A generalized preimage for the digital analytical hyperplane recognition
|
|
- George Bridges
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 A generalized preimage for the digital analytical hyperplane recognition Martine Dexet, Eric Andres To cite this version: Martine Dexet, Eric Andres. A generalized preimage for the digital analytical hyperplane recognition. Discrete Applied Mathematics, Elsevier, 009, 157 (3), pp < /j.dam >. <hal > HAL Id: hal Submitted on 1 Jan 009 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
2 Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ÓÖ Ø Ø Ð Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Åº Ü Ø a, a ÄÁÊÅÅ ¹ ÆÊË ½ ½ ÖÙ ¾ ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö Ü Ö Ò º Ò Ö b b ËÁ غ ËȾÅÁ Ú Å Ö Ø È ÖÖ ÙÖ È ¼½ ¾ ÙØÙÖÓ ÓÔ Ò Ù Ð Ü Ö Ò ØÖ Ø Ò Û Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ÔÖ ÒØ º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÐÓÛ Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ù Æ Ú ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÓÒ º Ì ÔÖ Ò ÔÐ ØÓ ÒÖ Ñ ÒØ ÐÐÝ ÓÑÔÙØ Ò Ù Ð Ô Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó Ø ÐÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø ÓÖ Ò ØÓ Ø Ó Ò Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ðº ÔÓ ÒØ Ò Ø ÔÖ Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø Ø Þ Ø ÓÒ Ó Û ÓÒØ Ò ÐÐ Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð º Ò Ú ÒØ Ó Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ø Ø Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÐÓ Ø ÓÒ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÔÖÓÔÓ Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ØÓ ÓÒÒ Ø ÓÖ ÓÖ Ö Ò ÒÝ Û Ýº Ã Ý ÛÓÖ Ø Ð ÓÑ ØÖÝ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ Ø Ð ÓÑ ØÖÝ Ó Ø Ö Ù Ù ÐÐÝ ÓÒ Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ ÓÖ ÝÔ Ö¹ ÚÓÜ Ð Ô Ü Ð Ò ¾ Ò ÚÓÜ Ð Ò µ Ø º ÁÒ Ø Ø ØÖÙØÙÖ Ð ¹ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÑÓ ØÐÝ Ù ØÓ ØÓÖ Ø Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ö Û Ó Ø Ò Ó Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ó ÒÓØ ÔÖÓÚ ÒÝ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ô ÓÖ ØÓÔÓÐÓ Ý Ó Ø Ð Ó Ø º ÒÓØ Ö Û Ý Ó Ó Ø Ò Ò Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙØ ÓÖº Ñ Ð Ö Å ÖØ Ò º Ü ØÐ ÖÑѺ Ö Åº Ü Øµ Ò Ö ºÙÒ Ú¹ÔÓ Ø Ö º Ö º Ò Ö µº ÈÖ ÔÖ ÒØ Ù Ñ ØØ ØÓ Ð Ú Ö Ë Ò ¼ ÔÖ Ð ¾¼¼
3 Ø Ð Ó Ø Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÑÔÓ Ø ÓÒº Ì ÔÖÓ ÐÐ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ð ÔÓ ÒØ Ø ÓÖÑ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ñ ÒØ Ø Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÙÒ Ö ÓÒº Ì Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ö Ñ ÒÐÝ Ò ØÙ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ò ½ ÓÖ Ò ÓÚ ÖÚ Û ÓÒ ¾ Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ µ Û Ø Ú Ö ÓÙ ÔÔÖÓ Ù Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ø Ò ÕÙ ¾ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ Ñ Ø ¹ Ó ÓÖ ÔÖ Ñ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ º Î ÖÝ Û Ô Ô Ö Ò Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ñ Ò ÓÒ ½¼ º ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ò ¹ ÒÝ Ô Ø Ó Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÒÚ Ø Ø Ò ½½ º Ì ÔÖ ÒØ Ô Ô Ö Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ò Û Û ÔÖÓÔÓ Ò Ö Ð Þ ÔÔÖÓ ÓÖ Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ù Æ Ú ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ù Ò Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ º ÁÒ ÓÖÑ ÐÐÝ Ø ÔÖ Ñ ½¾ Ó ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø ÓÒ Ø Ó ÐÐ ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø Ø Þ Ø ÓÒ Ó Û ÓÒØ Ò Ø Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ø ÔÖ Ñ Ó ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø ÓÑÔÙØ Ò Ù Ð Ô Û Ö ÔÓ ÒØ Ñ ÔÔ ÓÒØÓ ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÈÖ Ñ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ò Ò ÓÒ Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÐÓ Ø ÓÒ Ú Ò ÔÖÓÔÓ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ò ½ º ÁÒ Ø ÛÓÖ Û Ô Ö ÓÖÑ Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ý ÓÑÔÙØ Ò Ø Ø Ó ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û ÒØ Ö Ø Ø ÐÐ Ø Ó Ø ØÓ Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø ÓÖ Ò ØÓ Ø Ó Ò Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ðº ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ó Ø Ø Û ÒÖ Ñ ÒØ ÐÐÝ ÓÑÔÙØ Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó Ø ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ð º Ì ÔÖ Ñ Ò Ò ÒÝ Ñ Ò ÓÒ Ò Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ò ÐÓ Ø ÓÒº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ø ÓÑÔÙØ ÖÓÑ Ø Ù Ð Ó Ø ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ÝÔ ÖÚÓÜ Ðº ÁÒ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ù Ð Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û ÙØ Ø ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ðº À Ò Ñ ÓÖ Ô ÖØ Ó Ø Ô Ô Ö ÚÓØ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÐÐ Ó Ø ØÓ Ò Ò ÐÝØ Ð Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ðº Ö Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ö Ò º Ì Ò Û ÓÛ Ø Ø Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò ÓÑÔÙØ ÖÓÑ Ø ÜØÖÙ ÓÒ Ó Ø Ù Ð Ó Ø Ú ÖØ º Ò ÐÐÝ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÐÐ Ù Ð ÓÖÑ Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ º Ì Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ ÓÒ Ø Ø Ö ÓÖ ÑÔÐÝ Ò ÓÑÔÙØ Ò Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó ÐÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø º º ÓÑÔÙØ Ò Ø Ù Ð Ó ÐÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Øµº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Û Ø ÖØ Û Ø Ø Ù Ð Ó ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ò Ø Ù Ð Ó Ø ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÓØ Ö ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÐÓÒ Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ÒÓØ ÑÔØݺ ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¾ Û ÒØÖÓ Ù ÓÑ ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ Û ÐÐ Ø Æ Ú ¾
4 ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö ÔØ ÓÒ º ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û Ø ÖÑ Ò Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò ÒØÖÓ Ù Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó ÔÓÐÝØÓÔ Øº Ì Ò Û ÜÔÐ Ò Ò Ë Ø ÓÒ ÓÛ ÓÙÖ Ø Ð Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÛÓÖ º Ï Ô ÐÐÝ ÓÙ ÓÒ Ø Æ Ú ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÓÒÐÙ ÓÒ Ò ÙØÙÖ ÛÓÖ Ö ÔÖÓÔÓ Ò Ë Ø ÓÒ º ¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö Ø ÔÖÓÔÓ ÓÑ ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ú Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ò Ðк Ì Ò Û ÔÖ ÒØ ÓÙÖ Ø Þ Ø ÓÒ Ò ÐÝØ Ð ÑÓ Ð ÓÒ Ö Ò Ø ÛÓÖ Ø Æ Ú Ò ÐÓ Æ Ú ÑÓ Ð Ø ËØ Ò Ö ÑÓ Ð Ò Ø ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÑÓ Ðº ¾º½ ÆÓØ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ Ä Ø n Z n > 0º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Û ÐÐ ÒÓØ Ý E n Ø Ð Ð n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÐ Ò Ô Ò Ý 1, k Ø Ù Ø Ó ÒØ Ö Ú ÐÙ {1,..., k} Zº ÅÓÖ ÓÚ Ö ÔÓ ÒØ Û Ø ÒØ Ö¹Ú ÐÙ ÓÓÖ Ò Ø p Z n Û ÐÐ ÐÐ Ø Ð ÔÓ Òغ Ï Ò Ò α¹ ÝÔ ÖÙ α R ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ ½ ÀÝÔ ÖÚÓÜ Ðµ Ì ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÓÖ n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù µ Ò¹ Ø Ö ÓÒ Ø Ø Ð ÔÓ ÒØ (c 1,...,c n ) Z n Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ (x 1,...,x n ) R n Ú Ö Ý Ò i 1, n, c i 1 x i c i + 1 ÀÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ò Ö Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÐÐ Ô Ü Ð Ò ÚÓÜ Ð º Ò Ø ÓÒ ¾ Ðе Ä Ø d Ø Ò Ò R n º Ì Ò Ø ÐÐ B d (c, r) Û Ø ÒØ Ö c R n Ò Ö Ù r R Ò Ý B d (c, r) = {x R n d(c, x) r} ¾º¾ Ö Ø Ò ÐÝØ Ð ÑÓ Ð ÁÒ Ø ÛÓÖ Û ØÙ Ý ÓÙÖ Ø Ð Ò ÐÝØ Ð ÑÓ Ð Ø Æ Ú ÑÓ Ð ½ ½ Ø ÐÓ Æ Ú ÑÓ Ð ½ Ø ËØ Ò Ö ÑÓ Ð ½ Ò Ø ËÙÔ ÖÓÚ Ö
5 ÑÓ Ð ½ ½ º Ì ÑÓ Ð Ö Ò Ò ÒÝ Ñ Ò ÓÒ Ò ÔÖÓÚ ¹ Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ò Ó Ø º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ò Ò ÐÐ Ó Ø ØÓ ÑÓ Ðº ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ú ÓÖ ÑÓ Ð Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÖ n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÐ Ò µ Ò Ö ÔÖ ÐÝ Ø Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø Ø Ò Ò Ø ÐÐ Ó Ø ØÓ Ø ÑÓ Ðº ¾º¾º½ Ì Æ Ú ÑÓ Ð ½ ½ Æ Ú Ò ÐÓ Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ò Ò ÐÝØ ÐÐÝ ÓÐÐÓÛ ¹ ÙÖ ½µ Ò Ø ÓÒ Æ Ú ÀÝÔ ÖÔÐ Ò ½ µ Ì Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø Ô Ö Ñ¹ Ø Ö (c 0,...,c n ) R n+1 Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ (x 1,...,x n ) Z n Ú Ö Ý Ò max 1 i n c i c 0 + c i x i < max 1 i n c i Û Ö c 1 0 ÓÖ c 1 = 0 Ò c 0 ÓÖ º º º ÓÖ c 1 = c =... = c n 1 = 0 Ò c n 0º Ò Ø ÓÒ ÐÓ Æ Ú ÀÝÔ ÖÔÐ Ò ½ µ Ì ÐÓ Æ Ú ÝÔ Ö¹ ÔÐ Ò Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö (c 0,...,c n ) R n+1 Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ (x 1,...,x n ) Z n Ú Ö Ý Ò max 1 i n c i c 0 + c i x i max 1 i n c i º ½º Ü ÑÔÐ Ó Æ Ú Ò ÐÓ Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Æ Ú Ð Ò ÐÓ Æ Ú Ð Ò º Ê Ñ Ö Ä Ø p = (x 1,...,x n ) R n Ò p = (x 1,...,x n ) Rn º Ì ¹ Ø Ò Ó Ø ØÓ Ø Æ Ú ÑÓ Ð Ø Ø Ò d 1 Ò Ý d 1 (p, p ) = x i x i Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÐ B d1 (c, 1) c Zn º ÓÖ Ò Ø Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ø ÐÐ B d1 (c, 1 ) Ö ÙÐ Ö Ö ÓÑ Ù º
6 À Ò Ø ÐÓ Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ð Ó ÓÒ Ø Ó Ø ÒØ Ö Ó ÐÐ ÐÐ Û Ö ÒØ Ö Ø Ý Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÙÖ ¾ µ Û Ö Ø Æ Ú ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ø ÒØ Ö Ó ÐÐ ÐÐ ÙØ Ý Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò Ü ÔØ Û Ò ÐÐ Ú ÖØ Ü ÒØ Ö Ø ÙÖ ¾ µº ÁÒ Ø Ú Ö Ð ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÒØ ØÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ó ÒÓØ ÐÓÒ ØÓ Ø Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒº Ì Ù ØÓ Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ð ØÝ Ò Ò Ø ÓÒ ØÖ Øº º ¾º ÁÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÐ Ó Ø ØÓ Ø Æ Ú ÑÓ Ð ÐÐ Ó Ø ØÓ Æ Ú Ð Ò ÐÐ Ó Ø ØÓ ÐÓ Æ Ú Ð Ò º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ä Ø B ÐÐ B d1 (c, 1 ) c Z n Ò Ð Ø H ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ c 0 + n c i x i = 0 Ø Ø Ô Ø ÖÓÙ Ú ÖØ Ü v = (v 1,..., v n ) Ó Bº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ø c i 0 Ú Ö c i > 0º Ä Ø j 1, n Ù Ø Ø c j = max n c i º Ì Ò c j > 0 Ö Ôº c j < 0µ Ø Ø Ð ÔÓ ÒØ (v 1,...,v j 1, v j 1, v j+1,...,v n ) Ö Ôº (v 1,...,v j 1, v j + 1, v j+1,...,v n )µ ÐÓÒ ØÓ Ø Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒ Ó Hº ÈÊÇÇ º Ý Ò Ø ÓÒ Ø Ð ÔÓ ÒØ p = (x 1,...,x n ) ÐÓÒ Ò ØÓ Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Ú Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÕÙ Ð Ø max 1 i n c i c 0 + c i x i < max 1 i n c i Ë Ò c j = max n c i Û Û ÒØ ØÓ Ø ÖÑ Ò k { 1, 1} Ù Ø Ø c j = c 0 +,i j c i v i + c j (v j + 1 k) Ì Ò Ò c 0 + n c i v i = 0 Û Ú À Ò c j > 0 Û Ú c j = 1 kc j, k { 1, 1}
7 c j = 1 kc j, k { 1, 1} Ò Ó Û Ù Ø Ø k = 1º Ð c j > 0 Û Ú c j = 1 kc j, k { 1, 1} Ò Ø Ò Û Ù Ø Ø k = 1º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ º º º Ø Ð ÔÓ ÒØ ÐÓÒ Ò ØÓ Ø Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ò Ð Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø ÐÓÔ Ó Ø Ð Ò Ò Ö Ö Ýµº ¾º¾º¾ Ì ËØ Ò Ö ½ Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ½ ½ ÑÓ Ð ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ò Ò ÐÝØ ÐÐÝ ÓÐÐÓÛ ÙÖ µ Ò Ø ÓÒ ËØ Ò Ö ÀÝÔ ÖÔÐ Ò ½ µ Ì ËØ Ò Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö (c 0,...,c n ) R n+1 Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ (x 1,..., x n ) Z n Ú Ö Ý Ò n c i c 0 + c i x i < n c i Û Ö c 1 0 ÓÖ c 1 = 0 Ò c 0 ÓÖ º º º ÓÖ c 1 = c =... = c n 1 = 0 Ò c n 0º Ò Ø ÓÒ ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÀÝÔ ÖÔÐ Ò ½ µ Ì ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö (c 0,...,c n ) R n+1 Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ (x 1,...,x n ) Z n
8 Ú Ö Ý Ò n c i c 0 + c i x i n c i º º Ü ÑÔÐ Ó ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ ËØ Ò¹ Ö Ð Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö Ð Ò º Ê Ñ Ö Ä Ø p = (x 1,...,x n ) R n Ò p = (x 1,...,x n ) Rn º Ì ¹ Ø Ò Ó Ø ØÓ Ø ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÑÓ Ð Ø Ø Ò d Ò Ý d (p, p ) = sup x i x i i 1,n Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÐ B d (c, 1) c Z n º ÓÖ Ò Ø Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ø ÐÐ B d (c, 1) Ô Ü Ðº À Ò Ø ËÙÔ ÖÓÚ Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ð Ó ÓÒ Ø Ó Ø ÒØ Ö Ó ÐÐ ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Û Ö ÒØ Ö Ø Ý Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÙÖ µ Û Ö Ø ËØ Ò Ö ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ø ÒØ Ö Ó ÐÐ ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÙØ Ý Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò Ü ÔØ Û Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ú ÖØ Ü ÒØ Ö Ø ÙÖ µº ÁÒ Ø Ú Ö Ð ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ÒØ ØÓ Ø Ú ÖØ Ü Ó ÒÓØ ÐÓÒ ØÓ Ø ËØ Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒº Ì Ù ØÓ Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ð ØÝ Ò Ò Ø ÓÒ ØÖ Øº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¼ Ä Ø B ÐÐ B d (c, 1) c Z n Ò Ð Ø H ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ c 0 + n c i x i = 0 Ø Ø Ô Ø ÖÓÙ Ú ÖØ Ü v = (v 1,..., v n ) Ó Bº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ø c i 0 Ú Ö c i > 0º Ì Ò Ø Ð ÔÓ ÒØ (x 1,...,x n ) ÐÓÒ Ò ØÓ Ø Ø Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó H Ú Ö ÓÖ ÐÐ i 1, n x i = v i + 1 c i < 0 x i = v i 1 c i > 0 x i = v i + 1 ÓÖ x i = v i 1 c i = 0º
9 ÈÊÇÇ º Ý Ò Ø ÓÒ Ø Ð ÔÓ ÒØ p = (x 1,...,x n ) ÐÓÒ Ò ØÓ ËØ Ò¹ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ú Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÕÙ Ð Ø n c i c 0 + c i x i < n c i Ï Û ÒØ ØÓ Ø ÖÑ Ò k i { 1, 1} i 1, n Ù Ø Ø n c i = c 0 + c i (v i + 1 k i) Ø Ø Ò c 0 + n c i v i = 0 n c i = 1 k ic i À Ò Û Ú Ò Ø Ò ( c i k i c i ) = 0 (k i c i k i c i ) = (k i k i)c i = 0 Û Ø k i 1, 1 Ò k i c i 0 ÀÓÛ Ú Ö Ò i 1, n (k i k i )c i 0 Û Ù Ø Ø Ø Ø c i > 0 Ø Ò k i = 1 c i < 0 Ø Ò k i = 1 c i = 0 Ø Ò k i = 1 ÓÖ k i = 1º i 1, n, k i = k i ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¼ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½½º
10 º º Ø Ð ÔÓ ÒØ ÐÓÒ Ò ØÓ Ø Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÙÐ Ò Ð Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø ÐÓÔ Ó Ø Ð Ò Ò Ö Ö Ýµº Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ò Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Û Ù Ù Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Û ÐÐ ÒÓÛÒ ÀÓÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Û Ò ÒØ ØÓÓÐ Ù Ù ÐÐÝ Ù Ò Ñ ÔÖÓ Ò ØÓ Ö Ó Ò Þ Ô Ö Ñ ØÖ Ô Ò Ò Ñ º Ö Ú Û ÓÒ Ü Ø Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó ÔÖ ÒØ Ò ¾¼ º ÁÒ Ø ØÛÓ ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ Û Ö Ø Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ò Û ÓÙÖ Ù Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ô Ö ÓÖÑ Û ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó ÔÓ Òغ Ì Ò Û Ö Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò Ò Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Û Ø Ó Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖ ÒØ Ò Ë Ø ÓÒ º º½ Ò Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÔ ÖØ ÁÒ Ø ÛÓÖ Û Ù Ø n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ô P n R n Ò Ò Ø ØÛÓ ÙÒØ ÓÒ D E : E n P n Ò D P : P n E n Ý D E (x 1,...,x n ) = D P (y 1,...,y n ) = { (y 1,...,y n ) P n y n = { (x 1,...,x n ) E n x n = n 1 n 1 x i y i + x n } y i x i + y n } ÁÒ ÓÖÑ ÐÐÝ ÔÓ ÒØ Ò E n Ö Ôº P n µ ØÖ Ò ÓÖÑ Ý D E Ö Ôº D P µ ÒØÓ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò P n Ö Ôº E n µº ÁÒ Ø Ö Ø Ó Ø Ô Ô Ö Û Û ÐÐ Ò Ö ÐÐÝ ÛÖ Ø Dual ÓÖ D E ÓÖ D P º Ò Ø ÓÒ ½½ Ù Ð Ó Øµ Ä Ø O Ù Ø Ó R n º Ì Ò ÐÐ Ø Ù Ð Ó Oº Dual(O) = p O Dual(p)
11 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¾ Ä Ø O 1 Ò O ØÛÓ Ù Ø Ó R n Ù Ø Ø O 1 O º Ì Ò Dual(O 1 ) Dual(O ) ÈÊÇÇ º Ë Ò O 1 O Û Ù Ø Ø Dual(O ) = p O Dual(p) = [ p O 1 Dual(p) ] [ p O \O 1 Dual(p) ] º Ì Ò Dual(O 1 ) Dual(O )º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ù ÖÓÑ ÓÙÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ð Øݺ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ Ä Ø O 1 Ò O ØÛÓ Ù Ø Ó R n º Ì Ò Dual(O 1 O ) = Dual(O 1 ) Dual(O ) ÈÊÇÇ º Dual(O 1 O ) = p O 1 O Dual(p) = [ p O 1 Dual(p) ] [ p O Dual(p) ] = Dual(O 1 ) Dual(O )º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ Ä Ø O 1 Ò O ØÛÓ Ù Ø Ó R n º Ì Ò Dual(O 1 O ) Dual(O 1 ) Dual(O ) ÈÊÇÇ º Ë Ò O 1 O O 1 Ò O 1 O O Û Ù Ø Ø Dual(O 1 O ) Dual(O 1 ) Ò Dual(O 1 O ) Dual(O )º Ì Ù Dual(O 1 O ) Dual(O 1 ) Dual(O )º Ê Ñ Ö ½ Ä Ø p R n ÔÓ Òغ Ì Ù Ð Ó ÔÓ ÒØ Û Ð Ò Dual(p) ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ô Ø ÖÓÙ pº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò ÓÖ Ö ØÓ Ö Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Û Ò ØÓ Ò Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó ÔÓ ÒØ ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ ½ ÈÓ Ø Ú Ò Æ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ µ Ä Ø p = (x 1,...,x n ) R n ÔÓ Òغ Ì ÔÓ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó p Ò Ý p + = {p = (x 1,...,x n) R n i 1, n 1, x i = x i Ò x n x n} ÁÒ Ø Ñ Û Ý Ø Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó p Ò Ý ½¼
12 p = {p = (x 1,...,x n ) Rn i 1, n 1, x i = x i Ò x n x n } Ä Ø O 1 Ò O ØÛÓ Ù Ø Ó R n Ù Ø Ø O 1 O º Ì Ò O + 1 O + Ò O 1 O º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ù ÖÓÑ ¹ Ò Ø ÓÒ ½ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ Ä Ø O 1 Ò O ØÛÓ Ù Ø Ó R n º Ì Ò (O 1 O ) + = O + 1 O + ÁÒ Ø Ñ Û Ý (O 1 O ) = O 1 O º ÈÊÇÇ º (O 1 O ) + = p O 1 O p + = [ p O 1 p +] [ p O p +] = O 1 + O + º Ì ÔÖÓÓ Ó (O 1 O ) = O1 O Ó Ø Ò Ò Ø Ñ Û Ýº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ Ä Ø p R n ÔÓ Òغ Ì Ò Dual(p) + = Dual(p + ) ÁÒ Ø Ñ Û Ý Dual(p) = Dual(p )º ÈÊÇÇ º Ä Ø Ù ÓÒ Ö p = (x 1,...,x n ) E n º Ì Ò Dual(p + ) = D E (p + ) = p p + Dual(p ) = p =(x 1,...,x n) p + {(y 1,...,y n ) P n y n = n 1 {(y 1,...,y n ) P n y n x i y i + x n } = p D E (p) n 1 x iy i + x n} = p + = D E (p) + = Dual(p) +. Ì ÔÖÓÓ Ó Dual(p) = Dual(p ) Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ñ Û Ýº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ º º¾ ÈÓÐÝØÓÔ Ù Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÛÓÖ Û Ò ØÓ Ò Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ º Ò n¹ôóðýøóô n Z Ò ÓÐÐÓÛ ½½
13 p Dual(p) p Dual(p) º º ÈÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó ÔÓ ÒØ p Ð ¹Ð Ò µ Ò Ø Ö Ù Ð Ó Ø Ð ¹ Ô ÈÓ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó p Æ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒº Ò Ø ÓÒ ½ n¹ôóðýøóô µ Ä Ø P ÔÓÐÝØÓÔ Ò Ñ Ò ÓÒ n ÓÖ n¹ ÔÓÐÝØÓÔ º Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ò Ø Ø Ó k Ð ¹ Ô H = {H 1,...,H k } Ù Ø Ø P = k H i Ò Ù Ø Ø H i Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÖÑ Ò Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø Ð ¹ Ô H i ÓÖ ÓÙÒ ÖÝ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ó H i µ Ø Ò i 1, k, H i P º ÆÓØ Ø ÓÒ Ä Ø P Ò n¹ôóðýøóô Ò Ð Ø H Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð ¹ Ô Øº Ï Ò Ø Ö Ù Ø Ó H ÒÓØ H 0 H + Ò H ÓÐÐÓÛ H 0 Ø Ð ¹ Ô Ø Ò H Ò Ý Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ c n + n 1 c i X i 0 ÓÖ Ñ Ð Ö ØÓ c n + n 1 c i X i 0 Û Ø (c 1,...,c n ) E n º H + Ø Ð ¹ Ô Ø Ò H Ò Ý Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ X n c n + n 1 c i X i (c 1,...,c n ) E n º H Ø Ð ¹ Ô Ø Ò H Ò Ý Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ X n c n + n 1 c ix i (c 1,...,c n ) E n º ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÒÓØ H 0 H + Ò H Ø Ø Ö ÓÙÒ ÖÝ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö Ô Ø Ú ÐÝ ØÓ Ø Ð ¹ Ô Ø H 0 H + Ò H º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾¼ Ä Ø P Ò n¹ôóðýøóô º Ì Ò P = P + P Û Ø Ò P + = H H (H 0 H + ) P = H H (H 0 H ) ½¾
14 ÈÊÇÇ º Ä Ø Ù ÔÖÓÚ P c + = H (H 0 H + ) Hº Ì ÔÖÓÓ Ó P c = H Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ñ Û Ýº H (H 0 H ) Ä Ø p = (p 1,..., p n ) P + c º Ì Ò Ø Ö Ü Ø p = (p 1,...,p n) P Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ i 1, n 1 c i = c i and c n = c n À Ò ÓÖ ÐÐ H H 0 Ò ÓÖ ÐÐ H H + p Hº Ï Ù Ø Ø p H (H 0 H ) Hº ÆÓÛ Ð Ø p = (p 1,...,p n ) H (H 0 H ) Hº Ä Ø Ù ÔÖÓ Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ò ÙÑ Ø Ø p / P c + º Ì Ò ÓÖ ÐÐ p = (p 1,...,p n) P c Ø Ö Ü Ø i 1, n 1 Ù Ø Ø c i c i or c n c nº Ì Ò Ø Ö Ü Ø H H 0 ÓÖ H H + Ù Ø Ø p / Hº Ï Ù Ø Ø p / H H 0 H Hº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾¼ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ Ò Ø Ó Ñ Ò ÓÒ ¾º P P P µ º º ÈÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ ¾¹ÔÓÐݹ ØÓÔ P ÈÓ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó P µ Æ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó P º Ä Ø Ù ÒÓÛ Ö Ø Ù Ð Ó Ò n¹ôóðýøóô P ÖÓÑ Ø Ú ÖØ º Ä Ø V Ø Ø Ó Ú ÖØ Ó P º Ï Ò ØÛÓ Ù Ø Ó V ÒÓØ V + Ò V ÓÐÐÓÛ V + = {v V H H +, v H P } V = {v V H H, v H P } Ï Ò Ò ÙÖ Ø Ø Ø Ú ÖØ ÒÙÑ Ö ½ ¾ Ò ÐÓÒ ØÓ Ø Ú ÖØ Ü Ø V + Ó P º ÁÒ Ø Ñ Û Ý Ú ÖØ ÒÙÑ Ö Ò ÐÓÒ ØÓ Ø Ú ÖØ Ü Ø V º Ì Ù Ð Ó Ò n¹ôóðýøóô Ò Ø Ò Ò Ý ½
15 Ì ÓÖ Ñ ¾½ Ù Ð Ó ÈÓÐÝØÓÔ µ Ä Ø P Ò n¹ôóðýøóô V + Ò V Ø ØÛÓ Ú ÖØ Ü Ø Ò ÔÖ Ú ÓÙ Ðݺ Ì Ò Dual(P) = Dual(v) + Dual(v) v V + v V ÈÊÇÇ º Ä Ø Ù Ö Ø ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ Ä ÑÑ ¾¾ Ä Ø P Ò n¹ôóðýøóô º Ì Ò Dual(P) = Dual(P) + Dual(P) ÈÊÇÇ º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÙÑ Ø Ø H E n º Ë Ò Dual(P) Dual(P) + Ò Dual(P) Dual(P) Û Ù Ø Ø Dual(P) Dual(P) + Dual(P) º Ï ÒÓÛ ÔÖÓÚ Ø Ø Dual(P) + Dual(P) Dual(P)º ÓÒ Ö ÔÓ ÒØ p = (x 1,...,x n ) Dual(P) + Dual(P) º Ì Ò Ò p = (x 1,...,x n) Dual(P) p p + p = (x 1,..., x n ) Dual(P) p p Ï Ù Ø Ø i 1, n 1 x i = x i = x i Ò x n x n x nº Æ ÜØ Û ÔÖÓÚ Ø Ø Dual(p) H Û ÛÓÙÐ ÑÔÐÝ p Dual(P)º Ë Ò p Dual(P) Ò p Dual(P) Û Ú Dual(p ) P Ò Dual(p ) P º Ä Ø q = (q 1,...,q n ) Dual(p ) P Ò q = (q 1,..., q n ) Dual(p ) P º Ì Ò Û Ú q n = n 1 Ë Ò x n x n x n Û Ù Ø Ø q n n 1 x i q i + x n Ò q n n 1 = n 1 x i q i + x n Ò q n x i q i + x n x i q i + x n Ì Ù Dual(p) [q, q ] º Ò ÐÐÝ Ò P ÓÒÚ Ü Û ÒÓÛ Ø Ø [q, q ] P º Ï Ø Ò Ù Ø Ø Dual(p) P º ½
16 Ä Ø Ù ÒÓÛ Ò ØÛÓ Ó Ø Ø F + Ò F Ý F + = {H P, H H + } Ò F = {H P, H H } Ä Ø S غ ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Û ÐÐ ÒÓØ Ý S Ø Ö Ò Ð Ó Ø Ø Sº Ô ÐÐÝ Û Ö Ñ Ö Ø Ø F + Ö Ôº F µ ÕÙ Ð ØÓ H + Ö Ôº H µº ÓÖ Ò Ø Ò Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ø Ø F + Ö Ôº F µ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ñ ÒØ Û ÐÓÒ ØÓ Ì Ù ÓÙÒ ÖÝ Ó P Ù Ø Ø Ø Ö ØÛÓ Ò ÔÓ ÒØ Ö Ú ÖØ Ò V + Ö Ôº V µº ÁÒ ÙÖ F + ÓÑÔÓ Ó Ø Ñ ÒØ [1, ] [, 3] Ò [3, 4]º ÁÒ Ø Ñ Û Ý F ÓÑÔÓ Ó Ø Ñ ÒØ [4, 5] Ò [5, 6]º ÁÒ Ñ Ò ÓÒ Ø ØÛÓ Ø Ö ÓÑÔÓ Ó Ó P º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ò Ú Ö Ä ÑÑ ¾ Ä Ø P Ò n¹ôóðýøóô º Ì Ò ÁÒ Ø Ñ Û Ý P = F F F º P + = F F + F + ÈÊÇÇ º Ä Ø Ù ÔÖÓÚ Ø Ø P + = F + = (H i P) + = H i P F F + i 1, F +,H i H + i 1, C +,H i H + + Ö Ø Û Ú À Ò H i P P i 1, C +,H i H + H i P i 1, C +,H i H + + P + Ä Ø ÒÓÛ p P + º Ï ÒÓÛ Ø Ø P + = H H 0 H + H Û ÕÙ Ú¹ Ð ÒØ ØÓ P + = H H 0 H + H + º À Ò Û Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ H i H + i 1, C + Ø Ö Ü Ø p i = (p i1,...,p in ) H i Ù Ø Ø p p + i º Ä Ø p = (p i1,...,p in 1, p n ) Ø ÔÓ ÒØ Û Ú Ö i 1, C +, p n p i n º Ì Ò Ò P ÔÓÐÝØÓÔ Û Ú p P º Ì ÓÒ ÕÙ Ð ØÝ Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ñ Û Ýº ½
17 Ä ÑÑ ¾ Ä Ø P Ò n¹ôóðýøóô º Ì Ò Dual(P + ) = Dual(v) + v V + ÁÒ Ø Ñ Û Ý Dual(P ) = v V Dual(v) º ÈÊÇÇ º Ä Ø Ù ÔÖÓÚ Ø Ø Dual(P + ) = v V + Dual(v) + º Ý Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÖØ Ü v Ò V + Ø Ö Ü Ø F F + Ù Ø Ø v F º À Ò v V + v F F + F º ÅÓÖ ÓÚ Ö ( v V + v) + ( F F + F) + º Ì Ò v V + v + F F + F + º ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ Ò ØÓ Ä ÑÑ ¾ Û Ú F F + F + = P + º Ï Ù Ø Ø Dual( v V + v + ) Dual(P + ) Ò Ø Ò v V + Dual(v + ) Dual(P + )º Ä Ø Ù ÔÖÓÚ Ø ÓÒ ÒÐÙ ÓÒº Ä Ø p Dual(P + ) = Dual( F F + F + )º Ì Ò Ø Ö Ü Ø F F + Ù Ø Ø Dual(p) F + º Ä Ø Ù ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ú ÖØ Ü v Ò V Ù Ø Ø Dual(p) v + º Ä Ø Ù ÔÖÓ Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ò ÙÑ Ø Ø ÓÖ ÐÐ v F Dual(p) v + = º Ï ÒÓÛ Ø Ø Ø Ö Ü Ø H H + Ù Ø Ø F = H P = H [ ] k H i = k (H H i )º À Ò Û ÓÒ Ö Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò H Ô Û Ù Ø Ø F Ò n 1¹ÔÓÐÝØÓÔ Ò ÓÖ ÐÐ i H i H Ð ¹ Ô Ò H Ò Ø Ò F ÕÙ Ð ØÓ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ú Ö Ð Ð ¹ Ô º Ë Ò F Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ó Ø Ú ÖØ Û Ù Ø Ø v F, Dual(p) v + = Ø Ò p F, Dual(p) p = º ÅÓÖ ÓÚ Ö F + = p F p + = p F,k R + p + k OX n = k R + C+k OX n º À Ò Ò F ÔÓÐÝØÓÔ F+k OX n Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò Ø Ñ Ñ Ø Ó Ò ÔÔÐ ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø p F +k OX n, Dual(p) p = º Ñ Ð Ö ÔÖÓÓ Ò Ù ØÓ ÓÛ Ø Ø Dual(P ) = v V + Dual(v) º Ì ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾½ Ó Ø Ò ÖÓÑ Ä ÑÑ ¾ º Ì ÓÖ Ñ ¾½ ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ö Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ ÖÓÑ Ø Ù Ð Ó Ø Ú ÖØ º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ø Ù Ð Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ò Ý Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Ó Ø ÓÒ Ò ÙÒ ÓÒ Ó Ú Ö Ð Ð ¹ Ô ÙÖ µº Ð ¹ Ô Ø ÔÓ Ø Ú ÓÖ Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò Ù Ð Ó ÓÒ Ú ÖØ Ü Ó Ø ÔÓÐÝØÓÔ º ÁÒ ÙÖ Û Ò Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ð Ó Ø ÔÓÐÝØÓÔ Ò ÙÖ º ½
18 Dual(P + ) 5 Dual(P ) 3 5 Dual(P ) µ º º Ù Ð Ó ¹ÔÓÐÝØÓÔ P Ù Ð Ó Ø ÔÓ Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó P Ù Ð Ó Ø Ò Ø Ú ÜØÖÙ ÓÒ Ó P µ Ù Ð Ó P º º Ì ÒÓØ ÓÒ Ó Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ò Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó Ø Ó ÔÓÐÝØÓÔ º Ì ÔÖ Ñ ÓÑ ØÖ Ð Ó Ø ÓÑÔÙØ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ô ÖÓÑ Ø Ù Ð Ó Ø ÔÓÐÝØÓÔ º ÔÓ ÒØ Ò Ø ÔÖ Ñ Ó Ø ØÓ ÝÔ Ö¹ ÔÐ Ò Û ÙØ ÐÐ ÔÓÐÝØÓÔ º Ì Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó ÔÓÐÝØÓÔ Ø Ø Ò Ò ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ ¾ Ò Ö Ð Þ ÈÖ Ñ µ Ä Ø P = (P 1,...,P k ) Ø Ó k ÔÓÐÝØÓÔ Ò Ð Ø Dual(P i ) i 1, k Ø Ù Ð Ó P i Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ô º Ì Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ G P Ó P Ò Ý k G P (P) = Dual(P i ) Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ ÓÙÖ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñº ÅÓÖ ¹ ÓÚ Ö Û ÙÑ Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò ÐÝØ ÐÐÝ Ò Û Ø Ø Ò Ò ÐÐ Ù Ø Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò Ò Ë Ø ÓÒ ¾º¾º Ì Ñ Ó ÓÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ø ÖÑ Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø ÐÓÒ ØÓ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Û Û ÒØ ØÓ Ø ÖÑ Ò ÐÐ ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø Ø Þ ¹ Ø ÓÒ Ó Û ÓÒØ Ò Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Øº Ï ÐÐ Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ó Ø Ø Ø ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ø Ó ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø Ü Ø µ Û ÖÓ ÐÐ ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ý ÓÑÔÙØ Ò Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó Ø ÐÐ º Ì Ò ÓÒ Ø Ô ½
19 ÑÔØÝ ÓÖ ÒÓص Ó Ø ÔÖ Ñ Û Ò Ù Ø ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ø ÐÓÒ ÓÖ ÒÓØ ØÓ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ Ò ØÓ Ø Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ð Ù ÓÑ ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ó Ø Ù Ð Ó Ø ÐÐ Ö ÒÓØ Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ù Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÖÓ ÐÐ Ú ÖØ µ Ò Ø Ù ÓÑ ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ó Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ö ÒÓØ Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÁØ ÓÖ Ò Ø Ò Ø ÓÖ Ø ËØ Ò Ö Ò Æ Ú ÑÓ Ð Ò ÓÒ Ò¹ ÕÙ Ð ØÝ Ò Ø Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò µ Ö ØÖ Øº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ö Ø Ø Ð ÓÙÖ Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñº Ì Ò Û ÔÔÐÝ ÓÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ø Æ Ú Ò ËØ Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ð º º½ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ä Ø H = {H 1,...,H k } Ø Ó k ÝÔ ÖÚÓÜ Ð º Ì Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ½µ ÑÔÐÝ Ô Ö ÓÖÑ Ý ÓÑÔÙØ Ò Ø Ò Ö Ð¹ Þ ÔÖ Ñ G P Ó Ø ÐÐ {B 1,...,B k } Ó Ø ØÓ Hº Ö Ø G P (B 1 ) º º Ø Ù Ð Ó B 1 ÓÑÔÙØ ÓÖ Ò ØÓ Ø ÔÓÐÝØÓÔ Ù Ð Ò Ø ÓÒ Ú Ò Ý Ì ÓÖ Ñ ¾½º Ì Ò G P ({B 1, B }) ÓÑÔÙØ ÖÓÑ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó G P (B 1 ) Ò Dual(B )º Ò Ó ÓÒ ÙÒØ Ð G P ({B 1,...,B k }) ÓÑÔÙØ ÓÖ G P ÓÑ ÑÔØݺ ÆÓØ Ø Ø Ø ÐÐ Ò ÓÒ Ö Ò ÒÝ ÓÖ Ö Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ó ÒÓØ Ò ØÓ ÓÒÒ Ø º Ð ÓÖ Ø Ñ ½ ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø H Ó k ÝÔ ÖÚÓÜ Ð H 1 º º º H k Ò Ø Ö Ó Ø ÐÐ B 1 º º º B k º Ò GP Dual(B 1 ) i Û Ð GP Ò i n Ó GP GP Dual(B i ) i i + 1 Ò GP Ø Ò H ÐÓÒ ØÓ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò º Ð H Ó ÒÓØ ÐÓÒ ØÓ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò º ½
20 º¾ Ü ÑÔÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Æ Ú Ò ËØ Ò Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ú Ò ÐÐ Ó Ø ØÓ Ú Ò Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ð ÓÑ Ô ÖØ Ò Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ó ÒÓØ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º ÁØ Ø Û Ò ÓÒ ÓÖ Ú Ö Ð Ò ÕÙ Ð Ø Ò Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ö ØÖ Ø ÓÖ Ò Ø Ò ÓÖ Ø ËØ Ò Ö Ò Æ Ú ÑÓ Ð º ÁÒ Ø Ó Ø ËÙÔ ÖÓÚ Ö Ò ÐÓ Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒ ÑÓ Ð ÐÐ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ Ö ÓÐÙØ ÓÒ º ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ØÙ Ý Ø Ó Ø Æ Ú Ò ËØ Ò Ö ÑÓ Ð Ò ¹ Ö Û Ô ÖØ Ó Ø Ù Ð Ó Ø ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º º¾º½ Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Ï Û ÒØ ØÓ Ø ÖÑ Ò Û ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø Ù Ð Ó ÐÐ B d1 (c, 1 ) Ö Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º Ï ÒÓÛ Ø Ø ÔÓ ÒØ (c 0,...,c n 1 ) Ó Ø ØÓ ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ c 0 x n + n 1 c ix i = 0º ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÒÓÛ Ø Ø Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÒØ Ò Ú ÖØ Ü Ó Ø Ðк Ï Ù ÖÓÑ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ä Ø B ÐÐ B d1 (c, 1 ) c Z n Ò Ð Ø H ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ c 0 + n c i x i = 0 Ø Ø Ô Ø ÖÓÙ Ú ÖØ Ü v = (v 1,..., v n ) Ó Bº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ø c i 0 Ú Ö c i > 0º À Ò Ø Ö Ü Ø j 1, n Ù Ø Ø v = (c 1,...,c j 1, c j + 1, c j+1,...,c n) Ö Ôº v = (c 1,...,c j 1, c j 1, c j+1,...,c n )µº Ì Ò c j > 0 Ö Ôº c j < 0µ c ÐÓÒ ØÓ Ø Æ Ú Ø Þ Ø ÓÒ Ó Hº À Ò ÖÓÑ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Û Ò ÐÝ Ø ÖÑ Ò Û ÔÓ ÒØ Ò Ø Ù Ð Ó ÐÐ B d1 (c, 1 ) Ö Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º Ï Ò Ò ÙÖ Ò Ü ÑÔÐ Ó Ù Ð ÐÐ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾º ÙÖ ½¼ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ò Ø Ó Ø Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒº º¾º¾ ËØ Ò Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ï Û ÒØ ØÓ Ø ÖÑ Ò Û ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø Ù Ð Ó ÐÐ B d (c, 1) Ö Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º Ï ÒÓÛ Ø Ø ÔÓ ÒØ (c 0,...,c n 1 ) Ó Ø ØÓ ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ c 0 x n + n 1 c ix i = 0º ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÒÓÛ Ø Ø Ø ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÒØ Ò Ú ÖØ Ü Ó Ø Ðк Ï Ù ÖÓÑ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½¼ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ ½
21 º º Ù Ð Ó ÐÐ B d1 (c, 1 ) ÈÓ ÒØ ÓÒ Ð Ò Ö ÒÓØ Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÛ Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ù Ðº º ½¼º Ü ÑÔÐ Ó ¾ Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Æ Ú ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó ¹ Ò Ø ÓÒº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ä Ø B ÐÐ B d (c, 1) c Z n Ò Ð Ø H ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ c 0 + n c i x i = 0 Ø Ø Ô Ø ÖÓÙ Ú ÖØ Ü v = (v 1,..., v n ) Ó Bº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ø c i 0 Ú Ö c i > 0º À Ò v n > c n Ö Ôº v n < c nµ Ò c n > 0 Ö Ôº c n < 0µ Ø Ò c ÐÓÒ ØÓ Ø ËØ Ò Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Hº À Ò ÖÓÑ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Û Ò ÐÝ Ø ÖÑ Ò Û ÔÓ ÒØ Ò Ø Ù Ð Ó ÐÐ B d (c, 1) Ö Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò º Ï Ò Ò ÙÖ ½½ Ò Ü ÑÔÐ Ó Ù Ð ÐÐ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾º ¾¼
22 º ½½º Ù Ð Ó ÐÐ B d (c,1) ÈÓ ÒØ ÓÒ Ð Ò Ö ÒÓØ Ó Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÔ ÖÔÐ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÛ Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ù Ðº ÙÖ ½¾ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ Ò Ø Ó Ø ËØ Ò Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒº º ½¾º Ü ÑÔÐ Ó ¾ Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ËØ Ò Ö ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒº ÓÒÐÙ ÓÒ Ò ÙØÙÖ ÛÓÖ ÁÒ Ø ÖØ Ð Ò Û Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ñ Ò ÓÒ Ò ÔÖ ÒØ º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÖÑ Ò Ú Ò ÝÔ Ö¹ ÚÓÜ Ð Ø ÐÓÒ ØÓ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ý ÔÖÓÚ Ò Ø Ø Ó ÙÐ Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Û ÙØ ÐÐ ÐÐ Ó Ø ØÓ Ø Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð º Ì Ø Ù ÖÓÑ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ù Ð Ô Ó Ø Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ¹ Ó Ø ÐÐ º Ì ÔÖ Ñ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ð Ó ¾½
23 Ø ÐÐ º Ì Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ú Ò ÝÔ ÖÚÓÜ Ð ØÓ ÓÒÒ Ø º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÙÖ Ò Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ ÝÔ ÖÚÓÜ Ð Ò ÓÒ Ö Ò ÒÝ ÓÖ Öº Ì Ö ÙÐØ ÔÖÓÔÓ Ò Ø Ô Ô Ö Ö Ú ÖÝ Ò Ö Ðº ÁÒ Ò Ø Ò Ö Ð¹ Þ ÔÖ Ñ Ò ÓÖ ÒÝ ÔÓÐÝØÓÔ Ø Ø Ò ÐÝ Ð ØÓ Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÑÙÐØ ¹ Ð Ö ÓÖ Ø ÖÓ Ò ÓÙ Ö Ù ÓÖ Ò Ø Ò Ö¹ Ö ÙÐ Ö ÓØ Ø Ö ¾½ º Ê Ö Ò ½ ¾ ʺ ÃÐ ØØ º ÊÓ Ò Ð Ø Ð ØÖ ØÒ Ö Ú Û Ö Ø ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ½ ½ µ ¾¼¼ µ ½ ¾ ¼º º Ö ÒÓÒ Âº¹Åº Ë Ö ÑÑ Åº Ì Ò Ê Ó Ò Þ Ò Ö Ø Ñ Ø ØÖ Ø Ð Ò Ò ÔÐ Ò Ò Ö Ø ÓÑ ØÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö ÁÑ ÖÝ ÎÓк ½½ Ó ÄÆ Ë ½ ÔÔº ½ ½ ½ ¼º ĺ ÙÞ Ö Ð Ò Ö ÒÖ Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Æ Ú Ò ËØ Ò Ö Ø Ð Ð Ò Ò ÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ö Ô Ð ÑÓ Ð ½ µ ¾¼¼ µ ½ º º º Ã Ñ Áº ËØÓ Ñ ÒÓÚ ÇÒ Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð ÔÐ Ò Ò Ø Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô È ØØ ÖÒ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ä ØØ Ö ½¾ ½½µ ½ ½µ º Áº Ð ¹Ê ÒÒ ÓÒ Âº Ê Ú ÐÐ Ð Ò Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ð ÙÖÚ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó È ØØ ÖÒ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ò ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò ½ µ ¾º º Ö Ö Áº Ð ¹Ê ÒÒ ÓÒ Èº ÑÑ ÖÑ ÒÒ Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ø Ð ÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Å ÌÀ Ö Ø ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ½ ½º º Î ØØÓÒ Âº¹Åº ÖÝ Ê Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð Æ Ú ÔÐ Ò Ò ÔÓÐÝ Ö Þ Ø ÓÒ Ò Ö Ø ÓÑ ØÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö ÁÑ ÖÝ ÎÓк ½ Ó ÄÆ Ë ¾¼¼¼ ÔÔº ¾ ¼ º ź Ü Ø º Ò Ö Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ñ ÓÖ Ø ËØ Ò Ö Ò ËÙÔ ÖÓÚ Ö Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ø ÓÑ ØÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö ÁÑ ÖÝ ÎÓк ¾ Ó ÄÆ Ë ËÞ ÀÙÒ ÖÝ ¾¼¼ ÔÔº ¼º κ º Ö Ñ ÓÚ Ëº ˺ ÒØ Ú ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÐÝ ÓÖ Ø Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ü Ñ Ò ÓÒ Ò Ö Ø ÓÑ ØÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö ÁÑ ÖÝ ÎÓк ¾ Ó ÄÆ Ë ÈÓ Ø Ö Ö Ò ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¾ º ½¼ Áº ËØÓ Ñ ÒÓÚ Êº ÌÓ Ø Þ Ø ÓÒ Ñ Ò Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ð ØÖ Ø Ð Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ò Ø Ò Ö ØÖ ÖÝ Ñ Ò ÓÒ Ò Î ÓÒ ÓÑ ØÖÝ ÎÓк ½½ Ó ÓÒØ ÑÔÓÖ ÖÝ Å Ø Ñ Ø Ë Ö Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ËÓ ØÝ ½ ½ ÔÔº ½ ¾½¾º ¾¾
24 ½½ º ÙÖ ÓÐÐÝ Îº Ö Ñ ÓÚ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ô Ø Ó Ø Ð ÔÐ Ò Ò ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÁÑ Ò ÐÝ ÎÓк ¼ ¼ Ó ÄÆ Ë ÖÐ Ò ÖÑ ÒÝ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ½ ¼ º ½¾ ĺ ÓÖ Ø º Ϻ ź ËÑ ÙÐ Ö Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ø Ð Ò Á ÌÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒ È ØØ ÖÒ Ò ÐÝ Ò Å Ò ÁÒØ ÐÐ Ò ½ µ ¼ º ½ º ÙÖ ÓÐÐÝ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ø ÓÑ ØÖ Ö Ø ÔÓÙÖ Ð Ö Ø Ö Ø ÓÒ ÓÙÖ Ø ÙÖ È º º Ø ÍÒ Ú Ö Ø ÄÙÑ Ö ÄÝÓÒ ¾ ÄÝÓÒ Ö Ò ¾¼¼¾µº ½ º¹Èº Ê Ú ÐÐ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ô Ò Ø Ð Ð Ò Ò ÔÐ Ò ËÈÁ Î ÓÒ ÓÑ ØÖÝ ÁÎ ¾ º ½ º Ò Ö Êº ÖÝ º Ë Ø Ö Ø Ò ÐÝØ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò Ö Ô Ð ÅÓ Ð Ò ÁÑ ÈÖÓ Ò ½ µ ¼¾ ¼ º ½ º Ò Ö ÅÓ Ð Ø ÓÒ Ò ÐÝØ ÕÙ Ö Ø ³Ó Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ Ì ³ Ð Ø Ø ÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÈÓ Ø Ö Ö Ò ¾¼¼¼µº ½ º Ò Ö Ö Ø Ð Ò Ö Ó Ø Ò Ñ Ò ÓÒ n Ø ËØ Ò Ö ÑÓ Ð Ö Ô Ð ÅÓ Ð ¾¼¼ µ ¾ ½½½º ½ º Ó Ò¹ÇÖ º Ã Ù Ñ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÙÖ ÚÓÜ Ð Þ Ø ÓÒ Ö Ô Ð ÅÓ Ð Ò ÁÑ ÈÖÓ Ò ½ µ ½º ½ º Ò Ö Èº Æ Ð Âº Ö ÒÓÒ ÌÙÒÒ Ð¹ Ö ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÔÓÐÝ ÓÒ Ò ÔÓÐÝ Ö ÓÑÔÙØ Ö Ö Ô ÓÖÙÑ ÙÖÓ Ö Ô µ ½ µ ½ µ ½ º ¾¼ Àº Å ØÖ ÍÒ Ô ÒÓÖ Ñ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÀÓÙ Ö Ú Û ÓÒ ÀÓÙ ØÖ Ò ÓÖÑ ÌÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ë Ò Ð ¾ ½ µ ¼ ½ º ¾½ º ÙÖ ÓÐÐÝ Äº Ö Ö ËÙÔ ÖÓÚ Ö ÑÓ Ð Ø Ð ØÖ Ø Ð Ò Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ò ÙÖÚ Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÒ Ø ÖÖ ÙÐ Ö ÓØ Ø Ö ÓÑÔÙØ Ö Ò Ö Ô ¼ ½µ ¾¼¼ µ º ¾
Strong normalization of lambda-bar-mu-mu-tilde-calculus with explicit substitutions
Strong normalization of lambda-bar-mu-mu-tilde-calculus with explicit substitutions Emmanuel Polonovski To cite this version: Emmanuel Polonovski. Strong normalization of lambda-bar-mu-mu-tilde-calculus
More informationÐ Ò ØÓ ØØ Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ÙÐغ Ì ÓÙÖ Ô Ö Ñ ØÓÛ Ö Ø Ø Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ÙÐØ Ò Ô Ö Ý Ø Ô Ô Ö Ó È Ô Ñ ØÖ ÓÙ Ò Î ÑÔ Ð ÓÒ ÌÖ Ú Ð Ò Ë Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ µ Ø
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ À Ö Ò ÓÖ ËÑ ÐÐ ÇÙÖÖ Ò ÁÒ Ø Ò Ó ÆȹÀ Ö ÈÖÓ Ð Ñ Å ÖÓ Ð Ú Ð Ò Â Ò Ð ÓÚ ¾ ¾ ÅÈÁ ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ë Ò ¹¼ ¼ Ä ÔÞ Í ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÙÒ ÈÖ Ø Å Ø Ñ Ø ¹¾ ¼ Ã Ð Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ ¹ к ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÓÒØÖ
More informationÝÓÒ ÀÝÔ ÖØÖ Ï Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ø Ó Ï Ø ÓÙØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÀÙ Ò Ò Î ØÓÖ ÐÑ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ì ÒÓÐÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÑÔ Ù Ö Ö ÐÓÒ ËÔ Ò Ù º Ò Ú ØÓÖº ÐÑ Ù ÙÔ º Ù ØÖ Øº Ì Ò
ÝÓÒ ÀÝÔ ÖØÖ Ï Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ø Ó Ï Ø ÓÙØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÀÙ Ò Ò Î ØÓÖ ÐÑ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ì ÒÓÐÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÑÔ Ù Ö Ö ÐÓÒ ËÔ Ò Ù º Ò Ú ØÓÖº ÐÑ Ù ÙÔ º Ù ØÖ Øº Ì Ò Ö Ð ÒØÖ Ø Ð ØÝ Ó Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ ¹ Ð Ñ ÑÓØ Ú
More information½½ º º À Æ Æ º º Í Æ ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ñ ¹ Ò Ø ÙÒÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖÙ Ø Ö ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ È ½ Û Ø Ò Ð ÐÐ ÓÒ ØÖ ÒØ Û Ó ÓÖÑ Ù Ø ØÓ Ñ Ò ¾Ê Ò µ ½ ¾ Ì Ì Ø Ì Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð
ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ÎÓк½ ÆÓº¾ ¾¼¼½ ½½ ß½¾ º ÇÆ Å ÁÅ Ç Í Ä ÍÆ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ Ì ËÍ ÈÊÇ Ä Å ½µ ÓÒ ¹ Ò Ê Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÒØ Ö Ó È Ö ÐÐ Ð ËÓ ØÛ Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ó ËÓ ØÛ Ö Ò ½¼¼¼ ¼ Ò µ ¹Ü Ò Ù Ò ËØ Ø Ã Ý Ä ÓÖ ØÓÖÝ
More informationÌ ÓÑÔÙØ Ð Ñ Ò ÓÒ Ó ÌÖ Ó ÁÒ Ò Ø À Ø ÊÙ ÐÐ Å ÐÐ Ö ÂÙÐÝ ¾ ¾¼¼ Ì Ö Ø ÓÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÖØ Ð ÔÔ Ö ÔØ Ö Ó È º º Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ó ÙÒ Ö Ø ÙÔ ÖÚ ÓÒ Ó ÊÓ ÖØ Áº ËÓ
Ì ÓÑÔÙØ Ð Ñ Ò ÓÒ Ó ÌÖ Ó ÁÒ Ò Ø À Ø ÊÙ ÐÐ Å ÐÐ Ö ÂÙÐÝ ¾ ¾¼¼ Ì Ö Ø ÓÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÖØ Ð ÔÔ Ö ÔØ Ö Ó È º º Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ó ÙÒ Ö Ø ÙÔ ÖÚ ÓÒ Ó ÊÓ ÖØ Áº ËÓ Ö º Ì Ò Ö Ð Ó Ù ØÓ ÝÖ Ã ÓÙ ÒÓÚ Û Ó ÓÖ Ò ÐÐÝ ÔÓ Ø ÕÙ
More informationÁËÁË Ø Ò Ð Ö ÔÓÖØ Ö ÎÓк ½¼ ¾¼¼¼ ÖÓÙÒ ÜØÖ Ø ÓÒ Ó ÓÐÓÙÖ ÁÑ Ë ÕÙ Ò Ù Ò Ù Ò Ñ ÜØÙÖ ÑÓ Ð ËØ ÒÑ Ò Ò Ê Ò Ú Ò Ò ÓÓÑ Ö ÁÒØ ÐÐ ÒØ Ë Ò ÓÖÝ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò
More informationÌ Ö Ö Ü ÑÔÐ Ó ÒØ Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ø Ø ÔÖÓÚ ÓÓ ÙÔ¹ ÔÓÖØ ÓÖ Ô Ý Ò ÒØ Ý Ø Ñ ÒÐÙ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò ÒØ º ÒØ ¾ Ò ÒعÓÖ ÒØ ÜØ Ò ÓÒ ØÓ Ç Ø¹ Û ÒÐÙ ÓÒ ÔØ Ù ÖÓÐ ÒØ
ÅÙÐØ ¹ ÒØ ËÝ Ø Ñ ËÔ Ø ÓÒ Ù Ò Ì Ç Ì Ñ Å ÐÐ Ö Ò È Ø Ö Å ÙÖÒ Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ì ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ä Ú ÖÔÓÓÐ Ä Ú ÖÔÓÓÐ Ä ÍÃ Ø Ñ Ô Ø Ö ºÐ Úº ºÙ ØÖ Øº Ì Ç Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ø Ø ÓÑ Ò Ø ØÖ Ò Ø Ó Ç Ø¹ Ò Ì Ñ ËÈ Û Ø
More information½º¾ Ò Ø ÓÒ Ì Ò Ó Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ð Þ Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ ½ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ðݵ Ñ ÐÝ ¾ ¼ ½ ¾Æ ÐÐ Ñ ÐÝ Ó Ð µ Ä µµ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ ¾
¾¾º ¼ ¹¼¼ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÖÝÔØÓ Ö Ô Ý ÆÓÚ Ñ Ö Ø ¾¼¼½ Ä ØÙÖ Ä ØÙÖ Ö Ú Ò Ý Ó ËÖ ÒØÓÒ Ó Æ ÓÐÓ Ä Ø Ø Ñ Û Ò Û Ø Û Ñ Ò Ý Ë Ö Ø Ã Ý ÒÖÝÔØ ÓÒ Ñ Ëà µ Ò Û ÒØÖÓ Ù ØÛÓ Ö Ð Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÙÖ Øݺ Ì Ò Û ÓÛ ÓÛ ÈÊ Ñ Ý Ù ØÓ
More informationedges added to S contracted edges
Ì Å Ü ÑÙÑ ÝÐ ËÙ Ö Ô ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö ¹ Ö Ô Ð ÒØ Æ ÛÑ Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÅÁÌ Ñ Ö Å ¼¾½ ¹Ñ Ð Ð ÒØ Ø ÓÖݺРºÑ غ Ù Ï ØÙ Ý Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÝÐ Ù Ö Ô Ó Ú Ò Ö Ø Ö Ô Ò Û Ø Ñ Ü ÑÙÑ ØÓØ Ð Ö Ò ÔÐÙ ÓÙص
More informationÄ ÓÖ ØÓ Ö ÓÖ Ð Ê Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÍÅÊ ¼¼ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø ÓÖ ÙÜ Á ½ ÓÙÖ Ð Ä Ö Ø ÓÒ ¼ Ì Ð Ò Ü Ö Ò Ê Ö Ê ÔÓÖØ Êʹ½ ¼ ¹¼ Ò Æ ÒØ Ò ÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø Û Ò Ð Ó ÓÙÑ ÒØ Ñ Ý Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ý Â ÕÙ ¹ÇÐ Ú
More information½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÒÓÑ ÈÓÖØ Ð Û ¹ ÒØ Ö Ø Ú ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÔÐ Ø ÓÖÑ ÓÖ Ø Ò Ð¹ Ý Ò Ñ Ò Ò Ó ÒÓÑ Ø º Ï Ñ ØÓ ÒØ Ö Ø Ø ÔÖ Ñ ÖÝ ÒÓÑ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÒÓÛÐ Ò Ò ÐÝØ Ð ØÓÓÐ Û
ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ ¾ ËØ ÖØ Ý ÓÒ ØÖÙØ Ò Ò Ð Ø ¾ ¾º½ Í Ò ÔÖ Ò Ò Ð Ø µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ë Ö ÓÖ Ò Ó ÒØ Ö Ø Ù Ò ÒØÖ Þ ÝÑ ÓÐ ÓÖ Ö ÔØ ÓÒº ¾º È Ø Ð Ø Ó Ò Ò Ø ÓÜ ÔÖÓÚ º º º º
More informationËÌ Ä Å Ä Å ÌÁÇÆ ÂÓ Ò Ìº Ð Û Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ËØ Ø Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÁÐÐ ÒÓ Ø Ó Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼¼ Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó ºÁºÅ Ð Úº ÁÒ ½ ÖÞ ÓÖÞÝ Û Ø Ö
ËÌ Ä Å Ä Å ÌÁÇÆ ÂÓ Ò Ìº Ð Û Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ËØ Ø Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÁÐÐ ÒÓ Ø Ó Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼¼ Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó ºÁºÅ Ð Úº ÁÒ ½ ÖÞ ÓÖÞÝ Û Ø Ö Ø Ö Û Ö ÓÒØ ÒÙÙÑ Ñ ÒÝ «Ö ÒØ ¼ ¹ Ø ÓÖ Ð Ø ÓÖ º Ï Ø
More informationÓ Ú ÐÙ Ö ÒÚÓÐÚ Ò ÖØ Ò Ô ÖØ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñµ Ò ØÓ ÐÔ Ø Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ñ Ø º ÁÒ Ø Ø ÐÐÝ ØÝÔ Ð Ò Ù Ø ØÝÔ Ö ÒÓØ Ò ÓÑ Ø Ò Ø Ø Ø Ô ÖØ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÙØ Ö Ø Ö ÓÑ Ø Ò
ÙÒ Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ô Ò Ò ÓÖ Ö Øµ ÌÝÔ Î ÐÙ Ò ËØ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò À ÐÐ Ì ÓÑ À ÐÐ Ö Ò Ñ Ö ¾ ¾¼¼¼ ØÖ Ø Ì Ô Ô Ö ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÛ À Ðг ØÝÔ Ð Ý Ø Ñ Ò Ù ØÓ ÜÔÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ º Ë Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÝÔ Ð Ú Ð Ö Ô Ö ÓÖÑ Ý Ø ØÝÔ
More informationÔ ØÙ Ø Ò Ø ÔÐ Ò º Ì ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ô Ò Ø ÔÖÓ ÙÖ Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø ÐÓÛÒ Ú ØÓÖ ØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Ò ØÓ Ø ÔÐ Ò º Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÔÐ Ý Ò ÑÔÓÖØ ÒØ
ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ô Ø ÓÒ Ó ÔÐ Ò Û Ú Ò ÓØÖÓÔ Ò Ò ÓØÖÓÔ Ú Ó Ð Ø Ñ ÎÐ Ø Ð Ú ÖÚ Ò Ý ½ Ò ÁÚ Ò È Ò ¾ ½ ÖÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÙÐØÝ Ó Å Ø Ñ Ø Ò È Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÔ Ý Ã Ã ÖÐÓÚÙ ½¾½ ½ ÈÖ ¾ Þ Ê ÔÙ Ð º ¹Ñ Ð Ú ÖÚ ÒÝ º ÖÐÓںѫºÙÒ ºÞ
More informationË ÓÑ Ò Ò ÝÒ Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Û Ø Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ËÝ Ø Ñ È ÖÖ Ö Ö ½ ¾ Ò ÇÐ Ú Ö Ë Ù ½ ½ ÙÐØ Ú Ø ÓÒ Ì» ÈÊ» Ë ÉÙ Å Ö Ð ÙÐØ ¾ ¾ Ëع ÐÓÙ Ü ¾ Ò Ñ ØÄ ÄÁÈ µ ÖÙ
Ë ÓÑ Ò Ò ÝÒ Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Û Ø Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ËÝ Ø Ñ È ÖÖ Ö Ö ½ ¾ Ò ÇÐ Ú Ö Ë Ù ½ ½ ÙÐØ Ú Ø ÓÒ Ì» ÈÊ» Ë ÉÙ Å Ö Ð ÙÐØ ¾ ¾ Ëع ÐÓÙ Ü ¾ Ò Ñ ØÄ ÄÁÈ µ ÖÙ Ù Ô Ø Ò ËÓØØ ¼½ È ÊÁË Ô ÖÖ º Ö Ö Ð Ô º Ö ÓÐ Ú Öº Ù
More informationÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ñ Ñ Ö Ó Ú Ò Ô ÓÖ Ù Ô µ Ú Ø Ñ Ò Ö Ð ØÙÖ ÓÒ Ø Ö Ó Ø Ô ØØ ÖÒº ÀÓÛ Ú Ö Ò Ú Ù Ð Ò Ñ Ð Ø ÓÛÒ Ø ÒØ Ñ Ö Ò º Ì Ô ØØ ÖÒ Ö ÒÓØ Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÐÐݺ Ì Ý
Ò Ñ Ð Ó Ø È ØØ ÖÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú ÐÝÒ Ë Ò Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ÓÖ Å ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ù Ù Ø ¾¼¼½ ÂÓ ÒØ ÛÓÖ Û Ø Ì ÓÑ Ï ÒÒ Ö ÍÅ µ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ñ Ñ Ö Ó Ú Ò Ô ÓÖ Ù Ô µ Ú Ø Ñ Ò Ö Ð ØÙÖ ÓÒ Ø Ö Ó Ø Ô ØØ ÖÒº ÀÓÛ
More informationLCNS, Vol 1767, pp , Springer 2003
Ø Ö Ü Ø ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Å Ü¾Ë Ø Â Ò Ö ÑÑ ÊÓÐ Æ ÖÑ Ö Ï Ð ÐÑ¹Ë Ö ¹ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò Ë Ò ½ ¹ ¾¼ ÌĐÙ Ò Ò º Ê Ôº Ó ÖÑ ÒÝ Ö ÑÑ Ò ÖÑÖ Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ ¹ØÙ Ò Òº ØÖ Øº Ú Ò ÓÓÐ Ò ¾ Æ ÓÖÑÙÐ Ø Å Ü¾Ë
More informationË Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÀÙÑ Ò Ä Ñ ÌÖ ØÓÖ Å Ö ÈÓÑÔÐÙÒ ½ Ò Å Âº Å Ø Ö ¾ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¼¼ à РËØÖ Ø ÌÓÖÓÒØÓ ÇÒØ Ö Ó
Ì ØÐ Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÀÙÑ Ò Ä Ñ ÌÖ ØÓÖ ÙØ ÓÖ Å Ö ÈÓÑÔÐÙÒ Ò Å Âº Å Ø Ö ÊÙÒÒ Ò Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙØ ÓÖ Å Ö ÈÓÑÔÐÙÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¼¼ à РËØÖ Ø ÌÓÖÓÒØÓ
More informationÖÖ Ý ÒÑ ÒØ Ø Ø Ñ ÒØ Ö Ö ÓÖ ÒÝ Ð Ø¹ Ò Ð Ñ ÒØ Ö ØÓÖ º ÖÖ Ý ÓÖ Ù Ø ÓÒ Ó ÖÖ Ý Ò Ô Ý Ù Ò ØÖ ÔÐ Ø Ù Ö ÔØ º ØÖ ÔÐ Ø Ô Ö Ò Ò Ø ÓÖÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ØÖ º Á
ÖÓÑ Ø ÈÖÓ Ò Ó Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò ÓÒ È Ö ÐÐ Ð Ò ØÖ ÙØ ÈÖÓ Ò Ì Ò ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ È ÈÌ ³ µ ËÙÒÒÝÚ Ð Ù Ù Ø ½ Ô Ò Ò Ò ÐÝ Ó ÓÖØÖ Ò ¼ ÖÖ Ý ËÝÒØ Ü Ö Ð ÊÓØ Ã Ò Ã ÒÒ Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ê ÍÒ Ú Ö ØÝ ÀÓÙ ØÓÒ
More information½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ê ÒØ Ö ÙÐØ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÐ ÒÒ Ö ½ Ú Ö Ø Ò¹ Ø Ö Ø ÓÖ Ù Ø Ð ÔÔÐ Ð ØÝ Ó Ø ÔÐ ÒÒ Ò ÔÔÖÓ ØÓ Ñ ÒÝ Ö Ð ÛÓÖÐ ÔÖÓ Ð Ñ º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ø ÔÖ
Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ë ÌÈÄ Æ ÓÖ ÔÐ ÒÒ Ò Û Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Å ÖÓ ÓÐ ØØ ËØ ÒÓ Å ÖÙ Ò Ð Ö Ó Å Ð Ò Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ð ËØÙ È ÖÙ Î Î ÒÚ Ø ÐÐ ¼ ½¼¼ È ÖÙ ÁØ ÐÝ ¹Ñ Ð Ñ ÖÓ ÒÓ Ñ Ð Ò ÔÑ ØºÙÒ Ô º Ø Ì Ðº ¹¼ ¹ º
More informationË Ø Ó ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÙÖ Û Û ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÒÙÑ Ö º ÁÒ ÓÑÔÙØ Ö Ò Û Ö ÓÒ ÖÒ Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÛ Ó Û Ú Ù Ø Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð Ì Û Ý ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ
Ð ØÝ ÄÓ Ò ÆÙÑ Ö Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ñ Ð ÖÐ Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÍÒ Ú Ö Ø Ä ÆÌ ¾¼½ ¹ Å Ö ÐÐ ÆÓÚ Ñ Ö ¾ ¹ Ñ Ö ¾ Ë Ø Ó ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÙÖ Û Û ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÒÙÑ Ö º ÁÒ ÓÑÔÙØ Ö Ò Û Ö ÓÒ ÖÒ Ý Ø ÕÙ
More informationÚ Ð Ð ÓÒÐ Ò Ø ØØÔ»» Ѻ Ö Ùº º Ö ÁÒغ º ÁÒ Ù ØÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÎÓк ÆÓº ¾¼½½µ ½ ½¹½ ½ Ê Ò Ò ÍÒ Ø Ò Ý Í Ò Ø ÎÓØ Ò ËÝ Ø Ñ Åº à ÒÑÓ ÑÑ Êº ÐÐ Ò µ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å
Ú Ð Ð ÓÒÐ Ò Ø ØØÔ»» Ѻ Ö Ùº º Ö ÁÒغ º ÁÒ Ù ØÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÎÓк ÆÓº ¾¼½½µ ½ ½¹½ ½ Ê Ò Ò ÍÒ Ø Ò Ý Í Ò Ø ÎÓØ Ò ËÝ Ø Ñ Åº à ÒÑÓ ÑÑ Êº ÐÐ Ò µ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ë Ò Ò Ê Ö Ö Ò Á Ð Ñ Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ð Ñ Ö ÁÖ Òº µ
More informationÌ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Á ÓÑÓÖÔ Ñ ÁÒ ÐÐ Ú ÓÑÓÖÔ Ñ Σ ½ ½ ÑÓÖ ÔÖ ÐÝ A B Ö ÓÑÓÖÔ : ( ØÖÙØÙÖ ¹ÔÖ ÖÚ Ò Ø ÓÒ) ÓÙÒØ Ð ØÖÙØÙÖ Ò Ó Ý Ö Ð Ø Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÑ Σ ½ ½ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ
Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Á ÓÑÓÖÔ Ñ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÖÓ ÐÐ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑÓÖÔ Ñº ÐÓ Ò Ø Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÔÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÀÓÛ ÓÑÔÐ Ü Ø ÓÑÓÖÔ Ñ Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ Û Ø ÓØ Ö ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ì Ò Û Ö ØÓ
More information1 The Multinomial logit
Ë ÑÔÐ Ò Ó ÐØ ÖÒ Ø Ú Ù Ò ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÐÝ Åº ÖÐ Ö º ÄÙ ÑÓ Å Ý ¾¾ ¾¼¼ Ê ÔÓÖØ ÌÊ ÆËȹÇÊ ¼ ¼ ¾¾ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Ò ÅÓ Ð ØÝ Ä ÓÖ ØÓÖÝ Ë ÓÓÐ Ó Ö Ø ØÙÖ Ú Ð Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ð Ò Ò Ö Ò ÓÐ ÈÓÐÝØ Ò ÕÙ Ö Ð Ä Ù ÒÒ transp-or.epfl.ch
More informationØ Ð ÙÒØÓÖ Ý Ð ÑÓÒ Á ÓÒ Ä Ö Ù Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ñ Ô Ó Ò Û Ø Ø ÃÐ Ð ÑÓÖÔ Ñ º Ì Ù Ø Ø ÓÖÝ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÑ Ø ÃÐ Ð Ø ÓÖÝ Ä Ö Á Ò Ø Ð ÙÒØÓÖ Ý Ð Ö
ÅÇÆ ÇÊ ÇÅ ÁÆË Æ ÇÌÀ Ê Ì ÇÊÁ Ë Ä Ë ÈÍÄÌÊ Æ ÆÆ ÌÇ Á Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó ÁÚ Ò Ê Ú Ð ØÖ Øº Ñ ÐÐ ÑÓ Ø ÓÒ Ó Î Ö ³ Ò Ø ÓÒ Ó ÓÒØ ÒÙ¹ ÓÙ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÐÐÓÛ ÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖÝ Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ ÈÇ µ
More informationIn Proceedings of 10th International Conference on Database and Expert Systems Applications (DEXA 2000), Greenwich, UK, September 4-8, 2000.
In Proceedings of 10th International Conference on Database and Expert Systems Applications (DEXA 2000), Greenwich, UK, September 4-8, 2000. LNCS Vol.????. pp.???-???. ÜØ Ò Ò Ø ÐÓ Û Ø Ð Ö Ø Ú ÍÔ Ø Å Ò
More informationÏ Ó ØÖ Ù ÛÓÖÐ Ý Ù Ð Ø Ö Ø ÓÖ Ð Ö Ð Ø Ú ØÓ Û ÆÈ ËÈ ÊË Ó ÓØ Ú ÓÑÔÐ Ø Ø º Å Ö ÌÓÖ ÅÌ Ú Ö Ð Ø Ú Þ Ð ÔÖÓÓ Ø Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ Ü Ø Ø ÆÈ ËÈ ÊË Ó Ú ÓÑÔÐ Ø
ÇÔØ Ñ Ð ÈÖÓÓ ËÝ Ø Ñ ËÔ Ö Ë Ø À ÖÖÝ Ù ÖÑ ½ ËØ Ú Ö ¾ Ä ÓÖØÓÛ Ø Ö Ú Å Ð Ý ½ ÏÁ ¾ Í Ú Ö ØÝ Ó ËÓ ÖÓÐ Í Ú Ö ØÝ Ó Ó Í Ú Ö ØÝ Ó Ó ÁÅ Ë ØÖ Øº Ï Ü Ø Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ Û Ö ÆÈ ËÈ ÊË Ó ÓÑÔÐ Ø Ø º Ì Ú Ø Ö Ø Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ
More informationß ¾ ß ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÖ Ò ÔÖÓØÓ Ø ÐÐ Ö ÓÐÐ Ô Û ÐÝ ÔØ ØÓ Ø ÔÖ Ñ ÖÝ Ñ ¹ Ò Ñ ÓÖ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ò ÖÝ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ö Ý Ø Ñ º º Ä Ö Ò Ö Ø Ðº ¾¼¼ Ò
ÓÐÐ Ô Ò Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÅÓÐ ÙÐ Ö ÐÓÙ ÓÖ º º Å Ò Ø Ö Ò Ó ÈÖÓÐ Ø Ò Ç Ð Ø ÓÖ º Ð Ò Èº Ó Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ì ÖÖ ØÖ Ð Å Ò Ø Ñ ÖÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ó Ï Ò ØÓÒ ¾ ½ ÖÓ Ö Ò ÊÓ ÆÏ Ï Ò ØÓÒ ¾¼¼½ ¹½ ¼ Ó ØѺ Ûº Ù ËÌÊ Ì Ì ÓÐÐ Ô Ò Ö
More informationÊ Ö Ò Ù Ä ÒÙÜ ÓÖ ØÖÓÒÓÑ Ö º º º ½º¾º Ï Ø Ä ÒÙÜ Ä ÒÙÜ ÍÆÁ ¹Ð ÖÒ Ð Ö Ø Ý Ä ÒÙ ÌÓÖÚ Ð º Ä ÒÙÜ ÖÒ Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ù Û Ø Ø ÆÍ»Ä ÒÙÜ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñº Ä ÒÙÜ Ø ÖÒ Ð
Ä ÒÙÜ ÓÖ ØÖÓÒÓÑ Ö Ô Ý Ø Ò Ò Ò Ö Ê Ö Ò Ù ÓÖ È ØÖÓÚ ÅÓÑ Ð Ú ÁÒ Ø ØÙØ Ó ØÖÓÒÓÑÝ Ò Æ Ç ÙÐ Ö Ò ÑÝ Ó Ë Ò ¹½ ËÓ Ô ØÖÓÚ ØÖÓº º Ñ Ú ØÖÓº º ËÙ Ñ ØØ ½ º½¼º¾¼½ ÔØ ¼¾º½¾º¾¼½ µ ØÖ Øº Ì ÓÒ Ö Ò Ø Ð ½ ÙÑÑ ÖÝ Ó Ö Ö Ò Ù
More informationÓÖ Ö ÛÓÖ Ò Ô Ö Ó ØÝ Ò Ø ÛÓÖ ÓÖ Ö Ø ÔÖÓÔ Ö ÔÖ Ü ÕÙ Ð ØÓ Ù Üº ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ Ö º Á ÛÓÖ ÒÓØ ÓÖ Ö Û Ý Ø ÙÒ ÓÖ Ö ÓÖ ÓÖ Ö¹ Ö º ÓÖ Ü ÑÔÐ ½¼ Ò = ½¼¼ ¼ Ö ÙÒ ÓÖ Ö
Ð Ò ÓÖ Ö ØÓÖ Ò Ô Ö Ó ØÝ Ñ Ð ÖÐ Ö ÂÓ ÒØ ÛÓÖ Û Ø Ì ÖÓ À Ö Ù ËÚ ØÐ Ò ÈÙÞÝÒ Ò Ò ÄÙ Ñ ÓÒ µ Ö Ø Å Ø Ñ Ø Ý ¹ Ä ¹ ¾¼½  ÒÙ ÖÝ Ø ÓÖ Ö ÛÓÖ Ò Ô Ö Ó ØÝ Ò Ø ÛÓÖ ÓÖ Ö Ø ÔÖÓÔ Ö ÔÖ Ü ÕÙ Ð ØÓ Ù Üº ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ Ö º Á ÛÓÖ
More informationÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ø Ò ÐÓ Ò Ù Ø Ð Ò Ö ÓÖ Ò ØÓ ÃÓÖ º Ì ÒØ Ð Ö ÓÒ Û Ý ØÖ Ø ÓÒ Ö Ù ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø Ø Ø ØÓØ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÙÑ Ó Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ò
ØÖ Ø ÓÒ Û Ø Ò È ÖØ Ð ÙØ ÓÒ ÓÖ Ä Ò Ö ÄÓ È Ô ÃĐÙÒ ÆÓÖÛ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ë Ò Ò Ì ÒÓÐÓ Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ë Ò Ô Ô ºÒØÒÙºÒÓ ØÖ Øº ØÖ Ø ÓÒ Ò Ù ÜØ Ò Ú ÐÝ Ò ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ ¹ Ò Áµ ÔÐ ÒÒ Ò ÙÑ Ò ÔÖÓ Ð Ñ
More informationPlot A. Plot B. Plot D. Plot C
Ï Ò Ó Ø ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ò ÙÒ Ø Ð ØÝ Å Ð ÅÓÐÐÓÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÌÓÖÓÒØÓ ÌÓÖÓÒØÓ Ò Å Ö ¼¼ ØÖ Ø Ï ØÙ Ý Ö Ò ÓÑ ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ò Ø Û Ð Ó ÑÓ Ð ÒØÖÓ Ù Ý Ø ÙØ ÓÖ Û ÒÐÙ Ú Ö ÓÙ ÓÖÑ Ó
More informationØ ÔÖ ÙÖ ØÝ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó ÙØ ÒØ Ø Ý Ø Ð Ñ Òغ Ë Ú Ö Ð ÓÒÖ Ø ÙÖ ØÝ Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò ØØÖ ÙØ Ú Ò ÒØ Ö Ð º Ì ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÙÖ ØÝ Ó Ð Ó Ý Ø Ð Ñ ÒØ ÔÖÓØÓÓÐ Ö ØÓ ÑÔÐ Ø
ÌÛÓ¹È ÙØ ÒØ Ø Ã Ý Ö Ñ ÒØ ÈÖÓØÓÓÐ Û Ø Ã Ý ÓÒ ÖÑ Ø ÓÒ ÓÝ ÓÒ ËÓÒ ÃÛ Ò Ó Ã Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Á ͵ ¹ ÀÛ Ñ¹ ÓÒ Ù ÓÒ ¹ Ù Ì ÓÒ ¼ ¹ ¾ ˺ ÃÓÖ Ý ÓÒ Ùº º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖÓÔÓ Ø Ö Ý Ö Ñ ÒØ ÔÖÓØÓÓÐ
More informationÒ Û ÑÓÒ ØÖ Ø ÒÝ ÓØ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ô ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø ÇÙÖ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ø ÒÓÛÒ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ØÓ ÓÐ Ò Ú ÖÝ Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ º Ì Ø Û ÑÓÒ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ð Ö Ð Þ
Ë Ô Ö Ð ØÝ Ò ÇÒ ¹Û Ý ÙÒØ ÓÒ Ä Ò ÓÖØÒÓÛ ÂÓ Ò ÊÓ Ö Ý ÂÙÐÝ ¾½ ¾¼¼¼ ØÖ Ø Ï ØØÐ ÐÐ Ö Ð Ø Ú Þ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ú ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ È ÆÈ È ÍÈ È ÆÈ ÓÆÈ ÐÐ Ó ÒØ Ô Ö Ó ÆÈ Ø Ö È¹ Ô Ö Ð º ÐÐ Ó ÒØ Ô Ö
More informationChapter 9. Trapezoidal Maps. 9.1 The Trapezoidal Map
Chapter 9 Trapezoidal Maps ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Û ÐÐ ÒÓØ Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ò ÓÑ Þ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò Ø ØÖ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ÛÓÖ º Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø Û ÐÐ Ú Ù Ò Æ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÐÚ Ò Ø Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ
More informationÓÖ Ø ÁÒØ Ð ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ðݺ Ê Ö Û ÒØ Ò Ò Ö Ð ÖÓÙÒ Ò Ñ Ð Ö ÔÖÓ Ö Ñ¹ Ñ Ò ÓÙÐ ÓÒ ÙÐØ ÔÔÖÓÔÖ Ø Ø ÜØ ÓÓ Ò ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ö Ö Ò Ñ Ò¹ Ù Ð ÔÙ Ð Ý ÁÒØ Ð Ò
ÒÙ Ñ Ð Ö Ì ÒÙ Ñ Ð Ö µ Ò ÓÔ Ò ÓÙÖ ¹ Ñ Ð Öº Ì Ñ Ð Ö ÒÐÙ Ø Ò¹ Ö Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ú Ð Ð ÓÖ ÓÛÒÐÓ ØÓ ÖÙÒ ÙÒ Ö Ï Ò ÓÛ º ÁØ ÔÖÓÚ ÙÔÔÓÖØ ÓÖ Ø Ò ØÖÙØ ÓÒ Ø Ó Ø Ó Ø Èͺ ÖÓ Ñ Ð Ö Ú Ö ÓÒ Ö Ð Ó Ú Ð Ð º Ì Ñ Ð Ö ÒÚÓ Ý Ø
More informationß ¾ ß ËÌÊ Ì ÌÓ Ò Ò Ø ØÓ Ø Ù Ó Ð Ñ ÒØ ÖÙÔØ ÓÒ Ò Ö ÓÒ Ø ÙÒ Û Ó ÖÚ Ð Ñ ÒØ Ø Ø ÖÙÔØ Ò Ø Ú Ö ÓÒ ÆÇ º Ì Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó À«ÐØ Ö Ö Ñ Ø Ø Ö Û Ú Ð Ò Ø Ð Ò ÒØ Ö
Ê Ô Ò Ò Å Ò Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ç ÖÚ ÓÖ Ð Ñ ÒØ ÖÙÔØ ÓÒ Ò ÁØ Ó Ø Ð Ö ÂÙÒ ¹ÀÓÓÒ Ã Ñ Àº ˺ ÙÒ Ë Ò ÛÓÓ Ä ØÖÓÒÓÑÝ ÈÖÓ Ö Ñ Ë ÓÓÐ Ó ÖØ Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ð Ë Ò Ë ÓÙÐ Æ Ø ÓÒ Ð ÍÒ Ú Ö ØÝ Ë ÓÙÐ ÃÇÊ ½ ½¹ ¾ Ñ ØÖÓº ÒÙº º Ö Ò ÂÓÒ
More informationÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¾ ¾º½ Ö Ø ÇÖ Ö ÅÓ Ð ÄÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÖ Ö Ò ÃÖ Ô ÅÓ Ð º
ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ ÜÔÓ ÒØ Ë Ñ ÒØ Ò Ò ËÄ ¹Ê ÓÐÙØ ÓÒ ÐÙÐÙ ÓÖ ÅÓ Ð ÄÓ ÈÖÓ Ö Ñ Ä Ò Ò Æ ÙÝ Ò Ò ÙÝ ÒÑ ÑÙÛº ÙºÔÐ ÌÊ ¼½¹¼¾ ¾ µ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼½ Ð Ø Ö Ú Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ µ ØÖ Ø Ï ÔÖÓÔÓ ÑÓ Ð ÐÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ
More informationÌ ÐÑÓ Ø ÓÑÔÐ Ø ÙÔÛ Ö ÓÐÐ Ô Ó ÈÀ ÓÛÒ ØÓ È ÆÈ ½ Ü ÔØ ÓÖ Ø Ô ØÛ Ò È ÆÈ Ò ÈÈ ÆÈ º ÐÓ Ò Ø Ô Ñ Ø ÓÒ Û Ø ÔÖÓÓ Ø Ø È ÆÈ ½ È ÆÈ ¾ ØØ µ ÈÈ ÆÈ È ÆÈ º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ô
ÇÒ Ø Ó Ú À ÖÖÝ Ù ÖÑ Ò ½ Ê Ö Ò ¾ Ò Ä Ò ÓÖØÒÓÛ ½ ÏÁ ² ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñº Ö ÏÁ ÁÆË ÈºÇº ÓÜ ¼ Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò º Ù ÖÑ ÒÛ ºÒк ¾ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å ÖÝÐ Ò ÐØ ÑÓÖ ÓÙÒØÝ
More informationÄÈ ÈÖÓ Ò ÓÖ È Û Ä Ò Ö ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ò Ë ÙÐ Ò Ö Ð Ò À Ò Ð Ë ÓÙØ Á ¹È Ö ÁÑÔ Ö Ð ÓÐÐ º ÄÓÒ ÓÒ ËÏ ¾ ÍÒ Ø Ã Ò ÓѺ ¹Ñ Ð ½½ Ô Öº º ºÙ ØÖ Øº ÙÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ô
ÄÈ ÈÖÓ Ò ÓÖ È Û Ä Ò Ö ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ò Ë ÙÐ Ò Ö Ð Ò À Ò Ð Ë ÓÙØ Á ¹È Ö ÁÑÔ Ö Ð ÓÐÐ º ÄÓÒ ÓÒ ËÏ ¾ ÍÒ Ø Ã Ò ÓѺ ¹Ñ Ð ½½ Ô Öº º ºÙ ØÖ Øº ÙÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ô Û Ð Ò Ö Èĵ ÓÔØ Ñ Þ ¹ Ø ÓÒ ÜØ Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð ÙÐ Ò Ý
More information¼ º Å Ø Öº Ë º Ì ÒÓк ÎÓк¾¾ ÆÓº ¾¼¼ Ö ÇÔØ ÈÖÓØ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÓÖ ÓÒÖ Ø ËØÖÙØÙÖ ÂºËºÄ Ò ½µÝ ºÀ Ñ ¾µ ºÏ ÒØ Ö ¾µ ʺ º ÖÒ ¾µ º ºÅ Ý ¾µ Ò º º ÖÒ Ò Ó ¾µ ½µ Ò
¼ Ö ÇÔØ ÈÖÓØ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÓÖ ÓÒÖ Ø ËØÖÙØÙÖ ÂºËºÄ Ò ½µÝ ºÀ Ñ ¾µ ºÏ ÒØ Ö ¾µ ʺ º ÖÒ ¾µ º ºÅ Ý ¾µ Ò º º ÖÒ Ò Ó ¾µ ½µ ÒØÖ ÓÖ ÓÑÔÓ Ø Å Ø Ö Ð À Ö Ò ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý À Ö Ò ½ ¼¼¼½ Ò ¾µ Ò Ò Ö Ò ËÝ Ø Ñ Ô ÖØÑ ÒØ
More informationdeactivate keys for withdrawal
Ù Ø Ð ÌÖ Ò Û Ø ÍÒÓÒ Ø ÓÒ Ð ÒÓÒÝÑ ØÝ ÒÒ Ã Ð Ö Ò ÀÓÐ Ö ÎÓ Ø Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÖÑ Ø Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ¹ ¾ ÖÑ Ø Ø ÖÑ ÒÝ ß Ù Ð Ö ÚÓ ØÐ º Ò ÓÖÑ Ø ºØÙ¹ ÖÑ Ø Øº ØÖ Ø Ï ÔÖ ÒØ Ò Û ÒÓÒÝÑÓÙ ÓÒ¹Ð Ò Ô ÝÑ ÒØ
More informationÅÓÖ Ö ÒØÐÝ ÓÑ ÔØ Ú Ð Ò Ô ÓÛÒ Ò Ò ÙØÖ Ð ØÝ Ð Ú Ð Ú Ò ÝÒØ Þ Ò Ø Ð Ó ÐÐÙÐ Ö ÙØÓÑ Ø µ ÕÙ ÒØ Ð ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¾ µ Ò Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ½ µº Å ÒÝ ØÒ Ð Ò Ô ÖÓÑ Ò Ø Ð Ó
ËÝÒØ Ø Æ ÙØÖ Ð ØÝ ÓÖ ÖØ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ È Ð ÔÔ ÓÐÐ Ö Å ÒÙ Ð Ð Ö Ù Ò Å Ð Ó Ò¹ÈÐ Ø Ð Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Ë ÆÊË ¹ ÍÆË ¾¼¼¼ ÖÓÙØ ÐÙ ÓÐ ¼ ½¼ ÓØ Ê Æ ¹Ñ Ð Ô Ð Ö Ù Ñ Ó Ò ºÙÒ º Ö ØÖ Øº Ê ÒØ ÛÓÖ Ò ÓØ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÓÖÝ Ò ÑÓÐ ÙÐ
More informationarxiv: v1 [q-fin.pr] 27 Oct 2009
arxiv:0910.5101v1 [q-fin.pr] 27 Oct 2009 ÇÔØ Ñ Ð Ô ÖØ Ð Ò Ò Ö Ø ¹Ø Ñ Ñ Ö Ø Ò Ô ÔÖÓ Ð Ñ È Ø Ö Ä Ò Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ó Ñ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÒÖ Ø Ò ¾¼ ¼¼ Ó ÒÐ Ò Ñ Ð ÔÐ Ò Ö Óº ØÖ Ø Ï ÔÖ ÒØ Ò Û ÔÔÖÓ ÓÖ ØÙ Ý Ò Ø ÔÖÓ
More informationØ ÑÔÐÝ Ù Ø Ø Ø Ø ÔÖÓÓ ÒÓÖÑ Ð Þ Ò Ø ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÖÝ ÔÖ ¹ÑÓ Ð Û Ð Ú Ö ÒØ Ó Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÔÖÓÓ º ÁØ ÛÓÖØ ÒÓØ Ò Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð ÒÓ
Ì ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ ÑÓ ÙÐÓ ÐÐ ÓÛ ÁÆÊÁ ¹ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ºÈº ½¼ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò º ÐÐ º ÓÛ ÒÖ º Ö ØØÔ»»ÐÓ Ðº ÒÖ º Ö» ÓÛ ØÖ Øº Ì ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó Ò Ú Ø Ø ¹ ÓÖÝ Û Ö Ø ÓÑÔÖ Ò ÓÒ Ñ Ö ØÖ Ø ØÓ ØÖ Ø Ð ÔÖÓÔÓ
More informationThe distin tive features of interval temp o ral logi s ψ ψ T ruth of fo rmulae is de ned over intervals (not p oints). ψ ψ
Ò ÓÔØ Ñ Ð Ø Ð Ù Ý Ø Ñ ÓÖ Ø ÐÓ Ó Ø ÑÔÓÖ Ð Ò ÓÖ ÓÓ ÓÚ Ö Ø Ö Ð Ò ÐÓ ÅÓÒØ Ò Ö Ò È ØÖÓ Ë Ð + Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Í Ò ÁØ ÐÝ + Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÖÑ ÓÐÓ Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Î ÖÓÒ ÁØ ÐÝ ÌÁÅ ¾¼½¾ Ä Ø
More informationGeneralized Substitutions and Stepped Surfaces
Generalized Substitutions and Stepped Surfaces Pierre Arnoux, Valerie Berthe, Damien Jamet To cite this version: Pierre Arnoux, Valerie Berthe, Damien Jamet. Generalized Substitutions and Stepped Surfaces.
More information1 http : //store.iteadstudio.com/images/produce/shield/shields/gpsshield/arduinogpsshield DS.pdf 2 http : //
Ä Ú Ö Ò ÈË Ò ËÅ˹ Ù ÌÖ Ò Ö Ø ØÙÖ ÓÖ Ò ÒØ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Ø ÓÒ ÖÓÙ Ã ÅÓÙ ÐÐÓ Ò Ñ Ù Ý ÍÒ Ú Ö Ø ÒØ ÓÔ Ö Ö Ë Ò Ð ØÖ Øº ÆÓÛ Ý Û ÒÓØ Ù ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÖÓÛØ Ò Ö Ê ¹ ÓÒ Ù Ñ ÒÐÝ ØÓ Ø Ö Ø ÖÓÑ Ø Ð Ò º Ì Ö ÓÖ Ø Ù ÙÖ Ô ÖÓÛ Ò
More informationØÖ Ø Ê Ù Ð ØÖ Ø ØÖ Ø Ø Ö Ñ Ò ØÓÖ Û Ø Ò ØÖÙØÙÖ Ö ÙÐØ Ó Ø Ñ ÒÙ ØÙÖ Ò ØÓÖݺ Ç Ø Ò ÐÐ ÐÓ Ò ØÖ Ø Ö Ñ Ò Û Ò Ø Ö ÒÓ ÔÔÐ ÐÓ Ò Ù Ò Ø ÔÔÐ ÐÓ Ò Ò Ø ØÖÙØÙÖ ³ ÜÔ Ø
Ö ÓÛÒ Ó Ê Ù Ð ËØÖ Ò À ÐÝ Ê ØÖ Ò Ì Ë Ø ÓÒ ËØ Ð Ï Ð ËÙ Ò È Ö Ë ÓÓÐ Ó Å Ò Ð Ò Ò Ö Ò Ì ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ËÓÙØ Ù ØÖ Ð ¼¼ Å Ý ¾¼¼ ËÙÔ ÖÚ ÓÖ ÈÖÓ º Î Ð Ö Ä ÒØÓÒ ÅÖ Á Ò ÖÓÛÒ ØÖ Ø Ê Ù Ð ØÖ Ø ØÖ Ø Ø Ö Ñ Ò ØÓÖ Û Ø Ò ØÖÙØÙÖ
More information½º»¾¼ º»¾¼ ¾º»¾¼ º»¾¼ º»¾¼ º»¾¼ º»¾¼ º»¾¼» ¼» ¼ ÌÓØ Ð»½ ¼
Ò Ð Ü Ñ Ò Ø ÓÒ ËÌ ½½ ÈÖÓ Ð ØÝ ² Å ÙÖ Ì ÓÖÝ ÌÙ Ý ¾¼½ ½¼ ¼¼ Ñ ß ½¾ ¼¼Ò Ì ÐÓ ¹ ÓÓ Ü Ñ Ò Ø ÓÒº ÓÙ Ñ Ý Ù Ø Ó ÔÖ Ô Ö ÒÓØ ÝÓÙ Û ÙØ ÝÓÙ Ñ Ý ÒÓØ Ö Ñ Ø Ö Ð º Á ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ñ ÙÓÙ ÓÖ ÓÒ Ù Ò ÔÐ Ñ ØÓ Ð Ö Ý Øº ÍÒÐ ÔÖÓ
More informationU xt +6U 2 x +6UU xx +U xxxx = 3U yy
ÙÐк ÓÑÔÙغ ÔÔк Å Ø º ÎÓк½ ¾¼½ ÛÛÛºÓÑÔ Ñ ºÓºÙ ºÚ ÁËËÆ ¾¾ ¹ ËÓÐÚ Ò Ø ÃÈÁ Ï Ú ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÅÓÚ Ò ÔØ Ú Å Ö Ö ÒÚ ÐÐ Ë Û ÐÐ ØÖ Ø Ì Ã ÓÑØ Ú¹È ØÚ Ú Ð Á ÃÈÁµ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÙÐØ ÒÓÒÐ Ò Ö Û Ú ÕÙ ¹ Ø ÓÒ U xt + 6U 2 x
More informationÄ Ü¹ÇÔØ Ñ Ð ÇÒ¹Ä Ò ÅÙÐØ Ð Ë ÙÐ Ò Û Ø À Ö Ð Ò ÖÙ À Ò È ÖÖ Ë Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÍÒ Úº Ó ÁÐÐ ÒÓ ÍÖ Ò ÁÄ ½ ¼½
Ä Ü¹ÇÔØ Ñ Ð ÇÒ¹Ä Ò ÅÙÐØ Ð Ë ÙÐ Ò Û Ø À Ö Ð Ò ÖÙ À Ò È ÖÖ Ë Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÍÒ Úº Ó ÁÐÐ ÒÓ ÍÖ Ò ÁÄ ½ ¼½ Ñ Ð ¹ Ô¹ Ö Ù Ùº Ù ÂÙÒ ¾¼¼¼ ØÖ Ø ÇÒ¹Ð Ò ÙÐ Ò Ó ÙÒ Ø¹Ð
More informationÑ Ò Ò Ð Û Ø ÓÑÔÐ Ü ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ø ÓÑ Ò Ö ÒØ Ò Ó ØÖÙØÙÖ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ó Ø Ò Û ÒØ Ñ Ø Ó Ø Ø Ò Ð Ø Ò ÐÝ Ø ØÓ ÕÙ ÒØ ÐÐÝ ÜØÖ Ø ÑÔÐ ØÖÙØÙÖ ÇÒ Ø
Ð Ñ ÒØ Ð Ë Ø Å Ø Ó Ò Ú ÍÒ Ö ØÝ Ù ½ Ñ Ò Ò Ð Û Ø ÓÑÔÐ Ü ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ø ÓÑ Ò Ö ÒØ Ò Ó ØÖÙØÙÖ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ó Ø Ò Û ÒØ Ñ Ø Ó Ø Ø Ò Ð Ø Ò ÐÝ Ø ØÓ ÕÙ ÒØ ÐÐÝ ÜØÖ Ø ÑÔÐ ØÖÙØÙÖ ÇÒ Ø Ø º Ò ½º ÁÒØÖÓ
More informationÊ ÓÚ Ö Ò ÅÓ Ð ÖÓÑ Ë ÒÒ Ø ÌÓÑ È Ð Î Ð Ú ÀÐ Ú Ò Ð Î Ö Ô Ð ÑÔº Ð ºÚÙØºÞ ÌÓÑ È Ð Ò Î Ð Ú ÀÐ Ú Ò Ò Ð Î Ö º Ê ÓÚ Ö Ò ÅÓ Ð ÖÓÑ Ë ÒÒ Ø º ÁÒ ÈÖÓº Î Ð ØÖÓÒ ÁÑ Ò Ò Ø Î Ù Ð ÖØ º Ð Ø ÞÙÖ ĐÓÖ ÖÙÒ Ò ¹ Û Ò Ø Ö ÁÒ ÓÖÑ
More informationThe global k-means clustering algorithm
The global k-means clustering algorithm Aristidis Likas, Nikos Vlassis, Jakob Verbeek To cite this version: Aristidis Likas, Nikos Vlassis, Jakob Verbeek. The global k-means clustering algorithm. [Technical
More informationÆ ÛØÓÒ³ Å Ø Ó ÐÓ Ì ÓÖÝ Ò ËÓÑ Ø Ò ÓÙ ÈÖÓ ÐÝ Ò³Ø ÃÒÓÛ ÓÙØ Ú º ÓÜ Ñ Ö Ø ÓÐÐ
Æ ÛØÓÒ³ Å Ø Ó ÐÓ Ì ÓÖÝ Ò ËÓÑ Ø Ò ÓÙ ÈÖÓ ÐÝ Ò³Ø ÃÒÓÛ ÓÙØ Ú º ÓÜ Ñ Ö Ø ÓÐÐ Ê Ö Ò ÃÐ Ò Ä ØÙÖ ÓÒ Ø ÁÓ ÖÓÒ Ì Ù Ò Ö ½ ËÑ Ð ÇÒ Ø Æ ÒÝ Ó Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÐÝ ÙÐк ÅË ½ ÅÅÙÐÐ Ò Ñ Ð Ó Ö Ø ÓÒ Ð Ñ Ô Ò Ø Ö Ø Ú ÖÓÓع Ò Ò Ð
More information¾ ÓÖÔÙ Ôк ÓÖÔÓÖ µ ÓÖÔÙ ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÜØ µ ÓÖ ÙØØ Ö Ò ½¼ Ø ÒÝ ½¼ Ö ÓÒ Ð ½¼ ½¾ ÙÖÖ ÒØ Ð Ð Ñ Ø ÓÖ ÙÒ ÒÒÓØ Ø Ø Ì ÑÓ Ø Ú ÐÙ Ð ÓÖÔÓÖ Ö Ø Ó Ø Ø ÓÙÖ Ò ØÙÖ ÐÐÝ
ÓÖÔÙ ÒÒÓØ Ø ÓÒ Ö Ð È ÒÒ Ë ¼½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÌÓÖÓÒØÓ ØØÔ»»ÛÛÛº ºØÓÖÓÒØÓº Ù» Ô ÒÒ» ¼½ ¾ ÓÖÔÙ Ôк ÓÖÔÓÖ µ ÓÖÔÙ ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÜØ µ ÓÖ ÙØØ Ö Ò ½¼ Ø ÒÝ ½¼ Ö ÓÒ Ð ½¼ ½¾ ÙÖÖ ÒØ Ð Ð Ñ Ø ÓÖ ÙÒ ÒÒÓØ Ø Ø Ì ÑÓ Ø Ú ÐÙ Ð
More information3D Interaction in Virtual Environment
3D Interaction in Virtual Environment Â Ò Ð Ö Ö ºÑÙÒ ºÞ ÙÐØÝ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø Å ÖÝ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÖÒÓ» Þ Ê ÔÙ Ð ØÖ Ø ÀÙÑ Ò¹ ÓÑÔÙØ Ö ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ô ÓÙÐ Ò Ð Ù Ö ØÓ ÒØ Ö Ø Ö ÐÝ Û Ø Ú ÖØÙ Ð Ó Ø º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ø Ñ
More informationÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËØ Ø Ø Ð Ò ÐÝ ÓÖ Ö Ø Ø Ô ÖØ Ù¹ Ð ÖÐÝ ÓÖ ÔÖÓ Ð ØÝ ÑÓ Ð Ù Ø ÒÓ¹ Ñ Ð ÈÓ ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð Ý ÒÓÛ Ú ÖÝ Û ÐÐ ÙÒ Ö ØÓÓ Û Ø Û ÐØ Ó Ù Ø Ð Ó Ø¹ Û Ö º
ÇÚ Ö Ô Ö ÓÒ Ò ÓÙÒØ Ø º Ⱥź º ÐØ Ñ ËØ Ø Ø Ð Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ö ÒØÖ ÓÖ Ø Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò Ï Ð Ö ÓÖ ÊÓ Ñ Ö ÇÏ ÍÃ Ü ÒÓ ¼½¾¾ ¹ º Ⱥ ÐØ Ñ Ø Ø Ð º Ѻ ºÙ Ë Ñ Ò Ö Ú Ò Ø ÅÊ Ó Ø Ø Ø ÍÒ Ø ÆÓÚ Ñ Ö ½ ¾¼¼¼º ½ ÁÒØÖÓ
More information¾ º Ï Åº È ÞÞ Ò Ò º ÐÐ Ù ½ µ Ä Ò Ð Ý Ò Ç Ð ÓÒ ½ µ Å ÞÓ Ù Ø Ðº ½ µ Ê ¹ Ö Ø Ðº ½ µ ËÐ Ñ Ò ½ µ Î ÒÄ Ò ½ ¾µ Ò ÓÙÒ Ò Ç³Ë ½ ½µ ÑÙ Ó Ø Ò Ø Ö Ó ØÙ ÒØ ÑÓ Ð Ò ½
Å Ò Ð ÖÒ Ò ÓÖ Ù Ö ÑÓ Ð Ò Ó«Ö Ý Áº Ï Ë ÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ ÐÓÒ Î ØÓÖ ¾½ Ù ØÖ Ð Å Ð Âº È ÞÞ Ò Ò Ò Ð ÐÐ Ù Ôغ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÓÖÒ ÁÖÚ Ò ÁÖÚ Ò Ð ÓÖÒ ¾ ÍË ÈÖ ÔÙ Ð Ø
More informationÒ Ø ÓÒ ÃÒÓØ ÃÒÓØ Ò Ê Ñ Ø Ö ÑÓÚ Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ë ½ ÒØÓ Ê Ö ÐÐ ÒÓØ º Ì ØÛÓ ÒÓØ Ã ½ Ò Ã ¾ Ö Ö Ö ØÓ Ø Ñ ÓÒ Ò ÑÓÚ ÒØÓ Ø ÓØ Ö º º Ø Ö Ö ÒØ Ð µ Ñ ÐÝ Ó ÒÓØ Ô Ö
ÃÒÓØ ÒÚ Ö ÒØ ÐÓÛ Ñ Ò ÓÒ Ð ØÓÔÓÐÓ Ý Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ö Ê ÒÝ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ù Ô Ø ÂÙÒ ½ ¾¼¼ Ò Ø ÓÒ ÃÒÓØ ÃÒÓØ Ò Ê Ñ Ø Ö ÑÓÚ Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ë ½ ÒØÓ Ê Ö ÐÐ ÒÓØ º Ì ØÛÓ ÒÓØ Ã ½ Ò Ã ¾ Ö Ö Ö ØÓ Ø Ñ ÓÒ Ò ÑÓÚ ÒØÓ
More information½µ ÓÖ È µ Ô ÛÒ Ò Ò Ø Ò Ó ÔÖÓ È ÓÖ ÓÙÖÖ Ò Ó ÙÖÖ ÒØÐÝ Ò Ø Ø Ô ¾µ ÒÓØ Ý È µ ÔÖÓ Ù Ð Ø Ò Ö Ø Ø Û ÒÓØ Û Ø ÓÒ È µ Û Û ÐÐ Ô ÛÒ Ò Ò Ø Ò Ó È Ø Ñ Ò Û ÔÖÓ Ù µ ÑÓ
ËØ Ø ¹ Ò Ú Òع Ê Ø Ú ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ò Ë Ö Ø Ô Æ Ù ½ ÒØÓÒÝ ÊÓÛ ØÖÓÒ ¾ Ò ÒÐÙ Ú ØØ ÖÓ ½ ½ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ë ÒÞ ÐгÁÒ ÓÖÑ Þ ÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÓÐÓ Ò È ÞÞ ÈÓÖØ Ëº ÓÒ ØÓ Á¹ ¼½¾ ÓÐÓ Ò ÁØ Ðݺ ¹Ñ Ð Ù Þ Ú ØØ Ö ºÙÒ Óº Ø ¾ Å ÖÓ Ó
More informationÇÙØÐ Ò È Ý Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÓÙ Æ ÙÐ ÄÓÛ¹ Ò ØÝ Ð Ñ Ø À ¹ Ò ØÝ Ð Ñ Ø Ü ÑÔÐ ÜØ ÒØ ÓÒ ØÓÛ Ö ÐÑ Ö Ö Ñ ÒØ Ò
ÜØ ÒØ ÓÒ Ò Æ ÙÐ Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ò Å ÖÓÕÙ Ö Ë Ø Ò È Ö Þ Åº Ã Ø Ö Ò ÐÙÒ ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÜ ÓÖ ØÖÓÔ Ý ÆÓÚ Ñ Ö ¾ ¾¼¼ ÇÙØÐ Ò È Ý Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÓÙ Æ ÙÐ ÄÓÛ¹ Ò ØÝ Ð Ñ Ø À ¹ Ò ØÝ Ð Ñ Ø Ü ÑÔÐ ÜØ ÒØ ÓÒ ØÓÛ Ö ÐÑ Ö Ö Ñ ÒØ
More informationFibonacci Overview. 1 Motivation. 2 Preliminary Ideas. 2.1 Common Definitions. 2.2 Fibonacci Numbers Defined
Fibonacci Overview ÐÐ ÏÙÖØÞ 1 Motivation ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ËÙÔÔÓ Ò ÛÐݹ ÓÖÒ Ô Ö Ó Ö Ø ÓÒ Ñ Ð ÓÒ Ñ Ð Ö ÔÙØ Ò Ð º Ì Ö Ø Ö Ð ØÓ Ñ Ø Ø Ø Ó ÓÒ ÑÓÒØ Ò Ø Ý Ú ÖØ ØÓ Ñ Ð ¹ Ñ Ð Ô Ö Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÑÓÒØ º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ØÛÓ
More informationÅÓ Ø Ü Ø Ò ÖÓ ¹ÓÚ Ö Ö ÓÙÖ ÔÖÓÚ ÓÒÐÝ ÐÐÓÛ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ñ ÒØ ÇÚ ÖÚ Û ÛÓÖÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÙÖ Û Ø Ö ÝÒØ Ø Ò ¹ Ê Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ º Ñ ÒØ ÅÙ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö
à ÔÔ Ö Ë ÙÐ Ö Ã Ö Ò ÔÔ ÖÐ Òº ºÙÔ ÒÒº Ù Î Ö Æ Ø ÜØ Ò ÓÒ Ò Ñ ÔÔ Ò ØÓ ÓØ Ö Ð Ü Ð Ö ÓÙÖ ÂÙÒ ¾ Ø ¾¼¼ ÅÓ Ø Ü Ø Ò ÖÓ ¹ÓÚ Ö Ö ÓÙÖ ÔÖÓÚ ÓÒÐÝ ÐÐÓÛ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ñ ÒØ ÇÚ ÖÚ Û ÛÓÖÐ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÙÖ Û Ø Ö ÝÒØ Ø Ò ¹
More informationTCP SOURCE TCP DESTINATION
ÆÓÚ Ð Ð Ý Ã Ø Ò ÕÙ ÓÖ ÑÔÖÓÚ Ò Ì È Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò ÑÙÐØ ÓÔ Û Ö Ð Ò ØÛÓÖ Ø Ò ÐØÑ Ò ÁÆÊÁ È ¾¼¼ ÊÓÙØ ÄÙ ÓÐ ¼ ¼¾ ËÓÔ ÒØ ÔÓÐ Ü Ö Ò Ñ Ð ÐØÑ Ò ÓÔ º ÒÖ º Ö Ì Ð µ ¾ Ü µ ¾ º Ì Ò Â Ñ Ò Þ º ºËºÁºÅºÇº ÙÐØ ÁÒ Ò Ö ÍÒ Ú Ö
More informationR E S E A R C H R E P O R T I D I A P
R E S E A R C H R E P O R T I D I A P ËÇŹ ÐÙ Ø Ö Ò ÓÖ ÇÒ¹Ð Ò Ö Ù Ú ÓÖ Ð Ø ÓÒ ËØÙ Ý Î Ò ÒØ Ä Ñ Ö Á Á ÈßÊÊ ¼¾¹ ¼ ÂÙÐÝ ¾¼¼¾ Ö Ð ÖÓØ ØÓ ÔÔ Ö Ò ÙÞÞÝ ËÝ Ø Ñ Ò ÃÒÓÛÐ ÓÚ ÖÝ Ëà µ ¾¼¼¾ Ð Ð Å Ó Ð Ð Á Ò Ø Ø Ù Ø Ó
More informationÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÐÓ ÙÖ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ ÓÒØ Üع Ö Ö ÑÑ Ö Å ÖÙ Î Ò Ù Å Ò Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁÎ Ë Ë ÔØ Ñ Ö ¼ ¾¼½ ÑÚÑÖ ÒºÙ Ô º Ö Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ ÙÒ Ú º Ùº Ö Å ÖÙ Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁ
ÄË ¾¼½ Å ÖÙ Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁÎ Ë µ ÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ë ÔØ Ñ Ö ¼ ¾¼½ ½» ÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÐÓ ÙÖ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ ÓÒØ Üع Ö Ö ÑÑ Ö Å ÖÙ Î Ò Ù Å Ò Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁÎ Ë Ë ÔØ Ñ Ö ¼ ¾¼½ ÑÚÑÖ ÒºÙ Ô º Ö Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ ÙÒ Ú º Ùº Ö Å ÖÙ Ê
More informationÓÖÑ Ð ÓÒ ÔØ Ò ÐÝ Ò Ö Ö ÓØ ÖÛ ØÓ Ò ØÓ ÔÖÓ Ò Ó Ô Ø Á Ë ÓÒ Ö Ò º Ì Ö Ö Ö Ð Ø ÔÔÖÓ ØÓ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñº ÓÖ Ò Ø Ò Ø ÓÒ ÔØ Ó Ú ÖØÙ Ð ÓÐ Ö Û ÒØÖÓ Ù Ò ÔÖÓ Ö Ñ
Å ß ÓÒ ÔØÙ Ð Ñ Ð Å Ò Ö Ê Ö ÓÐ ½ Ö ËØÙÑÑ ¾ ½ Ë ÓÓÐ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý Ö ÆØ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÓÐ Ó Ø ÑÔÙ ÈÅ ¼ ÓÐ Ó Ø Å Ð ÒØÖ ÉÄ ¾ Ù ØÖ Ð ÖºÓÐ Ùº Ùº Ù ¾ Ì Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÖÑ Ø Ø Ö Å Ø Ñ Ø Ë ÐÓ ÖØ Ò ØÖº ß ¾ ÖÑ Ø
More informationÌ ÐÓÛ Ò Ö Ý Ð Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ä Ì Ë Û Ú Ý Ó ÖÚ Ò Ò Ö Ý ÓØ Û Ø Û Ö Ø Ð Ò È Ø Ðº ¾¼¼¼ µº Ï Ø Û Ö Û Ø «Ø Ú Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ø Ö Ø Ò ¾¼¼¼¼ Ã Ò Ô ÓØÓ Ô Ö ÓÑÔÓ Ó ÔÙÖ
ÁÒ¹ Ø «Ø Ú Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ö ÐÓÛ Ò Ö Ý ØÖ Ò Ñ ÓÒ Ö Ø Ò Ô ØÖÓÑ Ø Ö ÖÓÒ È ½ Â Ö ÑÝ Âº Ö ½ Î Ò Ý Ã Ý Ô ½ À ÖÑ Ò Äº Å Ö ÐÐ ¾ Ö Äº Ê «Ù ½ È Ø Ö Ïº Ê ØÞÐ «½ Ö ÓÖ Âº Ï Ö Ð Ò ½ ½ ËÑ Ø ÓÒ Ò ØÖÓÔ Ý Ð Ç ÖÚ ØÓÖÝ
More informationÇÒ Ø ÈÓÛ Ö Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ë Ö Ø Ë Ö Ò Îº Î ÒÓ ½ ÖÚ Ò Æ Ö Ý Ò Ò ¾ ú ËÖ Ò Ø Ò ¾ Ò º È Ò Ù Ê Ò Ò ¾ ½ Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Å Ù ØØ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý
ÇÒ Ø ÈÓÛ Ö Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ë Ö Ø Ë Ö Ò Îº Î ÒÓ ½ ÖÚ Ò Æ Ö Ý Ò Ò ¾ ú ËÖ Ò Ø Ò ¾ Ò º È Ò Ù Ê Ò Ò ¾ ½ Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Å Ù ØØ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ñ Ö Å ¼¾½ ÍË º ¾ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò Ò Ò Ö Ò
More informationAbiteboul. publication x author. citation title date 2000 Suciu Data on the Web Buneman
ËÔ Ø Ð ÄÓ ÓÖ ÉÙ ÖÝ Ò Ö Ô ÄÙ Ö ÐÐ È Ð ÔÔ Ö Ò Ö Ò ÓÖ Ó ÐÐ ½ ØÖ Øº Ï ØÙ Ý Ô Ø Ð ÐÓ ÓÖ Ö ÓÒ Ò ÓÙØ ÐÐÐ Ö Ø Ö Ô Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÓ ØÓ ÔÖÓÚ ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù ÓÖ Ò ÐÝ Ò Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ø Ò Ù Ö Ô º Ï Ú Ö Ô Ö ÔØ ÓÒ Ù Ò ÓÒ
More informationÎ Ö Ð X C = {x 1, x 2,...,x 6 }
º ÓÙ ÖÝ Ë Ù¹Û ¹Ö µ ÖØ À ÐÐ ÊÓÓÑ ¼ Ú ÖÝ º º ÓÙ ÖÝ ½ Å Ö ½ ¾¼½½ Ì ØÐ ÙØ ÓÖ ÈÖÓº È ÐØ Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÒ ØÖ ÒØ Ó Ö Ò Ò ËÈ Ê Ò Âº¹ º ½ Á ¾ Ó ÓÒ ØÖ ÒØ ÈÖÓ Ò ÓÙÒ Ø ÓÒ ËÔÖ Ò ¾¼½½ Ë ¾½» ¾½ ÛÛÛº ºÙÒк Ù» ¾½ ÓÙ
More informationÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ ÔÓ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ú ÒØ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ö ÔÖ Ú ÓÙ Ðݺ ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó ÓÙÖ Ø ÓÖ Ñ Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ö Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ö Ò Û Ò º
Ò ÕÙ ÒØ Ð ÓÖÖ ØÒ Ò Ö ¹Ñ ÑÓÖÝ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ð ÖØ ÔÐ Ò ¹Ñ Ð ÔÐ Ò ÖÑ º ÒÔº Ö ÊÅÁ Ë Ê Ö Ê ÔÓÖØ ¹½ ½ ÇØÓ Ö ½ ØÖ Ø Ì Ö Ö Ö ÔÓÖØ Ö Ò Û ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ØÓ ÔÖ Ú ÓÙ Ô Ô Ö Û Û ÐÐ Ú ÐÝ Ö Ö ØÓº ÅÓ Ø Ó Ø Ö ÙÐØ Û Ö Ú Ö
More informationZ=102 Z= Z=98 Z= Z=94 Z=92
ÎÓк ¼¼ µ Ì ÈÀ ËÁ ÈÇÄÇÆÁ ÆÓ ÇÄÄ ÌÁÎ ÉÍ ÊÍÈÇÄ ÁÌ ÌÁÇÆË Ç ÌÊ ÆË ÌÁÆÁ ÆÍ Ä Á ú ĺ ÈÖ Ò Ãº ÈÓÑÓÖ ÁÒ Ø ØÙØ Ó È Ý Å Ö ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ÍÒ Ú Ö ØÝ Èк ź ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ½ ¼¹¼ ½ ÄÙ Ð Ò ÈÓÐ Ò Ëº º ÊÓ ÓÞ Ò Âº ËÖ ÖÒÝ ÙÐØÝ
More informationÈÓ ÓÚ Ò º Æ ÔÖÚ Ù Ù ÚÓ ÓÚ Þ Ó ØÖÔ Ð Ú ÔÖ Ò Ú Ò Ø ØÓ ÔÖ º Ð Ù ÚÑ ÖÓ óñ Ô Ø ÐóÑ Þ ØÓÐ Ö Ò ØÖÔ Ð ÚÓ Ø Ñ Ô Ò Ø ØÓ ÔÖ º
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ Ã ÄýàËÃý ÈÊý ÎÓ Ø ÌóÑ Ö ÚÒÓ Ø Ö ó Ò ÔÐÓ Ã Ø Ö ÔÐ ÓÚ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ý Î ÓÙ Ð ÔÖ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ËØÙ Ò Ó ÓÖ Å Öº ÚÓ Ò È º º ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó Ò Ò ÓÖÑ Ø ÈÖ ¾¼½½ ÈÓ ÓÚ Ò º Æ
More informationÅ Ø Ó ØÓ Ú ÐÙ Ø ÝÒÑ Ò ÒØ Ö Ð Ò ÐÝØ Ð ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ò ÐÝØ Ð
ÅÓ ÖÒ Ì Ò ÕÙ ÓÖ ÅÙÐØ ¹ÄÓÓÔ ÐÙÐ Ø ÓÒ ÎÐ Ñ Ö º ËÑ ÖÒÓÚ Ë Ó ÐØ ÝÒ ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÆÙÐ Ö È Ý Ó ÅÓ ÓÛ ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÙÖ Ì ÓÖ Ø Ì Ð ÒÔ Ý Ã ÖÐ ÖÙ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ã ÖÐ ÖÙ ÃÁÌ ÆÓÚ Ñ Ö ¾ ¾¼½ Å Ø Ó ØÓ Ú
More informationThe Enigma machine. 1 Expert teams 25 mins. 2 Mixing the teams 30 mins. 3 Coding and decoding messages 1 period
The Enigma machine ¼ The Enigma machine Time frame 2 periods Prerequisites : Å Ò ÖÝÔØÓ Ö Ô Ø Ò ÕÙ Objectives : ÓÚ Ö Ø ÛÓÖ Ò Ó Ø Ò Ñ Ñ Ò º ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ Ð Ø Ó Ö Ý Ø Ñ Ò º Materials : 6 ÓÔ Ó Ø Øº 6 3
More informationÁÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ó ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ø Ñ Ø Ý ØÛÓ Ü ÑÔÐ ½º ÐÙÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Q.½ Î ¾º ÒÐÙ Ú Ø Ö Ø Ó dσ dp T ½. Ì Îµ/ dp dσ T ½. ¼ Ì Îµ Ì ØÛÓ Ü ÑÔÐ Ö ÐÓ ÐÝ ÓÒÒ Ø
Ì É º½ È Ò ÐÝ Âº ÈÙÑÔÐ Ò º ËØÙÑÔ ÏºÃº ÌÙÒ Âº ÀÙ ØÓÒ ÅË͵ ˺ ÃÙ ÐÑ ÒÒ Âº ÇÛ Ò Àº Ä Èº Æ ÓÐ Ý ÏÓÖ Ò ÈÖÓ Ö ½º Ì Ò Ð ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ ØÓ Ø Ì É Ò ÐÝ Ö ÐÙÐ Ø Ã¹ ØÓÖ ÐÓÒ ÒÚ ØÓÖ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ Ô Ò Ò ØÙ Ý ¾¼
More informationspike splinter spire spindle spear
Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ËØÙ Ý Ó ËÐ Ú Ö ÜÙ Ø ÓÒ À Ö ÖØ Ð ÖÙÒÒ Ö Ý Ò ÑÖÓÒ ÙÓÝ Þ ØÖ Ø Ï ÔÖ ÒØ Ö ÙÐØ ÓÒ ØÛÓ¹ Ø Ô ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ó Ñ ÕÙ Ð ØÝ Ò Ø Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ º Ì Ö Ø Ø Ô Ö Ò Ø ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò
More informationØ ÓØ Ö Ò Ø ÑÙÐØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÔÔÖÓ Ø Ò ØÓ ÒØÖÓ Ù Ò ÓÚ Ö Ù ØÓ Ø Ò Ó ÒÓ Ò Ú Ö Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ú Ö ÓÙ ÄÇ Û ÐÐ Ø Ô ÖØ Ð ÓÖ Öº Ì ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÑÙÐØ Ö ÓÐÙØ
Ê ÔÖ ÒØ Ò Î ÖØ Ü¹ Ë ÑÔÐ Ð ÅÙÐØ ¹ ÓÑÔÐ Ü Ñ ÒÙ Ð ÒÓÚ ÖÓ Ä Ð ÐÓÖ Ò È ÓÐ Å ÐÐÓ ÒÖ Ó ÈÙÔÔÓ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ë Ò ÁËÁµ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÒÓÚ Î Ó Ò Ó ½ ½ ÒÓÚ ¹ ÁØ ÐÝ ÒÓÚ ÖÓ ÐÓ Ñ ÐÐÓ ÔÙÔÔÓ ºÙÒ º Ø ØØÔ»»ÛÛÛº
More informationÄÓ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ì Ò Ò Ö Ò ÐÐ Ò ÏÓÐ Ò Ì ÓÑ ÊÏÌÀ Ò Ä Ö ØÙ Ð ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÎÁÁ ¾¼ Ò ÖÑ ÒÝ Ø ÓÑ Ò ÓÖÑ Ø ºÖÛØ ¹ Òº ØÖ Øº Ì Ý Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÖÓÐ Û ÐÓ ÔÐ Ý Ò Ò
ÄÓ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ì Ò Ò Ö Ò ÐÐ Ò ÏÓÐ Ò Ì ÓÑ ÊÏÌÀ Ò Ä Ö ØÙ Ð ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÎÁÁ ¾¼ Ò ÖÑ ÒÝ Ø ÓÑ Ò ÓÖÑ Ø ºÖÛØ ¹ Òº ØÖ Øº Ì Ý Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÖÓÐ Û ÐÓ ÔÐ Ý Ò Ò ÔÐ Ý Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò º Ï Ö ÐÐ Ø Ó Ú ÓÙ Ñ Ö Ø Ó Ñ Ø Ñ Ø¹
More informationÌ Ø ÓÖ Ø ÓØÓÖ Ó È ÐÓ ÓÔ Ý Ö Ý Å Ö Ò Ö ÓÒ Å ÐÐ Ö Ò ÔÔÖÓÚ Ý ËØ ÒÐ Ý º È ÝÒ Ï ÐÐ Ñ º ÖÓÛ ØÞÓ ËÝÐÚ º ÀÓ ÖØ Âº Ê Ö ÄÙÒ Ö Ò Ï ÐÐ Ñ Âº ÏÓÐ Ø
Æ Ê ÄÁ ÉÍ Ê Æ Ä Ë Ç ÇÊ Ê Ë Ì µ ÏÁÌÀ Ë Ì ¾ Ý Å Ö Ò Ö ÓÒ Å ÐÐ Ö ºËº º ÂÓ Ò ÖÓÛÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ½ ź˺ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÓÐÓÖ Ó Ø ÒÚ Ö ½ Ø Ù Ñ ØØ ØÓ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÓÐÓÖ Ó Ø ÒÚ Ö Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ
More informationÓÒØ ÒØ ¾
ÉÙ Ø ÓÒ Ì È Ð ÐÔ Ð ÓÙÖØ ÒÒÙ Ð À Ë ÓÓÐ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÓÒØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó È ÒÒ ÝÐÚ Ò Å Ö ¾¼¼½ ÓÒØ ÒØ ¾ È ÖØ Á ÉÙ Ø ÓÒ ½ ¹ Ï Ò Ø ÒÙÑ Ö ¾ ÑÙÐØ ÔÐ Ý Ø ÔÖÓ ÙØ ¾ ¾ º ÆÓØ Ø Ø Ø Ö Ø ÓÙÖ Ø Ö Ø Ñ Ø Ð Ø ÓÙÖ Ø ¾ Ò ¾ µº
More informationc(1) = 4 c(2) = c(1) 3 = 12 c(3) = c(2) 3 = 36 c(4) = c(3) 3 8 = 100
ÇÒ Ð ¹ ÚÓ Ò Û Ð Å Ö ÐÐ ÓÙ Õ٠عŠÐÓÙ ÆÊË Ä ÊÁ ÓÖ ÙÜ Ö Ò ØØÔ»»ÛÛÛºÐ Ö º Ö» ÓÙ ÕÙ Ø ÇÙØÐ Ò Áº Ë Ð ¹ ÚÓ Ò Û Ð Ë Ïµ Ò Ö Ð Ø ÔÖ Ø ÓÒ Ò Ö ÙÐØ ÁÁº ËÓÑ Ü ØÐÝ ÓÐÚ Ð ÑÓ Ð Ó Ë Ï ÁÁº¼ ØÓÝ ÑÓ Ð È ÖØ ÐÐÝ Ö Ø Û Ð ÁÁº½
More informationUppsala University. Access to the published version may require subscription.
Uppsala University This is an accepted version of a paper published in Physics Education. This paper has been peer-reviewed but does not include the final publisher proof-corrections or journal pagination.
More informationËÔ Ó ÓÙÒ Ó ÓÜÝ Ò Ò ÙÔ ÖÖ Ø Ð Ø Ø ÙÔ ØÓ ¼¼ Ã Ò ½¼¼ ÅÈ Ö Ø Ó Àº Ù Ö Å Ö Ù Ê ÔÓÐ ÐÑ Ö ÙÑ Ö Ò Â Ö Ò ÎÖ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ò Ö Ý Ì ÒÓÐÓ Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó È Ö ÓÖÒ ÖÑ
ËÔ Ó ÓÙÒ Ó ÓÜÝ Ò Ò ÙÔ ÖÖ Ø Ð Ø Ø ÙÔ ØÓ ¼¼ Ã Ò ½¼¼ ÅÈ Ö Ø Ó Àº Ù Ö Å Ö Ù Ê ÔÓÐ ÐÑ Ö ÙÑ Ö Ò Â Ö Ò ÎÖ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ò Ö Ý Ì ÒÓÐÓ Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó È Ö ÓÖÒ ÖÑ ÒÝ ¹Ñ Ð Ö ÒºÚÖ ÙÒ ¹Ô Ö ÓÖÒº È ÓÒ ¹ ¾ ½» ¼¹¾ ¾½º Ü ¹
More informationÓ ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÔÐ Ò Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò Ë ÓÓÐ Ð ØÙÖ ÒØÖÓ Ù Ø ÖÓÙØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö ÓÑÑÓÒ ÔÔÖÓ ØÓ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ì Ð ÓÖ Ø Ñµ ÓÖ ÓÖØ Ø¹Ô Ø ÖÓÙØ Ò º ØÖ ³ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Æ ØÛÓÖ Ò Ð ØÙÖ ¼ ÊÓÙØ Ò Å ØØ Û ÊÓÙ Ò
More informationInterval temp o ral logi s ψ ψ T ruth of fo rmulae is de ned over intervals (not p oints). ψ ψ
ÇÔØ Ñ Ð Ì Ð Ù ËÝ Ø Ñ ÓÖ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Æ ÓÖ ÓÓ ÄÓ ÓÚ Ö ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ä Ò Ö ÇÖ Ö Ú Ö ÓÐ Ò Ò ÐÓ ÅÓÒØ Ò Ö È ØÖÓ Ë Ð Ò Ù Ó Ë Ú Ó Ô ÖØ Ñ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Í Ò ÁØ ÐÝ Ò ÐÓºÑÓÒØ Ò Ö ÙÒ Ù º Ø Ì
More informationÒÒ Ú Ö Ö Ø ½ ÁËÅȵ ¼Ø Ó Ø ÑÔÐ Ü Ñ Ø Ó ¼Ø Ó Ã ÒØÓÖÓÚ ³ ½ Ô Ô Ö Å Ø Ñ Ø Ð Å Ø Ó Ò Ø ÇÖ Ò Þ Ø ÓÒ Ò ÈÐ ÒÒ Ò Ó ÈÖÓ ÙØ ÓÒ ¼Ø Ó ¼Ø Å Ø Ñ Ø Ð ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ËÝÑÔÓ
Ì Ñ ÒÝ Ø Ó Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Å Ð Âº ÌÓ Ë ÓÓÐ Ó ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö Ò ÁÒ Ù ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÓÖÒ ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÁØ Æ Ñ ØÓ ºÓÖÒ Ðк Ù ØØÔ»»ÛÛÛºÓÖ ºÓÖÒ Ðк Ù» Ñ ØÓ» ÁËÅÈ ØÐ ÒØ Ù Ù Ø ½¼ ¾¼¼¼ ½ ÒÒ Ú Ö Ö Ø ½ ÁËÅȵ ¼Ø Ó Ø
More informationÇÙØÐ Ò ½ ¾ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò ³ Ü Ø Ø Ø Ì ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ô ÓÔغµ È Ö ÓÒ Ò ËÔ ÖÑ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ò
Æ ÙÝ Ò Ì ÌÙ Î Ò ½ Æ ÙÝ Ò ÉÙ Ò Î Ò ¾ ½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ò È ÖÑ Ý Ó ÀÓ Å Ò ØÝ ¾ Æ ÙÝ Ò ÌÖ È ÙÓÒ ÀÓ Ô Ø Ð ÂÁ ÔÖÓ Ø ¹ Ù Ù Ø ¾¼½ ÇÙØÐ Ò ½ ¾ ØÖ ÙØ ÓÒ ² Ì Ò ÐÝ Ó Ö ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø χ ¾ ËØ Ø Ø ÐÙÐ Ø Ò Ô Ú ÐÙ Ò
More informationÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÒÙÔÐÓØ Û ÒØÔ ¹Ñ Ø Å Ø Ñ Ø ÓÖ Å ÔÐ Ë Ð Ã ØÔ Í Ò ÓÑÔÙØ Ö Ó ØÛ Ö ÓÖ Ø Ò Å Ø Ò ËØ Ø Ø ÃºËÞ ÓÛ Ò Åº Ù Ë Ôº ¾¼¼ Ø ÏÖÓÐ Û
Í Ò ÓÑÔÙØ Ö Ó ØÛ Ö ÓÖ Ø Ò Å Ø Ò ËØ Ø Ø ÃºËÞ ÓÛ Ò Åº Ù Ë Ôº ¾¼¼ Ø ÏÖÓÐ Û ØÖ Ø ÖÓÑ Ø ÑÓØ Ú Ø ÓÒ ØÓ Ñ Ñ Ø Ö Ð ÓÖ Ø Ò Å Ø ² ËØ Ø ÓÑ Ó Ù ÙÐ Ó ØÛ Ö Ö ÒØÖÓ Ù º Ï Ñ ÒÐÝ ØÖ ÓÐÐÓÛ ½µ ¹Ñ Ø ¾µ ØÔ µ Û ÒØÔ º Ï ÓÔ Ø
More information½ ¾¼¼ Ä ØÙÖ ÇÙØÐ Ò ½ Ä ØÙÖ ½ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ µ ÑÔ Þ Ø ¼¾ ÔÖ Ö ÕÙ Ø ÓÖ Ø ÓÙÖ º ÓÒ ÙÐØ ÔÓ Ø ¼¾ ÆÓØ Ò ºµ ÏÓÖ ¼¾ Ö Ú Û ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ù Ó Ý ÊÙÐ º Á Ø Ò ÔÔÐ Ø ØÓ
½ ¾¼¼ Ä ØÙÖ ÇÙØÐ Ò ½ Ä ØÙÖ ½ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ µ ÑÔ Þ Ø ¼¾ ÔÖ Ö ÕÙ Ø ÓÖ Ø ÓÙÖ º ÓÒ ÙÐØ ÔÓ Ø ¼¾ ÆÓØ Ò ºµ ÏÓÖ ¼¾ Ö Ú Û ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ù Ó Ý ÊÙÐ º Á Ø Ò ÔÔÐ Ø ØÓ Ø Ò Ó Å È Ö Ú Ö ÓÖ Ö Ø ÒÔÙØ Ö Ø ÓÙØÔÙØ ØÓ Ø Ý Ø Ñº
More informationaddress bus Data bus Note: Instructions are fetched over data bus CPU Control ALU
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¼º½ Ì ÓÙÖ ½º ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö ÆÙÑ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ¹ Ø Ð ÐÓ ÁÒØ Ö ¹ÙÒ Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ¹ Ë ÁÁ Ó Ò ÓØ Ö Ó Ò Ñ Ê Ð ÒÙÑ Ö ¹ Ü Ò Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ Á º ¾º ÙÒØ ÓÒ Ð ÐÓ Ó ÓÑÔÙØ Ö ÈÍ Ñ ÑÓÖÝ ÒÔÙعÓÙØÔÙØ
More informationÓÒÒ Ø ÓÒ ØÓ Ñ ÞÓÒ Ú Ø Æ Ø Ô ÓÖ ÖÓÑ Û ÖÓÛ Öº ÌÓ Ú Û ËÌÄ Ð ÓÒ ÑÝ Ä ÒÙÜ Ñ Ò Á Ù Æ Ø Ò Å Ò Ö¹ ØÓÖº ÌÓ ÔÖÓ Ù Ø ÇÔ ÒË Ö ÔØ Á Ù ÇÔ ÒË Û Ø Ø³ ÒØ Ö Ø Ø ÜØ ØÓÖ
Í Ò ÇÔ ÒË ÓÒ Ñ ÞÓÒ Ï Ë ÖÚ Ð Ø ÓÑÔÙØ ÐÓÙ ÏË ¾µ ÂÓ Ò º Æ Ð ÓÒ Ë Ò Ó ÓÙÑ ÒØ ÓÖ ÓÔÝÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÓÙÑ ÒØ Ö ÓÛ ØÓ Ù ÇÔ ÒË ÓÒ Ò Ñ ÞÓÒ ¾ ÖÚ Öº Ì ÒÓØ Ô ÓÖ Ö Ò ÓÖ Ñ ÒØ Ó ÏË ¾ ÒÓÖ ÒÝ Ó Ø ÓØ Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Á Ñ ÒØ ÓÒº
More informationÇÍÌ ÁËÌ Æ Æ ÆÇƹ ÁËÌ Æ Ç Ä ÌÌÁ Ë ÁÆ ËÇÅ ËÇÄÎ Ä ÄÁ ÊÇÍÈË Îº ÓÖ Ø Ú Ì ÖØ Ð ÚÓØ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ü Ø Ò Ò ÒÓÒ Ü Ø Ò Ó Ð ØØ Ò ÓÐÚ Ð Ä ÖÓÙÔ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û ÔÖÓ
ËÁ Ì ÖÛ Ò Ë ÖĐÓ Ò Ö ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ð È Ý ÓÐØÞÑ ÒÒ ¹½¼ ¼ Ï Ò Ù ØÖ ÓÙØ Ü Ø Ò Ò ÆÓÒß Ü Ø Ò Ó Ä ØØ Ò ÓÑ ËÓÐÚ Ð Ä ÖÓÙÔ Îº ÓÖ Ø Ú Î ÒÒ ÈÖ ÔÖ ÒØ ËÁ ½¾ ¾¼¼¾µ  ÒÙ ÖÝ ¾ ¾¼¼ ËÙÔÔÓÖØ Ý Ø Ù ØÖ Ò
More informationÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö ÔØ Ú ËØ Ø Ø ÁÒ Ö ÒØ Ð ËØ Ø Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø Ò ¹ Ô Ú ÐÙ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó ÑÔÐ Þ ËÙÑÑ ÖÝ Ä ÖÒ Ò Ó¹ Ø ÖÑ Æ ÙÝ Ò Ì ÌÙ Î Ò ½ Æ ÙÝ Ò ÉÙ Ò Î Ò ¾ ½ ÍÒ Ú
Æ ÙÝ Ò Ì ÌÙ Î Ò ½ Æ ÙÝ Ò ÉÙ Ò Î Ò ¾ ½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ò È ÖÑ Ý Ó ÀÓ Å Ò ØÝ ¾ Æ ÙÝ Ò ÌÖ È ÙÓÒ ÀÓ Ô Ø Ð ÂÁ ÔÖÓ Ø ¹ Ù Ù Ø ¾¼½ ÇÙØÐ Ò ½ ¾ Ø ÓÖÝ Ñ ÙÖ Ø Ñ Ø ÓÒ ¹ ÓÒ Ò ÁÒØ ÖÚ Ð ÔÓ ÒØ Ø Ñ Ø ¹ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ø Ñ Ø ÁÒØ
More informationÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Ä Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÑÓÒ ÖÓÑ ÓÖÑ Ö Ð Ö Ò Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Ê ÄÄ Á Ô ÓÔ
ÈÖÓØÓ¹Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø ¹Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò ØÖ Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÓÓÐ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ü Ò Ö ÓÖÓÚ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ø Ö Ë Ð ¼ Å Ö ¾¼½½ ÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò ØÙ Ý
More informationdis.08 dis.09 dis.10 dis.11
Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó ØÖÓÒÓÑÝ Ò ØÖÓÔ Ý Ñ ÒÙ Ö ÔØ ÒÓº Ä Ì ÒÖÝ ¾¼¼ ¼½ºØ Ü ÔÖ ÒØ ÓÒ Å Ý ¾ ¾¼¼ ½ µ Ö Ø Ä Ø ÖÓÑ Ö Å ØØ Ö ÖÝÓÒ Ò ÆÓÒ¹ ÖÝÓÒ µ Ê Ö ÓÒÒ À ÒÖÝ À ÒÖÝ º ÊÓÛÐ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý Ò ØÖÓÒÓÑÝ Ì ÂÓ Ò ÀÓÔ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ
More informationDegradation
Î Ê ÙÐØ Ì ÔØ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ò Û Ø Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÜÔÐ Ò ÙÒØ Ð Ø ÔÓ Òغ ÁÒ ÐÐ Ø Ó ³ Ö Ø Û Ú Ö Û Ð P er Û ÔØ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ó ÓÒØ ÒØ Û Ú ÐÙ Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ö Ø ÓÒ Ý Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ Ò Ñ ½µ Ó Ø Ú ÕÙ
More information