓÓ º ÔÖÓÓ ÑÙ Ø ÓÒØ Ò ÒÓÙ Ø Ð ØÓ ÓÒÚ Ò ÒÓØ Ö Ô Ö ÓÒ Ø Ø ÖØ ÓÒ Ò Ø ÔÖÓÓ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ½º ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ÔÖÓÚ Ø ÓÖ Ñ ¾º Ò Ø ÓÒ º ÝÔÓØ»ÔÖ Ñ º ÖÙÐ Ó ÐÓ ÔÔÐ ØÓ Ø ÓÚ ½
ÈÖÓÚ Ò Ò ÁÑÔÐ Ø ÓÒ È É Ï Ö Ø ÐÓÓ Ø Û Ý ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Á È Ø Ò É ÓÖ È É Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÓ ØÝÔ Ò Ð Ó Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Ü È Üµ É Üµµ Ý ÔÔÐÝ Ò ÙÒ Ú Ö Ð Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒº ÌÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ñ ÒØ ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ ÐÐ ÒØ Ö Ò Ò Ú Ò Ø Ò Ò ¾ Ú Òº ËÓ È Üµ Ü Ú Ò É Üµ Ü ¾ Ú Ò Ò Ø Ø Ø Ñ Òس ÓÖÑ Ò È Òµ É Òµ Û Ö Ø ÓÑ Ò º ÈÖÓÓ ÓÖÑ Ä Ø Ò Ö ØÖ Ö ÐÝ Ó Ò ÒØ Öº ººº ÔÙØ Ø ÔÖÓÓ Ø Ø Ú Ò Ø Ò ¾ Ú Ò Ø ÔÖÓÓ Ø Ø È µ É µ ØÖÙ Ö ººº Ì Ö ÓÖ Ø ÕÙ Ö Ó ÒÝ Ú Ò ÒØ Ö Ú Òº ¾
ÈÖÓÚ Ò ÁÑÔÐ Ø ÓÒ Ê ÐÐ Ø ØÖÙØ Ø Ð ÓÖ È É È É È É Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì ÌÓ ÔÖÓÚ È É ØÖÙ Û Ú ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø É ØÖÙ Û Ò Ú Ö È º
Ö Ø ÈÖÓÓ Ö Ø ÔÔÖÓ Ö Ø ÈÖÓÓ ÙÑ È ØÖÙ Ò ÓÛ É ØÖÙ º Ü ÑÔÐ Ì ÓÖ Ñ Ä Ø Ò Ò ÒØ Öº Á Ò Ú Ò Ø Ò Ò ¾ Ú Òº ÀÓÛ ØÓ ØØ Ø ÔÖÓÓ ½º Ó Ö Ø ÛÓÖ ØÓ ÙÖ ÓÙØ Ø ÐÓ Ó ÝÓÙÖ ÔÖÓÓ ÓÖ ÝÓÙ Ó ÝÓÙÖ Ò Ð ÛÖ Ø ¹ÙÔº ¾º ÏÖ Ø ÓÛÒ Û Ø Ú Ò ÓÖ Û Ø ÝÓÙ Ò ÙÑ Ò Û Ø ÝÓÙÖ Ó Ð º º ÓÙ Ò ÛÓÖ ÓÖÛ Ö ÖÓÑ Ø Ú Ò ÓÖ Û Ö ÖÓÑ Ø Ó Ð µ ÓÖ ÑÓÖ ÓÑÑÓÒÐÝ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÔÔÖÓ º Ì ¹ Ò ¹ ÓÖØ ÔÔÖÓ ÒÓØ ÒÐÙ Ò ÓÙÖ ÔÖÓÓ ÛÖ Ø ¹ ÙÔº Ì Ò Ð ÔÖÓÓ ÑÓÖ ÓÒ Ò Ñ Ý ÒÓØ Ò Ø ÓÛ Û Ñ ÙÔ Û Ø Ø ÔÖÓÓ º º Ì Ò ÓÙØ ÔÔÐÝ Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø Ò Ø ÓÒ µ ØÓ Ø Ú Ò ØÓ ÛÓÖ ÓÖÛ Ö º ÇÖ ÔÔÐÝ Ò Ò Ø ÓÒ ØÓ Ø Ó Ð ØÓ ÛÓÖ ¹ Û Ö º º ÁÒ Ø Ò Ð ÔÖÓÓ Ø ÓÙÐ Ó Ú ÓÙ Ø Ø Ú ÖÝ ÖØ ÓÒ Ò ÓÙÖ ÔÖÓÓ Ñ ÖÓÑ ÔÖ Ú ÓÙ ÖØ ÓÒ ÝÔÓØ Ò Ø ÓÒ Ò ÒÓÛÒ Ø ÓÖ Ñ ËÖ Ø ÏÓÖ Ò Ð µ ÈÖÓÓ Ò Ð µ
ÒÓØ Ö Ö Ø ÈÖÓÓ Ü ÑÔÐ Ì ÓÖ Ñ Á Ñ Ò Ò Ö Ú Ò ÒØ Ö Ø Ò Ñ Ò Ú Òº ËÖ Ø ÏÓÖ Ò Ð ÈÖÓÓ Ò Ð ÐØ ÖÒ Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖ Ñ Ì ÙÑ Ó ØÛÓ Ú Ò ÒØ Ö Ú Òº ÌÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ñ Ò Ñ Ú Òµ Ò Ú Òµ Ñ Ò Ú Òµ ÈÖÓÓ ËÙÔÔÓ Ñ Ò Ò Ö Ö ØÖ Ö ÐÝ Ó Òµ Ú Ò ÒØ Ö º Ï ÑÙ Ø ÓÛ Ø Ø Ñ Ò Ú Òº ººº ÔÖÓÓ Ø Ñ ÓÖ µº ÆÓØ ÌÓ ÓÛ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Ü Ý È Ü Ýµ É Ü Ýµµ ØÖÙ Ô Ö ØÖ ÖÝ Ð Ñ ÒØ Ö Ò Þ ÖÓÑ Ø ÙÒ Ú Ö ÙÑ È Ö Þµ ØÖÙ Ò ÓÛ É Ö Þµ ØÖÙ º
More Comments on Proofs When you are writing a proof: 1. Start proofs by indicating your general proof strategy (more later). 2. Number each line of your proof. Refer to these lines in later steps. 3. Each line should be a definition, premise, or true assertion that follows from previous lines in the proof. Give the relevant line numbers. 4. Lines in a proof may also be equivalent formulas or quantities in a sequence of equivalences or equalities. 5. Use precise logical notation when possible. If English sentences are necessary, then write in concise but complete sentences using correct grammar. 6. Do NOT write that two quantities are equal unless you have proven it! Write chains of equalities instead. 7. Give reasons for each assertion. Refer to previous line numbers in the proof, and/or other known facts and theorems. 8. Do NOT use examples to prove a general statement. For example, you cannot prove that the sum of two even integers is even by showing that the sum of 4 + 16 = 20 is even. 9. Do NOT use the same variable name to represent two different things. 10. Do NOT assume what you are trying to prove. For example, don t do this: Assume m and n are even. Whenever we add two even integers, we get an even integer, so m + n is even. 1
Some style templates So far, we have done many linear equivalence proofs of the form: Prove: (starting proposition) (end proposition) (starting proposition) (proposition 1) {Logical identity, definition, or theorem} (proposition 2) {Logical identity, definition, or theorem} (end proposition) {Logical identity, definition, or theorem} Note: Only logical identities, definitions, and certain theorems can be used in such proofs. Justifications are needed, but line numbers are not needed because each line is always equivalent to the previous line (in general, it is only ok to leave out line numbers if the fact follows from the previous line of the proof). We have also done basic inference proofs with the following general form: Prove: A 1 A 2 A n C 1. A 1 {Given} n. A n {Given} n+1. (inference 1) {Inference, def, identity, or theorem: (line numbers)} n+2. (inference 2) {Inference, def, identity, or theorem: (line numbers)} n+m. C {Inference, def, identity, or theorem: (line numbers)} The general style we use in proofs will be more like this second, inference proof style, but sometimes an equivalence proof may be inserted into the middle of an equivalence proof, and we may also have chains of equalities or inequalities if we are doing some algebraic manipulation. 2
ÅÓÖ Ö Ø ÈÖÓÓ Ü ÑÔÐ Ì ÓÖ Ñ Ì ÔÖÓ ÙØ Ó ÒÝ ØÛÓ Ó ÒØ Ö Ó º ËÖ Ø ÏÓÖ Ò ÈÖÓÓ Ò Ð Ï Ò Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñ ÓÖ ÒØ Ö Ü Ò Ý Û Ý Ø Ø Ü Ú Ý ÓÖ Ý Ú ¹ Ð Ý Üµ ¾ Ù Ø Ø Ü Ýº ÆÓØ Ø ÓÒ Ü Ýº Ü ÑÔÐ ¾ ½ Ò ½ ¾º Ì ÓÖ Ñ ÓÖ ÐÐ ÒØ Ö Ò Ò Ø Ò º ÈÖÓÓ Ò Ð
ÁÒ Ö Ø ÈÖÓÓ Ó Ò ÁÑÔÐ Ø ÓÒ ÁÒ Ö Ø ÈÖÓÓ Ó È É ÙÑ Ø Ø É Ð Ò ÔÖÓÚ Ø Ø È Ð Ð Óº Ê ÐÐ È É É È º ÆÓØ ÁÒ Ò Ò Ö Ø ÔÖÓÓ Û ÔÖÓÚ Ø ÓÒØÖ ÔÓ Ø Ú Ø Ø Ñ Òغ Ì Ø ÙÑ É ØÖÙ Ò ÓÛ È ØÖÙ º Ì ÓÖ Ñ Á Ò ¾ Ó Ø Ò Ò Ó º ÓÒØÖ ÔÓ Ø Ú Á Ò Ú Ò Ø Ò Ò ¾ Ú Òº Ï ÐÖ Ý ÔÖÓÚ Ø µº Ì ÓÖ Ñ Ô Ö Ø ÒÙÑ Ö ÒÓØ ÔÖ Ñ º Ô Ö Ø ÒÙÑ Ö Ò ÒØ Ö Û ÕÙ Ð ØÓ Ø ÙÑ Ó ÐÐ Ø ÔÖÓÔ Ö Ú ÓÖ ÐÐ Ú ÓÖ ÓØ Ö Ø Ò Ø Ð µº Ü ÑÔÐ Ô Ö Ø ½ ¾ º ¾ Ð Ó Ô Ö Øº Ò ÒØ Ö Ö Ø Ö Ø Ò ½ ÔÖ Ñ Ø ÓÒÐÝ Ú Ð Ý ½ Ò Ø Ð º ÓÒØÖ ÔÓ Ø Ú Ø Ø Ñ ÒØ Á Ò ÒØ Ö ÒÓØ ÔÖ Ñ Ø Ò Ø ÒÓØ Ô Ö Øº
ÆÓØ ÓÙØ ÁÒ Ö Ø ÈÖÓÓ ËÙÔÔÓ Ø Ø ÓÖ Ñ Ñ ÒÝ ÔÖ Ñ È ½ È ¾ È Ò µ ɺ Ì ÓÒØÖ ÔÓ Ø Ú É È ½ È ¾ È Ò µº ËÓ ØÓ Ó Ò Ò Ö Ø ÔÖÓÓ Û ÙÑ É Ð Ò ÓÛ Ø Ø ÓÒ ÝÔÓØ Ð È Ð ÓÖ ÓÑ µº
ÈÖÓÓ Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÌÓ ÔÖÓÚ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ È Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÙÑ È Ð Ò Ö ÓÒÐÙ ÓÒ Û ÒÓÛ Ð ÓÒØÖ ¹ Ø ÓÒµº Ï Ò Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ò ÜØ Ü ÑÔÐ º Ò Ø ÓÒ Ú ÖÝ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ø Ò ÓÒ Ò ÛÖ ØØ Ò ÔÖÓ ¹ ÙØ Ó ÔÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ Ì Ö ÒÓ Ð Ö Ø ÔÖ Ñ ÒÙÑ Öº ÈÖÓÓ Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒµ ÌÓ ÔÖÓÚ È É Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒ ½º ÙÑ È ØÖÙ Ò É Ð º ¾º Ê ÓÒØÖ Ø ÓÒº ÈÖÓÓ Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ Ù ÙÐ Û Ò É Ó Ø ÓÖÑ ÒÓØ ÓÑ Ø Ò µ º ½¼
ÅÓÖ ÈÖÓÓ Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ì ÓÖ Ñ ÙÑ Ò Ò ÒØ Öº Á Ò ¾ Ú Ò Ø Ò Ò Ú Òº ÈÖÓÓ Ò Ð Ï Ò Ò Ø ÓÒ ÓÖ ÓÙÖ Ò ÜØ Ø ÓÖ Ñº Ò Ø ÓÒ Ö Ð ÒÙÑ Ö Ö Ö Ø ÓÒ Ð Ø Ò ÜÔÖ Ô Õ Û Ö Ô Ò Õ Ö ÒØ Ö Ò Õ ¼º ÆÓØ ÓÙ Ñ Ý ÙÑ Ø Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö Ö Ô Õ Ú ÒÓ ÓÑÑÓÒ Ú ÓÖ º Û Ö Ô Ò Õ Ì ÓÖ Ñ Á Ö Ö Ð ÒÙÑ Ö Ù Ø Ø Ö ¾ Ö Ø ÓÒ Ðº ¾ Ø Ò Ö ÒÓØ ÈÖÓÓ Ò Ð Ì ÓÖ Ñ Ì Ö Ö ÒÓ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ü ¾ Ý ¾ ½º ÈÖÓÓ Ü Ö ¹ Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒ ½½
Ü Ø Ò ÈÖÓÓ ÌÓ ÔÖÓÚ ÜÈ Üµ ½º Ú ÓÒ ØÖÙØ Ú ÔÖÓÓ ¹ Ò Ú ÐÙ Ù Ø Ø È µ ØÖÙ º ¾º Ú ÒÓÒ¹ÓÒ ØÖÙØ Ú ÔÖÓÓ ¹ Ø ØÝÔ Ó ÔÖÓÓ Ó ÒÓØ Ú Ú ÐÙ Ù Ø Ø È µ ØÖÙ º ÁÒ Ø Ó ÔÖÓÓ Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒº ÙÑ ÜÈ Üµ Ò Ö ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ì ÓÖ Ñ Ì Ö Ò ÒØ Ö Ò Ù Ø Ø Ò ¾ Ò ¾ ¼º ÇÖ ÒÈ Òµ Û Ö È Òµ Ò ¾ Ò ¾ ¼ Ò Ø ÙÒ Ú Ö Æ º Ï ÑÙ Ø Ò Ò Ø ÒØ Ö ØÓ Ñ È ØÖÙ Ò Ø Ò ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ø ØÙ ÐÐÝ Ó Ñ È ØÖÙ º Ì ÓÖ Ñ ÈÖÓÚ Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ Ö Ð ÒÙÑ Ö Ü Ü ¼ Ø Ò Ø Ö Ö Ð ÒÙÑ Ö Ý Ù Ø Ø Ý Ý ½µ ܺ Ì ÓÖ Ñ Ì Ö Ü Ø Ò Ú Ò ÒØ Ö Ò Ø Ø Ò ÛÖ ØØ Ò Ò ØÛÓ Û Ý ÙÑ Ó ØÛÓ ÔÖ Ñ ÒÙÑ Ö º ½¾
ÅÓÖ Ü Ø Ò ÈÖÓÓ Ì ÓÖ Ñ Ì Ö Ü Ø ØÛÓ ÔÖ Ñ Û Ó ÙÑ ÔÖ Ñ º ÈÖÓÓ Ü Ö µ Ì ÓÖ Ñ ÓÖ Ú ÖÝ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ò Ø Ö Ü Ø ÕÙ Ò Ó Ò ÓÒ ÙØ Ú ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÓÒØ Ò Ò ÒÓ ÔÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ Ì Ö Ö Ø ÒØ ÒØ Ö Ñ Ò Ò Ù Ø Ø ½ Ò ½ Ñ Ò ÒØ Öº ÔÖÓÚ ÓÖ ÐÐ ÒØ Ö Ñ Ò Ò ¾Ñ Ò Ó Ø Ò Ñ Ò Ò Ö Ó º ½
ÌÓ ÔÖÓÚ ÜÈ Üµ ÓÛ Ü Ø Ò Ò ÍÒ ÕÙ Ò ÈÖÓÓ Ü È Üµ Ý È Ýµ Ü Ýµµµ ÈÖÓÚ ÓÖ Ú ÖÝ Ö Ð ÒÙÑ Ö Ý Ø Ö ÙÒ ÕÙ Ö Ð ÒÙÑ Ö Ý Ù Ø Ø Ü ¾ Ý Ü Ýº ½
Polynomials Definition: A polynomial p is an expression of the form p = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n where a n 0 and a i R for all i {0, 1,...,n}. In this case, n is called the degree of the polynomial. A root of a polynomial p is an assignment to x such that p = 0. Note: Technically, each a i could be a complex number, but we won t worry about that. Additionally, a polynomial p is actually a function p(x). We ll be learning more about functions later in the semester. Example: The expression x 2 2x 15 is a polynomial of degree 2. a 2 = 1, a 1 = 2, a 0 = 15. The roots of this polynomial are 3 and 5. Notation: A polynomial can be written out in summation notation: p = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n = n i=0 a ix i 1
Theorem: For, every degree 2 polynomial p = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 where (a 1 ) 2 > 4a 0 a 2, p has two real roots. Proof: We are basically proving that the quadratic equation works. Let x 0 = a 1+ (a 1 ) 2 4a 0 a 2 2a 2 First prove that x 0 is a real number: 1. (a 1 ) 2 > 4a 0 a 2 {Given} 2. (a 1 ) 2 4a 0 a 2 > 0 {Inequality subtraction} 3. Therefore (a 1 ) 2 4a 0 a 2 is a real number {Def. of square root} 4. Then x 0 is a real number {R closed under addition, subtraction, multiplication, division} Now prove that x 0 is a root of p 1. p(x 0 ) = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 2 0 {Def. p} ( ) ( ) 2 a 2. = a 0 + a 1 + (a 1 ) 2 4a 0 a 2 a 1 2a 2 + a 1 + (a 1 ) 2 4a 0 a 2 2 2a 2 {Def. x 0 } ( ( a 3. = a 0 +a 1 + (a 1 ) 2 4a 0 a 2 1 +a 2 4. = a 0 + 5. = a 0 + 2a 2 ) ( (a 1 ) 2 +a 1 (a1 ) 2 4a 0 a 2 2a 2 ) (a 1 ) 2 2a 1 (a1 ) 2 4a 0 a 2 +(a 1 ) 2 4a 0 a 2 4(a 2 ) 2 ) {Square} ( ) (a +a 1 ) 2 2a 1 (a1 ) 2 4a 0 a 2 +(a 1 ) 2 4a 0 a 2 2 4(a 2 ) {Dist.} 2 ( ) 2(a 1 ) 2 +2a 1 (a1 ) 2 4a 0 a 2 +(a 1 ) 2 2a 1 (a1 ) 2 4a 0 a 2 +(a 1 ) 2 4a 0 a 2 4a 2 ( {Common denominator} ) ( 2(a 6. = a 0 + 1 ) 2 +(a 1 ) 2 +(a 1 ) 2 )+(2a 1 (a1 ) 2 4a 0 a 2 2a 1 (a1 ) 2 4a 0 a 2 ) 4a 0 a 2 4a 2 7. = a 0 + 8. = a 0 + ( ) ( 4a 2 ) 0+0 4a 0 a 2 4a 2 4a 0 a 2 {+/ Negation/Cancelling} {+/ Identity} 9. = a 0 a 0 { / Negation/Cancelling} 10.= 0 {+/ Negation/Cancelling} 11. Therefore x 0 is one root of p. {+ Commutativity and associativity} Exercise: Finish proof: Define x 1 and prove it is also a root of p. 2