È Ù ÓÖ Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÖÓÑ Æ = ¾ ØÛ Ø Ñ Ð ØØ É ÐÓÖ Ò ÙÖ Ö ÀÙÑ ÓРعÍÒ Ú Ö ØØ ÞÙ ÖÐ Ò Ëغ Ó Ö Å Ö ¾¼½
ØÑ Ì¹ ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ º ź ÁÐ Ò Ö ØÞ ÂÓ ÒØ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÆÙÐ Ö Ê Ö Ù Ò µ ź Ã Ö Ò Ö Åº Å ÐÐ Ö¹ÈÖ Ù Ö ÀÍ ÖÐ Òµ ź Ⱥ ÄÓÑ Ö Ó ÁÆ Æ Ö Ø µ º ÍÖ ÍÒ ÓÒÒµ Ǻ È Ð Ô Ò Äº Ð Û Þ º È Ò ÍÒ Ö Ò ÙÖص ¾» ¾
ÇÙØÐ Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ë ØÙÔ Ì Ò Ö Ð Ë Ò Ö Ó Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ËØ Ø ÓÒÐÙ ÓÒ» ¾
ÇÙØÐ Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ë ØÙÔ Ì Ò Ö Ð Ë Ò Ö Ó Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ËØ Ø ÓÒÐÙ ÓÒ» ¾
ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÜÔÐÓÖ Ò Ø Ì Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ»ÖÓ ÓÚ Ö ÓÖ Æ Ú Ò Ò Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð = ¾ É Ø ÇÖ Ö Ó ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ð Ð Ñ Ø ÒÓØ ÒÓÛÒ Ý Ø ÓÖ Æ = ¾ Ö Ù ØÓ Ò ÙÒ Ú Ö Ð ØÝ Ð Ó Ç( ) ¹ Ñ Ô Ò ÑÓ ÐРʺ º È Ö º Ï ÐÞ ÀÓÛ Ú Ö ½ Ø ÓÖ Ö ÒÓØ ÖÙÐ ÓÙØ º º º ÓÒ Ø Ø Ðº ¾¼¼ º ÓÒ Ø Ø Ðº ¾¼½½µ Æ = ¾ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ù ÙÐ ØÓ ØÙ Ý ÓÒ Ø Ó Ñ Ø Ö ÓÐ Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÛÓÖØ Û Ð ØÓ ØÙ Ý Ý Ø Ñ Ø ÓÒ Ö Ó ÖÚ Ð Ó Öµ ËÙ ÔØ Ð Ø Ö ÒÓÖѺ Ä Ò ψψ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÐÙÓÒ Ò Ó Ø ÔÖÓÔ ØÓÖ º ËØ ÖÒ ³ Ø Ð µ» ¾
ÌÛ Ø Å Ä ØØ Ê ÙÐ Ö Þ Ø ÓÒ Æ = ¾ Ï Ð ÓÒ ØÛ Ø Ñ Ø ÓÒ Ø Ñ Ü Ñ Ð ØÛ Ø Ë [Í,ψ,ψ] = χ(ü) ( ½ κà[í] + ¾ κ µγ τ ) χ(ü) Ü ψ = ½ (½ + γ τ )χ Ò ψ = χ ½ (½ + γ τ ) ¾ ¾ Ú ÒØ Û Ò κ ØÙÒ ØÓ Ö Ø Ð Ú ÐÙ κ ÙØÓÑ Ø O( ) ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ú ÒØ ÜÔÐ Ø ÚÓÖ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò ÑÓ ØÐÝ Ñ ÐÐ ÙØ ØÓ µ ÌÖ Ð Ú Ð ÑÔÖÓÚ Ù Ø ÓÒ Ë [Í] = β ( ¼ [½ ½ Ê ÌÖ(Í È)] + ½ [½ ½ ) Ê ÌÖ(Í Ê)] È Êº Ö ÞÞÓØØ º º ÊÓ ¾¼¼ Ê» ¾
Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÈÓ ÒØ N τ = 6 A B C D 8 10 12 320 400 480 700 m π [MeV]» ¾
ÇÙØÐ Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ë ØÙÔ Ì Ò Ö Ð Ë Ò Ö Ó Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ËØ Ø ÓÒÐÙ ÓÒ» ¾
Ë Ò Ð ÓÖ Ø ÖÓ ÓÚ Ö ÈÓÐÝ ÓÚ ÄÓÓÔ ÈÓÐÝ ÓÚ ÐÓÓÔ Ù ÔØ Ð ØÝ ÒÓ ÓÒÚ Ò Ò Ò Ðµ Ñ π ¼¼ Å Î 0.09 0.085 χ Re(L) 0.08 0.075 0.07 0.065 0.06 0.055 3.85 3.90 3.95 4.00 4.05 β 4.10 4.15 4.20» ¾
ÓÒÒ Ø Ö Ð ËÙ ÔØ Ð ØÝ σ ψψ = ( ¾ Î/Ì ψψ ψψ ¾) Ñ π ¾¼ Å Î 0.8 0.7 0.6 σ 2 ψψ A12 Gaussian fit 0.5 0.4 0.3 0.2 Ñ π ¼¼ Å Î 3.82 3.88 Ñ π ¼ Å Î β 3.94 4.00 0.5 0.4 σ 2 ψψ B12 Gaussian fit 0.4 0.35 0.3 σ 2 ψψ C12 Gaussian fit 0.3 0.2 0.25 0.2 0.15 0.1 0.1 0.05 3.84 3.90 3.96 β 4.02 0 3.88 3.94 4.00 β 4.06 ½¼» ¾
Ê ÒÓÖÑ Ð Þ Ê (Ä) ψψ Ê ψψ = ψψ (Ì,µ) ψψ (¼,µ) + ψψ (¼, ¼) ψψ (¼, ¼) 1 0.8 N τ = 12 N τ = 10 R <ψ ψ> 0.6 0.4 Ê (Ä) Ê = Ê (Ä) ÜÔ (Î(Ö ¼ )/¾Ì) 0.2 0 180 200 220 240 260 280 T [MeV] <Re(L)> R 2 1.5 1 N τ = 12 N τ = 10 0.5 0 180 220 260 300 340 380 420 T [MeV] ½½» ¾
Ê ÒÓÖÑ Ð Þ Ê (Ä) ψψ Ê ψψ = 1 0.8 ψψ (Ì,µ) ψψ (¼,µ) + ψψ (¼, ¼) ψψ (¼, ¼) N τ = 12 N τ = 10 R <ψ ψ> 0.6 0.4 Ê (Ä) Ê = Ê (Ä) ÜÔ (Î(Ö ¼ )/¾Ì) 0.2 0 180 200 220 240 260 280 T [MeV] 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 200 Re(L) R Fit B12 240 280 320 T [MeV] 360 ½¾» ¾
Ê ÙÐØ Ò Ñ Ð ½¾ ½¾ Ì [Å Î] σ ¾ ψψ ¾½ ( ) ¾¾ ( ) ¾ ½(½¼) Ì [Å Î] Ê (Ä) Ê ¾ ( ) ¾ ( ) ¾ (½½) Ë Ò Ð ÓÖ ÓÒ Ò Ñ ÒØ Ò Ö ØÓÖ Ø ÓÒ Ó Ö Ð ÝÑÑ ØÖÝ Ø Ö ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ Ò ÖÓ ÓÚ Ö Ö ÓÒ ½» ¾
Ç( ) Å Ò Ø ÓË Æ Ö Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ó ¾ Ò ÓÖ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ ÙÒ Ú Ö Ð ØÝ ÜÔ Ø Ø ØÓ ÓÐÐ Ô ÓÒ ÙÒ Ú Ö Ð ÙÖÚ Âº Ò Ð ² ̺ Å Ò ψψ = ½/δ ( Þ) + τ τ + ½ +... }{{} Ð Ò Ú ÓÐ Ø Ò Ø ÖÑ τ = β β Ö Ð, = ¾ µ, Þ = τ/ ½/( βδ) ˺ Ö Ø Ðº ¾¼¼ ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÓ Ô Ò ÑÓ Ð ψψ Å Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒµ µ À ÜØ ÖÒ Ð Ð µ β Ì Ø ÑÔ Ö ØÙÖ µ 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-3 O(4) -2-1 0 z 1 f(z) 2 3 4 ½» ¾
Ç( ) Å Ò Ø ÓË ψψ /h 1/δ 0.13 0.12 0.11 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 A12 B12 C12 0.04 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 z Ê ÙÐØ β Ö Ð. (¾) Ì (Ñ π = ¼) ½ Å Î 4 ψψ /h 1/δ - (scaling corr.) 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 È ÓÒ Å ½¾ ¼ Å Î ½¾ ¼¼ Å Î ½¾ ¾¼ Å Î 0.01 0.5 1 1.5 A12 corr. B12 corr. C12 corr. 2 z 2.5 3 3.5 ½» ¾
Ö Ð Ä Ñ Ø Ë Ò Ö Ó ÖÓÑ ËÔ Ò ÅÓ Ð ÖÓÑ ÙÒ Ú Ö Ð ÙÒØ ÓÒ ½/δ (Þ) ÓÒ Ò ÓÛ Ì (Ñ π ) = Ì (¼) + Ñ ¾/( βδ) π 260 240 T c (MeV) ½ Ø Ì (¼) = ½ ¾(½ ) Å Î Ç µ Ì (¼) = ½ ¾(¾ ) Å Î 220 200 1 st order 180 Z(2) m π,c = 200 MeV 160 m π,c = 0 MeV O(4) 140 0 100 200 300 400 500 m π (MeV) ½» ¾
ÇÙØÐ Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ë ØÙÔ Ì Ò Ö Ð Ë Ò Ö Ó Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ËØ Ø ÓÒÐÙ ÓÒ ½» ¾
ÁÒØ Ö Ð Å Ø Ó ǫ = Ì Î ÐÒ ÐÒ Ì Î Ô = Ì ÐÒ Î Ì ÙØ Î = Æ σ Ì = ½ Æτ ÌÖ ÒÓÑ ÐÝ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ñ ÙÖ µ Á = ǫ Ô = Ì Î ÐÒ ÐÒ ËØ ÖØ Ò ÔÓ ÒØ ÓÖ Ô(Ì) Ò ǫ(ì) Ú Á Ì = Ì ( Ô ) Ô Ì Ì Ì Ô ¼ Ì ¼ ÓÒ Ð Ò Ó ÓÒ Ø ÒØ Ô Ý Ä Èµ = Ì Ì¼ τ ǫ Ô τ Ä È ½» ¾
ÌÖ ÒÓÑ ÐÝ Á = ǫ Ô = Ì Ì Ì Ì ( ) ( ¼ = Æ τ β Î + κ β χà[í]χ Ù ÐÒ ÐÒ Ê ÌÖÍ È Ù + ½ Ê ÌÖÍ Ê Ù ( ¾ µ κ β + ¾κ ) ( µ) χ γ τ χ ) Ù β ËØ ÖØ Ò ÔÓ ÒØ ÓÖ Ô(Ì) Ò ǫ(ì) Ý ÒØ Ö Ð Ñ Ø Ó ËÙ ØÖ Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ú ÐÙ... Ù... Ì>¼... Ì=¼ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ì = ¼ Ø ÈÖ Ð Ñ Ò ÖÝ Ö ÙÐØ ÓÖ Ñ π ¼¼ Å Î Ò Ñ π ¼¼ Å Î ½» ¾
ÌÖ ÒÓÑ ÐÝ ¹ Ä ØØ ÖØ Ø Ñ π ¼¼ Å Î Ñ π ¼¼ Å Î 12 10 8 6 4 2 0-2 ǫ 3p T 4 200 300 N τ = 10 N τ = 8 N τ = 6 N τ = 4 400 500 600 T [MeV] 700 800 12 10 8 6 4 2 0-2 ǫ 3p T 4 200 300 N τ = 12 N τ = 10 N τ = 8 N τ = 6 N τ = 4 400 500 600 T [MeV] 700 800 ¾¼» ¾
ÌÖ ÒÓÑ ÐÝ ÌÖ Ä Ú Ð ÓÖÖ Ø ÓÒ Ç ÖÚ Ð Ö Ð ØØ ÖØ Ø Ò Á Ì Ä ØØ ÔÖ ÙÖ Ò Ø Ö Ð Ñ Ø Ô Ä Ë ÒÓÛÒ Èº À Ø Ðº ¾¼¼ ÌÛ Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÖÖ Ø Ý Ú ÓÒ Ý Ô Ä Ë /Ô Ë Çº È Ð Ô Ò ² ĺ Ð Û Þ ¾¼½¼ ˺ ÓÖ ÒÝ Ø Ðº ¾¼½¼ Ñ π ¼¼ Å Î Ñ π ¼¼ Å Î 10 9 8 7 6 5 4 3 2 ǫ 3p T 4 uncorrected corrected T = 318 MeV 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 14 12 10 8 6 4 2 ǫ 3p T 4 uncorrected corrected T = 285 MeV 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 6 5 4 3 2 1 0 ǫ 3p T 4 0 uncorrected corrected T = 391 MeV 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 1/N 2 τ 1/N 2 τ 1/N 2 τ ¾½» ¾
ÓÖÖ Ø ÌÖ ÒÓÑ ÐÝ ² ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ñ π ¼¼ Å Î Ñ π ¼¼ Å Î 10 8 6 4 ǫ 3p T 4 Interpolation N τ = 10 N τ = 8 N τ = 6 10 8 6 4 ǫ 3p T 4 Interpolation N τ = 12 N τ = 10 N τ = 8 N τ = 6 N τ = 4 2 2 0 0-2 100 300 500 700 T [MeV] 900-2 100 300 500 700 T [MeV] 900 ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÖÖ Ø Á/Ì Ëº ÓÖ ÒÝ Ø Ðº ¾¼½¼ Á = ÜÔ ` ½ Ø ¾ ؾ Ì ¼ + ¼ {Ø Ò «½ Ø + ¾} ½ + ½ Ø + ¾ ؾ ¾¾» ¾
ÈÖ ÙÖ Ò Ò Ö Ý Ò ØÝ Ô Ì Ô ¼ Ì ¼ = Ì Ì¼ τ ǫ Ô τ Ä È Ñ π ¼¼ Å Î Ñ π ¼¼ Å Î 16 12 8 4 1 1.5 2 2.5 3 D mass (ǫ 3p)/T 4 ǫ/t 4 3p/T 4 3p SB T Tc 0 200 300 400 500 600 700 800 T [MeV] 16 12 8 4 1 1.5 2 2.5 B mass (ǫ 3p)/T 4 ǫ/t 4 3p/T 4 3p SB T Tc 0 200 300 400 500 600 T [MeV] ¾» ¾
ÇÙØÐ Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ë ØÙÔ Ì Ò Ö Ð Ë Ò Ö Ó Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ËØ Ø ÓÒÐÙ ÓÒ ¾» ¾
ÓÒÐÙ ÓÒ ² ÇÙØÐÓÓ ÓÒÐÙ ÓÒ ¹ Ì ÓÖ Ô ÓÒ Ñ Ò Ø Ö Ò ¼¼ ¹ ¼¼ Å Î ¹ Ö Ð Ð Ñ Ø Ó Ö ÒÓÒÐÙ Ú ¹ Ç( ) Ð Ò ÓÑÔ Ø Ð ÙÔ ØÓ Ð Ò Ú ÓÐ Ø ÓÒ Ø ÖÑ ¹ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖ ØÛÓ Ô ÓÒ Ñ ¹ À Ú ØÓ ÙÖØ Ö ÑÔÖÓÚ ÔÖ ÓÒ Ø Ì > ¼ Ò Ì = ¼ ÇÙØÐÓÓ ¹ Æ = ¾ + ½ + ½ ¾» ¾
ÓÑÔ Ö ÓÒ Û Ø Áù ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ º Ë Ö ÓÐÞ Øº е ÖÓÑ σ ψψ 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.2 r 0 T c 0.4 DIK: arxiv:0910.2392 DIK: arxiv:1102.4461 our data (tmft) 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 r 0 m π ¾» ¾
Ê ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ê (Ä) ÌÖˆÄ ( Ü)ÌÖˆÄ( ¼) = ÕÕ ( Ü,Ì) ¼ (Ì) Ì Î( Ü ) Ì Ì ¼ ¾» ¾
Ê ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó ψψ ( ψψ Ö Ò = È χ γ τ χ + µ ) È(β) +... Ö ¾ ¾» ¾
Ì = ¼ ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ² ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ ÔÐ ÕÙ ØØ 0.64 ReTr U P 0.6 0.56 β =. ¼ µ = ¼.¼¼ Ñ π ¼¼ Å Î 3 0-3 Residuals of fit 3.9 4.1 β 4.3 0.56 0.558 0.556 beta=3.70, 16^3x24 plaquette 0.554 0.552 0.55 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 No traj. ¾» ¾
β¹ ÙÒØ ÓÒ Åº Ò Ø Ðº È Ý ºÊ Úº ¼½ ½½ ¾¼¼ β = ` Öχ «( Öχ ½ ) β ` Öχ (β) = ½+Ò¼Ê(β) ¾ ¼( ¾Ä(β)+ ½Ê(β) ¾ ) Ê(β) = ¾Ä(β) ¾Ä(. ) Ö¼ = ¼. ¾¼(½ ) Ñ 14 12 10 8 r χ /a r 0 /a Interpolation 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 a dβ da 2-loop 6-0.6-0.7 4 3.65 3.8 3.9 4.05 4.2 β 4.35 4.6-0.8-0.9 3.65 3.8 3.9 4.05 4.2 β 4.35 4.6 ¼» ¾
ÌÖ Ä Ú Ð ÓÖÖ Ø ÓÒ ÐÓ Ö ÐÓÓ µ Ë Ö µ Ä Ñ Ø Ä ØØ ÓÒØ ÒÙÙÑ Ô Ä(µ) = Ì [¼,¾π) (¾π) ( ) = ( Ñ) + ¾Ö µ ½ Æ Ø Æ Ø ½ Ò=¼ Ò ¾ ( µ ¾ ÐÒ Ø ( ( ) ¾ + ( µ) ¾) ) + γ µ Ò( µ ) µ ÓÖÖ Ø ÓÒ (µ/ì) = ¼ π Ô (µ/ì) = ¾ Ì Ü Ü µ/ì π ¾ ¼ (µ/ì) Ü ¾ (µ/ì) ¾ ÐÒ(½ + Ü ) Æ τ ½¼ ½¾ Ô Ä Ë /Ô Ë ¾º ½º ½º¾ ½º½ ½º¼ º ½» ¾
Ä Ò Ó ÓÒ Ø ÒØ È Ý ÓÒ Ø ÒØ Ñ π Ñ π ¼¼ Å Î ÔÖ ÒØÐÝ ÙÐ ÐÐ ÙÔ ØÓ ½¼ ± 900 850 800 750 700 650 600 550 mps [MeV] D8 500 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 β Ñ π ¼¼ Å Î 480 460 440 420 400 380 360 340 mps [MeV] ETMC tmft B mass 3.70 3.8 3.9 4.05 4.2 β ¾» ¾