ÇÆÌ ÆÌË ÇÆÌ ÆÌË ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½º½ ÖÓÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÓÖ Ö Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º

Size: px

Start display at page:

Download "ÇÆÌ ÆÌË ÇÆÌ ÆÌË ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½º½ ÖÓÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÓÖ Ö Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º"

Janis Ferguson
6 years ago
Views:

1 ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Å Ø Ö È Ý ÕÙ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ø Ò ÔÓÙÖ Ð³ Ò Ò ÙÖ Å¾µ ËÝ Ø Ñ ÝÒ Ñ ÕÙ Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ñ Ø Ö ÓÑÔÐ Ü È Ý ÕÙ Ø ÓÖ ÕÙ Ý Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü Ä Ø º Ù Ð Ò ÓÐÓ Ð Ø ÐÔØ º Ù Ùº Ö Ä ÓÖ ØÓ Ö È Ý ÕÙ Ì ÓÖ ÕÙ Ø À ÙØ Ò Ö ÂÙ Ù ÁÒ Ø ØÙØ ÍÒ Ú Ö Ø Ö Ö Ò Å Ö ¾¼¼ ØÖ Ø ÓÙÖ ÔÖ ÒØ ÙÒ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÙÜ Ý Ø Ñ ÓÖ ÓÒÒ º ÇÒ ÜÔÐ ÕÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÕÙ Ó Ò ³ ÔÔÙÝ ÒØ ÙÖ Ð Ö ÙÐØ Ø ³ ÜÔ Ö Ò º ÇÒ ÔÖ ÒØ Ö Ð ÙÖ ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ò ÕÙ³ÙÒ Ð Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ø ÓÖ ÕÙ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ð ÙÖ ØÙ º Ä ÓÙÖ Ø Ú Ò Ô ØÖ Ø Ð Ö ÓÑÔ Ò ÔÐÙ ÙÖ Ì ÓÒÙ ÔÓÙÖ ØÖ Ø Ð Ñ ÓÒ ÔÖ ÙÒ ÓÒÒ Ò ÓÙÖ º Ì ÓÙÑ ÒØ ÒÐÙ Ö Ø Ó Ø Ä ØÙÖ ÒÓØ ÓÒ ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ò Ø Ì º Ì Ä ØÙÖ ÒÓØ ÔÖ ÒØ ÜØ Ò Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ö Ð Ø Ø Û ÐÐ Ö ÙÖ Ò Ø ÓÙÖ º Ì ÒÓØ Ö ÖØ ÒÐÝ ÒÓÑÔÐ Ø Ò Ñ Ý ÓÒØ Ò ÖÖÓÖ º ÀÓÔ ÙÐÐÝ Û ÐÐ ÑÔÖÓÚ Ø Û Ø Ø ÐÔ Ó Ø ØÙ ÒØ º ½

2 ÇÆÌ ÆÌË ÇÆÌ ÆÌË ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½º½ ÖÓÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÓÖ Ö Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÁÒØ Ö ÔÐ Ò ÖÝ Ô Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º º½ ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º º¾ ÓÐÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º ÝÒ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ÈÐ Ò Ó Ø Ð ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ È ØÖ Ò Ø ÓÒ ½ ¾º½ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ð Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º½ Ì Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º¾ Ì ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð ÓÖØ Ò ÐÓÒ Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ º º º º º ½ ¾º½º Æ Ø Ú Ô Ø Ò Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º½º Ì Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½º ÇÙÖ ÔÙÖÔÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ì Ö Ó ÝÔÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ËØ Ò Ö ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½ Å Ò Ø Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º¾ ËÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÇÖ Ö Ò ÓÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ù ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½ ÇÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º¾ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º È ÒÒ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º ÖÓ Ò Ö Ó ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º ËÔÓÒØ Ò ÓÙ ÖÓ Ò ÝÑÑ ØÖÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ò Ö Ý Ú ÒØÖÓÔÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º Ð Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½ Ì Ò Ú Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Á Ò ÖÖÓÑ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º Ì Ø Ð ØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º Ä Ò Ù Ø ÓÖÝ Ò Ø ÒÞ ÙÖ Ö Ø Ö ÙÑ Ð Ø ÓÖÝ º º º º º ¼ ¾º º ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ä Ò Ù¹ ÒÞ ÙÖ Ñ Ø Ó º º º º º º º º º º º º ¾º Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½¼º½ Ì ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½¼º¾ Ë Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½¼º Ì Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

3 ÇÆÌ ÆÌË ÇÆÌ ÆÌË ¾º½¼º Ò Ø Þ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½¼º ÐÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ñ ÖÓ ÓÔ Ó ÖÚ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖ Ö Ý Ø Ñ º½ ÉÙ Ò Ò ÒÒ Ð ÓÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÒ ÓÖ Ö Ø Ó Ô Ò¹ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ Ä Ó ÓÑÓ Ò ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ ÖÙ ØÖ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Ù ÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Ë Ð ¹ Ú Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓ Ð Û Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ËÔ Ò¹ Ð ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ê Ò ÓÑ ÖÖÓÑ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Ê Ò ÓÑ Ñ Ò ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ô Ò¹ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ì ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÌÛÓ ÓÖ Ñ ÒÝ ÔÙÖ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È ÒÒ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú Ö ÒØ Ù ÔØ Ð ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÐÓÖ Ñ ØÖÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ì È ÔÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º º½ Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÖ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð ÒØÖÓÔÝ º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Ï Ø Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å Ø Ø Ð Ø Ø Ò ØÛÓ Ñ Ð Ó ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ À Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÄÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ö ÔÐ Ö ÙÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ì Ô ÒÒ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÙÔÐ Ò Ö ÔÐ Ò Ø Ø Ú ÔÓØ ÒØ Ð º º º º º º º º º º º º º º Ì Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ý ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ º º½ Ì Ö Ø Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ º½¼ ÖÓÔÐ Ø Ò ÓÑ Ò¹Û ÐÐ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ º½¼º½ Ì ÖÓÔÐ Ø Ø ÓÖÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º½½ Ê Ò ÓÑ Ñ Ò ÓÐ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ º º º º º º º º ½¼ ËØÓ Ø ÔÖÓ ½¼ º½ Ì Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º½º½ ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º½º¾ Ò Ö Ð Þ Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

4 ÇÆÌ ÆÌË ÇÆÌ ÆÌË º¾ º º Ú Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½ ÇÒ ¹Ø Ñ ÙÒØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º¾ Ì ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º Ì Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º ÅÙÐØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ º¾º ÓÖÔØ ÓÒ Ò Ô Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ º¾º Ì ÃÖ Ñ Ö ¹ÃÖ Ò Ö Ð Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾½ ÈÖÓ Ð Ø ÓÖÑ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º º½ Ì Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÔÖÓ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º º¾ Å Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º ÉÙ ÒØÙÑ Ñ Ò Ð ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ÝÒ Ñ Ó Ö Ø Ú Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º½ Ð Ù Ö ÝÒ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÝÒ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÝÒ Ñ ½ º½ ÔÔÖÓ ØÓ ÕÙ Ð Ö ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÇÒ Ø Ñ ¹ÕÙ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ì ÙØÙ Ø ÓÒ Ô Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ËØ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ ÝÒ Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ò Ü ÑÔÐ Ø ÖÑÓÒ Ó ÐÐ ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ì Ö Ò ÓÑ Û Ð Ð Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ë Ð ÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÝÒ Ñ Ð ¹Ø ÓÖ ½ ¼ º½ Ö ÑÑ Ø Ø Ò ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º¾ È ÖØÙÖ Ø Ú ÓÐÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º Ì ÑÓ ÓÙÔÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º Ñ Ò ÓÖ Ö ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÐÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ÙÒØ ÓÒ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ì Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ì Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÁØ Ò ËØÖ ØÓÒÓÚ º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÈÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ù ÓÒ ÓÚ Ö ÖÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º º½ ÃÖ Ñ Ö ÓÐÙØ ÓÒº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º º¾ È Ø ¹ ÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð Ñº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º Ù ÓÒº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÝÒ Ñ Ó Ê Å º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

5 ÇÆÌ ÆÌË ÇÆÌ ÆÌË º È Ô ÝÒ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÌÖ Ô ÅÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÁÒØ Ö Ò ÙÖ ÖÓÛØ ½ º½ Ë Ð ÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ Ö Ø ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º¾º¾ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º¾º Ë Ð Ò ÝÔÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º¾º Ì Ú Ö ÓÑ Ò Ð Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ì ÙÖÚ ØÙÖ Ö ÙÑ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ÊÓÐ Ó ÓÖ Ö Ø Ø Ú Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ë Ô Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ¹ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ì Ð Ö N ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ñ ÔÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º ËÙÖ ÖÓÛØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º½ ËÓÐ ¹ÓÒ¹ ÓÐ ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º¾ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º Ë Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ë Ð ÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÍÒ Ú Ö Ð ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÊÓÙ Ò Ò ØÖ Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ö Ø ÔÓÐÝÑ Ö Ò Ö Ò ÓÑ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ö Ú Ò ÙÖ Ô ÒÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ð Ø ÓÖÝ ÓÒ ÖÓÒØ Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ Ý ½ º½ ÝÒ Ñ Ó Ô Ò¹ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ ÓÑ Ò ÖÓÛØ Ö ÙÑ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÝÒ Ñ Ñ Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º¾ ËØÖÙØÙÖ Ð Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º¾º½ ÚÓ Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º¾º¾ ÝÒ Ñ Ñ Ò¹ Ð Ø Ö Ò ÓÑ Ö Ø ÓÖ Ö Ò Ö Ó º º º º º º º º ½ ½ Ä ÓÙÚ ÐÐ ³ Ø ÓÖ Ñ ¾ ËÓÑ Ù ÙÐ ÓÖÑÙÐ ½ ¾ ¾º½ ËØ ÖÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ¾º¾ ÅÓÑ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ¾º Ù Ò ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ¾º Ï ³ Ø ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÙÒØ ÓÒ Ð Ò ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ¾

6 ÇÆÌ ÆÌË ÇÆÌ ÆÌË Ì Ð ¹ÔÓ ÒØ Ñ Ø Ó ½ Ì ÒØÖ Ð Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ñ ½ ½ Ì ½ Üº ½ ½ ¾ Ì ½ Üº ¾ ½ Ì ½ Üº ½ ¼ ½ Ì ¾ Üº ½ ½ ½ ½ Ì Üº ½ ½ ¾ ¾ Ì Üº ¾ ½ ¾ Ì Üº ½ ¾ Ì Üº ½ ½ Ì Üº ½ ½ ¾ Ì Üº ¾ ½ ¾º½ ½º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

7 ½ ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÖÓÙÒ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ËØ Ø Ø Ð Å Ò Ú ÖÝ Û ÐÐ¹ Ø Ð Ö Ò Ó Ø ÓÖ Ø Ð Ô Ý ÌÓ Ø Ö Û Ø ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò Ø Ý ÓÖÑ Ø Ó ÅÓ ÖÒ È Ý º Ì Ó Ð Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø Ð Ñ Ò ØÓ Ö Ú Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ø Ó Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ ÖÓÑ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ð Û Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ú ÓÙÖ Ó Ø ÓÒ Ø ØÙ ÒØ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÜÔÐ Ò Ø ÓÖ Ò Ó Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò ÒØÙ Ø Ú ÓÒ ÔØ Ð ÔÖ ÙÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Øº ÁÒ Ì Ð ½ Û Ö ÐÐ Ø ØÝÔ Ð Ð Ò Ø Ø Ñ Ò Ò Ö Ý Ð ÔÔ Ö Ò Ò Ø Ñ ÖÓ¹ ÓÔ Ò Ñ ÖÓ ÓÔ ÏÓÖÐ º Å ÖÓ Å ÖÓ Ø lµ ËÓÐ Þ Ñ 10 8 Ñ 10 3 Ñ # Ô ÖØ Nµ ½ ËÓÐ Þ ( ) 10 3 d=3 ( ) 10 = d= = Ò Ö Ý Eµ 1 ev 1J ev Ø Ñ tµ ËÓÐ Þ h/1ev s 10 9 s 1 s Ì Ð ½ ÌÝÔ Ð Ð Ò Ø Ò Ö Ý Ò Ø Ñ Ð Ò Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ò Ñ ÖÓ ÓÔ ÏÓÖÐ º ÆÓØ Ø Ø Ø Ø Ñ ÒÝ ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ Ô Ö Ø Ø Ñº Ö Ö Ò ÒÙÑ Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó ÚÓ ÖÓ N A = Ø ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÓÑ Ò ÑÓÐ º º ½¾ Ö Ó 12 Ò Ø Ý Ð Ø ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó ÑÓÐ ÙÐ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ð Ú Ðº Ì ÓÒ Þ Ø ÓÒ Ò Ö Ý Ó Ø ÀÝ ÖÓ Ò ØÓÑ 13.6 ev Ò Ø Ø Ò Ö Ý Ð Ò Ì Ð ½º ÁØ Ð Ö ÖÓÑ Ø ÙÖ Ò Ì Ð ½ Ø Ø ÖÓÑ ÔÖ Ø Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Û Ø ÛÓÙÐ ÑÔÓ Ð ØÓ ÓÐÚ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÑÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÒ Ó Ø N N A Ô ÖØ Ð Ð Ø Ù Ô Ø Ù ÓÒ Ð Ð ÒÐÙ Ò ÕÙ ÒØÙÑ Ñ Ò Ð Ø ÛÓÙÐ ÒÓØ Ò Ø Ñ Ò ÓÒÐÙ ÓÒ ØÓ Ö ÛÒ Ò ÓÖØ Ò Ö Ú ÖÓÑ Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ú ÓÙÖ Ó Ø Ý Ø Ñº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÑÓØ ÓÒ Ñ Ý ÔÖ ÒØ Ú ÖÝ Ò Ø Ú ØÝ ØÓ Ø Ó Ó Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ò Ø Ù Ø ÔÖ ÔÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò Ñ Ð Ó Ñ ÖÓ ÓÔ ÓÒ Ø ØÙ ÒØ ÓÑ ÙÒ Ð Ú Ò ÖÓÑ ÑÓÖ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Ûº Ì Ô ÖÓÑ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ ØÓ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ð Ø Ò ÓÒ Û Ø Ø ÐÔ Ó ËØ Ø Ø Ð Ñ Ø Ó ÈÖÓ Ð ØÝ Ì ÓÖÝ Ò Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ä Û Ó Ä Ö ÆÙÑ Ö º ÁØ ÙÑ Ò Ø Ò ÕÙ Ø Û ÐÐ ÓÒ ÖÑ Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ Ò Ò Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ä Û Ó Æ ØÙÖ Û Ò Ó Ò Ø ÖÓÙ ÐÐ Ø ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ º ÒÙÑ Ö

8 ½º¾ ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ½ ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ Ó Ò Û Ò ÒØ Ö Ø Ò Ô ÒÓÑ Ò Ö Ù ØÓ Ø ÙÒ ÜÔ Ø ÓÐÐ Ø Ú Ú ÓÙÖ Ó Ø Ñ ÒÝ Ö Ó Ö ÓÑº Ì Ô Ó Ñ Ø Ö Ð Ò ÓÒØ Ø Û Ø Ò ÜØ ÖÒ Ð Ö ÖÚÓ Öº Ì Ñ Ø Ö Ð Û ÐÐ Ö Ø Ö Þ Ý ÖØ Ò Ó ÖÚ Ð Ò Ö Ý Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Øº Ì ÜØ ÖÒ Ð ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Û ÐÐ Ö Ø Ö Þ Ý ÓÑ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ Ò Ø Ð ÔÖ ÙÖ Øº ÁÒ ÔÖ Ò ÔÐ ÓÒ Ð ØÓ ØÙÒ Ø Ð ØØ Ö Ò Ø ÓÖÑ Ö Û ÐÐ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñº Ë ÖÔ Ò Ò Ø Ú ÓÖ Ó Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ð Ò µ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ú Ò Ó ÖÚ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝº È ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö ÒÓØ Ù ØÓ Ò Ò Ø ÓÖÑ Ó Ø Ñ ÖÓ ÓÔ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÙØ Ö Ø Ö ØÓ Ø ÐÓ Ò Ó Ø ÙÐÐ Ý Ø Ñ Ò Ô Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø N µº ÌÝÔ Ð Ü ÑÔÐ ÓÛ Ò Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ø ÖÖÓÑ Ò Ø ¹Ô Ö Ñ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ñ Ò Ø Ô Ò Ý Ø Ñ µ ÓÖ Ø Ð ÕÙ ¹ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ô ÖØ Ð Ý Ø Ñ º ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø Ð Ñ Ò Ñ ÒÓØ Ö Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Û ÐÐ ÜÔÐ Ò Ò ÑÓÖ Ø Ð ÐÓÛ Ø Ø Ó Ø ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñº ËÓÑ Ú ÖÝ ÒØ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ó ÒÓØ Ñ Ø Ø ÝÔÓØ º ËØ ÐÐ ÓÒ ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ù ÈÖÓ Ð Ø Ö ÙÑ ÒØ ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø Ö Ñ ÖÓ ÓÔ Ú ÓÖº Ì ÔÓ Ð Ò ÒÙÑ Ö Ó Ò Û ÐÐ Ù ÓÑ Ó Ø Ñº ÁÒ Ö Ú Ò Ø ÓÖ Ø Ð Ö Ñ ÛÓÖ ØÓ Ö Ø Ú ÓÖ Ó Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ ÓÙØ Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ Ø ÔÖ ÒØ Ñ ÓÖ ÐÐ Ò Ò Ø ÓÖ Ø Ð Ô Ý º ½º¾ ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ï Ð Ø Ü Ø Ò Ó Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Û ÐÐ Ø Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ¹ Ò Ö Û ÐÐ ÙÒ Ö ØÓÓ Ò Ð Ò Ý Ø Ñ ÓÓÒ ÓÑÔ Ø Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÒÐÙ ÓÒ Ø ÔÓ Ð ØÝ Ó ØÖÓÝ Ò Ø ÑÔÐ Ô ØÙÖ Ý Ú Ò Û Ý ØÓ ÒÓÚ Ð Ô ÒÓÑ¹ Ò Ð Ð Ý Ú ÓÙÖº ÓÑÔ Ø Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò ÝÒ Ñ Ð Ó ÐÐ ÒÒ Ð µ ÓÖ ÕÙ Ò º ÑÔÐ Ü ÑÔÐ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø ÓÖÑ Ö Ø Ä ÒÒ Ö ¹ÂÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð º ½¹Ð Øµ Ø Ø Ú Ò Ø Ú ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ó Ø ½ Ô ÖØ Ð Ò Ð ÕÙ Ö ÔÙÐ Ú Ò Ò ØØÖ Ø Ú Ô ÖØ Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ø Ò ØÛ Ò Ø Ô ÖØ Ð º ÁÒ Ø Ü ÑÔÐ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ô Ò ÓÒ Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð Ò ÚÓÐÚ Û Ø Ø Ñº ÉÙ Ò ÓÑÔ Ø Ø Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ü Ò Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ð Ø Ñ ¹ Ð Ò Ø Ý ØÖ Ò Ñ Ø ÓÒØÖ ØÓÖÝ³ Ñ ØÓ Ø Ý Ø Ñº ÌÝÔ Ð Ü ÑÔÐ Ö Ý Ø Ñ Û Ø ÖÖÓÑ Ò Ø Ò ÒØ ÖÖÓ¹ Ñ Ò Ø Ü Ò Ø Ø Ö ÒÓØ ÓÖ Ò Ò ÑÔÐ Û Ý Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÑ ØÖÝ Ò ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ó Ø Ð ØØ Ù Ô Ò¹ Ð º ½¹Ö Øµº Ï Ò ÓÑÔ Ø Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÐÓÛ¹Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ñ Ý ÐÓÓ ÓÖ Ö ÙØ Ø ÐÐ Ú Ñ ÖÓ ÓÔ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ò Ó ÖÝ Ø ÐÐ Ò Ø Ø º Ò ÓÓÐ Ò ÓÛÒ Ð ÕÙ ØÓ Ó Ø Ò Ð ÐÔ ÙÐ ØÓ Ü ÑÔÐ Ý Û Ø Û Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ ÒÒÓØ ÙÔÔÓÖØ ØÖ Ò ÓÛ Û Ð Ø Ð ÓÐ ¹Ð ÔÖÓÔ ÖØ ÖÝ Ø Ð Ø Ò ÙÔÔÓÖØ ØÖ Ò Ó ÒÓØ ÐÝ ÓÛ Ò Ö ÓÒ Ð Ø Ñ ¹ Ð Ø Û Ý Ð Ò Ñ Ó Ð µ ÀÓÛ Ú Ö Û Ò ÐÓÓ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ð ÓÒ Ó ÒÓØ ÒØ Ý ½ ËÓ Ø Ñ Ò Ø Ø Ø Ô ÖØ Ð Ò ÓÚ ÖÐ Ô Ø Ø ÔÖ Ó Ò Ò Ö Ý Ó Øº ÁÒ Ø Ø ÓÖ Ò ÓÒ ÛÓÖ Û Ø Ö Ô ÖØ Ð º

9 ½º¾ ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ½ ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ 0.75 LJ potential 0.25 V r ÙÖ ½ Ä Ø Ì Ä ÒÒ Ö ¹ÂÓÒ ÔÓØ ÒØ Ðº Ê Ø Ø Û Ö ¹ Ò Ö ÓÒ 3d Ô Ò¹ Ð º ÒÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÖÙØÙÖ Ð Ö Ò ØÛ Ò Ø Ð ÕÙ Ò Ø Ð ÒÓ ÑÔÐ ÐÓÒ ¹Ö Ò ØÖÙØÙÖ Ð ÓÖ Ö Ò ÒØ ÓÖ Ð º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ö ÒÓ Ð Ö Ú Ò ÓÖ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ð ÕÙ Ò Ø Ð ÙØ Ø ÑÓÖ ÔÖ ÐÝ ÝÒ Ñ ÖÓ ÓÚ Öº Ì Ð Ý Ö Ñ ÓÛ Ú Ö Ù Ù ÐÐÝ ÐÐ Ð Ý Ô Ò Ø ÓÑ Ø Ñ ØÓ ÓÖ Ö Ô Ù ØÓ Ø Ð Ó Ð Ö ØÖÙØÙÖ Ð ÓÖ Ö Ø Ó ÒÓØ Ñ Ò Ø Ø Ø Ö ÒÓ ÓÖ Ö Û Ø Ó Ú Ö º ¾ ÓÖ Ò Ü ÑÔÐ Ó Ý Ø Ñ Û Ø Ð ÕÙ ÖÝ Ø Ð Ò Ð Ý Ô µº Ä ÒÒ Ö ¹ÂÓÒ Ò ÖÝ Ñ ÜØÙÖ Ö ÔÖÓØÓØÝÔ Ð Ü ÑÔÐ Ó Ý Ø Ñ Ø Ø ÙÒ Ö Ó Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖ ÖÓ ÓÚ Öµ Û Ò ÓÓÐ ÖÓ Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T g ÓÖ Û Ò ÓÑÔÖ ÖÓ Ò ØÝ n g º ÁÒ Ø Ô Ö Ö Ô ÓÚ Û Ö Ø Ö Þ Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ñ Ó ÖØ Ò Ô ÖØ Ð ÑÓ Ð Ò Ð Ñ Ø Ø Ø Ö ØÖÙØÙÖ ÓÖ Ö Ø Ð Ø Ø Ö Ø Øµº ÒÓØ Ö Ò Ò Û Ø ÛÓÖ ÓÖ Ö Ù ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ º ÉÙ Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ø ÐÐÝ Ö ÛÒ ÖÓÑ ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒº ÒÒ Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ Ñ Ý Ú ÐÓÛ Ø Ñ ¹ Ô Ò Ò º ÓØ Ð ØÓ ÓÖ Öº Ì Ò Ö Ð Þ Ý ÓÙÔÐ Ò ØÖ Ò Ø Ò Ø Ü ÑÔÐ Ù ÓÚ ÙØ Ð Ó Ý Ñ Ò Ø Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Øº ÓÖ Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ù Ù ÐÐÝ Ð ØÓ ÐÓÛ¹Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ú ÓÙÖ Ø Ø Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÓÒ Ó ÖÚ Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÝÒ Ñ ÓÑÔ Ø Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ º ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ò ÓØ Ò µ Ö Ù Ù ÐÐÝ Ò ÓÒØ Ø Û Ø ÜØ ÖÒ Ð Ö ÖÚÓ Ö Ø Ü Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ö Ö ÔØ ÓÒ ÓÒ Ò Ø ÒÓÒ Ð ÓÖ Ö Ò ¹ ÒÓÒ Ð Ò Ô ÖØ Ð Ý Ø Ñ Û Ø Ø ÔÓ Ð ØÝ Ó Ô ÖØ Ð Ü Ò Û Ø Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØµ Ò Ñ Ð º ËÓ Ñ Ý ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÓÖ Ø Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ý Ø Ñ Û Ø ÓÑÔ Ø Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ º ËÓÑ Ó Ø Ñ Ø Ø Û ÐÐ Ù Ò Ø Ö Ø Ó Ø ÓÙÖ Ö Ö Ø Ö ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ØÛ Ò ÐÓÛ¹Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø ÑÔ Ö¹ ØÙÖ Ô Ï Ø Ò Ó ÓÖ Ö Ø Ö Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ö ÓÒ Ó ÐÐ Ø Ñ Ò ÖÝ Ú ÐÓÔ ÓÖ Ð Ò

ÐÝ Ö Ô ÕÙ Ò ÖÓÑ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô º Ï Ò ÔÔÖÓ Ò Ö Ø Ö Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ý Ø Ñ ÒÒÓØ ÓÐÐÓÛ Ø Ô Ó ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Ý Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ò ÐÐ ÓÙØ Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑº ÔÙÖ ÐÝ

10 ½º¾ ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ½ ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ Ý Ø Ñ ÔÔÐÝ Ö Ø Ô Ò Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ÓÖ ÝÒ Ñ ÖÓ ÓÚ Ö Ø Ñ ÓÖ Ú ÖÝ Ö ÒØ Û Ò ÓÖ Ö ÕÙ Ò ÓÖ ÒÒ Ð Ï Ø Ø Ñ Ò Ñ Ð Ò ØÓ Ð Ò ÙÖ ¾ 2d ÓÐÐÓ Ð Ù Ô Ò ÓÒ Ó Ö Ô Ö º ÍÔÔ Ö Ô Ò Ð ÖÝ Ø Ðº ÄÓÛ Ö Ô Ò Ð Ð ÕÙ ÓÖ Ð º ÁÒ ÔÖ Ø ÙÖØ Ö ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÔÔ Ö º Í Ù ÐÐÝ ÓÖ Ö Ô ³ Ö ÔÖ Ô Ö Û Ø Ö Ð Ø Ú ÐÝ Ö Ô ÕÙ Ò ÖÓÑ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô º Ï Ò ÔÔÖÓ Ò Ö Ø Ö Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ý Ø Ñ ÒÒÓØ ÓÐÐÓÛ Ø Ô Ó ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Ý Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ò ÐÐ ÓÙØ Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑº ÔÙÖ ÐÝ Ø Ø Ö ÔØ ÓÒ ÓÒ Ø Ù Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ò ¹Ô ÖØ Ø ÓÒµ ÙÒØ ÓÒ Ø Ò ÒÓØ Ù ÒØº ÇÒ ÓÖ ØÓ ÒÐÙ Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò Ú Ù Ð ÒØ Ô Ò Ô ÖØ Ð µ Ò ÖÓÑ Ø Ö Ú Ø ½¼

11 ½º¾ ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ½ ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ Ñ ÖÓ ÓÔ Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÙÐÐ Ý Ø Ñº Ì Ñ ÖÓ ÓÔ Ø Ñ ¹ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ú Ò Ý ØÓ Ø ÔÖÓ º Ì Ñ ÖÓ ÓÔ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ù Ù ÐÐÝ Ú ÖÝ ÐÓÛ Ò Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÖÑ Ø ÒÓØ Ñ ÐÐ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ÖÓÙÒ Ø ¹ ÓÐØÞÑ ÒÒ ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÙØ Ö Ø Ö ÓÑ Ø Ò ÕÙ Ø Ö ÒØº Ì Ú Ö ØÓ ÕÙ Ø Û Ò Û ÒØ Ö Ø Ò Ô ÒÓÑ Ò º Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ò Ø ÒÓÒ¹ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒØ ÜØ Ö Ö Ø Ö Þ Ø ÒÓÒ¹ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÝÒ Ñ Ó Ð Ý Ý Ø Ñ Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ ÐÐÝ ÙØ Ð Ó ÓÒ ØÖÙØ ÑÓ Ð Ø Ø Ö ÔÖÓ Ù Øº Ê Ð Ø Ø ØÓ Ø Ú ÓÖ Ó ÓØ Ö ÒÓÒ¹ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ý Ø Ñ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ó ÔØ Û Ý ÖÓÑ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ý ÜØ ÖÒ Ð ÓÖ ÙÖÖ ÒØ Øº Ò ØÙÖ Ø Ø Ö Ò Ö ØÓ ÐÐ Ý Ø Ñ Û Ø ÐÓÛ ÝÒ Ñ º ÜØ Ò Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø Ð Ñ Ò º º Û Ø Ò ÓÙØ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÒØÖÓÔÝ Ò ÓØ Ö Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÓÒ ÔØ ÓÙØ Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ØÖÙØ ÒÓÒ¹ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ ÙÖ Ø Ø ÛÓÙÐ Ù Ø ØÙØ Ø ¹ ÓÐØÞÑ ÒÒ ÓÒ Ò ÖØ Ò º Ä Ø Ù ÒÓÛ ÙÑÑ Ö Þ Ø ØÖ Ø Ý Ø Ø Ò ÓÐÐÓÛ Ò ØÖÝ Ò ØÓ Ö ÓÖ¹ Ö Ý Ø Ñ Ø ÓÖ Ø ÐÐÝº Ì Ñ Ò Ø Ô Ò Ø Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ËØ Ø ¹ Ø Ð Å Ò Ú Ò ½µ Ø Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ¹ µ ¾µ Ø Ö Ó Ò Ø ÓÒ Ó ÓÐÐ Ø Ú Ô ÒÓÑ Ò Ò Ø ÒØ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò¹ Ð Ö Ô¹ Ø ÓÒ Ó Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÙÖ ¹Ï µ µ Ø ÓÖÖ Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò Û Ø Ð Ò Ø ÓÖ Ò Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ Ã ÒÓ Ï ÓÑ Åº Ö Ï Ð¹ ÓÒµ Ò ÑÓÖ Ö ÒØÐÝ Ø Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó ÓÒ ÓÖÑ Ð Ð Ø ÓÖ ÓÖ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ µ Ø ØÙ Ý Ó ØÓ Ø ÔÖÓ Ò Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÔÖÓÔ ÖØ Ä Ò Ú Ò Ó Ö¹ÈÐ Ò Ð Ù Ö Øºµº ÌÓ Ö ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ø Ñ ÖÓÙØ Ò ÓÐÐÓÛ º Ì Ö ÒÓ ÓÙ Ø Ø Ø Ò ÔÖ Ò ÔÐ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ËØ Ø Ø Ð Å Ò Ý Ð Ø Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ý Ø Ñ º ÐØ ÓÙ Ø Ñ Ø Ð ØØÐ ÖÖ Ð Ú ÒØ ÖÓÑ Ø ÔÖ Ø Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Û Ò ÑÓ Ø ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ö ÓÙØ Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò Ð ÓÖ ØÓÖÝ Ø Ñ ¹ Ð Ø ÖØ ÒÐÝ Ò ÖÝ Ø Ô ÓÒ Û ÓÒ Ò ØÖÝ ØÓ Ù Ð ØÖÙÐÝ ÝÒ Ñ Ø ÓÖÝº Ì Ñ Ò¹ Ð ØÙ Ý Ø Ô ¾µ Ó Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ó Û Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ö Ú Ð Ò ÒÖ ÐÝ Ö Ø ¹ ÓÖ Ø Ð ØÖÙØÙÖ º Ï Ø ÐÐ Ó ÒÓØ ÒÓÛ Û Ø Ö Ø ÖÖ Ø ÖÓÙ ØÓ Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð º Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ò Ø ÐÝ ÒØ Ö Ø Ò Ô Ö Ò Ø Ò Ú ÖÝ ÔÖÓÑ Ò Ð Ó ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ö Ò ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ò ØÛÓÖ Û Ø Ñ Ò¹ Ð Ö Ø Öº Ë Ð Ò Ö ÙÑ ÒØ Ú Ò ÔÔÐ ØÓ Ö Ò Ø Ñ Ò¹ ÓÒ Ð ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ÙØ Ø Ý Ö Ñ Ò Ø Ö Ô Ö ÒØ ÓÒ ÓÖ Ð Ò Ý Ø Ñ ÕÙ Ø Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ Ð Ò ÙÐØ ØÓ ÔÙØ ØÓ Ù ÒØÐÝ Ö ØÖ Ø Ú ÒÙÑ Ö Ð ÓÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø Øº Ì ÜØ Ò ÓÒ Ó Ö ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÖÓÙÔ Ñ Ø Ó ØÓ Ý Ø Ñ Û Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ð Ó ÙÒ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ò Ø ÐÐ Ò ÕÙ Ø ÐÓØ Ó ÛÓÖ Ø Ô µº ÓÖ Ø ÓÙØ Ó ½½

12 ½º ÁÒØ Ö ÔÐ Ò ÖÝ Ô Ø ½ ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÝÒ Ñ Ó Ø Ý Ø Ñ Ò Ø Ò ÓÐÚ Ø Ø Ñ Ò¹ Ð Ð Ú Ð ÙØ Ð ØØÐ ÒÓÛÒ Ò Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ô ÖØ ÖÓÑ ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ØÓÝ ÑÓ Ð Ò d = 1º Ò Ø Ø Ø ÓÙÒØ ÖÔ ÖØ Ø Ö ÙÐØ ÖÓÑ Ø ØÙ Ý Ó Ý¹ Ò Ñ Ñ Ò¹ Ð ÑÓ Ð Ú Ò Ú ÖÝ Ö Ò Ø Ý Ú Ù Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò Û Ô ÒÓÑ Ò Ø Ø Ú Ò Ð Ø Ö Ö ÓÖ Ò ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ó Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ º ÁÒ Ø Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ò Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÙÖ Ó Ò Ô Ö Ø ÓÒº ½º ÁÒØ Ö ÔÐ Ò ÖÝ Ô Ø Ì Ø ÓÖÝ Ó ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ÓÑ ÕÙ Ø ÒØ Ö ÔÐ Ò ÖÝ Ò Ø Ò Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò ÓÐÓ Ý ÓÖ Ú Ò Ó ÓÐÓ Ý Ò Ò Ò Ú ÓÖ Ö Ô Ø Ò Ò Ñ Ñ Û Ø Ñ Ð Ö ÑÓ Ð Ò ÓÐÚ Û Ø Ñ Ð Ö Ñ Ø Ó ØÓ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ù Ö º ½º º½ ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ì ÑÓ Ø ÓÒÚ Ò ÒØ Ö Ó ÔÔÐ Ø ÓÒ ÑÓ Ø ÔÖÓ ÐÝ Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓÔ¹ Ø Ñ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò º Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ù Ù ÐÐÝ Ø Ø Ò ÓÖÑ Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ñ Ò Ñ Þ Ò Ó Ø Ò Ö Ýµ ÙÒØ ÓÒ ÓÚ Ö Ð Ö Ø Ó Ú Ö Ð º ÌÝÔ ÐÐÝ Ø Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ú Ú ÖÝ Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú Ö Ð Ô Ö Ø Ý ÖÖ Ö Ø Ø Ð Û Ø N Ò Ò Ò Ø ØÖÙÐÝ ÓÐÙØ Ñ Ò ÑÙÑ Ö ÐÝ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ðº Å ÒÝ ÒØ Ö Ø Ò ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ø Ö Ø Ú ÒØ Ó Ò Ò ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ö Ô Ò Ö Ø Ò Ñ Ò¹ Ð Ò Ò ¹ ØÙÖ º Ì Ñ Ò¹ Ð Ñ Ò ÖÝ Ø Ø Û ÐÐ Ù Ø Ð Ò Ø Ø Ò ÔÔÐ Ð ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ñ ÒÓÖ ÓÖ ÒÓØ Ó Ñ ÒÓÖµ ÑÓ Ø ÓÒ Ù ØÓ Ø Ò Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ó Ø Ò ØÛÓÖ º Ä Ø Ù ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Û Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ º ÁÒ Ö Ô Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÛ ØÓ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÔØ Ñ Ð Û Ý Ö Ô Û Ø N Ú ÖØ Ò K Ð Ò ØÛ Ò Ø Ñ Ò ØÛÓ ÖÓÙÔ Ó ÕÙ Ð Þ N/2 Ò Ø Ñ Ò Ñ Ð Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÛ Ò Ø Ñº Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓÙÒØ Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò Û Ö ÓÒ Û ØÓ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø ÖÙ Ø Ó ÓÑÔÙØ Ö ØÛ Ò ØÛÓ Ô º ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÓÖÝ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ó ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Ó ÓÑÔÐ Ü ØÝ È ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ Û Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ù ÒÙÑ Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ø ÖÓÛ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú Ö Ð º º N 2 ÓÖ Ú Ò N 100 ÆÈ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Û ÒÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÓÛÒ Ò ÓÒ Ò ÒÙÑ Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ø ÖÓÛ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Û Ø N Øº ÔÔÐ ØÓ Ø ÛÓÖ Ø Ò Ø Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñº ÏÓÖ Ø Ò Ø Ò Ò Ø Ö Ô ¹Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ü ÑÔÐ Ñ Ò Ø ÛÓÖ Ø ÔÓ Ð Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÒÓ º ÃÒÓÛ Ò Û ÓÒ Ø ÐÖ Ý Ú ÖÝ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÙØ ÓÒ Ò ØÖÝ ØÓ ØÙ Ý ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ú Ö Ñ Ò Ò Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø ØÝÔ Ð Ò ÒÓØ Ø ÛÓÖ Ø Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ù Ó Ø Ò ÕÙ Ú ÐÓÔ Ò Ø Ð Ó ÓÖ Ö Ô Ý Ð Ý Ø Ñ Ò ÒÓØ ÐÝ Ô Ò¹ Ð ½¾

13 ½º ÁÒØ Ö ÔÐ Ò ÖÝ Ô Ø ½ ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ Ú ÔÖÓÚ Ò ÜØÖ Ñ ÐÝ Ù ÙÐ ØÓ Ø Ð ØÝÔ Ð Ò Ð Ö Ò ÓÑÐÝ Ò Ö Ø Ò Ø Ò Ó Ö ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ º ÆÓØ Ø Ø Ò Ø Ø Ø Ð Ñ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ú Ö Ñ ÖÓ ÓÔ ÕÙ ÒØ Ø ÑÓ Ø Ó Ø Ò Ù ÒØÐÝ Ø ØÓÖÝ ØÓ ÓÒ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÚ º ÁÒ Ø ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÓÒØ ÜØ ÓÒ ÓÖ Ü Ø Ñ ÖÓ ÓÔ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ü Ø ÖÓÙÒ Ø Ø Ò Ú Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÓØ ÒÓÙ º Æ Ú ÖØ Ð ÒÓÛÐ ÓÙØ Ø Ú Ö Ú ÓÙÖ Ò Ú Ù ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ñ Ø ÐÔ ÙÐ ØÓ Ò ÔÓÛ Ö ÙÐ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ ØØ Ò Ð Ò Ø Ò º ½º º¾ ÓÐÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÐÓ Ð ÓÒØ ÜØ ÓÖ Ö ÑÓ Ð Ú Ò Ù ØÓ Ö Ò ÙÖ Ð Ò ØÛÓÖ º º Ò Ò Ñ Ð Ó Ñ ÒÝ Ò ÙÖÓÒ ØÝÔ ÐÐÝ N 10 9 Ò Ø ÙÑ Ò Ö Òµ Û Ø Ú ÖÝ Ð Ú Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝº ÁÒ Ò ÙÖÓÒ ÓÒÒ Ø ØÓ 10 4 ÓØ Ö Ò ÙÖÓÒ Ò Ö Ú Ò Ò Ò Ò Ñ Ú Ø Ö ÜÓÒ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ö ÒÓ Ð Ö¹ÙØ ÒÓØ ÓÒ Ó Ø Ò Ò Ø Ò Ø Ø ÜÓÒ Ò Ú ÖÝ ÐÓÒ Ò ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò Ò ÙÖÓÒ Ø Ø Ö Ö Û Ý Ú Ò Ø Ø º À ÔÖÓÔÓ Ø Ø Ø Ñ ÑÓÖÝ Ð Ò Ø ÓÒÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ô ÙÐ Ö ØÝ Ó Ò ÙÖ Ð Ò ØÛÓÖ Ø Ø Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝ ÑÙ Ø Ø Ò Ò Ò Ø Ñ ØÓ ÒÓÖÔÓÖ Ø Ø ÔÖÓ Ó Ð ÖÒ Ò º Ì ÑÔÐ Ø Ò ÙÖ Ð Ò ØÛÓÖ ÑÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖÓÒ Û Ø ÓÓÐ Ò Ú Ö Ð ÓÖ Ô Ò Ø Ø Ø Ö Ö ÓÖ Ö ÕÙ ÒØº Ì ÒØ Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ô Ö Ó Ò ÙÖÓÒ Ò Ø Ý Ö ÙÑ ØÓ ÝÑÑ ØÖ Û Ò Ø ÐÝ ÒÓØ ØÖÙ µº Å ÑÓÖÝ Ó Ò Ó Ø Ø ÓÒ Øº Ó Ø ØÓ ÖØ Ò Ô ØØ ÖÒ Ó Ò ÙÖÓÒ Ð Ø Ú ØÝº ÁØ Ø Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ò N¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú ØÓÖ Ò Û ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ø Ú ØÝ Ó Ò ÙÖÓÒº Ò ÐÐÝ ÙÑ ÓÚ Ö ÔÖÓ ÙØ Ó Ø Ô ØØ ÖÒ ÓÒ Ø ØÙØ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ º Ò ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ò ØÙ Ý Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ø ØÓ ÒÙÑ Ö Ó Ó Ò Ô Ô ØØ ÖÒ ØÓ ØÓÖ Ò Ð Ø Ö Ö ÐÐ Ý Ø Ò ØÛÓÖ ÓÖ ÓÒ Ò ØÖÝ ØÓ Ò Û Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ú Ö ÓÛ Ñ ÒÝ ØÝÔ Ð Ô ØØ ÖÒ Ò Ò ØÛÓÖ Ó N Ò ÙÖÓÒ ØÓÖ º Ì ÑÓ Ð Ø Ò ÓÑ ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø ÓÖ ÐÙØ ÑÓ Ð Ó Ô Ò Û Ø ÕÙ Ò ÓÖ Öº ÒÓØ Ö Ð Ó ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ø Ò ÕÙ Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø¹ ÖÓÔÓÐÝÑ Ö Ò ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØÐÝ ÔÖÓØ Ò ÓÐ Ò º Ì ÕÙ Ø ÓÒ ÓÛ ØÓ Ö Ø ÓÐ Ò Ó Ð Ò Ö ÔÖ Ñ ÖÝ ØÖÙØÙÖ Ù Ø Ø ÕÙ Ò Ó Ö ÒØ Ñ ÒÓ¹ ÐÓÒ Ø Ñ Ò ÓÒ Òµ ÒØÓ Ò ÐÑÓ Øµ ÙÒ ÕÙ ÓÑÔ Ø Ò Ø Ú ØÖÙØÙÖ Û Ó Ô Ò¹ Ø Ñ Ø ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÓÐÓ Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓØ Òº ÁÒ ÑÓ ÐÐ Ò Ø Ú ÖÝ ÓÑÔÐ Ü Ý Ø Ñ ÓÒ ÔÖÓÔÓ Ø Ø Ø ÒÓÒ¹Ö Ò ÓÑ Ð Ø Ø ÖÓÙ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÖÓÑÓÐ ÙÐ Ñ Ý Ñ Ñ Ý Ö Ò ÓÑ ÔÓÐÝÑ Ö º Ì ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ñ ÒÓ¹ ÐÓÒ Ø Ò Ö Ò Ú ÖÝ Ö ÒØº ÇÒ Ø Ò Ù ÑÓÒÓÑ Ö¹ÑÓÒÓÑ Ö Ò»ÓÖ ÑÓÒÓÑ Ö¹ ÓÐÚ ÒØ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ö ÛÒ ÖÓÑ ÓÑ ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ö Ü Ò Ø Ñ ÕÙ Ò ÓÖ Öµº ËØ ÐÐ ÐÓÒ Ö ØÛ Ò Ø Ø ÓÖ Ø Ð Ô Ý Ø ³ ÔÔÖÓ Ò Ø ÓÐÓ Ø ³ ÓÒ Ö Ñ Ò ØÓ ÖÓ º ËÓÑ Ó Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ñ Ò Ð Ò Ö ÔÖÓØ Ò Ö Ñ Ó ÓÔ Ó Ø Û Ø Ó Ø ÓÖ Ö Ó ½¼¼ ÑÓÒÓÑ Ö Ø Ù Ö ½

14 ½º ÈÐ Ò Ó Ø Ð ØÙÖ ½ ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ÙÖ Ä Ø Ö Ò ÓÑ Ö Ô Û Ø Ò Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ö Ø Ø ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø º ÖÓÑ Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø ÒØ Ö Ø Ò Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò ÒÓØ Ú Ö Ò ÓÐÓ Ý Ò ÓØ Ö ÛÓÖ ÓÒ ÛÓÙÐ Ö ÐÐÝ Ð ØÓ ÒÓÛ Û Ø Ø ÓÒ ÖÝ ØÖÙØÙÖ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖ Ñ ÖÝ ÕÙ Ò Øº ½º º ÝÒ Ñ ÁÒ ÐÐ Ø ÒØ Ö ÔÐ Ò ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÝÒ Ñ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØº ÁÒ Ø ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÓÒØ ÜØ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ò Ý Ø Ø Ñ Ò ØÓ ÓÐÚ Øº ÁÒ Ø ÓÒØ ÜØ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ ÝÒ Ñ ÒÓØ Ø Ø Ý Ô Ý Ð ÖÙÐ ÙØ Ø Ò Ó Ò Ø Û ÐÐ ØÓ Ö Ò Ö Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓ Ð º ÀÓÛ Ú Ö Ð Ý Ô Ø Ø ÔÖÓÐ Ö Ø ÓÒ Ó Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Ô Ö Ø Ý ÖÖ Ö Ø Ø ÖÓÛ Ú ÖÝ Ø Û Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú Ö Ð Ò Ò Ö Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÓÖ ÒÝ Ð ÓÖ Ø Ñº ÁÒ Ø Ò ÙÖ Ð Ò ØÛÓÖ ÓÒØ ÜØ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ ÝÒ Ñ ÒÒÓØ Ó Ò Ø Û ÐÐ ÙØ Ò Ò Ö Ð Û ÐÐ ÒÓØ ÑÔÐ Ø Ò Ð Ô Ò Ô ÓÒ Ù Ò ÑÓÖ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð Ô Ý Ð ÔÖÓ Ð Ñ º ËØ ÐÐ Ø ÓÖ Ö ÑÓ ÐÐ Ò ÓÖÖ Ø Ð Ý Ô Ø Ò Ö Ò Ö Ö ÐÐ Ú ÖÝ ÐÓÛ Ù ØÓ Ø ÔÖ Ò Ó Ñ Ø Ø Ð Ø Ø ÓÖ ÖØ Ò Ú ÐÙ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö º ÁÒ Ø ÔÖÓØ Ò ÓÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð Ö Ø Ø Ø Ø Ñ Ò ØÓ Ö Ø ÓÒ ÖÝ ØÖÙØÙÖ ÖÓÑ Ò Ò Ø Ð ØÖ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ò ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒ Ø Ü Ø Ò Ó Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Ø Ø ÓÙÐ ØÖ Ô Ø Ø ÖÓµ ÔÓÐÝÑ Öº Ð Ý Ô Ø Ú Ò ÓÒ ¹ ØÙÖ ØÓ ÔÔ Ö Ò Ø ÓÒØ ÜØ ØÓÓº ½º ÈÐ Ò Ó Ø Ð ØÙÖ Ì ÔÐ Ò Ó Ø Ø Ó Ð ØÙÖ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÁÒ ÔØ Ö ¾ Û Ö ÐÐ Ø Ø ÓÖÝ Ó Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ø Û ÜÔÐ Ò Ø Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓ Ò Ø Ò Û ÒØÖÓ Ù ÙØÙ Ø ÓÒ Ò ÓÛ ÓÛ Ø ÑÔÓÖØ Ò Ó Ø Ð ØÓ Ø Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔº ÔØ Ö ÚÓØ ØÓ Ø Ù ÓÒ Ó ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ò Ø Ø Ò Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò ÐÓÛ¹Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ú ÓÖº Ï Ö Ý Ö Ø Ø Ö Ñ Ò ÖÓÙØ ØÓ Ö Ø Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ý Ø Ñ Ò ÐÝØ ÐÐÝ Ð Ò Ø Ö ÔÐ Ñ Ø Ó Ò ÙÒØ ÓÒ Ð Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ º ½

15 ½º ÈÐ Ò Ó Ø Ð ØÙÖ ½ ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ÁÒ ÔØ Ö Ò Û ÒØÖÓ Ù Ø Ñ ÒØÓ Ø Ù ÓÒº Ö Ø Û Ò ØÓ Ø ÔÖÓ Ø Ä Ò Ú Ò Ò Ð Ù Ö ÝÒ Ñ Ò Ø Ñ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ó Ö¹ ÈÐ Ò ÓÖÑ Ð Ñ º Æ ÜØ Û Ù Ø ÝÒ Ñ Ó Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ ÐÓ ØÓ Ø ÖÑ Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑº ÁÒ ÔØ Ö Û Ö Ú Ö Ð Ø Ò ÕÙ Ù ØÓ Ò ÐÝ ÝÒ Ñ Ð Ø ÓÖ Ô Ö¹ ØÙÖ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ Ö ¹ ÙÑÑ Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ Ø Ô Ø ¹ ÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð Ñ Å ÖØ Ò¹Ë ¹ ÊÓ µº Ï Ð Ó Ù Ø Ú Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ Ò Ö Ú Ø ÖÖ Ò Ù Ð Ûº Æ ÜØ Ò ÔØ Ö Û ØÖ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÑ Ò ÖÓÛØ Ò Ó Ö Ò Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ö Ò ÓÑ ÖÓÛØ Ó ÙÖ º Ï ÒØÖÓ Ù ÓÑ Ô Ý Ð Ü ÑÔÐ Ò ØÛÓ ÑÔÐ ÑÓ Ð Û Ù Ø Ú ÓÖ Ò Ø ÖÑ Ó Ð Ò Ð Û º Ò ÐÐÝ Ò ÔØ Ö Û ÔÖ ÒØ Ô ÖØ Ó Ø ØÖÙØÙÖ Ð Ð Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ Ý Ò Û Ö Ø Ù Ò Ô Ø ÐÐ Ó Ñ Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ Ò Ö Ò Øº ÁØ Ð Ö Ø Ø Ø ÓÖÖ Ø ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò ÐÝØ Ð Ñ Ø Ó ÛÓÙÐ Ò Ñ ÒÝ ÑÓÖ ÓÙÖ Ó Ø Ò º Ï ÐÐ ÓÒÐÝ Ú Ø Ñ Ò Ò Ö ÒØ Ó Ó Ø Ñ Ò ÔÖÓÚ Ø ÒØ Ö Ø ØÙ ÒØ Û Ø Ö Ö Ò ØÓ Ô Ò Ø Ö ÒÓÛÐ Ó Ø Ù Ø º ½

16 ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ¾ È ØÖ Ò Ø ÓÒ Ï Ö Ýµ Ö Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ù ØÓ ØÙ Ý ÓÖ Ö¹ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò Ò Ð Ò Ý Ø Ñ º Ì Ë Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÙØ Ö Ö Ò Ö Ú Û Ò ÒØÖÓ Ù ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò ÓÒ ÔØ Ø Ø Û ÐÐ Ù ØÓ Ö Ø Ø Ø Ò ÝÒ Ñ Ó ÓÖ Ö Ý Ø Ñ º ¾º½ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ð Ñ Ò Ä Ø Ù Ö Ö ÐÐ ÓÑ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÙÖ Ó ËØ Ø Ø Ð Å Ò ½ ¾ º ¾º½º½ Ì Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð Ì Ø Ø Ó Ð Ð Ý Ø Ñ Û Ø i = 1,..., N Ô ÖØ Ð ÑÓÚ Ò Ò d¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ð Ô ÙÐÐÝ Ö Ø Ö Þ Ý ÔÓ ÒØ Ò Ø 2dN Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ô Γº Ì ÓÓÖ ¹ Ò Ø Ó Ô Ô Ö Ø Ö Ð Ô ÓÓÖ Ò Ø Ó Ø Ô ÖØ Ð qi a Û Ö i Ø Ô ÖØ ¹ Ð Ð Ð Ò a = 1,...,d Ø Ð Ð Ó Ø Ö Ð Ô ÓÓÖ Ò Ø Ò Ø Ô ÖØ Ð ³ ÑÓ¹ Ñ ÒØ p a i º ÁØ ÓÒÚ Ò ÒØ ØÓ Ö ÔÖ ÒØ ÔÓ ÒØ Ò Ô Ô Û Ø 2dN¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ú ¹ ØÓÖ º º Y = ( Q, P) = (q1 1, q2 1, q3 1,q1 2, q2 2, q3 2,...,q1 N, q2 N, q3 N, p1 1, p2 1, p3 1,p1 2, p2 2, p3 2,...,p1 N, p2 N, p3 N ) Ò d = 3º Ì À Ñ ÐØÓÒ Ò Ó Ø Ý Ø Ñ H ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð ³ ÔÓ Ø ÓÒ Ò ÑÓÑ ÒØ º ÁØ Ò ÜÔÐ ØÐÝ Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÙØ Û ÐÐ ÒÓØ ÓÒ Ö Ø Ö º Ì Ô ÖØ Ð ³ Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ( Q, P)(t) Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ú Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ ( Q, P)(t = 0) Ø ÖÑ Ò Ý À Ñ ÐØÓÒ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÑÓØ ÓÒ Ø Ø Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Æ ÛØÓÒ Ò ÝÒ Ñ º Ø Ñ Ô Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÔÓ ÒØ Ò Ô Ô ( Q, P)(t) ØÖ ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ðµ Ô Ø Ò Γº Ò Ö Ý E ÓÒ ÖÚ Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ñ ÜÔÐ ØÐÝ Ò Ø Ù ÐÐ ÔÓ ÒØ Ò ÒÝ ØÖ ØÓÖÝ Ð ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ö Ý ÙÖ H( Q, P) = Eº Ö Ø Ú Ö ÓÒ Ó Ä ÓÙÚ ÐÐ ³ Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ø Ø ÚÓÐÙÑ Ð Ñ ÒØ Ò Ô Ô Ó ÒÓØ Ò Ò Ø ÓÙÖ Ó Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ À Ñ ÐØÓÒ ÓÖ Æ ÛØÓÒ Òµ Ð Û Ó ÑÓØ ÓÒº ÁØ ÔÖ ØØÝ Ý ØÓ ÓÛ Ù Ø Ý ÓÑÔÙØ Ò Ø Â Ó Ò Ó Ò Ó Ú Ö Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ò Ò Ø Ñ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ð ØØÐ ÚÓÐÙÑ dγ Ø Ø Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÑÓØ ÓÒ ÔÔ Ò Ü µº ÙØ Ò ÓÒ Ö ÐÐÝ Ö Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù Ý Ø Ñ ÁÒ ÔÖ Ø ÓÒ ÒÒÓØ Ø ÖÑ Ò Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ò ÑÓÑ ÒØ Ó ÐÐ Ô ÖØ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ Û Ø N 1 Û Ø Ö Ø ÔÖ ÓÒ ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ò Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø Ó Øº ÔÖÓ Ð Ø Ð Ñ ÒØ ÒØ Ö ÒØÓ ÔÐ Ýº Ï Ø ÓÒ Ö ÐÐÝ Ó Ø Ñ Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÔÓ ÒØ Ó Ø Ý Ø Ñ Ò Ú Ò Ö ÓÒ Ó Γ Ø Ø Ñ t Ú Ò Ø Ø Ø Ø ÖØ Ò ÓÑ ÓØ Ö Ö ÓÒ Ó Γ Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ñ º Ì Ù ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ ρ( Q, P; t) Ù Ø Ø ρ( Q, P; t)dγ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÔÓ ÒØ Ò Ö ÓÒ Ó ÚÓÐÙÑ dγ ÖÓÙÒ Ø ÔÓ ÒØ ( Q, P) Ø Ø Ñ t ÒÓÛ Ò Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ Ó Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒº ½

17 ¾º½ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ð Ñ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ÆÓØ Ø Ø Ò Ø ÐÐÝ ÓÒ ÒÓÛ Ø Ø Ø Ó Ø Ý Ø Ñ Û Ø Ö Ø ÔÖ ÓÒ Ø Ò Ø Ð ρ Û ÐÐ ÓÒ ÒØÖ Ø Ò ÓÑ Ö ÓÒ Ó Ô Ô º Ø Ð Ø Ö Ø Ñ ρ Ò Ø ÐÐ ÐÓ Ð Þ Ô Ö Ô Ò Ö ÒØ Ö ÓÒ Ó Ô ÓÖ Ø Ò ÔÖ º Ì Ô Ò ÓÒ Ø Ý Ø Ñ Ò Ø ÝÒ Ñ º Ï ÒÓÛ Ò ØÓ Ò Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ ρ ÒÓÛ Ò Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ô Ô ÓÓÖ Ò Ø Q, P µº ρ Ò Ú ÖÝ Ò Ø Ñ Ù ØÓ ØÛÓ Ñ Ò Ñ Ò ÜÔÐ Ø Ø Ñ Ú Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ñ Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÓÖ Ò Ø Ò ÑÓÑ ÒØ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÔÓ ÒØ Û Ò Ö Ò Ô Ô dρ dt = ρ t + ρ qi a q i a + ρ ṗ a p a i, i ¾º½µ Û Ø q i a = dqi a/dt Ò ṗa i = dp a i /dt Ø ÙÑÑ Ø ÓÒ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÓÚ Ö Ö Ô Ø Ò i Ð Ð Ô ÖØ Ð Ò a Ð Ð ÓÓÖ Ò Ø µ Ò ρ( Q, P, 0) ÒÓÛÒº ÈÖÓ Ð ØÝ Ú Ð Ò ÒÓÑÔÖ Ð Ù Ò Ô Ô Ò ÓÒ Ò Ø Ò Ù ÒÓÛÐ Ó Ù Ñ Ò ØÓ Ò ÐÝÞ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ º Ì Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú Ø Ò Ø Ü Q, P µ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ø Ñ ¹Ú Ö Ø ÓÒ Ó ρ Ø Ù Ô Ý Ø Ó Ò ÔÓ ÒØ Ò Ô Ô º Ì ØÓØ Ð Ö Ú Ø Ú Ò Ø Ø Ø Ñ ¹Ú Ö Ø ÓÒ Û ÓÐÐÓÛ Ø ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ô ³ Ó Ù Ò Ô Ô º Ä ÓÙÚ ÐÐ ³ Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ø Ø Ø Ò Ñ Ð Ó Ý Ø Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ý ÔÓ ÒØ Ò Ô Ô µ Ò Ø Ú Ò ØÝ Ó Ú Ò Ý Ø Ñ Ö Ñ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ñ º Ø Ð Ö ÔØ ÓÒ Ó Ä ÓÙÚ ÐÐ ³ Ø ÓÖ Ñ Ú Ò Ò º Ø Ó Ø ÔÖÓÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò º ÓÒ Ö Ñ ÐÐµ ÚÓÐÙÑ dγ ÙÖÖÓÙÒ Ý ÙÖ ds Ò Ô Ô º Ì ÔÓ ÒØ Û Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ò Ñ Ð Ó Ý Ø Ñ º Ì Ý Ò Ø Ù Ø ÚÓÐÙÑ Ø Ð ÚÓÐÚ Ò Ø Ñ ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÑÓØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ µº Ì ÚÓÐÙÑ Ò Ø Ö ÒØ Ô Ø Ö ÒØ Ò Ø ÒØ Ø ÓÖÑ Ó S Û ÐÐ Ö ÒØµ ÙØ Ø Ö Ø Ú Ö ÓÒ Ó Ä ÓÙÚ ÐÐ ³ Ø ÓÖ Ñ Ù ÓÚ Ø Ø Ø Ø Ø ÚÓÐÙÑ Ð Ñ ÒØ dγ Ó ÒÓØ Ò Ò Ø Ñ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ dn Û Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ dγ Ó ÒÓØ Ò Ò Ø Ñ Ø Öº Ì ÑÔÐ ØÓ º Á ÔÓ ÒØ Ò Ø ÐÐÝ Û Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ dγ Ö Ø ÙÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÑÓØ ÓÒ Ò ÙÖ Ø Ø Ø Û ÐÐ ÓÐÐÓÛ Ø ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ÙÖ ÓÖ ÐÐ Ù ÕÙ ÒØ Ø Ñ º ÁØ ÒÒÓØ Ø Ò Ð Ú Ø ÚÓÐÙÑ º Ì Ñ Ö ÓÒ Ò ÔÔÐ ØÓ ÔÓ ÒØ ÓÙØ Ø ÚÓÐÙÑ Ø Ý ÒÒÓØ ÒØ Öº Á Ò Ø Ö dn ÒÓÖ dγ Ò Ò Ø Ñ Ø Ò ØÝ ρ dn/dγ Ö Ñ Ò ÓÒ Ø ÒØ dρ dt = 0. ¾º¾µ Ì Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ä ÓÙÚ ÐÐ ³ Ø ÓÖ Ñº ÁÒ Ø Ø Ø Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÜÔ Ø Ø Ý Ø Ñ ØÓ Ö Ø Ø ÓÒ Ö ØÝ Ò Ø Ò Ø ÜÔÐ Ø Ø Ñ ¹Ú Ö Ø ÓÒ ØÓ Ú Ò ρ t = 0. ¾º µ ½

18 ¾º½ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ð Ñ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ÁÒ Ø Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ρ ÓÒ Ø ÒØ ÓÒ Ø Ô ØÖ ØÓÖ º ÇÒ Ñ Ý ÛÓÒ Ö Û Ø Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÖÓÑ Ò Ö Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ º Ä ÓÙÚ ÐÐ ³ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º¾µ ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Ð t t Ò p pº ÁÒ Ø Ü Ø Ò Ó ÓÒ ÖÚ ÙÖÖ ÒØ ÑÔÐ Ú ÆÓ Ø Ö³ Ø ÓÖ Ñ Ø Ü Ø Ò Ó ÝÑÑ ØÖÝº Ì ÝÑÑ ØÖÝ ÒÚ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ñ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ò Ø Ò Ö ØÓÖ Ó Ø ÝÑÑ ØÖÝ ÓÖ ÆÓ Ø Ö Ö µ Ø À Ñ ÐØÓÒ Òº Ì Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Ð ÝÑÑ ØÖÝ ÑÔÐ Ø Ø ÓÖ Ò Ö Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ä ÓÙÚ ÐÐ ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ø Ò Ø Ñ Ò Ó ÒÓØ ÔÔÖÓ Ò Ð ÝÑÔØÓØ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÓÙÐ ÒØ Û Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ t ρ = 0µº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÛ ØÓ Ó Ø Ò ÖÖ Ú Ö Ð Ý ÖÓÑ Ä ÓÙÚ ÐÐ ³ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒ Ò ËØ Ø Ø Ð Å Ò º Ï ÐÐ ÓÑ ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ë Øº º Ï ÐÐ ÒÓØ Ô Ò Ø Ù ÓÒ Ö Ð Ø Ù Ù Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ø Ø Ñ Ò ØØ ÑÔØ ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò Ø ÓÖ Ò Ó ÖÖ Ú Ö Ð ØÝ Ò Ø ÖÑ Ó ÓÛ Ò Ô Ô Ò Ø ÔÔÖÓ ÐÐ Ö Ó Ø ÓÖÝ ÓÙÒ Ý ÓÐØÞÑ ÒÒ Ý Ø Ò Ó Ø Á Ø ÒØÙÖÝ º ÁÒ Ø Ò Ó ÓÓ Û Ý ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó ρ Ò Ø ÔÔÖÓ ØÓ Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ø Ø ÓÒ ÑÔÐÝ ÐÓÓ ÓÖ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Ö Ø Ø ÓÒ ÖÝ Û Ø ÓÙØ ÛÓÖÖÝ Ò ÓÙØ ÓÛ Ø Ò Ñ Ð Ö Ø Ñº Ì Ò Ö Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÝÔÓØ t ÓÒ ÜÔ Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ý Ø Ñ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ñ Ò Ò ρ( Q, P; t) ρ( Q, P)º Ë ØØ Ò ÒÓÛ t ρ = 0 ÓÒ Ö Ð Þ Ø Ø Ø Ö Ñ Ò Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÒÝ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ýº Ì Ö Ø Ö Ø Ó Ø Ò Ñ Ð Ö Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ý Ø Ó Ò ÙÒØ ÓÒ ρ(e)º ÁÒ Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð ÓÒ Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÝÔÓØ ÁÒ Ø Ñ ÐÓÒ ¹Ø Ñ Ð Ñ Ø Ø Ý Ø Ñ Ó ÒÓØ ÔÖ Ö ÒÝ Ô Ð Ö ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ö Ý ÙÖ Ò Γ Ø Ö ÔÖ ÓÖ ÒÓ Ö ÓÒ Û Ý ÓÑ Ö ÓÒ Ò Γ ÓÙÐ ÑÓÖ ÔÖÓ Ð Ø Ò ÓØ Ö Ò Ø Ù ρ( Q, P) ÜÔ Ø ØÓ ÓÒ Ø ÒØ ÓÒ Ø Ò Ö Ý ÙÖ Ò Þ ÖÓ Ð Û Ö ρ( Q, P) = { ρ0 H( Q, P) (E, E + de), 0 ÓØ ÖÛ, ¾º µ Ì Ò Ø ÑÔÐ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Õº ¾º¾µº Ì ÝÔÓØ Ò Ú Ð ÓÒÐÝ Ø ÐÓÒ ¹Ø Ñ ÝÒ Ñ Ö ÓÒ ÐÝ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ º Ú Ò Ø Ú ÖÝ ÙÐØ ØÓ ÓÛ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓÔÓ ÓÚ Ú ÖÝ ÑÓÓØ ÙÒØ ÓÒ Ó ( Q, P) Ò Ø Ø Ò Ø Ø Ò Ø ØÓ Ö Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÙÒ Ö ØÓÓ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÒØÙ Ø Ú ÒÓÛÐ Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ º Ì Ö ÔØ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð Ó Ø Ø Ø Ð Ñ Ò Ú Ð ÓÖ ÐÓ Ý Ø Ñ Û Ø Ü Ò Ö Ý E Ò ÚÓÐÙÑ V º ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ¹ Ø ÒØ Ò Ö Ý ÙÖ ÐÐ Ñ ÖÓ Ø Ø º ÁÒ Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð ÐÐ Ñ ÖÓ Ø Ø ½

19 ¾º½ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ð Ñ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Ö ÕÙ Ú Ð ÒØº Ï Ò Ø Ò ÓÙØ ÐÐ Ø Ñ ÖÓ Ø Ø Ò Ñ ÒÝµ Ò Ô Ò ÒØ ÓÔ Ó Ø ÓÖ Ò Ð Ý Ø Ñº Ì ³ ÔÓ ÒØ Ó Ú Û ÒØÖÓ Ù Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ò Ñ Ð Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ó Ý Ø Ñ Ò ÒØ Ð Ñ ÖÓ ÓÔ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì Ú Ö Ó ÒÝ Ô Ô ÙÒØ ÓÒ A( Q, P) Ò ÒÓÛ ÓÑÔÙØ N d A = c dqi a dp a i ρ( Q, P)A( Q, P) i=1 a=1 ( ) 1 N d = dqi a N!g(E) dpa i δ[e H( Q, P)] A( Q, P). i=1 a=1 ¾º µ Ì ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ c = N da=1 i=1 dqi a dp a i δ[e H( Q, P)] = N!g(E) Ø ÚÓÐÙÑ Ó Ô Ô ÓÙÔ Ý Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ö Ý ÙÖ Ø Ð º Ì ÕÙ ÒØ ØÝ g(e) ÐÐ Ø Ò ØÝ Ó Ø Ø g(e) 1 N d δ[e H( Q, N! P)]. i=1 a=1 ¾º µ Ì Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÒØÖÓÔÝ S(E) k B lng(e). ¾º µ Å Ü Ñ Þ Ø ÓÒ Ó ÒØÖÓÔÝ Ø Ù ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÚÓÐÙÑ Ú Ð Ð ØÓ Ø Ý Ø Ñº ÆÓØ Ø Ø Ø Ò ØÙÖ Ó Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÓÒ Ø ØÙ ÒØ ÒÓØ Ò Ñ Ò¹ Ø ÓÒ Ò Ø Ù ÓÒº Ì Ö ÒÓ Ö ÓÒ ØÓ Ð Ú Ø Ø Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ö ÔØ ÓÒ ÛÓÙÐ Ð ÓÖ ÓÑ ØÝÔ Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ø Ø Û ÐÐ Ù Ò Ø Ð ÐÓÛº ¾º½º¾ Ì ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð ÓÖØ Ò ÐÓÒ Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ ÇÒ Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð Ò Ø Ð ÓÒ Ù Ù ÐÐÝ Ó ÙÖØ Ö Ò Ö Ú Û Ø ÐÐ Ø ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð Ö Ò Ø Ø Ø Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ý Ø Ñ Ø Ø Ò Ü Ò Ò Ö Ý Û Ø Ø ÙÖÖÓÙÒ Ò º Ä Ø Ù ÓÒ Ö Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ Û Ø ÚÓÐÙÑ V Ò Ú Ø Ò ØÛÓ Ô Û Ø ÚÓÐÙÑ V 1 Ò V 2 Û Ø V = V 1 +V 2 º Ì Ñ ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø Ø Ø Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ñ ÐÐ Ù Ý Ø Ñ Ý ½µ Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ø Ø Ó Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø Ö Ø Ó Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ Ù Ý Ø Ñ ¾µº ÁØ Ð Ö Ø Ø Ø Ò Ö Ý Ó Ø Ù Ý Ø Ñ ÒÓØ Ü Ò Ø Ö ÒÓØ ÐÓ Ø Ý ÒØ Ö Ø Û Ø ÓØ Öº Ì ØÓØ Ð Ò Ö Ý E Ø Ò Ø ÙÑ Ó Ø Ò Ö Ó Ø ØÛÓ Ù ¹ Ò Ñ Ð ÔÐÙ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ý ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ô E = E 1 + E 2 + E I º Á Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÓÒ Ø ØÙ ÒØ Ó Ø Ý Ø Ñ Ö ÓÖØ¹Ö Ò Ø ÒØ Ö¹ Ø ÓÒ Ò Ö Ý ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÙÖ ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ô E I S Û Ð Ø ½

20 ¾º½ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ð Ñ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Ò Ö Ý Ó Ù Ý Ø Ñ Û ÐÐ ÜØ Ò Ú Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÚÓÐÙÑ E 1 V 1 Ò E 2 V 2 º Ì Ù ÓÖ Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ E I Ò Ð Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ E 1 + E 2 º Á Ò Ø Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÓÒ Ø ØÙ ÒØ Ö Ù ÒØÐÝ ÐÓÒ ¹Ö Ò Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÒØÓ ÚÓÐÙÑ Ò ÙÖ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ó ÒÓØ ÔÔÐÝ ÒÝ ÐÓÒ Öº Ì Ö Ñ Ö ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ Ò Ì Ø Ú ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ E = E 1 + E 2, ¾º µ ÓÖ ÒÝ ØÛÓ Ù Ý Ø Ñ 1 Ò 2 Ó Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñº ÇÒ Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÓÖØ Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ó ÓÖ Û Ø Ø Ú ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ ÔÔÐ Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÐÓÒ Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ó ÓÖ Û Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ð º Ä Ø Ù Ö Ú Û Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓÒ Ð ØÖ ÙØ ÓÒº ÓÒ Ö Ý Ø Ñ Û Ø ÚÓÐÙÑ V Ú Ø Ò ØÛÓ Ô Û Ø ÚÓÐÙÑ V 1 Ò V 2 Û Ø V = V 1 +V 2 Ò Ò Ö E 1 Ò E 2 º Á Û ÙÑ Ø Ø Ø ØÛÓ Ý Ø Ñ Ö Ò Ô Ò ÒØ Û Ø Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø E 1 +E 2 = E º º Ø Ø Ú ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ù Ý Ø Ñ 1 ØÓ Ø Ò Ò Ö Ý E 1 P(E 1 )de 1 g(e 1, E 2 ) de 1 = g(e 1 )g(e 2 ) de 1 = g(e 1 )g(e E 1 ) de 1 = g(e 1 )e k 1 B S 2(E E 1 ) de 1 g(e 1 )e k 1 B S 2(E)+k 1 B ES(E)( E 1 ) de 1 g(e 1 )e βe 1 de 1, ¾º µ Ò Ø Ö Ü Ò Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ P(E 1 ) = Z 1 (β) g(e 1 )e βe 1, Û Ø Z(β) = de 1 g(e 1 )e βe 1. ¾º½¼µ Ä Ø Ù Ö Ô Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ñ µ Ò Ô Ò Ò g(e 1, E 2 ) = g(e 1 )g(e 2 ) µ Ò Ö Ý Ø Ú ØÝ E 2 = E E 1 µ Ñ ÐÐ Ý Ø Ñ ½ (E 1 E) Úµ ÓÒ Ø ÒØ ÒÚ Ö Ø ÑÔ Ö ¹ ØÙÖ ³ k B β E S(E)º ÆÓØ Ø Ø ÙÑÔØ ÓÒ µ Ò µ Ð Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÐÓÒ ¹Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ º ÁÒ Ø Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð Û ÐÐ¹ Ò Ø ÓÙ ÙÐØ ØÓ Ù Ò Ø ÒÓÒ Ð ÒÓØ Ú Ò Ò Ø Ú ØÝ Ò Ø ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Á Ò ÑÓ Ð Ì Ø ÓÛÒ Ý ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Á Ò ÑÓ Ð E = J N s i s j i j ¾º½½µ Û Ö Ø Ô Ò s i i = 1,...,N Ø Ú ÐÙ ±1 J Ò Ø ÓÙÔÐ Ò ØÖ Ò Ø Ò Ø ÙÑ ÖÙÒ ÓÚ Ö ÐÐ Ô Ö Ó Ô Ò Ò Ø Ò Ñ Ð º Ä Ø Ù ÜÔÐÓÖ Ø Ø Ú ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø Ò Ö Ý ÓÖ ÑÔÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÐÐ Ô Ò ÔÓ ÒØ Ò Ò Ø Ñ Ö Ø ÓÒ s i = 1 ÓÖ ÐÐ i º º Ø Ô Ö ØÐÝ Ñ Ò Ø Þ Ø Ø º Ì ØÓØ Ð Ò Ö Ý ¾¼

21 ¾º½ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ð Ñ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË E = J(N 1)º Á Û ÒÓÛ Ú Ø Ý Ø Ñ Ò ØÛÓ Ù Ý Ø Ñ Û Ø N/2 Ô Ò Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ó Ù Ý Ø Ñ E 1 = J(N 2)/4 Ò E 2 = J(N 2)/4 Ò ÓÒ ÒÓØ Ø Ø E E 1 + E 2 º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ E I E (E 1 + E 2 ) = JN/2 Ø ÐÐ Ñ ÖÓ ÓÔ ÕÙ ÒØ ØÝº ÇÒ E E 1 E I JN ¾º½¾µ ÐÐ Ø Ò Ö Ý Ö Ó Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô Ò Ò Ø ÑÔÐ º ÁÒ Ø Ù Ù Ð Á Ò ÑÓ Ð Ò ÓÒ d Ñ Ò ÓÒ Ð Ð ØØ Û Ø Ò Ö Ø¹Ò ÓÙÖ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ø Ú ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÐ º Ü ÑÔÐ Ø ÔÓÛ Ö¹Ð Û ÔÓØ ÒØ Ð ÁÒ Ø Ð Ó Ô ÖØ Ð Ý Ø Ñ Û Ø ØÛÓ¹ Ó Ý ÒØ Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ò ¹Ó Û Ø Ø Ò ÔÓÛ Ö Ð Û V (r) r α ¾º½ µ ÓÒ Ò Ø Ø Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÐÓÒ ¹Ö Ò α < d ÓÖØ¹Ö Ò α > d Û Ø d Ø Ñ Ò ÓÒ Ó Ô º ÑÔÐ Û Ý Ó ÓÛ Ò Ø Ò Ö Ð Ö ÙÐØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Ì ÔÓ ÒØ Ô ÖØ Ð Û Ø ÙÒ Ø Ñ Ò ÔÐ Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ó ÓÓÖ Ò Ø º ÓÒ Ö Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Û Ø ÓÑÓ Ò ÓÙ Ñ Ú Ô Ö Ð ÐÐ Û Ø ÒØ ÖÒ Ð Ö Ù ǫ Ò ÜØ ÖÒ Ð Ö Ù R Ò Ò ØÝ ρº Ì ØÓØ Ð Ò Ö Ý ÐØ Ý Ø Ô ÖØ Ð E = d d x ρ R V r = Ω α d dr rd 1 ρ ǫ r α = Ω d ρ [ R d α ǫ d α], ¾º½ µ d α Û Ö Û ÓÔØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð V (r) = r α ÓÖ ÐÐ rº Ω d Ø Ò ÙÐ Ö ÚÓÐÙÑ Ω d = 2π Ò d = 2 Ω d = 4π Ò d = 3 Øº ÇÒ Ò Ø Ø ÓÖ α > d Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø ÙÖ r = Rµ Ò Ð Ð Û Ð ÓÖ α < d Ø Ú Ö ÁÒ Ø Ð ØØ Ö ÙÖ Ø ÒÒÓØ Ò Ð Ø Ò Ø Ò Ö Ý ÒÓØ Ø Ú º Ì Ò Ø ÓÒ ÑÔÐ Ø Ò Ø Ø Ø Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ V G (r) = Gm 2 r 1 ÐÓÒ ¹Ö Ò Ò Ø Ö Ô Ø Ð Ñ Ò ÓÒ Û Ð Ø Î Ò Ö Ï Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ V V W (r) r 6 ÓÖØ¹Ö Ò º Ì ÐÓÒ ¹Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ø Ñ ÐÐ ÒÓÒ¹ ÒØ Ö Ð Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ º ÈÐ Ñ Ô Ý Ð Ó ÔÖÓÚ Ü ÑÔÐ Ó ÒÓÒ¹ Ø Ú Ý Ø Ñ Ø ÖÓÙ Ò Ø Ú Ö ÔØ ÓÒº Ì ÐÙÖ Ó Ò Ö Ý Ø Ú ØÝ Ø Ø ÓÖ Ò Ó Ø ÙÒÙ Ù Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò Ý¹ Ò Ñ Ú ÓÙÖ Ó Ý Ø Ñ Û Ø ÐÓÒ ¹Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ º ËÙÖÔÖ Ò ÐÝ ÒÓÙ ÓÒ Ò Ø Ø Ñ ÒÝ Ù Ù Ð Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ö ÙÐØ Ö ÑÓ Û Ø ÓÖ Ü ÑÔÐ Ý Ø Ñ Ú Ò Ò Ø Ú Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ô Ø ÑÓÖ ÓÚ Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ò Ñ Ð Ñ ÖÓ ÒÓÒ ÒÓÒ Ò Ñ ÖÓ ÒÓÒ µ Ö ÒÓ ÐÓÒ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Û Û ÓÚ Û Ø Ø ÐÙÖ Ó Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð ÖÓÑ Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ðº ¾½

22 ¾º½ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ð Ñ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Ì Ø Ø Ø Ð Ô Ý Ó Ð ¹ Ö Ú Ø Ø Ò Ý Ø Ñ ÐÐ ÒØÓ Ø Ð Ó Þ ÖÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ö ÑÙ ÙÖÖ ÒØ Ö Ö ØÓ ØÖÝ ØÓ ÐÙ Ø Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØ º Ï ÐÐ Ù ÓÑ Ó Ø Ñ ÒÝ ÒØ Ö Ø Ò ØÙÖ Ó Ø Ý Ø Ñº ¾º½º Æ Ø Ú Ô Ø Ò Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ì ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ P(E) Ò Ø ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ø E = U Û Ø U Ú Ò Ý E S(E) E=U = k B β = T 1, ¾º½ µ Û Ö S(E) Ø ÒØÖÓÔÝ Ò ÖÓÑ Ø Ò ØÝ Ó Ø Ø g(e) Õº ¾º µº Ì Ì ÝÐÓÖ ÜÔ Ò ÓÒ Ó ln P(E) ÖÓÙÒ U Ý Ð ln P(E) β(u TS) 1 2 β2 C 1 V (E U) Û Ø Ø ÒÓÒ Ð Ô Ø Ò C can V ¾º½ µ = β 2 U(β β. ¾º½ µ P(E) Ù Ò ÒØ Ö Ø U Ø Ù U = E µ Û Ø Ô Ö ÓÒ σ = β 1 C 1/2 V º ÁÒ Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ Û Ø N Ô ÖØ Ð Ò ÓÖØ¹Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÜÔ Ø E N Ò C V N Ò Û Ø Ö Ø Ó ØÛ Ò ØÝÔ Ð Ò Ö Ý Ò Ô Ö ÓÒ ÓÖ Ö Ð Ø Ú ÙØÙ Ø ÓÒ Ú Ò N 1/2 º ÁÒ Ø Ð Ö N Ð Ñ Ø Ø Ò Ö Ý Ò Ø ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð ÓÑ U Ò Ø Ö Ð Ø ØÓ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø ÖÓÙ ¾º½ µº ÇÒ Ø Ù ÔÖÓÚ Ø ÕÙ Ú Ð Ò ØÛ Ò Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò ÒÓÒ Ð Ö ÙÐØ º Ï Ø ÔÔ Ò Û Ò Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ð Ï Ø Ò Ó Ô ÙÐ Ö Ø Ò ÓÒ ÜÔ Ø ØÓ Ò ÇÒ Ó Ø ÑÔÐ Ø Ñ Ñ Ø ÓÙÒ Ø ÔÓ Ð ØÝ Ó Ú Ò Ò Ø Ú Ô Ø Ò ÓÑ Ö ÓÒ Ó Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ö ÔØ ÓÒ Ó Ý Ø Ñ Û Ø ÐÓÒ ¹Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ º Ì ÑÔÓ Ð Ò ÒÓÒ Ð ÓÖÑ Ð Ñº ÁÒ Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð ÓÒ Ø ÒØ ÚÓÐÙÑ Ô Ø Ò C micro V = β 2 E(β) β ¾º½ µ ÓÒ ÒÚ ÖØ β(e) = k 1 B E S(E) ØÓ ÛÖ Ø E(β) Ò Ø ÕÙ ÒØ ØÝ ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ò Ø º ÁÒ Ø Ò Ø ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð Ø ÓÒ Ø ÒØ ÚÓÐÙÑ Ô Ø C can V = β 2 U β = β2 E β ln Z(β) = β2 β = β 2 ( E 2 E 2) = β 2 (E E ) 2 ¾º½ µ ÔÓ Ø Ú Ò Ø º Ï Ò Ø ØÛÓ Ò Ñ Ð Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø Ñ ÖÓÒ ÒÓÒ Ð CV micro ÓÙÐ ÒØ Ð ØÓ Ø ÒÓÒ Ð ÓÒ CV can Ò Ø Ù ÔÓ Ø Ú º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÔÓ Ð ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÑÓ Ð ÓÖ Ò Ø Ò Ø Ó Û Ø ÐÓÒ ¹Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ù Ø Ø CV micro Ò Ø Ú Ò ÓÑ Ö Ò Ó Ô Ö Ñ Ø Ö º ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Û Ò CV micro < 0 Ø Ý Ø Ñ ÙÒ Ö Ó Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð Ë Øº ¾µº ¾¾

23 ¾º¾ Ì Ö Ó ÝÔÓØ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ¾º½º Ì Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð Ò ÐÐÝ Ò Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð ÓÒ Ö Ø Ö Þ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ø Ø Û Ø Ø ÚÓÐÙÑ V Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ò Ø Ñ Ð ÔÓØ ÒØ Ð µº ËÙÑÑ Ö Þ Ò Ò Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð Ø Ý Ø Ñ ÓÐ Ø Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò T 1 S E Eº ÁÒ Ø ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð Ø Ý Ø Ñ Ò ÓÒØ Ø Û Ø Ö ÖÚÓ Ö ÓÒ Ö ØÓ ÑÙ Ð Ö Ö Ý Ø Ñ Û Ø Û Ø Ò Ü Ò Ò Ö Ý ØÓ Ô Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ü ØÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÜØ ÖÒ Ð ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØº ÁÒ Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð Ø Ý Ø Ñ Ò ÓÒØ Ø Û Ø Ö ÖÚÓ Ö Û Ø Û Ø Ò Ü Ò Ò Ö Ý Ò Ô ÖØ Ð º Ì ÕÙ Ú Ð Ò ØÛ Ò Ø Ñ Ò ÙÖ ÓÒÐÝ ÓÖ Ý Ø Ñ Û Ø ÓÖØ¹Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ º ¾º½º ÇÙÖ ÔÙÖÔÓ ÓÖ ÓÙÖ ÔÙÖÔÓ Û ÐÐ Ø ÐÐ Ù Ø ÒÓÒ Ð ÔÔÖÓ ØÓ ÑÓ Ð Û Ø ÐÓÒ ¹Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ ÙÑ Ò Ø Ø ÒÓ Ô ÙÐ Ö Ú ÓÙÖ Ó Ø Ò Ö ÓÚ Û ÐÐ ÔÔ Ö Ò Ø ÒØ Ö Ø Ò Ö Ò Ó Ô Ö Ñ Ø Ö º ¾º¾ Ì Ö Ó ÝÔÓØ Ò ÐÐÝ Ð Ø Ù Ù ÓÐØÞÑ ÒÒ³ Ò ³ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ú Ö Ò Ø Ö Ó ÝÔÓØ º ÓÐØÞÑ ÒÒ ÒØ ÖÔÖ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ñ Ú Ö Ó Ø ÓÖÑ 1 A lim τ 2τ τ τ dt A( Q(t), P(t)). ¾º¾¼µ Ï Ø Ø ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÔØ Ó Ò Ñ Ð Ú Ö ÒØ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ò Ò ØÙ Ð Û Ý Ó ÓÑÔÙØ Ò µ Ñ ÖÓ ÓÔ Ó ÖÚ Ø ÓÒ º ÓÖ Ø Ú Ö Ö Ø Ø Ø Ð ÓÒ ÓÚ Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ó Ø Ø Ø Ø Ð Ò Ñ Ð N d A = c dqi a dp a i ρ( Q, P)A( Q, P), i=1 a=1 ¾º¾½µ Û Ø ρ Ø Ñ ÙÖ º ÁÒ Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð Ø Ò Ú Ö ÓÚ Ö Ñ ÖÓ¹ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ö Ý ÙÖ Ø Ò Û Ø Ø Ñ ÖÓ ÒÓÒ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ ¾º µ N d A = c dqi a dpa i δ(h( Q, P) E)A( Q, P), i=1 a=1 Ò Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ c 1 = N da=1 i=1 δ(h( Q, P) E)º Ò Ñ Ð Ø Ú Ö ÓÑÔÙØ Û Ø Ø ¹ ÓÐØÞÑ ÒÒ Û Ø N A = Z 1 d dqi a dpa i e βh( Q, P) A( Q, P). i=1 a=1 ¾º¾¾µ ÁÒ Ø ÒÓÒ Ð ¾º¾ µ ¾

24 ¾º ËØ Ò Ö ÑÓ Ð ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Z Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Z = N i=1 da=1 dq a i dpa i e βh( Q, P) º Ì Û µ Ö Ó ÝÔÓØ Ø Ø Ø Ø ÙÒ Ö Ø ÝÒ Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø Ö ÔÖ ÒØ ¹ Ø Ú ÔÓ ÒØ Ò Ô Ô Ó Ð Ð Ý Ø Ñ ÓÚ ÖÒ Ý Æ ÛØÓÒ Ð Û Ò Ø ÐÓ Ö ØÓ ÒÝ ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ö Ý ÙÖ º Ì Ö Ó ÝÔÓØ Ø Ø Ø Ø Ø Ñ Ò Ò Ñ Ð Ú Ö ¾º¾¼µ Ò ¾º¾½µ Ó¹ Ò Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÖ ÐÐ Ö ÓÒ Ð Ó ÖÚ Ð º Ì ÝÔÓØ ÒÒÓØ ÔÖÓÚ Ò Ò Ò Ö Ð ÙØ Ø Ò Ú Ö Ò Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó º ÁÒ Ò Ö Ð Ø Ö Ø Ù Ó ËØ Ø Ø Ð Å Ò Ò ÔÖ Ø Ò ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ö ÙÐØ Ú Ò ÒÓÙ Ú Ò ØÓ ÔØ Ø ÝÔÓØ º Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ú ØÝ Ò ÑÓ ÖÒ ËØ Ø Ø Ð Å Ò ÚÓØ ØÓ Ø ØÙ Ý Ó Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ Ø Ø Ó ÒÓØ Ø Ý Ø Ö Ó ÝÔÓØ º Û ÐÐ¹ÙÒ Ö ØÓÓ Ø ÓÒ Ó Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Û ÐÐ Ù Ø Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº ÇØ Ö Ö Ö Ð Ø ØÓ Ø Ö ÓÛÒ Ó ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒº Ì Ò ÓÙÖ Ø Ö Ù Ø Ý Ö ÜØ Ö¹ Ò ÐÐÝ Ö Ú Ò ÓÖ Ù Ø Ý Ø ÖØ ÖÓÑ Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ö ÖÓÑ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò Ø Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ø Ø Ý Ó ÒÓØ Ñ Ò ØÓ ÕÙ Ð Ö Ø º ÇÒ Ñ Ý ÛÓÒ Ö Û Ø Ö ÖØ Ò ÓÒ ÔØ Ó Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø Ð Ñ Ò Ò Ø ÐÐ ÔÔÐ ØÓ Ø Ð ØØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ º Ø Ð Ø ÓÖ Ò Û Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ý¹ Ò Ñ ÐÓÛ ÓÒ Ò ÓÔ ØÓ Ö Ú Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø Ð Ñ Ò ÓÒ ÔØ ØÓ Ö Ø Ö Ú ÓÖº Ò ÐÐÝ Ð Ø Ù Ö Ñ Ö Ø Ø Ø Ù Ù ÐÐÝ ÑÙ Ö ØÓ ÛÓÖ Ò Ø ÒÓÒ Ð Ò Ñ Ð ÓØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ Ò Ò ÐÝØ ÐÐÝº Ì Ù Ò ÐÐ ÓÙÖ ÙØÙÖ ÔÔÐ Ø ÓÒ Û ÙÑ Ø Ø Ø Ý Ø Ñ Ò ÓÒØ Ø Û Ø Ø Ö ÖÚÓ Ö Û Ø Û Ø Ò Ü Ò Ò Ö Ý Ò Ø Ø Ô Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ü º ¾º ¾º º½ ËØ Ò Ö ÑÓ Ð Å Ò Ø Ý Ø Ñ Ä Ø Ù Ò ÐÝÞ ÓÒ Ò Ñ Ò Ø Ý Ø Ñº Ì À Ñ ÐØÓÒ Ò Ö Ò ÐÐ Ñ ÖÓ¹ ÓÔ Ø Ð Ö Ø Ö ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ð ØÖÓÒ Ñ Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Ú Ò Ö Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÑÔÐ ÙØ Ð Ó ÓÒ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø ØÓÑ ÖÝ Ø Ð Ø ÔÖ Ò Ó ØÖÙØÙÖ Ð Ø Øº Á Û ÐÐ α Ñ ÖÓ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ P α = e βhα /Z Û Ø Z Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Z = α e βhα º ÁØ ÓÛ Ú Ö ÑÔÓ Ð Ò ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ Ô ÐÐ Ø Ð Ò ÛÓÖ Û Ø ÐÐ ÔÓ Ð Ô Ý Ð Ô ÒÓÑ Ò ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝº ÁÑ Ò Ø Ø Û Ö ÓÒÐÝ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ñ Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ø Ö Þ Ý Ø Ð ØÖÓÒ Ñ Ò Ø ÑÓÑ ÒØ º Ì Á Ò ÑÓ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ñ Ò Ø Ý Ø Ñº ÁØ Ö Ñ Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Ð Ð Ô Ò s i Ø Ò Ú ÐÙ ±1 ÐÝ Ò ÓÒ Ø Ú ÖØ Ó Ù Ð ØØ Ò d Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ò ÒØ Ö Ø Ò Ú Ò Ö Ø¹Ò ÓÖ ÓÙÔÐ Ò J > 0º Ì Ò Ö Ý Ø Ò H = J 2 ij s i s j i ¾ h i s i ¾º¾ µ

25 ¾º ËØ Ò Ö ÑÓ Ð ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Û Ö h i ÐÓ Ð ÜØ ÖÒ Ð Ñ Ò Ø Ð º ÅÓ Ø ØÝÔ ÐÐÝ ÓÒ ÛÓÖ Û Ø ÙÒ ÓÖÑ Ð h i = h ÓÖ ÐÐ Ø º Ì Ù Ø Ø ÓÒ ÓÖ ÛÓÖ Ò Û Ø Ò Á Ò Ú Ö Ð Ø Ò ÓÒÐÝ ØÛÓ Ú ÐÙ Ø Ò Ò Ñ ÒÝ Ñ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ñ Ò Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÖ ØÓ ÔÓ ÒØ ÐÓÒ Ò Ý Ü ³ Ð Ø Ý ÖÝ Ø ÐÐ Ò Ð º Ì Ö Ö ØÛÓ ÜØ ÖÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ò H Ø ÓÙÔÐ Ò ØÖ Ò Ø J Ò Ø ÜØ ÖÒ Ð Ð hº J > 0 ÚÓÖ Ø Ð Ò Ñ ÒØ Ó Ø Ô Ò Ò Ø Ñ Ö Ø ÓÒ ÖÖÓÑ Ò Ø Ñµ Û Ð J < 0 ÚÓÖ Ø ÒØ ¹ Ð Ò Ñ ÒØ Ó Ø Ô Ò ÒØ ÖÖÓÑ Ò Ø Ñµº Ì Ñ Ò Ø Ð Ø Ò ØÓ Ð Ò Ø Ô Ò Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ø Ù h > 0º Ì Á Ò ÑÓ Ð Ô ÐÐÝ ØØÖ Ø Ú ÓÖ ÒÙÑ Ö Ó Ö ÓÒ µ ÁØ ÔÖÓ ÐÝ Ø ÑÔÐ Ü ÑÔÐ Ó ÑÓ Ð Ò ØÓ Û ØÙ ÒØ ÓÒ ÖÓÒØ º µ ÁØ Ò ÓÐÚ Ò ÓÑ d = 1 d = 2 d º Ì ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ò Ø ÓÙÖ Ó Ò Û Ò ÔÓÛ Ö ÙÐ Ø Ò ÕÙ Ð Ø Ö ÔÔÐ ØÓ Ú Ö ØÝ Ó Ö ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ô Ý Ò ÒØ Ö ÔÐ Ò ÖÝ Ð º µ ÁØ ÒÓØ Ò ÓÐÚ Ò ÐÝØ ÐÐÝ Ò Ø ÑÓ Ø Ò ØÙÖ Ð d = 3 Úµ ÁØ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò ÒØ Ö Ø Ò ÓÐÐ Ø Ú Ô ÒÓÑ ÒÓÒ Ô Ö Ø Ò ØÛÓ Ô Ø Ø Ö Û ÐÐ¹ÙÒ Ö ØÓÓ Ò Ú Ø Ð Ø ÕÙ Ð Ø Ø Ú ÐÝ Ö Ð Ñ Ò Ø Û Ø Ô Ö ¹ Ñ Ò Ø Ò ÖÖÓÑ Ò Ø Ô º Úµ Ì Ö Ò ÙÔÔ Ö d u Ò ÐÓÛ Ö d l Ö Ø Ð Ñ Ò ÓÒº ÓÚ d u Ñ Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ÓÖÖ ØÐÝ Ö Ø Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ ÒÓÒº ÐÓÛ d l Ø Ö ÒÓ Ò Ø T Ô ØÖ Ò Ø ÓÒº ÐÓÛ d u Ñ Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ Ð ÔØ Ö ¾µº Ú µ ÇÒ Ò Ø ÛÓÖ Ò Ö ØÓÓÐ ØÓ Ö Ø Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ ÒÓÒ Ð Ð Ò ÔØ Ö ¾ µ Ò Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ ÔØ Ö ¾µº Ú µ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ò Û Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò»ÓÖ Ø Ð Ö Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ø Ò ÖÓÑ ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ö ØÝÔ Ð Ü ÑÔÐ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö ÔØ Ö µº Ú µ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ò Û Ô Ò Ö ÒÓØ Ù Ø Á Ò Ú Ö Ð ÙØ Ú ØÓÖ Û Ø n ÓÑ¹ ÔÓÒ ÒØ Ö Ð Ó ÒØ Ö Ø Ò n = 1 Á Ò µ n = 2 µ n = 3 À Ò Ö µ ººº n Ð Ö O(n)µ H = J i s j 2 ij s hi s i ¾º¾ µ i Üµ ÇÒ Ò ÝÒ Ñ ÖÙÐ ØÓ ÙÔ Ø Ø Ô Ò Ò Û Ö ÓÒ ÖÓÒØ ØÓ Ø Ò Û ÏÓÖÐ Ó ØÓ Ø ÔÖÓ ÔØ Ö µº Üµ Ä Ø ÙØ ÒÓØ Ð Ø Ø Ò Ô Ö Ñ Ø ÑÓ Ð ÜØ Ò ØÓ Ö Ñ ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò ÝÓÒ Ô Ý Ð Ò ÙÖ Ð Ò ØÛÓÖ Ó Ð Ò Ñ Ð Øº Ì Ô Ò Ð ÓÒ d Ñ Ò ÓÒ Ð Ð ØØ Ø Ø Ò Ú Ö ÒØ ÓÑ ØÖ º ÓÖ Ò Ø Ò Ù Ð ØØ Ù Ø Ø Ú ÖØ Ü ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÙÑ Ö Ó Ò ÓÙÖ z = 2dº ÌÖ Ò ÙÐ Ö ÓÒ ÝÓÑ Øº Ð ØØ Ö Ð Ó Ñ Ð Ö ¾

26 ¾º ÇÖ Ö Ò ÓÖ Ö ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ¾º º¾ ËÝÑÑ ØÖ ÁÒ Ø Ò Ó Ò ÔÔÐ Ñ Ò Ø Ð Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ¾º¾ µ Ö Ñ Ò ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö Ø ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÖÓØ Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ô Ò H[ s ] = J 2 = J 2 s i s j = J R ab s b i 2 Rac s c j ij ij R tba R ac s b i sc j = J s b i 2 sb j ij ij ¾º¾ µ Ò R Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù Ø Ø R t R = Iº Ì ÝÑÑ ØÖÝ ÜÔÐ ØÐÝ ÖÓ Ò Ý Ø ÜØ ÖÒ Ð Ð º ¾º ÇÖ Ö Ò ÓÖ Ö Ì Ô Ó Ñ Ø Ö Ð Ò ÓÒØ Ø Û Ø Ò ÜØ ÖÒ Ð Ö ÖÚÓ Öº Ì Ñ Ø Ö Ð Û ÐÐ Ö¹ Ø Ö Þ Ý ÖØ Ò Ó ÖÚ Ð Ò Ö Ý Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Øºº ÌÓ Ö Ø Ö Þ Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ Ø ÓÒÚ Ò ÒØ ØÓ ÓÒ Ö Ò Ø Ó Ò Ö Ý Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ø Ý Ú Ò Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ú ÐÙ Ý Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô ÖØ Ð ÓÖ Ø ÚÓÐÙÑ µ Ó Ø Ý Ø Ñº Ì ÜØ ÖÒ Ð ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Û ÐÐ Ö Ø Ö Þ Ý ÓÑ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ Ò Ø Ð ÔÖ ÙÖ Øº ÁÒ ÔÖ Ò ÔÐ ÓÒ Ð ØÓ ØÙÒ Ø Ð ØØ Ö Ò Ø ÓÖÑ Ö Û ÐÐ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñº Ë ÖÔ Ò Ò Ø Ú ÓÖ Ó Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ð Ò µ Ò Ô ¹ Ö Ñ Ø Ö Ô Ú Ò Ó ÖÚ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝº Ì ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÓÐÐ Ø Ú Ô ÒÓÑ ÒÓÒ ÔÔ Ö Ò Ò Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Øº ÁÒ Ø Ë ¹ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ö Ú Û Ø Ñ Ò ØÙÖ Ó Ò Ò ÐÝØ ÔÔÖÓ Ù ØÓ ØÙ Ý Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ º Ï Ò ÓÒ ÓÓÐ ÓÛÒ Ñ Ò Ø ÑÔÐ Ø ÙÒ Ö Ó ÖÔ Ò Ò ØÖÙØÙÖ ÓÛÒ Ý ÖÔ Ò Ò Ø Ñ ÖÓ ÓÔ ÔÖÓÔ ÖØ Ø Û ÐÐ¹ Ò Ú ÐÙ Ó Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Û ÐÐ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÖ Ø ÙÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÙÑ Ò Ø Ø Ø ÒÒ Ð Ò ÔÖÓ ÓÒ Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ØÓ Ý Ø Ø Ø Ø ÑÔ Ö ¹ ØÙÖ Ø Ô Ø Ý Ø Ñ Ñ Ò ØÓ ÕÙ Ð Ö Ø Û Ø Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø Ö Ö Ð Ø Ú ÐÝ ÓÖØ ØÖ Ò ÒØ Ò ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ö ÖÓÑ Ò ØÖÙ Ò Ð Ý Ý Ø Ñ ÙØ Ø Ø Ò ÐÝ ÙÑ Ò Ø ÓÒØ ÜØ Ø ØÛÓ Ø Ø ÓÚ Ò ÐÓÛ T c Ö ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø Ø Ò ØÙ Û Ø Ø Ø Ò Ö ËØ Ø Ø Ð Å Ò ØÓÓÐ º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ø T c Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ Ò ÖÓÑ 0 ÓÚ T c ØÓ Ò Ø Ú ÐÙ ÐÓÛ T c º º Ì Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ò Ø Û Ð Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ø Ò ÓÖ Ö ÖÖÓÑ Ò Øº ÇÒ ÒØ Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒº ÁØ Ñ ÖÓ ÓÔ Ó ÖÚ Ð Ø Ø Ú Ò ÓÚ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ Ú ÖÝ Ò Ú ÐÙ ÐÓÛ T c º Ì ØÖ Ò Ø ÓÒ ØÓ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÖÓÛ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ ÖÓÑ Þ ÖÓ Ø T c º ¾

27 ¾º Ù ÓÒ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Á ÓÒ ÐÓÓ Ò ÑÓÖ Ø Ð ÒØÓ Ø Ú ÓÖ Ó Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ ÐÓ T c ÓÒ ÛÓÙÐ Ö Ð Þ Ø Ø Ø Ñ Ò Ø Ù ÔØ Ð ØÝ m h h = ( h=0 h h f h ) h=0 ¾º¾ µ º º Ø Ð Ò Ö Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÒ Ù Ø Ñ Ò Ø Ð h Ú Ö Û Ò ÔÔÖÓ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÖÓÑ ÓØ º Ø ÓÒ ÒØ ØÝ ÓÛ Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Ù Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝº Ì Ù Ú Ö Ò Ó Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Ò Ø ÒÓÒ¹ Ò ÐÝØ ØÝ Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝº Ì Ò ÓÙÖ ÓÒÐÝ Ò Ø Ò Ò Ø ÚÓÐÙÑ ÓÖ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø N º ÇØ ÖÛ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ù Ø Ø ÐÓ Ö Ø Ñ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø ÖÑ Ø Ø Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð Figure 1 Ó Ò ÐÝØ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ù Ò Ò ÐÝØ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÜØ ÖÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ð º Figure 1 Resolution: standard / high Magnetization and magnetic phase transition (Curie temperature) of the as-produced, sand grinded and ball-milled copper-nickel alloy (29% wt. copper, 71% wt nickel), from top to bottom, respectively. ÙÖ Ì Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÖ Ø Ö Ñ Ò Ø ÓÑÔÓÙÒ º Ï Ø Ó ÖÚ Ò Ö Ù Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö ÐÐ Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò º Ë Ò Ø Ô ÓÒ Ö Ò ÛÓÖ Ó ÙÖ Ä Ò Ú Ò Ò ÓØ Ö Ø ØÛÓ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø Ò ÖÖÓÑ Ò Ø Ö Û ÐÐ¹ÙÒ Ö ØÓÓ º ÉÙ Ð Ø Ø Ú Ö ÙÑ ÒØ Ë Øº ¾º µ Û ÐÐ Ø Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓ Ë Øº ¾º µ ÔØÙÖ Ø ØÛÓ Ô Ò Ø Ö Ñ Ò Ö Ø Ö ¹ Ø º ÀÓÛ Ú Ö Û Ø ÔÔ Ò ÐÓ ØÓ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ö Ñ Ò ÙÐØ ØÓ Ö ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú ÐÝ ÙÒØ Ð Ø Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ð Ò Ò Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ Ë Øº ¾º½¼µº ¾º Ù ÓÒ 1 of 1 10/18/05 14:30 Ä Ø Ù Ù ÓÑ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ ÔØ Ô ÒÒ Ò Ð ÖÓ Ò Ö Ó ØÝ Ò ÖÓ Ò ÝÑÑ ØÖÝ Û Ø Ø ÐÔ Ó ÓÒÖ Ø Ü ÑÔÐ Ø Á Ò ÑÓ Ð ¾º¾ µº Ì Ù ÓÒ ÓÛ Ú Ö ÑÙ ÑÓÖ Ò Ö Ð Ò ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÔØ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÚ º ¾

28 ¾º Ù ÓÒ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ¾º º½ ÇÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ö ÐÐÝ Ò ÕÙ ÒØ ØÝ Ø Ú Ö Ó Ò Ó ÖÚ Ð Ø Ø Ú Ò Ò ÓÒ Ô Ò Ö ÒØ ÖÓÑ Þ ÖÓ Ò ÒÓØ Ö ÓÒ ÓÖ ÓØ Ö ÓÒ µº ÇÒ ÑÙ Ø ÒÓØ Ø ÓÙ Ø Ø Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÒÓØ ÙÒ ÕÙ ÒÝ ÔÓÛ Ö Ó Ò ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ð Ò ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Öµ Ò Ø Ø Ø Ö Ò Ü Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Û Ø ÓÙØ Ò ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ø ÃÓ Ø ÖÐ ØÞ¹Ì ÓÙÐ ÓÒ Ò Ø 2d ÜÝ ÑÓ Ðº ÁÒ Ø Ö Ø Ó Ø ÓÙÖ Û ÓÙ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ó Ú Ò ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ø ÖÑ Ð Ú Ö Ó ÓÑ Ó ÖÚ Ð º ¾º º¾ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø Ì ÖÙÔØ Ò Ò Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ú ÐÙ Ó Ø ÜØ ÖÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö T, hµ Ó Ø ØÓ Ø Ú Ö Ò Ó ÓÑ Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ÓÒ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö º Ì Ö ¹ Ò Ö Ý ÙÑ Ó ÔÓ Ø Ú Ø ÖÑ º ÁÒ Ý Ø Ñ Û Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö Ó Ö ÓÑ ÓÖ Ò Ø Ò Ò Ò Á Ò Ô Ò ÑÓ Ð Û Ö Ø ÙÑ 2 N Ø ÖÑ Û Ø N Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô Ò µ Ù ÙÑ Ò Ò ÐÝØ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö º Ì Ù ÒÓ Ö Ú Ø Ú Ò Ú Ö º ÇÒ Ò Ø Ò Ú Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒÐÝ Ò Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø Ò Û Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö Ó Ö ÓÑ Ú Ö º ¾º º È ÒÒ Ò Ð ÁÒ Ø Ò Ó Ñ Ò Ø Ð ÓÖ Ô Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ò Ö Ý Ò Ú Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ô Ò E( s) = E( s) Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ ÓÑÔÙØ Ò Ú Ö ÓÚ Ö ÐÐ Ô Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ö ÒÓÒ Ð Û Ø e βh Ú Ò Ø ÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ m = 0 Ö Ø Ö Þ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ý Ø Ñ Ò Ø Ö ÙÒ ÕÙ Ô Ö Ñ Ò Ø Ø Ø Û Ø Ú Ò Ò Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝº Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø Û Ô Ö ÓÖÑ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ó Ó ÖÚ Ò Ø Ñ Ò Ø Þ ¹ Ø ÓÒ Ò ØÝº ÁÒ ÔÖ Ø Û Ø ÔÔ Ò Ø Ø Û Ò Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ø Ø Ý Ø Ñ Ø ÖÓÙ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÒÒÓØ ÚÓ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÒÝ ÜØ ÖÒ Ð Ð Ø Ü¹ Ô Ö Ñ ÒØ Ð Ø¹ÙÔ Ø ÖØ ººº Ò Ø Ö ÐÛ Ý Ñ ÐÐ Ô ÒÒ Ò Ð Ø Ø ØÙ ÐÐÝ Ð Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ ÔÓ Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Û Ø ÔÓ Ø Ú Ó Ò Ø Ú Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ ÐÐÓÛ Ý ÝÑÑ ØÖÝº ÁÒ Ø ÓÙÖ Ó Ø Ñ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø ÓÙÐ Ø ÙÐÐ Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ Ö Ú Ö ÓÛ Ú Ö Ø ÒÓØ Ò Ò ÔÖ Ø Ò ØÖÓÒÓÑ¹ Ð Ø Ñ ¹ Ð ÛÓÙÐ Ò º Ï ÐÐ Ø Ô ÒÓÑ ÒÓÒ Ø ÛÓÖ Û Ò ÓÐÚ Ò Ñ Ò¹ Ð ÑÓ Ð Ü ØÐÝ ÐÓÛº ¾

29 ¾º Ù ÓÒ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ¾º º ÖÓ Ò Ö Ó ØÝ ÁÒØÖÓ Ù Ò ÝÒ Ñ ÒØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ¾ Ö Ó ØÝ Ö Ò Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø ÑÔÓÖ Ð Ú Ö ÓÚ Ö ÐÓÒ ÙØ Ò Ø µ Ø Ñ Û Ò ÓÛ Ö ÒØ ÖÓÑ Ø Ø Ø Ð ÓÒ Û Ø Ø ÙÑ ÖÙÒÒ Ò ÓÚ Ö ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ö Ó Ø ¹ ÓÐØÞÑ ÒÒ Û Ø A A. ¾º¾ µ ÁÒ ÔÖ Ø Ø Ø ÑÔÓÖ Ð Ú Ö ÓÒ Ò ÐÓÒ ÙØ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð τ 0 τ < º ÙÖ Ò Ø Ø Ñ Ø Ý Ø Ñ ÔÓ Ø Ú ÐÝ ÓÖ Ò Ø Ú ÐÝ Ñ Ò Ø Þ Ô Ò Ò ÓÒ Û Ø Ö Ø Ò ÓÒ ÓÖ Ø ÓØ Ö Ò Ö Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø º Ì Ù Ø Ø ÑÔÓÖ Ð Ú Ö Ó Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ò ÓÖ Ò Ø Ò Ý Ð ÒÓÒ¹Ú Ò Ò Ö ÙÐØ A = m 0º Á Ò Ø ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø Ø Ø Ø Ð Ú Ö ÙÑÑ Ò ÓÚ Ö ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ò Ø Ö ÙÐØ Þ ÖÓ ÓÒ Ò Ù Ò Ù Ø ÝÑÑ ØÖÝ Ö ÙÑ ÒØ º Ì Ö ÓÒ ÓÖ Ø Ö Ô ÒÝ Ø Ø Û Ø Ø Ø Ñ Ú Ö Û Ö ØÙ ÐÐÝ ÙÑÑ Ò ÓÚ Ö Ð Ó Ø Ú Ð Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ý Ø Ñº Á Ø Ñ τ ÒÓØ Ð Ö ÙÒØ ÓÒ Ó N Ø ØÖ ØÓÖÝ Ó ÒÓØ Ú ÒÓÙ Ø Ñ ØÓ Ú Ø ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ô Ô º ÇÒ Ò Ö ÓÒ Ð Ø ØÛÓ Ö ÙÐØ Ý Ò Ø Ø Ø Ø Ð Ú Ö ÙÑÑ Ò ÓÒÐÝ ÓÚ Ö Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ø ÔÓ Ø Ú ÓÖ Ò Ø Ú µ Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝº Ï ÐÐ Ø Ø ÛÓÖ Ò ÓÒÖ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÐÓÛº ¾º º ËÔÓÒØ Ò ÓÙ ÖÓ Ò ÝÑÑ ØÖÝ ÁÒ Ø Ò Ó Ò ÜØ ÖÒ Ð Ð Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÝÑÑ ØÖ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÑÙÐØ Ò ÓÙ Ö Ú Ö Ð Ó ÐÐ Ô Ò s i s i ÓÖ ÐÐ iº Ì Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÔÓÒØ Ò ÓÙ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò ØÛ Ò Ø Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒº ÇÒ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ø Ø Ó Ò Û Ò Ó Ò Ø ÖÓÙ T c Ø Ö Ý ÔÔÐÝ Ò Ñ ÐÐ Ô ÒÒ Ò Ð Ø Ø Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ ÓÒÐÝ Ø Ö Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø h 0 N µ ÓÖ Ý ÑÔÓ Ò ÕÙ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ò Ø Ò ÐÐ Ô Ò ÔÓ ÒØ Ò ÙÔ ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÑÔÐ º ÇÒ Ý Ø Ñ Ø ÒØÓ ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ø Ð Ò Ø N Ð Ñ Øº Ö Ó ØÝ Ö Ò Ò Ö ÐÝ ÓÑÔ Ò ÔÓÒØ Ò ÓÙ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò ÙØ Ø Ö Ú Ö ÒÓØ ØÖÙ ½½ ÓÖ Ò Ü ÑÔÐ Ò Ø Ù ÓÒ Ò Ë Øº ÓÒ ÓÖ Ö Ý ¹ Ø Ñ º ÁÒ ÔÓÒØ Ò ÓÙ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò Ò Ö Ø Ó ÒØ Ö Ó Ö ÓÒ Ò Ô Ô Ö Ð Ø Ý Ø ÖÓ Ò ÝÑÑ ØÖÝ ÙØ ÓÒ ÒÒÓØ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö Ø ÓÒÐÝ Ö Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ØÓØ Ð Ò Ö Ð ØÝº Å Ò¹ Ð Ô Ò¹ Ð ÑÓ Ð ÔÖÓÚ ÓÙÒØ Ö Ü¹ ÑÔÐ Ó Ø ÑÔÐ Ø ÓÒ Û Ø ÒÙÑ Ö Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÒÓØ Ö Ð Ø Ý ÝÑÑ ØÖÝº ¾ ÆÓØ Ø Ø Á Ò ÑÓ Ð Ó ÒÓØ Ú Ò ØÙÖ Ð ÝÒ Ñ Ó Ø ØÓ Øº Ï ÐÐ Ò Ë Ø ÓÒ ÓÛ ÝÒ Ñ ÖÙÐ ØØÖ ÙØ ØÓ Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ô Ò º ¾

30 ¾º Ò Ö Ý Ú ÒØÖÓÔÝ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ¾º Ò Ö Ý Ú ÒØÖÓÔÝ Ä Ø Ù Ö Ø Ù Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ö ÙÑ ÒØ ØÓ Ö Ø Ò ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ó Ñ Ò Ø Ý Ø Ñº Ì Ö Ò Ö Ý Ó Ý Ø Ñ Ú Ò Ý F = U TS Û Ö U Ø ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý U = H Ò S Ø ÒØÖÓÔÝº À Ö Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ñ ÙÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÙÒ Ø Ó k B Ò Ø Ò Ø k B = 1º Ì ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ñ Ý Ô Ò ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø Ù Ø Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý F º ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ò Ö Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø ÒØÖÓÔ ÓÒ Ñ Ý Ø Ò Ð ØÓ Ò Ò Ô Ø Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º º Ö ÒØ ÖÓÙÔ Ó Ñ ÖÓÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÙØ Ò Ø Ø Û Ø Ö ÒØ Ñ ÖÓ ÓÔ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÑ Ò Ø Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ø ÓÒ Ò ÒÓØ Ö Ó Ø ØÖ Ò Ø ÓÒº Ø Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý ÒØ Ð ØÓ Ø ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý Uº ÁÒ Ý Ø Ñ Û Ø ÖÖÓÑ Ò Ø ÓÙÔÐ Ò ØÛ Ò Ñ Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ñ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ù Ø Ø Ø Ò Ö Ý Ñ Ò Ñ Þ Û Ò Ò ÓÖ Ò ÑÓÑ ÒØ Ö Ô Ö ÐÐ Ðº Ì Ù Ø ÔÖ ÖÖ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ù Ø Ø ÐÐ ÑÓÑ ÒØ Ö Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ø Ý Ø Ñ ÙÐÐÝ ÓÖ Ö º ËÛ Ø Ò ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø ÖÑ Ð Ø Ø ÓÒ ÔÖÓÚÓ Ø Ö ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÑÓÑ ÒØ Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ñ Ð ÒÑ ÒØ º Ä Ø Ù Ø Ò ÒÚ Ø Ø Ø ÓÔÔÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÑÔ Ö¹ ØÙÖ Ò Û Ø ÒØÖÓÔ Ø ÖÑ ÓÑ Ò Ø Ò Ø Ó Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ø ÒØÖÓÔÝ Ñ Ü Ñ Þ º Ì Ú Ý Ø Ñ Ò Ø ÑÓÑ ÒØ ÔÓ ÒØ Ò Ò Ö Ò¹ ÓÑ Ò Ô Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ º ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ ÑÓ Ð Û Ø N Á Ò Ô Ò Ø ÒØÖÓÔÝ Ø Ò Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ S N ln 2º Ö Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÖ Ö ÓÑ Ð ÚÓÖ Ð º Ì Ü Ø Ò ÓÖ ÒÓØ Ó Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ô Ò ÓÒ Û Ø Ö ÐÓÒ ¹Ö Ò ÓÖ Ö Ø ÓÒ Ó ÖÚ Ò Ø ÐÓÛ¹Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò Ö Ñ Ò Ø Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ÙØÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ö Ú Ö Ð Ó ÓÑ ÑÓÑ ÒØ Ò Ù Ý Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÍÔ ØÓ Ø ÔÓ ÒØ Ø Ù ÓÒ Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ñ Ò ÓÒ dº Ì ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ Ñ ÑÓÖ ÔÖ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÓÒÐÙ Ø Ø Ø Ö ÒÓ Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò d = 1 Û Ð Ø Ù Ø Ø Ö ÓÒ Ò d > 1º Ì ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÖÓÑ Ò Ø Á Ò ÑÓ Ð Û Ø ÐÓ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ó ÓÔ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò ØÖ Ø Ò Ñ Ð Ö Û Ýµ H = J N i=1 s i s i+1 s N+1 = s 1 º Ø Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø ÓÖ Ö Ò Ø ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý Ù Ø U o = JN ¾º¾ µ Û Ø N Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ò Ò Ô Ò º Ë Ò Ø Ö Ö ØÛÓ Ò Ö Ø ÓÖ Ö ÓÒ ÙÖ ¹ Ø ÓÒ Ø ÒØÖÓÔÝ S o = ln 2 ¾º ¼µ Ì ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý ÜØ Ò Ú Û Ð Ø ÒØÖÓÔÝ Ù Ø Ò Ø ÒÙÑ Öº Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÓÖ Ö Ø Ø Ø Ò F o = U o TS o = JN T ln 2. ¾º ½µ ¼

31 ¾º Ð Ø ÓÒ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Ò ÓÑ Ò Ó Ø ÓÔÔÓ Ø ÓÖ Ö Ò Ø Ý Ø Ñ º º Ö Ú Ö Ò n Ô Ò ØÛÓ ÓÒ Ö ÙÒ Ø Ò Ø ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý ÓÑ U 2 = J(N 2) + 2J = J(N 4), ¾º ¾µ ÓÖ ÒÝ nº Ë Ò ÓÒ Ò ÔÐ Ø Ñ Ð Ò Ô Ò ÒÝÛ Ö Ò Ø Ð ØØ Ø Ö Ö N ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ýº Ì ÒØÖÓÔÝ Ó Ø Ø Û Ø ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ø n Ø Ò S 2 = ln(2n). ¾º µ Ì ØÓÖ Ó ¾ Ò Ø ÐÓ Ö Ø Ñ Ö Ù ØÓ Ø Ø Ø Ø Û ÓÒ Ö Ö Ú Ö ÓÑ Ò Ò ÓÒ Ó Ø ØÛÓ ÓÖ Ö Ø Ø º Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø Ø Û Ø n Ö Ú Ö Ô Ò Ò ØÛÓ ÓÑ Ò Û ÐÐ F 2 = U 2 TS 2 = J(N 4) T ln(2n) ¾º µ Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ó nº Ì Ú Ö Ø ÓÒ Ò Ö ¹ Ò Ö Ý ØÛ Ò Ø ÓÖ Ö Ø Ø Ò Ø ÓÒ Û Ø ÓÒ ÓÑ Ò F = F 2 F o = 4J T ln N. ¾º µ Ì Ù Ú Ò Ø ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý ÒÖ Ù ØÓ Ø ÔÖ Ò Ó Ø ÓÑ Ò Û ÐÐ Ø ÒÖ Ò ÒØÖÓÔÝ Ù Ø Ø Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø Ø Ø Û Ø ÖÓÔÐ Ø Ò Ø ÑÙ ÑÓÖ ÚÓÖ Ð Ø ÒÝ Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T º Ï ÓÒÐÙ Ø Ø Ô Ò Ô Ö ÚÓÖ Ð Ò ÓÖ Ö ØÖÓÝ Ø ÒÝ Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ì ÖÖÓÑ Ò Ø Á Ò Ò Ó ÒÓØ Ú Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒº Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ Ò d > 1 Ù Ø Ø Ø ÓÒ Ò Ú Ò ÔÔ Ò Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø º º ½½ µº Ì Ò Ó Ö ÙÑ ÒØ Ö ÐÔ ÙÐ Ò ØÖ Ø Ò ÓÖ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ñ Ø Û Ø Ö Ò Ø T Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÔÐ º ¾º Ð Ø ÓÒ È ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö ÓÑÑÓÒÐÝ Ð Ý Ø Ö ÓÖ Öº Ì ÑÓÖ ÓÑÑÓÒ ÓÒ Ö Ø Ó Ó Ö Ø Ò ÓÒ ÓÖ Öº ÁÒ Ö Ø ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÙÑÔ Ø Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ ÖÓÑ Ú Ò Ò Ú ÐÙ Ò Ø ÓÖ Ö ØÓ Ò Ø Ú ÐÙ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ó Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØº Ì ÓÑÔ Ò Ý ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ú Ö ÓÙ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ò Ø Ö Ð Ø ØÓ Ø Ø Ø Ø Ö Ø Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ú Ö º ÁÒ Ù ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ò ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ó Ü Ø Ø Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØº Ï ÐÐ¹ ÒÓÛÒ Ü ÑÔÐ Ö Ø Ñ ÐØ Ò Ó Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÐ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ó ÒØÓ Ð ÕÙ º Ì ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ü Ø Ý Ø Ö ÓÖ Ñ ÑÓÖÝ Ø Ò Ø Ý Ø Ñ Ò Ö Ñ Ò Ò Ø Ñ Ø Ø Ð Ô Û Ò Ø ÜØ ÖÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ó ÝÓÒ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØº ½

32 ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ÙÖ Ì Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÔÔÐ Ð Ò ÖÖÓÑ Ò Øº ÁÒ ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ º º Ø ÑÓÓØ ÐÝ Ô ÖØ ÖÓÑ Þ ÖÓ Ø Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ ÙØ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÒ Ù Ø Ð Ò Ø Þ ÖÓ Ð Ð Ñ Ø ÓÖ Ð Ò Ö Ù ÔØ Ð ØÝ Ú Ö º Ì ÓÒ Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝº Ø Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ø Ö ÒÓ Ô Ó Ü Ø Ò Ø Ý Ø Ñ Ò ÓÒ Ö Ø Ð Ø Ø Ø ØÛÓ Ô ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÑ ÒØ Ð Ø Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØº À Ö ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÔ Ö Û Ò Ö Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ú Ö º º Û Ò n f/ y n ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó n¹ø ÓÖ Ö Û Ö y ÒÝ Ö ÙÑ ÒØ Ó f Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÜØ ÖÒ Ð Ð Øºµº ÁÒ ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ë Øº µ Ñ Ü ÓÙÖ Ò Û Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÙØ ÐÐ Ö Ø Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ö Ò Ø º Ì ÐÐ Ö Ò ÓÑ Ö Ø ÓÖ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÔÖÓÚ Ò Ö Ó ÓÖ Ø Ð Ý ÖÖ Ø ¾ Ø Ø Û ÐÐ Ù Ý Ø Ò Ó Ø Ä ØÙÖ º ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ÁÒ Ô Ø Ó Ø Ö ÔÔ Ö ÒØ ÑÔÐ ØÝ Ø Ø Ø Ó ÖÖÓÑ Ò Ø Á Ò ÑÓ Ð Ò ÓÐÚ Ò ÐÝØ ÐÐÝ ÓÒÐÝ Ò ÓÒ Ò ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ º Ì Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÓÐÚ Ø Á Ò ÑÓ Ð Ò ÒÝ Ô Ø Ð Ñ Ò ÓÒ Ð ØÝº Ú Ò Ø ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ö ÙÐØ Ó Ø Ò Ö ÓÖÖ Ø Ø ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ò ÒÙÑ Ö Ð Ø ÓÛ Ø Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÐÓÛ Ò ÙÔÔ Ö Ö Ø Ð Ñ Ò ÓÒ d u Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ó ÒÓØ ÔØÙÖ ÓÖÖ ØÐÝ Ø Ú ÓÙÖ Ó Ø Ý Ø Ñ ÐÓ ØÓ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØº ÁØ ¾

33 ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ÓÛ Ú Ö Ú ÖÝ Ò ØÖÙØ Ú ØÓ Ø Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ø ÛÓÖ º ¾º º½ Ì Ò Ú Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ì Ò Ú Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ò ÙÑ Ò Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ Ó Ø Ý Ø Ñ³ Ô Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ØÓÖ Þ Ð Ò Ò Ô Ò ÒØ ØÓÖ P({s i }) = N i=1 P i (s i ) Û Ø P i (s i ) = 1 + m i 2 δ si,1 + 1 m i δ si, 1 2 ¾º µ Ò m i = s i Û Ö Ø Ø ÖÑ Ð Ú Ö ØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ø Ö ØÖ Ø Ò Ö Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ º º Ø Ò ÓÚ Ö ÓÒ Ö Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ù Û Ý Ø Ø m i 0º ÆÓØ Ø Ø ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ò ÓÖ Ö¹Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ò Ò Ò Ø ÔÖÓ Ð Ø º Í Ò Ø ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ø ØÓØ Ð Ö ¹ Ò Ö Ý F = U TS ¾º µ Û Ö Ø Ò Ö Ý Ú Ö Ø Ò Û Ø Ø ØÓÖ Þ ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ ¾º µ Ò Ø ÒØÖÓÔÝ S Ú Ò Ý k B = 1µ S = {s i } P({s i }) lnp({s i }). ¾º µ ÇÒ Ò Ù Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ ØÖ Ø Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÓ Ð º ÔÔÐ ØÓ Ø d¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÙÖ ÖÖÓÑ Ò Ø Á Ò ÑÓ Ð Û Ø Ò Ö Ø¹Ò ÓÖ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ù Ð ØØ J ij = J/2 ÓÖ Ò Ö Ø¹Ò ÓÖ Ò Þ ÖÓ ÓØ ÖÛ º ÇÒ Ò Ø ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý Ò Ø ÒØÖÓÔÝ U = J 2 ij s i s j h i s i = J 2 ij m i m j h i m i, S = N N N P k (s k ) ln P l (s l ) = P l (s l ) lnp l (s l ) P k (s k ) s i =±1 k=1 l=1 l=1 s n=±1 k( l) N = P l (s l ) lnp l (s l ) l=1 s l =±1 = [ 1 + mi ln 1 + m i + 1 m i ln 1 m ] i i ¾º µ. ¾º ¼µ ÓÖ ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÔÔÐ Ñ Ò Ø Ð ÐÐ ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ ÕÙ Ð Ø ØÓØ Ð Ò ØÝ ÓÒ m i = m Ò ÓÒ Ø ÓÖ Ö¹Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ò ÒØ³ Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ [ 1 + m f(m) = djm 2 hm + T ln 1 + m + 1 m ln 1 m ]. ¾º ½µ ÆÓØ Ø Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÑÓÙÒØ ØÓ Ö ÔÐ Ø Ü Ø ÕÙ Ø ÓÒ m i = tanhβ(h + j J ijs j ) Ý m i = tanhβ(h + j J ijm j )º

34 ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Ì ÜØÖ Ñ df(m)/dm = 0 Ö Ú Ò Ý m = tanh (β2djm + βh), ¾º ¾µ Û Ø Ø ØÓÖ 2d ÓÑ Ò ÖÓÑ Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ó Ø Ù Ð ØØ º Ì Ø Ð Ø Ø Ö Ø Ó Ø Ø Ð Ó Ø Ý d 2 f/dm 2 > 0º Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÔÖ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø T c = 2dJ Û Ò h = 0º Ì Ò Ø Ö Ú Ø Ú Ó m Û Ø Ö Ô Ø ØÓ h Ò Ø Ð Ñ Ø h 0 ± ÓÒ ÐÝ Ò Ø Ø χ m/ h h 0 ± = β cosh 2 (2dJβm) 2dJβ ¾º µ Ø Ø Û Ò T T c ÔÔÖÓ χ T/T c T T c 1 T T c, ¾º µ Ò Ú Ö T T c º Ì Ö ÙÐØ ÕÙ Ð Ø Ø Ú ÐÝ ÓÖÖ Ø Ò Ø Ò Ø Ø T c ÒÖ Û Ø ÒÖ Ò d ÙØ Ø ØÙ Ð Ú ÐÙ ÒÓÖÖ Ø Ò ÐÐ Ò Ø Ñ Ò ÓÒ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ØÖ ØÑ ÒØ ÔÖ Ø Ò Ø T c Ò d = 1 Û Ð ÖÐÝ ÛÖÓÒ º Ì Ö Ø Ð Ú ÓÖ Ð Ó ÒÓÖÖ Ø Ò ÐÐ Ò Ø d Û Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ë Øº ¾º µ Ø Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ØÝ Ò Ø Ø Ñ Ò¹ Ð Ú ÐÙ º ËØ ÐÐ Ø Ò ØÙÖ Ó Ø ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ô Ö Ñ Ò Ø ¹ ÖÖÓÑ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò d > 1 ÓÖÖ ØÐÝ ÔØÙÖ º Ï ÔÓ ØÔÓÒ Ø ØÙ Ý Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Õº ¾º ¾µ ØÓ Ø Ò ÜØ ËÙ Ø ÓÒ Û Ö Û ÐÐ ØÖ Ø Ñ Ð Ö Ò Ò ÓÑ Ö Ô Ø ÑÓÖ Ò Ö Ð º À Ú Ò Ò ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ý Õº ¾º ¾µ ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ ÐÐ Ó ÖÚ Ð Ò Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ö Ö Ø Ð Ú ÓÖº Ì Ì ÝÐÓÖ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ÔÓÛ Ö Ó m ÐÓ ØÓ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Û Ö m 0 Ý Ð Ø Ñ Ð Ö ÖÓ ÓÚ Ö ÖÓÑ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ò Ð Ñ Ò Ñ Ø m ØÓ Ø ÓÙ Ð Û ÐÐ ÓÖÑ βf(m) 1 2 (T 2dJ)m2 + T 12 m4 hm. ¾º µ ÁÒ ÐÓÛ T = 2dJ = T c Ø Ò Ó Ø ÕÙ Ö Ø Ø ÖÑ ÓÑ Ò Ø Ú Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÓÔ ØÛÓ Ñ Ò Ñ Û Ý ÖÓÑ m = 0º ÒÓØ Ö Û Ý Ó Ö Ú Ò Ø Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ö Ø Ò Ð ÓÙØ Ô Ò s i Ò Ø Ò ÛÖ Ø s j = m + δs j ¾º µ ÓÖ Ø ÙÖÖÓÙÒ Ò Ô Ò Û Ø δs j mº ÇÒ Ø Ò Ö ÔÐ s j Ý Ø ÜÔÖ ÓÒ Ò Ø ÕÙ Ö Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ö Ý Û Ö m Ø ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝº Ã Ô Ò ÓÒÐÝ Ø Ð Ò Ø ÖÑ ÓÒ Ò ÑÓ Ð Û Ø N ÒÓÒ¹ ÒØ Ö Ø Ò Á Ò Ô Ò ÓÙÔÐ ØÓ Ð h eff Ø Ø Ô Ò ÓÒ m H(m) = h eff i s i = (Jzm + h) i s i Û Ö h ÙÒ ÓÖÑ

35 ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ÜØ ÖÒ Ð Ð Ò z Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ó Ø Ð ØØ z = 2d ÓÖ Ø Ù º ÇÒ ØÓ Ø ÖÑ Ò m Ð ¹ÓÒ Ø ÒØÐÝ Ý Ö ÕÙ Ö Ò s i = mº Ì Û Ý Ó ÔÖ ÒØ Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ò Ð Ö Ø Ö Ó Ø ÑÓÖ ØÖ Ò Ô Ö ÒØº Ì ÔÔÖÓ Û Ø Ù Ù ÐÐÝ ÐÐ Ï Ñ Ò¹ Ð Ø ÓÖÝº ÇÒ Ò Ø Ø Ø ÑÓÖ Ô Ò ÒØ Ö Ø Û Ø Ø Ó Ò ÓÒ Ø ÐÓ Ö Ø Ô Ò Ò Ú Ö Ð º º Ø Ñ Ò¹ Ð º Ì ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ö Ø Ò Ô Ò ÒÖ Û Ø Ø Ö Ò Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ò Ö Ø Ò ÓÙÖ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ð ØØ º ¾º º¾ Ì ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Á Ò ÖÖÓÑ Ò Ø Ä Ø Ù ÒÓÛ ÓÐÚ Ü ØÐÝ Ø ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Á Ò ÖÖÓÑ Ò Ø Û Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò ÐÐ p ÙÔÐ Ø Ó Ô Ò Ò Ò ÜØ ÖÒ Ð Ð H = J i1...i p s i1...s ip i 1... i p i h i s i, ¾º µ s i = ±1 i = 1,...,Nº ÓÖ Ø Ó Ò Ö Ð ØÝ Ò ØÓ ÒÐÙ Ø ÓÖ Ö ÑÓ Ð ØÓ Ù Ò Ë Øº Û Ù Ò Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø J i1...i p º Ì ÖÖÓÑ Ò Ø ÑÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ J J i1...i p = ¾º µ p!n p 1 Û Ø 0 < J = O(1) º º Ò Ø Ò p Ü ÒØ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö p = 2 ÓÖ p = 3 ÓÖ ººº Ø Ø Ò Ø ÑÓ Ðº Ì ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Û Ø N p 1 Ó Ø Ö Ø Ø ÖÑ Ò ÙÖ Ò ÜØ Ò Ú Ò Ö Ý Ò Ø ÖÖÓÑ Ò Ø Ø Ø Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø Ù Ò Ð Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Øº Ì ØÓÖ p! Ó Ò ÓÖ Ð Ø Ö ÓÒÚ Ò Ò º Ì ÑÓ Ð ÓÙÖ Ó Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÓÖ ÑÓÖ Ð ÓÖ Ø ÓÒ Û Ø ÐÙØ ÓÒ Ò»ÓÖ ÓÖ Ö Ë Øº µº Æ Ú Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Í Ò Ø ØÓÖ Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ó ÒØ ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ Ø Ø Ò Ø Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÒ Ò F({m i }) = J i1...i p m i1...m ip h i m i i 1... i p i N [ 1 + mi +T ln 1 + m i + 1 m i ln 1 m ] i. ¾º µ i=1 ÆÓØ Ø Ø Ì ÝÐÓÖ ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ø ÒØÖÓÔ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÙÒ m i = 0 Ð ØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÜÔÖ ÓÒ Ø Ø Ø Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ Ò Ø Ä Ò Ù Ø ÓÖÝ Ó ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ë Øº ¾º º µº Ì ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ m i Ö Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ý Ö ÕÙ Ö Ò Ø Ø Ø Ý Ñ Ò Ñ Þ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ f({m j })/ m i = 0 Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ø À Ò 2 f({m j })/ m i m j

36 ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË º º Û Ø ÐÐ ÒÚ ÐÙ Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ø ÜØÖ Ñ Ð Ú ÐÙ µº Ì Ý Ð m i = tanh pβ J ii2...i p m i2...m ip + βh i i 2... i p ¾º ¼µ Á J i1...i p = J/(p!N p 1 ) ÓÖ ÐÐ p ÙÔÐ Ø Ò Ø ÔÔÐ Ð ÙÒ ÓÖÑ h i = h ÓÒ Ò Ø m i = m ÓÖ ÐÐ i Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÑ ¾º ¾µ Ò ¾º µ ÐÓÛ Ö Ô Ø Ú ÐÝº Ì Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ü Ø ÓÖ Ø ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø ÔÙÖ Á Ò ÖÖÓÑ Ò Ø Û ÐÐ ÓÛ ÐÓÛº ÆÓØ Ø Ø Ø ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Ð Ñ Ø Ó Ø ÑÓ Ð Û Ø Ô Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ p = 2µ ÓÖÖ ØÐÝ ØØ Ò Ý Ø Ò J J/N Ò 2d N Ò ¾º ¾µ Ð Ò ØÓ T c = Jº Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ä Ø Ù ÓÐÚ Ø ÖÖÓÑ Ò Ø ÑÓ Ð Ü ØÐÝº Ì ÙÑ ÓÚ Ö Ô Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò ØÖ ÓÖ ÙÑ ÓÚ Ö Ø Ú Ö Ð x = N 1 N i=1 s i Ø Ø Ø Ú ÐÙ x = 1, 1 + 2/N, 1 + 4/N,..., 1 4/N, 1 2/N, 1º Æ Ð Ø Ò Ù ÓÑ Ò ÒØ Ø ÖÑ Ò N ÓÒ Ø Ò ÛÖ Ø Z = e Nβf(x) ¾º ½µ x Û Ø Ø x¹ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ò ÒØ Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ³ f(x) = J [ 1 + x p! xp hx + T 2 ln 1 + x x 2 ln 1 x 2 ]. ¾º ¾µ Ì Ö Ø ØÛÓ Ø ÖÑ Ö Ø Ò Ö Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Û Ð Ø Ø Ö ÓÒ Ó ÒØÖÓÔ ÓÖ Ò Ò N!/(N(1 + x)/2)!(n(1 x)/2)! Ô Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ú Ø Ñ Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝº Ì Ú Ö Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö x ÑÔÐÝ Ø Ú Ö Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ x = 1 N N i=1 s i = m ¾º µ ÁÒ Ø Ð Ö N Ð Ñ Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò ÐÐ Ú Ö Ó x Ò Ú ÐÙ Ø Ò Ø Ð ¹ÔÓ ÒØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÔ Ò Ü µ Z α e Nβf(xα sp), ¾º µ Û Ö x α sp Ö Ø ÓÐÙØ Ñ Ò Ñ Ó f(x) Ú Ò Ý Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ f(x)/ x xsp = 0 x sp = tanh ( ) βj (p 1)! xp 1 sp + βh, ¾º µ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ d 2 f(x)/dx 2 x α sp > 0º ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÒØÖ ÙØ Ò Ð ¹ÔÓ ÒØ ÓÙÐ Ò Ö Ø º º Ú Ø Ñ f(x α sp ) ÓÖ ÐÐ α ÓØ ÖÛ Ø Ö ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ

37 ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË p = 3 f(m) -1.2 p = m m m ÙÖ Ì Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ f(m) Ó Ø p = 2 Ð Øµ p = 3 ÒØ Öµ Ò p = 4 Ö Øµ ÑÓ Ð Ø Ø Ö Ú ÐÙ Ó Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T < T c Ð Ø Ð Ò µ T = T c Ö Ð Ò µ Ò T > T c ÓÐ Ð Ò µ Ò Û Ø ÒÓ ÔÔÐ Ð º Ì ÙÖÚ Ú Ò ØÖ Ò Ð Ø Ú ÖØ ÐÐÝºµ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ÙÔÔÖ º Ì ÙÑ ÓÚ Ö α Ø Ò Ù Ø ÔÖÓÚ ÒÙÑ Ö Ð ØÓÖ Ó ØÛÓ Ò Ø h = 0º ÆÓÛ Ò x sp = f(x)/ h xsp = x = m, ¾º µ Û ÐÐ ÓÛ Ò Õº ¾º µ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ð ¹ÔÓ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Öº Ï ÐÐ Ò ÜØ Ö Ø Ô Ò Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ð Ø Ø Ú ÐÝ Ò Û ÐÐ Ð Ø Ö Ù Ø Ý Ø Ö ÔØ ÓÒ Ò ÐÝØ ÐÐÝº ÅÓ Ð Ò Ò Ø Ð ÁÒ Ò Ø Ñ Ò Ø Ð Õº ¾º µ ÙÒ ÕÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú h Ø ÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ì ÑÓ Ð ÖÖÓÑ Ò Ø Ø ÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø Ö ÒÓ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Öº ¾Ò ÓÖ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖ p = 2 ÁÒ Ø Ò Ó Ñ Ò Ø Ð Ø ÑÓ Ð Ô Ö Ñ Ò Ø ¹ ÖÖÓÑ Ò Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ò Ø T c º Ì ÓÖ Ö Ó Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ô Ò ÓÒ Ø Ú ÐÙ Ó pº Ì Ò Ò ÖÓÑ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò Ò Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ ¾º ¾µº ÙÖ ÔÐ Ý f(x) Ò Ø Ò Ó Ñ Ò Ø Ð Ø Ø Ö Ú ÐÙ Ó T ÓÖ Ø p = 2 Ð Øµ p = 3 ÒØ Öµ Ò p = 4 Ö Øµ ÑÓ Ð Û ÐÐ Ø Ò Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð m Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó f(x) Ö ÐÓ Ø Ø Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ Ó Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Û ÐÐ ÓÛ ÐÓÛµº Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø ÙÒ ÕÙ Ñ Ò ÑÙÑ m = 0 Ò ÐÐ º ÓÖ p = 2 Û Ò ÓÒ Ö T c Ø m = 0 Ñ Ò ÑÙÑ ÔÐ Ø Ò ØÛÓ Ø Ø ÐÓÛÐÝ Ô Ö Ø Ò ÑÓÚ ØÓÛ Ö Ö Ú ÐÙ Ó m Û Ò T Ö ÙÒØ Ð Ö Ò m = 1 Ø T = 0 º ¹Ð Øµº Ì ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÙÖ Ø T c = J Ò ÐÝ Ò ÖÓÑ Ö Ô Ð ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Õº ¾º µ º ¹Ð Øº ÐÓ ÙØ ÐÓÛ T c

38 ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË 1.5 p = p = p = 4 eq(m) m m m ÙÖ Ö Ô Ð ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ü Ò Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö x ÓÖ p = 2 Ð Øµ p = 3 ÒØ Öµ Ò p = 4 Ö Øµ ÖÖÓÑ Ò Ø ÑÓ Ð Ø Ø Ö Ú ÐÙ Ó Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T < T T = T Ò T > T Ò Û Ø ÒÓ ÔÔÐ Ð º ÆÓØ Ø Ø Ø Ö Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÒØ ÝÑÑ ØÖ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ m m ÓÖ Ó Ú ÐÙ Ó p Û Ð Ø ÝÑÑ ØÖ ÙÒ Ö Ø Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖ Ú Ò Ú ÐÙ Ó pº Ï ÓÛ Ø ÔÓ Ø Ú ÕÙ Ö ÒØ ÓÒÐÝ ØÓ ÒÐ Ö Ø ÙÖ º T Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Û ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ ÔÔ Ö Ò Ø p = 3 Ò p = 4º Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ ÒÖ m (T c T) 1 2 º Ì Ð Ò Ö Ñ Ò Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Ø Ù Ù Ð ÙÖ Ú ÓÖ Ø Ú ÖÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ χ β Ò Ø Ú Ö χ T T c 1 ÓÒ ÓØ Ó Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØº Ì ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø T c Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó ÓÒ ¹ÓÖ Ö Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÐÐÝº ½ Ø ÓÖ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖ p > 2 ÓÖ p > 2 Ø ØÙ Ø ÓÒ Ò º ÓÖ Ú Ò Ú ÐÙ Ó p Ø T ØÛÓ Ñ Ò Ñ Ò ØÛÓ Ñ Ü Ñ µ Ø m 0 ÔÔ Öº Ì Ó Ü Ø Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Û Ø Ø Ø Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ø m = 0 ÙÒØ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T c Ø Û Ø Ø Ö Ö ¹ Ò Ö Ý Ò Ø Ó Ò º ¹Ö Øº ÐÓÛ T c Ø m = 0 Ñ Ò ÑÙÑ ÓÒØ ÒÙ ØÓ Ü Ø ÙØ Ø m 0 ÓÒ Ö ÚÓÖ Ò Ø Ý Ú ÐÓÛ Ö Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝº ÓÖ Ó Ú ÐÙ Ó p Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ ÒÓØ ÝÑÑ ØÖ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ m = 0º Ò Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ø m > 0 ÔÔ Ö Ø T Ò Ø T c Ø Ö Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ó Ø Ô Ö Ñ Ò Ø ÓÒ f(m ) = f(0) º ¹ ÒØ Öº ÐÓÛ T c Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø ÖÖÓÑ Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑº ÓÖ ÐÐ p > 2 Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø T c Ø ÙÑÔ ÖÓÑ Þ ÖÓ Ø T c + ØÓ Ò Ø Ú ÐÙ Ø Tc º Ì Ð Ò Ö Ñ Ò Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Ð Ó ÙÑÔ Ø T c º Ï Ð Ø ÕÙ Ð β ÓÒ Ø Ô Ö Ñ Ò Ø Ø Ø Ò Ø Ú ÐÙ Ú Ò Ý ÕÒº ¾º µ Ú ÐÙ Ø Ø m ÓÒ Ø ÖÖÓÑ Ò Ø ÓÒ º ÁÒ ÓÒ ÕÙ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ö Ø¹ÓÖ Öº È ÒÒ Ò Ð ÖÓ Ò Ö Ó ØÝ Ò ÔÓÒØ Ò ÓÙ ÖÓ Ò ÝÑÑ ØÖÝ Ì Ð ¹ÔÓ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ ¾º µ ÓÖ p = 2 ÓÖ Ø Ñ Ò¹ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¾º ¾µ Ñ Ø ØÛÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÒÓ Ð º Ï Ø Ó Ø Ý ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ì Ý Ö Ø Ñ Ò ¹

39 ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ Ó Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÖÖÓÑ Ò Ø Ø Ø Û Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ú ÐÙ º Ø T < T c ÓÒ ÓÑÔÙØ m = N 1 N i=1 s i = x e βnf(x) x ÙÑÑ Ò ÓÚ Ö Ø ØÛÓ Ñ Ò Ñ Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ ÓÒ Ò m = 0 ÜÔ Ø Ý ÝÑÑ ØÖÝº ÁÒ Ø ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø Ú Ö Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ Û Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÑ Ö ØÖ Ø ØÓ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ø ÔÓ Ø Ú ÓÖ Ò Ø Ú µ x ÓÒ Ò m = m sp ÓÖ m = m sp )º ÁÒ ÔÖ Ø Ø Ö ØÖ Ø ÙÑ Ô Ö ÓÖÑ Ý ÔÔÐÝ Ò Ñ ÐÐ Ñ Ò Ø Ð ÓÑ¹ ÔÙØ Ò Ø Ø Ø Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ø N Ð Ñ Ø Ò Ø Ò ØØ Ò Ø Ð ØÓ Þ ÖÓº ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ m ± 1 N N s i ± = i=1 ( 1 βn ) ln Z h h 0 ± = f(x sp) h h 0 ± = ± x sp. ¾º µ Ý Ø Ò Ø N Ð Ñ Ø Ò Ð ÓÒ Ð Ø Ø ÔÓ Ø Ú ÓÖ Ò Ø Ú ÐÝµ Ñ Ò Ø Þ Ø Ø º ÓÖ ÐÐ Ó Ú ÐÙ Ó p Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÒÓØ Ó Ø ØÓ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò Ò Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ ÒÓÒ¹ Ò Ö Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ì ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ô ÒÒ Ò Ð Ø Ò ÙÔ Ö ÙÓÙ º ÓÖ ÒÝ Ú Ò Ú ÐÙ Ó p Ò Ø ÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ò Ø Ò Ó Ø Ð ÝÑÑ ØÖ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ m m Ø Ð Ø Ò Ö Ø Ô Ò Ð Ò º º Ì Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÔÓÒØ Ò ÓÙ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò ØÛ Ò Ø Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒº ÇÒ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ø Ø Ó Ò Û Ò Ó Ò Ø ÖÓÙ T c Ø Ö Ý ÔÔÐÝ Ò Ñ ÐÐ Ô ÒÒ Ò Ð Ø Ø Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ ÓÒÐÝ Ø Ö Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø ÓÖ Ý ÑÔÓ Ò ÕÙ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º ÇÒ Ý Ø Ñ Ø ÒØÓ ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ø Ð Ò Ø N Ð Ñ Øº ÁÒ ÔÙÖ Ø Ø Ø ÖÑ Ø Ñ Ò Ø Ø ÓÒ Ò Ô Ö Ø Ø ÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ Ô Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÒØÓ Ò Ô Ò ÒØ ÙÑ ÓÚ Ö Ö ÒØ ØÓÖ Ó Ô Ô Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø º ÁÒ ÝÒ Ñ Ø ÖÑ Ø Ñ Ò Ø Ø Ø ÑÔÓÖ Ð Ò Ø Ø Ø Ð Ú Ö Ø Ò ÓÚ Ö ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ µ Ò Ò Ò Ò Ø Ý Ø Ñ Ó ÒÓØ Ó Ò º Ì Ñ Ò Ø Ð Ò Ö Ù ÔØ Ð ØÝ ÓÖ Ò Ö p ÑÔÐ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÜÔÖ ¹ ÓÒ Ò ¾º µ Ò Ø Ú Ò Ý χ m h h 0 ± = x sp h = h 0 ± β cosh 2 ( βj (p 1)! xp 1 sp ) βj (p 2)! xp 2 sp. ¾º µ ÓÖ p = 2 Ø T > T c x sp = 0 Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Ú Ò Ý (T J) 1 ÔÖ Ø Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ú Ö ÒØ Ù ÔØ Ð ØÝ Ø T c = Jº ÔÔÖÓ Ò T c ÖÓÑ ÐÓÛ Ø ØÛÓ Ñ Ò Ø Þ Ø Ø Ú Ø Ñ Ú Ö ÒØ Ù ÔØ Ð ØÝ χ (T c T) 1 º ÓÖ p > 2 Ø T > T c x sp = 0 Ò Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Ø Ø ÙÖ ÓÖÑ χ = βº Ì ÙÖ Ð Û χ = β ÙÑÔ ØÓ Ö ÒØ Ú ÐÙ Ø Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ù ØÓ Ø Ø Ø Ø x sp ÙÑÔ º

40 ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ¾º º Ì Ø Ð ØØ ÒÓØ Ö Û Ý Ó Ú Ò ÑÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ Ü Ø ØÓ Ù ÝÐ Ý ØÖ ÓÖ Ð ØØ Û Ø ØÖ ¹Ð ØÖÙØÙÖ Ò ÒÓ ÐÓÓÔ µº Ð ØÐÝ Ö ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ð ØØ Ò Ö Ò ÓÑ Ö Ô Û Ø N ÒÓ Ò M = 2zN º ÇÒ Ú Ö ÒÓ z Ò ÓÙÖ º ÁÒ Ø N Ð Ñ Ø Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò ÓÙÖ Ó Ú Ò ÒÓ ÈÓ ÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒº Ì Ð ØØ Ö ÐÓ ÐÐÝ ØÖ ¹Ð Ò ÐÓÓÔ Ú Ð Ò Ø ln N ÓÖ ÐÓÒ Öº Ì Ò Ñ ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ü Ø ÓÖ ÑÓ Ð Ò ÓÒ Ø Ð ØØ º ÁÒ Ø ÔÙÖ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ò Ù Û Ý Ø Ø J ij z 1 Ò Û Ò z ÓÒ Ö ÓÚ Ö Ø ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø ÖÖÓÑ Ò Ø ÑÓ Ðº Ì ÑÓ Ð Ö ÒÓÛ Ö Ú Ò Ö Ò Û ØØ ÒØ ÓÒ Ò Ñ ÒÝ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÛÖ ØØ Ò ÓÖ Ö Ô Ò ÑÓ Ð ÓÒ Ù Ð ØØ º Ï ÐÐ ÒÓØ Ú ÐÓÔ Ø Ð Ò Ó Ö Ö Ö º ¾º º Ä Ò Ù Ø ÓÖÝ Ò Ø ÒÞ ÙÖ Ö Ø Ö ÙÑ Ð Ø ÓÖÝ Ì Ü Ö Ò Ø Ð Ø Ù Ø ÓÒ ÙÐÐÝ ÓÐÚ Ð ÑÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ Ü Øº ÆÓÛ Ò ÓÒ ØØ ÑÓÖ Ò Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ñ Ð Ö Ñ ÒÒ Ö Ò ÓÒ Ð Ó Ø Ò Ó Ø Ð Ñ Ø Ó Ú Ð ØÝ Ó Ñ Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ Ò Û Ò Ø ÜÔ Ø ØÓ Ð Ä Ò Ù ÔÖÓÔÓ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ï Ñ Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ÓÖ ÖÖÓÑ Ò Ø Ë Øº ¾º µ Ø Ø ÑÙ Û Ö Ö Ò Ó ÔÔÐ Ø ÓÒ ÒÐÙ Ô Ò ÐÐÓÛ ØÓ ÔÖ Ø Û Ò Ø ÔÔÐ Ò Û Ò Ø Ð º ÁÒ Û ÛÓÖ Ò Ä Ò Ù Ø ÓÖÝ ÓÒ Ö Ø ÒØ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖ Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ø ØÓ Ý ÕÙ ÒØ ØÝ Û Ø Þ ÖÓ Ú Ö Ò Ø ÓÖ Ö Ô Ò ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ú Ö ÓÒ Ø ÓÖ Ö º Æ ÜØ ÓÒ ÔÖÓÔÓ Ð Ø ÓÖÝ ÓÖ Ó Ö ¹ Ö Ò Ð Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú Ö Ö Ð Ú ÒØ Ú Ö Ð Ú Ò Ö ØÓ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÚ Ö Ñ Ó ÓÔ Ð l Ø Ø Ý Ò Ø ÓÒ ÑÙ Ð Ö Ö Ø Ò Ø ÒØ Ö ØÓÑ Ø Ò aº ÁÒ Ø Ó Ò Á Ò Ô Ò Ý Ø Ñ Ø Ð Ò Ó Ö ¹ Ö Ò Ò ÚÓÐÙÑ v = l d Û Ø Ò Ø ÑÔÐ Ò φ( x) 1 l d j v x s j, ¾º µ º º Ì Ð φ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ú Ö Ð Ø Ò Ö Ð Ú ÐÙ º ÇÒ Ò ÓÒ ØÖÙØ Ð φ Ø Ø Ø Ö ÒØ Ú ÐÙ Ô Ö Ð ØØ Ø Ù Ò ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ó Ö ¹ Ö Ò Ò ÚÓÐÙÑ µ Ò Û Ø ÓÓÖ Ò Ø Ó Ø Ô Ú Ö Ð x Ú ÖÝ Ý Ø Ô Ó a Ø Ð ØØ Ô Ò º ÁÒ Ø ÓÒ Ò Ù ÒÓÒ¹ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ó Ö ¹ Ö Ò Ò ÚÓÐÙÑ Ò Û Ø ÓÓÖ Ò Ø Ó Ø Ô Ú Ö Ð x Ú ÖÝ Ý Ø Ô Ó l Ø Ó Ö ¹ Ö Ò Ò Ð Ò Ö Þ º Ì Ò ÜØ Ø Ô ÓÒ Ø Ò ÓÒ ØÖÙØ Ò ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ò µ Ò Ø Ú Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø ÒØ Ö Ø Ò Ý Ø Ñº ÇÒ Ò ÔÖÓ ÓÖ Ø ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Á Ò ÑÓ Ð Û Ö Û ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÙÑ ÓÚ Ö Ø N Ô Ò Ú Ö Ð ÒØÓ ÙÑ ÓÚ Ö ÔÓ Ð Ú ÐÙ Ó Ø Ú Ö Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ø Ó Ø Ò Ö Ý ÒØÖÓÔÝµº ÁÒ Ø ¼

41 ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Ú Ò Z = α e βhα = Dφ α/φ e βhα(φ) ¾º ¼µ Û Ö Ø ÓÒ ØÖ Ò ÙÑ ÖÙÑ Ú Ö ÐÐ Ñ ÖÓ Ø Ø α Ø Ô Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Ü ÑÔÐ Ø Ø Û ØÖ Ø Ü ØÐÝµ Ø Ø Ö ÓÑÔ Ø Ð Û Ø Ð Ú ÐÙ φ Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ü ÑÔÐ µ Ò Ø ÒØ Ö Ð ÙÒØ ÓÒ Ð ÒØ Ö Ð ÙÑ ÓÚ Ö Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò Ø µ ÓÚ Ö ÐÐ ÔÓ Ð Ô Ø Ð Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Dφ = x dφ( x)º Ì ØÓÖ α/φ e βhα(φ) ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ó φº Ï Ò Ø Ò Ò Ö ¹ Ò Ö Ý Ø Ü Ð F(φ) Ù Ò e βf(φ) α/φ e βhα ¾º ½µ Û Ö F(φ) = k B T ln α/φ e βhα ¾º ¾µ Ì Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ¾º ¼µ Ñ Z = Dφ e βf(φ) ¾º µ Ò Û ÒÓÛ Ú Ø Ø Ø Ð Ð Ø ÓÖÝ Ø Ø Ö Ý ÙÒØ ÓÒ Ð F(φ) Ø Ø ÔÐ Ý Ø ÖÐ Ó Ò Ö Ð Þ À Ñ ÐØÓÒ Òº ÁÒ Ò Ö Ð Û Ó ÒÓØ ÒÓÛ ÓÛ ØÓ ÓÑÔÙØ F(φ)º Ä Ò Ù³ ÔÖÓÔÓ Ð ØÓ ÜÔ Ò F(φ) Ò ÔÓÛ Ö Ó φ Ò Ø Ö ÒØ φ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ô Ò Ò ÓÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Û Ø ÖÑ Ú Ò Ò Û ÑÓÒ Ø ÒÓÒ¹Ú Ò Ò ÓÒ Ö Ø ÑÓ Ø Ö Ð Ú ÒØº Ì Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Û Ö Ù Ò ÝÑÑ ØÖÝ Ö ÙÑ ÒØ º Ä Ø Ù ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ö ÙÑ ÒØ Ò Ø Ñ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÑÓ ÐÐ Ý Ø Á Ò ÑÓ Ðº Ì À Ñ ÐØÓÒ Ò ÙÒ Ö ÒÓ ÔÔÐ Ð ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö ÑÙÐØ Ò ÓÙ Ö Ú Ö Ð Ó ÐÐ Ô Ò s i s i º Ì Ö ¹ Ò Ö Ý F(φ) ÓÙÐ Ø Ò Ù Ø Ø F(φ) = F( φ)º Ì ÜÔ Ò ÓÒ ÜÔ Ø ØÓ Ú Ð ÐÓ ØÓ T c Û Ö φ 0 ÓÖ ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ò φ 0 ØÓÓ l Ù ÒØÐÝ Ð Ö ØÓ ÚÓ Ð Ö ÐÓ Ð ÙØÙ Ø ÓÒ µº ÁÒ Ø ÓÒ Ô ÓÒÐÝ Ø Ö Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÔÓÛ Ö ÜÔ Ò ÓÒº Ì Ö ÙÑ ÒØ ÒÒÓØ Ù Ø ØÓ Ö Ö Ø ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ º Ì Ø ÖÑ Û Ø ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú c ( 2 φ) 2 ÓÙÐ Ò Ð Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ö Ø ÓÒ c 2 φº ÁÒ ÛÖ Ø Ò φ( x) Ù Ò ÓÙÖ Ö ÜÔ Ò ÓÒ φ( x) = q e i q x φ( q) ¾º µ Û Ö Ø ÙÑ ÖÙÒ ÓÚ Ö Û Ú ¹Ú ØÓÖ Ø Ø Ø Ý q l 1 Ù ØÓ Ø ÙØ¹Ó ÒØÖÓ¹ Ù Ý Ø Þ Ó Ø Ó Ö ¹ Ö Ò Ò ÓÜ Û Ö Ö ÓÒ Ö Ò ÒÓÒ¹ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò ½

42 ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ÓÜ ÓØ ÖÛ Ø ÓÒ Ø ÓÒ q a 1 µº Ë Ò (c /c) 1/2 Ù Ù ÐÐÝ Ó Ø ÓÖ Ö Ó Ø Ñ ÖÓ ÓÔ ÒØ Ö Ø ÓÒ c /c l 2 ÓÖ q Ù Ø Ø q l 1 ÓÒ c q 4 φ( q) 2 cq 2 φ( q) 2. ¾º µ ÓÒ Ø Ö ÙÑ ÒØ Ø Ñ Þ ÓÚ Ø Ä Ò Ù Ö ¹ Ò Ö Ý Ö [ c F(φ) = d d x 2 ( φ( x))2 + λ 4! φ4 ( x) + T T ] c φ 2 ( x). ¾º µ T c Ì Ó ÒØ Ö Ó Ò Ò Ù Û Ý ØÓ Ö ÔÖÓ Ù ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Û Ò Ó Ò Ø ÖÓÙ T c º Ì Ö Ø Ø ÖÑ Ñ Ñ Ò Ð Ø Ò Ö Ý Ö Ð Ø ØÓ Ø ÖÖÓ¹ Ñ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ º Ì ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ð Ó Ø Ñ Ø Ò ÜÔ Ò ÓÒ ÙÔ ØÓ ÓÙÖØ ÓÖ Ö Ó Ø ÒØÖÓÔ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ò ÔÓÛ Ö Ó T T c Ø Ø ÜÔ Ø ØÓ Ú Ð ÓÒÐÝ ÐÓ ØÓ T c º Ì ÒØÖÓÔ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø ÙÐÐÝ ÓÒÒ Ø ÑÓ Ð Û Ø p = 2 Õº ¾º ¾µ ÓÑ Ò Û Ø Ø Ò Ö Ø Ø ÖÑ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ J Ø Ø ÕÙ Ð ØÓ T c ÓÖ p = 2µ Ð ØÓ Ü ØÐÝ Ø ÜÔ Ò ÓÒº ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÖ Ö¹Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ò ÒØ³ Ö ¹ Ò Ö Ý ÒÓØ ÕÙ Ö Ø Ù ØÓ Ø Ø ÖÑ φ 4 º Ì Ú Ö Ò ÓÑÔÙØ Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ò ÔÔÐ Ð Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÖÑ ØÓ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý d d x h( x)φ( x) ¾º µ Ò Ø Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÒØ ÓÒ Ð Ö Ú Ø Ú ÔÔº µº Ì Ú ÐÙ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ö ÒÓØ ÒÓÛÒ Ò Ò Ö Ðº Ì Ý Ö Ø Ö¹ Ñ Ò Ý ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÖ ÖÓÑ Ö Ø¹ÔÖ Ò ÔÐ ÔÔÖÓ º Á ÓÒ Ö Ð Þ Ø Ø Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÚÓÐÙÑ Ó Ø Ý Ø Ñ Ø ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö ÐÐ φ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Ú ÐÙ Ø Û Ø Ð ¹ÔÓ ÒØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÜÔ Ø ØÓ ÙÖ Ø Ò Ø Ð Ñ Ø V Ò Ø ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Ô Ò ÑÓ Ð Ø Ð Ñ Ø Ú Ý N µº Ì Ú ÐÙ Ø ÓÒ Û Ø Ù Ù ÐÐÝ ÐÐ Ø Ä Ò Ù ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº ÐÐ Ò φ 0 Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ð Ø Ø Ö Ò Ö Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ñ Ò ÑÙÑ º º Ø Ø Ø Ó Ø Ý Ø Ñ ÓÒ Z e βf(φ0). ¾º µ ÁÒÐÙ Ò Ø ÙØÙ Ø ÓÒ ÔÔ Ò Ü µ ÓÒ Ò Û Ò Ø ÓÒ ÓÑ ØÓÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ö Ò Ö Ø Ð ¹ÔÓ ÒØ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÒÚ Ð º Ì Ò ÐÝ ÐÐ Ø ÒÞ ÙÖ Ö Ø Ö ÓÒ Ò Ø ÐÐ Ù Ø Ø Ø Ö Ò ÙÔÔ Ö Ö Ø Ð Ñ Ò ÓÒ d u = 4 ¾º µ ÓÚ Û Ø Ñ Ò¹ Ð Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ÖÖÓÑ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ü Ø ÐÓÛ d u Ñ Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ Ð º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ó ÒÓØ Ð Ú ÖÝÛ Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ô º ÁØ Ù Ø Ð ÐÓ ØÓ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ò Ý Ø Ñ¹ Ô Ò ÒØ Ö Ø Ð Ö ÓÒº Ì Ú ÓÖ Û Ý ÖÓÑ Ø Ö Ø Ð Ö ÓÒ Ø ÐÐ Û ÐÐ¹ Ö Ý Ø Ä Ò Ù¹ ÒÞ ÙÖ Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ Ð ¾

43 ¾º Å Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Ø ÓÖÝº Ò ØÙÖ Ó Ø ÐÙÖ Ó Ø Ä Ò Ù¹ ÒÞ ÙÖ Ø ÓÖÝ Ø Ø Ø ÔÖ Ø Ø Ñ Ò¹ Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ò ¾º ¼µ ÓÖ ÐÐ d Û Ð ÖÐÝ ÒÓÖÖ Ø Ò ÐÓÛ Ñ Ò ÓÒ º ÁÒ Ù Ø Ø ÑÓÖ Ø Ð Ø ÒÞ ÙÖ Ö Ø Ö ÙÑ Ø Ø Ø Ø Ø Ä Ò Ù Ñ Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ Ö ÓÛÒ Û Ò δφ 2 coh φ 2 ¾º ¼µ Û Ö δφ coh Vcoh 1 d d x (φ( x) φ ), ¾º ½µ V coh = ξ d Û Ø ξ Ø Ó Ö Ò ÓÖ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø ØÓ Ò Ò Ë Øº ¾º½¼º½ Ò φ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Öº Ì Ð Ø¹ Ò ¹ Ò ¾º ¼µ δφ 2 coh = V coh 1 Û Ö G Ø ÓÒÒ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ d d r G( r) ¾º ¾µ G(r) φ( x)φ( x + r) φ( x) φ( x + r) ¾º µ Ø Ø ÜÔ Ø ØÓ Ô Ò ÓÒ r ÓÒÐÝ Ý ÓØÖÓÔÝº G(r) Ò ÓÑÔÙØ Û Ø Ò Ø Ñ Ä Ò Ù Ø ÓÖÝ Ò Ø Ö ÙÐØ ÓÖ δφ 2 coh ÓÑÔ Ö ØÓ Ø Ö Ø¹ Ò ¹ Ò ¾º ¼µº Ä Ò Ù Ø ÓÖÝ Ø Ù Ø Ð Ø ÓÛÒ Ð Ñ Ø Ó Ú Ð ØÝ Ø Ú Ð ÙÒØ Ð Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÑ Ó Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ð Û Ò ÓØ Ö Ó Ö ¹ Ö Ò ÓÚ Ö ÚÓÐÙÑ Ø ÖÑ Ò Ý Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø º L ÙÖ Ó Ö ¹ Ö Ò Ò Ä Ò Ù ½ ¾µ Ò ÒÞ ÙÖ ¾¼¼ µ ÓØ ÆÓ Ð ÈÖ Þ Ò È Ý ÓÖ Ø Ö ÛÓÖ ÐÓÒ Ø Ð Ò Ä Ò Ù ÓÒ ÙÔ Ö Ù ØÝ ÒÞ ÙÖ ÓÒ ÙÔ ÖÓÒ ÙØÓÖ Ò ÙÔ Ö Ù µº Ì ØÖ Ø Ý Ó ÒÞ ÙÖ Ò Ä Ò Ù ÔÖÓÚ ØÓ Ú ÖÝ Ù ÙÐ ØÓ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ú ÖÝ Ö ÒØ ØÝÔ Ù Ò Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ Ø ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ÔÖÓÔÓ Ð ÓÖ Ø Ð Ø ÓÖÝ Ö Ò Ø Ô Ý Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÒØ Ö Ø Òº ÁØ Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ Û ÐÐ¹ Ù Ø ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÐÓÒ ¹Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ù ÙÔ ÖÓÒ ÙØÓÖ Ò ÖÖÓ Ð ØÖ Ò Ò Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ö ÙÔÔÖ º

44 ¾º Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ¾º º ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ä Ò Ù¹ ÒÞ ÙÖ Ñ Ø Ó ÁÒ Ø Ψ¹Ø ÓÖÝ Ó ÙÔ ÖÓÒ ÙØ Ú ØÝ Ø Ø ÓØ ÒÞ ÙÖ Ø ¾¼¼ ÆÓ Ð ÈÖ Þ Ð Ö ÓÑÔÐ Ü Ð Ψ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø ÓÙÔÐ ØÓ Ú ØÓÖ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ð ÔÓØ ÒØ Ð Aº Ð Ò ØÛ Ò Ö Ò¹ ÓÓÔ Ö¹Ë Ö Ö³ Ñ ÖÓ ÓÔ Ø ÓÖÝ Ó ÙÔ ÖÓÒ¹ ÙØ Ú ØÝ Ò Ø Ä Ò Ù¹ ÒÞ ÙÖ Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ Ð ÑÓ Ð Ò Ø Ð º ÁÒ Ò Ö Ý ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø Ð Ø ÓÖÝ Ù Ù ÐÐÝ ÔÓ ØÙÐ Ø º Ì Ó¹ ÐÐ λφ 4 Ø ÓÖ Ö Ø Ò Ö ÓÒ Ò Û Ø Ð ÓÑÔÐ Ü Ú Ö Ð Ò Ø Ä Ö Ò Ò Ò ØÝ Ö L(φ) = µ φ µ φ αφ φ 1 2 λ(φ φ) 2. Å ÒÝ ÓØ Ö Û Ø ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ü Ð Ú ØÓÖ Ð Ø Ò ÓÖ Ðµ Ö Ð Ó ÔÓ Ð º ¾º Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ ¾º µ Ì Ö Ø Ó Ø Ù ÓÒ Û ÐÐ ÓÙ ÓÒ ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖ Û Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÑÓÓØ ÐÝ Ô ÖØ ÖÓÑ Þ ÖÓ Û Ò ÒØ Ö Ò Ø ÓÖ Ö Ô º Ï Ò ØÙ Ý Ò Ø Ó ÖÚ Ð ÐÓ ØÓ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ ÓÒ Ö Ð Þ Ø Ø Ø Ý Ô Ò ÓÒ Ø Ø Ò ÖÓÑ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ò Ø ÓÖÑ Ó ÔÓÛ Ö Ð Û X θ n ¾º µ Û Ö X Ø Ó ÖÚ Ð θ Ø Ø Ò ØÓ Ö Ø Ð ØÝ Ò n Ø ÜÔÓÒ ÒØº ÁØ Ð Ö Ø Ø Ø Ò Ø ÓØ Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ñ ÙÖ Ø ØÖ Ò Ø Ó Ø Ò ÙÐ Ö ØÝ Ø Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ò Ø Ò Ø Ø ÐÐ Ö Ú Ø Ú d m X/dθ m Û Ø m > n Ú Ö Ò Ø Ñ ÐÐ Ö n Ø ÓÓÒ Ö Ø ÔÔ Ò º ÓÖ Ò Ø Ò Ò Þ ÖÓ Ð Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÒÖ m (T c T) β. ¾º µ Ø T c Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ù Ø Ð Ø Ú m h 1/δ. ¾º µ Ì Ú Ö Ò Ó Ø Ð Ò Ö Ù ÔØ Ð ØÝ Ø T c Ö Ø Ö Þ Ý ØÛÓ ÜÔÓÒ ÒØ χ { (T Tc ) γ T > T c, (T c T) γ T < T c. ¾º µ Ì Ô Ø Ð Ó Ú Ö Ø T c C V { (T Tc ) α T > T c, (T c T) α T < T c. ¾º µ Ï Ð Ø Ú ÐÙ Ó T c Ö Ñ Ø Ö Ð Ô Ò ÒØ ÐÐ ÖÖÓÑ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ý Ø Ñ Ò d = 3 Û Ø Ò ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø Ñ Ñ Ò ÓÒ Ð ØÝ Ò Ö Ý Ø Ñ

45 ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Û Ø Ò ÖÖÓÖ Ö Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ì ØÙÖ Ò Ø Ø Ü Ø Ò Ó ÙÒ Ú Ö Ð ØÝ Ð º º ÖÓÙÔ Ó Ý Ø Ñ ÓÖ Û Ø Ø Ð Ó Ø Ñ ÖÓ ÓÔ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ÒÓØ Ñ ØØ Ö Ò Û Ó Ñ ÖÓ ÓÔ Ö Ø Ð Ú ÓÖ ÒØ Ðº ÁØ ÑÔÐ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ò Ø Ò Ú Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖ ÒÝ d ÓÖ ÓÖ Ø ÙÐÐÝ ÓÒÒ Ø ÑÓ Ð Û Ø p = 2º Ì Ý Ö α = 0, β = 1 2, γ = 1, δ = 3, η = 0, ν = 1 2, ¾º ¼µ Ò Ø Ý Ö Ò Ô Ò ÒØ Ó dº η Ò ν Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ö Ø Ö Þ Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ø Ø Û Ò Ò ¾º µ Ò ¾º µº Ì Ú ÐÙ Ö ØÓ ÓÒ ÖÓÒØ ØÓ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ú ÐÙ º ÁÒ ÖÖÓÑ Ò Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Û Ø Á Ò ÝÑÑ ØÖÝ Ø Ý Ö d β α γ δ ν η 2 1/8 0 7/ /4 Ü Ø ÔÔÖÓÜ Ì Ð ¾ Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ò Ø Á Ò ÙÒ Ú Ö Ð ØÝ Ð º ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò Ì Ø Ø Ø Ú ÖÝ Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ö Ø Ñ Ö Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ø Ñ Ö Ü Ø Ò Ó ÙÒ Ú Ö Ð ØÝ Ð Ù Ø Ø Ø Ø ÓÙÐ ÔÓ Ð ØÓ Ö Ö Ø Ð Ú ÓÖ Ó ÐÐ Ø Ý Ø Ñ Û Ø Ú ÖÝ Ò Ö Ð Ö Ñ ÛÓÖ º Ì Ø Ø Ø Ø Ñ Ò¹ Ð Ö Ø ¹ Ð ÜÔÓÒ ÒØ Û Ö Ð ØÐÝ Ö ÒØ ÖÓÑ Ø ÓÒ Ó ÖÚ Û ÒÓØ Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ö Ñ ÒØ ÙØ Ø Û ÖÓÑ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Ûº ËÓÑ Ø Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Û Ó Ò ÓÒ Ò Ò Ò ÜÔÐ Ò Ø ÓÒº ÁÒ Ø ËÙ Ø ÓÒ Û ÒØÖÓ Ù Ò Ù Ø ÓÒ ÔØ Ø Ø ÐÐÓÛ ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ò ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò º Ì Ò Ñ Ø Ó ÒØÖÓ Ù ØÙ ÐÐÝ Ó ÝÓÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ú Ò ÜÔÓÖØ ØÓ ÓØ Ö ØÙ Ø ÓÒ Ð ÝÒ Ñ Ð ÔÖÓ Ò Ò ÓÙØ Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ë Ø º Ò µº ¾º½¼º½ Ì ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ ÔØ Ò Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò Ø Ø Ó ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ù Ù ÐÐÝ ÒÓØ Ý ξ Ò ÐÖ Ý Ù Ò Ø ÒÞ ÙÖ Ö Ø Ö ÓÒº Ù ÓÒ Ì ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ø Ø Ò ÓÚ Ö Û Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ö Ó Ö ÓÑ Ö Ò ÒØÐÝ ÓÖÖ Ð Ø º ÑÔÐ Û Ý ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò Ø Ñ Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Ì Ñ ÖÓ ÓÔ ÑÔÐ Ò Ñ ÙÖ ÓÑ Ñ ÖÓ ÓÔ Ó ÖÚ Ð

46 ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ÙÒ Ö ÓÑ ÜØ ÖÒ Ð ÓÒ Ø ÓÒ º º Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ò ÔÖ ÙÖ P º ÆÓÛ Ö Ô Ø Ø Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ø Ö ÙØØ Ò Ø ÑÔÐ Ò ØÛÓ Ô Ò Ô Ò Ø ÜØ ÖÒ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ò º Ì Ö ÙÐØ ÓÖ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ó ÖÚ Ð Ø Ñ º Ê Ô Ø Ò Ø ÔÖÓ ¹ ÙÖ ÓÒ Ò Ø Ñ Ö ÙÐØ ÙÒØ Ð Ø Ý Ø Ñ Þ Ö Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ó Ø Ñ Ø Ö Ðº Ï Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ò Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ö ÓÒ Ó Ð Ò Ø ξ ÒÓ Ø ÓÙØ Ó Øº Ì Ö Ô Ö Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ø ¹ Ð º Ï Ò Ö Ò Ø Ý Ø Ñ Ø ÓÖØ Ð Ò Ø Ð a l ξ Ø ÓØ Ö ÓÜ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ó Ò ÓÒ º Ø ÐÓÒ Ö Ð Ò Ø Ð ξ l Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ø Ð ÒØ Ö ÓÒÐÝ Ø ÖÓÙ Ú Ö Ú ÐÙ Ð Ø Ñ Ò Ò ØÝ ÓÖ Ø Ú Ö Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒº ËÝ Ø Ñ Û Ø Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø ÐÓÓ ÙÒ ÓÖÑ Ø Ø ØÓ Ý Ø Ý Ö Ø Ø Ø ÐÐÝ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ð ÒÚ Ö ÒØ ÓÚ Ö Ø Ò l ξº Ì Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ó ÒÝ Ó ÖÚ Ð ÓÒ Ö ÒØ ÓÜ Ó Ð Ò Ö Þ l Ù Ò ØÖ ÙØ ÓÙØ Ø Ñ Ò Ò Ø Ú Ö Ò Ö Û Ø l/ξ Ù ØÓ Ø ÒØÖ Ð Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ñµº ÐÓ Ð Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ó ÒÓØ Ö Ø Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ø Ð º Ø Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÒ Ò Ú ÖÓÔÐ Ø Ó Ø ÛÖÓÒ Ô Û Ø Ò Ø ÓÖÖ Ø ÓÒ Ù ØÓ Ø ÖÑ Ð Ø Ø ÓÒº Ì Þ Ó Ø ÖÓÔÐ Ø Û ÐÐ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø Ú Ò Ò Ø ÒØ Ò Ô ÓØ Ó Ø Ý Ø Ñ Ö Ú Ð Ø Ü Ø Ò Ó ÒÙÑ Ö Ó Ø Ñ Û Ø Ö ÒØ Þ º ÇÒ ÜÔ Ø Ø ÓÙ Ø Ø Ø Ý Ú Û ÐÐ¹ Ò Ú Ö Ø Ò ÓÖ Ò Ø Ò ÓÚ Ö Ö ÒØ Ò Ô ÓØ Ø Ò Ø Ö ÒØ Ø Ñ µº Ì Ú Ö Þ Ò Ø Ò ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Û ÐÐ Ú ÑÓÖ ÔÖ Ò Ø ÓÒ ÐÓÛµº ËÝ Ø Ñ Û Ø Ú Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ú ÙØÙ Ø ÓÒ ÓÖ ÖÓÔÐ Ø Ó ÐÐ Þ º Ì Ý Ø Ñ Ö ÒÓ ÐÓÒ Ö ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ð ÒÚ Ö ÒØ ÓÚ Ö ÒÝ Ò Ø Ð Ò Ø Ð º ÁÒ Ø Ø Ý Ö Ð ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö ÑÙÐØ Ò ÓÙ Ö Ð Ò Ó Ø ÕÙ ÒØ Ø Ó ÒØ Ö Ø Ò Ø Ð Ò Ø º Ì Ö Ð ¹ Ñ Ð Ö ØÖÙØÙÖ º ÐÓ Ð Þ ÙØÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÚ Ö Ø Û ÓÐ Ý Ø Ñ Ò ÒÓ Ù Ý Ø Ñ Ø Ø Ø ÐÐÝ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø ÓØ Ö º ËØ ÐÐ ÒÓÛÐ Ó Ø Ú ÓÙÖ Ø Ú Ò Ð ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ Ö Ú Û Ø ÔÔ Ò Ø ÐÐ Ð Ø ÖÓÙ Ø Ð Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÁÒ Ö Ø ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ò Ø ÓÖ ÐÐ Ú ÐÙ Ó Ø Ô ¹ Ö Ñ Ø Ö º ÁÒ ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ù Ù ÐÐÝ Ú ÖÝ ÓÖØ Ó Ø ÓÖ Ö Ó Û Ð ØØ Ô Ò Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÁØ ÒÖ Û Ò ÔÔÖÓ Ò T c Ø Ú Ö Ø T c Ò Ø Ò Ö Ò Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Û Ò ØØ Ò Û Ý ÖÓÑ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØº Ë º º Ì Ø Ø Ø ÓÒ Ò Ó Ö ÒØ ØÖÙØÙÖ Ø ÐÐ Ð Ò Ø Ø Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ñ Ò Ø Ø Ø Ö ÒÓ Ô Ø Ð Ð Ð Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ò ÐÐ Ð Ô ÖØ Ô Ø Ò Ø Ö Ø Ð Ú ÓÙÖº Ì Ý Ø Ñ ÓÑ Ð ÒÚ Ö ÒØ Ò ÓÒ ÐÓÓ Ø Ø Û Ø Ö ÒØ Ñ ÖÓ ÓÔ ÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ø Ñ º Ò Ø ÓÒ Ì ØÙ Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø ÓÒ Ø Ù Ó Ø Ø Ø Ù Ô¹ Ø Ð ØÝ ÙÑ ÖÙÐ º

¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ÙÖ ÌÛÓ Ò Ô ÓØ Ó Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ô Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò 2d Á Ò ÑÓ Ðº Ä Ø ÐÓÛ T c Ö Ø Ø T c º ÑÔÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø Ð Ò Ö Ù ÔØ Ð ØÝ Ö Ð Ø ØÓ

Ø Ø Ù Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÙÐ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ø Ò ØÛ Ò Ø ÔÓ ÒØ r i Ò r j ÓÒÐÝ G( r i, r j ) = G( r i r j ). ¾º ¾µ ÇÒ Ø Ò χ m h h = β h=0 i G( r i ) = β a d V d d r G( r).

47 ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ÙÖ ÌÛÓ Ò Ô ÓØ Ó Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ô Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò 2d Á Ò ÑÓ Ðº Ä Ø ÐÓÛ T c Ö Ø Ø T c º ÑÔÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø Ð Ò Ö Ù ÔØ Ð ØÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÓÒÒ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ χ m h h = 2 f h=0 h 2 = β G( r i, r j ) h=0 N ij ¾º ½µ Û Ø G( r i, r j ) = s i s j s i s j Ò r i,j Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ô Ò s i,j º ÆÓØ Ò Ò Ø Ø Ø Ô Ø Ð ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ð ÒÚ Ö Ò ÓÙÐ Ú ÓÐ Ø Ø Ù Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÙÐ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ø Ò ØÛ Ò Ø ÔÓ ÒØ r i Ò r j ÓÒÐÝ G( r i, r j ) = G( r i r j ). ¾º ¾µ ÇÒ Ø Ò χ m h h = β h=0 i G( r i ) = β a d V d d r G( r). ¾º µ Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ú Ö Ò Ó Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Ø Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ ÑÙ Ø ÓÑ¹ Ô Ò Ý Ô Ð Ú ÓÖ Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒº ÁÒ ÓÒ Ò Ø Ø G( r) r 2 d η f ( ) r ξ Û Ø { f(0) = 1, f(x ) x η e x. ¾º µ Ì ÜÔÖ ÓÒ ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö Ø ÙÐÐ ÚÓÐÙÑ ÙÒÐ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÓÖ ÔÔ Ö º Ì Ò Û Ø ÔÔ Ò Ø T c Û Ö Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø ξ Ú Ö Ò ÔÓÛ Ö Ð Û Ó Ø Ø Ò ØÓ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ ξ T T c ν. ¾º µ

48 ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Ò ÐÐÝ ÓÒ Ó ÖÚ Ø Ø Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ö Ø Ø Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ð Ó Ú Ö ÔÓÛ Ö Ð Û G( r) r (d 2+η), ¾º µ Û Ø η ÒÓØ Ö Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØº Ë Ú Ö Ð ÔÖ Ø Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ü Ø Ò Ø Ý ÐÐ Ð ØÓ Ø Ñ ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ú ÓÙÖº ÇÒ Ø Ø Ò ÐÝ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÒÙÑ Ö Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ü ÑÔÐ d ξ 2 d r r 2 G(r). ¾º µ dd x G(r) Ò Ü ÑÔÐ Ø Á Ò Ò Ä Ø Ù Ù Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ò ÑÔÐ ÓÐÚ Ð Ø Á Ò ÑÓ Ð Ò d = 1 Û Ø Ý ÓÔ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º ÁÒ Ø Ø Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ G kl = s k s l s k s l = s k s l ¾º µ Ò s k = 0 Ø ÒÝ T > 0º ÁÒØÖÓ Ù Ò ÓÖ ÓÒÚ Ò Ò Ö ÒØ ÓÙÔÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ K i = βj i ÓÒ Ø Ð Ò G kl Ö G kl = Z 1 {s i =±1} e i K is i s i+1 s k s l = Z 1 K k K k+1... K l 1 Z. ¾º µ Ø Ø Ò Ó Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ø K i = K = βj ÓÖ ÐÐ iº Ì Ù Ø Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø ÓÒÒ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ÒÝ ØÛÓ Ô Ò Ò ÓÑÔÙØ ÒÙÑ Ö Ó Ö Ú ¹ Ø Ú Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ø Ò ØÛ Ò Ø Ô Ò µ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÒÚ Ò ÒØÐÝ ÒÓÖÑ Ð Þ º Í Ò Ø Ò Ó Ú Ö Ð η i = s i s i+1 ÓÒ Ò Z = {η i =1} e i K N 1 iη i = 2 2 cosh(k i ) 2(2 coshβj) N 1. ¾º ¼µ i=1 Ì Ò Ø Ø Ò ØÛ Ò Ø Ó Ò Ô Ò s k Ò s l ØÓ k l = r Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ø Ò Ú Ò Ý G(r) = [tanh(βj)] r = e r ln[tanh(βj)] = e r/ξ ¾º ½µ Û Ø ξ = 1 ln coth(βj) e4j/(t Tc), T 0. ¾º ¾µ ÁÒ Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ü ÑÔÐ Û ÓÙÒ Ò ÒØ Ð Ò ÙÐ Ö ØÝ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ú Ö¹ Ò Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Û Ò ÔÔÖÓ Ò T c = 0º ÁÒ Ò Ö Ð Ò Ö d ÓÒ ÔÓÛ Ö Ð Û Ú Ö Ò Ó Ø ÓÖÑ ¾º µº

49 ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ¾º½¼º¾ Ë Ð Ò Ë Ð Ò ÓÒ ÔØ Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ø Ú ÓÙÖ Ó Ý Ø Ñ Ñ Ó Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ Ø ØÙ ÒØ ÒØ Ö Ø Ò ÒÓÒ¹Ð Ò ÖÐÝ Ò ÓÖ Ò ØÓ Ð Û Ø Ø Ö ÓÑ Ø Ñ ÔÓÓÖÐÝ ÙÒ Ö ØÓÓ º Ì ØÓ ÓÐ Ø Û Ö Ð Ú ÒØ Ú Ö Ð Ø Ø Ö Ø Ö Þ Ø Ú ÓÙÖ Ø ÖØ Ò Ð Ò Ø Ò Ø Ñ Ð Ò ØÓ ÔÓ ØÙÐ Ø ÑÔÐ Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ñº Ï Ò Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð Ø Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ø ÓÖÑ Ó ÔÓÛ Ö Ð Û Û Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ö ÒÓØ Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö º ËÝ Ø Ñ Ø Ø Ñ Ý Ñ ÖÓ ÓÔ ÐÐÝ Ú ÖÝ Ö ÒØ ÙØ Ö Ø Ñ Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÐÓÒ ØÓ Ø Ñ ÙÒ Ú Ö Ð ØÝ Ð º Ë Ð Ò Ö ÙÑ ÒØ ÔÔÐÝ ØÓ Ñ ÒÝ Ö ÒØ Ô Ý Ð ØÙ Ø ÓÒ Ò Ò ÓÙØ Ó ÕÙ Ð ¹ Ö ÙÑµ Ò Ø Ý Ò ÜÔÐ Ò Ù Ò Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ º ÁÒ ÑÓ Ø Ø Ö ÒÓÖÑ Ð¹ Þ Ø ÓÒ ÔÔÖÓ Ó ÒÓØ Ú ÓÖÑ Ð Ý Øº ÁØ Ò Ø ÓÒØ ÜØ Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ð Ò Ò Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ö Ú Ý Ø Ñ Ø ÐÐÝº È ÒÓÑ ÒÓÐÓ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ù ÓÒ Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò Û Ú Ò Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ α ÓÖ Ø Ô Ø β ÓÖ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö γ ÓÖ Ø Ù ÔØ Ð ØÝ δ ÓÖ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ù Ø Ð η ÓÖ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò ν ÓÖ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø µº ÙØ ØÙ ÐÐÝ ÒÓØ ÐÐ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ö Ò Ô Ò ÒØº ÁØ Û ÓÓÒ Ó ÖÚ Ø Ø Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø ÔÓ ÒØ ØÓ ÑÔÐ Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ò ÓÒ Ü ÑÔÐ Ø ÊÙ ÖÓÓ Ð Ò Ð Û α + 2β + γ = 2. ¾º µ Ä Ø Ù Ö Ø Ø ÔÖ Ø Ð Ú ÛÔÓ ÒØ Ò Ù Û Ý ØÓ ÓÐÐ Ô Ø ÐÓ ØÓ Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ ÔÖÓÔ ÖØÝ ÐÓ ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ð Ò º Ì ÔÓÛ Ö Ð Û ÜÔÖ ÓÒ ¾º µ Ò ¾º µ Ù Ø Ï ÓÑ Ð Ò ÓÖ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ( ) h m(t, h) t β Φ ± t βδ t T T c T c, ¾º µ Û Ø Φ ± (0) = 1 Ò Φ ± (x ) x 1/δ º Ï Ø Ø Ð Ñ Ø ¾º µ Ö ÓÚ Ö ÓÒ Ø Ö Ø Ð ÓØ ÖÑ Ò ¾º µ ÓÐÐÓÛ Ø ØÖ ØÐÝ Þ ÖÓ Ð Ò ÓÖ t 1º Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø ÓÐÐ Ô Ú Ò Ò º ½¼º ËÙÖÔÖ Ò ÐÝ ÒÓÙ ÐÐ Ý Ø Ñ ÙÒ Ö Ó Ò ÖÖÓÑ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ø Û Ý Ù Ò Ø Ñ ÙÒØ ÓÒ Φ ± ÓÚ Ò ÐÓÛ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö ¹ Ô Ø Ú ÐÝ Ì Û Ý Ó Ò Ø ÝÔÓØ Ý ÔÐÓØØ Ò m/ t β Ò Ø h / t βδ ÓÖ Ö ÒØ Ý Ø Ñ Ò ÐÓÓ Ò ÓÖ Ø ÓÐÐ Ô º Ç ÓÙÖ Û Ó ÒÓØ ÒÓÛ Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÙÒ Ú Ö Ð ÜÔÓÒ ÒØ β Ò δ Ò Ø Ñ Ø Ö Ð Ô Ò ÒØ Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T c ÔÖ ÓÖ Ó Û Ò ØÓ Ñ Ò ÔÙÐ Ø Ø Ø Ø ÓÖ Ó Ø Ò Ò ÓÐÐ Ô º ÆÓØ Ø Ø Ø Ð Ò Ð Û ¾º µ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ñ Ò ÓÒ dº

50 ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Ë Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ø ÒÚÓÐÚ Ø Ñ Ò ÓÒ Ö ÐÐ ÝÔ Ö Ð Ò º Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ ÐÐÝ Ó ÖÚ Ø Ø Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ø G( r; t, h) = 1 r d 2+η g ( r t ν, h t βδ ) Ò Ø Û. ¾º µ ÁØ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ ÒÓØ Ø Ø Ð Ò ÓÐ ÓÒ ÑÙ Û Ö Û Ò ÓÛ Ø Ò Ø ÔÓÛ Ö Ð Û ÜÔÖ ÓÒ Ò Ò Ø Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ º ÙÖ ½¼ Ö Ø Ð Ð Ò Ò ¹Ð ÕÙ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÔÖ ÙÖ º Ø Ú ÖÝ ÐÓÛ Ò ØÝ Ò ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ø Ð Ø Ó Ø ÙÖÚ Ø Ý Ø Ñ Ø Ú ÖÝ Ð Ö Ò ØÝ Ò Ø ÐÐ ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ø Ö Ø Ó Ø ÙÖÚ Ø Ý Ø Ñ Ð ÕÙ º ÁÒ Ø Ö ÓÒ ÐÓÛ Ø ÙÖÚ Ø Ö Ó Ü Ø Ò Ó Ò Ð ÕÙ º ÓÚ Ø ÙÖÚ Ø Ý Ø Ñ Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ ÖÓÑ ØÓ Ð ÕÙ Û Ò ÒÖ Ò Ø Ò ØÝº Ì Ö Ø Ð Ð Ò Ú ρ l ρ g T T c β Û Ø β ÐÓ ØÓ Ø Ñ Ü ÑÙÑº ÆÓØ Ø Ø Ð Ò ÓÐ Ö T/T c 0.55 Ë Ð ÒÚ Ö Ò Ã ÒÓ ÔÖÓÔÓ Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÒÖ Ð ØÙÖ ÓÙÐ ÜÔÐ Ò ÙÑ Ò Ø Ø Ò Ö Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ý Ø Ñ ÐÓÓ Ø Ñ Ø ÐÐ Ð Ò Ø Ð º Ì ÐÐ Ð ¼

51 ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ÒÚ Ö Ò º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ ÓÛ Ø Ø Ú Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø ÑÔÐ ÙÒ Ö ÓÑ ÑÓÖ ÓÖ Ð Ñ Ð ÙÑÔØ ÓÒ µ Ø Ð Ò ÝÔÓØ Ø Ò Ù Ò Ð Ò Ð Û ÔÓ ØÙÐ Ø Ý Ï ÓÑ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ º Ì Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ò Á Ò ÑÓ Ð Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T º Ë Ò Ø Ý Ø Ñ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø ξ(t) Ô Ò ÐÝ Ò ÓÒ Ö ÓÒ Ó Ð Ò Ö Þ la ξ Ö ØÖÓÒ ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø Ò ÐÐÝ Ø Ò Ð ÙÒ Øº ÇÒ Ò Ø Ò Ò N = Nl d ÐÓ Ô Ò s I m l 1 l d s i, m l l d s i, ¾º µ i B I i B I Ò Ø Ð ÓÒ Ð ØØ Û Ø Ð ØØ Ô Ò a = alº Ã ÒÓ Ø Ò ÙÑ Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò Û Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÖÑ Ó ÐÓ Ô Ò Ô Ø Ñ ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÖÑ Ø ÓÙ Û Ø ÑÓ ÓÙÔÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ βh l K l s I s J + h l ¾º µ IJ Û Ø K βj Ò h = βh Ò ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø ÓÖÖ Ø ÓÖ Ø Ò ÐÓÛ ÙØ ÒÓÖÖ Ø Ò Ò Ö Ðµº Ì Ñ Ò Ø Ø Ø ÓÙÔÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ú ÖÝ Û Ø Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ð º Ì ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ò ÓÐÙØ ÙÒ Ø Ð ÖÐÝ Ö Ñ Ò ÙÒ Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ó Ú Ö Ð º ÀÓÛ Ú Ö ÓÒ Ñ ÙÖ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ð ØØ Ô Ò Ø ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÐÓ Ô Ò Ý Ø Ñ Ò ÒØÐÝ Ö Ù Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÖ Ò Ð ÓÒ ξ = ξ l (la) = ξ 1 a, ξ l = ξ 1 l 1 < ξ 1. ¾º µ Ì Ù ÓÒ Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÐÓ Ô Ò Ý Ø Ñ Ò ÖØ Ö Û Ý ÖÓÑ Ö Ø Ð ØÝ Ò Ø Ò Û Ö Ù Ø ÑÔ Ö ØÙÖ t l º ÑÔÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÛ Ø Ø Ø Ñ Ò Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ h l = hm l l d º ÕÙ Ø ÓÒ ¾º µ ÑÔÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ØÓØ Ð Ö ¹ Ò Ó Ø ÐÓ Ô Ò Ò ÓÖ Ò Ð Ý Ø Ñ I s I F(t l, h l ) = Nl d f(t l, h l ) = F(t, h) = Nf(t, h). ¾º µ Ï Ø Ò Ø ÔÔÖÓ Û Ø ÐÐ Ó ÒÓØ ÒÓÛ ÓÛ Ø Ö Ù Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÜØ ÖÒ Ð Ð ØÖ Ò ÓÖÑº Á ÓÒ ÒÓÛ ÙÑ ÔÓÛ Ö Ð Û Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ð t l = tl yt, h l = hl y h, ¾º½¼¼µ Û Ø y t > 0 Ò y h > 0 Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ Ó Ò ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ò µ Ø Ò f(t, h) = l d f(tl yt, hl y h ). ¾º½¼½µ ÍÔØÓ ÒÓÛ ÒÓØ Ò Ü Ø ÐÓ Ð l Ò Û Ò Ø Ò ÓÓ Ø Ø Û ÐÐ Ø Ò l = t 1/yt Ò Ò Ò = y h /y t Ò 2 α d/y t ÓÒ ÑÔÐÝ Ð Ø Û Ø f(t, h) = t 2 α F f (h/ t ). ¾º½¼¾µ ½

52 ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ÖÓÑ Ø Ð Ò ÓÖÑ Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ ÓÒ Ò Ö Ú Ø Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ö Ø Ö Þ Ò Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ó ÖÚ Ð Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ º Ì Ö ÙÑ ÒØ Ù Ø Ø Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÙØ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ò ÐÝ Ú Ö Ý Ø Ø Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ò ¾º µ Ó ÒÓØ ÓÐ Ò Ò Ö Ð Ò ÒÝ Ø Ø Ø Ø Ø Ñ Ø Ó Ó ÒÓØ ÔÖÓÚ Û Ý ØÓ ÐÙÐ Ø Ø Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ ÓÖ Ù Ø Ý ÙÒ Ú Ö Ð ØÝº Ì ØÛÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÐÚ Ý Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔº Ò Ü ÑÔÐ Ø Á Ò Ò ÓÖ ÒØÖÓ Ù Ò Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ Ð Ø Ù Ù ÓÒ Ü ÑÔÐ Û Ö Ø Ó Ö ¹ Ö Ò Ò ÔÖÓ ÙÖ Ò ÓÒ Ü ØÐÝ Ò Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Á Ò ÑÓ Ð Û Ø N Ú Òµ Ô Ò Ò Ø Ò Ó Ò ÔÔÐ Ð º Ì Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ö Z(N, J) = s i =±1 Ï ÐÐ ÐÐ K βjº Ì ÙÑ Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð e βj N 1 i=1 s is i+1 ¾º½¼ µ s 1 s 2 + s 2 s 3 + s 3 s 4 + s 4 s ¾º½¼ µ ÁØ Ð Ö Ø Ø s 2 ÒØ Ö ÓÒÐÝ Ò Ø Ö Ø ØÛÓ Ø ÖÑ s 4 ÒØ Ö ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ø Ö Ò ÓÖØ Ø ÖÑ Ò Ó ÓÒ Ò Ó ÓÖØ º ÇÒ Ò Ø Ò ÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ò Û Ø Ò Ú Ò Ð Ðº ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÙÑ ÓÚ Ö s 2 = ±1 Ý Ð e K(s 1+s 3 ) + e K(s 1+s 3 ). ¾º½¼ µ ÇÒ Ø Ò Ó Ø Ò Z(N, K) = N 1 s i =±1;i odd i=1 [e K(s i+s i+2 ) + e K(s i+s i+2 ) ] ¾º½¼ µ Á Û Ò ÙÒØ ÓÒ κ(k) Ò Ò Û ÓÙÔÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ K Ù Ø Ø Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÛÖ ØØ Ò e K(s i+s i+2 ) + e K(s i+s i+2 ) = κ(k)e K s i s i+2, ¾º½¼ µ Ø Ö Ø¹ Ò ¹ Ò Õº ¾º½¼ µ ÛÓÙÐ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ò¹ ÓØ Ö ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Á Ò ÑÓ Ð Û Ø N/2 Ô Ò Ò Ö ÒØ ÓÙÔÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ K Z(N, K) = κ(k) N/2 Z(N/2, K ). ¾º½¼ µ ÁÒ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ¾º½¼ µ Ò ÐÝ ÓÙÒ Ø ÒÓÙ ØÓ ÓÒ Ö ÐÐ Ø s i = ±1 Ò s i+2 = ±1 ØÓ Ó Ø Ò K = 1 ln cosh(2k), ¾º½¼ µ 2 κ(k) = 2 cosh 1/2 (2K). ¾º½½¼µ ¾

53 ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ÆÓÛ Û ÒÓÛ Ø Ø Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ln Z ÓÙÐ Ð Ò Ö Ò N βf(n, K) = lnz(n, K) = Nζ(K). ¾º½½½µ Ì Ù Ø Ò Ø ÐÒ Ó Õº ¾º½½ µ Ò Ù Ò ¾º½½½µ ln Z(N, K) = N 2 ln κ(k) + lnz(n/2, K ), ζ(k) = 1 2 ln κ(k) ζ(k ). ¾º½½¾µ ¾º½½ µ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ζ(k ) = ln[2 cosh 1/2 (2K) + 2ζ(K)] ¾º½½ µ ÁÒ ÖØ Ò Ú ÐÙ Ó K ÓÒ Ø Ö Ø¹ Ò ¹ ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ò Û ÓÙÔÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ K Ò Ø Ò Û Ö ¹ Ò Ö Ý ζ(k )º ÕÙ Ø ÓÒ ¾º½¼ µ Ò ¾º½½ µ ÔÖÓÚ Ö ÙÖ ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓÙÔÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒº ÆÓØ Ø Ø K ÐÛ Ý Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Kº ÇÒ Ò Ð Ó ÓÐÚ ÓÖ K ÙÒØ ÓÒ Ó K K = 1 2 cosh 1 (e 2K ) ζ(k) = 1 2 ln K ζ(k ), ¾º½½ µ ¾º½½ µ Ó Ø Ò Ò ÒÓÛ Ò ÒÖ Ò ÓÛ K(K )º ÇÒ Ò Ù Ø Ö ÙÐØ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ ÒÝ Kº Ì Ö ÙÑ ÒØ Ó ÓÐÐÓÛ º ÓÖ Ú ÖÝ Ñ ÐÐ K º º Ú ÖÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ô Ò Ö ÐÐÝ Ò Ô Ò ÒØ Ò Z(K ) 2 N Ò ζ(k ) = ln 2º Í Ò Ø Ò ¾º½½ µ Ò ¾º½½ µ ÓÒ ÓÑÔÙØ K Ò ζ(k)º ÇÒ Ø Ò Ø Ö Ø Ù Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ K Ò ζ(k )º Ì Ö Ñ ÒØ ØÛ Ò Ø Ú ÐÙ Ò Ö Ø Ø Û Ý Ò Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ü Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ø Ñ Þ Ò º ½ µº Ì ÔÖÓ Ö Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ô Ö Ö Ô ÓÛ Ò Ø Ô Ó Ô Ö Ñ Ø Ö º ËØ ÖØ Ò ÖÓÑ ÒÝ ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ú ÐÙ Ó Ø ÓÙÔÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÓÒÚ Ö ØÓ K = 0º Ì Ö Ö Ø Ò ØÛÓ Ü ÔÓ ÒØ Ø Ð Ü ÔÓ ÒØ Ø K = 0 ÓÖ Ò Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ØÓ Û ØÖ ØÓÖ Ö ØØÖ Ø µ Ò Ò ÙÒ Ø Ð Ü ÔÓ ÒØ K ÓÖ Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÖÓÑ Û ØÖ ØÓÖ Ô ÖØº Ì Ø Ð Ü ÔÓ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ö Ñ Ò Ø Ô Û Ð Ø ÙÒ Ø Ð Ü ÔÓ ÒØ Ø Ö Ø Ð T = 0 ÔÓ ÒØº Ì Ö Ø Ð Ú ÓÖ Ò Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Ô Ò Ò Ó ζ(k) ÓÒ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö K K c º Ñ Ð Ö ÔÖÓ ÙÖ Ò ÔÔÐ ØÓ Ø d = 2 ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ Ø ÓÛ Ú Ö Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ô Ò ÒÒÓØ ÓÒ Ü ØÐÝ Ò ÓÒ ÓÖ ØÓ Ù ÓÑ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº Ì Ö Ö ÒÙÑ Ö Ó Ù ÙÐ Ö Ô Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ º

54 ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ¾º½¼º Ì Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ Ì Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ Ý Ãº Ï Ð ÓÒ Ò Ø ÖÐÝ ¼ Ú ØÓØ ÐÐÝ Ò Û Û Ý Ó ÙÒ Ö Ø Ò Ò ÓÒ Ò ¹Ñ ØØ Ö Ò Ô ÖØ Ð Ô Ý Ô ÒÓÑ Ò º À ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ô ØÙÖ Ó Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ø Ú ÐÓÔ Ò Ø ¼ Û Ø Ø ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó ÓÒ ÔØ Ð Ð Ò ÙÒ Ú Ö Ð ØÝ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒØÓ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ð ØÓÓÐ Ò ÓØ Ø ÆÓ Ð ÈÖ Þ Ò È Ý Ò ½ ¾º Ì Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ Ò Ò Ö Ò Ù Û Ý ØÓ ÜÔÐ Ò ÓÛ ÓÖØ¹Ö Ò ÓÙÔÐ Ò Ò Ö Ø ÓÐÐ Ø Ú Ô ÒÓÑ ÒÓÒ Ó ÖÚ Ð Ø ÐÐ Ð Ò Ø Ð º ÁØ Ö Ð Ø Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ø ÜÔ Ø Ð ÒÚ Ö Ò ÔÔ Öº Ì Ñ Ø Ó Ò Ö Ð Ò Ø Ó ÒÓØ Ö ÐÝ ÓÒ Ô Ð ÑÓ Ð Ò Ø Ù ÔØ ØÓ ØÖ Ø Ú ÖÝ Ö ÒØ ÑÓ Ð Û Ø Ñ Ð Ö ÐÓ Ð Ú ÓÙÖ Ø ÙÒ Ú Ö Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝº Ì ÔÖÓ ÙÖ Ì Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ ÔÖÓ ÙÖ ÓÒ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÐÓ Ô Ò º Ö Ø Ø Ø Ý Ø Ñ Û Ø N Ô Ò Ý Ù Ð ØØ Ó Ð Ò Ö Þ L Ò Ú Ø Ò ÐÓ Ó Ð Ò Ö Þ lº Ò N = Nl d Ó Ö ¹ Ö Ò Ô Ò Ú Ö Ð Ù Ò ÓÖ Ü ÑÔÐ ¾º µº Ê Ð Ø Ø Ò ØÛ Ò Ø Ó Ö ¹ Ö Ò Ô Ò Ø Ø ÓÙÔÝ Ø ÒØ Ö Ó Ø ÐÓ ÖÓÑ la ØÓ a a Ò Ø ÓÖ Ò Ð Ð ØØ Ô Ò º ÓÑÔÙØ Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ý ÜÔÖ Ò Ø ÓÖ Ò Ð Ò Ö Ý Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ó Ö ¹ Ö Ò Ú Ö Ð º Á Ò Û Ø ÖÑ Ö Ò Ö Ø Ø ÖÓÙ Ø Ó Ö ¹ Ö Ò Ö Ù Ø Ø Ø Ý Ö Ø Ö ÖÖ Ð Ú ÒØ Ø Ø ØÓ Ý Ø Ý ÓÑ Ð Ò Ð ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ö Ù Ú Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ö ¹ Ö Ò Ò ÓÖ Ø Ø ÓÒÐÝ Û Ù Ò Û Ø ÖÑ Ö Ò Ö Ø º ÓÐÐ Ø ÐÐ Ø ÓÙÔÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò [K] = (K 1,...,K n ) Ò ÓÐÐÓÛ Ø Ö Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ [K ] = R l [K] ÐÐ Ò R l Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù Ò Ó Ö ¹ Ö Ò Ò Ð lº Ì Ò Û ÓÙÔÐ Ò ÓÒ Ø ÒØ [K] Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø ξ ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÒ [K ] = R l [K], ξ([k ]) = ξ([k])/l. ¾º½½ µ Ï Ø Ø Ö Ø ÓÒ Û Ö Ó ÖÚ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ò Û Ð Ø Ð Ó Ø ÐÓ Ò Ø Ó Ø ÓÖ Ò Ð ÓÒ Ò Û Ö Ö Ú Ò Ø Ø Ú Ò Ö Ý Ø Ø Ö Ø Ý Ø Ñ Ø Ø Ð º Ì ÓÛ Ò Ö Ø Ò Ø Û Ý Ò Ø Ô Ó ÑÓ Ð Ø Ø ØÖ Ò Ð Ø ÒØÓ Ø Ô Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÒ Ò Û Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ö Ý Ö ÒÓ ÐÓÒ Ö Ò Ö Ø ÔÔÖÓ Ü ÔÓ ÒØ Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØº Ø Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ ÑÙ Ø Ö Ø Ð Ü ÔÓ ÒØ [K ] = R l [K ] = [K ], ξ ξ([k ]) = ξ([k ])/l. ¾º½½ µ Ì Ð ØØ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ý ξ = 0, ÓÖ ξ ¾º½½ µ ÓÒÐÝº Ì ÓÖÑ Ö ÐÐ ØÖ Ú Ð Ò Ø Ð ØØ Ö Ö Ø Ð Ü ÔÓ ÒØº Ö Ø Ð Ú ÓÙÖ Ú Ò Ý Ø Ú ÓÙÖ Ó Ø ØÖ ØÓÖ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ô ÐÓ ØÓ Ø Ü ÔÓ ÒØ º Ä Ø Ù ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Û Ø Ò Ü ÑÔÐ º Ì Ý Ø Ñ Ø Ø Ô Ò

55 ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË ÓÒ Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ý Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T º Ä Ò Ö Þ Ò Ø Ê ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÓ ØÓ Ø Ü ÔÓ ÒØ T Ð ØÓ T T = R l T R l T Λ e ll(t T ) + O((T T ) 2 ) ¾º½¾¼µ Û Ö Λ l R l T T ¾º½¾½µ Ë Ò ÓÒ ÜÔ Ø Ø Ø Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑÔÓ Ò Ù Û Ý Ø Ø Ó Ö Ò Ò Ø Ø Ò ll Ò Ú Ý Ó Ö Ò Ò Ö Ø Ø Ø Ò l Ò Ø Ò Ø Ø Ò l ÓÒ ÑÙ Ø Ú ll = l l Ò Ø Ù l = l yt º Ò Ò Ø Ö Ù Ø ÑÔ Ö ØÙÖ t Ù Ù Ð t = (T T )/T ¾º½¾¼µ ÓÑ t = tl yt Ò Ø Ö n Ù Ø Ö Ø ÓÒ t (n) = t(l yt ) n º ÆÓÛ ØÓ Ñ ÓÒØ Ø Û Ø Ø Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ø Ù ØÙ Ý Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø ξ(t (n) ) = l n ξ(t) = ξ(tl nyt ) ¾º½¾¾µ l Ø ÐÐ Ö ØÖ ÖÝº ÓÓ Ò l n = (b/t) 1/yt Û Ø b 1 ξ(t) = (bt 1 ) 1/yt ξ(b) t 1/yt ¾º½¾ µ Á t > 0 ξ(b) Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ø Ú ÖÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø Ó Ø ÓÑ Ò Ø Ñ ÐÐ Ú ÐÙ º Ë Ò ξ(t) t ν ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ ν ÓÒ ν = 1/y t = l 1 ln Λ l = l 1 ln R l. ¾º½¾ µ T Ì ÔÖÓ ÙÖ Ò ÔÔÐ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý ÐÓ ØÓ Ø Ü ÔÓ ÒØ Ò ÖÓÑ Ø ÓØ Ö Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ Øº ÆÓØ Ø Ø Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Ö Ù Ò Ø Þ Ø Ò Ø Ø Ô Ó Ø Ø Ö Ø ÓÒ ξ Ö Ù Û Ð Ø Ð ØØ Ô Ò Ñ ÒØ Ò º ¾º½¼º Ò Ø Þ Ø Ö Ð Ý Ø Ñ Ð Ö ÙØ Ò Ø 1 N A < º Ò Ø Þ Ø Û ÐÐ Ø Ò ÔÐ Ý ÖÓÐ Ò Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ø ÖÓÙÒ Ý Ø Ø Ø Ø N A < º Ò Ø Þ Ø ÓÑ ÑÔÓÖØ ÒØ Û Ò ξ L Ø Ð Ò Ö Þ Ó Ø Ý Ø Ñ Ý L 1Ñ ÓÖ Ò ØÙ Ð ÑÔÐ º ÖÓÙ Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÓÛ ÐÓ ØÓ T c ÓÒ Ò ØÓ Ø ØÓ Ú Ø ÓÒ ÖÓÑ Ö Ø Ð Ð Ò ÓÛ Ø Ø Ò Ø Þ Ø Ö ÕÙ Ø Ò Ð Ð Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÙØ Ö ÖØ ÒÐÝ ÒÓØ Ò ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ú ØÓ Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ú ÖÝ Ö ÙÐÐÝ Û Ò ØÖÝ Ò ØÓ ÓÑÔ Ö ÒÙÑ Ö Ð Ø ØÓ Ò ÐÝØ Ð ÔÖ Ø ÓÒ º Ò Ø Þ Ø Ö Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ý ÒØÖÓ Ù Ò ÓÖÖ Ø Ò ØÓÖ Ò Ø Ð Ò Ð Û ÓÖ Ü ÑÔÐ ( ) L χ L t γ g ¾º½¾ µ ξ T

56 ¾º½¼ ÌÓÛ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò ¾ ÈÀ Ë ÌÊ ÆËÁÌÁÇÆË Û Ø g(x ) 1 Ò g(x 0) x γ/ν º ÆÓØ Ø Ø Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÙÔÔÖ ÓÙÒ ÖÝ Ø Ò Ø Ò Ö Ù Ò Ø Þ Ø º ¾º½¼º ÐÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ñ ÖÓ ÓÔ Ó ÖÚ Ð Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ú Ò Ú Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ø Ø Ø Ö Ø Ð Ñ ÙÖ ¹ ØÓ¹Ñ ÙÖ ÙØÙ Ø ÓÒ Ó ÐÓ Ð Ó ÖÚ Ð Ð ÓÖ Ò Ø Ò Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ Ö ÒÓØ Ù Òº Ì Ö ÓÒ ÑÔÐ L < ξ ÐÓ Ð Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÒÓØ Ø Ö ÙÐØ Ó Ò Ú Ö ÓÚ Ö Ñ ÒÝ ÙÒÓÖÖ Ð Ø Ö ÓÒ Ò Ø Ù ÓÒ ÒÒÓØ Ù Ø ÒØÖ Ð Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ñ ØÓ Ö Ù ÓÖ ÒÓÖÑ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÙØÙ Ø ÓÒ º Ê ÒØÐÝ Ø ØÙ Ý Ó Ö Ø Ð ÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ñ ÖÓ ÓÔ Ó ÖÚ Ð Ö Ú ÑÙ ØØ ÒØ ÓÒº Ì Ø ÔØ ÑÓ Ð ÓÖ Ø Ò ÐÝ Ø 2d ÑÓ Ð Ø Ø Ö Ø Ð ÓÒ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÒÓØ ÓÒÐÝ Ø Ò Ð ÔÖ Ú ÐÙ Ó T c µ ¾ º Ì ÑÓ Ð Ò Ø Ó¹ ÐÐ Ô Ò¹Û Ú ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ ÔÔ ÓÒØÓ Ò ÒØ Ö ÑÓ Ð Ø Û Ö ¹Ï Ð Ò ÓÒ ÓÒ Ø Ø Û ÐÐ Ù Ò Ë Øº º ÁÒ Ø Ð Ñ Ø Û Ö ÒÓÛ ÒØ Ö Ø Ò L Ò Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ξ Ò Ò Ø Þ Ø Ö ÑÔÓÖØ ÒØº Ò Ø Þ Ð Ò ÑÔÐ p L (M) = L β/ν Π ( ML β/ν, ξ L ). ¾º½¾ µ

57 ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ÆÓ Ñ Ø Ö Ð Ô Ö ØÐÝ ÓÑÓ Ò ÓÙ ÑÔÙÖ Ø Ó Ö ÒØ Ò Ö ØÖ ÙØ Ö Ò¹ ÓÑÐÝ Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø ÑÔÐ º Ò ØÙÖ Ð Ø Ó ÓÖ Ö ÓÙÐ ØÓ ÐÓÛ Ö Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÅÙ ØØ Ò¹ Ø ÓÒ Ò Ô Ý ØÓ Ø Ø Ó Û ÓÖ Ö ÓÒ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ø ØÓ Ý ØÙ Ø ÓÒ Ò Û Ø Ò ØÙÖ Ó Ø ÓÖ Ö Ò ÓÖ Ö Ô ÒÓØ ÑÓ Ý Ø ÑÔÙÖ Ø ÙØ Ø Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ ÒÓÒ º ÇÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ó ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ñ Ø ÑÓ Ý ÓÖ Ö ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò ÓÖ Ö Ñ Ý ÑÓÓØ ÓÙØ Ø ÓÒØ ÒÙ Ø Ó Ö Ø ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ò Ø Ñ Ó ¹ ÓÒ ÓÖ Öº ËØÖÓÒ ÓÖ Ö Ò Ø Ò Ø Ò ØÙÖ Ó Ø ÐÓÛ¹Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÓÖ Ù Ò Ø Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ ÒÓÒ ÓÒ Ò ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò ÓÛ ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø Ò Û ÓÖ Ö Ð Ý³ Ô º ÁÒ Ø Ë Ø ÓÒ Û ÐÐ Ù Ú Ö Ð ØÝÔ Ó ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ò ÑÓ Ð Ø Ø ÓÙÒØ ÓÖ Øº Ï ÐÐ Ð Ó ÓÚ ÖÚ Û ÓÑ Ó Ø Ø ÓÖ Ø Ð Ñ Ø Ó Ù ØÓ Ð Û Ø Ø Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÑÓ Ð Û Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ò Ñ ÐÝ Ð Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò Ø ÖÓÔÐ Ø Ø ÓÖÝ Ñ Ò¹ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ö ÔÐ Ñ Ø Ó º º½ ÉÙ Ò Ò ÒÒ Ð ÓÖ Ö Ö Ø ÓÒ ØÓ Ø Ò Ù ØÛ Ò ÕÙ Ò Ò ÒÒ Ð ÓÖ Öº ÁÑ Ò Ø Ø ÓÒ Ñ Ü ÓÑ Ö Ò ÓÑ ÑÔÙÖ Ø Ò Ñ ÐØ Ò Ø Ò Ú ÖÝ ÐÓÛÐÝ ÓÓÐ Ø ÓÛÒ Ò Ù Û Ý Ø Ø Ø ÑÔÙÖ Ø Ò Ø Ó Ø Ö Ñ Ò Ò Ø ÖÑ Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑº Á ÓÒ Û ÒØ ØÓ ØÙ Ý Ø Ø Ø Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÙÐÐ Ý Ø Ñ ÓÒ Ø Ò ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÙÐÐ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Û ÓÒ ÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÑÔÙÖ Ø º Ì ÐÐ ÒÒ Ð ÓÖ Öº ÁÒ Ø ÓÔÔÓ Ø Ò Û ÙÔÓÒ ÓÓÐ Ò Ø Ó Ø Ò ÑÔÙÖ Ø Ó ÒÓØ ÕÙ Ð Ö Ø ÙØ Ø ÑÔÙÖ Ø Ö Ñ Ò ÐÓ Ò Ö Ò ÓÑ Ü ÔÓ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ð ÓÙØ ÕÙ Ò ÓÖ Öº ÐÐÝ Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Ó Ø Û Ø Ø Ù ÓÒ Ó Ø ÑÔÙÖ Ø Ò Ø ÑÔÐ Ó ÐÓÒ Ø Ø Ø Ö Ñ Ò ØÖ ÔÔ τ o t obs 10 4 t diff, º½µ Û Ö τ o Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ø Ñ Ó Ø ØÓ Ø ØÝÔ Ð Ð Ò ØÓ Ö Ú Ö Ô Òº Ì ÓÖÑ Ö Ö ØÓ ØÖ Ø Ò ÐÝØ ÐÐÝ ÙØ Ð Ô Ý ÐÐÝ Ö Ð Ú ÒØº Ì Ð ØØ Ö Ø ÓÒ Ø Ø Ð ØÓ Ò Û Ô ÒÓÑ Ò Ò Ø Ø Û ÐÐ Ù Ò ÜØº º¾ ÓÒ ÓÖ Ö Ø Ó Ô Ò¹ Ð ËÔ Ò¹ Ð Ö ÐÐÓÝ Ò Û Ñ Ò Ø ÑÔÙÖ Ø Ù Ø ØÙØ Ø ÓÖ Ò Ð ØÓÑ Ò ÔÓ ¹ Ø ÓÒ Ö Ò ÓÑÐÝ Ð Ø ÙÖ Ò Ø Ñ Ð ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÑÔÐ º Ì ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÑÔÙÖ Ø Ö Ó ÊÃÃ ØÝÔ V rkky = J cos(2k Fr ij ) r 3 ij s i s j º¾µ

58 º¾ ÓÒ ÓÖ Ö Ø Ó Ô Ò¹ Ð ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÙÖ ½½ ÖÙ ØÖ Ø Ð Øµ Ò Ò ÙÒ ÖÙ ØÖ Ø ÒØ Öµ ÕÙ Ö ÔÐ ÕÙ ØØ º ÖÙ ØÖ Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö ÔÐ ÕÙ ØØ Ö Øµº Û Ø r ij = r i r j Ø Ø Ò ØÛ Ò Ø Ñ Ò s i Ô Ò Ú Ö Ð Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö Ñ Ò Ø ÑÓÑ ÒØº Ð ÖÐÝ Ø Ò Ø Ð ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÑÔÙÖ Ø Ú Ö ÖÓÑ ÑÔÐ ØÓ ÑÔÐ º Ì Ø Ñ ¹ Ð ÓÖ Ù ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ø ÑÔÙÖ Ø ÑÙ ÐÓÒ Ö Ø Ò Ø Ø Ñ ¹ Ð ÓÖ Ô Ò Ô º Ì Ù ÓÖ ÐÐ ÔÖ Ø Ð ÔÙÖÔÓ Ø ÔÓ Ø ÓÒ r i Ò Ó Ø ØÓ ÕÙ Ò Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ØÖ ÙØ ÓÖ Ò ØÓ ÙÒ ÓÖÑ ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø Ò ØÙÖÒ ÑÔÐ ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ü Ò º Ì ÐÐ ÕÙ Ò ÓÖ Öº º¾º½ Ä Ó ÓÑÓ Ò ØÝ ÁØ Ð Ö Ø Ø Ø ÔÖ Ò Ó ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ò Ø ÓÖÑ Ó Ö Ò ÓÑ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙØ ÓÒ Øº Ö Ô Ø Ð ÓÑÓ Ò ØÝ Ò Ö Ò Ö Ò Ð ÑÔÐ Ø ÖÓ ÒÓÙ º ÀÓÑÓ Ò ØÝ Ö ÓÚ Ö Ø ÓÙ ÓÒ Ô Ö ÓÑ Ò Ú Ö Ó ÐÐ ÔÓ Ð Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ö Û Ø Û Ø Ø ÓÛÒ ÔÖÓ Ð ØÝº º¾º¾ ÖÙ ØÖ Ø ÓÒ Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ø Ò r ij Ø ÒÙÑ Ö ØÓÖ Ò ÕÒº º¾µ Ò ÔÓ Ø Ú ÓÖ Ò Ø Ú ÑÔÐÝ Ò Ø Ø ÓØ ÖÖÓÑ Ò Ø Ò ÒØ ÖÖÓÑ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ü Øº Ì Ð ØÓ ÖÙ ØÖ Ø ÓÒ Û Ñ Ò Ø Ø ÓÑ ØÛÓ¹ Ó Ý ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÒÓØ Ø Ý ÒÝ Ô Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº Ò Ü ÑÔÐ Û Ø ÓÙÖ Ø Ò ÓÙÖ Ð Ò ÓÛÒ Ò º ½½¹Ð Ø Û Ö Û ØÓÓ Ø Ö ÔÓ Ø Ú Ü Ò Ò ÓÒ Ò Ø Ú ÓÒ ÐÐ ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û Ø Ø Ñ ÓÐÙØ Ú ÐÙ Jº ÓÙÖ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ñ Ò Ñ Þ Ø Ò Ö Ý E f = 2J ÙØ ÒÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ø ÐÓÛ Ö Ð Ò º ÇÒ Ò ÐÝ Ø Ø ÒÝ ÐÓ ÐÓÓÔ Ù Ø Ø Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ò Ø Ú Ò ÖÙ ØÖ Ø º ÖÙ ØÖ Ø ÓÒ Ò ØÙÖ ÐÐÝ Ð ØÓ Ö Ò Ö Ý Ò Ð Ö Ö Ò Ö Ý Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó ÖÓÙÒ Ø Ø º Ì Ò Ý ØÓ Ö Ô Ý ÓÑÔ Ö Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÖÓÙÒ Ø Ø Ó Ø ÖÙ ØÖ Ø ÔÐ ÕÙ ØØ Ò º ½½¹Ð Ø ØÓ Ø ÙÒ ÖÙ ØÖ Ø ÓÙÒØ ÖÔ ÖØ ÓÛÒ ÓÒ Ø ÒØÖ Ð Ô Ò Ðº ÁÒ Ø Ò Ö Ý Ò Ò Ö Ý Ó Ø ÖÓÙÒ Ø Ø Ó Ø ÙÒ ÖÙ ØÖ Ø ÔÐ ÕÙ ØØ Ö E u = 4J Ò n u = 2 Ö Ô Ø Ú ÐÝº ÖÙ ØÖ Ø ÓÒ Ñ Ý Ð Ó Ù ØÓ ÔÙÖ ÓÑ ØÖ Ð ÓÒ ØÖ ÒØ º Ì ÒÓÒ Ð Ü ÑÔÐ Ò ÒØ ÖÖÓÑ Ò Ø ÓÒ ØÖ Ò ÙÐ Ö Ð ØØ Ò Û ÔÐ ÕÙ ØØ ÖÙ ØÖ Ø º ½½¹Ö Øº

59 º¾ ÓÒ ÓÖ Ö Ø Ó Ô Ò¹ Ð ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÁÒ ÓÖØ ÖÙ ØÖ Ø ÓÒ Ö Û Ò Ø ÓÑ ØÖÝ Ó Ø Ð ØØ Ò»ÓÖ Ø Ò ØÙÖ Ó Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ñ ÑÔÓ Ð ØÓ ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Ñ Ò Ñ Þ Ø Ò Ö Ý Ó ÐÐ Ô Ö ÓÙÔÐ Ò ØÛ Ò Ø Ô Ò º ÒÝ ÐÓÓÔ Ó ÓÒÒ Ø Ô Ò ØÓ ÖÙ ØÖ Ø Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ø Ò Ó ÓÒÒ Ø Ò ÓÒ Ò Ø Ú º ÁÒ Ò Ö Ð Ò Ö Ý Ò ÒØÖÓÔÝ Ó Ø ÖÓÙÒ Ø Ø ÒÖ Ù ØÓ ÖÙ ØÖ Ø ÓÒº º¾º Ù ÒÚ Ö Ò Ì Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ s i = τ i s i, J ij = τ i J ij τ j, Û Ø τ i = ±1 º µ Ð Ú Ø Ò Ö Ý Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ò Á Ò Ô Ò ÑÓ Ð Û Ø ØÛÓ¹ Ó Ý ÒØ Ö¹ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ E J [{s}] = E J [{s }] Z J = Z J. º µ Ì ÒÚ Ö Ò Ñ Ò Ø Ø ÐÐ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ö Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ó Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ º Ï Ò Ú Ö Ø Ü Ø Ø Ó τ i Ù Ø Ø ÖÙ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ð Ñ Ò Ø ÖÓÑ ÐÐ ÐÓÓÔ Ò Ø ÑÓ Ð Ø Ø Ó ÓÖ Ö Ö Ð ØÖÓÒ Ø Ò Ò ØÖÙÐÐÝ ÖÙ ØÖ Ø Ø Ü ÑÔÐ Ó Ø Å ØØ ÑÓ Ð Ò Ë Øº º º¾º º¾º Ë Ð ¹ Ú Ö Ò Á ÑÔÐ Ö Ø Ö Þ Ý Ø ÓÛÒ Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ü Ò ÓÙÐ ÓÒ ÜÔ Ø ØÓØ ÐÐÝ Ö ÒØ Ú ÓÖ ÖÓÑ ÑÔÐ ØÓ ÑÔÐ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ò Ö Ø Ø Ò ÝÒ Ñ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ô Ò¹ Ð Ò ÓØ Ö Ý Ø Ñ Û Ø ÕÙ Ò ÓÖ Öµ Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ô Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ò ÓÑ ÓÙÔÐ Ò Ò Ö Ð ¹ Ú Ö Ò º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø ØÝÔ Ð Ú ÐÙ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ú Ö ÓÚ Ö Ø ÓÖ Ö A typ J = [ A J ] º µ Ò Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Øº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ò Ð ¹ Ú Ö Ò ÕÙ ÒØ Ø ÑÔÐ ¹ØÓ¹ ÑÔÐ ÙØÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ñ Ò Ú ÐÙ Ö ÜÔ Ø ØÓ Ç(N a ) Û Ø a > 0º ÊÓÙ ÐÝ Ó ÖÚ Ð Ø Ø ÒÚÓÐÚ ÙÑÑ Ò ÓÚ Ö Ø ÒØ Ö ÚÓÐÙÑ Ó Ø Ý Ø Ñ Ö ÜÔ Ø ØÓ Ð ¹ Ú Ö Ò º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ó ÑÓ Ð Û Ø ÓÖØ¹ Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ ÜÔ Ø ØÓ Ð ¹ Ú Ö Ò Ò Ø Ð Ñ Øº Ò Ü ÑÔÐ Ø ÓÖ Ö Á Ò Ò Ì Ñ Ò Ò Ó Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ò Ö Ô ÖÓÑ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ö Ò ÓÑ ÓÒ Á Ò Ò Ò Ý Ø Ò Ö Ý ÙÒØ ÓÒ E = i J i s i s i+1 Û Ø Ô Ò Ú Ö Ð s i = ± ÓÖ i = 1,..., N Ò Ö Ò ÓÑ ÓÒ J i Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ø Ò ÖÓÑ ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ P(J i )º ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û ÓÒ Ö Ô Ö Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì ÓÖ Ö¹ Ô Ò ÒØ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ö Z J = e β i J is i s i+1 º µ {s i =±1}

60 º¾ ÓÒ ÓÖ Ö Ø Ó Ô Ò¹ Ð ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ò Ø Ò Ö ÐÝ ÓÑÔÙØ ÒØÖÓ Ù Ò Ø Ò Ó Ú Ö Ð σ i s i s i+1 º ÇÒ Ò º Z J = 2 cosh(βj i ) βf J = ln cosh(βj i ) + N ln 2. º µ i i Ì Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó º º º Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ò Ø Ø Ð Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Û Ø ÐÓ ¹ÒÓÖÑ Ð ØÖ ÙØ ÓÒº Ì Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ò Ø ÙÑ Ó º º º Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ò Ù Ò Ø ÒØÖ Ð Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ð Ö N Ð Ñ Ø ÓÑ Ù Ò Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ò ÖÖÓÛÐÝ Ô Ø Ø Ñ Ü ÑÙÑº Ì ØÝÔ Ð Ú ÐÙ Ú Ò Ý Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ó Ø Ù Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ò Û Ø Ø Ú Ö lim N f typ J [ f J ] = 0º Ò Ö Ð Ö ÙÑ ÒØ ÑÔÐ Ö ÙÑ ÒØ Ù Ø Ø Ð ¹ Ú Ö Ò Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ò Ò Ö Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ Û Ø ÓÖØ¹Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ º Ä Ø Ù Ú Ý Ù Ý ¹ Ø Ñ Ó ÚÓÐÙÑ V = L d Ò n Ù Ý Ø Ñ Ý Ð Ó Ù Ó ÚÓÐÙÑ v = l d Û Ø V = nvº Á Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÖØ¹Ö Ò Ø ØÓØ Ð Ö ¹ Ò Ö Ý Ø ÙÑ Ó ØÛÓ Ø ÖÑ ÓÒ¹ ØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø ÙÐ Ó Ø Ù Ý Ø Ñ Ò ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø ÒØ Ö ØÛ Ò Ø Ù Ý Ø Ñ βf J = ln Z J = ln conf e βej(conf) = ln conf e βe J(bulk) βe J (surf) ln bulk e βej(bulk) + ln surf e βej(surf) = βfj bulk βf surf J Û Ò Ð Ø Ø ÓÒØÖ Ù¹ Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò ÙÖ Ò ÙÐ µº Á Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÜØ Ò ÓÚ Ö ÓÖØ Ø Ò σ Ò Ø Ð Ò Ö Þ Ó Ø ÓÜ l σ Ø ÙÖ Ò Ö Ý Ò Ð Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÙÐ ÓÒ Ò βf J ln bulk e βej(bulk) º ÁÒ Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ö Ô Ò ÒØ Ö ¹ Ò Ö Ý Ø Ò ÙÑ Ó n = (L/l) d Ö Ò ÓÑ ÒÙÑ¹ Ö ÓÒ Ò Ø ÓÖ Ö Ô Ò ÒØ Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø ÙÐ Ó Ù Ý Ø Ñ βf J n k=1 ln bulk k e βe J(bulk k ) º ÁÒ Ø Ð Ñ Ø Ó Ú ÖÝ Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó Ù Ý Ø Ñ L l ÓÖ n 1µ Ø ÒØÖ Ð Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ñ ÑÔÐ Ø Ø Ø ØÓØ Ð Ö ¹ Ò Ö Ý Ù Ò Ø Ø Ó Ò Û Ø Ø Ú Ö ÓÚ Ö ÐÐ Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ò ÓÑÒ [ F J ]º ÅÓÖ Ú Ö Ø Ô Ö ÓÒ ÓÙØ Ø ØÝÔ Ð Ú ÐÙ Ú Ò Ò Ø Ð Ö n Ð Ñ Ø σ FJ /[ F J ] n/n = n 1/2 0 Ò Ø Ð Ö n Ð Ñ Øº Ë Ñ Ð ÖÐÝ σ fj /[f J ] O(n 1/2 ) Û Ö f J = F J /N Ø ÒØ Ò Ú Ö ¹ Ò Ö Ýº ÁÒ Ù ¹ ÒØÐÝ Ð Ö Ý Ø Ñ Ø ØÝÔ Ð F J Ø Ò Ú ÖÝ ÐÓ ØÓ Ø Ú Ö [ F J ] Ò ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ø Ð ØØ Ö ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò Ø Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó ØÝÔ Ð Ý Ø Ñ º ØÖ ÙØ Û Ø Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ö Ø Ú ÐÙ F typ J Ä Ó Ð ¹ Ú Ö Ò Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÇÒ ÓÒ [F J ] ÓÒ Ö Ú ÐÐ ÓÖ Ö Ú Ö Ø ÖÑ Ð Ú Ö Ý Ø Ò Ö Ú ¹ Ø Ú Ó Ø ÓÖ Ö Ú Ö Ö ¹ Ò Ö Ý Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ÓÙÖ ÒØÖÓ Ù Ò Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒº ÓÖ Ü ÑÔÐ [ s i ] = [ F J ] h i hi =0 [ s i s j s i s j ] = T [ F J ] h i h j ¼, º µ hi =0, º µ

61 º ÅÓ Ð Û Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Û Ø E E i h i s i º ÓÒÒ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ø ÓÙ Ö ÒÓØ Ð ¹ Ú Ö Ò ÕÙ ÒØ Ø º Ì Ò Ò Ò ØÙ Ý Ò Ø Ö Ò ÓÑ ÓÒ Á Ò Ò s i s j J s i J s j J = Z 1 J... βj i βj j Z J = tanh(βj i )...tanh(βj j ), º½¼µ Û Ö Û Ù s i = 0 Ú Ð ÓÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ö Ò ÓÑ ÓÒ Û Ø Þ ÖÓ Ñ Òµ Ò Ø ÓØ Ò Ø ÐÐ Ø ÓÒ Ø Ò ØÛ Ò Ø Ò Ò ÔÓ ÒØ i Ò jº Ì Ð Ø ÜÔÖ ÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ò Ø ÒÓØ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ú Ö º µ ÒÓØ Ú Ò Ò Ø Ð Ö Ô Ö Ø ÓÒ Ð Ñ Ø r i r j º º ÅÓ Ð Û Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö º º½ ËÔ Ò¹ Ð ÑÓ Ð ÁÒ ÖÐÝ ¼ Û Ö Ò Ò Ö ÓÒ ÔÖÓÔÓ Ö Ø Ö ÑÔÐ ÑÓ Ð Ø Ø ÓÙÐ ÔØÙÖ Ø Ñ Ò ØÙÖ Ó Ô Ò¹ Ð º Ì ÒØ Ö Ø ÓÒ º¾µ Ý Û Ø Ù ÔÓÛ Ö Ó Ø Ø Ò Ò Ò Ø Ý Ö Ö Ð Ø Ú ÐÝ ÓÖØ¹Ö Ò º Ì Ù Ø ØÓ ÔÙØ Ø Ô Ò ÓÒ Ö ÙÐ Ö Ù Ð ØØ ÑÓ Ð Ò ØÓ ØÖ Ø Ö Ò ÓÑÒ Ò Ø ÔÓ Ø ÓÒ ÒØÓ Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ø Ò ÓÖ Ü Ò Ø Ò ÖÓÑ Ù Ò ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ E ea = ij J ij s i s j Û Ø P(J ij ) = (2πσ 2 ) 1 2 e J 2 ij 2σ 2. º½½µ Ì ÔÖ ÓÖÑ Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ü Ò ÙÔÔÓ ÒÓØ ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÓÙ ÓÑ ÙØ ÓÖ Ð Ñ Ø Ø Ø Ö Ñ Ø ÒÓÒ¹ÙÒ Ú Ö Ð ØÝ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Øº Ò ØÙÖ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø ÑÓ Ð Ò Û ÐÐ Ô Ò ÒØ Ö Ø Ò ÔÖÓÔÓ Ý Ë ÖÖ Ò ØÓÒ Ò Ã Ö Ô ØÖ E = J ij s i s j i j i h i s i º½¾µ Ò Ø ÐÐ Ø ËÃ ÑÓ Ðº Ì ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø J ij Ö Ø Ò ÖÓÑ Ù Ò Ô Ò Ø Ý Ð Û Ø N Ò Ù Û Ý Ø Ø Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð J 2 ij P(J ij ) = (2πσN 2 ) 1 2 e 2σ N 2 σn 2 = σ2 N. º½ µ Ì Ö Ø ØÛÓ¹ÑÓÑ ÒØ Ó Ø Ü Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Ö [J ij ] = 0 Ò [J 2 ij ] = J2 /(2N)º Ì ÓÖ Û Ñ Ò¹ Ð Ø ÓÖÝ ÜÔ Ø ØÓ Ü Øº ÙÖØ Ö ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø ÑÓ Ð ÐÐ Ø p Ô Ò ÑÓ Ð E = J i1...i p s i1...s ip i 1 <...<i p i ½ h i s i º½ µ

62 º ÅÓ Ð Û Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Û Ø p 3º Ì ÙÑ Ò Ð Ó ÛÖ ØØ Ò i 1 <i 2 <...<i p = 1/p! i 1 i 2 i p º Ì Ü Ò Ö ÒÓÛ Ø Ò ÖÓÑ Ù Ò ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ J 2 ij P(J ij ) = (2πσN 2 ) 1 2 e 2σ N 2 σn 2 = J2 p!/(2n p 1 ). º½ µ Û Ø [J i1...i p ] = 0 Ò [Ji i p ] = J2 p! º ÁÒ Ò ÜØ Ò Ú Ö ¹ Ò Ö Ý Ú Ý 2N p 1 Ð Ò J i1...i p Û Ø N (p 1)/2 º Ì Ð Ò Ò Ù Ø ÓÐÐÓÛ º Ì ÐÓ Ð Ð ³ h i = 1/(p 1)! ii 2 i p J ii2...i p m i2...m ip ÓÙÐ Ó ÓÖ Ö ÓÒ º Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø m i ³ Ø ÔÐÙ Ò Ñ ÒÙ Ò º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ø Ñ Ø Ø ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ Ó Ø Ø ÖÑ Ý ÛÓÖ Ò Ø T = 0 Ò Ø Ò m i = ±1 Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ 1 º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ô Ø 2 Ù ÓÒ ÑÔÐ Ð Ø Ù Ø p = 2º ÁÒ Ø Ø ØÖ Ò Ø J ij Ö Ó ÓÖ Ö ÓÒ h i ÙÑ Ó N º º º Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Û Ø Þ ÖÓ Ñ Ò Ò ÙÒ Ø Ú Ö Ò Ò h i Þ ÖÓ Ñ Ò Ò Ú Ö Ò ÕÙ Ð ØÓ Nº Ì Ö ÓÖ ÓÒ Ò Ö Ù Ø Ø h i Ó ÓÖ Ö Nº ÌÓ Ñ Ø Ò Ø Û Ø Ò Ó J ij ØÓ Ó ÓÖ Ö 1/ N ÓÖ Ò ÓØ Ö ÛÓÖ Û ÑÔÓ [ Jij 2 ] = J2 /(2N)º Ì Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ ØÓ p 2 ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º Ø Ø Ò Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò Ö Ò ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ö Ô Û Ø Ü ÓÖ ÙØÙ Ø Ò Ò Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝº ÁÒ Ø Ð ØØ Ö ÓÒ ÔÐ Ø Ô Ò ÓÒ Ø Ú ÖØ Ó Ö Ô Û Ø Ð Ò ØÛ Ò ÓÙÔÐ ÓÖ ÖÓÙÔ Ó p Ô Ò Ó Ò Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ cº Ì Ö ÐÐ ÐÙØ Ô Ò¹ Ð º º º¾ Ê Ò ÓÑ ÖÖÓÑ Ò Ø Ä Ø Ù ÒÓÛ Ù ÓÑ ÔÖ ÓÖ ÑÔÐ Ö º Ò Ü ÑÔÐ Ø Å ØØ Ö Ò ÓÑ Ñ Ò Ø Ò Û Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø Ö Ú Ò Ý J i1...i p = ξ i1...ξ ip Û Ø ξ j = ± Û Ø p = 1/2. º½ µ ÁÒ Ø ÑÔÐ Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ η i ξ i s i ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÖ¹ Ö ÑÓ Ð Ò ÖÖÓÑ Ò Ø ÓÛ Ò Ø Ø Ø Ö Û ÒÓ ØÖÙ ÖÙ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ý Ø Ñº Ê Ò ÓÑ ÓÒ ÖÖÓÑ Ò Ø Ê Å µ Ö Ý Ø Ñ Ò Û Ø ØÖ Ò Ø Ó Ø ÒØ Ö¹ Ø ÓÒ Ö ÒÓØ ÐÐ ÒØ Ð ÙØ Ø Ö Ò ÐÛ Ý ÔÓ Ø Ú º ÇÒ Ò Ñ Ò Ù Ü Ò Ø ÙÑ Ó ØÛÓ Ø ÖÑ J ij = J + δj ij, Û Ø δj ij Ñ ÐÐ Ò Ö Ò ÓÑ. º½ µ Ì Ö ÒÓ ÖÙ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Öº ÅÓ Ð Û Ø Ø ÓÖ Ð Ò ÐÙØ ÓÒ Ö Ð Ó ÒØ Ö Ø Ò E site dil = J ij s i s j ǫ i ǫ j, E link dil = J ij s i s j ǫ ij,. º½ µ Û Ø P(ǫ i = 0, 1) = p, 1 p Ò Ø Ö Ø Ò P(ǫ ij = 0, 1) = p, 1 p Ò Ø ÓÒ º Ì ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó ÓÐÐÓÛ F i = j J ij m j = 0 Ò F 2 i = jk J ijj ik m j m k = j J2 ij ¾

63 º ÅÓ Ð Û Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ä Ò Ö Ò ÓÑÒ ÒÓØ Ø ÓÒÐÝ ØÝÔ Ó ÓÖ Ö ÒÓÙÒØ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝº Ê Ò ÓÑ Ð Ø Ø ÓÙÔÐ Ð Ò ÖÐÝ ØÓ Ø Ñ Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Ö Ð Ó ÕÙ Ø ÓÑÑÓÒ Ø Ð Ð ÑÓ Ð Ø ÖÖÓÑ Ò Ø Ö Ò ÓÑ Ð Á Ò ÑÓ Ð Ê ÁÅµ E rfim = J s i s j ij i s i h i Û Ø P(h i ) = (2πσ 2 ) 1 2 e h 2 i 2σ 2. º½ µ Ì ÐÙØ ÒØ ÖÖÓÑ Ò Ø Ò ÙÒ ÓÖÑ Ñ Ò Ø Ð Ð Ú ØÓ Ú Ñ Ð ÖÐÝ ØÓ Ø ÖÖÓÑ Ò Ø Ö Ò ÓÑ Ð Á Ò ÑÓ Ðº ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ Ö Ö ÓÑÑÓÒ Ò Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ú Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò ÑÔÐ Ð Ê 2 Ó 0.7 Å º ÆÓØ Ø Ø Ø ÙÔ¹ ÓÛÒ Á Ò ÝÑÑ ØÖÝ ÔÖ ÖÚ Ò ÑÓ Ð Ò Û Ø ÑÔÙÖ Ø Ø J ij ³ µ ÓÙÔÐ ØÓ Ø ÐÓ Ð Ò Ö Ý Ò Ø Ö ÒÓ ÔÔÐ ÜØ ÖÒ Ð Ð µ Û Ð Ø ÒÓØ Ò ÑÓ Ð Ò Û Ø Ý ÓÙÔÐ ØÓ Ø ÐÓ Ð ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ê ÁÅµº Ì Ö Ò ÓÑ Ð Ú Ö ØÓ Ñ ÒÝ Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Ø Ø ÑÓ Ý Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò ÒÓÒ¹ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ú ÓÙÖ Ó Ø Ê ÁÅº ÁÒ ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ø Ê ÁÅ Ó ÒÓØ ÓÖ Ö Ø ÐÐ Ò d = 2 Ø Ö ØÖÓÒ Ú Ò Ø Ø Ø ÑÓ Ð ÓÖ Ö Ú Ò Ø Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò d = 3 Ø Ø Ö Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ØÖ Ò Ø ÓÒ ØÓÛ Ö ÖÖÓÑ Ò Ø Ø Ø º Ï Ø Ö Ø Ö Ð Ý Ô Ò Ö Þ ÖÓ Ø ÑÔ ÖØÙÖ Ò ÐÓ ØÓ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ø ÐÐ Ò ÓÔ Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ê ÁÅ Ø Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÔÖÓÔÓ ØÓ Ý Ð Ò Ö Ö ÔØ ÓÒ Ó Ñ Ø Ö Ð Ö Ò Ø ÖÓÙ Ö Ó Ú Ð º ÁÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ò ØÖ Ö ÓØ Ö Ó Û Þ Ô Ò ÓÒ Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ò Ø ÑÔÐ º ÁÒ Ö Ò ÓÑ Ñ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ô ÒÓÑ ÒÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ø ¹ Þ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ø Ô Ø ÜØ ÖÒ Ð Ð Ø ÐÐÝ ÒÖ Ø Ø Ñ Ð ÓÖ Ò Ú Ð Ò ØÓ Ø ÔÐ ÑÙ ÓÖØ Ö Ø Ò Ø Ø Ñ ¹ Ð ØÓ ÑÓ Ý Ø Ð µ Ò Ø Ù Ò Ö Ù Ò ÒÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØ º ÓÖ Ö Ö ÔÓÒ Ð ÓÖ Ø Ö Ý ÑÓØ ÓÒ Ó Ø ÓÑ Ò Û ÐÐ º Ì ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Þ Ò ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ð Ò ÓÙÒ ØÓ Ý Û Ø ÔÓÛ Ö Ð Û Ø Ð ÙØ¹Ó Ø Ú Ò Þ º Ì Ú ÐÙ Ó Ø ÙØ¹Ó Þ Ô Ò ÓÒ Ø ØÖ Ò Ø Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ð Ò Ø ÑÓÚ ØÓ Ò Ò ØÝ Ø Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØº º º Ê Ò ÓÑ Ñ Ò ÓÐ ÇÒ Ò ÓÖ Ö ÒÓØ ÓÒÐÝ ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ò Ø Ý Ø Ñ º Ò Ü ÑÔÐ Ø Ø Ö Ú ÑÙ ØØ ÒØ ÓÒ Ø Ó¹ ÐÐ Ö Ò ÓÑ Ñ Ò ÓÐ º Ì d Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ø Ð Ø Ñ Ò ÓÐ ÑÓÚ Ò Ò Ò Ñ Ò N + d Ñ Ò ÓÒ Ð Ô ÙÒ Ö Ø Ø Ó ÕÙ Ò Ö Ò ÓÑ ÔÓØ ÒØ Ðº Ì ÑÔÐ Ø Û Ø d = 0 ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ô ÖØ Ð ÑÓÚ Ò Ò Ò Ñ Ò Ô Û Ø N Ñ Ò ÓÒ º Á ÓÖ Ò Ø Ò N = 1 Ø Ô ÖØ Ð ÑÓÚ ÓÒ Ð Ò N = 2 Ø ÑÓÚ ÓÒ ÔÐ Ò Ò Ó ÓÒ Ò Ó ÓÖØ º Á d = 1 ÓÒ Ð Ò Ø Ø Ò Ö ÔÖ ÒØ ÓÑ Ò Û ÐÐ ÔÓÐÝÑ Ö ÚÓÖØ Ü Ð Ò Øº Ì Ø Ø Ø Ø Ð Ò Ö Ø Ñ Ò Ø ÔÖ ÖÖ Ö Ø ÓÒ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ó ÒÓØ Ú ÓÚ Ö Ò º Á Ø Ð Ò ÑÓÚ Ò ÔÐ Ò Ø Ñ Ò Ô (N = 1)+(d = 1) Ñ Ò ÓÒ º ÇÒ Ù Ù ÐÐÝ Ö Ø Ý Ø Ñ Û Ø Ò N¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÓÖ Ò Ø φ Ø Ø ÐÓ Ø Ò Ø

64 º Ì Ô Ò¹ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ØÖ Ò Ú Ö Ô ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø Ñ Ò ÓÐ Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø ÒØ ÖÒ Ð d¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÓÖ Ò Ø x Ì Ð Ø Ò Ö Ý E elas = γ d d x 1 + ( φ( x)) 2 Û Ø γ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø Ó ÙÒ Ø ÙÖ º ÙÑ Ò Ø ÓÖÑ ØÓÒ Ñ ÐÐ ÓÒ Ò Ð Ò Ö Þ Ø ÜÔÖ ÓÒ Ò Ø ÙÔØÓ Ò Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ E elas = γ 2 d d x ( φ( x)) 2 º ÓÖ Ö ÒØÖÓ Ù Ò Ø ÓÖÑ Ó Ö Ò ÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ý V ( φ( x), x) Ö Ø Ö¹ Þ Ý Ø Ô º Ì Ö Ò ÓÑ Ñ Ò ÓÐ ÑÓ Ð Ø Ò [ γ H = d d x 2 ( φ( x))2 + V ( φ( x), x) ]. º¾¼µ Á Ø Ö Ò ÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ö ÙÐØ Ó Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÑÔÙÖ Ø Ø ÒØÖ Ð Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ñ ÑÔÐ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ Ù Òº ÂÙ Ø Ý Ø Ò Ø Ò Ö Ý Ð ÓÒ Ò Ø Ø Ú Ö ØÓ Þ ÖÓ [ V ] = 0º ÓÖ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÒ ØÝÔ ÐÐÝ ÙÑ ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Ø Ø Ø Ý Ü Ø Ò Ø ØÖ Ò Ú Ö Ö Ø ÓÒ ÓÒÐÝ [ V ( φ( x), x)v ( φ ( x ), x ) ] = δ d ( x x )V( φ, φ ). º¾½µ Á ÓÒ ÙÖØ Ö ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ø Ø Ø Ð ÓØÖÓÔÝ Ò ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ð ÒÚ Ö Ò Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ V( φ, φ ) = W/ 2 V( φ φ / ) Û Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ò (W d 2 ) 1/2 Ø ØÖ Ò Ø Ó Ø ÓÖ Öº Ì ÓÖ Ö Ò ÒÓÛ Ó ØÛÓ ØÝÔ ÓÖØ¹Ö Ò V ÐÐ ØÓ Þ ÖÓ Ø Ò Ò ØÝ Ù ÒØÐÝ Ö Ô ÐÝ Ò ÐÓÒ ¹Ö Ò Ø Ø Ö ÖÓÛ Û Ø Ø Ò ÓÖ ÐÓÛ Ý ØÓ Þ ÖÓº Ò Ü ÑÔÐ ÒÚÓÐÚ Ò ÓØ Ú Ò Ý Ø ÔÓÛ Ö Ð Û V(z) = (θ + z) γ Û Ö θ ÓÖØ Ø Ò ÙØ¹Ó Ò γ ÓÒØÖÓÐ Ø Ö Ò Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Û Ø γ > 1 Ò ÓÖØ¹Ö Ò Ò γ < 1 Ò ÐÓÒ ¹Ö Ò º Ì ÑÓ Ð Ð Ó Ö Ö Ø ÓÑ Ò Û ÐÐ Ò Ö Ò ÓÑ Ý Ø Ñ º ÇÒ Ò Ö Ú Ø Ò Ø ÐÓÒ Ð Ò Ø ¹ Ð Ð Ñ Ø Ý Ø Ò Ø ÓÒØ ÒÙÙÑ Ð Ñ Ø Ó Ø ÔÙÖ Á Ò Ô ÖØ Ø Ø Ð ØÓ Ø Ð Ø Ø ÖÑµ Ò Ø Ö Ò ÓÑ Ô ÖØ Ø Ø Ð ØÓ Ø ÓÒ ÓÖ Ö ÔÓØ ÒØ Ðµº ÁÒ Ø ÔÙÖ Á Ò ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø Ò Ø ØÓ Þ ÖÓ Û Ð Ø Ö Ø ÓÒ ÑÔÐ Ø Ø Ø ÖÓÙÒ Ø Ø Ô Ö ØÐÝ Ø Û ÐÐ ÜÔ Ø º ÁÒ Û Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ø ÐÓÒ ¹Ö Ò Ò ÓÖØ¹Ö Ò Ö Ò ÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð Ñ Ñ Ò Û Ø ÒØ Ö Ö ØØÖ Ø Ý Ô ÒÒ Ò ÒØ Ö Ö Ò ÓÑ Ð ³ ØÝÔ µ ÓÖ Ø Ô Ö ØØÖ Ø Ý ÓÖ Ö Ö Ò ÓÑ ÓÒ ³ ØÝÔ µ Ö Ô Ø Ú ÐÝº ÓÖ Ò Ø Ò Ö Ò ÓÑ ÓÒ ÓÖ Ö ØÝÔ ÐÐÝ Ö Ý Ù Ò Ô Û Ø Þ ÖÓ Ñ Ò Ò ÐØ ¹ÓÖÖ Ð Ø [V ( φ( x), x), V ( φ ( x ), x )] = W d 2 δ d ( x x )δ( φ φ )º º Ì Ô Ò¹ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ä Ø Ù ÒÓÛ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ò Û ÓÖ Ö Ó ØÖÓÒ ØÓ ÑÓ Ý Ø Ò ØÙÖ Ó Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô º Á Ø Ó ÓÒ Ò ØÓ Ò Ò Û ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ð Ó ÒØ Ý Ò ÓÖ Ö Ò Ø Ô º

65 º Ì Ô Ò¹ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË º º½ Ì ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ì Ô Ò¹ Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ô ÓÒ Ò Û Ô Ò Ö Þ Ò Ö Ò ÓÑÐÝ¹ÐÓÓ Ò ÓÒ¹ ÙÖ Ø ÓÒ º ÁÒ Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ô Ø ÐÐÝ ÖÖ ÙÐ Öº Ò Ô ÓØ ÐÓÓ Ø Ø Ø Ð ÒØ Ð ØÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ö Ñ Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Û Ô Ò ÔÓ ÒØ Ò ÓØ Ö Ø ÓÒ º ÀÓÛ Ú Ö Û Ð Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ô Ò Ô Ö Ô ÐÝ Ò ÒÓØ Ö Ò Ô ÓØ Ø Ò ÑÑ Ø ÐÝ Ø Ö ÛÓÙÐ ÐÓÓ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ö ÒØ ÖÓÑ Ø ÔÖ ¹ Ú ÓÙ ÓÒ Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ØÛÓ Ò Ô ÓØ Ø Ò Ø ÐÓ Ø Ñ Ö ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø º ÁÒ Ô Ò¹ Ð Ø Ø Ø ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ ÜÔ Ø ØÓ Ø ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ú ÐÙ m i = s i 0 Û Ö Ø Ú Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ø Ö ØÖ Ø Ò ÒØÖÓ Ù Ò Ø Ù ÓÒ Ó ÖÖÓÑ Ò Ø Ø Ø Û ÐÐ ÐÐ Ö Û Ø Ò ÔÙÖ Ø Ø Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÔÙÖ Ø Ø Û ÐÐ Ñ ÑÓÖ ÔÖ ÐÓÛµº ÁÒ Ø Ø ØÓØ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ m = N 1 N i=1 m i Ú Ò Ò ÓÒ ÜÔ Ø ØÓ Ú Ñ ÒÝ Ú Ö ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ò ÙÔ m i > 0µ Ô Ò ÔÓ ÒØ Ò ÓÛÒ m i < 0µ Û Ø ÔÓ Ð Ú ÐÙ Ó m i º Ì Ù Ø ØÓØ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ m Ó Ô Ò¹ Ð Ú Ò Ø ÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø ÒÓØ ÓÓ ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Öº Ì Ô Ò¹ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ø Ö Þ Ý Ò Ø Ô Ò Ø Ð Ò Ö Ñ Ò Ø Ù ¹ ÔØ Ð ØÝ Ò Ú Ö Ò ÒÓÒ¹Ð Ò Ö Ñ Ò Ø Ù ÔØ Ð ØÝº Ä Ø Ù Ù Ø ÓÖÑ Ö Ö Ø Ò ÓÛ ÓÛ Ø Ý Ð Ú Ò ÓÖ Ø Ö Þ Ò Ó Ø ÐÓ Ð Ñ Ò Ø ÑÓÑ ÒØ º ÓÖ Ò Ö Ñ Ò Ø ÑÓ Ð Ù Ø Ø Ø Ñ Ò Ø Ð ÓÙÔÐ Ð Ò ÖÐÝ ØÓ Ø Á Ò Ô Ò E E i h i s i Ø Ð Ò Ö Ù ÔØ Ð ØÝ Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ø ÙØÙ Ø ÓÒ¹ Ô Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ ØÓ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ χ ij s i h h j = β (s i s i )(s j s j ). h=0 º¾¾µ Ì Ú Ö Ò Ø Ö Ö Ø Ò Û Ø ÓÙØ Ô ÖØÙÖ Ò Ð º Ì Ö Ð Ø ÓÒ ÔÖÓÚ Ò Ý Ù Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó s i h Ò ÑÔÐÝ ÓÑÔÙØ Ò Ø Ö Ú Ø Ú Û Ø Ö Ô Ø ØÓ h j º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö χ ii = β (s i s i ) 2 = β ( 1 m 2 i ) 0, º¾ µ Û Ø m i = s i º Ì ØÓØ Ð Ù ÔØ Ð ØÝ Ñ ÙÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ χ N 1 ij χ ij º ÇÒ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Û Ó ÒÓØ ÜÔ Ø ØÓ O(1) ÑÔÐ ¹ØÓ¹ ÑÔÐ ÙØÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÐÓ Ð ÕÙ ÒØ ØÝº ÇÒ Ø Ò ÐÝØ Ð ÓÒ Ò Ù Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ ØÓ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ò Ë Øº º¾º ØÓ Ö Ù Ø Ø χ ÓÙÐ Ð ¹ Ú Ö Ò Ø ÙÑ ÓÚ Ö Ø ÒØ Ö ÚÓÐÙÑ Ó Ø ¹ Ô Ò ÒØ Ø ÖÑ µº Ì Ù Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ Ó ÖÚ Ù ÔØ Ð ØÝ Ó Ù ÒØÐÝ Ð Ö ÑÔÐ ÓÙÐ Ú Ò Ý χ = [ χ ] = N 1 ij [ χ ij ] N 1 i [ χ ii ] = N 1 i β ( 1 [ m 2 i ] ), º¾ µ Ò Û Ò ÜÔ Ø Ø Ø ÖÓ ¹Ø ÖÑ Ò Ð ÙÒ Ö Ø ÓÖ Ö Ú Ö ÒÓØ Ø Ø χ ij Ò Ø Ò Ø Ú Ú ÐÙ µº Ì ÐÐ Ó χ Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ú ÐÙ Ø T c º º Ø Ù Ô Ó ÖÚ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ Ò Ð Ø Ö Þ Ò Ó Ø ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ

66 º Ì Ô Ò¹ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË m i Ò Ø ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ú ÐÙ Ø Ø Ö ÑÓÖ ÚÓÙÖ Ð Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÐÐÝº ÆÓØ Ø Ø Ø Ö ÙÑ ÒØ ÓÒ Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ø Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÓÒ Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑº Ì Ù Ø Ò ØÙÖ Ð ÐÓ Ð ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ø Ö Ø Ö Þ Ø Ô Ò¹ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ q N 1 i [ m 2 i ] º¾ µ ÔÖÓÔÓ Ò Ø Ñ Ò Ð ½ Û Ö ¹ Ò Ö ÓÒ Ô Ô Öº q Ú Ò Ò Ø Ø Ñ¹ Ô Ö ØÙÖ Ô Ò ÐÐ m i Ö Þ ÖÓ ÙØ Ø Ó ÒÓØ Ò Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò Ø ÕÙ Ö ÔÓÛ Ö Ø Ö Ó Ø Ö ÒØ Ò º Ú Ö Ò ÓÚ Ö ÓÖ Ö Ð Ñ Ò Ø Ø Ø Ô Ò Ò º Ì Ù q Ð Ó Ú Ò Ý q = [ m 2 i ]. º¾ µ Ì Ò Ø ÓÒ Ò ØÙÖ Ø Ý Ñ Ø Ö Ø Ð Ò Ù ØÐ Ø ÒØ ÓÒ Ø Ø Û Ù ÐÓÛº º º¾ ÌÛÓ ÓÖ Ñ ÒÝ ÔÙÖ Ø Ø Ä Ø Ù Ô ÓÖ Ö Ü Ò Ñ Ò Ø Ø ÓÒ Ø ÐÓ Ð Ô Ò ÒÚ Ö ÓÒ ÝÑÑ ØÖÝ Ò Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ñ Ò ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ ÔÙÖ ÓÖ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ò Ø Ð Ø ÑÔÐ º ÓÒ Ö Ø ÓÖ Ö¹ Ô Ò ÒØ ÕÙ ÒØ ØÝ q J = N 1 i m 2 i º¾ µ Û Ö Ø m i Ô Ò ÓÒ Ø Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ü Ò º Ì Ò ØÛÓ ÔÓ Ð Ø ÓÖ Ø Ø Ø Ø Ð Ú Ö Ò m i = s i Ú ØÓ Ø Ò Ù Á Û ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ò Ø Ñ Ö ØÖ Ø Ò Ø ÓÒ Ù Ò Ø Ô Ö Ñ¹ Ò Ø ¹ ÖÖÓÑ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ù Ð Á Ò ÑÓ Ð Ë Øº ¾µ º º ÙÒ Ö Ô ÒÒ Ò Ð Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ó Ò ÔÙÖ Ø Ø Ò º¾ µ Û Ò ÓÖ Ö Ô Ò ÒØ Û Ö ¹ Ò Ö ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö N qj α ea = N 1 m α i, i º¾ µ Û Ö Û Ð Ð α Ø Ð Ø ÔÙÖ Ø Ø º ÐØ ÓÙ qj α ea ÓÙÐ Ô Ò ÓÒ α Ø ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ò ÐÐ ÒÓÛÒ Ø Ó ÒÓØ Ò Ø α Ð Ð ÙÔ Ö ÙÓ º ÁÒ Ø ÓÒ q Jea ÓÙÐ ÙØÙ Ø ÖÓÑ ÑÔÐ ØÓ ÑÔÐ Ò Ø Ò Ú Ù Ð m i Óº ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ò Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø q ea Ó ÒÓØ ÙØÙ Ø º Ä Ø Ö Û ÐÐ Ù q ea = q J ea. º¾ µ

67 º Ì Ô Ò¹ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Á Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ð Ú Ö Ò m i ÖÙÒ ÓÚ Ö ÐÐ ÔÓ Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÓÒ Ð Ø Ô Ô Ø Ø ØÓ Ý Ð Ñ Ò Ø Ò Ô Ò¹Ö Ú Ö Ðµ Ø ÕÙ ÒØ ØÝ º¾ µ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÑ ÓÚ ÖÐ Ô ØÛ Ò Ö ÒØ Ø Ø º ÁÑ Ò Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Û Ø w J α Ò Ø ÖÖÓÑ Ò Ø Ô Ó Ø Á Ò ÑÓ Ð ÓÒ ÓÒÐÝ ÓÒ ØÛÓµ ÔÙÖ Ø Ø Û Ø w 1 = w 2 = 1/2µ Ø Ò N ( ) q J = N 1 2 wαm J α i. º ¼µ i=1 ÁÒ Ø ÖÖÓÑ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ q = q ea = m 2 Ò q ea Ò q ÒØ Ð ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö º α ÁÒ Ø ÓÖ Ö q Jea Ø Ø Ñ Ú ÐÙ ÓÒ ÐÐ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ò Ô Ò ÒØÐÝ ÓÖ Ø Ö Ò ÓÒÐÝ ØÛÓ Ò Ø Ù Ù Ð ÖÖÓÑ Ò Ø Ô µ ÓÖ ÑÓÖ Û ÐÐ ÔÔ Ö Ò ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Ô Ò¹ Ð ÑÓ Ð µº Ì Ö ÓÖ Ø Ó ÒÓØ ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ø Ò Ù ØÛ Ò Ø ØÛÓ¹ Ø Ø Ò Ø Ñ ÒÝ¹ Ø Ø Ò Ö º ÁÒ Ø q J Ó º ÁØ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÒÓØ Ø Ø Û Ö Ø ÔÙÖ Ø Ø Ò Ø ÑÓ Ð Ô Ò ÓÒ Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ö Ð Þ Ø ÓÒº À Ú Ò Ò ÓÖ Ö¹ Ô Ò ÒØ ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö q J Ò Ø ÓÖ Ö Ú Ö q Ø Ø ÜÔÐ Ò Ø Ý Ó Ø Ù ÔØ Ð ØÝ ÐÓÛ T c Û Ø ÐÐ Ú ØÓ ØÙ Ý Û Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ø Ö Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô ÓÑÔÐ Ø ÐÝº ÁØ Û ÐÐ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ø Ø ÒÓÛÐ Ó q ÒÓØ ÒÓÙ Ø Ð Ø Ò ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Ò ÐÙØ Ô Ò¹ Ð ÑÓ Ð º ÁÒ ÓÒ Ò ØÓ ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÙØÙ Ø Ò q J ÕÙ ÒØ ØÝ P(q J )º Ì ÑÓÖ Ô ÖØ Ò ÒØ Ò Ø ÓÒ Ó Ò ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ú Ò Ý Ù ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ Ø Ò Ù ØÛ Ò Ø ÑÔÐ ØÛÓ¹ Ø Ø Ò Ø Ñ ÒÝ¹ Ø Ø Ò Ö º ÁÒ ÔÖ Ø Û Ý ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ý Ù Ò Ò ÓÚ ÖÐ Ô ÓÖ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ØÛÓ Ô Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ý {s i } Ò {σ i } Ò qsσ J = N 1 s i σ i º ½µ i Û Ö... Ò ÙÒÖ ØÖ Ø Ø ÖÑ Ð Ú Ö º qsσ J Ø Ú ÐÙ ØÛ Ò 1 Ò 1º ÁØ ÕÙ Ð ÓÒ {s i } Ò {σ i } Ö Ò ÒÙÑ Ö Ó Ô Ò Ø Ø Ñ ÐÐ Ö Ø Ò O(N) Ø ÕÙ Ð 1 Û Ò Ø ØÛÓ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ØÓØ ÐÐÝ ÒØ ÓÖÖ Ð Ø Û Ø Ø Ñ ÔÖÓÚ Ó ÓÒ ÖÒ Ò ÒÙÑ Ö Ó Ô Ò Ø Ø ÒÓØ O(N) Ò Ø ÕÙ Ð Þ ÖÓ Û Ò {s i } Ò {σ i } Ö ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÙÒÓÖÖ Ð Ø º ÆÓØ Ø Ø Ø Ð ¹ÓÚ ÖÐ Ô Ó ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ð ÒØ ÐÐÝ ÓÒ ÓÖ Á Ò Ô Ò º ÇØ Ö Ú ÐÙ Ö Ð Ó ÔÓ Ð º Ì ÓÚ ÖÐ Ô Ò ÓÑÔÙØ Ý ÖÙÒÒ Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ ÑÙÐ Ø ÓÒ ÕÙ Ð Ö Ø Ò ÑÔÐ Ò Ö ÓÖ Ò Ñ ÒÝ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ º Ï Ø Ø Ñ ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø ÓÚ ÖÐ Ô Ò ÓÙÐ Ò ØÓ Ö Ñ Û Ø ØÛÓ Ô Ø q ea Ò q ea Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÓÚ ÖÐ Ô Û Ò Ø ØÛÓ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÐÐ Ò Ø Ñ ÔÙÖ Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ò Ö Ú Ö ÓÒ µ Ò Ò Û Ø Ñ ÒÝ Ö ÒØ ÔÙÖ Ø Ø ÓØ Ö Ô Ø ÓØ Ö Ú ÐÙ Ó qsσº J Ì Ó ÖÚ Ò Ø ËÃ ÑÓ Ð Ü ÑÔÐ Ò º º ÆÓØ Ø Ø qsσ J Ö Ð Ø ØÓ α

68 º Ì Ô Ò¹ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ø q Ò Ø ÓÒ ÓÚ º Ö Ð Ø Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø À ÑÑ Ò Ø Ò º º È ÒÒ Ò Ð N d J sσ = N 1 (s i σ i ) 2 = 2(1 qsσ J ). º ¾µ i=1 ÁÒ Ø Ù ÓÒ Ó Ø ÖÖÓÑ Ò Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ð Ø Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ö Ð Ø Ý Ô Ò Ö Ú Ö Ð ÝÑÑ ØÖÝ Ó Ò Ý Ñ ÐÐ Ô ÒÒ Ò Ð Ø Ø Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ Ø Ö Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø lim h 0 lim N º ÁÒ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ø ÒÓ ÐÓÒ Ö Ð ØÓ ÓÓ Ò ÔÔÐÝ Ñ Ò Ø Ð Ø Ø ÓÖÖ Ð Ø ØÓ Ø Ø Ø Ø Ð Ú Ö ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò Ò Ð ÔÙÖ Ø Ø Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÒÓØ ÒÓÛÒ ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ö Ñ Ò ÒØ Ñ Ò Ø Ð Ø Ø Ñ Ø Ð Ø Ò ÒÝ ÜÔ Ö Ò Û ÐÐ ÖØ ÒÐÝ ÒÓØ ÓÖÖ Ð Ø Û Ø ÒÝ Ô Ð ÔÙÖ Ø Ø Ó Ø Ý Ø Ñ Ø Ò º Ï Ø Ò Ø Ø Ø Ø Ð Ú Ö Ö Ð Ú ÒØ ØÓ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ï ÐÐ ÓÑ ØÓ Ø ÔÓ ÒØ ÐÓÛº º º Ú Ö ÒØ Ù ÔØ Ð ØÝ ÁÒ ÔÙÖ Ñ Ò Ø Ý Ø Ñ Û Ø ÓÒ ¹ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ù ÓÒ Ò Ë Øº ¾ Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Ó Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ØÓ Ð Ø Ø ÓÙÔÐ Ð Ò ÖÐÝ ØÓ Ø Ú Ö Û Ò ÔÔÖÓ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÖÓÑ ÓØ º ÁÒ Ô Ö Ñ Ò Ø ÓÒ Ò Ù ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Û Ø ÐÓ Ð Ð m i = s i = N j=1 χ ij h j º µ Û Ø χ ij Ø Ð Ò Ö Ù ÔØ Ð Ø Ø Ñ Ò Ø Ò Ö Ý Ú Ò Ý E = E 0 i s i h i Ò Ø Ð Ø ØÓ Þ ÖÓ Ø Ø Ò Ó Ø ÐÙÐ Ø ÓÒº Í Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô ÓÑ q = q ea = 1 N N [ m 2 i ] = 1 i=1 N N N N i=1 j=1 k=1 [ χ ij χ ik h j h k ] º µ Á Ø ÔÔÐ Ð Ö Ö Ò ÓÑ Ò Ø Ò ÖÓÑ ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ù Ø Ø h j h k = σ 2 δ jk ÓÒ Ò Ö ÔÐ h j h k Ý σ 2 δ jk Ò Ó Ø Ò q = 1 N N [ m 2 i ] = 1 i=1 N N N i=1 j=1 [ χ 2 ij ] σ2 χ SG σ 2. º µ σ 2 Ø Ð ÓÒ Ù Ø ØÓ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö q ea º ÇÒ Ò Ð Ó Ö Ù Ø Ø ÙÒ ÓÖÑ Ð ÐÓÓ Ö Ò ÓÑ ØÓ Ô Ò¹ Ð ÑÔÐ Ò Ø Ö ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÐØ ÓÐ º

69 º Ì Ô Ò¹ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÁØ ÑÓÖ Ò ØÙÖ Ð Ø ÓÙ ØÓ Ù ØÖÙÐÐÝ Ö Ò ÓÑ Ð Ò ÙÒ ÓÖÑ ÓÒ Ò Ù Ò Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÔÐ ºµ Ì Ô Ò¹ Ð Ù ÔØ Ð ØÝ Ø Ò Ò χ SG 1 N ij [ χ 2 ij ] = β2 N ij [ ( s i s j s i s j ) 2 ] = β2 N ij [ s i s j 2 ] º µ Ò ÓÒ Ò Ø Ø Ø Ú Ö T T c + ÜÔ Ø Ò ÓÒ ¹ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒº ÆÓØ Ø Ø Ø Ö ÒÓ Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÖÓ Ø ÖÑ Ù Ó Ø ÕÙ Ö ºµ ÁÒ Ø Ú Ö Ò Ó χ SG Ö Ð Ø ØÓ Ø Ú Ö Ò Ó Ø ÒÓÒ¹Ð Ò Ö Ñ Ò Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Ø Ø Ñ ÙÖ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ Ò ÒÙÑ Ö ÐÐÝº Ò ÜÔ Ò ÓÒ Ó Ø ØÓØ Ð Ñ Ò Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ÔÓÛ Ö Ó ÙÒ ÓÖÑ Ð h Ø Ò E E h i s i Ò Ø Ö Ø ÒÓÒ¹Ð Ò Ö Ù ÔØ Ð ØÝ Ø Ò Ú Ò Ý M h = χh χ(3) 6 h3 +..., º µ ( ) χ (3) 3 M h h 3 = β 1 4 ln Z h h=0 h 4 = β3 N 4 s i h=0 3 i c º µ Û Ø Ø Ù Ò Ü c Ò Ø Ò Ø Ø Ø ÕÙ ÖØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÒÒ Ø º ÓÚ T c m i = 0 Ø Þ ÖÓ Ð χ (3) = β 3 ijkl ( s i s j s k s l 3 s i s j s k s l ) = β3 N 3 4N 6 s i s j 2, ij º µ Ò ÓÒ Ò ÒØ Ý χ SG Û Ò i = k Ò j = l ÔÐÙ Ñ ÒÝ ÓØ Ö Ø ÖÑ Ø Ø Û ÙÑ Ö Ò Ø º Ì Ò χ (3) = β(χ SG 2 3 β2 ). º ¼µ Ì ÕÙ ÒØ ØÝ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝº Ö ÙÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ó χ (3) χ (5) Ò χ (7) ÓÒ Ý Äº Ä ÚÝ ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ø ÐÐ Ø Ù ÔØ Ð Ø Ú Ö Ø T c º º º ÐÓÖ Ñ ØÖÝ ÆÓ Ù Ô Ò Ø Ô Ø Ó Ô Ò¹ Ð Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝº Ë Ò ÓÒ ÜÔ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ñ Ò Ø Ø Ø Ú Ö Ò Ó Ø ÕÙ ÒØ ØÝ ÑÙ Ø Ú ÖÝ Û º º º Ë Ð Ò À Ú Ò ÒØ Ò ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ð Ò Ö Ò Ø ÒÓÒ¹Ð Ò Ö Ù ÔØ Ð ØÝ ÓÒ Ò ÒÓÛ Û Ø Ö Ø Ö Ø Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ó ÓÒ ÓÖ Ö Û Ø Ö

70 º Ì Ì È ÔÔÖÓ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ø Ù Ù Ð Ð Ò Ð Û ÔÔÐÝº Å ÒÝ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ú Ò ÚÓØ ØÓ Ø Ø º ÁØ Ý ÒÓÛ ÕÙ Ø ÔØ Ø Ø Á Ò Ô Ò¹ Ð Ò 3d Ú ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒº ËØ ÐÐ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ö ÙÐØ ØÓ Ó Ø Ò Ò Ø Ö ÒÓ Ö Ð ÓÒ Ò Ù ÓÙØ Ø Ö Ú ÐÙ º Ì Ö Ö ØÛÓ Ñ Ò Ö ÓÒ ÓÖ Ø ÓÒ Ø Ø T c ÔÔÖÓ Ø ÝÒ Ñ ÓÑ Ó ÐÓÛ Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ ÒÒÓØ Ö ÐÐÝ ÓÒ º Ö Ø Ð Ø Ö Ø Ù Ö ØÖ Ø ØÓ T > T c º Ì ÓØ Ö Ö ÓÒ Ø Ø Ø ØÙ Ð Ú ÐÙ Ó T c ÙÐØ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ú ÐÙ Ù Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ù Ò ÓÒ Ø Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ º ÈÓ ÐÝ Ø ÑÓ Ø Ù Ø Ò ÕÙ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ú Ø Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÒÓÒ¹Ð Ò Ö Ù ÔØ Ð ØÝ χ nl = t β f ( h 2 t γ+β ) º ½µ Û Ø t = T T c /T c Ò ÓÒ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Ø Ú ÐÙ Ú Ò Ò Ì Ð ØÓ ÓÑÔ Ö Û Ø Ø Ú ÐÙ ÓÖ Ø ÖÖÓÑ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÙÑÑ Ö Þ Ò Ì Ð ¾º d β γ δ α ν η 1 ½ ½ ¾ ¹½ ¼ 2 ¼º Ì Ð Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ò Ø Á Ò Ô Ò¹ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ º Ë Ë Øº ¾º Ò Õ º ¾º µ¹ ¾º µ ÓÖ Ø Ö Ò Ø ÓÒº Ì ÔÖ Ø ÓÒ ÓÖ d Ö ÜÔÐ Ò Ò Ë Øº º º Ì Ì È ÔÔÖÓ ÓÖ Ö ÑÓ Ð Ú ÕÙ Ò Ö Ò ÓÑ ÒØ Ö Ø ÓÒ º Ù ØÓ Ø ÙØÙ Ø Ò Ú ÐÙ Ó Ø Ü Ò ÓÒ ÜÔ Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ù Ø Ø Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø Ô Ò Ö Þ Ò Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ º Ì ÐÓ Ð Ú Ö Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ÒÓØ ÒØ Ð ÓÒ Ø ÓÒØÖ ÖÝ ÓÒ ÜÔ Ø s i = m i Ò Ñ ÒÝ Ø Ø Ü Ø Ó Ø Ñ Ò ÒØ Ý Ø Ú ØÓÖ (m 1,...,m N )º ÇÒ Ñ Ý ØÖÝ ØÓ Ù Ø Ò Ú Ñ Ò¹ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¾º ¼µ ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö¹ ØÙÖ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÑÓ Ð Ø Ü ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø Ö¹ ÒØ (m 1,...,m N ) Ú ÐÙ º ÁØ Ò ÓÛÒ Ý Ì ÓÙÐ ¹ Ò Ö ÓÒ¹È ÐÑ Ö Ì Èµ ½ ½ Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒÓØ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÓÖÖ Ø Ú Ò Ò Ø ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø ÓÖ Ö Ø ÖÑ Û ÐÐ Ø ÇÒ Ö Ö Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ñ Ò º Ì Ø ÖÑ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ò i Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ò i ÔÖÓ Ù Ð h j = J ji m i = J ij m i ÓÒ Ô Ò j Ø Ð Ò Ù Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ m j = χ jj h j = χ jjj ij m i ÓÒ Ø Ô Ò j Ò Ø Ò ØÙÖÒ ÔÖÓ Ù Ñ Ò¹ Ð h i = J ijm j = J ij χ jj J ij m i = χ jj Jij 2 m i ÓÒ Ø Ø iº Ì ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÙØÙ Ø Ó¹ Ô Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ù ÔØ Ð Ø Ò ÓÒÒ Ø ÓÖÖ Ð ¹ Ø ÓÒ ÑÔÐ χ jj = β (s j s j ) 2 = β(1 m 2 j ) Ò ÓÒ Ø Ò h i = β(1 m 2 j )J2 ij m iº Ì Ó ÇÒ Ö ÓÖ Ú ØÝ Ñ Ø Ó Ø Ø ÓÒ ØÓ ØÙ Ý Ø ÓÖ Ö Ò Ó Ø ¼

71 º Ì Ì È ÔÔÖÓ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ô Ò i Ò Ø Ò Ó Ø ÓÛÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ó Ø Ý Ø Ñº Ì Ù Ø Ð h i ØÓ Ù ØÖ Ø ÖÓÑ Ø Ñ Ò¹ Ð Ö Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ò Ò Ø ÑÔÐ º º h corr i = j J ij m j + h i βm i j Jij 2(1 m2 j ) Û Ö h i Ø ÜØ ÖÒ Ð Ð º Ì Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ö ÙÑ ÒØ ØÓ p Ô Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÓØ Ó ØÖ ÓÖÛ Ö º Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ú Ò Ý ÖÓÐ º Ì Ì È ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ p¹ Ô Ò ÙÐÐÝ ÓÒÒ Ø ÑÓ Ð Ö m i = tanh β 1 i 2... i p (p 1)! J ii 2...i p m i2... m ip + βm i Jii i p (1 m 2 i 2 )...(1 m 2 i p ) + h i. º ¾µ Ø Ö Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÒØ ÖÒ Ð Ð ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ J i12...i p N (p 1)/2 Ò ÓÒ Ø p 1 ÙÑ Ô Ö ÓÖÑ Ø Ó ÓÖ Ö ÓÒ º Ì Ö Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Jii i p Ò Ò ÑÔÐ ÔÓÛ Ö ÓÙÒØ Ò ÓÛ Ø Ø Ø O(1)º Ì Ù ÁÒ ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ø Ö Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ó Ø Ñ ÓÖ Ö Ó Ø Ù Ù Ð Ñ Ò¹ Ð ÓÖÖ Ø Ñ Ò¹ Ð Ö ÔØ ÓÒ ØÓ ÒÐÙ Øº ÁÒ Ø ÖÖÓÑ Ò Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ò Ð Ø Ò Ø Ù Ð Ò Ò Nº Í Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ö ÙÑ ÓÚ Ö Ú ÖÝ Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó Ð Ñ ÒØ Ji i p Ò Ö ÔÐ Ý Ø Ø ¹ Ò Ô Ò ÒØ Ú Ö Ò [Ji i p ] = p!j 2 /(2N p 1 ) Ò Ø Ð Ø Ø ÖÑ Ò º ¾µº ÁÒØÖÓ Ù Ò Ø Û Ö ¹ Ò Ö ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö q ea = N 1 i=1 m 2 i ÒÓØ Ø Ø Û ØÙ Ý Ø Ý Ø Ñ Ò ÓÒ ÔÙÖ Ø Ø µ Ø Ì È ÕÙ Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛ 1 m i = tanh β J ii2...i (p 1)! p m i2...m ip + h i βj2 p i 2... i p 2 m i(1 q ea ) p 1. º µ Ì Ö ÙÑ ÒØ Ð Ò ØÓ Ø ÇÒ Ö Ö Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ð Þ ØÓ ÒÐÙ Ø ÓÑ Ò Ø Ó Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ô Ò i ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ô Ò Ò Ø ÑÔÐ º º Ø Ø ÓÒ i ÓÒ j Ò Ø Ò ÓÒ k Ø Ø ÓÑ ØÓ iº Ì Ö ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ö Ò Ò Ð Ð ÓÒÐÝ Ø Ö Ó ÐÐ Ö ÓÖ Ö Ø Ó ÒÓØ Ú Ö º Ì Ò Ù Ò ÓÒ Ø ÓÒ 1 > β 2 (1 2q ea + N 1 i m 4 i)º Ì ÑÔÓÖØ Ò Ó Ø Ö Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÓÑ Ð Ö ÖÓÑ Ø Ò ÐÝ Ó Ø Ð Ò Ö Þ ÕÙ Ø ÓÒ ÜÔ Ø ØÓ Ö Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ø Ð Ú ÓÙÖ ÓÖ Ø ËÃ ÑÓ Ð p = 2µ Ò Ø Ò Ó Ò ÔÔÐ Ð º Ì Ì È ÕÙ Ø ÓÒ ÓÑ m i β( j J ij m j βj 2 m i + h i )º Ò Ó ØÓ Ø ÓÒ Ò Û Ø J ij Ñ ØÖ Ü ÓÒ Ð Ð ØÓ m λ β(λ βj 2 )m λ + βh λ º Ì Ø Ö Ù ÔØ Ð ØÝ Ø Ò Ö χ λ m λ h λ = β ( 1 2βJ λ + (βj) 2) 1. h=0 º µ Ì Ø Ö Ù ÔØ Ð ØÝ ÓÖ Ø Ð Ö Ø ÒÚ ÐÙ Ó Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ò Ø Ù Ò Ò Ñ Ð Jλ max = 2J Ú Ö Ø β c J = 1º ÆÓØ Ø Ø Û Ø ÓÙØ Ø Ö Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ø Ú Ö Ò ÔÔ Ö Ø Ø Ò Ü Ø Ú ÐÙ T = 2T c Ë Øº º ÓÖ Ø Ö ÔÐ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ËÃ ÑÓ Ðµº Ì Ì È ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø ÜØÖ Ñ Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ì È Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ f({m i }) = 1 J i1...i p! p m i1... m ip β Ji 2 i 1... i p 4p 1...i p (1 m 2 i 1 )...(1 m 2 i p ) i 1... i p ½

72 º Ì Ì È ÔÔÖÓ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË i h i m i + T N [ 1 + mi i=1 2 ln 1 + m i m i 2 ln 1 m ] i 2. º µ Ì Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ m i Ò Û Ø Ù Ù ÐÐÝ ÐÐ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ð Ò Ô º ÆÓØ Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ô Ò ÓÒ N 1 Ú Ö Ð m i Ò Ø Ö ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ÒØ Ð Ò Ø ÓÖ Ö Ò Û Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò Ö ÒØ ÖÓÙÔ Ó Ô Ò Ö Ö ÒØº Ì Ø Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÜØÖ Ñ } Ö Ú Ò Ý Ø ÒÚ ÐÙ Ó Ø À Ò Ñ ØÖ Ü {m l H ij f({m k}) m i m j {m l }. º µ Ì ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú Ò Ú Ò Ò ÒÚ ÐÙ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö Ø ÓÒ Ò Û Ø ÜØÖ Ñ Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ü ÑÙÑ ÓÖ Ñ Ö Ò Ðº Ì Ø {m l } ÓÖ Û f({m l }) Ø ÓÐÙØ Ñ Ò Ñ Ý Ð Ö Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÖ ÔÙÖ Ø Ø º Ì Ì È ÕÙ Ø ÓÒ ÔÔÐÝ ØÓ {m i } Ò ÒÓØ ØÓ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ {s i }º Ì Ú ÐÙ Ó Ø {m i } Ö Ø ÖÑ Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø Ì È Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ f({m i }) Ò Ø Ý ÒÓØ Ò ØÓ Ø Ñ Ø Ó Ó Ø Ò Ö Ý H({s i }) ÓÒ Ù ÓÒ ÓÑ Ø Ñ ÒÓÙÒØ Ö Ò Ø Ð Ý Ð Ø Ö ØÙÖ º Ì Ó Ò Ò Ó Ø ØÛÓ Ò ÓÒÐÝ ÓÙÖ Ø T 0º º º½ Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÖ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð ÒØÖÓÔÝ Ì Ö Ö ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ö Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø ÜØÖ Ñ Ó Ø Ì È Ö ¹ Ò Ö Ý Ð Ò Ô ÓÖ Ú Ò Ø ÑÔÐ Ö Ú Ö ÓÒ Ò Û Ø ÇÒ Ö Ø ÖÑ Ò Ð Ø Ø Ø ÐÔ Ù ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ø Ø Ø Ú ÓÙÖ Ó ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ÓÖ Ú Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T ÓÛ Ñ ÒÝ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ñ Ò¹ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ü Ø Ì ÒÙÑ Ö Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÐÙÐ Ø Ù Ò N J = i 1 1 dm i δ(m i m i) = i 1 1 dm i δ( Õ i ) det Õ i m j. º µ {m i } Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ì È ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Û ÛÖ Ø { Õ i = 0}º Ì Ð Ø ØÓÖ Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ø Ö Ø Ò Ó Ú Ö Ð Ø Ò ÙÖ Ø Ø Û ÓÙÒØ ÓÒ Ø Ñ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ú Ö Ð ØÓÙ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ì È ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ó Ø Ø Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ º Ï Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÖ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð ÒØÖÓÔÝ Ø ÐÓ Ö Ø Ñ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ú Ý N Σ J (T) N 1 ln N J (T). º µ Ì ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Û Ø N Ù Ø Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÐÙØ ÓÒ ØÙ ÐÐÝ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ó Nº Ï ÐÐ ÓÑ ØÓ Ø Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓ ÒØ ÐÓÛº ¾

73 º Ì Ì È ÔÔÖÓ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ó N J (T) Ô Ò Ò ÓÒ T Ò Ó Ø Ò ÖÙÔØÐÝ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ú ÐÙ Ó T Ø Ø Ñ Ý ÓÖ Ñ Ý ÒÓØ Ó Ò Û Ø Ø Ø Ò ÝÒ Ñ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÇÒ Ò Ò Ö ¹ Ò Ö Ý Ð Ú Ð Ô Ò ÒØ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Σ J (f, T) N 1 ln N J (f, T) º µ Û Ö N J (f, T) Ø ÒÙÑ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð [f, f +df] Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T º ÖÓÑ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ò ÒØ Ý Ø Ñ Ò Ñ Û ÐÐ ÐÐ Ð Ó Ö ÒØ ØÝÔ º º Û Ø Ö ÒØ Ò Kº Ì Ö Ö ÒØ Ò ØÓ Ñ Ø Ø Ð Ø Ø º ÓÑ ØÖÝ ÓÒ ØÖ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ø Ø Ð Ø Ø ØÓ Ø Ý ÅÓÖ Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ø Ø N l=1 ( 1) κ l = 1 Û Ö κl Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò Ø Ú ÒÚ ÐÙ Ó Ø À Ò Ú ÐÙ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ l ÓÖ ÒÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Û ÐÐ¹ Ú ÙÒØ ÓÒ Ú Ö Ò Ø Ò Ò ØÝ Ò ÐÐ Ö Ø ÓÒ º ÇÒ Ò Ø Ò ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ì È ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ò Ü N J (K, T) Ò Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Σ J (K, T) N 1 ln N J (K, T), º ¼µ ÓÖ Ú Ò ÛÓÖ Ø Ü Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Σ J (K, f, T) N 1 ln N J (K, f, T). º ½µ Ú Ò ÑÓÖ ÒØ Ö Ø Ò ÐÝ ÓÒ Ò Ò ÐÝ ÓÛ Ö Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò Ø Ó Ö ÒØ Ð Ö ÓÖ Ò Þ º ÓÖ Ò Ø Ò ÓÒ Ò Û Ø Ö ÐÐ Ñ Ü Ñ Ö ÑÙ Ö Ò Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ø Ò Ñ Ò Ñ Øº Ï Ø Ø ÖÖ Ö f = f 1 f 0 ØÛ Ò ÖÓÙÒ Ø Ø Ò Ö Ø Ü Ø Ø Ø ÀÓÛ Ó Ø ÖÖ Ö Ð Û Ø Ø ØÙ Ð Ö ¹ Ò Ö Ý Ö Ò f ØÛ Ò Ø Ø Ø Ì Ò Û Ö ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÖÝ ØÓ Ø Ñ Ø Ø ÒÙÐ Ø ÓÒ Ö Ù ÓÖ Ø Ö Ú Ö Ð Ó ÖÓÔÐ Ø ÙÒ Ö Ò ÔÔÐ Ð ÓÖ Ò Ø Ò º Ì Ò Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ú Ò ÓÚ Ö ÓÖ Ö¹ Ô Ò ÒØº ÇÒ Ñ Ø Ø Ò ÜÔ Ø Ø Ø Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Û ÐÐ ÓÛ ÑÔÐ ¹ØÓ¹ ÑÔÐ ÙØÙ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ö Þ Ý ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒº Ì ÕÙ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Σ quenched Ø Ò Ø ÑÓ Ø Ð ÐÝ Ú ÐÙ Ó Σ J Ø Ò Ø ÖÓÙ maxp(σ J ) = P(Σ quenched )º ÁÒ ÔÖ Ø Ø Ú ÖÝ ÙÐØ ØÓ ÓÑÔÙØ º ÅÓ Ø Ò ÐÝØ Ö ÙÐØ ÓÒ ÖÒ Ø ÒÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Σ ann N 1 ln[n J ] = N 1 ln[ e NΣ J ]. º ¾µ ÇÒ Ò ÓÛ Ø Ø Ø ÒÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ñ ÐÐ Ö ÓÖ ÕÙ Ð Ø Ò Ø ÕÙ Ò ÓÒ º

74 º Ì Ì È ÔÔÖÓ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË º º¾ Ï Ø Ú Ö À Ú Ò ÒØ Ñ ÒÝ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ì È ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÐÓÛ¹T Ô ÓÒ Ò ØÓ Ø ÖÑ Ò ÒÓÛ ÓÛ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ø Ø Ð Ú Ö º Ò ØÙÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ð ØÓ Ú ÔÖÓ Ð ØÝ Û Ø ØÓ ÓÐÙØ ÓÒ w α Ò ØÓ Ù Ø ØÓ Ú Ö Ø Ú ÐÙ Ø Ó ÖÚ Ð Ó ÒØ Ö Ø O = wα J O α º µ α Û Ö α Ð Ð Ø Ì È ÓÐÙØ ÓÒ O α = O({m α i }) Ø Ú ÐÙ Ø Ø Ø Ó ÖÚ Ð O Ø Ò Ø Ì È ÓÐÙØ ÓÒ α Ò wα J Ö Ø Ö Ø Ø Ø Ð Û Ø Ø Ý Ò Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ α wα J = 1º ÌÛÓ Ü ÑÔÐ Ò ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ñ Ò Ò Ó Ø Ú Ö º ÁÒ Ô Ò¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ O = s i Ø Ò O α = m α i º ÁÒ Ò Á Ò ÑÓ Ð Ò Ø ÖÖÓÑ Ò Ø Ô O = s i Ø Ò O α = m α i = ±m Ò w α = 1/2º Ï Ø Ò Ø Ì È ÔÔÖÓ ÓÒ ÔÖÓÔÓ w J α = e βf J α γ e βf J γ º µ Û Ø F J α Ø ØÓØ Ð Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø α¹ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ì È ÕÙ Ø ÓÒ º Ì Ö Ø ÙÑ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØÓ Ò ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö Ö ¹ Ò Ö Ý Ò Ø ÒØÖÓ Ù Ò Ø Ò Ö Ý Ó ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ ÒØ Ý Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ô Ò ÒØ ÓÑÔÐ Ü ØÝ O = 1 Z df e Nβf N J (f, T)O(f) = 1 Z df e N(βf Σ J(f,T)) O(f). º µ Ì ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ³ Z = dfe Nβf N J (f, T) = df e N(βf Σ J(f,T)). º µ Ï ÙÑ Ø Ø Ø Ð ÐÐ Ò Ý α Ò ØÖ Ý Ð ÐÐ Ò Ý f Ø Ø ÑÔÐ Ø Ø Ø Ø Ñ Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ð Ú Ð f Ø Ó ÖÚ Ð O Ø Ø Ñ Ú ÐÙ º ÁÒ Ø N Ð Ñ Ø Ø ÒØ Ö Ð Ò Ú ÐÙ Ø Ý Ð ¹ÔÓ ÒØ ÔÖÓÚ Ø Ô Ö ÒØ ÔÓ Ø Ú º Ì ÓÖ Ö¹ Ô Ò ÒØ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò Ö ÐÐÝ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Û Ø Ø ÒÒ Ð Ú ÐÙ ÒØÖÓ Ù Ò Õº º ¾µº Ì ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ö ¹ Ò Ö Ý Ì ØÓØ Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ù Ò Ø Ð ¹ÔÓ ÒØ Ñ Ø Ó ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Z Ò Õº º µ Ö βf eq = N 1 ln Z = min [f TΣ J (f, T)] min Φ J (f, T) º µ f f ÁØ Ð Ö Ø Ø Φ J (f, T) Ø Ä Ò Ù Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø f ÔÐ Ý Ò Ø ÖÐ Ó Ø Ò Ö Ý Ò Σ J Ó Ø ÒØÖÓÔÝº Á Û Ù f = (E TS)/N = e Ts Û Ø E Ø ØÙ Ð Ò Ö Ý Ò S Ø Ñ ÖÓ ÓÔ ÒØÖÓÔÝ ÓÒ Φ J (f, T) = e T (s + Σ J (f, T)). º µ

75 º Å Ø Ø Ð Ø Ø Ò ØÛÓ Ñ Ð Ó ÑÓ Ð ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ì Ù Σ J Ò ÜØÖ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ØÓØ Ð ÒØÖÓÔÝ Ø Ø Ù ØÓ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ø Ø Ð Ø Ø º ÆÓØ Ø Ø Û Ó ÒÓØ ØÒ Ò Ù Ö Ø Ö Ø Ð ØÝº ÆÓØ Ø Ø Σ J Ù ØÖ Ø ÖÓÑ Ø ØÓØ Ð Ö ¹ Ò Ö Ýº Ì Ù Ø ÔÓ Ð Ø Ø Ò ÓÑ Ø Ø Û Ø Ö Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ ÙØ Ú ÖÝ ÒÙÑ ÖÓÙ Ú ÐÓÛ Ö ØÓØ Ð Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ø Ò ÐÓÛ Ö ÐÝ Ò Ø Ø Ø Ø Ö Ð ÒÙÑ ÖÓÙ º ÓÐÐ Ø Ú ÐÝ Ö Ø Ø ÓÑ Ò Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ ÙÖ Ò Ø º Ì ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ì Û Ö ¹ Ò Ö ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö ÙÒ Ö ØÓÓ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ò Ð Ø Ø º Ï Ø Ò Ø Ì È ÓÖÑ Ð Ñ ÓÒ Ø Ò q J α ea = N 1 i (m α i )2. º µ Ò Ú Ö ÓÚ Ö ÔÙÖ Ø Ø Ý Ð α wα J(mα i )2 º ÁÒ Ø Ø Ø Ø Ø Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ m i = s i = α wαm J α i ÕÙ Ö ( ) 2 q J s i 2 = m 2 i = wα J mα i = wα J wj β mα i mβ i. º ¼µ α Á Ø Ö Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ø Ð ØØ Ö ÙÑ ÖÓ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø ÖÑ Û Ø α βº Ì ÙÑ Ò Ù Ù Ð Ô Ö Ñ Ò Ø ¹ ÖÖÓÑ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ú ØÓ Ø Ò ÓÚ Ö Ð Ô ¹ Ô ÓØ ÖÛ ÐÓ Ð ÙÔ¹ ÓÛÒ Ö Ú Ö Ð ÛÓÙÐ ÑÔÐÝ Ø Ò ÐÐ Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÖÓ ¹Ø ÖÑ º º º º½ Å Ø Ø Ð Ø Ø Ò ØÛÓ Ñ Ð Ó ÑÓ Ð À Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÖ ÐÐ ÑÓ Ð Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ f(m i ) Ö Ø Ö Þ Ý Ò Ð Ø Ð ÓÐÙØ Ñ Ò ÑÙÑ Ò Û ÐÐ ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ú Ò ÜÔ Ø Ø Ø Ô Ö Ñ Ò Ø Ø Ø º Ì m i = 0 ÓÖ ÐÐ i Ñ Ò ÑÙÑ ÓÒØ ÒÙ ØÓ Ü Ø Ø ÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÀÓÛ Ú Ö Ú Ò Ø Ø ÐÐ Ø ÐÓ Ð ÓÐÙØ Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø Ì È Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ f TAP Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø ÓÑ ÙÒ Ø Ð Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÐÐÝ Ò Ø Ù Ø ØÙØ Ø ÕÙ Ð ¹ Ö ÙÑ Ø Ø Ý ÓØ Ö ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ø m i 0 Ø Ø Ö Ø ÓÐÙØ Ñ Ò Ñ Ó Φº ÆÓØ Ø Ö Ò Û Ø Ø ÖÖÓÑ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Û Ø Ô Ö Ñ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÒÓ ÐÓÒ Ö Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓÛ T c º º º¾ ÄÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ ÒÝ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÔÔ Ö Ò ÒÓØ Ù Ø ØÛÓ Ò Ò Á Ò Ö¹ ÖÓÑ Ò Ø ÑÓ Ðµ Ò Ø Ý Ö ÒÓØ Ö Ð Ø Ý ÝÑÑ ØÖÝ Ô Ò Ö Ú Ö Ð Ò Ø Á Ò ÖÖÓÑ Ò Ø ÓÖ ÖÓØ Ø ÓÒ Ð ÝÑÑ ØÖÝ Ò Ø À Ò Ö ÖÖÓÑ Ò Øµº Ì Ö Ö¹ Ø Ö Þ Ý ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ú ÐÙ Ó Ø ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ m i Ø Ø Ö Ö ÒØ Ò Ö ÒØ Ø Ø º αβ

76 º Å Ø Ø Ð Ø Ø Ò ØÛÓ Ñ Ð Ó ÑÓ Ð ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ø ÐÓÛ¹Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓØ Ø Ò Ú Ñ Ò¹ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¾º ¼µ Ò Ø Ì È ÕÙ Ø ÓÒ Ú Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò N ÒÙÑ Ö Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø ÐÐ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò N ÒÙÑ Ö Ó Ø Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓÐÙØ Ñ Ò Ñ Ó Ø m i ¹ Ô Ò ÒØ Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝº Ì Ñ Ò Ø Ø Σ J (T) Ò Ú Ò Σ J (0, f 0, T) Ö ÕÙ ÒØ Ø O(1)º Ì Ñ Ò Ñ Ò ÒØ Ö ÒØ Ø Ø Ø Ø ÓÙÐ Ý ÔÔÐÝ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø ¹ Ô Ò ÒØ Ô ÒÒ Ò Ð º Ì Ö Ú Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ì È Ö ¹ Ò Ö Ý Ð Ò Ô ÕÙ Ø Ù ØÐ Ò Ó ÝÓÒ Ø ÓÔ Ó Ø Ä ØÙÖ º ËØ ÐÐ Û ÐÐ Ö Ý ÔÖ ÒØ Ø Ö ØÖÙØÙÖ ÓÖ Ø ËÃ Ò p¹ Ô Ò ÑÓ Ð ØÓ Ú ÚÓÖ Ó Ø Ö ÓÑÔÐ Ü ØÝº Ì ËÃ ÑÓ Ð Ì Ö Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò Ø ËÃ ÑÓ Ð ÔÔ Ö Ò ½ ¼º Ø Ö ¾ Ý Ö Ó Ö Ö Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ð Ò Ô Ò Ø Ý Ø Ñ Ø ÐÐ Ñ ØØ Ö Ó Ù ÓÒº Ø ÔÖ ÒØ Ø Ô ØÙÖ Ø Ø Ñ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Ì Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ¹ Ô Ò ÒØ ÒÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ø Ú Ò ÓÒÐÝ Ø T c ÙØ Ø Ú ÖÝ Ñ ÐÐ Ú ÐÙ ÐÖ Ý Ø 0.6T c º ËÙÖÔÖ Ò ÐÝ ÒÓÙ Ø Ò Ø ÙØ Ð Ö N Ø Ì È ÓÐÙØ ÓÒ ÓÑ Ò Ô Ö Ó Ñ Ò Ñ Ò Ð Ó ØÝÔ ÓÒ Ø Ø ØÓ Ý ÜØÖ Ñ Û Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ÙÒ Ø Ð Ö Ø ÓÒº Ì Ø Ø Ö ÓÒÒ Ø Ý ÑÓ Ø Ø Ó Ø Ö Ø Ð Ö Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô Ò Ø Ý Ó Ð Ò ÓÑ Ñ Ö Ò ÐÐÝ Ø Ð Ò Ø Ð Ñ Ø N º ÆÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÛ Ø Ø Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ø Ð ¹ ÔÓ ÒØ Ò ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ð Ø³ Ö Ø ÓÒ ÐÓÒ Ø Ó Ø ÑÓ ÓÒ ÐÐ ÒØÓ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ö Ø³ Ö Ø ÓÒ ÐÓÒ Ø Ñ ÑÓ ÓÒ ÐÐ ÒØÓ Ø Ô Ö Ñ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒº Ë º ½¾ ÓÖ Ø Ó Ø Ö ÙÐØ º Ì Ö ¹ Ò Ö Ý Ö Ò ØÛ Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ð Ö ÓÖ ÒÖ Ò N Ò ÓÒ Ò ÒÙÑ Ö ÐÐÝ Ò Ú Ö f N 1.4 º Ì ÜØ Ò Ú ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ñ Ò Ñ Ò ØÝÔ ¹ÓÒ Ð ÒØ Ð Ò Ø Ð Ö N Ð Ñ Ø Σ(0, T) = Σ(1, T) + O(N 1 ) Ô ÐÑ Ö Ö Ý ÅÓÓÖ ¼ µ Ò Ù Û Ý Ø Ø Ø ÅÓÖ Ø ÓÖ Ñ Ö Ô Ø º Ì Ö ¹ Ò Ö Ý Ô Ò ÒØ ÒÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÑÓÓØ ÙÒØ ÓÒ Ó f Û Ø ÙÔÔÓÖØ ÓÒ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð [f 0, f 1 Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ø f max º Ì Ö Ý Ò ÅÓÓÖ ÒÒ Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ Û Ø ÙÔ Ö ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò µ Ý Ð f max = Σ max = Σ (f max ) = 8.9º Ì ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ò Ò ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ f Ò ÜÔÖ p(f, T) = N(f, T) N(T) = enσ(f,t) N(T) NΣ (f max ) 2π e N 2 Σ (f max) (f f max) 2, º ½µ Û Ö Û Ú ÐÙ Ø Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó ÓÐÙØ ÓÒ N(T) = dfe NΣ(f,T) Ý Ø Ô Ø ÒØ Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ú Ò Ð Ò ÖÐÝ ÐÓ ØÓ f 0 Σ(f, T) λ(f f 0 ) Û Ø λ < βº ÇÒÐÝ Ø ÐÓÛ Ø ÐÝ Ò Ì È ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒØÖ ÙØ ØÓ Ø Ø Ø Ø Ð Û Øº Ì ÓÑÔÐ Ü¹ ØÝ Ó ÒÓØ ÓÒØÖ ÙØ ØÓ Φ Ò Ø Ð Ö N Ð Ñ Ø Φ f Φ = βf Σ ann (f, T) βf (f f 0 )λ β λ > 0 β > λ º ¾µ

77 º Å Ø Ø Ð Ø Ø Ò ØÛÓ Ñ Ð Ó ÑÓ Ð ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË 1/N < ln N > N 1/ T/Tc PM ÙÖ ½¾ Ä Ø Ø Ó Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Σ(T) Ó Ø ËÃº ÁØ ØÙ ÐÐÝ Ú Ò ÓÒÐÝ Ø T c ÙØ Ø Ø Ú ÖÝ Ñ ÐÐ Ú ÐÙ ÐÖ Ý Ø 0.6T c º Ê Ø Ô Ö Ó ÜØÖ Ñ Ò Ø ËÃ ÑÓ Ð Û Ø N Ð Ö Ò N Ð Ñ Øº Σ f 0 f f max ÙÖ ½ Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÙÒØ ÓÒ Ó f ÓÖ Ø ËÃ ÑÓ Ðº Ò Φ min βf min = βf 0 º Ë º ½ º Ì ØÓØ Ð³ Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ù Ø Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ó ÐÓÛ¹ÐÝ Ò ÓÐÙØ ÓÒº Ì Ô Ö Ðµ p¹ Ô Ò ÑÓ Ð Ì ÒÙÑ Ö Ò ØÖÙØÙÖ Ó Ð ¹ÔÓ ÒØ Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ ÒØ Ö Ø Ò Ò Ø p 3 Ò Ø Ò Ø Ö ÓÒ Û Ý Ø ÑÓ Ð Û Ø Ö Ò ÓÑ Ö Ø ÓÖ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ Ú Ò ÔÖÓÔÓ ØÓ Ñ Ñ Ø ØÖÙØÙÖ Ð Ð ÖÖ Øº Ì p 3 ÑÓ Ð Ò ØÙ Ò Ö Ø Ø Ð Ò Ø Ô Ö Ð Ø Ø ØÓ Ý Û Ò Ô Ò Ö ÒÓØ Á Ò Ú Ö Ð ÙØ Ø Ý Ø ÐÓ Ð ÓÒ ØÖ ÒØ N i=1 s 2 i = Nº ÐØ ÓÙ Ò Ò Ö Ð Ø Ñ Ò Ñ Ó Ø Ñ Ò¹ Ð Ö Ò Ö Ý Ó ÒÓØ Ó Ò Û Ø Ø Ñ Ò Ñ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ø Ý Ó Ò Ø Ô Ö Ð p¹ Ô Ò ÑÓ Ðº Ì Ö ÔÓ Ø ÓÒ Ò Ø Ô Ô Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Û Ð Ø Ö Ð ¹ÓÚ ÖÐ Ô Ó º Ø T = 0

78 º Å Ø Ø Ð Ø Ø Ò ØÛÓ Ñ Ð Ó ÑÓ Ð ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Free energy (4) (5) (3) (2) (1) T s T * T max (E c ) T T tap ÙÖ ½ Ì Ì È Ö ¹ Ò Ö Ý ÙÒØ ÓÒ Ó T Ò Ø Ô Ö Ð p¹ Ô Ò ÑÓ Ðº ½µ Ö Ò Ö Ý Ó Ø Ô Ö Ñ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ T > T F tot ÓÖ T < T ¾µ Ö Ò Ö Ý Ó Ø ÐÓÛ Ø Ì È Ø Ø Û Ø Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ö Ý E min µ Ö Ò Ö Ý Ó Ø Ø Ì È Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ E c µ Ò ÒØ ÖÑ Ø Ú ÐÙ Ó E 0 Ð ØÓ Ò ÒØ ÖÑ Ø Ú ÐÙ Ó f Ø ÒÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ µ f eq (T) Ø Ö Ò ØÛ Ò ÙÖÚ µ Ò ½µ Ú Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ TS c (f eq (T), T)º

79 º Å Ø Ø Ð Ø Ø Ò ØÛÓ Ñ Ð Ó ÑÓ Ð ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ø Ø Ø Ð ÓÖ Ñ Ø Ø Ð µ Ù Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÓÐÙØ ÓÖ ÐÓ Ðµ Ó Ø Ò Ö Ýº ÓÖ ÒÖ Ò T Ò Ö Ý Ñ Ò Ñ Ø Ö ÙÔ Ý Ø ÖÑ Ð ÙØÙ Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ø Ø º Ì Ù Ø Ø Ø Ò Ð Ð Ý Ø Ö Þ ÖÓ¹Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ö Ý E 0 º Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ú Ò Ý Σ(E) = 1 [ ln pz p 1 2 z2 2 p 2 z + 2 p ], º µ 2 p Û Ö z z = [ ] E 0 E 02 Ec 2 /(p 1). º µ Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ú Ò Ø E 0 = E min = f(p), º µ Ø ÖÓÙÒ Ø Ø Ó Ø Ý Ø Ñ Ò Ø Ö Ð ÓÖ Þ ÖÓ¹Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ö E < E th Û Ø E th = 2(p 1) p. º µ E min Ø Þ ÖÓ¹T Ò Ö Ý ÓÒ Ò Û Ø Ø Ö ÔÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ù Ò ½¹ Ø Ô ÊË Ò ØÞ Û ÐÐ ÐÓÛº Ì Ò Ø ¹T Ò Ö Ý Ó Ø Ø α Ì Ñ Ò Ø Ø E α = q p 2 αe 0 α 1 2T [ (p 1)q p α pq p 1 α + 1 ]. º µ Ì Ö Ò ÓÒÐÝ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ø Û Ø E < E 0 º ÁØ Ò ÓÛÒ Ø Ø ÐÓÛ E th Ñ Ò Ñ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ú Ö º ÓÚ E th ÓÒ Ò ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ö Ø Ø ÙØ Ø Ö ÙÒ Ø Ð º Þ ÖÓ¹Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ø Ö Ø Ö Þ Ý ÙÒ Ø N¹Ú ØÓÖ s α i Ò Ø Ú Ö ØÓ Ò Ø ¹T Ø Ø Ö Ø Ö Þ Ý m α i = q(e, T)s α i Û Ø q(e, T) Ú Ò Ý q p 2 (1 q) 2 = T 2 (E + E 2 E 2 th )2 (p 1) 2. º µ q(e, T = 0) = 1 Ò Ø Ò Ø T Ø ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø q ÐÓ Ø ØÓ 1 ØÓ Ó Òºµ Ì Ð ¹ÓÚ ÖÐ Ô Ø Ø Ø Ö ÓÐ Ò Ö Ý E E th Ø Ò q p 2 th (1 q th) 2 = T 2 2 p(p 1). º µ ÒÓØ Ö Û Ý ÓÖ Ø q ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ ØÓÔ Ú Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ý ÒÖ Ò Ø Ø ÑÔ Ö¹ ØÙÖ T > T max (E 0 ) Ø Ü Ö Ò Ö Ý E 0 º Ì Ñ Ò Ø Ø Ú Ò Ø ÓÙ Ñ Ò Ñ

80 º Å Ø Ø Ð Ø Ø Ò ØÛÓ Ñ Ð Ó ÑÓ Ð ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ó Ø Ò Ö Ý Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ø º º Ñ Ò Ñ Ó Ø Ö Ò Ö Ý Óº Ï Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÑ ØÓÓ Ð Ö Ø Ô Ö Ñ Ò Ø Ø Ø ÓÑ Ø ÓÒÐÝ ÔÙÖ Ö Ó Ø Ø Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ò Ö Ý Ð Ò Ô ÖÓ Ò ÙÔ Ò Ñ ÒÝ Ò Ó Ø Ò Ö Ý Ñ Ò Ñ º Ì Ù Ø ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ Ú ÒØ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö ÒØ ØÛ Ò ÔÙÖ Ø Ø Ò Ò Ö Ý Ñ Ò Ñ º T max (E 0 ) Ó Ø Ò Ø Ð Ñ Ø Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÖ Û Õº º µ Ñ Ø ÓÐÙØ ÓÒº ÁØ Ú Ò Ý ( ) ( 2 T max (E 0 p 1 ) = p 2 p E 0 E 02 Eth 2 p ) p 2 2. º ¼µ T max Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ó E 0 º Ì Ð Ø Ø Ø ØÓ ÔÔ Ö Ø Ò Ö Ø ÓÒ Û Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ö Ù E min Ò ØÓ Ü Ø Ø T TAP = T max (E min )º ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T d Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Nµ ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ø Ø Ð Ø Ø ÓÒØÖ ÙØ ØÓ Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ù ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð Û Ý Ø Ø Ø Ö ÓÑ Ò ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ó ÖÚ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ó Ó Ô Ö Ñ Ò Øº Ú Ò Ó Ø Ø Ø ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð Ø m i ³ Ö Ö ÒØ ÖÓÑ Þ ÖÓµ Ø Ø Ø Ø Ð Ú Ö ÓÚ Ö ÐÐ Ó Ø Ñ Ý Ð Ö ÙÐØ Ø Ø Ö ÒØ Ð ØÓ Ø Ó Ó Ô Ö Ñ Ò Ø Ø Ø ØÓ Ý Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ 1/(4T) Ò Ø m i = 0 Ô Ö Ñ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒº ÇÒ Ò T d = p(p 2)p 2. º ½µ 2(p 1) p 1 Ø ÐÓÛ Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T s T s < T d µ Ø Ö Ò ÒØÖÓÔÝ Ö Ð Ø Ò Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ø Ø Ð Ø Ø ÙÖÚ Ú Ò Ø Ö Ø Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ØÓ Ð Ý Ø Ø º ÁÒ Ø p¹ Ô Ò ÑÓ Ð Ø Ö Ö Ò Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Û ÐÝ Ò Ø Ø ÓÑ ¹ Ò Ø Ø ÙÑ Ò Ø Ý Ö Ù ÒØÐÝ ÒÙÑ ÖÓÙ Ó ØÓ Ú ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø Ø Ö Ò Ö Ø Ñ Ò Ø ÖÑ βf Σ J (f, T) Ñ ÐÐ Ö Ò ØÙ Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ô Ò ÒØ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ý Ø ÒÒ Ð Ú ÐÙ µº ÁÒ ÓÖØ ÓÚ T d Ø ÙÒ ÕÙ µ Ô Ö Ñ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÑ Ò Ø q = 0 Ò Φ = f = 1/(4T)º ÁÒ Ø ÒØ ÖÚ Ð T [T s, T d ] Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó Ø Ø Û Ø q 0 Ú Ò Ý Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ pq p 2 (1 q) = 2T 2 µ ÓÑ Ò Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÑº Φ = 1/(4T) ÔÔ Ö Ò Ø ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ö Ñ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒº Ø T < T s Ø ÐÓÛ Ø Ì È Ø Ø Û Ø E 0 = E min ÓÒØÖÓÐ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÑº Ì Ö ØÓØ Ð Ö ¹ Ò Ö Ý Φ Ö ÒØ ÖÓÑ 1/(4T)º Ì Ô ØÙÖ ÓÒ ÖÑ Û Ø ÓØ Ö ØÙ Ø Ø ÒÐÙ Ø Ù Ó Ô ÒÒ Ò Ð ÔØ ØÓ Ø ÓÖ Ö ØÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ú ÔÓÖØ ÒØ Ð ÓÖ ØÛÓ ÓÙÔÐ Ö Ð Ö ÔÐ Ò Ø ÝÒ Ñ ÔÔÖÓ º ¼

81 º Å Ø Ø Ð Ø Ø Ò ØÛÓ Ñ Ð Ó ÑÓ Ð ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÄÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÒØÖÓÔÝ Ö Ì ÒØ ÖÚ Ð Ó Ò Ø ÓÒ Ó Φ(E, T) Ø Ñ Σ(E) Ø Ø E [E min : E th ]º ÙÑ Ò Ø Ø Ø Ú Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ø Ò Ö Ý E eq (T) Ñ Ò Ñ Þ Ò Φ Ð Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð Û Ø ÔÔ Ò Û ÐÓÛ Ö Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ê Ñ Ñ Ö Ø Ø Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÒÖ Ò ÙÒØ ÓÒ Ó E Ó ÓÙÖ f(e, T)º Ï Ò T Ö Û ÚÓÖ Ø Ø Û Ø ÐÓÛ Ö Ö Ò Ö Ý Ò ÐÓÛ Ö ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò Ø Ö ÓÖ E eq Ö º Ö ÙÐØ Ø ÑÙ Ø Ü Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T s Ù Ø Ø E eq (T s ) = E min Ò Ø Ù Σ(E eq (T)) = Σ(E min ) = 0º ÐÓÛ T s Ø Ö Ò Ö Ý E eq ÒÒÓØ Ö ÒÝ ÙÖØ Ö Ø Ö Ö ÒÓ ÓØ Ö Ø Ø ÐÓÛ Ø ÖÓÙÒ Ø Ø E min º Ì Ù E eq (T) = E min ÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T T s º Ö ÙÐØ Û ÔÐÓØ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Σ(E eq (T)) ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Û Ò ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó Ø Ö Ø Ö Ú Ø Ú Ø T s Û Ö Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ú Ò º Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÔÐ Ø T s ÐÓÛ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÒÓ ÐÓÒ Ö ÓÑ Ò Ø Ý Ñ Ø Ø Ð Ø Ø ÙØ Ý Ø ÐÓÛ Ø ÐÝ Ò Ø Ø Û Ú Þ ÖÓ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÐÓÛ Ø Ö Ò Ö Ý Ò ØÝº Ï ÐÐ ÓÛ Ø Ø T s Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÙÒ Û Ø Ö ÔÐ ÐÙÐ Ø ÓÒº Ì Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Û Ö ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ú Ò ÓÖ Ø Ö Ø Ø Ñ Ý Ø ÐÓÛ Ø Ò Ö Ý Ø Ø ÕÙ Ð ØÓ Ø Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÓÚ T s Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÑ Ò Ø Ý Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó Ø Ø Û Ø Ö Ò Ö Ý Ò Ø Ù ÐÓÛ Ø Ø Ø Ð Û Ø Ù Ø Ø Ø Ý Ö ÒÓØ ÔØÙÖ Ý Ø ÓÚ ÖÐ Ô ØÖ ÙØ ÓÒ P(q)º Ø T s Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ø Ø ÓÑ Ù ¹ ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø Ö Û Ø ÒÓÒÞ ÖÓ Ù Ø Ø Ø P(q) Ú ÐÓÔ ÓÒ ÖÝ Ô Ø q s 0º Ê ÏÊÁÌ ÄÄ ÌÀÁË Ì Ø Ö ÓÐ ÈÄ ÁÆ Å Ê ÁÆ Ä ËÌ ÁÄÁÌ À Ö Ö Ý Ó Ñ Ø Ø Ð Ø Ø ÈÄ ÁÆ ÇÊ ÆÁË ÌÁÇÆ Ò Ø Ñ Ò ÓÒ ÁÒ Ò Ø ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ ÓÒÐÝ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ò Ö Ø Ö Ó ØÝ º º Ø Ø Û Ø Ø ÐÓÛ Ø Ö Ò Ö Ý Ò ØÝº ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ø Ý Ø Ñ ÒÒÓØ Ö Ñ Ò ØÖ ÔÔ ÓÖ Ò Ò Ò Ø Ø Ñ Ò Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Ù Ò Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ö Ò Ö Ý ÖÖ Ö ÙÖÖÓÙÒ Ò Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Ö ÐÛ Ý Ò Ø º Ì ÜØÖ Ö Ò Ö Ý Ó ÖÓÔÐ Ø Ó Þ r Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ô Ò ÖÓÙÒ Ñ Ø Ø Ð Ô ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Û ÖÓÛ r d 1 Ò Ò Ø Ú ÚÓÐÙÑ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Û ÖÓÛ r d f = σr d 1 δf r d º ¾µ Û Ö Ö σ Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ò δf Ø ÙÐ Ö Ò Ö Ý Ö Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ô º Ì ÙÒØ ÓÒ ÐÛ Ý Ñ Ü ÑÙÑ Û Ó Ò Ø Ø Ú Ø Ö Ò Ö Ý ½

82 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÖÖ Ö ØÓ ÒÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ô ÒÓØ Ø Ø Ø Ó Ü Ø Ò δf = 0 Ò Ø ÖÖ Ö Ò Ò Ø µº Ì Ö ÓÖ Ò Ø ÐÐÝ Ò Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Ø Ý Ø Ñ Û ÐÐ ÓÓÒ Ö ÓÖ Ð Ø Ö ÓÐÐ Ô Ò Ø Ø Ð Ø Ø Û Ø ÐÓÛ Ö Ö Ò Ö Ý Ò ØÝº ÓÖ Ø Ö ÓÒ Ò Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Û ÒÒÓØ ÓÑÔÓ Ø Ñ ÙÖ Ò Ñ Ø Ø Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ º Ï Ò Ø ÓÒ Ø ÐÛ Ý ÙÒ Ö ØÓÓ Ø Ø Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÓÒÐÝ Ú Ð ÓÖ Ò Ø Ø Ñ º Ø Ñ ÑÙ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ø Ñ Ò ÓÖ Ø Ø Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ØÓ Ø ÓÚ Öº ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ò Ñ Ò¹ Ð Ý Ø Ñ Ò Ò Ø Ñ Ò ÓÒµ ÖÖ Ö ØÛ Ò Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Ñ Ý Ò Ò Ø Ò Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø Ò Ø Ø Ö ÓÖ ÔÓ Ð ØÓ ÐÐ ÔÙÖ Ø Ø Ð Ó Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Ò ØÓ Ò Ø Ñ Û Ø w J αº Ï Û ÐÐ Ò ÐÝÞ Ñ Ò¹ Ð Ô Ò¹ Ð ÑÓ Ð Ó Ø Ø Û Û ÐÐ ÐÐÓÛ ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÓÚ Ú Ò ÓÖ Ñ Ø Ø Ð Ø Ø º ÓÑÑ ÒØ Ì Ö ÐÓ Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ø ØÓÔÓÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÑÓ Ð Ò Ø ÝÒ Ñ Ð Ú ÓÖº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÐÓÛ Ò ÓÛÒ Ó Ø ÝÒ Ñ ÓÚ ÙØ ÐÓ ØÓ T d ÓÒÒ Ø ØÓ Ø ÔÖ Ò Ó Ð Û Ó Ò Ø Ð ØÝ Ö Û Ø Ö Ò Ò Ö Ýº ÁÒ Ø Û Ú Ò Ø Ø Ø Ø Ö ÓÐ Ò Ö Ý Ð Ú Ð E th Ô Ö Ø Ò Ð ÖÓÑ Ñ Ò Ñ Ò Ó Ø ØÓ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T th = T d Ñ Ö Ò Ø Ô ÖÓÑ Ö Ó ØÝ ØÓ Ö Ó ØÝ Ö Ò º ÁÒ Ø ÓÒØ ÜØ Ø ÝÒ Ñ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ò ØÓÔÓÐÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒº Ì ÔÐ Ø Ù Ó Ø ÝÒ Ñ Ð ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Û Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ò Ð ÕÙ Ñ Ý Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ô Ù Ó¹Ø ÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ð Û Ø Ú ÖÝ Ñ ÐÐ ÒÙÑ Ö Ó ÙÒ Ø Ð ÑÓ º º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó Ô ØÙÖ Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø ÓÒ Ö Ò ÖÓÑ Ø Ò Ú Ñ Ò¹ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÙØ ÓÒØÖ Ø Ø Ò Ø Ð ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ø ÖÓÔÐ Ø ÑÓ Ð Ö ÖÓÑ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Ô Ò¹ Ð ÑÓ Ð º Ì Ö ÙÐØ Ö Ó Ø Ò Ù Ò Ñ Ø Ó Û ÐÐ Ø Ö ÔÐ ØÖ Ò Ø Ø Û ÐÐ Ö Ý ÔÖ ÒØ ÐÓÛº ÁÒ Ë Øº º¾º Û Ö Ù Ø Ø Ø ØÝÔ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ò ÓÑÔÙØ ÖÓÑ Ø ÓÖ Ö Ú Ö Ö ¹ Ò Ö Ý [ F J ] djp(j)f J. º µ ÇÒ Ø Ò Ò ØÓ Ú Ö Ø ÐÓ Ö Ø Ñ Ó Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒº ÁÒ Ø ÒÒ Ð Ô¹ ÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÒ Ü Ò Ø ln Û Ø Ø Ú Ö ÓÚ Ö ÓÖ Ö Ò ÐÐÝ ÓÒ Ö Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ð Ö Ø Ø Ø Ñ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ø Ô Ò [ ln Z J ] ln[ Z J ]. º µ Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ ÓÖÖ Ø Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÙØ ÒÓÖÖ Ø Ø ÐÓÛ ÓÒ º ¾

83 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÓÑÔÙØ [ F J ] ÓÖ ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø ÑÓ Ð º ÁØ ÓÒ Ø Ñ ÖØ Ù Ó Ø ÒØ ØÝ ln Z J = lim n 0 Z n J 1 n. º µ Ì ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ö Ø¹ Ò ¹ ÓÖ Ò Ø Ò ÒØ Ö n = 1, 2,... Ò Ø Ò Ô Ö ÓÖÑ Ø Ò ÐÝØ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒ ØÓ n 0º Ö ÓÙÐ Ø Ò Ò Ø Ø Ô ÓÖ ÓÑ ÑÓ Ð Ø Ò ÐÝØ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒ Ñ Ý ÒÓØ ÙÒ ÕÙ º ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ø Ò Ø ÓÖ Ø Ñ Ð Ñ Ø Ë ÖÖ Ò ØÓÒ¹Ã Ö Ô ØÖ ÑÓ Ð Ù Ý È ÐÑ Ö Ò Ú Ò À ÑÑ Ò Ò ½ Ø ÓÙ Ø Ð Ó Ò Ö ÒØÐÝ ÓÛÒ Ø Ø Ø Ö ¹ Ò Ö Ý f(t) Ó Ø Ò Ý È Ö Û Ø Ø Ö ÔÐ ØÖ Ü Ø Ì ÓÖ Ö Ú Ö Ö ¹ Ò Ö Ý Ú Ò Ý β[ F J ] = ( 1 djp(j) lnz J = lim n 0 n djp(j)z n J 1 ), º µ Û Ö Û Ú Ü Ò Ø Ð Ñ Ø n 0 Û Ø Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ü Ò º ÓÖ ÒØ Ö n Ø Ö ÔÐ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Z n J Ö ZJ n = e β[ej({s1 i })+...+E J({s n i }]. {s a i } º µ À Ö {s a i } {s 1 i =±1}... {s n i =±1} º ZJ n ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ n ÒØ Ð ÓÔ Ó Ø ÓÖ Ò Ð Ý Ø Ñ Ø Ø ØÓ Ý ÐÐ Ó Ø Ñ Û Ø Ø Ñ Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Öº ÓÔÝ Ö Ø Ö Þ Ý Ò Ò Ñ Ð Ó N Ô Ò {s a i }º Ï Ð Ð Ø ÓÔ Û Ø Ö ÔÐ Ò Ü a = 1,...,nº ÓÖ p¹ Ô Ò ÓÖ Ö Ô Ò ÑÓ Ð ZJ n Ø Ø ÓÖÑ ZJ n = [ e β n ] a=1 i1... ip J i1...ipsa i...s a + 1 ip i h is a i. º µ {s a i } Ì Ú Ö ÓÚ Ö ÓÖ Ö ÑÓÙÒØ ØÓ ÓÑÔÙØ Ò Ù Ò ÒØ Ö Ð ÓÖ Ø Ó Ô Ò Ò i 1,...i p º ÇÒ Ò [ ZJ n ] = β 2 J 2 e2n i ( p ip a sa i...s a 1 ip )2 +β a i h is a i e βf({sa i }). {s a i } {s a i } º µ Ì ÙÒØ ÓÒ βf({s a i }) ÒÓØ Ö Ò ÓÑº ÁØ Ô Ò ÓÒ Ø Ô Ò Ú Ö Ð ÓÒÐÝ ÙØ Ø ÒÐÙ Ø ÖÑ Ø Ø ÓÙÔÐ Ö ÒØ Ö ÔÐ Ò βf({s a i }) J 2 Nβ2 2 a b ( 1 N p s a i i) sb + n β i a h i s a i. i º ¼µ ÁÒ ÛÖ Ø Ò Ø Ð Ø ÜÔÖ ÓÒ Û Ú ÖÓÔÔ Ø ÖÑ Ø Ø Ö Ù Ð Ò Ò N Ò ÓÑÔÐ Ø Ò ÐÓ Ý Û Ø Û Ø Û Ú ÓÒ ÓÖ Ø ÔÙÖ p Ô Ò ÖÖÓÑ Ò Øµº Ì ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ Nnβ 2 J 2 /2 ÓÖ Ò Ø Ò Ø Ø ÖÑ Û Ø a = b ÓÖ Û (s a i ) 2 = 1º

84 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÌÓ ÙÑÑ Ö Þ Û Ø ÖØ Û Ø Ò ÒØ Ö Ø Ò Ô Ò ÑÓ Ðº Æ ÜØ Û ÒÐ Ö Ø ÒÙÑ¹ Ö Ó Ú Ö Ð ÖÓÑ N Ô Ò ØÓ N n Ö ÔÐ Ø Ô Ò Ý ÒØÖÓ Ù Ò n ÒÓÒ¹ ÒØ Ö Ø Ò ÓÔ Ó Ø Ý Ø Ñº Ý ÒØ Ö Ø Ò ÓÙØ Ø ÓÖ Ö Û ÓÙÔÐ Ø Ø ÙØ Û Ô Ý Ø ÔÖ Ó ÓÙÔÐ Ò Ø Ö ÔÐ º À Ø ÖØÓ Ø Ö ÔÐ Ò Ø ÓÖÑ Ð ØÓÓÐ Ò¹ ØÖÓ Ù ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ú Ö ÓÚ Ö Ø ÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒº ÆÓØ Ò Ø Ò Ù ÓÒ Ö ÔÐ ÖÓÑ ÒÓØ Ö Ò Ò ÓÒ ÕÙ Ò Ø Ö ¹ Ò Ö Ý F({s a i }) ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö ÔÐ Ò º Ì Ò ÜØ Ø Ô ØÓ ÓÐÐÓÛ ØÓ ÒØ Ý Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý ÒØÓ Ò ÓÖ Ö¹Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ò ÒØ ÜÔÖ ÓÒ ØÓ Ö Ò Ö ÜØÖ Ñ Ð Ø Ø Ö ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ú ÐÙ º ÁÒ Ô Ò¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Û ÐÖ Ý ÒÓÛ Ø Ø Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÒÓØ Ø ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ÔÙÖ Ñ Ò Ø Ý Ø Ñ ÙØ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö q ÓÖ ÑÓÖ Ò Ö ÐÐÝ Ø ÓÚ ÖÐ Ô ØÛ Ò Ø Ø º Ï Ø Ò Ø Ö ÔÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ò ÓÚ ÖÐ Ô ØÛ Ò Ö ÔÐ q ab N 1 s a i sb i º ½µ i Ò ØÙÖ ÐÐÝ ÔÔ Ö Ò Õº º ¼µº Ì ØÓ ÛÖ Ø Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö q ab Ò ÐÓÓ ÓÖ Ø Ö ÜØÖ Ñ Ò ÓÑÔÐ Ø Ò ÐÓ Ý Û Ø Û Ø Ò ÓÒ ÓÖ Ø ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø ÖÖÓÑ Ò Øº Ì Ó ÓÙÖ ØÖ Ý Ù Ò Ò Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ñ ØÖ Ü Û Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ñ ÒØ n Ó Ò ØÓ Þ ÖÓ Ö Ô ÓÖ ÒØ Ý Ò Ø ÓÖÑ Ó Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖ Ø ÓÖÖ Ø Ð ¹ÔÓ ÒØ ÓÐÙØ ÓÒµ Ò ÔÖÓÔÓ Ý º È Ö Ò Ø Ð Ø ¼ Ò ÖÐÝ ¼ º Ì ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö ÒØÐÝ ÔÖÓÚ Ò ØÓ Ü Ø ÓÖ Ñ Ò¹ Ð ÑÓ Ð Ý ØÛÓ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ô Ý º Ù ÖÖ Ò Åº Ì Ð Ö Ò º Ï Ø Ö Ø Ú ÖÝ Ö Ô Ý Ð ØÖÙØÙÖ Ø Ø Ö Ú ÖÓÑ Ø Ö Ø Ö ÓÖÑ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÙÖÚ Ú Ò Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ Ö Ñ Ò Ù Ø Ó Ø º ÁÒØÖÓ Ù Ò Ø Ù Ò ÒØ Ö Ð dq ab e q ab i sa i sb i N 2 q2 N ab = e 2 ( 1 N i sa i sb i) 2 º ¾µ ÓÖ Ô Ö Ó Ö ÔÐ Ò a Ò b ÓÒ ÓÙÔÐ Ø Ø Ò i Ø Ú Ö Ö ÔÐ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Ö ÛÖ ØØ Ò [Z n J ] = ab dq ab e F(q ab) º µ Ò βf(q ab ) = Nβ2 J 2 q p ab 2 + n N ln ζ(q ab ), a b º µ ζ(q ab ) = s a e βh(q ab,s a), H(q ab, s a ) = J ab q ab s a s b h a s a º µ Û Ö ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û Ø h i = hº Ì ØÓÖ N Ò ÖÓÒØ Ó ln ζ ÓÑ ÖÓÑ Ø ÓÙÔÐ Ò Ó Ø Ø Ò º ÆÓØ Ø Ø Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º ¾µ ÖÚ ØÓ ÙÒÓÙÔÐ Ø Ø Ò

85 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ØÓ Ó Ø Ò Ø Ò Ø Ú ÖÝ Ù ÙÐ ØÓÖ N Ò ÖÓÒØ Ó Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ðº Ì Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Z(q ab ) Ø ÓÒ Ó ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Á Ò ÑÓ Ð Û Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü q ab º Ë Ð ¹ÔÓ ÒØ Ú ÐÙ Ø ÓÒ À Ú Ò ÜØÖ Ø ØÓÖ N Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ù Ø ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö q ab Û Ø Ø Ð ¹ÔÓ ÒØ Ñ Ø Ó º Ì Ó ÓÙÖ ÒÚÓÐÚ Ø ÔÖ ÓÖ Ò ÖÓÙ Ü Ò Ó Ð Ñ Ø N Ò n 0º Ì Ö ÔÐ Ø ÓÖÝ Ö Ð ÓÒ Ø ÙÑÔØ ÓÒº ÇÒ Ø Ò ÛÖ Ø lim [ f 1 J ] lim N n 0 n f(qsp ab ) º µ Ò Ö ÓÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø n(n 1)/2 ÜØÖ Ñ Þ Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ δf(q ab ) δq cd q sp ef = 0. º µ ÁÒ Ù Ù Ð Ð ¹ÔÓ ÒØ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ø Ð ¹ÔÓ ÒØ ÓÒ ÓÙÐ Ù Ö µ Ø ÓÒ µ Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÓÐÙØ Ñ Ò Ñ Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝº ÁÒ Ø Ö ÔÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú Ö Ð n(n 1)/2 Ø Ø ÓÑ Ò Ø Ú Û Ò n < 1 Ò Ñ Ø Ð ¹ÔÓ ÒØ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ØÖ Ýº ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÚÓ ÙÒÔ Ý Ð ÓÑÔÐ Ü Ö ÙÐØ ÓÒ Ò ØÓ ÓÙ ÓÒ Ø Ð ¹ÔÓ ÒØ Û Ø ÔÓ Ø Ú ÓÖ Ø Ð Ø Ñ ¹ÔÓ Ø Ú µ Ò Ø À Ò H f(q ab) q cd q ef q sp ab, º µ Ò Ø ÓÑ Ø Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ñ Ü Ñ Ò Ø Ó Ñ Ò Ñ µ Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝº Ì Ð ¹ÔÓ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ð Ó Ð ¹ÓÒ Ø ÒÝ ÕÙ Ø ÓÒ q sp ab = s as b H(qab,{s a}) = [ s a s b ] º µ Û Ö Ø ÓÒ Ñ Ñ Ö Ñ Ò Ø Ø Ø Ú Ö Ô Ö ÓÖÑ Û Ø Ø Ò Ð Ø À Ñ Ð¹ ØÓÒ Ò H(q ab, s a ) Ò Ø Ø Ö Ñ Ñ Ö Ù Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ö Û ÛÓÙÐ Ð ØÓ ÓÑ¹ ÔÙØ º Ì Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Õº º µ ÒÒÓØ ÓÑÔÙØ ÓÖ Ò Ö q ab Ò Ø Ö ÒÓ Ð Ö n Ð Ñ Ø ØÓ ÜÔÐÓ Ø ÓÒ Ø ÓÒØÖ ÖÝ n 0º Ì Ù ÓÒ Ù Ù ÐÐÝ ÐÓÓ ÓÖ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Õ º º µ Û Ø Ò ÖØ Ò Ñ ÐÝ Ó Ñ ØÖ q ab º Ï Ù ÐÓÛ Ø Ö Ð Ú ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ º Ê ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ ÊËµ ÁÒ ÔÖ Ò ÔÐ ÒÓØ Ò Ø Ò Ù ÓÒ Ö ÔÐ ÖÓÑ ÒÓØ Ö ÓÒ º Ì Ø Ö ÓÒ Û Ý Ë ÖÖ Ò ØÓÒ Ò Ã Ö Ô ØÖ ÐÓÓ ÓÖ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÔÖ ÖÚ Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ q ab = q, ÓÖ ÐÐ a b. º ¼µ

86 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÁÒ ÖØ Ò Ø Ò ØÞ Ò º µ Ò º µ Ò Ø Ò n 0 ÓÒ Ò dz pq q = e z2 /2 tanh 2 p 1 β z + βh. 2π 2 º ½µ Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ñ Ð ØÖÓÒ ÐÝ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ Ó Ø p¹ Ô Ò ÖÖÓÑ Ò Ø Õº ¾º µº Ä Ø Ù Ö Ø Ù Ø p = 2 º º Ø ËÃ ÑÓ Ðº ÁÒ Ø Ò Ó Ñ Ò Ø Ð ÓÒ Ò ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø T s = J ÖÓÑ Ô Ö Ñ Ò Ø q = 0µ ØÓ Ô Ò¹ Ð Ô Û Ø q 0º ÁÒ Ø ÔÖ Ò Ó Ð Ø Ö ÒÓ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒº ËÃ ÓÓÒ Ö Ð Þ Ø ÓÙ Ø Ø Ø Ö ÓÑ Ø Ò ÛÖÓÒ Û Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÒØÖÓÔÝ Ø Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø Ú S(0) = 1/(2π) Ò Ø ÑÔÓ Ð ÓÖ ÑÓ Ð Û Ø Ö Ø Ô Ò ÓÖ Û S ØÖ ØÐÝ ÔÓ Ø Ú º ÐÑ Ò Ì ÓÙÐ Ð Ø Ö ÓÛ Ø Ø Ø Ö ÓÒ ÓÖ Ø ÐÙÖ Ø Ø Ø Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖ Ð ¹ÔÓ ÒØ ÒÓØ Ø Ð Ò Ø À Ò º µ ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ò Ò Ø Ú ÒÚ ÐÙ º Ì ÒÚ ÐÙ Ö ÔÓÒ Ð ÓÖ Ø Ò Ø Ð ØÝ Ó Ø Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ ÐÐ Ø Ö ÔÐ ÓÒº ÓÑÔ Ö ÓÒ Û Ø Ø Ì È ÕÙ Ø ÓÒ ÓÛ Ø Ø Ø ÊË Ò ØÞ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ø ÐÓ Ð Ð h i = i i1...i ip J i1...i p m i1... m ip +h Ö Ò Ô Ò ÒØ Ò Ú Ù Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ú Ö h Ò Ú Ö Ò σ 2 = J 2 q p 1 º ÆÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ð ÖÐÝ ÓÛ Ø Ø Ø ÙÑÔØ ÓÒ ÒÚ Ð º ÁÒØ Ö Ø Ò ÐÝ ÒÓÙ Ø ÒÙÑ Ö Ð Ú ÐÙ ÓÖ Ú Ö Ð Ô Ý Ð ÕÙ ÒØ Ø Ó Ø Ò Û Ø Ø Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÒÓØ Ö ÑÙ Û Ø ÒÙÑ Ö Ð Ö ÙÐØ º ÓÖ Ò Ø Ò Ø ÖÓÙÒ Ø Ø Þ ÖÓ¹Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ö Ý Ò ØÝ E 0 = Û Ð Û Ø ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ò E º ÓÖ Ø p > 2 ÑÓ Ð ÓÒ Ò Ø Ø Ø Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ð Ø ÐÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø Ò Ø Ú ÒØÖÓÔÝ Ö Ñ Ò Ò ÓÙÐ ÓÐÚ Ý ÒÓØ Ö ÓÐÙØ ÓÒº Ì ØÖ Ò Ø ÓÒ ÑÙ Ø Ø Ò Ú Ô Ø Ó Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÒ Û Ø ÒÓØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÔÔ Ö Ò Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÓÑ Ò Ø ÑÓ Ø ÓÒÚ Ò ÒØ ÓÒ Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒº ÇÒ Ø Ô Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò Ì Ò ÜØ ÐÐ Ò ØÓ Ú Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò Ò ØÞ Ò Ø ÓÖÑ Ó Ñ ØÖ Ü q ab Ø Ø ÒÓØ ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó ÖÓÛ ÓÖ ÓÐÙÑÒ º Ì Ö ÒÓ Ö Ø ÔÖ Ò ÔÐ Û Ý Ó Ó Ò Ø Ò Ø Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ò ØÞ Ø Ö ÙÐØ Ó ØÖ Ð Ò ÖÖÓÖº ÁÒ Ò Ó Ñ Ò Ñ Ð Û Ý ØÓ Ö Ø Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ ØÓ ÔÖÓÔÓ ØÖÙØÙÖ Ò ÐÓ Ø ÓÒ ÓÛÒ Ò º ½ ¹Ð Øº Ì ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ö Ø ØÓ Þ ÖÓ Ò Ø ÊË º ËÕÙ Ö ÐÓ Ó Ð Ò Ö Þ m ÐÓ ØÓ Ø Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÐÐ Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö q 1 º Ì Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ö Ø Ó Ø Ñ ØÖ Ü Ø Ö ÒØ Ú ÐÙ q 0 Ò ÓÒ Ø 0 q 0 q 1 º Ì Ñ ØÖ Ü q ab Ô Ò ÓÒ Ø Ö Ô Ö Ñ Ø Ö q 0, q 1, m Ò ÓÒ ØÓ Ò Ø Ú ÐÙ Ù Ø Ø Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ñ Ü Ñ Þ Ì ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÜØÖ Ñ Ö f(q 0, q 1, m) = f(q 0, q 1, m) = f(q 0, q 1, m) = 0. º ¾µ q 0 q 1 m

87 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË q 1 q 1 q 0 q 2 q 2 1 o q q 2 1 q q 2 q 2 q 1 q 1 o q 2 q 0 o o o o o o q 0 q 1 q 0 q 2 q 2 q 1 q 1 q 2 ÙÖ ½ Ä Ø ÓÒ ¹ Ø Ô Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò ½ÊË µ Ò ØÞº Ê Ø ØÛÓ¹ Ø Ô Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò Ò ØÞº Ì Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ñ Ò ÓÒ Ð Ú Ò ÒØ ÐÐÝº ÁÒ Ø ½ÊË Ø ÓÒ Ð ÐÓ Ú Þ m mº ÁÒ Ø ¾ÊË Ø ÔÖÓ Ù Ö Ö Ô Ø Ò ÓÒ ÐÓ Ó Þ m 1 m 1 Û Ø Ñ ÐÐ Ö ÓÒ Ð ÐÓ Ó Þ m 2 m 2 º ÁÒ Ø ËÃ ÑÓ Ð p = 2µ Ø ½ÊË Ò ØÞ Ý Ð ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ q 0 = q 1 = 0 Ò m = 1 Ø Ö Ø Ð ØÝµ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T s = J Ø Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÒ ÔÖ Ø Ý Ø ÊË Ò ØÞº Ì ½ÊË ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ ÙÒ Ø Ð ÐÓÛ T s Ò Ò ÐÐ Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô º ÇÒ ÒÓØ ÓÛ Ú Ö Ø Ø Ø Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÒØÖÓÔÝ Ú Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ú Ò ÒÓÖÖ Ø Ø Ú ÐÙ Ø Ø ÐÓ Ö ØÓ Þ ÖÓ S(T = 0) 0.01 Ø ÖÓÙÒ Ø Ø Ò Ö Ý ÐÓ Ö ØÓ Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ò ÒÙÑ Ö ÐÐÝ Ò Ø Ö ÔÐ ÓÒ ÒÚ ÐÙ Ú Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ú Ò ÓÐÙØ Ú ÐÙ Ø Ø ÐÓ Ö ØÓ Þ ÖÓº ÐÐ Ø Ù Ø Ø Ø Ø ½ÊË Ò ØÞ ÐÓ Ö ØÓ Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒº ÁÒ Ø Ò ÐÐ Û Ø p 3 Ø ½ÊË Ò ØÞ Ø Ð ÐÓÛ Ø Ø Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T s Ò ÐÐ Ø Û Ý ÙÔ ØÓ Ò Û Ö Ø Ö Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ 0 < T f < T s º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓÒ Ò ÔÖÓÚ Ø Ø Ò Ø Ö Ò Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø ÑÓ Ð ÓÐÚ Ü ØÐÝ Ý Ø Ò ØÞº Ì Ö Ø Ð Ú ÓÙÖ ÕÙ Ø Ô ÙÐ Ö Û Ð Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö q 0 Ò q 1 ÙÑÔ Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÖÓÑ Ú Ò Ò Ú ÐÙ Ò Ø Ô Ö Ñ Ò Ø Ô ØÓ ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ú ÐÙ Ö Ø ÐÓÛ T s ÐÐ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò m = 1 Ø T s Ò ÐÐ q 0 Ò q 1 Ô Ò ÒØ Ø ÖÑ ÔÔ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ý 1 mº Ì Ñ Ü ØÝÔ Ó ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ø Ò ÔØ Þ Ö Ò ÓÑ Ö Ø¹ÓÖ Öº ÆÓØ Ø Ø ÓÖ Ö Û Ò Ø Ö Ø Ð Ú ÓÙÖ Ò Ø p 3¹ Ô Ò ÑÓ Ð º ÁÒ Ø Ð Ñ Ø p Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÑ m = T/T c q 0 = 0 Ò q = 1º k¹ Ø Ô Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò Ì Ò ØÙÖ Ð Û Ý ØÓ Ò Ö Ð Þ Ø ½ÊË Ò ØÞ ØÓ ÔÖÓÔÓ k¹ Ø Ô ÓÒ º ÁÒ Ø Ô Ø Ó ¹ ÓÒ Ð ÐÓ Ö Ð Ø ÙÒ Ò Û Ð Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ó Þ m k Ö ÖÓ Ò Ò Ø Ö Ø Ø Ô Ø Ù Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ö ÕÙ Ö ÐÓ Ó Þ m k+1 ÐÓ ØÓ Ø ÓÒ Ðº

88 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ø Ò Ö k¹ Ø Ô ÊË Ñ ÓÒ 0 q 0 q 1... q k 1 q k 1, º µ n = m 0 m 1... m k m k+1, Ô Ö Ñ Ø Ö º ÁÒ Ø n 0 Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ö Ò Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö m Ö Ú Ö º µ 0 = m 0 m 1... m k m k+1. º µ ÁÒ Ø ËÃ ÑÓ Ð ÓÒ Ò Ø Ø ÒÝ Ò Ø k¹ Ø Ô ÊË Ò ØÞ Ö Ñ Ò ÙÒ Ø Ð º ÀÓÛ¹ Ú Ö ÒÖ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö Ò Ð Ú Ð Ø Ö ÙÐØ ÓÒØ ÒÙ ØÓ ÑÔÖÓÚ Û Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÒØÖÓÔÝ ØØ Ò ÐÓ Ö ØÓ Þ ÖÓº ÁÒ Ø p 3 Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ø ¾ÊË Ò ØÞ ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ð ¹ÔÓ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ó Ð ÓÛÒ ØÓ Ø ½ÊË º Ì Ù Ø Ø Ø Ø ½ÊË Ò ØÞ Ø Ð Ò Ð Ó Û Ø Ø Ò ÐÝ Ó Ø À Ò ÒÚ ÐÙ Ø Ö ÔÐ ÓÒ ØÖ ÐÝ ÔÓ Ø Ú ÓÖ ÐÐ p 3º ÙÐÐ Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ø ÙÐÐ ÊË ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ö Ò ÔÖÓ ÙÖ Ø Ö Ø Ò Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ñ º Ì ÙÐÐ ÊË Ò ØÞ Ø Ù Ó Ø Ò Ò Ö Ð Þ Ø ÐÓ ØÖÙØÙÖ ØÓ Ò Ò Ò Ø ÕÙ Ò Ý ÒØÖÓ Ù Ò ÙÒØ ÓÒ q(x) = q i, m i+1 < x < m i º µ Û Ø 0 x 1º ÁÒØÖÓ Ù Ò q(x) ÙÑ ÓÚ Ö Ö ÔÐ Ö ØÖ Ý ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö x ÓÖ Ò Ø Ò 1 1 qab l n = dx q l (x). º µ 0 a b Ì Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ð Ó Ø ÙÒØ ÓÒ q(x)º Ì ÜØÖ Ñ Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ä Ò Ù ÜÔ Ò ÓÒ ÜÔ Ø ØÓ Ú Ð ÐÓ ØÓ Ø ÙÑ ÓÒ ÓÖ Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÑÔÐ Ø Ø Ó ÓÐÚ Ò Øº ÓÖ Ø ËÃ ÑÓ Ð ÓÒ Ò q(x) = { x, 2 0 x x 1 = 2q(1), q ea q max = q(1), x 1 = 2q(1) x 1, º µ Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ò T T c Û Ø q(1) = T T c /T c Ò x 1 = 2q(1)º Ì Ø Ð ØÝ Ò ÐÝ Ý Ð Ú Ò Ò Ö ÔÐ ÓÒ ÒÚ ÐÙ Ò ÐÐ Ò Ø Ø Ø ÙÐÐ ÊË ÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ö Ò ÐÐÝ Ø Ð º ÇÒ Ò Ð Ó Ö ÓÚ Ö Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ø ½ÊË Ù Ò q(x) Û Ø ØÛÓ ÔÐ Ø ÙÜ Ø q 0 Ò q 1 Ò Ø Ö Ò ÔÓ ÒØ Ø x = mº Å Ö Ò Ð ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ

89 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË 1 RS 1 1RSB 1 Full RSB qea qea qea q q q 0 0 x x x x x1 1 ÙÖ ½ Ì ÙÒØ ÓÒ q(x) ÓÖ Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖ Ð Øµ ÓÒ Ø Ô Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò ÒØ Öµ Ò ÙÐÐ Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò Ò ØÞ º ÁÒ Ø Ù ÓÒ ÓÚ Û Ó Ø ÜØÖ Ñ Ø Ø Ñ Ü Ñ Þ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ò Û Û Ö ÒØ Ö Ø Ò ØÙ Ý Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÔÖÓÔ ÖØ º Ï ÓÙÐ Ò Ø Ù Ö ÒØ ÔÖ Ö ÔØ ÓÒ Ø ÓÙ ÔÖ ÓÖ ÒÓØ Ù Ø Ò Ð Ø ÓØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ º ÓÖ Ü Ñ¹ ÔÐ Û Ò ÑÔÓ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ö Ò ÐÐÝ Ø Ð Ý Ö ÕÙ Ö Ò Ø Ø Ø Ö ÔÐ ÓÒ ÒÚ ÐÙ Ú Ò º ÁÒ Ø p = 2 Ø Ð ØÓ ÒØ Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Û Ø Ø Ù Ù Ð ÔÖ Ö ÔØ ÓÒ Ò Ø ÙÐÐ¹ÊË Ò ØÞ Ò ÒÝ Ñ Ö Ò ÐÐÝ Ø Ð º ÁÒ Ø p¹ Ô Ò ÑÓ Ð Û Ø p 3 Ò Ø Ø ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ø Ú Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ò Ò Ø Û Ý ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÝÑÔØÓØ Ú ÐÙ Ö Ú Û Ø Ø ØÓ Ø ÝÒ Ñ Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ö Ò ÓÑ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ º Ì ÕÙ Ø Ö Ñ Ö Ð Ö ÙÐØ Ò Û ÐÐ Ù Ø Ò ÑÓÖ Ø Ð Ò Ë Øº º º º½ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ö ÔÐ Ö ÙÐØ Ä Ø Ù ÒÓÛ Ù Ø ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø ÓÖ Ö ÑÓ Ð Ó Ø Ò Û Ø Ø ÓÖ Ø ÑÓÑ ÒØ Ö Ø Ö ØÖ Ø Ö ÔÐ ÓÖÑ Ð Ñº Ì ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ù Ú ÐÝ Ø ÒØ Ø ÓÒ Ó ÔÙÖ Ø Ø º Ì Ö Ò Ø ÓÒ ØÖ Ý Ñ ØØ Ö Ø Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ù Ò Ø Ð Ö º Ï ÐÐ Ù Ø ÙÑ Ø Ò ÓÒ Ò Ù Ø Ò ÐÓ Ý Û Ø Ø ÖÖÓÑ Ò Ø Ý Ø Ñ Ò Ø ØÛÓ ÔÙÖ Ø Ø Ò Ø Ì È Ö ÙÐØ Ø Ü ÓÖ Öº Û ÐÖ Ý ÒÓÛ Û Ö Ø ÔÙÖ Ø Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ ÒÙÑ Ö Øº Ò Ô Ò ÓÒ Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ò ÙØÙ Ø ÖÓÑ ÑÔÐ ØÓ ÑÔÐ º Ï ÐÐ Ô Ø Ò Ñ Ò Ò Ø Ö Ø Ó ÓÙÖ Ù ÓÒº Ä Ø Ù Ø Ò Ø Ò Ù Ø Ú Ö ÓÑÔÙØ Û Ø Ò ÔÙÖ Ø Ø Ò ÓÚ Ö ÐÐ ÓÒ ¹ ÙÖ Ø ÓÒ Ô º ÁÒ ÖÖÓÑ Ò Ø Û Ø ÒÓ ÔÔÐ Ñ Ò Ø Ð Ø ÑÔÐ ØÓ Ö Ô Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ö Ù Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ô Ö Ñ Ò Ø Û Ð Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ö Ö ØÛÓ Ø Ø Ø Û Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒº Á ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø Ú Ö Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ö ØÖ Ø ØÓ Ø Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú µ Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ò m eq > 0 m eq < 0µ Ò Ø ÙÑÑ Ò ÓÚ Ö ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ m eq = m eq m eq = 0 Ú Ò Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÆÓÛ ÓÒ ÓÒ Ö Ý Ø Ñ Û Ø ÑÓÖ Ø Ò Ù Ø ØÛÓ ÔÙÖ Ø Ø Ò ÓÒ Ð Ð Ø Ñ Û Ø Ö Ò Ú Ö Û Ø Ò Ù Ø Ø Ö ÒÓØ

90 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË O α Û Ð Ú Ö Ø Ò Û Ø Ø ÙÐÐ Ñ ÙÖ Ö ÜÔÖ O = α w J α O α. º µ w J α Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ø α Ø Ø Ú Ò Ý w J α = e βf J α Z J, Û Ø Z J = α e βf J α º½¼¼µ Ò Ø Ù Ø Ý Ò Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ α w J α = 1º F J α Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ØÓØ Ð Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø Ø Ø αº Ì ÔÖÓ Ð Ø Û ÐÐ Ø Ø Ø Ô Ò ÒØ Ú Ö Û ÐÐ ÓÛ ÑÔÐ ¹ØÓ¹ ÑÔÐ ÙØÙ Ø ÓÒ º ÇÒ Ò Ø Ò Ò Ò ÓÚ ÖÐ Ô ØÛ Ò Ø Ø q J αβ N 1 i s i α s i β = N 1 i m α i m β i º½¼½µ Ò ÙÑ Ø Ø Ø Ð ¹ÓÚ ÖÐ Ô ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø Û Ö ¹ Ò Ö ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö q J αα N 1 i s i α s i α = q J ea. º½¼¾µ Ì Ø Ø Ø Ó ÔÓ Ð ÓÚ ÖÐ Ô Ø Ò Ö Ø Ö Þ Ý ÔÖÓ Ð ØÝ ÙÒØ ÓÒ P J (q) αβ w J α wj β δ(q q αβ), º½¼ µ Û Ö Û ÒÐÙ Ù Ò Ü J ØÓ ØÖ Ø Ø Ø Ø Ø ØÖÓÒ ÐÝ ÑÔÐ ¹ Ô Ò ÒØ ÕÙ ÒØ ØÝº Ò ÖÖÓÑ Ò Ø ÑÓ Ð ÖÚ ØÓ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ñ Ò Ò Ó P J (q)º Ö Ø Ø Ö ÒÓ ÓÖ Ö Ò Ø Ó Ø J Ð Ð ÖÖ Ð Ú ÒØº Ë ÓÒ Ø ¹T ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø Û Ø q = 0º P(q) Ø Ò ÐØ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Û Ø 1 Ø Ð Ø Ô Ò Ð Ò º ½ µº ÁÒ Ø ÐÓÛ¹T Ô Ø Ö Ö ÓÒÐÝ ØÛÓ ÔÙÖ Ø Ø Û Ø ÒØ Ð Ø Ø Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ò q ea = m 2 º Ì Ù P(q) Ù Ø Ø ÙÑ Ó ØÛÓ ÐØ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Û Ø 1/2 ÒØÖ Ð Ô Ò Ð Ò º ½ µº Æ ÜØ ÓÒ Ò ÓÒ Ö Ú Ö ÓÚ Ö ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ò ØÙ Ý [ P J (q) ] dj P(J) wα J wj β δ(q q αβ). º½¼ µ αβ ÀÓÛ Ò ÓÒ P J (q) ÓÖ [ P J (q) ] ÁØ Ò ØÙÖ Ð ØÓ Ö ÓÒ Ø Ø P J (q) = Z 2 ( e βej(σ) e βej(s) δ N 1 ) σ i s i q σs i º½¼ µ Ø Ø ØÓ Ý P J (q) Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ò Ò Ò ÓÚ ÖÐ Ô q ØÛ Ò ØÛÓ Ö Ð Ö ÔÐ Ó Ø Ý Ø Ñ Û Ø ÒØ Ð ÓÖ Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T º Ì ¼

91 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÒØ Ø Ý Ú Û Ý ØÓ ÓÑÔÙØ P J (q) Ò Ø Ú Ö Ò ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ù Ø ØÓ ÑÙÐ Ø ØÛÓ Ò Ô Ò ÒØ Ý Ø Ñ Û Ø ÒØ Ð ÓÖ Ö Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò ÐÙÐ Ø Ø ÓÚ ÖÐ Ôº ÙØ Ø Ö Ð Ó Ù Ø Ý Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Û Ý ØÓ Ö Ð Ø Ø ÔÙÖ Ø Ø ØÖÙØÙÖ ØÓ Ø Ö ÔÐ Ñ ØÖ Ü q ab º Ä Ø Ù ÓÒ Ö Ø ÑÔÐ [ m i ] = = Z 1 J 1 Z n J s i e βe J({s i }) = Zn 1 J s 1 {s i Z n i e βej({s1 i }) } J {s 1 i } s 1 n i e β a=1 E J({s a i }) {s a i } º½¼ µ Û Ö Û Ò Ð ÓÙØ Ø Ö ÔÐ Ò Ü Ó Ø Ô Ò ØÓ Ú Ö º Ì Ö Ð Ø ÓÒ Ú Ð ÓÖ ÐÐ n Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÖ n 0º ÁÒ Ø Ð Ñ Ø Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖ ÔÔÖÓ ÓÒ Ò Ø Ú Ö ÓÚ Ö ÓÖ Ö Ò ÑÔÐÝ Ú ÐÙ Ø [ m i ] = s 1 e βeeff({sa i i }) {s a i } º½¼ µ Ò ÒØÖÓ Ù Ò Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ØÓÖ Z n = [ {s a i } e β n a=1 E J({s a i }) ] = e βeeff ({s a i }) Û Ú = 1 = {s a i } e β n a=1 E J({s a i }) [ m i ] = s a i E eff º½¼ µ Û Ø a ÒÝ Ö ÔÐ Ò Üº Ì Ú Ö Ø Ò ÓÚ Ö Ø Ñ ÙÖ Ó Ý Ø Ñ Û Ø Ø Ú À Ñ ÐØÓÒ Ò E eff º ÁÒ Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Û ÐÐ Ö ÔÐ Ö ÒØ Ð Ø Ö ÙÐØ ÓÙÐ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ð Ð aº ÁÒ Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò Ø Ú Ö ÓÒ Ø Ö Ø¹ Ò ¹ Ò ÒÓØ ÒØ Ð ÓÖ ÐÐ aº Ì ÓÙÐ ÓÙÖ Ò ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ Ð Ø ÓÖÝ Û Ø Ñ Ò ÓÒ n Ò Û ÒÓØ ÐÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ñ ÜÔ Ø Ú ÐÙ º ÓÖ ÙÐÐ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ú Ö ÓÒ Ø Ò ØÓ ÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ Ø Ò 1 n [ m i ] = lim s a n 0 i n. º½¼ µ Ä Ø Ù ÒÓÛ Ø Ð ØÖ Ú Ð Ó ÖÚ Ð Ò ØÙ Ý Ø Ô Ò¹ Ð ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö q q [ s i 2 ] = = = Z 1 J Zn 2 Z n {s i },{σ i } 1 Z n J {s i } a=1 s i e βe J({s i }) Z 1 J σ i e βe J({σ i }) {σ i } s i σ i e βe J({s i }) βe J ({σ i }) s 1 is 2 i e β n a=1 E J({s a i }) {s a i } ½ º½½¼µ

92 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÁÒ Ø n 0 Ð Ñ Ø Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖ ÕÙ Ð ØÓ ÓÒ Ò ÓÒ Ò Ø Ò Ô Ö ÓÖÑ Ø Ú Ö ÓÚ Ö ÓÖ Öº ÁÒØÖÓ Ù Ò Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ò q = s a is b i º½½½µ ÓÖ ÒÝ Ö ØÖ ÖÝ Ô Ö Ó Ö ÔÐ a b Ò s a i s a i = 1 ÓÖ Á Ò Ô Ò µº Ì Ú Ö ÓÒ Û Ø Ò Ø Ú Ø ÓÖÝ Ó n ÒØ Ö Ø Ò Ö ÔÐ Ö Ø Ö Þ Ý E eff ({s a i })º Ò Ø Ö Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò Ø ØÙ Ð Ø ÖÑ Ð Ú Ö Ø ÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ ÔÓ Ð Ô Ö Ó Ö ÔÐ Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÛÖ Ø q = lim n 0 1 n(n 1) q ab. a b q (k) = [ s i1...s ik 2 ] = lim n 0 1 n(n 1) ÇÒ Ò Ð Ó Ò Ö Ð Þ Ø Ö ÙÑ ÒØ ØÓ Ó Ø Ò P(q) = [ P J (q) ] = lim n 0 1 n(n 1) qab k. a b δ(q q ab ) a b º½½¾µ º½½ µ º½½ µ Ì Ù Ø Ö ÔÐ Ñ ØÖ Ü q ab Ò Ö ØÓ Ø ÓÚ ÖÐ Ô ØÛ Ò ÔÙÖ Ø Ø º ÆÓØ Ø Ø Ñ ÐÐ ÔÔÐ Ð Ø ÓÙ ÙÒÓÖÖ Ð Ø Û Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÙÖ Ø Ø Ò ÖÝ ØÓ Ú ÒÓÒ¹Þ ÖÓ ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò Ø Ò ÒÓÒ¹Þ ÖÓ q Ú ÐÙ º Ì ÙÒØ ÓÒ P(q) Ø Ò ÜØ Ò Ø ÓÒ ÔØ Ó ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ØÓ ÙÒØ ÓÒº ÁÒ Þ ÖÓ Ð Ø ÝÑÑ ØÖÝ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ÑÙÐØ Ò ÓÙ Ö Ú Ö Ð Ó ÐÐ Ô Ò ØÖ Ò Ð Ø ÒØÓ Ø Ø Ø Ø P J (q) ÑÙ Ø ÝÑÑ ØÖ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ q = 0º [ P J (q) ] Ò Ù ØÓ Ø Ò Ù ØÛ Ò Ø ÖÓÔÐ Ø Ô ØÙÖ ÔÖ Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ò¹ Ð ØÛÓ ÔÙÖ Ø Ø Ø Ø ÑÔÐÝ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ [ P J (q) ] = 1 2 δ(q q ea) δ(q + q ea) º½½ µ Ø ÒØÖ Ð Ô Ò Ð Ò º ½ µ Ò ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø ØÙ Ø ÓÒ Ò Û [ P J (q) ] Ø ØÛÓ ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ø ±q ea ÔÐÙ ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ú ÐÙ ÓÒ Ò Ø ÙÔÔÓÖØ Ö Ø Ô Ò Ð Ò º ½ µ ÓÙÒ Ò Ñ Ò¹ Ð Ô Ò¹ Ð ÑÓ Ð º Ì Ð Ò Ö Ù ÔØ Ð ØÝ Ì Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ø ÑÙÐØ ÔÐ ØÝ Ó ÔÙÖ Ø Ø Ø Ñ Ò Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Õº º¾ µ Ò Ù Ò º µ ÓÑ Tχ = T[ χ J ] = 1 1 [ s i 2 ] = 1 [ wα J N wj β ] q αβ = dq (1 q) P(q). º½½ µ i αβ Ì Ö Ö Ø Ò Ú Ö Ð ÔÓ Ð Ö ÙÐØ ÓÖ Ø Ù ÔØ Ð Ý Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ð Ú Ð Ó Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò Ò Ø Ý Ø Ñ ¾

93 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË high T RS Full RSB p p p -1 0 q 1-1 -m2 0 q m m2 0 q m2 1 ÙÖ ½ [ P J (q) ] Ò Ô Ö Ñ Ò Ø Ð Øµ Ò ÖÖÓÑ Ò Ø ÓÖ Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖ Ý Ø Ñ ÒØÖ µ Ò ÓÖ Ý Ø Ñ Û Ø ÙÐÐ ÊË Ö Øµº ÁÒ Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ Ò Ø ÖÓÔÐ Ø ÑÓ Ð χ = β(1 q ea ). º½½ µ Ì Ð Ó Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Û Ø Ò ÔÙÖ Ø Ø Ó Ý Ø Ñ Û Ø Ö Ð Ú Ð Ó ÊË º Ø Ø ÓÒ Ø Ô ÊË Ð Ú Ð Ø ÓÑ χ = β [1 (1 m)q ea ]. º½½ µ ÓÖ Ý Ø Ñ Û Ø ÙÐÐ ÊË ÓÒ Ò ØÓ ÒÓÛ Ø ÓÑÔÐ Ø P(q) ØÓ ÓÑÔÙØ χ Ò º½½ µº ÆÓØ Ø Ø Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÊË ÓÒ Ø Ô ÓÖ ÙÐÐµ Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Ð Ö Ö Ø Ò β(1 q ea )º Ý Ø Ñ Û Ø q ea = 1 Ò Ø ÙÐÐ ÐÓÛ¹Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ø Ê Å ÑÓ Ð ÓÖ p Ð Ñ Ø Ó Ø p Ô Ò ÑÓ Ð ÐÓÛµ Ù Ø ÓÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ø º ËÝ Ø Ñ Û Ø q ea < 1 ÐÓÛ T c Ú Ø Ø ÓÖÑ Ý ÒÙÑ Ö Ó Ö ÒØ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ð Ö Ò Nº ÆÓØ Ø Ø q ea < 1 Ñ Ò Ø Ø Ø ØÛÓ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ò ÒÙÑ Ö Ó Ô Ò Ø Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Nºµ Ì ÐÓ Ö Ø Ñ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ù Ù ÐÐÝ ÐÐ Ø ÒØÖ ¹ Ø Ø ÒØÖÓÔÝº Ú Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÙÖ Ø Ø Ò Ú ÖÝ Ð Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Nµ ÓÒÐÝ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ú ÒÓÒ¹Ò Ð Ð Û Øº Ì Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ü ÑÔÐ α wα 2 < + ËÝÑÑ ØÖÝ Ò Ö Ó ØÝ Ö Ò ÁÒ ÐÐ p 2 Ô Ò ÑÓ Ð Ø Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ò Ø T s Ø Û Ø Ö Ø Ö ØÖ Ø Ö ÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ ÖÓ Òº Ì ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò ÓÑÔ Ò Ý Ö Ó ¹ ØÝ Ö Ò Ò Ø Ù Ù Ð º Å ÒÝ ÔÙÖ Ø Ø ÔÔ Ö Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÒ Ø Ö Ú Ö s i s i ÓÙÒØ ÖÔ ÖØ ÙØ ÒÓØ ÐÐ Ó Ø Ñ Ö Ö Ð Ø Ý Ö Ð¹ Ô ÝÑÑ ØÖÝ ÔÖÓÔ ÖØ º

94 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÙÖ ½ Ì Ù ÕÙ ÒØ Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ËÃ ÑÓ Ðº Ì ÓÒ ¹ Ø Ô ÊË Ò Ö Ó ÁÒ Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ø¹ÓÖ Ö Ò ÓÒ ¹ÓÖ Ö Ô Ø º Ì ÓÖ Ö Ô Ö Ñ¹ Ø Ö q 0 Ò q 1 ÙÑÔ Ø Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ò Ö Ø¹ÓÖ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ ÙØ Ø Ø ÖÑÓ Ý¹ Ò Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ º Ì ÙÐÐ ÊË Ò Ö Ó Ê Ø ÐÓÛ T c Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò N ÒÙÑ Ö Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÔÔ Öº Ì ØÖ Ò ¹ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÔÔÖÓ Þ ÖÓ Ö Ø ÐÓÛ T c º ÄÓÛ Ö Ò ÙÖØ Ö Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ò Ñ ÒÝ ÓØ Ö ÓÒ º ÁÒ Ø Ò Ø ÙÐÐ Ô Ò¹ Ð Ô T < T c Ö Ø Ð³ Ò ÒÓØ ÓÒÐÝ Ø Ò Ð ÔÓ ÒØ T c º º º¾ Ì Ô ÒÒ Ò Ð Ï Ò Ò Ú ÖØ Ð ÓÓ ÔÓ Ð Ö Ø ÓÒ Ú Ò Ý ÒÓØ Ö Ð σ(x) Ò ÓÑÔÙØ Ø Ö Ò Ö Ý Ó ÓÙÖ Ý Ø Ñ Û Ò Ø Û ÐÝ Ô ÒÒ Ý Ø ÜØ ÖÒ Ð ÕÙ Ò Ð F φ [σ, g, β] = 1 β log dφ(x) e βh[φ] g 2 dx(σ(x) φ(x)) 2 º½½ µ Û Ö g > 0 ÒÓØ Ø ØÖ Ò Ø Ó Ø ÓÙÔÐ Ò º Ì Ö ¹ Ò Ö Ý º½½ µ Û ÐÐ Ñ ÐÐ Û Ò Ø ÜØ ÖÒ Ð Ô ÖØÙÖ Ò Ð σ(x) Ð Ò Ö Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÓØØÓÑ Ó Û ÐÐ Ó Ø ÙÒÔ ÖØÙÖ Ö ¹ Ò Ö Ý µº Ì Ö ÓÖ Û ÓÙÐ Ð ØÓ Ó Ø Ò Ù ÙÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ð Ò Ô Ý ÒÒ Ò Ø ÒØ Ö Ô Ó Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ σ(x) ØÓ ÐÓ Ø ÐÐ Ø Ø Ø Ò Û Ø Ý Ø Ñ Ò Ö Þ Ø Ö ÔÓÒØ Ò ÓÙ

95 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ö Ó ØÝ Ö Ò g 0µº ÓÖ Ò ØÓ Ø ÒØÙ Ø Ú Û ÒÓÛ ÓÒ Ö Ø Ð σ(x) Ø ÖÑ Ð Þ Ú Ö Ð Û Ø Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò F φ [σ, g, β]º Ì Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø Ð σ Ø ÒÚ Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖ βm Û Ö m ÔÓ Ø Ú Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ö ÓÖ Ö F σ (m, β) = lim 1 g 0 + βm log dσ(x) e βmf φ[σ,g,β] º½¾¼µ Ï Ò Ø Ö Ø Ó m ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÒØ Ö ÓÒ Ò ÐÝ ÒØ Ö Ø σ(x) Ò ÕÒº º½¾¼µ Ø Ö Ú Ò ÒØÖÓ Ù m ÓÔ φ ρ (x) ρ = 1...mµ Ó Ø ÓÖ Ò Ð Ð ØÓ Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ F σ (m, β) = lim 1 m g 0 + βm log dφ ρ (x) e β ρ H[φρ ]+ 1 2 ρ,λ gρλ dxφ ρ (x)φ λ (x) º½¾½µ ρ=1 Û Ö g ρλ = g( 1 m δρλ )º Ä Ø Ù Ò ØÛÓ ÑÓÖ ÕÙ ÒØ Ø Ö Ð Ø ØÓ Ø Ð σ Ø ÒØ ÖÒ Ð Ò Ö Ý W(m, β) = (mfσ) Fσ Ò Ø ÒØÖÓÔÝ S(m, β) = βm2 º Ë Ò Ø m m m = 1 Û ÐÐ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒØ Ö Ø Û ÐÐ Ù Ö Ø Ö F hs (β) W(m = 1, β) Ò S hs (β) S(m = 1, β) Û Ö hs Ø Ò ÓÖ Ò Ø Ø º Ï ØÖ Ø Ø S(m, β) Ò β 2 F φ Û Ö Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø ÒØÖÓÔ Ó Ø Ð σ Ò φ Ö ØÛÓ Ø ÒØ ÕÙ ÒØ Ø β Û Ø Ö ÒØ Ô Ý Ð Ñ Ò Ò º Ï Ò Ø Ô ÒÒ Ò Ð σ(x) Ø ÖÑ Ð Þ Ø Ø Ñ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ φ(x) Ø Ø Û Ò m = 1 ÓÒ ÖÓÑ ÕÒº º½¾½µ Ø Ø F φ (β) = F σ (m = 1, β)º Ì Ó Ø Ð ØØ Ö ØÓ ÓÑÔÓ F σ ÒØÓ Ø Ò Ö Ø Ò ÒØÖÓÔ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ó Ø Ò [ ] S hs (β) = β F hs (β) F φ (β) º½¾¾µ ÌÓ Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ø Ò Ò Ó Ø ÓÚ Ö Ð Ø ÓÒ Û ÐÐ ÒÓÛ ØÙÖÒ ØÓ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó ÓÖ Ö Ñ Ò¹ Ð Ý Ø Ñ º Ï ÐÐ ÓÛ Ø Ö ÓÖÓÙ ÐÝ Ú ÓÑ Ò ÐÝØ Ð Ö ÙÐØ Ö Ú Û Ø Ò Ø Ñ Ò¹ Ð Ì È Ò ÝÒ Ñ Ð ÔÔÖÓ º Ï ÐÐ Ø Ò Ù Ø Ô Ý Ð Ñ Ò Ò Ó ÒØ ØÝ º½¾¾µ ÓÖ Ø Ò Ö Ð Ó Ð Ý Ý Ø Ñ º º º ÓÙÔÐ Ò Ö ÔÐ Ò Ø Ø Ú ÔÓØ ÒØ Ð Ä Ø Ù Ø Ô Ò¹ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ {s} Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ø Ø ØÓ Ý Ö ÛÒ ÖÓÑ Ø ÒÓÒ Ð ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ P[{s}] = exp( ³ H[{s}])/Z(T ). ÇÒ ÓÑÔÙØ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø ØÓ Ô Ø Ý Ø Ñ Ø Ü ÓÚ ÖÐ Ô p = q s,σ Û Ø {s} Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ò Ò Ö Ð Ö ÒØ ÖÓÑ T µ V J (β, p, {s}) = T N ln Z J(β, p, {s}) f J (T); Z J (β, p, {s}) {σ} e βe J[{σ}] δ ( p q s,σ ) βnf J (T) = ln Z J (β) = ln e βej[{s}]. {s} º½¾ µ º½¾ µ º½¾ µ

96 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË f J (T) Ø ÓÖ Ö¹ Ô Ò ÒØ Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Û Ø ÓÙØ ÓÒ ØÖ ÒØºµ ÁÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ô Ò s i Ö ÕÙ Ò Ú Ö Ð ÓÒ Ø Ñ ÓÓØ Ò Ø Ö Ò ÓÑ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ø À Ñ ÐØÓÒ Òº ÇÒ Ø Ò ÙÑ Ø Ø V Ð ¹ Ú Ö Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ò Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ö Ö Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ {s}º ÇÒ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ø ØÛÓ Ú Ö NV (β, β, p) N[V J (β, p, {s})] J,{s} = {s} e β E J [{s}] Z J (β ) Ì Ú Ö Ò ÓÒ Ù Ò Ø Ö ÔÐ Ñ Ø Ó NV (β, β, p) = T lim lim n 0 m 0 {s} ( T ln Z J (β, p, {s}) f J (T)) ( e β E J [{s}] Z J (β ) n 1 ZJ ({s}; p, {s}) m ) 1 m J Ì Ò ÐÝØ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒ Ô Ö ÓÖÑ ÖÓÑ ÒØ Ö n Ò mº ÇÒ Ø Ò Z (n,m) = [ exp β n ] m H[{s a }] + β H[{σ α m }] {s a } {σ α } a=1 α=1 δ α=1 ( p) s 1 i σα i N i J J. º½¾ µ. º½¾ µ º½¾ µ Ø Ö Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ø ÓÖ Ö ØÖ Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ ¹ Ø Ö Q ab = 1 N s a i sb i, i R αγ = 1 σi α N σγ i i P aα = 1 s a i N σα i, i. º½¾ µ Û Ø a, b = 1,..., n Ò α, γ = 1,..., mº ÓÑ Ò Ò Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ò Ð (n + m) (n + m) Ñ ØÖ Ü ÓÒ Ò 1 N log Z(n,m) = 1 2 β 2 n a=1,b=1 ( ) Q P Q = P T R Q p ab + β2 m α=1γ=1 R p α,γ ) + 2ββ n m a=1 α=1 º½ ¼µ Paα p ) + 1 ÌÖ ln Q. 2 º½ ½µ Ï ÐÐ ÒÓØ ÔÖ ÒØ Ø Ø Ð Ó Ø ÊË Ò ØÞ Ö º ÇÒ ØÙ Ö ÒØ Ö Ò Ó β Ò β Ò Ò ÐÝ Ø Ñ Ò Ñ Ó V Û Ø Ö Ô Ø ØÓ pº ÁÒ º ½ Û ÓÛ Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÓÖ ÓÙÖ Ö ÒØ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T = T ÓÖ p = 3º ÖÓÑ ØÓÔ ØÓ ÓØØÓÑ Ø Ý Ö ÔÖ ÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ø Ò T d ÕÙ Ð ØÓ T d ØÛ Ò T d Ò T S Ò Ö Ø Ø T S º Ï Ò ÖÓÑ Ø ÙÖ Ø Ø ÓÖ T > T d Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÑÓÒÓØÓÒ ÐÐÝ ÒÖ Ò Ò Ø ÓÒÐÝ ÜØÖ ÑÙÑ Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø

97 º Ì Ö ÔÐ Ñ Ø Ó ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÙÖ ½ Ì ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒØ ÓÒ Ò Ø p = 3¹ Ô Ò ÑÓ Ð ÓÖ T = T Ò Ú Ö ÓÙ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÖÓÑ ØÓÔ ØÓ ÓØØÓÑ β = 1.59, β = β d = 1.63, β = 1.66, β = β S = 1.70,º Ç ÖÚ Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ö Ø ÔÖ ÒØ Ø Ø ÝÒ Ñ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ø Ø Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Þ ÖÓº Ñ Ò ÑÙÑ Ø p = 0º Ø Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T d Û Ö Ø ÝÒ Ñ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÔ Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ú ÐÓÔ ÓÖ Ø Ö Ø Ø Ñ Ñ Ò ÑÙÑ Û Ø p r 0º ÁØ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ Ó ÖÚ Ø Ø Ø Ò Ö Ý Ò Ø Ü ÔÓ ÒØ ÕÙ Ð ØÓ Ø ÝÑÔØÓØ Ú ÐÙ Ó Ø Ò Ö Ý Ò Ø ÓÙØ¹Ó ¹ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÝÒ Ñ º Ì Ñ ØÖÙ ÓÖ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö r Û ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ ÕÙ Ð ØÓ Ø ÝÒ Ñ Ð Û Ö ¹ Ò Ö ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Öº Ì ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ó Ú Ò Ü Ó Ò Û Ø Ø Ñ Ö Ò Ð ØÝ ÓÒ Ø ÓÒº ÁÒ Ø Ü ÑÔÐ Þ ÖÓ ÒÚ ÐÙ Ò Ø ÐÓÒ ØÙ Ò Ð ØÓÖ Ò Ø x = 1 Ø Ö ÔÐ ÓÒ Ò Ø ÐÓÒ ØÙ Ò Ð ÒÚ ÐÙ Ö Ò Ö Ø º Ì Ñ Ö Ò Ð ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û ÐÐ ÒÓÛÒ ØÓ Ú Ü Ø Ö ÙÐØ ÓÖ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ô¹ Ô Ò Ô Ö Ð ÑÓ Ð º Ï Ú Ó ÖÚ Ø Ø Ò Ò Ö Ð ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ Ò ÔÖ ÒØ Ò Ø ÔÓ¹ Ø ÒØ Ðº ÁÒ Ø p¹ Ô Ò ÑÓ Ð Ø ÔÔ Ò Ø Ø ØÛÓ Ñ Ò Ñ Ú ÐÓÔ Ø Ø Ñ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T d º Ì Ö ØÑÓ Ø ÓÒ Ø Ø Û Û ÐÐ ÐÐ ÔÖ Ñ ÖÝ Ø ÓÒ Û Ø p = r Û Ð Ø ÓØ Ö

98 º Ì Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ý ÑÓ Ð ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÓÒ ÖÝ p < rº ÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò T d Ø Ñ Ò Ñ Ú Ò Ø ÔØ º º Ö Ô Ö Ø Ý ÜØ Ò Ú ÖÖ Ö ÖÓÑ Ø ÓÐÙØ Ñ Ò ÑÙÑº Ì ÔÖ Ñ ÖÝ Ñ Ò ÑÙÑ ÐÝ ÒØ ÖÔÖ Ø º Ì Ö Ø Ý Ø Ñ ÒÓØ Ý s Ò Ø Ñ ÔÙÖ Ø Ø Ø Ý Ø Ñ σº ÁÒ Ø Ö ÓÒ T S < T < T D Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÙÖ Ø Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ð Ö Ò N N = e NΣ(T) º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ò Ò ØÛÓ Ý Ø Ñ Ò Ø Ñ Ø Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ñ ÐÐ Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ e NΣ(T) º Ì Ö Ò Ö Ý Ó Ø ØÓ ÓÒ ØÖ Ò ØÛÓ Ý Ø Ñ ØÓ Ò Ø Ñ Ø Ø Ø Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÐÓ Ö Ø Ñ Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò Ñ ÐÝ Û Ú V primary = TΣ(T). º½ ¾µ Ó Ö ÒØÐÝ Ø Ø Ø Ø Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T = T S ÓÒ Ò V primary = 0º Ì ÕÙ ÒØ ØÝ Σ Ò ÓÑÔÙØ ÓÖ Ø p¹ Ô Ò ÑÓ Ð Ò Ö º Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ì È ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ú Ò Ö Ò Ö Ý Ò Ó Ò Û Ø ÓÙÖ ÐÙÐ Ø ÓÒº Ì ÓÒ ÖÝ Ñ Ò Ñ ÓÙÐ Ó Ó Ø ØÓ Ñ Ø Ø Ð Ø Ø ÙØ Ø ÔÖ ÒØ Û Ó ÒÓØ Ú Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ñº Ì ÓÒÐÙ ÓÒ ÓÒ Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Û Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ì È ÕÙ Ø ÓÒ ÓÐ Ð Ó Ò Ø ÊÇÅ Ò Ø Ò Ö Ù Ý Ò Ö º ÓÒ Ò Ö Ð ÖÓÙÒ º Ì ØÙ Ý Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÓÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò T S ÛÓÙÐ Ö ÕÙ Ö ØÓ Ø ÒØÓ ÓÙÒØ ÊË Ø Û ÛÓÙÐ ÓÑÔÐ Ø Ø Ø Ò ÐÝ º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ô Ý ÐÐÝ Ð Ö Ø Ø Ø Ô Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ø Ø Ö ÓÒ Ø ÒÓØ Ö ÒØ ÕÙ Ð Ø Ø Ú ÐÝ ÖÓÑ Ø ÓÒ Ø T = T S º ÁØ Ñ Ò ÑÙÑ Û Ö r = p Ö ÕÙ Ð ØÓ Ø Û Ö Ò Ö ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø Ú ÐÙ Ó ÔÓØ ÒØ Ð Þ ÖÓº Ì ØÙ Ý Ó Ø Ø Ú ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ö ÒØ Ú Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø ÓØ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÑÓ Ð º Ï ÐÐ ÒÓØ Ú ÐÓÔ Ø Ö º º Ì Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ý ÑÓ Ð Ì Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ý ÑÓ Ð Ê Åµ Ö Ý Ø Ñ Û Ø 2 N Ò Ô Ò ÒØ Ò Ö Ý Ð Ú Ð E i Û Ø Ù Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ p(e) = (2πNJ 2 ) 1/2 e E2 (2NJ 2 ). º½ µ ÐÐ p¹ Ô Ò Á Ò ÑÓ Ð Ó Ò Ú 2 N Ò Ö Ý Ð Ú Ð Û Ø Ù Ù Ò ØÖ ÙØ ÓÒº ÁÒ p(e) = DJ ii...i p P(J i1...i p )δ(e J ii...i p s i1...s ip ) = (2πNJ 2 ) 1/2 e E2 (2NJ 2 ) i 1...i p º½ µ Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ó Ø Ô Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº ÓÖ Ò Ø p Ö ÒØ Ò Ö Ý Ð Ú Ð Ö ÒÓØ Ò ¹ Ô Ò ÒØ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ÙØ Ø Ý Ó ÓÑ Ò Ô Ò ÒØ Ò Ø Ð Ñ Ø p p(e 1,...,E k ) = p(e 1 )...p(e k ), º½ µ

99 º Ì Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ý ÑÓ Ð ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË 1/Tc E/N chi Cv 0 -Eo/N Tc/T ÙÖ ¾¼ Ì Ò Ö Ý¹ Ò ØÝ Ô Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Ó Ø Ê Åº ÓÖ ÒÝ ÒØ Ö kº Ì Ö ¹ Ò Ö Ý βf({e i }) Ô Ò ÓÒ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ó Ø 2 N Ò Ö Ý Ð Ú Ð º ÁÒ Ø Ð Ö N Ð Ñ Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ð ¹ Ú Ö Ò ÕÙ ÒØ ØÝ lim N [ f({e i }) ] f({e i }) = 0 Ò lim N [ f 2 ({E i }) ] (f({e i })) 2 = 0º ÇÒ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ø Ú Ö β[ F ] = de i P(E i ) ln Z({E i }) i º½ µ Û Ø Z({E i }) 2 N i=1 e βe i = de δ(e E i ) e βe. º½ µ ÇÒ Ò Ö Þ Ò Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø T c = 1/(2 ln2) Û Ö Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ¹ Ô Ò ÒØ Ò Ö Ý Ò ØÝ E(T)/N Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ú ÐÙ E 0 /N = J ln 2 Ò Ø Ô ¹ Ø Ò ÒØÖÓÔÝ Ú Ò º Ì Ñ Ò Ø Ù ÔØ Ð ØÝ Ó ÖÓÑ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÙÖ Ð Û χ = 1/T ØÓ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ú ÐÙ χ = 1/T c Ø T c º Ì ÒÙÑ Ö Ó Ø Ø Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð [E, E + de] N 0 (E)dE = 2 N (2πNJ 2 ) 1/2 e E2 (2NJ 2 ) = e N(ln 2 (E/N)2 /2J 2 ) º½ µ Á Ø Ô Ö ÒØ Ò Ø Ú N 0 (E) 0 Ò Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø Ø Ú Ò Ò ÒØ ÐÐÝ N 0 (E) ÓÒ Ø ÒØ Ò ÓØ ÖÛ N 0 (E) Ú Ö ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝº ÇÒ Ø Ò Ö Ø Ð Ò Ö Ý¹ Ò ØÝ e 2 c = 2J 2 ln 2 ÓÚ Û Ø Ö Ö ÒÓ Ò Ö Ý Ð Ú Ð º ÐÓÛ Ø Ð Ú Ð Ø Ö Ö N(E < E) = NE de N 0 (E ) = NE de e N(ln 2 (E /N) 2 /2J 2) e N(ln 2 (E/N)2 /2J 2) º½ µ

100 º Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË T dis T pure 0 T loc ÙÖ ¾½ Ø Ó Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ò Ø ÒØ Ö Ð ÓÑ Ò Ø Ý Ø ÙÔÔ Ö Ð Ñ Øº ÁÐ ÓÒ Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø ÑÓ Ð Σ(E) = k B ln N(E) = k B º½ ¼µ ÁØ Ð Ö Ø Ø Ø ÐÓÛ Ø Ò Ö Ý Ð Ú Ð E i = E 0 + ǫ i Û Ø ǫ i Ò Ø ÓÑ Ò Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÑ º½ µ Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÇÒ Ó Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ p(e i ) Ý Ð Ò Ö Þ Ò º½ µ p(ǫ) = { βc e βc(ǫ ǫc) ǫ < ǫ c, 0 ǫ > ǫ c, º½ ½µ Û Ø ǫ c ÙØ¹Ó Ò Ö Ýº Ì Ú ÓÙÖ Ó Ø ÐÓÛ¹T Ô Ò Ô Ò ÒØ Ó ǫ c Ò Û ÐÐ Ò Ò Ø Ð Ñ Ø N ǫ c Û Ø Ne βcǫc Ò Ø º ÁÒ Ø Ð Ñ Ø Ø Ò ØÝ Ó Ð Ú Ð Ø ÒÝ ǫ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØº º Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ Ï Ø ÖØ ÒÓÛ Ø Ù ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ø Ó Ô Ò¹ Ð ÑÓ Ð Ý Ö Ò Ö Ý Ð Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò Ø ÖÓÔÐ Ø Ø ÓÖÝº Ë Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ Ò Ù ØÓ ØÙ Ý ÓØ Ö ÑÓ Ð Û Ø ØÖÓÒ ÓÖ Ö Ñ Ò ÓÐ Ò Ö Ò ÓÑ ÔÓØ ÒØ Ðº º º½ Ì Ö Ø Ô Ì Ø Ó ÕÙ Ò ÓÖ Ö ÓÛ ÙÔ ÐÖ Ý Ò Ø Ô Ö Ñ Ò Ø Ô Ó Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ º ÐÓÛ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ó Ø ÔÙÖ ÒÓ ÓÖ Öµ Ò Ø Ö ÓÒ Ó Ø Ý Ø Ñ Ò ÓÖ Ö Ù ØÓ ÙØÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÙÔÐ Ò º Ì Ø Ó Ö Ò ÓÑ ÖÖÓÑ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ º ÐÙØÙ Ø ÓÒ Ò ÓÒ Ò Ù Ø Ø Ò Ú Ò Ö ÓÒ Ø Ý Ø Ö Ú ÐÙ Ø Ò ÓÒ Ú Ö º ÁÒ ÔÖ Ø Ø Ø ÛÓÖ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ø Ø Ö Ø Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó Ø ÙÐÐ Ý Ø Ñ Tc dis Ô ÖØ ÙÐ Ö Ö ÓÒ Ò Ú Ø Ú Ò Ø Ú Tc loc Ø Ø ØÙ ÐÐÝ Ö Ø Ò T c º ¾½º Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÙØÙ Ø ÓÒ Ò Ñ Ö ÓÒ ÑÓÖ Ô Ö Ñ Ò Ø Ø Ò Ø Ú Ö Ø J ij ³ Ø Ñ ÐÐ Ö Ú ÐÙ [ J ij ]º ÆÓØ Ø Ø T c ØÝÔ ÐÐÝ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ J Ø ØÖ Ò Ø Ó Ø ÖÖÓÑ Ò Ø ÓÙÔÐ Ò º ÁÒ Ø ÓÖ Ö Û ÒÓÖÑ Ð Þ Ø J ij ³ Ò Ù Û Ý Ø Ø [ J ij ] = J pure º Ï Ò Ø Ò ÓÑÔ Ö Ø ÓÖ Ö Ò Ø ÔÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ ºµ Ì ÔÖÓÔ ÖØ Ñ Ò Ø Ò ÒÓÒ¹ Ò ÐÝØ Ø Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ø Ø ÔÔ Ö Ò ÙÐÐ ÒØ ÖÚ Ð Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÚ Ò ÐÓÛµ Ø Ö Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó Ø ÓÖ Ö ÑÓ Ð ÓÛÒ Ý Ö Ø º ÓÖ Ò Ø Ò Ú Ø ÓÒ ÖÓÑ ÙÖ ¹Ï χ = 1/T µ ½¼¼

101 º½¼ ÖÓÔÐ Ø Ò ÓÑ Ò¹Û ÐÐ Ø Ò ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ú ÓÙÖ ÔÔ Ö ÐÓÛ Ø Æ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó ÐÙØ ÒØ ÖÖÓÑ Ò Ø Ò ÙÒ ÓÖÑ Ð º Ì Ö ÓÑ Ø Ñ Ö Û Ø ÄÓÖ ÒØÞ Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÐÓ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Û Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÖ ¹Ï Ð Û Ø T º ÁØ Ð Ö Ø Ø Ö Ø Ø Û ÐÐ Ð Ó Ø Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ÓÚ Ö Þ Ò º Ï ÐÐ ÒÓØ Ù Ø ØÙÖ Ò Ø Ð Ö º º½¼ ÖÓÔÐ Ø Ò ÓÑ Ò¹Û ÐÐ Ø Ò Ä Ø Ù ÒÓÛ Ù Ø Ù ÓÒ ÑÔÐ Ö ÙÑ ÒØ Ø Ø Ø Ø Ó Û Ø Ò ØÓ Ö Ú Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÖÓÔÐ Ø Ø ÓÖÝ Û Ø ÓÙØ ÒØ Ö Ò ÒØÓ Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ º ÁØ Ð Ö Ø ØÖÙØÙÖ Ó ÖÓÔÐ Ø Ñ Ò Ò Ô Ø Ò Û Ø Ô Ò ÔÓ ÒØ Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÔÔÓ Ø Ø Ø ÔÐ Ý Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÓÐ Ò Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ú ÓÙÖ Ó Ý Ø Ñ ÙÒ Ö Ó Ò Ô ØÖ Ò Ø ÓÒº Ø Ö Ø Ð ØÝ ÓÒ Ó ÖÚ ÓÖ Ö ÓÑ Ò Ó Ø ØÛÓ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø ÐÐ Ð Ò Ø Ð Û Ø Ö Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ º Ê Ø ÓÚ T c Ò Ø Ô Ø Ó Ø Ý Ø Ñ Ö Ò ÓÖ Ö ÙØ Ø Ó ÒÓØ ÒÐÙ Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ò Ò Ø ÑÔÐ Ò Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ Ú Ò º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ô Ø Ö ÒÓÙ ØÓ Ò Ö Ø ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓÔ ÖØ Ú ÖÝ ÐÓ ØÓ T c Ò Ø Ö Ò Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò º Åº Ö Ò ÓØ Ö Ú ÐÓÔ ÖÓÔÐ Ø Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ Ð Ø ÓÖÝ ÓÖ Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò Ò Ð Ò Ý Ø Ñ º Ä Ø Ö º Ëº Ö Ò º ÀÙ ÜØ Ò Ø Ö ÙÑ ÒØ ØÓ Ö Ø Ø Ó ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ò Ô Ò¹ Ð Ò ÓØ Ö Ö Ò ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ø Ó¹ ÐÐ ÖÓÔÐ Ø ÑÓ Ðº Ö Ø Ð ÖÓÔÐ Ø Ò ÖÖÓÑ Ò Ø Ä Ø Ù ØÙ Ý Ø Ø Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÖÖÓÑ Ò Ø Ô ÙÒ Ö Ò ÔÔÐ ÜØ ÖÒ Ð Ð Ø Ø Ø Ò ØÓ Ø Ð Þ Øº Á Û Ø T = 0 Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ù Ø Ø Ò Ö Ýº ÁÒ Ø ÖÖÓÑ Ò Ø Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø Ó Ô Ö Ð ÖÓÔÐ Ø Ó Ö Ù R Ó Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ô Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ Ø ÔÔÐ Ð Ñ Ò Ø ÓÑ Ò ÒØ ÓÒ º ¾¾¹Ð Øµ F(R) = 2Ω d R d hm eq + Ω d 1 R d 1 σ 0 º½ ¾µ Û Ö σ 0 Ø ÒØ Ö Ð Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ Ø Ò Ö Ý Ó Ø Ó Ø ÓÑ Ò Û ÐÐµ Ò Ω d Ø ÚÓÐÙÑ Ó d¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÒ Ø Ô Ö º Ï ÙÑ Ö Ø Ø Ø ÖÓÔÐ Ø Ö ÙÐ Ö ÙÖ Ò ÚÓÐÙÑ Ù Ø Ø Ø Ý Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ R d 1 Ò R d Ö Ô Ø Ú ÐÝº Ì Ü Ö ¹ Ò Ö Ý Ö Ñ Ü ÑÙÑ F c = Ω d d Ω d d 1 Ω d d ( d 1 2dhm eq ) d 1 σ d 0 º½ µ Ø Ø Ö Ø Ð Ö Ù R c = (d 1)Ω d 1σ 0 2dΩ d hm eq, º½ µ ½¼½

102 f º½¼ ÖÓÔÐ Ø Ò ÓÑ Ò¹Û ÐÐ Ø Ò ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË fc droplet free-energy R h 0 m 0 Rc R ÙÖ ¾¾ Ä Ø Ø ÖÓÔÐ Øº Ê Ø Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ f(r) Ó Ô Ö Ð ÖÓÔÐ Ø Û Ø Ö Ù Rº º ¾¾ h > 0 Ò m > 0 Ö Ø Ò Ú ÐÖ Ý Ò Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØµº Ì Ö ¹ Ò Ö Ý Ö Ò Ú Ò Ø F(R 0 ) = 0 R 0 = Ω d 1σ 0 2Ω d hm eq. º½ µ Ë Ú Ö Ð ØÙÖ Ö ØÓ ØÖ Ì ÖÖ Ö Ú Ò Ò d = 1 Ò Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ð Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ó R Ò Ø º ÓØ R c Ò R 0 Ú Ø Ñ Ô Ò Ò ÓÒ hm eq Ø Ý ÑÓÒÓØÓÒ ÐÐÝ Ö Û Ø ÒÖ Ò hm eq Ú Ò Ò ÓÖ hm eq Ò Ú Ö Ò ÓÖ hm eq 0º ÁÒ ÝÒ Ñ Ø ÖÑ Ø Ø Û ÐÐ Ù Ð Ø Ö Ø Ô ÓÚ Ø ÖÖ Ö ÓÒ Ú Ø ÖÑ Ð Ø Ú Ø ÓÒ ÓÓÒ Ø Ý Ø Ñ Ö Ø Ø Ó Ø ÖÖ Ö Ø ÖÓÐÐ ÓÒ Ø Ö Ø Ó ÔÓØ ÒØ Ð³ F Ò Ø ÚÓÖ Ð Ô ÒÙÐ Ø º ÐÓÒ Ø Ö Ø Ð Þ R c ÒÓØ Ö Ø ÖÓÔÐ Ø ÒÓØ ÚÓÖ Ð Ò Ø Ý Ø Ñ Ö Ñ Ò ÔÓ Ø Ú ÐÝ Ñ Ò Ø Þ º ÁÒ Ø Ü ÑÔÐ Ø Ð Ö Ú Ø Ý Ø Ñ ÖÓÑ ÓÒ Ø Ø ØÓ Ø ÓØ Öº ÁÒ ØÙ Ó Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Þ ÖÓ ÜØ ÖÒ Ð Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ö Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ö ÒØ Þ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö Ø Ö ÚÓÙÖ Ð ÓÖ ÒÓØº Ì ØÙ Ý Ó ÖÓÔÐ Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ù ÙÐ ØÓ Ø Ð Û Ø Ö Ò ÓÖ Ö Ô Ò Ü Ø Ø ÐÓÛ ÙØ Ò Ø µ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÇÒ Ø Ò ØÙ Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø ÓÖ Ö Ø Ò Ð Ö ÖÓÔÐ Ø Û Ø Ø ÖÑ Ð ÙØÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ Ý Ø Ð Þ Ø ÓÖ Ö Ô Ò Ø Û Ý Û Ú ÓÒ Û Ø Ø ÑÔÐ Á Ò Òº ÁÒ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö Ò ØÛ Ò Ò ÓÖ Ö Ò ÓÖ Ö Ô Ø Ö Ø Ò ÓÖ Ö ØÝµº ÁÒ Ò ÓÖ Ö Ô Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø ÓÖ Ò Ò ÓÒ Ô ÖØ Ó Ø Ý Ø Ñ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓØ Ö Ô ÖØ Ö Û Ý Ó Ø ÓÖ Ö k B T Ò Ù Ù ÐÐÝ ½¼¾

103 º½¼ ÖÓÔÐ Ø Ò ÓÑ Ò¹Û ÐÐ Ø Ò ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ú Ö ÔÓÛ Ö Ð Û Ó Ø Ý Ø Ñ Þ º ÁÒ ÓÖ Ö Ô Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø Ö Ú Ö Ô ÖØ ÔÖÓÔ Ø ÓÒÐÝ Ò Ø Ø Ò Ó Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø ÐÓÛµ Ò Ø Ø Ò Ú Ò º Ì ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ù Ù ÐÐÝ ÓÒ ÓÐÐÓÛ º ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÖ ÑÓÖ Ò Ö ÐÐÝ Ø ØÛÓ ÖÓÙÒ Ø Ø µ Ö ÑÔÓ Ø Ø ÓÔÔÓ Ø ÓÙÒ Ö Ó Ø ÑÔÐ º ÓÑ Ò Û ÐÐ Ø Ò Ò Ö Ø ÓÑ Û Ö Ò Ø ÙÐ º ÁØ Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø º º Ø Ö Ò ØÛ Ò Ø Ö ¹ Ò Ö Ó Ø ÑÓ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ Ñ ÙÖ Ò ÓÒ Ø Ø Û Ò Ö Ø Ò Û ÐÐ ÚÓÙÖ Ð º Ì ÁÑÖÝ¹Å Ö ÙÑ ÒØ ÓÖ Ø Ö Ò ÓÑ Ð Á Ò ÑÓ Ð Ì ÖÖÓÑ Ò Ø Á Ò ÑÓ Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ð Ò Ò Õº º½ µº ÁÒ Þ ÖÓ ÔÔÐ Ð Ò ÐÓÛ ÒÓÙ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ d > 1 Ø Ö Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ØÛ Ò Ô Ö Ñ Ò Ø Ò ÖÖÓÑ Ò Ø Ô º ÍÒ Ö Ø Ø Ó Ö Ò ÓÑ Ð Û Ø Ú ÖÝ ØÖÓÒ ØÝÔ Ð ØÖ Ò Ø Ø Ô Ò Ð Ò Û Ø Ø ÐÓ Ð ÜØ ÖÒ Ð Ð Ò Ø Ý Ø Ñ Ô Ö Ñ Ò Ø º ÁØ ÓÛ Ú Ö ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ó Ö Ð Ø Ú ÐÝ Û Ö Ò ÓÑ Ð ÓÒ Ø ÖÖÓÑ Ò Ø Ô Ø Ù ÒØÐÝ ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ì ÐÓÒ ¹Ö Ò ÖÖÓÑ Ò Ø ÓÖ Ö ÓÙÐ ÔÖ ÖÚ ÓÖ Ð Ø Ð ÓÙÐ ÒÓÙ ØÓ Ö ÙÔ Ø Ý Ø Ñ ÒØÓ Ð Ö ÙØ Ò Ø ÓÑ Ò Ó Ø ØÛÓ ÖÖÓÑ Ò Ø Ô º ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ö ÙÑ ÒØ ØÓ Ø Ñ Ø Û Ø Ö Ø ÖÖÓÑ Ò Ø Ô ÙÖÚ Ú ÓÖ ÒÓØ Ò ÔÖ Ò Ó Ø ÜØ ÖÒ Ð Ö Ò ÓÑ Ð Ù ØÓ ÁÑÖÝ Ò Å Ò Ø ÑÔÐ ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ù ÓÒ Ò Ë Øº ¾º º Ä Ø Ù Ü T = 0 Ò Û Ø ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ð º Á ÓÑ Ò D Ó Ø ÓÔÔÓ Ø ÓÖ Ö Ý ÓÛÒµ Ö Ø Û Ø Ò Ø ÙÐ Ó Ø ÓÖ Ö Ø Ø Ý ÙÔµ Ø Ý Ø Ñ Ô Ý Ò Ò Ö Ý Ù ØÓ Ø ÙÒ Ø Ð Ò ÐÝ Ò ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ø Ø E border 2JL d 1 º½ µ Û Ö L Ø Ð Ò Ö Ð Ò Ø Ó Ø ÓÖ Ö Ò d 1 Ø Ñ Ò ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ö Ó ÓÑ Ò Ñ Ò d Ñ Ò ÓÒ Ð ÚÓÐÙÑ ÙÑ Ò Ø ÓÑÔ Øº Ý Ö Ø Ò ÓÑ Ò ÓÙÒ ÖÝ Ø Ý Ø Ñ Ò Ð Ó Ò Ñ Ò Ø Ò Ö Ý Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÓÑ Ò Ù ØÓ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ð E rf hl d/2 º½ µ Ò Ø Ö Ö N = L d Ô Ò Ò Ø ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ð Ò Ø L Ò Ù Ò Ø ÒØÖ Ð Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ñ h j D s i h N = hl d/2 º Ì ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ò Ö Ý Ð Ý Ð ( ) 2 JL d 1 0 hl d/2 h d 2 0 L0 º½ µ J ÁÒ Ø Ð Ö L Ð Ñ Ø E Ú Ö ØÓ + Û Ø ÒÖ Ò L Ò d > 2º Ì Ñ Ö Ò Ð d = 2 ÑÓÖ Ù ØÐ Ò Û Ó ÒÓØ Ù Ø Ò Ø Ð Ö º ÇÒ Ò Ð Ó Ö ÓÖ Ò ÜØÖ Ñ Ò E(L) Ò Ò ( ) 2 4J(d 1) L c. º½ µ hd Ë Ú Ö Ð ÓÑÑ ÒØ Ö Ò ÓÖ Ö ½¼

104 º½¼ ÖÓÔÐ Ø Ò ÓÑ Ò¹Û ÐÐ Ø Ò ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË ÁÒ d = 1 Ø Ò Ö Ý Ö Ò ÑÓÒÓØÓÒ ÐÐÝ Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ó L Ø Ù Ù Ø Ò Ø Ø Ø Ö Ø ÓÒ Ó ÖÓÔÐ Ø Ú ÖÝ ÚÓÖ Ð Ò Ø Ö ÒÓ ÖÖ Ö ØÓ ÖÓ ØÓ Ó Øº ÁÒ d > 2 Ø Ò Ö Ý Ö Ò Ö Ø Ö ÖÓÑ E(L = 0) = 0 ØÓ Ö Ò Ø Ú Ñ Ò ÑÙÑ Ø L c Ò Ø Ò ÒÖ ØÓ Ô Ø ÖÓÙ Þ ÖÓ Ø L 0 Ò Ú Ö Ø Ò Ò ØÝº Ì Ò Ø Ø Ø Ø Ö Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ò Ø Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÒÓØ ÚÓÖ Ð Ò d > 2º ÂÙ Ø ÓÑ Ò Ó Ò Ø Ð Ò Ø ÙÔØÓ L 0 Ò Ö Ø º ÆÓØ Ø Ø L 0 ÒÖ Û Ø h/j Ò d > 2 Ò Ø Ù Ö Ð Ø Ò ØÓ Ò Ö Ø Ð Ö Ö ÖÓÔÐ Ø Ò Ø Ù ÓÖ Ö Ø ÑÔÐ º Ï Ø Ø Ö ÙÑ ÒØ ÓÒ ÒÒÓØ ÓÛ Ø Ü Ø Ò Ó Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø h c ÒÓÖ Ø Ò ØÙÖ Ó Øº Ì Ö ÙÑ ÒØ Ù Ø Ø Ø Ù Ø Ø Ø ÓÖ Ö Ò ÙÔÔÓÖØ Ý Ø Ý Ø Ñ Ø Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ñ ÐÐ Ð º Ò Ð Ø Ð Ò Ò Ö Ò ÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð Ä Ø Ù Ø Ò ÒØ Ö ÑÓ Ð Ó Ø ØÝÔ Ò Ò Õº º¾¼µ Û Ø N = 1º Á ÓÒ ÙÑ Ø Ø Ø ÒØ Ö Ñ Ò ÜÙÖ ÓÒ Ó ÐÓÒ ØÙ Ò Ð Ð Ò Ø L Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ø φ Ø Ð Ø Ò Ö Ý Ó Ø E elast = c 2 d d x ( φ( x)) 2 E elast cl d (L 1 φ) 2 = cl d 2 φ 2 º½ ¼µ Á Ø ÜÙÖ ÓÒ Ù ÒØÐÝ Ð Ö Ø ÒØ Ö Ñ Ø φl d / d+1 ÑÔÙÖ Ø Ø Ø ØÓ Ý Ø ÚÓÐÙÑ Ó Ø ÔÐ Ñ ÒØ ÓÚ Ö Ø ØÝÔ Ð ÚÓÐÙÑ ØÛ Ò ÑÔÙÖ Ø Ú Ò Ý Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ó ÓÖ Ö ØÓ Ø ÔÓÛ Ö Ú Ò Ý Ø ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ò ÓÒ µº ÑÔÙÖ ØÝ ÔÔÐ Ô ÒÒ Ò ÓÖ Ó Ø ÓÖ Ö Ó dv/dφ W/ d Ò Ø Ò Ø Ò Ö Ý Ò Ù ØÓ Ø Ö Ò ÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð E random W/ d. º½ ½µ Ì Ð Ò ØÛ Ò Ø Ó Ø Ó Ð Ø Ò Ö Ý Ò Ø Ò Ò Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ý Ð ØÓ φ (L/ξ) (4 d)/3 º½ ¾µ Û Ö ξ = (c 2 4 /W) 1/(4 d) Ø Ä Ö Ò Ð Ò Ø Ò α = (4 d)/3 Ø ÐÓÖÝ ÜÔÓÒ ÒØ ÓÖ Ø ÖÓÙ Ò Ó Ø ÙÖ º ÇÒ Ø Ò ÓÒÐÙ Ø Ø ÓÖ d > 4 ÓÖ Ö ÖÖ Ð Ú ÒØ Ò Ø ÒØ Ö Ø φ 0 Û Ò L µº Ë Ò Ø Ð Ò Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ø Ò Ö Ý Ø Ù ÓÒ Ð Ò ØÓ Õº º¾¼µ ÓÐ ÓÒÐÝ φ/l 1 Ø Ö ÙÐØ º½ ¾µ Ñ Ý ÓÐ ÓÒÐÝ ÓÖ d > 1 Û Ö α < 1º Ì 3d Û Ö ¹ Ò Ö ÓÒ ÑÓ Ð Ò ÙÒ ÓÖÑ Ñ Ò Ø Ð Ú ÖÝ Ñ Ð Ö Ö ÓÒ Ò Ù ØÓ Ö Ù Ø Ø Ø Ö ÒÒÓØ Ô Ò¹ Ð ÓÖ Ö Ò Ò Û Ö ¹ Ò Ö ÓÒ ÑÓ Ð Ò Ò ÜØ ÖÒ Ð Ð º Ì ÓÒÐÝ Ö Ò Ø Ø Ø ÓÑ Ò Û ÐÐ ½¼

105 º½½ Ê Ò ÓÑ Ñ Ò ÓÐ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ò Ö Ý Ö ÙÑ ØÓ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ L y Û Ø Ò ÔÖ ÓÖ ÙÒ ÒÓÛÒ d¹ Ô Ò ÒØ ÜÔÓÒ ÒØ y Ø Ø Ö Ð Ø ØÓ Ø ÓÑ ØÖÝ Ó Ø ÓÑ Ò º ÓÑÑ ÒØ Ì Ö ÙÑ ÒØ Ö Ý ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Û Ò ÓÒ ÒÓÛ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø º Ì Ý ÒÒÓØ Ù Ò ÑÓ Ð Ò Û Ø Ò Ö Ý ÒÓØ ÐÓÛÐÝ Ú ÖÝ Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÑ Ò Û ÐÐ ÔÓ Ø ÓÒº º½¼º½ Ì ÖÓÔÐ Ø Ø ÓÖÝ Ì ÖÓÔÐ Ø Ø ÓÖÝ Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ Ð ÑÓ Ð Ø Ø ÙÑ Ø Ø Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ó Ô Ò¹ Ð ÑÓ Ð ÓÒÐÝ ØÛÓ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ö Ð Ø Ý Ò ÓÚ Ö ÐÐ Ô Ò Ôº ÁØ Ø Ò Ö Ø Ö Ñ Ð Ö ØÓ ÖÖÓÑ Ò Ø ÓÒÐÝ Ø Ø Ø Ò ØÙÖ Ó Ø ÓÖ Ö Ò Ø ØÛÓ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÒÓØ Ý ØÓ Ø ÒÓØ Ù Ø ÑÓ Ø Ô Ò ÔÓ ÒØ Ò ÙÔ ÓÖ ÑÓ Ø Ô Ò ÔÓ ÒØ Ò ÓÛÒ Û Ø ÓÑ Ø ÖÑ Ð ÙØÙ Ø ÓÒ Û Ø Òº Ø Ð Ò ÓÒ ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ò Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò ÑÓÖ Ð ÓÖ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ØÓ Ñ ÙÖ ØÓ Ó ÖÚ Ø ÓÖ Öº Ì Ô Ò¹ Ð Ô Ø Ò ÐÐ Ù ÖÖÓÑ Ò Ø Ò Ù Ù Ð ÔÓÒØ Ò ÓÙ ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ö Ð Ø Ô Ò Ö Ú Ö Ð ÝÑÑ ØÖÝµ Ð Ò ØÓ Ù Ù Ð Ö Ó ØÝ Ö Ò ÙÔÔÓ ØÓ Ø ÔÐ Ø T c º ÇÒ Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ò ÓÒ Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ Ö ÙÑ ÒØ Ö Ù ØÓ Ö Ø Ð Ò Ú ÓÖ Ó Ú Ö Ð Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒØ Ø º Ì Ö ÙÐØ ÓÙÒ Ö Ø Ò ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú ÐÝ Ö ÒØ ÖÓÑ Ø ÓÒ ÓÖ ÖÖÓÑ Ò Ø ÙØ ÒÓ ÒÓÚ ÐØ ÔÔ Öº ÌÇ ÈÄ ÁÆ º½½ Ê Ò ÓÑ Ñ Ò ÓÐ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ ÌÇ ÈÄ ÁÆ º Èº ÓÙÒ ÓÛ ØÓ ÐÐ ÓÖ Ö Ò Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ Ø Ø Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó ÓÖ Ö ÑÓ Ð Ø T = 0 Ò d Ñ Ò ÓÒ Ó Ò Û Ø Ø Ó Ó Ø ÔÙÖ Ð Ñ Ø Ø Ò Ø T Ò d 2 Ñ Ò ÓÒ º Ì Ð ØÓ Ø ÔÙÞÞÐ Ø Ø ÓÖ Ö Ô Ò ÑÓ Ðº Ì ÐÙÖ Ó Ø ÔÖÓÓ Ò Ò ÖÓÑ Ø ÙÒØ ÓÒ Ðµ Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ ØÙ Ý Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ º Ä Ö Ò³ Ö ÙÑ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ö Ò ÓÑ Ñ Ò ÓÐ Ú Ò ÙÔÔ Ö Ö Ø Ð Ñ Ò ÓÒ d c = 4º Á Ø Ù Ù Ð Ô ÖØÙÖ Ø Ú Ö ÙÑ ÒØ ÔÔÐ Ø Ò ÓÚ Ø Ñ Ò ÓÒ Ø Ò [ h( x) h (0) 2 ] x 4 d = x 2α º½ µ Û Ö (4 d)/2 Ø ÖÓÙ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ù Ò Û Ö ¹Ï Ð Ò ÓÒµ ÑÓ Ð Ò d 2 Ñ Ò ÓÒ Ò Õº µ Ý Ð α d EW = (2 d)/2 Ø Ø Ø Ö d d 2 ÑÔÐ α (d 2) EW = (4 d)/2 º Ì ÙÒØ ÓÒ Ð Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ Ø Ò ÕÙ Ù Ø Ø Ø ÙÐÐ ÔÖÓ Ð ØÝ ¹ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÓÖ Ö Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø Ø Ôº ÁÒ Ø Ö Ò ÓÑ Ñ Ò ÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØÖ Ò Ð Ø ÒØÓ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ò ǫ = 4 d ÜÔ Ò ÓÒ Ú Ð Ö k ÒØ Ö Ø ÓÒº Ì ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÓÛ ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð Ù Ô Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ú ÐÓÔ ÐÓ ØÓ Þ ÖÓ Ö ÙÑ ÒØº Ì Ð ØÓ ÐÝ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð T 0 Ð Ñ Ø Ø Ø ÒÚ Ð Ø Ø ½¼

106 º½½ Ê Ò ÓÑ Ñ Ò ÓÐ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÖÓÙÔ ÁËÇÊ Ê Ë ËÌ ÅË Ù Ù Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ Ò Ø Ù ÜÔÐ Ò Û Ý Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÙØ ÓÒ Ó ÒÓØ Ö ÐÐÝ ÓÐ º ½½ ½ ÜÔÐ Ò Ø Ö ÔÐ ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ ØÓÓ ½¼

107 ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë ËØÓ Ø ÔÖÓ Ë ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ØÓ Ø Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø Ð Ñ Ò Û ÙÑ Ø Ø Ý Ø Ñ Ò Ö Ò Ø ÖÑ Ó ÓÐØÞÑ ÒÒ¹ ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÓÛ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ö Û Ö Ò Ø Ý ÓÐØÞÑ ÒÒ Ñ Ð µ Ò Ð ØÓ Ø Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ø ÓÙØ ÖÖ Ú Ö Ð ØÝ Ò Ø ÖÖÓÛ Ó Ø Ñ º ÐØ ÓÙ Ø ÓÒ ÔØÙ Ð Ù Ö ÓÖÑ Ð ÓÒ Ò Ø Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Û Ò ÔÓ ØÙÐ Ø Ø Ò ØÙÖ Ó Ø ÓÙÔÐ Ò ØÛ Ò Ú Ò Ý Ø Ñ Ò Ø ÖÑ Ð Ø Ù Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ð Ø Ò ÔÖ Ò ÔÐ Ö Ø ÐÓÒ Ø Ñ º Ì ÒÓÛÒ Ø Ä Ò Ú Ò ÔÔÖÓ Û ÔÖÓÚ ÓÒ Ø ÒØ Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ÝÒ Ñ Ó Ý Ø Ñ Ù Ø ØÓ Ø ÖÑ Ð ÒÓ Ù Ø Ø Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÔÖÓ Ù Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ¹ ØÖ ÙØ ÓÒº ÇÒ Ò ÒØ Ö Ø Ò ØÙ Ø ÓÒ Ù Ø Ø Ø ÝÒ Ñ ÓÙÐ Ð Ø ÐÓÒ Ø Ñ ØÓ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÙØ Ø Ø Ñ Ò ØÓ Ó Ó Ø Ö Ò Ò Ø ÓÖ Ú ÖÝ Ð Ö ÓÑÔ Ö ØÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø Ñ Ð º Ì Ý Ø Ñ Ö Ù Ù ÐÐÝ Ö ÖÖ ØÓ Ð Ý³º ÁÒ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÔØ Ö ÔÖ ÓÖ Ù Ð Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ý Ø Ñ Ò Ö ÒØÐÝ Ó ÝÒ Ñ Ð Ò ØÙÖ º Ì Ø ÓÖ Ø Ð Ö Ñ ÛÓÖ Ú Ð Ð ØÓ Ö Ø ÝÒ Ñ Ó Ý Ø Ñ Ù Ø ØÓ Ø ÖÑ Ð ÒÓ ÓÓ ÓÖ ÓØ º ÐÑÓ Ø ÒÝ Ô Ý Ð Ý Ø Ñ Ù Ø ØÓ ÙØÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ú Ò ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖ Ò Ò»ÓÖ Ò ÓÒÐÝ Ö Ø Ö Þ ÓÒÐÝ Ø Ø Ø ÐÐÝº Ì ÒÓ ÓÒ Ó Ø Ñ Ò ¹ Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ü Ò Ó Ò Ö Ý ØÛ Ò Ø Ý Ø Ñ Ò Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø ÓØ Ö ÓÑÔ ÒÝ Ò ØÙÖ Û Û ÐÐ Ò ÑÓÖ Ø Ð ÐÓÛ Ô Ø ÓÒº Ì Ø Ñ ÚÓÐÙ¹ Ø ÓÒ Ó Ý Ø Ñ ÓÙÔÐ ØÓ Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ò Ö Ò ØÛÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ Û Ý º ÇÒ Ø Ä Ò Ú Ò ÔÔÖÓ Ø Ø ÓÒ Ø Ò ØÙ Ý Ò Æ ÛØÓÒ³ ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Ø ÖÑ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ð ÒÓ º Ì ÓØ Ö Ö ÔØ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø Ò ÓÒ ÖÒ Û Ø Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ö Ð Ú ÒØ Ö Ó Ö ÓÑ Ó Ø Ý Ø Ñº ÓØ ÔÔÖÓ ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ Ú ÖÝ Ù ÙÐ ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò Ø ÝÒ Ñ Ó ÑÓ Ð Ý Ø Ñ º Ì ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ó Ø Ò ÙÑ ØÓ Ø Ø Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ú Ò Ø ÑÔ Ö¹ ØÙÖ º ÁÒ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ñ ÒÝ Ý Ø Ñ Ó ÕÙ Ð Ö Ø Û Ø Ù Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø Ö ÓÖØ ØÖ Ò ÒØº Ì ÝÒ Ñ Ó ÕÙ Ð Ö Ø Ý Ø Ñ Ú Ö Ð Ô Ð ØÙÖ Ø Ø Û Ð Ó Ö Ú Û Ò Ø ÔØ Öº ÀÓÛ Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ö ÑÓ Ò Ý Ø Ñ Ø Ø Ò Ú Ö Ö ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÙÖÖ ÒØ ÒØ Ö Ø Ò Ö Ö ÙØ Û ÐÐ ÒÓØ Ú ÐÓÔ Ø Ö º º½ Ì Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ì Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ ¹ ÐÐÝ Ð Ö Ú Ö ØÝ Ó ÔÖÓ Ð Ñ º ÁØ Ö Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ó ÐÓÛ Ú Ö Ð ÓÙÔÐ ØÓ ÑÙ Ð Ö Ö Ø Ó Ø Ú Ö Ð Ø Ø Ö Ù Ù ÐÐÝ ÙØ ÒÓØ Ò Ö ÐÝµ ¹ Ì Ö Ñ Ø Ó ÓÙÖ Ý Ø Ñ Ø Ø Ò Ú Ö Ö Ø ÖÑ Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ù Ö Ú Ò Ô Ø Ú Ý Ø Ñ ÓÖ Ü ÑÔÐ º ½¼

108 º½ Ì Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë ÙÑ ØÓ Ò Ø ÖÑ Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ú Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ï Ö Ø ÒØÖÓ Ù Ø Ò Ø ÓÒØ ÜØ Ó ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒ Ò Ð Ø Ö Ö Ú Ø Ò ÑÓÖ Ò Ö Ð ØÝº º½º½ ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒ Ì ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒ Ø ÖÖ Ø ÑÓØ ÓÒ Ó Ñ Ó ÓÔ ÓÐÐÓ Ð Ô ÖØ Ð Ò Ø Ñ ÖÓÑ Ø Ö Ö Ò µ ÑÑ Ö Ò Ò ÕÙ Ð Ö Ø Ù Ñ ÙÔ Ó ÑÙ Ð Ø Ö ÑÓÐ ÙÐ º Ì Ö Ý ÑÓØ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓ Ð Ô ÖØ Ð Ù ØÓ Ø ÓÐÐ ÓÒ Û Ø Ø ÑÓÐ ÙÐ Ò Ø Ð ÕÙ º ÃÒÓÛ Ò Ø Ø Ò Ú Ù Ð ÓÐÐ ÓÒ Ø Ø ØÖ ØÓÖÝ Ó Ø Ô ÖØ Ð Ý Ø ÒÝ ÑÓÙÒØ Ä Ò Ú Ò ÔÖÓÔÓ ØÓ ÓÐÐ Ø Ø Ø Ó ÐÐ ÑÓÐ ÙÐ Ò Ø Ù Ò Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ Ö Ò ÓÑ ÓÖ º Á Ø Ô ÖØ Ð ÑÓÚ Ò d Ñ Ò ÓÒ Ñ m Ø ÒØ Ö Ó Ñ ÔÓ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ t Ö ÔÖ ÒØ Ý x = (x 1,...,x d ) Ò Ø Ú ÐÓ ØÝ v = x Æ ÛØÓÒ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ö m v(t) = F( x, t) + f(t). º½µ Ì ÓÖ F Ò Ø ÐÐ ÜØ ÖÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ø ÓÖ Ò Ô Ò Ò Ò Ö Ð Ð Ó ÓÒ Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð x Û Ð f Ö ÔÖ ÒØ Ø Ò Ø ÓÖ Ü ÖØ Ý ÐÐ Ø Ò Ú Ù Ð ÑÓÐ ÙÐ Ò Ø Ù ÓÒ Ø Ñ Ú Ô ÖØ Ð º Ì Ð ØØ Ö Ô Ò ÓÒ Ø Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÔÓ Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÑÓÐ ÙÐ Ò Ö Ô ÐÝ ÙØÙ Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ º Ì Ö Ø Ö Ø Ø Ñ ÓÖ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ö Ð Ø ØÓ Ø Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð ØÛ Ò Ù Ú ÓÐÐ ÓÒ Ø Ø Û ÐÐ τ c Ò Ò Ø Ñ Ø ØÓ Ó Ø ÓÖ Ö Ó Ø Ô Ó¹ ÓÒ ÓÖ Ú Ò ÓÖØ Ö ÓÖ ØÝÔ Ð Ð ÕÙ º Ù ØÓ Ø Ö Ô ÙØÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ ¹ Ô Ò Ò Ó Ø ÓÖ f ÒÒÓØ Ô º ÇÒ Ò Ò Ø Ñ Ö ÓÒ Ð ÙÑÔØ ÓÒ ÓÙØ Ø Ú Ö ÓÚ Ö Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ð Ñ ÖÓ ÓÔ ØÙ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ö Þ Ø Ò Ø Ø Ø Ð Ø ÖÑ º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ ÓÒ ÓÒ Ö Ò Ò Ñ Ð Ó n Ý Ø Ñ Ñ Ó ÓÒ ØÖ Ö Ô ÖØ Ð ÑÓÚ Ò Ò Ù Ò Ø Ø Ö ÔÖ Ô Ö Ò ÒØ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ò Ñ Ð ¹ Ú Ö ÕÙ ÒØ Ø O(t) = 1 n n k=1 O (k) f (t), º¾µ Û Ø Ø Ð Ð k ÒØ Ý Ò Ø ÓÔÝ Ò Ø Ò Ñ Ð Ò O Ò Ó ÖÚ Ð Ø Ø Ô Ò ÓÒ Ø ÓÖ fº ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ÓÒ Ò ÓÒ Ö Ò Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Û ÓÒ Ù n ÒØ Ð ÒÓÒ¹ ÒØ Ö Ø Ò ØÖ Ö Ô ÖØ Ð ÑÓÚ Ò Ò Ø Ñ ÙÑºµ ÕÙ Ø ÓÒ º½µ ÑÔÐ Ø Ø Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ò Ú ÐÓ ØÝ Ó Ø Ô ÖØ Ð Ö ÓØ ÙØÙ Ø Ò ÕÙ ÒØ Ø Ø Ø Ô Ò ÓÒ fº Ì Ñ Ø Ò ØÓ ÔÖ Ø Ø Ú Ö Ö ÙÐØ Ò Ø ÙØÙ Ø ÓÒ µ ÓÚ Ö Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÒØ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ÓÚ Ö Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó Ô ÖØ Ð ÔÖÓÚ Ø Ö ÒÓÒ ÒØ Ö Ø Ò º ÁÒ Ø Ò Ó ÜØ ÖÒ Ð ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÙÐÐÝ ÓØÖÓÔ Ò Ø Ò Ñ Ð ¹ Ú Ö Ú ÐÓ ØÝ Ò ÓÒÐÝ Ú Ò º Á ÓÛ Ú Ö Ø Ô ÖØ Ð ÕÙ Ö ÒÓÒ¹Ú Ò Ò Ú ÐÓ ØÝ Ì Ó ÒÓØ Ñ Ò ÓÛ Ú Ö Ø Ø Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ö Ò ÓÑ ÓÖ ÓÖØ Ö Ò Ò Ø Ñ º Ù Ó ÑÓÑ ÒØÙÑ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ø ÙÖÖÓÙÒ Ò Ù Ø Ö ÔÔ Ö ÒÓÛ Û ÐÐ ÒÓÛÒ ÐÓÒ Ø Ñ Ø Ð³ Ò Ø ÓÖ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÒÐÝ Ý Ò t 3/2 Ò Ø Ö Ñ Ò ÓÒ º ½¼

109 º½ Ì Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë v Ø Ò Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Û ÐÐ Ö Ø Ò Ò Ù ÒÓÒ Þ ÖÓ ÓÖ Û Ý ÝÑÑ ØÖÝ ÑÙ Ø Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ó vº Ì Ù ÓÒ Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÑÔÓ Ø ÓÒ f = f 1 (v) v + ξ, º µ Û Ö f 1 ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÑÓ ÙÐÙ Ó v Ò ξ Ò ÓØÖÓÔ Ö Ò ÓÑ ÓÖ Ø Ø ÖÑ Ð ÒÓ Ø Ø Ô Ø Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð Ø Ò Ñ Ø ÓÖ Ò Ò Ø Ö Ò ÓÑ ÒÓ Ø Ø ÓÒ Ò ØÙ ÐÐÝ Ö Ò Ð ØÖ ÖÙ Ø µº ξ Ú Ò Ò Ò Ñ Ð ¹ Ú Ö Ø Ò Ø ÒØ t ξ i (t) = 0 ÓÖ ÐÐ i Ò ÐÐ Ø Ñ º Ì Ú Ö ÓÚ Ö Ö ÒØ Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ØÓÖÝ Ó Ø Ý Ø Ñ ÒØÖÓ Ù Ò ÕÒ º¾µ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÓÛ ØÓ Ò Ú Ö ÓÚ Ö ØÓÖ Ó Ø Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ Ö Ò ÓÑ ÓÖ ξº Ì Ù Ò ÓÖØ Ø Ò ÙÐ Ö Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ N t d O(t) = dξ i (t j ) P[ξ i (t j )] O ξ (t j ) j=0 i=1 Dξ P( ξ) O ξ (t), Û Ö P[ξ i (t j )] Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ÓÙÖÖ Ò Ó ξ i Ø Ø Ñ t j = jδ Û Ø j = 1,..., N t Ò δ Ò Ò Ò Ø Ñ Ð Ø Ñ ¹ ÒØ ÖÚ Ðº ÁÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÓÚ Û ÛÖÓØ Ø ÜÔÐ ØÐÝ Ò Ò Ø Ø Ö Ø ÖÑ Û Ù ÓÖØ¹ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ø Ø Û ÓÔØ Ö Ø Öº Ì Ù Ò Ü ξ Ò O Ò Ø Ø Ø Ø Ú ÐÙ Ø Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ò Ô Ò ÓÒ Ø Ø ÖÑ Ð ÒÓ Ö Ð Þ Ø ÓÒº Ì ÑÔÐ Ø ÙÑÔØ ÓÒ ÓÖ f 1 (v) Ø Ø Ø Ø Ò ØÓ ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ Ñ ÐÐ Ú ÐÓ Ø Ð Ò ØÓ Ø Ñ Ð Ö Ö Ø ÓÒ ÓÖ f 1 (v 0) v = γ v γ > 0, º µ Ø Ø ÓÔÔÓ Ø ÑÓØ ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð º Ì Ö Ø ÓÒ Ó ÒØ γ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø Ö Ú Ó ØÝ η Ó Ø Ñ ÙÑ γ = cη > 0 Û Ø c ÓÒ Ø ÒØ Ó ÓÑ ØÖ ÓÖ Ò Ø Ø Ô Ò ÓÒ Ø Þ Ò Ô Ó Ø ÓÐÐÓ Ð Ô ÖØ Ð º Ï Ò Ø Ñ ÙÑ ÒÓÖÑ Ð Ù Ò Ø Ô ÖØ Ð Ô Ö Ó Ö Ù a Ø Ø ÑÙ Ð Ö Ö Ø Ò Ø Ñ Ò Ö ¹Ô Ø Ó Ø ÑÓÐ ÙÐ ÓÒ c = 6πa Ò ÓÒ Ö ÓÚ Ö Ø ËØÓ Ð Û ÓÖ Ô Ö Ð Ô ÖØ Ð Ò Ú ÓÙ Ù º Ì Ö Ø ÓÒ Ó ÒØ γ Ó Ø ÓÖ Ö Ó n p lτ c T Û Ø n p Ø Ò ØÝ Ó Ô ÖØ Ð Ò Ø Ù l Ø Ñ Ò Ö Ô Ø τ c Ø Ú Ö Ø Ñ ØÛ Ò ÓÐÐ ÓÒ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ñ ÙÖ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ³ ÓÒ Ø ÒØ k B º ÓÖ ØÝÔ Ð Ð ÕÙ Ð Û Ø Ö Ò ÒÓÖÑ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ú Ó ØÝ Ó Ø ÓÖ Ö Ó 0.01 ÈÓ º Ï Ø Ø Ó º µ ÕÒ º½µ ÓÑ m v(t) = γ v(t) + F( x, t) + ξ(t). º µ Ì Ö Ú Ó ØÝ Ó Ý Ø Ñ Ñ ÙÖ Ø Ö Ø Ò ØÓ ÓÛº ÓÛ Ð Ò Ø Ð Ý ÔÐ Ò Ø Ý Ø Ñ ØÛ Ò ØÛÓ ÔÐ Ø Ò ÔÙÐÐ Ò Ø Ñ Ô ÖØ Ò ÓÔÔÓ Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ò Ö ÓÖ º Ì Ö Ø Ø Û Ø ÔÐ Ø Ö ÔÙÐÐ Ô ÖØ ÐÐ Ø Ö Ö Ø º ÇØ Ö ÓÑ ØÖ Ö Ð Ó ÔÓ Ð º Ì Ö Ø ÓÒ Ó ÒØ Ò Ø Ú Ó ØÝ Ö Ñ ÙÖ Ò ÙÒ Ø Ó Ñ» Ø Ñ Ò ÈÓ Ò Ö Ý Ø Ñ» ÚÓÐÙÑ Ò Ø Ý Ø Ñ Ö Ô Ø Ú ÐÝº ½¼

110 º½ Ì Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë ËÓ Ö Û Ú Ö Ø Ö Þ Ø Ö Ò ÓÑ ÓÖ Ü ÖØ Ý Ø Ù Ý Ú Ò Ø Ú Ö Ú ÐÙ Ø Ö Ø ÓÒ ÓÖ º ÁÒ ÓÖ Ö Ö Ø Ö Þ ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ø ÑÓØ ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð ÓÒ Ð Ó Ò ØÓ ÒÓÛ ÓÛ Ø Ö Ò ÓÑ ÓÖ ÙØÙ Ø Ò Ø Ñ º Ì Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ô ÖØµ ÓÒØ Ò Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Ý ÓÑÔ Ö Ò Ø Ø ÖÑ Ð ÒÓ Ø ØÛÓ Ù ÕÙ ÒØ Ø Ñ t Ò t Û Ø t = t + τº Ë Ò ÓÐÐ ÓÒ Ö Ú ÖÝ ÖÖ ÙÐ Ö ÓÒ Ò ÙÑ Ø Ø Ø ÓÖ Ø ØÛÓ Ö ÒØ Ø Ñ Ö Ø Ø Ø ÐÐÝ Ò Ô Ò ÒØ ÓÖ ÐÓÒ ÒÓÙ Ø Ñ ¹ Ô Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ó ÙØ ÓÓØÒÓØ µ º º ξ i (t)ξ j (t ) = ξ i (t) ξ j (t ) = 0 τ t t τ c i, j, = 1,...,d. Ì ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ö Ò ÓÑ ÓÖ Ú ÐÙ Ø Ø Ö ÒØ Ø Ñ Ý Ò Ø ÓÒ ÝÑÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ ξ i (t)ξ i (t ) = ξ i (t )ξ i (t) º ÁÒ Ø ÓÒ ÓÒ ÙÑ Ø Ø Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø ÓÖ Ø ØÛÓ Ö ÒØ Ø Ñ Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ø Ø ØÓ Ý Ø Ø Ø ÓÒÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø Ø Ñ ¹ Ö Ò τº Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø Ö ÖÚÓ Ö Ø Ù Ò ÓÙÖ µ Ò Ø ÖÑ Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑº Ò ÐÐÝ Ò Û ÙÑ Ø Ø ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ó Ô Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ö Ò ÓÑ ÓÖ Ò Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÙÒÓÖÖ Ð Ø Ú Ò Ø Ø Ñ ¹ Ö Ò Ø Ø Ö ÓÖØ Ö Ø Ò τ c µ ξ i (t)ξ j (t ) = δ ij g( τ ), i, j = 1,...,d. º µ Ì ÓÑ ÖÓÑ Ø Ø Ø Ø δ ij Ø ÓÒÐÝ ÖÓØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÒÚ Ö ÒØ Ø Ò ÓÖº ÁÒ Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ ξ 2 i (t ) = g(0) > 0 Ò g( τ ) ÖÔÐÝ Ô ÖÓÙÒ τ = 0 Û Ø ÙÔÔÓÖØ Ó Ø ÓÖ Ö Ó τ c º Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ø Ñ ¹ Ð τ ØÙ ÐÐÝ ÑÙ ÐÓÒ Ö Ø Ò τ c Ò ÓÒ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø g( τ ) Ý ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ó Û Ø 2A ξ i (t)ξ j (t ) = 2Aδ ij δ(τ), i, j = 1,..., d. º µ Ì ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓ Ò Ø Ô ØÖ Ð Ò ØÝ S(ω)º ÁÒ Ø S(ω) Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ ÒÝ ω Ò Ò Û Ø ÒÓ º ÌÛÓ¹Ø Ñ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ÒÓØ Ö Ø Ö Þ Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ÓÑÔÐ Ø ÐÝº Ì Ú Ø Ö Ý Ú Ò ÐÐ Ö¹ÓÖ Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ Ý Ô Ý Ò Ø ÙÐÐ ÑÙÐØ Ú Ö Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒº Ì ÑÔÐ Ø Ó ÑÙÐØ Ú Ö Ø Ù Ò ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø Ø ÓÚ ØÛÓ¹Ø Ñ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº ÁÒ Ö Ø Ø Ñ Û ÛÖ Ø P( ξ) = 1 N exp 1 4A N t d ξi 2 (t j), j=0 i=1 º µ Û Ø N Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØº Ì Ù Ò ÝÔÓØ ÓÒ Ø ÒØÖ Ð Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ñº ÁÒ ÓÒ Ó ÖÚ Ø Ø ÖÑ Ð ÓÖ Ø Ò ÓÒ Ù ÒØÐÝ Ð Ö Ô ÖØ Ð Û Ø Ø Ñ ¹ Ö Ø Ø ÑÙ Ð Ö Ö Ø Ø τ c ξ Ø Ö ÙÐØ Ó Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó Ö Ò ÓÑ ÓÖ Û Ø Ò Ø Ú Ö Ò Ú Ö Ò ÐÐ Ö Ò Ø Ñ ØÖ ÙØ ÓÒ Ð Ûº ÀÓÛ Ú Ö ÓÒ ÓÙÐ Ñ Ò ÔÓÖ ³ Ø ÖÑ Ð Ø Ø Ø ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ú Ø ÓÒ ÖÓÑ Ù Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ö Ò ÓÑ ÓÖ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ø Ø Ð º ½½¼

111 º½ Ì Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Ì Ù Ò ÝÔÓØ ÑÔÐ Ø Ø ÐÐ Ö¹ÓÖ Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÜÔÖ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ØÛÓ¹Ø Ñ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º µº Ì Ø ÓÒØ ÒØ Ó Ï ³ Ø ÓÖ Ñ Û Ø Ø Ø Ø ξ i2n (t 2n )...ξ i1 (t 1 ) = ξ i2n (t 2n )ξ i2n 1 (t 2n 1 )... ξ i2 (t 2 )ξ i1 (t 1 ), pairs Û Ø Ø ÙÑ ÖÙÒÒ Ò ÓÚ Ö ÐÐ Ø Ö ÒØ Û Ý Ó Ô Ö Ø Ò Ø ÔÖÓ ÙØ Ó 2n Ú Ö Ð ÒØÓ n Ô Ö º Ì Ú Ö Ó ÔÖÓ ÙØ Ó Ò Ó ÒÙÑ Ö Ó ÒÓ ØÓÖ Ú Ò ÒØ ¹ ÐÐÝ Ò Ø Ø ÖÑ Ð ÒÓ Þ ÖÓ¹ Ú Ö Ö Ñ Ñ Ö Ø Ø Ø Ú Ö Ó Ø Ö Ò ÓÑ ÓÖ Ò Ñ ÐÝ Ø Ö Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ù ØÖ Ø Ó µº ËÓ Ö Ø Ú Ö Ò 2A Ö Ô Ö Ñ Ø Öº Ï ÐÐ Ð Ø Ö ÓÒ Ø Ø Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÙÑ ØÓ Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ø Ò A ÑÙ Ø Ò Ø Ö Ð Ø ØÓ γ Ò T º ÁÖÖ Ú Ö Ð ØÝ Ò Ô Ø ÓÒº Ì Ö Ø ÓÒ ÓÖ γ v Ò Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ º µ ÜÔÐ ØÐÝ Ö Ø Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Ð t tµ ÒÚ Ö Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø ØÓ Ö Ô Ø Ý ÒÝ Ø Ó Ñ ÖÓ ÓÔ ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ º Ì Ø Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ô Ö ÓÜ Ö Ý Ø ÖÖ Ú Ö Ð ØÝ Ó Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÒÐÝ Ö Ø Ô ÖØ Ð Ò ÒÓØ Ø Ò Ú Ù Ð ÑÓØ ÓÒ Ó Ø ÑÓÐ ÙÐ Ó Ø ÙÖÖÓÙÒ Ò Ù º Ç ÓÙÖ Æ ÛØÓÒ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ò Ø Û ÓÐ Ý Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ð Ò ÐÐ Ø ÑÓÐ ÙÐ Ó Ø Ù ÑÙ Ø Ø Ñ Ö Ú Ö Ð ÒÚ Ö ÒØº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Ð Ò ÖÓ Ò Ò Ø Ö Ù ÕÙ Ø ÓÒ Û Ö Ø Ð ØÝ Ó Ø Ø ÖÑ Ð Ø ØÓ Ö ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÙÑ ÖÓÑ Ø Ø ÖØº Ì Ä Ò Ú Ò ÔÔÖÓ Ð Ú Ö Û Ý ØÓ Ø ÖÖ Ú Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ö Ø ÖÙ Ý ØÖ Ò ÖÖ Ò Ø ÓÒ ÔØÙ Ð ÙÐØ ØÓ Ø Ö ÖÚÓ Öµ Ò ÐÐÓÛ ØÓ ÒÚ Ø Ø Ò Ô ÒÓÑ ÐÓ Ð Û Ý Ø ÝÒ Ñ Ó Ø Ô ÖØ Ð ÐÓÒ º ÁÒ Ë Øº Û ÐÐ ØÙ Ý ÑÔÐ ÑÓ Ð Û Ö Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ò Ä Ò Ú Ò³ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ñ ÑÓÖ ØÖ Ò Ô Ö ÒØº ÆÓØ Ø Ø Ø Ò Ö Ý Ó Ø Ô ÖØ Ð ÒÓØ ÓÒ ÖÚ Ò Ò Ò Ö Ð ÓÛ ØÓ Ø Ø Ð Ò ØÓ Ô Ø ÓÒº Ø Ú ÖÝ ÐÓÒ Ø Ñ ÓÛ Ú Ö Ø Ô ÖØ Ð Ñ Ý Ö Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ö Ñ Ò Û Ø Ü Ò Ó Ò Ö Ý ÓÑ ÝÑÑ ØÖ ÓÒ Ú Ö Ø Ô ÖØ Ð Ú Ò Ö Ú Ò Ö Ý ÖÓÑ Ø Ø Ø ÕÙ Ð Ö Ø º Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ñ ÑÓÖÝº Ì Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ú ÐÓ ØÝº Ì ÙÐÐ ÝÒ Ñ Ó Ø Ô ÖØ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö Û Ø v(t) = x(t) Û Ð Ó Ö Ø¹ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ì ØÙÖ ÑÔÐÝ Ø Ø Ø Ô Ö Ú ÐÓ ØÝ¹ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð Ø Ø Ñ t + δ Û Ø δ Ò Ò Ò Ø Ñ Ð Ø Ñ ¹ Ø Ô Ô Ò ÓÒ Ø Ô Ö Ú ÐÓ ØÝ¹ÔÓ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ t Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÒÓ Ø Ø Ñ tº Ì Ù Ø ÙÐÐ Ø Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ò Å Ö ÓÚ ÔÖÓ Ø Ø ØÓ Ø ÔÖÓ Ø Ø Ô Ò ÓÒ Ø ØÓÖÝ ÓÒÐÝ Ø ÖÓÙ Ø Ú ÖÝ Ð Ø Ø Ôº ÆÓØ ÓÛ Ú Ö Ø Ø Ø Ô Ö Ó Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÙÐ Ð Ó Ö Ý ½½½

112 º½ Ì Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Ò Ð ÓÒ ¹ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ m x(t) + γ x(t) = F( x, t) + ξ(t). º µ À Ú Ò Ö ÔÐ Ø Ú ÐÓ ØÝ Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ó Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ø Å Ö ÓÚ Ö Ø Ö Ó Ø ÔÖÓ ÐÓ Øº Ì Ú ÖÝ Ò Ö Ð ØÙÖ Ý ÒØ Ö Ø Ò Û Ý ÓÑ Ö Ó Ö ÓÑ ÓÒ Ò Ö Ø Ñ ÑÓÖÝ Ò Ø ÚÓÐÙØ ÓÒº Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÒ Ø Ø Û ÔÖ ÒØ Ò Ë Øº º½ Ò Ø ÓÒ Ø Ø Û ÐÐ Ò Ö Ø ØÓ Ö Ø ÐÓÛ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó ÙÔ Ö¹ÓÓÐ Ð ÕÙ Ò Ð Ó Ú Ñ ÑÓÖÝº ÐÙØÙ Ø ÓÒ Ô Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ò º ÁÒ Ø ÙÖ Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ó Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Û ÔÖ ÒØ ÓÚ Ø ÓÒ¹ Ø ÒØ A ÒÓØ Ü º Ì ÑÔÐ Ø Û Ý Ó Ü Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ØÓ ØÙ Ý Ø Ú ÐÓ ØÝ ÙØÙ Ø ÓÒ Ó ÖÓÛÒ Ò Ô ÖØ Ð Ò ÓÒ Ø ÒØ ÜØ ÖÒ Ð ÓÖ º Ì Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ Ú ÐÓ ØÝ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ñ Ó ÕÒ º µ v(t) = v 0 e γ m t + 1 m t 0 dt e γ m (t t ) [ F + ξ(t ) ], Û Ø v 0 Ø Ò Ø Ð Ú ÐÓ ØÝ Ø t = 0º Í Ò Ø Ø Ø Ø Ø ÒÓ Þ ÖÓ Ú Ö ÓÒ Ò v(t) = v 0 e γ m t F + ( 1 e γ t) F m Û Ò t t v c γ γ m γ. Í Ò Ø ÒÓ ¹ÒÓ ÙØÓ¹ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÕÒ º µ Ò ØØ Ò v 0 = 0 ÓÖ ÑÔÐ ØÝ ÓÒ Ö ÐÝ ÐÙÐ Ø Ø Ñ Ò¹ ÕÙ Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø Ú ÐÓ ØÝ Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ô σ 2 v i (t) (v i (t) v i (t) ) 2 σv 2 i (t) = 1 t t dt m dt e γ m (2t t t ) ξ i (t )ξ i (t ) = A ( 1 e 2γ t) m. γm Ë Ò Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ Ð Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ÔÔÖÓ ØÓ Ø ÖÑ Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ Û ÑÙ Ø ÑÔÓ ÓÖ ÓÒ Ø ÒÝ Ø Ø Ø ÓÚ ÕÙ ÒØ ØÝ ØÙÖ Ø ØÓ Ø ÜÔ Ø Ú ÐÙ ÐÙÐ Ø Û Ø Ø ÒÓÒ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T º Ì Ù lim σ t t v v 2 i (t) = A c γm = (v i v i ) 2 eq = T m, Û Ö eq ÒÓØ Ò Ú Ö Ø Ò Û Ø Å ÜÛ ÐÐ³ Ú ÐÓ ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒº ÓÖ Ø ÕÙ Ð ØÝ ØÓ ÓÐ ÓÒ Ò ÓÖ Ø Ø A = γt. º½¼µ Ì Ö Ð Ø ÓÒ ÒÓÛÒ ÙÒ Ö Ø Ò Ñ Ó ÙØÙ Ø ÓÒ Ô Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Øµ Ó Ø ÓÒ Ò ³ Ò ÃÙ Ó³ ÒÓÑ ÒÐ ØÙÖ º Ì Ö Ø Ò ³ Û ÐÐ Ù ÐÓÛ Ø Ò Ñ Ö Ö Ð ØØÐ ÙÒ ÓÖØÙÒ Ø µº ½½¾

113 º½ Ì Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë ÁØ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÒÓØ Ø Ø Ø Ø Ö Ø Ö Þ Ø ÙÖÖÓÙÒ Ò Ù Ò ÒÓØ Ø Ô ÖØ Ð Ò Ø Ö Ð Ø Ø ÒÓ ¹ÒÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö Ø ÓÒ Ó ÒØº ÁÒ Ø Ó Ø ÖÓÛÒ Ò Ô ÖØ Ð Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÙÖ Ø Ø Ø Ö ØÖ Ò ÒØ Ó Ø ÓÖ Ö Ó t c Ø Ø Ñ ÒØ Ò Ø Ñ Ò Ò Ø Ò Ö Ý Ó Ø Ô ÖØ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ò ÕÙ Ð ØÓ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ú ÐÙ º Ì Ù Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÒÓ Ò Ø Ð Ò Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ø ØÓ Ø Ú ÐÓ ØÝ ÑÔÐÝ Ø Ø Ø Ú ÐÓ ØÝ Ó Ø Ô ÖØ Ð Ò ØÖ ÙØ ÓÖ Ò ØÓ Å ÜÛ ÐÐ³ ØÖ ÙØ ÓÒº Ï ÐÐ Ð Ø Ö Ø Ø Ú Ò Û Ò Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ô Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Öµ Ø Ý Ø Ñ Ò ÓÒØ Ø Û Ø Ø Ó ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ý Ò Ö Ø Ð º Ì ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ö Ø Ö Ø Ó ÒÓÒ¹ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ý Ø Ñ Ò ÓÒØ Ø Û Ø ÕÙ Ð Ö Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ º Ù ÓÒ Ò Ú ÐÓ ØÝ Ô º ÓÖ Ø Ó ÑÔÐ ØÝ Ð Ø Ù ÓÙ Ò Ø Ø ÓÒ ÓÒ ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñº Ì ØÛÓ¹Ø Ñ Ú ÐÓ ØÝ¹Ú ÐÓ ØÝ Ú Ö Ó Ö Ñ³ Ò W 2 vv (t, t ) (v(t) v(t )) 2 = C vv (t, t) + C vv (t, t ) 2C vv (t, t ) ÑÔÐ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ØÛÓ¹Ø Ñ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ú ÐÓ ØÝ C vv (t, t ) = v(t)v(t ) Ø Ø Ø Ð ÐÝ ÐÙÐ Ø ØÓ C vv (t, t ) = v 2 0 e γ m (t+t ) + T m ( e γ m t t e γ m (t+t ) ). º½½µ Ì Ö Ø Ø ÖÑ ÓÑ ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÓÑ Ø Ñ Ó ÙÒ Ö Ø Ò Ñ Ó Ö Ð Ø ÓÖÖ Ð ØÓÖº Ï Ò t + t t c Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÓØØ Ò Ø Ð Ø Ø ÖÑ Ú Ò Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÔÐ Ñ ÒØ ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ó t t ÓÒÐÝ ÜÔ Ø Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ë Øº º º½µº Ì Ú Ö Ó Ö Ñ ÖÓ ÓÚ Ö ÖÓÑ Ù Ú Ö Ñ ØÓ ØÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ø Ö Ø Ø Ñ t v c W 2 vv (t, t ) 2D v t t Û Ò t t t v c Û Ø D v Tγ m, 4T 2 Û Ò t t t v c. m Ì Ó ÒØ D v Ó Ø Ð Ò Ö Ö Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÓ ØÝ Ù ÓÒ Ó ÒØº Ù ÓÒ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ô º Ì ÔÓ Ø ÓÒ¹ÔÓ Ø ÓÒ Ú Ö Ó Ö Ñ Ñ Ð ÖÐÝ Ò Wxx 2 (t, t ) (x(t) x(t )) 2 Ò Ñ ÙÖ Ø ÕÙ Ö Ó Ø ØÝÔ Ð ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø Ô ÖØ Ð ØÛ Ò t Ò t º ÓÓ Ò x 0 = v 0 = 0 ÓÒ Ò Wxx 2 (t, t ) = 2D vm 2 [ t t + 2m ( e γ γ 2 m t t 1 ) m ( e 2γ m t t 1 )], γ 2γ Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ò Ú ÓÖ Ø Ø Ñ ¹ Ö Ò Ó Ø ÓÖ Ö Ó t v c W 2 xx(t, t ) 2D v 3 t t 3 Û Ò t t t v c, 2D x t t Û Ò t t t v c Û Ø D x T γ. ½½

114 º½ Ì Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Ø Ñ ÐÐ Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ð Ù Ø ØÓ Ö Ò ÓÑ Ð Ö Ø ÓÒ Ø Ú ÐÓ ØÝ Ø Ù Ó Ø ÓÖ Ö Ó t t Ð Ò ØÓ ØÝÔ Ð ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖ Ö Ó t t 3/2 º ÓÖ Ø Ñ Ð Ö Ö Ø Ò t v c Ø Ú ÐÓ ØÝ ØÙÖ Ø ÙÒ Ö Ø Ø Ó Ö Ø ÓÒ Ò ÒÓÖÑ Ð Ù ÓÒ Ø Ò Û Ø ØÝÔ Ð ÔÐ Ñ ÒØ Ú Ò Ý D x t t º Ò Ø Ò Ö Ð Ø ÓÒº Ì ÑÓ Ð ØÝ Ó Ø Ô ÖØ Ð Ò v(t) µ lim lim F 0 t F. º½¾µ Í Ò Ø ÓÚ Ö ÙÐØ ÓÒ D x Û Ò µ = 1 γ D x T Û Ò t t t v c, º½ µ Ì ÒØ ØÝ ØÛ Ò µ Ò D x ÒÓÛÒ Ø Ò Ø Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ô ÖØ Ð Ø Ù ÓÒ Ò Ö Ð Ô Ò Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó Ø ÙÖÖÓÙÒ ¹ Ò º ÁØ ÜÔÖ Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ô Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ó Ø Ö Ø Ò ØÓ Ø Ò Ù ÖÓÑ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ò Ý Ø Ø Ø Ø Ø ÒÓÛ Ö ÝÒ Ñ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø Ô ÖØ Ð Ò Ù Ý Ø Ó Ó Ø Ø º ËØÓ ¹ Ò Ø Ò Ö Ð Ø ÓÒº Ï Ú Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ø Ò ÒÓÖÑ Ð Ù Ø Ú Ó ØÝ Ò Ö Ø ÓÒ Ó ÒØ Ó Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ü ÖØ ÓÒ Ò Ô Ö Ð Ô ÖØ Ð Ó Ö Ù a Ö Ö Ð Ø Ý Ø ËØÓ Ð Û γ = 6πaηº Ì Ö Ð Ø ÓÒ ÓÑ Ò Û Ø º½ µ ÑÔÐ Ø ËØÓ ¹ Ò Ø Ò Ö Ð Ø ÓÒ 6πaη = T D x Ð Ò Ò Ø Ú Ó ØÝ ØÓ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ô Ø Ð Ù ÓÒ ÓÒ Ø ÒØº Ì ÔÖ Ø ÓÒ Ö Ø Ó Ø Ò Ý Ò Ø Ò Ò Ø Ò ÓÒ ÖÑ Ý Ä Ò Ú Ò Û ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ Ú Ö Ý È ÖÖ Òº ÅÙ ÑÓÖ Ö ÒØÐÝ Ø ÓÙ Ø Ò ÒÓØ Ø Ø Ò Ð ÕÙ Ø Ø Ö ÙÔ Ö¹ÓÓÐ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ Ú Ð º ËÑÓÐÙ ÓÛ ØÖÓÒ ÓÚ Ö ÑÔ µ Ð Ñ Øº ÁÒ Ñ ÒÝ ØÙ Ø ÓÒ Ò Û Ö Ø ÓÒ Ú ÖÝ ØÖÓÒ Ø Ò ÖØ Ð Ø ÖÑ m v Ò ÖÓÔÔ ÖÓÑ ÕÒ º µ γ x(t) = F( x, t) + ξ(t). º½ µ Ì Ð Ñ Ø ÔØ Ð Û Ò Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ñ Ö ÑÙ ÐÓÒ Ö Ø Ò Ø Ö Ø Ö Ø Ø Ñ ÓÖ Ö Ð Ü Ø ÓÒ t v c = m/γ Ù Ø Ø Ø Ñ Ò¹ ÕÙ Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø Ú ÐÓ ØÝ ØÙÖ Ø Ò Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ù º Ì Ö Ò Ó Ú Ð ØÝ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò ÐÝ ÔÙØ ØÓ Ø Ø Ò Ø Ü ÑÔÐ Ó Ô ÖØ Ð ÑÓÚ Ò Ò ÖÑÓÒ ÔÓØ ÒØ Ðº ÁÒ Ø Û Ø ¹ÒÓ Ø Ö Ø ÓÒ Ó ÒØ Ò Ð Ñ Ò Ø ÖÓÑ Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ËÑÓÐÙ ÓÛ Ð Ñ Ø Ò Ø ÒÓ ¹ÒÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Û Ø Ø Ö Ð Ò Ó Ø Ñ τ tγ 1, x(τ) x(tγ 1 )º ½½

115 º½ Ì Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë º½º¾ Ò Ö Ð Þ Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ä Ò Ú Ò¹Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ù ØÓ Ö Ø ÝÒ Ñ Ó ÑÙ ÑÓÖ Ò Ö Ð Ñ ¹ ÖÓ ÓÔ ÓÖ Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ ÓÙÔÐ ØÓ ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ º Ì ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ô Ý Ñ ØÖÝ Ò Ò Ò Ö Ò Ö ÒÙÑ ÖÓÙ º ÇÒ Ò Ø ÓÖ Ò Ø Ò Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ÝÒ Ñ Ó Ñ ÖÓÑÓÐ ÙÐ Ò ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ø Ò ÐÝ Ó Ø Ð ØÖÓÔ ÓÖ Ø Ò ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ Ö º Ì Ø Ñ Ö ÕÙ Ö ØÓ Ó Ø ÑÓÐ ÙÐ ÓÖ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ø ¹ ØÛ Ò ÑÓÐ ÙÐ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ó Ö Ø ÒØ Ö Ø Ò Ñ ØÖÝ Ø Ø Ú Ò ØØ Û Ø Ø Ä Ò Ú Ò ÔÔÖÓ º ËØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÑÔ Ò Ò Û Ø ÒÓ Ö Ð Ó Ù ØÓ Ö ÒÓ Ý Ð ØÖ ÖÙ Ø º ÌÓ ØÖ Ø Ð Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ö ØÝÔ¹ ÐÐÝ Ñ ÖÓ ÓÔ Ý Ø Ñ ÓÒ Ø ØÙØ Ý Ô ÖØ Ð ÓÐÐÓ ØÓÑ ÑÓÐ ÙÐ Ô Ò ºººµ Ò ÓÒØ Ø Û Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ô ÓÒÓÒ ºººµ Ø Ø Ö Ø Ø Ø ÐÐÝ Û Ò ØÓ Ù Ø Ý Ø Ñ ÝÓÒ Ø ÑÔÐ ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÒÓ º ËÓ Ö Ø Ö Ò ÓÑ ÓÖ ÔÔ Ö Ô Ö Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒº ÜØ Ò¹ ÓÒ Ó Ø Ä Ò Ú Ò ÔÔÖÓ Û Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÒÓ Ð ØÓ Ø Ó¹ ÐÐ ÒÓÒ¹Ð Ò Ö Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò Û Ø Ù Ù ÐÐÝ ÐØ ¹ÓÖÖ Ð Ø Ù Ò ÒÓ ξ ÑÙÐØ ÔÐ ÖØ Ò ÙÒØ ÓÒ e( x, t) Ó Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð x Ø Ð m x + γ x = F( x, t) + e( x, t) ξ(t). º½ µ ÀÓÛ Ú Ö ÛÖ ØØ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ ÙÓÙ º ÔÖÓÔ Ö ÔÖ Ö ÔØ ÓÒ Ò ¹ Ö Ø Ø Ñ ØØ Ò ÑÙ Ø Ô º Ì Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓ ÒØ Ø Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ù Ö º ÁØ Ð ØÓ Û Ø ÐÐ ÁØÓ Ò ËØÖ ØÓÒÓÚ ÐÙÐÙ ÐÐÝ Ö¹ ÒØ ÔÖ Ö ÔØ ÓÒ ØÓ ÓÛ ØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÛ ØÓ Ö Ø Þ Ø Ø Ñ ¹ Ö Ú Ø Ú º Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ñ ÑÓÖÝº Ö Ú Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Þ Ð Ò Ö Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ñ ÑÓÖÝ Ú ÖÝ ÑÔÐ º ÁÒ Ò Ö Ð ÓÒ ØÙ Ø ÓÙÔÐ ÐÓ µ Ý Ø Ñ Ñ Ý Ø ØÙ Ð Ý Ø Ñ Ó ÒØ Ö Ø Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Û Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØº Ì Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ó Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø Ý Ø Ñ Ô Ò ÓÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò º Ì ÑÔÐ Ø Ó Ø Ø Ó Ò Ò Ô Ò ÒØ Ò Ñ Ð Ó ÖÑÓÒ Ó ÐÐ ØÓÖ Ø Ø ÓÙÔÐ Ð Ò ÖÐÝ ØÓ ÓÓÖ Ò Ø ¹Ð Ö Ó Ö ÓÑ Ò Ø Ý Ø Ñº Ì Ó ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÓÐÚ Ø ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø Ú Ö Ð Ò ÐÝØ ÐÐÝº Ø Ö ÒØÖÓ Ù Ò Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ý Ø Ñ ÓÒ Ø Ù Ó Ø Ò Ø ÝÒ Ñ Ó Ø Ö Ù Ý Ø Ñº ÍÒØ Ð Ø ÔÓ ÒØ Ø ÝÒ Ñ Ó Ø Ý Ø Ñ Ö Ñ Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ø ÖÑ Ò Ý Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ø Ó Ó Ø Ö ÖÚÓ Ö Ú Ö Ð º Ì Ø Ø Ø Ð Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ò Û Ò ÓÒ ÔÖÓÔÓ Ø Ø Ø Ò Ø Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò ÑÓÑ ÒØ Ó Ø Ó ÐÐ ØÓÖ Ò Ø Ø Ö ØÖ ÙØ ÓÖ Ò ØÓ Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ ÙÖ º Ì Ò Ù Ö Ò ÓÑÒ Ò Ö Ø ÓÒ Ò Ø ÝÒ Ñ Ó Ø Ö Ù Ý Ø Ñº Ø Ö Ô Ö ÓÖÑ Ò ÜÔÐ ØÐÝ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ ½½

116 º¾ Ú Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Ò ÙÔ Û Ø Ø Ò Ö Ð Þ Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ m v(t) = F( x, t) + ξ(t) t Û Ø Ø Ù Ò Ø ÖÑ Ð ÒÓ Ö Ø Ö Þ Ý 0 dt γ(t t ) x(t ). º½ µ ξ i (t) = 0, i Ò t, º½ µ ξ i (t)ξ j (t ) = T δ ij γ(t t ), º½ µ Ò γ(t t ) Ö Ø Ö Ö Ø ÓÒº ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ö Ø Ö ÒÓ Ö ÖÓÑ ÑÓ Ð Ò Û ÓÒ ÓÙÔÐ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ó Ø Ó ÐÐ ØÓÖ ØÓ Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÓÖ Ò Ø Ó Ø Ý Ø Ñº Ö ÒØ Ó ÐÐ ØÓÖ Ö ÖÚÓ Ö Ö Ö Ø Ö Þ Ý Ö ÒØ ÖÒ Ð γ(t t )º Ì Ô ¹ ØÖ Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÐÓÖ Ø Ù Ù ÐÐÝ ÙÑ ØÓ Ú Ø ÓÖÑ S(ω) = T γ(ω) = 2Tγ ( ω ω ) δ 1 f c ( ω Λ ). º½ µ Ì ÙÒØ ÓÒ f c (x) ¹ Ö ÕÙ ÒÝ ÙØ¹Ó Ó ØÝÔ Ð Û Ø Λ Ò Ù Ù ÐÐÝ Ó Ò ØÓ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ðº Ì Ö ÕÙ ÒÝ ω Λ Ö Ö Ò Ö ÕÙ ÒÝ Ø Ø ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ Ú ÓÙÔÐ Ò ØÖ Ò Ø γ Û Ø Ø Ñ Ò ÓÒ Ó Ú Ó ØÝº Á δ = 1 Ø Ö Ø ÓÒ ØÓ Ç Ñ S(ω) ÓÒ Ø ÒØ Û Ò ω Λ Ò ÓÒ Ö ÓÚ Ö Û Ø ÒÓ º Ï Ò δ > 1 δ < 1µ Ø Ø ÙÔ ÖÇ Ñ Ù Ç Ñ µº Ì ÜÔÓÒ ÒØ δ Ø Ò ØÓ Ú ÖÝ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð [0, 2] ØÓ ÚÓ Ú Ö Ò º Ì Ñ ¹ Ô Ò ÒØ f(t) Ò ÓÒ Ø ÒØ ÒÓÒ¹ÔÓØ ÒØ Ð ÓÖ f np Ø ÓÒ ÔÔÐ ØÓ Ö ÒÙÐ Ö Ñ ØØ Ö Ò Ò Ö ÓÐÓ Ð Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ö ÑÔÐÝ ÒÐÙ Ò Ø Ö Ø¹ Ò ¹ Ö µ Ô ÖØ Ó Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÓÖ º Ï Ò Ø ÓÖ Ö Ú ÖÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð F i (t) = xi V ( x(t))º ÁÒ Ó Ö Û Ú Ù Ý Ø Ñ Û Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ Ö Ó Ö ÓÑº ÇØ Ö Ú Ö Ð Ñ Ø Ó ÒØ Ö Ø ØÓ Ö Ø ÝÒ Ñ Ó Ö ÒØ Ò Ó Ý Ø Ñ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ð Ô Ò Ò Ð Ó Ù ÓÒ Ö ÔÐ Ø Ö Á Ò ÓÒ ØÖ ÒØ s i = ±1 Ý Ó Ø ÓÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Û Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø ÖÑ Ó Ø ÓÖÑ V (s i ) = u(s 2 i 1)2 Û Ø u ÓÙÔÐ Ò ØÖ Ò Ø Ø Ø ÓÒ Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ø ØÓ Ò Ò ØÝ ØÓ Ö ÓÚ Ö Ö ÓÒ ØÖ ÒØµº Ì Ó Ø Ô Ò Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒ ÓÙÒ Ú Ö Ð s i (, ) ÙØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ý ÚÓÖ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ø s i ÐÓ ØÓ ±1º Ú Ò ÑÔÐ Ö ÑÓ Ð Ö ÓÒ ØÖÙØ Û Ø Ô Ö Ð Ô Ò Ø Ø Ö Ð Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒ ÓÙÒ Ú Ö Ð ÐÓ ÐÐÝ ÓÒ ØÖ Ò ØÓ Ø Ý N i=1 s 2 i = Nº º¾ Ú Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ ÁÒ Ë Øº º½ Û Ò ÐÝÞ Ú Ö Ð Ú Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒº ÁÒ Ø Ë Ø ÓÒ Û ÒØÖÓ Ù Ø Ú Ö Ó ÖÚ Ð ÓÒ Û Û ÐÐ ÓÙ Ò Ø Ö Ø Ó Ø ÓÓ º Ï Ù Ú ØÓÖ x ØÓ ÒÓ ÐÐ ÝÒ Ñ Ö Ó Ö ÓÑ Ò Ø Ý Ø Ñº Ì Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ò ÑÓÑ ÒØ ÓÖ Ô ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ô Ò ÓÖ Ñ Ò Ø ÑÔÐ ÓÖ Ú Ò Ð Ù Ø ÐÓ Ð Ò Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ Ò ØÝº ½½

117 º¾ Ú Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë º¾º½ ÇÒ ¹Ø Ñ ÙÒØ ÓÒ Ì ÑÔÐ Ø ÝÒ Ñ Ó ÖÚ Ð Ô Ò ÓÒÐÝ ÓÒ ÓÒ Ø Ñ Ò Ö Ò Ý A( x, t) = Dξ P( ξ) A( x ξ, t), º¾¼µ Û Ö ξ ÝÑ ÓÐ ÐÐÝ ÒÓØ Ø ÒÓ Ø ÐÐ Ø Ñ º Ì ÒØ Ö Ð Ò Ø ÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ ÔÓ Ð ÒÓ ØÓÖÝ Ö Ð Þ Ø ÓÒ ÓÙÒØ Û Ø Ø Û Ø P(ξ)º Ì Ô Ø ¹ ÒØ Ö Ð Ò Û ÐÐ ÒÓØ Ù Ø Ö º Ú Ò A Ò Ò ÔÖ Ò ÔÐ ÒÝ ÓÑÔÐ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ó Ø Ý Ø Ñ³ Ö Ó Ö ÓÑ Ò ÑÓ Ø Ó ÒØ Ö Ø Ø ÑÔÐ Ð Ö ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ú Ö Ð º ÌÝÔ Ð Ü ÑÔÐ Û ÐÐ Ü Ñ Ò Ð Ø Ö Ö Ø Ò Ö Ý Ò ØÝ Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ Ò Ñ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ð Ò ØÝ Ò Ð ÕÙ ÓÖ Ð Øº º¾º¾ Ì ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ú Ò ÒÝ ØÛÓ ÙÒØ ÓÒ Ð Ó x Ý A( x, t) Ò B( x, t) ÓÒ Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ØÛ Ò A Ò B Ø ØÛÓ Ù ÕÙ ÒØ Ø Ñ t Ò t C AB (t, t ) A( x, t)b( x, t ) = Dξ P( ξ) A( x ξ, t)b( x ξ, t ). ÆÓØ Ø Ø Ø ÙØÓ¹ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö Ý Ò Ø ÓÒ ÝÑÑ ØÖ ÙÒ Ö Ü Ò Ó t Ò t C AA (t, t ) = C AA (t, t)º ÁÒ Ò Ö ØÙ Ø ÓÒ C AB (t, t ) ÙÒØ ÓÒ Ó ÓØ Ø Ñ t Ò t º Ï ÐÐ Ø Ø Û Ò Ø Ý Ø Ñ Ö Ø Ý Ø Ø Ò Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ ÙÖ C AB (t, t ) ÓÑ Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ ¹ Ö Ò ÓÒÐÝ C AB (t, t ) = CAB st (t t ) = CAB(τ) st Û Ø τ t t º ÁÒ ÓÑÔÐ Ø Ò Ö Ð ØÝ Û ÛÖ Ø Ø ØÛÓ¹Ø Ñ ÓÖÖ Ð ØÓÖ C AB (t, t ) = C AB (τ, t ) Ò Û Ò ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ø Ñ Ö Ò τ C AB (ω, t ) dτ C AB (τ, t ) e iωτ Û Ø Ø ÒÚ Ö ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ú Ò Ý C AB (τ, t ) = dω 2π C AB (ω, t ) e iωτ. ÁÒ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ð Ñ Ø Ø ÓÑ Ø Ù Ù Ð ÜÔÖ ÓÒ C AB (ω) dτ C st AB (τ) eiωτ, C st AB (τ) dω 2π C AB (ω) e iωτ, Ò C AA (ω) Ø Ô ØÖ Ð Ò ØÝ Ó Aº ËÓÑ Ø Ñ Ø Ù ÙÐ ØÓ ÐÙÐ Ø Ø ÓÒÒ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Û ÓÒ ÓÖÖ Ð Ø Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ó A Ò B ÓÙØ Ø Ö Ú Ö C c AB(t, t ) (A( x, t) A( x, t) )(B( x, t ) B( x, t ) ). ½½

118 º¾ Ú Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Æ Ø ¼ Ø ½ Ø ¾ Ø Ø Ø ¼ Ø ½ Ø ¾ Ø Ø ÙÖ ¾ Ë Ø Ó Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ò Ø h Ð Øµ Ò Ø Ô Ö Øµº ÇØ Ö ÑÔÓÖØ ÒØ ØÛÓ¹Ø Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ò Ø Ò ÐÝ Ó ÝÒ Ñ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ù¹ ÓÒ Ö Ø ÔÐ Ñ ÒØ ØÛ Ò Ó ÖÚ Ð (1) AB(t, t ) (A( x, t) B( x, t )) 2 = C AB (t, t) + C AB (t, t ) 2 C AB (t, t ), Ò Ø ÔÐ Ñ ÒØ ØÛ Ò Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ó ÖÚ Ð (2) AB(t, t ) (A( x, t) A( x, t) B( x, t ) + B( x, t ) ) 2 º¾º Ì Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ = C c AB(t, t) + C c AB(t, t ) 2 C c AB(t, t ). Ì ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ò Ò Ò Ø Ñ Ð ÜØ ÖÒ Ð ÓÖ Ó ØÖ Ò Ø h ÔÓ ÐÝ Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ Ø Ø ÓÙÔÐ Ð Ò ÖÐÝ ØÓ Ò Ö ÙÒØ ÓÒ B Ó Ø Ý Ø Ñ³ Ö Ó Ö ÓÑ ÑÓ Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÓÖ Ò ØÓ H H h(t)b( x, t). Ï Ö ÔÖ ÒØ Ø Ò Ø ÒØ Ò ÓÙ Ò Ò Ø Ñ Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ h(t) Ø ØÛ Ò t 2 δ/2 Ò t 2 + δ/2 Ò º ¾ ¹Ð Ø Ò Ø Ô¹Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ ÔÔÐ Ø Ö Ø Ñ t 2 Ò Ø Ö Ø Ô Ò Ð Ó Ø Ñ ÙÖ º Ì Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ö Ó ÒÓØ Ö Ò Ö ÙÒØ ÓÒ A Ú ÐÙ Ø Ø Ø Ñ t Ù ØÓ Ø ÔÔÐ ÓÖ δ A( x, t) = 0 dt R AB (t, t ) δh(t ). º¾½µ Ì Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ø Ò Ø ÒØ Ò ÓÙ Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ R AB (t, t )º ÁØ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÒÓØ Ø Ø Ø Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ò ÑÓ Ý Ø Ô ÖØ Ð ³ ÔÓ Ø ÓÒ ÓÒÐÝ Ø ÙØÙÖ Ø Ñ º Ì Ø Ö ÓÒ Û Ý Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò º¾½µ Ò ÓÒÐÝ Ô Ò Ø Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð Ó Ò ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð Ø Ñ t = 0 ØÓ Ø Ñ ÙÖ Ò Ø Ñ t = tº ÇØ ÖÛ Ø Ø Ø Ò Ø ÒØ Ò ÓÙ Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ Ù Ð Ò Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø À Ú Ø Ø ÙÒØ ÓÒ R AB (t, t ) δ A(t) δh(t = r ) AB (t, t ) θ(τ) τ t t. º¾¾µ h=0 ÕÙ Ø ÓÒ º¾½µ Ø Ò Ñ Ò Ø Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ö ÙÒØ ÓÒ A Ù ØÓ Ø ÓÙÔÐ Ò Ó B ØÓ Ø ÓÖ h Ü ÖØ ÙÖ Ò Ò Ø Ø Ñ ¹ ÒØ ÖÚ Ð Ð Ò Ö ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ù ØÓ Ô ¹Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ÔÔÐ Ø Ò Ø ÒØ Ò Ø Ñ Ø Ñ ¹ ÒØ ÖÚ Ðº ½½

119 º¾ Ú Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Ú ÖÝ Ù ÙÐ ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ Ó Ä Ò Ú Ò ÔÖÓ Û Ø Ø Ú ÒÓ ÓÒ ÕÙ Ò Ó ÆÓÚ ÓÚ³ ÓÖÑÙÐ Û ÔÔÐ ØÓ Ò Ö Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ù Ò Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Û Ø Þ ÖÓ Ñ Ò Ò Ø Ø Ø Ø δx(t) x(t)ξ(t ) = dt ξ(t )ξ(t ). º¾ µ 0 δξ(t ) Í Ò Ø ÒÓ ¹ÒÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º½ µ Ò Ø Ø Ø Ø Ø ÓÒ ØÓÖ Ò Ø ÒØ Ö Ò ÕÙ Ð Ø Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ ÓÒ Ò x(t)ξ(t ) = T 0 dt γ(t, t ) R(t, t ). º¾ µ ÓÖ Û Ø ÒÓ γ(t, t ) = 2γδ(t t ) Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÓÑ 2γTR(t, t ) = x(t)ξ(t ) º Ì ÁØ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÙÑ Ø Ø Ø ÒÓ Ø ÖÑ ξ(t) ØÖ ØÐÝ Þ ÖÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ñ Ò ÐÛ Ý Ð ØÐÝ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ Ò Ø Ö ÓÖ Ò Ô Ò ÒØ Ó µ ÒÝ ÙÒØ ÓÒ G(x, t) ÔÓ ÐÝ Ø ÖÑ Ò Ý ÐÐ ÔÖ Ú ÓÙ Ú ÐÙ Ó ξ(t ) t < tº Ì Ö ÓÖ ξ(t)x(t) Ú Ò º Ì ËØÖ ØÓÒÓÚ ÖÙÐ ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò ÙÑ Ø Ø Ø ÒÓ Ø ÖÑ ξ(t) Ú ÖÝ Ñ ÐÐ ÙØ ÒÓÒ Þ ÖÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ñ Û Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ Ø Ö Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ñ Ð Ñ Ø Ó Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø Òº Ì ÑÔÐ Ø Ø Ø Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ËØÖ ØÓÒÓÚ R(t, t) = 1/2γ, R(t, t ) = 1/γ, ÁØ R(t, t) = 0, R(t, t ) = 1/γ. ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Û ÐÐ ÜÔÐÓÖ Ò Ö Ø Ø Ð Ò ÙØÙÖ ÔØ Ö Ø ÒØ Ö Ø Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ χ AB (t, t w ) t t w dt R AB (t, t ). º¾ µ ÁØ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ò Ù Ò ÓÒ Ø Ó ÖÚ Ð A Ó Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ÔÔÐ Ø Ø Û Ø Ò ¹ Ø Ñ t w Ò Ð ÓÒ Ø ÒØ ÙÒØ Ð Ø Ñ ÙÖ Ò Ø Ñ t Ø ÓÒ Ø Ò º ¾ ¹Ö Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ý Ø ØÖ Ò Ø Ó Ø ÔÔÐ Ð º Ì ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ø Ñ ¹ Ö Ò τ Ó Ø Ö ÔÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ø Ü Ø Ñ t Ö χ AB (ω, t ) dτ r AB (t + τ, t ) θ(τ) e iωτ, º¾ µ Ò Ò Ò Ö Ð Þ ¹ Ù ÔØ Ð ØÝº Ì Ö Ð Ò Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ó χ AB Ö ÐÐ χ AB Ò χ AB Ö Ô Ø Ú ÐÝº Ì Ò Ö Ð Þ ¹ Ù ÔØ Ð ØÝ Ø χ AB (ω, t ) = χ AB ( ω, t ) Ò χ AB Ò χ AB Ö Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ú Ò Ò Ó ÙÒØ ÓÒ Ó ω χ AB(ω, t ) = χ AB( ω, t ), χ AB(ω, t ) = χ AB( ω, t ). ÁÒ ÕÙ Ð Ö ÙÑ χ AB (ω, t ) χ AB (ω) Ò χ AB (t, t ) χ st AB (τ) ÓÖ ÐÐ Ó ÖÚ Ð A Ò Bº ½½

120 º¾ Ú Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë º¾º ÅÙÐØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ ÅÓÖ Ò Ö Ð ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ ÒÚÓÐÚ Ñ ÒÝ Ø Ñ Ò ÔÓ ÐÝ Ñ ÒÝ ÔÓ ÒØ ÙÒØ ÓÒ º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ ÓÒ Ò C AnA n 1...A 1 (t n,...,t 1 ) = A n ( x, t n )...A 1 ( x, t 1 ), º¾ µ Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ñ ÒÝ Ó ÖÚ Ð ØÓ Ú Ö Ð Ð Ð Ò ÖÐÝ ÓÙÔÐ ØÓ Ø Ý Ø Ñ Ø Ö ÒØ Ø Ñ º º H H h(t k )A k (t k ) ÓÖ H H h(t k )A k (t k ) h(t k 1 )A k (t k 1 ) º¾º R An...A 1 ;A k (t n,...,t 1 ; t k ) = δ A n(t n )...A 1 (t 1 ) δh k (t k ) R An...A 1 ;A k,a k 1 (t n,...,t 1 ; t k, t k 1 ) = δ2 A n (t n )...A 1 (t 1 ) δh k (t k )δh k 1 (t k 1 ) ÓÖÔØ ÓÒ Ò Ô Ø ÓÒ h=0 h=0 º¾ µ º¾ µ Ì ÔÓÛ Ö ÓÖ Ý Ý Ø Ñ Ù Ø Ø ÛÓÖ ÓÒ Ý ÓÖ ÔÔÐ ÓÒ Ø Ñ ÙÖ Ý ÙÒ Ø Ó Ø Ñ º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ø Ö ÒØ Ð ÛÓÖ ÓÒ ÓÒ Ø Ý Ø Ñ Ý ÓÖ F Ø Ø ÓÙÔÐ ØÓ Ò Ó ÖÚ Ð O Û Ò Ø Ð ØØ Ö Ò Ý Ò ÑÓÙÒØ d O Ò Ø ÓÖ ÔÓÛ Ö Ø Ø Ñ t P(t) = dw(t) dt dw = F d O, = F(t) O(t) = Fi (t) d dt ÁÒ ÓÙÖ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÓÖÑÙÐ ÓÑ P(t) = 0 dt R Oi O j (t, t )F j (t ). dω dω dω 2π 2π 2π ( iω) F i (ω ) F j (ω )e i(ω+ω )t 0 dt e i(ω ω )t Rij (ω, t ), Û Ö Û Ú ÓÖØ Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ R ij R Oi O j º ÁÒ Ø Ý Ø Ø Û Ö R ij (ω, t ) Ó ÒÓØ Ô Ò ÒÝÑÓÖ ÓÒ t ( ) 1 2 P(t) = i dω dω ω 2π F i (ω ) R ij (ω) F j (ω) e i(ω+ω )t. º ¼µ Ô Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ØÖ Ò Ö Ó Ò Ö Ý ÖÓÑ Ø Ý Ø Ñ ØÓ Ø ÒÓ Ö ÒØ Ö Ó Ö ÓÑ Ø Ø ÓÖÑ Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØº Ì Ò Ó Ø Ö Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ ¹ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ý ØÖ Ò Ö ÖÓÑ Ø Ý Ø Ñ ØÓ Ø Ø ÙÒØ Ð ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒ Ø Òº Ì Ò Ø Ú Ö Ò Ö Ý Ø Ð Þ Ò Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ö ÓÒÐÝ Ø ÖÑ Ò Ý ½¾¼

121 º¾ Ú Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ ÙÖ º ÁÒ Ø Ð Ñ Ø Ù Ò ÕÒ º ¼µ ÓÖ Ø ÔÓÛ Ö Ò ØØ Ò Ò Ø Ò Ø Ð Ø Ñ ØÓ ÓÒ Ò Ø Ø Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ô Ø E = t dt P(t ) = F i F j dω 2π ωχ ij(ω), Û Ò Ø ÔÔÐ ÓÖ Ô ÖÙ ÓÒ F i (t) = F i δ(t) ÓÖ ÐÐ i Ò E = ω 0t 2 F i χ ij(ω 0 ) F j, ÓÖ Ò Ó ÐÐ ØÓÖÝ ÓÖ F i (t) = F i cos(ω 0 t) Ø Ø ÔÔÐ ÖÓÑ Ø Ñ t = 0 ØÓ Ø Ñ tº ÁÒ Ø ØÛÓ ØÝÔ Ð Ø ØÓØ Ð Ò Ö Ý Ô Ø Ô Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ó Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø Ö ÔÓÒ ÙÒØ ÓÒ χ ijº Ì Ø Ö ÓÒ Û Ý χ Ù Ù ÐÐÝ ÐÐ Ø Ô Ø Ú Ô ÖØ Ó Ø Ö ÔÓÒ º º¾º Ì ÃÖ Ñ Ö ¹ÃÖ Ò Ö Ð Ø ÓÒ º Ì ÃÖ Ñ Ö ¹ÃÖ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒÒ Ø Ø Ö Ð Ò Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ó Ø Ö ÕÙ ÒÝ Ô Ò ÒØ Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ χ AB º Í Ù ÐÐÝ Ø Ý Ö Ö Ú Ò Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ö Ñ Ò Û Ø Ö ÔÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ñ º ÅÓÖ Ò Ö Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒÒ Ø Ò Ø Ø Ñ Ô Ò ÒØ ºº Ù ÔØ Ð Ø χ (ω, t ) Ò χ (ω, t ) Ò Ð Ó Ö Ú º Ì ÔÖÓÓ Ø Ø Û ÔÖ ÒØ ÐÓÛ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ê º ØÓ Ø ÒÓÒ¹ Ø Ø ÓÒ ÖÝ º Ì Û Ø Ò Ø Ñ t Ò Ø Ò Ø ÓÒ º¾ µ Û ÐÐ Ò Ø ÙÑÑÝ Ú Ö Ð Ø Ø ÔÐ Ý ÒÓ ÖÐ Ò Ø Ö Ú Ø ÓÒº Ì ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÓÖ Ñ ÑÔÐ χ AB (ω, t ) = r AB (ω ω, t ) = dω 2π r AB(ω ω, t ) θ(ω ), dτ e i(ω ω )τ r AB (t + τ, t ), Ò Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø À Ú Ø Ø ¹ ÙÒØ ÓÒ θ(ω ) = dτ e iω τ i θ(τ) = lim ǫ 0 + ω + iǫ = P i ω + πδ(ω ), Û Ø P Ò Ø Ò Ø ÔÖ Ò Ô Ð Ô ÖØ Ó Ø ÒØ Ö Ðº À Ò χ AB (ω, t ) = 1 2π P dω i r AB (ω, t ) + r AB(ω, t ). º ½µ w w 2 Ù ØÓ Ù Ð ØÝ Ø ÙÒØ ÓÒ r AB (τ + t, t ) ÒÓØ Ø ÖÑ Ò ÓÖ τ < 0 Ò Ø Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ý θ(τ) = 0µº ÇÒ Ò Ø Ú ÒØ Ó Ø Ö ÓÑ Ò ÓÓ Ø Ø ÓÒÚ Ò Ò º ÁÒ ÓÒ ÓÓ r AB ØÓ ÝÑÑ ØÖ Ò τ r AB ( τ + t, t ) = r AB (τ + t, t ) Ø Ò r AB (ω, t ) Ö Ð Ò ÕÒ º ½µ ÑÔÐ r AB (ω, t ) =2 Ê R AB (ω, t ) Ø Ø Ò ÖØ Ò ÕÒ º ½µ Ý Ð χ AB(ω, t ) = 1 π P ½¾½ dω χ AB (ω, t ) ω ω. º ¾µ

122 º ÈÖÓ Ð Ø ÓÖÑ Ð Ñ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë ÁÒ Ø ÓÒ ÓÓ r AB ØÓ ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò τ r AB ( τ + t, t ) = r AB (τ + t, t ) r AB (ω, t ) Ñ Ò ÖÝ Ò ÕÒ º ½µ ÑÔÐ i r AB (ω, t ) = 2 ÁÑ R AB (ω, t ) Ø Ø Ù Ø ØÙØ Ò ÕÒ º ½µ Ý Ð χ AB (ω, t ) = 1 π P dω χ AB(ω, t ) ω ω. º µ ÕÙ Ø ÓÒ º ¾µ Ò º µ Ö Ø ÃÖ Ñ Ö ¹ÃÖ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ð Þ ØÓ ÒÓÒ¹ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ØÙ Ø ÓÒº Ð ÖÐÝ R AB Ö Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ö Ñ Ø ÜÔÐ Ø t Ô Ò Ò ÔÔ Ö Ò Ø Ù Ù Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ö ÓÚ Ö º º ÈÖÓ Ð Ø ÓÖÑ Ð Ñ ÁÒ Ø Ë Ø ÓÒ Û Ö ÐÐ ÓÑ ØÙÖ Ó Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú ÔÔÖÓ ØÓ ØÓ Ø ÔÖÓ Ø Ø ÓÒ Ø Ò ØÙ Ý Ò Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ý Ø Ñ³ Ö Ó Ö ÓÑ Ò Ø Ó ÛÖ Ø Ò ØÓ Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ö ÝÒ Ñ º º º½ Ì Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÔÖÓ Ð Ø Ä Ø Ù ÓÒ Ö ØÓ Ø ÔÖÓ Ö Ø Ö Þ Ý ÝÒ Ñ Ú Ö Ð xº ÓÖ Ñ¹ ÔÐ ØÝ Û Ù ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Û Û ÒÓ ÐÐ ÝÒ Ñ Ú Ö Ð Ò Ò Ð Ú ØÓÖ Ð Ö Ó Ö ÓÑ x = (x 1, x 2,..., x d )º Ä Ø Ö Û ÐÐ Ñ ÜÔÐ Ø Ø Ò Û ÓÒ ÔÓ Ø ÓÒ¹Ð Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ¹Ð Ú Ö Ð º Ì Ø Ñ ¹ Ô Ò Ò Ó x Ò Ø Ø Ý Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ù Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ë Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ý ÓØ Ö ØÓ Ø ÝÒ Ñ ÖÙÐ º Ë Ò Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ ÒÓØ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ò ÒÓÛÒ ÓÒÐÝ Ò ÔÖÓ Ð Ø Ò º Ì ÒÓÛÐ Ó Ø Ó ÒØ Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ P( x n, t n ; x n 1, t n 1 ;...; x 0, t 0 ), Ö Ø Ö Þ Ø ÔÖÓ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Û Ù Ö Ø Þ Ö ÔØ ÓÒ Ó ÐÐ Ø Ñ t 0 t 1... t n t n Ò Ø ØÓØ Ð Ø Ñ µº ÁÒ Û ÐÐ Ù ÓÖØ¹ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ ÒÓØ Ò X Ø ÓÑÔÐ Ø ØÖ ØÓÖÝ Ó Ø ÔÖÓ X ( xn, t n ;...; x 0, t 0 )º Ì ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ P( x n, t n ; x n 1, t n 1 ;...; x k+1, t k+1 x k, t k ; x k 1, t k 1 ;... x 0, t 0 ) = P( x n, t n ; x n 1, t n 1 ;...; x k+1, t k+1 ) P( x k, t k ; x k 1, t k 1 ;...; x 0, t 0 ) º½µ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÒÓÛ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ò Ò ÙØÙÖ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ú Ò Ø Ø Ø ÔÖÓ ØÓÓ ÓÑ Ô ÔÖ Ú ÓÙ Ú ÐÙ º ÇÒ Ò Ø Ò Ù ØÛ Ò ÔÖÓ ÓÖ Û Ø Ö ÙÐÐ ØÓÖÝ Ò ØÓ ÔÖ Ø Ø Ö ÙØÙÖ Ò ÔÖÓ Ð Ø Ò µ Ò ÔÖÓ ÓÖ Û Ø ÒÓÛÐ Ó Ø ÔÖ ÒØ ÒÓÙ ØÓ Ó Óº Ì ÓÖÑ Ö Ö ÐÐ ÒÓÒ¹Å Ö ÓÚ Û Ð Ø Ð ØØ Ö Ö Å Ö ÓÚº Ì ½¾¾

123 º ÈÖÓ Ð Ø ÓÖÑ Ð Ñ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Ø Ò Ö Ü ÑÔÐ Ó Å Ö ÓÚ Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð ÓÒ d¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÕÙ Ö Ð ØØ Ø Ø Ñ ¹ Ø Ô Ø Û Ð Ö Ò ÙÑÔ ØÓ ÒÝ Ó Ø 2d Ò ÓÖ Ò Ø Û Ø ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð ØÝ 1/(2d) Ø Ø ØÓØ ÐÐÝ Ò Ô Ò ÒØ Ó ÓÛ Ø Û Ð Ö ÓØ ØÓ Ø ÔÖ ÒØ ÔÓ Ø ÓÒº Ð ¹ ÚÓ Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð ÓÒ Ø Ñ Ð ØØ Ò Ø ÒÓÒ¹Å Ö ÓÚ Ò ØÓ Ø ÔÖÓ Ò Ø Ò ÒÒÓØ ÖÓ ÓÒ Ø Ð ØØ ÓÒ Ò ØÓ ÒÓÛ Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ø Û Ð Ö ÓÙÔ Ø ÐÐ ÔÖ Ú ÓÙ Ø Ñ º ÁÒ ÑÓÖ Ø Ò Ð Ø ÖÑ Å Ö ÓÚ ÔÖÓ Ù Ø Ø P( x n, t n ;...; x k+1, t k+1 x k, t k ;... x 0, t 0 ) = P( x n, t n ;...; x k+1, t k+1 x k, t k ). Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ ÑÔÐ Ø Ø ÒÝ Ó ÒØ ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ Ò ÜÔÖ Ò Ø ÖÑ Ó ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ø Ø Ø Ô Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ø ÔÖ ÒØ Ò ÑÑ Ø ÐÝ Ù ÕÙ ÒØ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÐÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø À Ò T( x k, t k x k 1, t k 1 ) P( x k, t k x k 1, t k 1 ). P( x n, t n ;...; x 0, t 0 ) = T( x n, t n x n 1, t n 1 )...T( x 1, t 1 x 0, t 0 )P( x 0, t 0 ). Ð ÖÐÝ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø Ø Ý d x k T( x k, t k x k 1, t k 1 ) = 1, T( x k, t k x k 1, t k 1 ) 0. ÔÑ Ò¹ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ÒØ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ º Ì ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ P Ó Ò Ö Ò ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Å Ö ÓÚµ ØÓ Ø ÔÖÓ Ú ÐÙ Ø Ø t 2 Ö Ð Ø ØÓ Ø ÓÒ Ø t 1 Ý Ø ÒØ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ P( x 2, t 2 ) = d x 1 P( x 2, t 2 ; x 1, t 1 ) = d x 1 P( x 2, t 2 x 1, t 1 )P( x 1, t 1 ) Û Ö Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÖÙÒ ÓÚ Ö ÐÐ ÔÓ Ð Ú ÐÙ Ó x 1 º ÆÓØ Ø Ø t 1 Ò t 2 Ö ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ò Ò Ø Ñ ÐÐÝ ÐÓ ØÓ ÓØ Öº Ì ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ø Ø Ý Ñ Ð Ö ÒØ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒº ÁÒ P( x 3, t 3 ; x 1, t 1 ) = P( x 3, t 3 x 1, t 1 ) P( x 1, t 1 ) = d x 2 P( x 3, t 3 ; x 2, t 2 ; x 1, t 1 ) = d x 2 P( x 3, t 3 x 2, t 2 ; x 1, t 1 )P( x 2, t 2 ; x 1, t 1 ) = d x 2 P( x 3, t 3 x 2, t 2 ; x 1, t 1 )P( x 2, t 2 x 1, t 1 )P( x 1, t 1 ), º¾µ ÖÓÑ Û Ö Û Ø T( x 3, t 3 x 1, t 1 ) = d x 2 T( x 3, t 3 x 2, t 2 )T( x 2, t 2 x 1, t 1 ), º µ ÆÓØ ÓÛ Ú Ö Ø Ø Û Ö Ö Ö ØÓ ÝÒ Ñ ÐÐÝ Ò Ö Ø Ð ¹ ÚÓ Ò Û Ð Û Ó ÒÓØ Ò Ø Ñ Ø Ø Ø Ð Ò Ñ Ð Ø Ø Ö Ð Ú ÒØ ÓÖ ÔÓÐÝÑ Ö Ò Ø ÖÑ Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑº ÇÒ Ø ÔÓ ÒØ º ½¾

124 º ÈÖÓ Ð Ø ÓÖÑ Ð Ñ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Ø ÔÖÓ Å Ö ÓÚº Ì Ø ÔÑ Ò¹ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ð Ò Ø ØÖ Ò¹ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø º Ò Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ó Ñ ÑÓÖÝº ÌÛÓ ÔÓ ÒØ ÓÙØ Ø Ö Ò ØÛ Ò Å Ö ÓÚ Ò ÒÓÒ¹Å Ö ÓÚ ÔÖÓ Ö ÛÓÖØ Ù Ò ÓÖ Ó Ò ÓÒº Ö Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ø Ñ ¹ Ô Ö Ø ÓÒ δ = t k+1 t k Ø Ø Ô Ý ÐÐÝ Ó ÖÚ Ð Ñ Ý ÔÐ Ý ÖÓÐ Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ó ÔÖÓ Å Ö ÓÚ ÓÖ ÒÓÒ¹Å Ö ÓÚº ÁÒ ÑÓ Ø Ö Ð Ø ØÙ Ø ÓÒ ÓÒ ÒÚ Ø Ø Ø ÝÒ Ñ Û Ø Ù ÒØÐÝ Ò Ø Ñ Ö ÒÓÒ¹Å Ö ÓÚ Ø ÛÓÙÐ Ó ÖÚ Ð º ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ Ñ ÒÝ ÔÖ Ø Ð ÔÙÖÔÓ ÓÒ Ò ÙÑ Ø Ø Ø Ò Ø Ð Ö ÓÚ ÖÐÓÓ Ý Ô Ö Ø Ñ ¹ Ö Ø Ø ÐÓÒ Ö Ø Ò Ø Ö Ø Ö Ø Ñ ÑÓÖÝ Ø Ñ º Ì Ù Ø ÔÖÓ Ò ÓÒ Ö ØÓ Ø Ú ÐÝ Å Ö ÓÚ Ò Ø Ñ Û Ý Ø ÒÓ ¹ÒÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ø Ä Ò Ú Ò ÔÔÖÓ Ò Ù Ù ÐÐÝ Ø Ò ØÓ ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ñ µº Û Ú ÐÖ Ý ÒÓØ Û Ò Û Ö ÛÖÓØ Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÖÓÛÒ Ò Ô ÖØ Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÓÖ Ò Ø ÓÒÐÝ Ø Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ö Ó Ö ÓÑ Ò Ø Ý Ø Ñ Ý ÒØ Ö Ø Ò Ø Ö ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö ÔÐ Ò Ø Ö ÙÐØ Ò Ø Ö Ñ Ò Ò ÓÒ Ñ Ý ØÖ Ò ÓÖÑ Å Ö ÓÚ ÔÖÓ ÒØÓ ÒÓÒ¹Å Ö ÓÚ ÓÒ º Ì Ñ Ò ÓÙÖ Ø Ø Ð Ú Ð Ó Ø ÔÖÓ Ð Ø Ö ÔØ ÓÒ Ø Ø Û Ö Ù Ò Ò Ø Ë Ø ÓÒº Ì Ù Û ÓÒÐÙ Ø Ø Ø Å Ö ÓÚ ÓÖ ÒÓÒ¹Å Ö ÓÚ Ö Ø Ö Ó ÔÖÓ Ñ Ý Ô Ò ÓÒ Ø Ð Ú Ð Ó Ö ÔØ ÓÒ Û Û ÒØ ØÓ Ó Ø Ò Ò ÓÒ Ø ÔÔÖÓ Û ÓÔØº ËØ Ø ÓÒ Ö ØÝ Ò Ö Ó ØÝº ØÓ Ø ÔÖÓ Ø Ø ÓÒ ÖÝ Û Ò Ø Ó ÒØ¹ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ØØ µ P( x n, t n ;...; x 0, t 0 ) = P( x n, t n + ;...; x 0, t 0 + ). º µ ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÑÔÐ Ø Ø Ø ÓÒ ¹Ø Ñ ÔÖÓ Ð ØÝ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ñ P( x, t) = P st ( x) Ò Ø ØÛÓ¹Ø Ñ Ó ÒØ ÔÖÓ Ð ØÝ Ô Ò ÓÒ Ø Ø Ñ ¹ Ö Ò ÓÒÐÝ P( x 1, t 1 ; x 2, t 2 ) = P st ( x 1, t 1 t 2 ; x 2, 0)º Ì ÑÑ Ø ÐÝ ÑÔÐ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ø Ö Ð Ó ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ø Ñ ¹ Ö Ò ÓÒÐÝ P( x 1, t 1 x 2, t 2 ) = P st ( x 1, t 1 t 2 x 2, 0)º ÓÖ Å Ö ÓÚ ÔÖÓ Ø Ð ØØ Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ù ÒØ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ö Ø Ö Ó Ø ÔÖÓ Ò ÐÐ Ó ÒØ ÔÖÓ Ð Ø Ò ÜÔÖ Ò Ø ÖÑ Ó ÓÒ ¹Ø Ñ Ò ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø ÓÒÐÝº ÈÖÓÔ ÖØÝ º µ ÑÑ Ø ÐÝ ÑÔÐ Ø Ø Ò Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÖÓ Ø Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ÒÝ ÒÙÑ Ö Ó Ó ÖÚ Ð A 1,...,A n Ú ÐÙ Ø Ø Ö ÒØ Ø Ñ t 1... t n ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÖÖ Ô Ø Ú Ó Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ø Ñ Ö Ò t 2 t 1,...,t n t n 1 C AnA n 1...A 1 (t n +,...,t 1 + ) = C AnA n 1...A 1 (t n,...,t 1 ). ½¾

125 º ÈÖÓ Ð Ø ÓÖÑ Ð Ñ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÒ C AB (t, t ) = C st AB (t t )º Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÓÒ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÑÙÐØ ¹Ø Ñ Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ Ö Ð Ó Ø Ø ÓÒ ÖÝ Û Ò º µ ÓÐ º Ò Ö Ó Å Ö ÓÚ Ò Ù Ø Ø ÐÐ ÔÓ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ º º ÐÐ ÔÓ Ð Ú ÐÙ Ó x Ö Ð ÖÓÑ ÒÝ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒº º º¾ Å Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ä Ø Ù ÒÓÛ ÓÙ ÓÒ Å Ö ÓÚ Òº Ì ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ P( x, t k x, t 0 ) ÓÒ Ø Ø Ñ ÕÙ Ò t 0,...,t n Ø ÖÑ Ò Ý Ø Ñ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ P( x, t k+1 x, t 0 ) P( x, t k x, t 0 ) = x T( x, t k+1 x, t k )P( x, t k x, t 0 ) + x T( x, t k+1 x, t k )P( x, t k x, t 0 ). º µ ËÓÑ Ø Ñ ÓÒ ÑÔÐ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ò ÛÖ Ø P( x, t) ÓÖ Ø ÙÒ ÒÓÛÒ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ P( x, t 0 ) ÔØ ÑÔÐ Øº Ì Ð Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ò Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ÒØ ØÝ ØÛ Ò Ø Ù ÕÙ ÒØ Ø Ñ t k Ò t k+1 º Ì Ö ØÛÓ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ö Ø Ò Ø Ú µ Ø ÖÑ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÔÖÓ Ó Ð Ú Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ x Ø ÓÒ ÔÓ Ø Ú µ Ø ÖÑ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÔÖÓ Ó Ö Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ xº Ì Ñ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ñ ØÖ Ð ÓÖÑº ÁÒ ÓÒ Ö Ø Ø P( x, t k+1 x, t 0 ) = x W( x, t k+1 x, t k )P( x, t k x, t 0 ) º µ Û Ø Ø Ñ ØÖ Ü W ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÖÑ Ó Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø T º Ð Ò Ò Ø Ð Ð Ò º ÒÝ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ñ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ø x T( x, t k+1 x, t k )P st ( x) = x T( x, t k+1 x, t k )P st ( x ) x. º µ Ì ÕÙ Ø ÓÒ ÐÐ Ð Ò Ò Ø Ò ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ØÓ ÐÐÓÛ ÓÖ Ø Ý Ø Ø º Ì Ð Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ñ Ý Ñ Ø Ñ ÒÝ ÓÐÙØ ÓÒ º Ø Ð Ð Ò Ö Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÒÚ Ö Ò Ó Ø ÝÒ Ñ ÙÒ Ö Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Ð Ò ÔÖÓ Ð Ø Ò º ÁØ Ø Ø Ø Ø Ò Ø Ø Ý Ø Ø ÒÝ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ò Ý Ø Ø Ñ ¹Ö Ú Ö T( x, δ x, 0)P st ( x) = T( x R, δ x R, 0)P st ( x R ), º µ Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ñ ÙÖ Ð Ó ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Ð P st ( x) = P st ( x R ). º µ Ï Ð Ø ØÓ Ø Ú Ö Ð Ó Ý Ø Ñ Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ö Ô Ö ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ ÙÒ Ö Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Ð x R i (t) x i ( t) = ǫ i x i (t) Û Ø ǫ i = ±1, ½¾

126 º ÈÖÓ Ð Ø ÓÖÑ Ð Ñ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë ÓÖ Ú Ò Ò Ó Ú Ö Ð Ö Ô Ø Ú ÐÝº ÇÒ Ò Ø Ø Ø Ð Ð Ò ÑÔÐ Ð Ò º Ï Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ Ð Ñ ÖÓ Ø Ø ³ x Ò Ø Ø Ð Ð Ò Ù ÒØ Ø ÓÙ ÒÓØ Ò ÖÝµ ØÓ Ò ÙÖ Ø Ø Ø ØÓ Ø ÔÖÓ ÔÔÖÓ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ ÐÓÒ Ø Ñ º Ò Ü ÑÔÐ Ð Ø Ù ÓÒ Ö Ô ÖØ Ð Ý Ø Ñ Ö Ø Ö Þ Ý Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ò ÑÓÑ ÒØ Ó Ô ÖØ Ð º ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÑÓ Ý Ò Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ò ÑÓ¹ Ñ ÒØÙÑ Ó ÓÒ Ô ÖØ Ð ÖÓÑ ( r, v) ØÓ ( r, v )º Ë Ò Ø Û Ö ÑÓØ ÓÒ ÖÓÑ r ØÓ r ÓÙÖ Ò Ø ÓÔÔÓ Ø Ö Ø ÓÒ Ø Ö Ú Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÑÓ Ý Ò ( r, v ) ÒØÓ ( r, v)º Ø Ð Ð Ò Ö ÕÙ Ö Ø Ø Ø ØÛÓ ÔÖÓ ÕÙ ÔÖÓ Ð Û Ò Ø Ý Ø Ñ ØØ Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ø Ø º º P st ( r, v, δ; r, v, 0) = P st ( r, v, δ; r, v, 0) T( r, v, δ r, v, 0)P st ( r, v) = T( r, v, δ r, v, 0)P st ( r, v ). º½¼µ ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÙÖ Ø Ø Ø Ñ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙ¹ Ø ÓÒº Ï Ø ÐÐ Ó ÒÓØ ÒÓÛ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ÓÖ Û Ø Ö Ø ÔÖÓ ÓÒÚ Ö ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ØÓ Øº Ï ÐÐ Ù Ø ØÛÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ë Øº º º º ÙÖØ ÖÑÓÖ Û Ú ØÓ Ø ÖÑ Ò Ò ÑÙ Ò Ö Ð ØÝ ÔÓ Ð Û Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ò Û Ø Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ ÙÖ P st ( x) = P eq ( x)º Ï ÐÐ ÓÑ ØÓ Ø Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ù Ð Ø Öº Ò ÐÐÝ Û Ú ÒÓØ Ù Ö Ø Ø Ó ÜØ ÖÒ Ð Ð ÓÒ Ø Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó ØÓ Ø ÔÖÓ º Û Ù Ò º Ø ÜØ ÖÒ Ð Ð ÓÙÐ Ð Ó Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Ò Ø Ö Ó Ø Ò Ö Ð Þ º µº º º Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ì ÒØ Ö Ð ÔÑ Ò¹ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØÓ Ö ÒØ Ð ÕÙ ¹ Ø ÓÒ ÙÒ Ö ÖØ Ò ÙÑÔØ ÓÒ º Ë Ú Ö Ð Ø ÜØ ÓÓ Ö Ø Ö Ú Ø ÓÒ ¾ º À Ö Û ÙÑÑ Ö Þ ÓÑ Ó Ø ÓÖÑ Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø º ÃÖ Ñ Ö ¹ÅÓÝ Ð ÜÔ Ò ÓÒº ËØ ÖØ Ò ÖÓÑ Ø ÔÑ Ò¹ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ ÃÖ Ñ Ö Ò ÅÓÝ Ð Ö Ú Ò¹ Ö Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ø º Ì ÕÙ Ø ÓÒ ÒÚÓÐÚ Ö Ò Û Ø Ó ÒØ Ö Ö Ð Ø ØÓ Ø ÑÓÑ ÒØ Ó Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð ØÝº ÓÖ ÒÓÒ¹Å Ö ÓÚ Ý Ø Ñ Ø Ó ÒØ Ô Ò ÓÒ Ø ÙÐÐ ØÓÖÝ Ó Ø ÔÖÓ º ÓÖ Å Ö ÓÚ ÔÖÓ Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÐÓ Ð Ò Ø Ñ ÙØ Ø Ñ Ø ÒÚÓÐÚ Ò Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø ÖÑ º Ï Ò Ø ÃÖ Ñ Ö ¹ÅÓÝ Ð ÜÔ Ò ÓÒ ØÓÔ Ø Ö Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÔÔ Ò ÓÖ Ä Ò Ú Ò ÔÖÓ Û Ø Ø Ú ÒÓ Û Ö Ð Ø Û Ø Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ ¹ Ø ÓÒ Ð Ó ÐÓÛµº ÁÒ Ø Û Ö Ø ÔÖÓ Ó ÒÓØ ÙÑÔ³ º º ÐÐ ÔÐ Ñ ÒØ ÓÑ Ñ ÐÐ Ò Ø Ð Ñ Ø δ 0 ÓÒ Ò ÛÖ Ø ¾ P( x, t x, t ) t = x i [ D (1) i ( x, t)p( x, t x, t ) ] + 2 x i x j [ D (2) ij ( x, t)p( x, t x, t ) ] º½½µ ½¾

127 º ÈÖÓ Ð Ø ÓÖÑ Ð Ñ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Ì Ö Ø D (1) i ( x, t) Ò Ø Ù ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ D (2) ij ( x, t) Ö Ú Ò Ý D (1) 1 i ( x, t) = lim d x (x x) i T( x, t k+1 x, t k ) δ 0 δ D (2) 1 ij ( x, t) = lim d x (x x) i (x x) j T( x, t k+1 x, t k ). δ 0 2!δ º½¾µ Ì Ò Ñ Ú Ò ØÓ Ø Ó ÒØ Ö Ø Ø Ö ÙÒ ÖÐÝ Ò Ô Ý Ð Ò ØÙÖ Û ÐÐ Ð Ö ÐÓÛº Ì ÓÚ Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒ ÔÖÓ Û Ø ÐÓ Ð Ò Ø Ñ Ô Ò ÒØ Ö Ø Ò Ù ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ º Ì Ö Ö ÓÛ Ú Ö ÑÙ Û Ö Ð Ó ÔÖÓ Ø Ø Ñ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ñ Ð Ñ Ø ÐØ ÓÙ Ø Ý ÐÓ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò xµº ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ò Ñ ÙÑÔ Ó ÒÓÒ Ú Ò Ò ÑÔÐ ØÙ ÙØ ÑÓÖ Ò ÑÓÖ δ 0 Ù Ø Ø Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø T( x, t k+1 x, t k ) ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÙÑÔ Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ δº ÁÒ Ø Ø ÃÖ Ñ Ö ¹ÅÓÝ Ð ÜÔ Ò ÓÒ ÑÙ Ø ÓÒØ Ò ÒÓÒ ÐÓ Ð Ô Ø Ð Ø ÖÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÙÑÔ Ò Ö P( x, t x, t ) t + = x i [ D (1) i ( x, t)p( x, t x, t ) ] + 2 x i x j [ D (2) ij ( x, t)p( x, t x, t ) ] d x [ ˆT( x, t + δ x, t) δ P( x, t x, t ) ˆT( x, t + δ x, t) P( x, t x, t ) δ ], º½ µ Û Ö Ø Ð Ø Ø ÖÑ Ö Ø ÙÑÔ Ò Ø ØÖ ØÓÖ Ó Ø ØÓ Ø ÔÖÓ Ò ˆT Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø º Ì Ø Ø ÓÚ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ØÛ Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ µ ÖÓÛÒ Ò Ù ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÙÑÔ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÙÒ ÕÙ Ò Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ñ Ð Ñ Ø Ø ÓÒØ ÒØ Ó Ø ÛÓÖ Ó Èº Ä ÚÝ ÓÒ Ò Ò Ø ÐÝ Ú Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ø Ä ÚÝ ÓÑÔÓ Ø ÓÒº ÁÒ ÓÑ Ø ÙÑÔ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ù ÓÒ Ø ÖÑº Ì ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Û Ø ÒÓÛÒ Ä ÚÝ Ø ÔÖÓ ¾ º Ï Ò Ø ÙÑÔ ÔÖÓ Ú Ò Ø Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ø ÓÖÑ Ó ÐÓ Ð ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Ûº ÁÒ Ò Ò Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ÙÖÖ ÒØ J i ( x, t x, t ) D (1) i ( x, t)p( x, t x, t ) j x j D (2) ij ( x, t)p( x, t x, t ), Ø ÓÑ P( x, t x, t ) t = i J i ( x, t x, t ) x i. ÌÛÓ Ô Ð ÃÖ Ñ Ö Ò ËÑÓÐÙ ÓÛ º Ì ÃÖ Ñ Ö Ò ËÑÓÐÙ ÓÛ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ø ÓÐ Ü ØÐÝ ÓÖ Ð Ò Ö Ä Ò Ú Ò ÔÖÓ Û Ø Û Ø Ø Ú ÒÓ º Ì ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ½¾

128 º ÈÖÓ Ð Ø ÓÖÑ Ð Ñ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Ø ÖÑ Ð ÒÓ P(ξ) Ò Ù Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÝÒ Ñ Ú Ö Ð x Ò v P( x, v, t) Dξ P(ξ) δ ( x x ξ (t)) δ ( v v ξ (t)), º½ µ Û Ö Û ÓÔØ Ø ÓÖØ¹ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ P( x, v, t) ÓÖ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð ØÝ P( x, v, t x, v, t )º ÁÒ Ø ÓÚ Ö ÑÔ Ð Ñ Ø Ø Ú ÐÓ ØÝ v Ð Ú ØÓ Ø ÐÓ Ð ÓÖ Ò P( x, v, t) Ö ÔÐ Ý Ò ÜÐÙ Ú ÙÒØ ÓÒ Ó x P( x, t) Dξ P(ξ) δ ( x x ξ (t)) º½ µ Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ó ÐÐ ËÑÓÐÙ ÓÛ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒØ ÜØµ P( x, t) γ t = [ P( x, t) x i ] V ( x) + T 2 P( x, t), x i x 2 i º½ µ Û Ø Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ P( x 0, t 0 )º ÆÓØ Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ ØÙ ÐÐÝ ÔÔÐ ØÓ Ø ÓÒ¹ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð ØÝ P( x, t x 0, t 0 )º Ë ÓÖ Ö Ø Ö Ö ÙÖÓÙ ÔÖÓÓ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒº ÁÒ Ø Û Ö Ò ÖØ ÒÒÓØ Ò Ð Ø Ò ÒÓ Ø Ú ÓÒ Ò Ø Ð Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ P( x, v, t) Ø Ö Ø ÓÖ Ö Ö ÒØ Ð ÃÖ Ñ Ö ÕÙ Ø ÓÒ P( x, v, t) t = (v i P( x, v, t)) x i + 1 [( V (x) γv i + + γt m v i x i m v i ) ] P( x, v, t) º½ µ Û Ø Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ P( x 0, v 0, t 0 )º ÁØ Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÒÓØ Ø Ø Ø Ð Ò Ò Ó ØÓÖ ÓÒ Ø Ö Ó Ø ÃÖ Ñ Ö Ò ËÑÓÐÙ ÓÛ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓ Ë Øº º½º¾µ Û Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ú ÖÓÑ Ä Ò Ú Ò ÔÖÓ º ÁØ ØÓØ ÐÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø Ö Ð Ø ÓÒ º½¼µ ØÛ Ò Ø ØÖ Ò Ø Ó Ø ÒÓ ¹ÒÓ ÓÖÖ Ð ØÓÖ Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ó ¹ ÒØº ÅÓÖ Ò Ö ÐÐÝ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ø Ø Ð ¹ Ð Ò ÓÒ Ø ÓÒ º µ Ø Ø ÐÐ Ò H fp ( x) Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ò ÓÒ P( x, t) Ò Ø Ö Ó Ø Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ö H fp ( x)p st ( x) = P st ({ǫ i x i })H fp ({ǫ ix i }). º½ µ Ì Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ØÓ Ø Ð º Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ð Ó Ù ÓÖ ØÓ Ø Ú Ö Ð Ø Ø ØÙ ÐÐÝ d¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð φ( x, t) = (φ 1 ( x, t),..., φ d ( x, t)º ÁØ Ø Ò ØÙÖ Ð Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ½¾

129 º ÈÖÓ Ð Ø ÓÖÑ Ð Ñ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒº ÁÒ Ø ËÑÓÐÙ ÓÛ Ð Ñ Ø Ò ÓÖ Ø Ú ÒÓ Ø Ö P( φ, [ ] t) δ = P( φ, t δφ a ( x, t) δv [φ] t) + T δ P( φ, δφ a ( x, t) δφ t). 2 a ÔÔÖÓ ØÓ Ø Ø ÓÒ Ö ØÝº ÍÒ Ö Ö Ø Ö Ñ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ò ÔÖÓÚ Ø Ø ØÓ Ø ÔÖÓ ÓÚ ÖÒ Ý Ò Ö Ñ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ø Ø ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ø ÓÒ ÙÒ ÕÙ º Ï ÔÖ ÒØ ÔÖÓÓ Ó Ø Ø Ø Ñ ÒØ ÐÓÛº Ú ÖÝ ÑÔÐ Ü ÔØ ÓÒ ØÓ Ø ÖÙÐ Ú Ò Ý ÓÑÔÓ Ð Ý Ø Ñ Ñ Ó ØÛÓ ÓÖ ÑÓÖ ÒÓÒ¹ ÒØ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ò Û ÓÒ Ò ÓÒ ØÖÙØ Ú Ö Ð Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÝÑÔØÓØ ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ò Ý Ð Ò Ö ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Û Ø Ö ØÖ ÖÝ Ó ÒØ Ó Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ù Ý Ø Ñº ÒÓØ Ö Ó Ü ÔØ ÓÒ Ú Ò Ý ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ó ÔÓ Ð Ø Ø º Ï ÐÐ ÒÓØ Ù Ø Ô Ð Ö ÙØ ÓÙ ÓÒ Ø ÑÓÖ Ò Ö ØÙ Ø ÓÒº ÈÓ ÐÝ Ø ÑÔÐ Ø Û Ý ØÓ Ø Ø ÙÒ Ö Û ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÔÔÖÓ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÖÑ ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ØÓ Ù Ø H¹Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Û Ù Û Ø ÓØ Ö ÔÙÖÔÓ Ò ÓÑÔº º Ì H¹ ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÖ ÄÝ ÔÙÒÓÚ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð ( ) P1 ( x, t) H P1,P 2 (t) d x C P 2 ( x, t), º½ µ P 2 ( x, t) Ñ ÙÖ Ø Ò ØÛ Ò Ø ÒÓÖÑ Ð µ Ô P 1 Ò P 2 º C(y) ÒÝ ØÖ ØÐÝ ÓÒÚ Ü ÙÒØ ÓÒ º º Ø Ø i C(ω i y i ) > i C(y i )ω i ÓÖ i ω i = 1 Ò ω i 0º Ù ØÓÑ Ö ÐÝ ÓÒ Ù C(x) = x ln x Û Ù Ø ØÓ Ö Ð Ø H ØÓ ÒÓÒ¹ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø ÒØÖÓÔÝ ÓÒ ÔØ Ú S(t) = S o H(t) Û Ø S o Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÒØÖÓÔÝº ÆÓÛ H P1,P 2 (t) ÓÙÒ ÖÓÑ ÐÓÛ Ò Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ø ½¼ µ Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ü Ó ÒÓØ Ú Ò ÙÐ Ö Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ò Ò Ø ÖÖ Ö Ø Ø Ö Ò Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑÔÓ Ð µ Ò µ P 1 Ò P 2 Ö Ö ÒØ ÖÓÑ Þ ÖÓ Û Ý ÖÓÑ Ò Ò ØÝº Ì Ù Ø Ø Ò ØÛ Ò ÒÝ ØÛÓ ÒÓÖÑ Ð Þ ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ò ÝÑÔØÓØ ÐÐÝº Ï Ò Ø Ö Ø Ò Ù ÓÒ Ñ ØÖ Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ñ Ø Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ ¹ Ø ÓÒ Ñ Ý Ñ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙØ ÓÒº ÓÒ Ø ÓÚ Ö ÙÑ ÒØ ÒÝ ÓØ Ö ÒÓÖÑ Ð Þ ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö ÐÝ ÔÔÖÓ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÒ Ò Ø ÐÓÒ ¹Ø Ñ Ð Ñ Øº ÌÛÓ ØÝÔ Ó Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÒØ º Ì ÑÔÐ Ö ÓÒ Ú ÓÒ Ø ÒØ ÙÖÖ ÒØ J i ( x) = J i Ü Ý Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º Æ ØÙÖ Ð ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ñ Ò J i = 0 Û Ò x j ÓÖ ÐÐ j Ø Ù J i = 0 Ú ÖÝÛ Ö Ò Ô Ò Û Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÓÖÑ Ø Ñ Û Ò µ Ø Ù ÓÒ Ñ ØÖ Ü D (2) ij P st ( x) e φ( x), φ( x) = dx k x D (2) ki 1 ( x ) D (1) i ( x ) D(2) ij ( x ) ½¼ Ì Ö ÙÑ ÒØ Ò ØÓ Ð ØÐÝ ÑÓ ÓÖ Ø ÃÖ Ñ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ú Ò Ø Ø Ø Ù ÓÒ Ñ ØÖ Ü ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ø ÐÐ ÓÒ Ð Ó ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÝÑÔØÓØ ÓÐÙØ ÓÒ ÙÒ ÕÙ Ò Ø º ½¾ x j

130 º ÈÖÓ Ð Ø ÓÖÑ Ð Ñ ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Û Ö ÙÑ ÓÚ Ö Ö Ô Ø Ò ÙÑ º ÁÒ Ø ÑÔÐ D (1) i ( x) = xi V ( x) Ò D (2) ij ( x) = Tδ ij ÓÒ ÐÝ Ø Ø Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÑ Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ ØÓÖº Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ò Ö ØÓ Û Ø Ö Ò ÜÔÐ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÔÓ Ð Û Ò Ø Ö Ø Ø ÖÑ ÒÓØ Ó ÔÓØ ÒØ Ð ÓÖÑº ÒÓØ Ö Ñ ÐÝ Ó ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÒÓÒ¹ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ý Ø Ø Ò µ Û Ø Ú Ö Ò Ð Ø Ñ ¹ Ò Ô Ò ÒØ ÙÖÖ ÒØ Ø Ø ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ô º Ï Ò Ø Ö Ø Ø ÖÑ Ø Ð Ú Ö Ò Ð Ò D (2) ÓÒ Ø ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÖ Ü ÑÔÐ ØÓ ØÖ Ö Ô ÖØ Ð Ú Ø Ý ÒÓÑÔÖ Ð ÓÒÚ Ø ÓÒ ÓÛ Ò Ù Ø ØÓ ÑÓÐ ÙÐ Ö Ù ÓÒ Ø Ò Ø Ò ØÖ Ú Ð Ò Ú Ò Ý P st ( x) = 1/V Û Ö V Ø ØÓØ Ð ÚÓÐÙÑ Ð ØÓ Ø Ô ÖØ Ð º Ì ÐÓ Ð ÙÖÖ ÒØ Ø Ò Ú Ò Ý J i = D (1) i ( x)/v Ò Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ú Ö Ò Ð º ÒÓØ Ö Ø Ø Ò ÓÐÚ Ò ÙÐÐ Ò Ö Ð ØÝ Û Ò Ø Ö Ø Ø ÖÑ Ø ÙÑ Ó ÔÓØ ÒØ Ð Ô ÖØ Ò Ú Ö Ò Ð Ô ÖØ Ø Ø Ö Ú ÖÝÛ Ö ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ ÓØ Öº Ì Ò Ø Ú Ö ÒÐ Ô ÖØ ÑÔÐÝ Ú Ø Ø Ô ÖØ Ð ÐÓÒ ÕÙ ¹ÔÓØ ÒØ Ð Ð Ò Ò Ó ÒÓØ ÑÓ Ý Ø Ø Ò Ö ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÐØÞÑ ÒÒ ØÓÖº ÁÒ Ø ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ò Ö Ð Ó Ò Ö ØÖ ÖÝ Ö Ø Ò Ù ÓÒ ØÖÙØÙÖ Ø Ö Ö Ò Ò Ö Ð ÒÓ ÜÔÐ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø Ò ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ö Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÔÓ Ð À ÖÖ Ø Ðº ÂÓÒ Ä Ò Óµº º º ÉÙ ÒØÙÑ Ñ Ò Ð ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ã ÒÓ Ò ËÛ Ø ÔÖÓÔÓ ØÓ Ù ÕÙ ÒØÙÑ Ñ Ò Ð ÒÓØ Ø ÓÒ ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö¹ ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ º ÆÓØ Ø Ø Ø ÒÓØ ÒØ Ð ØÓ Ø ÓÚ Ñ ÔÔ Ò ØÓ Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ó Ö¹ÈÐ Ò À Ñ ÐØÓÒ Ò ÒÓÒ¹À ÖÑ Ø Òº Ì ÒÓØ Ø ÓÒ Ú ÖÝ Ù ÙÐ ØÓ ÔÖÓÚ ÑÔÐ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ØÓ Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÐ Ò Ò Ö ÕÙ Ð ¹ Ö ÙÑ Ø Ø Û Ù Ò Ë Øº º ÁÒ ÒØ Ý Ò i / x i Û Ø Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ˆp i Ø Ù Ù Ð ÓÑÑÙØ Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ÑÓÑ ÒØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ö Ö ÓÚ Ö i x i ˆp i [ˆp i, ˆx j ] = iδ ij, Û Ð [ˆx i, ˆx j ] = 0 Ò [ˆp i, ˆp j ] = 0 ÓÖ ÐÐ i, jº Ì ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ P( x, t) Ø Ò ÒØ Û Ø ÕÙ ÒØÙÑ Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ Ø Ø P(t) Ò Ø Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ö P(t) = t Ĥfp P(t), Û Ö Ĥfp ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÖÑ Ó Ø ÒÓÒ ÐÐÝ ÓÒ Ù Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ˆ x Ò ˆ p Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð ØÝ T( x, t + τ x, t) = x e Ĥfpτ x. Ì Ø Ð Ð Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ º½ µ ÑÔÐ Ø Ø e βĥ({ǫ ix i } )Ĥfp( x)e βĥ( x) = Ĥ fp ({ǫ ix i }), º¾¼µ Ì ÓÖÑ Ó Ø Ó Ö¹ÈÐ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ô Ò ÓÒ Ø ØÓ Ø ÔÖÓ ÓÒ Ö º ÁÒ Ø Ó ØÓ Ø ÔÖÓ Ó ÃÖ Ñ Ö ³ ØÝÔ Ö Ò ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ ½ ¼

131 º ÝÒ Ñ Ó Ö Ø Ú Ö Ð ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Û Ø ÔÓ Ø ÓÒ x Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ p ÓÒ ÛÓÖ Û Ø ØÛÓ ÔÓ Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ˆx, ˆpµ Ò ØÛÓ ÑÓÑ ÒØÙÑ ÓÔ Ö ØÓÖ ˆp x, ˆp p µ Ò Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ö Ĥ k = iˆp x v + 1 ( ) γ m iˆp v V γt (ˆx) + iˆp v + mˆv m 2iˆp v ÓÖ Ø ËÑÓÐÙ ÓÛ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÒ Ô Ö Ó ÓÒ Ù Ø Ú Ö Ð ˆx, ˆpµ Ò º º º½ Ĥ s = 1 γ ˆp ( iˆv (x) T ˆp ). ÝÒ Ñ Ó Ö Ø Ú Ö Ð Ð Ù Ö ÝÒ Ñ ÁÒ Ë Øº Û ÔÖ ÒØ Ø Ä Ò Ú Ò ØÓ Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ Ú Ö Ð Ò ÓÒØ Ø Û Ø Ø Ø º Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò ØÓ ÓÛ ØÓ Ö Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ö Ø º º Á Ò Ô Ò Ú Ö Ð Ò ÓÒ¹ Ø Ø Û Ø Ö ÖÚÓ Öº ÇÒ Û Ý Ó Ó Ò Ø ØÓ Ù Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÜØ Ò Ò Ø Ö Ø Ú Ö Ð ØÓ ÓÑ Ó Ø Ô Ò Ò Ø Ø Ò Ó Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÑÔÓ Ò Ø Ö ÓÒ ØÖ ÒØ s = ±1º ÒÓØ Ö Û Ý ØÓ ÔÖÓÔÓ ÙÔ Ø Ó Ø ØÖÙÐÐÝ Ö Ø Ô Ò Ø Ø Ø Ý Ø Ð Ð Ò Ò ÒÐÙ Ø ØÓ Ø Ø Ó Ø ÓÙÔÐ Ò ØÓ Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØº Ð Ù Ö ÔÖÓÔÓ Ù ÝÒ Ñ ÖÙÐ ÔÖÓÔÓ Ð ÒÓÛ ÒÓÛÒ Ð Ù Ö ÝÒ Ñ º Ä Ø Ù Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÑÔÐ Ø ÔÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ð Á Ò Ú Ö Ð s = ±1 Ò ÙÔ Ø Ø Ö Ò ÓÑÐÝº Á Ø Ö ÒÓ Ñ Ò Ø Ð ÒÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ø Ø s = ±1 ÚÓÙÖ º Á Ø Ö Ø Ô Ö ÙÒ Ø Ø Ñ Ø Û Ø Ô Ò Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒ ØÓ Ø ÓÔÔÓ Ø Ø Ø α/2. s(t + dt) = { s(t) Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ p = α 2 dt s(t) Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ q = 1 α 2 dt, º¾½µ Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø Ô Ò s Ø Ø Ú ÐÙ σ Ø Ø Ñ t + dt Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ p(s, t + dt) = p(s, t) (1 α ) 2 dt + p( s, t) α dt. º¾¾µ 2 Ì Ò Ø Ð Ñ Ø dt 0 ÓÒ dp(s, t) dt = p( s, t) α 2 p(s, t)α 2. º¾ µ Ì Ø Ñ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ò Ò Ø Ð Ø Ø Ö Ø Ö Þ Ò ÔÖÓ Ð ØÝº Ê Ò ÓÑÐÝ Ó Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÓÙÐ Ø Ý p(s, 0) + p( s, 0) = 1. º¾ µ ½ ½

132 º ÝÒ Ñ Ó Ö Ø Ú Ö Ð ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë ÇÒ Ò ÐÝ Ý ÛÖ Ø Ò Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ p(s, t) Ò p( s, t) Ø Ø Õº º¾ µ ÓÒ ÖÚ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ º º Ú Ò º¾ µ p(s, t)+p( s, t) = 1 ÓÖ ÐÐ t ÓÐÐÓÛ º p(s, t) Ò ÓÑÔÙØ Ý ÒÓØ Ò Ø Ø s (t) = p(1, t) p( 1, t) = [p(1, 0) p( 1, 0)]e αt Ò p(s, t) = 1 {1 + s[p(1, t) p( 1, t)]}º 2 Ä Ø Ù ÒÓÛ ÓÒ Ö Ò Á Ò ÑÓ Ð Ñ Ó N Ô Ò s i = ±1 ÓÖ i = 1,...,N Ò ÒØ Ö Ø ÓÒº Ø Ò Ø ÒØ Ø Ý Ø Ñ Ö Ø Ö Þ Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ý Ø Ó ÒØ ÔÖÓ Ð ØÝ ÙÒØ ÓÒ P(s 1 = σ 1,...,s N = σ N ; t)º Ì Ò Ù ÒØÐÝ ÓÖØ Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð dt Ù Ø Ø ÓÒÐÝ ÓÒ Ô Ò ÑÓÒ Ø N Ò Ø Ý Ø Ñ Ò ØØ ÑÔØ Ô Ò ÐÐ Ò T j (s j )dt Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ô Ò j Ò Ø Ò Ò dt Ò Ò ÐÓ Ý Û Ø º¾ µ ÓÒ (s 1,...,s N )(t + dt) = { (s1,..., s j,...,s N )(t), p = T j ( s j ) dt ÓÖ ÐÐ j (s 1,...,s j,...,s N )(t), q = 1 N º¾ µ. j=1 T j (s j ) dt ÈÖÓ Ò ÓÚ Ø Ó ÒØ ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ú Ò Ý N p(s 1,...,s N ; t + dt) = p(s 1,...,s N ; t) 1 T j (s j ) dt j=1 N + p(s 1,..., s j,...,s N ; t) T j ( s j ) dt. j=1 º¾ µ Ì Ò Ø Ð Ñ Ø dt 0 ÓÒ dp(s 1,...,s N ; t) N N = p(s 1,...,s N ; t) T j (s j ) + p(s 1,..., s j,...,s N ; t)t j ( s j ). dt j=1 j=1 º¾ µ Ì Ö ÒÓÛ ÕÙ Ø Ö ÓÑ ØÓ Ó Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø T j (s j )º Ì Ý Ò Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ò ÓÙÖ Ò Ô Ò ØÓ s j Ò ÒÓØ ÓÒÐÝ ÓÒ s j º Ì ÓÒ ØÖ ÒØ N N P eq (s 1,..., s N ) T j (s j ) = P eq (s 1,..., s j,...,s N )T j ( s j ), j=1 j=1 º¾ µ ÓÒ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø Û Ø P eq Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ Û Ø Ò ÙÖ Ø Ø Ø ÜÔÖ ÓÒ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÝÒ Ñ º Ì ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÒ Ø ØÖÓÒ Ö Ø Ð Ð Ò ÓÒ Ø ÓÒ P eq (s 1,...,s N )T j (s j ) = P eq (s 1,..., s j,..., s N )T j ( s j ) ÓÖ ÐÐj. º¾ µ ÓÖ Ø Á Ò ÑÓ Ð Û Ø Ò Ö ØÛÓ¹ Ó Ý ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ò ÑÔÐ Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ò P eq (s 1,...,s j,...,s N ) P eq (s 1,..., s j,...,s N ) = e sj i(j) J ijs i = T j( s j ) º ¼µ i(j) J ijs i T j (s j ) ½ ¾ e s j

133 º ÝÒ Ñ Ó Ö Ø Ú Ö Ð ËÌÇ À ËÌÁ ÈÊÇ ËË Ë Û Ö i(j) Ñ Ò Ø Ø Ø ÙÑ ÖÙÒ ÓÒÐÝ ÓÚ Ö Ô Ò ÓÒÒ Ø ØÓ Ø j¹ø Ô Ò Ò Ö Ø Ò ÓÙÖ ÓÒ Ø Ð ØØ ÓÖ Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð Ý Ø Ñ ÐÐ ÓØ Ö Ô Ò Ò Ø Ý Ø Ñ ÓÖ ÙÐÐÝ ÓÒÒ Ø ÑÓ Ð ÓÑ Ø Ò Ò ØÛ Ò ÓÖ ÑÓ Ð Ò ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ð ØØ º i(j) J ij s j Ø ÐÓ Ð Ð Ø Ò ÓÒ s j º ÆÓÛ ÓÒ Ò Ý ÑÔÐ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÔÓ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ó T j (s j ) = 1 1 s j tanh β J ij s i 2 i(j) º ½µ Ø Õº º ¼µº º º¾ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÝÒ Ñ Ì ÒÙÑ Ö Ð Ø Ò ÕÙ ØÓ ÑÙÐ Ø Ø Ø ÑÔÓÖ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ý Ø Ñ ÒÐÙ Ò Ø ØÓ Ø Ø Ó Ø ÓÙÔÐ Ò ØÓ Ø Ø º ÇÒ Ù Ñ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø Ø Ø Ø Ý Ø Ð Ð Ò º Ø Ø Ô Ô Ò Ò Ø ÑÔÐ Ý s i Ó Ò Ø Ö Ò ÓÑº ÁØ Ø Ò ØÙÖÒ Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ÔÖÓ Ð ØÝ = { Wi e E i/t E i 0, 1 E i < 0, º ¾µ Û Ö E i = E( s i ) E(s i ) Û Ö E Ø Ò Ö Ý Ó Ø Ý Ø Ñ Ò s i Ø Ö Ú Ö Ú ÐÙ Ó Ø Ô Ò s i º Ì Ô Ò Ô Û Ø Ö W i Ü Ö Ò ÓÑ ÒÙÑ Ö Ø Ò ÖÓÑ ÙÒ ÓÖÑ ØÖ ÙØ ÓÒ ØÛ Ò ¼ Ò ½º Ì ÖÙÐ ÑÔÐ Ø Ø ÐÐ ÙÔ Ø Ø Ø Ö ÚÓÙÖ Ð Ò Ò Ö Ý ( E i < 0) Ö ÔØ Û Ð ÓÑ ÙÔ Ø Ø Ø ÒÖ Ø Ò Ö Ý Ó Ø Ý Ø Ñ Ö Ð Ó Ô Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ º ¾µ º Ì ÔÖ ÓÖ ÙÒ ÚÓÙÖ Ð ÑÓÚ Ñ Ø ÐÔ Ø Ý Ø Ñ Ø ÓÙØ Ó Ñ Ø Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ð Ö ÙÑº Ì ÙÒ Ø Ó Ø Ñ Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ Û Ô Ø Ø ØÓ Ý N ØØ ÑÔ ØÓ Ô Ô Ò ÒÓØ Ø Ø Ù ØÓ Ø Ö Ò ÓÑ Ó Ó Ô Ò ÓÑ Û ÐÐ ÔÔ Ö ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ Ò ÓØ Ö Û ÐÐ ÒÓØ ÔÔ Ö Û Ø Ò Ø N Ó Ò ÓÒ µº ½

134 ÉÍÁÄÁ ÊÁÍÅ Æ ÅÁ Ë º½ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÝÒ Ñ ÔÔÖÓ ØÓ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ï Ø Ö ØÓ Ø ÔÖÓ ÔÔÖÓ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø Ò ¹ ØÙÖ Ó Ø ÓÖ ÔÔÐ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Øº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÐÐ ÓÙ ÓÒ Ó Ö¹ÈÐ Ò ÔÖÓ Û Ø ÒÓ ÙÑÔ º ÑÓÒ Ø Ù Ð Ñ Ø Ô ØÖ Ð Ö ÔÖ ¹ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ö¹ÈÐ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ø Ò Ö ÓÑÔÐ Ü ÒÚ ÐÙ º Ì ÝÑÔØÓØ Ò ÐÝ ØÓ Ô Ö ÓÖÑ ÓÒ ¹ Ý¹ º ÑÓÖ Ö ØÖ Ø Ú Ð Ó Ý Ø Ñ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ý Ð ¹ Ó ÒØ Ô ÓÔ Ö ØÓÖ º Ì ÔÓØ ÒØ Ð D (2) ij = Tδ ij Ò D (1) i = xi V Ô Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ð Ò ÓÒ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÔÖÓ Ó Ò ÔÔÖÓ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø Ú Ò Ý Ø ÒÓÒ Ð ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ ÙÖ º Ò Ý Ò Ð ÒØ ÔÖÓÓ Ó Ø Ø Ø Ñ ÒØ ÓÖ ËÑÓÐÙ ÓÛ ÔÓØ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð ÓÒ Ñ ÔÔ Ò Ó Ø Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ º ÁÒØÖÓ Ù Ò P( x, t) c e β 2 V ( x) p( x, t) º½µ Û Ø c ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ Ø Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÑ p( x, t) t = T 2 x 2 i V ( x) x 2 i + β ( ) 2 V ( x) p( x, t) 4 x i = L s p( x, t). º¾µ Ì Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò ÖÝ Ø Ñ º Ì ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ý Ø ÖÑ Ý V s ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ò Ð ÔÓØ ÒØ Ð V º p( x, t) Ö Ð Ø ØÓ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ Ò ÔÐ Ý Ø ÖÓÐ Ó Û Ú ÙÒØ ÓÒ Û Ð Ò ØÖÙ ÕÙ ÒØÙÑ Ñ Ò Ø Ø ÑÓ ÙÐÙ ÕÙ Ö Ó Ø Û Ú ÙÒØ ÓÒ Û ÔÖÓ Ð ØÝ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒº Ì ÓÔ Ö ØÓÖ L s Ñ Ø Ô ØÖ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ó Ø ÒÚ ÐÙ λ n Ò Ø ÒÚ ØÓÖ ψ n º Ë Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð V s Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ñ Ø ÒÚ ØÓÖ ψ n Ö Ø Ñ ¹ Ò Ô Ò ÒØ ψ n ( x)º Á Ø ÔÓØ ÒØ Ð V s ÖÓÛ ØÓ Ò Ò ØÝ Ù ÒØÐÝ Ø Û Ò x i ± ÓÖ ÐÐ i Ø Ô ØÖÙÑ Ö Ø Ò Ø Ö Ô ØÛ Ò Ø ÐÓÛ Ø ÒÚ ÐÙ λ 0 Ò Ø Ö Ø Ü Ø Ø Ø λ 1 º Ì ÖÓÙÒ Ø Ø Û Ú Ú ØÓÖ Ú ÖÝÛ Ö ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ò Ö ÔÖÓ Ð ØÝº ÇÒ Ò Ð Ó ÓÛ Ø Ø Ø ÓÔ Ö ØÓÖ L s Ò ÛÖ ØØ Ò Ø ÕÙ Ö Ó ÖØ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ù ÔÓ Ø Ú Ñ ¹ Ò Ø Ò À Ð ÖØ Ô ½½ Ò Ø ÒÚ ÐÙ λ n Ö Ö Ð Ò Ø Ý λ n 0º Ì ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÕÒ º¾µ Ò ÜÔÖ Ø Ö p( x, t) = n c n ψ n ( x)e λnt, º µ ½½ Ì Ô Ò Ú Ø Ð Ö ÔÖÓ ÙØ (f, g) d xf( x)g( x)/p st ( x) Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ L Ð ¹ Ó ÒØ (f, Lg) = (Lf, g)º ½

135 º¾ ÇÒ Ø Ñ ¹ÕÙ ÒØ Ø ÉÍÁÄÁ ÊÁÍÅ Æ ÅÁ Ë Û Ø c n Ö ØÖ ÖÝ ÒÙÑ Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ º Ï Ò Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ú Ò Ò ÒÚ ÐÙ λ 0 = 0 Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ù Ø ÓÒ Ö Ø ÒÓØ Ò Ö Ø º ÇÒ p st ( x) = c 0 ψ 0 ( x)º Ì Ò Ø Ø Ó Ø ØÓ ÒÓÒ¹Þ ÖÓ ÒÚ ÐÙ Ò Ò Ö Ø Ò Û ÓÒ Ò ÑÓÖ Ö Ò ÒÓØ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ò Ù Ø Ö Ó Ø ÒÚ ØÓÖ º Ï Ô Ø Ø Ð Ò Û ÓÒØ ÒÙ ØÓ Ù Ø ÑÔÐ ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÚ º Á Ø Ö Ô Ò Ø Ô ØÖÙÑ λ 1 > 0 Ò Ø ÐÓÒ ¹Ø Ñ Ð Ñ Ø ÓÒÐÝ Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Þ ÖÓ ÒÚ ÐÙ ÙÖÚ Ú Ò p( x, t) p st ( x) = c 0 ψ 0 ( x)º Ì ÓÒ Ø ÒØ c 0 Ü ØÓ ÓÒ Ý Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝº ÁÒ c 0 = d xψ 0 ( x)p( x, 0) = d xp( x, 0) = 1º Ó Ò ØÓ Ø ÓÖ Ò Ð Ô P( x, t) ÓÒ lim P( x, t) = t ψ2 0 ( x) = c2 e βv ( x) = e βv ( x) d xe βv ( x) Û Ö Û Ù Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð ØÝ ØÓ ÓÑÔÙØ c 2 º Ì Ù P eq Ò Ø ÝÑÔØÓØ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒº ÆÓØ Ø Ø Ø Ö ÙÑ ÒØ ÙÑ Ø Ø Ù ÒØÐÝ ÐÓÒ t t > t eq µ Ö Ù Ø Ø ÓÒÐÝ Ø λ 0 = 0 Ø ÖÑ ÙÖÚ Ú Ò Ø ÙÑº Ì ÝÔÓØ Ó ÒÓØ ÓÐ Ò Ø ÝÑÔØÓØ Ò ÐÝ ÓÖ Ø Ö Ð Ü Ò ÑÓ Ð Û Ò ÐÝÞ Ò Ø Ò ÜØ Ë Ø ÓÒ º Á Ø Ò ÜØ ÒÚ ÐÙ λ 1 Ó ÒÓØ Ú Ò Ø ÒÚ Ö Ø Ø Ñ ¹ Ð Ò ØÓ ÕÙ Ð Ö Ø Ø ÑÓ Ðº Á ÓÛ Ú Ö Ø Ö ÒÓ Ô Ò Ø Ô ØÖÙÑ ÓÒ Ó ÒÓØ Ú ÑÔÐ Ö ÙÑ ÒØ ØÓ Ø Ñ Ø ÓÛ ÐÓÒ ÓÒ ÓÙÐ Û Ø ÙÒØ Ð Ø ÝÑÔØÓØ Ð Ñ Ø Ö º Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Û ÐÐ Ö Ö ÙÐ ÖÐÝ Ò Ø ØÖ ØÑ ÒØ Ó Ð Ý ÝÒ Ñ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Û Ò ÒÓÒ¹ÔÓØ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÓÖ Ö Ü ÖØ ÓÒ Ø Ý Ø Ñ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º½µ ÒÓØ Ù ÒØ ØÓ Ð Û Ø Ø Ö Ø Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÒÒÓØ Ø Ð º Ë Ò Ø ÒÚ ØÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ü Ø Ø Ø Ö ÒÓØ Ú ÖÝÛ Ö ÔÓ Ø Ú ÓÒ ÒÒÓØ ÒØ ÖÔÖ Ø ψ 0 ψ n Ö ØÐÝ ÔÖÓ Ð ØÝº ÁÒØ Ö Ø Ò ÐÝ ÓÛ Ú Ö ÓÒ Ò ÓÒ ØÖÙØ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Ø Ø Ò Ò Ø Ø Û Ø Ð Ø Ñ ÐÓÒ Ö Ø Ò ÖØ Ò Ü ÙØ ÐÓÒ Ø Ñ ¹ Ð º º¾ º º ÇÒ Ø Ñ ¹ÕÙ ÒØ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ì ÙØÙ Ø ÓÒ Ô Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ì ÙØÙ Ø ÓÒ¹ Ô Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Øµ Ö Ð Ø Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ÔÓÒØ Ò ÓÙ ÕÙ Ð ¹ Ö ÙÑ ÙØÙ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö ÔÓÒ Ò Ù Ý Ò ÜØ ÖÒ Ð Ð º ÁØ ÑÓ Ð Ò Ô Ò ÒØ Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ Ò Ø Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ø ÓÑ Û Ø Ö ÒØ ÓÖÑ ÓÖ Ð Ð Ò ÕÙ ÒØÙÑ Ý Ø Ñº Ì Ð ØØ Ö Ö Ù ØÓ Ø ÓÖÑ Ö Û Ò ÕÙ ÒØÙÑ ÙØÙ Ø ÓÒ ÓÑ ÖÖ Ð Ú ÒØº ÁÒ Ø Ë Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ Ú Ö Ð ÔÖÓÓ Ó Ø Øº Ï Ò Ø Ý Ø Ñ ÓÙØ Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÝÔÓØ ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ð Ó ÒÓØ ÓÐ ÐØ ÓÙ Ò Ö Ð Þ Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ò ÓÑ Ø Ð º ½

136 º Ì ÙØÙ Ø ÓÒ Ô Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ ÉÍÁÄÁ ÊÁÍÅ Æ ÅÁ Ë º º½ ËØ Ø Ø Å ÒÝ Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ÙØÙ Ø ÓÒ Ò Ù ÔØ Ð Ø Ö ÒÓÛÒ Ò Ø ¹ Ø Ø Ð Ñ Ò º ÐÐ Ø Ö Ö ÒØ Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø Ø Ø Øº Ì ÓÖ Ò Ø Ò Ô Ö Ø º Ì ÙØÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ò ØÝ ρ = n/ṽ Û Ö n Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô ÖØ Ð Û Ø Ò Ù ¹ÚÓÐÙÑ Ṽ Ó Ý Ø Ñ Û Ø N Ô ÖØ Ð Ò ÚÓÐÙÑ V Ö Ò σρ 2 (ρ ρ ) 2 º ÁÒ Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Ø N, V Û Ø N/V = ρ Ü Ø Ö Ö Ð Ø ØÓ Ø ÓØ ÖÑ Ð ÓÑÔÖ Ð ØÝ χ T = V 1 V/ P T Ú σρ 2 = Tρ2 χ T /Ṽ º Ì Ö Ð Ø ÓÒ ÓÖÑ Ó Øº ÓÖ Ý Ø Ñ Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Û Ø Ø ÖÑ Ð Ö ÖÚÓ Ö Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T ÓÒ χ δ A h δh = β (A A ) 2 h=0 º µ ÓÖ ÒÝ Ó ÖÚ Ð Aº Ì Ú Ö h ÐÙÐ Ø Û Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ý ¹ Ø Ñ Ò Ø ÔÖ Ò Ó Ñ ÐÐ Ð ÓÙÔÐ ØÓ A Ò Ù Û Ý Ø Ø Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ö H = H 0 haº ÓÖ Ñ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ð Ø Ø Ñ Ò Ø Ù ÔØ Ð ØÝ ØÓ Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ ÙØÙ Ø ÓÒ º Ï Ò Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ð ÓÖ Ò Ø Ò Ð Ö ÓÒ Ö Ý À Ñ ÐØÓ¹ Ò Ò ÓÖ Ä Ò Ù¹ØÝÔ Ö ¹ Ò Ö Ý Ø Ø Ð Ò ÖÐÝ ÑÓ Ý Ò ÜØ ÖÒ Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ F[φ] F[φ] d d x h( x)φ( x) Ø Ø Ø Ø º µ Ø Ò Ö Ð Þ ØÓ º º¾ ÝÒ Ñ Ø χ( x, x ) δ φ( x) δh( x ) = β φ( x)φ( x ) c βc( x, x ). h=0 Ì Ö Ö Ú Ö Ð ÔÖÓÓ Ó Ø Ø ÓÖ Ñº Ï ÔÖ ÒØ ØÛÓ Ó Ø Ñ Ø Ø Ö Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ Ò ØÖÙØ Ú Ò Ø Ý Ù Ú ÖÝ ÜÔÐ Ø ÐÝ Ø ØÛÓ Ò ÖÝ ÝÔÓØ Û Ö º Ø Ð Ð Ò Ò º ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒº Ì ÖÓÑ Ø Ñ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒº ÓÖ Ø Ó ÑÔÐ ØÝ Ð Ø Ù ÓÒ Ö Ý Ø Ñ Û Ø Ò Ð ÝÒ Ñ Ð Ú Ö Ð x Ø Ø ÚÓÐÚ ÓÖ Ò ØÓ Å Ö ÓÚ ÔÖÓ ÓÒ Ö Ø Ø Ñ ¹ Ö t k = kδº ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ Û ÑÔÐ Ý Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Û Ð Ñ Ò Ø Ø Ø Ñ ¹ Ô Ò Ò ÖÓÑ Ø ØÖ Ò ¹ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø T h (x k x k 1 ) T h (x k, t k x k 1, t k 1 )º Ì Ù Ò Ü h Ò Ø Ø Ø Ø Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ ÙÖ Ò Ø Ø Ñ ¹ Ø Ô t k 1 t k º Á Ø Ý Ø Ñ Ö ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ñ t k 1 ÓÒ x l ;1 l k 1 T(xl x l 1 )P(x 0, t 0 ) = P eq (x k 1 ). º µ Ï Û ÐÐ Ù ÙÔ Ö Ö ÔØ h Û Ò Ú Ö ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒ Ò Ú Ò Ø ÔÖ Ò Ó Ð P h eq (x k 1)º ½

137 º Ì ÙØÙ Ø ÓÒ Ô Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ ÉÍÁÄÁ ÊÁÍÅ Æ ÅÁ Ë Ì ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ØÛÓ Ó ÖÚ Ð A(x) Ò B(x) Ò Ø Ò Ó ÒÝ Ô ÖØÙÖ¹ Ø ÓÒ Ú Ò Ý A(x j )B(x k ) = x l A(x j )T(x j x j 1 )...T(x k+1 x k )B(x k )T(x k x k 1 )P eq (x k 1 ). Ì Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ h Ó Ø Ñ Ò Ú ÐÙ Ó A(x) Ú ÐÙ Ø Ø Ø Ñ t j Ø Ö Ø Ô¹Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ò Ø h Ø Ø ÑÓ Ø Ò Ö Ý H H hb(x) ØÛ Ò t k 1 Ò t k δ A(x j ) h = A(x j )T(x j x j 1 )...T(x k+1 x k ) δt h(x k x k 1 ) P δh k x l δh eq (x k 1 ) h=0 Ä Ø Ù ÙÑ Ø Ø Ø Ú Ö Ð x Ú Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Ðº ÁÒ Ø Ò Ø Ð Ð Ò ÓÐ T h (x k x k 1 )P h eq(x k 1 ) = T h (x k 1 x k )P h eq(x k ) Ò δt h (x k x k 1 ) δh = δ ( ) P h eq (x k ) δh Peq h (x T h (x k 1 x k ) + P eq(x h k ) δt h (x k 1 x k ) k 1) Peq h (x k 1) δh º µ Ø Ø ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø h = 0º Ì Ö Ø Ø ÖÑ ÐÝ ÐÙÐ Ø Ý Ö ÔÐ Ò Peq h (x k) = exp ( βv (x k ) + βhb(x k )) /Z h Ò Ý Ð β(b(x k ) B(x k 1 )) P eq (x k ) P eq (x k 1 ) T(x k 1 x k ). º µ Ì ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÕÒ º µ Ú Ò ÒØ ÐÐÝ Ò Ø Ö ÑÔÐ Ø ÓÒ x k 1 Ò ØÓ ÔÔ Ö ÓÒÐÝ Ò Ø Ö Ú Ø Ú Ó Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð ØÝº Í Ò Ø h Ò Ô Ò ÒØ ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ x k 1 T h (x k 1 x k ) = 1 ÓÒ Ò ÐÐÝ Ò Ø Ø Ø Ø ÖÑ Þ ÖÓº Ì Ù δ A(x j ) h = β A(x δh k j ) (B(x k ) B(x k 1 )), j k. º µ h=0 Ì Ö Ð Ø ÓÒ ÜÔÖ Ø Ø Ò Ö Ø Ø Ñ º ÁÒØ Ö Ø Ò ÐÝ ÒÓÙ Û ÒÓØ Ò ØÓ Ô Ý Ø h Ô Ò Ò Ó Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø T ÔÖÓÚ Ø Ô Ò Ò ÓÑÔ Ø Ð Û Ø Ø Ð Ð Ò º ÆÓØ Ø Ø Ò Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ú Ö Ó ÓÒ ¹Ø Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ö ÓÒ Ø ÒØ ÓÒ Ò Ö ÔÐ A(x j )B(x k ) Ý Ø ÓÒÒ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ A(x j )B(x k ) A(x j ) B(x k ) Ò Ø Ø Ð Ó Ö δ A(x j ) h δh k = β A(x j ) (B(x k ) B(x k ) B(x k 1 ) + B(x k 1 ) ), j k. h=0 ÁÒ Ø ÒØ Ö Ø ÓÖÑ χ jl j k=l δ A(x j ) h δh k = β ( A(x j )B(x j ) A(x j )B(x l ) ). h=0 º µ ½

138 º Ì ÙØÙ Ø ÓÒ Ô Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ ÉÍÁÄÁ ÊÁÍÅ Æ ÅÁ Ë Ì Ö Ò Ð Ó ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÖÑ Ó ÓÒÒ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º Ì Ð Ò ÕÒ º µ Ù Ø Ø Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ R AB (t j, t k ) Û Ð Ø Ö ¹ Ö Ø Þ Ø Ñ ¹ Ö Ú Ø Ú Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ C AB (t j, t k ) Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÖÐ Ö Ø Ñ t k º Ï Ú ÐÖ Ý ÙÑ Ø Ø Ø Ý Ø Ñ ÕÙ Ð Ö Ø Ø Ø Ñ t k 1 º Ì Ù ÐÐ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ Ö Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ò Û Ú R st AB (t j t k ) = β ( C st AB (t j t k ) C st AB (t j t k 1 ) ), j k. Ø Ø Ò Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ð Ñ Ø t k t k 1 0 ÓÑ R st AB (t t ) = β t C st AB (t t ), t t. º½¼µ ÇÒ Ò Ð Ó ÜÔÖ Ø Ø Ò Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖÑ Ò Û Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÔÐ Ý Ø ÔÐ Ñ ÒØ R st AB(t t ) = β 2 t st AB(t t ). ÁÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø ÙÒ Ö Ó ÒÓÖÑ Ð Ù ÓÒ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÑÔÐ Ø Ò Ø Ò Ö Ð ¹ Ø ÓÒ º½ µº Á ÓÒ Ð Û Ø ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø Å Ö ÓÚ Ò Û Ø Ú Ö Ð Ö Ó Ö ÓÑ Ò Û Ø ÓØ Ú Ò Ò Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Ð Ø ÔÖÓÓ ÖÖ Ø ÖÓÙ Ò Ø Ñ Û Ý Ø Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ÔÔÐ Ó ÒÓØ Ö Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Ðº ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø ÑÓ Ý Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò H H hb({x i }) Û Ø B({x i }( t)) = B({x i }(t)) Ñ Ø Ò Ø Ó Ø ÓÖÑ Ú Ò ÓÚ º ÓÖ Ò Ø Ò Û Ð Û Ø Ô ÖØ Ð Ö Ø Ö Ý Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ò Ú ÐÓ ØÝ Ø ÙÒØ ÓÒ B Ò Ú ÒÝ Ô Ò ÓÒ Ø ÔÓ Ø ÓÒ ÙØ Ø ÑÙ Ø Ò Ú Ò ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ú ÐÓ ØÝº Ò Ü ÑÔÐ ÛÓÙÐ ØÓ Ô ÖØÙÖ Ø Ò Ø Ò Ö Ý Ó Ø Ô ÖØ Ð º ÙØÙ Ø ÓÒ¹ Ô Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ú ÐÓ Ø Ø Ø ÓÖÑ TR vx (t, t ) = T δ v(t) δh(t ) = v(t)v(t ) = C vv (t, t ), º½½µ Û Ò Ø Ð h Ô ÖØÙÖ Ø Ý Ø Ñ Ý Ò ÓÙÔÐ ØÓ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ø Ñ t º Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ Ú Ö ÓÒ Ó ÃÙ Ó ÓÖÑÙÐ Ò Ø Ò Ù ÙÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Û Ø Ý ØÓ Ñ ÙÖ ÙÖÖ ÒØº Ò Ú ÖÝ ÐÓÔÔÝ ÓÒ Ò Ö Ú Ø ÖÓÑ µ Ý Ø Ò Ö Ú Ø Ú Û Ø Ö Ô Ø ØÓ t ÓÒ ÓØ Ò Ü Ò Ò Ø Ú Ö ÓÚ Ö Ø ÒÓ Ò Ø Ø Ñ ¹ Ö Ú Ø Ú ÐÝ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒµº Ø Ò Ø Ö ÕÙ ÒÝ ÓÑ Òº ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ú Ó Ø Ò Ñ ÙÖ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ö ¹ ÕÙ ÒÝ ÓÑ Òº Ì ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø Ø Ö Ð Ø ÓÒ º½¼µ Ö ( ) χ AB (ω) = β CAB(0) st + iω dτ e iωτ CAB(τ) st. º½¾µ 0 ½

139 º Ò Ü ÑÔÐ Ø ÖÑÓÒ Ó ÐÐ ØÓÖ ÉÍÁÄÁ ÊÁÍÅ Æ ÅÁ Ë Ì Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ó Ø ÜÔÖ ÓÒ Ð ØÓ Ø Ø Ò Ø Ö ÕÙ ÒÝ ÓÑ Ò χ (ω) ω = β Ê dτ e iωτ CAB st (τ) 0 Ì Ö ÒÓ ÜØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ð Ô ÖØ Ò Ø Ö Ð Ø ØÓ χ (ω) Ý Ø ÃÖ Ñ Ö ¹ ÃÖ Ò Ö Ð Ø ÓÒ º ¾µ ÓÖ º µº Ï Ò Ø Ø ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÓÚ ÓÖÑ Û Ø Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ñ º Ù Ò Ë Øº º¾ χ (ω) ÕÙ ÒØ Ø Ô Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ö Ð Ø ØÓ Ø ÔÓÛ Ö Ô ØÖÙÑ Ó Ø ÔÓÒØ Ò ÓÙ ÙØÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ý Ø Ñº º º º½ º º¾ Ò Ü ÑÔÐ Ø ÖÑÓÒ Ó ÐÐ ØÓÖ Ì Ö Ò ÓÑ Û Ð Ð Ñ Ø Ë Ð ÒÚ Ö Ò Ì Ñ Ò¹ ÕÙ Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø Ö Ò ÓÑ Û Ð Ð ÒÚ Ö ÒØº ÁÒ W 2 xx(t, t ) = W 2 xx(t t ) = 2D x t t º½ µ Ò W 2 xx (b(t t )) = bw 2 xx (t t ) º½ µ Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ñ Ò¹ ÕÙ Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ó ÒÓØ Ò ÓÒ Ñ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ W xx (t t ) b α W xx (b(t t )), Û Ø α = 1 2. º½ µ α Ø ÖÓÙ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ó Ø ÔÖÓ ØÓ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÓÒ Ò ÓÖ ÖÓÛØ Ô ÒÓÑ Ò Ò Ë Øº º ½

140 Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë º½ ÝÒ Ñ Ð ¹Ø ÓÖ Ö ÑÑ Ø Ø Ò ÕÙ ÁÒ Ø Ë Ø ÓÒ Û Ö Ø Ö Ø Ô ÖØÙÖ Ø Ú ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ä Ò Ú Ò ÔÖÓ Ò ÓÛ Ø Ù ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ö ÜÔ Ò ÓÒ ÓÖ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ º Ë Ð ¹ÓÒ Ø ÒØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ù Ø ÑÓ ÓÙÔÐ Ò ÓÖ Ø Ð ¹ÓÒ Ø ÒØ Ö Ò Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ð Ø ÓÒ Ó Ù Ø Ó Ö Ñ ÖÓÑ Ø ÙÐÐ Ö º Ì ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø ÓÖ Ö ÑÓ Ð ÑÓÒ ØÖ Ø º Ì ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ú ÖÝ ÐÓ ØÓ Ø ÓÒ Ò º Ò ÜØ Ò ÓÒ ØÓ ÕÙ ÒØÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ð Ù Ò Ø Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÖÑ Ð Ñº º¾ È ÖØÙÖ Ø Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ä Ø Ù ÓÙ ÓÒ Ò Ð Ð Ö Ö Ó Ö ÓÑ q Û Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ý V (q) = µ(t) 2 q2 + g 3! q3, º½µ Ò ÝÒ Ñ Ú Ò Ý Ø Ä Ò Ú Ò Õ º µ Ò µ Ò Ø Û Ø ÒÓ Ð Ñ Øº Ï Ø Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ q(t = 0) = 0º µ(t) Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Û Ü Ø Ø Ò Ó Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ö ÕÙ Ö Ò C(t, t) = 1º ÁÒ Ú ØÓÖ ÑÓ Ð Ø Ø Ä Ö Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ø Ø Ð ¹ÓÒ Ø ÒØÐÝ ÑÔÓ Ô Ö Ð ÓÒ ØÖ ÒØº ÆÓØ Ø Ø Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÒÓØ ÓÙÒ ÖÓÑ ÐÓÛº Ë ØØ Ò G o (t, t ) = [µ(t) + γ t + M t 2] 1 Ô ÖØÙÖ Ø Ú ÜÔ Ò ÓÒ ÓÖ q(t) Ò ÔÓÛ Ö Ó Ø ÒÓ ÐÝ ÛÖ ØØ Ò q(t) = (G o ξ)(t) g 2 (G o [G o ξ G o ξ])(t) +... º¾µ Û Ö Ñ Ò Ø Ñ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ (G o f)(t) = t 0 dt G o (t, t )f(t ) Ò ÑÔÐ ÔÖÓ ÙØ Ø ÕÙ Ð Ø Ñ º Ì ÒÓØ Ø ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø ÓÒ Ù Ò Ø Ù Ý ÓÖÑ Ð Ñ ÔÔ Ò Ü º Ù Ð ØÝ ÑÔÐ G o (t, t ) θ(t t )º Á Ò ÖØ Ò Ò Ð Ø G o (t, t ) = exp ( t t dτ µ(τ)) θ(t t )º Á ÓÒ Ô Ø ÓÒ ¹Ø Ñ Ö Ú Ø Ú G o (t, t ) Ø ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø ÓÖÑº ÕÙ Ø ÓÒ º¾µ Ò Ö Ô ÐÐÝ Ö ÔÖ ÒØ Ò º ¾ º ÖÓ Ò Ø ÒÓ Ò ÓÖ ÒØ Ð Ò Ò Ø Ø Ö ÔÖÓÔ ØÓÖ G o º Ú ÖØ Ü ÖÖ ØÓÖ g/2º ÆÓØ Ø Ø Ø ÙÒ ÒÓÛÒ q Ú ÐÙ Ø Ø Ø Ñ t Û Ð Ø ÒÓ Ö Ú ÐÙ Ø Ø ÐÐ ÔÖ Ú ÓÙ Ø Ñ º Ü Ü Ü Ü Ü Ü ººº ÙÖ ¾ Ì ÖÑ O(g 0 ) O(g 1 ) Ò O(g 2 ) Ò Ø Ô ÖØÙÖ Ø Ú ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒº Ì ÜÔ Ò ÓÒ ÓÖ q Ð ØÓ ØÛÓ ÜÔ Ò ÓÒ ÓÖ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ º ÁÒ ÑÔÐ ÛÓÖ Ø ÓÖÑ Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ò Û Ò º º Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ø ÒÓ Ø Ù Ù Ð ½ ¼

141 º Ì ÑÓ ÓÙÔÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ µ Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë ÔÖÓ ÙØ Ó ØÛÓ Ö Ø ÓÒ Ò º ¾ Ú ÐÙ Ø Ø Ö ÒØ Ø Ñ t Ò t º Ù ØÓ Ø Ú Ö ÓÚ Ö Ø Ù Ò ÒÓ ÒÓ ØÓÖ Ú ØÓ Ø Ò Ý Ô Ö º Ä Ø Ù ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Û Ø Û Ü ÑÔÐ º Ì Ö Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÜÔ Ò ÓÒ Ø Ö ÙÐØ Ó Ú Ö Ò ØÛÓ O(g 0 ) Ø ÖÑ Ö Ø Ø ÖÑ Ò º ¾ µ C o (t, t ) = (G o ξ)(t) (G o ξ)(t ) = 2γk B T t 0 dt G o (t, t )G o (t, t ), º µ t t º Ï Ô Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ö Ñ Û Ø Ò Ð ÖÓ Ð Ò Ø Ö Ø Ö Ô Ò º ¾ º Ì Ø ÖÑ O(g) Û ÐÐ ÐÐ Ø ÖÑ Û Ö Ó ÔÓÛ Ö Ó g Ú Ò º Ì Ö Ö ØÛÓ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ø ÖÑ O(g 2 )º ÇÒ Ø Ö ÙÐØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÝ Ò Ø ÖÑ O(g 2 ) Û Ø Ø ÖÑ O(g 0 ) Ò Ø Ø ÔÓÐ Ø ÓÒ Ö Ô Ò º ¾ Û ÙÑ Ø Ø ÖÑ Ò ÐÐ Ø ÓÖÖ Ø ÓÒ Ö ÒÐÙ Ò Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ Ñ Ò Û Ò ÓÖØ ÒÓÖ Ø Ñº Ì ÓØ Ö ÓÑ ÖÓÑ ÑÙÐØ ÔÐÝ Ò ØÛÓ O(g) Ø ÖÑ Ø Ø Ö Ö Ô Ò º ¾ º À Ö ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ö Ó ØÛÓ ØÝÔ Ø Ý Ø Ö Ö Ø ÔÖÓÔ ØÓÖ ÓÖ Ø Ý Ö Ø Ú ÖØ Ø Ð Ø ØÛÓ Ö Ñ Ò º ¾ º Ì ØÛÓ Ø ÖÑ Ö ÓÖ Ö O(g 4 )º Ì Ö Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ú Ö Ò ØÛÓ O(g 2 ) ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Û Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ö ÙÐØ Ó Ú Ö Ò Ò O(g 3 ) Ò Ò O(g) Ø ÖÑº Ì ÙÐÐ Ö Ý Ð Ø Ü Ø Ô ÖØÙÖ Ø Ú ÜÔ Ò ÓÒ ÓÖ Cº Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü ÙÖ ¾ ÖÓÑ Ð Ø ØÓ Ö Ø O(g 0 ) ØÛÓ O(g 2 ) Ò ØÛÓ O(g 4 ) Ø ÖÑ Ò Ø Ö ÓÖ Cº Ì Ò ÜØ ØÓ Ð Ø Ö Ñ Ö Ø ÔÖÓÔ ØÓÖ Ò Ø Ð Ø Ø ÖÑ Ö Ø Ú ÖØ Üº Ì ÓÖÑ Ö ÔØ Ò Ø Ñ Û Ð Ø Ð ØØ Ö Ò Ð Ø º Ì Ö ÜÔ Ò ÓÒ ÓÖ Ø Ö ÔÓÒ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø Ö Ð Ø ÓÒ º¾ µ Ò Ø Û Ø ÒÓ Ð Ñ Øº ÁÒ Ö Ô Ð Ø ÖÑ Û Ó Ø Ò Ø Ý ÑÙÐØ ÔÐÝ Ò Ø Ö Ò Õ º¾µ Ò º ¾ Ú ÐÙ Ø Ø Ø Ñ t Ý ÒÓ Ú ÐÙ Ø Ø Ø Ñ t Ò Ø Ò Ø Ú Ö º º Ì ÑÓ ÓÙÔÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ñ µ Ì Ö ÑÑ Ø ÜÔ Ò ÓÒ ÓÖ C Ò R Ò Ö ÔÖ ÒØ Ò ÐÝØ ÐÐÝ Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ø ÖÒ Ð Σ(t, t ) Ò D(t, t ) Ø ÖÓÙ Ø Ë Û Ò Ö¹ Ý ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ µ Ò µ Ò Ø Ö ÒØ Ö Ð ÓÖÑº Ó Ø Ñ ÓÑÔ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ó Ö Ñ º Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ü Ø Ô ÖØÙÖ Ø Ú ÐÝº ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ Ò Ö ÑÓ Ð ÓÒ ÒÒÓØ ÓÑÔÙØ Ø ÖÒ Ð Σ Ò D Ü ØÐÝº Ì ÑÓ ÓÙÔÐ Ò ÔÔÖÓ ÑÓÙÒØ ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ø ÖÒ Ð Σ(t, t ) Ò D(t, t ) Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ýº ÇÒ Ø Ø Ö Ú ÐÙ Ø O(g 2 ) Ò Ù Ø ØÙØ Ò Ø Ñ Ø Ö ½ ½

142 º Ñ Ò ÓÖ Ö ÑÓ Ð Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë ÔÖÓÔ ØÓÖ G o Ò Ø Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ C 0 Ý Ø Ö Ö Ú ÐÙ º º Ø Ñ ÐÚ º ÓÖ Ø ÑÓ Ð Ò Ò Õº º½µ Ø Ý Ð Ý R Ò C Σ(t, t ) = g 2 C(t, t ) R(t, t ), º µ D(t, t ) = 2γk B T δ(t t ) + g2 2 C2 (t, t ). º µ Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò Ð Ø Ú ÖØ Ü Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ø Ò Ø Ø ÐÐ Ö Ñ ÓÖ¹ Ö Ø Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ð Ò Ö Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Û Ð ÐÐ Ö Ñ ÓÖÖ Ø Ò Ø Ú ÖØ Ö Ò Ð Ø º ÓÖ Ò Ø Ò ÓÒ Ô Ø ÓÙÖØ Ö Ñ Ò º ¾ Ø Ø Ö ÔÖ ¹ ÒØ Ð Ò ÓÖÖ Ø ÓÒ Û Ð Ð Ú Ò Ø Ø Ö Ñ Ö ÛÒ Ò Ø Ñ ÙÖ Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ú ÖØ Ü ÓÖÖ Ø ÓÒº Ì Ñ ÔÖÓ ÙÖ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ù Ò Ø Ù Ý Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÝÒ Ñ¹ º Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÙÔ Ö Ð Ò Ø ÙÔ Ö¹ÓÖÖ Ð ØÓÖ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø Ò Û Ó ØÛÓ Ö ÓÖ Ø ÙÔ Ö¹ Ð Ú ÐÙ Ø Ø Ö ÒØ ÙÔ Ö¹ÓÓÖ Ò Ø a Ò bº Ì Ë Û Ò Ö¹ Ý ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ø Ö ÑÙÐØ ÔÐÝ Ò Ý G 1 o ÒØÓ Ø ÓÖÑ µ Ò µ ÓÖ Ö Ò ÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð µ Û Ø ÓÒÐÝ ÓÒ Ø ÖÑ r = p = 3º ÔÔÐÝ Ò Ø Ñ ØÓ Ø ØÖ Ú Ð Ò ÐÐ¹ Ò µ ÑÓ Ð º½µ Û Ö Ú Ø ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø p = 3 Ô Ò Ô Ö Ð ÑÓ Ð ÇÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ö ÙÐØ ÛÓÖÖÝ Ò Ò Ø ÓÛ Ø Ø Ø Ñ Ò Ö Ø Ö ÙÒÓÒØÖÓÐÐ Ò Ø Ò Ò Ö Ø Ð Ý Ú ÓÖ Ý Ø Ð º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ò Ø Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÐ Ò Ø Ñ Ó ÑÓ Ð Ó ÒØ Ö Ø Ò Ô ÖØ Ð Û Ø Ö Ð Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò Û Ý Ø ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÑØ ÓÖ ÙÔ Ö¹ÓÓÐ Ð ÕÙ Ó Ò Û Ø Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ö Ô Ò ÑÓ Ð ÓÚ T d º ÁÒ Ø Ò ÜØ ËÙ Ø ÓÒ Û ÓÛ ÓÛ Ø Ö Ñ Ò Ð Ø Ò Ø Ñ Ú Ò Ò ÓÖ Ö ÑÓ Ð Û Ø Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ º Ë Ð Ó ÓÖ ÓØ Ö Ö ÒØ Ù ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ò Ò Ö Ò Ó Ú Ð ØÝ Ó Ø Ñ Ò ÑØºµ º Ñ Ò ÓÖ Ö ÑÓ Ð Ì Ö Ø ØÓ ÒÓØ Ø Ø Ø Ñ ÓÖ ÕÙ Ö Ø ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ü Ø ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Û ÃÖ Ò Ò Ò Ø ÓÒØ ÜØ Ó Ø Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒº ÅÓÖ Ö ÒØÐÝ Ö ÒÞ Ò À ÖØÞ ÓÛ Ø Ø Ø Ñ Ø ÑØ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø F p ÖÓÙÔ ÓÖ ÙÔ Ö¹ÓÓÐ Ð ÕÙ Ö ÒØ Ð ØÓ Ø Ó Ö Ò ÖÓÑ Ô Ò ÑÓ Ð Û Ø Ô Ù Ó¹Ö Ò ÓÑ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò ÖÓÙÔ Ó Ø Ö Ô Ò º Ì Ñ Ø ÑØ ÓÙ ÓÒ Ó Ò Û Ú Ú ØÓÖºµ ÁÒ ÓÖ Ø Ü ÑÔÐ Ó Ò Ò Ø Ë Ø ÓÒ ÓÒ ÐÝ ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ø Ø ¹ Ö Ñ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ö ÔÖ ÐÝ Ø Ó Û ÙÖÚ Ú ÓÒ ÑÓ Ø Ò Ø Ð ÑÓ Ð º½µ Ò ÓÒ Ö Ò Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖ Ö ÔÖÓ Ð Ñ º Ö Ø Ð Ø Ù ÙÔ¹ Ö q ØÓ Ú ØÓÖ Û Ø N ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÖ ÓÐÓÖ φ i Û Ö i = 1, 2,..., Nº Ë ÓÒ Ð Ø Ù ÑÓ Ý Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ý º½µ ÒØÓ V ( φ) = g i<j<k ½ ¾ J ijk φ i φ j φ k º µ

143 º Ñ Ò ÓÖ Ö ÑÓ Ð Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë Û Ø ÓÙÔÐ Ò J ijk Ø Ø Ö Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ Ò Ù Ò Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ó Þ ÖÓ Ñ Ò Ò Ú Ö Ò [J 2 ijk ] J = 1/N p 1 = 1/N 2 º p Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô Ò Ò Ø ÖÑ Ò V ºµ ÁÒ Ø Ð Ö N Ð Ñ Ø Ø ÒÓ Ò ÓÖ Ö Ú Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ Ó Ø ÑÓ ÑÓ Ð Ó Ý Õ º µ Ò µ Û Ø Σ Ò D Ú Ò Ý Õ º º µ Ò º µ Ö Ô Ø Ú ÐÝº Ì Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ö ÓÚ Ö Ò Ò Ø Ö Ö ØÐÝ ÓÒ Ø Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ ÓÖ Ù Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ñ Ø Ó Ú Ò Ò Ë Ø ÓÒ º Ë Ò Û Û ÒØ ØÓ ØÖ Ø Ø Ø Ö Ñ Ò Ð Ø Ò Ø Ñ Ú Ò Ü ØÐÝ ÓÖ Ø ÑÓ Ð Û Ù Ö Ø Ö Ø ÔÔÖÓ º Ì Ö ÔÖÓÔ ØÓÖ ÓÒ Ð Ò Ø ÓÐÓÖ Ò G oij = G o δ ij º Ì Ú ÖØ Ü ÒÓÛ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø Ö Ò ÓÑ Ü Ò J ijk º Ì Ô ÖØÙÖ Ø Ú ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ö φ i (t) = (G o ξ i )(t) J ijk G o (G o ξ j G o ξ k )(t) º µ ÇÒ ÒØ Ö Ø Ò ÓÑÔÙØ Ò Ø Ð ¹ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú Ö ÓÚ Ö Ø ÒÓ Ò ÓÖ Ö N 1 N i=1 [ φ i (t)φ i (t )]º Ì Ð ØØ Ö Ú Ö Ð Ñ Ò Ø ÐÐ Ø ÖÑ Û Ø Ò Ó ÒÙÑ Ö Ó ÓÙ¹ ÔÐ Ò º Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ò J ijk 0 ÓÒÐÝ ÐÐ Ò i, j, k Ö Ö ÒØ Ø ÔÓÐ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ö Ô Ò º ¾ Ú Ò Ø ÒÓ ¹ÒÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ø Ø ØÛÓ Ò Ò Ø Ö Ò ÓÑ Ü Ò ÑÙ Ø Ó Ò µº Ò ÐÐÝ ÓÒ Ò Ø Ø Ù ØÓ Ø Ð Ò Û Ø N Ó Ø Ú Ö Ò Ó Ø ÓÖ Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ú ÖØ Ü ÓÖÖ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ø Ö Ô Ò º ¾ Ö Ù ¹Ð Ò Ò Ú Ò Û Ò N º ÁÒ Ø ÐÐ Ð Ò ÓÖÖ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò Ò Ø Ò Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ð Ñ Øº Ï Ò Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ò Ø ØÛÓ Ü ÑÔÐ ÓÛÒ Ò º ¾ ÜØ Ò ØÓ ÒÐÙ ÓÐÓÖ Ò º Ì Ú ÖØ Ü ÓÖÖ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ö Ò ÓÑ Ü Ò Ø Ø Ù ØÓ Ø Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ø ÒÓ Ö ÓÖ ØÓ Ñ Ø º º J ijk J jlm J mni J kln Ð Ú Ò 6 Ö ¹ Ò º Ú Ö Ò ÓÚ Ö ÓÖ Ö ÓÒ ÒØ Ø Ò Ó ØÛÓ Ô Ö Ó J s º º i = l Ò k = m Ø Ý Ð ØÓÖ (1/N 2 ) 2 Ò Ø ÑÓ Ø Ø Ð Ú 4 ÓÐÓÖ Ò ÓÚ Ö Û Û Ú ØÓ ÙÑ ÖÓÑ 1 ØÓ N i, j, k, nµº Ï Ú Ø Ò Ò ÓÚ Ö ÐÐ ØÓÖ 1/N 4 N 4 = 1 Ò Ø Ø ÖÑ Ú Ò Û Ò ÓÒ ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ý Nº ÁÒ Ø Ò Ø Ð Ò ÓÖÖ Ø ÓÒ Ø Ö Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ø ÒÓ Û Ö Ð Ø Û Ø 6 Ö Ò º º J ikj J klm J lmn J inj Ø Ú Ö ÓÚ Ö Ø ÒÓ ÓÒÐÝ ÑÔÓ k = n Ò Ø ÑÓ Ø ÓÒÚ Ò ÒØ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø ÓÚ Ö ÐÐ ØÓÖ 1/N 4 N 5 = Nº Ì Ø ÖÑ ÓÒØÖ ÙØ ØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð ÐÓ Ð ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº ÁÒØ Ö Ø Ò ÐÝ ÒÓÙ Ø ÕÙ Ú Ð Ò ØÛ Ò Ø Ñ Ò ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ÜØ Ò ØÓ Ò Ö ØÖ ÖÝ ÒÓÒ¹Ð Ò Ö ÓÙÔÐ Ò F(q)º ÜÔ Ò Ò F Ò ÔÓÛ Ö Ö F(q) = F r r=2 r! qr Ø Ñ Ð ØÓ Σ(t, t ) = g 2 r=2 D(t, t ) = 2γk B Tδ(t t ) + g 2 F 2 r (r 1)! Cr 1 (t, t ) R(t, t ), º µ r=2 F 2 r r! C r (t, t ). º µ ÆÓØ Ø Ø ÓÖ r Ó Ø Ö ÔÔ Ö Ò Ø ÓÒ Ð Ø ÔÓÐ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ò Õº º µ Û Û Ú ÙÑ Ò Ø Ø Ø Ò Ö ¹ ÓÖ ÒØÓ Ø Ñ Ø ÖÑ µ(t)º Ì ½

144 º Ñ Ò ÓÖ Ö ÑÓ Ð Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ð Ó Ó Ø Ò Ø Ü Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ä Ò Ú Ò ÝÒ Ñ Ó N ÓÒØ ÒÙÓÙ Ô Ò φ i ÒØ Ö Ø Ò Ø ÖÓÙ Ø ÔÓØ ÒØ Ð V J [ φ] = g F r J i1...i r+1 φ i1...φ ir+1 r 2 i 1 <...<i r+1 º½¼µ Û Ö J α1,..α r+1 Ö ÕÙ Ò Ò Ô Ò ÒØ Ù Ò Ú Ö Ð Û Ø Þ ÖÓ Ñ Ò Ò [(J α1,..α r+1 ) 2 ] N r º Ì Ö ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ð ÝÒ Ñ Ú Ö Ð Ò ÓÒØ Ø Û Ø Ø Ö ÖÚÓ Ö Ò ÙÒ Ö Ò Ö ØÖ ÖÝ ÒÓÒÐ Ò Ö ÔÓØ ÒØ Ð F(q) Ö Ü ØÐÝ ÙÐÐÝ¹ÓÒÒ Ø Ô Ò¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ö ØÖ ÖÝ ÑÙÐØ ¹ Ô Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÖ Ô ÖØ Ð ÚÓÐÚ Ò Ò Ò N Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ò ÕÙ Ò Ö Ò ÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð V [ φ] Û Ø Ù Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Þ ÖÓ Ñ Ò Ò Ú Ö Ò µ º Ä Ø Ù ÒÓØ Ø Ø Ò ÓÖ Ö ØÓ Û ÐÐ Ò Ø ÑÓ Ð Ú Ò Ý V ÑÙ Ø ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ý ÓÒ ØÖ ÒØ ÔÖ Ú ÒØ Ò Ø Ð φ i ÖÓÑ ÜÔÐÓ Ò Ò Ò ÙÒ Ø Ð Ö Ø ÓÒ Ø Ý Ø ÓÙÔÐ Ò Ø Ò ÓÖ J i1...i r+1 º Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÙÖ Ý ÑÔÓ Ò Ø Ô Ö Ð ÓÒ ØÖ ÒØ N i=1 φ 2 i (t) = NC(t, t) Nº Ì ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ñ ÔÔ Ò ØÓ Ô Ô Ò ÒØ φ( x, t) ÓÖ ØÓ ÑÙÐØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð µ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º Ë Ú Ö Ð ÒØ Ö Ø Ò Ô Ý Ð Ü ÑÔÐ ÒÚÓÐÚ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ØÝÔ ˆφ( k, t) t = (νk 2 + µ)ˆφ( k, t) r=2 k1,.. k r F r r! L r( k k 1,... k r )ˆφ( k 1, t)...ˆφ( k r, t) + ξ( k, t) Û Ö ˆφ( k, t) Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó φ( x, t) Ò ξ( k, t) Ù Ò ÒÓ Ù Ø Ø ξ( k, t)ξ( k, t ) = 2γk B Tδ( k + k )δ(t t )º Ì Ã Ö Ö¹È Ö ¹ Ò ÔÞµ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ r = 2 L 2 ( k k 1, k 2 ) = [ k 1 k 2 ] δ( k 1 + k 2 + k) Û Ð ÓÑ Ò Ó Ö Ò Ò Ò Ø φ 4 Ø ÓÖÝ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ r = 3 L 3 ( k k 1, k 2, k 3 ) = δ( k 1 + k 2 + k 3 + k) Û Ø Ò Ø Ú µ º Ì Æ Ú Ö¹ËØÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÔÞ Û Ø ÓÛ Ú Ö Ò ÜØÖ Ø Ò ÓÖ Ð ØÖÙØÙÖ Ù ØÓ Ø Ú ØÓÖ Ö Ø Ö Ó Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð º Ì ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÒÓÛ ÓÑ k Ô Ò ÒØ δ d ( k + k )C( k, t, t ) = φ( k, t) φ( k, t ) Ò δ d ( k + k )R( k, t, t ) = φ( k, t)/ ξ( k, t ) º Ì Ò Ö Ð Þ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ò Ö ÙÑ Ò Ø Ø Ø ØÖÙØÙÖ ØÓÖ Ö ÒÚ Ö ÒØ ÙÒ Ö Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó k 1,..., k r µ Σ( k, t, t ) = g 2 r=2 F 2 r (r 1)! k1,.. k r L r ( k k 1,... k r )L r ( k r k 1,... k) C( k 1, t, t )...C( k r 1, t, t )R( k r, t, t ) º½½µ D( k, t, t ) = 2γk B T δ(t t ) + g 2 Fr 2 ( Lr ( r! k k 1,... k r ) ) 2 r=2 k1,.. k r C( k 1, t, t )...C( k r, t, t ) º½¾µ Û Ö Σ( k, t, t ) Ò D( k, t, t ) Ö Ò Ò Ò ÐÓ Ý Û Ø Õ º º µ Ò º µº ½

145 º ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë º ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ì Ô Ø ¹ ÒØ Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ð Ú ÔÖÓÚ Ò Ú ÖÝ Ù ÙÐ ØÓ Ö Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÒØ Ö Ø Ò ÕÙ ÒØÙÑ Ò Ð Ð Ý Ø Ñ º Ì ØÓ Ø ÝÒ Ñ Ó Ñ ÒÝ Ý Ø Ñ Ò Ð Ó Ö Ù Ò Ø ÓÖÑ Ð Ñº Ë ÑÔÐ ØÓ Ø ÔÖÓ Ò Ö Û Ø Ä Ò Ú Ò ÓÖ Ó Ö¹ÈÐ Ò ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ø Ò ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ÜÔÖ Ù Ò ÙÒØ ÓÒ Ð Ø Ò ÕÙ º Ì Ô Ô Ö ÐÐ Ð Ø ÕÙ Ú Ð Ò ØÛ Ò Ë Ö Ò Ö Ò ÝÒÑ Ò ÓÖÑ Ð Ñ ØÓ Ö ÕÙ ÒØÙÑ Ñ Ò¹ º Ì ÙÒØ ÓÒ Ð ÔÔÖÓ ØÓ ØÓ Ø ÝÒ Ñ ÓÑ Ô ÐÐÝ Ù ÙÐ Û Ò Ú Ò ØÓ Ð Û Ø ÖÖ Ö ÖÓ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ë Øº µ ÓÖ Û Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÕÙ Ò ¹ ÓÖ Ö Ë Ø ÓÒ µº Ì ÑÔÐÝ Ù Ø Ø Ø Û Ô Ò ÓÑ Ø Ñ ÜÔÐ Ò Ò Ò Ø Ð Ø Ø Ò ÕÙ º º º½ ÙÒØ ÓÒ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Â Ò Ò Ö Ú Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ð ÐÐÓÛ Ò ÓÒ ØÓ ÐÙÐ Ø Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ó Ó ÖÚ Ð Ø Ø Ô Ò ÓÒ Ö Ó Ö ÓÑ Û Ó Ý Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒº Ì Ö Ú Ø ÓÒ ÓÒ Ö ÛÖ Ø Ò Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÕÒ º µ Ò ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÖÑº Ë Ò Ø Ñ Ø Ó Ò ÕÙ ÐÐÝ Û ÐÐ ÔÔÐ ØÓ ÒÝ ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ú ÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÒÓ Ò Ø Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÖÓÑ ÓÒ ØÓ d Ñ Ò ÓÒ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Û ÓÙ ÓÒ d = 1 Ø Ú Ò Û Ù Ø ÓÖØ¹ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ ξ(t) = eq[x](t) mẍ(t) + t 0 dt γ(t t )ẋ(t ) + f(t). ÁÒ Ñ ÒÝ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò ÕÙ Ø Ò Ø Ð Ø Ñ Ø ØÓ t Ò ÓÒ ÒØ Ö Ø Ò ØÙ Ý Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÝÒ Ñ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ Û Ø ØÙ Ð Ú ÐÙ Ó Ø Ò Ø Ð Ø Ñ Ó ÒÓØ ÔÐ Ý ÒÝ ÖÓÐ º ÁÒ Ø Ð Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ñ Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØº ÁØ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ò Ø ÒØ Û Ò Ø ÑÔÐ Ò ÔÖ Ô Ö Û ÒÓØ ÓÖ ÓØØ Ò ÙÖ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ Ð Ø Ñ º Ì Ú Ö ØÓ Ò Ø º ÓÖ Ø Ö ÓÒ Û Ö ÙÐÐÝ Ô Ø Ò Ø Ð Ø Ñ ÜÔÐ Øº Ì Ù Ø Ð Ø ÓÙØ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ù ÁØ ÓÖ ËØÖ ØÓÒÓÚ µ Ð Ó ÔÔ Ö Ò Ø ÓÖÑ Ð Ñ Ò Ø Ô Ø ÒØ Ö Ð ÓÒÐÝ Ò Ò Ö Ø ÓÖÑº ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ù Ø ÖÑ Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÖÑ Û ÐÐ Ù ÐÓÛº Ì ÚÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Û Ø Ò Ø Ð ÓÖ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ô Ý Ð ÔÖÓ ÓÒ Û ÒØ ØÓ Ö º ÁÒ ØÝÔ Ð Ö Ð Ü Ø ÓÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ø Ò Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ º º Ü Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ x(0) Ò ẋ(0) Ò Ð Ø Ø Ý Ø Ñ ÚÓÐÚ Ö ÐÝº ÇØ Ö ÔÖÓ Ð Ø Ô ÖÓÑ Ñ Ø Ø Ð Ø Ø ÓÖ Ø Ô ÓÚ Ö ÖÖ Ö Ö ÕÙ Ö Ø Ø Ø Ò Ø Ð x(0) Ò ẋ(0) Ò Ò Ð ÓÒ Ø ÓÒ x(t) Ò ẋ(t) Ü º ÒÝ Ú Ö Ó ÖÚ Ð º º A(x, t) Ò ÕÒ º¾¼µ Ò ÓÑÔÙØ ÖÓÑ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ó ÝÒ Ñ Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ð Z Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÓÙÖ ½

146 º ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë η A(x, t) = δ ln Z[η] δη(t) = η(t)=0 δ δη(t) ln Dξ P(ξ) e dt η(t ) A(x 0 ξ,t ). η(t)=0 Ì Ò Ñ Ð Ó ÒÓ ¹ØÖ ØÓÖ Û Ò ØÓ ÙÑ ÓÚ Ö Ô Ò ÓÒ Ø ÔÖÓ Û Û ÒØ ØÓ Ö º ÁÒ Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÒÓ ÓÒ ØÖ ÒØ Ò Û ÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ ÔÓ Ð ÒÓ Ö Ð Þ Ø ÓÒ º ÁÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Û Ú ØÓ ÓÒ Ö ÓÒÐÝ Ø ÒÓ Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ý Ø Ñ ³ ØÖ ØÓÖÝ ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ ØÓ Ø Ò Ð ÓÒ º Ì Ù Ø ÙÑ ÓÚ Ö ÒÓ Ú ÖÝ ÑÙ Ö ØÖ Ø º ÁÒ Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ P(ξ) ÒÓÖÑ Ð Þ ØÓ ÓÒ Z[η = 0] = 1 Ò Ø Ú Ö ÙØÓÑ Ø ÐÐÝ ÒÓÖÑ Ð Þ º ÁÒ Ø ÓÒ ØÖ Ò Ò Ø Ø ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð Ò ÓÒ ÒÒÓØ ÑÔÐÝ ÓÖ Ø Øº ÁÒ Ø Ö Ø Ó Ø Ë Ø ÓÒ Û ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ò Ò Z[η = 0] = 1º Ì ØÓ Ö Ú Ù ÙÐ ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ð Z[η] Ý ÒØÖÓ¹ Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒØ ØÝ ( ) δeq[x](t) 1 = Dx δ(x x ξ ) = Dx δ(ξ eq[x]) det δx(t ). º½ µ ÁÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ñ ÒØ ÓÖ ÓÒ Ø Ñ Ð Ò Ø ÓÑÔ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ØÙ ÐÐÝ Ö ÔÖ ÒØ j=1 [dx(t j )δ(x(t j ) x ξ (t j ))]º Ì ÔÖÓ ÙØ Ô Ò ÐÐ ÔÓ Ð Ø Ñ ÖÓÑ t 0 = 0 ØÓ t º Ì ÓÒ ÒØ ØÝ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ò Ó Ú Ö Ð Ò Ø ÒØ Ö Ð Û ÒÚÓÐÚ ÙÒØ ÓÒ Ðµ Â Ó Ò Ø Ø Ò Ö Ð Þ Ø Ñ Ð Ö ÒØ ØÝ δ(x f[ξ]) = δ(ξ f 1 (x))/f [ξ] Ú Ð ÓÖ ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ö Ð º Ì ÜÔÖ ÓÒ º½ µ Ò Ö Ø Ò ÑÓÖ ÓÒÚ Ò ÒØ ÓÖÑ Ý Ù Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÐØ ÙÒØ ÓÒ δ(ξ eq[x]) Diˆxe dt iˆx(t )(ξ(t ) eq[x](t )) 0 º½ µ Û ÓÑ Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ Ó ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÝ Ø Ø ÒÙÑ Ö ÔÓÛ Ö Ó 2π Ò Ò ÖÖ Ð¹ Ú ÒØ ÓÖ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ú Ö µº Ç Ø Ò Ø Ð Ó Ù ÙÐ ÓÖ ÐÙÐ Ø ÓÒ ÔÙÖÔÓ µ ØÓ ÜÔÖ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÖÓÙ Ø ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ó Ô Ö Ó ÒØ ÓÑÑÙØ Ò ÖÑ ÓÒ Ú Ö Ð det ( ) δeq[x](t) = δx(t ) DψDψ e 0 dt dt ψ(t ) δeq[x](t ) 0 δx(t ψ(t ) ). º½ µ À Ú Ò Ù Ø ÒØ Ø Ø Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ð ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö ξ x iˆx ψ Ò ψº Ë Ò ξ ÔÔ Ö Ò ÕÙ Ö Ø Ø ÖÑ Ó Ø Ø Ú Ø ÓÒ ÓÒÐÝ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö ξ Ò ÑÔÐÝ ÐÙÐ Ø º Á Ø ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒÐÝ ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ø Ò Ò ÓÒ Ò Ð Ñ Ò Ø Ø ÓÐÙØ Ú ÐÙ º Ì ÙÑÔØ ÓÒ Ù Ø Û Ò ÓÒ ØÙ ½

147 º ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ó Ò Ò Ø Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº Ï ÐÐ Ù Ø Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓ ÒØ Ò Ë Øº Ò Ø ÓÒØ ÜØ Ó Ø ØÙ Ý Ó ÓÒÖ Ø Ü ÑÔÐ º ÀÓÛ Ú Ö Û Ò ÓÒ Ð Û Ø Ø Ú Ø ÔÖÓ Ë Øº µ ÒØ Ñ Ø ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ ÓÙÒ ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ä Ò Ú Ò ÔÖÓ Ñ ÒÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÓÒØÖ ÙØ Û Ø Ö ÒØ Ò º ÁÒ Ø Ø ÓÐÙØ Ú ÐÙ ÒÒÓØ Ö Ö º Á ÒÓÖ Ò Ø ÓÐÙØ Ú ÐÙ Ø ÙÐÐ Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÑ Z[η, ˆη] = DxDiˆxDψDψ exp( S eff ) t S eff = dt (iˆx(t ) eq[x](t ) η(t )x(t ) ˆη(t )iˆx(t )) º½ µ 0 t ( ) t + dt dt iˆx(t )k B Tθ(t t )γ(t t )iˆx(t ) + ψ(t ) δeq[x](t ) 0 0 δx(t ) ψ(t ) Û Ö Û Ú ÒØÖÓ Ù ÓÖ ÓÒÚ Ò Ò Ò Û ÓÙÖ ˆη(t) ÓÙÔÐ ØÓ Ø ÙÜ Ð ÖÝ Ú Ö Ð iˆx(t)º Ì Ú Ö Ð iˆx ÔÔ Ö Ò Ð Ò Ö Ò ÕÙ Ö Ø Ø ÖÑ Ó Ø Ø Ú Ø ÓÒ ÓÒÐÝº Ì Ù ÓÒ Ò ÒØ Ö Ø Ø ÓÙØ ØÓ Ó Ø Ò ÙÔ ØÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÓÒ Ø ÒØ Z[η, ˆη] = DxDψDψ exp( S eff ) t t [ t S eff = dt η(t )x(t ) + dt dt ψ(t ) δeq[x](t ) δx(t ) ψ(t ) + (eq[x](t ) ˆη(t )) (2k B Tθ(t t )γ(t t )) 1 (eq[x](t ) ˆη(t )) ] º½ µ ÁÒ Ø ÓÚ Ö ÑÔ Ð Ñ Ø Û Ò Ø ÒÓ ξ(t) ÐØ ÓÖÖ Ð Ø Ø Ø Ú Ø ÓÒ ÑÔÐ ØÓ t [ S eff = dt η(t )x(t ) + 2k B T (eq[x](t ) ˆη(t )) 2] 0 Û Ö Û Ú ÒÓØ ÛÖ ØØ Ò Ø Ø ÖÑ Ö Ò ÖÓÑ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØº º º¾ Ì Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ º Ì Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ Ú Ò Ý δ x(t) h δh(t ) = h=0 δ δh(t ) ( DxDiˆxDψDψ x(t) exp S eff + ) dt iˆx(t )h(t ) Û Ø S eff Ò Ò ÕÒ º½ µ Ò Ú ÐÙ Ø Ø Ú Ò Ò ÓÙÖ º Ì Ö ÑÙ Ø Ú ÐÙ Ø Ø h = 0º ÁØ ÑÑ Ø ÐÝ Ð ØÓ R(t, t ) = x(t)iˆx(t ) º½ µ ½

148 º ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë º º Ì Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÁØ Ò ËØÖ ØÓÒÓÚ Ø Û ÐÐ¹ ÒÓÛÒ Ô Ø ¹ ÒØ Ö Ð Ö ÓÒÐÝ Ò Ò Ø Ö Ö Ø ÓÖÑº ÁÒ Ø ÓÚ Û Ú ÒÓØ Ñ ÜÔÐ Ø Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ú Ø ÓÒº Ä Ø Ù ÒÓÛ ÑÓÖ ÔÖ Ò Ü Ø Ñ Ù Ø º Ì ÒØ ØÝ º½ µ ØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ö Ø Þ ÓÖÑ Ò Û Ö Ø Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ø ËÑÓÐÙ ÓÛ Ð Ñ Ø Ò ÕÒ µ ÑÔÓ Ø Ñ ¹ Ý¹Ø Ñ Ý Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒº Ì Ö Ø Þ Ø ÓÒ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ù Ý Ð Ö ÒØ ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ Ò Ø Ø ÖÑ Ò ÒØº Ä Ø Ù Ù Ø Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ Ö Øº Ø Ö Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÐØ ¹ ÙÒØ ÓÒ ÕÒ º½ µ Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ö ÓÚ Ö Ø ÒÓ ÓÒ Ò ØÓÖ e k BTγ k (iˆx kθ+iˆx k+1 (1 θ)) 2 iˆx k F k +iˆx k h k ), º½ µ Ò Ø Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ðº Ì Ð Ò Ö Ö ÔÓÒ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ h l Ò Ö R(t k, t l ) = δ x { k = x k (iˆx l θ + iˆx l+1 (1 θ)) = δh l x tk iˆx l+1 ÁØ, 1 x tk 2 l + iˆx l+1 ) ËØÖ ØÓÒÓÚ. Ì ÜÔÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð Ó Ô Ò ÓÒ Ø Ö Ø Þ Ø ÓÒ Ù º Ä Ø Ù ÓÙ ÓÒ Ø ÑÓ Ø ÓÑÑÓÒ Ó Ä Ò Ú Ò ÔÖÓ Ò Ø ËÑÓÐÙ ÓÛ Ð Ñ Øº ÕÙ Ø ÓÒ µ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ E(t k ) γ( x(t k ) x(t k 1 )) F k δ = ξ(t k ) δ, º¾¼µ Û Ö Û Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ò ÕÒ µ Ò µº Ø Ö ÑÔÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ò Ø Ø Ø ÙÒ ÒÓÛÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú Ò Ý det ( ) Ei (t k ) = x j (t l ) k det ( ) Ei (t k ) = x j (t k ) k det [ γδ ij δ θ ( ) ] Fi x j k. º¾½µ Ì Ð Ð i, j ÖÙÒ ÓÚ Ö Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ú ØÓÖ x i, j = 1,...,dµ Ò Ø Ð Ð k, l ÖÙÒ ÓÚ Ö Ø Ö Ø Ø Ñ k = 0,...,Nµº Ì Ù Ö ÔØ k Ò Ø Ø Ø F i / x j ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø t k º Í Ò ÒÓÛ det(1 + A) = exp ØÖln(1 + A) = exp ØÖ(A 1 2 A2 +...) Ò ØÓÖ Þ Ò ØÖ Ú Ð ØÓÖ Ø Ø Ô Ò ÓÒÐÝ ÓÒ γ ÓÒ Ò det ( ) Ei (t k ) x j (t l ) = exp δ θ γ 1 k,i ( ) Fi x i k + O(δ 2 ). ÆÓØ Ø Ø Ò Ø ÁØ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ θ = 0 Ò Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ù Ø ÕÙ Ð ØÓ ÓÒ ÐÐ Ö ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ö ÔÓÛ Ö Ó θ Ò Ò Ð Ó Ú Ò µº ½

149 º ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë Ì Ø ÖÑ O(δ) Ø ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ø ÓÒØÖ ÙØ Ò Ø δ 0 Ð Ñ Øº ÓÖ ÔÓØ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ ÓÑ det ( ) E = e θ γ d d x dt 2 V (x) x x 2. º¾¾µ Ì ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ø ÑÓÖ ÓÑ Ö ÓÑ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÒÓ Ò ÓÙÒ Ò º º º ÈÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝº ÁÆ ÇÆÌÊÇÄ ÌÀ ÁË Ê ÌÁ ÌÁÇÆ ÍË Ì Ô Ø ¹ ÒØ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ñ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ö P(x, t) = N t k=1 dx k T(x k, t k x k 1, t k 1 )P(x 0 ), Û Ö P(x 0 ) Ø Ò Ø Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø Ñ t 0 = 0µ Ó Ø Ó ÖÚ Ð x 0 º ÓÖ Ô ÔÖÓ ÓÒ T(x k, t k x k 1, t k 1 ) = ( 4πD (2) (x k 1, t k 1 )δ ) 1/2 xk xk 1 D (1) (xk 1,t k 1 )δ e 4D (2) (x k 1,t k 1 )δ Ò Ò Ø ÓÒØ ÒÙÙÑ Ø Ñ Ð Ñ Ø N t δ 0 Ò N t δ t Ø ÓÑ P(x, t) = x dx 0 P(x 0 ) Dxe dt (ẋ(t ) D (1) (x(t ),t )) 2 4D (2) (x(t ),t ), x 0 Û Ö Dx Ö ÔÖ ÒØ ÒÓÖÑ Ð Þ Ñ ÙÖ ÓÚ Ö ÐÐ Ô Ø Ó Ð Ò Ø ³ t Ø ÖØ Ò Ø x 0 Ò Ò Ò Ø xº ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û Ù Ø d = 1 Ø Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ ØÓ Ö Ñ Ò ÓÒ Ò ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º Ì ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ËÑÓÐÙ ÓÛ ÕÙ Ø ÓÒ º½ µ Û Ø Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø t = 0 P(x 0 ) = δ(x x 0 ) Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ô Ø ¹ ÒØ Ö Ð P(x, t x 0 ) = x x 0 Dx e [ 1 t k B T 0 dt ] ẋ ẋ 2 V (x)+ (V (x)) 2 k B T 4 2 V (x). º¾ µ ÓÖ Ö ÓÒ Û Û ÐÐ ÒÓØ ÛÖ Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÜÔÐ ØÐÝ Ò Ø Ô Ø ¹ ÒØ Ö Ðº Ì ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ø ÖÑ Ò ÕÒ º¾ µ Ù Ù ÐÐÝ ÐÐ Ø ÇÒ Ö¹Å ÐÙÔ Ø ÓÒ ÙÔ ØÓ Ò Ó Òµº Í Ò ẋv (x) = dv (x)/dt Ò Ò Ò U(x) (V (x)) 2 4 k BT 2 V (x) ½

150 º Ù ÓÒ ÓÚ Ö ÖÖ Ö Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë ÓÒ Ò P(x, t x 0 ) = e V (x) V (x 0 ) 2k B T [ ] Dx e 1 t k B T 0 dt ẋ 2 4 ( U(x)). º¾ µ Ì Ö ÙÐØ Ò Ó Ø Ò Ö ØÐÝ Ý Ñ ÔÔ Ò Ø Ó Ö¹ÈÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÒØÓ Ë ÖÓ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÕÒ º¾µ Ò ÜÔÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ò Ö ÝÒÑ Ò¹Ã Ô Ø ÒØ Ö Ðº º Ù ÓÒ ÓÚ Ö ÖÖ Ö ÁÒ ½ ¼ ÃÖ Ñ Ö Ø Ñ Ø Ø Ô Ö Ø ÖÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð Û ÐÐ Ø ÓÒ ÓÛÒ Ò º ¾ Ù ØÓ Ø ÖÑ Ð ÙØÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ú Ù ÒØ Ò Ö Ý ØÓ Ø Ô ÖØ Ð ØÓ ÐÐÓÛ Ø ØÓ ÙÖÔ Ø ÖÖ Öº Ø Ö Ø Ñ Ò Ð Ô Ô Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÙ Ò Ö Ø Ø Ð Ú Ò Ø Ø Ø Ó Ô Ö ÑÓÙÒØ ÑÔÓÖØ Ò Ò Ñ ÒÝ Ö Ó Ô Ý Ò Ñ ØÖÝ Ø Ù ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÐÝ ÑÙ ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø ØÙ Ø ÓÒ º Ò Ü ÑÔÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø Ó Ø ÓÒ Ó ÑÓÐ ÙÐ Û Ö x Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø Ú ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ø ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ý ÖÖ Ö ØÙ ÐÐÝ Ö ¹ Ò Ö Ý ÖÖ Öº ÃÖ Ñ Ö ³ Ö ÙÐØ Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ø Ø Ñ ØÓ Ô ÖÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð Û ÐÐ ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø Ø Ó Ø ÖÖ Ö Ò Ú Ò Ý Ø ÖÖ Ò Ù Ð Û Û Ø ÔÖ ØÓÖ Ø Ø Ò ÐÙÐ Ø ÜÔÐ ØÐÝ ÐÓÛµº Ì ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ó ÖÙ Ð ÑÔÓÖØ Ò ÓÖ ÙÒ Ö Ø Ò Ò ÐÓÛ Ð Ýµ Ô ÒÓÑ Ò Ò Ñ Ö ÖÖ Ö Ó 30k B T ÒÓÙ ØÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ñ ÖÓ ÓÔ Ø Ñ Ó ÓÒ ÒØÓ Ñ ÖÓ ÓÔ Ø Ñ Ð º Î Ë Î Î Î Ü Ü Ñ Ò Ü Ñ Ü Ü ÙÖ ¾ Ñ Ø Ø Ð ÔÓØ ÒØ Ð Û ÐÐ Ð Øµ Ò ÓÙ Ð ¹Û ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ö Øµº º º½ ÃÖ Ñ Ö ÓÐÙØ ÓÒº ÃÖ Ñ Ö ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø ÓÙÔÐ ØÓ Ò ÕÙ Ð Ö Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ò Ó ØÓ Ö Ø ØÓ Ø ÝÒ Ñ Ó x Ø ÖÓÙ Ð Ò Ö Ä Ò Ú Ò ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Û Ø ÒÓ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ Ø ÃÖ Ñ Ö ÕÙ Ø ÓÒ º½ µº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û ÓÖ Ø Ñ Ú Ò Ó Ú Ö Ð Ò Ø Ø ØÓ ÓÒ Ö Ø Öº Á Ø Ø ÖÑ Ð Ò Ö Ý Ø Ð Ø Ó Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÖÖ Ö Ø k B T V Ø Ö Ø ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø ÑÓÚ Ö ÐÝ ÖÓÑ Ø Ú Ò ØÝ Ó ÓÒ Û ÐÐ ØÓ Ø Ú Ò ØÝ Ó Ø ÓØ Öº Ì ØÖ ØÑ ÒØ Û ÐÐ ÔÖ ÒØ Ò ÜØ ÒÒÓØ ÔÔÐ ØÓ Ø º ½ ¼

151 º Ù ÓÒ ÓÚ Ö ÖÖ Ö Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë Á Ò Ø Ø Ø ÖÑ Ð Ò Ö Ý ÑÙ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø ÖÖ Ö Ø k B T V Ø Ö Ò ÓÑ ÓÖ Ø Ñ ÐÐ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ò ÑÓ Ø Ó Ø Ø Ñ Ø Ö Ø ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ð Ü ØÓÛ Ö Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Û ÐÐ Û Ö Ø ÐÓ Ø º Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ø Ö Ò ÓÑ ÓÖ Û ÐÐ Ö Ú Ø ÓÚ Ö Ø ÖÖ Ö Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø Ô ØÓ Ò Ò ØÝ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø ÓÖÑ Ò º ¾ ¹Ð Ø ÓÖ Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ò ÓÙÖ ÓÓ Ó Ø ÓÒ Û ÐÐ º ¾ ¹Ö Øº ÁÒ Ø Ö Ñ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ÙÖÖ ÒØ J ÓÚ Ö Ø ØÓÔ Ó Ø ÖÖ Ö Ú ÖÝ Ñ ÐÐ Û ÐÐ Ø Ø Ñ ¹Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝº ÓÒ Ø ÒØ ÙÖÖ ÒØ J Ò ÑÔÓ Ý Ò Ø Ò Ô ÖØ Ð Û Ø Ò Ø Û ÐÐ Ò Ö ÑÓÚ Ò Ø Ñ ÓÑ Û Ö ØÓ Ø Ö Ø Ó Øº ÁÒ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ò Ò Ð Ø Ø Ø ÖÑ P(x, v, t) Ò ÃÖ Ñ Ö ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÖ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÐÙØ ÓÒº ÁÒ Ú ÖÝ ÖÙ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÒ ÙÑ Ø Ø Ø Ú Ò Ý Ø ÒÓÒ Ð ÓÖÑ ( ) P st (x, v) = Ne β v 2 2 +V (x). º¾ µ Á Ø Ö Ò ØÓ Ø Ö Ø Ó Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ N Ü Ý ÙÖØ Ö ÙÑ Ò Ø Ø P st (x, v) 0 ÓÖ x x > x max º Ì Ö ÙÐØ Ò ÒØ Ö Ð ÓÚ Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ò ÓÑÔÙØ Ù Ò Ð ¹ÔÓ ÒØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº Ø Ö ÜÔ Ò Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÓÙØ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ô Ò Ø ÕÙ Ö Ø ÙØÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ò N 1 = 2π β V (x min ) e βv (x min ). Ì Ô Ö Ø r ÓÚ Ö Ø ØÓÔ Ó Ø ÖÖ Ö Ò Ö ÐÝ ÓÑÔÙØ ÒÓÛ Ý ÐÙ¹ Ð Ø Ò Ø ÓÙØÛ Ö ÓÛ ÖÓ Ø ØÓÔ Ó Ø ÖÖ Ö r 1 τ dv vp(x max, v) = 0 V (x min ) 2π e β(v (xmax) V (x min)). º¾ µ ÆÓØ Ø Ø Û Ö ÙÑ Ø Ø ÒÓ Ô ÖØ Ð ÓÑ ÖÓÑ Ø Ö Ø Ó Ø ÖÖ Öº Ì ÙÑÔØ ÓÒ Ù Ø Ø ÔÓØ ÒØ Ð ÕÙ ÐÝ Ö ÓÒ Ø Ö Ø Ó Ø ÖÖ Öº Ì ÖÙ Ò Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ º¾ µ Ò Ö Ô Ý ÒÓØ Ò Ø Ø Ø ÕÙ ¹ Ð Ö ÙÑ ÓÖÑ Ù Ø ÓÒÐÝ Ò Ö Ø ÓØØÓÑ Ó Ø Û ÐÐº ÐÓ ØÓ Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ú Ø ÖÓÑ Ø ÒÓÒ Ð ÓÒ º ÃÖ Ñ Ö Ø Ñ Ø Ò ÑÔÖÓÚ P st (x, v) Ø Ø Ð ØÓ r = ( γ V (x max ) ) 1/2 γ 2 V (x max ) V (x min ) 2π e β(v (xmax) V (x min)). º¾ µ Ì ÜÔÖ ÓÒ ÔÔÖÓ º¾ µ Û Ò γ V (x max ) º º ÐÓ ØÓ Ø ÙÒ ÑÔ Ð Ñ Ø Ò V (x max )V (x min ) r = e β(v (xmax) V (x min)) º¾ µ 2πγ ½ ½

152 º Ù ÓÒ ÓÚ Ö ÖÖ Ö Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë Û Ò γ V (x max ) º º Ò Ø ÓÚ Ö ÑÔ Ð Ñ Øº Ì ÒÚ Ö Ó ÜÔÖ ÓÒ º¾ µ τ ÐÐ Ø ÖÖ Ò Ù Ø Ñ Ò ÓÖ Ø ÖÑ Ð Ø Ú Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÖ Ö V º Ì ÔÖ ØÓÖ Ø Ø Ö Ø Ö Ø Û ÐÐ Ò ÖÖ Ö Ò Ø ÖÑÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ø ØØ ÑÔØ Ö ÕÙ ÒÝ Û Ø Û Ø Ô ÖØ Ð Ø Ò ØÓ ÙÑÔ ÓÚ Ö Ø ÖÖ Öº ÁÒ Ø ÓÒ Ò ¹Ñ ØØ Ö Ð Ø Ö ØÙÖ ÖÖ Ò Ù ÓÖ Ø Ú Ø µ Ö Ø Ö Ø Ø Ñ ÔÔ Ö Ó Ø Òº ÁÒ Ð Ý Ý Ø Ñ Ø Ó ÐÐ ØÖÓÒ Ð ÓÖÑ Ö Ú Ú Ó Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÖÖ Ò Ù Ú ÓÙÖ ÐÓ ØÓ Ø Ð Ý ÖÖ Øº Ì Ø Ò Ö Ø Ö ÐÓÓ ÐÝ Ó Ø ØÓ ÓÑ ØÝÔ Ð Ö ¹ Ò Ö Ý ÖÖ Ö Ø Ø Ø Ý Ø Ñ Ò ØÓ ÙÖÑÓÙÒØ Ú Ø ÖÑ Ð Ø Ú Ø ÓÒ ØÓ Ö Ð Üº ÆÓØ ÓÛ Ú Ö Ø Ø ÐØ ÓÙ Ø ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ø ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø Ò ÑÓÖ ÓÖ Ð ÐÝ ÒØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ø Ó Ø ÓÒ Ó ÑÓÐ ÙÐ Ù Ò Ð Ú Ö Ð ÑÙ Ö Ö ØÓ Ú Ù Ð Þ Ò Ð ÕÙ º Ì ÃÖ Ñ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÐÝ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð Ò Ò Ø Ò Ò Ø ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô ¹ Ô ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÓÙØ Ó Ö º º º¾ È Ø ¹ ÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð Ñº Ì Ô Ø ¹ ÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð Ñ Ý Ð Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ò ÔÖ Ò¹ ÔÐ Ö ØÓ Ò Ö Ð Þ ØÓ ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð º ÓÖ Ø Ó ÑÔÐ ØÝ Ð Ø Ù ÓÙ ÓÒ Ø ÓÚ Ö ÑÔ Ð Ñ Ø Ò Û Û Ò Ð Ø Ò ÖØ º Ï Ö Ø Ö Ö Ú Ø ÖÖ ¹ Ò Ù ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ù Ò ÑÔÐ Ð ¹ÔÓ ÒØ Ö ÙÑ ÒØ Ò Ø Ò ÓÛ ÓÛ ÃÖ Ñ Ö ÐÙÐ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÚ Ö Ý ÓÖÖ ØÐÝ ÓÑÔÙØ Ò Ø ÙØÙ Ø ÓÒ ÖÓÙÒ Ø Ð ÔÓ ÒØº ËØ ÖØ Ò ÖÓÑ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝ ØÓ Ö Ø ØÓÔ Ó Ø ÖÖ Ö ÖÓÑ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Û ÐÐ ( ) x(t)=xmax δeq[x](t) P(x max, t x min ) = Dx δ(ξ eq[x]) x(0)=x min det, δx(t ) ξ Ò Ò Ð Ø Ò Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Û Ù Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛ Ø ÁØÓ ÓÒÚ ÒØ ÓÒµ Ø Ò ÓÖ Ù Ò Û Ø ÒÓ ξ P(x max, t x min ) = x(t)=xmax x(0)=x min Dx e 1 4k B T t 0 dt (ẋ+ dv dx ) 2 ÜÔ Ò Ò Ø ÕÙ Ö Û Ò ØÓØ Ð Ö Ú Ø Ú ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÒØ Ö Ð ÕÙ Ð ØÓ 2[V (x max ) V (x min )] ÔÐÙ Ø ÙÑ Ó ØÛÓ ÕÙ Ö t 0 dt ẋ 2 + (V (x)) 2 º ÓÖ Ñ ÐÐ T Ø Ô Ø ÓÒØÖ ÙØ Ò ÑÓ Ø ØÓ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð ØÝ Ù Ø Ø Ø ÒØ Ö Ð Ñ Ò Ñ Þ º Í Ò Ø Ò Ö ÖÙÐ Ó ÙÒØ ÓÒ Ð Ö Ú Ø ÓÒ ÓÒ Ò Ø Ø Ø Ô Ø x Ù Ø Ø d 2 x dt 2 = V (x )V (x ) ẋ = ±V (x ). ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ x (0) = x min Ò x(t) = x max Ø + ÓÐÙØ ÓÒ ÑÙ Ø Ó Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ò ÓÚ Ö ÑÔ ÑÓØ ÓÒ Ò Ø ÒÚ ÖØ ½ ¾

153 º Ù ÓÒ ÓÚ Ö ÖÖ Ö Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë ÔÓØ ÒØ Ð V (x)º Ì Ò Ù Ò Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ t 0 dt [ ẋ 2 + (V (x )) 2] t 2 dt ẋ V (x ) = 2[V (x max ) V (x min )], 0 Ø Ø ÓÙ Ð Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ØÓØ Ð Ö Ú Ø Ú ÓÚ º À Ò Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÒ Ò P(x max, t x min ) e β(v (xmax) V (x min)), Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ó tº Ì Ø ÓÐØÞÑ ÒÒ¹ ÖÖ Ò Ù Ö ÙÐØº Ì ÒØ Ö Ø Ó Ø ÓÚ ÑÔÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ò Ö ÐÝ ÜØ Ò ØÓ Ø Û Ö Ø ÒÓ ξ Ø ÑÔÓÖ Ð ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÖ ÒÓÒ Ù Ò Ø Ð Ò ØÓ ÓÛ Ø Ø Ò Ø ÖÖ Ò Ù Ö ÙÐØº ÌÓ Ó Ø Ò Ø ØØ ÑÔØ Ö ÕÙ ÒÝ ÓÒ ÓÙÐ Ø ÖØ ÖÓÑ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÖÑ Ú Ò Ò ÕÒ º¾ µº Ì ÇÒ Ö¹Å ÐÙÔ Ø ÓÒ ÓÒØ Ò Ø ÒÚ ÖØ ÔÓØ ÒØ Ð U(x) Û Ö U(x) (V (x)) 2 /4 k B T/2V (x)º ÓÖ Ò ÓÖ Ò Ð ÔÓØ ÒØ Ð V (x) Û Ø ØÛÓ Û ÐÐ Ø ÓÒ Ò º ¾ ¹Ö Ø U(x) Ø Ø ÓÖÑ Ø Ò º ¾ ¹Ð Øº ÆÓØ Ø Ø Ø Ö Ò Û Ø Ø Ù Ù Ð ÕÙ ÒØÙÑ ØÙÒÒ Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ ØÛ Ò ØÛÓ Û ÐÐ Ú Ò Ý Ø ÓÖÑ Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ø ÓÖ Ø ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ò Ð ÓÒ º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö k B T ÔÐ Ý Ø ÖÐ Ó ÈÐ Ò ³ ÓÒ Ø ÒØ h Ò ÕÙ ÒØÙÑ Ô Ø ¹ ÒØ Ö Ð Ò Ð Ó ÓÒØÖÓÐ Ø ÓÖÑ Ó Ø ÒÚ ÖØ ÔÓØ ÒØ Ðµº Ì Ù Ø Ñ Ð Ð Ð Ñ Ø ØÖ Ò Ð Ø Ö ÒØÓ Ø ÐÓÛ¹Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÒ Ò Û Ø Ô Ø ¹ ÒØ Ö Ð ÓÑ Ò Ø Ý Ø ØÖ ØÓÖ Ø Ø Ö ÐÓ ØÓ Ø Ð Ð³ ÓÒ Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø Ø ÓÒ δs δx(t) x (t) = 0 ẍ (t) 2 = δu(x) δx(t) x (t) Û Ø x (t 0 ) = x 0, x (t) = x. º¾ µ Ì Ø ÙÒ ÑÔ ÓÖ Ð Ðµ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÑÓØ ÓÒ Ò ÑÓ ÔÓØ ÒØ Ðº ÁØ ÓÐÙØ ÓÒ ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ÙÒ ÕÙ º ÇÒ Ø ÓÒØÖ ÖÝ Û ÐÐ Ø Ø ÓÖ Ø Ò Ó ÔÓØ ÒØ Ð V (x) Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ñ Ø Ò Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÐÙØ ÓÒ º Í Ü Ø ½ Ü Ø ¾ Ø ÙÖ ¾ Ä Ø ÁÒÚ ÖØ ÔÓØ ÒØ Ð U(x) ÓÖ ÓÙ Ð ¹Û ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð V (x)º Ê Ø ÁÒ Ø ÒØÓÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº ÙÑ Ò Ø Ö Ò Ð ÜØÖ ÑÙÑ Ø ÙØÙ Ø ÓÒ ÖÓÙÒ Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Û Ø y(t) x(t) x (t)º ÍÔ ØÓ ÕÙ Ö Ø ÓÖ Ö Û Ú ÓÖ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð ØÝ P(x, t x 0, t 0 ) e 1 k B T S[x ] e V (x) V (x 0 ) 2k B T Dy e 1 k B T t t 0 t t 0 dt dt y(t )δ(t t ) [ d 2 dt 2 +U (x (t )) y(t ) ] º ¼µ ½

154 º Ù ÓÒ ÓÚ Ö ÖÖ Ö Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë Û Ø Ø Ò Ø Ð Ò Ò Ð ÓÒ Ø ÓÒ y(t 0 ) = y(t) = 0º Ì Ù Ò Ô Ø ¹ ÒØ Ö Ð ÕÙ Ð 1/[det( d2 dt 2 + U (x (t )))] 2 º º Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ø Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ò Ú ÐÙ Ø Ò Ú Ö Ð ÕÙ Ú¹ Ð ÒØ Û Ý º Ò Ý ÓÒ ØÓ ÜÔ Ò y(t ) Ò Ø Ó Ø ÒÚ ØÓÖ Ó Ø Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÔ Ö Ò Ò Ø ÕÙ Ö Ø ÓÖÑ y(t) = n c ny n (t) Û Ø ] [ d2 dt 2 + U (x (t)) y n (t) = λ n y n (t), º ½µ Ø Ò Ø Ò Ø Ð Ò Ò Ð Ú ÐÙ y n (t 0 ) = y n (t) = 0 Ò Ø Ý Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ t t 0 dt y n (t )y m (t ) = δ nm º Ê ÔÐ Ò y(t) Ò Ø Ø ÓÒ ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ó ÙÒÓÙÔÐ Ù Ò Ò¹ Ø Ö Ð Ó Û Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ý Ð Ò ( ) 1/2 P(x, t x 0, t 0 ) N λ n n e 1 2k B T (2S[x ]+V (x) V (x 0)). N ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø Ò ÓÑÔÙØ Ý ÑÔÓ Ò Ø ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð ØÝº Ì Ù Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ù Ø ÐÐ ÒÚ ÐÙ λ n Ö Ò Ø º ÁÒ Ø Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ò Ò ÑÔÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø ÕÙ ÒØÙÑ Ñ Ò Ó Ô ÖØ Ð Ò Ø Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ø ÙÑÔ¹ Ø ÓÒ ÒÓÖÖ Ø Ò Ø Ö ÒØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Þ ÖÓ ÑÓ º º ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÕÒ º ½µ Û Ø Þ ÖÓ ÒÚ ÐÙ º Ì Þ ÖÓ¹ÑÓ ÒØ Ñ Ø ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÒÚ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ñ ¹ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ó Ø ÜØÖ Ñ¹ Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ º¾ µ Û ÑÔÐ Ø Ø x I (t ) ÓÐÙØ ÓÒ x I (t + τ) Ð Ó ÓÐÚ Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Û Ò Ú Ö Ø ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÖÙ Ò Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ º ÁÒ Ø ÓÒ Ò ØÓ ØÖ Ø Ô Ö Ø ÐÝ Ø Þ ÖÓ¹ÑÓ º Ä Ø Ù ÒÓÛ ÓÙ ÓÒ Ø ÓÙ Ð ¹Û ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ Ø Ö Ñ Û Ö ÒØ Ö Ø Ò k B T V Ò Ø ÒÚ ÖØ ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ö Ñ Ü Ñ Ø x = b, 0 Ò aº a Ò b Ó Ò Û Ø Ø Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ò Ð ÓÙ Ð ¹Û ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ðº x = 0 Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ó V (x) ¾ ¹Ö Ø Ò ¾ ¹Ð Øº Ì Ø Ó Ñ Ü ÑÙÑ U(x max ) = k B TV (x max )/2 Ø Ù U(0) < 0 < U(b), U(a)º Ì Ñ Ò Ñ Ò U ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ò Ü ÓÒ ÔÓ ÒØ Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÔÓØ ÒØ Ð V º Á Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ò ØÓ Ò Ø Ð Ø¹Û ÐÐ Ø Ô ÓÚ Ö Ø ÖÖ Ö ÔÖÓ Ò Û x(t 0 ) = b Ò x(t) = aº Ð Ð ÓÐÙØ ÓÒ º º ØÖ ØÓÖÝ Ø Ø Ñ Ò Ñ Ø Ø ÓÒ S Ð Ò Ò Ø ØÛÓ Ú ÐÙ ÓÛÒ Ò º ¾ ¹Ö Øº ÁØ ÐÐ ÓÙ Ð µ¹ Ò Ø ÒØÓÒ Ò Ø ÐÑÓ Ø Ú Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò ÕÙ Ð ØÓ Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ò Ó Ø ØÛÓ Û ÐÐ Ü ÔØ ÙÖ Ò ØÛÓ Ú ÖÝ ÖÔ Ø Ñ ¹ ÒØ ÖÚ Ð Û Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÙÖº ÁÒ Ø ÙÖ Ø Ô ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð Û ÐÐ ØÓ Ø ÒØ ÖÑ Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÓÙÖ Ø t 1 Ò Ø ÙÖØ Ö Ô ÖÓÑ Ø Ñ Ü ÑÙÑ ØÓ Ø Ò Ð Û ÐÐ Ø ÔÐ Ø t 2 º Ì ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ô Ú ÖÝ ÓÖØ Ò Û ÐÐ Ø tº Ì Ô ÖØ Ð Ô Ò t 2 t Ò Ø Ú Ò ØÝ Ó Ø ÓØØÓÑ Ó Ø Û ÐÐ Ò 2 t Ô Ö ÓÖÑ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ º ÑÔÐ ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÛ Ø Ø Ø Ó Ø Ò Ò Ö Ý Ó Ø ØÖ ØÓÖÝ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ñ ÐÐ Ò tº ÖÓÑ Ø Ù ÓÒ ÓÚ Ø Ð Ö Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÙÖ Ò Ø t 1 + τ 1 Ò t 2 + τ 2 ÐÓÒ τ 1 Ò τ 2 Ö Ù ÒØÐÝ ÓÖØ ØÓ ÚÓ t 1 ± t + τ 1 t t 1 ± t + τ 1 t 0 Ò Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ t 2 Ò τ 2 º Ì Ù Û ØÙ ÐÐÝ Ú Ñ ÐÝ Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ð Ð Ý ÓÒØ ÒÙÓÙ Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ø Ö Ø Ö Þ Ø ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ò Ø Ñ º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓÒ Ò Ñ Ø Ø Ò Ø Ð Ò Ò Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ý Ñ Ò ÒÝ Ó ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ò Ø Ð Ò Ø Ò Ð Û ÐÐº Ì Ò Ö Ý Ó Ø Ó Ù ÑÙÐØ ¹ Ò Ø ÒØÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ö Ø Ò Ø ÓÒ Û Ø Ò Ð Ú ÒØ ÙØ Ø Ò Ö Ý Ö Ò ØÛ Ò Ø Ñ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ñ ÐÐ Ò t Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ø ÓÒ º ÁÒ Ø Ð Ñ Ø Ó ÐÓÒ t ÐÐ Ø Ð Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÕÙ ¹ Ò Ö Ø Ò ØÓ ÓÑÔÐ Ø Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ØÝ P(x, t x 0, t 0 ) ÓÒ ØÓ ÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ Ó Ø Ñº Ò Ò Ø ÒØÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò Û ÓÒ ÙÑ Ø Ø Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ò ÑÙÐØ ¹ Ò Ø ÒØÓÒ Ó ÒÓØ ÓÚ ÖÐ Ô Ò Ö Û ÐÐ Ô Ö Ø Ò Ø Ñ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒº Ï ÐÐ ÒÓØ Ö Ø Ö Ò Ø ½

155 º ÝÒ Ñ Ó Ê Å Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë Ò ÓÙÒ Ò º ÇÒ Ò Ø Ø Ô ÖØ ÖÓÑ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ñ ÐÐ Ø ÖÑ Ò t Ø Ø Û Ò Ð Ø V P(x, t x 0, t 0 ) (a) (x) V (a)) e β(v 2πk B T º º Ù ÓÒº Ì Ô Ø ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ø Û Ú Ù Ø ÓÑÔÙØ ÙÑ ÓÚ Ö Ø Ù Ø Ó ÒÓ ØÖ ØÓÖ Ø Ø Ð ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ ØÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Û ÑÔÓ º ÁÑÔÓ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÙØÙÖ ØÖÓÝ Ø Ù Ð Ö Ø Ö Ó Ø ÓÖÝº ÁÒ ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÒ ØÖ Ø Ò Ø Ë Ø ÓÒ Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ ÔÓ Ð Ö Ø ÓÒ Ô Ø ³º ÁÒ ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ý Ø Ñ Ò ØÖ Ò Ø ÖÓÑ ÓÒ Ø Ø ØÓ ÒÓØ Ö ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÒØ Ô Ø Ø Ø Ó Ø ÖÓÙ Ö ÒØ Ð ¹ÔÓ ÒØ º Ì ÐÓÛ Ø Ð ¹ÔÓ ÒØ Ñ Ø ÒÓØ Ø ÑÓ Ø ÓÒÚ Ò ÒØ Û Ý ØÓ Ó Ò Û Ø ÑÓ Ø ÚÓÖ Ð Ô Ø Ò Ò Ö Ð ÙÐØ ØÓ Ø Ð º º ÝÒ Ñ Ó Ê Å ÁÒ Ë Ø ÓÒ º Û Ù Ø Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ý ÑÓ Ð Ê Åµ Ò Ø Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ º Ì ÝÒ Ñ Ó Ê Å ÑÓ Ð Ö Ò ÓÑ Û Ð ÓÒ Ø Ô Ó Ò Ö Ý Ð Ú Ð º Ì Ý Ø Ñ Ò Ý Ð Ú Ð E i Ø Ø Ñ t Ø Ö Ñ Ò Ø Ö ÓÖ Û Ø Ò ¹Ø Ñ t w Ò Ø Ò Ø ÙÑÔ ØÓ ÒÓØ Ö Ð Ú Ð E j Û Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ø º Ì Ò Ó ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö Ù Ò Ñ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Õº º µ ÓÖ Ø Ø Ñ ¹ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝ p(e i, t) Ó Ò Ò Ø Ý Ø Ñ Ò Ð Ú Ð i Ø Ø Ñ t p(e i, t) t Ì Ø Ð Ð Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ö N N = T ij p(e j, t) T ji p(e i, t). j=1 j=1 T ij p(e j ) = T ji p(e i ) º ¾µ º µ Û Ö p(e j ) Ö Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÔÖÓ Ð ØÝ Ò Ø Á Ò Ø Ó Ù Ò Ø ÓÖ Ò Ð Ê Å ÑÓ Ð Û Ø Ù Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ò Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ý Ð Ú Ð º½ µ ÙØ Ø ÜÔÓÒ Ò¹ Ø Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÐÓÛ Ø¹ÐÝ Ò Ð Ú Ð º½ ½µ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÑÔÐ ÓÒ Ö ÐÝº Ì ÓÖÑ º½ ½µ Ù Ø ØÓ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ø T ij = e βǫ i e β ij º µ Û Ø ij = ji º ÁÒ Ø Û Ý ÓÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ij Ò Ù ØÓ Ø Ò Ö Ø ÖÖ Ö ØÛ Ò Ø Ð Ú Ð E i Ò E j º Ö ÒØ Ó Ó Ø ÖÖ Ö Ð ØÓ Ö ÒØ Ö Ð Ü Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÙÒ ÓÖÑ ij = ÓÖ ÐÐ i j ÓÒ Ò ØÖ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ö Ð Ü Ø ÓÒ ¼ Ó Ø Ñ Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒº Á T ij = e βǫ i v 2 oe βq(ǫ i+ǫ j ) Û Ø 0 < q < 1 ÓÒ Ò ÔÓÛ Ö¹Ð Û Ý Ó Ø Ñ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÖ ØÖ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Û Ø ÔÓÛ Ö Ð Û ÓÖÖ Ø ÓÒ Ô Ò Ò ÓÒ β, ρ, qµº ½

156 º È Ô ÝÒ Ñ Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë e β ij = V i V j Û Ø V i Ò Ò Ô Ò ÒØ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ò Ò Ò ØÖ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ö Ð Ü Ø ÓÒ º Ì Ø Ñ Ø Ý Ø Ñ Ø Ý Ò Ð Ú Ð ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ Û Ø Ö Ø Ö Ø Ø Ñ τi 1 = T ki. º µ k i º È Ô ÝÒ Ñ ÁØ ÓÑÑÓÒÐÝ ÓÒ Ò Ø ØÙ Ý Ó ÓÖ Ö Ý Ø Ñ ÓÖ ØØ Ö Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ö Ý Ø Ñ Ò Ò ÓØ Ö Ö ÓÐÓ Ý ÓÒÓÑÝ Øº ØÓ Ù Ø ÝÒ Ñ Ò Ô Ô º ÓÔØ Ò Ñ Ò¹ Ð ¹Ð Ú ÛÔÓ ÒØ Ò Û ÓÖ Ö Ý ¹ Ø Ñ Ö Ö Ø Ö Þ Ý Ñ ÒÝ Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Ó ÐÐ ØÝÔ ÓÒ Ô ØÙÖ Ø ÝÒ Ñ Ó Ø Ý Ø Ñ Ø Û Ò Ö Ò Ó Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÔÓ ÒØ Ò Ô Ô Ö Ø Ö Þ Ý ÖÓÙ Ö µ¹ Ò Ö Ý Ð Ò Ô º Ì Ú ÛÔÓ ÒØ Ò Ú ÖÝ Ù ÙÐ ÓÖÖ ØÐÝ Ù ÙØ Ø Ò Ð Ó Ñ Ð Ò º ÁÒ Ô Ô ÐÝ Ñ Ò ÓÒ Ð 2 N Ò Ô Ò Ý Ø Ñµ Ô Ò ÓÒ Ò ÓÒÐÝ Ö Ô Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÑØÖ º ÌÓ ÓÛ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø Ù ÓÑ ØÓ Ñ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ø ÕÙ Ò ØÓ Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô º Ì Ò Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÒÓØ Ñ Ò Ø Þ º ÁØ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÙÒ Ø Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ó Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ f(m)º Æ Ú ÐÝ ÓÒ ÛÓÙÐ Ñ Ò Ø Ø Ò Ø Ñ Ø ÔÓ ÒØ Ø Ø Ø ÓÒ ØÓÔ Ó Ø ÖÖ Ö Ú ÖÝ ÕÙ ÐÝ ÐÐ ØÓ ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ñ Ñ Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ±m Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ú ÐÙ º ÁÒ Ø Û ÒÓÛ Ø Ø Ø ÔÔ Ò Ò Ö Ø Ö ÐÓÛ Ø Ñ Ð Ò ÓÖ ÐÐ Ø Ñ t < L 2 Ø Ý Ø Ñ ÒÓØ Ñ Ò Ø Þ Ò Ù Ø Ø ÓÒ ØÓÔ Ó Ø Ñ Ü ÑÙÑº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ò ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ý Ø Ñ Ñ Ò¹ Ð Ô Ò¹ Ð ÑÓ Ð Ø Ö Ð Ú ÒØ Ö ¹ Ò Ö Ý Ò ØÝ ÒÓØ ÙÒØ ÓÒ Ó Ù Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö ÙØ N Ó Ø Ñ Ø N ÐÓ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ º Ì ÝÒ Ñ ÒÓØ Ù Ø Ú Ò Ý ÙÑÔ ÖÓÑ ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ ØÓ ÒÓØ Ö Ò Ð ¹ÔÓ ÒØ Ø Ò ÙÒ ÜÔ Ø ÑÔÓÖØ Ò Ø Ø Ñ Ø Ó ÝÓÒ Ø ÓÐÚ Ð ÙØ ÙÒÖ Ð Ø ÑÓ Ð º º ÌÖ Ô ÅÓ Ð Ì ØÖ Ô ÑÓ Ð Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ Ð ÑÓ Ð Ó Ò ÝÒ Ñ º Ì ÑÓ Ð ÒÓØ Ñ ÖÓ¹ ÓÔ ÙØ Ò ÖÓÑ ÓÑÔÐ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Ò Ô Ô Ò Ò Ø Ú Ø ÝÒ Ñ ØÛ Ò Ø Ñº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ò Ø ÑÔÐ Ø Ú Ö ÓÒ ÓÒ ÔÖÓ¹ ÔÓ Ø Ø Ø Ö Ö N Ø Ø Ú Ò Ý Û ÐÐ Ø Ø Ò º ¾ µ Ò Ø Ø ÔÓ ÒØ Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÙÐÐ Ý Ø Ñ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÑÓÚ Ò Ø Ð Ò Ô Ø ÖÓÙ ØÓ Ø ÙÑÔ º Û ÐÐ Ø ØÖ Ô ÓÖ Ø ÙÐÐ Ý Ø Ñº Ì ØÖ ÔÔ Ò Ø Ñ Ø ÖÑ Ò Ý Ø ÖÖ Ò Ù Ð Û τ α = τ 0 e (F 0 F α)/t º µ Û Ö F α Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ó Ø ØÖ Ô α Ò F 0 Ø Ö ÓÐ Ö ¹ Ò Ö Ý Ø Ø º ÇÒ Ø Ý Ø Ñ Ô ÖÓÑ ØÖ Ô Ø ÓÓ Ø Ò ÜØ ØÖ Ô Ø Ö Ò ÓÑº ½

157 º ÌÖ Ô ÅÓ Ð Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë F F 0 ÙÖ ¾ Ë Ñ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô ÓÖ Ø ØÖ Ô ÑÓ Ðº Ì ÓØ Ö ÒØ Ð Ò Ö ÒØ Ó Ø ÑÓ Ð Ø Ó Ó ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ö ¹ Ò Ö º ÓÒ Ø Ö ÙÐØ ÓÖ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ó Ñ Ò¹ Ð ÓÖ Ö ÑÓ Ð ÑÓÖ ÔÖ ÐÝ Ø Ê Å Ò Ø ÜØÖ Ñ Ú ÐÙ Ø Ø Ø Ó Ô Ö ¹ Ò Ö Ý Ø Ø Ò ØÙÖ Ð Ó P(F) = x/t e x(f F 0)/T º µ ÓÖ Ø Ê Å x = T/T g µº ÆÓØ Ø Ø Ò Ø ØÖ Ô ÑÓ Ð Ø ÓÙ ÓÒ ÔÖÓÔÓ Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ö ¹ Ò Ö Ó Ñ Ø Ø Ð Ò ÒÓØ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø º Ì ÝÒ Ñ ØÛ Ò ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÓÙÐ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÛÒ Ò Ë Øº Ò ÓÒ Ö Ö Ò Ö ÔØ ÓÒ Ó ÒÓÒ¹ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò Ø ºµ Ì Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ø ÖÙÐ Ø Ø Ò ÓÖ Ö Ò ÑÓÖ Ò Ö ÐÐÝ Ð Ý Ý Ø Ñ ÓÒ ÜÔ Ø Ñ ÒÝ Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Û Ø Ð Ø Ò ÓÑ Ö Ñ Ö ÙÖÖÓÙÒ Ý Ð Ö Ö ¹ Ò Ö Ý ÖÖ Ö º Ì ÓÑÔÐ Ø Ò Ó ÓÑ ØÖÝ Ó ÓÙÖ Ø ÑÔÐ Ö ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ Ò Óº ÅÓÖ ÓÑÔÐ Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ú Ð Ó Ò ÓÒ Ö º Í Ò Ø ÖÖ Ò Ù Ð Û Ò Ø Ö ¹ Ò Ö Ô Ò º µ Ø Ö ÙÐØ Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ØÖ ÔÔ Ò Ø Ñ ψ(τ) Ú Ò Ý ψ(τ) = x τx 0 τ 1+x. º µ ÁÒØ Ö Ø Ò ÐÝ ÒÓÙ Ø Ú Ö ØÖ ÔÔ Ò Ø Ñ τ Ú Ö ÓÖ x < 1º Á ÓÒ ÔÖÓÔÓ Ø Ø x ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ T Ø Ú Ö Ò ÓÙÖ Ò Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ñ º º ½

158 º ÌÖ Ô ÅÓ Ð Æ ÅÁ Á Ä ¹ÌÀ ÇÊÁ Ë ÓÖ T < T g º Ì Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ ÕÙ Ò ÓÒ Ø Ò Ò Ñ Ð Ó Ý Ø Ñ Ò Ø ÐÐÝ ÙÒ ÓÖÑÐÝ ØÖ ÙØ ÓÚ Ö Ø ØÖ Ô Ø Ò Ú Ö Ö ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò ÓÖ Ú Öº ÁÒ Ø Ø Ò ØÙÖ Ó Ø Ò ÝÒ Ñ Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ Ð Ö Ø Ø Ñ t w Ø Ö n ÙÑÔ ÕÙ Ð n i=1 τ i Û Ö τ i Ö Ò Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ð Û ψ(τ)º ÁØ Û ÐÐ¹ ÒÓÛÒ Ö ÙÐØ Ø Ø Ò Ø Ö Ø ÑÓÑ ÒØ Ò Ò Ø Ø ÒØÖ Ð Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ñ Ó ÒÓØ ÔÔÐÝ t w ØÖ ÙØ Û Ø Ä ÚÝ Ä Û Ò Ø ØÝÔ Ð Ú ÐÙ Ó Ø ÓÖ Ö Ó Ø Ñ Ü ÑÙÑ ØÖ ÔÔ Ò Ø Ñ ÒÓÙÒØ Ö ÙÖ Ò Ø ÚÓÐÙØ ÓÒº Ø Ú Ò Û Ø Ò Ø Ñ t w Ø ÙÑ τ 1 + τ ÓÑ Ò Ø Ý Ø Ð Ö Ø Ø ÖÑ Û Ó Ø Ñ ÓÖ Ö Ó t w º ÁÒ Ø Ø Ú ÖÝ Ð Ö Ø Ø Ø Ý Ø Ñ Ù Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ñ Ø Ý Ø Ó Ø Ý Ø Ñ Ø Ð º Á ÛÓÙÐ Ð Ù Ø ØÓ ØÖ Ø Ø Ø ÌÖ Ô ÅÓ Ð ÔÖÓÚ Ó Ö Ö Ò Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ë Ò ÑÓ Ð Ò ÔÓØ ÒØ Ð Û ÐÐ Ø Ò ÝÒ Ñ ÓÒ ÜØÖ Ñ ÐÝ ÐÓÒ Ø Ñ Ú Ö Ò Û Ø Ø Ý Ø Ñ Þ µ Ó Ø Ê Ò ÓÑ Ò Ö Ý ÅÓ Ð º Ì Ö ÙÐØ Ù Ø Ø Ø Ø ÒÓØ ÓÒÐÝ Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ Ð ÑÓ Ð Ò Ø Ñ Ø ÔÐ Ý Ò Ø ÙØÙÖ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÓÐ Ò Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ñ Ò¹ Ð Ò º ½

159 ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ ÁÒØ Ö Ò ÙÖ ÖÓÛØ Ò ÒØ Ö ÖÓÒØ Ö Ô Ö Ø Ò ØÛÓ Ö ÓÒ Ó Ô Û Ø ØÛÓ Ô º ÁØ ÓÙÐ Ø ÓÖ Ö ØÛ Ò Û Ø Ö Ò Ó Ð Ò Ð ÕÙ Ñ ÜØÙÖ Ø ÓÖ Ö ØÛ Ò Ö ÓÒ Û Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò Ñ Ò Ø Ø Ð Ñ Ø Ó Ù ÒÚ Ò ÔÓÖÓÙ Ñ Øº Ì Ø Ø Ò ÝÒ Ñ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÒØ Ö Ú Ñ ÒÝ ÔÓ ÒØ Ò ÓÑÑÓÒ Û Ø Ø ÓÒ Ó ÓÑ Ø Ñ Ö Ø µ Ñ Ò ÓÐ Û Ø d ÒØ ÖÒ Ð Ñ Ò ÓÒ Ñ Ò N + d Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Û Ø N Ø Ñ Ò ÓÒ Ó Ø ØÖ Ò Ú Ö Ô Õº º¾¼µº ÁÒ Ø Û Ý ÓÒ ÒÐÙ Ù Ö Ø Ð Ò d = 1µ Ø Ø Ñ Ñ ÚÓÖØ Ü Ð Ò Ò N +d = 3 Ñ Ò ÓÒ Ð ¹T c ÙÔ ÖÓÒ ÙØÓÖ ÔÓÐÝÑ Ö Ò N + d = 2 ÓÖ 3¹ Ñ Ò ÓÒ Ðµ Ö Ò ÓÑ Ñ Øº Ð ÐÝ Ö ÒØ ØÙ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó ÖÓÛØ Ô ÒÓÑ Ò ÓÖ Ò Ø Ò Ø ÙÖÒ Ò ÖÓÒØ Ò ÓÖÖ Ø Ø Ú Ò Ó Ö Ò ÖÓ Ù ÒÚ Ø ÓÒ Ò ÔÓÖÓÙ Ñ Ø ÖÓÛØ Ó Ñ ÓÒ ÙØÓÖ Ú Ô Ø Ü Ð Ñ ÓÖ Ú Ò Ø ÖÓÛØ Ó Ø Ö Ð ÓÐÓÒÝº Ô Ý Ø ÓÒ ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø Ø Ø Ò ÝÒ Ñ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÒØ Ö Ò ÙÖ º Ì Ò ÐÝ Ó Ø Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÓÑ Ò Û ÐÐ Ò ÒØ Ö¹ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÝÔ ÐÐÝ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ö ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÔÖÓÔ ÖØ ÒÙÑ Ö Ò Ö Øºµ Ì ØÙ Ý Ó Ø ÝÒ Ñ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÓÑ Ò Û ÐÐ Ò ÒØ Ö ÒÐÙ Ø Ò ÐÝ Ó Ø Ö Ö Ð Ü Ø ÓÒ ØÓ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ö ÔÓÒ ØÓ ÜØ ÖÒ Ð Ö Ú Ò ÓÖ Ö Ô ÑÓØ ÓÒ Ò Ø Ô ÒÒ Ò ØÖ Ò Ø ÓÒº ÓÑ Ò ÖÓÛØ Ò ÒØ Ö ÖÓÛØ Ò Ø ÔÖ Ò Ó ÕÙ Ò ÓÖ Ö ÓÑ Ø Ñ ÓÒ Ö ØÓ Ý³ Ô Ò¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù ØÓ Ø ÔÖ Ò Ó ÖÙ ØÖ Ø ÓÒ Ú Ò Ý Ø ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø Ð Ø Ò Ö Ý Ø Ø Ø Ò ØÓ Ö Ù Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ø Ø Ø Ò ØÓ ØÓÖØ Ø ØÖÙØÙÖ º º½ Ë Ð ÒÚ Ö Ò ÁÒ Ò Ö Ð Ø ÑÓÖÔ ÓÐÓ Ý Ó Ò ÒØ Ö Ô Ò ÓÒ Ø Ð Ò Ø Ð Ó Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø ÐÔ ÐÓÓ ÖÓÙ ÓÒ ÖØ ÙØ Ø Ý ÐÓÓ ÑÓÓØ Ò ÖÓÑ Ø ÅÓÓÒº ÀÓÛ Ú Ö ÒÙÑ Ö Ó ÙÖ ÐÐ Ð ¹ Ñ Ð Ö Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ð Ó Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ý Ö Ö Ø Ö Þ Ý Ø Ò Ó Ö Ø Ö Ø Ð º ËÙ Ð ¹ ÒÚ Ö Ò Ù ÕÙÓØÓÙ Ò Ò ØÙÖ Û Ø Ø Ð Ð Ü ÑÔÐ Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò Ò Ø Ö Ø Ö Þ Ý Ø Ü Ø Ò Ó ÔÓÛ Ö Ð Û Ø Ø Ö Ø Ö Þ Ñ ÒÝ ÕÙ ÒØ Ø ÓÚ Ö Ñ ÒÝ ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ º º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ Ì Ñ Ò Ø Ý Ø Ñ Ù Ø Ù ÕÙ ØÓÙ Á Ò ÑÓ Ð Ò ÕÙ Ò Ø ÒØÓ Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö Ø Ô Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ö Ò ÓÑ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒº ÁÒ Ø ÓÙÖ Ó Ø Ñ Ò ÓÙÖ Ò Ô Ò Ö Ð Þ Ø Ø Ø Ö ÔÖ ÖÖ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ö ÓÒ Ò ÓÑ Ò Ó Ø ØÛÓ ÓÖ Ö Ô ÓÖÑ Ò ÖÓÛº Ø ÒÝ Ò Ø Ø Ñ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ù Ø Ø ÓØ ØÝÔ Ó ÓÑ Ò Ü Øº Ì Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Þ ÖÓÙÔØÓ ÓÖÖ Ø ÓÒ Ò Ø ÒÚ Ö Ý Ø Ñ Þ º ½

º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ u(x) defect ( random bond ) random field x ÙÖ ¾ Ä Ø Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ú Û Ó ÓÑ Ò Û ÐÐº Ê Ø Ø Ó ÓÑ Ò Û ÐÐ Ò 2d Á Ò Ñ Ò Øº Ì ÓÑ Ò ÖÓÛØ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ ÙÒ Ö Ó Ò Ò ÓÖ Ö Ò ÔÖÓ Ø Ö

160 º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ u(x) defect ( random bond ) random field x ÙÖ ¾ Ä Ø Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ú Û Ó ÓÑ Ò Û ÐÐº Ê Ø Ø Ó ÓÑ Ò Û ÐÐ Ò 2d Á Ò Ñ Ò Øº Ì ÓÑ Ò ÖÓÛØ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ ÙÒ Ö Ó Ò Ò ÓÖ Ö Ò ÔÖÓ Ø Ö ÕÙ Ò Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ñ Ø Ö Ð Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ÙØ Ð Ó ÓÖ ÓÙÖ ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ó Ô ØØ ÖÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÒÓÒ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ý Ø Ñ º Ì Ð Ø Ø ÝÒ Ñ Ð Ú ØÓ ÓÚ ÖÒ Ý Û ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ý Ø Ñ Û Ö Ñ Ø Ö Ð Ø Ð ÓÙÐ ÖÖ Ð Ú ÒØº ÑÓÒ Ø Ö Ð Ú ÒØ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÒ Ñ Ý ÜÔ Ø ØÓ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò Ö Ø ÓÙÒ Ø Ø Ø Ò ØÙÖ Ó Ø ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û Ò Ø Ö Ò ÓÖ Ó ØÒ Ó Ø ÓÑ Ò Û ÐÐ º Ì Ù Ð Ò ØÓ Ø ÙÒ Ú Ö Ð ØÝ Ð Ó Ö Ø Ð Ô ÒÓÑ Ò Ú Ò ÒØ º º¾º½ Ö Ø ÑÓ Ð Ì ÝÒ Ñ Ó Ö Ø Ô Ò ÑÓ Ð Ò Ú ØÓ Ø ÖÙÐ Ó Ø ØÝÔ ÒØÖÓ Ù Ò Ë Ø º º º½ Ò º º½º Ì Ñ ¹ Ô Ò ÒØ Ñ ÖÓ ÓÔ Ó ÖÚ Ð Ö Ø Ò ÜÔÖ Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ô Ò Ø Ø Ñ ¹ Ø Ôº ÓÖ Ò Ø Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ Ò Ø ØÛÓ¹Ø Ñ Ð ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ö Ò N m(t) N 1 N s i (t), C(t, t w ) N 1 s i (t)s i (t w ) º½µ i=1 Û Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ö Ø Ò Ø Ò Ú Ö ÓÚ Ö Ñ ÒÝ Ò Ô Ò ÒØ ÖÙÒ Ó Ø Ý¹ Ò Ñ ÖÙÐ Ø ÖØ Ò ÖÓÑ ÒØ Ð Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ º Ú Ö ÓÚ Ö Ö ÒØ Ò Ø Ð ÓÒ ¹ Ø ÓÒ Ò Ð Ó Ø Òº Ì ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÔÖÓ Ú ÖÝ ÓÒÚ Ò ÒØ ØÓ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö ÑÙÐ Ø ÓÒ º i=1 ½ ¼

161 º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ º¾º¾ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÑÓ Ð Ó Ö Ò Ò ÓÙÖ Ò Ð ØØ ÑÓ Ð Û Ø Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÖÓÑ ÓÖ Ö ØÓ Ò ÓÖ Ö Ô º Ì Á Ò ÑÓ Ð Ò Ü ÑÔÐ º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ö Ø ÔÖÓ Ø ÓÖ Ø ÐÐÝ Ø ÓÒÚ Ò ÒØ ØÓ ÒØÖÓ Ù Ó Ö ¹ Ö Ò Ö ÔØ ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ó Ò ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ φ( x, t) 1 V i V x s i (t). º¾µ ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û ÓÒ Ö Ð Ö Ð φ ÙØ Ò Û Ú ØÓÖ Ð ÓÖ Ú Ò Ø Ò ÓÖ Ð ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ð Ó Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö Ð Ú Ò º Ì Ä Ò Ù¹ ÒÞ ÙÖ Ö ¹ Ò Ö Ý ÙÒØ ÓÒ Ð Ø Ø Ö Ø Ö Þ ÕÙ Ð Ö ÙÑ { c F[φ] = d d x 2 [ φ( x, t)]2 + V [φ( x)]} º µ Û Ø V (φ) = (φ 2 0 φ2 ) 2. º µ Ì Ö Ø Ø ÖÑ Ò º µ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ò Ö Ý Ó Ø ØÓ Ö Ø ÓÑ Ò Û ÐÐº ÁØ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ð Ø ØÝ Ó Ø ÒØ Ö Ø Ù ÓÒ Ð Ò ØÓ Õº º¾¼µº Ì ÓÒ Ø ÖÑ ÓÙ Ð Û ÐÐ ØÖÙØÙÖ Û Ø ØÛÓ Ñ Ò Ñ Ø φ = ±φ 0 Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ø ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÁÒ ÑÓ Ø Ø ÓÑ Ò Û ÐÐ Ò ÒØ Ö ÝÒ Ñ ÓÚ Ö ÑÔ º ÁØ Ø Ò Ú Ò Ý Ø Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÒÞ ÙÖ ¹Ä Ò Ù ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ÑÓ Ð Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ó ÀÓ Ò Ö ¹À ÐÔ Ö Ò φ t = δf δφ + ξ. º µ Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö φ( x, t) ÒÓØ ÓÒ Ø ÒØ ÙØ Ý ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ñ ÓÖ Ò Ö Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ µº ξ Ø ÖÑ Ð ÒÓ Ù Ù ÐÐÝ Ø Ò ØÓ Ù Ò ØÖ ÙØ Û Ø Þ ÖÓ Ñ Ò Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ξ( x, t)ξ( x, t ) = 2k B Tδ d ( x x )δ(t t ). º µ ÁÒ Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ù Ù ÐÐÝ Ø Ò ØÓ Ö Ò ÓÑ Û Ø ÓÖØ¹Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÖ ÑÔÐÝ º¾º Ë Ð Ò ÝÔÓØ [ φ( x, 0)φ( x, 0) ] = δ( x x ). º µ Ì Ð Ò ÝÔÓØ Ø Ø Ø Ø Ø Ð Ø Ø Ñ Ò Ò Ø Ð Ò Ð Ñ Ø r ξ, R ξ, Û Ø r/r Ö ØÖ ÖÝ, º µ Ò r Ø Ò ØÛ Ò ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ò Ø ÑÔÐ r x x Ø Ö Ü Ø Ò Ð Ö Ø Ö Ø Ð Ò Ø R(t) Ù Ø Ø Ø ÓÑ Ò ØÖÙØÙÖ Ò Ø Ø Ø Ø Ð Ò ½ ½

162 º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø Ñ Û Ò Ð Ò Ø Ö Ð Ý R(t)º Ì ÝÔÓØ Ò ÔÖÓÚ Ò ÐÝØ ÐÐÝ Ò Ú ÖÝ ÑÔÐ ÑÓ Ð ÓÒÐÝ Ù Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Á Ò Ò Û Ø Ð Ù Ö ÝÒ Ñ ÓÖ Ø O(N) ÑÓ Ð Ò Ø Ð Ö N Ð Ñ Øº Ä Ø Ù ÜÔÐ Ò Û Ø Ø Ð Ò ÝÔÓØ Ñ Ò Ò ÔÖ Ø Ù Ò Ø Ó Ö ¹ Ö Ò ÒÓØ Ø ÓÒº Ì ØÛÓ¹Ø Ñ Ò ØÛÓ¹ÔÓ ÒØ Ô Ò ÒØ ÓÖ Ö¹Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ C( x, t; x, t ) = C( r; t, t ) = φ( x, t)φ( x, t ) º µ Û Ö r x x Ò Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ð ÒÚ Ö Ò Ò Ô º Ì Ø Ñ t Ò t Ö Ñ ÙÖ ÖÓÑ Ò ÓÖ Ò Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÑÔÐ ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ù Ù ÐÐÝ Û Ø ÕÙ Ò ÖÓÑ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÁØ ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ S( k; t, t ) = φ( k, t)φ( k, t ). º½¼µ ÁÒ Ø Ð Ø Ø Ó Ø Ó Ö Ò Ò ÔÖÓ Ø Ô Ö ÐÐÝ Ú Ö ØÖÙØÙÖ ØÓÖ S(k, t) Ø ÕÙ Ð Ø Ñ t = t Ò Ñ ÙÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ Û Ø Ñ ÐÐ¹ Ò Ð ØØ Ö Ò Ó Ò ÙØÖÓÒ Ü¹Ö Ý ÓÖ Ð Øº ÁÒ Ø Ð Ñ Ø Ú Ò Ò º µ Ø Ò ÓÙÒ ØÓ Ø Ý Ð Ò S(k, t) m 2 eq (T) Rd (t) G[kR(t)], º½½µ Û Ø m eq (T) Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝº ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÝ Ø Ö Ð¹ Ô ÓÖ¹ Ö Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÜÔ Ø ØÓ Ú C(r, t) m 2 eq (T) F[r/R(t)]. º½¾µ G Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó F º Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ø ØÛÓ¹Ø Ñ Ô Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ø ( r C(r; t, t ) f R(t), R(t) ) º½ µ R(t ) ÓÖ Ø ØÖ ØÐÝ ÐÓ Ð ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ò Ö Ù Ø Ø Ò Ø ÐÓÒ Û Ø Ò ¹Ø Ñ Ð Ñ Ø t t 0 Ø ØÙ ÐÐÝ Ô Ö Ø Ò ØÛÓ Ø Ú Ø ÖÑ C(t, t ) C st (t t ) + C(t, t ) º½ µ Û Ø Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ø ÖÑ Ð ÙØÙ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ø ÓÑ Ò C st (t t ) = { 1 qea (T) = 1 m 2 eq(t), t t = 0, 0, t t, º½ µ Ò Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ò Ø ÑÓØ ÓÒ Ó ÓÑ Ò Û ÐÐ ( ) R(t) C(t, t ) = f C R(t ) = { qea (T) = m 2 eq (T), t t, 0, t t. º½ µ ÆÓØ Ø Ø Ò Ø ØÛÓ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ Ö ÓÚ Ö C(t, t) = 1 ÜÔ Ø Ò C(t, t ) 0 Û Ò t t º ½ ¾

163 º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ º¾º Ì Ú Ö ÓÑ Ò Ð Ò Ø Ù ØÓ Ø Ð Ò ÝÔÓØ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø Ý Ø Ñ ÝÒ Ñ Ò Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø ÒÓÛÐ Ó Ø Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÓÑ Ò ØÖÙØÙÖ º Á ÐÐÝ ÓÒ ÛÓÙÐ Ð ØÓ ÒÓÛ Ø Ö Þ ØÖ ÙØ ÓÒ ρ(r, t) Ø Ö ÓÑ ØÖ ÔÖÓÔ ÖØ Ú Ò Ý Ø Ö Ö Ù Ó ÝÖ Ø ÓÒ ÙÖ Ð Ò Ø Øº Ì Ò ÓÒÐÝ Ó Ø Ò Û Ø ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ò Ö d Ò ÓÑ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÓ Ð º ËØ ÐÐ Ø Ú ÖÝ ÙÐØ ØÓ ÜØÖ Ø Ø Ð Ñ Ò Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ ÐÐ ÓÑ Ò º Ì Ú Ö ÓÑ Ò Þ R(t) ÒØ Ö Ò Ø Ð Ò ÓÖÑ Ù Ù ÐÐÝ Ø ÖÑ Ò Ù Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ø Ö Ø Ö Ø ÑÓ Ø ÓÑÑÓÒ ÓÒ Ò Ì ÒÚ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ØÝ³ R(t) = E eq /[U(t) U eq ], º½ µ Û Ö U(t) Ø Ú Ö Ò Ö Ý Ø Ø Ñ t Ò U eq Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ò Ö Ý ÓØ Ñ ÙÖ Ø Ø ÛÓÖ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T º Ì ÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ò N¹ Ô Ò Ý Ø Ñ ( N ) 2 R(t) = N N 1 s i i=1. º½ µ Ì Ó Ø Ð Ò ÝÔÓØ º Ì ÕÙ ÒØ Ø Ö ÓÑÔÙØ Û Ø ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ð ØØ ÑÓ Ð ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Öº ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÚÓ Ò Ø ¹ Þ Ø ÖÙÐ ¹Ó ¹Ø ÙÑ Ø Ø Ø Ø Ø ÖÓÛØ ØÓ ØÓÔÔ Û Ò R Ö 0.4 L Û Ø L Ø Ð Ò Ö Þ Ó Ø Ý Ø Ñº ÒÓØ Ö Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ú Ò Ý Ø Ø Ø Ø Ø ØÖÙ ÝÑÔØÓØ Ú ÓÙÖ Ñ Ý Ú Ð Ý ÖÓ ÓÚ Ö Ø º º¾º Ì ÙÖÚ ØÙÖ Ö ÙÑ ÒØ Ì Ø Ñ ¹ Ô Ò ÒØ ÒÞ ÙÖ ¹Ä Ò Ù ÑÓ Ð ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÙØ Ø Ñ Ò Ñ Ö Ú Ò Ø ÓÑ Ò ÖÓÛØ Ò Ø Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ö ÓÑ Ò Ð Ò Ø º Ì ÓÑ Ò Û ÐÐ Ô Ö Ø Ò Ö ÓÒ Û Ö Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø φ( x, t) = ±φ 0 + δφ( x, t) º½ µ Ä Ò Ö Þ Ò Õº º µ ÖÓÙÒ ±φ 0 ÓÒ Ò δφ( x, t) e V (φ 0 )n º¾¼µ ½

164 º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ Û Ö n Ø Ø Ò ÐÓÒ Ø ÒÓÖÑ Ð ØÓ Ø ÙÖ º Ì ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÔÔÖ Ó Ø ÝÑÔØÓØ Ú ÐÙ Ú ÖÝ Ö Ô ÐÝº Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ó ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ø Ò ÒØ Ö ÓÒ ÒØÖ Ø Ò Ú ÖÝ Ò ÖÖÓÛ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓ Øº ÁÒ ÓÒ ÕÙ Ò Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ø Ö Ú Ò ÓÖ ÓÖ ÓÑ Ò ÖÓÛØ Ò Ð Ò Ý Ø Ñ Ø ÓÒ º Ì ÚÓÐÙØ ÓÒ Ù Ø Ø ÓÑ Ò Û ÐÐ Ö Ö Ò Ö ØØ Ö Ò Ú ÒØÙ ÐÐÝ ÔÔ Ö Ø Ñ ÚÓÐÚ º Ì Ö ¹ Ò Ö Ý F[φ] Ó Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÒØ Ö Ò ÑÔÐÝ Ú ÐÙ Ø º ÁØ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ò ÖÓÑ Õº º µ Û Ø φ/ t = 0 Û Ø ÓÖ Ö ÓÒ Ø ÓÒ φ( x ) = + ± φ 0 º ÁØ Ö (dφ/dn) 2 = 2V (φ)º Ì Ù Ø Ö ¹ Ò Ö Ý Ô Ö ÙÒ Ø Ö ÓÖ ÙÖ Ø Ò ÓÒ σ = dn (dφ/dn) 2 φ0 = 2V (φ). º¾½µ φ 0 dφ ÇÒ Ò ÜØ Ò Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÙ Ý ØÖ Ú ÐÐ Ò Û Ú ¹ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÓÐ ØÓÒ Ò Ø Ñ ÒÒ Ö Ö Ò ÓÐ Ñ Ò ÓÖ Ò Ø Ò ºµ Ì ÖÓÛØ Ð Û Ò Ð Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÒÓÒ¹ÓÒ ÖÚ ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÝÒ Ñ Ò Ó Ø Ò Ù Ò Ò Ö ÙÑ ÒØ Ø Ø Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÓÒ Ð Ò ØÓ Ø Ü ÔÖ ÙÖ Ò Ù Ð Ò ØÓ Ø Ö ÙÑ ÒØ Ù Ò Ë Øº ØÓ Ù Ø Ð Ñ Ø Ó Ø Ð ØÝ Ó Ñ Ø Ø Ð Ô ÒÑ Ö Ò Ø Ø Ð ÓÒ º Ì Ô Ö Ð ÓÑ Ò Ó Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ô φ 0 Ò Ø ÓØ Ö ÓÒ φ 0 º Ù ØÓ Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ø Ö ÓÖ Ô Ö ÙÒ Ø Ö Ø Ò ÓÒ Ø ÓÑ Ò Û ÐÐ Ø Ø Û ÐÐ F º Ì ØÓØ Ð ÓÖ ÓÒ Ø Ô Ö Ð Û ÐÐ Ø Ò FA d Û Ö A d Ø ÙÖ º Ì ÛÓÖ ÓÒ Ý Ø ÓÖ Û Ò Ø Ö Ù Ó Ø ÓÑ Ò Ó ÖÓÑ R ØÓ R + dr dw = FA d drº Ì Ö Ò ÙÖ Ò Ö Ý de = E(R + dr) E(R) = E (R)dR Ò Ø Ò ÜÔÖ Ò Ø ÖÑ Ó Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒ Ù Ò E(R) = σa d Ò Ø Ò E (R) = σa d(r)º ÇÒ Ò de = σa d(r)dr = σda d º Ì Ù dw = de, F = σ d ln A d dr º¾¾µ ÆÓÛ ÙÑ Ò ÓÑÔ Ø ÓÑ Ò ÙÖ A d = Ω d R d 1 Û Ø Ω d Ò Ò ÙÐ Ö ØÓÖ Ò Ø Ò F = (d 1) σ R 1. º¾ µ ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÖ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ø Û ÐÐº Ì ÓÖ Û ÐÐ Ö Ú Ø Û ÐÐ º Á Ø Ú Ó ØÝ η Ò Ð Ø Ò Ø Ò ÖØ Ø Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÒ Ø Ø Ð ØÓ η dr dt = (d 1) σ R 1 º¾ µ R(t) t 1 2. º¾ µ ÆÓØ Ø Ø Ø ÑÓØ ÓÒ Ó Ø Û ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ý Ø ÐÓ Ð ÙÖÚ ØÙÖ ÓÒÐÝº Ì ÔÓØ ÒØ Ð ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø ØÛÓ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø ÙØ ÒÓØ ØÓ Ð Ø Ø Ú ÐÓ ØÝ Ó Ø ÓÑ Ò Û ÐÐ º ÈÊÇÎ η = σ ½

165 º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ Ä Ø Ù ÓÛ ÒÓØ Ö Û Ý Ó Ó Ø Ò Ò Ø Ñ Ö ÙÐØº ÁÒ ÔÓÐ Ö Ô Ø Ð ÓÓÖ Ò Ø 2 = 2 r + (d 1)/r r Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÑÓØ ÓÒ Ö φ t = 2 φ r + d 1 2 r φ r V (φ) º¾ µ Û Ö r ÓÓÖ Ò Ø ÐÓÒ Ø Ö Ù Ó Ø Ô Ö Ð ÓÑ Ò T = 0µº Á Û ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ φ(r, t) = f(r R(t)) Ò Ø ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Û Ò ÅÙÐØ ÔÐÝ Ò Ý f Ò ÒØ Ö Ø Ò ÓÚ Ö r Ý Ð 0 = f + [(d 1)/r + dr/dt] f V (f) º¾ µ R 2 (t) = R 2 (0) 2(d 1)t º¾ µ Ì Ö ÙÐØ Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÚ ÔÖÓÚ η = σº ËÙÑÑ ÖÝ Ó ÖÓÛØ Ð Û Ò Ð Ò Ý Ø Ñ ÁÒ ÔÙÖ Ò ÓØÖÓÔ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ Ò ÖÓÛØ Ö Ø Ö Þ Ý ÔÓÛ Ö Ð Û R(t) = At φ º¾ µ Û Ø φ Ø ÖÓÛØ ÜÔÓÒ ÒØº Ì Ú Ö Ö Ù Ó Ø Ñ Ò Ø ÓÑ Ò Ò Ð Ò ÖÖÓÑ Ò Ø ÑÓ Ð Ò Ø ÖÑ Ò Ù Ò ÓÑÔÙØ Ö ÑÙÐ Ø ÓÒ ØÙ Ó Á Ò Ò ÈÓØØ µ ÑÓ Ð Ò Û Ø Ð ¹ Ø ÓÖ Ø Ð Ä Ò Ú Ò¹Ð Ø Ú ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ö ÙÑ ÒØ ÓÚ µº ÇÒ Ò Ø Ó¹ ÐÐ Ä ØÞ¹ ÐÐ Ò¹ Ò ÖÓÛØ Ð Û R(t) = At 1/2 º ¼µ Û Ø A Û ÐÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ Ó ÒØ Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó ÕÙ ¹ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Á Ò ÓÖ ÈÓØØ ÑÓ Ð µº Ì ÓÑ Ò Û ÐÐ Ö ÖÔº Ì ÓÑ Ò Ò Ø Ö ÙÖ Ö ÓÑÔ Ø º º Ø Ý Ú Ñ Ò ÓÒ d Ò d 1 Ö Ô Ø Ú ÐÝµº ÓÖ Ý Ø Ñ Û Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ Ú Ö Ð Ù ÖÓØÓÖ ÓÖ ÑÓ Ð Ò ÒÓ ÓÒ ÖÚ ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ÒÙÑ Ö Ó ÓÑÔÙØ Ö ÑÙÐ Ø ÓÒ Ú ÓÛÒ Ø Ø Ø ÖÓÛØ Ð Û R(t) t 1/4. º ½µ Ì ÑÓ Ð ÙÔÔÓÖØ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Û Ö ÓÑ Ò Û ÐÐ º Ì Ö ÙÐØ Û Ö ÐÝ Ø ÙÖ Ò ÓÑ Ý Ö Ò Ú Ö Ð ÙØ ÓÖ Ð Ñ Ø Ø º ½µ Û Ù Ø ÖÓ ÓÚ Ö ØÓÛ Ö Ø ÝÑÔØÓØ Ö Ñ º ¼µ Ø Ð Ø Ø ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÒÓØ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ñ Ý ÛÓÙÐ ÒØ Ö Ø Ò Ö Ø Ö Þ Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Þ Ó Ø ÓÑ Ò Ò Ø ÚÓÐÙØ ÓÒº Ì ÒÓÛÒ Ò d = 1 ÙØ ÑÙ Ð Ò ÓÙØ Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñº Ö ÒØ ØÝÔ Ó ÝÒ Ñ ÓÙÖ Ò Ø Ó Ô Ô Ö Ø ÓÒ Ø Û Ø Ö Ò Ó Ð Ñ ÜØÙÖ µº ÁÒ Ø Ø Ñ Ø Ö Ð ÐÓ ÐÐÝ ÓÒ ÖÚ º º Û Ø Ö Ó ÒÓØ ØÖ Ò ÓÖÑ ½

º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ Ñµ Ñ Õ Ì µ Ñ Õ Ì µ Ñ ÙÖ ¼ Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ô Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ØÛÓ Ò Ô ÓØ Ó 2d Ð Ò 3d Á Ò ÑÓ Ð ÓÒ Ù Ð ØØ Ø t w = 1000 t w = 10000 Å Ø Ô Ò ÑÙÐ Ø ÓÒº ÒØÓ Ó Ð ÙØ Ø Ý Ù Ø Ô Ö Ø º

º ¾µ º¾º ÊÓÐ Ó ÓÖ Ö Ø Ø Ú Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ Ì ØÙ Ø ÓÒ ÓÑ ÑÙ Ð Ð Ö Û Ò Ø Ö ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ò Ø ÓÖÑ Ó ÒÓÒ¹Ñ Ò Ø ÑÔÙÖ Ø Ò Ñ Ò Ø ÑÔÐ Ð ØØ ÐÓ Ø ÓÒ Ö Ù Ð ØÖ Øº ÉÙ Ð Ø Ø Ú ÐÝ Ø ÝÒ Ñ ÜÔ Ø ØÓ ÐÓÛ Ö Ø Ò Ò Ø ÔÙÖ º ÁÒ Ò Ö

166 º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ Ñµ Ñ Õ Ì µ Ñ Õ Ì µ Ñ ÙÖ ¼ Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ô Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ØÛÓ Ò Ô ÓØ Ó 2d Ð Ò 3d Á Ò ÑÓ Ð ÓÒ Ù Ð ØØ Ø t w = 1000 t w = Å Ø Ô Ò ÑÙÐ Ø ÓÒº ÒØÓ Ó Ð ÙØ Ø Ý Ù Ø Ô Ö Ø º Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÖÓÛØ Ò ÓÑ ØÖ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÓÑ Ò ÐÖ Ý ÑÙ Ö Ö Ò Ø º Ø Ö ÓÑ Ù ÓÒ Ø Û Ø Ð Ð Ø Ò Ø ÖÐÝ ¼ Ø Ø ÓÖ Ý Ø Ñ Û Ø ÓÒ ÖÚ ÓÖ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ü ÑÔÐ Ø Ò Ø ÖÓÛØ Ú Ò Ý R(t) t 1/3. º ¾µ º¾º ÊÓÐ Ó ÓÖ Ö Ø Ø Ú Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ Ì ØÙ Ø ÓÒ ÓÑ ÑÙ Ð Ð Ö Û Ò Ø Ö ÕÙ Ò ÓÖ Ö Ò Ø ÓÖÑ Ó ÒÓÒ¹Ñ Ò Ø ÑÔÙÖ Ø Ò Ñ Ò Ø ÑÔÐ Ð ØØ ÐÓ Ø ÓÒ Ö Ù Ð ØÖ Øº ÉÙ Ð Ø Ø Ú ÐÝ Ø ÝÒ Ñ ÜÔ Ø ØÓ ÐÓÛ Ö Ø Ò Ò Ø ÔÙÖ º ÁÒ Ò Ö Ð ÓÒ Ø Ä Ö Ò Ö ÙÑ ÒØ ÜÔÐ Ò Ò Ë Øº º½¼ ÓÒ ÜÔ Ø Ø Ø Ò d < 4 Ø Ð Ø ÔÓ Ò Ð Ö Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ ÒÓ ÐÓÒ Ö ÙÖÚ ØÙÖ Ö Ú Ò ÙØ Ø Ø ÓÖ Ö ÓÒØÖÓÐ Øº ÁÒ ÓÖ Ö Ò Ö Ø Ñ Ø Ø Ð Ø Ø Ø Ø ØÖ Ô Ø Ý Ø Ñ Ò Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ù Ö Ò Ö Ø Ö Ð Ü Ø ÓÒ ÐÓÛ Öº Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÔÖ ÖÓÛØ Ð Û ÓÑ ÙÐØ Ø º Ò ¹Û Ú Ò Ö ÙÑ ÒØ ØÓ Ø Ñ Ø Ø ÖÓÛØ Ð Û Ò ÖØÝ Ý Ø Ñ Ø ÓÐÐÓÛ¹ Ò º Ì Ý Ø Ñ Ò ÓÒ ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Û Ø ÓÑ Ò Ó Ø ÓÔÔÓ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Û Ø Ò Øº ÇÒ Ò Ñ Ñ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ò Ü Ø Ø Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÙÐÐÝ ÓÖ Ö ÓÒ Û Ø ÓÐÙØ Ñ Ò ÑÙÑ Ö ¹ Ò Ö Ýº ÐÐ B(R) Ø Ö ¹ Ò Ö Ý ÖÖ Ö ØÛ Ò Ø Ü Ø Ò ÓÑÔÐ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø º Ò ÖÖ Ò Ù Ö ÙÑ ÒØ ÑÔÐ Ø Ø Ø Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ø Ú Ø ÔÖÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ý Ó Ø Ü Ø Ø Ø º º Ö Ò Ø ÓÑ Ò Û ÐÐµ Ú Ò Ý Ø ÖÖ Ò Ù Ð Û τ τ 0 e B(R)/(k BT) º µ Á B(R) Υ(T)R ψ º µ ÓÖ Ð Ö R Ø Ò Ø Ö Ø Ñ t ÓÒ ÓÙÐ Ò ÓÑ Ò Û Ø Ò Ú Ö Ò ØÝÔ Ð ½

167 º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ Þ R(t) ( ) 1/ψ kb T Υ(T) ln t/τ 0. º µ ÐÐ Ñ ÐÐ Ö ÙØÙ Ø ÓÒ ÛÓÙÐ Ú ÔÔ Ö Ø t Û Ð ØÝÔ ÐÐÝ ÓÒ ÛÓÙÐ Ò Ø Þ º Ì ÜÔÓÒ ÒØ ψ ÜÔ Ø ØÓ Ô Ò ÓÒ Ø Ñ Ò ÓÒ Ð ØÝ Ó Ô ÙØ ÒÓØ ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÁÒ ÒÓÖÑ Ð³ Ý Ø Ñ Ø ÜÔ Ø ØÓ Ù Ø d 1 Ø ÙÖ Ó Ø ÓÑ Ò ÙØ Ò Ô Ò¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÐÐ Ö Ø Ò d 1 Ù ØÓ Ø ÙÑ Ö Ø Ð Ò ØÙÖ Ó Ø Û ÐÐ º Ì ÔÖ ØÓÖ Υ ÜÔ Ø ØÓ Û ÐÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØº Ì Ñ Ö ÙÑ ÒØ ÔÔÐ ØÓ Ø Ö ÓÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó ÔÓÖØ ÓÒ Ó ÒÝ ÓÑ Ò Û ÐÐ ÓÖ ÒØ Ö Û Ö R Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ð º ÀÓÛ Ú Ö ÐÖ Ý ÓÖ Ø Ö Ð Ø Ú ÐÝ Ýµ Ö Ò ÓÑ ÖÖÓÑ Ò Ø Ø Ö ÒÓ ÓÒ Ò Ù ÓÙØ Ø ØÙ Ð ÖÓÛØ Ð Ûº ÁÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ÔÙÖ ³ Ô ÖØ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ø Ø ØÖ ØÓ Ñ Ò Ñ Þ Ø ØÓØ Ð d 1µ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ó Ø ÓÑ Ò Û ÐÐ Ò Ø ÑÔÙÖ ØÝ³ Ô ÖØ Ø Ø Ñ Ø Û ÐÐ Ú Ø ÖÓÑ ØÒ Ò Ô Ø ÖÓÙ Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ó ÐÓÛ Ø ÐÓ Ð Ò Ö Ý Ø Ò Ó J ij = J + δj ij Û Ø J Ò δj ij ÓÒØÖ ÙØ Ò ØÓ Ø ÔÙÖ Ò ÑÔÙÖ ØÝ Ô ÖØ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò Ö Ô Ø Ú ÐÝµº Ì Ø Ú Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ Ò Õº µ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø ÔÓÛ Ö¹ÐÛ ÖÓÛØ Ó ÖÖ Ö Ò Õº º µ ÑÔÐ ÐÓ Ö Ø Ñ ÖÓÛØ Ó R(t)º Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ù Ø ÔÓÛ Ö Ð Û Û Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò ÒØ ÜÔÓÒ ÒØº Ï Ø Ö Ø Ð ØØ Ö ÔÖ ¹ ÝÑÔØÓØ Ö ÙÐØ Ò Ø ØÖÙÐÐÝ ÝÑÔØÓØ ÓÒ Ò Ý Ø ÔÖ Ñ ØÙÖ Ô ÒÒ Ò Ó ÓÑ Ò Û ÐÐ ÓÖ Ø ÒÙ Ò Ú ÓÙÖ ÒÚ Ð Ø Ò º µ ÓÖ Ú Ò Õº º µ Ø ÐÐ Ò ÓÔ Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ Ø 3d Ê ÁÅ Ø ÙÖÚ ØÙÖ ¹ Ö Ú Ò ÖÓÛØ Ñ Ò Ñ Ø Ø Ð ØÓ º ¼µ ÑÔ Ý Ø Ö Ò ÓÑ Ð ÖÓÙ Ò Ò Ó Ø ÓÑ Ò Û ÐÐ º ÁÒ ÓÒ Ó ÖÚ Ø Ø Ø Ö ÕÙ Ò ØÓ ÐÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ô Ò Ö Ô ÐÝ Ó Ð Ò ÓÖÑ Ñ ÐÐ ÓÑ Ò Ø ÓÑ Ò ÜÔ Ò Ò ÓÑÔ Ø Ø Ø ÜÔ Ò Ó Ø Ö Ñ ÐÐ Ö Ò ÓÙÖ ÙØ Ø Ö ÖÓÛØ Ô ÖØ ÐÐÝ ØÓÔÔ Ý Ø Ö Ò ÓÑ Ð Ø Ø Ô Ò Ø ÒØ Ö º ÅÙ ÐÓÒ Ö Ø Ñ Ð Ö Ò ØÓ ÙÖÑÓÙÒØ Ø Ö µ Ò Ö Ý ÖÖ Ö ÒØÖÓ Ù Ý Ø ÐÓ Ð ÙØÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ö Ø ÐÓÒ ¹Ö Ò ÓÖ Öº ÓÑÔ Ö Ò ØÓ Ø ÔÙÖ Á Ò ÑÓ Ð ÓÒ ÒÓØ Ø Ø Ø Ò Ø Ð ÖÓÛØ ÓÐÐÓÛ Ú ÖÝ Ñ Ð Ö Ø Ñ ¹ Ô Ò Ò Ò Ø ØÛÓ ÙØ Ø Ù ÕÙ ÒØ Ó Ö Ò Ò ÑÙ ÐÓÛ Ö Ò Ø ÔÖ Ò Ó Ö Ò ÓÑ Ð º Ì ÔÖ Ú ÓÙÖ Ó Ø ÖÓÛØ Ð Û Ô Ò ÓÒ Ø Ñ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø ØÖ Ò Ø Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ð º ÁÒ Ø ÖÐÝ Ø Ó ÖÓÛØ ÓÒ ÜÔ Ø Ø Þ ÖÓ¹ Ð Ö ÙÐØ ØÓ ÓÐ Û Ø Ö ÙØ ÓÒ Ò Ø ÑÔÐ ØÙ R(t) (A Bh 2 ) t 1/2. º µ Ì Ø Ñ ¹Û Ò ÓÛ ÓÚ Ö Û Ø Ð Û Ó ÖÚ ÒÙÑ Ö ÐÐÝ Ñ ÐÐ Ö Ø Ð Ö Ö Ø Ð ØÖ Ò Ø º ÁÒ Ø Ð Ø Ø Ñ Ö Ñ Û Ö Ô ÒÒ Ò Ø Ú Î ÐÐ Ò Ù ÐÓ Ö Ø Ñ ÖÓÛØ R(t) T h 2 ln t º µ Ý Ø Ñ Ø Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÖÖ Ö Ø ÒÓÙÒØ Ö Ý Ø ÓÑ Ò Û ÐÐ Ò Ù Ò Ø ÖÖ Ò Ù Ð Û ØÓ Ö Ú Ø Ó Ø Ø Ñ ¹ Ð º ½

168 º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ ÁÒ Ø Ó Ô Ò¹ Ð Ø Ñ Ò¹ Ð Ô ØÙÖ Û Ø Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ø Ø Ö Ð Þ Ò Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÓ Ð Ø ÝÒ Ñ ÛÓÙÐ ÓÒ Ò Û ÐÐ Ø Ø Ø ÖÓÛ Ò ÓÑÔ Ø Ø ÓÒº Á Ò Ø Ø ÖÓÔÐ Ø ÑÓ Ð ÔÔÐ Ø Ö ÛÓÙÐ ØÛÓ ØÝÔ Ó ÓÑ Ò ÖÓÛ Ò Ò Ø Ô ÒÓÑ ÒÓÐÓ Ð Ø ÓÖÝ ÔÖ Ø Ø Ø Ø Û ÐÐ Ú Ò Ú Ö Ö Ù ÖÓÛ Ò R(t) = (ln t) 1/ψ, º µ Û Ø Ø ÜÔÓÒ ÒØ ψ Ø Ý Ò 0 ψ d 1º ËÓÑ Ö Ò Ö ÙÑ ÒØ Ø Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ù Ö Ò Ø Ø Ø Ø Ñ Ò ÓÒ Ó Ø ÙÐ Ó Ø ÓÑ Ò ÓÙÐ ÓÑÔ Ø ÙØ Ø Ö ÙÖ ÓÙÐ ÖÓÙ Û Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ÓÒ d s > d 1º ÆÓØ Ø Ø ÓÒ Ø ÖØ Ù ÝÒ Ñ Ò Ú ÖÝ Ð Ö (L a) Ý Ø Ñ Û Ø ÒÓ Ò Ñ Ò Ø Ð Ø Ý Ø Ñ Û ÐÐ Ò Ú Ö Ñ Ò Ø Þ Ò Ò Ø Ø Ñ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Lº ÅÓÖ ÜÔÐ ØÐÝ Ø ÖÓÛØ Ð Û Ø ÔÓÛ Ö Ð Û º ¼µ ÓÒ Ò Ø Ñ Ó Ø ÓÖ Ö Ó L 2 ØÓ ÖÓÛ ÓÑ Ò Ó Ø Þ Ó Ø Ý Ø Ñº ÓÖ ÒÝ ÓÖØ Ö Ø Ñ ÓÑ Ò Ó Ø ØÛÓ ØÝÔ Ü Ø Ò Ø Ý Ø Ñ ÓÙØ Ó ÕÙ Ð Ö ÙÑº Ì Ý Ø Ñ ÓÒ Ø ØÙØ Ö Ø Ü ÑÔÐ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÐÓÛ ÝÒ Ñ º Ï Ø Ö ÐÐ Ý Ø Ñ Û Ø ÐÓÛ ÝÒ Ñ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ØÖÙØÙÖ Ð Ò Ô Ò Ð ÙÒ Ö Ó ÓÑ Ò Ó ÑÔÐ Ø ÓÙ ÐÓÛ ÓÑ Ò ÖÓÛØ Ò ÓÔ Ò ÕÙ Ø ÓÒº ÒÓØ Ö ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÓÛ ÝÒ Ñ Ø Ø ÓÒ Ó ÖÚ Ø Ý Ó ÓÖÖ ¹ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ò Õº µ Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ C Û ÐÐ Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ú Ò Ø ÐÓÒ Ø Ñ t Ò tº º¾º Ë Ô Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ¹ Ð Ì ÕÙ Ø ÓÒ µ Ð Ó ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ Ò Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ ÒØ ØÝ Û Û ÐÐ Ý Ò ÐÓ Ý Û Ø Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T g Ø Ð Ð Ò Ø ³ l g Ø ÖÓÙ Υ(T)l ψ g = AT ÒØÖÓ Ù Ò Ø ÓÒØ ÜØ Ò º Ì ØÓÖ A Ö Ø Ö Ö ØÖ ÖÝ Ø Ó A = 35 ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ñ Ó 1000 ÓÒ τ 0 = ÓÒ º ÁÒ Ò ÐÓ Ý Û Ø Ø Ð Ø Ñ¹ Ô Ö ØÙÖ T g ÓÒ Ø Ø Ð Ò Ø Ð Ð Ö Ö Ø Ò l g ÒÒÓØ ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒ Ö ÓÒ Ð Ø Ñ Ð Û Ð Ð Ò Ø Ð Ñ ÐÐ Ö Ø Ò l g Ö ÙÐÐÝ ÕÙ Ð Ö Ø º ÉÙ Ð Ø Ø Ú ÐÝ Ô ¹ Ò Ø ÕÙ Ð Ö Ø ÑÓ ÓÒØÖ ÙØ ØÓ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ô ÖØ Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò»ÓÖ Ö ÔÓÒ ÙÒØ ÓÒ Û Ð Ø Ð Ý ÑÓ l > l g ÓÒØÖ ÙØ ØÓ Ø Ò Ô ÖØº Ì Ö ¹ ÓÖ Ø ØÖÓÒ Ö Ö Ý Ó Ø Ñ Ð Ò Ù Ý Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ø Ú Ø ÓÒ Ð Û ÐÐÓÛ ÕÙ Ð Ö Ø ÑÓ Ò Ò ÑÓ ØÓ Ó Ü Øº Ò ÐÐÝ Ø Ý ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò Ø Ø Ø ÐÓ Ö Ø Ñ ÖÓÛØ Ð Û Õº µ Ð ØÓ ØÖÓÒ ÓÓÐ Ò Ö Ø Ô Ò Ò Ó Ø ØÝÔ Ð Þ Ó Ø ÓÑ Ò Ò Ø ÖÓÛØ Ð Û ÒØ ÐÐÝ Ø Ø Ó ÔÙÖ Ý Ø Ñ ÐÓÒ ξ l g (T) ÐÓÒ Ö Ø Ñ Ô ÒØ Ø Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Û Ö l g Ð Ö µ Ó Ú ÓÙ ÐÝ ÐÐÓÛ Ø ÓÑ Ò ØÓ ÖÓÛ Ð Ö Ö ÓÖ ØØ Ò Ô ÒÒ Ø ÐÓÛ Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ½

169 º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ a) * b) * c) * * * * * * * l2 * * * * * l1 * * * * * ÙÖ ½ Ë Ñ Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ô ÒÒ Ó Ø ÓÒ Û ÐÐ Ô Ö Ø Ø Ñ Ð º ÇÒ Ð t(l 1 ) Ø Ó Ø Ö ÓÒ ÓÖÑ Ý ÔÔ Ò Ñ ÐÐ ÔÓÖØ ÓÒ Ó Þ l 1 ÖÓÑ ÓÒ ÚÓÙÖ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ØÓ ÒÓØ Ö µº ÇÒ ÑÙ ÐÓÒ Ö Ø Ñ Ð t(l 2 ) t(l 1 ) Ø ÓÒ¹ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ Ð l 2 ÓØØ Ð Ò µ ÚÓÐÚ µº Ì ÝÒ Ñ Ó Ø ÓÖØ Û Ú Ð Ò Ø ÔÔ Ò ÓÒ Ø Ñ Ð Ù Ø Ø ÐÓÒ Û Ú Ð Ò Ø Ö Ø Ú ÐÝ ÖÓÞ Òº º¾º Ì Ð Ö N ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ä Ø Ù ØÙ Ý ØÖÝ ØÓ Ò ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Õº º µ Û Ø Ø Ä Ò Ù¹ ÒÞ ÙÖ Ö ¹ Ò Ö Ý º µ Ò Ø ÓÙ Ð ¹Û ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð º µº ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó ÒÓØ ÔÐ Ý Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÓÐ Ò Ø ÓÑ Ò¹ ÖÓÛØ ÔÖÓ Ø Ù Ø ÓÑ Ø ÖÑ Ð ÙØÙ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ø ÓÑ Ò ÐÓÒ Ø Ñ ÐÐ Ö Ø Ò T c º Ì Ö ÓÖ Û ÐÐ Ö Ø Ø Ø ØÓ Þ ÖÓ Ò ÓÒÐÝ Ð Ø Ö Ù Ø Øº ÁÒ Ø Ò Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Õº º µ Ù Ø Ö ÒØ ÒØ Ò Ø Ò Ö Ý Ð Ò ¹ Ô F º ÌÛÓ Ø ÖÑ ÓÒØÖ ÙØ ØÓ F Ø ÙÐ ¹ Ò Ö Ý Ø ÖÑ Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Ý φ = ±φ 0 Ò Ø Ð Ø Ò Ö Ý ( φ) 2 Û Ñ Ò Ñ Þ Ý Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ º ÓÒ ÕÙ Ò Ø Ý Ø Ñ ÚÓÐÚ Û Ø ÖÓÛ Ò Ö ÓÒ Ó ÓÒ Ø ÒØ Ð φ( x, t) = ±φ 0 Ô Ö Ø Ý ØØ Ö Ò ØØ Ö Û ÐÐ º Ú Ò Ø ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ú ÓÙÖ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Õº º µ Ý ØÓ Ö Ô Ø Ø ÐÐ ØÓÓ ÙÐØ ÓØ ÓÐÚ Ò ÐÝØ ÐÐÝº Ú ÖÝ Ù ÙÐ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ ÙÔ Ö Ø Ð Ö Ð ØÓ Ú ØÓÖ Ð ÓÒ Û Ø N ÓÑÔÓÒ ÒØ φ( x, t) φ( x, t) = (φ 1 ( x, t),...,φ N ( x, t)). º µ Ò ÑÓ Ý Ø Ö ¹ Ò Ö Ý F = [ ] 1 d d x 2 ( φ) 2 + N(φ 2 0 N 1 φ 2 ) 2, º ¼µ ½

170 º¾ ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ Û Ø φ 2 = α φ 2 α Ø ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÑ t φ α ( x, t) = 2 φ α ( x, t) 4φ α ( x, t) [φ 2 0 N 1 φ 2 ( x, t)]. º ½µ ÁÒ Ø Û Ý ÓÒ Ñ ÓÒØ Ø Û Ø Ø Ö Ò ÓÑ Ñ Ò ÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò µ Ø ÓÙ Ø Ñ Ò ÓÐ Ö Ò Ø ÔÖ Ò Ó Ø ÖÑ Ò Ø ³ ÔÓØ ÒØ Ðº ÆÓÛ ÓÒ ÓÒ Ö Ø Ð Ñ Ø N Û Ð Ô Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ó Ö Ð Ô Ü ØÓ d Ø Ù Ø ÖÑ Ò Ø Ö Ø¹ Ò ¹ Ò Ö ÔÐ Ý φ α ( x, t)n 1 φ 2 ( x, t) φ α ( x, t)n 1 [ φ 2 ( x, t) ] ic φ α ( x, t) z(t) º ¾µ Ò N 1 φ 2 ( x, t) Ó ÒÓØ ÙØÙ Ø Ø ÕÙ Ð ØÓ Ø Ú Ö ÓÚ Ö Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ö ÓÖ ÒÓØ ÜÔ Ø ØÓ Ô Ò ÓÒ Ø Ô Ø Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ò ÖÓÑ ØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ø ÐÐÝ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ð ÒÚ Ö ÒØº Á ÓÒ Ô Ø Ð Ö ÒÓØ Ø ÓÒ Ø Ö ÔÐ Ñ ÒØ º ¾µ Ù Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò Ø Ù Ù ÐÐÝ ÐÐ Ø À ÖØÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº Ì ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓÛ ÓÑ Ð Ò Ö Ò Ø Ð φ α ( x, t) t φ α ( x, t) = [ 2 + a(t)]φ α ( x, t), º µ Û Ö a(t) = φ 2 0 [φ2 ( x, t)] ic ØÓ Ø ÖÑ Ò Ð ¹ÓÒ Ø ÒØÐÝº ÕÙ Ø ÓÒ º µ Ò ÒØ Ö Ø Ò ÓÙÖ Ö Ô φ( k, t) = φ( ( t ) k, 0) exp k 2 t + a(t )dt 0 Ò Ø Ð ¹ÓÒ Ø ÒÝ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ a(t) Ö a(t) = φ 2 0 d d ( k t ) (2π) exp 2k 2 t + 2 a(t )dt 3 0 º µ, º µ Û Ö ÓÒ Ù ÐØ ¹ÓÖÖ Ð Ø Ù Ò ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Û Ø ØÖ Ò Ø º ÕÙ Ø ÓÒ º µ ÒÓØ Ò ÙÐ Ö Ø t = 0 Ò Ø Ö Ò ÙÒ ÖÐÝ Ò ÙØ¹Ó Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÚ Ö k ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÒÚ Ö Ó Ø Ð ØØ Ô Ò ºµ ÁÒ Ø Ð Ö Ø Ñ Ð Ñ Ø Ò Û Ø Ý Ø Ñ Ø Ò ØÓ Ö Ø Ð Ø Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö [ φ 2 ( x, t) ] ic = ÑÙ Ø ÓÒÚ Ö ØÓ φ 2 0 Ò Ø ÑÔÓ ( dk t ) (2π) exp 2k 2 t + 2 a(t )dt 3 0 º µ t 2 0 dt a(t ) 3/2 log(t/t 0 ) Û Ø t 0 = ( φ 2 0) 2/3 /8π º µ Ø Ð Ö Ø Ñ º º a(t) 3 4t ÓÖ t 1. º µ ½ ¼

171 º ËÙÖ ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ ÃÒÓÛ Ò Ø ÐÓÒ ¹Ø Ñ Ú ÓÙÖ Ó a Û Ò ÓÑÔÙØ ÝÑÔØÓØ Ú ÓÙÖ Ó Ø Ô Ø Ñ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ( ) 4tt [ φ( x, t)φ( x, t ) ] ic = φ 2 3/4 ( 0 exp ( x x ) 2 ), º µ (t + t ) 2 4(t + t ) ÓÖ t t º Ì ÜÔÖ ÓÒ ÔØÙÖ Ø Ñ Ò ØÙÖ Ó Ø ÓÑ Ò ÖÓÛØ ÔÖÓ º¾º ÓÖ ÒÝ Ò Ø Ò Ü ( x x ) Ò Ø ÐÓÒ t t Ð Ñ Ø Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÓÖ ÔÔÖÓ ÓÒ Ò ÓÒ Ó Ø Ò ÙÒØ ÓÒ Ó t /t ÓÒÐÝº ÓÖ ÒÝ Ò Ø Ò Ü ( x x ) Ò Ø ÐÓÒ t Ò t Ð Ñ Ø Ù Ø Ø t /t 1 Ø Ø Ñ Ô Ò Ò ÔÔ Ö Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò ØÛÓ ÔÓ ÒØ ÓÒÚ Ö ØÓ φ 2 0º Ì ÓÐ ÓÖ ÒÝ ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ò Ô Ò Ø Ñ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö Ø Ò Ò Ô Ò Ø Ñ ÔØ Ü Û Ò Ø Ð Ö Ø Ñ Ð Ñ Ø Ø Òº Ì Ñ Ò Ø Ø ØÝÔ ÐÐÝ ÓÒ ÐÓÓ Ø Ò Ø Ô Ø Ð Ö ÓÒ ÓÒ Ò Ø Ø Ñ ¹ Ð Ø Ö ÓÒ Û ÐÐ ÓÒ ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ø Ø ±φ 0 º Ù ØÓ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÓÖ ÓÖ Ü ÙØ Ú ÖÝ Ð Ö Ø Ñ t Ò t Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÐÐ ØÓ Þ ÖÓ ÓÚ Ö Ø Ò x x t + t º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ñ t Ø ØÝÔ Ð Þ Ó Ø Ö ÓÒ Ò Ø Ø Ø ±φ 0 R(t) tº ÓÖ Ü x x Ø Ñ Ò Ø Þ Ø ÓÒ Ò ØÝ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÐÛ Ý ÐÐ ØÓ Þ ÖÓ ÓÚ Ö Ø Ñ Ô Ö Ø ÓÒ t t Û Ð Ö Ö Ø Ò t º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ñ Ø Ø ØÓ Ø Ý Ø Ñ ØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÖÓÑ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ t Ó Ø ÓÖ Ö Ó t Ø Ð º Ì Ó Ø Ý Ø Ñ Ø Ö Ø Ö Ø Ø Ñ ¹ Ð ÓÖ Ø ÝÒ Ñ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÓÐ Ö Ø Ý Ø Ñ Ø ÐÓÛ Ö Ø ÝÒ Ñ º Á ÓÒ Û Ø Ø Ñ Ó Ø ÓÖ Ö Ó Ø Ó Ø Ý Ø Ñ ÔÓ ÒØ x Ò Û ÔØ Ý Ö ÒØ ÓÑ Ò Û ÐÐ Ò Ø Ù Ø Ñ Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÐÓ Øº Ñ ÔÖ Ò Ù ÙÐ Ñ Ø Ó ØÓ ÓÐ Ø Ø Ø Ó Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ù ÕÙ ÒØ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ý Ø Ñ Ò Ô Ø ÙÐ Ö ÓÒ ÙÒ Ö Ó Ò Ó Ö Ò Ò ÝÒ Ñ Ñ ÔÖ Ò º Ì ÑÔÐ º Ì ØÛÓ ÓÔ Ó Ý Ø Ñ Ò Ø Ý Ø Ñ t ÒØÖÓ Ù Ò Ñ ÒØÓ ÓÒ Ó Ø Ñ ÓØ Ý Ø Ñ Ö Ø Ò ÚÓÐÚ Ù Ò ÒØ Ð ÝÒ Ñ ÖÙÐ Ñ Ø ÖÑ Ð ÒÓ Ñ Ö Ò ÓÑ ÒÙÑ Ö Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ ÑÙÐ Ø ÓÒµº ÒÝ Ù ÕÙ ÒØ Ö Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ ÓÔ Ù ØÓ Ø Ö Ò Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø t º Ñ ÙÖ Ó Ñ ÔÖ Ò Ø À ÑÑ Ò Ø Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ º º ËÙÖ ÖÓÛØ ÒÓØ Ö ÒØ Ö Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ø Ò Ö Ø Ö Þ Ò Ø ÖÓÛØ Ó ÙÖ ÓÒ Ù ¹ ØÖ Ø Ù ØÓ Ñ Ø Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÓÖ ÒÓØµ Û Ø ØÖ Ò Ú Ö Ù ÓÒ Ó Ø Ñ ¹ Ø Ö Ð Ø Ø Ö Ø ÙÖ º Ì ÙÖ Ù Ù ÐÐÝ Ò Ý Ø Ð h( x, t) ½ ½

º ËÙÖ ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ò ÓÖ Ò Ð Ú Ð Þ ÖÓ³ ÓÒ Ø d¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù ØÖ Ø º Ï ÐÐ ÙÑ Ø Ø h Ò Ð ¹Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ Ó xº º º½ ËÓÐ ¹ÓÒ¹ ÓÐ ÑÓ Ð Ì ÑÓ Ð Ö Ö Ø Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ø Ý Ö ÔÖ ÒØ ØÖÙÐÐÝ ÜÔ Ö Ñ ÒØ

Ø Ù ØÖ Ø Ò Ø ØÓ Ø ÓÖ Ò ØÓ Ö ÒØ ÖÙÐ Ø Ø Ò Ö ÒØ ÑÓ Ð º Ì Ø Ó Ø ÙÖ Ö Ø Ú Ö Ð h i Û Ö i Ð Ð Ø ÐÐ ÓÒ Ø Ù ØÖ Ø º ÁÒ Ö ØÖ Ø ËÇË ÑÓ Ð Ø Ø Ð Ó ÓÒ ØÖ Ò ØÓ Ø Ý h i h j 1 Û Ø i Ò j Ò Ö Ø¹Ò ÓÙÖ Ò ÐÐ ÓÒ Ø Ù ØÖ Ø º

172 º ËÙÖ ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ Ò Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ò ÓÖ Ò Ð Ú Ð Þ ÖÓ³ ÓÒ Ø d¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù ØÖ Ø º Ï ÐÐ ÙÑ Ø Ø h Ò Ð ¹Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ Ó xº º º½ ËÓÐ ¹ÓÒ¹ ÓÐ ÑÓ Ð Ì ÑÓ Ð Ö Ö Ø Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ø Ý Ö ÔÖ ÒØ ØÖÙÐÐÝ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ØÙ Ø ÓÒ Ù ØÓÑ ÔÓ Ø ÓÒ Ò ÐÑ ÖÓÛØ Ý ÑÓÐ ÙÐ Ö Ñ Ô Ø ÜÝ Ò Ø Ý Ö Ð Ó Ú ÒØ ÓÙ ØÓ Ó ÒÙÑ Ö Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ º ÙÖ ¾ Ð Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø d Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÖ Ó Þ L d Ú ÒØÓ ÐÐ Ø Ø Ò ÓÙÔ Ý ÓÐÙÑÒ Ó ÐÐ Ò Ô ÖØ Ð º È ÖØ Ð ÐÐ ÓÒ Ø Ù ØÖ Ø Ò Ø ØÓ Ø ÓÖ Ò ØÓ Ö ÒØ ÖÙÐ Ø Ø Ò Ö ÒØ ÑÓ Ð º Ì Ø Ó Ø ÙÖ Ö Ø Ú Ö Ð h i Û Ö i Ð Ð Ø ÐÐ ÓÒ Ø Ù ØÖ Ø º ÁÒ Ö ØÖ Ø ËÇË ÑÓ Ð Ø Ø Ð Ó ÓÒ ØÖ Ò ØÓ Ø Ý h i h j 1 Û Ø i Ò j Ò Ö Ø¹Ò ÓÙÖ Ò ÐÐ ÓÒ Ø Ù ØÖ Ø º ÁÒ ÐÐ Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ð Ö Ö Ð ÖÓÑ Ö Ò ÓÑÐÝ Ó Ò ÔÓ Ø ÓÒ ÓÚ Ø ÙÖ Ø Ý ÓÐÐÓÛ Ú ÖØ Ð ØÖ ØÓÖÝ Ò Ø Ý ÑÔÐÝ Ø ØÓ Ø Ò Ö Ø ÓÖ Ò ÜØ¹Ò Ö Ø Ò ÓÙÖ ÒÓÙÒØ Ö º ¾ Ò º ÁÒ Ö Ò ÓÑ ÔÓ Ø ÓÒ Ø Ô ÖØ Ð ÐÐ Ú ÖØ ÐÐÝ ÙÒØ Ð Ö Ò Ø ØÓÔ Ó Ø ÓÐÙÑÒº ÁÒ Ö Ò ÓÑ ÔÓ Ø ÓÒ Û Ø ÙÖ Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ø Ö Ö Ò Ø ØÓÔ Ó Ø ÓÐÙÑÒ Ø Ô ÖØ Ð ÙÖØ Ö Ù ÐÓÒ Ø ÙÖ ÙÒØ Ð Ø Ò Ø ÔÓ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÐÓÛ Ø Øº º º¾ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÑÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ ÑÓ Ð Ó Ø Ò Ö Ø ÙÖ Ø Ð Ö Ö Ð Ò Ø ¹ Ð º Ó Ö Ò Ò ÔÖÓ¹ ÑÔÐÓÝ Ò Ù Û Ý Ø Ø Ø ÙÖ Ò Ö Ý ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒº Ì Û Ö ¹Ï Ð Ò ÓÒ ÑÓ Ð Ì ÑÔÐ Ø ÑÓ Ð ÓÖ Ø ÖÓÛØ Ò Ö ÖÖ Ò Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ù ØÓ Û Ö Ò Ï Ð Ò ÓÒ Û Ó ÓÛ Ø Ø Ø ÓÒØ ÒÙÙÑ Ð Ñ Ø Ó Ø ÔÖÓ Ó Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö ÒÙÐ Ö Ô ÖØ Ð ÙÒ Ö Ö Ú ØÝ ÓÒ Ò Ò Ø Ð Ø Ù ØÖ Ø Ò Ø Ö ÙÖØ Ö Ù ÓÒ ÓÒ ½ ¾

º ½µ ÕÙ Ø ÓÒ º ¾µ ØÓ Ø Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ì Ö Ø Ø ÖÑ ÓÒ Ø Ö Ó ÕÒ º ¾µ Ô Ò Ð Þ Ö Ô Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÙÖ Ò Ô Ò ν Ø Ò Ñ ÙÖ Ó Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒº Ì ÒÓ Ø ÖÑ Ö Ø Ö Ò ÓÑÒ Ò Ø ÔÓ Ø ÓÒ ÔÖÓ º ÆÓØ Ø Ø Ø Û Ö ¹Ï Ð Ò ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ò Ø

173 º ËÙÖ ÖÓÛØ ÁÆÌ Ê Æ ËÍÊ ÊÇÏÌÀ ÙÖ ËÒÓÛ ÐÐ Ø ÙÖ Ð ØÓ h( x, t) = ν 2 h( x, t) + ξ( x, t), º ¼µ t Û Ö x d¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ø Ð Ú ØÓÖ ÒÓØ Ò ÔÓ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ù ØÖ Ø t Ø Ñ Ò h Ð Ö ÙÒØ ÓÒ Ø Ò Ö Ð Ú ÐÙ Ò Ñ ÙÖ Ò Ø Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ú Ö Ú ÐÙ º Ì Ð Ø Ø ÖÑ Ø ÖÑ Ð ÒÓ ØÝÔ ÐÐÝ Ó Ò ØÓ Ú Ù Ò ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Þ ÖÓ Ú Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ξ( x, t)ξ( x, t ) = 2Tδ( x x )δ(t t ). º ½µ ÕÙ Ø ÓÒ º ¾µ ØÓ Ø Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ì Ö Ø Ø ÖÑ ÓÒ Ø Ö Ó ÕÒ º ¾µ Ô Ò Ð Þ Ö Ô Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÙÖ Ò Ô Ò ν Ø Ò Ñ ÙÖ Ó Ø ÙÖ Ø Ò ÓÒº Ì ÒÓ Ø ÖÑ Ö Ø Ö Ò ÓÑÒ Ò Ø ÔÓ Ø ÓÒ ÔÖÓ º ÆÓØ Ø Ø Ø Û Ö ¹Ï Ð Ò ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ò Ø Ò Ö Ò Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ò ÒØ Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ Ð ÕÙ Ú ÔÓÖµ Û Ø Ø ÒÓ Ø ÖÑ Ö Ò Ø Ø ÖÑ Ð ÙØÙ Ø ÓÒ º Ì ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ º ¾µ Ð Ò Ö Ò Ò ÐÝ ÓÐÚ Ù Ò ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø Ô ÓÓÖ Ò Ø xº Ì Ã Ö Ö¹È Ö ¹ Ò ÑÓ Ð ÅÓÖ Ò Ö ÐÐÝ ÓÒ Ò ÜÔ Ø Ø Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÓÖ ³ Ø Ò Ø ÙÖ Ñ Ý Ô Ò Ò ÓÒ ÓØ Ö Ò Ó ÐÓ Ð Ø ÖÑ Ù H Ø Ð h Ò Ö ÔÓÛ Ö Ó Ø Ò 2 hº ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ø Ù Ó ÝÑÑ ØÖ Ò ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Û ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ Ö Ù Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐÐÓÛ Ø ÖÑ ØÓ Ù Ø Û ÓÒ º ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÒ ÜÔ Ø Ø ÝÒ Ñ ØÓ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ð ÒÚ Ö ÒØ Ñ Ò Ò Ø Ø ÝÑÑ ØÖÝ Ö Ò Ø ÖÑ Ù ch Û Ø c ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ ÒÝ ÓØ Ö Ø ÖÑ Ô Ò Ò Ö ØÐÝ ÓÒ h ÒÓØ ÐÐÓÛ º Ì Ò ÜØ Ø ÖÑ ÓÒ Ò ÓÒ Ö ÓÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÐÓ Ð ÐÓÔ º ÆÓÛ Ý ÝÑÑ ØÖÝ ÓÒ ÜÔ Ø Ø Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÐÓÔ ÓÙÐ Ð ØÓ Ø Ñ Ö ÙÐØº Ì Ù Ø Ø ÖÑ ÓÙÐ ÔÔ Ö ÕÙ Ö [ h( x, t)] 2 º ÁÒ Ø Ø Ó Ø Ø ÖÑ ÑÔÐ ÓÑ ØÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ø Ò º º ÇÒ Ò Ø Ò ÙÑ ½

½º¾ Ò Ø ÓÒ Ì Ò Ó Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ð Þ Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ ½ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ñ ÐÝµ Ñ ÐÝ ¾ ¼ ½ ¾Æ ÐÐ Ñ ÐÝ Ó Ð µ Ä µµ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ ¾

½º¾ Ò Ø ÓÒ Ì Ò Ó Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ð Þ Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ ½ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ñ ÐÝµ Ñ ÐÝ ¾ ¼ ½ ¾Æ ÐÐ Ñ ÐÝ Ó Ð µ Ä µµ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ ¾ ¾¾º ¼ ¹¼¼ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÖÝÔØÓ Ö Ô Ý ÆÓÚ Ñ Ö Ø ¾¼¼½ Ä ØÙÖ Ä ØÙÖ Ö Ú Ò Ý Ó ËÖ ÒØÓÒ Ó Æ ÓÐÓ Ä Ø Ø Ñ Û Ò Û Ø Û Ñ Ò Ý Ë Ö Ø Ã Ý ÒÖÝÔØ ÓÒ Ñ ËÃ µ Ò Û ÒØÖÓ Ù ØÛÓ Ö Ð Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÙÖ ØÝº Ì Ò Û ÓÛ ÓÛ ÈÊ Ñ Ý Ù ØÓ