a b c d e f g h b a d c f e h g c d a b g h e f d c b a h g f e f e g h a b c d e f h g b a d c h g e f c d a b g h f e d c b a

Size: px
Start display at page:

Download "a b c d e f g h b a d c f e h g c d a b g h e f d c b a h g f e f e g h a b c d e f h g b a d c h g e f c d a b g h f e d c b a"

Transcription

1 ÉÙ ÖÓÙÔ Ò Ê Ð Ø ËÝ Ø Ñ ½ ¾¼¼ xx yyµ ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö Á Ò Åº Ï ÒÐ ØÖ Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Ò n n ÖÖ Ý Ó n ÝÑ ÓÐ Ò Û ÝÑ ÓÐ ÓÙÖ Ü ØÐÝ ÓÒ Ò ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒº ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ù ÕÙ Ö Ø Ó n ÒØÖ Ù Ø Ø ÒÓ ØÛÓ ÒØÖ Ö Ø Ñ ÖÓÛ ÓÐÙÑÒ ÓÖ ÝÑ Óк ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ö ÐÓ ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ò ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ Ò ÕÙ µ ÖÓÙÔ Ò Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØÓ Ø ÓÒ ÔØ Ó ÑÙØÙ ÐÐÝ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö º À Ö Û ÔÖÓÚ Ö ÙÖÚ Ý Ó Ø Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÒ ØÖ Ò Ú Ö Ð º Ï ÓÚ Ö ½µ Ü Ø Ò Ò ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ö ÙÐØ ¾µ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÒÐÙ Ò Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÔÐ Ü µ Ø Ô Ð Û Ò Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÖÓÙÔ Ø Ð µ ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø ÓÚ Ö Ò Ö Ó Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ º Ì ÙÖÚ Ý ÒÐÙ ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ ØÙÖ Ò ÓÔ Ò ÔÖÓ Ð Ñ º ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Ò n n ÖÖ Ý Ó n ÝÑ ÓÐ Ò Û ÝÑ ÓÐ ÓÙÖ Ü ØÐÝ ÓÒ Ò ÖÓÛ Ò Ò ÓÐÙÑÒº Ý ÓÒ Ð Ó Ù ÕÙ Ö Û Ñ Ò Ø Ó ÒØÖ Û ÓÒØ Ò Ü ØÐÝ ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú Ó ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒº ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÒ Ð Ò Û ÒÓ ÝÑ ÓÐ Ö Ô Ø º À ØÓÖ ÐÐÝ ÒØ Ö Ø Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð ÖÓ ÖÓÑ Ø ØÙ Ý Ó ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö º Ô Ö Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö A = [a ij ] Ò B = [b ij ] Ó ÓÖ Ö n Ö ØÓ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø Ø n 2 ÓÖ Ö Ô Ö (a ij,b ij ) Ö Ø Òغ ÁØ ÑÔÐ ØÓ Ø Ø Û ÐÓÓ Ø ÐÐ n ÓÙÖÖ Ò Ó Ú Ò ÝÑ ÓÐ Ò B Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ò A ÑÙ Ø ÓÖÑ ØÖ Ò Ú Ö Ðº ÁÒ Ì ÓÖ Ñ ½º Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø Ø ÓÑÔÓ ¹ Ø ÓÒ ÒØÓ Ó ÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð º ¾¼¼¼ Å Ø Ñ Ø ËÙ Ø Ð Ø ÓÒ ¼ ½ ¾¼Æ¼ à ÝÛÓÖ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ä Ø Ò ÕÙ Ö ÔÐ Ü Ò¹ÕÙ Ò ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö ÝÐ Ý Ø Ð ÕÙ ÖÓÙÔ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÚ Ö Ò Ö Ù

2 ¾ Áº ź Ï ÒÐ ÓÖ Ü ÑÔÐ ÐÓÛ Ø Ö Ö ØÛÓ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö º ËÙ Ö ÔØ Ð ØØ Ö Ö Ù ØÓ Ñ Ö Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÔÓ Ø ÓÒ Ó ÝÑ ÓÐ Ò Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø Ø Ö Ø Ò ÕÙ Ö µº 1 a 2 b 3 c 4 d 5 e 6 f 7 g 8 h 7 b 8 a 5 d 6 c 2 f 4 e 1 h 3 g 2 c 1 d 6 a 3 b 4 g 5 h 8 e 7 f 8 d 7 c 4 b 5 a 6 h 2 g 3 f 1 e 4 f 3 e 1 g 2 h 7 a 8 b 5 c 6 d 6 e 5 f 7 h 8 g 1 b 3 a 2 d 4 c 3 h 6 g 2 e 1 f 8 c 7 d 4 a 5 b 5 g 4 h 8 f 7 e 3 d 1 c 6 b 2 a a b c d e f g h b a d c f e h g c d a b g h e f d c b a h g f e f e g h a b c d e f h g b a d c h g e f c d a b g h f e d c b a ÅÓÖ Ò Ö ÐÐÝ Ø Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÑÙØÙ ÐÐÝ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÅÇÄ˵ Ø Ø Ø Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò Û Ô Ö ÓÖ¹ Ø Ó ÓÒ Ð Ò Ø ÓÚ Ò º Ì Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÒ ÅÇÄË Ú Ø Ø ÖØ Û Ø ½ ½ µ Ò ÔÖÓÚ ÑÔÐ Ù Ø Ø ÓÒ ÓÖ Ò ÒØ Ö Ø Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð º ËÙ ÕÙ ÒØ ÒÚ Ø Ø ÓÒ Ú Ö Ò Ö ÝÓÒ Ø Ò Ø Ð Ù Ø Ø ÓÒ Ó Ì ÓÖ Ñ 1 Ò Ú ÔÖÓÚ Ø Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ö ÒØ Ö Ø Ò Ó Ø Ò Ø Ö ÓÛÒ Ö Øº Ô Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÕÙ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ñ Ò ÙÒÖ ÓÐÚ Û ÐÐ ÓÑ Ó Ú ÓÙ Ò Ø Ù ÕÙ ÒØ Ô º ÇÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ü Ø ÓÖ ÐÐ ÓÖ Ö n {2,6}º ÓÖ n = 6 Ø Ö ÒÓ Ô Ö Ó ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÕÙ Ö ÙØ Û Ò Ø ÐÓ º ÒÒ Ý ¾ Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ü ÑÔÐ Û ÓÒØ Ò Ó ÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ø Ý Ø Ù Ö ÔØ a,b,c Ò dº 1 a 2 3 b 4 c 5 6 d 2 c 1 d 6 5 b 4 a b 1 2 d 6 c 5 a 4 6 a 5 c 1 3 d 2 b 5 d 3 c 2 a 6 1 b 4 6 b 5 4 d 3 a 2 1 c Ì Ð ½ ÓÛ Ø ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÖ 4 n 8 ÓÙÒØ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ö Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö m Ó Ó ÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð º Ì ÒØÖ Ò Ø Ø Ð Ö ÓÙÒØ Ó Ñ Ò Ð Ñ Ò Ð ÓÖ Ô Ò ÕÙ Ú Ð Ò Ð Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Û ÒØ ÐÐÝ Ø Ñ ØÖÙØÙÖ º Ë ½ ÓÖ Ø Ò Ø ÓÒºµ Ú Ò Ù Ø Ø Ò Ì Ð ½ Ð Ú Ò Ê ØÓ ÓÒ ØÙÖ Ø Ø n Ú Ò Ò ÐÝ Ñ ÐÐ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ú ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ½µ

3 ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö m n = 4 ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¾ ¼ ¼ ¾ ¹ ¼ ¼ ¾ ½ ¹ ½¾ ¹ ½ ¹ ½ ¼ ¹ ¹ ¼ ¹ ¾¼ ¼ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¾¼¾ ÌÓØ Ð ¾ ¾ ½¾ ½ ¾ Ì Ð ½ ÆÙÑ Ö m Ó Ó ÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n 8º Ñ Ø º ÀÓÛ Ú Ö Ø ØÖ Ò Ñ ØÓ ÕÙ Ø Ø Ö Ú Ö µ ÐØ ÓÙ ÒÓ Ö ÓÖÓÙ Û Ý Ó Ø Ð Ò Ø Ý Ø Ò ÓÙÒ º ÔÓ ÒØ Ø Ø Ì Ð ½ Ö Ø Ø ÓÑ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ú ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð Ø Ðк Ï ÒÓÛ ÐÓÓ Ø ÓÑ Ö ÙÐØ Ò Ø Ö Ö º Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö mq ØÓ Ó q¹ Ø Ô ØÝÔ Ø Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ñ ØÖ Ü Ó q q ÐÓ A ij ÓÐÐÓÛ A 11 A 12 A 1m A 21 A 22 A 2m º º º ºº º A m1 A m2 A mm Û Ö ÐÓ A ij Ð Ø Ò Ù ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö q Ò ØÛÓ ÐÓ A ij Ò A i j ÓÒØ Ò Ø Ñ ÝÑ ÓÐ i + j i + j mod mº Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ð Ð Ø ÓÖ Ñ Ù ØÓ Å ÐÐ Ø º Ì ÓÖ Ñ ¾º ËÙÔÔÓ Ø Ø q Ó Ò m Ú Òº ÆÓ q¹ Ø Ô ØÝÔ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö mq ÔÓ ØÖ Ò Ú Ö Ðº Û Û ÐÐ Ò ï Ø ÖÙÐ ÓÙØ Ñ ÒÝ ÖÓÙÔ Ø Ð Ú Ò ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒÓ ÝÐ ÖÓÙÔ Ó Ú Ò ÓÖ Ö ØÖ Ò Ú Ö Ðº Ý ÓÒØÖ Ø Ø Ö ÒÓ ÒÓÛÒ Ü ÑÔÐ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ó ÓÖ Ö Û Ø ÓÙØ ØÖ Ò Ú Ö Ð º ÓÒ ØÙÖ ½º Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ó ÓÖ Ö Ø Ð Ø ÓÒ ØÖ Ò Ú Ö Ðº

4 Áº ź Ï ÒÐ Ì ÓÒ ØÙÖ ÒÓÛÒ ØÓ ØÖÙ ÓÖ n 9 ï µº ÁØ ØØÖ ÙØ ØÓ ÊÝ Ö Ò Ò ÓÔ Ò ÓÖ ÓÖØÝ Ý Ö º ÁÒ Ø ÊÝ Ö³ ÓÖ Ò Ð ÓÒ ØÙÖ Û ÓÑ Û Ø ØÖÓÒ Ö ÓÖ Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÒ ÖÙ ÒØ ØÓ n mod 2º ÁÒ ¾ Ð Ù Ö Ñ Ò Ò ÔÖÓÚ Ø Ú Ò º Ì ÓÖ Ñ º ÁÒ ÒÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ú Ò ÓÖ Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ú Òº Ô Ø Ø Ø Ò ÒÓØ Ò Ò ÓØ Ö ÔÐ µ Ø Ø Ø Ö Ö Ñ ÒÝ ÓÙÒØ Ö Ü ÑÔÐ Ó Ó ÓÖ Ö ØÓ ÊÝ Ö³ ÓÖ Ò Ð ÓÒ ØÙÖ º À Ò Ø ÓÒ ØÙÖ ÒÓÛ Ò Û Ò ØÓ ÓÒ ØÙÖ 1 Ø Ø º ÇÒ Ó Ø Ð ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÒ ØÙÖ Û Ö ÒØÐÝ Ö Ú Ð Ò º Ì ÓÖ Ñ º ÓÖ Ú ÖÝ n > 3 Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û ÓÒØ Ò Ò ÒØÖÝ Ø Ø ÒÓØ ÒÐÙ Ò ÒÝ ØÖ Ò Ú Ö Ðº Ú Ò Ì ÓÖ Ñ 1 Ø Ð Ø Ø Ø ÓÖ Ñ ÓÛ Ü Ø Ò ÓÖ ÐÐ n > 3 Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û Ø ÓÙØ Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø º Ì Ñ Ö ÙÐØ Û Ó Ø Ò Ò ¾ Û Ø ÓÙØ ÓÛ Ò Ì ÓÖ Ñ 4º ¾º È ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ï Ú Ò Ò ï½ Ø Ø ÒÓØ ÐÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ú ØÖ Ò Ú Ö Ð Û ÔÖÓÑÔØ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÓÛ ÐÓ Û Ò Ø ØÓ Ò Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ù º Ï Ò Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø k ØÓ Ø Ó k Ò¹ ØÖ Ð Ø ÖÓÑ Ö ÒØ ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ù Ø Ø ÒÓ ØÛÓ ÒØÖ ÓÒØ Ò Ø Ñ ÝÑ Óк ÆÓØ Ø Ø Ò ÓÑ Ô Ô Ö º º ¼ µ Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø k Ò Ð ØÐÝ Ö ÒØÐÝ ØÓ ÓÒ Ð ÓÒ Û k Ö ÒØ ÝÑ ÓÐ ÔÔ Öº Ë Ò ÒÓØ ÐÐ ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Ú Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø n º º ØÖ Ò Ú Ö Ðµ Ø Ø Û Ò ÓÔ ÓÖ ØÓ Ò ÓÒ Ó Ð Ò Ø n 1º Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ ØÙÖ Ò ØØÖ ÙØ Ý ÖÙ Ð ½ Ôº½¼ µº ÓÒ ØÙÖ ¾º Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÔÓ Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø n 1º Ð Ñ ÔÖÓÓ Ó Ø ÓÒ ØÙÖ Ý Ö Ò Ó ½ ÓÒØ Ò Ø Ð ÖÖÓÖ º Ê ÒØÐÝ Ô Ô Ö ¾ ÔÔ Ö Ò Ø Ñ Ø Ö Ú Ð Ñ Ò ÔÖÓÓ Ó ÓÒ ØÙÖ 2º ÀÓÛ Ú Ö Ú Ò Ø ØÓÖÝ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ð Ñ ÓÙÐ ØÖ Ø ÙØ ÓÙ ÐÝ Ø Ð Ø ÙÒØ Ð Ø Ô Ô Ö Ò Ö Ö º

5 ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö Ì Ø Ö Ð Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ö ÑÙ Ø Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø Ø Ð Ø n O(log 2 n)º Ì Û ÓÛÒ Ý Ë ÓÖ ¼ Ò Ø ÑÔÐ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ç³ Û Ú ÖÝ Ñ Ö Ò ÐÐÝ ÑÔÖÓÚ Ý Ù Ø Ðº ¾ º ËÙ ÕÙ ÒØÐÝ À Ø Ñ Ò Ë ÓÖ ¾ ÓÚ Ö Ò ÖÖÓÖ Ò ¼ ÙÔÐ Ø Ò ¾ µ Ò ÓÖÖ Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ ØÓ Ö ÓÒ º ÆÓÒ Ø Ð Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ò Ö Ñ Ò Ø Ø Ø ÓÙÒ n O(log 2 n)º Ì ÑÔÖÓÚ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ó ÖÐ Ö ÓÙÒ ÒÐÙ Ò 2 3 Ö ½ µ Ò n n ÖÓÙÛ Ö Ø Ðº Ò ÏÓÓÐ Ö Ø µº Ö Ò ËÔ Ò Ö ¾½ ÓÛ Ø Ø ÒÝ n n ÖÖ Ý Ò Û ÒÓ ÒØÖÝ ÓÙÖ ÑÓÖ Ø Ò (n 1)/16 Ø Ñ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ø Ò Ó ÓÒ Ð Û Ø n Ö ÒØ ÝÑ ÓÐ ÓÒ Øµº ÁØ Ð Ó Ò ÓÛÒ Ý Ñ ÖÓÒ Ò Ï ÒÐ Ø Ø Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÔÓ ÓÒ Ð Ò Û ÒÓ ÝÑ ÓÐ ÔÔ Ö ÑÓÖ Ø Ò ØÛ º ÓÒ ØÙÖ 2 Ò Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ò ÓÔ Ò ÓÖ º Ñ٠ѹ ÔÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ÓÒ Ö Ø ÓÖØ Ø ÔÓ Ð Ð Ò Ø Ó Ñ Ü Ñ Ð Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ñ Ü Ñ Ð Ò Ø Ò Ø Ø Ø ÓÒØ Ò Ò ÒÓ Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð Ó Ö Ø Ö Ð Ò Ø µº ÁØ Ý ØÓ Ø Ø ÒÓ Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø n+o(1) ÃÓ Ñ µ 3 4 n+o(1) ØÖ ØÐÝ Ð Ø Ò 1 2n Ò Ñ Ü Ñ Ð Ò Ø Ö Ö ÒÓØ ÒÓÙ Ù ³ ÝÑ ÓÐ ØÓ ÐÐ Ø Ù Ñ ØÖ Ü ÓÖÑ Ý Ø ÙÒÙ ³ ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ º ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ ÐÐ n > 4 Ñ Ü Ñ Ð Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø 1 2 n Ò ÐÝ ÓÒ ØÖÙØ Ù Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û ÓÒØ Ò Ù ÕÙ Ö S Ó ÓÖ Ö 1 2 n Ò Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÒØ Ò Ò Ø ÝÑ ÓÐ Ó S ÙØ ÒÓØ Ù Ò ÒÝ Ó Ø Ñ ÖÓÛ ÓÖ ÓÐÙÑÒ Sº º ÆÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÓÛ Ñ ÒÝ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò Ú º Ï Ò t(n) Ò T(n) ØÓ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÑÓÒ Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö nº Ï Ú Ò Ò ï½ Ø Ø ÓÑ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ú ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð ÙØ Ø ÒÓØ ØØÐ ÓÖ Û ÓÖ Ö Ù Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ü Øº Ì Ù ÓÖ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ t(n) Û ÒÒÓØ Ó ÒÝ ØØ Ö Ø Ò ØÓ Ó ÖÚ Ø Ø t(n) 0 Û Ø ÕÙ Ð ØÝ ÓÙÖÖ Ò Ø Ð Ø Û Ò n Ú Òº Ö Ð Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Û ÒÓ ÛÓÖ Ñ ØÓ Ú Ò ÔÙ Ð ØÓ Ò Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÒ t(n) Û Ò n Ó º ÌÙÖÒ Ò ØÓ Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø ÓÙÐ Ð Ö Ø Ø T(n) n! Ò Ø Ö Ö ÓÒÐÝ n! Ö ÒØ ÓÒ Ð º Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ ÓÒ Ø ØÖ Ú Ð ÓÙÒ Û Ó Ø Ò Ý ÅÃ Ý Ø Ðº ¾

6 Áº ź Ï ÒÐ Ì ÓÖ Ñ º ÓÖ n 5 15 n/5 T(n) c n n n! 3 3 Û Ö c = 6 e 3/ º Ì ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ò Ì ÓÖ Ñ 5 Ú ÖÝ ÑÔÐ Ò ÛÓÙÐ ÒÓØ ØÓÓ ¹ ÙÐØ ØÓ ÑÔÖÓÚ º Ì ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ØÓÓ ÓÒ Ö ÐÝ ÑÓÖ ÛÓÖ ÐØ ÓÙ Ø ØÓÓ ÔÖÓ ÐÝ Ö ÖÓÑ Ø ØÖÙØ º ÁÒ Ø Ñ Ô Ô Ö Ø ÙØ ÓÖ Ö ÔÓÖØ Ø Ö ÙÐØ Ó Ò Ü Ù Ø Ú ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö ÙÔ ØÓ Ò ÒÐÙ Ò º Ì Ð ¾ Ð Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÚ Ö ÐÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÖ n 9 Ò Ø Ñ Ò Ò Ø Ò Ö Ú Ø ÓÒ ØÓ ¾ Ñ Ð ÔÐ º n t(n) Å Ò ËØ Ú T(n) ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ º º¾ º ½ ½ ¼ º º½ ¾ ¾¼º ½ º¼¼ ½ ¼ ½º¼ º ¾½ º½½ ½ º ¾¾ ½ Ì Ð ¾ ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n 9º Ì Ð ¾ ÓÒ ÖÑ ÓÒ ØÙÖ 1 ÓÖ n 9º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ñ ÝÑÑ ØÖ ÕÙ Ö ½ ÓÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ñ ÝÑÑ ØÖ µ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú Ó Ø ÙÒ ÕÙ Ñ Ò Ð Û Ø t(n) ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÖ n {5,7,9}º ÁÒ Ø Ð Ö Ø Ù ÕÙ Ö Ö ÓÛÒ Ò ÓÐ º

7 ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö n ÄÓÛ Ö ÓÙÒ ÍÔÔ Ö ÓÙÒ ½¼ ¼ ¼¼¼ ½½ ½ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ½ ½¼ ¼ ¾ ¼ ½ ¼ ¼¼¼½ ¼ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾¾½¼ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ¾½ ¾ ½ ½ ¼ ¼¼ ½ ¼¼ ¼¾¾ ¼ ¾ ½ ½½¾¼¼ ½¼¼ ½ ½ ½ ½ ¾ ¼½ ¾¼ ¾ ¾ ¼ ¼¼ ½¾¼ ¼ ¾ ¾½ ½¾½ ½ ½ ¼ ½ Ì Ð ÓÙÒ ÓÒ T(n) ÓÖ 10 n 21º ÁÒ Ì Ð Û Ö ÔÖÓ Ù ÖÓÑ ¾ ÓÙÒ ÓÒ T(n) ÓÖ 10 n 21º Ì ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÑ Û Ø ÖÔ Ö Ø Ò Ø Ø Ú Ò Ý Ì ÓÖ Ñ 5 Ø ÓÙ ÔÖÓÚ Ý Ø Ñ Ñ Ø Ó º Ì ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ò ÓÒ ØÖÙØ Ú Ò Ð ÐÝ ØÓ Ú ÖÝ ÐÓ ØÓ Ø ØÖÙ Ú ÐÙ º Ï Ò n 2 mod 4 Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÑ ÖÓÑ Ø ÖÓÙÔ Û Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ì Ð µº Ï Ò n 2 mod 4 Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÑ ÖÓÑ Ó¹ ÐÐ ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö Ñ ÒÝ Ó Û Û Ö Ò ÐÝ Ò ¾ º ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö Ó Ø Ò Ý Ø ÖØ Ò Û Ø Ø ÝÐ Ý Ø Ð Ó ÖÓÙÔ ØÝÔ ÐÐÝ ÖÓÙÔ Ó Ø ÓÖÑ Z 2 Z m ÓÖ ÓÑ mµ Ò ØÙÖÒ Ò ÓÑ Ó Ø ÒØ Ö Ð Ø Ø Ø Ö ÔÐ Ò Ù ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö ¾ Ý Ø ÓØ Ö ÔÓ Ð Ù ÕÙ Ö ÓÒ Ø Ñ ÝÑ ÓÐ µº ÓÖ Ü ÑÔÐ Ú 5504 ØÖ Ò Ú Ö Ð º Ì ØÙÖÒ ³ ÒØÖ Ú Ò Ñ Ö Ò ÓÐ º ¾µ

8 Áº ź Ï ÒÐ Ì ØÙ Ý Ó ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö Û Ô ÓÒ Ö Ý È Ö Ö Ò Ø Ö Ö¹ Ò Ø Ö Òµ Ò ÙÒ Ù ÙÐ ÕÙ Ø ÓÖ ØÖ ÔÐ Ó ÅÇÄË Ó ÓÖ Ö ½¼º À ÒÓØ Ø Ø ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö Ó Ø Ò Ú Ñ ÒÝ ÑÓÖ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø Ò ØÝÔ Ð ÓÖ ÕÙ Ö Ó Ø Ö ÓÖ Ö Ò Ù Ø ÙÖ Ø Ò Ø Ö ÓÖ ÅÇÄ˺ ÁØ ÐÓÒ Ò Ù Ô Ø Ø Ø T(10) Ú Ý ¾µº Ì Ù ¹ Ô ÓÒ Û ØÖ Ò Ø Ò Ý ÅÃ Ý Ø Ðº ½ Û Ó Ü Ñ Ò Ú Ö Ð ÐÐ ÓÒ ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö ½¼ ÒÐÙ Ò Ú ÖÝ ÕÙ Ö Û Ø ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÝÑÑ ØÖÝ Ò ÓÙÒ ÒÓÒ ÑÓÖ Ø Ò 5504 ØÖ Ò Ú Ö Ð º È Ö Ö Û Ò Ö Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ö ¾µ Ö Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø Ø ½¾¾ ½ Ó Ø Ñ Û Ò ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ Ö Ø Ö Ø Ò Ø Ñ Ø µº ÀÓÛ Ú Ö Ù Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÙÖ Ø Ò Ö Ò ÓÖ ÅÇÄË ÒÓØ Ð¹ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö ½ Û Ø Ø ÑÓ Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ñ ÐÝ ¼ µ Ó ÒÓØ Ú ÒÝ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø ¾ º Å ÒÛ Ð Ø Ö Ö ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø ÙØ Û ÔÓ ÓÒÐÝ Ø Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ó n ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò ½µ ÓÒ Ù µº Æ Ú ÖØ Ð Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó ÔÖÓÚ Ù ÙÐ ÒÚ Ö ÒØ ÓÖ ÕÙ Ö Ó Ñ ÐÐ ÓÖ Ö Û Ö Ø ÒÙÑ Ö Ò ÓÑÔÙØ Ò Ö ÓÒ¹ Ð Ø Ñ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò µº ÁØ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ØÓ ÛÖ Ø ØÖ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ ÓÙÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ñ ÐÐ ÓÖ Ö Ø ÓÙ Ø Ñ Ø Ó ÙÖÖ ÒØÐÝ ÓÑ ÑÔÖ Ø Ð Ø ÓÖ Ö ÑÙ ÓÚ Ö ¾¼º Ë ¼ ½ ÓÖ ÓÑ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÓÖÝ Ö ÙÐØ ÓÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÙÒØ Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð º ÁØ Ñ Ú ÖÝ ÙÐØ ØÓ Ò Ø ÓÖ Ø Ð Ø Ñ Ø ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÙÒÐ Ó ÓÙÖ Ø Ø ÒÙÑ Ö Þ ÖÓµº Ì ÙÐØÝ Ó ÙØ Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓØ Ú Ò ÓÓ Ø Ñ Ø ÓÖ z n Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð Ó Ø ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö nº Î Ö ¾ Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖ Ø ÓÒ ÓÒ ØÙÖ º Ì Ö Ü Ø Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ 0 < c 1 < c 2 < 1 Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ Ó n 3º c n 1n! z n c n 2n! Î Ö Ñ Ø ÓÒ ØÙÖ Û Ð ÓÒ Ö Ò Ú Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÓÖÓ Ð n¹õù Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ì ØÓÖÓ Ð n¹õù Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ó Ø ÖÑ Ò Ò Ò ÓÛ Ñ ÒÝ Ö ÒØ Û Ý n ÒÓÒ¹ ØØ Ò ÕÙ Ò Ò ÔÐ ÓÒ ØÓÖÓ Ð n n Ó Ö º Î Ö ÓÒ Ö Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ò Ñ ÕÙ Ò Ò ÔÐ Ó ÕÙ Ò Û Ö Ñ ÕÙ Ò Ô Û ÑÓÚ Ð ØÓÖÓ Ð ÕÙ Ò Ü ÔØ Ø Ø Ø ÒÒÓØ ØÖ Ú Ð ÓÒ Ö Ø¹ØÓ¹Ð Ø ÓÒ Ð º Ì ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ

9 ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö Î Ö ³ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÚ Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ØÓÖÓ Ð n¹õù Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÖ Ò Ð Ø ÒØÓ ÓÒ ÓÒ ÖÒ Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ý ÒÓØ Ò Ø Ø Ú ÖÝ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó n ÒÓÒ¹ ØØ Ò Ñ ÕÙ Ò ÓÒ ØÓÖÓ Ð n n Ó Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÝÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö L Ó ÓÖ Ö n Û Ö L ij i j mod nº ÆÓØ Ø Ø Ø ØÓÖÓ Ð n¹õù Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ÓÙÒØ Ò ÓÒ Ð Û ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ Ý Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò L Ò L Û Ö L ij = i + j mod nº ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ó Ì ÓÖ Ñ 5 Û Ò Ò Ö Ø Ø Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ò ÓÒ¹ ØÙÖ 3 ØÖÙ ÝÑÔØÓØ ÐÐݵ Û Ø c 2 = 0.614º Ì Ð Ó Ý Ð Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ØÓÖÓ Ð n¹õù Ò ÔÖÓ ¹ РѺ Ì ÓÖ Ñ 5 Ú Ð ÓÖ ÐÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÙØ ÓÒ ØÙÖ 3 Ð Ó Ò ØØ Ý Ñ Ø Ó Û Ö Ô ØÓ Ø ÝÐ ÕÙ Ö º ÓÓÔ Ö Ò ÃÓÚ Ð Ò Ó ½¾ Ö Ø ÓÛ Ø Ø Î Ö ³ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ØÖÙ Û Ø c 2 = Ò Ø Û Ø Ò ÑÔÖÓÚ ØÓ c = 1/ Ò º Ò Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Ø ÓÖÑ Ú Ò Ò ÓÒ ØÙÖ Ø ÐÐ Ò ÓÔ Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÀÓÛ Ú Ö ½¼ Ò Ó Ú ÓÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Û ÔÔÐ ÓÒÐÝ ÓÖ ÓÑ nº ÓÓÔ Ö Ø Ðº ½½ Ø Ñ Ø Ø Ø Ô Ö Ô Ø ÓÖÖ Ø Ö Ø Ó ÖÓÛØ ÓÖ z n ÖÓÙÒ 0.39 n n!º º Ò Ø ÖÓÙÔ Ý Ù Ò Ø ÝÑ ÓÐ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö ØÓ Ò Ü Ø ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÝÐ Ý Ø Ð Ó ÕÙ ÖÓÙÔº ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ð Û Ò Ø Ø ÕÙ ÖÓÙÔ Ó Ø Ú Ò ÓØ Ö ÛÓÖ Ø ÖÓÙÔº ÅÙ Ó Ø ØÙ Ý Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÖÓÙÔ Ò Ô Ö Ò Ø ÖÑ Ó Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÒ ÔØ Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ò ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ º Å ÒÒ ¼ ÒØÖÓ Ù ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò ÓÖ ÖÓÙÔ ÙØ Ø Ö Ò Ø ÓÒ ÛÓÖ Ù Ø Û ÐÐ ÓÖ ÕÙ ÖÓÙÔ º ÁØ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ θ Ó Ø Ð Ñ ÒØ Ó ÕÙ ÖÓÙÔ (Q, ) ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò η : Q Q Ò Ý η(x) = x θ(x) Ð Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒº Ì Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ η ÒÓÛÒ Ò ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ Ó (Q, ) ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ý ÒØÖÓ Ù Ò º ÐÐ Ó Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ô Ô Ö ÓÙÐ Ö Ô Ö Ò Ø ÖÑ Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ò»ÓÖ ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ Ù Ó ÓÙÖ Ò ÜØ Ó ÖÚ Ø ÓÒº Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø (Q, ) ÕÙ ÖÓÙÔ Ò L Q Ø ÝÐ Ý Ø Ð º Ì Ò θ : Q Q ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Û Ò ÐÓ Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó L Q Ý Ð Ø Ò Ò ÖÓÛ x Ø ÒØÖÝ Ò ÓÐÙÑÒ θ(x)º Ë Ñ Ð ÖÐÝ η : Q Q

10 ½¼ Áº ź Ï ÒÐ Ò ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ Û Ò ÐÓ Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó L Q Ý Ð Ø Ò Ò ÖÓÛ x Ø ÒØÖÝ ÓÒØ Ò Ò ÝÑ ÓÐ η(x)º À Ú Ò ÒÓØ Ø Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ò ÓÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ Ö ÒØ ÐÐÝ Ø Ñ Ø Ò Û Û ÐÐ ÓÔØ Ø ÔÖ Ø Ó ÜÔÖ Ò ÓÙÖ Ö ÙÐØ Ò Ø ÖÑ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ú Ò Û Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÙØ ÓÖ Ù ÓÒ Ó Ø ÓØ Ö ÒÓØ ÓÒ º Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÒ ÚÓØ ØÓ Ø Û Ò ÓÙÖ Ð Ø Ò ÕÙ Ö L G Ø ÝÐ Ý Ø Ð Ó Ò Ø ÖÓÙÔ Gº Ì ÜØÖ ØÖÙØÙÖ Ò Ø ÐÐÓÛ ÓÖ ÑÙ ØÖÓÒ Ö Ö ÙÐØ º ÓÖ Ü ÑÔÐ ÙÔÔÓ Û ÒÓÛ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó L G Ø Ø ÓÑÔÖ Ó ÖÓÑ ÖÓÛ i Ó Ò Ð Ñ ÒØ g i º Ä Ø g ÒÝ Ü Ð Ñ ÒØ Ó Gº Ì Ò Û Ð Ø ÖÓÑ ÖÓÛ i Ø Ð Ñ ÒØ g i g Ø Û ÐÐ Ú Ò Û ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò g Ö Ò ÓÚ Ö G Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó ÔÖÓ Ù Û ÐÐ ÑÙØÙ ÐÐÝ Ó Òغ À Ò Ì ÓÖ Ñ º Á L G Ò Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø Ò Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÒØÓ Ó ÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð º Ï Û Ò ï½ Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Û Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ú ØÖ Ò Ú Ö Ð ÒÓØ Ò ØØÐ º Ì Ñ ØÖÙ ÓÖ ÖÓÙÔ Ø Ð ÙØ Û Ö ØØ Ò ÑÙ ÐÓ Ö ØÓ Ò Û Ö Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ð Ò ÓÒ Ø Ô ÓÒ Ö Ò ÛÓÖ Ó À ÐÐ Ò È º ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ú ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ µ L G ØÖ Ò Ú Ö Ðº µ L G Ò ÓÑÔÓ ÒØÓ Ó ÒØ ØÖ Ò Ú Ö Ð º µ Ì Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ L G º Úµ Ì Ö ÓÑ ÓÖ Ö Ò Ó Ø Ð Ñ ÒØ Ó G Ý a 1,a 2,...,a n Ù Ø Ø a 1 a 2 a n = ε Û Ö ε ÒÓØ Ø ÒØ ØÝ Ð Ñ ÒØ Ó Gº Úµ Ì ËÝÐÓÛ ¾¹ Ù ÖÓÙÔ Ó G Ö ØÖ Ú Ð ÓÖ ÒÓÒ¹ÝÐ º Ì Ø Ø Ø µ µ Ò µ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÑ Ö ØÐÝ ÖÓÑ Ì ¹ ÓÖ Ñ 1 Ò Ì ÓÖ Ñ 7º È ÓÛ Ø Ø µ ÑÔÐ Úµº À ÐÐ Ò È ¾ Ø Ò ÓÛ Ø Ø Úµ ÑÔÐ Úµº Ì Ý Ð Ó ÓÛ Ø Ø Úµ ѹ ÔÐ µ G ÓÐÙ Ð ÝÑÑ ØÖ ÓÖ ÐØ ÖÒ Ø Ò ÖÓÙÔº Ì Ý ÓÒ ØÙÖ Ø Ø Úµ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ µ ÓÖ ÐÐ ÖÓÙÔ º

11 ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö ½½ ÁØ Û Ù ÕÙ ÒØÐÝ ÒÓØ Ò ½ Ø Ø ÓØ Úµ Ò Úµ ÓÐ ÓÖ ÐÐ ÒÓÒ¹ ÓÐÙ Ð ÖÓÙÔ Û ÔÖÓÚ Ø Ø Úµ Ò Úµ Ö ÕÙ Ú Ð Òغ ÑÙ ÑÓÖ Ö Ø Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÔÖÓÓ Ó Ø Ø Û Ú Ò Ò º ÌÓ ÙÑÑ Ö Ì ÓÖ Ñ º µ µ µ Úµ Úµ ÓÒ ØÙÖ º µ µ µ Úµ Úµ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÓÒ ØÙÖ 4 ÒÓÛÒ ØÓ ØÖÙ ÓÖ ÐÐ ÓÐÙ¹ Ð ÝÑÑ ØÖ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ò ÖÓÙÔ º ÁØ Ð Ó Ò ÓÛÒ ÓÖ Ñ ÒÝ ÓØ Ö ÖÓÙÔ ÒÐÙ Ò Ø Ð Ò Ö ÖÓÙÔ GL(2,q) SL(2,q) PGL(2,q) Ò PSL(2,q) ¾ Ò Ø Ö Ö Ò Ø Ö Òµº Ø Ö Ó ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ö ÓÒ ÓÒ ØÙÖ 4 Ø Ö Ö ÒØÐÝ Ò Û Ø ÛÓÙÐ ÔÔ Ö ØÓ Ú ÖÝ Ò ÒØ Ö Ø ÖÓÙ º ÁÒ ÔÖ ÔÖ ÒØ Ï ÐÓÜ Ð Ñ ØÓ Ö Ù Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ÓÛ Ò Ø ÓÖ Ø ÔÓÖ ÑÔÐ ÖÓÙÔ Ó Û Ø Å Ø Ù ÖÓÙÔ Ú ÐÖ Ý Ò Ò Ð Ò ½ µº Ë ½ ¾¾ ÓÖ ÓÖ ÙÖØ Ö Ö Ò Ò Ö Ö Ò ÓÒ Ø À Ðй È ÓÒ ØÙÖ º Ò ÑÑ Ø ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ó Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ 7 Ø Ø ÓÖ ÒÝ G Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø ÖÓÙ Ú Ò ÒØÖÝ Ó L G Ò Ô Ò ÒØ Ó Ø ÒØÖÝ Ó Òº À Ò Ì ÓÖ Ñ º Ó ½ µ Û Ø Ì ÓÖ Ñ º Ì ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò L G Ú Ð Ý G Ø ÓÖ Ö Ó Gº ÅÃ Ý Ø Ðº ¾ Ð Ó ÓÛ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÑÔÐ Ö ÙÐØ Ò Ø Ô Ö Ø Ó Ì ÓÖ Ñ Ì ÓÖ Ñ ½¼º Ì ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÒÝ ÝÑÑ ØÖ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÒ ÖÙ ÒØ ØÓ n ÑÓ ÙÐÓ 2º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º Ä Ø G ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö nº Á G Ð Ò ÓÖ n Ú Ò Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò G ÓÒ ÖÙ ÒØ ØÓ n ÑÓ ÙÐÓ 2º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ ÒÒÓØ Ò Ö Ð ØÓ ÒÓÒ¹ Ð Ò ÖÓÙÔ Ó Ó ÓÖ Ö Ú Ò Ø Ø Ø ÒÓÒ¹ Ð Ò ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö ¾½ ¾ ½ ½¾¼¼ ØÖ Ò Ú Ö Ð º Ì ÓÖ Ñ ½½º Á G ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö n 1 mod 3 Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò G Ú Ð Ý 3º

12 ½¾ Áº ź Ï ÒÐ Ï Û ÐÐ ÐÓÛ Ø Ø Ø ÝÐ ÖÓÙÔ Ó Ñ ÐÐ ÓÖ Ö n 1 mod 3 Ú ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Û ÒÓØ ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ø Ö º Ì Ñ ÕÙ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò ï Ð ØÓ Ò ÒÚ Ø Ø ÓÒ Ó z n Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ø ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö nº Ä Ø z n = z n/n ÒÓØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø ÖÓÙ ÒÝ Ú Ò ÒØÖÝ Ó Ø ÝÐ ÕÙ Ö Ó ÓÖ¹ Ö nº Ë Ò z n = z n = 0 ÓÖ ÐÐ Ú Ò n Ý Ì ÓÖ Ñ Û ÐÐ ÙÑ ÓÖ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ù ÓÒ Ø Ø n Ó º Ì Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ó z n Ö ÒÓÛÒ ÖÓÑ Ò º Ì Ý Ö z 1 = z 3 = 1 z 5 = 3 z 7 = 19 z 9 = 225 z 11 = 3441 z 13 = z 15 = z 17 = z 19 = z 21 = z 23 = Ò z 25 = º ÁÒØ Ö Ø Ò ÐÝ Û Ø Ø ÒÙÑ Ö ÑÓ ¹ ÙÐÓ Û Ò Ø Ø Ø ÕÙ Ò Ò ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½º Ï ÒÓÛ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ½¼ Ø Ø z n ÐÛ Ý Ó ÓÖ Ó n ÙØ Ø Ò ÓÔ Ò ÕÙ ¹ Ø ÓÒ Û Ø Ö Ø Ö ÒÝ Ô Ö Ô ØØ ÖÒ ÑÓ ÙÐÓ ÓÖ º Ï Ð Ó ÒÓÛ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ½½ Ø Ø z n Ú Ð Ý Û Ò n 2 mod 3º Ì Ò Ø Ð Ø ÖÑ Ó {z n mod 3} Ö ½ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¾ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¾º Ò ÒØ Ö Ø Ò Ø ÓÙØ z n Ø Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ ÐÐÝ ÝÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Ò ÓØ Ö ÛÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÕÙ ÖÓÙÔ ÓÒ Ø Ø {1,2,...,n} Û Ú Ø ØÖ Ò Ø Ú ÙØÓÑÓÖÔ Ñ (123 n)µº Ë ÓÖ ÙÖÚ Ý ÓÒ Ù Ó Ø º Ï ÒÓÛ Ù Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ò Ö Ð ÖÓÙÔ Ó Ñ ÐÐ ÓÖ Öº ÓÖ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö n 2 mod 4 Ø Ö Ò ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ý Ì ÓÖ Ñ 8º ÓÖ ÓØ Ö ÓÖ Ö n 23 Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÖÓÙÔ Ú Ò Ò Ì Ð º Ì ÖÓÙÔ Ö ÓÖ Ö ÓÖ Ò ØÓ Ø Ø ÐÓ Ù Ó Ì ÓÑ Ò ÏÓÓ ½ º Ì ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ò ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö Ø ÑÓ Ø 16 Ò ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö Ø ÑÓ Ø 21 Û Ö Ó Ø Ò Ý Ë Ø Ð º Ì Ö Ñ Ò Ò Ú ÐÙ Ò Ì Ð Û Ö ÓÑÔÙØ Ý Ë º ÅÃ Ý Ø Ðº ¾ Ø Ò Ò Ô Ò ÒØÐÝ ÓÒ ÖÑ ÐÐ ÓÙÒØ Ü ÔØ Ø Ó ÓÖ ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö 21 ÓÖÖ Ø Ò ÓÒ Ñ ÔÖ ÒØ Ò Ë º ÓÖ Ò Ï Ø Ö Ó Ö Ò ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ ÓÖ Û Ý ÐÐ Ø ÒÓÒ¹ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö Ú ØÖ Ò Ú Ö Ð º Ì ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö Ò ½ Û Ø Ø ÑÓ Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ö Ø Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ð Ò ÖÓÙÔ Ó Ø Ó ÓÖ Ö º Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ ÓÖ Ö ½¾ ¾¼ Ò ¾½ Ø ÖÓÙÔ Û Ø Ø ÑÓ Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø Ö Ø ÙÑ Ó ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÔÖ Ñ ÓÖ Öº ÁØ Ò ÓÔ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö Ù Ø Ø Ñ ÒØ Ò Ö Ð ØÓ ÐÐ nº Ý ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ Û ÒÓÛ Ø Ø Ò ÓÚ Ö Ý Ì Ð Ü ÔØ Ø ÒÓÒ¹ Ð Ò ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö ¾½µ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÑÙ Ø Ú

13 ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö ½ n ÆÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö n ¼ ½ ½ ¼ ¾¼¾ ¾¾ ½ ½½ ½ ½¾ ¼ ½ ½ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ½ ½¼ ¼ ½ ¾ ¾ ½ ¼ ¾ ¼ ¾ ¼½¼ ¾ ½ ¼ ¾ ¾ ½ ¾ ½¾ ½¾½½ ¾ ½¾ ½ ¾¼ ½¾ ¼ ½¾¾½ ½ ¾ ½¾½ ½¾¼ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ¼ ½ ½ ¼ ¼¼ ½ ½ ½ ¾¼ ¼ ¾ ¾ ¼ ¼¼ ½ ¼ ¼¼¼¼ ¼ ¼ ¾½ ½¾½ ½ ½ ¾ ½ ½¾¼¼ ¾ ¾ ¾¾¼ Ì Ð ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö n 23º Ø Ñ Ô Ö ØÝ Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÕÙ Ö º ÁØ Ö Ñ Ö Ð Ø ÓÙ Ø Ø Ø ÖÓÙÔ Ó Ú Ò ÓÖ Ö Ú ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Û Ú Ð Ý ÔÓÛ Ö Ó ¾º ÁÒ ÒÝ ¾¹ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö n 16 ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Û Ú Ð Ý 2 n 1 º ÁØ ÛÓÙÐ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ ÒÓÛ Ø ØÖÙ ÓÖ Ò Ö Ð nº º Ò Ö Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ì Ö Ö Ú Ö Ð Û Ý ØÓ Ò Ö Ð Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ðº Ï Ú ÐÖ Ý Ò ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ñ ÐÝ Ø Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò ï¾º ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÐÐ Ø Ö ÙÐØ ÓÒ ÒÓØ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÝ ÔÐ Ü º k¹ôð Ü Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Ø Ó kn ÒØÖ Û ÒÐÙ k Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÖÓÑ ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ Ò Ó ÝÑ Óк ØÖ Ò Ú Ö Ð 1¹ÔРܺ Ì Ñ Ö ÒØÖ ÓÖÑ 3¹ÔÐ Ü Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò

14 ½ Áº ź Ï ÒÐ ÕÙ Ö Ì Ò Ñ k¹ôð Ü Û Ó Ò Ò ÓÒÐÝ Ö ÒØÐݺ ÁØ Ò ØÙÖ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ò Ñ ÙÔÐ Ü ØÖ ÔÐ Ü Ò ÕÙ ÖÙÔÐ Ü Û Ú Ò Ò Ù ÓÖ Ñ ÒÝ Ý Ö ÔÖ Ò Ô ÐÐÝ Ò Ø Ø Ø Ø Ð Ð Ø Ö ØÙÖ Ù ¾ µ ÓÖ ¾ Ò ¹ÔÐ Ü º Ì ÒØÖ ÒÓØ ÒÐÙ Ò k¹ôð Ü Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö L Ó ÓÖ Ö n ÓÖÑ Ò (n k)¹ôð Ü Ó Lº ÌÓ Ø Ö Ø k¹ôð Ü Ò Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÝ (n k)¹ ÔÐ Ü Ö Ò Ü ÑÔÐ Ó Û Ø ÐÐ Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Lº ÓÖ Ù ÓÒ Ó ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ð ØØ Ò ÐÐ Ð Ò ¾ Ò Ð Ý ½ º ÓÖ ÓÙÖ ÔÙÖÔÓ L ÓÑÔÓ ÒØÓ Ó ÒØ Ô ÖØ K 1 K 2,...,K d Û Ö K i k i ¹ÔÐ Ü Ø Ò Û ÐÐ Ø (k 1,k 2,...,k d )¹Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Lº Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒØ Ö Ø Û Ò ÐÐ Ô ÖØ Ö Ø Ñ Þ kº Ï ÐÐ Ù Ô ÖØ Ø ÓÒ k¹ô ÖØ Ø ÓÒº ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ñ Ö 3¹ÔÐ Ü Ò Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÖÑ 3¹Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ö Ò µº Ý Ì ÓÖ Ñ 1 Ò Ò ½¹Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ò Ò Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø º ËÓÑ Ö ÙÐØ ÓÙØ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ö Ð Ö ØÐÝ ØÓ ÓØ Ö ÔÐ Ü Û Ð ÓØ Ö Ñ ØÓ Ú ÒÓ Ò ÐÓ Ù º Ì ÓÖ Ñ 3 Ò Ì ÓÖ Ñ 7 Ñ ØÓ Ò Ø Ð ØØ Ö Ð Ó ÖÚ Ò ¾ Ò Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÀÓÛ Ú Ö Ì ÓÖ Ñ ¾ Ò ÓÛ Ø Ø ÒÓØ Ú ÖÝ ÕÙ Ö ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ü ØÐÝ Ø Ñ Ö ÙÑ ÒØ ÛÓÖ ÓÖ ÒÝ k¹ôð Ü Û Ö k Ó º Ì ÓÖ Ñ ½¾º ËÙÔÔÓ Ø Ø q Ò k Ö Ó ÒØ Ö Ò m Ú Òº ÆÓ q¹ Ø Ô ØÝÔ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö mq ÔÓ k¹ôð ܺ Ì ÓÖ Ñ ½ º Ä Ø G ÖÓÙÔ Ó Ò Ø ÓÖ Ö n Û Ø ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÝÐ ËÝÐÓÛ 2¹ Ù ÖÓÙÔº Ì ÝÐ Ý Ø Ð Ó G ÓÒØ Ò ÒÓ k¹ôð Ü ÓÖ ÒÝ Ó k ÙØ 2¹Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ò ÓÒØ Ò k¹ôð Ü ÓÖ Ú ÖÝ Ú Ò k Ò Ø Ö Ò 0 k nº Ì ØÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ú Ò k ÕÙ Ø Ö ÒØ ØÓ Ø Ó º ÊÓ Ò Ý Ôº½¼ ÓÒ ØÙÖ Ø Ø Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÙÔРܺ Ì ÓÒ ØÙÖ Û ØÖ Ò Ø Ò Ò ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò µ

15 ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö ½ ÓÒ ØÙÖ º Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÔÓ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ó ÒØ ÙÔÐ Ü º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ú Ò ÓÖ Ö 2¹ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ó ÓÖ Ö (2,2,2,...,2,1)¹Ô ÖØ Ø ÓÒº ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÒ ØÙÖ Ð Ó ØÖ Ò Ø Ò ÓÒ ØÙÖ 1º ÁØ Ð Ó ÑÔÐ Ø Ø Ú ÖÝ Ð Ø Ò ÕÙ Ö k¹ôð Ü ÓÖ Ú ÖÝ Ú Ò Ú ÐÙ Ó k ÙÔ ØÓ Ø ÓÖ Ö Ó Ø ÕÙ Ö º ÓÒ ØÙÖ 5 ØÖÙ ÓÖ ÐÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö 8 Ò ÓÖ ÐÐ ÓÐÙ Ð ÖÓÙÔ µº Ô Ò Ò ÓÒ Û Ø Ö ÓÐÙ Ð ÖÓÙÔ ÒÓÒ¹ ØÖ Ú Ð ÝÐ ËÝÐÓÛ 2¹ Ù ÖÓÙÔ Ø Ø Ö k¹ôð Ü ÓÖ ÐÐ ÔÓ Ð k ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÐÐ ÔÓ Ð Ú Ò k ÙØ ÒÓ Ó kº Á Ø À ÐÐ¹È ÓÒ ØÙÖ ÓÙÐ ÔÖÓÚ Ø ÛÓÙÐ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ö ÓÐÚ Ø Ü Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÔÐ Ü Ò ÖÓÙÔ Ò Ø ÛÓÙÐ Ö Ñ Ò Ø ÓÒÐÝ ØÛÓ ÔÓ Ð Ø º ÁØ ÛÓÖØ ÒÓØ Ò Ø Ø ÓØ Ö Ò Ö Ó ÓÙÖ ÓÖ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û Ö ÒÓØ ÓÒ ÖÓÙÔ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø ÕÙ Ö Ò µ ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð ÙØ Ð ÖÐÝ Ó Ú 3¹ÔРܺ ÁØ ÓÒ ØÙÖ Ò Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ö ØÖ Ö ÐÝ Ð Ö Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó Ø ØÝÔ º ÓÒ ØÙÖ º ÓÖ ÐÐ Ú Ò n > 4 Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð ÙØ Ó ÓÒØ Ò 3¹ÔРܺ ÒÓØ Ö ÔÓ Ð ØÝ Û ÓÛÒ Ý Ñ ÐÝ Ó ÕÙ Ö ÓÒ ØÖÙØ Ò ¾¼ º Ì ÓÖ Ñ ½ º ÓÖ ÐÐ Ú Ò n Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û k¹ôð Ü ÓÖ Ú ÖÝ Ó Ú ÐÙ Ó k ØÛ Ò 1 4 n 1 2 Ò 3 4 n ÙØ ÒÓØ ÓÖ ÒÝ Ó Ú ÐÙ Ó k ÓÙØ Ø Ö Ò º ÁÒØ Ö Ø Ò ÐÝ Ø Ö ÒÓ ÒÓÛÒ Ü ÑÔÐ Ó Ó ÒØ Ö a < b < c Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û Ò a¹ôð Ü Ò c¹ôð Ü ÙØ ÒÓ b¹ôð ܺ Ì ÙÒ ÓÒ Ó Ò a¹ôð Ü Ò Ó ÒØ b¹ôð Ü Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö L Ò (a + b)¹ôð Ü Ó Lº ÀÓÛ Ú Ö Ø ÒÓØ ÐÛ Ý ÔÓ Ð ØÓ ÔÐ Ø Ò (a + b)¹ôð Ü ÒØÓ Ò a¹ôð Ü Ò Ó ÒØ b¹ôð ܺ ÓÒ Ö ÙÔÐ Ü Û ÓÒ Ø Ó 1 2n Ó ÒØ ÒØ Ö Ð Ø Ð Ø Ò Ù ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö ¾µº ËÙ ÙÔÐ Ü Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ó Ð Ò Ø ÑÓÖ Ø Ò 1 2n Ó Ø ÐÓÒ Û Ý ÖÓÑ ÓÒØ Ò Ò ½¹ÔРܺ Ï Ý Ø Ø k¹ôð Ü Ò Ú Ð Ø ÓÒØ Ò ÒÓ c¹ôð Ü ÓÖ 0 < c < kº Ì ÙÔÐ Ü Ù Ø Ö Ò Ú Ð º ÁÒ ÓÖ Ú ÖÝ k Ø Ö Ò Ú Ð k¹ôð Ü Ò ÓÑ Ù ÒØÐÝ Ð Ö Ð Ø Ò ÕÙ Ö º Ì Û Ö Ø ÓÛÒ Ò ÙØ Ù ÒØÐÝ Ð Ö Ò Ø Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ö Ø Ò kº Ì Û ÑÔÖÓÚ ØÓ Ð Ò Ö Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐغ

16 ½ Áº ź Ï ÒÐ Ì ÓÖ Ñ ½ º ÓÖ Ú ÖÝ k 2 Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö 2k Û ÓÒØ Ò ØÛÓ Ó ÒØ Ò Ú Ð k¹ôð Ü º Ì ÓÖ Ñ 15 Ñ Ò Ø Ø ÓÑ ÕÙ Ö Ò ÔÐ Ø Ò Ð Ò Û Ý Ø Ø Ñ ÒÓ ÙÖØ Ö Ú ÓÒ ÔÓ Ð º ÜÔ Ö Ò Û Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ù Ø Ø Ø Ø Ý Ò Ö ÐÐÝ Ú Ú Ø ÑÙÐØ ØÙ Ó Ô ÖØ Ø ÓÒ ÒØÓ Ú Ö ÓÙ ÔÐ Ü Û Ò ÓÒ Ò Ñ Ò Ø Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ø Ò ØÓ ÐÓÒ Û Ý ÖÓÑ Ò Ò Ú Ð º Ì Ñ Ì ÓÖ Ñ 15 Ð ØÐÝ ÙÖÔÖ Ò º ÁØ Û ÓÔ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Û Ø Ú ÐÙ Ó k Ò n Ø Ö Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÒØ Ò Ò Ò Ò Ú Ð k¹ôð ܺ ÀÓÛ Ú Ö ÖÝ ÒØ Ø Ðº ÓÙÒ Ø Ò Û Ö Û Ò k Ñ ÐÐ Ö Ð Ø Ú ØÓ nº Ì ÓÖ Ñ ½ º Ä Ø n Ò k ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ø Ý Ò 5k nº Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÒØ Ò Ò Ò Ò Ú Ð k¹ôð ܺ ËÓ Ö Û Ú ÒØ ÐÐÝ ÐÓÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ö Û Ø ÖØ Û Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò Û Ø ÓÖØ Ó ÔÐ Ü Ø Ñ Ø Ú º ÌÓ ÓÑÔÐ Ø Ø Ø ÓÒ Û ÓÒ Ö Ø Ö Ú Ö ÕÙ Ø ÓÒº Ï Û ÒØ ØÓ Ø ÖØ Û Ø ÔÐ Ü Ò Û Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ø Ñ Ø ÓÒØ Ò Òº ËØÖ ØÐÝ Ô Ò Ø ÐÐÝ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Û Ò ÔÐ Ü Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ó Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û Ø Ö ÓÖ Ø ÓÒÐÝ ÔÓ Ð Ò Û Öº ÀÓÛ Ú Ö ÙÔÔÓ Û Ò k¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ØÓ Ò n n ÖÖ Ý Ò Û ÐÐ Ø Ö Ð Ò ÓÖ ÐÐ Ø Ð ØØ Ö Ñ Ò Ò Ø Ø Ø ÓÒØ Ò ÓÒ Ó {1,2,...,n}µ Ò Û Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ø Ø µ ÒÓ ÝÑ ÓÐ ÓÙÖ ØÛ Û Ø Ò ÒÝ ÖÓÛ ÓÖ ÓÐÙÑÒ µ ÝÑ ÓÐ ÓÙÖ k Ø Ñ Ò Ø ÖÖ Ý µ ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ ÓÒØ Ò Ü ØÐÝ k ÐÐ ÐÐ º Ì Ø Ò Ö Ò Ø ÓÒ Ó ÓÑÓ Ò ÓÙ Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ð ØÐÝ ÑÓÖ Ò Ö Ðº ÀÓÛ Ú Ö ÓÒ ÑÔØÝ ÖÓÛ Ò ÓÐÙÑÒ Ú Ò Ð Ø Ø Ö Û Ø ÓÙÖ ºµ Ï Ò Ø Ò Ò ÐÝ Û Ø Ö Ø k¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö k¹ôð ܺ Á Ø Ø Ò Û Ý Ø Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÓÑÔÐ Ø Ð Ù Ø Ð Ò ÒØÖ Ò ÐÐ Ò ØÓ ÔÖÓ Ù Ð Ø Ò ÕÙ Ö º Ì ÓÖ Ñ ½ º Á 1 < k < n Ò k > 1 4n Ø Ò Ø Ö Ü Ø k¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û ÒÓØ ÓÑÔÐ Ø Ð º ÙÖØÓÒ Ò Ý Ò Ò À Ú Ø ½ Ò Ô Ò ÒØÐÝ ÓÒ ØÙÖ Ø Ø k 1 4n Ø Ò Ú ÖÝ k¹ôð Ü ÓÑÔÐ Ø Ð º ÁØ Ñ ÖØ Ò Ø Ø ÓÖ k Ù ÒØÐÝ Ñ ÐÐ Ö Ð Ø Ú ØÓ n Ú ÖÝ k¹ôð Ü ÓÑÔÐ Ø Ð º Ì ÐÖ Ý Ò ÔÖÓÚ Û Ò n 0 mod 16 Ò ½ º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ô ÖØ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ö ÙÐØ Ù ØÓ ÙÖØÓÒ Ð Ó Ñ Ö Ð Ú Òغ

17 ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö ½ Ì ÓÖ Ñ ½ º ÓÖ k 1 4n Ú ÖÝ k¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÒØ Ò Ò (k + 1)¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö nº º ÓÚ Ö Ò Ö ÓÖ Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÒÓÚ Ð ÔÔÖÓ ØÓ ÓÒ ØÙÖ 1 Ò ÓÒ ØÙÖ 2 Ö ÒØÐÝ Ò ÓÔ Ò ÙÔ Ý Ò Ö Ã Þ Ý Ò ÀÙÒØ Ö ËÒ Ú Ðݺ ÌÓ ÜÔÐ Ò Ø ÒØ Ö Ø Ò Ò Û ÔÔÖÓ Û Ò ØÓ ÒØÖÓ Ù ÓÑ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ýº ÓÒ Ö Ø ÝÑÑ ØÖ ÖÓÙÔ S n Ñ ØÖ Ô ÕÙ ÔÔ Û Ø À ѹ Ñ Ò Ø Ò º Ì Ø Ø Ø Ò ØÛ Ò ØÛÓ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ g,h S n Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ Ø Û Ø Ý Ö n Ñ ÒÙ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ü ÔÓ ÒØ Ó gh 1 µº Ä Ø P Ù Ø Ó S n º Ì ÓÚ Ö Ò Ö Ù cr(p) Ó P Ø Ñ ÐÐ Ø r Ù Ø Ø Ø ÐÐ Ó Ö Ù r Û Ø ÒØÖ Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ó P ÓÚ Ö Ø Û ÓÐ Ó S n º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ú ÖÝ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ø Ò r Ó ÓÑ Ñ Ñ Ö Ó P Ò r Ó Ò ØÓ Ñ Ò Ñ Ð Û Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØݺ Ì ÓÖ Ñ ½ º Ä Ø P S n Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ º Á P n/2 Ø Ò cr(p) = nº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ö Ü Ø P Û Ø P = n/2 + 1 Ò cr(p) < nº Ì Ö ÙÐØ Ö Ò Ó Ú ÓÙ ÕÙ Ø ÓÒº Ú Ò n Ò s Û Ø Ø Ñ ÐÐ Ø m Ù Ø Ø Ø Ö Ø S Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Û Ø S = m Ò cr(s) n s Ï Ð Ø f(n,s) ÒÓØ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ú ÐÙ mº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Ó ÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ö Ô ¹Ø ÓÖ Ø Ð Ò Ù º Ò Ø Ö Ô G n,s ÓÒ Ø Ú ÖØ Ü Ø S n Û Ø ØÛÓ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ø Ý Ö Ò Ø Ð Ø s ÔÐ º ÆÓÛ Ø Þ Ó Ø Ñ ÐÐ Ø ÓÑ Ò Ø Ò Ø Ò G n,s f(n,s)º Ì ÓÖ Ñ ½ ÓÛ Ø Ø f(n,1) = n/2 + 1º Ë Ò ÒÝ ØÛÓ Ø ÒØ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ú Ø Ò Ø Ð Ø 2 Û Ø Ø f(n,n 1) = n! ÓÖ n 2º ÅÓÖ ÓÚ Ö f(n,s) ÑÓÒÓØÓÒ ÒÖ Ò ÙÒØ ÓÒ Ó s Ý Ò Ø ÓÒµº Ì Ò ÜØ ØÓ ÓÒ Ö f(n,2)º Ã Þ Ý Ò ËÒ Ú ÐÝ Ñ Ø Óй ÐÓÛ Ò ÓÒ ØÙÖ Ò ÙÒÔÙ Ð ÒÓØ º ÓÒ ØÙÖ º Á n Ú Ò Ø Ò f(n,2) = n n Ó Ø Ò f(n,2) > nº Ì Ã Þ Ý ËÒ Ú ÐÝ ÓÒ ØÙÖ Ú Ö Ð ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð º Ì ÖÓÛ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n ÓÖÑ ÖÔÐÝ ØÖ Ò Ø Ú Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ø Ø Ü ØÐÝ ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÖÖ i ØÓ j ÓÖ ÒÝ i Ò jµ Ò Ú ÖÝ ÖÔÐÝ ØÖ Ò Ø Ú Ø Ø Ø Ó ÖÓÛ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö º

18 ½ Áº ź Ï ÒÐ Ì ÓÖ Ñ ¾¼º Ä Ø S ÖÔÐÝ ØÖ Ò Ø Ú Ù Ø Ó S n º Ì Ò S ÓÚ Ö Ò Ö Ù Ø ÑÓ Ø n 1 Û Ø ÕÙ Ð ØÝ Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö ØÖ Ò Ú Ö Ðº ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º Á Ø Ö Ü Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö n Û Ø ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø Ò f(n,2) nº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÓÐ ÓÖ n Ú Òº À Ò ÓÒ ØÙÖ 7 ÑÔÐ ÓÒ ØÙÖ 1 Ã Þ Ý Ò ËÒ Ú ÐÝ Ó ¹ ÖÚ º ÁÒ Ø ØÖÓÒ Ö Ö ÙÐØ ÓÐ Ì ÓÖ Ñ ¾½º Á S Ø Ø Ó ÖÓÛ Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö L Ó ÓÖ Ö n Û Ø ÒÓ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ø Ò S ÓÚ Ö Ò Ö Ù n 2º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ Ù ØÓ Ã Þ Ý Ò ËÒ Ú Ðݺ Ë ÓÖ ÔÖÓÓ º Ì ÓÖ Ñ ¾¾º ÓÒ ØÙÖ 7 ÑÔÐ ÓÒ ØÙÖ 2º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ØÓ ÓÐÚ Ø ÐÓÒ Ø Ò Ò ÊÝ Ö Ò ÖÙ Ð ÓÒ ØÙÖ Ø Ñ Ý Ù ØÓ Ò Û Ö Ø ÀÓÛ Ñ ÐÐ Ò Û Ñ Ù Ø S S n Û Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø Ú ÖÝ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò S n Ö Û Ø ÓÑ Ñ Ñ Ö Ó S Ò Ø Ð Ø ØÛÓ ÔÐ ÁÒ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾ Û Ù Ð Ø Ò ÕÙ Ö ØÓ Ò Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ f(n,2) Û Ò n Ú Òº ÓÖ Ó n Û Ò Ð Ó Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ð Ø Ò ÕÙ Ö º Ì ØÓ ÓÓ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û Ø Û ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÖ Û Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ú Ô ÖØ ÙÐ Ö ØÖÙØÙÖ Ò Ñ ÐÐ Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ñ Ø Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð ØÛ º ÓÖ n = 5,7,9 Û ÒÓÛ Ú Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÓÖ Û Ò Ð ÜØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ù ÓÛ Ò Ø Ø f(n,2) n + 1 Ò Ø º ÁÒ Ò Ö Ð Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ º f(n,2) 4 3n + O(1) ÓÖ ÐÐ nº Ì Ö Ö ÒÓÙÖ ØÓ ÓÙØ Ò Ø ÙÖÚ Ý Ý ÉÙ ØÓÖ ÓÖ ÑÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÚ Ö Ò Ö ÓÖ Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ º

19 ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö ½ º ÓÒÐÙ Ò Ê Ñ Ö Ï Ú ÓÒÐÝ Ò Ð ØÓ Ú Ø Ö Ø Ó ÓÚ ÖÚ Û Ó Ø Ò Ø Ò Ù Ø Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ø ÙÖÚ Ýº ËÔ ÓÒ ØÖ ÒØ Ú ÓÖ Ø ÓÑ ÓÒ Ó ÑÙ ÛÓÖØ Ý Ñ Ø Ö Ð ÒÐÙ Ò ÔÖÓÓ Ó Ø Ø ÓÖ Ñ ÕÙÓØ º ÀÓÛ Ú Ö Ú Ò Ø Ö Ñ ÖÓ Ø ÙÖ ÓÛÒ Ø Ø Ñ ÒÝ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò ÙÒ Ò Û Ö Ò ÑÙ ÛÓÖ Ö Ñ Ò ØÓ ÓÒ º Ê Ö Ò ½ ʺ º Ð Ý ÇÖØ Ó ÓÒ Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÓÖÖ Ø Ö ÔÖ Òص º Ó ÖÝÔØÓ Öº ½ µ º ¾ ú Ð Ù Ö Ñ Ò Ò ÇÒ ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ä Ò Ö Ð Ö ÔÔк ½ ½ ½ ¼µ ½¾ ½¾ º º ÓÖ Ò Êº ź Ï Ø Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ø ÝÐ Ý Ø Ð Ó Ø ÒÓÒ¹ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö 8 Ö Ø Å Ø º ½»½ ½ µ ½º º º ÖÓÙÛ Ö º º ÎÖ Ò Êº ź º Ï Ö Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø Ð Ò Ø Ó Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Æ ÙÛ Ö º Ï º µ ¾ ½ µ ¼ ¾º º Ϻ ÖÓÛÒ Ò º ̺ È Ö Ö ÅÓÖ ÓÒ ÓÖ Ö 10 ØÙÖÒ¹ ÕÙ Ö Ö ÓÑ Òº ½ µ ½¾ ½¾ º º ÖÝ ÒØ Âº Ò º ź Å Ò ÙØ Ò Áº ź Ï ÒÐ ÁÒ Ú Ð ÔÐ Ü Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÔÖ ÔÖ Òغ º ÙÖØÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÓÒÓÙÖ Ø ÍÒ Ú Ö¹ ØÝ Ó ÉÙ Ò Ð Ò ½ º Ⱥ º Ñ ÖÓÒ Ò Áº ź Ï ÒÐ ÓÚ Ö Ò Ö Ù ÓÖ Ø Ó Ô ÖÑÙØ ¹ Ø ÓÒ Ö Ø Å Ø º ¾ ¾¼¼ µ ½ ½¼ º º º ÓÐ ÓÙÖÒ Ò Âº Àº Ò ØÞ µ Ì Ê Ò ÓÓ Ó ÓÑ Ò ¹ ØÓÖ Ð Ò Ê ÈÖ Ó Ê ØÓÒ Ä ½ º ½¼ º ÓÓÔ Ö ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÓ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ø Ê ÓÖ Ò ËØÓÖ Ò ÈÖÓ Ò Æ Øº º Ë º Í Ö Ò µ ¾º ¾¼¼¼µ ½ ¾ º ½½ º ÓÓÔ Ö Êº Ð Ö Ø Áº ÃÓÚ Ð Ò Ó º ÆÓÚ ÓÚ Ö Ú Ò Ø ÒÙѹ Ö Ó ÓÓ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Û Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ÖÝÔØÓ Ö Ô Ý Ý ÖÒ Øº ËÝ Ø Ñ Ò Ðº ¾¼¼¼µ ½¼ ½ º

20 ¾¼ Áº ź Ï ÒÐ ½¾ º ÓÓÔ Ö Ò Áº ź ÃÓÚ Ð Ò Ó Ì ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ì ÓÖÝ ÈÖÓ º Å Ø º ËØ Ø Øº ½ µ º ½ º ÐÐ ÎÓÐØ Ò Æº Ú ÓÐ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ò ÓÑ Ð Ò Ö Ò ÔÖÓ Ø Ú ÖÓÙÔ Ö º Å Ø º е ½ ½ µ ½½½ ½½ º ½ º º Ý Ò Ò Êº À Ú Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ô Ö Ô ÖØ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ö Ô Ø ÓÖÝ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ ½¾ ½ ¾ Ñ ÈÖ ÄÓÒ ÓÒ ½ º ½ º Ò Ò º º Ã Û ÐÐ Ä Ø Ò ÕÙ Ö Ò Ø Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ñ Ã Ù Ô Ø ½ º ½ º Ò Ò º º Ã Û ÐÐ Ä Ø Ò ÕÙ Ö Æ Û Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ò Ø Ø ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ÒÒº Ö Ø Å Ø º ÆÓÖØ ¹ÀÓÐÐ Ò Ñ¹ Ø Ö Ñ ½ ½º ½ º Ò Ò º º Ã Û ÐÐ Ò Û ÓÒ ØÙÖ ÓÒ ÖÒ Ò Ñ Ð ØÝ Ó ÖÓÙÔ ÙÖÓÔ Ò Âº ÓÑ Òº ½¼ ½ µ ½ ½ ½ º ½ Áº Áº Ö Ò Ó ÇÒ ÓÒ ØÙÖ Ó ÖÙ Ð Ò ÊÙ Òµ Šغ Á Ð º ÆÓº ½¼¾ Á Ð º ÇÔ Öº ÃÚ Þ ÖÙÔÔ ½ µ ½½ º ½ º º Ö Å Ü Ñ Ð Ø Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ò Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Âº ËØ Ø Øº ÈÐ ÒÒº ÁÒ Ö Ò ½ ½ µ ½ ½ º ¾¼ º Ò Ò Áº ź Ï ÒÐ Ä Ø Ò ÕÙ Ö Û Ø ÒÓ Ñ ÐÐ Ó ÔÐ Ü ÔÖ ÔÖ Òغ ¾½ Ⱥ Ö Âº ËÔ Ò Ö ÄÓÔ ÄÓÚ Þ ÐÓ Ð Ð ÑÑ Ò Ð Ø Ò ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð Ö Ø ÔÔк Å Ø º ¼ ½ ½µ ½ ½ ½ º ¾¾ º º Ú Ò Ì Ü Ø Ò Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ó Ò Ø ÖÓÙÔ ÓÒ Öº ÆÙÑ Öº ¼ ½ ¾µ º ¾ º º Ú Ò Ì Ü Ø Ò Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ó SL(2,q) q 3 ÑÓ ÙÐÓ Ò Ø Ð ÔÔк ½½ ¾¼¼ µ ½ ½ ½ º ¾ º º Ú Ò Ä Ø Ò ÕÙ Ö Û Ø ÓÙØ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø º Ó ÖÝÔ¹ ØÓ º ¼ ¾¼¼ µ ½¾½ ½ ¼º ¾ º º ÒÒ Ý ËÓÑ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø 4 4 Ò 6 6 Ð Ø Ò ÕÙ Ö º ÒÒº Ù Ò ½¾ ½ µ ¾½ ¾½ º ¾ Àº Ù Ò Ëº Ä Ò Ì Ð Ò Ø Ó Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Âº ÓÑ Òº Å Ø º ÓÑ Òº ÓÑÔÙغ ¾¼¼¾µ º ¾ º º ÐÐ Ð Ò ÒÓØ ÓÒ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò ÓÑ Û Ðй ÒÓÛÒ ØÖÙØÙÖ Ò Ò Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÒÒº ËØ Ø Øº ½ µ ¼º ¾ ź À ÐÐ Ò Äº º È ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ó Ò Ø ÖÓÙÔ È Âº Å Ø º ½ µ ½ º

21 ÌÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ä Ø Ò ËÕÙ Ö ¾½ ¾ Ⱥ À Ø Ñ Ò Èº Ϻ Ë ÓÖ ÖÖ ØÙÑ ØÓ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø Ð Ò Ø Ó Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Âº ÓÑ Òº Ì ÓÖÝ Ë Öº ØÓ ÔÔ Öº ¼ º À Ò º º À Ù Ò º Ⱥ Ë ÇÒ Ø Ö Ò Ó ÓÙÒØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò º Å Ø º ¾ ¾¼¼ µ ½¼¼º ½ º À Ò º Ë Ò º Ò Ì ÝÐ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò ÓÙÒع Ò ÔÖÓ Ð Ñ È ÈË ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÖ ÌÈ ÛÓÖ ÓÔ Ò ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Û Ø ¹½ Ò ÄÓ ¾¼¼¾ ÓÔ Ò Ò ¾¼¼¾µº ¾ ĺ ÀÙ Ò º Ä ÓÐÓÖ Ö ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ö Ø ÖÓ ÖÓÑ Ø Ñ Ø Ò Ò ¹ÓÐÓÖ Ô ÖØ Ø Ö Ô ØØÔ»» ÖÜ ÚºÓÖ»»Ñ Ø º Ç»¼ ¼ º º ź ÂÓ Ò ÓÒ º ĺ ÙÐÑ Ò Æº ˺ Å Ò Ð Ó Ò ÇÖØ ÓÑÓÖÔ Ñ Ó ÖÓÙÔ Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö Á Ò º º Å Ø º ½ ½ ½µ ¾º ʺ à ÐÐ ÖÓÚ º ÊÓ ÖØ Êº ËØ ÖÒ Ð Êº Ì Ñ Þ Êº Ö Ý Ò º Ã Ð Ä Ø Ò ÕÙ Ö Ò ÓØ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ Öº ÆÙÑ Öº ½½ ½ µ ½ ½ ½ º ú ú ÃÓ Ñ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÓÖ Ö Ó Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Âº ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ì ÓÖÝ ½ µ º Áº ƺ ÃÓÚ Ð Ò Ó ÍÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ Ô Ý¹ ÖÒ Øº ËÝ Ø Ñ Ò Ðº ¾ ½ µ º º Ä ÝÛ Ò Ò º ĺ ÅÙÐÐ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ù Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ï Ð Ý Æ Û ÓÖ ½ º º ź Å Ò ÙØ Ò Áº ź Ï ÒÐ ØÓÑ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ó ÓÖ Ö Ð Ú Ò Âº ÓÑ Òº º ½¾ ¾¼¼ µ ½¾ º º Å ÐÐ Ø ËÙÖ Ð ÖÖ Ð Ø Ò ³ ÙÐ Ö Óº Ö Òº Òº ¾ ½ µ ¾ ¾ ¾º ¼ Àº º Å ÒÒ Ì ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÒÒº Å Ø º ËØ Ø Ø ½ ½ ¾µ ½ ¾ º ½ º º ÅÃ Ý º Å ÝÒ ÖØ Ò Ïº ÅÝÖÚÓÐ ËÑ ÐÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÕÙ ¹ ÖÓÙÔ Ò ÐÓÓÔ Âº ÓÑ Òº º ½ ¾¼¼ µ ½½ º ¾ º º ÅÃ Ý Âº º ÅÄ Ó Ò Áº ź Ï ÒÐ Ì ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ú Ö¹ Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö º Ó ÖÝÔØÓ Öº ¼ ¾¼¼ µ ¾ ¾ º ĺ º È ÓÑÔÐ Ø Ñ ÔÔ Ò Ó Ò Ø ÖÓÙÔ È Âº Å Ø º ½ ½ ½µ ½½½ ½½ º

22 ¾¾ Áº ź Ï ÒРº ÉÙ ØÓÖ ÙÖÚ Ý ÓÒ Ô Ò Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø À ѹ Ñ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ËÔ Ð ØÖÓÒº º ÓÑ Òº ½ ¾¼¼ µ ½º Áº Ê Ú Ò Áº Î Ö Ò Èº ÑÑ ÖÑ Ò Ì n¹éù Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Öº Å Ø º ÅÓÒØ ÐÝ ½¼½ ½ µ ¾ º Àº º ÊÝ Ö Æ Ù Ö ÈÖÓ Ð Ñ Ö ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÎÓÖØÖ Ö ÃÓѹ Ò ØÓÖ Ç ÖÛÓÐ ¾ ¾ ÂÙÐ ½ µ ½º º Ⱥ Ë È ÖØ Ø ÓÒ ØÖ Ø ÓÖ #ȹÓÑÔÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ ØÓ ÒÙÑ Ö Ø Ú ÓÑ Ò ØÓÖ È Ø Æ Ø ÓÒ Ð Ì Û Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ ¾¼¼½º º Ⱥ Ë ÔÖ Ú Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ¾¼¼ µº º Ⱥ Ë Âº À Ò Ò º º À Ù ÇÒ Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó Ð Ò k¹óñôð Ø Ñ ÔÔ Ò ÓÒ Öº ÆÙÑ Öº ½ ¾¼¼¼µ º ¼ Ⱥ Ϻ Ë ÓÖ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø Ð Ò Ø Ó Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Âº ÓÑ Òº Ì ÓÖÝ Ë Öº ½ ¾µ ½ º ½ º º Ì ÓÑ Ò º κ ÏÓÓ ÖÓÙÔ Ø Ð Ë Ú Å Ø Ñ Ø Ë Ö ¾ Ë Ú ÈÙ Ð Ò Æ ÒØÛ ½ ¼º ¾ Áº Î Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ê Ö Ø ÓÒ Ò Å Ø Ñ Ø ÓÒ¹Ï Ð Ý Ê ÛÓÓ ØÝ ½ ½º ź Î Ù Ò¹Ä Ò Áº ź Ï ÒÐ Ä Ø Ò ÕÙ Ö Ò Ø À ÐÐ¹È ÓÒ ØÙÖ ÙÐк ÄÓÒ ÓÒ Å Ø º ËÓº ¾¼¼ µ ½ º º Àº º Ú Ò Ê ËÙ ÕÙ Ö Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð Ò Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ö ÓÑ Òº ¾ ½ ¼µ ½ ¾¼ º Áº ź Ï ÒÐ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÖ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ð ¹ ØÖÓÒº º ÓÑ Òº ½µ ¾¼¼¾µ ʽ¾º Áº ź Ï ÒÐ ÓÒ ÐÐÝ ÝÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÙÖÓÔ Ò Âº ÓÑ Òº ¾ ¾¼¼ µ ½ º Áº ź Ï ÒÐ Ò º ˺ Ï Ì Ü Ø Ò Ó Ð Ø Ò ÕÙ Ö Û Ø ÓÙØ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ñ Ø º Ó ÖÝÔØÓ º ¼ ¾¼¼ µ ½ ½ ½ º ˺ Ï ÐÓÜ Ê ÙØ ÓÒ Ó Ø À ÐÐ¹È ÓÒ ØÙÖ ØÓ ÔÓÖ ÑÔÐ ÖÓÙÔ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º ÖÚ Ö º Ù» Ø Û ÖØÛ» ÐÐÔ ¾ºÔ º º ÏÓÓÐ Ö Ø Ò n n Ð Ø Ò ÕÙ Ö ØÖ Ò Ú Ö Ð Û Ø Ø Ð Ø n n Ø ÒØ ÝÑ ÓРº ÓÑ Òº Ì ÓÖÝ Ë Öº ¾ ½ µ ¾ ¾ º Ë ÓÓÐ Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ÅÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Î ¼¼ Ù ØÖ Ð ¹Ñ Ð ÒºÛ ÒÐ ºÑÓÒ º Ùº Ù

Ð Ò ØÓ ØØ Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ÙÐغ Ì ÓÙÖ Ô Ö Ñ ØÓÛ Ö Ø Ø Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ÙÐØ Ò Ô Ö Ý Ø Ô Ô Ö Ó È Ô Ñ ØÖ ÓÙ Ò Î ÑÔ Ð ÓÒ ÌÖ Ú Ð Ò Ë Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ µ Ø

Ð Ò ØÓ ØØ Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ÙÐغ Ì ÓÙÖ Ô Ö Ñ ØÓÛ Ö Ø Ø Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ÙÐØ Ò Ô Ö Ý Ø Ô Ô Ö Ó È Ô Ñ ØÖ ÓÙ Ò Î ÑÔ Ð ÓÒ ÌÖ Ú Ð Ò Ë Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ µ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ À Ö Ò ÓÖ ËÑ ÐÐ ÇÙÖÖ Ò ÁÒ Ø Ò Ó ÆȹÀ Ö ÈÖÓ Ð Ñ Å ÖÓ Ð Ú Ð Ò Â Ò Ð ÓÚ ¾ ¾ ÅÈÁ ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ë Ò ¹¼ ¼ Ä ÔÞ Í ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÙÒ ÈÖ Ø Å Ø Ñ Ø ¹¾ ¼ Ã Ð Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ ¹ к ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÓÒØÖ

More information

Ä ÓÖ ØÓ Ö ÓÖ Ð Ê Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÍÅÊ ¼¼ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø ÓÖ ÙÜ Á ½ ÓÙÖ Ð Ä Ö Ø ÓÒ ¼ Ì Ð Ò Ü Ö Ò Ê Ö Ê ÔÓÖØ Êʹ½ ¼ ¹¼ Ò Æ ÒØ Ò ÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø Û Ò Ð Ó ÓÙÑ ÒØ Ñ Ý Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ý Â ÕÙ ¹ÇÐ Ú

More information

Ì ÓÑÔÙØ Ð Ñ Ò ÓÒ Ó ÌÖ Ó ÁÒ Ò Ø À Ø ÊÙ ÐÐ Å ÐÐ Ö ÂÙÐÝ ¾ ¾¼¼ Ì Ö Ø ÓÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÖØ Ð ÔÔ Ö ÔØ Ö Ó È º º Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ó ÙÒ Ö Ø ÙÔ ÖÚ ÓÒ Ó ÊÓ ÖØ Áº ËÓ

Ì ÓÑÔÙØ Ð Ñ Ò ÓÒ Ó ÌÖ Ó ÁÒ Ò Ø À Ø ÊÙ ÐÐ Å ÐÐ Ö ÂÙÐÝ ¾ ¾¼¼ Ì Ö Ø ÓÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÖØ Ð ÔÔ Ö ÔØ Ö Ó È º º Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ó ÙÒ Ö Ø ÙÔ ÖÚ ÓÒ Ó ÊÓ ÖØ Áº ËÓ Ì ÓÑÔÙØ Ð Ñ Ò ÓÒ Ó ÌÖ Ó ÁÒ Ò Ø À Ø ÊÙ ÐÐ Å ÐÐ Ö ÂÙÐÝ ¾ ¾¼¼ Ì Ö Ø ÓÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÖØ Ð ÔÔ Ö ÔØ Ö Ó È º º Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ó ÙÒ Ö Ø ÙÔ ÖÚ ÓÒ Ó ÊÓ ÖØ Áº ËÓ Ö º Ì Ò Ö Ð Ó Ù ØÓ ÝÖ Ã ÓÙ ÒÓÚ Û Ó ÓÖ Ò ÐÐÝ ÔÓ Ø ÕÙ

More information

ÝÓÒ ÀÝÔ ÖØÖ Ï Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ø Ó Ï Ø ÓÙØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÀÙ Ò Ò Î ØÓÖ ÐÑ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ì ÒÓÐÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÑÔ Ù Ö Ö ÐÓÒ ËÔ Ò Ù º Ò Ú ØÓÖº ÐÑ Ù ÙÔ º Ù ØÖ Øº Ì Ò

ÝÓÒ ÀÝÔ ÖØÖ Ï Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ø Ó Ï Ø ÓÙØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÀÙ Ò Ò Î ØÓÖ ÐÑ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ì ÒÓÐÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÑÔ Ù Ö Ö ÐÓÒ ËÔ Ò Ù º Ò Ú ØÓÖº ÐÑ Ù ÙÔ º Ù ØÖ Øº Ì Ò ÝÓÒ ÀÝÔ ÖØÖ Ï Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ø Ó Ï Ø ÓÙØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÀÙ Ò Ò Î ØÓÖ ÐÑ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ì ÒÓÐÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÑÔ Ù Ö Ö ÐÓÒ ËÔ Ò Ù º Ò Ú ØÓÖº ÐÑ Ù ÙÔ º Ù ØÖ Øº Ì Ò Ö Ð ÒØÖ Ø Ð ØÝ Ó Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ ¹ Ð Ñ ÑÓØ Ú

More information

½º¾ Ò Ø ÓÒ Ì Ò Ó Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ð Þ Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ ½ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ðݵ Ñ ÐÝ ¾ ¼ ½ ¾Æ ÐÐ Ñ ÐÝ Ó Ð µ Ä µµ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ ¾

½º¾ Ò Ø ÓÒ Ì Ò Ó Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ð Þ Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ ½ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ñ Ðݵ Ñ ÐÝ ¾ ¼ ½ ¾Æ ÐÐ Ñ ÐÝ Ó Ð µ Ä µµ È Ù Ó Ê Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ ¾ ¾¾º ¼ ¹¼¼ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÖÝÔØÓ Ö Ô Ý ÆÓÚ Ñ Ö Ø ¾¼¼½ Ä ØÙÖ Ä ØÙÖ Ö Ú Ò Ý Ó ËÖ ÒØÓÒ Ó Æ ÓÐÓ Ä Ø Ø Ñ Û Ò Û Ø Û Ñ Ò Ý Ë Ö Ø Ã Ý ÒÖÝÔØ ÓÒ Ñ Ëà µ Ò Û ÒØÖÓ Ù ØÛÓ Ö Ð Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÙÖ Øݺ Ì Ò Û ÓÛ ÓÛ ÈÊ Ñ Ý Ù ØÓ

More information

ËÌ Ä Å Ä Å ÌÁÇÆ ÂÓ Ò Ìº Ð Û Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ËØ Ø Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÁÐÐ ÒÓ Ø Ó Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼¼ Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó ºÁºÅ Ð Úº ÁÒ ½ ÖÞ ÓÖÞÝ Û Ø Ö

ËÌ Ä Å Ä Å ÌÁÇÆ ÂÓ Ò Ìº Ð Û Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ËØ Ø Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÁÐÐ ÒÓ Ø Ó Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼¼ Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó ºÁºÅ Ð Úº ÁÒ ½ ÖÞ ÓÖÞÝ Û Ø Ö ËÌ Ä Å Ä Å ÌÁÇÆ ÂÓ Ò Ìº Ð Û Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ËØ Ø Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÁÐÐ ÒÓ Ø Ó Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼¼ Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó ºÁºÅ Ð Úº ÁÒ ½ ÖÞ ÓÖÞÝ Û Ø Ö Ø Ö Û Ö ÓÒØ ÒÙÙÑ Ñ ÒÝ «Ö ÒØ ¼ ¹ Ø ÓÖ Ð Ø ÓÖ º Ï Ø

More information

Ú Ð Ð ÓÒÐ Ò Ø ØØÔ»» Ѻ Ö Ùº º Ö ÁÒغ º ÁÒ Ù ØÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÎÓк ÆÓº ¾¼½½µ ½ ½¹½ ½ Ê Ò Ò ÍÒ Ø Ò Ý Í Ò Ø ÎÓØ Ò ËÝ Ø Ñ Åº à ÒÑÓ ÑÑ Êº ÐÐ Ò µ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å

Ú Ð Ð ÓÒÐ Ò Ø ØØÔ»» Ѻ Ö Ùº º Ö ÁÒغ º ÁÒ Ù ØÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÎÓк ÆÓº ¾¼½½µ ½ ½¹½ ½ Ê Ò Ò ÍÒ Ø Ò Ý Í Ò Ø ÎÓØ Ò ËÝ Ø Ñ Åº à ÒÑÓ ÑÑ Êº ÐÐ Ò µ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ú Ð Ð ÓÒÐ Ò Ø ØØÔ»» Ѻ Ö Ùº º Ö ÁÒغ º ÁÒ Ù ØÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÎÓк ÆÓº ¾¼½½µ ½ ½¹½ ½ Ê Ò Ò ÍÒ Ø Ò Ý Í Ò Ø ÎÓØ Ò ËÝ Ø Ñ Åº à ÒÑÓ ÑÑ Êº ÐÐ Ò µ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ë Ò Ò Ê Ö Ö Ò Á Ð Ñ Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ð Ñ Ö ÁÖ Òº µ

More information

Plot A. Plot B. Plot D. Plot C

Plot A. Plot B. Plot D. Plot C Ï Ò Ó Ø ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ò ÙÒ Ø Ð ØÝ Å Ð ÅÓÐÐÓÝ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÌÓÖÓÒØÓ ÌÓÖÓÒØÓ Ò Å Ö ¼¼ ØÖ Ø Ï ØÙ Ý Ö Ò ÓÑ ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ò Ø Û Ð Ó ÑÓ Ð ÒØÖÓ Ù Ý Ø ÙØ ÓÖ Û ÒÐÙ Ú Ö ÓÙ ÓÖÑ Ó

More information

Ô ØÙ Ø Ò Ø ÔÐ Ò º Ì ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ô Ò Ø ÔÖÓ ÙÖ Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø ÐÓÛÒ Ú ØÓÖ ØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Ò ØÓ Ø ÔÐ Ò º Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÔÐ Ý Ò ÑÔÓÖØ ÒØ

Ô ØÙ Ø Ò Ø ÔÐ Ò º Ì ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ô Ò Ø ÔÖÓ ÙÖ Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø ÐÓÛÒ Ú ØÓÖ ØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Ò ØÓ Ø ÔÐ Ò º Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÔÐ Ý Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ô Ø ÓÒ Ó ÔÐ Ò Û Ú Ò ÓØÖÓÔ Ò Ò ÓØÖÓÔ Ú Ó Ð Ø Ñ ÎÐ Ø Ð Ú ÖÚ Ò Ý ½ Ò ÁÚ Ò È Ò ¾ ½ ÖÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÙÐØÝ Ó Å Ø Ñ Ø Ò È Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÔ Ý Ã Ã ÖÐÓÚÙ ½¾½ ½ ÈÖ ¾ Þ Ê ÔÙ Ð º ¹Ñ Ð Ú ÖÚ ÒÝ º ÖÐÓںѫºÙÒ ºÞ

More information

Ñ Ò Ò Ð Û Ø ÓÑÔÐ Ü ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ø ÓÑ Ò Ö ÒØ Ò Ó ØÖÙØÙÖ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ó Ø Ò Û ÒØ Ñ Ø Ó Ø Ø Ò Ð Ø Ò ÐÝ Ø ØÓ ÕÙ ÒØ ÐÐÝ ÜØÖ Ø ÑÔÐ ØÖÙØÙÖ ÇÒ Ø

Ñ Ò Ò Ð Û Ø ÓÑÔÐ Ü ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ø ÓÑ Ò Ö ÒØ Ò Ó ØÖÙØÙÖ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ó Ø Ò Û ÒØ Ñ Ø Ó Ø Ø Ò Ð Ø Ò ÐÝ Ø ØÓ ÕÙ ÒØ ÐÐÝ ÜØÖ Ø ÑÔÐ ØÖÙØÙÖ ÇÒ Ø Ð Ñ ÒØ Ð Ë Ø Å Ø Ó Ò Ú ÍÒ Ö ØÝ Ù ½ Ñ Ò Ò Ð Û Ø ÓÑÔÐ Ü ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ø ÓÑ Ò Ö ÒØ Ò Ó ØÖÙØÙÖ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ó Ø Ò Û ÒØ Ñ Ø Ó Ø Ø Ò Ð Ø Ò ÐÝ Ø ØÓ ÕÙ ÒØ ÐÐÝ ÜØÖ Ø ÑÔÐ ØÖÙØÙÖ ÇÒ Ø Ø º Ò ½º ÁÒØÖÓ

More information

Ë Ø Ó ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÙÖ Û Û ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÒÙÑ Ö º ÁÒ ÓÑÔÙØ Ö Ò Û Ö ÓÒ ÖÒ Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÛ Ó Û Ú Ù Ø Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð Ì Û Ý ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ

Ë Ø Ó ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÙÖ Û Û ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÒÙÑ Ö º ÁÒ ÓÑÔÙØ Ö Ò Û Ö ÓÒ ÖÒ Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÛ Ó Û Ú Ù Ø Ø ÓÙÖ ÔÓ Ð Ì Û Ý ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ð ØÝ ÄÓ Ò ÆÙÑ Ö Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ñ Ð ÖÐ Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÍÒ Ú Ö Ø Ä ÆÌ ¾¼½ ¹ Å Ö ÐÐ ÆÓÚ Ñ Ö ¾ ¹ Ñ Ö ¾ Ë Ø Ó ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÁÒ Ø ÓÙÖ Û Û ÐÐ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÒÙÑ Ö º ÁÒ ÓÑÔÙØ Ö Ò Û Ö ÓÒ ÖÒ Ý Ø ÕÙ

More information

edges added to S contracted edges

edges added to S contracted edges Ì Å Ü ÑÙÑ ÝÐ ËÙ Ö Ô ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö ¹ Ö Ô Ð ÒØ Æ ÛÑ Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÅÁÌ Ñ Ö Å ¼¾½ ¹Ñ Ð Ð ÒØ Ø ÓÖݺРºÑ غ Ù Ï ØÙ Ý Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÝÐ Ù Ö Ô Ó Ú Ò Ö Ø Ö Ô Ò Û Ø Ñ Ü ÑÙÑ ØÓØ Ð Ö Ò ÔÐÙ ÓÙص

More information

½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÒÓÑ ÈÓÖØ Ð Û ¹ ÒØ Ö Ø Ú ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÔÐ Ø ÓÖÑ ÓÖ Ø Ò Ð¹ Ý Ò Ñ Ò Ò Ó ÒÓÑ Ø º Ï Ñ ØÓ ÒØ Ö Ø Ø ÔÖ Ñ ÖÝ ÒÓÑ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÒÓÛÐ Ò Ò ÐÝØ Ð ØÓÓÐ Û

½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÒÓÑ ÈÓÖØ Ð Û ¹ ÒØ Ö Ø Ú ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÔÐ Ø ÓÖÑ ÓÖ Ø Ò Ð¹ Ý Ò Ñ Ò Ò Ó ÒÓÑ Ø º Ï Ñ ØÓ ÒØ Ö Ø Ø ÔÖ Ñ ÖÝ ÒÓÑ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÒÓÛÐ Ò Ò ÐÝØ Ð ØÓÓÐ Û ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ ¾ ËØ ÖØ Ý ÓÒ ØÖÙØ Ò Ò Ð Ø ¾ ¾º½ Í Ò ÔÖ Ò Ò Ð Ø µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ë Ö ÓÖ Ò Ó ÒØ Ö Ø Ù Ò ÒØÖ Þ ÝÑ ÓÐ ÓÖ Ö ÔØ ÓÒº ¾º È Ø Ð Ø Ó Ò Ò Ø ÓÜ ÔÖÓÚ º º º º

More information

LCNS, Vol 1767, pp , Springer 2003

LCNS, Vol 1767, pp , Springer 2003 Ø Ö Ü Ø ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Å Ü¾Ë Ø Â Ò Ö ÑÑ ÊÓÐ Æ ÖÑ Ö Ï Ð ÐÑ¹Ë Ö ¹ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò Ë Ò ½ ¹ ¾¼ ÌĐÙ Ò Ò º Ê Ôº Ó ÖÑ ÒÝ Ö ÑÑ Ò ÖÑÖ Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ ¹ØÙ Ò Òº ØÖ Øº Ú Ò ÓÓÐ Ò ¾ Æ ÓÖÑÙÐ Ø Å Ü¾Ë

More information

½µ ÓÖ È µ Ô ÛÒ Ò Ò Ø Ò Ó ÔÖÓ È ÓÖ ÓÙÖÖ Ò Ó ÙÖÖ ÒØÐÝ Ò Ø Ø Ô ¾µ ÒÓØ Ý È µ ÔÖÓ Ù Ð Ø Ò Ö Ø Ø Û ÒÓØ Û Ø ÓÒ È µ Û Û ÐÐ Ô ÛÒ Ò Ò Ø Ò Ó È Ø Ñ Ò Û ÔÖÓ Ù µ ÑÓ

½µ ÓÖ È µ Ô ÛÒ Ò Ò Ø Ò Ó ÔÖÓ È ÓÖ ÓÙÖÖ Ò Ó ÙÖÖ ÒØÐÝ Ò Ø Ø Ô ¾µ ÒÓØ Ý È µ ÔÖÓ Ù Ð Ø Ò Ö Ø Ø Û ÒÓØ Û Ø ÓÒ È µ Û Û ÐÐ Ô ÛÒ Ò Ò Ø Ò Ó È Ø Ñ Ò Û ÔÖÓ Ù µ ÑÓ ËØ Ø ¹ Ò Ú Òع Ê Ø Ú ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ò Ë Ö Ø Ô Æ Ù ½ ÒØÓÒÝ ÊÓÛ ØÖÓÒ ¾ Ò ÒÐÙ Ú ØØ ÖÓ ½ ½ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ë ÒÞ ÐгÁÒ ÓÖÑ Þ ÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÓÐÓ Ò È ÞÞ ÈÓÖØ Ëº ÓÒ ØÓ Á¹ ¼½¾ ÓÐÓ Ò ÁØ Ðݺ ¹Ñ Ð Ù Þ Ú ØØ Ö ºÙÒ Óº Ø ¾ Å ÖÓ Ó

More information

Ì Ö Ö Ü ÑÔÐ Ó ÒØ Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ø Ø ÔÖÓÚ ÓÓ ÙÔ¹ ÔÓÖØ ÓÖ Ô Ý Ò ÒØ Ý Ø Ñ ÒÐÙ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò ÒØ º ÒØ ¾ Ò ÒعÓÖ ÒØ ÜØ Ò ÓÒ ØÓ Ç Ø¹ Û ÒÐÙ ÓÒ ÔØ Ù ÖÓÐ ÒØ

Ì Ö Ö Ü ÑÔÐ Ó ÒØ Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ø Ø ÔÖÓÚ ÓÓ ÙÔ¹ ÔÓÖØ ÓÖ Ô Ý Ò ÒØ Ý Ø Ñ ÒÐÙ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÛ Ò ÒØ º ÒØ ¾ Ò ÒعÓÖ ÒØ ÜØ Ò ÓÒ ØÓ Ç Ø¹ Û ÒÐÙ ÓÒ ÔØ Ù ÖÓÐ ÒØ ÅÙÐØ ¹ ÒØ ËÝ Ø Ñ ËÔ Ø ÓÒ Ù Ò Ì Ç Ì Ñ Å ÐÐ Ö Ò È Ø Ö Å ÙÖÒ Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ì ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ä Ú ÖÔÓÓÐ Ä Ú ÖÔÓÓÐ Ä ÍÃ Ø Ñ Ô Ø Ö ºÐ Úº ºÙ ØÖ Øº Ì Ç Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ø Ø ÓÑ Ò Ø ØÖ Ò Ø Ó Ç Ø¹ Ò Ì Ñ ËÈ Û Ø

More information

Ó Ú ÐÙ Ö ÒÚÓÐÚ Ò ÖØ Ò Ô ÖØ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñµ Ò ØÓ ÐÔ Ø Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ñ Ø º ÁÒ Ø Ø ÐÐÝ ØÝÔ Ð Ò Ù Ø ØÝÔ Ö ÒÓØ Ò ÓÑ Ø Ò Ø Ø Ø Ô ÖØ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÙØ Ö Ø Ö ÓÑ Ø Ò

Ó Ú ÐÙ Ö ÒÚÓÐÚ Ò ÖØ Ò Ô ÖØ Ó Ø ÔÖÓ Ö Ñµ Ò ØÓ ÐÔ Ø Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ñ Ø º ÁÒ Ø Ø ÐÐÝ ØÝÔ Ð Ò Ù Ø ØÝÔ Ö ÒÓØ Ò ÓÑ Ø Ò Ø Ø Ø Ô ÖØ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÙØ Ö Ø Ö ÓÑ Ø Ò ÙÒ Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ð Ô Ò Ò ÓÖ Ö Øµ ÌÝÔ Î ÐÙ Ò ËØ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò À ÐÐ Ì ÓÑ À ÐÐ Ö Ò Ñ Ö ¾ ¾¼¼¼ ØÖ Ø Ì Ô Ô Ö ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÛ À Ðг ØÝÔ Ð Ý Ø Ñ Ò Ù ØÓ ÜÔÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ º Ë Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÝÔ Ð Ú Ð Ö Ô Ö ÓÖÑ Ý Ø ØÝÔ

More information

ß ¾ ß ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÖ Ò ÔÖÓØÓ Ø ÐÐ Ö ÓÐÐ Ô Û ÐÝ ÔØ ØÓ Ø ÔÖ Ñ ÖÝ Ñ ¹ Ò Ñ ÓÖ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ò ÖÝ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ö Ý Ø Ñ º º Ä Ö Ò Ö Ø Ðº ¾¼¼ Ò

ß ¾ ß ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÖ Ò ÔÖÓØÓ Ø ÐÐ Ö ÓÐÐ Ô Û ÐÝ ÔØ ØÓ Ø ÔÖ Ñ ÖÝ Ñ ¹ Ò Ñ ÓÖ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ò ÖÝ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ö Ý Ø Ñ º º Ä Ö Ò Ö Ø Ðº ¾¼¼ Ò ÓÐÐ Ô Ò Ö Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÅÓÐ ÙÐ Ö ÐÓÙ ÓÖ º º Å Ò Ø Ö Ò Ó ÈÖÓÐ Ø Ò Ç Ð Ø ÓÖ º Ð Ò Èº Ó Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ì ÖÖ ØÖ Ð Å Ò Ø Ñ ÖÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ó Ï Ò ØÓÒ ¾ ½ ÖÓ Ö Ò ÊÓ ÆÏ Ï Ò ØÓÒ ¾¼¼½ ¹½ ¼ Ó ØѺ Ûº Ù ËÌÊ Ì Ì ÓÐÐ Ô Ò Ö

More information

½½ º º À Æ Æ º º Í Æ ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ñ ¹ Ò Ø ÙÒÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖÙ Ø Ö ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ È ½ Û Ø Ò Ð ÐÐ ÓÒ ØÖ ÒØ Û Ó ÓÖÑ Ù Ø ØÓ Ñ Ò ¾Ê Ò µ ½ ¾ Ì Ì Ø Ì Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð

½½ º º À Æ Æ º º Í Æ ÒÓØ ÔÓ Ø Ú Ñ ¹ Ò Ø ÙÒÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖÙ Ø Ö ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ È ½ Û Ø Ò Ð ÐÐ ÓÒ ØÖ ÒØ Û Ó ÓÖÑ Ù Ø ØÓ Ñ Ò ¾Ê Ò µ ½ ¾ Ì Ì Ø Ì Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ÎÓк½ ÆÓº¾ ¾¼¼½ ½½ ß½¾ º ÇÆ Å ÁÅ Ç Í Ä ÍÆ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ Ì ËÍ ÈÊÇ Ä Å ½µ ÓÒ ¹ Ò Ê Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÒØ Ö Ó È Ö ÐÐ Ð ËÓ ØÛ Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ó ËÓ ØÛ Ö Ò ½¼¼¼ ¼ Ò µ ¹Ü Ò Ù Ò ËØ Ø Ã Ý Ä ÓÖ ØÓÖÝ

More information

1 The Multinomial logit

1 The Multinomial logit Ë ÑÔÐ Ò Ó ÐØ ÖÒ Ø Ú Ù Ò ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÐÝ Åº ÖÐ Ö º ÄÙ ÑÓ Å Ý ¾¾ ¾¼¼ Ê ÔÓÖØ ÌÊ ÆËȹÇÊ ¼ ¼ ¾¾ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Ò ÅÓ Ð ØÝ Ä ÓÖ ØÓÖÝ Ë ÓÓÐ Ó Ö Ø ØÙÖ Ú Ð Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ð Ò Ò Ö Ò ÓÐ ÈÓÐÝØ Ò ÕÙ Ö Ð Ä Ù ÒÒ transp-or.epfl.ch

More information

ÖÖ Ý ÒÑ ÒØ Ø Ø Ñ ÒØ Ö Ö ÓÖ ÒÝ Ð Ø¹ Ò Ð Ñ ÒØ Ö ØÓÖ º ÖÖ Ý ÓÖ Ù Ø ÓÒ Ó ÖÖ Ý Ò Ô Ý Ù Ò ØÖ ÔÐ Ø Ù Ö ÔØ º ØÖ ÔÐ Ø Ô Ö Ò Ò Ø ÓÖÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ØÖ º Á

ÖÖ Ý ÒÑ ÒØ Ø Ø Ñ ÒØ Ö Ö ÓÖ ÒÝ Ð Ø¹ Ò Ð Ñ ÒØ Ö ØÓÖ º ÖÖ Ý ÓÖ Ù Ø ÓÒ Ó ÖÖ Ý Ò Ô Ý Ù Ò ØÖ ÔÐ Ø Ù Ö ÔØ º ØÖ ÔÐ Ø Ô Ö Ò Ò Ø ÓÖÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ØÖ º Á ÖÓÑ Ø ÈÖÓ Ò Ó Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò ÓÒ È Ö ÐÐ Ð Ò ØÖ ÙØ ÈÖÓ Ò Ì Ò ÕÙ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ È ÈÌ ³ µ ËÙÒÒÝÚ Ð Ù Ù Ø ½ Ô Ò Ò Ò ÐÝ Ó ÓÖØÖ Ò ¼ ÖÖ Ý ËÝÒØ Ü Ö Ð ÊÓØ Ã Ò Ã ÒÒ Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ê ÍÒ Ú Ö ØÝ ÀÓÙ ØÓÒ

More information

Ë ÓÑ Ò Ò ÝÒ Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Û Ø Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ËÝ Ø Ñ È ÖÖ Ö Ö ½ ¾ Ò ÇÐ Ú Ö Ë Ù ½ ½ ÙÐØ Ú Ø ÓÒ Ì» ÈÊ» Ë ÉÙ Å Ö Ð ÙÐØ ¾ ¾ Ëع ÐÓÙ Ü ¾ Ò Ñ ØÄ ÄÁÈ µ ÖÙ

Ë ÓÑ Ò Ò ÝÒ Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Û Ø Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ËÝ Ø Ñ È ÖÖ Ö Ö ½ ¾ Ò ÇÐ Ú Ö Ë Ù ½ ½ ÙÐØ Ú Ø ÓÒ Ì» ÈÊ» Ë ÉÙ Å Ö Ð ÙÐØ ¾ ¾ Ëع ÐÓÙ Ü ¾ Ò Ñ ØÄ ÄÁÈ µ ÖÙ Ë ÓÑ Ò Ò ÝÒ Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Û Ø Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ËÝ Ø Ñ È ÖÖ Ö Ö ½ ¾ Ò ÇÐ Ú Ö Ë Ù ½ ½ ÙÐØ Ú Ø ÓÒ Ì» ÈÊ» Ë ÉÙ Å Ö Ð ÙÐØ ¾ ¾ Ëع ÐÓÙ Ü ¾ Ò Ñ ØÄ ÄÁÈ µ ÖÙ Ù Ô Ø Ò ËÓØØ ¼½ È ÊÁË Ô ÖÖ º Ö Ö Ð Ô º Ö ÓÐ Ú Öº Ù

More information

Chapter 9. Trapezoidal Maps. 9.1 The Trapezoidal Map

Chapter 9. Trapezoidal Maps. 9.1 The Trapezoidal Map Chapter 9 Trapezoidal Maps ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Û ÐÐ ÒÓØ Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ò ÓÑ Þ ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò Ø ØÖ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ÛÓÖ º Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø Û ÐÐ Ú Ù Ò Æ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÐÚ Ò Ø Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ

More information

ÀÒ ËÑ Ø ² Ï Ð ÖÓÙØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ º ÓÖ Ü ÑÔÐ ÔÓÖØ ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ ÙÐ Ò Ò ÑÓ ÐÐ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ØÓ Ø ÒØÓ Ø Ø Ñ ÐÓØ ÓÖ Ô Ö¹ ÑÙØ Ø ÓÒ Ó

ÀÒ ËÑ Ø ² Ï Ð ÖÓÙØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ º ÓÖ Ü ÑÔÐ ÔÓÖØ ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ ÙÐ Ò Ò ÑÓ ÐÐ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ØÓ Ø ÒØÓ Ø Ø Ñ ÐÓØ ÓÖ Ô Ö¹ ÑÙØ Ø ÓÒ Ó ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò Ê Ö ¾½ ¾¼¼ µ ¹ ½ ËÙ Ñ ØØ ¼»¼ ÔÙ Ð ¼¾»¼ Ù Ð ÅÓ ÐÐ Ò Ó È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò ÁÒ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ñ ÀÒ ÓÖ ÓÒ ØÖ ÒØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÒØ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÓÐÐ ÓÖ ÓÖ ÁÖ Ð Ò Ö Ö Åº ËÑ Ø Ë ÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ò Ò

More information

deactivate keys for withdrawal

deactivate keys for withdrawal Ù Ø Ð ÌÖ Ò Û Ø ÍÒÓÒ Ø ÓÒ Ð ÒÓÒÝÑ ØÝ ÒÒ Ã Ð Ö Ò ÀÓÐ Ö ÎÓ Ø Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÖÑ Ø Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ¹ ¾ ÖÑ Ø Ø ÖÑ ÒÝ ß Ù Ð Ö ÚÓ ØÐ º Ò ÓÖÑ Ø ºØÙ¹ ÖÑ Ø Øº ØÖ Ø Ï ÔÖ ÒØ Ò Û ÒÓÒÝÑÓÙ ÓÒ¹Ð Ò Ô ÝÑ ÒØ

More information

R E S E A R C H R E P O R T I D I A P

R E S E A R C H R E P O R T I D I A P R E S E A R C H R E P O R T I D I A P ËÇŹ ÐÙ Ø Ö Ò ÓÖ ÇÒ¹Ð Ò Ö Ù Ú ÓÖ Ð Ø ÓÒ ËØÙ Ý Î Ò ÒØ Ä Ñ Ö Á Á ÈßÊÊ ¼¾¹ ¼ ÂÙÐÝ ¾¼¼¾ Ö Ð ÖÓØ ØÓ ÔÔ Ö Ò ÙÞÞÝ ËÝ Ø Ñ Ò ÃÒÓÛÐ ÓÚ ÖÝ Ëà µ ¾¼¼¾ Ð Ð Å Ó Ð Ð Á Ò Ø Ø Ù Ø Ó

More information

ÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Ä Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÑÓÒ ÖÓÑ ÓÖÑ Ö Ð Ö Ò Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Ê ÄÄ Á Ô ÓÔ

ÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò ØÙ Ý Ñ ÖÓÖ Ä Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÑÓÒ ÖÓÑ ÓÖÑ Ö Ð Ö Ò Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø Ê ÄÄ Á Ô ÓÔ ÈÖÓØÓ¹Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø ¹Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò ØÖ Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÓÓÐ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ü Ò Ö ÓÖÓÚ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ø Ö Ë Ð ¼ Å Ö ¾¼½½ ÇÙØÐ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ï Ø Ñ Ø Ñ Ø ËÓÑ Ø ÒÓ Ö Ô Ú Ò ÒÓØ Ö ÓÖ ÓØØ Ò ØÖ Ó ÙÑ Ò ØÝ Ð Ö Ò ØÙ Ý

More information

ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ø Ò ÐÓ Ò Ù Ø Ð Ò Ö ÓÖ Ò ØÓ ÃÓÖ º Ì ÒØ Ð Ö ÓÒ Û Ý ØÖ Ø ÓÒ Ö Ù ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø Ø Ø ØÓØ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÙÑ Ó Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ò

ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ø Ò ÐÓ Ò Ù Ø Ð Ò Ö ÓÖ Ò ØÓ ÃÓÖ º Ì ÒØ Ð Ö ÓÒ Û Ý ØÖ Ø ÓÒ Ö Ù ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø Ø Ø ØÓØ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÙÑ Ó Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ò ØÖ Ø ÓÒ Û Ø Ò È ÖØ Ð ÙØ ÓÒ ÓÖ Ä Ò Ö ÄÓ È Ô ÃĐÙÒ ÆÓÖÛ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ë Ò Ò Ì ÒÓÐÓ Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ë Ò Ô Ô ºÒØÒÙºÒÓ ØÖ Øº ØÖ Ø ÓÒ Ò Ù ÜØ Ò Ú ÐÝ Ò ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ ¹ Ò Áµ ÔÐ ÒÒ Ò ÙÑ Ò ÔÖÓ Ð Ñ

More information

ÅÓÖ Ö ÒØÐÝ ÓÑ ÔØ Ú Ð Ò Ô ÓÛÒ Ò Ò ÙØÖ Ð ØÝ Ð Ú Ð Ú Ò ÝÒØ Þ Ò Ø Ð Ó ÐÐÙÐ Ö ÙØÓÑ Ø µ ÕÙ ÒØ Ð ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¾ µ Ò Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ½ µº Å ÒÝ ØÒ Ð Ò Ô ÖÓÑ Ò Ø Ð Ó

ÅÓÖ Ö ÒØÐÝ ÓÑ ÔØ Ú Ð Ò Ô ÓÛÒ Ò Ò ÙØÖ Ð ØÝ Ð Ú Ð Ú Ò ÝÒØ Þ Ò Ø Ð Ó ÐÐÙÐ Ö ÙØÓÑ Ø µ ÕÙ ÒØ Ð ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¾ µ Ò Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ½ µº Å ÒÝ ØÒ Ð Ò Ô ÖÓÑ Ò Ø Ð Ó ËÝÒØ Ø Æ ÙØÖ Ð ØÝ ÓÖ ÖØ Ð ÚÓÐÙØ ÓÒ È Ð ÔÔ ÓÐÐ Ö Å ÒÙ Ð Ð Ö Ù Ò Å Ð Ó Ò¹ÈÐ Ø Ð Ä ÓÖ ØÓ Ö Á Ë ÆÊË ¹ ÍÆË ¾¼¼¼ ÖÓÙØ ÐÙ ÓÐ ¼ ½¼ ÓØ Ê Æ ¹Ñ Ð Ô Ð Ö Ù Ñ Ó Ò ºÙÒ º Ö ØÖ Øº Ê ÒØ ÛÓÖ Ò ÓØ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÓÖÝ Ò ÑÓÐ ÙÐ

More information

Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Á ÓÑÓÖÔ Ñ ÁÒ ÐÐ Ú ÓÑÓÖÔ Ñ Σ ½ ½ ÑÓÖ ÔÖ ÐÝ A B Ö ÓÑÓÖÔ : ( ØÖÙØÙÖ ¹ÔÖ ÖÚ Ò Ø ÓÒ) ÓÙÒØ Ð ØÖÙØÙÖ Ò Ó Ý Ö Ð Ø Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÑ Σ ½ ½ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ

Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Á ÓÑÓÖÔ Ñ ÁÒ ÐÐ Ú ÓÑÓÖÔ Ñ Σ ½ ½ ÑÓÖ ÔÖ ÐÝ A B Ö ÓÑÓÖÔ : ( ØÖÙØÙÖ ¹ÔÖ ÖÚ Ò Ø ÓÒ) ÓÙÒØ Ð ØÖÙØÙÖ Ò Ó Ý Ö Ð Ø Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÑ Σ ½ ½ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ì ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Á ÓÑÓÖÔ Ñ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÖÓ ÐÐ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑÓÖÔ Ñº ÐÓ Ò Ø Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÔÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÀÓÛ ÓÑÔÐ Ü Ø ÓÑÓÖÔ Ñ Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ Û Ø ÓØ Ö ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ì Ò Û Ö ØÓ

More information

ÁËÁË Ø Ò Ð Ö ÔÓÖØ Ö ÎÓк ½¼ ¾¼¼¼ ÖÓÙÒ ÜØÖ Ø ÓÒ Ó ÓÐÓÙÖ ÁÑ Ë ÕÙ Ò Ù Ò Ù Ò Ñ ÜØÙÖ ÑÓ Ð ËØ ÒÑ Ò Ò Ê Ò Ú Ò Ò ÓÓÑ Ö ÁÒØ ÐÐ ÒØ Ë Ò ÓÖÝ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò

More information

ÓÖ Ø ÁÒØ Ð ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ðݺ Ê Ö Û ÒØ Ò Ò Ö Ð ÖÓÙÒ Ò Ñ Ð Ö ÔÖÓ Ö Ñ¹ Ñ Ò ÓÙÐ ÓÒ ÙÐØ ÔÔÖÓÔÖ Ø Ø ÜØ ÓÓ Ò ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ö Ö Ò Ñ Ò¹ Ù Ð ÔÙ Ð Ý ÁÒØ Ð Ò

ÓÖ Ø ÁÒØ Ð ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ðݺ Ê Ö Û ÒØ Ò Ò Ö Ð ÖÓÙÒ Ò Ñ Ð Ö ÔÖÓ Ö Ñ¹ Ñ Ò ÓÙÐ ÓÒ ÙÐØ ÔÔÖÓÔÖ Ø Ø ÜØ ÓÓ Ò ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ö Ö Ò Ñ Ò¹ Ù Ð ÔÙ Ð Ý ÁÒØ Ð Ò ÒÙ Ñ Ð Ö Ì ÒÙ Ñ Ð Ö µ Ò ÓÔ Ò ÓÙÖ ¹ Ñ Ð Öº Ì Ñ Ð Ö ÒÐÙ Ø Ò¹ Ö Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ú Ð Ð ÓÖ ÓÛÒÐÓ ØÓ ÖÙÒ ÙÒ Ö Ï Ò ÓÛ º ÁØ ÔÖÓÚ ÙÔÔÓÖØ ÓÖ Ø Ò ØÖÙØ ÓÒ Ø Ó Ø Ó Ø Èͺ ÖÓ Ñ Ð Ö Ú Ö ÓÒ Ö Ð Ó Ú Ð Ð º Ì Ñ Ð Ö ÒÚÓ Ý Ø

More information

3D Interaction in Virtual Environment

3D Interaction in Virtual Environment 3D Interaction in Virtual Environment Â Ò Ð Ö Ö ºÑÙÒ ºÞ ÙÐØÝ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø Å ÖÝ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÖÒÓ» Þ Ê ÔÙ Ð ØÖ Ø ÀÙÑ Ò¹ ÓÑÔÙØ Ö ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ô ÓÙÐ Ò Ð Ù Ö ØÓ ÒØ Ö Ø Ö ÐÝ Û Ø Ú ÖØÙ Ð Ó Ø º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ø Ñ

More information

Ê ÓÚ Ö Ò ÅÓ Ð ÖÓÑ Ë ÒÒ Ø ÌÓÑ È Ð Î Ð Ú ÀÐ Ú Ò Ð Î Ö Ô Ð ÑÔº Ð ºÚÙØºÞ ÌÓÑ È Ð Ò Î Ð Ú ÀÐ Ú Ò Ò Ð Î Ö º Ê ÓÚ Ö Ò ÅÓ Ð ÖÓÑ Ë ÒÒ Ø º ÁÒ ÈÖÓº Î Ð ØÖÓÒ ÁÑ Ò Ò Ø Î Ù Ð ÖØ º Ð Ø ÞÙÖ ĐÓÖ ÖÙÒ Ò ¹ Û Ò Ø Ö ÁÒ ÓÖÑ

More information

ÄÈ ÈÖÓ Ò ÓÖ È Û Ä Ò Ö ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ò Ë ÙÐ Ò Ö Ð Ò À Ò Ð Ë ÓÙØ Á ¹È Ö ÁÑÔ Ö Ð ÓÐÐ º ÄÓÒ ÓÒ ËÏ ¾ ÍÒ Ø Ã Ò ÓѺ ¹Ñ Ð ½½ Ô Öº º ºÙ ØÖ Øº ÙÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ô

ÄÈ ÈÖÓ Ò ÓÖ È Û Ä Ò Ö ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ò Ë ÙÐ Ò Ö Ð Ò À Ò Ð Ë ÓÙØ Á ¹È Ö ÁÑÔ Ö Ð ÓÐÐ º ÄÓÒ ÓÒ ËÏ ¾ ÍÒ Ø Ã Ò ÓѺ ¹Ñ Ð ½½ Ô Öº º ºÙ ØÖ Øº ÙÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ô ÄÈ ÈÖÓ Ò ÓÖ È Û Ä Ò Ö ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ò Ë ÙÐ Ò Ö Ð Ò À Ò Ð Ë ÓÙØ Á ¹È Ö ÁÑÔ Ö Ð ÓÐÐ º ÄÓÒ ÓÒ ËÏ ¾ ÍÒ Ø Ã Ò ÓѺ ¹Ñ Ð ½½ Ô Öº º ºÙ ØÖ Øº ÙÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ô Û Ð Ò Ö Èĵ ÓÔØ Ñ Þ ¹ Ø ÓÒ ÜØ Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð ÙÐ Ò Ý

More information

THE LJUBLJANA GRAPH. Preprint series, Vol. 40 (2002), 845. Marston Conder Aleksander Malnič. November 19, 2002

THE LJUBLJANA GRAPH. Preprint series, Vol. 40 (2002), 845. Marston Conder Aleksander Malnič. November 19, 2002 University of Ljubljana Institute of Mathematics, Physics and Mechanics Department of Mathematics Jadranska 19, 1000 Ljubljana, Slovenia Preprint series, Vol. 40 (00), 845 THE LJUBLJANA GRAPH Marston Conder

More information

Ò Û ÑÓÒ ØÖ Ø ÒÝ ÓØ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ô ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø ÇÙÖ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ø ÒÓÛÒ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ØÓ ÓÐ Ò Ú ÖÝ Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ º Ì Ø Û ÑÓÒ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ð Ö Ð Þ

Ò Û ÑÓÒ ØÖ Ø ÒÝ ÓØ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ô ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø ÇÙÖ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ø ÒÓÛÒ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ØÓ ÓÐ Ò Ú ÖÝ Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ º Ì Ø Û ÑÓÒ ØÖ Ø Ò ÓÖ Ð Ö Ð Þ Ë Ô Ö Ð ØÝ Ò ÇÒ ¹Û Ý ÙÒØ ÓÒ Ä Ò ÓÖØÒÓÛ ÂÓ Ò ÊÓ Ö Ý ÂÙÐÝ ¾½ ¾¼¼¼ ØÖ Ø Ï ØØÐ ÐÐ Ö Ð Ø Ú Þ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ú ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ È ÆÈ È ÍÈ È ÆÈ ÓÆÈ ÐÐ Ó ÒØ Ô Ö Ó ÆÈ Ø Ö È¹ Ô Ö Ð º ÐÐ Ó ÒØ Ô Ö

More information

Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÀÙÑ Ò Ä Ñ ÌÖ ØÓÖ Å Ö ÈÓÑÔÐÙÒ ½ Ò Å Âº Å Ø Ö ¾ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¼¼ à РËØÖ Ø ÌÓÖÓÒØÓ ÇÒØ Ö Ó

Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÀÙÑ Ò Ä Ñ ÌÖ ØÓÖ Å Ö ÈÓÑÔÐÙÒ ½ Ò Å Âº Å Ø Ö ¾ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¼¼ à РËØÖ Ø ÌÓÖÓÒØÓ ÇÒØ Ö Ó Ì ØÐ Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÀÙÑ Ò Ä Ñ ÌÖ ØÓÖ ÙØ ÓÖ Å Ö ÈÓÑÔÐÙÒ Ò Å Âº Å Ø Ö ÊÙÒÒ Ò Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙØ ÓÖ Å Ö ÈÓÑÔÐÙÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¼¼ à РËØÖ Ø ÌÓÖÓÒØÓ

More information

dis.08 dis.09 dis.10 dis.11

dis.08 dis.09 dis.10 dis.11 Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó ØÖÓÒÓÑÝ Ò ØÖÓÔ Ý Ñ ÒÙ Ö ÔØ ÒÓº Ä Ì ÒÖÝ ¾¼¼ ¼½ºØ Ü ÔÖ ÒØ ÓÒ Å Ý ¾ ¾¼¼ ½ µ Ö Ø Ä Ø ÖÓÑ Ö Å ØØ Ö ÖÝÓÒ Ò ÆÓÒ¹ ÖÝÓÒ µ Ê Ö ÓÒÒ À ÒÖÝ À ÒÖÝ º ÊÓÛÐ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý Ò ØÖÓÒÓÑÝ Ì ÂÓ Ò ÀÓÔ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ

More information

½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ê ÒØ Ö ÙÐØ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÐ ÒÒ Ö ½ Ú Ö Ø Ò¹ Ø Ö Ø ÓÖ Ù Ø Ð ÔÔÐ Ð ØÝ Ó Ø ÔÐ ÒÒ Ò ÔÔÖÓ ØÓ Ñ ÒÝ Ö Ð ÛÓÖÐ ÔÖÓ Ð Ñ º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ø ÔÖ

½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ê ÒØ Ö ÙÐØ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÐ ÒÒ Ö ½ Ú Ö Ø Ò¹ Ø Ö Ø ÓÖ Ù Ø Ð ÔÔÐ Ð ØÝ Ó Ø ÔÐ ÒÒ Ò ÔÔÖÓ ØÓ Ñ ÒÝ Ö Ð ÛÓÖÐ ÔÖÓ Ð Ñ º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ø ÔÖ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ë ÌÈÄ Æ ÓÖ ÔÐ ÒÒ Ò Û Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Å ÖÓ ÓÐ ØØ ËØ ÒÓ Å ÖÙ Ò Ð Ö Ó Å Ð Ò Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ð ËØÙ È ÖÙ Î Î ÒÚ Ø ÐÐ ¼ ½¼¼ È ÖÙ ÁØ ÐÝ ¹Ñ Ð Ñ ÖÓ ÒÓ Ñ Ð Ò ÔÑ ØºÙÒ Ô º Ø Ì Ðº ¹¼ ¹ º

More information

Ì ÐÑÓ Ø ÓÑÔÐ Ø ÙÔÛ Ö ÓÐÐ Ô Ó ÈÀ ÓÛÒ ØÓ È ÆÈ ½ Ü ÔØ ÓÖ Ø Ô ØÛ Ò È ÆÈ Ò ÈÈ ÆÈ º ÐÓ Ò Ø Ô Ñ Ø ÓÒ Û Ø ÔÖÓÓ Ø Ø È ÆÈ ½ È ÆÈ ¾ ØØ µ ÈÈ ÆÈ È ÆÈ º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ô

Ì ÐÑÓ Ø ÓÑÔÐ Ø ÙÔÛ Ö ÓÐÐ Ô Ó ÈÀ ÓÛÒ ØÓ È ÆÈ ½ Ü ÔØ ÓÖ Ø Ô ØÛ Ò È ÆÈ Ò ÈÈ ÆÈ º ÐÓ Ò Ø Ô Ñ Ø ÓÒ Û Ø ÔÖÓÓ Ø Ø È ÆÈ ½ È ÆÈ ¾ ØØ µ ÈÈ ÆÈ È ÆÈ º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ô ÇÒ Ø Ó Ú À ÖÖÝ Ù ÖÑ Ò ½ Ê Ö Ò ¾ Ò Ä Ò ÓÖØÒÓÛ ½ ÏÁ ² ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñº Ö ÏÁ ÁÆË ÈºÇº ÓÜ ¼ Ñ Ø Ö Ñ Ì Æ Ø ÖÐ Ò º Ù ÖÑ ÒÛ ºÒк ¾ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å ÖÝÐ Ò ÐØ ÑÓÖ ÓÙÒØÝ

More information

Ø ÔÖ ÙÖ ØÝ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó ÙØ ÒØ Ø Ý Ø Ð Ñ Òغ Ë Ú Ö Ð ÓÒÖ Ø ÙÖ ØÝ Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò ØØÖ ÙØ Ú Ò ÒØ Ö Ð º Ì ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÙÖ ØÝ Ó Ð Ó Ý Ø Ð Ñ ÒØ ÔÖÓØÓÓÐ Ö ØÓ ÑÔÐ Ø

Ø ÔÖ ÙÖ ØÝ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó ÙØ ÒØ Ø Ý Ø Ð Ñ Òغ Ë Ú Ö Ð ÓÒÖ Ø ÙÖ ØÝ Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò ØØÖ ÙØ Ú Ò ÒØ Ö Ð º Ì ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÙÖ ØÝ Ó Ð Ó Ý Ø Ð Ñ ÒØ ÔÖÓØÓÓÐ Ö ØÓ ÑÔÐ Ø ÌÛÓ¹È ÙØ ÒØ Ø Ã Ý Ö Ñ ÒØ ÈÖÓØÓÓÐ Û Ø Ã Ý ÓÒ ÖÑ Ø ÓÒ ÓÝ ÓÒ ËÓÒ ÃÛ Ò Ó Ã Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Á ͵ ¹ ÀÛ Ñ¹ ÓÒ Ù ÓÒ ¹ Ù Ì ÓÒ ¼ ¹ ¾ ˺ ÃÓÖ Ý ÓÒ Ùº º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖÓÔÓ Ø Ö Ý Ö Ñ ÒØ ÔÖÓØÓÓÐ

More information

ÇÒ Ø ÈÓÛ Ö Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ë Ö Ø Ë Ö Ò Îº Î ÒÓ ½ ÖÚ Ò Æ Ö Ý Ò Ò ¾ ú ËÖ Ò Ø Ò ¾ Ò º È Ò Ù Ê Ò Ò ¾ ½ Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Å Ù ØØ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý

ÇÒ Ø ÈÓÛ Ö Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ë Ö Ø Ë Ö Ò Îº Î ÒÓ ½ ÖÚ Ò Æ Ö Ý Ò Ò ¾ ú ËÖ Ò Ø Ò ¾ Ò º È Ò Ù Ê Ò Ò ¾ ½ Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Å Ù ØØ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÇÒ Ø ÈÓÛ Ö Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ë Ö Ø Ë Ö Ò Îº Î ÒÓ ½ ÖÚ Ò Æ Ö Ý Ò Ò ¾ ú ËÖ Ò Ø Ò ¾ Ò º È Ò Ù Ê Ò Ò ¾ ½ Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Å Ù ØØ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ñ Ö Å ¼¾½ ÍË º ¾ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò Ò Ò Ö Ò

More information

¾ ̺ º Å ÐÐ Ö Àº ÊÓ ÖØ º º Å Ö Û Ò Ëº º ÖÒÐ Ý Ö Ø Ó Ó ½º ¼º½µ ½¼ Ä Ò Ý Ø Ðº ½ µº Ì Ø Ø Ø ÒØ Ö Ø ÐÐ Ö Ù Ø Ö Ò ÓÖ ÍÎ Ô ÓØÓÒ Æ ÒØÐÝ Ñ Ò Ø Ø Ø Ñ ÙÖ Ñ ÒØ

¾ ̺ º Å ÐÐ Ö Àº ÊÓ ÖØ º º Å Ö Û Ò Ëº º ÖÒÐ Ý Ö Ø Ó Ó ½º ¼º½µ ½¼ Ä Ò Ý Ø Ðº ½ µº Ì Ø Ø Ø ÒØ Ö Ø ÐÐ Ö Ù Ø Ö Ò ÓÖ ÍÎ Ô ÓØÓÒ Æ ÒØÐÝ Ñ Ò Ø Ø Ø Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ì ÊÓÐ Ó À ¾ Ò Ø ÙØ Ö Ø ÓÒ Ó ÁÒØ Ö Ø ÐÐ Ö ÅÓÐ ÙÐ Ý Ìº º Å ÐÐ Ö ½ Àº ÊÓ ÖØ ½ º º Å Ö Û ½ Ò Ëº º ÖÒÐ Ý ¾ ½ È Ý Ô ÖØÑ ÒØ ÍÅÁËÌ ÈÇ ÓÜ Å Ò Ø Ö Å ¼ ½É Íà ¾ ËÔ Ë Ò Ú ÓÒ ÅË ¾ ¹ Æ Ë Ñ Ê Ö ÒØ Ö ÅÓ«ØØ Ð ¼ ÍË ÓÐÐ

More information

Ä Ü¹ÇÔØ Ñ Ð ÇÒ¹Ä Ò ÅÙÐØ Ð Ë ÙÐ Ò Û Ø À Ö Ð Ò ÖÙ À Ò È ÖÖ Ë Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÍÒ Úº Ó ÁÐÐ ÒÓ ÍÖ Ò ÁÄ ½ ¼½

Ä Ü¹ÇÔØ Ñ Ð ÇÒ¹Ä Ò ÅÙÐØ Ð Ë ÙÐ Ò Û Ø À Ö Ð Ò ÖÙ À Ò È ÖÖ Ë Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÍÒ Úº Ó ÁÐÐ ÒÓ ÍÖ Ò ÁÄ ½ ¼½ Ä Ü¹ÇÔØ Ñ Ð ÇÒ¹Ä Ò ÅÙÐØ Ð Ë ÙÐ Ò Û Ø À Ö Ð Ò ÖÙ À Ò È ÖÖ Ë Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÍÒ Úº Ó ÁÐÐ ÒÓ ÍÖ Ò ÁÄ ½ ¼½ Ñ Ð ¹ Ô¹ Ö Ù Ùº Ù ÂÙÒ ¾¼¼¼ ØÖ Ø ÇÒ¹Ð Ò ÙÐ Ò Ó ÙÒ Ø¹Ð

More information

spike splinter spire spindle spear

spike splinter spire spindle spear Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ËØÙ Ý Ó ËÐ Ú Ö ÜÙ Ø ÓÒ À Ö ÖØ Ð ÖÙÒÒ Ö Ý Ò ÑÖÓÒ ÙÓÝ Þ ØÖ Ø Ï ÔÖ ÒØ Ö ÙÐØ ÓÒ ØÛÓ¹ Ø Ô ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ó Ñ ÕÙ Ð ØÝ Ò Ø Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ º Ì Ö Ø Ø Ô Ö Ò Ø ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò

More information

Communications Network Design: lecture 16 p.1/41

Communications Network Design: lecture 16 p.1/41 Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÔÐ Ò Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò Ë ÓÓÐ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Æ ØÛÓÖ Ò Ð ØÙÖ ½ Å ØØ Û ÊÓÙ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð Å Ý ¾¼ ¾¼¼ Communications Network Design: lecture 16 p.1/41 ÌÖ ¹Ð Ò ØÛÓÖ

More information

ÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÐÓ ÙÖ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ ÓÒØ Üع Ö Ö ÑÑ Ö Å ÖÙ Î Ò Ù Å Ò Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁÎ Ë Ë ÔØ Ñ Ö ¼ ¾¼½ ÑÚÑÖ ÒºÙ Ô º Ö Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ ÙÒ Ú º Ùº Ö Å ÖÙ Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁ

ÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÐÓ ÙÖ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ ÓÒØ Üع Ö Ö ÑÑ Ö Å ÖÙ Î Ò Ù Å Ò Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁÎ Ë Ë ÔØ Ñ Ö ¼ ¾¼½ ÑÚÑÖ ÒºÙ Ô º Ö Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ ÙÒ Ú º Ùº Ö Å ÖÙ Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁ ÄË ¾¼½ Å ÖÙ Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁÎ Ë µ ÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ë ÔØ Ñ Ö ¼ ¾¼½ ½» ÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÐÓ ÙÖ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ ÓÒØ Üع Ö Ö ÑÑ Ö Å ÖÙ Î Ò Ù Å Ò Ê ÑÓ Í È»ÍÆÁÎ Ë Ë ÔØ Ñ Ö ¼ ¾¼½ ÑÚÑÖ ÒºÙ Ô º Ö Ñ ÖÙ ºÖ ÑÓ ÙÒ Ú º Ùº Ö Å ÖÙ Ê

More information

ÈÓ ÓÚ Ò º Æ ÔÖÚ Ù Ù ÚÓ ÓÚ Þ Ó ØÖÔ Ð Ú ÔÖ Ò Ú Ò Ø ØÓ ÔÖ º Ð Ù ÚÑ ÖÓ óñ Ô Ø ÐóÑ Þ ØÓÐ Ö Ò ØÖÔ Ð ÚÓ Ø Ñ Ô Ò Ø ØÓ ÔÖ º

ÈÓ ÓÚ Ò º Æ ÔÖÚ Ù Ù ÚÓ ÓÚ Þ Ó ØÖÔ Ð Ú ÔÖ Ò Ú Ò Ø ØÓ ÔÖ º Ð Ù ÚÑ ÖÓ óñ Ô Ø ÐóÑ Þ ØÓÐ Ö Ò ØÖÔ Ð ÚÓ Ø Ñ Ô Ò Ø ØÓ ÔÖ º ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ Ã ÄýàËÃý ÈÊý ÎÓ Ø ÌóÑ Ö ÚÒÓ Ø Ö ó Ò ÔÐÓ Ã Ø Ö ÔÐ ÓÚ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ý Î ÓÙ Ð ÔÖ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ËØÙ Ò Ó ÓÖ Å Öº ÚÓ Ò È º º ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó Ò Ò ÓÖÑ Ø ÈÖ ¾¼½½ ÈÓ ÓÚ Ò º Æ

More information

½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ï Ö Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ÔÓÔÙÐ Ö Ù ØÓ Ø Ö ÒØ Ú ÒØ Ó Ò Û Ø ÒÓÐÓ º ÁØ ÔÖ ÒØ ÒÓØ ÓÒÐÝ Ò Ø Ù ÕÙ ØÓÙ ÓÖ Ð Ò ÐÐÙÐ Ö Ô ÓÒ ÙØ Ð Ó Ò Ô Ö ÓÒ Ð ÓÑÑÙÒ Ø

½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ï Ö Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ÔÓÔÙÐ Ö Ù ØÓ Ø Ö ÒØ Ú ÒØ Ó Ò Û Ø ÒÓÐÓ º ÁØ ÔÖ ÒØ ÒÓØ ÓÒÐÝ Ò Ø Ù ÕÙ ØÓÙ ÓÖ Ð Ò ÐÐÙÐ Ö Ô ÓÒ ÙØ Ð Ó Ò Ô Ö ÓÒ Ð ÓÑÑÙÒ Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ê Ó ÖÓ Ø Ò Ó Ò Ëº Ð Ù Ý Ä Þ Ò Þ ÒÒ ĐÇ ØÐ Ò Ü ÂÓ Ò Å Ð ÊÓ ÓÒ ß Ý ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û Ò ¾ ¼¾¹¼ Ï Ö Þ Û ÈÓÐ Ò º ¹Ñ Ð Ð Ù Ñ ÑÙÛº ÙºÔÐ Þ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ì ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ä Ú

More information

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËØ Ø Ø Ð Ò ÐÝ ÓÖ Ö Ø Ø Ô ÖØ Ù¹ Ð ÖÐÝ ÓÖ ÔÖÓ Ð ØÝ ÑÓ Ð Ù Ø ÒÓ¹ Ñ Ð ÈÓ ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð Ý ÒÓÛ Ú ÖÝ Û ÐÐ ÙÒ Ö ØÓÓ Û Ø Û ÐØ Ó Ù Ø Ð Ó Ø¹ Û Ö º

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËØ Ø Ø Ð Ò ÐÝ ÓÖ Ö Ø Ø Ô ÖØ Ù¹ Ð ÖÐÝ ÓÖ ÔÖÓ Ð ØÝ ÑÓ Ð Ù Ø ÒÓ¹ Ñ Ð ÈÓ ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð Ý ÒÓÛ Ú ÖÝ Û ÐÐ ÙÒ Ö ØÓÓ Û Ø Û ÐØ Ó Ù Ø Ð Ó Ø¹ Û Ö º ÇÚ Ö Ô Ö ÓÒ Ò ÓÙÒØ Ø º Ⱥź º ÐØ Ñ ËØ Ø Ø Ð Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ö ÒØÖ ÓÖ Ø Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò Ï Ð Ö ÓÖ ÊÓ Ñ Ö ÇÏ ÍÃ Ü ÒÓ ¼½¾¾ ¹ º Ⱥ ÐØ Ñ Ø Ø Ð º Ѻ ºÙ Ë Ñ Ò Ö Ú Ò Ø ÅÊ Ó Ø Ø Ø ÍÒ Ø ÆÓÚ Ñ Ö ½ ¾¼¼¼º ½ ÁÒØÖÓ

More information

Fibonacci Overview. 1 Motivation. 2 Preliminary Ideas. 2.1 Common Definitions. 2.2 Fibonacci Numbers Defined

Fibonacci Overview. 1 Motivation. 2 Preliminary Ideas. 2.1 Common Definitions. 2.2 Fibonacci Numbers Defined Fibonacci Overview ÐÐ ÏÙÖØÞ 1 Motivation ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ËÙÔÔÓ Ò ÛÐݹ ÓÖÒ Ô Ö Ó Ö Ø ÓÒ Ñ Ð ÓÒ Ñ Ð Ö ÔÙØ Ò Ð º Ì Ö Ø Ö Ð ØÓ Ñ Ø Ø Ø Ó ÓÒ ÑÓÒØ Ò Ø Ý Ú ÖØ ØÓ Ñ Ð ¹ Ñ Ð Ô Ö Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÑÓÒØ º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ØÛÓ

More information

Ø ÑÔÐÝ Ù Ø Ø Ø Ø ÔÖÓÓ ÒÓÖÑ Ð Þ Ò Ø ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÖÝ ÔÖ ¹ÑÓ Ð Û Ð Ú Ö ÒØ Ó Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÔÖÓÓ º ÁØ ÛÓÖØ ÒÓØ Ò Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð ÒÓ

Ø ÑÔÐÝ Ù Ø Ø Ø Ø ÔÖÓÓ ÒÓÖÑ Ð Þ Ò Ø ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÖÝ ÔÖ ¹ÑÓ Ð Û Ð Ú Ö ÒØ Ó Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÔÖÓÓ º ÁØ ÛÓÖØ ÒÓØ Ò Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð ÒÓ Ì ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ ÑÓ ÙÐÓ ÐÐ ÓÛ ÁÆÊÁ ¹ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ºÈº ½¼ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò º ÐÐ º ÓÛ ÒÖ º Ö ØØÔ»»ÐÓ Ðº ÒÖ º Ö» ÓÛ ØÖ Øº Ì ËØÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó Ò Ú Ø Ø ¹ ÓÖÝ Û Ö Ø ÓÑÔÖ Ò ÓÒ Ñ Ö ØÖ Ø ØÓ ØÖ Ø Ð ÔÖÓÔÓ

More information

ÓÒØ ÒØ ½ ÇÚ ÖÚ Û ½ ¾ Ö Ø ØÙÖ Ð Ö ÔØ ÓÒ ½ ¾º½ Ê Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÌÝÔ º º

ÓÒØ ÒØ ½ ÇÚ ÖÚ Û ½ ¾ Ö Ø ØÙÖ Ð Ö ÔØ ÓÒ ½ ¾º½ Ê Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÌÝÔ º º ÖÓÒ ËÑ Ø Â Ñ ÙÖÖ ÐÐ ÊÓ ÖØ Å ÓÒ Ð Æ ÓÐ Æ Ø ÖÓØ ÐÐ Ó Ö ÓÙ ÙÖ Ö ËØ Ô Ò Ïº Ã Ð Ö Ã Ø ÖÝÒ Ëº Åà ÒÐ Ý ÇØÓ Ö ½¼ ¾¼¼ ¹ Î Ö ÓÒ º¼ Ì Ê ÔÓÖØ Ìʹ¼ ¹¾¾ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ì ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì Ü Ø Ù Ø Ò Ì ÓÙÑ ÒØ Ô Ø

More information

Ï Ó ØÖ Ù ÛÓÖÐ Ý Ù Ð Ø Ö Ø ÓÖ Ð Ö Ð Ø Ú ØÓ Û ÆÈ ËÈ ÊË Ó ÓØ Ú ÓÑÔÐ Ø Ø º Å Ö ÌÓÖ ÅÌ Ú Ö Ð Ø Ú Þ Ð ÔÖÓÓ Ø Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ Ü Ø Ø ÆÈ ËÈ ÊË Ó Ú ÓÑÔÐ Ø

Ï Ó ØÖ Ù ÛÓÖÐ Ý Ù Ð Ø Ö Ø ÓÖ Ð Ö Ð Ø Ú ØÓ Û ÆÈ ËÈ ÊË Ó ÓØ Ú ÓÑÔÐ Ø Ø º Å Ö ÌÓÖ ÅÌ Ú Ö Ð Ø Ú Þ Ð ÔÖÓÓ Ø Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ Ü Ø Ø ÆÈ ËÈ ÊË Ó Ú ÓÑÔÐ Ø ÇÔØ Ñ Ð ÈÖÓÓ ËÝ Ø Ñ ËÔ Ö Ë Ø À ÖÖÝ Ù ÖÑ ½ ËØ Ú Ö ¾ Ä ÓÖØÓÛ Ø Ö Ú Å Ð Ý ½ ÏÁ ¾ Í Ú Ö ØÝ Ó ËÓ ÖÓÐ Í Ú Ö ØÝ Ó Ó Í Ú Ö ØÝ Ó Ó ÁÅ Ë ØÖ Øº Ï Ü Ø Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ Û Ö ÆÈ ËÈ ÊË Ó ÓÑÔÐ Ø Ø º Ì Ú Ø Ö Ø Ö Ð Ø Ú Þ ÛÓÖÐ

More information

ÓÒØ ÒØ ¾

ÓÒØ ÒØ ¾ ÉÙ Ø ÓÒ Ì È Ð ÐÔ Ð ÓÙÖØ ÒÒÙ Ð À Ë ÓÓÐ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÓÒØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó È ÒÒ ÝÐÚ Ò Å Ö ¾¼¼½ ÓÒØ ÒØ ¾ È ÖØ Á ÉÙ Ø ÓÒ ½ ¹ Ï Ò Ø ÒÙÑ Ö ¾ ÑÙÐØ ÔÐ Ý Ø ÔÖÓ ÙØ ¾ ¾ º ÆÓØ Ø Ø Ø Ö Ø ÓÙÖ Ø Ö Ø Ñ Ø Ð Ø ÓÙÖ Ø ¾ Ò ¾ µº

More information

ËÔ Ó ÓÙÒ Ó ÓÜÝ Ò Ò ÙÔ ÖÖ Ø Ð Ø Ø ÙÔ ØÓ ¼¼ Ã Ò ½¼¼ ÅÈ Ö Ø Ó Àº Ù Ö Å Ö Ù Ê ÔÓÐ ÐÑ Ö ÙÑ Ö Ò Â Ö Ò ÎÖ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ò Ö Ý Ì ÒÓÐÓ Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó È Ö ÓÖÒ ÖÑ

ËÔ Ó ÓÙÒ Ó ÓÜÝ Ò Ò ÙÔ ÖÖ Ø Ð Ø Ø ÙÔ ØÓ ¼¼ Ã Ò ½¼¼ ÅÈ Ö Ø Ó Àº Ù Ö Å Ö Ù Ê ÔÓÐ ÐÑ Ö ÙÑ Ö Ò Â Ö Ò ÎÖ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ò Ö Ý Ì ÒÓÐÓ Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó È Ö ÓÖÒ ÖÑ ËÔ Ó ÓÙÒ Ó ÓÜÝ Ò Ò ÙÔ ÖÖ Ø Ð Ø Ø ÙÔ ØÓ ¼¼ Ã Ò ½¼¼ ÅÈ Ö Ø Ó Àº Ù Ö Å Ö Ù Ê ÔÓÐ ÐÑ Ö ÙÑ Ö Ò Â Ö Ò ÎÖ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ò Ö Ý Ì ÒÓÐÓ Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó È Ö ÓÖÒ ÖÑ ÒÝ ¹Ñ Ð Ö ÒºÚÖ ÙÒ ¹Ô Ö ÓÖÒº È ÓÒ ¹ ¾ ½» ¼¹¾ ¾½º Ü ¹

More information

ÒÒ Ú Ö Ö Ø ½ ÁËÅȵ ¼Ø Ó Ø ÑÔÐ Ü Ñ Ø Ó ¼Ø Ó Ã ÒØÓÖÓÚ ³ ½ Ô Ô Ö Å Ø Ñ Ø Ð Å Ø Ó Ò Ø ÇÖ Ò Þ Ø ÓÒ Ò ÈÐ ÒÒ Ò Ó ÈÖÓ ÙØ ÓÒ ¼Ø Ó ¼Ø Å Ø Ñ Ø Ð ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ËÝÑÔÓ

ÒÒ Ú Ö Ö Ø ½ ÁËÅȵ ¼Ø Ó Ø ÑÔÐ Ü Ñ Ø Ó ¼Ø Ó Ã ÒØÓÖÓÚ ³ ½ Ô Ô Ö Å Ø Ñ Ø Ð Å Ø Ó Ò Ø ÇÖ Ò Þ Ø ÓÒ Ò ÈÐ ÒÒ Ò Ó ÈÖÓ ÙØ ÓÒ ¼Ø Ó ¼Ø Å Ø Ñ Ø Ð ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ËÝÑÔÓ Ì Ñ ÒÝ Ø Ó Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Å Ð Âº ÌÓ Ë ÓÓÐ Ó ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö Ò ÁÒ Ù ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÓÖÒ ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÁØ Æ Ñ ØÓ ºÓÖÒ Ðк Ù ØØÔ»»ÛÛÛºÓÖ ºÓÖÒ Ðк Ù» Ñ ØÓ» ÁËÅÈ ØÐ ÒØ Ù Ù Ø ½¼ ¾¼¼¼ ½ ÒÒ Ú Ö Ö Ø ½ ÁËÅȵ ¼Ø Ó Ø

More information

Ê Ö Ò Ù Ä ÒÙÜ ÓÖ ØÖÓÒÓÑ Ö º º º ½º¾º Ï Ø Ä ÒÙÜ Ä ÒÙÜ ÍÆÁ ¹Ð ÖÒ Ð Ö Ø Ý Ä ÒÙ ÌÓÖÚ Ð º Ä ÒÙÜ ÖÒ Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ù Û Ø Ø ÆÍ»Ä ÒÙÜ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñº Ä ÒÙÜ Ø ÖÒ Ð

Ê Ö Ò Ù Ä ÒÙÜ ÓÖ ØÖÓÒÓÑ Ö º º º ½º¾º Ï Ø Ä ÒÙÜ Ä ÒÙÜ ÍÆÁ ¹Ð ÖÒ Ð Ö Ø Ý Ä ÒÙ ÌÓÖÚ Ð º Ä ÒÙÜ ÖÒ Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ù Û Ø Ø ÆÍ»Ä ÒÙÜ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñº Ä ÒÙÜ Ø ÖÒ Ð Ä ÒÙÜ ÓÖ ØÖÓÒÓÑ Ö Ô Ý Ø Ò Ò Ò Ö Ê Ö Ò Ù ÓÖ È ØÖÓÚ ÅÓÑ Ð Ú ÁÒ Ø ØÙØ Ó ØÖÓÒÓÑÝ Ò Æ Ç ÙÐ Ö Ò ÑÝ Ó Ë Ò ¹½ ËÓ Ô ØÖÓÚ ØÖÓº º Ñ Ú ØÖÓº º ËÙ Ñ ØØ ½ º½¼º¾¼½ ÔØ ¼¾º½¾º¾¼½ µ ØÖ Øº Ì ÓÒ Ö Ò Ø Ð ½ ÙÑÑ ÖÝ Ó Ö Ö Ò Ù

More information

Ò Ø ÓÒ ÃÒÓØ ÃÒÓØ Ò Ê Ñ Ø Ö ÑÓÚ Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ë ½ ÒØÓ Ê Ö ÐÐ ÒÓØ º Ì ØÛÓ ÒÓØ Ã ½ Ò Ã ¾ Ö Ö Ö ØÓ Ø Ñ ÓÒ Ò ÑÓÚ ÒØÓ Ø ÓØ Ö º º Ø Ö Ö ÒØ Ð µ Ñ ÐÝ Ó ÒÓØ Ô Ö

Ò Ø ÓÒ ÃÒÓØ ÃÒÓØ Ò Ê Ñ Ø Ö ÑÓÚ Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ë ½ ÒØÓ Ê Ö ÐÐ ÒÓØ º Ì ØÛÓ ÒÓØ Ã ½ Ò Ã ¾ Ö Ö Ö ØÓ Ø Ñ ÓÒ Ò ÑÓÚ ÒØÓ Ø ÓØ Ö º º Ø Ö Ö ÒØ Ð µ Ñ ÐÝ Ó ÒÓØ Ô Ö ÃÒÓØ ÒÚ Ö ÒØ ÐÓÛ Ñ Ò ÓÒ Ð ØÓÔÓÐÓ Ý Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ö Ê ÒÝ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ù Ô Ø ÂÙÒ ½ ¾¼¼ Ò Ø ÓÒ ÃÒÓØ ÃÒÓØ Ò Ê Ñ Ø Ö ÑÓÚ Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ë ½ ÒØÓ Ê Ö ÐÐ ÒÓØ º Ì ØÛÓ ÒÓØ Ã ½ Ò Ã ¾ Ö Ö Ö ØÓ Ø Ñ ÓÒ Ò ÑÓÚ ÒØÓ

More information

U xt +6U 2 x +6UU xx +U xxxx = 3U yy

U xt +6U 2 x +6UU xx +U xxxx = 3U yy ÙÐк ÓÑÔÙغ ÔÔк Å Ø º ÎÓк½ ¾¼½ ÛÛÛºÓÑÔ Ñ ºÓºÙ ºÚ ÁËËÆ ¾¾ ¹ ËÓÐÚ Ò Ø ÃÈÁ Ï Ú ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÅÓÚ Ò ÔØ Ú Å Ö Ö ÒÚ ÐÐ Ë Û ÐÐ ØÖ Ø Ì Ã ÓÑØ Ú¹È ØÚ Ú Ð Á ÃÈÁµ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÙÐØ ÒÓÒÐ Ò Ö Û Ú ÕÙ ¹ Ø ÓÒ U xt + 6U 2 x

More information

¾ Â Å Ë ÍÅÅÁÆ Ë Å ÌÌÀ Ï ÇÊ Å Æ Æ Å Æ À Å Å Á ÇÊ Ø Ü ÓÑ Ó Ó µ Ø Ö Ú Ò ÑÝÖ Ó Ò Ô Ò Ò Ö ÙÐØ Ò Ñ ÒÝ Ö Ó Ñ Ø Ñ Ø º Ì Ö ÙÐØ Ú Ð ØÓ Ø Ý Ø Ñ Ø ØÙ Ý Ó Ú Ö Ð ÓÑ

¾ Â Å Ë ÍÅÅÁÆ Ë Å ÌÌÀ Ï ÇÊ Å Æ Æ Å Æ À Å Å Á ÇÊ Ø Ü ÓÑ Ó Ó µ Ø Ö Ú Ò ÑÝÖ Ó Ò Ô Ò Ò Ö ÙÐØ Ò Ñ ÒÝ Ö Ó Ñ Ø Ñ Ø º Ì Ö ÙÐØ Ú Ð ØÓ Ø Ý Ø Ñ Ø ØÙ Ý Ó Ú Ö Ð ÓÑ ËÉÍ Ê Ë Ë Ä Ë Æ ËÌ ÌÁÇÆ Ê Ê Ä ÌÁÇÆ Â Å Ë ÍÅÅÁÆ Ë Å ÌÌÀ Ï ÇÊ Å Æ Æ Å Æ À Å Å Á ÇÊ ØÖ Øº Ë Ò Ø ÛÓÖ Ó ĐÓ Ð Ò Ó Ò Û ÓÛ Ø Ø À Ð Öس Ö Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÓÒØ ÒÙÙÑ ÀÝÔÓØ µ Û Ò¹ Ô Ò ÒØ Ó Ø Ù Ù Ð ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ü ÓÑ

More information

Ù Ò Û Ö Ö Ø Ö Þ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ØÓÓÐ Ð Ø Û ÐÐ ÓÑ ÑÓÖ Ò ÑÓÖ Ù ÙÐ Ò Ò ÐÝÞ Ò Ø ÙÔÔÐ Ñ ÒØ ØÓ ÛÓÖ Ò Ø Ð º ½º¾ ÇÚ ÖÚ Û ÑÔÐ Ò ÐÓ Ð Ö Ñ Ø Ó Ø Ø Ò Ù ØÓ Ò ÒÓÚ Ð ÑÓ

Ù Ò Û Ö Ö Ø Ö Þ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ØÓÓÐ Ð Ø Û ÐÐ ÓÑ ÑÓÖ Ò ÑÓÖ Ù ÙÐ Ò Ò ÐÝÞ Ò Ø ÙÔÔÐ Ñ ÒØ ØÓ ÛÓÖ Ò Ø Ð º ½º¾ ÇÚ ÖÚ Û ÑÔÐ Ò ÐÓ Ð Ö Ñ Ø Ó Ø Ø Ò Ù ØÓ Ò ÒÓÚ Ð ÑÓ Í Ò ËÙÆÜ ÌÖ ÓÖ ÔÔ ÅÓØ ÓÚ ÖÝ Ñ ÐÝ ÊÓ Ë Ô ÖØÑ ÒØ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ï Ò ØÓÒ ÓÜ ¾ ¼ Ë ØØÐ Ï ½ ¹¾ ¼ ÖÓ ºÛ Ò ØÓÒº Ù ØÖ Øº ÑÔÐ Ò ÐÓ Ð Ö Ñ Ø Ó Ø Ø Ò Ù ØÓ Ò ÒÓÚ Ð ÑÓØ Ò Ø ÜØ ØÖ Ò º ÁÒ ÔÖ Ú ÓÙ ÛÓÖ Û Ú ÔÖÓÔÓ ÑÓ ÑÔÐ Ö Ø

More information

ÓÖÑ Ð ÓÒ ÔØ Ò ÐÝ Ò Ö Ö ÓØ ÖÛ ØÓ Ò ØÓ ÔÖÓ Ò Ó Ô Ø Á Ë ÓÒ Ö Ò º Ì Ö Ö Ö Ð Ø ÔÔÖÓ ØÓ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñº ÓÖ Ò Ø Ò Ø ÓÒ ÔØ Ó Ú ÖØÙ Ð ÓÐ Ö Û ÒØÖÓ Ù Ò ÔÖÓ Ö Ñ

ÓÖÑ Ð ÓÒ ÔØ Ò ÐÝ Ò Ö Ö ÓØ ÖÛ ØÓ Ò ØÓ ÔÖÓ Ò Ó Ô Ø Á Ë ÓÒ Ö Ò º Ì Ö Ö Ö Ð Ø ÔÔÖÓ ØÓ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñº ÓÖ Ò Ø Ò Ø ÓÒ ÔØ Ó Ú ÖØÙ Ð ÓÐ Ö Û ÒØÖÓ Ù Ò ÔÖÓ Ö Ñ Å ß ÓÒ ÔØÙ Ð Ñ Ð Å Ò Ö Ê Ö ÓÐ ½ Ö ËØÙÑÑ ¾ ½ Ë ÓÓÐ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý Ö ÆØ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÓÐ Ó Ø ÑÔÙ ÈÅ ¼ ÓÐ Ó Ø Å Ð ÒØÖ ÉÄ ¾ Ù ØÖ Ð ÖºÓÐ Ùº Ùº Ù ¾ Ì Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÖÑ Ø Ø Ö Å Ø Ñ Ø Ë ÐÓ ÖØ Ò ØÖº ß ¾ ÖÑ Ø

More information

The Enigma machine. 1 Expert teams 25 mins. 2 Mixing the teams 30 mins. 3 Coding and decoding messages 1 period

The Enigma machine. 1 Expert teams 25 mins. 2 Mixing the teams 30 mins. 3 Coding and decoding messages 1 period The Enigma machine ¼ The Enigma machine Time frame 2 periods Prerequisites : Å Ò ÖÝÔØÓ Ö Ô Ø Ò ÕÙ Objectives : ÓÚ Ö Ø ÛÓÖ Ò Ó Ø Ò Ñ Ñ Ò º ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ Ð Ø Ó Ö Ý Ø Ñ Ò º Materials : 6 ÓÔ Ó Ø Øº 6 3

More information

ÇÖ Ò Þ Ø ÓÒ ÄÙ Ù Ó Ø ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÞÓÖ ÇÖ Ò Þ Ò ÓÑÑ ØØ Ð ÖÚ Ð Ó ÁË Ä ÈÓÖØ٠е Ò È ÙÐ ÖÖÓ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÞÓÖ ÈÓÖØ٠е ÖÐÓ Ë ÒØÓ ÁË ÈÓÖØ٠е ÂÓÖ ÆÙÒÓ Ë ÐÚ

ÇÖ Ò Þ Ø ÓÒ ÄÙ Ù Ó Ø ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÞÓÖ ÇÖ Ò Þ Ò ÓÑÑ ØØ Ð ÖÚ Ð Ó ÁË Ä ÈÓÖØ٠е Ò È ÙÐ ÖÖÓ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÞÓÖ ÈÓÖØ٠е ÖÐÓ Ë ÒØÓ ÁË ÈÓÖØ٠е ÂÓÖ ÆÙÒÓ Ë ÐÚ Ê Ö Ø ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ÓÐÐÓÕÙ ÙÑ ÁÁÁ Ó Ö Ñ ËØÙ ÓÐÐÓÕÙ ÙÑ ÎÁ ÇÇÃ Ç ËÌÊ ÌË ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÞÓÖ ÔÖ Ð Ö ¹ ÔÖ Ð Ø ¾¼½ ÇÖ Ò Þ Ø ÓÒ ÄÙ Ù Ó Ø ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÞÓÖ ÇÖ Ò Þ Ò ÓÑÑ ØØ Ð ÖÚ Ð Ó ÁË Ä ÈÓÖØ٠е Ò È ÙÐ ÖÖÓ ÍÒ Ú Ö

More information

In Proceedings of 10th International Conference on Database and Expert Systems Applications (DEXA 2000), Greenwich, UK, September 4-8, 2000.

In Proceedings of 10th International Conference on Database and Expert Systems Applications (DEXA 2000), Greenwich, UK, September 4-8, 2000. In Proceedings of 10th International Conference on Database and Expert Systems Applications (DEXA 2000), Greenwich, UK, September 4-8, 2000. LNCS Vol.????. pp.???-???. ÜØ Ò Ò Ø ÐÓ Û Ø Ð Ö Ø Ú ÍÔ Ø Å Ò

More information

TCP SOURCE TCP DESTINATION

TCP SOURCE TCP DESTINATION ÆÓÚ Ð Ð Ý Ã Ø Ò ÕÙ ÓÖ ÑÔÖÓÚ Ò Ì È Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò ÑÙÐØ ÓÔ Û Ö Ð Ò ØÛÓÖ Ø Ò ÐØÑ Ò ÁÆÊÁ È ¾¼¼ ÊÓÙØ ÄÙ ÓÐ ¼ ¼¾ ËÓÔ ÒØ ÔÓÐ Ü Ö Ò Ñ Ð ÐØÑ Ò ÓÔ º ÒÖ º Ö Ì Ð µ ¾ Ü µ ¾ º Ì Ò Â Ñ Ò Þ º ºËºÁºÅºÇº ÙÐØ ÁÒ Ò Ö ÍÒ Ú Ö

More information

ß ¾ ß ËÌÊ Ì ÌÓ Ò Ò Ø ØÓ Ø Ù Ó Ð Ñ ÒØ ÖÙÔØ ÓÒ Ò Ö ÓÒ Ø ÙÒ Û Ó ÖÚ Ð Ñ ÒØ Ø Ø ÖÙÔØ Ò Ø Ú Ö ÓÒ ÆÇ º Ì Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó À«ÐØ Ö Ö Ñ Ø Ø Ö Û Ú Ð Ò Ø Ð Ò ÒØ Ö

ß ¾ ß ËÌÊ Ì ÌÓ Ò Ò Ø ØÓ Ø Ù Ó Ð Ñ ÒØ ÖÙÔØ ÓÒ Ò Ö ÓÒ Ø ÙÒ Û Ó ÖÚ Ð Ñ ÒØ Ø Ø ÖÙÔØ Ò Ø Ú Ö ÓÒ ÆÇ º Ì Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó À«ÐØ Ö Ö Ñ Ø Ø Ö Û Ú Ð Ò Ø Ð Ò ÒØ Ö Ê Ô Ò Ò Å Ò Ø ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ç ÖÚ ÓÖ Ð Ñ ÒØ ÖÙÔØ ÓÒ Ò ÁØ Ó Ø Ð Ö ÂÙÒ ¹ÀÓÓÒ Ã Ñ Àº ˺ ÙÒ Ë Ò ÛÓÓ Ä ØÖÓÒÓÑÝ ÈÖÓ Ö Ñ Ë ÓÓÐ Ó ÖØ Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ð Ë Ò Ë ÓÙÐ Æ Ø ÓÒ Ð ÍÒ Ú Ö ØÝ Ë ÓÙÐ ÃÇÊ ½ ½¹ ¾ Ñ ØÖÓº ÒÙº º Ö Ò ÂÓÒ

More information

ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¾ ¾º½ Ö Ø ÇÖ Ö ÅÓ Ð ÄÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÖ Ö Ò ÃÖ Ô ÅÓ Ð º

ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¾ ¾º½ Ö Ø ÇÖ Ö ÅÓ Ð ÄÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÖ Ö Ò ÃÖ Ô ÅÓ Ð º ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ ÜÔÓ ÒØ Ë Ñ ÒØ Ò Ò ËÄ ¹Ê ÓÐÙØ ÓÒ ÐÙÐÙ ÓÖ ÅÓ Ð ÄÓ ÈÖÓ Ö Ñ Ä Ò Ò Æ ÙÝ Ò Ò ÙÝ ÒÑ ÑÙÛº ÙºÔÐ ÌÊ ¼½¹¼¾ ¾ µ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼½ Ð Ø Ö Ú Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ µ ØÖ Ø Ï ÔÖÓÔÓ ÑÓ Ð ÐÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ

More information

ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ ÔÓ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ú ÒØ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ö ÔÖ Ú ÓÙ Ðݺ ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó ÓÙÖ Ø ÓÖ Ñ Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ö Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ö Ò Û Ò º

ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ ÔÓ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ú ÒØ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ö ÔÖ Ú ÓÙ Ðݺ ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó ÓÙÖ Ø ÓÖ Ñ Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ö Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ö Ò Û Ò º Ò ÕÙ ÒØ Ð ÓÖÖ ØÒ Ò Ö ¹Ñ ÑÓÖÝ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ð ÖØ ÔÐ Ò ¹Ñ Ð ÔÐ Ò ÖÑ º ÒÔº Ö ÊÅÁ Ë Ê Ö Ê ÔÓÖØ ¹½ ½ ÇØÓ Ö ½ ØÖ Ø Ì Ö Ö Ö ÔÓÖØ Ö Ò Û ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ØÓ ÔÖ Ú ÓÙ Ô Ô Ö Û Û ÐÐ Ú ÐÝ Ö Ö ØÓº ÅÓ Ø Ó Ø Ö ÙÐØ Û Ö Ú Ö

More information

Ì ÐÓÛ Ò Ö Ý Ð Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ä Ì Ë Û Ú Ý Ó ÖÚ Ò Ò Ö Ý ÓØ Û Ø Û Ö Ø Ð Ò È Ø Ðº ¾¼¼¼ µº Ï Ø Û Ö Û Ø «Ø Ú Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ø Ö Ø Ò ¾¼¼¼¼ Ã Ò Ô ÓØÓ Ô Ö ÓÑÔÓ Ó ÔÙÖ

Ì ÐÓÛ Ò Ö Ý Ð Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ä Ì Ë Û Ú Ý Ó ÖÚ Ò Ò Ö Ý ÓØ Û Ø Û Ö Ø Ð Ò È Ø Ðº ¾¼¼¼ µº Ï Ø Û Ö Û Ø «Ø Ú Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ø Ö Ø Ò ¾¼¼¼¼ Ã Ò Ô ÓØÓ Ô Ö ÓÑÔÓ Ó ÔÙÖ ÁÒ¹ Ø «Ø Ú Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ö ÐÓÛ Ò Ö Ý ØÖ Ò Ñ ÓÒ Ö Ø Ò Ô ØÖÓÑ Ø Ö ÖÓÒ È ½ Â Ö ÑÝ Âº Ö ½ Î Ò Ý Ã Ý Ô ½ À ÖÑ Ò Äº Å Ö ÐÐ ¾ Ö Äº Ê «Ù ½ È Ø Ö Ïº Ê ØÞÐ «½ Ö ÓÖ Âº Ï Ö Ð Ò ½ ½ ËÑ Ø ÓÒ Ò ØÖÓÔ Ý Ð Ç ÖÚ ØÓÖÝ

More information

ÈÌÁÅ ÉÙ Ö Ê Ú Ø Ð Ò Æ ½ Â «Ê ÑÑ Ð ¾ Ò Î ØÓÖ Î ÒÙ ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ë Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò Ó Ä ÂÓÐÐ ¾¼ ÍË ¾ Å Ø Ñ Ø Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò Ó Ä ÂÓÐÐ ¾¼ ÍË Ë Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò

ÈÌÁÅ ÉÙ Ö Ê Ú Ø Ð Ò Æ ½  «Ê ÑÑ Ð ¾ Ò Î ØÓÖ Î ÒÙ ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ë Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò Ó Ä ÂÓÐÐ ¾¼ ÍË ¾ Å Ø Ñ Ø Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò Ó Ä ÂÓÐÐ ¾¼ ÍË Ë Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò ÈÌÁÅ ÉÙ Ö Ê Ú Ø Ð Ò Æ ½  «Ê ÑÑ Ð ¾ Ò Î ØÓÖ Î ÒÙ ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ë Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò Ó Ä ÂÓÐÐ ¾¼ ÍË ¾ Å Ø Ñ Ø Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò Ó Ä ÂÓÐÐ ¾¼ ÍË Ë Ô ÖØÑ ÒØ Í Ë Ò Ó Ä ÂÓÐÐ ¾¼ ÍË ØÖ Øº Ì Ü Ø Ò Ó Ð Ò Ù ÜÔÖ Ò ÔÖ ÐÝ Ø

More information

LCNS, Vol 3059, pp , Springer 2004

LCNS, Vol 3059, pp , Springer 2004 Ë ÑÔРŠܹ ÙØ ÓÖ ËÔРعÁÒ «Ö Ò Ö Ô Ò Ö Ô Û Ø Û È ³ À Ò Äº Ó Ð Ò Ö ½ Ð Ò Åº Àº Ù Ö Ó Å Ö ÙØ ÖÖ Þ ÌÓÒ ÃÐÓ Ò ÊÓÐ Æ ÖÑ Ö ½ ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ò Ë Ò ÍØÖ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ È Ù Ð Ò ½ À ÍØÖ Ø Ì Æ Ø ÖÐ Ò

More information

Ö Ø Ö Þ ÓÖ Ò ÐÝ ÓÑÔÐ Ü Ò ÝÒ Ñ Ñ Ò ÒØÐÝ ØÖ ÙØ Ò ÒØ ÖÓÔÓÑÓÖÔ Ò Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØ º ÐØ ÓÙ Ø Ù Ó ÑÙÐØ ÒØ Ý Ø Ñ Ò ÒÓØ Ò Û Ô ÐÐÝ Ø Ø Ò ÓØ Ø ÓÒ Ð Ú Ð Ø ÔÔÖÓ Ò ÑÔ Ö

Ö Ø Ö Þ ÓÖ Ò ÐÝ ÓÑÔÐ Ü Ò ÝÒ Ñ Ñ Ò ÒØÐÝ ØÖ ÙØ Ò ÒØ ÖÓÔÓÑÓÖÔ Ò Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØ º ÐØ ÓÙ Ø Ù Ó ÑÙÐØ ÒØ Ý Ø Ñ Ò ÒÓØ Ò Û Ô ÐÐÝ Ø Ø Ò ÓØ Ø ÓÒ Ð Ú Ð Ø ÔÔÖÓ Ò ÑÔ Ö ÇÒ Ø ÄÓ Ð Ô Ø Ó Ö ÙÑ Òع Æ ÓØ Ø ÓÒ ÑÓÒ ÒØ ÄÙ Ö ØÓ È ÙÐÓ ÆÓÚ Ò ÂÓ Æ Ú Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ó Å Ò Ó Ö ÈÇÊÌÍ Ä Ð Ö ØÓ Ö Ý º ºÙÑ Ò ÓºÔØ ßÔ ÓÒ Ò Ú Ð ºÙÑ Ò ÓºÔØ ØÖ Ø Ì Ù Ó ÒØ Ò Ð ØÖÓÒ ÓÑÑ Ö µ ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ

More information

address bus Data bus Note: Instructions are fetched over data bus CPU Control ALU

address bus Data bus Note: Instructions are fetched over data bus CPU Control ALU ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¼º½ Ì ÓÙÖ ½º ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö ÆÙÑ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ¹ Ø Ð ÐÓ ÁÒØ Ö ¹ÙÒ Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ¹ Ë ÁÁ Ó Ò ÓØ Ö Ó Ò Ñ Ê Ð ÒÙÑ Ö ¹ Ü Ò Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ Á º ¾º ÙÒØ ÓÒ Ð ÐÓ Ó ÓÑÔÙØ Ö ÈÍ Ñ ÑÓÖÝ ÒÔÙعÓÙØÔÙØ

More information

Ï ÓÛ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ó ÐÓ µ ÕÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ð ÙÒ Ö Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ü ÔØ ÓÖ ÓÒ ÙÒ Ø Ð µ Ò ÓÑÔÙØ ¹ Ø ÓÒº ÅÓÖ Ô ÐÐÝ Û ÓÖÑÙÐ Ø ÕÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ ÓÐÚ Ò Ò Ø Ô Ö Ñ

Ï ÓÛ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ó ÐÓ µ ÕÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ð ÙÒ Ö Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ü ÔØ ÓÖ ÓÒ ÙÒ Ø Ð µ Ò ÓÑÔÙØ ¹ Ø ÓÒº ÅÓÖ Ô ÐÐÝ Û ÓÖÑÙÐ Ø ÕÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ ÓÐÚ Ò Ò Ø Ô Ö Ñ ÉÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ ÍÒ Ö È ÖØÙÖ Ø ÓÒ ËØ Ò Ê Ø Ò ¹Ñ Ð ËØ ÒºÊ Ø ÒÖ ºÙÒ ¹Ð ÒÞº º Ø Ñ Ö ¾ ¾¼¼¼ ØÖ Ø ÉÙ ÒØ ÓÒ ØÖ ÒØ º º Ö Ø¹ÓÖ Ö ÓÖÑÙÐ ÓÚ Ö Ø Ö Ð ÒÙѹ Ö µ Ö Ó Ø Ò ÜÔÓ ØÓ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø ÓÑ ÖÓÑ Ñ ÙÖ Ñ ÒØ

More information

Sensor0 Motor0. Sensor2. Motor2

Sensor0 Motor0. Sensor2. Motor2 ÅÓ ÐÐ Ò Ö Ð¹Ø Ñ Ð Ò Ù Ì ÓÑ ÀÙÒ ÊÁ Ë Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ö Ù ÒÑ Ö Ñ Ð Ö Ö ØÖ Ø Ï ÔÖ ÒØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ó ÓÖ ØÖ Ò Ð Ø Ò Ö Ð¹Ø Ñ ÔÖÓ¹ Ö Ñ ÒØÓ Ò ØÛÓÖ Ó Ø Ñ ÙØÓÑ Ø ÈÖÓ Ö Ñ Ö ÛÖ ØØ Ò Ò Ò Ñ ÐÝ

More information

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ñ Ñ Ö Ó Ú Ò Ô ÓÖ Ù Ô µ Ú Ø Ñ Ò Ö Ð ØÙÖ ÓÒ Ø Ö Ó Ø Ô ØØ ÖÒº ÀÓÛ Ú Ö Ò Ú Ù Ð Ò Ñ Ð Ø ÓÛÒ Ø ÒØ Ñ Ö Ò º Ì Ô ØØ ÖÒ Ö ÒÓØ Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÐÐݺ Ì Ý

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ñ Ñ Ö Ó Ú Ò Ô ÓÖ Ù Ô µ Ú Ø Ñ Ò Ö Ð ØÙÖ ÓÒ Ø Ö Ó Ø Ô ØØ ÖÒº ÀÓÛ Ú Ö Ò Ú Ù Ð Ò Ñ Ð Ø ÓÛÒ Ø ÒØ Ñ Ö Ò º Ì Ô ØØ ÖÒ Ö ÒÓØ Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÐÐݺ Ì Ý Ò Ñ Ð Ó Ø È ØØ ÖÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú ÐÝÒ Ë Ò Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ÓÖ Å ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ù Ù Ø ¾¼¼½ ÂÓ ÒØ ÛÓÖ Û Ø Ì ÓÑ Ï ÒÒ Ö ÍÅ µ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ñ Ñ Ö Ó Ú Ò Ô ÓÖ Ù Ô µ Ú Ø Ñ Ò Ö Ð ØÙÖ ÓÒ Ø Ö Ó Ø Ô ØØ ÖÒº ÀÓÛ

More information

median slowdown uniform harmonic powers of generated load

median slowdown uniform harmonic powers of generated load Ì ÓÖ ÓØØ Ò ØÓÖ Ø ÓÒ È Ö ÓÖÑ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ô Ò Ò ÓÒ ÏÓÖ ÐÓ ÖÓÖ º Ø Ð ÓÒ Ë ÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò Ò Ò Ö Ò Ì À Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ ½ ¼  ÖÙ Ð Ñ Á Ö Ð Ø º Ù º º Ð ØØÔ»»ÛÛÛº º Ù º º л Ø ØÖ Øº Ì Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó ÓÑÔÙØ

More information

arxiv:cond-mat/ v2 [cond-mat.stat-mech] 12 Nov 2001

arxiv:cond-mat/ v2 [cond-mat.stat-mech] 12 Nov 2001 ÈÖ ÙÖ ÓÖ Ó Ø ØÖÓÔ Ò Ø ¹Ì Ò ¹Ï Ò Ð Å ÒÒ Ò arxiv:cond-mat/1736v2 [cond-mat.stat-mech] 12 Nov 21 Ö Ò ÓÑ Ö ÙÒ Ð ÑÓ Ð Ó ÐÙÖ ËÖÙØ Ö ÈÖ Ò (1) Ò Ãº Ö ÖØ (2) Ë ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÆÙÐ Ö È Ý ½» Ò Æ Ö ÃÓÐ Ø ¼¼ ¼ ÁÒ º ØÖ Ø

More information

Kevin Dowd, after his book High Performance Computing, O Reilly & Associates, Inc, 1991

Kevin Dowd, after his book High Performance Computing, O Reilly & Associates, Inc, 1991 Ò Û Ö ÌÓ ÉÙ Ø ÓÒ ÁÒ Ï ÐÐ ÝÓÒ ÆÙÑÈÝ Ö Ð Ò Ú ÐÓÔ Ö Ò ÈÝÌ Ð Ö ØÓÖ ÂÙÐÝ Ø ¹½½Ø ¾¼½¼º È Ö ¹ Ö Ò ÇÙØÐ Ò Ì Ø Á Ù Ò Û Ö ÌÓ ÉÙ Ø ÓÒ ÁÒ ½ Ì Ø Á Ù ¾ Ò Û Ö ÌÓ ÉÙ Ø ÓÒ ÁÒ ÇÙØÐ Ò Ì Ø Á Ù Ò Û Ö ÌÓ ÉÙ Ø ÓÒ ÁÒ ½ Ì Ø Á

More information

Ì Ø ÓÖ Ø ÓØÓÖ Ó È ÐÓ ÓÔ Ý Ö Ý Å Ö Ò Ö ÓÒ Å ÐÐ Ö Ò ÔÔÖÓÚ Ý ËØ ÒÐ Ý º È ÝÒ Ï ÐÐ Ñ º ÖÓÛ ØÞÓ ËÝÐÚ º ÀÓ ÖØ Âº Ê Ö ÄÙÒ Ö Ò Ï ÐÐ Ñ Âº ÏÓÐ Ø

Ì Ø ÓÖ Ø ÓØÓÖ Ó È ÐÓ ÓÔ Ý Ö Ý Å Ö Ò Ö ÓÒ Å ÐÐ Ö Ò ÔÔÖÓÚ Ý ËØ ÒÐ Ý º È ÝÒ Ï ÐÐ Ñ º ÖÓÛ ØÞÓ ËÝÐÚ º ÀÓ ÖØ Âº Ê Ö ÄÙÒ Ö Ò Ï ÐÐ Ñ Âº ÏÓÐ Ø Æ Ê ÄÁ ÉÍ Ê Æ Ä Ë Ç ÇÊ Ê Ë Ì µ ÏÁÌÀ Ë Ì ¾ Ý Å Ö Ò Ö ÓÒ Å ÐÐ Ö ºËº º ÂÓ Ò ÖÓÛÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ½ ź˺ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÓÐÓÖ Ó Ø ÒÚ Ö ½ Ø Ù Ñ ØØ ØÓ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÓÐÓÖ Ó Ø ÒÚ Ö Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ

More information

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö ÙÑÙÐ ÒØ Ò Ã ÖÓÚ³ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ä Ø Ù ÒÓØ Ý Ë Ò Ø ÝÑÑ ØÖ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö Òº ÁÖÖ Ù Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ λ Òº ÆÓÖÑ Ð Þ Ö Ø Ö Ú ÐÙ χ λ (µ) ÓÖ µ

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö ÙÑÙÐ ÒØ Ò Ã ÖÓÚ³ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ä Ø Ù ÒÓØ Ý Ë Ò Ø ÝÑÑ ØÖ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö Òº ÁÖÖ Ù Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ λ Òº ÆÓÖÑ Ð Þ Ö Ø Ö Ú ÐÙ χ λ (µ) ÓÖ µ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ò ÔÓ Ø Ú ØÝ Ó Ã ÖÓÚ³ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Î Ð ÒØ Ò Ö Ý Ä ÓÖ ØÓ Ö ³ÁÒ ÓÖÑ Ø Õ٠гÁÒ Ø ØÙØ Ô Ö ¹ÅÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ¹ Ø ÓÖÑ Ð ÈÓÛ Ö Ë Ö Ò Ð Ö ÓÑ Ò ØÓÖ ¾¼¼ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì Ð Ð µ ÂÙÒ ¾ Ø Î Ð ÒØ Ò

More information

M 3 M 1 M 2 U 3 U 2. A 1 Generation 1. A 3 Generation 3 A 2. produce. Generation 2. Primary Linguistic Data. Linguistic Competence

M 3 M 1 M 2 U 3 U 2. A 1 Generation 1. A 3 Generation 3 A 2. produce. Generation 2. Primary Linguistic Data. Linguistic Competence ÁØ Ö Ø Ä ÖÒ Ò Ö Ñ ÛÓÖ ÓÖ Ø Ñ Ö Ò Ó Ð Ò Ù Ã ÒÒÝ ËÑ Ø ½ Ë ÑÓÒ Ã Ö Ý ½ À ÒÖÝ Ö ØÓÒ ½ ½ Ä Ò Ù ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ê Ö ÍÒ Ø Ì ÓÖ Ø Ð Ò ÔÔÐ Ä Ò Ù Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ò ÙÖ Ñ Ö Ù ÓÒ Ù Ð Ò ¼ ÓÖ ËÕÙ Ö Ò ÙÖ Íú ÒÒÝ ÑÓÒ

More information

arxiv:astro-ph/ v1 11 Feb 2003

arxiv:astro-ph/ v1 11 Feb 2003 ÓÚ ÖÝ Ó Æ Û Æ Ö Ý ËØ Ö º º Ì Ö Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÓÖ À Ò Ö Ý ØÖÓÔ Ý Æ Ë» Ó Ö ËÔ Ð Ø ÒØ Ö Ö Ò ÐØ Å ¾¼ ½ ÍË arxiv:astro-ph/0302206v1 11 Feb 2003 ÓÒÒ Ö Ð Ñ Ðº ºÒ º ÓÚ Ëº Àº ÈÖ Ú Ó Åº À ˺ º Ë Ð Ò Â Ø ÈÖÓÔÙÐ ÓÒ

More information

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö ÔØ Ú ËØ Ø Ø ÁÒ Ö ÒØ Ð ËØ Ø Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø Ò ¹ Ô Ú ÐÙ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó ÑÔÐ Þ ËÙÑÑ ÖÝ Ä ÖÒ Ò Ó¹ Ø ÖÑ Æ ÙÝ Ò Ì ÌÙ Î Ò ½ Æ ÙÝ Ò ÉÙ Ò Î Ò ¾ ½ ÍÒ Ú

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ö ÔØ Ú ËØ Ø Ø ÁÒ Ö ÒØ Ð ËØ Ø Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø Ò ¹ Ô Ú ÐÙ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó ÑÔÐ Þ ËÙÑÑ ÖÝ Ä ÖÒ Ò Ó¹ Ø ÖÑ Æ ÙÝ Ò Ì ÌÙ Î Ò ½ Æ ÙÝ Ò ÉÙ Ò Î Ò ¾ ½ ÍÒ Ú Æ ÙÝ Ò Ì ÌÙ Î Ò ½ Æ ÙÝ Ò ÉÙ Ò Î Ò ¾ ½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ò È ÖÑ Ý Ó ÀÓ Å Ò ØÝ ¾ Æ ÙÝ Ò ÌÖ È ÙÓÒ ÀÓ Ô Ø Ð ÂÁ ÔÖÓ Ø ¹ Ù Ù Ø ¾¼½ ÇÙØÐ Ò ½ ¾ Ø ÓÖÝ Ñ ÙÖ Ø Ñ Ø ÓÒ ¹ ÓÒ Ò ÁÒØ ÖÚ Ð ÔÓ ÒØ Ø Ñ Ø ¹ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ø Ñ Ø ÁÒØ

More information

Uppsala University. Access to the published version may require subscription.

Uppsala University. Access to the published version may require subscription. Uppsala University This is an accepted version of a paper published in Physics Education. This paper has been peer-reviewed but does not include the final publisher proof-corrections or journal pagination.

More information

ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ð ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ ÒÓ Ò ÓÖ ÝÐ Ó ÙØÓÑÓÖÔ Ñ µ ÑÓ ÙÐ ÕÙ ¹ÝÐ µ ØÖÙ¹ ØÙÖ ÖĐÓ Ò Ö ÓÖ ÑÓ ÙÐ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó ÖÓÑ ÓÖ Ö ÓÑ Ò Ò¹ ÐÙ Ò ÓÔÔ Ó µ Ü Ñ

ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ð ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ ÒÓ Ò ÓÖ ÝÐ Ó ÙØÓÑÓÖÔ Ñ µ ÑÓ ÙÐ ÕÙ ¹ÝÐ µ ØÖÙ¹ ØÙÖ ÖĐÓ Ò Ö ÓÖ ÑÓ ÙÐ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó ÖÓÑ ÓÖ Ö ÓÑ Ò Ò¹ ÐÙ Ò ÓÔÔ Ó µ Ü Ñ ÖĐÓ Ò Ö ÓÖ ÒÓ Ò Ó ÖØ Ò Ó ÖÓÑ ÇÖ Ö ÓÑ Ò ÂÓ Ò º Ä ØØÐ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÓÐÐ Ó Ø ÀÓÐÝ ÖÓ Ð ØØÐ Ñ Ø º ÓÐÝÖÓ º Ù ÊÁË ÏÓÖ ÓÔ Ä ÒÞ Ù ØÖ Å Ý ½ ¾¼¼ ÇÙØÐ Ò Ó Ø Ð ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒ ÒÓ Ò ÓÖ

More information

Abiteboul. publication x author. citation title date 2000 Suciu Data on the Web Buneman

Abiteboul. publication x author. citation title date 2000 Suciu Data on the Web Buneman ËÔ Ø Ð ÄÓ ÓÖ ÉÙ ÖÝ Ò Ö Ô ÄÙ Ö ÐÐ È Ð ÔÔ Ö Ò Ö Ò ÓÖ Ó ÐÐ ½ ØÖ Øº Ï ØÙ Ý Ô Ø Ð ÐÓ ÓÖ Ö ÓÒ Ò ÓÙØ ÐÐÐ Ö Ø Ö Ô Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÓ ØÓ ÔÖÓÚ ÕÙ ÖÝ Ð Ò Ù ÓÖ Ò ÐÝ Ò Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ø Ò Ù Ö Ô º Ï Ú Ö Ô Ö ÔØ ÓÒ Ù Ò ÓÒ

More information

Æ ÛØÓÒ³ Å Ø Ó ÐÓ Ì ÓÖÝ Ò ËÓÑ Ø Ò ÓÙ ÈÖÓ ÐÝ Ò³Ø ÃÒÓÛ ÓÙØ Ú º ÓÜ Ñ Ö Ø ÓÐÐ

Æ ÛØÓÒ³ Å Ø Ó ÐÓ Ì ÓÖÝ Ò ËÓÑ Ø Ò ÓÙ ÈÖÓ ÐÝ Ò³Ø ÃÒÓÛ ÓÙØ Ú º ÓÜ Ñ Ö Ø ÓÐÐ Æ ÛØÓÒ³ Å Ø Ó ÐÓ Ì ÓÖÝ Ò ËÓÑ Ø Ò ÓÙ ÈÖÓ ÐÝ Ò³Ø ÃÒÓÛ ÓÙØ Ú º ÓÜ Ñ Ö Ø ÓÐÐ Ê Ö Ò ÃÐ Ò Ä ØÙÖ ÓÒ Ø ÁÓ ÖÓÒ Ì Ù Ò Ö ½ ËÑ Ð ÇÒ Ø Æ ÒÝ Ó Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÐÝ ÙÐк ÅË ½ ÅÅÙÐÐ Ò Ñ Ð Ó Ö Ø ÓÒ Ð Ñ Ô Ò Ø Ö Ø Ú ÖÓÓع Ò Ò Ð

More information

¼ º Å Ø Öº Ë º Ì ÒÓк ÎÓк¾¾ ÆÓº ¾¼¼ Ö ÇÔØ ÈÖÓØ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÓÖ ÓÒÖ Ø ËØÖÙØÙÖ ÂºËºÄ Ò ½µÝ ºÀ Ñ ¾µ ºÏ ÒØ Ö ¾µ ʺ º ÖÒ ¾µ º ºÅ Ý ¾µ Ò º º ÖÒ Ò Ó ¾µ ½µ Ò

¼ º Å Ø Öº Ë º Ì ÒÓк ÎÓк¾¾ ÆÓº ¾¼¼ Ö ÇÔØ ÈÖÓØ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÓÖ ÓÒÖ Ø ËØÖÙØÙÖ ÂºËºÄ Ò ½µÝ ºÀ Ñ ¾µ ºÏ ÒØ Ö ¾µ ʺ º ÖÒ ¾µ º ºÅ Ý ¾µ Ò º º ÖÒ Ò Ó ¾µ ½µ Ò ¼ Ö ÇÔØ ÈÖÓØ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÓÖ ÓÒÖ Ø ËØÖÙØÙÖ ÂºËºÄ Ò ½µÝ ºÀ Ñ ¾µ ºÏ ÒØ Ö ¾µ ʺ º ÖÒ ¾µ º ºÅ Ý ¾µ Ò º º ÖÒ Ò Ó ¾µ ½µ ÒØÖ ÓÖ ÓÑÔÓ Ø Å Ø Ö Ð À Ö Ò ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý À Ö Ò ½ ¼¼¼½ Ò ¾µ Ò Ò Ö Ò ËÝ Ø Ñ Ô ÖØÑ ÒØ

More information

Ì Ì ÓÖÝ Ó Ì Ñ Á»Ç ÙØÓÑ Ø Ð ÙÒ Ãº à ÝÒ Ö Ò Æ ÒÝ ÄÝÒ ÅÁÌ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÊÓ ÖØÓ Ë Ð Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Î ÖÓÒ Ö Ø Î Ò Ö Ö

Ì Ì ÓÖÝ Ó Ì Ñ Á»Ç ÙØÓÑ Ø Ð ÙÒ Ãº à ÝÒ Ö Ò Æ ÒÝ ÄÝÒ ÅÁÌ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÊÓ ÖØÓ Ë Ð Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Î ÖÓÒ Ö Ø Î Ò Ö Ö Ì Ì ÓÖÝ Ó Ì Ñ Á»Ç ÙØÓÑ Ø Ð ÙÒ Ãº à ÝÒ Ö Ò Æ ÒÝ ÄÝÒ ÅÁÌ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÊÓ ÖØÓ Ë Ð Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Î ÖÓÒ Ö Ø Î Ò Ö Ö Ý Æ Ñ Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ë Ò ÍÒ Ú

More information

Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÔÐ Ò Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò Ë ÓÓÐ Ð ØÙÖ ÒØÖÓ Ù Ø ÖÓÙØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö ÓÑÑÓÒ ÔÔÖÓ ØÓ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ì Ð ÓÖ Ø Ñµ ÓÖ ÓÖØ Ø¹Ô Ø ÖÓÙØ Ò º ØÖ ³ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Æ ØÛÓÖ Ò Ð ØÙÖ ¼ ÊÓÙØ Ò Å ØØ Û ÊÓÙ Ò

More information

Ø Ð ÙÒØÓÖ Ý Ð ÑÓÒ Á ÓÒ Ä Ö Ù Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ñ Ô Ó Ò Û Ø Ø ÃÐ Ð ÑÓÖÔ Ñ º Ì Ù Ø Ø ÓÖÝ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÑ Ø ÃÐ Ð Ø ÓÖÝ Ä Ö Á Ò Ø Ð ÙÒØÓÖ Ý Ð Ö

Ø Ð ÙÒØÓÖ Ý Ð ÑÓÒ Á ÓÒ Ä Ö Ù Ø Ø Ø ÓÖ Ò Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ñ Ô Ó Ò Û Ø Ø ÃÐ Ð ÑÓÖÔ Ñ º Ì Ù Ø Ø ÓÖÝ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÑ Ø ÃÐ Ð Ø ÓÖÝ Ä Ö Á Ò Ø Ð ÙÒØÓÖ Ý Ð Ö ÅÇÆ ÇÊ ÇÅ ÁÆË Æ ÇÌÀ Ê Ì ÇÊÁ Ë Ä Ë ÈÍÄÌÊ Æ ÆÆ ÌÇ Á Ø ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó ÁÚ Ò Ê Ú Ð ØÖ Øº Ñ ÐÐ ÑÓ Ø ÓÒ Ó Î Ö ³ Ò Ø ÓÒ Ó ÓÒØ ÒÙ¹ ÓÙ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÐÐÓÛ ÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖÝ Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ ÈÇ µ

More information

½ ¾¼¼ Ä ØÙÖ ÇÙØÐ Ò ½ Ä ØÙÖ ½ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ µ ÑÔ Þ Ø ¼¾ ÔÖ Ö ÕÙ Ø ÓÖ Ø ÓÙÖ º ÓÒ ÙÐØ ÔÓ Ø ¼¾ ÆÓØ Ò ºµ ÏÓÖ ¼¾ Ö Ú Û ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ù Ó Ý ÊÙÐ º Á Ø Ò ÔÔÐ Ø ØÓ

½ ¾¼¼ Ä ØÙÖ ÇÙØÐ Ò ½ Ä ØÙÖ ½ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ µ ÑÔ Þ Ø ¼¾ ÔÖ Ö ÕÙ Ø ÓÖ Ø ÓÙÖ º ÓÒ ÙÐØ ÔÓ Ø ¼¾ ÆÓØ Ò ºµ ÏÓÖ ¼¾ Ö Ú Û ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ù Ó Ý ÊÙÐ º Á Ø Ò ÔÔÐ Ø ØÓ ½ ¾¼¼ Ä ØÙÖ ÇÙØÐ Ò ½ Ä ØÙÖ ½ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ µ ÑÔ Þ Ø ¼¾ ÔÖ Ö ÕÙ Ø ÓÖ Ø ÓÙÖ º ÓÒ ÙÐØ ÔÓ Ø ¼¾ ÆÓØ Ò ºµ ÏÓÖ ¼¾ Ö Ú Û ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ù Ó Ý ÊÙÐ º Á Ø Ò ÔÔÐ Ø ØÓ Ø Ò Ó Å È Ö Ú Ö ÓÖ Ö Ø ÒÔÙØ Ö Ø ÓÙØÔÙØ ØÓ Ø Ý Ø Ñº

More information

Communications Network Design: lecture 07 p.1/44

Communications Network Design: lecture 07 p.1/44 Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÔÐ Ò Ó Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò Ë ÓÓÐ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Æ ØÛÓÖ Ò Ð ØÙÖ ¼ Å ØØ Û ÊÓÙ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÔÖ Ð ½ ¾¼¼ Communications Network Design: lecture 07 p.1/44 ÊÓÙØ Ò ÓÒØ

More information

Z=102 Z= Z=98 Z= Z=94 Z=92

Z=102 Z= Z=98 Z= Z=94 Z=92 ÎÓк ¼¼ µ Ì ÈÀ ËÁ ÈÇÄÇÆÁ ÆÓ ÇÄÄ ÌÁÎ ÉÍ ÊÍÈÇÄ ÁÌ ÌÁÇÆË Ç ÌÊ ÆË ÌÁÆÁ ÆÍ Ä Á ú ĺ ÈÖ Ò Ãº ÈÓÑÓÖ ÁÒ Ø ØÙØ Ó È Ý Å Ö ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ÍÒ Ú Ö ØÝ Èк ź ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ½ ¼¹¼ ½ ÄÙ Ð Ò ÈÓÐ Ò Ëº º ÊÓ ÓÞ Ò Âº ËÖ ÖÒÝ ÙÐØÝ

More information

Tv Tr Td. signature signature certificate dispute

Tv Tr Td. signature signature certificate dispute Î Ð Ø Ò Ø Ð Ë Ò ØÙÖ Û Ø ÓÙØ Ì Ñ ¹ËØ ÑÔ Ò Ò ÖØ Ø Ê ÚÓ Ø ÓÒ Â ÒÝ Ò ÓÙ Ò Ó Ò ÊÓ ÖØ Ò Ä ÓÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ¾½ À Ò ÅÙ Ã Ò Ì ÖÖ Ë Ò ÔÓÖ ½½ ½ ÝÞ ÓÙ Ó Ò Ò Ð ØºÓÖ º ÇØÓ Ö ½ ¾¼¼¾ ØÖ Ø ÁÒ ÒÓÒ¹Ö ÔÙ Ø ÓÒ ÖÚ Û

More information

arxiv: v1 [q-fin.pr] 27 Oct 2009

arxiv: v1 [q-fin.pr] 27 Oct 2009 arxiv:0910.5101v1 [q-fin.pr] 27 Oct 2009 ÇÔØ Ñ Ð Ô ÖØ Ð Ò Ò Ö Ø ¹Ø Ñ Ñ Ö Ø Ò Ô ÔÖÓ Ð Ñ È Ø Ö Ä Ò Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ó Ñ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÒÖ Ø Ò ¾¼ ¼¼ Ó ÒÐ Ò Ñ Ð ÔÐ Ò Ö Óº ØÖ Ø Ï ÔÖ ÒØ Ò Û ÔÔÖÓ ÓÖ ØÙ Ý Ò Ø ÔÖÓ

More information