2 ψ (r) + V (r) ψ (r) = Eψ (r) 2m e ψ + V ψ = Eψ. Ĥψ = Eψ

Size: px

Start display at page:

Download "2 ψ (r) + V (r) ψ (r) = Eψ (r) 2m e ψ + V ψ = Eψ. Ĥψ = Eψ"

Leonard Shields
5 years ago
Views:

1 ÔØ Ö ½ Ì Ñ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ½º½ Ê Ú ÓÒ Ó Ø Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ì Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒº ÁÒ Ø ÒØÖÓ ÙØÓÖÝ Ð ØÙÖ Û Û ÐÐ ÒÓØ ÓÒ Ö Ø Ø Ñ Ô Ò Ò Ø Ø Û ÐÐ ÓÑ Ò Ð ØÙÖ µ Ò Ó Û Û ÐÐ Ò Ø ÓÒ Ö Ø ÑÔÐ Ö Ó Ø Ø Ñ Ò Ô Ò ÒØ Ú Ö ÓÒº Ï Ò ÓÑ Ø Ñ Ö ØÖ Ø Ø Ò Ú Ò ÑÓÖ Ý ÓÒ Ö Ò Ù Ø ÓÒ Ô Ø Ð Ñ Ò ÓÒ Ò Û Û ÓÒÐÝ Ú Ö ÓÒ ÐÝ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ ÓÐÚ Ù Ø ØÓ ÓÑ Ø Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì Ü ØÐÝ Ø ØÝÔ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø ÝÓÙ Ú ÓÐÚ Ò ÐÝØ ÐÐÝ Ò Ø Ô Øº Ï Ø ÖØ Ý Ö ÛÖ Ø Ò Ø Ø Ñ Ò Ô Ò ÒØ Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ 2 2m e 2 ψ (r) + V (r) ψ (r) = Eψ (r) ½º½µ Ò ØÓÑ ÙÒ Ø Ø Ø = m e = e = 4πε 0 = 1 Ó ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Û ÐÐ ÐÛ Ý ÛÓÖ Ò Ò Ö Ý ÙÒ Ø Ó À ÖØÖ 27.2eV µ Ò Ò Ð Ò Ø ÙÒ Ø Ó Ó Ö Ö a 0 = µ Ò Ó ψ + V ψ = Eψ ½º¾µ ÓÖ Ò Ø ÖÑ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ĥ Ĥψ = Eψ ½º µ Ï ÒÓÛ Ø Ø Ø Ò Ü ÑÔÐ Ó Ò ÒÚ ÐÙ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÓÖ Ú Ò ÔÓØ ÒØ Ð V (r) Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Û ÐÐ Ò Ò Ö Ð ÒÙÑ Ö Ó Ö ÒØ ÔÓ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ö ÒØ Ò Ò Ö¹ E i Û Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ò ÙÒØ ÓÒ ψ i º

2 À ÈÌ Ê ½º ÌÁÅ ÁÆ È Æ ÆÌ Ë ÀÊ ÁÆ Ê ÉÍ ÌÁÇÆ Ì Ö Ø Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ½º½ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ò Ø Ò Ö Ý Ó Ø Ø Ø Ò Ó Û Ø Ø ÑÓÓØ ÐÝ Ú ÖÝ Ò Û Ú ÙÒØ ÓÒ Ñ ÐÐ 2 ψµ Û ÐÐ Ò Ö ÐÐÝ ÐÓÛ Ö Ò Ö Ý Ø Ø Ø Ò Ö Ô ÐÝ Ú ÖÝ Ò ÓÒ º Ì Ò Ð Ó Ö Ð Ø ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÓ Þ ÖÓ ÖÓ Ò µ Ò Ø Û Ú ÙÒØ ÓÒ ¹ ÑÓÓØ Û Ú ÙÒØ ÓÒ Û ÐÐ Ú Ð ÒÓ Ø Ò Ö Ô ÐÝ Ú ÖÝ Ò ÓÒ º Ü ÑÔÐ ½ ¹ Ô ÖØ Ð Ò Ò Ò Ø ÕÙ Ö Û ÐÐ Ò Ü ÑÔÐ Û Ò ÓÒ Ö Ø ÑÔÐ Ó ÕÙ ÒØÙÑ Ô ÖØ Ð ÑÓÚ Ò Ò ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ò Ò Ò Ò Ø ÐÝ Ô ÕÙ Ö Û ÐÐ V (x) = 0 a x a otherwise ½º µ Û Ø Ò Ú Ø Ò Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÕÙ Ø ÓÒ º½ ψ (x) = Acos (kx) + B sin (kx) ½º µ Û Ø A Ò B Ò ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò Ý Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò k = 2E ½º µ Á Û ÒÓÛ ÔÔÐÝ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø ψ ( a) = ψ (a) = 0 Ø Ò k = nπ/2a ½º µ Û Ö n Ò ÒØ Öº ÓÖ Ó n Û Ø cos (ka) = 0 Ò Ò A = 0 Û Ð Ø ÓÖ Ú Ò n Û Ø sin (ka) = 0 Ò Ò B = 0º Ø Û ÐÐ Ò Ò Ø ÐÝ Ô Ø Ò ÐÐ ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÓÙÒ Ø Ø º Ù Ù Ð ÓÙÒ Ø Ø Ú ÕÙ ÒØ Þ Ò Ö Ú Ò Ò Ø Ý E n = π2 n 2 8a 2 ½º µ ÆÓØ Ø Ø Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ø Ô Ö ØÝ Ø Ò Ó Ó Ø Ò ÙÒØ ÓÒ º ÆÓØ Ð Ó Ø Ø Ø ÖÓÙÒ Ø Ø Û Ú ÙÒØ ÓÒ ÒÓ ÒÓ Û Ð Ø Ø Ö Ø Ü Ø Ø Ø ÓÒ ÒÓ Ò Ù Ú Ü Ø Ø Ø Ú ÑÓÖ ÒÓ º Ë ÙÖ ½º½ ÓÖ ÑÔÐ Ø Ó Ø Ø Ö ÐÓÛ Ø Ò Ö Ý ÓÐÙØ ÓÒ º Ï Ò Ð Ó ÓÐÚ Ò ÐÝØ ÐÐÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ø Ò Ø ÕÙ Ö Û ÐÐ ÓÖ Ø ÖÑÓÒ Ó ÐÐ ØÓÖ ÓÖ Ø Ô Ö Ð Û ÐÐ Øº Ê Ñ Ñ Ö Ø Ø Ø Ò Ù ØÓ ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ü Ø Ò Ó Þ ÖÓ¹ÔÓ ÒØ ÑÓØ ÓÒ ØÙÒÒ ÐÐ Ò ÒØÓ Ð ÐÐÝ ÓÖ Ò Ö ÓÒ Ò Ø À Ò Ö ÍÒ ÖØ ÒØÝ ÈÖ Ò ÔÐ º Ü ÑÔÐ ¾ ¹ Ø Ý ÖÓ Ò ØÓÑ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÐÚ Ø Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ý ÖÓ Ò ØÓÑ Û Ò ØÓ Ð Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ô Ö Ð ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø º ÀÓÛ Ú Ö Ù

3 ½º½º Ê ÎÁËÁÇÆ Ç ÌÀ Ë ÀÊ ÁÆ Ê ÉÍ ÌÁÇÆ V E 3 ψ 3 E 2 ψ 2 a E 1 a ψ 1 ÙÖ ½º½ Ë Ø Ó Ò Ò Ø ÕÙ Ö Û ÐÐ ÓÛ Ò ÐÓÛ Ø Ø Ö ÒÚ ÐÙ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ò ÙÒØ ÓÒ º x

4 ½¼ À ÈÌ Ê ½º ÌÁÅ ÁÆ È Æ ÆÌ Ë ÀÊ ÁÆ Ê ÉÍ ÌÁÇÆ Ó Ø Ô Ö Ð ÝÑÑ ØÖÝ Ó Ø ÓÙÐÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð Û Ò Ô Ö Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÒØÓ Ö Ð Ò Ò Ò ÙÐ Ö Ô ÖØ ψ (r) = ψ (r,θ,φ) = R nl (r)y lm (θ,φ) ½º µ Û Ö {n,l,m} Ö ÕÙ ÒØÙÑ ÒÙÑ Ö ÒØ Ö µ Û Ö Ø Ö Ø ÓÐÙ¹ Ø ÓÒº Á Û Ù Ø ØÙØ ÕÙ Ø ÓÒ ½º ÒØÓ ÕÙ Ø ÓÒ º½ Ò ÔÔÐÝ Ø Ñ Ø Ó Ó Ô Ö Ø ÓÒ Ó Ú Ö Ð Û Ø ØÛÓ ÕÙ Ø ÓÒ ¹ ¾ Ò ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ò Ò Ø ÖÑ Ó Ô Ö Ð ÖÑÓÒ Ò ½ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ Û Ö Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ 1 d 2 [ χ nl (r) 2 dr 2 + V (r) + ] l (l + 1) 2r 2 χ nl (r) = Eχ nl (r) χ nl (r) = rr nl (r) ½º½¼µ ½º½½µ Ù ÓØ ØÓ ÑÔÐ Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒº Ê Ñ Ñ Ö Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ò Ò Ø Ô ÖØ Ð Ò Ñ ÐÐ ÚÓÐÙÑ d 3 r P ( r r + d 3 r ) = ψ (r) 2 d 3 r = ψ (r) 2 r 2 dr sin(θ)dθdφ ½º½¾µ = χ(r) 2 dr Ylm 2 (θ,φ) sin(θ)dθdφ Ò Ó Û Ø Ø Ø ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ Ó χ nl Ò Y lm Ò Ó Ò Ù Ø Ø 0 χ(r) 2 dr = 1 ½º½ µ º º χ(r) 2 Ø Ö Ð ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝº ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ½º½¼ ÐÓÓ Ú ÖÝ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ý Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ò Ö Ø Ñ Ò Ô Ò ÒØ Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ó ÒÓÛÒ Ø Ø Ú ÔÓØ ÒØ Ð V eff (r) = V (r) + l (l + 1) 2r 2 ½º½ µ Ò Ø l(l+1) 2r Ø ÖÑ ÒÓÛÒ Ø 2 ÒØÖ Ù Ð ÖÖ Öº Ï Ø Ò Û Ù ÓÙØ Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ Ó χ(r) Ï ÐÐ Û ÒÓÛ Ø ÓÖÑ Ó Ø ÓÙÐÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ó ÐÓÒ V (r) r 0 ÒÓ ÑÓÖ ÕÙ ÐÝ Ø Ò r 1 Û Ø d 2 χ l (l + 1) = dr2 r 2 χ ½º½ µ Û Ú ÒÓÒ¹ Ú Ö ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ χ(r 0) r l+1 ½º½ µ R l (r 0) r l

5 ½º½º Ê ÎÁËÁÇÆ Ç ÌÀ Ë ÀÊ ÁÆ Ê ÉÍ ÌÁÇÆ ½½ R R R r/a 0 r/a r/a 0 ÙÖ ½º¾ Ë Ø Ó Ö Ø Ø Ö Ö Ð Ò ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ø Ý ÖÓ Ò ØÓÑº Ë Ñ Ð ÖÐÝ r Û Ø Û Ú ØÛÓ Ð Ó ÓÐÙØ ÓÒ d 2 χ dr 2 = 2Eχ(r) χ(r) e 2 E r E < 0 (bound states) χ(r) e ±i 2Er E > 0 (continuum) ½º½ µ ½º½ µ ÓÖ ÒØ ÖÑ Ø Ú ÐÙ Ó r Û Ò Ø Ö Ù ÑÓÖ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ¹ Ñ Ø Û ÔÓ Ð ÓÖ Ý ÖÓ Ò ÙØ ÒÓØ ÓÖ ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ü ØÓÑ µ ÓÖ ØÙÖÒ ØÓ ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ º Ï Ò Ø Ö ÓÖ Ù Ø ÒÓÛÒ ÝÑÔØÓØ Ú ÓÙÖ ØÓ Ø Ø ÓÙÖ ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ¹ Ú ÖÝ ÓÙÒ Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ¹ Ö ÔÓÒ Ò ØÓ Ò Ò Ò Ö Ý E n ÓÙÐ Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ r Ò ÓÖ r 0 ÓÙÐ Ø Ö Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ ÓÖ ÒÓÒ¹Þ ÖÓ lµ ÓÖ Ø Ò ØÓ Ù Ô ÓÖ l = 0µº Ë ÙÖ ½º¾ ÓÖ Ø Ó Ø Ø Ö ÐÓÛ Ø Ò Ò Ö Ý ÓÐÙØ ÓÒ Û ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ú ÓÙÖº Ï ÒÓÛ ØÙÖÒ ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÛ ØÓ ÓÐÚ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÐÐÝº

6 ½¾ À ÈÌ Ê ½º ÌÁÅ ÁÆ È Æ ÆÌ Ë ÀÊ ÁÆ Ê ÉÍ ÌÁÇÆ ½º¾ Ê Ú ÓÒ Ó ÓÐÚ Ò ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ ¹ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÐÐÝ ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ø ÒÙÑ Ö Ó Û Ö Û Ò ÓÐÚ Ø Ë Ö Ò Ö ÕÙ ¹ Ø ÓÒ Ü ØÐÝ Ö Ö Ø Ö Ñ ÐÐº ÅÓÖ Ù Ù ÐÐÝ Û Ö Û Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ØÖÝ Ò ØÓ Ò ÒÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ º Ø Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ò Ö ÓÒ ¹ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÓÙÐ ÒÓØ ÔÓ ØÓÓ ÑÙ ÙÐØÝº Ï Ø Ö ÓÖ Ò Ý Ö Ú Ò Û Ø Û ÐÖ Ý ÒÓÛ ÓÙØ ÓÐÚ Ò ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ó Ò ÓÒ ØÓ ÜÔÐÓÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ò ÕÙ Ø Ø Ö Ù Ø Ð ÓÖ Ø Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒº ÅÓ Ø Ñ Ø Ó Ö Ò ÓÖ Ö Ø¹ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ dy = f (y (x),x) dx ½º½ µ Ë ÓÒ ¹ÓÖ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ d 2 y = f (y (x),x) dx2 ½º¾¼µ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØÓ Ô Ö Ó ÓÙÔÐ Ö Ø¹ÓÖ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ò dy dx dz dx = z (x) = f (y (x),x) ½º¾½µ Ò Ø Ò ÓÐÚ Ù Ò Ø Ñ Ø Ò ÕÙ º ÅÓ Ø Ñ Ø Ó Ø Ò ÔÖÓ ØÓ Ù Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö Ú Ø Ú Ù Ø ÓÖÛ Ö Ö Ò Ø Û Ö Ö Ò dy y (x + δx) y (x) dx δx ½º¾¾µ ÓÖ Ø ÒØÖ Ö Ò dy y (x) y (x δx) dx δx ½º¾ µ dy y (x + δx) y (x δx) dx 2δx ½º¾ µ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÔÖÓ Ö ÙÐØ Ò Ø ÙÐ Ö Ñ Ø Ó y n+1 y n + f (y n,x n )h ½º¾ µ

7 ½º¾º Ê ÎÁËÁÇÆ Ç ËÇÄÎÁÆ ÇÊ ÁÆ Ê Á Ê ÆÌÁ Ä ÉÍ ÌÁÇÆË ÆÍÅ ÊÁ ÄÄ ½ y(x) x x x x x ÙÖ ½º ÁÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ö³ Ñ Ø Ó ¹ Ø Ö Ú Ø Ú Ø ÔÓ ÒØ x n ÜØÖ ÔÓÐ Ø ÓÚ Ö Ø Û ÓÐ Ø Ô Ð Ò Ø h ØÓ ÓÖÑ Ø Ò ÜØ ÔÓ ÒØº Û Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ò ÖÓÑ x n ØÓ x n+1 = x n +h = x n +δx Ò h Ø Ø Ô Þ º Ë ÙÖ ½º ÓÖ Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó º ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÓ Ø Ì ÝÐÓÖ Ö ÓÛ Ø Ø Ø Ñ Ø Ó Ò ÖÖÓÖ O ( h 2) Ò Ò ÐÐ Ö Ø¹ÓÖ Ö Ñ Ø Ó Ò n th ¹ÓÖ Ö Ñ Ø Ó Ò ÖÖÓÖ Ø ÖÑ O ( h n+1) µº Ï Ð Ø Ø ÙÐ Ö Ñ Ø Ó Ø Ø ÓÖ Ø Ð Ó ÑÓ Ø Ñ Ò Ù ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÓÙÐ ÒÓØ Ù Ø Ø Ò Ø Ù Ö ÖÓÑ Ð Ö ÖÖÓÖ Ò ÙÒ Ø Ð º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ò ÑÔÖÓÚ ÙÔÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ø Ñ Û ÐÐ Ù ÐÓÛº ½º¾º½ Ì ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Ì ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ÓÑÑÓÒ Ð Ó Ñ Ø Ó Ù ÓÖ ÓÐÚ Ò Ñ ÒÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º Ì ÑÔÐ Ø Ú Ö ÓÒ ÑÔÖÓÚ ÙÔÓÒ Ø ÙÐ Ö Ñ Ø Ó Ý Ó Ò Ø ØÛ Û Ú ÐÙ Ø y n Ù Ò Ò Ð ÙÐ Ö Ø Ô Ó Ð Ò Ø h Ò Ð Ó Ù Ò Ñ ÔÓ ÒØ Ø Ô ÓÐÐÓÛ k 1 = f (x n,y n ) h ( k 2 = f x n + h 2,y n + k ) 1 h 2 y n+1 = y n + k 2 + O ( h 3) ½º¾ µ Û ÒÓÛÒ Ø ÓÒ ¹ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ ÓÖ Ñ ÔÓ ÒØ Ñ Ø Ó º ÁØ Ø Ú ÒØ Ó Ò ÑÓÖ Ø Ð Ø Ò Ø ÙÐ Ö Ñ Ø Ó Ò Ó Ò Ù Û Ø Ð Ö Ö Ø Ô Þ Ò Ó Ö ÕÙ Ö Ð Ø Ô ØÓ Ô Ò Ú Ò ÒØ ÖÚ Ðº ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ø Ó Ø ÓÖ Ø Ö ÓÖ Ö Ñ Ø Ó Ø Ø Ø Ö ÕÙ Ö ØÛÓ ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó f (x) Ô Ö Ø Ôº Ç Ø Ò Ø Ø ÑÓ Ø Ø Ñ ÓÒ ÙÑ Ò Ô ÖØ Ó Ø ÐÙÐ Ø ÓÒº Ë ÙÖ ½º ÓÖ Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó º

8 ½ À ÈÌ Ê ½º ÌÁÅ ÁÆ È Æ ÆÌ Ë ÀÊ ÁÆ Ê ÉÍ ÌÁÇÆ y(x) x x x x ÙÖ ½º Ë ÓÒ ¹ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ¹ Ø Ö Ú Ø Ú Ø Ø Ø ÖØ Ó Ø Ø Ô Ù ØÓ Ò ÔÓ ÒØ Ð ¹Û Ý ÖÓ Ø ÒØ ÖÚ Ð h Ò Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ú ÐÙ Ø Ò Ù ØÓ ÑÔÖÓÚ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ð ÔÓ ÒØ Ø Ø Ò Ó Ø Ø Ôº Ì ÐÐ ÖÐ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð Ú ÐÙ Û Ö Ó ÒØ Ö Ø Û Ð Ø ÓÔ Ò ÖÐ Ö ÒØ ÖÑ Ø Ú ÐÙ k i Û Ö Ö Ø Ø Ò Ó Ø Ôº Ì Ñ Ø Ó Ò ÜØ Ò ØÓ Ö ØÖ Ö ÐÝ ÓÖ Ö º ÁÒ ÔÖ Ø Ø Ó Ø Ò ÓÙÒ Ø Ø Ø ÓÙÖØ ¹ÓÖ Ö Ñ Ø Ó Ø ÑÓ Ø ÒØ Ò Ø Ø Ö ÓÖ Ö Ñ Ø Ó Ö ÕÙ Ö Ñ ÒÝ ÑÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Û Ø ÓÙØ Ö Ò Ò ¹ Ò ÒØ ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ò Ø Ð ØÝ ÓÖ Ø Ô Þ º ÆÓØ Ø Ø Ö¹ÓÖ Ö Ñ Ø Ó Ó ÒÓØ ÐÛ Ý Ú Ö ÙÖ Ý Ì ÓÙÖØ ¹ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ ÃÙØØ Ñ Ø Ó 4 x k 1 = f (x n,y n ) h ( k 2 = f x n + h 2,y n + k ) 1 h 2 ( k 3 = f x n + h 2,y n + k ) 2 h 2 k 4 = f (x n + h,y n + k 3 )h y n+1 = y n + k k k k O ( h 5) ½º¾ µ Ò ÒØ Ú ÒØ Ó Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Ø Ø Ø Ò Ù Û Ø Ú Ö Ð Ø Ô Þ Ø Ø Ô Ò Ø Ñ Ø Ó Ø ÖÖÓÖ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ñ Ò Ø Ø Ô Þ Ö Ù Ø ÖÖÓÖ Ð Ö Ö Ø Ò ÓÑ ÔÖ Ö ØÓÐ Ö Ò ÓÖ Ø Ø Ô Þ Ñ Ý ÒÖ Ð Ö Ö ÖÖÓÖ Ò ÔØ º ÁÒ Ø Û Ý ÑÓÖ ØØ ÒØ ÓÒ Ô ØÓ Ø Ó Ö ÓÒ Û Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ö Ô ÐÝ Ú ÖÝ Ò Û Ð Ø ÒÓØ Ô Ý Ò Ò ÙÒÒ Ö ÐÝ ÔÖ Ó Ù Ò Ò ÙÒÒ Ö ÐÝ Ñ ÐÐ Ø Ô Þ Û Ö Ø ÙÒØ ÓÒ ÐÓÛÐÝ Ò Ò º Ì Ú Ö Ð Ø Ô Þ Ú Ý Ú ÐÙ Ø Ò y n+1 ØÛ ÓÒ

9 ½º¾º Ê ÎÁËÁÇÆ Ç ËÇÄÎÁÆ ÇÊ ÁÆ Ê Á Ê ÆÌÁ Ä ÉÍ ÌÁÇÆË ÆÍÅ ÊÁ ÄÄ ½ Ù Ò Ø Ô Þ Ó h Ò Ø Ò Ò Ù Ò Ø Ô Þ Ó h 2 º Á Ø Ö Ò Ò y n+1 ÓÖ Ø ØÛÓ Ö ÒØ Ø Ô Þ Ø Ò Ø Ò ÓÛÒ Ø Ø ÓÖ Ø ÓÙÖØ ÓÖ Ö Ñ Ø Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ø Ô Þ h ØÓ Ô Ø ÔÖ Ö ÖÖÓÖ ØÓ Û Ø Ò δ Ú Ò Ý h = h δ 1 5 ½º¾ µ Ø ÖÖÓÖ Ø ÖÑ O ( h 5) º Ì Ø h < h Û ÑÙ Ø Ö Ô Ø Ø ÙÖÖ ÒØ Ø Ô Û Ø Ø Ñ ÐÐ Ö Ø Ô Þ Û Ð Ø h h Û Ñ Ý Ù h Ø Ò Û Ø Ô Þ ÓÖ Ø Ò ÜØ Ø Ôº Ì Ö Ó ÓÙÖ ÓÑ Ö ÓÑ Ò ÓÛ ØÓ ÓÓ δ Ô Ò Ò ÓÒ Ø ØÝÔ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÐÚ ¹ Ø Ñ Ý Ø Ö Ò ÓÐÙØ ÖÖÓÖ Ö Ø ÓÒ Ð ÖÖÓÖ ÓÖ Ò ÙÑÙÐ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÖÖÓÖ Ò Ø Ø ÖØ Ó Ø ÐÙÐ Ø ÓÒº Ì ÓÙÖØ ¹ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Û Ø Ú Ö Ð Ø Ô Þ Ô Ö Ô Ø ÑÓ Ø Û ÐÝ Ù Ò ØÖÙ Ø Ò Ö Ð ÔÙÖÔÓ Ñ Ø Ó ÓÖ ÒØ Ö Ø Ò ÓÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º ÁØ Ø Ú ÒØ Ó Ò Ð ¹ Ø ÖØ Ò Ñ Ø Ó Ø Ø Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö ÒÓÛÐ Ó ÔÖ Ú ÓÙ Ú ÐÙ ØÓ ÓÑÔÐ Ø Ø Ôº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ó ÒÓØ ÜÔÐÓ Ø ÒÝ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ó Ò Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ñ Ý ÑÓÖ Ô Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ø Ø Ò ÓÙØÔ Ö ÓÖÑ Øº Ï ÐÐ ÒÓÛ ÓÒ Ö ÓÒ Ù Ñ Ø Ó º ½º¾º¾ Ì ÆÙÑ ÖÓÚ Ñ Ø Ó Ì ÆÙÑ ÖÓÚ Ñ Ø Ó Ô Ð Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÐÚ Ò Ö ØÖ Ø Ø Ó Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¹ Ø Ó Ø Ø Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÓÖÑ d 2 y = f (x) y (x) dx2 ½º¾ µ Û ÒÐÙ Ø Ø Ñ Ò Ô Ò ÒØ Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒº Ì Ñ Ø Ó ÜÔÐÓ Ø Ø Ô Ð ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ ÔÖÓ Ù Ñ Ø Ó Ø Ø Ø ¹ÓÖ Ö ÙÖ Ý ÙØ ÓÒÐÝ Ö ÕÙ Ö ØÛÓ ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ô Ö Ø Ô Ï Ò Ö Ú Ø Ñ Ø Ó Ý ÜÔ Ò Ò ÓØ y (x ± h) Ò d2 y x±h Ò dx 2 Ì ÝÐÓÖ Ö ÙÔ ØÓ ÔÓÛ Ö Ó h 4 Ò ÓÑ Ò Ò Ø ÖÑ º Ì Ö Ô Ö Ø Ò ÐÐ Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ó ¹ÔÓÛ Ö Ó h Ù ØÓ Ø ÝÑÑ ØÖÝ Ó ÕÙ Ø ÓÒ ½º¾ Ò Ó Ø Ö ÙÐØ Ò Ñ Ø Ó ÙÖ Ø ØÓ ÓÖ Ö h 6 º Ì Ö ÙÐØ Û Ö z (x + h) = 2z (x) z (x h) + h 2 f (x) y (x) + O ( h 6) z (x) = ] [1 h2 12 f (x) y (x) ½º ¼µ ½º ½µ

10 ½ À ÈÌ Ê ½º ÌÁÅ ÁÆ È Æ ÆÌ Ë ÀÊ ÁÆ Ê ÉÍ ÌÁÇÆ Ì Ú ÒØ Ó Ø Ñ Ø Ó Ø Ø Ø Ò ÖÖÓÖ O ( h 6) Û Ò ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ ØØ Ö Ø Ò Ø ¹ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ò ÓÒÐÝ Ö ÕÙ Ö ØÛÓ Ö Ø Ö Ø Ò ÓÙÖµ ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ô Ö Ø Ôº À Ò Ø Ø ÔÖ ¹ ÖÖ Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÐÚ Ò Ø Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ó Ú Ö Û Ò Ø Ø Ø ÒÓØ Ð ¹ Ø ÖØ Ò Ù ØÓ Ø z (x h) Ø ÖÑ ¹ Ø Ø Ø Ö ÕÙ Ö ÒÓØ Ö Ñ Ø Ó ØÓ Ò Ö Ø Ø Ö Ø Ø Ô Û Ö ÙÔÓÒ Ø ÆÙÑ ÖÓÚ Ñ Ø Ó Ò Ù º Ì ØÙÖ Ó Ø Ñ Ø Ó Û ÐÐ Ð Ó Ú ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ö ÒÝ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð Û Ö Ø Ò Ð ¹ Ø Ô ÊÙÒ ¹ ÃÙØØ Ñ Ø Ó Û ÐÐ ÇÃº ½º¾º Ë Ò ÙÐ Ö Ø Ì Ö ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Û Ø ØÓ Ó Ø Ò ÙÐ Ö Ø º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò Ø Ý¹ ÖÓ Ò ØÓÑ ÓØ Ø ÓÙÐÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ø ÒØÖ Ù Ð ÖÖ Ö Ú Ö Ø Ø ÓÖ Òº ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ Ø Ý ÖÓ Ò ØÓÑ Û Ú ÒÓÛÒ Ò ÐÝØ Ö ÙÐØ ÓÖ χ(r = 0) Ò Ó Ø Ò Ù Ø ØÙØ Ò Ø º ÙØ Û Ø ÓÙØ Ø Ò Ö Ð Ó Ò ÙÐ Ö ØÝ Û Ø ÒÓÒ¹Þ ÖÓ l Ï ÐÐ ÐÓÒ Ø ¹ Ú Ö Ò ÒÓØ ØÓÓ Ø Ø Ò χ Û ÐÐ Ø ÐÐ Û ÐÐ Ú Ò Û Ò Ó Ì ÝÐÓÖ Ö ÜÔ Ò ÓÒ ÓÖ χ(r) ÖÓÙÒ Ø Ò ÙÐ Ö ØÝ χ(r) = ÖÓÑ Û Ø Ò ÓÛÒ Ø Ø a s = a s r s+l+1 s=0 ( ( ) 2 d(rveff ) rv eff a s 1 + E )a s 2 s (s + 2l + 1) dr ½º ¾µ ½º µ Û Ø a 0 = 1 ÙÒÐ l = 0µ Ò a 1 = 0 º Ì Ö ÓÖ Û Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ø Ø ÖÑ ÓÖ χ Û Ø Ò Ö ØÖ ÖÝ ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ü Ð Ø Öº ½º¾º ÇØ Ö Ñ Ø Ó Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ì Ö Ö ÓØ Ö Ñ Ø Ó Ø Ø Ò Ù ØÓ ÓÐÚ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ñ Ø ÓÓ ØÓ Ö Ø Þ Ô Ò ÓÐÚ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ö ÔÐ Ò Ö ÒØ Ð Ý ÔÔÖÓÔÖ Ø ÙÑ ÓÚ Ö Ò ÓÙÖ Ò Ö ÔÓ ÒØ Ò Ù Ú ÐÝ Ø Ö Ø Ò ØÓ Ð ¹ÓÒ Ø ÒÝº Ì ÒÓÛÒ Ø Ò Ø ¹ Ö Ò ÔÔÖÓ º ÁØ Ò ÒÓÖÔÓÖ Ø Ò Ú Ö ÓÙ Û Ý Ù Û Ø Ò Ð Ü Ö ÓÖ Û Ø Ö Ö Ý Ó Ö Þ ÓÖ Û Ø Ö Ø Ø ÔØ ØÓ Ø ÓÐÙØ ÓÒ º º ÔÙØØ Ò ÑÓÖ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ö ÓÒ Û Ö Ø ÙÒØ ÓÒ Ö Ô ÐÝ Ò Ò µº ËÙ Ñ Ø Ó Ò Ú ÖÝ Ù ÙÐ Ò Ò Ü ÑÔÐ Û ÐÐ ÓÒ Ö Ò Ð Ø Ö Ð ØÙÖ º Ì Ö Ö Ð Ó Ò Ö Ø Ñ Ø Ó Ø Ø Ò Ù ØÓ ÔÖÓ Ù Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø ÓÙØ Ö ØÐÝ ÓÐÚ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒº ËÙ Ñ Ø Ó ÜÔÐÓ Ø Ô Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ø Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö

11 ½º º ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ÌÇ ÌÀ Ë ÀÊ ÁÆ Ê ÉÍ ÌÁÇÆ ½ ÝÑÑ ØÖ ÓÖ Ò ÒÚ ÐÙ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ò ÜÔÖ Ò Ø ÖÑ Ó Ú Ö Ø ÓÒ Ð ÔÖ Ò ÔÐ Øº Ì Û ÐÐ ÓÖÑ Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ñ ØÓ Ð Ø Ö Ð ØÙÖ Ò Ø ÓÙÖ º ½º¾º ÖÖÓÖ ÁÒ Ò Ö Ð Û Ò ÓÐÚ Ò ÒÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÐÐÝ Ø Ö Û ÐÐ ØÛÓ ÓÑ Ò ÒØ ÓÙÖ Ó ÖÖÓÖ ØÖÙÒ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ Ø Ù Ý Ø ØÖÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ì ÝÐÓÖ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ Ø ØÓ Ø ÙÖ Ý Ó Ú Ò Ð ÓÖ Ø Ñº ÁÒ Ò Ö Ð Ø ÖÖÓÖ Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ý ØÖÙÒ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ Ò Ö Ù Ý Ù Ò Ñ ÐÐ Ö Ø Ô Þ hº ÖÓÙÒ Ò ÖÖÓÖ Ø Ù Ý Ø Ò Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÒÙÑ Ö Û Ø Ò ¹ Ø Ð ÓÑÔÙØ Öº ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ò Ù Ò Ò Ð ÔÖ ÓÒ Ö Ø Ñ Ø Ò ØÝÔ Ð ÑÓ ÖÒ ÓÑÔÙØ Ö ÐÐ Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ ÒÙÑ Ö Û ÐÐ ÙÖ Ø ØÓ ÓÙØ Ò ÒØ ÙÖ Ò Û Ò Ù Ò ÓÙ Ð ÔÖ ÓÒ Ö Ø Ñ Ø Ø Ý Û ÐÐ ÙÖ Ø ØÓ ÖÓÙÒ ½ Ò ¹ ÒØ ÙÖ º ÁÒ Ò Ö Ð Ø ÖÖÓÖ Ò Ø Ò Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ý ÖÓÙÒ Ò ÖÖÓÖ Ò Ö Ù Ý Ù Ò Û Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ô Ó Ø Ø Ø Ö Ð ÙÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÖÖÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ð Ö Ö Ø Ô Þ hº ÁØ Ò Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ö ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ØÛÓ ÓÙÖ Ó ÖÖÓÖº Í Ù ÐÐÝ ØÖÙÒ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ ÓÑ Ò Ø Ô ÐÐÝ Û Ò Ù Ò ÓÙ Ð ÔÖ ÓÒ Ö Ø Ñ Ø Û ÒØ Ð ÓÖ ÒÝ Ò Ó ÒØ ÓÑÔÙØ Ò µº ËÓ Û Ò ÓÑÔÙØ Ò ÒÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÛ Ý ÓÓ ØÓ Ö Ô Ø Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Û Ø Ñ ÐÐ Ö Ø Ô Þ Ò Ø Ö ÒÝ Ò ÒØ Ò Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒº Á Ø Ö Ø Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÑÙ Ø Ö Ô Ø Ò Û Ø Ò Ú Ò Ñ ÐÐ Ö Ø Ô Þ Øº ÙÒØ Ð Ø Ö ÒÓ Ò ÒØ Ò º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ø Ô Þ Ö Ù ØÓÓ ÑÙ Ø Ò ÖÓÙÒ Ò ÖÖÓÖ Û ÐÐ Ø ÖØ ØÓ ÓÑ Ò ÒØ Ò ÙÖ Ý Û ÐÐ ÐÓ Ø Òº ½º ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÀÓÛ Ø Ò ÐÐ Û Ù Ø Ö Ø ÊÙÒ ¹ÃÙØØ ÓÖ ÆÙÑ ÖÓÚ Ñ Ø Ó ØÓ ÓÐÚ Ø Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ÒÝ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Á Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ò Ò Ø ÓÙÒ Ø Ø º º Ø Ò Ò Ö Ò Ò ÙÒØ ÓÒ Ø Ò Û ÑÙ Ø

12 ½ À ÈÌ Ê ½º ÌÁÅ ÁÆ È Æ ÆÌ Ë ÀÊ ÁÆ Ê ÉÍ ÌÁÇÆ ÓÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò ÙÐ Ö ÑÓÑ ÒØÙÑ Ú ÐÙ Ó lµ ÓÓ ØÖ Ð Ò Ö Ý Ú ÐÙ Ó E trial µ Ø ÖØ Ò ÖÓÑ r = 0 ÒØ Ö Ø Ø Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÙÔ ØÓ ÓÑ ÔÔÖÓÔÖ ¹ Ø Ð Ö Ú ÐÙ Ó r = r max Ü Ñ Ò Ø Ú ÓÙÖ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ ¹ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö χ(r ) χ(r) ± Ø Ò E trial Ó ÒÓØ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓÙÒ Ø Ø Ó Ù Ø E trial Ò Ö Ô Ø Ì ÔÖÓ Ó ØÙÒ Ò E trial Ò Ó ÓÙÖ ÙØÓÑ Ø Ö ÙÐØ Ò Ò Ú Ö ÒØ Ó Ø ÓÓØ Ò Ñ Ø Ó º ÆÓØ Ø Ø Ø ÖÓÙÒ Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Û ÐÐ Ú ÒÓ ÒÓ º Ò Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Û ÐÐ Ú ÒØ Ö Ú ÐÙ ÓÖ {n,l,m} ¹ ÙØ Û Û ÐÐ Ø ÒÓ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ m ÖÓÑ Ø Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò Û Ú Ó Ò l Ø Ø ÓÙØ Ø ¹ Ó Ý ÓÙÒØ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÓ Û Ò Ù Ø Ú ÐÙ Ó n n = (number of nodes) + l + 1 ½º Ò Ð ÓÑÑ ÒØ Û Ò Ð ÔÓ ÒØ ØÓ Ð Ø Ì Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ó Ø Ò ÛÖ ØØ Ò Ò ÓÖ Ò ÖÝ Ö¹ ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÐÚ Ù Ò Ø Ò Ö ÒÙÑ Ö Ð Ø Ò ÕÙ º ÓÙÒ Ø Ø ÓÙÐ Ú Ú Ò Ò Û Ú ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÐÓÒ ¹Ö Ò Ð Ñ Øº Ì ÆÙÑ ÖÓÚ Ñ Ø Ó ÑÙ ÑÓÖ ÒØ Ø Ò ÓÙÖØ ¹ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ ÃÙØØ ÓÖ ÓÐÚ Ò Ø Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒº Ö ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ö ÒØ Ö Ø Ö Ø ØÙÖ Ù Ø Ð ØÝ ØÓ Ò Ð ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÖ Ú Ö Ð Ø Ô Þ º Ö¹ÓÖ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ò Ö Ð Ñ ÐÐ Ö ØÖÙÒ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ Ø Ò ÐÓÛ Ö¹ÓÖ Ö ÓÒ ÙØ Ø Ô Ò ÓÒ Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÔÖ ØÓÖ µ ÊÓÙÒ Ò ÖÖÓÖ Û ÐÐ ÓÑ Ò Ø Ø Ø Ô Þ Ñ ØÓÓ Ñ ÐÐº ½º ÙÖØ Ö Ö Ò ÌÁË Ò ÒÝ ÙÒ Ö Ö Ù Ø ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò Ø ÜØ ÓÓ ÆÙÑ ÖÓÚ Ñ Ø Ó Ù Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð È Ý Ý ÂºÅº Ì ¹ Ò ÔÔ Ò Ü

edges added to S contracted edges

edges added to S contracted edges Ì Å Ü ÑÙÑ ÝÐ ËÙ Ö Ô ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö ¹ Ö Ô Ð ÒØ Æ ÛÑ Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÅÁÌ Ñ Ö Å ¼¾½ ¹Ñ Ð Ð ÒØ Ø ÓÖÝºÐ ºÑ Øº Ù Ï ØÙ Ý Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÝÐ Ù Ö Ô Ó Ú Ò Ö Ø Ö Ô Ò Û Ø Ñ Ü ÑÙÑ ØÓØ Ð Ö Ò ÔÐÙ ÓÙØµ