ÖØÓ Ä ÓÔÓÐ Ó ÍÒ Ú Ö ØÝ ÖÐ ØÓÒ Ò Ö ÄÓÔ Ø Ò Ó Íº ÓÐÞ ÒÓ¹ ÓÞ Òµ ÉÙ ÖÝ Ò Û Ö Ò Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Å Ò ÑÙÑ Ö Ò Ð ØÝ Ë Ñ ÒØ ÍÒ Ö ÇØØ Û Ò ÂÓ ÒØ ÛÓÖ Û Ø
¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ñ Ý ÓÑ ÒÓÒ Ø ÒØ ÛÖØ Ú Ò Ø Ó ÒØ Ö ØÝ Ø Á µ ÓÒ ØÖ ÒØ ÒÓ Ñ Ò Ñ ØÓ Ñ ÒØ Ò ÖØ Ò Ð Ó ÅË Á Ø Ó Ö ÒØ ÓÙÖ Ö Ò ÒØ Ö Ø Ø Ò Ô Ò ÒØ Ø ÓÙÖ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò¹ Ú Ò Ø Ñ Ý ÒÓÒ Ø ÒØ Ø Ö Ø Æ Û ÓÒ ØÖ ÒØ Ö ÑÔÓ ÓÒ ÔÖ ¹ Ü Ø Ò Ð Ý Ø Ù Ö ÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ØÖ ÒØ ØÓ ÓÒ Ö ËÓ Ø ÕÙ ÖÝ Ò Û Ö Ò ÙØ Û Ø ÓÙØ Ò Ò ÓÖ Ø ÅÓ Ø Ð ÐÝ ÑÓ Ø Ó Ø Ø Ò Ø Ø ÐÐ ÓÒ Ø ÒØ
ÑÓÙÒØ Ó Ö Ö ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ÕÙ ÖÝ Ò Û Ö Ò ÓÒ Ö Ð Ò ÖÖ ÓÙØ Ò Ø Ð Ø Ý Ö É µ ÁÒ Ö Ò ÖØÓ ÓÑ º ÈÇ Ë Ó ÓÒ Ø ÒØ Ò Û Ö ØÓ ÕÙ Ö Ø Ó Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ö ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö Ñ Ò Ñ Ð Ö Ô Ö Ó Ø ÓÖ Ò Ð Ø Ø º º ØÖÙ Ò ÐÐ Ñ Ò Ñ ÐÐÝ Ö Ô Ö Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø Ñ ÓÖ ÖØ Ò Ð Ó Å Ò Ñ Ò Á µ ÕÙ Ö Ö Ô Ö Ó Ø Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ò Ø Ø Ñ Ò Ñ ¹ À Ö ÙÒ Ö Ø ÒÐÙ ÓÒ Ø Ø Ó Ò ÖØ ÓÒ» Ð Ø ÓÒ Ó Û ÓÐ Þ Ø ØÙÔÐ D Ø Ó ÖÓÙÒ ØÓÑ µ ÒÓÒ Ø ÒØ ÛÖØ IC Ö Ô Ö D Ó D Ø IC Ò Ñ (D,D ) Ñ Ò Ñ Ð ÙÒ Ö Ø ÒÐÙ ÓÒ
½ ÁÒÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ò D ÛÖØ Ü ÑÔÐ Name Salary ØÙ ÐÐÝ Ã Ý Ô Ò ÒÝ Ã µ FD ¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ Employee Name Salary Page Page Smith Stowe D 1 Ö Ôº D Ê Ô Ö 2 Employee Name Salary Page Smith Stowe ¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ Employee Name Salary Page Smith Stowe ¼¼¼ ¼¼¼ ÓÒ Ø ÒØ Ò Û Ö ØÓ Ø ÕÙ Ö Employee(x,y)? (Smith, 3000), (Stowe, 7000) yemployee(x,y)? Page,Smith,Stowe
Ö Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ É Û ÓÒ Ç ÕÙ ÖÝ Ö ÛÖ Ø Ò Ü ÑÔÐ ¾ ÓÒØ ÒÙ µ FD XY Z ( Employee(X,Y ) Employee(X,Z) Y = Z) ÉÙ ÖÝ Employee(x,y) Ò Û Ö Ò Ó Ø Ò Ý Ñ Ò Ó Ø ØÖ Ò ÓÖ¹ ÓÒ Ø ÒØ ÕÙ ÖÝ Ñ T(Employee(x, y)) := Employee(x, y) z ( Employee(x,z) y = z) Ø Ó ØÙÔÐ (x,y) Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÓÖ Û x Ó ÒÓØ Ú ººº Ó Ø z Ö ÒØ ÖÓÑ y ººº Ò
ÕÙ ÖÝ Ö ÛÖ Ø Ò Ò ÓÖ ÛÓÖ µ ÓÖ Ð Ñ Ø Ð Ó Ç Ò Á ÕÙ Ö ÑÓÖ Ò Ö Ð Ñ Ò Ñ ÓÒ Ô Ý Ò Ø Ù Ò ÙÒØ Ú ÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ Û Ø Ø Ð ÑÓ Ð ¹ Ö Ô Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ð Ñ Ø Ó ÓÐÓ Ý Ø Ø Ò ÔÔÐ ØÓ ÒÝ Ç ÁØ Ò ÝÓÒ µ ÕÙ ÖÝ Ù Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø Óѹ É Ó Π P 2 ÔÐ Ü ØÝ Ö Ó Ö Ó ÙÑÔ ÒÓº Á Ìà ¾¼¼ Ö Ò ÖØÓ ÓÑ º ÌÈÄÈ ¾¼¼ Ö ÐÓ ÖØÓ º È Ä ¾¼¼
Û Ú ÕÙ Ø Ð Ö Ô ØÙÖ Ó ØÖ Ø Ð» ÒØÖ Ø Ð ÌÓ Ý ÓÖ É Ò ÐÝ Ó ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó É ÓÖ ÑÔÐ ¹ ÓÑÔÐ Ø ÕÙ Ö ÙÒ Ö Ö Ø Ö NP¹ÓÑÔÐ Ø ÅÓ Ø ÖØÓ ÓÑ º Á Ì ¼½ Ö Ò Ö ÙÐØ ÓÖ ÓÒ ÙÒØ Ú ÕÙ Ö ÙÒ Ö Ò Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò Ö Ö ÒØ Ð Á Á Π P 2 ¹ÓÑÔÐ Ø ÒØ Ò ÐÓÛµ Ú Ò ÙÒ Ð ØÝ ÝÐ Ö Ö ÒØ Ð Á µ ÓÑ Å Ö Ò ÓÛ º Á² ¼ Ð Ä Ñ Ó ÊÓ Ø º ÈÇ Ë ¾¼¼ ÕÙ Ö Ò Ã ÖÓ Ò Ø Ø ØÖ ¹ ÓÒ ÙÒØ Ú Ð ÒØ Ø Ð ÓÑ Å Ö Ò ÓÛ º Á² ¼ ÙÜÑ Ò Å ÐÐ Öº Á Ì ¾¼¼
ÇØ Ö ÓÖÑ Ó Ê Ô Ö ÓÖ Û Ü ÔØ ÓÒ ÑÓ Ø Ó Ø Ö Ö ÓÒ Ò¹ Ü ÔØ ÓÒ Ø Ö Ô Ö Ñ ÒØ ØÖ Ø Ñ Ò Ñ Þ ÙÒ Ö Ø ÒÐÙ ÓÒ Ø Ø Ó Ò ÖØ ÓÒ ÓÖ Ê Ô Ö Ó Û ÓÐ Ø ØÙÔÐ Ð Ø ÓÒ Ö ÒØ ÓÖÑ Ò ÜÔÐÓ Ø Ò Ö ÒØ Ô Ø ØÛÓ ÐØ Ö¹ ÁÒ Ö Ô Ö Ñ ÒØ Ú Ò ÓÒ Ö Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ Ò Ø Ú Ö Ò Ð Øݹ Ö Ô Ö Ñ ÒØ Ö Ô Ö D Ñ Ò Ñ Þ Ø Ö Ò Ð ØÝ Ó Ø Ø Ó Û ÓÐ ØÙÔÐ Û Ø Ö ÖÓÑ Ø ÓÖ Ò Ð D Ý (D,D ) Ñ Ò ÑÙÑ Ö Ò ÖØÓ ÓÑ º ÌÈÄÈ ¾¼¼
Ü ÑÔÐ Ñ P(X,Y,Z), FD : X Y D = {P(a,b,c),P(a,c,d),P(a,c,e)} D ØÛÓ Ö Ô Ö ÛÖØ Ø ÒÐÙ ÓÒ Ì Ý Ú Ø¹Ñ Ò Ñ Ð Ö Ò Û Ø D D 1 = {P(a,b,c)} (D,D 1 ) = {P(a,c,d),P(a,c,e)} D 2 = {P(a,c,d),P(a,c,e)} (D,D 2 ) = {P(a,b,c)} ÇÒÐÝ D 2 Ö Ò Ð Øݹ Ö Ô Ö (D,D 2 ) Ñ Ò ÑÙÑ
Ê Ô Ö Ö Ó Ø Ò Ý Ü Ò ØØÖ ÙØ Ú ÐÙ Ï Òº Á Ì ¼ ½¼ ØØÖ ÙØ ¹ Ö Ô Ö Ñ ÒØ ÅÓ Ø ÓÑÑÓÒ Ó Ø Ñ Ñ Ò Ñ Þ ÒÙÑ Ö Ð Ö Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÚ Ö ¹ Ê Ô Ö ØÛ Ò ØØÖ ÙØ Ú ÐÙ Ò Ø ÓÖ Ò Ð ØÙÔÐ Ò Ø Ö Ö Ò Ö Ô Ö Ú Ö ÓÒ Í Ù ÐÐÝ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò Ñ Ò Ñ Þ Ö ÒÓÒ Ä ÙÖ Ø È ÐÑ Ä ÓÒ È ÖÖ Ë Ö ÐÐÓº ÄÈ Ê ¼½ Ð ÙÖ ÖÓ È Ö º ÈÄ ¼ ÙØ Ñ Ý ÑÓÖ Ò Ö Ð ººº
½½ ÖØÓ Ö ÚÓ Ö ÒÓÒ ÄÓÔ Ø Ò Óº ÈÄ ¼ Ë Ñ Û Ø Ý ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÐÛ Ý Ø ËÓÑ ØØÖ ÙØ Ø ÔÓ ÐÝ ÖÖÓÒ ÓÙ ÒÙÑ Ö Ð Ú ÐÙ Ö ÜÔÖ Ý Ò Ð ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø ÔÖÓ Ø Ö¹ Á ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ú ÐÙ Ø Ò Ò Ú ÐÙ Ó ÒÙÑ Ö Ð Ò Ü Ð ØØÖ ÙØ Ö Ò ØÓ Ö ØÓÖ ÓÒ Ø ÒÝ ÐÐÓÛ ÉÙ Ö Ø Ø Ò ÔØ ØÓ Ñ Ò ÑÙÑ
Á Å Ð ÒØ ½ ¾ ½ Á Á È ÙÝ ¾ ½ ½¾ Ü ÑÔÐ IC 1 : ID, P, A, M (Buy(ID, I,P),Client(ID, A, M),A < 18,P > 25) IC 2 : ID, A, M (Client(ID, A, M),A < 18,M > 50) D ½ ½ ¾ ¼ ¼¼ Î ¾ ½ Î ¼
Á Å Ð Òس ½ ¾ ¼ ½ Á Á È Ùݳ ¾ ¾ ½ Á Å Ð ÒØ ½ ½ ¾ ½ Á Á È ÙÝ ¾ ½ Ñ Ò Ñ Ðµ Ü D Û Ø cost = 1 2 + 2 2 + 1 2 + 2 2 = 10 ½ ½ ½ ¼ ¾ ¼ ¼¼ Î ¾ ¾ ½ Î ¼ Ü D Û Ø cost = 1 2 + 3 2 = 10 ½ ½ ¼ ¾ ¼ ¼¼ Î ¾ ½ Î ¼
½ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ò Ø Ü Ø Ò Ï Ü ÐÓ ÒÓÙ ØÓ Ø ÓÖ Ò Ð Ò Ø Ò NP¹ÓÑÔÐ Ø Ó ÓÖ Ø Ò Ó ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø Ø ÑÓØ Ú Ø Ø Ö ¹ Ê Ð Ú ÒØ Ø Ò Ó Ò Ù Ø Ö ÈÖÓÚ ÐÝ ÒÓ PTAS Ü Ø ººº ÈÖÓÚ PTIME ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Û Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ ØÓÖ É ÓÖ ÖÓÙÒ ØÓÑ ÕÙ Ö P NP ¹ Ö
S) Ì Ö Ô Ö Ó Ø Ò Ø Ò Rep(D,IC, Ò Ø D Ó ÖÓÙÒ ØÓÑ µ ÛÖØ ÒØ Ö ØÝ ÓÒ ØÖ ÒØ IC Ò Ö Ô Ö Ø ½ Ì ÖÑ ÒÓÐÓ Ý Ö Ô Ö Ñ ÒØ µ Ë¹Ö Ô Ö Ê Ô Ö ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Ø Ö Ò Ê Ô Ö ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ Ö Ò Ð ØÝ Ø ¹ ¹Ö Ô Ö Ö Ò Ê Ô Ö ÓÒ Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÓÒ ¹Ö Ô Ö ØØÖ ÙØ Ò ÓÚ Ö Ñ ÒØ S CQA(Q,IC, S) := { (D, t) D = Q( t) ÓÖ ÐÐ D Rep(D,IC, S) } Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ó É µ Ï Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ
ÔÓ Ð Ñ ÒØ Ì Ò Û Ö ÓÒ Ø ÒØÐÝ ØÖÙ Û Ò ØÖÙ Ò ÓÑ Ö Ô Öµ Ò ½ ÈÖÓÚ ØØ Ö ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó É ÙÒ Ö ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ê Ö Ø ¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ô ¹Ø ÓÖ Ø Ø ÖÑ ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ò ÒØ Ö ¹ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ø Ò É ÖØ Ò Ñ ÒØ µ Ò Ò Ö Ð Ú ÒØ Ö Ö Ò Ð Ö Ú ÓÒ»ÙÔ Ø ÛÖØ Ì Ö Ó Ö ÒØ Ñ ÒØ ÙØ Ø ÒÓØ Ð Ö ÓÛ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø Ý Ò ÔÔÐ Ö Ø Ö ÓØØÐÓ º Á ¾
½ ÈÖÓÚ Ø Ö Ø Ø Ô ØÓÛ Ö ØÙ Ý Ó É Ò ÝÒ Ñ ØØ Ò Û Ò Ø ÙÒ Ö Ó ÓÑ ÙÔ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÐÝ ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ø Ö Ñ Ð Ó µ Ì ÓÚ Ñ ÒØ ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ø Û µ ÓÒ Ø ÒØ ÛÖØ Ø Ú Ò Ò ÓÖ Ø ÙÔ Ø Á Ô Ø Ó É Ú Ò Ð Ö ÐÝ ÒÓÖ ÙØ ÑÓÖ ÝÒ Ñ ÓÒ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÖÝ Ö Ö ØÓ Ñ Ò Ø Ò ÕÙ ÔÔÐ Ð Ò Ö Ð Û Ø Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó É ÖÓÑ Ø Ò Ø Ò ÁÒ Ó Ø Ò Ý ÔÔÐÝ Ò Ò Ø ÕÙ Ò U(D) Ó ÙÔ Ø U ÓÔ Ö Ø ÓÒ ØÓ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ò D
½ Ø ÖØ Ø Ö Ö ÑÓØ Ú Ø Ý Ø Ò ÐÝ Ó ÒÖ ¹ Ï ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÓ Ú ØØ Ö ÔÖÓÔ ÖØ ÖÓÑ Ø ÔÓ ÒØ Ó ¹Ö Ô Ö Ð Ø Ö ºººµ Ú Û Û ØÓ ÒÚ Ø Ø Ð Ó Ø Ø Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ì Ò ÙÒ Ö ¹Ö Ô Ö É Ï ÒÓØ Ò ÒÚ Ø Ø ÓÖ ººº Ï ÓÒ ÒØÖ Ø ÑÓ ØÐÝ ÓÒ Ò Ð Á
½ Ü ÑÔÐ Ü ÑÔÐ ÓÒØ ÒÙ µ ÁÒ Ø Ò D 1 = {P(a,c,d),P(a,c,e)} ÓÒ Ø ÒØ Ø ÙÔ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ insert(p(a,f,d)) Ø ÓÑ Ò¹ Ø Ö ÓÒ Ø ÒØ Ì ÓÒÐÝ ¹Ö Ô Ö Ó D 1 {P(a,f,d)} D 1 Ø Ð É ÖÓÑ D Ì Ù 1 ÑÓÙÒØ ØÓ Ð ÕÙ ÖÝ {P(a,f,d)} ÖÓÑ D Ò Û Ö Ò 1 Û Ø ÖØ ÖÓÑ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ò D Á 2 {P(a,c,d)} = Ñ ÙÔ Ø Ø ÓÒ Ð ØÓ ØÛÓ ¹Ö Ô Ö D 2 ÙØ Ð¹ Ø Ó {P(a,f,d)} É ÖÓÑ D ÆÓÛ 2 Ö ÒØ ÖÓÑ Ð ÕÙ ÖÝ Ò Û Ö Ò D ÖÓÑ 2 Ö Ô Ö ØÓ ÓÒ Öµ ØÛÓ
¾¼ Ö Ô ¹Ì ÓÖ Ø Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ¹Ê Ô Ö IC Ø Ó Ò Ð Á Ò D Ò Ø Ò Û Ú Ò Ø ÓÒ Ø ÝÔ Ö¹ Ö Ô ÓÒ Ö Î ÖØ Ö Ø ØÙÔÐ Ö ÓÖÑ Ý ØÙÔÐ Ø Ø ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ÀÝÔ Ö¹ Ø Ñ ÖÓÙÒ Ò Ø Ò Ó ÓÒ Ó Ø Á Ú ÓÐ Ø Ö Ò ÖØÓ ÓÑ º Á Ì ¼½ ÓÑ Å Ö Ò ÓÛ º Á² ¼ Ê Ô Ö Ó Ø Ò Ý ØÙÔÐ Ð Ø ÓÒ ÓÒÐÝ ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÛ Ò ¹Ö Ô Ö Ó D Ì Ö IC Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ò Ô Ò ÒØ Ø º º Ò Ô Ò ÒØ ÛÖØ Ø Ó Ñ Ü ÑÙÑ Ö Ò Ð ØÝ ÅÁ˵ ÖÓÙÒ ØÓÑ ÕÙ ÖÝ ÓÒ Ø ÒØÐÝ ØÖÙ Ø Ú ÖØ Ü Ò ÅÁË Ú ÖÝ
¾½ ØÙÔÐ Ò D ÐÓÒ ØÓ Ò Ë¹Ö Ô Ö ÙØ ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ØÓ Ú ÖÝ ¹Ö Ô Ö Ó Ø Ø Ò Ñ Ñ Ö Ô Ó Ú ÖØ ØÓ ÓÑ ÓÖ ÐÐ Ó ÓÙÖ µ ÅÁË ÓÑ Ö Ð Ú ÒØ Ò ÔÖÓÚ Ø Ù ÙÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ¹Ö Ù Ð ØÝ ÔÖÓ¹ Ï Ó ÅÁË Ò Ô Ò ÒØ Ø Ô ÖØ Ö Ô G Ò Ú ÖØ Ü v Ò Ø Ø Ö Ö Ô G Ú Ò G Ù Ø Ø v ÐÓÒ ØÓ ÓÑ ÅÁË Ó G v ÜØ Ò Ò ØÓ ÐÐ ÅÁË Ó G Ø Þ Ó ÅÁË Ò G Ò G ÐÓÒ Ö Ý ÓÒ Ö Ô G Ò Ú ÖØ Ü v Ø Ö Ö Ô G Ú Ò G Ù Ø Ø v ÐÓÒ ØÓ ÐÐ ÅÁË Ó G v ÜØ Ò Ò ØÓ ÓÑ ÅÁË Ó G ÐÓÒ ÁÒ ÓØ G ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò G µ
¾¾ Ø Þ Ó Ñ Ü ÑÙÑ Ð ÕÙ Ò Ö Ô ÐÓÒ ÓÑÔÙØ Ò FP NP(log(n)) ÃÖ ÒØ Ðº  ËË Ï Ó Ø Ò ØÓ Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò ÓÖ Ú ÖØ Ü Ò Ö Ô ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø ÐÓÒ ØÓ ÓÑ ÅÁË Ò Ø ÐÓÒ ØÓ ÐÐ ÅÁË Ö ÓØ Ò P NP(log(n)) ÓÒ ÕÙ Ò ÓÖ Ò Ð ÓÒ ØÖ ÒØ Ò ÖÓÙÒ ØÓÑ É ÙÒ Ö ¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ ÐÓÒ ØÓ P NP(log(n)) ÕÙ Ö Ö ÙÐØ ÓÚ ÓÛ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó É ÙÒ Ö Ø Ì Ò ÔÓ Ð ¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ Ö Ù¹ ÖØ Ò ØÓ ÓØ Ö Ð ÒÓØ ØÖÙ ÓÖ Ø Ë¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ µ Û Ï Ø ÓÙØ ÓÑÔÐ Ø Ò Ö Ò µ
¾ ÓÖ Ø Ø Ù ÙÐ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ì Ö Ü Ø Ñ D Ò Ò Ð Ä ÑÑ Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ Ö Ô G Ø Ö Ò Ò Ø Ò ÓÒ ØÖ ÒØ D ÓÚ Ö D Û Ó ¹Ö Ô Ö Ö Ò ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Û Ø Ø ÅÁË Ó G D Ò Ù ÐØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ò Ø Þ Ó G Ø Ð ÑÑ Ò Ø P NP(log(n)) ¹ÓÑÔÐ Ø Ò Ó Ø ÖÑ ¹ ÖÓÑ Ø Þ Ó Ñ Ü ÑÙÑ Ð ÕÙ ÃÖ ÒØ Ðº ÇÔº غ Û Ó Ø Ò Ò Ò Ø Þ Ó ¹Ö Ô Ö ÓÖ Ò Ð ÓÒ ØÖ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ò P NP(log(n)) ¹ÓÑÔÐ Ø ÓÑ Ò ØÓ É ººº Ö Ò Ô Ò Ò µ
G 1 I k ¾ Ö Ò Û Ø Ð Ö Ø ÓÖ Ù ÙÐ Ö Ô ¹Ø ÓÖ Ø ÔÓÐÝ¹Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø ÐÓ B k (G,t) G 1,G 2 Ö ÓÔ Ó Ú Ò Ö Ô G Ø k Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö t Ø Ò Ù Ú ÖØ Ü G 2 I k+1 ÒØ ÖÒ ÐÐÝ ÓÒÒ Ø ÌÛÓ I Ù Ö Ô k,i Û Ø k+1 k Ò k + 1 ÒÓ Ö Ôº Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ò G 1 G 2 µ ÓÒÒ Ø ØÓ Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ò I k I k+1 µ ÓÐ Ì Ö Ò Ð ØÝ Ó ÅÁË Ó G ÕÙ Ð ØÓ k t ÁØ ØÓ ÐÐ ÅÁË Ó B ÐÓÒ k (G,t)
ÔÖÓÚ Ý Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø P NP(log(n)) ¹ÓÑÔÐ Ø Ò ÇÔº غ Ú Ò Ö Ô G Ò Ò ÒØ Ö k Ø ÃÖ ÒØ Ðº ÓÖ Ò Ð ÓÒ ØÖ ÒØ É ÓÖ ÖÓÙÒ ØÓÑ ÕÙ ¹ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ÙÒ Ö Ø ¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ P NP(log(n)) ¹ÓÑÔÐ Ø Ö ¾ Ò Ú ÖØ Ü ÐÓÒ ØÓ ÐÐ ÅÁË Ó Ö Ô Ì ÓÖ Ñ G P NP(log(n)) ¹ Ö Þ Ó Ñ Ü ÑÙÑ Ð ÕÙ Ò G ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ 0 mod k G Ö Ù ØÓ Ö Ô G Ø Ø Ù ÐØ Ý ÓÑ Ò Ò ÒÙÑ Ö Ó Ú Ö ÓÒ Ó Ø ÐÓ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ G Ò Ø Ø ÓÖ Ñ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÑÑ µ ÆÓØ ÓÖ Ë¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÐÚ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÓÑ Å Ö Ò ÓÛ º Á² ¼
¾ ÁÒÖ Ñ ÒØ Ð É Ò È Ö Ñ Ø Ö Þ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ú Ò Û Ø D,IC D = IC U : U 1,...,U m Û Ø m < c D Ò U i Ò Ò¹ ÖØ ÓÒ Ð Ø ÓÒ ÓÖ ØØÖ ÙØ Ò Ï Ø ÓÙØ ÒÖ Ñ ÒØ Ð É º º É ÖÓÑ U(D) ÛÖØ IC ÁÒ ÓÒØÖ Ø ØÓ Û Ø Û ÓÖ Ø Ø Ø ÓÖ Ø ¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÓÐ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ò Ò Ð ÓÒ ØÖ ÒØ ÒÖ Ñ ÒØ Ð É Ò ÈÌÁÅ ÕÙ Ö Ò Ø Þ Ó D ÀÓÛ Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ò Ø ÖÑ Ó m ÔÖÓÓ Ó Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÔÖÓÚ Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó Ì O(n n m Û ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò m )
Ò ØÙÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒØ ÜØ Ó Ü Ô Ö Ñ Ø Ö ØÖ Ø ¹ º º Û Ö ÓÒ Ö Ò Ð ØÝ ¾ Ò Û Ó ØØ Ö Ë Ý Ò Ø Ñ O(f(m) n c ) CQA p (Q,IC, S) := {(D,U, t) Ò ÙÔ Ø ÕÙ Ò Ò U ÓÒ Ø ÒØÐÝ ØÖÙ Ò Q( t) U(D) Ö Ô Ö Ñ ÒØ S} ÙÒ Ö Ì Ô Ö Ñ Ø Ö Ø ÙÔ Ø ÕÙ Ò U ÓÖ Ø Þ mµ ÁÒÖ Ñ ÒØ Ð É ÓÖ ÖÓÙÒ ØÓÑ ÕÙ Ö Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ô Ò Ò ÙÒ Ö Ø ¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ Ò ÙÒØ ÓÒ Ð FPT ØÙ ÐÐÝ Ò Ø Ñ O(log(m) (1,2852 m + m n)) ÈÖÓÓ Ù Ø ÈÌ Ó Î ÖØ Ü ÓÚ Ö
¾ ÓÒ Ø Ö Ô G ØÓØ ÐÐÝ ÓÒÒ Ø Ý ÓÒ Ø Òݵ Ò m ØÙÔÐ Ö Ò ÖØ ÓÒ Ø Ö Ô G ÍÔ Ø VC(G,k) Ø Ö Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö Ó Þ ÒÓØ Ö Ø Ò k Ò ÖÝ Ö Ø ÖØ Ò ÖÓÑ m Û Ø VC(G, ) ØÓ Ø Ö¹ Í Ø Þ Ó Ñ Ò ÑÙÑ Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö Ñ Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ØÙÔÐ Ø Ø Ú ØÓ Ö ÑÓÚ Ì Ö ØÓÖ ÓÒ Ø ÒÝ ØÓ ÖÓÙÒ ØÓÑ ÕÙ ÖÝ Ú ÖØ Ü v Ó G µ ÓÒ Ø ÒØÐÝ ØÖÙ Ø Ó ÒÓØ ÐÓÒ ØÓ ÒÝ Ñ Ò ÑÙÑ Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö Ý Ø Þ Ó Ñ Ò ÑÙÑ Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö ÓÖ G Ò Ò Û Ö G Ö Ø Ñ {v}
¾ ÓÖ Û Ú ÓÒ Ø Ö Ô ØÛÓ Ø ØÓÑ Ô Ö Á ÓÖ Ò Ð Á Û Ú ÝÔ Ö¹ Ö Ô ººº ÈÌ Ó ÒÖ Ñ ÒØ Ð É Ø ÐÐ ÓÐ ÓÖ Ò Ð Á Ø Ì d Ó ØÓÑ Ò Ø Ñ Ü ÒÙÑ Ö Ò Ù Ø ÈÌ Ó Ø d¹à ØØ Ò Ë Ø Ò Ò Ø Þ Ó Ï Ñ Ò ÑÙÑ ÀË ÓÖ ÝÔ Ö¹ Ö Ô Û Ø ÝÔ Ö¹ ÓÙÒ Ò Þ Ý d
¼ ÁÒÖ Ñ ÒØ Ð É Ë¹Ê Ô Ö Ë Ñ ÒØ ÓÖ ÓÒ ÙÒØ Ú ÓÓÐ Ò ÕÙ Ö Ò Ò Ð Á Ø Ø É P NP(log(n)) ¹ÓÑÔÐ Ø ÙÒ Ö Ø ¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ Ø ÛÓÖ µ ÙÒ Ö Ø Ë¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ conp¹óñôð Ø Å Ö Ò ÓÛ º Á² ¼ ÓÑ ÓÖ ÓÓÐ Ò ÕÙ Ö Ò Ò Ð Á ÒÖ Ñ ÒØ Ð É ÁÒ PTIME ÙÒ Ö Ø ¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ Ø ÛÓÖ µ ÓÖ ÓÓÐ Ò ÓÒ ÙÒØ Ú ÕÙ Ö Ò Ò Ð Á ÒÖ ¹ ÀÓÛ Ú Ö É Ò conp¹óñôð Ø ÙÒ Ö Ø Ë¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ð Ó Ø Ò Ý Ö ÙØ ÓÒ Ó Ø Ø Ø ÓÖ Ø Ñ Ò Ñ ÒØ µ
½ Ï Ý Ø Ö Ò Ó Ø Ó ¹Ö Ô Ö ÒÒÓØ Ü Ø Þ Ó Ò ÙÔ Ø Ì Ø Ó Ø Ó Ò Ë¹Ö Ô Ö Ñ Ý ÙÒ ÓÙÒ ÛÖØ Ø Þ Û Ö Ó Ò ÙÔ Ø Ü ÑÔÐ Ë Ñ R( ),S( ) Ò Ð x y (R(x) S(y)) ÓÒ Ø ÒØ D = {R(1),...,R(n)} ÑÔØÝ Ø Ð ÓÖ Sµ U = insert(s(0)) Ø Ø ÓÑ ÒÓÒ Ø ÒØ Ø Ö Ø Ë¹Ö Ô Ö Ö {R(1),...,R(n)} Ò {S(0)} Ò ÇÒÐÝ Ø ÓÖÑ Ö ¹Ö Ô Ö Ø Ø Ò 1 ÖÓÑ D Ì ÓÒ Ë¹Ö Ô Ö Ø Ø Ò n
¾ ÁÒÖ Ñ ÒØ Ð É ¹Ë Ñ ÒØ ÓÑÔ Ö ÓÒ Û Ø Ø Ø Ø Û ÓÒ Ö Ö Ø ÕÙ Ø ÓÖ Û Ø Ú Ö ÓÒ Ó Ø ¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ð Û Ø ÙÒØ ÓÒ w ÓÒ ØÙÔÐ Ó Ø ÓÖÑ ÆÙÑ Ö Ð (R( t), A, newvalue) R( t) D A Ò ØØÖ ÙØ Ó R Ò newvalue Ò Û Ú ÐÙ ÓÖ A Ò R( t) Û ¹Ö Ô Ö Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ò Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Ò ¹ Ì ÙÒØ ÓÒ g ÓÒ Ø Ú ÐÙ w(r( t),a,newvalue) Ö Ø w(r( t),a,newvalue) = δ(r( t).a,newvalue) Ò ÌÝÔ ÐÐÝ g sum º º ÓÒÐÝ ÒÙÑ Ö Ó Ò ÓÙÒØ :=
Ü ÑÔÐ Û Ò Ø ÁÒ w((r( t),a,newvalue) := (R( t).a newvalue) 2 g = sum ËØ Ø É ÓÖ ÖÓÙÒ ØÓÑ ÕÙ Ö Ò Ò Ð ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÙÒ Ö Ø Û ¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ P NP ¹ Ö ÓÒ ØÖ ÒØ Ç Ø Ò Ý Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø P NP ¹ÓÑÔÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ ψ(x Ú Ò 1,,X n Ò Æ Ø ) Ú Ö Ð X Ð Ø n ÕÙ Ð ØÓ 1 Ò Ø Ð Ü Ó Ö Ô ÐÐÝ Ñ Ü ÑÙÑ ÒÑ ÒØ Ò Û Ö No ψ ÒÓØ Ø Ð µ Ø Ý Ò ÇÔº غ ÃÖ ÒØ Ðº
ÓÖ Ø ÒÖ Ñ ÒØ Ð Ô ÖØ Ù ¹ ÓÐÓÖ Ð ØÝ ÓÖ ¹ÓÐÓÖ Ð Ö ÙÐ Ö Ö Ô Ó Ö Ï NP¹ÓÑÔÐ Ø Û Ö Ù ØÓ É Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ¹ÓÐÓÖ Ð ØÝ Ó ¹ Æ ÜØ Ò ¹Ö ÙÐ Ö Ö Ô G Û Ø Ü Ø Ó Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÐÓÖ Ð ÓÒ ØÖ ÒØ Ë Ñ E(X,Y ),Coloring(X,V ),Colors(X) ÓÐÓÖ ÑÙ Ø Ð Ð ÐÓÒ ØÓ Colorsµ Í Ù Ð ÓÐÓÖ Ð ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ Øº G ¹ÓÐÓÖ Ð Ò Ù ÐÐ ÓÙÖ Ú ÐÙ Ú Ð Ð Ò Ø Ð Ó ÓÐÓÖ Ô Ø ÖÓÙ ÓÒ ØÖ ÒØ
ÍÔ Ø Ô ÖØ Ð Ø ÓÒ ÓÐÓÖ Ý C ÖÓÑ Colors Ö ØÓÖ ÓÒ Ø ÒÝ Û Ú ØÓ ÓÐÓÖ Ø Ö Ô Û Ø ÓÐÓÖ ÌÓ ÓÐÓÖ Ú ØÓ Ö Ò Ó Ì Ö Ö Û ¹Ö Ô Ö Ø Ö Ô ÓÐÓÖ Ð Û Ø ÓÐÓÖ Ø ÕÙ ÖÝ Colors(C) ØÖ Ú ÐÐݵ ÓÒ Ø ÒØÐÝ ØÖÙ Ì Ò Ö ÒÓ Û ¹Ö Ô Ö Ø Ö Ô ÒÓØ ÓÐÓÖ Ð Û Ø Ø Ö ÓÐÓÖ Ï Ó Ø Ò ÓÖ Û ¹Ö Ô Ö ÖÓÙÒ ØÓÑ ÕÙ Ö Ö Ø¹ÓÖ Ö Ì ÓÖ Ñ Ò ÙÔ Ø ÕÙ Ò ÓÒ Ø Ò Ó ØÙÔÐ Ð Ø ÓÒ ÒÖ ¹ Á Ñ ÒØ Ð É ÓÆȹ Ö
Ï Ø ÓÙØ Ò Ð Á Ø Ð Ø ÓÒ Ö ØÖ Ú Ð Ø Ý Ó ÒÓØ ÒØÖÓ Ù ÒÝ ÁÒ Ú ÓÐ Ø ÓÒ ÁÒÖ Ñ ÒØ Ð É ÛÖØ Ò Ð ÓÒ ØÖ ÒØ Ò ØÓÑ Ì ÓÖ Ñ ÙÒ Ö Ø Û ¹Ö Ô Ö Ñ ÒØ P NP ¹ Ö ÕÙ Ö Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ø É ÓÖ ¹Ö Ô Ö Ò Ý Ö ÚÓ Ö ÒÓÒ ÄÓÔ Ø Ò Óº ÈÄ ¼ ÖØÓ À Ö ÓÒ ØÙÔÐ Ò ÖØ ÓÒ ÓÓ ÒÓÙ ÓÖ Ø ÙÔ Ø Ô ÖØ ØØÖ ÙØ Ú ÐÙ Ò Ö Ù ØÓ Ö ØÓÖ ÓÒ Ø ÒÝ
ÇÒ Ó Ò Ò ÙØÙÖ ÏÓÖ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó É ÖÓÑ Ø ÔÓ ÒØ Ó Ú Û Ó Ò ÐÝÞ ÝÒ Ñ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÁÑÑ ÖÑ Ò ÁÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Å ÐØ Ö Ò ËÙ Ö Ñ Ò Ò Î ØØ Ö Ì Ñ º Ì Ë Ø ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ Ø ÙÔ¹ À Ö Ø Ø ØÖÙØÙÖ Ò Ù ÓÖ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÑÔÙ¹ ÙÜ Ð ÖÝ Ø Ø ÓÒ È Ö Ñ Ø Ö Þ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÁÒ Ñ ÒÝ ÓÖÑ Ò É ÓØ Ø Ø Ò ÒÖ Ñ ÒØ Ð
Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ØÙÖ ÐÐÝ Ó Ö Ø Ñ ÐÚ Ë Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö Ó ÒÓÒ Ø Ò Ò Ø Ø Ö Ó ÒÓÒ Ø ÒÝ º º Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó Ú ÓÐ Ø ÓÒ Ô Ö Ø ØÙÔÐ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÒÓÒ Ø ÒÝ º º Ø Ð Ò Ø Ó Ø ÐÓÒ¹ ººº Ø Ô Ø Ò Ø ÓÒ Ø Ö Ô ÓÖ ÝÔ Ö Ö Ô Ô Ö Ñ Ø Ö Ö ÔÖ Ø ÐÐÝ Ö Ð Ú ÒØ Ò Ñ ÒÝ ÔÔÐ ¹ Ì Û Ö ÒÓÒ Ø Ò Ö ÐÓ Ð Ø ÓÒ ÖØÓ Ö ÚÓ Ö ÒÓÒ ÄÓÔ Ø Ò Óº ÈÄ ¼