Generalized Substitutions and Stepped Surfaces Pierre Arnoux, Valerie Berthe, Damien Jamet To cite this version: Pierre Arnoux, Valerie Berthe, Damien Jamet. Generalized Substitutions and Stepped Surfaces. 5-th International Conference on Words, Sep 005, Montreal, Canada. <hal-00580567> HAL Id: hal-00580567 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00580567 Submitted on 9 Mar 0 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Ò Ö Ð Þ ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ Ò ËØ ÔÔ ËÙÖ È ÖÖ ÖÒÓÙÜ Î Ð Ö ÖØ Ò Ñ Ò Â Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÄÙÑ ÒÝ ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ½ Ú ÒÙ ÄÙÑ ÒÝ ½ ¾ Å Ö ÐÐ Ü ¹ Ê Æ º ÖÒÓÙÜ ÑкÙÒ Ú¹ÑÖ º Ö ÄÁÊÅŹÍÅÊ ¼ ÍÒ Ú Ö Ø ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö ÁÁ ½ ½ ÖÙ ¾ ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö Ü ¹ Ê Æ º ß ÖØ Ñ ØÐÐ ÖÑѺ Ö ØÖ Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÒÓÒ¹ Ö Ò ÑÓÖÔ Ñ Ó Ø Ö ÑÓÒÓ º Ì ÒÓØ ÓÒ Ó ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó ÒÓÒ¹ÓÒ Ø ÒØ Ð Ò Ø Ø¹ Ò ÓÒ ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð ÛÓÖ ÒØÖÓ Ù Ò Á¼½ ˼ ÔÖÓÚ ØÓ Û Ðй Ò ÓÒ Ø Ø Ó ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÛÓÖ Ö Ð Ø ØÓ Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ÖÖ Ø ÓÒ Ð ÔÐ Ò º ËÙ ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ø ØÙ¹ Ø ÓÒ Ò Ó Ø ØÓ ÒÝ Ù Ù Ð È ÓØ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ö Ù Ø ØÙØ ÓÒº Ì Ñ Ó Ø Ô Ô Ö ØÓ ØÖÝ ØÓ ÜØ Ò Ø ÓÑ Ò Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ù ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û ØÙ Ý Ò Ü ÑÔÐ Ó ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒ Û Ø ÓÒ Ø ÔÔ ÙÖ Ò Ø Ò Ó Â Ñ¼ Âȼ º ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËØÙÖÑ Ò ÛÓÖ Ö ÒÓÛÒ ØÓ Ó Ò Ó Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ò ÖÖ Ø ÓÒ Ð ØÖ Ø Ð Ò Ãʼ ÄÇÌÀ¼¾ º ÇÒ ÓÙÐ ÜÔ Ø ÖÓÑ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó ËØÙÖÑ Ò ÛÓÖ Ø Ø Ø Ý ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø ÖÖ Ø ÓÒ Ð ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖº ÁØ Ø Ù Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ñ ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ö Ø Ñ Ø ÔÐ Ò ÒØÖÓ Ù Ò Ê Ú ½ Ø ÒÓØ ÓÒ ÓÒ Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÔÐ Ò Ò R Ý Ð Ø Ò ÔÓ ÒØ Û Ø ÒØ Ö Ð ÓÓÖ¹ Ò Ø ÓÚ Ò Û Ø Ò ÓÙÒ Ø Ò Ó Ø ÔÐ Ò ÑÓÖ ÔÖ ÐÝ Ú Ò v R µ, ω R Ø ÐÓÛ Ö Ö Ôº ÙÔÔ Öµ Ö Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò P(v, µ, ω) Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ x Z d Ø Ý Ò 0 x,v + µ < ω Ö Ôº 0 < x,v + µ ωµº ÅÓÖ ÓÚ Ö ω = v i = v Ø Ò P(v, µ, ω) ØÓ Ø Ò Ö º ÁÒ Ø Ð ØØ Ö ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÔÐ Ò Û Ø ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ v R Ý ÕÙ Ö ÓÖ ÒØ ÐÓÒ Ø Ø Ö ÓÓÖ Ò Ø ÔÐ Ò ÓÖ Ó Ø Ø Ö Ò Ó ÓÒ Ò Ø Ò Ù Ú ÖØ Ü Ø Ø Ò Ö Ö Ø ÔÐ Ò P(v, µ, v ) Ø Ò ÕÙ Ð ØÓ Ø Ø Ó Ø Ò Ù Ú ÖØ Ø Ö ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÔÐ Ò x + y + z = 0 ÐÓÒ (,, ) ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ó Ø ÔÐ Ò Û Ø Ø Ö Ò Ó ÑÓÒ Ò Ñ ÐÝ Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ö ÔÓ Ð º ÇÒ Ò Ó Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÚ Ö Z Ý Ó Ø Ò ØÓ ÑÓÒ Ø Ò Ñ Ó Ø ÔÖÓ Ø º Ì ÛÓÖ Ö Ò Ø Ø Ö ¹Ð ØØ Ö ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ËØÙÖÑ Ò ÛÓÖ º º μ¼ µº
¾ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ø ÔÔ ÔÐ Ò Ø Ó¹ ÐÐ Ö Ø ÙÖ ÒØÖÓ Ù Ò Â Ñ¼ º ÊÓÙ ÐÝ Ô Ò Ö Ø ÙÖ ÙÒ ÓÒ Ó ÔÓ ÒØ Ù Ø Ø Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÔÐ Ò x + y + z = 0 Ò Ù Ò ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÖÓÑ Ø Ö Ø ÙÖ ØÓ Ø ÔÐ Ò º ÓÒ ÓÖ Ø ÔÔ ÔÐ Ò ÓÒ ÔÖÓÚ ÒÝ Ö Ø ÙÖ Û Ø Ó Ò ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÛÓÖ ÓÚ Ö Ø Ö ¹Ð ØØ Ö ÐÔ Øº ÁÒ Ø ÔÖ ÒØ Ô Ô Ö Û ÐÐ Ö Ø ÙÖ Ø ÔÔ ÙÖ Ò Ù Ó Ø Ö ÒÓØ Ö Ø Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ý Ö ÒÓØ Ù Ø Ó Z º Ä Ø Ù Ö ÐÐ Ø Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÒÓÒ¹ Ö Ò ÑÓÖÔ Ñ Ó Ø Ö ÑÓÒÓ º ÒÓØ ÓÒ Ó ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó ÒÓÒ¹ÓÒ Ø ÒØ Ð Ò Ø Ø Ò ÓÒ ÑÙй Ø Ñ Ò ÓÒ Ð ÛÓÖ ØÙ Ò Á¼½ Á˼½ Á¼¾ ˼ Ò Ô Ö Ý Ø ÓÑ ØÖ Ð ÓÖÑ Ð Ñ Ó ÁÇ ÁÇ º Ì ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ö ÔÖÓÚ ØÓ Û Ðй Ò ÓÒ ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð ËØÙÖÑ Ò ÛÓÖ º ËÙ ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ø ØÓ ÒÝ Ù Ù Ð È ÓØ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ö Ù Ø ¹ ØÙØ ÓÒº Ì Ñ Ó Ø ÔÖ ÒØ Ô Ô Ö ØÓ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÑ Ò Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ù Ò Ö Ð Þ Ù Ø ØÙØ ÓÒ º ÓÖ Ø Ó Ð Ö ØÝ Û Ú Ó Ò ØÓ ÛÓÖ ÓÙØ Ò ÙÐÐ Ø Ð Ø Ü ÑÔÐ Ó Ë¼ º Ï ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ñ Ó Ø ÔÔ ÙÖ ÙÒ Ö Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒ Û Ðй Ò º ÇÙÖ ÔÖÓÓ Û ÐÐ ÓÒ ÓÑ ØÖ Ð ÔÔÖÓ º Ï Ø Ò Ù Ø ÙÒØ Ó¹ Ò Ð ØÝ Ò Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÔÐ Ò x+y +z = 0 ÐÓÒ (,, ) ØÓ Ö ÓÚ Ö Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö ÙÐØ ÓÖ ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð ÛÓÖ º Ï ÛÓÖ Ö Ò Ø Ø Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô ÓÖ Ð Ö ØÝ Ù ÙØ ÐÐ Ø Ö ÙÐØ Ò Ñ Ø Ó ÔÖ ÒØ ÜØ Ò Ò Ò ØÙÖ Ð Û Ý ØÓ R n º ¾ ÒÓØ ÓÒ ¾º½ ÇÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ä Ø A Ò Ø ÐÔ Ø Ò Ð Ø A Ø Ø Ó Ò Ø ÛÓÖ ÓÚ Ö Aº Ì ÑÔØÝ ÛÓÖ ÒÓØ Ý εº Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ó Ø Ö ¹ÑÓÒÓ A Ù Ø Ø Ø Ñ Ó Ú ÖÝ Ð ØØ Ö Ó A ÒÓÒ¹ ÑÔØݺ ËÙ Ò Ø ÓÒ Ò ØÙÖ ÐÐÝ ÜØ Ò ØÓ Ò Ò Ø ÓÖ Ò Ò Ø ÛÓÖ Ò A N Ò A Z º Ï ÙÑ A = {,..., d}º Ä Ø σ Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Aº Ì Ò Ò Ñ ØÖ Ü Ó σ ÒÓØ M σ = (m i,j ) (i,j) {,...,d} Ò Ý M σ = ( σ(j) i ) (i,j) {,...,d}, Û Ö σ(j) i Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÙÖÖ Ò Ó i Ò σ(j)º Ä Ø ψ : A N d w ( w i ) i {,,d} Ø È Ö Ñ ÔÔ Ò Ø Ø Ø ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ó Ø Ò Ý Ð Ò Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ö ÑÓÒÓ º ÇÒ ÓÖ Ú ÖÝ w A ψ(σ(w)) = M σ ψ(w)º Ü ÑÔÐ ½º Ä Ø σ : {,, } {,, } Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ý σ :,, º Ì Ò M σ = 0 0 0. 0 0
Ù Ø ØÙØ ÓÒ σ ØÓ È ÓØ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐݹ ÒÓÑ Ð Ó Ø Ò Ò Ñ ØÖ Ü M σ Ñ Ø ÓÑ Ò ÒØ ÒÚ ÐÙ λ > Ù Ø Ø ÐÐ Ø ÓÒ Ù Ø α Ø Ý 0 < α < º Ì Ò Ò Ñ ØÖ Ü Ó È ÓØ Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ë¼½ Ø Ø Ø Ñ Ø ÔÓÛ Ö Û Ø ÔÓ Ø Ú ÒØÖ º Ò ÐÐÝ Ù Ø ØÙØ ÓÒ ØÓ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ö detm σ = ±º ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Ð Ø σ ÒÓØ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ö È ÓØ Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ø Ö ¹Ð ØØ Ö ÐÔ Ø A = {,, }º ¾º¾ ËØ ÔÔ ÔÐ Ò Ì Ö Ö Ú Ö Ð Û Ý ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÔÐ Ò Ý ÒØ Ö ÔÓ ÒØ Ã¼ º Í Ù ÐÐÝ Ø Ñ Ø Ó ÓÒ Ø Ò Ð Ø Ò ÒØ Ö ÔÓ ÒØ Û Ø Ò ÓÙÒ Ø Ò ÖÓÑ Ø ÓÒ Ö ÔÐ Ò º ËÙ Ó Ø Ö ÐÐ Ö Ø ÔÐ Ò º Ä Ø {e,e,e } Ø ÒÓÒ Ð Ó R º Ï ÐÐ ÙÒ Ø Ù ÒÝ ØÖ Ò Ð Ø Ó Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÙÒ Ø Ù Û Ø ÒØ Ö Ð Ú ÖØ Ø Ø ÒÝ Ø x + C Û Ö x Z Ò C Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÙÒ Ø Ù C = { λ e + λ e + λ e (λ, λ, λ ) [0, ] }. Ä Ø P : v,x + µ = 0 Û Ø v R + Ò µ Rº Ì Ø ÔÔ ÔÐ Ò P P Ó Ø ØÓ P Ð Ó ÐÐ Ö Ø ÔÐ Ò Ò Ë¼ Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø Ó Ø ÒØ Ö Ð Ù Ø Ø ÓÒÒ Ø Ø Ø {x Z 0 v,x + µ < v = v i }º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ò Ø ÓÒ ½º ÁÇ ÁÇ Ï ÓÒ Ö Ø ÔÐ Ò P : v,x + µ = 0 Û Ø v R + Ò µ Rº Ä Ø C P Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÙÒ Ø Ù ÒØ Ö Ø Ò Ø ÓÔ Ò Ð ¹ Ô Ó ÕÙ Ø ÓÒ v,x + µ < 0º Ì Ø ÔÔ ÔÐ Ò P P Ó Ø ØÓ P Ò Ý P P = C P \ C P, Û Ö C P Ö Ôº C P ) Ø ÐÓ ÙÖ Ö Ôº Ø ÒØ Ö ÓÖµ Ó Ø Ø C P Ò R ÔÖÓÚ Û Ø Ø Ù Ù Ð ØÓÔÓÐÓ Ýº Ì Ú ØÓÖ v Ö Ôº µµ ÐÐ Ø ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ Ö Ôº Ø ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Öµ Ó Ø Ø ÔÔ ÔÐ Ò P P º ÁØ Ð Ö Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø Ø Ø ÔÔ ÔÐ Ò ÓÒÒ Ø Ò ÙÒ ÓÒ Ó Ó ÙÒ Ø Ù º ÁÒ Ø Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ù Ø Ð Ò Ø ÓÒ Ó Û Ò Ö Ø Ø ÔÔ ÔÐ Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ù Ø Ð ÐÓÛº Ä Ø E E Ò E Ø Ø Ö ÓÐÐÓÛ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÙÖ ½µ E = { λe + µe (λ, µ) [0, [ }, E = { λe + µe (λ, µ) [0, [ }, E = { λe µe (λ, µ) [0, [ }. ÓÖ x Z Ò i {,, } Ø Ó ØÝÔ i ÔÓ ÒØ ÓÒ x Z Ø Ø x + E i º Ä Ø Ù ÒÓØ Ø Ø ÔÓ ÒØ ÒÐÙ Ü ØÐÝ ÓÒ ÒØ Ö ÔÓ ÒØ Ò Ñ ÐÝ Ø Ø Ò Ù Ú ÖØ Üº Ñ ÒØ ÓÒ ÓÚ Û Ó Ø Ò Ì ÓÖ Ñ ½º μ¼ Á¼¾ Ø ÔÔ ÔÐ Ò P Ô ÖØ Ø ÓÒ Ý Ø ÔÓ ÒØ º
e e e e e µ E º e e µ E º e e µ E º º ½º Ì Ø Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð º Ò ÐÐÝ Ò Ý Û Ý ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø ØÝÔ Ó ÔÓ ÒØ ÒÐÙ Ò Ø ÔÔ ÔÐ Ò Ú Ò Ý Ì ÓÖ Ñ ¾º Ä Ø v = (v, v, v ) R + Ò µ Rº Ä Ø P = P(v, µ) Ø Ø ÔÔ ÔÐ Ò Û Ø ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ v Ò ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö µº Ä Ø I = [0, v [ I = [v, v + v [ Ò I = [v + v, v + v + v [º Ì Ò k {,, }, x P, x + E k P x,v + µ I k. Ä Ø P 0 Ø ÓÒ Ð ÔÐ Ò Ó ÕÙ Ø ÓÒ x+y+z = 0 Ò Ð Ø π Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÒ P 0 ÐÓÒ (,, )º Ì ÓÖ Ñ º Á¼¾ Ä Ø P Ø ÔÔ ÔÐ Ò º Ì Ö ØÖ Ø ÓÒ π P Ó π ÖÓÑ P ÓÒØÓ P 0 Ø ÓÒº ÙÖØ ÖÑÓÖ Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ Ó P Û Ø ÒØ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Û Ø Ø Ð ØØ Zπ(e ) + Zπ(e )º Ì Ø ÓÖ Ñ ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ó Ø ÔÔ ÔÐ Ò P ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÛÓÖ u {ψ,, } Z ÓÐÐÓÛ ÓÖ ÐÐ (m, n) Z ÓÖ i =,, Ø Ò ¾º u(m, n) = i π P (mπ(e ) + nπ(e )) + E i P. ËØ ÔÔ ÙÖ ÁØ Ø Ù Ò ØÙÖ Ð ØÓ ØÖÝ ØÓ ÜØ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ò Ø ÓÒ Ò Ö ÙÐØ ØÓ ÑÓÖ Ò Ö Ð Ó Ø Ò Ø ÓÒ ¾º  Ѽ ÓÒÒ Ø ÙÒ ÓÒ S Ó ÔÓ ÒØ x+e k Û Ö x Z Ò i {,, } ÐÐ Ø ÔÔ ÙÖ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ π S : S P 0 Ó π Ø ÓÒº ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÛÓÖ u {,, } Z ØÓ Ó Ò Ó Ø Ø ÔÔ ÙÖ S ÓÖ ÐÐ (m, n) Z ÓÖ i =,, Ø Ò u(m, n) = i π S (mπ(e ) + nπ(e )) + E i S. ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÔÔ ÔÐ Ò Ø ÔÔ ÙÖ ÓÖ Ò ØÓ Û Ø ÔÖ ¹ º
º ¾º Ô Ó Ø ÔÔ ÙÖ Ò Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ó Ò º Ò Ö Ð Þ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ó Ø ÔÔ ÔÐ Ò Ì Ñ Ó Ø Ø ÓÒ ØÓ Ö ÐÐ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ò Ö Ð Þ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ó Ø ÔÔ ÔÐ Ò Á¼½ Á˼½ ÈÝؼ¾ º Ä Ø σ ÒÓØ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ö È ÓØ Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ø Ö ¹Ð ØØ Ö ÐÔ Ø A = {,, }º Ä Ø M σ Ø Ò Ò Ñ ØÖ Ü Ò Ð Ø α, λ, λ ÒÓØ Ø Ò¹ Ú ÐÙ Û Ø α > > λ λ > 0º Ä Ø P Ø ÓÒØÖ Ø Ò ÔÐ Ò Ó M σ Ø Ø Ø Ö Ð ÔÐ Ò Ò Ö Ø Ý Ø ÒÚ ØÓÖ Ó Ø ØÓ λ, λ º Ë Ò Ø Ò Ò Ñ ØÖ Ü Ó È ÓØ Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ë¼½ Ø Ò ÓÖ Ò ØÓ È ÖÖÓÒ¹ ÖÓ Ò Ù Ì ÓÖ Ñ Ø ÒÚ ÐÙ α Ñ Ø ÔÓ Ø Ú ÒÚ ØÓÖ vº Ä Ø Ù ÒÓØ Ý P σ Ø Ø ÔÔ ÔÐ Ò Û Ø ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ v Ò ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö µ = 0º Ü ÑÔÐ ¾º Ï ÓÒØ ÒÙ Ü ÑÔÐ ½º Ì Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó M σ x x Ø Ñ Ø ÓÒ ÒÚ ÐÙ α > Û ÒÓÛÒ Ø ÓÒ Ñ ÐÐ Ø È ÓØ ÒÙÑ Öµ Ò ØÛÓ ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù Ø ÒÚ ÐÙ Ó ÑÓ ÙÐÙ ØÖ ØÐÝ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò ½º Ì ÓÒØÖ Ø Ò ÔÐ Ò Ó M σ Ø ÔÐ Ò Û Ø ÕÙ ¹ Ø ÓÒ α x + αy + z0º Ò Ø ÓÒ º ÁÇ ÁÇ Á¼¾ ˼ Ä Ø σ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ö Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ø Ö ¹Ð ØØ Ö ÐÔ Ø A = {,, }º Ä Ø P σ Ø Ø ÔÔ ÔÐ Ò Ó Ø ØÓ σº Ì Ò Ö Ð Þ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Σ σ Ó Ø ØÓ σ Ò ÓÐÐÓÛ Σ σ (x + E i ) = k= P σ(k)=p is M σ x ψ(p) Ü ÑÔÐ º Ä Ø σ :,, º Ì Ò i j= e j + k e j + E k j= Σ σ x + E ( ) ( Mσ x + e e + E M σ x + e + E ) x + E Mσ x + e + E x + E Mσ x e e + E º
ÁÒ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ø ÖÑ Σ σ Ò Ó. Ä Ø r = r(m, n) = (α m + αn)/(α + α + ) + º ÇÒ ((m, n), ) (( n, m n r(m, n) ), ) + (( n, m n r(m, n)), ) ((m, n), ) (( n, m n r(m, n)), ) ((m, n), ) (( n, m n r(m, n)), ). Ì ÓÖ Ñ º Á¼½ Ä Ø σ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ö È ÓØ Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ø Ö ¹ Ð ØØ Ö ÐÔ Ø A = {,, } Ð Ø P σ Ø Ø ÔÔ ÔÐ Ò Ó Ø ØÓ σ Ò Ð Ø Σ σ Ø Ò Ö Ð Þ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó Ø ØÓ σº µ ÌÛÓ Ø ÒØ Ú Ó ÒØ Ñ ÙÒ Ö Σ σ º µ Ì Ò Ö Ð Þ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Σ σ Ñ Ô ÒÝ Ô ØØ ÖÒ Ó P σ Ø Ø ÒÝ Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ó P σ µ ÓÒ Ô ØØ ÖÒ Ó P σ º µ Σ σ (P σ ) P σ º Ë Ò Σ σ Û Ðй Ò ÓÒ P σ ÓÖ Ò ØÓ Ì ÓÖ Ñ µµ Ò Ò P σ ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö Ø Ø ÓÒ Ó Σ σ Ø Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÒÚ Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ó Σ σ ÓÒ ÒÝ Ø ÔÔ ÔÐ Ò º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ú Ò Ø ÔÔ ÔÐ Ò P(v, µ) Ò Û ÜØ Ò Ø ÓÑ Ò Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ð Þ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Σ σ ØÓ Ø Ô ØØ ÖÒ Ó P(v, µ) ÁÒ Ø Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø σ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ö È ÓØ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ð Ø M σ Ø Ò Ò Ñ ØÖ Ü Ò Ð Ø Σ σ Ø Ò Ö Ð Þ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó Ø ØÓ σº ÓÖ ÒÝ Ø ÔÔ ÔÐ Ò P(v, µ) Û Ø v R + ÓÒ µ Ì Ñ Ó ØÛÓ Ø ÒØ ÔÓ ÒØ Ó P(v, µ) Ý Σ σ Ö Ó Òغ µ Ì Ñ Ó P(v, µ) ÒÐÙ Ò Ø Ø ÔÔ ÔÐ Ò P( t M v, µ) Σ σ (P(v, µ)) P( t M v, µ) ÈÖÓÓ Ë Ø µº Ì ÔÖÓÓ ÓÒ Ø Ñ Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ¾ Ò Ò Á¼½ º ÁØ Ñ ÒÐÝ Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÑ ØÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾ ÔÓ ÒØ x+e i ÒÐÙ Ò P(v, µ) Ò ÓÒÐÝ Ø ÔÓ ÒØ x+ i k= e k ÓÚ Ø ÔÐ Ò v,x +µ = 0 Û Ð Ø ÔÓ ÒØ x+ i k= e k ÐÓÛ Ø Ð ØØ Öº Ò Ö Ð Þ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ó Ø ÔÔ ÙÖ º½ Ì Ò Ö Ð Ë Ò Ø Ñ Ó Ø ÔÔ ÔÐ Ò Ý Ò Ö Ð Þ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ù Ø Ó Ø ÔÔ ÔÐ Ò Ø ÒØ Ö Ø Ò ØÓ ÒÚ Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Þ Ù Ø ØÙ¹ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÑÓÖ Ò Ö Ð Ð Ó Ø ÔÔ Ó Ø Ò Ñ ÐÝ Ø Ø ÔÔ ÙÖ º ÁÒ Ø
Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø S Ø ÔÔ ÙÖ º Ä Ø σ ÙÒ ÑÓ ÙÐ Ö È ÓØ Ù Ø ØÙ¹ Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ø Ö ¹Ð ØØ Ö ÐÔ Ø {,, } Ò Ð Ø Σ σ Ø Ó Ø Ò Ö Ð¹ Þ Ù Ø ØÙØ ÓÒº Ì Ò Ø Ñ Ó ØÛÓ Ø ÒØ ÔÓ ÒØ Ó S Ö Ó Òغ ÙÖØ ÖÑÓÖ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ π Σσ(S) : Σ σ (S) P 0 ½¹½º ÈÖÓÓ Ë Ø µº Ï Ö Ø ÒÓØ Ø Ø Ú Ò ØÛÓ x+e i Ò y+e j Ø Ò Ø Ö Ü Ø Ø ÔÔ ÔÐ Ò P Û Ø ÔÓ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ ÓÒØ Ò Ò ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ x + E i y + E j Ò z + E k º Ï Ø Ò ÔÔÐÝ Ì ÓÖ Ñ º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ø Ö Ñ Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø π Σσ(S) ÓÒØÓ Ò Ø Ø Σ σ (S) ÓÒÒ Ø ÙÒ ÓÒ Ó ØÓ Ù Ø Ø Σ σ (S) Ø ÔÔ ÙÖ ÓÖ Ò ØÓ Ò Ø ÓÒ ¾º Ä Ø Ù ÒÚ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ø Ò Ö Ð Þ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Σ σ Ó Ø ØÓ Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ σ :,, º º¾ Ì Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó σ :,, º ÁÒ Ø ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ σ ÒÓØ Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ σ :,, Û Ö Σ σ Ø Ò Ö Ð Þ Ù Ø Ø Ø ÓÒ Ó Ø ØÓ σ Σ σ x + E ( ) ( Mσ x + e e + E M σ x + e + E ) x + E Mσ x + e + E x + E Mσ x e e + E º Ä Ø Ù ÓÛ Ø Ø ÓÖ Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ø Ò Ø Ñ Ó Ø ÔÔ ÙÖ Ø ÐÐ Ø ÔÔ ÙÖ º Ö Ø Ú Ò ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÛÓÖ u {,, } Z Û ÐÐ ÓÓ ¹ÛÓÖ ØÓÖ Ó u Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ô º µ n m º º ÀÓÓ ¹ Ô º Ì Ø Ó ÓÓ ¹ÛÓÖ Ó u Û Ø ÓÓ ¹ Ô ÐÐ Ø ÓÓ ¹Ð Ò Ù Ó uº ÁÒ Â Ñ¼ Âȼ Ø ÙØ ÓÖ Ö Ù Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÛÓÖ Ó Ò Ö Ø ÙÖ ØÓ ÓÓ Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ì ÓÖ Ñ º  Ѽ Âȼ Ä Ø u {,, } Z º Ì Ò u Ó Ò Ó Ö Ø ÙÖ Ò Ø Ò Ó Ò Ø ÓÒ ¾ Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÓ ¹Ð Ò Ù Ó u ÒÐÙ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ó Ô ØØ ÖÒ º µº
z n m x y º º Ä Ø Ì Ô ÖÑ ØØ ÓÓ ¹ÛÓÖ º Ê Ø Ì ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖÑ ØØ ÓÓ ¹ÛÓÖ º Ï ÓÒÚ Ö ÐÝ Ó Ø ØÓ Ô ÖÑ ØØ ÓÓ ¹ÛÓÖ Ø ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ô¹ Ö ÒØ Ø ÓÒ ÓÒÒ Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ô Ø Ò ÙÖ Ø Ó Ò Ó ÒÝ ÓÙÖÖ Ò Ó Ø ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ø ÔÔ ÙÖ ÕÙ Ð ØÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÓ ¹ÛÓÖ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Ì Ñ Ý Σ σ Ó ÐÐ Ø ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖÑ ØØ ÓÓ º µ Ö ÓÒÒ Ø Ò R º µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ е º º Ì Ñ Ó Ø Ô ÖÑ ØØ ÓÓ Ý Σ σº Ï Ø Ò Ù Ø Ø Ì ÓÖ Ñ º Ì Ñ Ó Ø ÔÔ ÙÖ S Ý Σ σ ÓÒÒ Ø Ò Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ñ Ô π ØÓ Ø Ð ØØ Ö Ò Ø Ú º ÙÖØ ÖÑÓÖ ÐÐ Ø ÓÓ ¹ÛÓÖ ÓÙÖÖ Ò Ò Ø Ó Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ò Ø Ú ÔÖÓ Ø ÓÒ π Σσ(S) Ì ÓÖ Ñ µ Ö Ô ÖÑ ØØ ÓÓ ¹ÛÓÖ º
ÈÖÓÓ Ë Ø µº ÓÖ Ò ØÓ Ì ÓÖ Ñ Ø Ñ Ó Ø ÔÔ ÙÖ Ý Σ σ Û Ðй Ò º Ì ÓÒÒ Ø Ò ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º ÓÒ Ö ÒÓÛ ÙÒ ÓÒ H Ó Ø Ö Û Ó Ó Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø Ò Ø Ú ÔÖÓ Ø ÓÒ π Σσ (S) Ì ÓÖ Ñ µ ÓÓ ¹ÛÓÖ U H º Ì Ö Ü Ø Ø ÑÓ Øµ Ø Ö Ó Û Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø Ñ Ý Σ σ ÓÒØ Ò Hº ÇÒ Ø Ø Ø Ø Ò Ò d(v,w) = w v µ ØÛ Ò Ø Ø Ò Ù Ú ÖØ Ó Ø Ó ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÙÒ º Ý Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò Ø ØÙ Ý ÓÒ Ø Ø Ø ÓÓ ¹ÛÓÖ U H Ô ÖÑ ØØ º µ S µ Σ σ(s)º µ Σ σ(s)º º º Ô Ó ÒÓÒ¹ÔÐ Ò Ö Ø ÔÔ ÙÖ S Ò ¾ Ø Ö Ø ÓÒ Ý Σ σº Ê Ñ Ö º Ú Ò Ø ÔÔ ÙÖ S ÓÒØ Ò Ò Ø ÙÒ Ø Ù {e + E, e + e + E, e + e + e + E, } Ø Ò Ø ÕÙ Ò Ó Ø ÔÔ
½¼ ÙÖ (Σ n σ (S)) n N Ñ ØÓ ÓÒÚ Ö ØÓÛ Ö Ø Ø ÔÔ ÔÐ Ò P σ º µ ØÓ ÑÓÖ ÔÖ Ø Ð Ñ Ø ÔÓ ÒØ Ó Ø ÕÙ Ò (Σ n σ(s)) n N Ö Ù Ø Ó P σ º Ï Û ÐÐ ÒÚ Ø Ø Ø ÓÒÚ Ö Ò Ö ÙÐØ Ò ÑÓÖ Ò Ö ÐÐÝ Ø ÔÓ Ð ØÝ Ó ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø ÓÑ Ò Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒ ØÓ ÒÝ Ø ÔÔ ÙÖ Ò Ù ÕÙ ÒØ Ô Ô Öº Ä Ø Ù ÒÓØ Ø Ø Ø ØÙ Ý Ò Ð Ó ÔÔÐ ØÓ Ó Ø Ò Ò ÒØ Ò Ö Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ó Ø ÔÔ ÔÐ Ò Ò ÙÖ º Ê Ö Ò Á¼½ Ⱥ ÖÒÓÙÜ Ò Ëº ÁØÓº È ÓØ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ê ÙÞÝ Ö Ø Ð º ÙÐк Ð º Å Ø º ËÓº Ë ÑÓÒ ËØ Ú Ò ¾µ ½ ½ ¾¼ ¾¼¼½º ÂÓÙÖÒ ÅÓÒØÓ ³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ì ÓÖ ÕÙ Å ÖÒ ¹Ð ¹Î ÐÐ ¾¼¼¼µº Á¼¾ Ⱥ ÖÒÓÙÜ Îº ÖØ Ò Ëº ÁØÓº Ö Ø ÔÐ Ò Z ¹ Ø ÓÒ Â Ó ¹ È ÖÖÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ù Ø ØÙØ ÓÒ º ÒÒº ÁÒ Øº ÓÙÖ Ö Ö ÒÓ Ð µ ¾ ¾µ ¼ ¾¼¼¾º ˼ Ⱥ ÖÒÓÙÜ Îº ÖØ Ò º Ë Ðº ÌÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ö Ø ÑÓÖ¹ Ô Ñ Ò Ö Ø ÔÐ Ò º Ì ÓÖº ÓÑÔÙغ Ë º ½ ½¹ µ ½ ½ ¾¼¼ º Á˼½ Ⱥ ÖÒÓÙÜ Ëº ÁØÓ Ò º Ë ÒÓº À Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ù ¹ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ø Ö Ù Ð Ñ Ô º º Ò Ðº Å Ø º ½ ¾¼ ¾¼¼½º ü κ Ö Ñ ÓÚ º Ó ÙÖ ÓÐÐÝ Ò Êº ÃÐ ØØ º Ø Ð ÔÐ Ò Ö ØÝ ¹ Ö Ú Ûº Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ Êʾ¼¼ ¹¾ Ä ÓÖ ØÓ Ö ÄÁÊÁË ¹ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÙÑ Ö ÄÝÓÒ ¾ Ñ Ý ¾¼¼ º μ¼ κ ÖØ Ò Äº ÎÙ ÐÐÓÒº Ì Ð Ò Ò ÖÓØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÓÖÙ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó ØÙÖÑ Ò ÕÙ Ò º Ö Ø Å Ø º ¾¾ ½¹ µ ¾ ¾¼¼¼º ˼½ κ ÒØ Ö Ò Ò º Ë Ðº ÓÑ ØÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó È ÓØ ØÝÔ º ÌÖ Ò º Ñ Öº Å Ø º ËÓº ½¾µ ½¾½ ½ ¾¼¼½º ÁÇ Ëº ÁØÓ Ò Åº Ç Ø Ù º ÅÓ Â Ó ¹È ÖÖÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ò¹ Ö Ø Ò Ñ Ö ÓÚ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÖ Ô Ð ÝÔ Ö ÓÐ ØÓÖ Ð ÙØÓÑÓÖÔ Ñ º ÌÓ ÝÓ Âº Å Ø º ½ ½ ¾ ½ º ÁÇ Ëº ÁØÓ Ò Åº Ç Ø Ù º È Ö ÐÐ ÐÓ Ö Ñ Ø Ð Ò Ò Â Ó ¹È ÖÖÓÒ Ð Ó¹ Ö Ø Ñº ÌÓ ÝÓ Âº Å Ø º ½ ½ º  Ѽ º Â Ñ Øº ÇÒ Ø Ä Ò Ù Ó Ö Ø ÈÐ Ò Ò ËÙÖ º ÁÒ ÈÖÓ¹ Ò Ó Ø Ì ÒØ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÏÓÖ ÓÔ ÓÒ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÁÑ Ò ÐÝ Ô ¾¾ ¹¾ ½º ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ¾¼¼ º Âȼ º Â Ñ Ø º È ÕÙ Òº Ö Ø ÙÖ Ò Ò Ò Ø ÑÓÓØ ÛÓÖ È¹ Ë ³¼ º Ãʼ ʺ ÃÐ ØØ º ÊÓ Ò Ð Ø Ð ØÖ ØÒ ¹ Ö Ú Û Ö Ø ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ½ ½ ¾ ¼ ¾¼¼ º ÄÇÌÀ¼¾ ƺ ÄÓØ Ö º Ð Ö ÓÑ Ò ØÓÖ ÓÒ ÛÓÖ º Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼¼¾º ÈÝؼ¾ ƺ ÈÝØ Ó º ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ Ò ÝÒ Ñ Ö Ø Ñ Ø Ò ÓÑ Ò ¹ ØÓÖ ÚÓÐÙÑ ½ Ó Ä ØÙÖ ÆÓØ Ò Å Ø Ñ Ø º ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ¾¼¼¾º Ê Ú ½ º¹Èº Ê Ú ÐÐ º ÓÑ ØÖ Ö Ø ÐÙÐ Ò ÒÓÑ Ö ÒØ Ö Ø Ð Ó¹ Ö Ø Ñ ÕÙ º Ì ÓØÓÖ Ø ÍÒ Ú Ö Ø ÄÓÙ È Ø ÙÖ ËØÖ ÓÙÖ ½ ½º