Paul, Julia Mary (2010) Equations over groups and Cyclically presented groups. PhD thesis, University of Nottingham.

Transcription

1 Paul, Julia Mary (00) Equations oer groups and Cyclically presented groups. PhD thesis, Uniersity of Nottingham. Access from the Uniersity of Nottingham repository: Copyright and reuse: The Nottingham eprints serice makes this ork by researchers of the Uniersity of Nottingham aailable open access under the folloing conditions. This article is made aailable under the Uniersity of Nottingham End User licence and may be reused according to the conditions of the licence. For more details see: For more information, please contact

2 ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ Ò ÝÐ ÐÐÝ ÔÖ ÒØ ÖÓÙÔ ÂÙÐ Å ÖÝ È ÙР˺ Ì Ù Ñ ØØ ØÓ Ì ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÆÓØØ Ò Ñ ÓÖ Ø Ö Ó ÓØÓÖ Ó È ÐÓ ÓÔ Ý ÔÖ Ð ¾¼½¼

3 ØÖ Ø ÁÒ ÔØ Ö ½ Ø ÓÒ ÔØ Ó ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ ÒØÖÓ Ù Ò Ø ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ¹ ØÙÖ Ò Ú Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ÓÒ Ø Ù Ø Ö Ù º Ì Ñ Ò Ø ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾µ Ø Ø Û Ø Ø Û Ò ÖØ Ò ÓÒ ØÖ ÒØ Ö ÔÙØ ÓÒ r(t) G < t > Û Ö G ÖÓÙÔ Ò t Ø ÒØ ÖÓÑ G Ø Ò r(t) = ÐÛ Ý ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Gº Ì ÓÖÓÐÐ ÖÝ ØÓ Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ñ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º½ µ ÔÖÓÚ Ø Ñ Ø Ó Ó ÔÖÓÓ ÓÙØÐ Ò Ò Ø Ý Ð ÑÑ Ø Ø º ÁÒ ÔØ Ö ¾ Ò Ø Ý Ð ÑÑ ÓÖ Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ñ ÔÖÓÚ Ò Ò ÔØ Ö Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ñ ÓÑÔÐ Ø º ÁÒ ÔØ Ö Ø ÓÒ ÔØ Ó ÝÐ ÐÐÝ ÔÖ ÒØ ÖÓÙÔ ÒØÖÓ Ù º Ì ÔÖ Ú Ó٠ܹ Ô Ö Ñ ÒØ Û ÒÚÓÐÚ Ö Ò ÓÖ ØÖ Ú Ð ÝÐ ÐÐÝ ÔÖ ÒØ ÖÓÙÔ Ù Ò Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÖØ Ò Ö Û ÒÚÓÐÚ Ö Ò ÓÖ Ò Ø ÝÐ ÐÐÝ ÔÖ ÒØ ÖÓÙÔ Ö Ý Ö º Ê ÙÐØ Ö Ø Ø ÒÐÙ Ò Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ º¾º µ Ò Ø ÑÓØ Ú Ø ÓÒ ÓÖ ÐÓÓ Ò Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò Ö ØÓÖ Ò ÓÖ Ò Ø ÖÓÙÔ Ù º ÁÒ ÔØ Ö Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ö Ò ÓÖ Ò Ø ÝÐ ÐÐÝ ÔÖ ÒØ ÖÓÙÔ ÓÙع Ð Ò Ò ÑÓÖ Ø Ðº ÁØ ÜÔÐ Ò ÓÛ Ð Ø Ó Ò Ø ÓÖ Ò Ø ÝÐ ÐÐÝ ÔÖ ÒØ ÖÓÙÔ ÓÙÒ Ò Ø Ð ÓÛ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ò Ø Ð Ø Ú Òº ÁÒ ÔØ Ö Ø Ñ Ø Ó Ù ØÓ Ø Ð Ø Ó Ò Ø ÓÖ Ò Ø ÖÓÙÔ ÓÙØÐ Ò º ÁÒ ÔØ Ö Ð Ø Ú Ò Ó ÐÐ Ò Ø ÖÓÙÔ ÓÙÒ Ò Ø Ö ØÖÙØÙÖ º Ì ÓÙØ Ø Ò ¹ Ò ÓÖ Û Ø ÙÒ ÒÓÛÒ Û Ø Ö ÓÖ ÒÓØ Ø ÖÓÙÔ Ò Ø Ö Ñ ÒØ ÓÒ º ÓÖ Ø Ó Ò Ø ÖÓÙÔ Û ÔÔ Ö ØÓ Ñ ÐÝ ÔÖÓÓ Ö Ú Òº Ì Ö ÙÐØ ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò Ö ØÓÖ ÓÖ Ò Ø ÖÓÙÔ Ö Ù º

4 ÒÓÛÐ Ñ ÒØ Ö Ø Ò ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØÐÝ Á ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ø Ò ÑÝ ÙÔ ÖÚ ÓÖ Å ÖØ Ò Ú Ø ÓÖ ÐÐ Ø ÐÔ Ò ÙÔÔÓÖØ Ú Ò Ñ ÓÚ Ö Ø Ô Ø Û Ý Ö º Á ÛÓÙÐ Ð Ó Ð ØÓ Ø Ò Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÆÓØØ Ò Ñ ÓÖ ÔÖÓÚ Ò ÑÝ ÙÒ Ò Ò ÓÖ Ò Ù Ô ÖØ Ó ÑÝ Ð ÓÖ Ø Ð Ø Ø Ý Ö º Á ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ú Ñ Ú Ø Ò ÝÓÙ ØÓ Ú È Ö Ò Û Ó ÐÔ Ñ ÓÙØ ÑÓÖ Ø Ñ Ø Ò Á Ò Ö Ñ Ñ Öº Ï Ø ÓÙØ Ø Ò Ð Ú Ò Ø Ò Á ÛÓÙÐ ÔÖÓ ÐÝ Ø ÐÐ ÖÙÒÒ Ò ÑÝ Ñ ÒÝ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÒÓÛº Á Ñ Ð Ó Ö Ø ÙÐ ØÓ Ð Ü Ò Ö ÀÙÐÔ ÓÖ Ø Ø Ò Ú Ò Ñ Û Ø Ø ÓÑÔÙØ Ö Ô Èº Á ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ø Ò ÑÝ ÓÝ Ö Ò Å ÖØ Ò Æ Ð ÓÒº Ö ØÐÝ ÓÖ ÒØÖÓ Ù Ò Ñ ØÓ Ä ÒÙÜ Ø Ò Ñ Ä Ø Ü Ò Ò Ö ÐÐÝ ÐÔ Ò Ñ ÓÙØ Û Ø ÓÑÔÙØ Ö Ö Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ú ÓÙÖÖ ÐÐ ØÓÓ Ö ÕÙ ÒØÐݺ Ë ÓÒ ÐÝ ÓÖ ÐÐ Ø ÙÔÔÓÖØ Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ú Ò Ñ Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø È ÔÖÓ º Ò ÐÐÝ Á Ø Ò ÑÝ Ô Ö ÒØ Ò Ñ ÐÝ ÓÖ ÐÐ Ø ÙÔÔÓÖØ Ø Ý Ú Ú Ò Ñ º ÁÒ Ô Ø Ó ÒÓÛ Ò Ò ÜØ ØÓ ÒÓØ Ò ÓÙØ Ø Ù Ø Ó ÑÝ ÛÓÖ Ø Ý Ú ÐÛ Ý ÓÒ Ò Ò Ñ Ò Á Ñ ØÖÙÐÝ Ö Ø Ùк

5 ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ ½ ½º½ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ËØ Ø Ñ ÒØ Ó Ö ÙÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å Ø Ó Ó ÔÖÓÓ ÓÖ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ ½ ¾º½ ÈÓ Ø Ú Ö ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º¾º½ r(t) = t l t l t l t l t l ½µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º¾º¾ r(t) = t l t l t l t l t l µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º ¾ ¾µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º½ ¾ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º¾ ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½º½ ÓÖ ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½º½ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ Ò ÁÁµ

6 ÓÒØ ÒØ º½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ r(t) = t l t l t l t l t l ½ µµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ r(t) = t l t l t l t l t l ½ µµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º r(t) = t l t l t l t l t l ¾ µµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º r(t) = t l t l t l t l t l ¾ µµ º º º º º º º º º º º º º º º º º½º r(t) = t l t l t l t l t l µµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º r(t) = t l t l t l t l t l µµ º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º r(t) = t l t l t l t l t l µµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º r(t) = t l t l t l t l t l µµ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º r(t) = t l t l t l t l t l µµ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º½¼ r(t) = t l t l t l t l t l µµ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º½½ r(t) = t l t l t l t l t l µµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½¾ r(t) = t l t l t l t l t l µµ º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÙÐØ ÓÖ µ Ò µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÙ ÛÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÈÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ ¾ º½ Å Ü ÑÙÑ ÙÖÚ ØÙÖ ÒØ ØÓ ÓÙÒ ÖÝ Ö ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ò ØÓØ Ð ÙÖÚ ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÝÐ ÐÐÝ ÔÖ ÒØ ÖÓÙÔ Ú

7 ÓÒØ ÒØ º½ ÁÖÖ Ù Ð ÝÐ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ö ÙÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ç Ø Ò Ò Ð Ø Ó ÔÓ Ð ÛÓÖ ¼ º½ ÜÔ Ö Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ò ÓÖ Ò Ø Ò º½ ËÔ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÓÒ ÖÓÙÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ Ò Ö Ð Þ ÓÒ ÖÓÙÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÈÓ Ø Ú ÛÓÖ Ó Ð Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÈÓ Ø Ú ÛÓÖ Ó Ð Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÈÓ Ø Ú ÛÓÖ Ó Ð Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ü ÔØ ÓÒ Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ËÔ Ð Ö ÙÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Å Ø Ó ÓÖ Ø Ø Ò Ò Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ º¾º½ Æ ÛÑ Ò ÁÒ Ò ØÝ Ö Ø Ö ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ Ê ÙÐØ ÓÖ Ò Ø ÐÝ ÔÖ ÒØ ÖÓÙÔ ½¼¾ º½ Ò Ø ÖÓÙÔ ÓÖ l º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ º½º½ º½º¾ º½º l 0 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ l =, º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÏÓÖ Ð Ø ÓÚ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ Ê Ñ Ò Ò ÖÓÙÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Ú

8 ÓÒØ ÒØ º ½ ½ Ò ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º½ º º¾ º º l = º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ l = º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ l = º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼ º ÈÖÓÓ ÓÖ Ò Ø Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º º½ º º¾ º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓÓ Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ ω = x 0 x x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ω = x 0 x x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ω = x 0 x x x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ω = x 0 x x x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ ω = x 0 x x x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ ω = x 0 x x x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ω = x 0 x x x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ω = x 0 x x x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º½¼ ω = x 0 x x x x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º½½ ω = x 0 x x x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º½¾ ω = x 0 x x x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º º½ ω = x 0 x x x x º º½ ω = x 0 x x x x x º º½ ω = x 0 x x x x x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ω = x 0 x x x x x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ω = x 0 x x x x 0 x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ì Ö Ñ Ò Ò ÖÓÙÔ Ò Ñ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ú

9 ÓÒØ ÒØ º ËÔÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ º º¾ l º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ l º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º ÆÙÑ Ö Ó Ò Ö ØÓÖ Ö ÕÙ Ö ÓÖ Ò Ø ÖÓÙÔ º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ê Ö Ò ½ Ú

10 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ ½º½ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ Ò Ø ÓÒ ½º½º Ä Ø G ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÖÓÙÔ Ò Ð Ø t Ò Ð Ñ ÒØ Ø ÒØ ÖÓÑ Gº Ä Ø r(t) = g t l... g k t l k, k, g i G \ {}, l i Z \ {0} Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ö ÔÖÓ ÙØ G < t >º Ì Ò r(t) = ØÓ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö G Û ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö G Ø Ö Ò Ñ Ò φ ÖÓÑ G ÒØÓ ÖÓÙÔ H Ò Ò Ð Ñ ÒØ h H Ù Ø Ø φ(g )h l...φ(g k )h l k = Ò Hº Ì Ð Ò Ø Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò ØÓ l l k Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÙÑ l +...+l k º Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÐÐ Ò ÙÐ Ö Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÙÑ ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ ÓØ ÖÛ Ø ÐÐ ÒÓÒ¹ Ò ÙÐ Öº Ì Ö Ö ØÛÓ Ñ Ò ÓÒ ØÙÖ Ò Ø ØÙ Ý Ó ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ º ÓÒ ØÙÖ ½º¾º ¾½ ÒÝ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ØÓÖ ÓÒ¹ Ö ÖÓÙÔ G ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Gº ÓÒ ØÙÖ ½º º ¾¾ ÒÝ ÒÓÒ¹ Ò ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÒÝ ÖÓÙÔ G ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Gº Ì ÓÒ ØÙÖ Ö Ñ Ò ÙÒÖ ÓÐÚ ÐØ ÓÙ ÓÑ Ô ÖØ Ð Ö ÙÐØ Ú Ò ÔÖÓÚ ÓÖ ÓØ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ Ö ÙÐØ ÙÔÔÓÖØ ÓÒ ØÙÖ ½º¾º ½

11 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ Ì ÓÖ Ñ ½º º ½ ÒÝ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ø Ø ÑÓ Ø ÓÚ Ö ØÓÖ ÓÒ¹ Ö ÖÓÙÔ ÓÐÙØ ÓÒº Ì ÓÖ Ñ ½º º ½ ÒÝ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÐÓ ÐÐÝ Ò Ð ÖÓÙÔ G ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Gº ÄÓ ÐÐÝ Ò Ð Ñ Ò Ó Ø ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð Ò Ø ÐÝ Ò Ö Ø Ù ÖÓÙÔ Ó Ø ÖÓÙÔ Ñ Ø Ò Ô ÑÓÖÔ Ñ ÓÒØÓ Ø Ò Ò Ø ÝÐ ÖÓÙÔº ÒÝ ÐÓ ÐÐÝ Ò Ð ÖÓÙÔ ØÓÖ ÓÒ¹ Ö º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñ ÙÔÔÓÖØ ÓØ ÓÒ ØÙÖ ½º¾ Ò ÓÒ ØÙÖ ½º º Ì ÓÖ Ñ ½º º ¾¼ ÒÝ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÜÔÓÒ ÒØ ÙÑ ½ ÓÚ Ö ØÓÖ ÓÒ¹ Ö ÖÓÙÔ ÓÐÙØ ÓÒº Ì Ö Ú Ò ØÛÓ Ñ Ò ÔÔÖÓ ØÓ ÓÒ ØÙÖ ½º º ÇÒ ØÓ Ö ØÖ Ø Ø Ð Ó ÖÓÙÔ ØÓ Û G ÐÓÒ º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø ÔÔÖÓ º Ì ÓÖ Ñ ½º º ½ ÒÝ ÒÓÒ¹ Ò ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ö Ù ÐÐÝ Ò Ø ÖÓÙÔ G ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Gº Ê Ù ÐÐÝ Ò Ø Ñ Ò Ø Ø ÓÖ ÒÝ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð Ð Ñ ÒØ g Ø Ö ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ θ ØÓ Ò Ø ÖÓÙÔ Ù Ø Ø θ(g) º ÁØ ÛÓÖØ Ö Ñ Ö Ò Ø Ø ÔÓÐÝÝÐ ÖÓÙÔ Ö Ö Ù ÐÐÝ Ò Ø º Ì ÓØ Ö ÔÔÖÓ Û Ø ÓÒ ÓÔØ Ö ØÓ ÔÙØ ÓÒ ØÖ ÒØ ÓÒ r(t) ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÒ Ø Ð Ò Ø Ó r(t)º Ò Ü ÑÔÐ Ú Ò Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Ì ÓÖ Ñ ½º º ½½ ÒÝ ÒÓÒ¹ Ò ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ø Ø ÑÓ Ø ÓÐÙØ ÓÒº ÅÓÖ Ö ÒØÐÝ ÓÛ Ú Ö Ø Ö Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò Û Ø Ö ÔÖÓ ÙØ Ð Ò Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ G < t > ÙÒ ÓÙÒ º Ì ÓÖ Ñ ½º º ¾½ ¾¾ Ä Ø r(t) = g t l...g k t l k G < t >, k, l i Z \ {0} Û Ö µ g i >, ( i k) Û Ö g i Ö Ö ØÓ Ø ÓÖ Ö Ó g i Ò Gº µ l l k 0 º º Ø ÕÙ Ø ÓÒ r(t) = ÒÓÒ¹ Ò ÙÐ Öµº µ l i l j ÓÖ i jº ¾

12 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ Ì Ò r(t) = ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Gº Ê Ñ Ö Ì k = ÓÒ ÕÙ Ò Ó ¾½ Ò Û Ø ÓÛÒ Ø Ø ÓÒ ØÙÖ ½º ØÖÙ Û Ò Ú Ö Ø Ð Ò Ø Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ Ð Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÙѺ Ì k = Ô ÖØ ÙÐ Ö Ö ÙÐØ Ó Ø Ø Ø Ø r(t) = g t l g t l Û Ø { g, g } {,} Ò l + l 0 r(t) = ÐÛ Ý ÓÐÙØ ÓÒ Û Û ÓÛÒ Ò º k = Û ÔÖÓÚ Ò k = Û ÔÖÓÚ Ò k = Û ÔÖÓÚ Ò Ò Ø Ö ÙÐØ ÓÖ k 6 ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ñ ÐÐ Ò ÐÐ Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ ¾¾ º ÁÒ Ø k 6 Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ø ÓÒ µ ÓÐ Ø Ò Ø Ø ÓÖ Ñ Ø ÐÐ ØÖÙ º Ï Û ÐÐ ÓÒ Ö k Ó Ì ÓÖ Ñ ½º Ò ÑÓÖ Ò Ö Ð ØØ Ò Û Û ÒÓÛ Ö º ½º¾ ËØ Ø Ñ ÒØ Ó Ö ÙÐØ Ä Ø G ÖÓÙÔ Ò Ð Ø r(t) = t l... k t l k (k ) Û Ö i = g i, t m i, g i,...t m i,k i g i,ki Û Ø g i,j G \ {}, k i, m i,j 0º Ï ÒØÖÓ Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ µ ÓÖ i k l i Ø ÒØ ÖÓÑ l j ÓÖ j i Ò Ø ÒØ ÖÓÑ m u, ÓÖ ÒÝ u, º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÔÖÓÚ Ù Ò Ø Ò Ö Ñ ÐÐ Ò ÐÐ Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ Ò Ø ÔÖÓÓ Û ÐÐ Ö Ý Ù ØÓÛ Ö Ø Ò Ó Ø ÔØ Öº Ì ÓÖ Ñ ½º½¼º Á k 6 Ò Ø ÓÚ Ò ÓÒ Ø ÓÒ µ ÓÐ Ø Ò r(t) = ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Gº Ì Ø Ø Ñ ÒØ Ò Ö Ð Ì ÓÖ Ñ ½º ÓÖ Û Ò k 6º ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Ø Ö ÓÖ Ø Ò ÙÑ Ø Ø k = º Ä ÑÑ ½º½½º Á i j i Ù Ø Ø i = j ± Ø Ò Ø Ò ÙÑ Ø Ø r(t) ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑ ÑÓ ÙÐÓ ÝÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò ÒÚ Ö ÓÒµ

13 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ ½ t l t l t l t l t l ¾ t l t l t l t l t l t l t l t l t l t l t l t l t l t l t l ½ µ t l t l t l t l t l ½ µ t l t l t l t l t l ¾ µ t l t l t l t l t l ¾ µ t l t l t l t l t l µ t l t l t l t l t l µ t l t l t l t l t l µ t l t l t l t l t l µ t l t l t l t l t l µ t l t l t l t l t l µ t l t l t l t l t l µ t l t l t l t l t l µ t l t l t l t l t l ÈÖÓÓ º Û Ö ÙÑ Ò Ø Ö ÒÓ Ò Ð i Ø ÒØ ÖÓÑ ÐÐ ÓØ Ö j Ò Ø Ö ÒÚ Ö Ø ÑÙ Ø Ø Ø Ø Ø Ö Ø i Ö ÐÐ ÕÙ Ð ØÓ ÓØ Ö ÓÖ ÓØ Ö³ ÒÚ Ö µ ÓÖ Ø i Ö ÔÐ Ø ÒØÓ Ù Ø Ó Ø Ö Ò Ù Ø Ó ØÛÓ Û Ø Ø i Ò Ø Ñ Ù Ø Ò ÕÙ Ð ØÓ ÓØ Ö ÓÖ ÓØ Ö³ ÒÚ Ö µº Ï Ø Ø Ò Ñ Ò r(t) Ñ Ý ÐÛ Ý Ö ÛÖ ØØ Ò ØÓ Ò ÓÒ Ó Ø ÓÚ ÓÖÑ Ù Ò ÝÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò ÒÚ Ö ÓÒº ÓÖ Ü ÑÔÐ Ð Ø r(t) = t l t l t l t l t l º ÁÒ¹ Ú ÖØ Ò Ø Ú Ù t l t l t l t l t l º ÝÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó Ø t l t l t l t l t l Û Ø Ö Ö Ð ÐÐ Ò Ó Ø ÓÖÑ ¾ µº Ï Ò Ù ÛÓÖ Ó Ø ÛÓÖ = g t m g...g s t m s g s Û Ö g i G \ {}, m i Z \ {0}, s ØÓ ÛÓÖ Ó Ø ÓÖÑ g k t m kg k+...g k+r t m k+r g k+r Û Ö k {,...,s} Ò r {0,...,s k}º Ù ÛÓÖ Ò Ò Ø Ð Ù ÛÓÖ k = Ò Ò Ù ÛÓÖ r = s k Ò ÔÖÓÔ Ö Ù ÛÓÖ (k,r) (,s k)º Ï Ö ÒÓÛ Ö Ý ØÓ Ø Ø ÓÙÖ Ñ Ò Ø ÓÖ Ñº Ì ÓÖ Ñ ½º½¾º Ä Ø G ÖÓÙÔ Ò Ð Ø r(t) = t l t l t l t l t l Û Ö i = g i, t m i,...t m i,k i g i,ki Û Ø g i,j G \ {}, k i, m i,j 0º ÙÑ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ µ ÓÐ Ò Ò Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ º µ ÆÓ i ÓÒ Ù Ø Ó Ò Ð Ñ ÒØ Ó G Ó ÓÖ Ö ¾º µ ÆÓ i ÔÖÓÔ Ö Ò Ø Ð ÓÖ Ò Ù ÛÓÖ Ó ÒÝ ± j ÓÖ j iº Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ñ ÒØ Ö ØÖÙ º Áµ Ä Ø r(t) Ú Ò Ý ÓÒ Ó Ø ½ ÓÖÑ Ð Ø Ò Ä ÑÑ ½º½½º Ì Ò r(t) = ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö G ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ

14 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ ½µ r(t) Ó Ø ÓÖÑ ½ ÓÖ º ¾µ r(t) Ó Ø ÓÖÑ ¾ Ò ÒÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ó Ö Ð Ø ÓÒ ÓÐ µ l = l + l l = l + l Ò l = l + l µ l = l + l l = l + l Ò l = l + l µ l = l + l = l + l Úµ l = l + l = l + l º µ r(t) Ó Ø ÓÖÑ Ò Ò Ø Ö Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ó Ö Ð Ø ÓÒ ÓÐ µ l = l + l Ò l + l + l = 0 µ l = l + l Ò l + l + l = 0º µ r(t) Ó Ø ÓÖÑ ½¹ º ÁÁµ Á r(t) ÒÓØ ÓÒ Ó Ø ½ ÓÖÑ Ð Ø Ò Ä ÑÑ ½º½½ º º i Ù Ø Ø i ± j ÓÖ ÐÐ j i Ø Ò r(t) = ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Gº Ê Ñ Ö ÁØ ÛÓÖØ ÔÓ ÒØ Ò ÓÙØ Ø Ø r(t) ÓÐÙØ ÓÒ ÙÒ Ö Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó ¾ µ Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÙÒ Ö Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó ¾ µº Ì Ñ ÓÐ ØÖÙ ÓÖ Ø Ô Ö ¾ µ Ò ¾ Úµ Ò Ø Ô Ö µ Ò µº ÙÐÐ ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ú Ò Ò ÔØ Ö ¾º Ì Ö ØÖ Ø ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ö Ù ÓÙÖ Ñ Ø Ó Ó ÔÖÓÓ Ö ÓÛÒº Ï ÜÔ Ø ÓÛ Ú Ö Ø Ø r(t) = Û ÐÐ Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø º ÆÓØ Ð Ó Ø Ø Û Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö l +...+l k 0 Ò Ø ÐÐÓÛ Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º ÓÖ Û Ò k = º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º½ º Ä Ø r(t) = g t l g t l g t l g t l g t l G < t >, l i Z \ {0} Û Ö µ g i >, ( i )º µ l i l j ÓÖ i jº Ì Ò r(t) = ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Gº ÈÖÓÓ º Ì ÔÖÓÓ ÓÐÐÓÛ ÑÑ Ø ÐÝ ÖÓÑ Ø Ø ÓÖ Ñ ÙÒÐ Û Ú ÓÒ Ó Ø Ü¹ ÔØ ÓÒ Ò ¾µ ÓÖ µº Á r(t) ÒÓÒ¹ Ò ÙÐ Ö r(t) ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö G Ò Ø A Ý ½ º Ä Ø r(t) Ò ÙÐ Öº ÓÒ Ö µ Ó r(t) = gt l gt l gt l g t l g t l º Ì Ü Ô¹ Ø ÓÒ Ö µ l = l + l Ò l + l + l = 0 µ l = l + l Ò l + l + l = 0 Ò

15 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ Û Ð Ó Ú l + l + l + l + l = 0º Á µ ÓÐ Ø Ò Ø Ò ÙÐ Ö ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÑÔÐ l = 0 Û Ð µ ÓÐ Û Ø l = 0 Ø Ö Ó Û Ð ØÓ ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ö ÙÐØ ÓÐ Ò Ø º ÆÓÛ ÓÒ Ö ¾µ Ó r(t) = gt l gt l gt l gt l g t l º Ä Ø ÓÒ Ø ÓÒ µ ÓÐ Ó l = l + l = l + l º Ä Ø h H ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø ÓÚ Ö ÖÓÙÔ H ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ gt l = º Ì Ò Ò H Û Ú r(h) = gh l gh l gh l g h l = gh l gh l gh l h l g h l = gh l gh l h l g h l = gh l h l = gh l = Ó r(t) ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Gº Á Úµ ÓÐ Ø Ò Ø Ñ Ö ÙÐØ ÓÙÖ Ý Ð ØØ Ò h H ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ gt l = º µ Ò µ Ö ÕÙ Ö Ö ÒØ ÔÔÖÓ º Ä Ø µ ÓÐ Ó l = l + l l = l + l Ò l = l + l Ò Û Ð Ó Ú l + l + l + l + l = 0º Í Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Û Ò Ö ÛÖ Ø r(t) gt l gt l gt l gt 6l g t l º Ì ÕÙ Ø ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÒÐÝ Ø ÕÙ Ø ÓÒ r(t) = gt gt gtgt 6 g t ÓÐÙØ ÓÒ Ö Ñ Ö ÐÓÛµ Ó Ð Ø Ù ÓÒ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø º Ë Ò Ø Ò ÙÑ Ø Ø G =< g g n > Ö Ñ Ö ÐÓÛµ Û Ö ÕÙ Ö < g g n > ØÓ Ñ Ò Ø ÓÚ Ö ÖÓÙÔ H = <g gn > <t > <<r(t)>> º Ä Ø K = <a an > <s s 6 > <<(as ) >> º Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ ÔÔ Ò θ : {g,t} K Ý g a, t sº ÆÓÛ Ù Ø ØÙØ Ò Ý Ð as as asas 6 a s = as as asaa s = (as ) = Ò K Ó θ ÜØ Ò ØÓ ÖÓÙÔ Ô ÑÓÖÔ Ñº ÙØ Ò s Ò < s s 6 > Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø < a a n > Ñ Ò K Ý Ø Ö ÓÖ g ÑÙ Ø Ú ÓÖ Ö n Ò H Ò Ó G =< g g n > Ñ Ò H Ò Û Ö ÓÒ º Ì Ñ Ö ÙÑ ÒØ Ò Ù ÓÖ µ Ý ÝÑÑ ØÖÝ Ë ËÙ Ø ÓÒ ¾º º¾µº Ê Ñ Ö ½º Ï Ò ÙÑ Ø Ö Ø Ø ÓÑÑÓÒ Ú ÓÖ Ó Ø l i ³ ÕÙ Ð ØÓ ÓÒ º ÌÓ Ø ÙÑ Ø Ø gcd(l i : i ) = d > º Ì Ò l i = dα i Û Ö gcd(α i : i ) = º Á Û ÒÓÛ Ø Ò ØÙÖ Ð Ñ Ô ÖÓÑ G ØÓ H =< G,s s α... s α > Ò Ø Ú Ø Ò G Ñ Ò H s=t d < t t m >=< G,t r(t) > Û Ö m = 0 s Ò Ò Ø ÓÖ Ö Ò m = dq s ÓÖ Ö q < º ¾º Ï ÙÑ Û Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Ø Ø G Ò Ö Ø Ý Ø Ð Ñ ÒØ Ó G Û ÔÔ Ö Ò r(t)º ÓÖ G 0 =< g i,j > Û Ö g i,j Ö Ð Ñ ÒØ Ó G ÒÚÓÐÚ Ò r(t) Ò r(t) ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö G 0 Ò H Ø Ò r(t) = ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö G Û Ø Ø Ñ Ð Ñ Ø Ö ÔÖÓ ÙØ H G0 G Ø ÓÚ Ö ÖÓÙÔ Ó Gº Ì ÓÒÐÝ ÓÖÑ Ó ÕÙ Ø ÓÒ r(t) = ÓÖ Û Ø ÒÓÛÒ Ø Ø Ø Ö ÒÓ ÓÐÙØ ÓÒ Û Ò r(t) = u(g,t)gu(g,t) ĝ Û Ö u(g,t) G < t > Ò g,ĝ G Ú Ö ÒØ ÓÖ Ö º ÆÓØ Ø Ø Ø ÒÒÓØ ÔÔ Ò ÙÒ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó ÓÒ ØÙÖ ½º¾ Ò ÓÒ ØÙÖ ½º º Ç ÖÚ Ø Ø Ø ØÙ Ø ÓÒ Ð Ó ÖÙÐ ÓÙØ Ý ÓÒ Ø ÓÒ µ Ú Ò Û Ò Û ÐÐÓÛ k º Ì ÒÓÙÖ Ù ØÓ Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ ØÙÖ º

16 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ ÓÒ ØÙÖ ½º½ º Ä Ø G ÖÓÙÔ Ò Ð Ø r(t) = g t q...g l t q l Û Ö l, g i G \ {}, q i Z \ {0} Ò i Ù Ø Ø q i q j, j iº Ì Ò r(t) = ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Gº ½º Å Ø Ó Ó ÔÖÓÓ ÓÖ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ ÌÓ ÓÛ Ø Ø r(t) = ÓÐÙØ ÓÒ ÓÚ Ö G Ø ÒÓÙ ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø Ñ Ô G H = < G,t r(t) > Ú Ò Ý g g, g G Ò Ø Ú º ÙÑ Ý Û Ý Ó ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ñ Ô ÒÓØ Ò Ø Ú º Ì Ò Ø Ö Ö ÔÖÓ ÙØ Ö Ñ K ¾¾ Û Ó ÓÙÒ ÖÝ ÑÔÐ ÐÓ ÙÖÚ Û Ø Ò Ð Ñ ÒØ g 0 G \ {} Ø Ð Ðº Ï Û ÐÐ ÒÓÛ Ö ÓÛ Ù Ö Ñ Ò Ñ Ò º Ì Ö Ñ Û ÐÐ Ú ØÛÓ Ö ÒØ ØÝÔ Ó Ö ÓÒ º Ì Ö Ø ØÝÔ Ò r(t)¹ö ÓÒ Û Ó ÓÙÒ ÖÝ Ð Ð ÓÑ ÝÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó r(t) ± º Ì ÓÒ ØÝÔ G¹Ö ÓÒ Û Ó ÓÙÒ ÖÝ Ð Ð ÛÓÖ Ò G Û Ý Ð Ø ÒØ Øݺ Ì Ö Ø Ñ Ò Ñ ÒØ Û Ñ ØÓ Ø Ö Ñ ØÓ ÓÒØÖ Ø Ñ Ü Ñ Ð t¹ Ñ ÒØ ØÓ ÔÓ ÒØ Ò Ð Ð Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÖÒ Ö Û Ø Ø l i ÓÖ m u, ÔÔÖÓÔÖ Ø º Ì ÓÒ Ñ Ò Ñ ÒØ ØÓ Ø G¹Ö ÓÒ º Ï ÔÐ Ò Û Ú ÖØ Ü Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó G¹Ö ÓÒ ÒÐÙ Ò Ø Ò Ò Ø Ö ÓÒ ÜØ ÖÒ Ð ØÓ K Ò Ø Ò Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ö Ø Ò Û ØÛ Ò Ø Ò ÛÐÝ Ú ÖØ Ü Ò Ú ÖØ Ü Ó Ø Ö ÓÒ Ò Ð Ø Ø ÓÐ Û ÓÖÑ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø Ö ÓÒº Ä Ð Ø ÓÖÒ Ö ÖÓÙÒ Ø Ò Û Ú ÖØ Ü Û Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ó G Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ð Ð Ó Ø Ð Ø º Ì ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÛÒ Ò ÙÖ ½º½º g g g g g g g g g ÙÖ ½º½ ¹Ö ÓÒ Ñ Ò Ñ ÒØ Ï Ø Û Ú ÒÓÛ Ó Ø Ò Ø ÐÐ Ø ÓÒ D Ó Ø ¾¹ Ô Ö Û Ó Ö ÓÒ Ú ÓÖÒ Ö Ð ÐÐ Û Ø ÓÑ ÝÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó r(t) ± Ö Ò ÖÓÙÒ Ø Ö ÓÒ ÖÓÑ ÒÝ Ú ÖØ Üº

17 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ Î ÖØ Û Ö Ð ÐÐ Û Ø ÔÓÛ Ö Ó t Û ÐÐ Ö ÖÖ ØÓ t¹ú ÖØ º Î ÖØ Ð ÐÐ Û Ø Ð Ñ ÒØ Ó G Ö ÒÓÛÒ g¹ú ÖØ º Ý ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Û ÛÖ Ø i Ò ÔÐ Ó l i Ø Ø ÓÖÒ Ö Ó Ø Ö Ñ Ò Û Û ÐÐ Ù ī ØÓ ÒÓØ l i º Ú Ò Ö ÓÒ Û Ö Ö ØÓ Ø Ú Ú ÖØ Û Ø ÓÖÒ Ö Ð Ð l,...,l Û Ø Ò,..., Ö Ô Ø Ú Ðݺ g m,k,k g, m, m, m,k g, g,k g, m, g, m, m,k m,k g,k g,k g,k m,k m, g, ÙÖ ½º¾ ØÝÔ Ð Ö ÓÒ Ó Ì ÙÑ Ó Ø ÓÖÒ Ö Ð Ð Ø t¹ú ÖØ Ü ÑÙ Ø ÕÙ Ð ¼ Ò < t > ÓÒ Ó Ø Ö ØÓÖ µ Ò Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ø ÓÖÒ Ö Ð Ð Ø g¹ú ÖØ Ü ÑÙ Ø Ú Ø ÒØ ØÝ Ò G Ü ÔØ ÓÖ Ø Ú ÖØ Ü Û Ó Ð Ð g 0 º Ä Ø 0 Ø Ú ÖØ Ü Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Ñ Ò Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖ Ò Ð G¹Ö ÓÒ Ð ÐÐ Û Ø g 0 º Ö ÓÒ Ø Ø 0 ÓÒ Ó Ø Ú ÖØ ÐÐ ÓÙÒ ÖÝ Ö ÓÒ ÓØ ÖÛ Ø ÐÐ ÒØ Ö ÓÖº Ì Ö Ó Ö ÓÒ ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØ Ó Ø Ø Ö ÓÒ Û Ø Ö Ü Ò ¾º Ï ÒÓØ Ø Ö Ó Ö ÓÒ Ý d() Ø Ö Ó Ú ÖØ Ü Ý d() Ò Ø Ð Ð Ó Ú ÖØ Ü Ý l()º Ï Ñ Ý ÙÑ Ø Ø D Ñ Ò Ñ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö ÓÒ Ò Ù Ø ØÓ Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ Ú ÖØ Ó D Ó Ö ¾ Ñ Ü Ñ Ðº Ì ÙÑÔØ ÓÒ ÔÐ Ý ÖÓÐ Ó Ö Ø ÑÔÓÖØ Ò Ò Ð ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ä ÑÑ Û Ò ÐÓ ÓÙ ØÓ ÓÒ ÔÖÓÚ Ò º Ä ÑÑ ½º½ º µ ÆÓ Ú ÖØ Ü Ð Ð Ó D Ò Ú Ù Ð Ð iī ÓÖ īi ( i )

18 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ µ d( i ) > ÓÖ i µ d() ÓÖ ÒÝ Ö ÓÒ Ó Dº ÈÖÓÓ º µ Á Û ÐÐÓÛ Ù Ù Ð Ð Ø Ò Ø Ö Ñ ÛÓÙÐ ÒÓØ Ö Ù Ò Ø ÛÓÙÐ ÔÓ Ð ØÓ Ò Ð ØÛÓ Ö ÓÒ Ò ÓÒØÖ Ø ÓÙÖ ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ñ Ð ØÝ Ó Dº µ Ì ÓÑ ÖÓÑ µ Ò Ø Ø Ø Ø l i l j ÓÖ i jº µ Ì Ø ÓÐÐÓÛ Ó ÖÓÑ µ Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ö Ö Ó Ø i º Ï Ò Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ö ÓÒ ØÓ c() = c(d,...,d m ) = ( m)π+πσ m i= d i Û Ö m = d() Ò Ø d i Ö Ø Ö Ó Ø Ú ÖØ i mº Ì ØÓØ Ð ÙÖÚ ØÙÖ Ó D ÒÓØ Ý c(d) Ø ÙÑ Ó Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ö ÓÒº Ä ÑÑ ½º½ º c(d) = πº ÈÖÓÓ º Ä Ø V ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØ E ÒÙÑ Ö Ó Ò F ÒÙÑ Ö Ó Ö ÓÒ º Ì Ò c(d) = Σ D c() = Σ D [π( d()) + π ( ) ] (k = d()) d d k = πσ D ( d d k ) + πσ D πσ D d() = πv + πf πe = π(v E + F) = π. Ì ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö ÓÖ ÓÙÖ ÔÖÓÓ Ö ÖÓÑ Ò Ð ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø ØÓØ Ð ÙÖÚ ØÙÖ Ó π ÒÓØ Ó Ø Ò Ð Ò Ø Ù Ø Ñ ÔÔ Ò G H g g, g G Ò Ø Ú Ý Ð Ò Ì ÓÖ Ñ ½º½¾º ÖÓÑ Ö Ø Ò ÜØ Ø Ô ØÓ ÐÓ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ö ÓÒ Ó D Ø Ø Ú ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ò ØÓ ÓÛ Ø Ø ÓÖ Ù Ö ÓÒ Û Ò Ò Ò ÓÙÖ Ò Ö ÓÒ ÒØÓ Û Û Ò ØÖ ÙØ Ø ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ º Ï Ó Ø Ý ÒÙÑ Ö Ð ØÖ Ò Ö Ó ÙÖÚ ¹ ØÙÖ ØÛ Ò Ø Ö ÓÒ Ó Ø Ö Ñº ÙÖÚ ØÙÖ Ù ØÖ Ø ÖÓÑ ÔÓ Ø Ú Ö ÓÒ Ò ØÓ ÓÑ Ò Ø Ú Ö ÓÒ Ø Ø Ò ÓÙÖ Ø ÔÓ Ø Ú Ö ÓÒ º Ì ÑÓÚ ¹ Ñ ÒØ Ó ÙÖÚ ØÙÖ Ö ÔÙÖ ÐÝ ÒÙÑ Ö Ð Ö ÒÑ ÒØ Ò Ø Ö Ñ Ø Ð Ö Ñ Ò ÙÒ Ò º ÓÖ Ø Ö ÓÒ Ð Ø c ( ) ÕÙ Ð c( ) ÔÐÙ ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ö Ú º ÇÙÖ Ý Ð ÑÑ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Û Û ÐÐ Ú Ò Ò Ð Ø Ö ÔØ Ö º Ä ÑÑ ½º½ º Á Ò ÒØ Ö ÓÖ Ö ÓÒ Ó D Ù Ø Ø c ( ) > c( ) Ø Ò c ( ) 0º

19 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ Ï ÒÓÛ Ø Ø ØÛÓ ÑÓÖ Ð ÑÑ Û Û ÐÐ Ù ÙÐ Ð Ø Ö ÓÒº Ä ÑÑ ½º½ º ÓÖ i i º ÈÖÓÓ º Ä Ø i = ÓÖ ÓÑ iº Ä Ø i = g t m...t m k g k º Ì Ò i = g t m...t m k g k g t m...t m k g k = º ËÓ g = g k, g = g k,... Ò m = m k, m = m k,...º Á k Ú Ò m k Á k Ó g k+ = m k = g k+ = m k = g k+ = 0 ÓÒØÖ Ø ÓÒº = ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ý ÓÒ Ø ÓÒ µº Ä ÑÑ ½º½ º Ä Ø Ò ÒØ Ö ÓÖ Ö ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ò Dº Ì Ò ÐÐ g¹ú ÖØ Ò t¹ú ÖØ ÓØ Ö Ø Ò Ø i ÑÙ Ø Ú Ö ¾ ÓÙÖ Ó Ø i ÑÙ Ø Ú Ö Ò Ø Ö Ñ Ò Ò i ÑÙ Ø Ú Ö ÓÖ i º ÈÖÓÓ º Ë Ò c(,,,,,) = 0 Ö ÓÒ Û Ø ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÑÙ Ø Ú Ö Ø ÑÓ Ø º Ý Ä ÑÑ ½º½ µ Ø Ö ÓÒ ÑÙ Ø Ú Ö ÕÙ Ð ØÓ º Ì Ö ÓÖ ÐÐ Ø i Ú Ö Ø Ð Ø Ý ½º½ µ ÐÐ g¹ú ÖØ Ò t¹ú ÖØ ÓØ Ö Ø Ò Ø i Ú Ö ¾º Ë Ò c(,,,,) = c(,,,,6) = 0 Ø Ö Ø ÑÓ Ø ÓÒ Ú ÖØ Ü i Ó Ö Ü Ò Ò Ø Ö ÑÙ Ø ÒÓØ Ü º Ê Ñ Ö c(,,,,) = π c(,,,,) = π 6 c(,,,,) = π º Ì Ö Ø ÓÒÐÝ ÔÓ Ð Ú ÐÙ ÓÖ ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ö ÓÒ Ó Ö º Ï Ò ÓÒ Ö Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÙÖÚ ØÙÖ Û Ñ Ý ÒÓØ Ú ÓÑÔÐ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ö ÓÒ Û Ò ÓÙÖ ÔÓ Ø Ú Ö ÓÒ º Ï ØÖ ÙØ ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ø Ô º º Û Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ ÔÓ Ø Ú Ö ÓÒ ÒØÓ Ø Ø Ô ÓÒ Û Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ ÔÓ Ø Ú Ö ÓÒ ÒØÓ Ø Ø Ô ØÛÓ Ò Ó ÓÒº Ï Ò Ñ Ö Ò ØÓ Ò ÒÑ ÒØ Ó Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö ØÓ ÐÐ Ú ÖØ Ó ÓÙÖ Ö Ñº Ì Ú ÐÙ Ò ØÓ Ú ÖØ Ü Ø Ñ Ö Ö Ó Ø Ú ÖØ Üº Ø Ø Ô ¼ ÐÐ Ú ÖØ Ú Ñ Ö Ö ¾º Ì Ò Ø Ø Ô Û ÒÖ Ø Ñ Ö Ö Ó ÖØ Ò Ú ÖØ Ò ÙÖ Ò Ø Ú ÐÙ Ò Ú Ö Ü Ø ØÙ Ð Ö Ó Ø Ú ÖØ Üº Ä Ø d(,n) Ø Ñ Ö Ö Ó Ú ÖØ Ü Ø Ø Ô nº Á Ö ÓÒ Ú ÖØ u,...,u m Û Ò Ø Ñ Ö ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ø Ø Ô n ØÓ c(,n) = c(d(u,n),...,d(u m,n))º ½¼

20 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ Ï Ô Ö ÓÖÑ Ø Ö Ù Ð ØÖ Ò Ö Ó ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ø Ô ÖÓÑ Ø ÔÓ Ø Ú Ö ÓÒ ÒØÓ Ò ÓÙÖ Ò Ò Ø Ú Ö ÓÒ Û Ð ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Ò Ò Ø Ñ Ö Ò Ó Ø ¹ Ö Ñº Ø Ø Ô n Û Ø ÙÖÚ ØÙÖ ØÖ Ò ÖÖ ÒØÓ Ö ÓÒ ÓÑÔ Ò Ø ÓÖ Ý Ø Ö Ò c(,n) c(,n ) Ö Ò ÖÓÑ Ø Ö Ñ Ö Ò Ñ Ø Ø Ø Ôº Ê Ñ Ö ½º Ï Ò c (,n) ØÓ ÕÙ Ð c(,n) ÔÐÙ ÒÝ ÙÖÚ ØÙÖ ÒØ ÒØÓ Ø Ø Ô ÙÔ ØÓ Ò ÒÐÙ Ò nº ¾º Ì Ñ Ö ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ö ÓÒ Ø ÒÝ Ø Ô Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ØÙ Ð ÙÖÚ ØÙÖ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö n Ø Ò Ð Ø Ô c (,n) 0 ÑÔÐ c ( ) 0 Ò Ó Ä ÑÑ ½º½ ÓÐ ÓÖ Ø Ö ÓÒº Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ä ÑÑ Û ÐÐ Ù Ð Ø Ö ÓÒ Ò Ô ÖØ Ó Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½º½ º Ä ÑÑ ½º¾¼º ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø ÓÑ Ø Ô n c (,n) 0º ËÙÔÔÓ u,... u k Ö Ú ÖØ Ó Ù Ø Ø d(u i,n) = d(u i,n + ) > Ò ÙÔÔÓ Ø Ø Ô n + xπ Ó ÙÖÚ ØÙÖ ØÖ Ò ÖÖ ÒØÓ º Ì Ò c (,n + ) 0 ÔÖÓÚ Ø Ø x k + Σ k i= d(u i,n+) 0º ÈÖÓÓ º Ø Ø Ô n c (,n) = c(d,...,d m ) + pπ = ( m)π + πσ m i= d i + pπ 0 Û Ö pπ Ø ØÓØ Ð ÙÖÚ ØÙÖ ØÖ ÙØ ØÓ Ø Ø Ô m nº ÆÓÛ Ø Ø Ô n + Ð Ø a i := d(u i,n + ) > Ò ØÖ ÙØ ÙÖØ Ö xπº Ì Ò c (,n + ) Ø c (,n + ) c(d,...,d m,a,...,a k ) + pπ + xπ = ( (m + k))π + πσ m i= + πσ k i= + pπ + xπ d i a i = ( m)π + πσ m i= + pπ kπ + πσ k i= + xπ d i a i = c(d,...,d m ) + pπ kπ + πσ k i= + xπ a i = c (,n) kπ + πσ k i= + xπ. a i Ì Ö ÓÖ x k + Σ k i= a i = x k + Σ k i= d(u i,n+) 0 = c (,n + ) 0º Ê Ñ Ö Ú Ò ÓÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ r(t) Ð Ø D Ø Ö Ñ Û Ó ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ö ÓÚ º Ä Ø Ò ÒØ Ö ÓÖ Ö ÓÒ Ó D Û Ø ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ º ÐÐ g¹ú ÖØ Ò t¹ú ÖØ ÓØ Ö Ø Ò Ø i Ò Ø Ö ÓÒ Ú Ö ¾ ÓÖ Ö ÓÒ Ó ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Û Ñ Ý Ö ÔÖ ÒØ ÒÝ Ð Ò Ñ ÒØ Û Ú Ù i Û Ø ÓÒ Ú ÖØ Ü Ð ÐÐ Û Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò i º Ï ÐÐ Ù Ú ÖØ Ü ¹Ú ÖØ Üº ÆÓØ Ø Ø ¹Ú ÖØ Ü ØÙ ÐÐÝ Ù Ö Ô ÓÒØ Ò Ò ½½

21 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ Ò Ó Ú ÖØ Ò Û Ò ÐÙÐ Ø Ò ÙÖÚ ØÙÖ Û ÓÒÚ ÖØ Ø ¹Ú ÖØ ØÓ g¹ú ÖØ Ò t¹ú ÖØ º Ï Ö Ö ØÓ Ø Ð Ò Ñ ÒØ ØÛ Ò ØÛÓ i ÓÒØ Ò Ò ÓÒ Ó Ø i Ò º Ì Ö ÓÒ Ó ÙÖ ½º¾ Ø Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÖ º u u u u u ÙÖ ½º ØÝÔ Ð Ö ÓÒ Ó Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ d( i ), i Ò d(u i ) =, i º Ò Ø ÓÒ ½º¾½º Ú ÖØ Ü ÐÐ ÔÐ Ø d() > Ò ÒÓØ i º ÆÓØ Ø Ø Ù Ú ÖØ Ü ÑÙ Ø Ø Ö g¹ú ÖØ Ü ÓÖ t¹ú ÖØ Üº Á Ù Ú ÖØ Ü ÓÙÒ Û Ø Ò Ò ÒÒ Ò Û Ø i Ò Ò Ò Û Ø i+ Û Ý Ø (i,i + ) ÔÐ Ø º ÆÓØ Ø Ø ÔÐ Ø Ñ Ý ÒÓØ ÓÙÒ Û Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ö ÓÒ ÓÖ Ø Ö Ó Ø Ö ÓÒ ÛÓÙÐ Ü Ú ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ý Ä ÑÑ ½º½ µº Ò Ø ÓÒ ½º¾¾º ËÙÔÔÓ ÓÑ Ú ÖØ Ü Ó D Ð Ð xy Ò Û ÒÓÛ Ø Ø x = º Ì Ò Û Ò Ò D Ý Ö ÑÓÚ ÓÛÒ Ò ÙÖ ½º º z z z x y x y x y ÙÖ ½º Ö ÑÓÚ Ä ÑÑ ½º¾ º Á i = j i j ÒÓ Ú ÖØ Ü Ð Ð Ó D Ò Ú ÔÖÓÔ Ö Ù Ð Ð i j ÓÖ i Ù Ð Ð i j º j º Ð Ó i = j i j ÒÓ Ú ÖØ Ü Ð Ð Ó D Ò Ú ÔÖÓÔ Ö ½¾

22 ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÖÓÙÔ ÈÖÓÓ º Á Û Û Ö ØÓ ÐÐÓÛ Ù Ð Ð Ø Ò Û ÓÙÐ Ô Ö ÓÖÑ Ö ÑÓÚ ØÓ ÒÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö ¾ Ú ÖØ Û Ø ÓÙØ Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö ÓÒ Û ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ë ÙÖ ½º ÓÖ Ò Ü ÑÔÐ Ó Ù ÑÓÚ º x y a x y a b a b a b b a b a b x y a b a b a b g g g g l i l j g g l i l j l i l j l i l j ÙÖ ½º È Ö ÓÖÑ Ò Ö ÑÓÚ ÓÒ ¹Ú ÖØ Ü Á k 6 Ø Ö Ö ÒÓ Ö ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ó Ä ÑÑ ½º½ ÓÐ ÑÑ Ø Ðݺ Ì ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½¼ ÓÐÐÓÛ Ø Ñ Ö ÙÑ ÒØ Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ñ Û Û ÐÐ ÐØ Û Ø Ò ÔØ Ö º ÔØ Ö ¾ Ò ÔÖÓÚ Ä ÑÑ ½º½ ÓÖ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Ò ÔØ Ö ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½¾º ½

23 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ Ì ÔØ Ö ÐÐ ÓÒ ÖÒ Û Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½º½ ÓÖ Ø Áµ ½µ¹ µ Ò Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Ø Ø Ø ÓÖ Û r(t) Ó Ø ÓÖÑ ½µ¹ µº Ë Ø ÓÒ ¾º½ Ó ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ ÛÓÖ Ò ÓÖ Ø Ö Ñ Ò Ö Ó Ø ÔØ Öº Ë Ø ÓÒ ¾º¾ ¾º Ò ¾º Ü Ñ Ò Áµ ½µ ¾µ Ò µ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ ÔÖÓÚ Ò Ä ÑÑ ½º½ Ò º ¾º½ ÈÓ Ø Ú Ö ÓÒ ÁÒ Ø ÔØ Ö Û Ö ÙÑ Ò i ÕÙ Ð ØÓ j ÓÖ j ÓÖ i jº Ú ÖØ Ü i Ö Ø Ð Ø Ò Ø Ö Ö ÓÙÖ Ö ÒØ ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò ÓÖ ÓÖÒ Ö Ó Ø Ú ÖØ Ù Ø ÓÙØ Ó Ø Ö ÓÒ Ø Ð Û Ø Ò r(t) Ñ Ø ÙÔ Ò Ø Ö Ñ Û Ø ÓÒ Ó Ø ÓØ Ö ³ ÖÓÑ r(t) Ò ÓÖ Ö ØÓ ÚÓ Ø ØÙ Ø ÓÒ Ó Ä ÑÑ ½º½ µµº Ì Ö Ö Ø Ö ÓÖ Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÔÓØ ÒØ Ð ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ð Û Ú Ò ÛÓÖ ÓÙØ Ù Ò ÓÑÔÙØ Öº Ì Ð Ð Û Ú Ö ØÓ ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ò Ö º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ö Ò ÖÓÙÒ Ø Ð Ð º º Ø Ö Ó Ø Ú ÖØ Ü Ò ÓÖÒ Ö Ð ÐÐ Ò Ø Ñ Ö Ø ÓÒ Û Ø Ò ÔÐ Ó l µ ÛÓÙÐ Ý Ð ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø ÛÓÙÐ ÑÔÐÝ l + l + l = l = 0 = l = 0º ÒÓØ Ö Ü ÑÔÐ Ó ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÛÓÙÐ Û Ø Ð Ð Ø Ú ÖØ Ü ½ Ò Ø Ú ÖØ Ü Ø ÛÓÙÐ Ñ Ò l + l + l = 0 Ò l + l l = 0 Û ÛÓÙÐ ÑÔÐÝ Ø Ø l = l º Ò Ü ÑÔÐ Ó Ö ÓÒ Û Ó Ð Ð Ó ÒÓØ Ú ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛ º ½

24 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ ÙÖ ¾º½ Ü ÑÔÐ Ó Ö ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Í Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ò ÔØ Ö ½ Ø Ø l( i ) Ø Ð Ð Ó Ø Ú ÖØ Ü Û Ó ÓÖÒ Ö Û Ø Ò Ø Ö ÓÒ Ð ÐÐ i Ø Ò l( ) =, l( ) =, l( ) =, l( ) =, l( ) = º Ì Ú l + l l = l + l = l + l + l = l + l = 0 Û Ó ÒÓØ Ý Ð ÒÝ ÓÖØ Ó ÓÒØÖ Ø ÓÒº ÌÛÓ Ö ÒØ Ö ÓÒ Û Ó Ð Ð Ó ÒÓØ Ú ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ö ÒÓÛÒ ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ º ÌÛÓ Ö ÓÒ Û Ö ÒÓØ ÓÑÔ Ø Ð Ñ Ý ÒÓØ ÓØ ÔÔ Ö Ò Ø Ö Ñº ÈÓ Ð Ð Ð Ä ÑÑ ¾º½º Ä Ø Ò ÒØ Ö ÓÖ Ö ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ö Ñ Dº Ì Ò Ø Ö Ø ÑÓ Ø ÓÒ i Û Ó Ð Ð ÒÚÓÐÚ t¹ôóû Ö ÓØ Ö Ø Ò Ø l i Ó ÒÚÓÐÚ Ø Ð Ø ÓÒ m u, µ Ò Ò Ø d( i ) = ÓÖ º Ì ØÛÓ ÔÓ Ð Ø Ö ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º¾º ÈÖÓÓ º Ä Ø Ò ÒØ Ö ÓÖ Ö ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ð Ø Ø Ú ÖØ Ü Ó ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º¾º Ì Ò Ð ÖÐÝ {l r,l t } {l ±,...,l± } ÓÖ ÓØ ÖÛ Ò ÛÓÙÐ ÔÐ Ø Ò d() > º Á Ù Ú ÖØ Ü Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ä ÑÑ ¾º½ Ü Ø Ø Ø i ÓÒØ Ò Ò Ò m u, ÓÖÒ Ö Ð Ð Ø Ò Û ÐÐ Ø Ò l¹ú ÖØ Ü Ò Ð Ø l Ö ÔÖ ÒØ ÓÒ Ó Ø m u, Û Ð Ð Ó Ø Ú ÖØ Üº Ä Ø Ò ÒØ Ö ÓÖ Ö ÓÒ Ù Ø Ø c() > 0º ËÙÔÔÓ Ø Ø ÓÒØ Ò Ò l¹ú ÖØ Ü º Ë Ò d() ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º¾º ½

25 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ l x y l r ls l t l r ls l t µ d() = µ d() = ÙÖ ¾º¾ l¹ú ÖØ Ü Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ó x, y Ò lµ Á Ø Ö ÓÒ Ú Ò Ý ÙÖ ¾º¾ µ Ø Ò c() c(,,,,) = π 6 ØÓ Ø Ö ÓÒ Û ÓÒØ Ò Ø Ð Ð lº Á Ú Ò Ý ÙÖ ¾º¾ µ Ø Ò c() c(,,,,) = π ØÓ Ø Ö ÓÒ Û ÓÒØ Ò Ø Ð Ð x x = l ÓÖ y y = lº Ä ÑÑ ¾º¾º ÙÑ Ø Ø Ô n ÐÐ l¹ú ÖØ Ú Ñ Ö Ö ¾ Ò Ò Ø Ø Ô n + Û Ñ Ö ÐÐ l¹ú ÖØ Ó Û Ø Ø Ö ØÙ Ð Ö º Á c (,n) 0 Ø Ò c (,n + ) 0º ÈÖÓÓ º Ä Ø Ù ÙÑ Û Ú Ù Ö ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Û Ø Ð Ð ÒÚÓÐÚ Ò Ò l Ò ÙÖ ¾º¾ µº Ì Ò Ø Ö ÓÒ Û ÓÒØ Ò l Ö Ø Ð Ø Ø ÑÙ Ø Ð Ó ÓÒØ Ò Ø Ú i Ó Û Ú Ö Ø Ð Ø º Á Û Ò Ø c() c(,,,,) = π 6 ÖÓÑ ÒØÓ Ø Ö ÓÒ Ø Ò Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ù ÙÐÐÝ ÓÑÔ Ò Ø ÓÖ c( ) c(,,,,,) = π 6 ÔÖÓÚ Ø Ö ÓÒ Ö Ú Ø ÓÒ ÐÓØ Ó ÙÖÚ ØÙÖ ÓÒÐݺ Á Ø Ö Ó Ø Ú ÖØ Ü Ò ¾º¾ µ Ø Ò Ø ÔÓ Ð ØÓ Ò ÙÔ ØÓ ØÛÓ ÐÓØ Ó ÙÖÚ ØÙÖ Ò ÖÓ Ø Ñ l¹ú ÖØ Üº ÓÖ Ü ÑÔÐ x = l Ò y l Ø Ò Ò ÔÖ Ò Ô Ð x Ø Ö ÓÒ ÓÒØ Ò Ò Ø ÓÖÒ Ö Ð Ð xµ Ñ Ý Ö Ú ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ø ÖÓÙ Ø l¹ú ÖØ Ü ÖÓÑ ÓØ Ò t Ø Ö ÓÒ ÓÒØ Ò Ò Ø ÓÖÒ Ö Ð Ð l t µº ÁÒ Ø ÓÛ Ú Ö Ø ÙÖÚ ØÙÖ ÕÙ Ð ØÓ π π Ø Ñ Ò < π 6 Ó Û Ò ÙÑ ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Ø Ø π 6 Ò ÒØ Ò Ò Ø Ö Ó Ø Ú ÖØ Ü º Ä Ø Ù ÙÑ ÒÓÛ Ø Ø c (,n) 0 Ò Ø Ø Ô n + Û Ñ Ö k l¹ú ÖØ Û Ø Ø Ö ØÙ Ð Ö Û ÑÙ Ø Ø Ð Ø º ËÓ Ø ÑÓ Ø kπ 6 ØÖ ÙØ ØÓ Ø Ø Ô n + º Ì Ò Ý Ä ÑÑ ½º¾¼ Ù Û Ú Ø Ø ( 6 + )k < 0 Û ÒÓÛ Ø Ø c (,n + ) 0º Ì ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ð ÑÑ º Ä ÑÑ ¾º¾ Ø ÐÐ Ù Ø Ø Û Ö Ð ØÓ ØÖ ÙØ ÙÖÚ ØÙÖ Ù ÙÐÐÝ º º Ò ÓÖ Ö ÓÖ Ä ÑÑ ½º½ ØÓ Ø ÓÖ ÐÐ Ö ÓÒ Û Ð ÙÑ Ò ÒÓ l¹ú ÖØ Ø Ò Û Ö Ð ØÓ ØÖ ÙØ ÙÖÚ ØÙÖ Ù ÙÐÐÝ ÓÖ ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ö ÓÒ º Ì Ö ÓÖ ÖÓÑ ÒÓÛ Û Û ÐÐ ½

26 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ ÔÓ Ø Ú Ö ÓÒ ÒÚÓÐÚ Ò Ù Ò l¹ú ÖØ Üº ËÓ ÓÖ Ø Ö Ø Ó Ø ÔØ Ö Û Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ö ÔÓ Ø Ú Ö ÓÒ Û Ó Ú ÖØ Ö Ø Ö ¹Ú ÖØ ÓÖ i Û Ó Ð Ð ÒÚÓÐÚ ÓÒÐÝ Ø l i º ÓÑÔÙØ Ò Ö ÓÒ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÑÔÙØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÓÖ Ö ÓÒ Ø Ò ÖÝ ØÓ Ú ÖÝ ÔÓ Ð ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ñ Ø Ò ÙÔ Ø i ³ º Ï Ø Ò ÓÑÔÙØ Ú ÖÝ ÔÓ Ð Ð Ð ÙÑ Ò Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ØÙÖÒ ÙÖ ¾º µº µ d( i ) =, ( i ) µ d( ), d( i ) = ÓÖ i µ d( ), d( i ) = ÓÖ i Úµ d( ), d( i ) = ÓÖ i Úµ d( ), d( i ) = ÓÖ i Ú µ d( ), d( i ) = ÓÖ i (i) (ii) (iii) (i) () (i) ÙÖ ¾º ÈÓ Ð Ú ÖØ Ü Ö ÁÒ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Û Ó ÒÓØ Ô Ý Ú ÖÝ ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ð Ð ÓÖ Ú ÖØ Ü Ó Ö Ü Ò Ø Ö ÛÓÙÐ Ö ØÓÓ Ñ Òݺ ËÓ ÓÖ Ü ÑÔÐ d( ) > Ò Û ÒÓÛ Ô ÖØ Ó Ø Ð Ð ÓÖ Û ÛÓÙÐ ÛÖ Ø l( ) = ω Û Ö ω Ò ÔÐ Ó ½

27 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ Ø Ö ÓÒ ÓÖ ØÛÓ ÒÙÑ Ö Ô Ò Ò Ó Û Ø Ö d( ) = ÓÖ Ö Ô Ø Ú Ðݺ Í Ò Ø Ñ Ø Ó Ñ ÒØ ÓÒ ÓÚ Û Ö ÒÝ Ð ÐÐ Ò Û Ú ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ò Ð Ø Ø Ó Û Ó ÒÓغ Ï Ð Ó Ù ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ó ØÓ Ð Ø Û Ö ÓÒ Ð ÐÐ Ò Ö ÓÑÔ Ø Ð Ò Ð Ó ØÓ Ò ÓÙØ Û Ø Ó¹ ÐÐ ØÝÔ ÔÓ Ø Ú Ö ÓÒ Û Û Ò Ò Üغ ÌÝÔ Ó Ö ÓÒ Ä Ø Ö ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ º Ì Ò Ø ÑÙ Ø ÓÒ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÝÔ ÌÝÔ ½µ Ò ÓÙÖ Û Ø ØÛÓ Ø Ø ÔÐ Ø ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º º ÌÝÔ ¾µ Ì ÓÚ Ó ÒÓØ ÓÐ ÙØ ÓÒ Ó ³ Ú ÖØ Ö Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ò ÓÙÖ Ò Ö ÓÒ ÓÒØ Ò Ò Ø Ú ÖØ Ü ÔÐ Ø ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º º ÌÝÔ µ Ò Ø Ö ØÝÔ ½ ÒÓÖ ØÝÔ ¾º Type Type ÙÖ ¾º ÌÝÔ ½ Ò ØÝÔ ¾ Ö ÓÒ ÓÖ Ü ÑÔÐ ÙÖ ¾º½ Ó ØÝÔ ½ Ò Ø Ö Ò ÓÙÖ Ò Ö ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ö Ø Ö Ó Ø Ò Ø ÓÒº ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ Ö Ó ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑ ÙÔ ØÓ ÝÑÑ ØÖݺ ½

28 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ ÙÖ ¾º ÌÝÔ Ö ÓÒ Ê Ú Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ ØÝÔ ½ Ò ¾ ÓÒÐÝ Á Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ½ c() π Ò Ø Ò ÒØ ÒØÓ ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º º Á Ø Ø ÓÒÐÝ ÙÖÚ ØÙÖ Ø Ö ÓÒ Ö Ú c ( ) c(,,,,,,)+ π = π + π = 0º Á Ó ØÝÔ ¾ c() π 6 Ò Ò Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÒØÓ ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º º Á Ø Ø ÓÒÐÝ ÙÖÚ ØÙÖ Ø Ö ÓÒ Ö Ú c ( ) c(,,,,,)+ π 6 = π 6 + π 6 = 0º Ï Ò ØÓ Û Ø ÔÔ Ò ÒÓÛ Ö ÓÒ Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ ÖÓÑ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ½ Ò ¾ ÓÒÐݺ ÙÑ Ö ÓÒ Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ ØÛÓ ÙÖ ¾º µ ½º Ä Ø ÓØ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ½º Ì Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ö ÐÐ ÔÐ Ø c ( ) c(,,,,,,,) + ( π ) = π + (π ) = 0º ¾º Ä Ø ÓÒ Ó ØÝÔ ½ Ò Ø ÓØ Ö Ó ØÝÔ ¾ Û Ö Ø ØÝÔ ¾ ÖÓ Ò Ö ÓÒ Ó Ø ÔÐ Ø Ó Ø ØÝÔ ½ ÖÓ Ò c ( ) c(,,,,,,)+ π + π 6 = π + π = 0º º Ì Ñ ¾ Ü ÔØ Ø ØÝÔ ¾ Ù Ø Ö ÔÐ Ø ÐÓÒ Ø Ö Ñ Ò Ò c ( ) c(,,,,,,, ) + π + π 6 = π 6 + π < 0º º ÓØ Ó ØÝÔ ¾ Ö Ò Ò Ø Ö Ø Ú ÖØ Ü Ó Ö > ÒÓÖ Ø ÔÐ Ø c ( ) c(,,,,,,) + ( π 6 ) = π + π < 0º º ÓØ Ó ØÝÔ ¾ Ö Ò Ø Ö > Ú ÖØ Ü c ( ) c(,,,,,,)+( π 6 ) = π + π < 0º ½

29 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ º ÓØ Ó ØÝÔ ¾ Ö Ò Ø ÔÐ Ø c ( ) c(,,,,,) + ( π 6 ) = π + π = 0º ÙÖ ¾º Ê Ú Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ ØÛÓ ÙÑ Ö ÓÒ Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ Ø Ö ÙÖ ¾º µ ½º ÐÐ Ó ØÝÔ ¾ Ò Û ØÛÓ ÑÙ Ø Ö Ö > Ú ÖØ Ü Ò ØÛÓ ÑÙ Ø Ö ÔÐ Ø c ( ) c(,,,,,,) + ( π 6 ) = π + π < 0º ¾º ÇÒ Ó ØÝÔ ½ ØÛÓ Ó ØÝÔ ¾ Ò Û Ó Ø ØÝÔ ¾ ÑÙ Ø Ö ÓÒ Ó Ø ØÝÔ ½ ÔÐ Ø Ò ÓØ ÑÙ Ø Ö Ø Ñ Ö > Ú ÖØ Üº.. ÙÖ ¾º Ê Ú Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ Ø Ö Ì Ð Ø Ø ÓÒÐÝ ÓÒ Û Ñ Ý Ù ÔÖÓ Ð Ñ Û Ò Ö ÓÒ Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ½ Ò ¾ ÓÒÐÝ c( ) π Ò ÑÙ π ÓÙÐ ÒØ Òº Ì Ô Ò ÙÔÓÒ Ø Ü Ø Ò Ó Ö ÓÒ Û Ø ÐÐ Ø Ú ÖØ Ó Ö Ò Ð ØÓ ÔÔ Ö Û Ø Ö ÓÒ Ø Ø Ö Ó ØÝÔ ¾ Ò Û ÐÐ Ø Ö Ð Ú ÒØ Ð Ð Ñ Ø ÙÔº ÆÓØ Ø Ø Ø ØÛÓ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ¾ ÑÙ Ø Ø ÒØ Ò ÓÖ Ö ÓÖ Ø Ð Ð ØÓ Ñ Ø ÙÔ ÓÖÖ ØÐݺ Ì Ù ÒÝ Ô Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ¾ Ò ÙÖÚ ØÙÖ ¾¼

30 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ ÖÓ Ø Ñ Ø Ñ ÙØ Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÑÙ Ø Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ ØÝÔ ¾ Ö ÓÒ ÖÓ Ö ÒØ º ÁØ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ Ø ØÙ Ø ÓÒ Ò ÓÙÖ ÓÖ ÑÓÚ Ò ÓÒ ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ä ÑÑ ½º½ ÓÖ Ö ÓÒ Ö Ú Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ º ¾º¾ ½ ¾º¾º½ r(t) = t l t l t l t l t l ½µ Ä Ø r(t) = t l t l t l t l t l Ò Ð Ø Ò ÒØ Ö ÓÖ Ö ÓÒ Ó Ø Ö Ñ D Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ º Ñ ÒØ ÓÒ ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ Ø ¹Ú ÖØ ÐÐ Ú Ö ¾ Ò Ø i ÑÙ Ø Ø Ö ÐÐ Ú Ö ÓÖ Ú ÓÙÖ Ú ÖØ Ó Ö Ò ÓÒ Ú ÖØ Ü Ó Ö Ö Ø Ö Ø Ò º Ä Ø Ù Ö Ø ÙÑ Ø Ø ÐÐ Ú ÖØ Ö Ö º ÁØ Ò Ó ÖÚ ÖÓÑ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÖ Ø Ø Ú ÖÝ Ö ÓÒ Ö Ò Ò Û Ø Ø Ð Ø ØÛÓ ÔÐ Ø º Ì ÓÑ ÖÓÑ Ø Ø Ø Ø Û ÒÒÓØ Ú = Ý Ä ÑÑ ½º½ º ÙÖ ¾º Ö ÓÒ Û Ø ÐÐ Ú ÖØ Ó Ö Ò ½ ÆÓÛ Ð Ø Ù ÙÑ Ø Ö Ö ÓÙÖ Ú ÖØ Ó Ö Ò ÓÒ Ó Ö Ö Ø Ö Ø Ò º Á Û Ó ÖÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÖ Û Ø Ø Ø Ø Ö Ò ÓÙÖ Ò Ö ÓÒ Û Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò Ø Ú ÖØ Ü Ó Ö Ö Ø Ö Ø Ò Ú Ø Ð Ø ØÛÓ ÔÐ Ø º ¾½

31 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ ÙÖ ¾º Ö ÓÒ Û Ø ÓÒ Ú ÖØ Ü Ó Ö > Ò ½ Ì Ñ Ò Ø Ø ÐÐ Ö ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ø Ö Ó ØÝÔ ½ Ò Ó Ý Ø Ö ÙÑ ÒØ Ø Ø Ò Ó Ë Ø ÓÒ ¾º½ ÐÐ ÙÖÚ ØÙÖ Ù ÙÐÐÝ ÓÑÔ Ò Ø ÓÖº ¾º¾º¾ r(t) = t l t l t l t l t l µ Ä Ø r(t) = t l t l t l t l t l º Ì Ó ÒÓØ Ú Ø Ñ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ò Ó Ø Ö Ø Ø Ò ØÓ Ó ØÓ ÛÓÖ ÓÙØ ÐÐ Ø Ö ÒØ ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò Ó Ö ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ù Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ë Ø ÓÒ ¾º½ Ò Û Ó Ø Ø Ö ØÝÔ Ó Ø Ñ º ÙÖ ¾º½¼ ÐÐ ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò ¾¾

32 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ ÙÖ ¾º½¼ ÓÛ ÐÐ ÔÓ Ð Û Ý Ò Û Ø ³ Ò Ñ Ø ÙÔº Ï Ö ÖÓÙÒ Ú ÖØ Ü ÖÓÑ Ð Ø ØÓ Ö Ø ØÓ Ó Ø Ò ÔÓ Ð Ð Ðº ÓÖ Ü ÑÔÐ d( ) =, l( ) {,,,,,,...,}º Á ÓÙÖ Ó ÓÖ l( ) Ò Ò Ý l( ) ÑÙ Ø Ò Û Ø ¾ Ò Ó ÓÒº Ï ÐÐÓÛ ÓÑÔÙØ Ö ØÓ Ò ÐÐ Ù ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÖØ Ü Ò Ø Ú Ð Ð ÐÐ Ò Ø Ø Ø Ó ÒÓØ Ú ÓÒØÖ Ø ÓÒº ÙÖ ¾º½ Ú Ù Ú Ð Ð ÐÐ Ò Ò Ø Û Ó ÒÓØ Ú ÒÝ ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ Û Ö Ó Ø Ò Ò Û Ö Ö ØÓ ÙÖ ¾º ØÓ ÓÒ Ö º ÁÒ µ Ø Ö Ö ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò º ÁÒ µ Ø Ö Ö ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò º ÁÒ µ Ø Ö Ö ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò º ÁÒ Úµ Ø Ö Ö ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò º ÁÒ Úµ Ø Ö Ö ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò º ÁÒ Ú µ Ø Ö Ö ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò º ÙÐÐ Ð Ø Ó ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò Ñ Ý Ú Û Ò ¾ Ö ÓÔÝ Ó Û ØØ ØÓ Ø Ø ÓÖ Ø ÓÒÚ Ò Ò Ó Ø Ö Öµ Ò Û Ø ØÝÔ Ó Ö ÓÒ Ò Ø Ð Óº Ï ÒÓØ Ø Ø Û Ò Û Ö Ö ØÓ ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ö Ö ÖÖ Ò ØÓ Ö ÓÒ ÒÙÑ Ö Ò ¾ ÓÖ Û ÐÐ Ø i Ö Ó Ö º Ê ÓÒ ÒÙÑ Ö Û Ø ÓÙØ Ù Ö ÔØ Ö Ö ØÓ Ø Ö ÓÒ Û Ú ÓÒ i Ó Ö > º Ò Ò Ì Û Ý Ò Û Û Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÓÖ Ø ØÝÔ Ö ÓÒ ÓÐÐÓÛ º ÒØ ÒØ ÒØ ÒØ ÖÓ Ò ÖÓ Ò ÖÓ Ò ÖÓ Ò ½ (,) ½ (,) ¾¾ (,) ¾ (, ) (,) ½ (,) ¾¾ (,) ¾ ¼ (, ) (,) ½ ½ (,) ¾ ½ (,) ¾ (, ) (,) ½ (,) ¾ (,) ¾ (, ) ½ (,) ¾¼ (,) ¾ (,) ½¼ (, ) ½ (,) ¾¼ (,) ¾ (,) ½ (, ) Ì Û Ý Ò Û Û Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÓÖ ÖØ Ò ØÝÔ ½ Ò ¾ Ö ÓÒ ÓÐÐÓÛ º ¾

33 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ ÒØ ÒØ ÒØ ÒØ ÖÓ Ò ÖÓ Ò ÖÓ Ò ÖÓ Ò ¾ (,) ½¾ (,) ¾ (,) (, ) (,) ½¾ (,) ¾ (,) (, ) (,) ½¾ (,) ¾ (,) ½ (, ) (,) ½ (,) (,) (, ) (,) ½ ½ (,) (,) ¼¼ (, ) ¼ (,) ¾½ (,) (,) ¼½ (, ) ½¼ (,) ¾ (,) ÓÖ Ø Ö Ñ Ò Ò ØÝÔ ¾ Ö ÓÒ ÓÒ Ö Ø Ú ÖØ Ü ÐÓ Û ÖÓÑ Ø Ö > Ú ÖØ Üº Á Ø Ú ÖØ Ü Ú ÔÐ Ø Ò ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ Ø ØÛ Ò Ø Ú ÖØ Ü Ò Ø Ö > Ú ÖØ Üº ÇØ ÖÛ Ø Ú ÖØ Ü ÒØ ÐÓ Û ÖÓÑ Ø Ö > Ú ÖØ Ü ÑÙ Ø Ú ÔÐ Ø Ò Ó Ò ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ Ø ØÛ Ò Ø Ú ÖØ Ü Ò Ø Ö > Ú ÖØ Üº ÓÖ Ø Ö Ñ Ò Ò ØÝÔ ½ Ö ÓÒ ÓÒ Ö Ô Ö Ó ÒØ Ú ÖØ Ø ÖØ Ò ÖÓÑ Ò ÑÓÚ Ò ÐÓ Û Ò ÒÓÖ Ò ÒÝ Ô Ö Û Ö ÓÒ Ó Ø Ú ÖØ Ö > º Ï Ò Ø Ö Ø Ô Ö Ó Ú ÖØ ÓÙÒ Û Ö ÓØ Ú ÔÐ Ø Ò ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ú ÖØ º Ï Ð Ñ Ø Ø ÙÒ Ö Ø Ö Ò Ò Ä ÑÑ ½º½ ÓÐ º ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½º½ ÓÖ ÁØ Ò Ð Ó Ú Û Ò ¾ Û Ö ÓÒ Ó Ö ÒØ Ð ÐÐ Ò Ö ÓÑÔ Ø Ð º Ï Ò Ø Ö ÓÖ Ø ØÙ Ø ÓÒ Ó ÙÖ ¾º ¾µ Ò ÓÙÖ Û Ñ Ý Ù ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ö Ö ØÓ Ò Ò Ò Ø Ö ÐÓØ Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ½ Ò ¾ ÓÒÐݺ ÓÖ Ø ØÓ ÔÔ Ò Û Ö Ø Ö ÕÙ Ö Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ½ Ò Û ÐÐ Ú ÖØ Ú Ö Ù Ø Ø Ø Ò ÔÔ Ö Û Ø ØÛÓ Ö ÒØ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ¾º ÄÓÓ Ò Ø Ø Ð Ø ÓÛ Ù Ø Ø Ø Ö Ö ÓÒÐÝ ØÛÓ Ö ÓÒ Û Ø ÐÐ Ú ÖØ Ó Ö ÔÔ Ö Ò Û Ø Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ¾ 8 Û Ó Û Ø ¾ Ò Û Ó Û Ø ¾ ÙØ Ø Ö Ö ÒÓ ØÝÔ ½ Ö ÓÒ ÔÔ Ö Ò Û Ø ØÛÓ Ö ÒØ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ¾º Ì Ö ÓÖ Ø ØÙ Ø ÓÒ ÒÒÓØ ÔÔ Òº ËÓ ÒÝ Ö ÓÒ Ö Ú Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ½ Ò ¾ ÓÒÐÝ Ø Ý Ä ÑÑ ½º½ º Ï ÒÓÛ Ò ØÓ ØÙ Ý Ö ÓÒ Ó ØÝÔ Ò ÓÖ Ù Ö ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò ÓÙÖ Û Ó ÙÖÚ ØÙÖ Ò ÓÑÔ Ò Ø ÓÖ Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ò Ø Ò Ø ¾

34 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ Ò ÓÙÖ Ò ÓÑÔ Ò Ø ÓÖ ÒÝ ÙÖØ Ö ÙÖÚ ØÙÖ Ò ÒØ ÒØÓ Øº ÓÖ Ø Ø Ö Ö ¾ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ Û Ò Ú Û Ò ¾ Ò Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ó Ø ÑÓ Ø π 6 º Ê ÐÐ Ø Ø Û Ö ÛÓÖ Ò Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ò ÓÖÑ ÙÔ ØÓ ÒÚ Ö ÓÒ Ò ÝÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó ÓÒ Ö r(t) = t l t l t l t l t l º Ì Ø ÒÚ Ö Ó ØÓ Ó Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò t l t l t l t l t l º ÝÐ ÐÐÝ Ô ÖÑÙØ Ø ØÓ Ó Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò t l t l t l t l t l º ÙØ Ø Ó Ø Ñ ÓÖÑ r(t) Ò Ó Û Ó Ø Ò ÝÑÑ ØÖÝ ÖÓÑ (l,l,l,l,l ) ØÓ (l,l,l,l,l )º Ì Ñ Ò Ø ÒÓØ Ò ÖÝ ØÓ Ò Û Ý Ó ÐÐÓ Ø Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÓÖ ÐÐ Ø ¾ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ Ø ÝÑÑ ØÖÝ Û ÐÐ Ù ÓÑ Ö Ô Ø Ø ÓÒº ÇÒ Û Ú Ô Ö Ø Ö ÓÒ Ó Ø Ý Ö ÝÑÑ ØÖ ÐÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ô ÓÒ Ó Ø ÝÑÑ ØÖ Ò Û Ö ÓÒÐÝ Ö ÕÙ Ö ØÓ ÐÐÓ Ø ÙÖÚ ØÙÖ ØÓ ÓØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ô Ö Ø ØÛÓ ÝÑÑ ØÖ Ö Ö ÓÒ Ø Ø Ñ Ý ÔÔ Ö Ø Ø Ñ Ø Ñ º Ì ÔÔ Ò Û Ø Ó ÓÙÖ ½¾ Ô Ö Ò Ó Û Ö ÕÙ Ö ÐÐÓ Ø ÓÒ Ó ÙÖÚ ØÙÖ ÓÖ ½ Ö ÒØ Ö ÓÒ º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ð ÓÛ ÐÐ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ Ò ÓÛ Ø Ý Ô Ö ÙÔ Ò ÝÑÑ ØÖ º Ì ½ Ö ÓÒ ÓÖ Û ÙÖÚ ØÙÖ Ò ØÓ ÐÐÓ Ø Ö Ð Ø º l( ) l( ) l( ) l( ) l( ) ω ω 9 ω ω 77 ω 9 ω 78 ω ω 8 ω 90 ω 8 ω 86 ω 0 ω ω ¾

35 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ ω 88 ω 9 ω 87 ω 7 ω ω 7 ω 98 ω 06 ω 0 ω ÓÖ Ó Ø ½ Ö ÓÒ Ø Ö ÔÐ Ø Ò ÓÒ Ó Ø Ó Ø Ò Û Ö Ð ØÓ Ò ÙÖÚ ØÙÖ ØÓ ÓÒ Ó Ø ÔРغ ÓÖ Ö ÓÒ Ø Ñ ÔÖÓ ÙÖ ÓÐÐÓÛ ½º Á Ø Ö ÓÒ Û Ö Ò Ò c() π 6 ÒØÓ ÓÒØ Ò ÙÖØ Ö ÔÐ Ø ÓÖ Ú ÖØ Ü Ó Ö > c( ) c(,,,,,) = π 6 º ¾º Ï Ø Ö ÓÖ ÙÑ Ø Ö Ö ÒÓ ÙÖØ Ö ÔÐ Ø Ò Ò ÐÐ Ø Ú ÖØ Ö Ö Ò Ò Ó Ø ½ Û Ó Ø Ò ÓÒØÖ Ø ÓÒº º Ì Ö ÓÖ Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ ÓÒ ÔÐ ÓÒÐÝ Ø Ò Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÙÐÐÝ ÓÑÔ Ò Ø ÓÖº ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ø ÙÖ ÓÛ Ò Ø Û Ý ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ò ÒØ Ò Ó Ø ½ º π 6 π 6 π 6 ÙÖ ¾º½½ ÒÓº ÙÖ ¾º½¾ ÒÓº ÙÖ ¾º½ ÒÓº ½ ¾

36 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ π 6 ÙÖ ¾º½ ÒÓº ½ π 6 ÙÖ ¾º½ ÒÓº ½ ½ π 6 ÙÖ ¾º½ ÒÓº ½ π 6 ÙÖ ¾º½ ÒÓº ¾¼ π 6 ÙÖ ¾º½ ÒÓº ¾¾ π 6 ÙÖ ¾º½ ÒÓº ¾¾ π 6 ÙÖ ¾º¾¼ ÒÓº ¾ π 6 ÙÖ ¾º¾½ ÒÓº ¾ π 6 ÙÖ ¾º¾¾ ÒÓº ¾ π 6 ÙÖ ¾º¾ ÒÓº ¾ π 6 ÙÖ ¾º¾ ÒÓº ½¼ π 6 ÙÖ ¾º¾ ÒÓº ½ ¾

37 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ Ï Ò u i ØÓ Ø Ú ÖØ Ü ÒÚÓÐÚ Ò l i Ò º ÁÒ Û ÙÑ Ø Ö Ö ÒÓ ÙÖØ Ö ÔÐ Ø ÓÖ Ú ÖØ Ó Ö > Ò º Ì Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ð Ð Ó ÓÖ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÑÙ Ø l(u ) = l(u ) = l(u ) = l(u ) = l(u ) = l(u ) = ½ l(u ) = l(u ) = l(u ) = ½ ½ l(u ) = l(u ) = l(u ) = ½ l(u ) = l(u ) = l(u ) = ¾¼ l(u ) = l(u ) = ½ ¾µ¹ ÔÐ Ø ¾ l(u ) = l(u ) = l(u ) = ½ l(u ) = l(u ) = ½ ¾µ¹ ÔÐ Ø ÙØ Ø ÐÐ Ø Ö Ú Ò Û ÔÐ Ø ÓÖ ÓÖ Ø Ü Ø Ò ÔÐ Ø ØÓ Ú ÔÖÓÔ Ö Ù Ð Ð ÓÖ Û ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ý Ä ÑÑ ½º¾ º ÓÖ ½ Ò ¾ l(u ) = ÓÖ ÙØ Ø Ò Û ÒÒÓØ ÓÑÔÐ Ø u Û Ø Ö Û Ø ÓÙØ Ù Ò ÔРغ ÓÖ ½¼ l(u ) = ÓÖ ÙØ Ø Ò Û ÒÒÓØ ÓÑÔÐ Ø u Û Ø Ö Û Ø ÓÙØ Ù Ò ÔРغ ÓÖ ¾¾ Ò ¾ Û ÒÒÓØ ÓÑÔÐ Ø u Û Ø Ö Û Ø ÓÙØ Ù Ò ÔÐ Ø Ò ÓÖ ¾¾ Ò ¾ Û ÒÒÓØ ÓÑÔÐ Ø u Û Ø Ö Û Ø ÓÙØ Ù Ò ÔРغ Ì ÐÐ Ú ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ì Ö ÓÖ Ø Ö Ù ÒØ Ò Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÓÒÐÝ Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ ÓÒ º Ï ÒÓÛ Ò ØÓ Û Ø ÔÔ Ò Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ º ÁØ ÛÓÖØ ÒÓØ Ò Ø Ø ØÝÔ ½ ÓÖ ØÝÔ ¾ Ö ÓÒ ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ ÔÓ Ð Ò ÓÙÖ Ò Ö ÓÒ ØÓ Û Û ÓÙÐ Ò ÙÖÚ ØÙÖ Û Ñ Ý Ô Ø ÓÒ Û ÑÓ Ø Ù ÙÐ ØÓ Ù º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ù Ö ÓÒ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø ÓÒ Ó ÓÙÖ ØÝÔ Ö ÓÒ Ò Û Ö Ð ÓÓ Ø Ó Ø Ø Ø ØÛÓ ÔÓ Ø Ú Ö ÓÒ Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ Ø Ñ Ø Ò Û Ú Ñ ÙÖ Ø Ø ÒÓ Ò Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ ÓØ Ø ØÛÓ Ö ÓÒ Ø Ø Ñ Ø Ñ º Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø ØÙ Ø ÓÒ ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º¾ º Type Type ÙÖ ¾º¾ ÓÖ Ø ØÝÔ ¾ Ö ÓÒ Û ÓÓ ØÓ Ò ÙÖÚ ØÙÖ ØÓ Ø Ð Ø Ó Ø Ö > Ú ÖØ Ü ¾

38 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ ÁÒ ½¾ Ó Ø Ø Ô Ò ÓÒÐÝ Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ Ø Ö Ø Ö Ö ÒÓ ÙÖØ Ö Ö ÓÒ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø Ë ¾ µ ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ Ø Ñ ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ Ø ÔÐ Ø Ò ÓÖ Ø ÓØ Ö Ö ÓÒ Ó ÒÓØ Ø Ù ØÓ Ú Ò Ö ÒØ Ð Ð º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ ½¾ ÓÖ ØÖ ÙØ ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ Ø (,)¹ Ò Ð Ð Ø Ú ÖØ Ü º ÀÓÛ Ú Ö ÙÖ ¾º½¾ ÓÛ Ø Ø Ø Ö ÓÒ ÖÓ Ø (,)¹ Ó ÛÓÙÐ Ò ØÓ Ú Ø Ð Ð Ø Ú ÖØ Ü Ò Ó Ø Ö ÓÒ ÒÒÓØ ½¾ º Ê ÓÒ ÒÓº ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ ÖÓ Ý ÈÖÓ Ð Ñ ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ ½¾ ½µ ÖÓ ÔÐ Ø ÙÖ ¾º½½µ ½¾ ½µ ÖÓ ÔÐ Ø ½¾ ¾ µ Ó ÒÓØ Ø ½ ¾ ½µ Ó ÒÓØ Ø ½¼ µ ÖÓ ÔÐ Ø ¾ ¼¼ ¼½ µ ÖÓ Ñ ½ ¾ ¾ µ ÖÓ ÔÐ Ø ¾ µ Ó ÒÓØ Ø ½ ½ ÆÓÒ ½ ÆÓÒ ¾¾ ¾ ½ µ ÖÓ Ñ ¾¾ ¼ ¾ µ ÖÓ Ñ ¾ ÆÓÒ ¾ ¾¾ ½ µ ÖÓ Ñ ¾ ¾ ½µ Ó ÒÓØ Ø ½¼ µ ÖÓ ÔÐ Ø ½ ¼¼ ¼½ µ ÖÓ Ñ ¾ ¼ ¾¾ µ ÖÓ Ñ Ä Ø Ù ÒÓÛ ÐÓÓ Ø Ø Ö Ñ Ò Ò Ö ÓÒ ¾¼ ½¼ Ò ½ º Á Û Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÓÒ ¾¼ Û Ò Ø ÓÑÔ Ø Ð Û Ø Ö ÓÒ ½ Ò Ð Ó Û Ø Ò º ÀÓÛ Ú Ö ¾¼ ½ Ò ÐÐ Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ µ Ó Ñ Ý ÒÓØ Ö Ú ÖÓÑ ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ Ó Ø Ö ÓÒ Ø Ø Ñ º Ì ÓÒÐÝ Ö Ñ Ò Ò ÔÓ Ð ØÝ ÓÖ ØÓ Ö Ú ÖÓÑ Û ÐÐ ¾¼ º Ì Ö ÓÒ Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ ¾ µ Ò ÓÖ d(u ) > Ò (,)¹ ÔРغ ¾

39 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ Æ ÜØ Ð Ø Ù ÓÒ Ö Ø Ö ÓÒ ½ º Ì Ö ÓÒ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø Ö ÓÒ ¾¼ Ò Ð Ó Û Ø Ò º ÓÚ ÓÒÐÝ Ö ÓÒ Ñ Ý Ò ÙÖÚ ØÙÖ ØÓ Û ÐÐ ½ ÐÐ ÓØ Ö ÖÓ Ø Ñ º Ò Û Ú d(u ) > Ò (,)¹ ÔРغ ÓÖ ÓØ ¾¼ Ò ½ Ø ÑÓ Ø π ÒØ Ò Ò ÒØÖÓ Ù Ò Û ÔÐ Ø Ò Ò Û Ö > Ú ÖØ Ü Ó c( ) c(,,,,,,) = π º Ë ÙÖ ¾º¾ º 67 ÙÖ ¾º¾ Ê Ú Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ Ö ÓÒ ¾¼ ÓÖ ½ ÐÓÒ Û Ø Ö ÓÒ Ä ØÐÝ ÓÒ Ö ½¼ Û ÓÑÔ Ø Ð Û Ø ½ Ò º ÓØ ½¼ Ò Ò ÙÖ¹ Ú ØÙÖ ÖÓ ¾ µº ËÓ Ñ Ý ÓÒÐÝ Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ ½ Û ÐÐ ½¼º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÛÓÙÐ ÑÔÐÝ (,)¹ ÔÐ Ø Û Ø ÔÖÓÔ Ö Ù Ð Ð Û ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ý Ä ÑÑ ½º¾ º Ì Ö ÓÖ ½¼ Ø ÓÒÐÝ Ö ÓÒ ÖÓÑ Û Ò Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ º Ï Ú ÓÖ Ø Ø Ø ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÓÑÔ Ò Ø ÓÖ Ý Ò Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ó Ä ÑÑ ½º½ ÓÐ ÓÖ Ø º ¾º ¾ ¾µ Ì Ø ÓÒ ÓÒ ÖÒ Û Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½º½ ÓÖ ¾µ Ò Ì ÓÖ Ñ ½º½¾º Ì Ñ Ø Ó Û ÐÐ Ú ÖÝ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ø Ó ËÙ Ø ÓÒ ¾º¾º¾ Ò Ó Ø Ù Ø ÓÒ Ñ Ý Ö ÖÖ ØÓ ÓÖ ÙÖØ Ö Ø Ðº ÍÒÐ ½µ Ø Ø ÓÖ Ñ ÓÒÐÝ ÓÐ Ò Ø ÙÒ Ö ÙÖØ Ö ÓÒ Ø ÓÒ Û ÓÑ ÓÙØ Ù ØÓ ÓÑ Ö ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ò ÙÒ Ð ØÓ Ù ÙÐÐÝ ÓÑÔ Ò Ø ÓÖº Ï ÐÐ Ò Ò Ø Ñ Û Ý ËÙ Ø ÓÒ ¾º¾º¾ Ò Ø ÒÓØ Ó Ø Ö ÓÒ Û Ð ØÓ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ö ÓÒº ¼

40 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ Ä Ø r(t) = t l t l t l t l t l º Ò Ù Ø ÓÒ ¾º¾º¾ Ø Ö Ø Ø Ò ØÓ Ó ØÓ ÛÓÖ ÓÙØ ÐÐ Ø Ö ÒØ ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò Ó Ö ÓÒ Ó ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ù Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó º Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÙÖ ¾º¾ ÓÛ ÐÐ ÔÓ Ð Û Ý Ò Û Ø ³ Ò Ñ Ø ÙÔº ÙÖ ¾º¾ ÐÐ ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò ¾ Ï Ò Ù ÓÑÔÙØ Ö ØÓ Ò ÐÐ ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò Ò Ø Ö ØÝÔ ÙÐÐ Ð Ø Ó Û Ò ÓÙÒ Ò ¾ º Ç ÖÚ Ø Ò ÙÖ ¾º º ÁÒ µ Ø Ö Ö ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò º ÁÒ µ Ø Ö Ö ¾ ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò º ÁÒ µ Ø Ö Ö ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò º ÁÒ Úµ Ø Ö Ö ¾ ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò º ÁÒ Úµ Ø Ö Ö ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò º ÁÒ Ú µ Ø Ö Ö ÔÓ Ð Ð ÐÐ Ò º ¾º º½ ¾ Ò Ò Ì Û Ý Ò Û Û Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÓÖ Ø ØÝÔ Ö ÓÒ ÓÐÐÓÛ º ½

41 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ Æ» Æ»»Ú ÖØ Ü ÒØ ÖÓ Ò (, ) Ë Ò c() (, ) Ë Ò c() (, ) Ë Ò c() ½¾ (, ) ½ (, ) ½ (, ) (, ) Ë Ò c() ¾¼ (, ) : Ï Ò Ö ÓÒ ÖÓ (, ) ÒÓØ ÔÓ Ø Ú º (, ) : ÇØ ÖÛ º (, ) : Ï Ò Ö ÓÒ ÖÓ (, ) ¾ ½¹Ú ÖØ Ü Æ» Æ» (, ) (, ) ÒÓØ ÔÓ Ø Ú º ÇØ ÖÛ º l( ) = x x {,, }º Ë Ò ØÓ Ö ¹ ÓÒ ÓÒØ Ò Ò xº (, ) Ï Ò Ø Ö ÓÒ ÔÐ Ø ÇÊ d( ) = ÇÊ Ö ÓÒ ÖÓ (, ) ÒÓ ÔÐ Ø Ò d(u ) > Ò Ø Ö ÓÒº (, ) Ï Ò Ö ÓÒ ÖÓ (, ) ¾¹Ú ÖØ Ü ½¼ (, ) ½¼ (, ) ½¼ (, ) ½¾ (, ) ½¾ (, ) ½¾ (, ) ½ ½ (, ) ÔÓ Ø Ú ÇÊ d( ) = Ö ¹ ÓÒ ÖÓ (, ) ÒÓ ÔÐ Ø Ò Ø Ö ÓÒ ÔРغ ÇØ ÖÛ º ½ (, ) Ï Ò Ø Ö ÓÒ ÔÐ Ø ÇÊ d( ) = ÇÊ Ö ÓÒ ÖÓ (, ) ÒÓ ÔÐ Ø Ò d(u ) > Ò Ø Ö ÓÒº (, ) Ï Ò Ö ÓÒ ÖÓ (, ) ¾¹Ú ÖØ Ü ÔÓ Ø Ú ÇÊ d( ) = Ö ¹ ÓÒ ÖÓ (, ) ÒÓ ÔÐ Ø Ò Ø Ö ÓÒ ÔРغ ÇØ ÖÛ º ½ (, )»Ú ÖØ Ü ÒØ ÖÓ Ò ½ (, ) : Ï Ò Ö ÓÒ ÖÓ (, ) ÒÓØ ÔÓ Ø Ú º ½ ¹Ú ÖØ Ü Æ» ½ (, ) ÇØ ÖÛ º l( ) = x x {,, }º Ë Ò ØÓ Ö ¹ ÓÒ ÓÒØ Ò Ò xº ½ (, ) : Ï Ò Ö ÓÒ ÖÓ (, ) ½ (, ) ¾½¾ Æ» ¾½ (, ) ÒÓØ ÔÓ Ø Ú º (, ) : ÇØ ÖÛ º ¾ ¾ (, ) : Ï Ò Ø Ö ÓÒ ¾ ÔÐ Ø ÇÊ d( ) = ÇÊ l( ) = Ò d(u ) > Ò Ø Ö ÓÒº (, ) : Ï Ò Ö ÓÒ ÖÓ (, ) ¹Ú ÖØ Ü Æ» ¾ ¼ (, ) Ó ÒÓØ ÔÐ Ø Ò l( ) = ÓÖ º ÇØ ÖÛ º ¾ (, ) : Ï Ò Ö ÓÒ ÖÓ (, ) ¾ (, ) ¾ (, ) ¾ (, ) : ÇØ ÖÛ º Æ» ¾ ¾ (, ) ¾ (, ) ÔÓ Ø Ú ÇÊ l( ) = º ¾ (, ) : Ï Ò Ö ÓÒ ÖÓ (, ) ½¾ ¾ (, ) : ÇØ ÖÛ º Æ» Æ» ¾ (, ) ÔÓ Ø Ú ÇÊ l( ) = º ½ (, ) : Ï Ò Ø Ö ÓÒ ÔÐ Ø ÇÊ d( ) = ÇÊ l( ) = Ò d(u ) > Ò Ø Ö ÓÒº (, ) : Ï Ò Ö ÓÒ ÖÓ (, ) ¹Ú ÖØ Ü Ó ÒÓØ ÔÐ Ø Ò l( ) = ÓÖ º ÇØ ÖÛ º ¾

42 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ Ì Û Ý Ò Û Û Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÓÖ ÖØ Ò ØÝÔ ½ Ò ¾ Ö ÓÒ ÓÐÐÓÛ º ÒØ ÒØ ÒØ ÒØ ÖÓ Ò ÖÓ Ò ÖÓ Ò ÖÓ Ò (, ) ¾ (,) ½ (,) ¾ (, ) ½½ (, ) ½¼ (,) ½ (,) ¼ (, ) ¾ (, ) ½¾¾ (, ) ¾¼ (,) (, ) (, ) ½¾ (,) ¾½ (,) ½ (, ) ¾ (, ) ½ ¼ (, ) ¾½ (,) ¾ (, ) (, ) ½ (,) ¾¾¼ (, ) ¾ (, ) ¼ (, ) ½ (,) ¾¾ (,) ¾ (, ) ½ (, ) ½ (,) ¾ (,) ¾ ¼ (, ) ¾ (, ) ½ (,) ¼ (,) ¾ (, ) (, ) ½ ½ (,) ½ (,) ¾ (, ) (, ) ½ (,) ½ (,) ¾ (, ) Ì Ö Ñ Ò Ò ØÝÔ ½ Ò ¾ Ö ÓÒ Ö ÐØ Û Ø Ò Ø Ñ Û Ý Ò ËÙ Ø ÓÒ ¾º¾º¾ Ï Ð Ñ Ø Ø ÙÒ Ö Ø Ö Ò Ò Ä ÑÑ ½º½ ÓÐ º ¾º º¾ ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½º½ ÓÖ ¾ Ï ÒÓÛ Ú ØÓ Ø ØÙ Ø ÓÒ Ó ÙÖ ¾º ¾µº Ì Ö Ö ØÛÓ ØÝÔ ½ Ö ÓÒ Ò 6 ÙØ Ø Ò Ó ÖÚ Ò ¾ Ø Ø Ø Ö ÓÒ Ö ÒÓØ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø ÒÝ ÓØ Ö Ö ÓÒº Ì Ö ÓÖ Ø ØÙ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÓÙÖ Ò ÒÝ Ö ÓÒ Ö Ú Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ½ Ò ¾ ÓÒÐÝ Ø Ý Ä ÑÑ ½º½ º Ï ÒÓÛ ÑÓÚ ÓÒ ØÓ Ø Ö ÓÒ Ó ØÝÔ º Ì Ö Ö Ö ÓÒ Ó ØÝÔ ¼ Û Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ø ÑÓ Ø π 6 Ö ÓÒ Ú ÓÒ Ú ÖØ Ü Ó Ö > µ Ò Û Ø ÙÖÚ ØÙÖ π Ö ÓÒ Ú ÐÐ Ú ÖØ Ó Ö µº ÓÖ Û Ò Ö ÛÖ Ø r(t) = t l t l t l t l t l ØÓ Ó Ø Ò ÝÑÑ ØÖÝ Û Ò Ø ÖÓÑ (l,l,l,l,l ) ØÓ (l,l,l,l,l )º ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ð ÓÛ Ò ÐÐ ØÝÔ Ö ÓÒ Ò Ø Ö Ô Ö Ò Û Ø Ø ÝÑÑ ØÖݺ ÓÖ Ø Ó Û Û ÐÐ ÐÐÓ Ø ÙÖÚ ØÙÖ ØÓ Ö Ð Ø º

43 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ l( ) l( ) l( ) l( ) l( ) ω 66 ω 6 ω ω 9 ω 7 ω ω 9 ω ω ω 0 ω 06 ω 89 ω 08 ω 7 ω 8 ω 97 ω ω 99 ω 6 ω ω 7 ω 7 ω 6 ω 0 ω 67 ω ω ω 99 ω ω 6 ω 9 ω

44 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ 7 ω 9 ω 8 ω 7 ω 0 ω 9 ω 9 ω ω Ì Ö Ö ØÛ ÒØݹØÛÓ Ô Ö Ó ÝÑÑ ØÖ Ò Û Ö ÓÒÐÝ Ö ÕÙ Ö ØÓ ØÖ ÙØ ÙÖÚ ¹ ØÙÖ ØÓ ÓÒ Ó Ó Ø Ô Ö Ó Ø Ö Ö ØÛ ÒØݹØÛÓ Ö ÓÒ ÓÖ Û Û Ò ØÓ ÒÓÛ ÓÛ ØÓ ØÖ ÙØ ÝÑÑ ØÖݺ Æ Ò Ó Ø Ö ÓÒ Ò ÐØ Û Ø Ò Ø Ñ Û Ý Ø Ó Ò ËÙ Ø ÓÒ ¾º¾º¾ Ó Û ÐÐ Ð Û Ø Ø Ö Øº Ì ÙÖ ÓÛ Ò Ø Û Ý ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ Ò ÒØ Ò Ó Ø Ö ÓÐÐÓÛ º π 6 π 6 A B ÙÖ ¾º¾ ÒÓº π 6 ÙÖ ¾º ¼ ÒÓº ½¾ π 6 ÙÖ ¾º ½ ÒÓº ½ π 6 ÙÖ ¾º ¾ ÒÓº ½ π 6 ÙÖ ¾º ÒÓº ½¼ π 6 ÙÖ ¾º ÒÓº ½ ½

45 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ A π 6 π 6 π 6 B C π 6 π 6 ÙÖ ¾º ÒÓº ½ ÙÖ ¾º ÒÓº ½ ÙÖ ¾º ÒÓº ¾ ÓÖ Ö ÓÒ Ô ÖØ ÖÓÑ Ò ½ Û ÙÑ Ý Û Ý Ó ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ ÙÖØ Ö ÔÐ Ø Ò ÒÓ Ú ÖØ Ó Ö > Ò º Ï Ó Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ½¾ l(u ) = l(u ) = ½µ¹ ÔÐ Ø ÓÒØÖ Ø ÓÒ ½ l(u ) = l(u ) = ¾ µ¹ ÔÐ Ø ÓÒØÖ Ø ÓÒ ½ ÒÒÓØ ÓÑÔÐ Ø u ½¼ l(u ) = ¾ µ¹ ÔÐ Ø ÓÒØÖ Ø ÓÒ ½ ½ l(u ) = ½ ¾µ¹ ÔÐ Ø ÓÒØÖ Ø ÓÒ ½ l(u ) = l(u ) = ½µ¹ ÔÐ Ø ÓÒØÖ Ø ÓÒ ¾ ÒÒÓØ ÓÑÔÐ Ø u Ì Ö ÓÖ ÙÖØ Ö ÔÐ Ø ÓÖ ÙÖØ Ö Ú ÖØ Ü Ó Ö > Ó c( ) c(,,,,,) = π 6 Ò c() π 6 º Ô ÓÖ Ø Ú Ò Ö ÓÒ Ò Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ ÓÒ Ö ÓÒ ÓÒÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ð ÓÛ Ê ÓÒ ÒÓº ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ ÖÓ ÈÖÓ Ð Ñ Û Ø Ö ÓÒ ½¾ ½ ¼ µ ÖÓ Ñ ½ ÆÓÒ ½ ÆÓÒ ½¼ µ ÖÓ Ñ ½ ½ ½ µ ÖÓ Ñ ½ ½¾ ¼ µ ÖÓ Ñ ¾ ½ ½ ¼ ¾ µ ÖÓ ÔÐ Ø

46 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ Ï ÒÓÛ ÐÓÓ Ø Ò ½ Û Ö ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ø Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ö ÓÒ º Æ Ø Ö A ÒÓÖ B Ò ÓÑÔÐ Ø Û Ø ÒÓ ÙÖØ Ö ÔÐ Ø ÓÖ Ö > Ú ÖØ ½ Ó c(a),c(b) c(,,,,,) = π 6 Ò Û Ò Ò c() π 6 A Ò Bº ØÓ Ó Á A ÔÓ Ø Ú º Ì Ò A ÑÙ Ø ½ Ò Ó l A (u ) = Û Ù (,)¹ ÔÐ Ø Ò Bº ËÓ c(b) c(,,,,,) = π Ò Ò c() = π ØÓ Bº ÁÁ A ÒÓØ ÔÓ Ø Ú º ËÓ A ÑÙ Ø Ú ÔÐ Ø ÓÖ ÒÓØ Ö Ú ÖØ Ü Ó Ö > º Á Ø ÔÐ Ø Ø Ò c(a) c(,,,,,) = π 6 Ó Ò c() π 6 ØÓ Aº ÙÑ A ÒÓ ÔÐ Ø Ò Ø Ð Ø ÓÒ ÓØ Ö Ú ÖØ Ü Ó Ö > º Á d A (u ) = Ø Ò Ò c() = π ØÓ A Ò Ó ÖÚ Ø Ø c(a) c(,,,,) = π 0 º Ä Ø d A(u ) = º Á Ø Ö ÔÐ Ø Ò B c(b) c(,,,,,) = π 6 Ó Ò c() π 6 ØÓ Bº ÇØ ÖÛ Ø Ö ÒÓ ÔÐ Ø Ò B l A(u ) = º Á d A (u ) = l A (u ) {,} ÓØ Ó Û ÔÐ Ø ÐÓÒ (,) Ò C Ó Ò c() π 6 ØÓ C c(c) c(,,,,,) = π 6 º Á d A(u ) > Ø Ö d A (u ) > ÓÖ l A (u ) = Ò u ÒÒÓØ ÓÑÔÐ Ø Û Ø Ö Ó c(a) c(,,,,) = π 6 Ò Ò c() π 6 ØÓ Aº Ì Ö ÓÒ ÒÓØ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø ÒÝ ÓØ Ö Ö ÓÒ Ò Ó Ø ÓÒÐÝ ÔÓ Ð ØÝ Ó ÓÑ Ö Ú Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ Ò ÖÓÑ ÓÑ Û Ö Ð Ð Ó Ø Ö Ú ÖÓÑ ÓÒ Ö ÓÒº Ì ÔÓ Ð Ò Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ò ÒØ Ò ÖÓÑ ÖÓ ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ò (,)¹ ÔÐ Ø Ò (,)¹ ÔÐ Ø Ò Ò Ø Ö ÓÖ ÓÑÔ Ò Ø ÓÖ Ø ØÓØ Ð π π ÙÖÚ ØÙÖ Ò ÒØ Ò 6 ÖÓÑ Ó Ø ØÛÓ Ö ÓÒ º Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ ØÛÓ Ö ÒØ ÓÒÐÝ Ò Ö Ú ÒÓ ÑÓÖ Ø Ò ØÛÓ ÐÓØ Ó ÙÖÚ ØÙÖ º Ï ÒÓÛ ÐÓÓ Ø ½ Ù Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ 6A ØÓ Ñ Ò ½ Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÒØ ÒØÓ Aº Ì Ö ÓÒ ½ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø Ö ÓÒ ½ Ò ¾¼ Ò Û ØÖ Ø Ò Ò ÙÖ ¾º Ò ØÙÖÒº 6A ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ Û Ó ÒÓØ Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ Ø Ñ Ö ÓÐÐÓÛ 6B ÓÒ Ö ÓÒ 6 Ò Ò ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓ Ø (,)¹ Ø Ø Ñ µ 6C ½ ¾¼ º Ì Ö ÓÒ ½ Ò ¾¼ Ó ÒÓØ Ø Ó Û Ö Ð Ø Û Ø 6B Ò 6Cº ÙÑ ØÛÓ ÐÓØ Ö ÒØ Ò ÖÓÑ Ö ÓÒ 6B ÓÖ 6C Û ÐÐ ÖÓÑ Ö ÓÒ 6Aº Ì Ò Ø ÑÓ Ø π ÒØ Ò Ò Û Ø ÔÐ Ø Ò d(u ) > Ó c( ) c(,,,,,) = π º Ï ÒÒÓØ Ú Ø Ö ÐÓØ ÒØ Ò 6A 6B Ò 6C Ó ÒÓØ ÐÐ Ø ØÓ Ø Öº

47 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ 6B Ì Ö ÓÒ ÑÙ Ø ÓÒØ Ò ÔРغ ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ Û Ó ÒÓØ ÖÓ Ø Ñ Ô ÖØ ÖÓÑ 6A Û ÐÖ Ý Ò ÐØ Û Ø µ Ö ÓÐÐÓÛ 6C ¾¼ º Ê ÓÒ 6C Ó ÒÓØ Øº ÙÑ ØÛÓ ÐÓØ Ö ÒØ Ò ÖÓÑ Ö ÓÒ ÓÖ ¾¼ Û ÐÐ ÖÓÑ Ö ÓÒ 6B Ó Ø ÑÓ Ø π ÒØ Òº Ì Ö ÓÒ Ú ÒÓØ Ö Ú ÖØ Ü Ó Ö > Ó c( ) c(,,,,,) = π º Ï ÒÒÓØ Ú Ø Ö ÐÓØ ÒØ Ò Ò ¾¼ ÖÓ Ø Ñ º 6C ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ Û Ó ÒÓØ ÖÓ Ø Ñ Ô ÖØ ÖÓÑ 6A Ò 6Bµ Ö ÓÐÐÓÛ ½ ¾¼ º ÀÓÛ Ú Ö ÒÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ò Ø ÓÑÔÐ Ø Ø ÓÖ Ö ÓÒ ½ º Ä ÑÑ ½º½ Ø Ö ÓÖ ÓÐ ÓÖ Ø Ò Ò º Ì Ö Ñ Ò Ò Ø Ò Ö ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ò Ò ØÓ ÐÓÓ Ø Ò Ø Ö ÖÓÙÔ ÔÐ Ø Ô Ò Ò ÓÒ Û ÓØ Ö Ö ÓÒ Ø Ý Ö ÓÑÔ Ø Ð Û Ø º Ì Ö Ø Ó Ø ÖÓÙÔ ÓÒØ Ò Ø ØÝÔ Ö ÓÒ Ò Û Ö Ð ØÓ Ù ÙÐÐÝ ØÖ ÙØ ÔÓ Ø Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÓÖ Ó Ø Ö ÓÒ º ÖÓÙÔ Á Ì Ö Ø ÖÓÙÔ ÓÒØ Ò Ø Ö ÓÒ ¾ ¾ ½¼ ½¾ ½ ¾ ¾ Ò ¾ ¾º Ø Ð ÔÐ Ý Ò Ø Ö ÓÒ Û Ñ Ý ÓÙÖ Û Ø Ó Ø Ø Ö ÓÒ Ò Ø ÖÓÙÔ ÓÐÐÓÛ º Ì ØÝÔ Ö ÓÒ Ú Ò Ð Ø º ¾ ¾ ¾ ¾ 06 ½¾¾ 7 ½ ½ ½ 67 ¾½ ¾¾¼ 6 9 ½ ½ ½¼ 06 ½ 67 ¾½ ¾ 9 ½ ½ ¾ ½¼ ½ 67 ¾½ 9 ½ ½ ½¾ ½ 06 ½ ¾½ 9 ½ ½ ¾ 06 ½ 67 ¾½ 9 ½ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ½¼ 06 ½ 67 ¾½ ¾ ½ ½ ¾ Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÙÖ ÓÛ Ø Û Ý Ò Û ÙÖÚ ØÙÖ ØÖ ÙØ ÓÖ Ó Ø Ö ÓÒ º

48 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ π 6 π C ÙÖ ¾º ÒÓº π 6 ÙÖ ¾º ÒÓº ½¼ π 6 ÙÖ ¾º ¼ ÒÓº ½¾ π 6 ÙÖ ¾º ½ ÒÓº ½ π 6 π 6 π 6 A B C ÙÖ ¾º ¾ ÒÓº ¾ ¾ π 6 π 6 A B ÙÖ ¾º ÒÓº ¾ π 6 ÙÖ ¾º ÒÓº ¾ π 6 ÙÖ ¾º ÒÓº ¾ ¾ Æ ÜØ Û ÓÙØÐ Ò Ø Ü Ø Ñ ÒÒ Ö Ò Û ÙÖÚ ØÙÖ Û ÐÐ ÒØ Ò Ú Ò ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ Ó ÓÛ Ø ÙÖÚ ØÙÖ ÓÑÔ Ò Ø ÓÖ ÙÑ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ ÐÓØ Ö Ú º

49 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ ½¼ ½ Á ÔÓ Ø Ú º Ì Ò Ø ÑÙ Ø ½ Ø Ø ÓÒÐÝ Ö ÓÒ Ø Ø ÛÓÙРغ Ì Ò l( ) = x Û Ö x {,, }º Á x = Ø Ò Û Ø (,)¹ ÔÐ Ø Ò Cº Á x = Ø Ò Û Ø (,) Ò (,)¹ ÔÐ Ø Ò Cº Á x = Ø Ò Û Ø (,)¹ ÔÐ Ø Ò Cº ËÓ Ò Ø π ÖÓÑ ÓØ Ò ½ ÒØÓ C Ó c(c) c(,,,,,) = π π Ò ÒØ Òº ÌÖ Ø Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ò ÖÓÑ Ò ½ ØÓ Ø Ö ÓÒ C Ò ÙÖ ¾º ÓÒ Ò Ò Ó π ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Ø Ò Ò Ô Ò ÓÒ ÓÒ ÒÓØ Öº Ê Ö ØÓ Ø Ò Ò Cº ÁÁ ÒÓØ ÔÓ Ø Ú º ÙÑ d( ) = Ó c() = π º ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ø Ö ÑÙ Ø Ø Ð Ø ÓÒ ÔÐ Ø ÓÖ ÙÖØ Ö Ú ÖØ Ü Ó Ö > Ò Û ÑÔÐ c( ) c(,,,,) = 0 π Ó Û Ö ÓÒ º ÙÑ d( ) = Ó l( ) = Ù Ò (,)¹ ÔРغ Ì Ò c() = π 6 Ò c( ) c(,,,,,) = π 6 º ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ó Û Ø Ö ÓÒ d( ) = Û Ö ÓÒ º Á d( ) = Ø Ò l( ) = ÓÖ ÓØ Ó Û Ù ÔÐ Ø Ó c( ) c(,,,,,) = π 6 º Ï ÙÑ ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ø Û Ò Ø ÔÓ Ø Ú ÐØ Û Ø Ò Ó d( ) = Û Ö ÓÒ º Á d( ) = Ø Ò l( ) = ÓÖ ÓØ Ó Û Ù ÔÐ Ø Ó Û Ö ÓÒ c( ) π 6 ÓÒ Òº ¾ ¾ A ÒÓØ ÔÓ Ø Ú ÓØ ÖÛ Ø ÛÓÙÐ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÓÒ ½¾¾ = l( ) = ω ½¾ = l( ) = ω ½ = l( ) = ω ÒÓÒ Ó Û ÓÑÔÐ Ø Û Ø Ö ÓÖ º Á Ø Ö ÔÐ Ø Ò A Ò ØÓ A c(,,,,,) = π 6 º ÆÓÛ ÙÑ Ø Ö Ö ÒÓ ÔÐ Ø Ò Aº Ì Ö Ñ Ò Ò Ú ÖØ Ò A ÒÒÓØ ÓÑÔÐ Ø Û Ø Ö ÓÖ ÛÓÙÐ Ú Ö > µ Ó Ø Ö ÙÖØ Ö Ú ÖØ Ü Ó Ö > Ò Aº Á d( ) = c(a) c(,,,,) = π 0 Ó Ò ØÓ Aº Á d( ) = Ø Ò l( ) =, ÓÖ º Á l( ) = ÓÖ B ÔÐ Ø ÐÓÒ Ø (,)¹ Ó Ò ØÓ Bº ÙÑ l( ) = º Ø Ö d A (u ) ÓÖ l A (u ) = Ò d A (u ) º Á d A (u ) c(a) c(,,,,) = π 6 Ó Ò ØÓ Aº Á d A (u ) =, l A (u ) = Û ÔÐ Ø (,) Ò C Ó Ò ØÓ Cº ½¾ ÒÓØ Ö ÔÐ Ø ÓÖ Ú ÖØ Ü Ó Ö > Ò ÒÓÙ Ø Ò c( ) c(,,,,,) = π 6 Ó ÒÓÛ ÙÑ ÓØ ÖÛ º ÙØ Ø Ò u ÒÒÓØ Óѹ ¾ ÔÐ Ø Û Ø Ö ¹ ÓÒØÖ Ø ÓÒº Á B ÔÓ Ø Ú Ò Û B ÑÙ Ø ¾½ ÒÒÓØ ½ ÓÖ ÒÒÓØ ÓÑÔÐ Ø Û Ø Ö < 6µ Ò l( ) = º A ÒÒÓØ ÓÑÔÐ Ø Û Ø d A (u ) = d A (u ) = d A (u ) = Ó c(a) c(,,,,) = π 0 Ò c() = π Ó Ò ÒØÓ Aº ÁÁ B ÒÓØ ÔÓ Ø Ú º Ì Ò d( ) = Ò ØÓ Bº Á d( ) = Ø Ò l( ) =, ÓÖ º Ì Ö Ø ØÛÓ Ù (,)¹ ÔÐ Ø Ò B Û Ñ Ò c(b) c(,,,,,) = π 6 Ò Ó Ò ØÓ Bº Ì Ð Ø Ù (,)¹ ÔÐ Ø Ò A Ó Ò ØÓ Aº ¼

50 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ ¾ ¾ ¾ ÒÓØ Ö ÔÐ Ø ÓÖ Ú ÖØ Ü Ó Ö > Ò ÒÓÙ Ó ÙÑ ÓØ ÖÛ º ÙØ Ø Ò Ø Ü Ø Ò ÔÐ Ø ÔÖÓÔ Ö Ù Ð Ð Û ÓÒØÖ Ø ÓÒº ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ó ÓÖ d( ) = Û Ö ÓÒ º Á d( ) = Ø Ò l( ) = Û Ù ÔÐ Ø Ò Ò Û Ö ÓÒ º Ä Ø Ù ÒÓÛ Ø Ø ÙÖÚ ØÙÖ Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÓÖ Û Ò ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ ÐÓØ ÒØ Ò ØÓ Ø Ñ Ö ÓÒº Ï Û ÐÐ ÐÓÓ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Û ÙÖÚ ØÙÖ Ò ÒØ ÒØÓ Ò ÒÝ ÙÖØ Ö Ò ÒØ Òº A ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ Û Ó ÒÓØ ÖÓ Ø Ñ Ö ÓÐÐÓÛ ¾ C ¾ ½¼ ½¾¾ ½¾ ½ ½ ½ ¾½ ¾¾¼ B C A B ¾ ½ ½ º ÙÑ ØÛÓ ÐÓØ Ö ÒØ Ò Ê ÓÒ ¾ ¾ ½¼ ½¾¾ ½¾ ½ ½ ½ ¾½ ¾¾¼ C B ½ ½ C ½ ¾ B A ÇÙØÓÑ Ó ÒÓØ Øº ÒÒÓØ ÒØ ÖÓ Ø ½ Ú ÖØ Ü d(u ) = Ò ÒÒÓØ ÒØ ÖÓ Ø Ú ÖØ Ü l(u ) = ÛÓÙÐ Ú (,)¹ ÔÐ Ø Û Ø ÔÖÓÔ Ö Ù Ð Ð ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ý Ä ÑÑ ½º¾ º Ò ÓÒÐÝ ÖÓ Ø Ú ÖØ Ü Û Ö Ú Ò (,)¹ ÔРغ π 6 + π = 9π 0 ÒØ Òº Á d(u ) = ÔÐ Ø ¾ µ Ó c( ) c(,,,,,) = π 0 º ÓÖ (,)¹ ÔÐ Ø Û Ø ÔÖÓÔ Ö Ù Ð Ð ¹ ÓÒ¹ ØÖ Ø ÓÒº Ø ÑÓ Ø π ÒØ Òº d(u ) (,)¹ ÔÐ Ø Ó c( ) c(,,,,,) = π º Á Ò A l A (u ) = Ò ÒÒÓØ ÓÑÔÐ Ø l A (u ) = l( ) Û Ø Ö < 6 ¹ ÓÒØÖ Ø ÓÒº ÁÁ Ò A Ø ÑÓ Ø π ÒØ Òº d(u ) (,)¹ ÔÐ Ø c( ) c(,,,,,) = π º Ï ÒÒÓØ Ú Ø Ö ÐÓØ ÒØ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ö ÓÒ Ó ÒÓØ Ø ØÓ Ø Öº B ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ Û Ó ÒÓØ ÖÓ Ø Ñ Ö ÓÐÐÓÛ ¾ C ¾ ½

51 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ ½¼ ½¾¾ ½¾ ½ ½ ½ ¾½ ¾¾¼ C A B ¾ ¾ ½ ½ º ÙÑ ØÛÓ ÐÓØ Ö ÒØ Ò Ò ÒÓØ Ø Ø d(u ) > Ò (,) ÔÐ Ø Ê ÓÒ ¾ C ¾ ½¾¾ ½ ½ ¾½ ¾¾¼ A ½ B ÇÙØÓÑ Ó ÒÓØ Øº Ø ÑÓ Ø π ÒØ Òº Ê ÓÒ Ú d(u ) Ó c( ) c(,,,,,) = π º 06 d(u ) º Á d(u ) = Ø ÑÓ Ø 7π 0 ÒØ Ò Ò c( ) c(,,,,,) = π 0 º Á d(u ) = Ø ÑÓ Ø π ÒØ Ò (,)¹ ÔÐ Ø Ó c( ) c(,,,,,,) = π º 7 Ø ÑÓ Ø π ÒØ Òº Ø Ö ÒÓØ Ö ÔÐ Ø ÓÖ d(u ) > Ó c( ) c(,,,,,) = π º Ø ÑÓ Ø π ÒØ Òº Ê ÓÒ ÔÐ Ø (,) Ò d(u ) ¾ ¾ C ½ Ó c( ) c(,,,,,,) = π º Ø ÑÓ Ø π ÒØ Òº Ê ÓÒ Ú d(u ) Ó c( ) c(,,,,,) = π º Ø ÑÓ Ø π ÒØ Òº Ê ÓÒ Ú d(u ) Ó c( ) c(,,,,,) = π º ÙÑ Ø Ö ÐÓØ Ö ÒØ Ò Ì Ò Ø ÑÙ Ø B Û Ø ØÛÓ ÖÓÑ Ø ÔÓ Ð Ö ÓÒ º ÖÓ Ò (,) B ½¾ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø ¾ ¾ ÓÒÐݵ ½ º ÖÓ Ò (,) ½¼ º ÖÓ Ò (,) ½ Ú (,)¹ ÔРص ¾ ¾º ÖÓ Ò Ú ÖØ Ü ½ C Ú (,)¹ ÔРصº ËÓ Ø Ö ÒÓ Ö ÓÒ Ò Ò ÖÓ (,) ÓÑÔ Ø Ð Û Ø ½ ÓÖ C Ò Ó ÔÓ ¹ Ð Ô Ö Ö {,06} {,9} {06,B} {B,9} {06,6} {9,6} {06, } {06, 9} {06, C} {, C} {C, 9}º Ê ÓÒ {06, B} {B, 9} {9, 6} {06, } {06, 9} {06, C} {, C} {C, 9} ÇÙØÓÑ Ó ÒÓØ Øº ¾

52 ÔØ Ö ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Áµ ½¹ {,9} {,06} Ø ÑÓ Ø π ÒØ Òº Ê ÓÒ Ú d(u ) Ò d(u ) Ó c( ) c(,,,,,) = π º {06,6} Ø ÑÓ Ø π ÒØ Òº Ê ÓÒ Ú d(u ) Ò d(u ) Ó c( ) c(,,,,,) = π º Á ÓÙÖ ÐÓØ Û Ö ÒØ Ò Ø ÛÓÙÐ ÖÓÑ B Ò Ø Ö ÖÓÑ ½¼ ¾ ¾ ½ º ÙØ Ò ½ ÖÓ Ø Ñ Ò ½¼ Ò ¾ ¾ Ó ÒÓØ Ø ØÓ Ø Ö Ó ÓÙÖ ÐÓØ ÒÒÓØ ÒØ ÒØÓ º C ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ Û Ó ÒÓØ ÖÓ Ø Ñ Ö ÓÐÐÓÛ ¾ C ¾ ½¼ ½¾¾ ½¾ ½ ½ ½ ½ ¾½ ¾¾¼ A B ¾ ¾ ¾ ½ ½ º ÙÑ ØÛÓ ÐÓØ Ö ÒØ Ò Ò ÒÓØ Ø Ø d(u ) > Ò (,)¹ ÔÐ Ø Ê ÓÒ ¾ ¾ ½¼ ½¾¾ ½¾ ½ ½ ½ ½ ¾½ ¾¾¼ B ¾ ¾ ¾ ½ ½ C A ÇÙØÓÑ Ó ÒÓØ Øº Ò ÓÒÐÝ ÖÓ Ø Ú ÖØ Ü Û Ö º C Ú (,)¹ ÔÐ Ø Ò C Ú (,)¹ ÔРغ ËÓ 9π 0 ÒØ Ò Ò c( ) c(,,,,,,) = π 0 º ÓÖ (,)¹ ÔÐ Ø Û Ø ÔÖÓÔ Ö Ù Ð Ð Û ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ð ÖÐÝ Û ÒÒÓØ Ú Ø Ö ÐÓØ ÒØ Ò C Ø ÓÒÐÝ Ö ÓÒ Ø Ø Ò Ò ÒØÓ Û ÐÐ Cº 7 Ï Ú ÓÑÔÐ Ø 7 ÐÖ Ý Ø ÓÒÐÝ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø º Ï Ó ÒÓØ Ú ØÓ ÓÒ Ö Ò Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ö ÓÒ Ó Ø ÖÓÙÔ ÓÖ Û Û ÐÐ Ö Ô Ø Ò ÓÙÖ ÐÚ º 6 Ì ÓÒÐÝ ÓÑÔ Ø Ð Ö ÓÒ Ô ÖØ ÖÓÑ ¾ ¾µ ½ º Ì ÖÓ Ø (,)¹ Ò Ò Ó ÒÓØ Ø Ó Ñ Ý ÒÓØ Ö Ú ÙÖÚ ØÙÖ ÖÓÑ ½ Ð Óº