Ò ÓÛ Æ ØÛÓÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö ÓÒ

Size: px

Start display at page:

Download "Ò ÓÛ Æ ØÛÓÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö ÓÒ"

Sibyl Page
5 years ago
Views:

1 Ò ÓÛ ÆØÛÓÖ ÐÓÖØÑ ÓÖ¹ÙÐÖ ÓÒ

2 ÚÐÙÒ Øµ E µ ÙÚµ Ò Úµ µ E µ ÚÙµ ÐÐ ¹ÒÖ Ò ¹ÓÙØÖ Ó ÚÖØÜ Ú Î Ö Ö ÔØÚÐÝº ÄØ Î µ ÖØ ÖÔº ÓÖ ÚÖØÜ Ú Î Û Ò ÓÙØÖ Úµ Ò Ò Ø ÒÖ Ò Øµ Úµº ÓÖ Úµ Ø ÚÖØÜ Ú ÐÐ ÓÙÖ Úµ Á Ðµ ÓÖ Ò ÙÙµ Ó ÖÔ Ö ÔØÚÐÝº ÔØÝ Ó ÖÔ ÙÒØÓÒ Ê º ÕÙÒØØ Ì Úµ µ ÆØÛÓÖ ÚÖµ ÔÖ µ ÛÖ ÖØ ÖÔ Ò Ø ÔØÝº

4 Ì ÙÑ Ó ÐÐ ¹ÒÖ Ò ¹ÓÙØÖ ÈÖÓÔÓ ØÓÒº ÖÔ Ö ÕÙÐº Ó Úµ µ µ ÚÎ Proof. ÚÎ µ ÚÎ E µ ÙÚµ Úµ ÚÎ E µ ÚÙµ

5 µ ÒØÛÓÖº Ï ÙÑ ØØ ÜØÐÝ ÄØ ÓÙÖ Ò ÜØÐÝ ÓÒ Ò Øº ÓÒ ÐÐ ÚÐÙ ÚÖØÙ µ Ó Ø ÓÛ ³ Ò ¹ ÕÙÒØØÝ ³º ÒÓØ ÙÑ ØØ Î µ ÒÓ ÐÓÓÔ ÒÓÖ ÑÙÐØÔÐ Ï Ö ºº Î Î º ÖØ ÐÓÛ ÚÓÓµ ÓÒ Ø ÒØÛÓÖ µ ÙÒØÓÒ ³ Ê Ù ØØ ³ µ µ ÓÖ ÚÖÝ º ³ Úµ ³ Úµ ÓÖ ÚÖÝ Ú Î Ò Øº ÔÖÚÓÙ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÑÔÐ ³ µ Ì Ì ³ Øµº Ì ÓÛ ÑÜÑÐ Ø ÚÐÙ Ø ÐÖ Ø ÔÓ Ðº

7 ÓÒ Ö ÒØÛÓÖ µ ÛØ Î µº ÈÖÓÔÓ ØÓÒº Î Î Î Ø Ù ØØ Î Ò Ø Î Ø º ÄØ ÄØ Î Î Ø µ Î Î µ Ø Î Î Ø µ ³ µ ³ µ ÌÒ Î Î Ø µ ÕÙÐ ØÓ Ø ÚÐÙ Ó ³º Proof. ÁÒÙØÓÒ ÓÚÖ Î º Á Î ØÒ Î º Ì Ø Î Î Ø ÓÒØÒ º Ø Ö ÓÖÒØÒ ÖÓÑ Ò Î Ø Î º ÐÐ ËØÔº ÄØ Ø ÐÑ ÓÐ ÓÖ ÓÑ Ø Î Ò Î Ø º ÄØ Î Ø ÒØ Î Î Ü Ò Î Ø Ü Î Ø ÒÜº ÁØ ÒÓÙ ÔÖÓÚ Î Î Ø µ Î Î Ø µº ØÓ

8 Î Ø µ Î Î Î Ø µ Î Î Ü Î Ø Î Î Î Ü Î Ø Î Î ³ Î ³ ³ Ü ³ Ü ³ Ø ³ Î Ø ³ ³ Î Î Ø µ Î Î Ø µ Î Î Î Ü Î Ø Î Î ³ Ü ³ ³ Ø ³ Î ³ Üµ ³ Üµ

9 ÙØ Ðµ Ò Ø ÒØÛÓÖ µ ÛÖ Î µµ Ù Ò Ö Ø Ä ØØ ÚÖÝ ÖØ ÔØ ÖÓÑ Ä ÙØ ØÖ Ö ÒÓ ÖØ ÔØ ÐØÖÒØÚÐÝ ØÓ Ø Ò Ø ÖÔ Î ÒÄµº ÖÓÑ ÓÙÖ ØÓ Ò Ù ÓÑ Ö ÖÓÑ Ø Ø Äº Ð ÚÑµ Ó Ä Ø ÕÙÒØØÝ Äµ ÔØÝ È Ä µº Ì ÙØ ÑÒÑÐ Ø ÔØÝ Ø ÑÐÐ Ø ÔÓ Ðº

10 ÓÖ Ò ÙÐÖ ÓÒµº Ì ÚÐÙ Ó ÐÐ ÑÜ¹ ÌÓÖÑ ÓÛ Ò ÒØÛÓÖ ÕÙÐ ØÓ Ø ÔØÝ Ó ÐÐ Ø ÑÐ Ì ÚÐÙ Ó ÒÓ ÓÛ ÐÖÖ ØÒ Ø ÔØÝ Ó ÒÝ Áº ÙØº ÓÖ ÒÝ ÑÜÑÐ ÓÛ ³ ØÖ Ü Ø ÙØ ÛØ ÔØÝ ÁÁº ³º ÑÒÑÐ ÙØ º Proof. ÄØ µ ÒØÛÓÖ ÛØ Î µ ÓÙÖ Ò Ò Øº Ï ÛÐÐ ÓÛ ØØ

11 Î Î Ø Ø Ó Ù ÒÓ Ú ØØ ØÖ Ü Ø ÄØ ÔØ ÖÓÑ ØÓ Ú ÛØÓÙØ Ù Ò ÒÝ Ö ÖÓÑ Äº ÖØ Î Î Ø µ Î Î Ø µ ÈÖØ Á ÄØ ³ ÓÛ Ò Ä ÙØº ÄØ Î Ø Î ÒÎ º ËÒ Î Î Ø µ Ä Û Ú Äµ µ ³ µ Î Î Ø µ ³

12 ÌÖ Ü Ø Ò ÙÒÖØ ÔØ Ú Ï Ý ØØ Ø ÓÛ ØÛÒ Ú Ú Ñ ÈÖØ ÁÁ ÄØ ³ ÑÜÑÐ ÓÛº ÄØ Î Î Ø Ø Ó ÐÐ ÚÖØ Ú Ù ØØ Ú Ñ Ú Ù ØØ Á Ú Ú µ ØÒ ³ µ µº Á Ú Ú µ ØÒ ³ µ º Ò Ú ÙÒ ØÙÖØ ÐÐ ØÑØµº ËÙ ÔØ ÐÐ ÙÑÒØÒ ÙÙÖÒÚµº Î Ø Î ÒÎ º Ï ÛÐÐ ÓÛ ØØ Ø Î Ø º ÁÒ Ø Î ÄØ ³ ÒÓØ ÑÜÑÐ ØÒ

13 ÄØ Ú ÑÒ ÄØ Ú µ ³ µ Ú Ú µ Ñ Ú Ñ Ø ÓÑ ÙÑÒØÒ ÔØº Ò ÔÓ ØÚ ÖÐ ÒÙÑÖ Æ ÓÐÐÓÛ Æ ³ µ Ú Ú µ Æ Ò ÐØ ³ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÓÛ ³ µ Ñ ³ µ ³ µ Ú Ú µ Ú Ú µ ³ µ ÌÒ ³ ÓÛ Ò ³ ³ º

14 ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó Ø Ø Î Ò Î Ø Ú Á Î Î Ø µ ØÒ ³ µ µº Á Î Ø Î µ ØÒ ³ µ º ÄØ Ä Î Î Ø µº ÌÒ Ä ÙØ Ò Äµ ³º

15 ÙÑÒØÒ ÔØ Ú Ú Ò Ò º ÙÑÒØÒ ÔØ ÓÙÒ ØÖÚÖ Ò Ø ÖÔ Ò ÓÑ Ì ÑÒÒÖº ÓÖ ÒÒ ÑÜÑÐ ÓÛ ÓÖ¹ÙÐÖ ÓÒµº ÐÓÖØÑ µ ÒØÛÓÖ ÛØ Î µº ÄØ ³ ÓÑ ÒØÐ ÓÛ ÓÒ Ø ÒØÛÓÖ µ Ý ÄØ º ³ µ ÊÔØ Ñ Ú Ñ Øº Á ØÖ ÒÓ Ù ÔØ ØÒ ØÓÔ Ò ÓÙØÔÙØ ³º º ÓÒ ØÖÙØ ³ Ö Ð Óº º Ò ³ ³ º

16 ÔÖÓÚ ØØ Ø Ó ÒÓØ ØÓÔ ÓÖ ÑÜÑÐ ÓÛ ØÓ ÓÙÒº ÛÐÐ ÓÛ ØØ ³ ÒÓØ ÑÜÑÐ ÓÛ ØÒ ØÖ Ï Ò ÙÑÒØÒ ÔØ Ø ÓÖ Øº Ü Ø Î Ø Ø Ó ÚÖØ Ú Ù ØØ ØÖ Ü Ø Ò ÄØ ÔØ ÖÓÑ ØÓ Ú Ò ÐØ Î Ø Î ÒÎ º ÙÑ ÙÑÒØÒ ØÓ Ø ÔÖÓÓ Ó Ø ÔÖÚÓÙ ØÓÖÑ Û Ø ØØ ËÑÐÖÐÝ Î Î Ø µ ÙØ Ò Äµ ³º ÌÙ ³ ÑÙ Ø Ä ÓÖ¹ÙÐÖ ÓÒ ÐÓÖØÑ Ò ÑÜÑÐ ÓÛº ÌÓÖÑº Ì ÐÓÖØÑ ÓÚÓÙ ÐÝ ÓÙØÔÙØ ÓÛº Ï Ò Proof. ØØ Ø Î Ø º ÑÜÑÐº

32 there is an augmenting path to these vertices minimum cut: with circle without circle

33 ÓÖ Ò ÚÖØÜ Ú ÒÒØ ÛØ Ø Ø º ØÛÒ Ú Ò ³ ÓØÖ ÒÔÓÒØ Û ÙÒ ØÙÖØ ÓÛ ÒÒ Ø ÙÑÒØÒ ÔØ ÄØ Î Ï º ÏÐ Ï Ò Ø Î Ó º ËÓÑÓÛ ÓÓ Ú Ï º ÊÑÓÚ Ø ÖÓÑ Ø Ø Ï º Ò Û Î ØÒ µ Û ØÓ Ø Î Ò Ï º µ ÊÑÑÖ ØØ Ú Ø ÚÖØÜ ÔÖÒ Ûº Ø Î ØÒ ØÖ ÒÓ ÙÑÒØÒ ÔØº Á Ø Î Á Ò ÓÒ ØÖÙØ Ò ÙÑÒØÒ ÔØ ÑÓÚÒ ÖÓÑ Ø Ý ÓÒ ÔÖÒ ÚÖØ ØÓ º

34 ÔØ Ó ÐÐ Ø Ö ÒØÖ Á Ø ÑÒ ÝÐ Ó Ø ÐÓÖØÑ ÖÙÒ Ø ÑÓ Ø ³ ØÒ ÓÑÔÙØØÓÒ Ó ÒÓØ ÒØÖÓÙ ÒÓÒ¹ÒØÖ Ò¹ ÓÙÖ ØÓ Ø Ð Ø Ý º Ö ÈÖÓÔÓ ØÓÒº ØÑ ÛÖ ³ ÑÜÑÐ ÓÛº Proof. ØÖØÓÒ ÒÖ Ø ÚÐÙ Ó Ø ÓÛº ËÒ

35 ÛÐÐ ÒÓÛ ÙÑ ØØ Ø ÙÑÒØÒ ÔØ ÓÙÒ Ï ÖØ¹Ö Ø ØÖÚÖ Ð Ó Ø ÖÔ ÑÓÒ ¹ÃÖÔ Ù Ò Ì ÙÑÒØÒ ÔØ Ú ÓÖ Ø ÔØ Ú Ú Ú µ ÒØÛÓÖ ÛØ Î µ Ò ÐØ ³ ÄØ ÓÒ Øº ÒÓØ Ø ÐÒØ Ó Ø ÓÖØ Ø ÔØ ÖÓÑ ÓÛ ÐÓÖØÑµº Ñ Ú Ñ Ø ÓÙÒ Ú ÛÐÐ Ú Ø ÓÐÐÓÛÒ ÔÖÓÔÖØÝ Ø ÓÖØ Ø ÙÑÒØÒ ÔØ ÖÓÑ ÓÙÖ ØÓ Ú º ÓÙÖ ØÓ Ú Î Æ ³ Úµº

36 ÄØ ³ ³ ³ Ø ÕÙÒ Ó ÓÛ ÈÖÓÔÓ ØÓÒº ÙÖÒ Ø ÑÜÑÐ ÓÛ ÒÒ ÐÓÖØÑº ÌÒ ÒÖØ ÐØ Ú Æ ³Ò Úµ Æ ³Ò Úµº ÙÑ ØØ ÒÓØ Ò Ò ÐØ Ú Ù ØØ Æ ³Ò Úµ Ø ÑÐÐ Ø ÑÔØÝ ÄØ È Ú Î Ø ÕÙÒ Æ ³ Úµ ÒÓÒ¹Ö Òº ÓÖ ÓÒ Ö Ø ÓÛ ³ Proof. Ò ³ Ò Ò Ø ÕÙÒ Ò ÔÓ Ðº Ø ÓÖØ Ø ÙÑÒØÒ ÔØ ÖÓÑ ÓÙÖ ØÓ Ú Ø ÓÛ ³ Ò º ÄØ Ù Ø ÚÖØÜ ÔÖÒ Ú ÓÒ ÛºÖºØ Ø ÔØº ËÒ Æ ³Ò Ùµ Æ ³Ò Úµ Û Ú Ù º ÓÒ Ö Ø ÓÛ ³ Ò ØÛÒ Ø ÚÖØ Ù Ò Úº

37 ³ Ò Ø ÓÛ ØÛÒ Ù Ò Ú ÓÑ ÙÒ ØÙÖØº ÁÒ Ò Ø ÔØ È Ò ØÖ Ü Ø Ò Ú Ù ÌÙ Á ³ Ò ÙÒ ØÙÖØ ØÛÒ Ø ÚÖØ Ù Ò Ú ØÒ Æ ³Ò Úµ Æ ³Ò Ùµ Æ ³Ò Ùµ Æ ³Ò Úµ Ò Ú ÓÒØÖØÓÒº ³ Ò ØÙÖØ ØÛÒ Ø ÚÖØ Ù Ò Ú ØÒ ÐØ È Ò Á Ø ÙÑÒØÒ ÔØ ÖÓÑ ÓÙÖ ØÓ Ò ØØ Û Ù ØÓ ÒÖØ ³ Ò ÖÓÑ ³ Ò º º ÓÖÒ ØÓ Ø ÔÖÓÔÖØ Ó È Ò Û Ø Æ ³Ò Úµ ³Ò Ùµ º ÓÒ ÕÙÒØÐÝ Æ Æ ³Ò Úµ Æ ³Ò Ùµ Æ ³Ò Ùµ Æ ³Ò Úµ Æ ³Ò Úµ Ò Ú ÓÒØÖØÓÒº

38 ÑÓÒ ¹ÃÖÔ ÐÓÖØÑ Ñ Ø ÑÓ Ø ÌÓÖÑº µ ØÖØÓÒ º Î ØÖØÓÒ Ø ÙÑÒØÒ ÔØ È Ò Ú Ú Ñ ØÖØÓÒ ÖØÐ ÔÖ Ó ÚÖØ º ÇÒ Ø ÒÜØ Ø ÓÑ ØÙÖØº ØÖØÓÒ ÓÙÒØ Ø ÒÙÑÖ Ó ØÖØÓÒ ÛÖ ÔÖ Ù Úµ Ò ÄØ³ ÖØÐº Á Ø ÖØÐ ÓÒ Ø ÒØ ØÖØÓÒ Û Ú Proof. ÓÒ Ö Ø ÒØ ØÖØÓÒ Ó Ø ÐÓÖØÑº ÇÒ Ø Ñ Ø ÓÒ ØÖÙØº ÐÐ Ø ÔÖ Ó ÚÖØ Ú Ú µ Ú Ø Ö ÔØÚ ÕÙÒØØÝ Æ ÓÛÒ ÓÛ ÑÙ ÖØÐ ÓÛ ØÛÒ Ú Ò Ú ÑÙ Ø Ò ØÓ Ñ Ø Ø ØÙÖØµ ÑÒÑÐ ºº Æ µº Æ ³Ò Úµ Æ ³Ò Ùµ º

39 ÚÖÝ ØÑ ÛÒ Ù Úµ ÖØÐ Æ ³ Ùµ ÒÖ ØÙ Ð Ø Ý º Ø ÌÙ Ù Úµ ÖØÐ Ø ÑÓ Ø Î ÖØÐµº Ñ Úµ Ò ÖØÐ ÓÒ ØÖØÓÒ ÒÙÑÖ Ò Ò ÌÓ Ù Ü Ø ÒÓØÖ ÙÑÒØÒ ÔØ È Ò ÓÒØÒÒ ÑÙ Ø ØÖ Ø Ö Ú Ù º ÌÒ Æ ³Ò Ùµ Æ ³Ò Úµ Æ ³Ò Úµ Æ ³Ò Ùµ Ì ÕÙÒØØÝ Æ ³ Ùµ Ò ÒÓØ Ü Î ÛÒ Ù Úµ ØÑ º Ì ÒÙÑÖ Ó ÚÖØÜ ÔÖ Ù Úµ Ø ÑÓ Ø º

40 µ Let be a network. Also, let each edge of be assigned a µ Ê cost (possibly negative). ³ Let be a flow µ on the cost of the flow is ³µ µ³ µ µ We are looking for a maximum flow with the minimum cost.

41 Let Î µ µ, be a network (with any number of sources and sinks). Ê is a circulation (ringlus) on µ, if µ µ for all. Úµ Úµ for all Ú Î. Let Ê give the costs of edges. We re looking for a minimum-cost circulation in µ. Finding the minimum-cost maximum flow can be reduced to finding the minimum-cost circulation.

42 capacity cost

43 capacity cost a lot (a lot)

44 Let µ, Î µ be a network and a circulation on it. The residual network (jääkvõrk) µ, made up of the residual graph Î µ and the residual circulation is defined as follows: For any Ù Úµ : µ If µ, then. E µ Ù Úµ Also, and µ µ µ. If µ, then. Also, E µ Ú Ùµ and µ µ.

46 µ µ µ µ µ Let be a circulation on µ and a circulation on the residual network µ. Define µ Ê by: (if some edge or on it equals ) does not exist, then assume that Theorem., as defined above, is a circulation on µ (for any ).

47 Proof.. First show that µ µ µ for any µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ (again,, applied to a non-existing edge, gives )

48 Show that Úµ Úµ for any Ú Î. Úµ µ µ E µ ÙÚµ µ µ µ E µ ÙÚµ Úµ µ µ E µ ÙÚµ

49 We have Úµ µ µ E µ ÚÛµ E µ ÙÚµ Úµ µ µ E µ ÙÚµ E µ ÚÛµ Thus µ µ µ µ E µ ÙÚµ E µ ÚÛµ

50 µ µ Úµ Úµ Úµ µ µ E µ ÙÚµ Úµ µ µ E µ ÚÛµ µ µ µ E µ ÚÛµ E µ ÚÛµ

51 Let and be circulations on µ, Î µ. Let µ Ê be defined by: For any : if µ µ, then µ µ µ µ and µ µ ; if µ µ, then µ µ and µ µ µ. µ Theorem. µ. Theorem. µ., as defined above, is a circulation on Proofs are similar to the proof of the previous theorem.

52 Let be a circulation on Î µ, µ. Let give the costs of the edges of. Define the costs of Ê edges of µ as follows: µ µ for any. µ µ Theorem. Let be a circulation on µ, Î µ, and a circulation on the residual network µ. Let Ê give the costs of the edges of. Then µ µ. µ Proof: from the definition of.

53 Lemma. If the network Î µ µ, (the costs of edges are given by ) has no cycles with negative costs, then the minimum-cost circulation on this network is the zero circulation. Proof. Using mathematical induction over the cardinality of ÙÔÔ µ show that any circulation has a non-negative cost. Base. ÙÔÔ. Then µ.

54 µ if ÙÔÔ Ò Step.. Î Let Î be the set of all vertices, such that some edge with µ ends there. There are also edges µ with starting from all these vertices. Î Graph ÙÔÔ µ contains a directed cycle. Let Æ µ. Define the following circulation : ÑÒ µ Then ÙÔÔ ÙÔÔ and µ µ Æ µ. As µ Æ if µ, then µ µ.

55 Theorem. Let µ be a network, the costs of its edges, and a circulation on it. is minimal-cost iff the network µ has no cycles of negative cost. Proof. µ. If µ had cycles of negative cost, then it also would contain a negative-cost circulation. But then would have smaller cost than.. Let be a circulation on µ whose cost is not minimal. Let be a minimal-cost circulation on µ. Then is a negative-cost circulation on µ. Hence it also contains cycles of negative cost.

56 Algorithm to find a minimum-cost circulation µ in with the costs of edges. Let be some initial circulation. Repeat: 1. Find a negative-cost cycle in µ. If such does not exist, then is a circulation of minimum cost. 2. Let Æ ÑÒ µ. Let be a circulation in µ, such that µ Æ or µ, depending on whether lies on or not. 3. Set. The initial may be found using e.g. the Ford-Fulkerson algorithm.

60 Bellman-Ford s algorithm may be used to find a cycle of negative cost. Add an additional vertex Ü to. Add arcs of cost from Ü to all other vertices. Find the distances of all vertices from (length of edge cost of edge); also find the shortest Ü paths. If something happens at the Î -th iteration of the Bellman- Ford algorithm, then the back-pointers of all vertices (to previous vertices on shortest paths) will give us a cycle of negative length.

ÔÖ Î µ ÛÖ Î Ø Ø Ó ÚÖØ ÖÔ Ø Ø Ó º ØØ Û Ö ÚÒ Ø Ò Ú ¼ ½ Ú ½ ¾ Ú ¾ Ú Ú ½ ÒÒ ÙÒØÓÒ Eº ÏÐ Ò Ø ÖÔ ÕÙÒ Ú ÛÖ Ú ¼ Ú ¾ Î ½ ¾ Ò E µ Ú ½ Ú º Ì ÛÐ ÐÓ Ø Ö Ø Ò Ð Ø ÚÖ

ÙÐÖÒ ÖÔ ÔÖ Î µ ÛÖ Î Ø Ø Ó ÚÖØ ÖÔ Ø Ø Ó º ØØ Û Ö ÚÒ Ø Ò Ú ¼ ½ Ú ½ ¾ Ú ¾ Ú Ú ½ ÒÒ ÙÒØÓÒ Eº ÏÐ Ò Ø ÖÔ ÕÙÒ Ú ÛÖ Ú ¼ Ú ¾ Î ½ ¾ Ò E µ Ú ½ Ú º Ì ÛÐ ÐÓ Ø Ö Ø Ò Ð Ø ÚÖØ ÓÒº ÈØ ÛÐ ÛÖ ÚÖÝ ÚÖØÜ ÓÙÖ Ø ÑÓ Ø ÓÒº ÝÐ ÐÓ