c(1) = 4 c(2) = c(1) 3 = 12 c(3) = c(2) 3 = 36 c(4) = c(3) 3 8 = PDF Free Download

ÇÒ Ð ¹ ÚÓ Ò Û Ð Å Ö ÐÐ ÓÙ ÕÙ Ø¹Å ÐÓÙ ÆÊË Ä ÊÁ ÓÖ ÙÜ Ö Ò ØØÔ»»ÛÛÛºÐ Ö º Ö» ÓÙ ÕÙ Ø

ÇÙØÐ Ò Áº Ë Ð ¹ ÚÓ Ò Û Ð Ë Ïµ Ò Ö Ð Ø ÔÖ Ø ÓÒ Ò Ö ÙÐØ ÁÁº ËÓÑ Ü ØÐÝ ÓÐÚ Ð ÑÓ Ð Ó Ë Ï ÁÁº¼ ØÓÝ ÑÓ Ð È ÖØ ÐÐÝ Ö Ø Û Ð ÁÁº½ Ï ÐÝ Ö Ø Û Ð ÁÁº¾ ÈÖÙ ÒØ Û Ð ÁÁº ÌÛÓ Ö Ð Ø ÑÓ Ð

Áº Ò Ö Ð Ø

Ë Ð ¹ ÚÓ Ò Û Ð Ë Ïµ c(n) Ø ÒÙÑ Ö Ó n¹ Ø Ô Ë Ï Ï Ø c(1) = 4 c(2) = c(1) 3 = 12 c(3) = c(2) 3 = 36 c(4) = c(3) 3 8 = 100 ÆÓØ Ó Ý c(n) ÓÒÐÝ ÒÓÛÒ ÙÔ ØÓ n = 71 Â Ò Ò ¼ ÈÖÓ Ð Ñ ÐÝ ÒÓÒ¹Ñ Ö ÓÚ Ò ÑÓ Ð

ËÓÑ ÓÐ µ ÓÒ ØÙÖ»ÔÖ Ø ÓÒ Ì ÒÙÑ Ö Ó n¹ Ø Ô Ë Ï Ú ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÓÐÐÓÛ c(n) (κ) µ n n γ

ËÓÑ ÓÐ µ ÓÒ ØÙÖ»ÔÖ Ø ÓÒ Ì ÒÙÑ Ö Ó n¹ Ø Ô Ë Ï Ú ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÓÐÐÓÛ c(n) (κ) µ n n γ Û Ö ¹ γ = 11/32 ÓÖ ÐÐ ¾ Ð ØØ ÕÙ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö ÓÒ ÝÓÑ µ Æ Ò Ù ¾

ËÓÑ ÓÐ µ ÓÒ ØÙÖ»ÔÖ Ø ÓÒ Ì ÒÙÑ Ö Ó n¹ Ø Ô Ë Ï Ú ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÓÐÐÓÛ c(n) (κ) µ n n γ Û Ö ¹ µ = 2 + 2 ÓÒ Ø ÓÒ ÝÓÑ Ð ØØ Æ Ò Ù ¾ ¹ γ = 11/32 ÓÖ ÐÐ ¾ Ð ØØ ÕÙ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö ÓÒ ÝÓÑ µ Æ Ò Ù ¾ ÔÖÓÚ Ø ÙÑÑ Ö ÙÑ Ò Ð¹ ÓÔ Ò ² ËÑ ÖÒÓÚ µ

ËÓÑ ÓÐ µ ÓÒ ØÙÖ»ÔÖ Ø ÓÒ Ì ÒÙÑ Ö Ó n¹ Ø Ô Ë Ï Ú ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÓÐÐÓÛ c(n) (κ) µ n n γ Ì ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø ØÛÓ n¹ Ø Ô Ë Ï Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ó ÒÓØ ÒØ Ö Ø c(2n) c(n) 2 n γ

ËÓÑ ÓÐ µ ÓÒ ØÙÖ»ÔÖ Ø ÓÒ Ì Ò ¹ØÓ¹ Ò Ø Ò ÓÒ Ú Ö E(D n ) n 3/4 Ú º n 1/2 ÓÖ ÑÔÐ Ö Ò ÓÑ Û Ð ) ÐÓÖÝ Æ Ò Ù ¾ 40 20 80 60 40 20 20 40

ËÓÑ Ö ÒØµ ÓÒ ØÙÖ»ÔÖ Ø ÓÒ Ä Ñ Ø ÔÖÓ Ì Ð Ò Ð Ñ Ø Ó Ë Ï ËÄ 8/3 º Ø Ð Ò Ð Ñ Ø Ó Ë Ï Ü Ø Ò ÓÒ ÓÖÑ ÐÐÝ ÒÚ Ö ÒØ ÔÖÓÚ Ë Ö ÑÑ Ï ÖÒ Ö ¼¾ µ Ä ÛÐ Ö Ì ÛÓÙÐ ÑÔÐÝ c(n) µ n n 11/32 Ò E(D n ) n 3/4

ÁÒ Ñ Ò ÓÒ Ò ÓÚ Ì Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ö Ø Ó Ó Ø ÑÔÐ Ö Ò ÓÑ Û Ð c(n) µ n n 0, E(D n ) n 1/2. Ì Ð Ò Ð Ñ Ø Ü Ø Ò Ø d¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒ À Ö ¹ËÐ ¾ ÈÖÓÓ Ñ ÜØÙÖ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ø Ð ÜÔ Ò ÓÒµ Ò Ò ÐÝ

ÁÁº Ü ØÐÝ ÓÐÚ Ð ÑÓ Ð Ò ÑÔÐ Ö Ð Ó Ë Ï Ø Ø ÓÙÐ Ò ØÙÖ Ð Ò Ö Ð ÔÓ Ð ººº ÙØ Ø ÐÐ ØÖ Ø Ð ÓÐÚ ØØ Ö Ò ØØ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ö Ð Ë Ï Ú ÐÓÔ Ò Û Ø Ò ÕÙ Ò Ü Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ

ÁÁº¼º ØÓÝ ÑÓ Ð È ÖØ ÐÐÝ Ö Ø Û Ð Û Ð Ô ÖØ ÐÐÝ Ö Ø Ø ÚÓ Ø Ð Øµ ÓÒ Ó Ø Ø Ô Ò Ø ÓÒ Ë Ïº Æ Ü ÑÔÐ Æ Ï¹Û Ð Ô ÖØ ÐÐÝ Ö Ø Å Ö ÓÚ Ò Û Ø Ñ ÑÓÖÝ ½ Ì Ð ¹ ÚÓ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÐÓ Ðº Ä Ø a(n) Ø ÒÙÑ Ö Ó n¹ Ø Ô Æ Ï¹Û Ð º

ØÓÝ ÑÓ Ð È ÖØ ÐÐÝ Ö Ø Û Ð Ê ÙÖ Ú Ö ÔØ ÓÒ Ó Æ Ï¹Û Ð 1 2 3 4 5 6 a(0) = 1 a(n) = 2 + a(n 1) + 2 n 2 k=0 ÓÖ a(k) n 1

Ê ÙÖ Ú Ö ÔØ ÓÒ Ó Æ Ï¹Û Ð ØÓÝ ÑÓ Ð È ÖØ ÐÐÝ Ö Ø Û Ð 1 2 3 4 5 6 Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ a(0) = 1 a(n) = 2 + a(n 1) + 2 n 2 k=0 ÓÖ a(k) n 1 A(t) := n 0 a(n)t n = 1 + 2 t 1 t + ta(t) + 2A(t) t2 1 t

Ê ÙÖ Ú Ö ÔØ ÓÒ Ó Æ Ï¹Û Ð ØÓÝ ÑÓ Ð È ÖØ ÐÐÝ Ö Ø Û Ð 1 2 3 4 5 6 Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ a(0) = 1 a(n) = 2 + a(n 1) + 2 n 2 k=0 ÓÖ a(k) n 1 A(t) := n 0 a(n)t n = 1 + 2 t 1 t + ta(t) + 2A(t) t2 1 t A(t) = 1 + t 1 2t t 2 a(n) (1 + 2) n (2.41...) n

ØÓÝ ÑÓ Ð È ÖØ ÐÐÝ Ö Ø Û Ð ÝÑÔØÓØ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÓÖ Ò Ø Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ E(X n ) = 0, E(X 2 n) n, E(Y n ) n Ê Ò ÓÑ Æ Ï¹Û Ð 3000 3000 2500 2500 2000 2000 1500 1500 1000 1000 500 500 0 500 1000 1500 2000 2500 0 20 40 60 80 100 Ë Ð Ý n µ Ò n µ Ë Ð Ý n Ò µ

Ó ÒØ ÛÓÖ Û Ø Ü Ð Öµ ÁÁº½º Ï ÐÝ Ö Ø Û Ð

Ö Û Ð Û Ø Ú ÖØ v 0,..., v i,..., v n Ö Ø ÓÖ Ò Ø Ó Ø Ú ÖØ Ø Ý y 0 y i < y n ÓÖ 1 i nº Ì Ö Ö Ñ ÒÝ Ö b(n) µ n bridge nγ Û Ö µ bridge = µ SAW

ÁÖÖ Ù Ð Ö º Ö ÖÖ Ù Ð Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Ö º Ç ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò Ó ÖÖ Ù Ð Ö

Ö Û ÐÝ Ö Ø Ó Ø ÖÖ Ù Ð Ö ÚÓ Ò Ø ÓÒ Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ô Æ Ë Ïº Ø Ï ÐÝ Ö Ø Ö Ñ Ò Ø Ø ÖÖ Ù Ð Ö Æ Ë¹ ÓÖ ÆÏË¹Û Ð º Ì v n v 0 ÓÙÒØ Æ Ë¹ ÖÖ Ù Ð µ Ö

ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó Æ Ë¹ Ö ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ì Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Æ Ë¹ Ö Ó Ø k+1 B (k+1) (t) = n b (k+1) n t n = tk+1 G k (t), G Û Ö 1 1 = G 0 = 1 t Ò ÓÖ k 0 G k+1 = (1 t + t 2 + t 3 )G k t 2 G k 1.

ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó Æ Ë¹ Ö ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ì Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Æ Ë¹ Ö Ó Ø k+1 B (k+1) (t) = n b (k+1) n t n = tk+1 G k (t), G Û Ö 1 1 = G 0 = 1 t Ò ÓÖ k 0 G k+1 = (1 t + t 2 + t 3 )G k t 2 G k 1. Ì Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Æ Ë¹ ÜÙÖ ÓÒ Ó Ø Ø ÑÓ Ø k ) E (k) (t) = 1 t ( Gk 1 G k 1. ÜÙÖ ÓÒ y 0 = 0 = y n Ò y i 0 ÓÖ 1 i nº

ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó Æ Ë¹ Ö Last return to height 0 First return to height 0 Ö Ó Ø k 1 + B (k+1) = tb (k) + E (k) t 2 B (k) ÜÙÖ ÓÒ Ó Ø Ø ÑÓ Ø k E (k) = 1 + te (k) + t 2 ( E (k 1) 1 ) + t 3 ( E (k 1) 1 ) E (k) ÁÒ Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ E ( 1) = 1 B (1) = t/(1 t)º

ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó Û ÐÝ Ö Ø Ö Ó Æ Ë¹ Ö t k+1 B(t) = k 0 G k

Ó Æ Ë¹ Ö t k+1 ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó Û ÐÝ Ö Ø Ö B(t) = k 0 G k Ó ÖÖ Ù Ð Æ Ë¹ Ö B(t) = I(t) 1 I(t) I(t) = B(t) 1 + B(t)

Ó Æ Ë¹ Ö t k+1 ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó Û ÐÝ Ö Ø Ö B(t) = k 0 G k Ó ÖÖ Ù Ð Æ Ë¹ Ö B(t) = I(t) 1 I(t) I(t) = B(t) 1 + B(t) Ó Û ÐÝ Ö Ø Ö ÕÙ Ò Ó ÖÖ Ù Ð Æ Ë¹ ÓÖ ÆÏË¹ W(t) = 1 1 (2I(t) t) = 1 1 ( 2B(t) 1+B(t) t) Ö µ G Û Ø 1 1 = G 0 = 1 t Ò ÓÖ k 0 G k+1 = (1 t + t 2 + t 3 )G k t 2 G k 1. Ö¹Ñ Ñ ½¼

ÝÑÔØÓØ Ö ÙÐØ Ò Ò ØÙÖ Ó Ø Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ì ÒÙÑ Ö w(n) Ó Û ÐÝ Ö Ø Ö Ó Ð Ò Ø n Ø w(n) µ n, Û Ø µ 2.54 Ø ÙÖÖ ÒØ Ö ÓÖ µº

ÝÑÔØÓØ Ö ÙÐØ Ò Ò ØÙÖ Ó Ø Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ì ÒÙÑ Ö w(n) Ó Û ÐÝ Ö Ø Ö Ó Ð Ò Ø n Ø w(n) µ n, Û Ø µ 2.54 Ø ÙÖÖ ÒØ Ö ÓÖ µº Ì ÒÙÑ Ö N n Ó ÖÖ Ù Ð Ö Ò Ö Ò ÓÑ Û ÐÝ Ö Ø Ö Ó Ð Ò Ø n Ø E(N n ) n, Ì Ú Ö Ò ¹ØÓ¹ Ò Ø Ò ÖÓÛ Ð Ò ÖÐÝ Û Ø nº

ÝÑÔØÓØ Ö ÙÐØ Ò Ò ØÙÖ Ó Ø Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ì ÒÙÑ Ö w(n) Ó Û ÐÝ Ö Ø Ö Ó Ð Ò Ø n Ø w(n) µ n, Û Ø µ 2.54 Ø ÙÖÖ ÒØ Ö ÓÖ µº Ì ÒÙÑ Ö N n Ó ÖÖ Ù Ð Ö Ò Ö Ò ÓÑ Û ÐÝ Ö Ø Ö Ó Ð Ò Ø n Ø E(N n ) n, Ì Ú Ö Ò ¹ØÓ¹ Ò Ø Ò ÖÓÛ Ð Ò ÖÐÝ Û Ø nº Ì Ö Ò ØÙÖ Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÙÖÚ W(t) { x + iy : x 0, y 2 = 1 x2 2 x 3 1 + 2 x ÁØ Ò Ø Ö Ö Ø ÓÒ Ð ÒÓÖ Ð Ö ÒÓÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð }. ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó ÒØ ººº

ÁÁº ¾º ÈÖÙ ÒØ Ð ¹ ÚÓ Ò Û Ð Û Ð ÌÙÖ Ò¹ ÖÖ Ë Ð ¹ Ö Ø Û Ð ÈÖ ÜØ Ö ÓÖ Ö Ø Ë Ï Ë ÒØÖ ¹Ë ØÞ¹ÃÐ Ò ¼½ ÇÙØÛ Ö ÐÝ Û Ð Ù ¼ Ø Ö ÙØØÑ ÒÒ Â Ò Ò ¼ Ñ Ñ ¼ ÈÖÙ ÒØ

ÈÖÙ ÒØ Ð ¹ ÚÓ Ò Û Ð Ø Ô Ò Ú Ö ÔÓ ÒØ ØÓÛ Ö Ú ÖØ Ü Ø Ø Ò Ú Ø ÓÖ º

ÈÖÙ ÒØ Ð ¹ ÚÓ Ò Û Ð Ø Ô Ò Ú Ö ÔÓ ÒØ ØÓÛ Ö Ú ÖØ Ü Ø Ø Ò Ú Ø ÓÖ º not prudent!

ÈÖÙ ÒØ Ð ¹ ÚÓ Ò Û Ð Ø Ô Ò Ú Ö ÔÓ ÒØ ØÓÛ Ö Ú ÖØ Ü Ø Ø Ò Ú Ø ÓÖ º prudent

ÈÖÙ ÒØ Ð ¹ ÚÓ Ò Û Ð Ø Ô Ò Ú Ö ÔÓ ÒØ ØÓÛ Ö Ú ÖØ Ü Ø Ø Ò Ú Ø ÓÖ º

Ê Ñ Ö È ÖØ ÐÐÝ Ö Ø Û Ð Ö ÔÖÙ ÒØ

ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÔÖÙ ÒØ Û Ð

ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ì ÓÜ Ó ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ì Ò ÔÓ ÒØ Ó ÔÖÙ ÒØ Û Ð ÐÛ Ý ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÓÜ

Ê ÙÖ Ú ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ò Û Ø Ô Ø Ö Ò Ø Ø ÓÜ ÓÖ Û Ð ÔÖÙ ÒØÐÝµ ÐÓÒ Ø ÓÖ Öº

j i Ê ÙÖ Ú ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ì Ö ÑÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö Ø ÐÝØ Ô Ö Ñ Ø Ö µ h Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ó ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ò Ò ÓÒ Ø ØÓÔ Ó Ø Ö ÓÜ T(t; u, v, w) = ω t ω u i(ω) v j(ω) w h(ω) Ë Ö Û Ø Ø Ö Ø ÐÝØ Ú Ö Ð u v w

Ì Ö ÑÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö j i Ê ÙÖ Ú ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ø ÐÝØ Ô Ö Ñ Ø Ö µ h Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ó ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ò Ò ÓÒ Ø ØÓÔ Ó Ø Ö ÓÜ ( ) 1 uvwt(1 t2 ) (u tv)(v tu) T(t; u, v, w) = T (t; v, w) 1 + T (t; w, u) + T (t; w, v) tv u tv T (t; u, w) tu v tu Û Ø T (t; u, v) = tvt(t; u, tu, v)º Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ó ÐÐ ÔÖÙ ÒØ Û Ð ÓÙÒØ Ý Ø Ð Ò Ø Ò Ø Ó Ø ÓÜ Ð ¹Ô Ö Ñ Ø Ö P(t; u) = 1 + 4T(t; u, u, u) 4T(t;0, u, u)

j i i Ë ÑÔÐ Ö Ñ Ð Ó ÔÖÙ ÒØ Û Ð ÈÖ ¹ ¾¹ ½¹ Ì Ò ÔÓ ÒØ Ó ¹ Û Ð Ð ÐÛ Ý ÓÒ Ø ØÓÔ Ö Ø ÓÖ Ð Ø Ó Ø ÓÜ Ì Ò ÔÓ ÒØ Ó ¾¹ Û Ð Ð ÐÛ Ý ÓÒ Ø ØÓÔ ÓÖ Ö Ø Ó Ø ÓÜ Ì Ò ÔÓ ÒØ Ó ½¹ Û Ð Ð ÐÛ Ý ÓÒ Ø ØÓÔ Ó Ø ÓÜ Ô ÖØ ÐÐÝ Ö Ø µ

ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ÔÖÙ ÒØ Û Ð ÙÒØ ÓÒ Ð ÑÓÖ Ò Ö Ð Ø Ð Ø ÑÓÖ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð Ì Ï Ð Ò Ò ÓÒ Ø ØÓÔ Ó Ø ÓÜµ Ò Ö Ð ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ø Ö Ø ÐÝØ Ú Ö Ð ( ) 1 uvwt(1 t2 ) (u tv)(v tu) T (v, w) (u, w) T(t; u, v, w) = 1+T (w, u)+t (w, v) tv tut u tv v tu Û Ø T (u, v) = tvt(t; u, tu, v)º Ì Ö ¹ Û Ð ØÛÓ Ø ÐÝØ Ú Ö Ð ( 1 uvt(1 t2 ) (u tv)(v tu) ) T(t; u, v) = 1 + t2 v T(t; tv, v) t2 u tv u T(t; u, tu) v tu ÌÛÓ¹ Û Ð ÓÒ Ø ÐÝØ Ú Ö Ð ( ) 1 tu(1 t2 ) (1 tu)(u t) T(t; u) = 1 1 tu + t u 2t u t T(t; t)

ÌÛÓ¹ Ò Ø Ö ¹ Û Ð Ü Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ì Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ó ¾¹ Û Ð Ð Ö ½º P 2 (t) = 1 1 2t 2t 2 + 2t 3 1 + t t 3 1 t 4 + t(1 t) 1 2t t 2 Ù ¼ ¾º Ì Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ó ¹ ÔÖÙ ÒØ Û Ð ººº

ÌÛÓ¹ Ò Ø Ö ¹ Û Ð Ü Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ P 3 (t) = 1 1 2t t 2 ( 1 + 3t + tq(1 3t 2t 2 ) ¾º Ì Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ó ¹ ÔÖÙ ÒØ Û Ð Û Ö T(t;1, t) = k 0 k 1 ( 1) k i=0 1 tq ( t 1 tq U(qi+1 ) ) ki=0 ( tq q t U(qi ) ) ( + 2t 2 q T(t;1, t) 1 + U(qk ) t t(1 tu(q k )) + U(qk+1 ) t t(1 tu(q k+1 )) ) ) Û Ø U(w) = 1 tw + t2 + t 3 w (1 t 2 )(1 + t tw + t 2 w)(1 t tw t 2 w), 2t Ò q = U(1) = 1 t + t2 + t 3 (1 t 4 )(1 2t t 2 ). 2t Ö Û Ø Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÔÓÐ º Ñ Ñ ¼

ÌÛÓ¹ Ò Ø Ö ¹ Û Ð ÝÑÔØÓØ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ì ÒÙÑ Ö Ó ¾¹ Ò ¹ n¹ Ø Ô ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ø Ý p 2 (n) κ 2 µ n, p 3 (n) κ 3 µ n µ 2.48... Ù Ø Ø Û Ö µ 3 2µ 2 2µ + 2 = 0. Û Ø 2.41... ÓÖ Ô ÖØ ÐÐÝ Ö Ø Û Ð 2.54... ÓÖ Û ÐÝ Ö Ø ÓÑÔ Ö ÙØ 2.64... ÓÖ Ò Ö Ð Ë Ïº Ö ÓÒ ØÙÖ ÓÖ Ò Ö Ð ÔÖÙ ÒØ Û Ð p 4 (n) κ 4 µ n Û Ø Ø Ñ Ú ÐÙ Ó µ ÓÚ Ø Ö ÙØØÑ ÒÒ Â Ò Ò ¼ º

Û Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ð Ö Ö Ò ÓÑ Û Ð ÌÛÓ¹ ØÖ ÙØ ÓÒµ ÙÒ ÓÖÑ Ì Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð X n Y n Ò δ n Ø Ý E(X n ) = E(Y n ) n E((X n Y n ) 2 ) n, E(δ n ) 4.15... Y n δ n X n

ÌÛÓ¹ Û Ð Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ø ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ØÖ ÙØ ÓÒµ 250 1000 160 400 140 200 800 120 300 100 150 600 80 200 100 400 60 40 50 100 200 20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 50 100 150 200 250 0 100 200 300 400 0 200 400 600 800 1000 ¼¼ Ø Ô ¼ Ø Ô ½ Ø Ô ½ Ø Ô Ê ÙÖ Ú Ø Ô¹ Ý¹ Ø Ô ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð Ï Ð ¼¼ Ø Ô ÔÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó O(n 2 ) Ð Ö ÒÙÑ Ö µ ÓÐØÞÑ ÒÒ ÑÔÐ Ò Ú ÓÒØ ÜØ¹ Ö Ö ÑÑ Ö Ù ÓÒ¹ Ð ÓÐ Ø¹ÄÓÙ Ö ¹Ë Ö ¼¾ E(X n ) = E(Y n ) n E((X n Y n ) 2 ) n, E(δ n ) 4.15...

ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ì Ö ¹ Ò Ö Ø ÓÒ Ò ÝÑÔØÓØ ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ò ÓÑ ÝÑÔØÓØ ÔÖÓÔ ÖØ Ì Ú Ö Û Ø Ó Ø ÓÜ κn Ê Ò ÓÑ Ò Ö Ø ÓÒ Ê ÙÖ Ú Ñ Ø Ó Ð Ï Ð ¼¼ Ø Ô ÔÖ ¹ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó O(n 3 ) ÒÙÑ Ö µ 120 140 160 140 100 120 140 120 120 100 100 80 100 80 80 60 80 60 60 60 40 40 40 40 20 20 20 20 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120 140 160 140 120 100 80 60 40 20 0 60 40 20 0 20 40 60

ÓÙÖ¹ º º Ò Ö Ðµ ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÐÝØ Ú Ö Ð ( ) 1 uvwt(1 t2 ) (u tv)(v tu) T (v, w) T(u, v, w) = 1+T (w, u)+t (w, v) tv u tv tut (u, w) v tu Û Ø T (u, v) = tvt(u, tu, v)º ÓÒ ØÙÖ p 4 (n) κ 4 µ n Û Ö µ 2.48 Ø µ 3 2µ 2 2µ + 2 = 0º Ê Ò ÓÑ ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ö ÙÖ Ú Ò Ö Ø ÓÒ ½ Ø Ô O(n 4 ) ÒÙÑ Ö µ 0 10 20 30 40 50 60 70 60 50 40 30 20 10 0 70 30 10 10 60 20 20 50 30 20 40 10 40 30 30 40 30 20 10 0 50 40 20 10 60 50 10 70 50 40 30 20 10 0 10

ÁÁº º ÒÓØ Ö ØÖ ÙØ ÓÒ Ã Ò Ø ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ø Ø Ñ n Ø Û Ð ÓÓ ÓÒ Ó Ø Ñ Ð Ø Ô Û Ø ÙÒ ÓÖÑ ÔÖÓ Ð ØÝº Ò Ñ Ð Ø Ô ÓÒ Ø Ø Ú ÔÖÙ ÒØ Û Ð ½» ½»¾ Ê Ñ Ö Ï Ð Ó Ð Ò Ø n Ö ÒÓ ÐÓÒ Ö ÙÒ ÓÖÑ 1 4 1 3 1 3 1 2 1 4 1 3 1 3 1 3

ÒÓØ Ö ØÖ ÙØ ÓÒ Ã Ò Ø ÔÖÙ ÒØ Û Ð Ã Ò Ø ÑÓ Ð Ö ÙÖ Ú Ò Ö Ø ÓÒ Û Ø ÒÓ ÔÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ 100 80 60 40 20 20 0 50 1000 0 1000 2000 3000 4000 20 200 150 100 50 0 500 1000 40 50 0 500 1000 1500 2000 2500 2000 60 500 80 100 3000 1000 100 150 4000 1500 ¼¼ Ø Ô ½¼¼¼ Ø Ô ½¼¼¼¼ Ø Ô ¾¼¼¼¼ Ø Ô Ì ÓÖ Ñ Ì Û Ð ÓÓ ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒ ÕÙ Ö ÒØ Ý Ø Æ ÓÒ Ò Z(u) = 3u/7 0 ( ½W(s) 0 e 1 + ½ W(s)<0 e 2 ) ds Ø Ò Ø Ð Ò Ð Ñ Ø Ú Ò Ý e Û Ö 1, e 2 Ø ÒÓÒ Ð Ó R 2 Ò W(s) ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒº ÓÖÑ Ö Ð Î Ð Ò ½¼ Ö

Ò Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ô Ú Ö ÓÒ Ì Ö Ò Ö³ Û Ð Ø Ñ n Ø Û Ð Ø ÙÒ ÓÖÑ ÙÒ Ø Ø Ô Ò R 2 ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ø Ø Ô Ó ÒÓØ ÒØ Ö Ø Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ó Ø Û Ð º Ò Û Ø Ò ¹ØÓ¹ Ò Ø Ò Ð Ò Öº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ø Ö Ü Ø Ì ÓÖ Ñ a > 0 Ù Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ limsup ω n n a. ÓÒ ØÙÖ Ä Ò Ö Ô Ì Ö Ü Ø a > 0 Ù Ø Ø ω n n a º º Ò ÙÐ Ö ÓÒÚ Ö Ò ω n ω n ÓÒÚ Ö º º Ò Ð Ò Ñ Ò Î Ö ¼

Ï Ø³ Ò ÜØ Ü Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ð ÔÖÙ ÒØ Û Ð ÓÒ Ø ÕÙ Ö Ð ØØ ÖÓÛØ ÓÒ Ø ÒØ ÍÒ ÓÖÑ Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ø ÓÒ ØØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ñ Ü Ñ Ð Ð Ò Ø ¾¼¼ ÓÖ Ò¹ 60 50 40 30 20 10 0 10 Ö Ð ÔÖÙ ÒØ Û Ð ºººµ 20 30 40 50 Ñ ÜØÙÖ Ó ÓØ ÑÓ Ð Û Ð ÓÖÑ Ó ÕÙ Ò Ó ÔÖÙ ÒØ ÖÖ Ù Ð Ö

ÌÖ Ò ÙÐ Ö ÔÖÙ ÒØ Û Ð P(t;1) = 6t(1 + t) ( ) 1 + t(1 + 2t) R(t;1, t) 1 3t 2t 2 Ì Ð Ò Ø Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ó ØÖ Ò ÙÐ Ö ÔÖÙ ÒØ Û Ð R(t;1, t) = (1 + Y )(1 + ty ) k 0 t (k+1 2 ) ( Y (1 2t 2 ) ) k (Y (1 2t 2 ); t) k+1 ( ) Y t 2 1 2t 2; t k Û Ø Ò Y = 1 2t t2 (1 t)(1 3t t 2 t 3 ) 2t 2 ÆÓØ Ø ÓÒ (a; q) n = (1 a)(1 aq) (1 aq n 1 ). Ì Ö P(t;1) Ò Ø Ö Ð Ö ÒÓÖ Ú Ò ¹ Ò Ø Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÔÓÐ Ø Y t k (1 2t 2 ) = 0µ