ÈÖÓÓ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ÓÕ Å Ü Ñ Ò Ò Ñ Ò Ö Ó Ö ÒØ Ð Ã ÐÐ Ö È ÖÖ Ú ËØÖÙ Ä ÙÖ ÒØ Ì ÖÝ Map 16 p.1
ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù ÙÒØ ÓÒ Ð Compute prime 31. = true ÔÖÓÚ Ö Ì ÓÖ Ñ Check Euclid_dvdX. forall m n p : nat, prime p -> (p % m ^ n) = (p % m) && (0 < n) Map 16 p.2
ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Theorem Name : Statement. Proof. Qed. Map 16 p.3
ÇÙØÐ Ò ÌÓÝ Ü ÑÔÐ Ö Ö Ô ÒÝ Ì ÖÒ ÖÝ ÓÐ ÓÒ ØÙÖ Map 16 p.4
ÌÓÝ Ü ÑÔÐ Å ÌÖ ¾ Ö Ö Ù Ò ØÖ Map 16 p.5
ËØ Ô ½º Ë Ù Ð Ø Ý ÑÙÐØ ÔÐ ÙØ ¾º È Ú Ô ÓÔÐ Ò Ø Ù Ò º Ú Ö ØÓ Ô ÖØ Ô ÒØ º Ì Ø Ñ Ò Ö Ò º Ù Ö Map 16 p.6
È Map 16 p.7
Ì Ø Map 16 p.8
Ì Ø Map 16 p.8
Ù Map 16 p.9
Å ÌÖ Ì Ø 2 5 = 32 Ë Ù Ð Map 16 p.10
ÒÓ Ò ËÙ Ø Ê Ò Map 16 p.11
Ó Ò Map 16 p.12
Ó Ò Map 16 p.12
Ó Ò Map 16 p.12
Ó Ò Map 16 p.12
Ó Ò Map 16 p.12
Ó Ò Map 16 p.12
Ó Ò Map 16 p.12
Ö Ø Î Ö Ø ÓÒ Ê ÙÖ Ú Ò Ø ÓÒ s 0 = [0,0,0,0,0] s 1 = [0,0,0,0,1]... s n+1 = [s n,2,s n,3,s n,4,s n,5,s n,1 +s n,3 ] ÈÖÓÔ ÖØÝ uniq [s i i < 32] Map 16 p.13
ÁÒ Ö Ø Î Ö Ø ÓÒ s n = [a n 5,a n 4,a n 3,a n 2,a n 1 ] a n = 0 0 < n a 0 = 1 a n = a n 5 +a n 3 0 < n P = X 5 +X 2 +1 (F 2 [X]) 1/P = i 0 a i X i Map 16 p.14
ÁÒ Ö Ø Î Ö Ø ÓÒ (1+X 31 )/P = X 26 +X 23 +X 21 +X 20 +X 17 +X 16 +X 15 +X 14 +X 13 +X 9 +X 8 +X 6 +X 5 +X 4 +X 2 +1 17 16 15 14 18 13 20 19 22 23 24 25 21 12 11 10 9 8 7 6 26 27 28 5 4 3 29 2 30 31 1 0 ÈÖÓÔ ÖØÝ irreducible P Map 16 p.15
Ö Ö Ô ÒÝ Map 16 p.16
Ö Ö Ô ÒÝ Map 16 p.17
Ë Ø ËÓÐÚ Ö ÈÖÓ Ð Ñ Is it possible to put n pigeons in m holes in such a way that each hole contains at most one pigeon? ÒÓ Ò v i,p pigeon i is in hole p v i,1 v i,2 v i,m n clauses v i,p v i,q n(m 2 m)/2 clauses Map 16 p.18
Ë Ø ËÓÐÚ Ö v i v i v j v l v j v k v l ÎË ÍÈ Â Ä Map 16 p.19
Ë Ø ËÓÐÚ Ö b d a c d c e a d e a c Map 16 p.20
Ë Ø ËÓÐÚ Ö b d a c d c e a d e a c a b Map 16 p.20
Ë Ø ËÓÐÚ Ö b d a c d c e a d e a c a b Map 16 p.20
Ë Ø ËÓÐÚ Ö b d a c d c e a d e a c a b c Map 16 p.20
Ë Ø ËÓÐÚ Ö b d a c d c e a d e a c a b c Map 16 p.20
Ë Ø ËÓÐÚ Ö a b c d e b d a c d c e a d e a c Map 16 p.20
Ë Ø ËÓÐÚ Ö a b c d e b d a c d c e a d e a c a c Map 16 p.20
Ë Ø ËÓÐÚ Ö b d a c d c e a d e a c a b Map 16 p.20
Ë Ø ËÓÐÚ Ö v i v i v j v l v j v k v l ÎË ÍÈ Â Ä Map 16 p.21
Ë Ø ÈÖÓÓ v C v C C C Ê ÓÐÙØ ÓÒ a c d c e a d e a c d a c Ü ÑÔÐ Map 16 p.22
Ë Ø ÈÖÓÓ 3 2 1 0 14 13 21 23 20 19 79 12 11 18 16 15 81 78 80 8 7 5 6 9 83 4 76 77 84 80 85 81 85 82 85 78 86 17 88 89 15 87 89 18 91 89 90 Map 16 p.23
Ö Ö Ô ÒÝ For every infinite sequence (x n ) (x i { 1,1}), for every C, there exists (k,d) such that d i=1 x ki > C Map 16 p.24
C = 1 k =1 (+1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,? ) Ö Ö Ô ÒÝ ÓÖ k =2 (+1,-1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,? ) k =1 (+1,-1,?,+1,?,?,?,?,?,?,?,? ) k =3 (+1,-1,-1,+1,?,?,?,?,?,?,?,? ) k =1 (+1,-1,-1,+1,?,+1,?,?,?,?,?,? ) k =4 (+1,-1,-1,+1,-1,+1,?,?,?,?,?,? ) k =1 (+1,-1,-1,+1,-1,+1,?,-1,?,?,?,? ) k =5 (+1,-1,-1,+1,-1,+1,+1,-1,?,?,?,? ) k =1 (+1,-1,-1,+1,-1,+1,+1,-1,?,+1,?,? ) k =6 (+1,-1,-1,+1,-1,+1,+1,-1,-1,+1,?,? ) k =1 (+1,-1,-1,+1,-1,+1,+1,-1,-1,+1,?,-1) k =3 (+1,-1,-1,+1,-1,+1,+1,-1,-1,+1,+1,-1) Map 16 p.25
Ö Ö Ô ÒÝ ÓÖ C = 2 Ö ØÖ ÖÝ ÕÙ Ò (x n ) Ó 1161 Ð Ñ ÒØ ÜÔÖ Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ù Ò Ð Ù ÒÓ Ò ÓÓÐ Ò Ú ÐÙ Ú ÐÙ x i = x i +1 x i = x i -1 Ô ÖØ Ð ÙÑ Ó Ó Ð Ò Ø Ò Ú ÖÝ Ý ÓÓÐ Òº ÒÓ Map 16 p.26
Ö Ö Ô ÒÝ ÓÖ C = 2 y i3 = x i1 +x i2 +x i3 ØÛ Ò -2 Ò 2 x i1 x i2 x i3 x i1 x i2 x i3 x i1 x i2 y i3 x i1 x i2 y i3 x i1 x i3 y i3 x i1 x i3 y i3 x i2 x i3 y i3 x i2 x i3 y i3 Map 16 p.27
Ö Ö Ô ÒÝ ÓÖ C = 2 ÒÓ Ò 4206 Ú Ö Ð 25142 Ð Ù Ø 30 Ñ Ò ØÓ ÔÖÓÚ ÙÒ Ø Ð ØÝ ÐÙÓ Ø ÔÖÓÓ 2 º Ò Map 16 p.28
Ö Ö Ô ÒÝ Ò ÓÕ Lemma Erdos : forall x_ : nat -> bool, exists k, exists d, \ sum_(1 <= i < d) [x_ (k * i)] > 2. Ò Ì Ñ 5 Ñ Ò ÈÖÓ Ë Þ 2 ÓÑÔ Ð Ð 1 Å Map 16 p.29
Ö Ö Ô ÒÝ Ò ÓÕ Ò ÓÒ Ï Ø Verified proof-cheker for resolution Verified translatation Ø Ò ÓÒ ÀÓÛ Preprocessing Use some impure features Map 16 p.30
Ì ÖÒ ÖÝ ÓÐ ÓÒ ØÙÖ Map 16 p.31
Ì ÖÒ ÖÝ ÓÐ ÓÒ ØÙÖ Every odd number greater than 5 can be expressed as the sum of three primes 7 = 5+2+2 9 = 3+3+3 11 = 3+3+5 13 = 3+5+5 15 = 5+5+5 17 = 7+5+5 º º º Map 16 p.32
Ì ÖÒ ÖÝ ÓÐ ÓÒ ØÙÖ Map 16 p.33
ÈÖÓÚ Ò ÈÖ Ñ È ÖØ ÙÐ Ö ÈÖ Ñ Å ÒÝ ÈÖ Ñ Map 16 p.34
ÈÖÓÚ Ò ÈÖ Ñ ËÙÔÔÓ Û Û ÒØ ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø n = 1000000000000066600000000000001 ÔÖ Ñ º Map 16 p.35
ÈÖ Ñ Ð ØÝ ÖØ Ø ËÙÔÔÓ Û Û ÒØ ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø n = 1000000000000066600000000000001 ÔÖ Ñ º Ò a Ó ã ä ÓÖ Ö m Ò a m = 1 mod n p, primep p m a m/p 1 mod n Á m n n ÔÖ Ñ º Map 16 p.36
ÈÖ Ñ Ð ØÝ ÖØ Ø ËÙÔÔÓ Û Û ÒØ ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø n = 1000000000000066600000000000001 ÔÖ Ñ º Ò a Ó ã ä ÓÖ Ö m Ò a m = 1 mod n p, primep p m gcd(a m/p 1,n) = 1 Á m n n ÔÖ Ñ º Map 16 p.36
ÈÖ Ñ Ð ØÝ ÖØ Ø ËÙÔÔÓ Û Û ÒØ ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø n = 1000000000000066600000000000001 ÔÖ Ñ º Ò a Ó ã ä ÓÖ Ö m Ò a m = 1 mod n p, primep p m gcd(a m/p 1,n) = 1 Á m n n ÔÖ Ñ º ÈÖÓ Ð Ñ Ô ÖØ Ð ØÓÖ Þ Ø ÓÒ Ó n 1 Map 16 p.36
ÈÖ Ñ Ð ØÝ ÖØ Ø Map 16 p.37
ÈÖ Ñ Ð ØÝ ÖØ Ø Map 16 p.38
ÈÖ Ñ Ð ØÝ ÖØ Ø Map 16 p.39
ÈÖÓÚ Ò Å ÒÝ ÈÖ Ñ 234567891011121314151617181920 Map 16 p.40
Ö Ø Ó Ø Ò 234567891011121314151617181920 234567891011121314151617181920 234567891011121314151617181920 234567891011121314151617181920 Map 16 p.41
Ö Ø Ó Ø Ò Ï Ø Ö ÓÒ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÖ Ò C = [1; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 27; 29] n = 30(p/9)+C[p mod 9] ÂÙÑÔ Ò J[7] = [(29, 4, 0), (19, 6, 1), (23, 6, 1), (27, 2, 0), (1, 2, 1), (17, 4, 1), (7, 2, 1), (11, 2, 1), (13, 2, 1)] Map 16 p.42
Ì ÖÒ ÖÝ ÓÐ ÓÒ ØÙÖ Á [p 1, p 2,...,p n ] Ù Ø Ø p i+1 p i +A ÓÐ ÙÒ Ö A Ì ÓÐ ÙÒ Ö p Á n +Aº n p i = 2q = p j +p k ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ A = 410 18 Ò Ø ÈÖÓØ ÑÙÑ Ö k2 h +1 Ø ÈÖÓ Ð ÔÖ Ñ º ËÐÓÛ Map 16 p.43
Ì ÖÒ ÖÝ ÓÐ ÓÒ ØÙÖ Lemma Goldbach_main : (forall n : Z, Zeven n -> 4 n 4 * 10 ^ 18 -> exists p1 p2 : Z, prime p1 prime p2 n = p1 + p2) -> forall n : Z, Zodd n -> 7 n 22240000000000 * 2 ^ 52 -> exists p1 p2 p3 : Z, prime p1 prime p2 prime p3 n = p1 + p2 + p3 Map 16 p.44
Ì ÖÒ ÖÝ ÓÐ ÓÒ ØÙÖ Ï Ø Ñ Ø ÔÓ Ð 556 Ð Ö Ñ 410 10 2 52 Ë Þ 86 227 ÆÓÒ ÈÖÓØ ÊÙÒÌ Ñ 5 Ý Û Ø 24 ÓÖ Map 16 p.45
Ò ÖÝ ÓÐ ÓÒ ØÙÖ Map 16 p.46
Ò ÖÝ ÓÐ ÓÒ ØÙÖ n = p i +p j n = 3325581707333960528 p i = 9781 À ÐÝ ÓÔØ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ 770 Ý Ö Map 16 p.47
ÓÒÐÙ ÓÒ ÈÖÓÚ Ò Ò ÓÑÔÙØ Ò Ö ÙÐ ÓÑÔÙØ Ò È Ö ÐÐ Ð Ò Û Ø Ø ÓÖ Ñ Map 16 p.48